Modelo de péndulo invertido, Segway Simulación y optimización del diseño.
Pedro Perales Padilla Daniel Perez Marín Fátima Puyana Bernal.
Índice
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Definición del problema. Estado del arte. Diseño conceptual. Especificaciones técnicas. Idealización del problema. Análisis de fuerzas y sistemas de ecuaciones. Análisis por externa. Análisis por interna. 9. Análisis no lineal de un péndulo i nvertido 10. Conclusiones 11. Bibliografía
2 4 7 8 16 18 20 28 37
43 44
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Índice
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Definición del problema. Estado del arte. Diseño conceptual. Especificaciones técnicas. Idealización del problema. Análisis de fuerzas y sistemas de ecuaciones. Análisis por externa. Análisis por interna. 9. Análisis no lineal de un péndulo i nvertido 10. Conclusiones 11. Bibliografía
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1. Definición del problema.
En este proyecto se ha desarrollado el diseño de un vehículo basado en el funcionamiento del modelo de péndulo invertido, capaz de transportar personas por distintas superficies.
Figura 1.1. Modelo Segway.
El diseño responde al concepto inventado por Dean Kamen en el pasado 2001, también conocido comúnmente con el nombre de “Segway Personal Transporter”.
Este diseño responde a las necesidades de los usuarios, permitiendo ser transportados por lugares donde no podría acceder una bicicleta o un automóvil, así como el interior de muchos almacenes, oficinas, empresas, aeropuertos, ascensores y trenes.
Figura 1.2. Logo Segway.
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Resulta un medio bastante útil para aquellos trayectos cortos. La duración de la carga de su batería resulta bastante relativa, en función del terreno, peso transportado y el estilo de conducción. Este producto aporta un diseño versátil que responde a un amplio ámbito de uso. Esto se ve favorecido por la posible intercambiabilidad de sus elementos, por ejemplo, los neumáticos de las ruedas, a partir de los cuales se puede definir y adaptar mejor el vehículo al terreno, ya sea asfalto, arena, césped, ciudad o incluso dentro de la misma empresa. Además, conlleva la posibilidad de incorporar elementos para transportar carga.
Figura 1.3. Modelo Segway Police.
Este hecho genera un diseño bastante amplio y funcional. En este caso, el proyecto se ha centrado en la descripción del “Segway Police”.
Figura 1.4. Modelo Segway Police.
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2. Estado del arte.
El Segway es un vehículo de transporte de dos ruedas, impulsado elécticamente , y basado en un modelo de autobalanceo controlado por ordenador. Este proyecto surge en 2001 de la mano de Dean Kamen, el cual llega a producirlo con la compañía Segway Inc.
Figura 2.1. Logo Segway ecológico.
El funcionamiento de este vehículo se basa en la tecnología LeanSteer, también denominada “estabilización dinámica”, la cual define un
desplazamiento sencillo. Esta tecnología permite un suave funcionamiento a partir de los movimientos del cuerpo. Los giroscopios y sensores de inclinación en la unidad controlan el centro de gravedad del usuario, el cual situado en posición erguida sobre el producto, puede realizar diversos movimientos según la inclinación de su cuerpo.
Figura 2.2. Instrucciones de posición.
Cuando éste se inclina ligeramente hacia delante, el Segway se moverá hacia delante; y de igual modo ocurrirá para andar hacia atrás. Aquellos movimientos que pretendan girar hacia un lado u otro no requieren más que la inclinación del cuerpo hacia el lado de giro.
Figura 2.3. Instrucciones para ajuste de velocidad.
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De esta forma, el Segway se presenta como un producto intuitivo y cómodo, que formará parte del usuario como una extensión de su cuerpo, a la cual tendrá pleno control. Además, este diseño conlleva tres modos diferentes que representan la velocidad del vehículo a optar dependiendo del ambiente en el que van a desplazarse y del nivel de experiencia. Así, se define el primer modo como la “Llave de Principiante” que permite que los viajeros ganen confianza
mientras usan la máquina, conllevando una velocidad máxima de 9,60 km/h. Seguidamente está la “Llave de Acera” adecuada para aquellos ambientes peatonales por lo que no sobre pasa los 12.80 km/h. Y por último, la “Llave Ambiente Abierto”, para aquellos espacios cuya velocidad
pueda llegar a alcanzar los 20 km/h. Además, este diseño proporciona un sistema de seguridad compuesto por indicadores de equilibrio que informan de su estado y su seguridad antes de ser utilizado. Se vale de breves parpadeos o pulsaciones que dan la bienvenida al usuario e informa de cuando está listo para empezar la marcha. También conlleva subsistemas de seguridad para aquellos posibles casos de accidentes de algún componente, en los cuales se garantiza una forma segura y controlada del producto para ser detenido. La versatilidad del producto recae en dos modelos básicos que proporcionan diferente aspectos y características que englobar numerosos ámbitos de usos. Además, el poder de la modularidad de algunas de sus partes, hacen que este diseño pueda ser definido implícitamente para su uso en concreto. Entre sus modelos destacan: Segway Commuter: diseñado como un modo divertido y práctico de llevar la vida diaria, ya sea para desplazarse hasta el trabajo o para hacer gestiones por el barrio. Cuenta con accesorios como luces, sirenas, unidades GPS, bolsa semi-rigida en el manillar, luces reflectantes, kit de cadena y candado, eje principal regulable, etc. Segway Police: resulta específicamente diseñado para satisfacer las necesidades y hacer más eficaz la labor de los agentes de policía y los cuerpos de seguridad. Proporciona mayor visibilidad a los agentes en tareas como dirigir el tráfico, controlar las masas y patrullar por los vecindarios, haciendo que estos vayan en una plataforma separada unos centímetros del suelo, dejando al agente por encima del resto de los ciudadanos.
