Modelo De Transporte Como Técnica De Localización MÉTODO DE TRANSPORTE Esta técnica es una aplicación de la programación programación lineal. Para este tipo de problemas se considera que existe una red de fábricas, almacenes o cualquier otro tipo de puntos, orígenes o destinos destinos de unos unos flujos de bienes. La localización localización de nuevos nuevos puntos en la la red afectará a toda ella, provocando provocando reasignaciones reasignaciones y reajustes reajustes dentro del del sistema. El método de transporte permite encontrar encontrar la mejor distribución distribución de los flujos mencionados mencionados basándose, basándose, normalmente en la optimización de los costes de transporte (o, alternativamente, del tiempo, la distancia, distancia, el beneficio, etc.) En los problemas de localización localización,, este método puede puede utilizarse para analizar la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez y en general para cualquier reconfiguración reconfiguración de la red. En cualquier caso, debe ser aplicado aplicado a cada una de las alternativas a considerar para determinar la asignación de flujos óptima. Para utilizar el método de transporte hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la la demanda por período para cada uno. 3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de transporte, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo. Para crear la matriz de transporte deben seguirse los siguientes pasos: 1. Crear una fila que corresponda corresponda a cada planta (existente (existente o nueva) que se esté considerando y crear una columna para cada almacén. 2. Agregar una columna columna para las capacidades capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos. 3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde una planta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas. En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una demanda de unidades y los costos de embarque en las nuevas celdas creadas son igual a $0, pues en realidad esos embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si los requerimientos exceden a la capacidad por unidades, se agrega una fila más (una planta ficticia) con capacidad de unidades y se asignan costos de embarque iguales a los costos faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de unidades se necesita en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas las demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio.
Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de menor costo que satisfaga todas las demandas y agote todas las capacidades. Este patrón se determina mediante el método de transporte, el cual garantiza que se hallará la solución óptima. La matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior, cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado. En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1. En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a la primera matriz. Esta técnica es particularmente usada en organizaciones que producen el mismo producto en numerosas plantas y que envía sus productos a diferentes destinos (Centros de distribución, almacenes). También se aplica en distribución, análisis de localización de plantas y programación de la producción. Se han desarrollado diferentes enfoques para resolver este problema de distribución, tales como: El método de la esquina noroeste, el método modificado de la esquina noroeste (celda mínima), método del trampolín (Cruce de arroyo, stepping stone), método de la distribución modificada (MODI), método de aproximación de Vogel y el método simplex.
Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe reunir tres condiciones:
1) La función objetivo y las restricciones deben de ser lineales. 2) Los artículos deben de ser uniformes e intercambiables, los coeficientes de todas las variables en la ecuación deben de ser 0 o 1. 3) La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a la suma de los requerimientos de los destinos, si alguna desigualdad existe una variable de holgura deberá ser añadida. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE. Una cierta clase de problemas de programación lineal, conocida como problema de transporte se da muy frecuentemente en aplicaciones prácticas. El problema general de transporte puede ser formulado como sigue: Un producto está disponible en ciertas cantidades conocidas en cada uno de los m orígenes. Es requerido que ciertas cantidades de un producto sean transportadas a cada uno de los n destinos. El mínimo costo de transportar una unidad de cualquier origen a cualquier destino
es conocido. Se desea determinar el programa de los envíos que minimiza el costo total de transporte. Sea ai la cantidad de producto disponible en el origen i y bj la cantidad de producto requerida en el destino j. El costo de transportar una unidad de origen i al destino j será escrita como cij. Se asumirá que la cantidad disponible sea igual a la cantidad producida.
Entonces xij es la cantidad transportada del origen i al destino j. Se desea encontrar las , las cuales satisfagan las m + n restricciones.
El número de celdas asignadas, será igual a m + n + 1
Representación Tabular.
Todas la celdas no asignadas son iguales a cero, por ejemplo si tenemos una matriz del tamaño de 6x4 (m = 6 y n = 4), entonces el numero de celdas asignadas (valores de xij
diferentes de cero) será m + n - 1 = 9, y las celdas no asignadas ( con valores de xij = 0 ) serán 6(4)-9=15.
Métodos para obtener la primera Solución Inicial Básica Como el saso de método Simples, el algoritmo de transporte consiste en empezar con una solución inicial y moverse de una solución básica a otra en un numero de finito de iteraciones. En el método de transporte, sin embargo, la solución inicial no es solución factible cero, (Z = 0, todas las variables reales son iguales a cero) si no una de las posibles soluciones.
a) Método de la esquina Noroeste La regla de la esquina noroeste muestra como obtener una rápida solución inicial. Esta no toma en consideración el costo de enviar una unidad de un centro de distribución a un centro de consumo. • Paso 1.-
Se obtiene realizando una asignación que no considera costos o beneficios. Inicia en la celda superior izquierda (esquina noroeste) de la tabla. De no existir alguna ir al Paso 3, de otra forma ir al Paso 2. • Paso 2.-
Asignar a esta celda la cantidad menor entre lo requerido y lo disponible (menor cantidad entre restricciones de esa fila y esa columna). Reste la cantidad asignada de lo disponible en la capacidad y lo requerido (restricción de la fila y la columna respectivamente), y elimine la fila