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También acerca a los agentes a la ciudadanía y les permite acudir más rápido en caso de emergencia, independientemente de la naturaleza del terreno que tengan que atravesar. Segway Commercial Cargo: constituye un medio de transporte práctico para personas y pequeñas cargas en los complejos empresariales, tanto en el interior como en el exterior, en espacios estrechos. Incluye maletines rígidos que proporcionan dispositivos de almacenamiento resistentes, soporte de carga laterales, plataforma de carga universales, estructura de carga inferior, etc. Segway Golf: diseñado como un práctico sustituto del carrito de golf estándar. Sus neumáticos de baja presión especiales apenas deterioran el césped y permiten al aparato avanzar con suavidad sobre distintas superficies. Incluye un accesorio para la bolsa de los palos de golf que permitirán sujetar el equipo de forma segura para poder desplazarse con libertad por el club. Segway Adventure: diseñado como vehículo todo terreno preparado para cualquier situación. Conlleva una bolsa en el manillar como almacenamiento, plataformas de carga universales que permiten la instalación de dispositivos para el transporte de objetos, potente faro que mejora su visibilidad, etc.
Figura 2.4. Modelos Segway en el mercado.
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3. Diseño conceptual.
A continuación se presenta el modelo simplificado que representa el producto de forma conceptual. A partir del boceto explosionado podemos observar los distintos elementos y sistemas que lo componen, los cuales también vienen enumerados en el croquis del conjunto adjunto.
Figura 3.1. Modelo Conceptual.
Figura 3.2. Modelo explosionado.
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Figura 3.3. Croquis de conjunto.
4. Especificaciones técnicas.
Chasis
Chasis de aluminio compuesto por una base sencilla a la que se le ha añadido un guardabarros para cada rueda y un compartimento para las baterías y una barra vertical con forma de T unida a la base mediante tornillos.
Ruedas
Se utilizarán ruedas neumáticas, con cámara de aire y llanta de acero de 16”. Figura 4.1. Rueda.
Adaptador eje rueda. Esta pieza es necesaria para unir el eje del motor con la llanta de la rueda. Se une a ambas piezas mediante tornillos. Elegimos el modelo NPC-PH448 de la casa NPC Robotics.
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Figura 4.2. Adaptador eje rueda.
Motor
Se han elegido motores de corriente continua alimentados a 24Vdc.
Figura 4.3. Motor.
Tornillos de sujeción.
Se han elegido varios tipos de tornillos para ensamblar las diferentes piezas principales del chasis y motores, que pasamos a relacionar: - Sujeción de los motores a la placa horizontal (para cada motor): 2 tornillos 5/16-24-UNF de longitud 25 mm, resistencia 12,9 y cabeza DIN912. - Sujeción de los adaptadores al eje del motor (para cada motor): 4 tornillos 5/16-24-UNF de longitud 25 mm, resistencia 12,9 y cabeza DIN912. - Sujeción de los adaptadores a la llanta de la rueda (para cada rueda) 4 tornillos 5/16-24-UNF de longitud 16 mm, resistencia 12,9 y cabeza DIN912. 9
- Sujeción del compartimento de baterías a la placa horizontal: 4 tornillos Métrica 8mm de longitud 10 mm, resistencia 8,8 y cabeza DIN933. Incluye arandela Grower-B. - Sujeción del manillar (mástil en forma de ‘T’ a la placa horizontal): 4 tornillos Métrica 8mm de longitud 16 mm, resistencia 8,8 y cabeza DIN933. Incluye arandela Grower DIN127 y tuerca DIN933 de 8mm.
Baterías
El sistema de alimentación está compuesto de dos baterías de 12V (conectadas en serie para dar 24Vdc), que alimentarán los motores y la electrónica.
Figura 4.4. Batería.
Microcontrolador
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El control de nuestro robot móvil se ha implementado usando la placa microcontroladora MAVRIC-IIB (modelo MAV2BST) de la compañía BDMICRO.
Figura 4.5. Microcontrolador.
Inclinómetro
El Inclinómetro elegido es el modelo FAS-G de la Compañía MicroStrain. Este inclinómetro de 360º tiene una resolución menor de 0.1 grados y una repetibilidad de 0.10 grados. Además podemos comunicarnos con él mediante el puerto serie a una velocidad de 19200bps o mediante una señal analógica.
Figura 4.6. Inclinómetro.
Encoders
Para medir la velocidad de rotación de cada rueda se ha elegido el encoder modelo E5S de la compañía US Digital. Debido a que sólo estamos interesado 11
en calcular la velocidad de las ruedas y no su posición, se ha utilizado únicamente una de las 2 señales de los encoders y para calcular de la velocidad lo que se hace es contar el número de pulsos de cada encoder Por cada ciclo de control.
Figura 4.7. Encoders.
Controladora de motores.
Se ha elegido el modelo NPC-AX2550 de la casa RoboteQ, el cual se alimenta a 24V y tiene salida para 2 motores. Las consignas de control se le pueden especificar de 3 formas distintas: -Con señales PWM. -Con señales analógicas. -Con el puerto serie, a partir de un protocolo de comunicaciones.
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Figura 4.8. Controladora de motores.
Caja de la electrónica.
Se ha construido una caja de aluminio donde se ha instalado gran parte de la electrónica anteriormente comentada. En esta caja tenemos los siguientes componentes: - Placa del microcontrolador. - Circuito conversor de tensiones: a partir de los 24V de las baterías obtenemos los 9V y 5V necesarios para la electrónica. - Programador del microcontrolador. - Todas las señales de entrada y salida del microcontrolador.
Figura 4.9 Caja de la electrónica.
Caja de control del vehículo. 13
Esta caja de plástico está instalada sobre el manillar del vehículo y está compuesta por: - Interruptor que activa o desactiva la alimentación de la placa controladora de motores y por lo tanto de los motores. - Pulsador utilizado como medida de seguridad, a partir del instante en el que el controlador está activado, si el pulsador lleva más de medio segundo sin estar pulsado, entonces el control se para y el microcontrolador indica a la placa controladora de los motores que realice una parada de emergencia. - LED rojo que indica el estado del controlador, existen 3 posibles estados: Si el LED está encendido el controlador está parado. Si el LED parpadea, entonces el control está activo. Si el LED está apagado es que se ha producido una parada de emergencia.
Figura 4.10. Caja de control del vehículo.
Puño de dirección.
Se ha utilizado un puño de aceleración de las motos eléctricas para indicar las referencias en la dirección del vehículo. Este puño está alimentado a 5V y da una señal que varía entre 0V y 5V en función de la rotación de éste.
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Figura 4.11. Puño de dirección.
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5. Idealización del problema.
Para resolver este problema vamos a tomar algunas consideraciones. En primer lugar tomaremos como referencia un modelo de péndulo invertido como el que se muestra en la figura 5.1.
Figura 5.1. Modelo idealizado.
Definimos la lista de componentes a continuación y distribuimos sus pesos en función de la posición en la que se encuentren, diferenciando entre zona roja y zona azul. COMPONENTES Chasis Base Chasis Manillar Ruedas Adaptador Eje – Ruedas Motor tornillos 5/16-24-UNF de longitud 25 mm tornillos 5/16-24-UNF de longitud 16 mm tornillos Métrica 8mm de longitud 10 mm tornillos Métrica 8mm de longitud 16 mm Baterías (12V) Puño de dirección
CANTIDAD x1 x1 x2 x1 x1 x6 x4 x4 x4 x2 x2
Componentes electrónicos: Microcontrolador Inclinómetro Encoder Controladora de motores Caja de la electrónica Caja de control de vehículo
ZONA ROJA AZUL ROJA ROJA ROJA ROJA AZUL ROJA ROJA AZUL ROJA
x1 x1 x1 x1 x1
PESO (kg) 3 2 28 0,2 5 0,12 0,08 0,06 0,08 5 0,6 44,14 3,1 0,5 0,3 0,3 0,4 1 0,6 16
TOTAL TOTAL ROJO TOTAL AZUL
47,24 16,58 2,66
Tabla 5.1. Lista de componentes.
Asumamos que: M m b l I
masa del carro masa del péndulo fricción del carro longitud al centro de masa del péndulo inercia del péndulo
16.5 kg 2.6 kg 0.1 N/m/seg 0.3 m 0.006 kg*m^2
F fuerza aplicada al carro x coordenadas de posición del carro theta ángulo del péndulo respecto de la
vertical Tabla 5.2. Parámetros y va riables del modelo.
Para las secciones de PID, root locus, y respuesta en frecuencia de este problema sólo estamos interesados en el control de la posición del péndulo. Esto es porque las técnicas usadas en estos tutoriales solo pueden aplicarse a sistema una-entrada-una-salida (SISO). Por lo tanto, ninguno de los criterios de diseño lidia con la posición del carro. En estas secciones asumimos que el sistema comienza en el equilibrio, y experimenta una fuerza impulsiva de 1N. El péndulo debe volver a su posición vertical dentro de los 5 segundos, y nunca moverse más que 0.05 radianes fuera de la vertical. Los requerimientos de diseño para este sistema son:
Tiempo de establecimiento menor que 5 segundos. Ángulo del Péndulo nunca mayor que 0.05 radianes de la vertical.
Sin embargo, con el método de espacio de estado seremos más capaces de manejar un sistema multi-salida. Por lo tanto, para esta sección del ejemplo del Péndulo Invertido intentaremos controlar tanto el ángulo del péndulo cuanto la posición del carro. Para hacer más desafiante el diseño hemos de aplicar una entrada escalón al carrito. El carrito debe lograr estar en su posición deseada dentro de los 5 segundos y tener un tiempo de subida menor que 0.5 segundos. Además limitaremos el sobrepico del péndulo a 20 grados (0.35 radianes), y también deberá establecerse antes de los 5 segundos.
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Los requerimientos de diseño para el ejemplo en espacio de estado del Péndulo Invertido son:
Tiempo de establecimiento de x y theta menor que 5 segundos. Tiempo de Subida para x menor que 0.5 segundos. Sobrepico de theta menor que 20 grados (0.35 radianes).
6. Análisis de las fuerzas y sistema de ecuaciones
Abajo figuran los dos diagramas de cuerpo libre del sistema.
Figura 6.1. Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento:
̈ ̇
Note que también puede sumar las fuerzas en la dirección vertical, pero no se ganará ninguna información útil. Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la dirección horizontal, puede obtener an ecuación para N:
̈ ̈ ̇ ̈̇ ̈ ̇
Si sustituye esta ecuación en la primera ecuación, se obtiene la primera ecuación del movimiento de este sistema: (1)
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Para obtener la segunda ecuación de movimiento, sume las fuerzas perpendiculares al péndulo. Si resuelve el sistema a lo largo de este eje se ahorrará un montón de álgebra. Debería obtener la siguiente ecuación:
̈ ̈ ̈ ̈ ̈
Para librarse de los términos P y N en la ecuación anterior, sume los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:
Combinando estas dos últimas ecuaciones, se obtiene la segunda ecuación dinámica: (1)
Linealización
Como Matlab solo puede trabajar con funciones lineales, este conjunto de ecuaciones debería ser linealizado. Para ello, observamos como en la Fig. 6.2, se da una serie de rangos en los que se presenta el comportamiento del modelo dependiendo de la zona en la que se encuentre el péndulo en cada momento, es decir, dependiendo del valor del ángulo:
Figura 6.2. Modelo usado en función del ángulo del péndulo.
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Por ello, comenzamos haciendo la linealización alrededor de = Pi. Definimos las condiciones en el punto de equilibrio asumiendo que theta = Pi + ø(ø representa un pequeño ángulo en la dirección vertical). Por lo tanto,
̇ ̈ ̈ ̈̇ ̈ = -1,
= -ø, y
=0.
Luego de la linealización, las dos ecuaciones de movimiento serán:
Donde u representa la señal de entrada.
7. Análisis por externa.
A continuación, pasaremos al análisis por externa de nuestro modelo propiamente dicho en el entorno de Simulink. Las siguientes imágenes muestran el modelo correspondiente a las ecuaciones representadas anteriormente. Este representará el modelo de un carro con péndulo invertido al que se le aplicará una fuerza externa y se estudiará la respuesta del sistema ante diferentes magnitudes de entrada de esta.
Figura 7.1. Análisis por externa.
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Los impulsos que meteremos de entrada serán de 10, 100 y 1000 Newton. Despl. (m) Ángulo (θ) Impulso (N)
Figura 7.2. Análisis por externa. Impulso de 10 Newton.
t (s)
Despl. (m) Ángulo (θ) Impulso (N)
t (s) Figura 7.3. Análisis por externa. Impulso de 100 Newton.
Despl. (m) Ángulo (θ) Impulso (N)
Figura 7.4. Análisis por externa. Impulso de 1000 Newton.
t (s)
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Observamos que a medida que aumentamos la fuerza del impulso, el sistema se desestabiliza antes, siendo el impulso de 1000 el que antes lo desestabiliza y el de 10 el que menos. Podemos deducir de la gráfica que es el ángulo del péndulo el que aumenta antes y como consecuencia de dicho aumento, se produce el movimiento del carro. A medida que aumenta el ángulo mayor será el desplazamiento del carro. Por tanto, para mayor velocidad angular, mayor velocidad de desplazamiento. Para controlar nuestro sistema deberíamos introducir un controlador del impulso de entrada y en función de dicha entrada, tendríamos más tiempo para actuar sobre el sistema, si la señal es mayor; o menos tiempo, si la señal es menor. Despl. (m) Ángulo (θ) Escalón (N)
Figura 7.5. Análisis por externa. Escalón d e 60 Newton.
t (s)
También podemos observar cómo reacciona nuestro sistema ante una fuerza constante, que se representaría mediante una función escalón. En este caso la fuerza constante es la gravitatoria calculada previamente al hacer el producto entre la masa del modelo carro-péndulo y la constante gravitatoria, obteniendo como resultante una fuerza de aproximadamente 60 Newtons. Si comparamos la respuesta un escalón de 60N con la respuesta a un impulso de 100N observamos que a pesar de ser menor la magnitud de la fuerza, al aplicarla de manera constante el sistema se desestabiliza mucho antes, por lo que también tendríamos que considerar este tipo de fuerzas a la hora de diseñar un actuador.
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Función de transferencia Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado tenemos que tomar previamente la transformada de Laplace de dichas ecuaciones:
Como estamos analizando el ángulo despejamos de la primera función X(s) para sustituir en la segunda:
() ;
Por tanto obtendríamos la siguiente función de transferencia:
Donde,
Podemos observar que hay un polo y un cero en el origen, estos se cancelan dando lugar a la expresión final:
Sustituyendo los valores obtenidos de nuestro diseño obtenemos la función de transferencia de nuestro sistema:
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Cálculo y análisis de los polos Para calcular los polos debemos centrarnos en la ecuación característica:
=0
Para resolver la ecuación, cuya estructura equivale a : a* + b* + c* + d = 0
(Nótese que he cambiado el signo de algunos coeficientes del enunciado para ponerlos todos positivos) Naturaleza de las raíces
Sean p = b – a^2/3= -0.994 q = c + (2*a^3 – 9*a*b) / 27 = -36.65 Sea Δ = 27*(4*p^3+27*q^2)= 979103.13
o bien, Δ = 4*b^3*d - b^2*c^2 + 4*a*c^3 - 18*a*b*c*d + 27*a^2*d^2 =-198046.7 Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas. Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra
simple, todas reales. Si Δ < 0 existen tres raíces reales. SOLUCIONES usando a, b, c y d
Sean q = (9*a*b*c – 27*a^2*d – 2*b^3) / (54*a^3) = 1833.83 r = raiz(( (3*a*c-b^2) / (9*a^2) )^3 + q^2) = (Nótese que q ahora ha cambiado de valor, lo hago así para ser coherente con las fuentes que pongo abajo).
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Ahora sean s = (q + r)^(1/3) …. (raíz cúbica)
t = (q - r)^(1/3) …. (raíz cúbica) Las soluciones son X1 = s + t – b/(3*a) = 6.05972 X2 = -(s+t)/2 – b/(3*a)+(raiz(3)/2)*(s-t)*i=-6.0605 X2 = -(s+t)/2 – b/(3*a) - (raiz(3)/2)*(s-t)*i = 0.00523
(i=raiz(-1))
Además, para comprobarlo hemos ido al espacio de matlab, donde introduciendo la ecuación característica en forma matricial, y con la orden roots obtenemos las tres raíces directamente:
Figura 7.6. Búsqueda de polos en el entorno de Matlab.
Simulink A continuación trasladaremos nuestra función de transferencia a Simulink para estudiar el comportamiento de nuestro sistema para diferentes señales de entrada:
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Figura 7.7. Función de transferencia.
Ángulo (θ) Impulso (N)
Figura 7.8. Función de transferencia. Impulso de 10 Newton.
t (s)
Ángulo (θ) Impulso (N)
Figura 7.9. Función de transferencia. Impulso de 100 Newton.
t (s)
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Ángulo (θ) Impulso (N)
Figura 7.10. Función de transferencia. Impulso de 1000 Newton.
t (s)
En la función de transferencia estudiamos la relación entre la señal de entrada y la señal de salida, que en este caso sería un impulso como entrada para dar como salida el ángulo del péndulo. Con esta demostración obtenemos podemos verificar nuevamente como actúa el sistema ante el aumento de la fuerza de entrada. En este caso, también se observa como a medida que aumentamos la fuerza el sistema llega a desestabilizarse antes, respondiendo peor a fuerzas de 1000 Newton.
8. Análisis por interna.
Desarrollando las ecuaciones linealizadas de nuestro sistema se puede representar en forma de espacio de estado. Para el cálculo de la ecuación de observación:
̇ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇̈ ̈ ̈ ̇
De las ecuaciones linealizadas obtenemos que:
Despejando en función de
y o también llamados
y
:
27
̇ ̈ () () ;
̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̈ ̈ ̈ ̇ ̈ ̇
De las ecuaciones linealizadas obtenemos que:
Despejando en función de
y o también llamados
y
:
;
La ecuación de observación tendría esta forma:
̇̈ () ̇ ̇̈ [ ] ̇ [ ]
Para determinar la ecuación de estado de nuestro sistema analizaremos las , variables
̇̇
Sustituyendo los parámetros de nuestro producto obtendremos las matrices siguientes:
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[ ] [ ] La matriz C es de 2 por 4 porque la posición del carro y la posición del péndulo son parte de la salida. En el primer renglón de salida se describe la posición del carro y en el segundo el ángulo del péndulo.
La matriz D representa el control de la realimentación del motor externo, que valdría para equilibrar nuestro sistema. En este caso, no tiene control, ya que el modelo de estudio que estamos analizando resulta autónomo, carente de realimentación. Cálculo de autovectores y autovalores Para ello, acudimos al Teorema de Cayley-Hamilton. Éste plantea que la matriz A satisface su propia ecuación característica. Para ello, se calcula el determinante de la matriz [ I – A], siendo I la matriz identidad.
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| |
[ I – A]=
=
=
Seguidamente, calculamos el determinante de dicha matriz:
Siendo esta la ecuación característica, calculamos los polos del sistema. Para ello, acudimos nuevamente al entorno de matlab, donde se obtienen las soluciones directamente:
Figura 8.1. Cálculo de soluciones en el entorno de Matlab.
Por tanto, los polos obtenidos son:
=0 =3.9038 =-3.9034 =-0.0607
Con ello se puede observar que hay un polo en el semiplano derecho del plano de la frecuencia compleja . De esto se deduce que el sistema del péndulo invertido es inestable. A continuación, para el cálculo de autovectores, resolvemos la siguente igualdad: 30
[
I – A]·[
=
Siendo el valor de los distintos autovalores calculados anteriormente, y la matriz que represente al autovector correspondiente a dicho valor de . Para la resolución de los autovectores hemos utilizado la función ‘eigenvectors’ del
programa online http://www.wolframalpha.com/: Por tanto, -
Para
=0
[
I – A]·[
=
Donde al despejar podemos definir
-Para
[
·
=
=
=-3.9034
I – A]·[
=
Donde al despejar podemos definir:
-Para
=
=
Donde al despejar podemos definir:
[
=
=3.9038
I – A]·[
-Para
·
·
=
=
=-0.0607
31
[
I – A]·[
=
·
Donde al despejar podemos definir:
=
=
Figura 8.1. Cálculo autovalores y autovectores Wolframalpha
̇ ̇
A partir de nuestras ecuaciones de observación podemos representar en el espacio de fase entre las variables y , que se corresponderán con la x e y. Se relacionan por tanto mediante las siguientes ecuaciones teniendo en cuenta que la señal de entrada será para este caso una señal escalón igual a 1: x’=-0.0604x+0.6222y+0.0250u y’=0.0081x+15.2382y+0.0813u
32
Utilizando el la extensión PPlane8 de Matlab obtenemos las siguiente representación del espacio de fase entre la velocidad del carro y la velocidad angular de la barra móvil.
Al igual que hemos ido observando a lo largo del desarrollo del trabajo podemos observar que el sistema es inestable tenga la dirección que tenga la velocidad angular.
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Simulink A continuación trasladaremos el modelo a Simulink para estudiar el comportamiento de nuestro sistema para diferentes señales de entrada.
Figura 8.1. Análisis por interna.
Las siguientes gráficas representan las distintas respuestas del sistema que ha proporcionado el sistema ante una señal de impulso de diferentes magnitudes.
Ángulo (θ) Despl. (m) Impulso (N)
Figura 8.2. Análisis por interna. Impulso de 10 Newton.
t (s)
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Ángulo (θ) Despl. (m) Impulso (N)
Figura 8.3. Análisis por interna. Impulso de 100 Newton.
t (s)
Ángulo (θ) Despl. (m) Impulso (N)
Figura 8.4. Análisis por interna. Impulso de 1000 Newton.
t (s)
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9.
Análisis no lineal de un péndulo i n vertido
El análisis no lineal de sistemas de péndulos invertidos es necesario ya que por medio de ellos se pueden generar mejores estrategias de control que presenten una mejor dinámica y un mejor comportamiento del sistema frente a cambios y pe rturbaciones. El análisis de este tipo de sistemas presenta una variedad de comportamientos complejos, característica de los sistemas no lineales, tales como múltiples puntos de equilibrio, ciclos limites, escape de tiempo finito, bifurcaciones y caos entre otros. Este sistema de péndulo invertido se analizara por medio de métodos numéricos y el programa Matlab, con el fin de observar esta clase de comportamientos y la estabilidad de los puntos de equilibrio. Supongamos un sistema de péndulo invertido de la siguiente f orma:
Fig. 1. Sistema péndulo invertido
̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̈
Estas son las ecuaciones que rigen el sistema del péndulo invertido modelado. Una vez se tienen estas ecuaciones, es necesario despejar la variable de mayor orden. En este caso suponemos que la masa del péndulo está concentrada en el extremo de la barra de tal forma que la inercia de la barra es 0.
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̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̈ Para sacar las ecuaciones reales del sistema, reemplazamos cada ecuación en la otra, para así obtener ecuaciones que no dependan de su variable de mayor orden. Las ecuaciones resultantes son:
̇ ̈ ̈ ̇ ̇ ̇ ̈
Una vez se tienen estas dos ecuaciones, se convierten a variables de estado, definiendo las variables de estado como:
̇ ̈ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇
̇
Teniendo como base estas variables de estado se procede a reemplazar los términos anteriores en las ecuaciones anteriores y así obtener las ecuaciones de variables de estado:
̇ ̇
37
̇
Por medio de identidades trigonométricas, estas ecuaciones pueden reescribirse de la siguiente f orma:
̇ ̇ ̇
Obtención de los puntos de equilibrio:
Como se puede apreciar en las ecuaciones anteriores, no hay un término que indique la posición en variables de estado. Esto es debido a que el sistema mecánico no tiene ninguna restricción que haga que su comportamiento dependa de la posición lineal en la que se encuentra. Los puntos de equilibrio se hallan si se aplica la siguiente f ormulación:
̇
; F(x)=0
Utilizando la función solve del programa matlab, fácilmente podemos obtener los puntos de equilibrio del sistema, teniendo en cuenta que al hacer las derivadas iguales a cero, el valor es igual a cero y se puede reemplazar en las otras dos ecuaciones, obteniendo los puntos de equilibrio restantes. El primer punto es (F/b, 0, 0), esto es cuando la variable de la velocidad lineal del sistema X1=F/b la
variable que indica el ángulo del péndulo X 2 = 0 y la variable que indica la velocidad angular del sistema X3= 0. El segundo punto de equilibrio es (F/b, pi, 0); en donde la única variable que cambia es la variable X 2 = pi Esto quiere decir que el otro punto de equilibrio del sistema es cuando el ángulo del péndulo es pi radianes, y las otras variables son iguales a las condiciones del punto de equilibrio anterior. Mecánicamente en el modelo se puede observar que estos dos puntos de equilibrio son factibles, ya que el primer punto de equilibrio es cuando el péndulo está en su posición vertical hacia abajo, sin ninguna velocidad angular y la fuerza es igual a la fricción. El
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segundo punto muestra este mismo comportamiento pero el péndulo está en su posición vertical hacia arriba. Análisis de estabilidad de los puntos de equilibrio: En el análisis de sistemas dinámicos no lineales es necesario conocer la estabilidad de los puntos de equilibrio para saber qué clase de estabilidad dirige el punto de equilibrio y saber el comportamiento del sistema alrededor de esos puntos. Tomando como referencia la ecuación general en variables de e stado:
̇
Se linealiza alrededor de los puntos de equilibrio, para saber qué clase de estabilidad posee el punto de equilibrio. Para linealizar alrededor de un punto de equilibrio, se encuentra primero la matriz jacobiana de A, la cual está compuesta por las derivadas de las funciones con respecto a las variables que la integran. Realizando este ejercicio obtenemos:
̇ ) ̇ ̇ ̇ ( ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ̇
=
= =
=0
(
)
=0
=1
=
(
)
Siendo la matriz jacobiana de la siguiente f orma:
̇ ̇̇ [
A=
̇ ̇̇
̇ ̇̇ ]
39
Al analizar estas matrices con un valor de b = 0.1, las matrices que obtenemos serian:
A|p(F/b,0,0)=
A|p(F/b,π,0)=
Lo que para la primera matriz nos da unos autovalores de: λ1,2=
-4
6.76·10 ±6.4i
λ3=
0.0046
Lo cual lo hace un foco inestable debido a su autovalor positivo y a su par de autovalores reales y complejos positivos. Cuando se evalúa la segunda matriz se obtienen:
λ1=
6.4
λ2=
-6.4
λ3=
0.007
Lo cual hace de este punto un punto de silla inestable. Cuando evaluamos las matrices anteriores con un b = 0, obtenemos las siguientes matrices y sus respectivos autovalores:
A|p(100,0,0)= A|p(100,0,0):
λ1=
A|p(100,π,0)=
6.4i
λ2=
-6.4i
λ3=
0
Lo que lo convierte en otro centro.
A|p(100,π,0):
λ 1=
6.4
λ2=
-6.4
λ3=
0
Este también es un punto de silla inestable. 40
Una vez se tienen estas matrices evaluadas en los puntos de equilibrio, podemos hallar los autovalores del sistema para encontrar la clase de estabilidad que se puede observar sobre los puntos de equilibrio y en una vecindad cercana a estos. Analicemos los autovalores de la matriz cuando el punto p = (100, 0, 0):
λ1,2=
-4
- 6.76·10 ±6.4i
λ3=
- 0.0046
Se puede analizar que la estabilidad del punto P = (100, 0, 0) presenta un autovalor real negativo, lo que hace que el sistema sea estable, y los otros dos autovalores hacen que este punto de estabilidad, presente un comportamiento tipo foco estable, debido a su parte real negativa y su componente compleja. Cuando se analiza el punto P = (100, π, 0), obtenemos lo siguiente: λ1=
6.4
λ2=
-6.4
λ3=
- 0.007
Se puede apreciar que uno de los autovalores es positivo y los otros dos son negativos, lo que convierte este punto de equilibrio en un punto de silla inestable, con dos variedades estables y una inestable. Al introducir condiciones iniciales de velocidad lineal y velocidad angular, teniendo el ángulo en 0, el comportamiento del sistema es oscilatorio con tendencia al punto de equilibrio estable, debido a sus autovalores reales negativos con parte compleja. Se puede apreciar que la más mínima variación en sus condiciones iniciales, hace que el sistema vaya del punto de equilibrio inestable a los puntos de equilibrio estables.
Cambio cualitativo de los puntos de equilibrio (variabilidad de parámetros): Un sistema dinámico posee diferentes cualidades que dependen de los parámetros físicos del sistema. Estos parámetros al cambiar, pueden generar un cambio de cualidades en el sistema, haciendo que los puntos estables y sus estabilidades cambien. En el péndulo invertido, el único valor constante que nunca cambia es la gravedad con un valor de 9.81m/s^2. Los otros valores de los cuales depende el sistema son las masas del carro y del péndulo (m, M), la longitud del péndulo (l), la fricción de la masa M con respecto a la superficie, que en nuestro caso está relacionado con la fricción de las pequeñas ruedas adosadas a la masa M y la fuerza (F) que es la entrada al sistema.
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Fricción: Analicemos primero el comportamiento de fases cuando la fricción es variable y el punto de equilibrio es (100, 0, 0): Cuando la fricción del sistema es 0, al aplicar una fuerza muy pequeña, al no existir fuerzas disipativas, se presenta un comportamiento de oscilación perpetua. Al tener una fricción mayor que cero, el punto de estabilidad permanece estable. Ahora se hace el mismo análisis cuando el punto de equilibrio es (100, pi, 0): Al igual que en el caso anterior, se observa un comportamiento de oscilación perpetua al no haber fricción en el sistema. Se puede observar que el sistema tiende al mismo punto de equilibrio, lo que hace que la fricción no cambie el comportamiento del sistema. Masas y longitud del péndulo: Análisis del sistema y la variabilidad de los puntos de equilibrio cuando las masas y la longitud son variables: Cuando la masa del péndulo m es variable al igual que su longitud, el comportamiento del sistema es constante, tendiendo siempre a los puntos de equilibrio ya definidos, sin que haya un cambio en estos puntos de equilibrio. Fuerza: Ahora analicemos el comportamiento cualitativo alrededor de los puntos de equilibrio cuando la fuerza es variable:
10. Conclusion es
El sistema de péndulo invertido escogido, presenta ciclos limites virtuales; esto es, cuando no hay fricción el sistema tiende a un ciclo de oscilación perpetua, en el cual nunca llega al equilibrio, sin embargo como es un sistema mecánico en el cual la fricción siempre existe, entonces siempre tiende al equilibrio. Los puntos de equilibrio hallados, dependen del cociente f/b, sin embargo en las gráficas, se puede ver que el efecto de la fricción es generar ciclos limites sobre el punto de equilibrio. La acción de la fuerza hace que el punto de equilibrio se desplace, lo que hace que cambie el punto de equilibrio. Sin embargo, esto no hace que cambien las cualidades del sistema, esto es, que el punto estable se vuelva inestable o que los puntos estables se vuelvan estables. Al generar evaluaciones virtuales de los puntos de equilibrio, los autovalores cambia n, haciendo que los puntos de equilibrio estables para el ángulo 0, se vuelvan inestables al haber fricción negativa, concluyendo que hay un cambio cualitativo en ese punto de equilibrio.
Para un sistema basado en el péndulo invertido observamos que el sistema va a ser siempre inestable independientemente del tipo de señal que reciba el sistema. Necesariamente para alcanzar un sistema estable partiendo del péndulo invertido necesitaremos aplicar un sistema de control a nuestro sistema que consistirá en un motor eléctrico que se active antes de que el sistema explosione y se desestabilice. En 42
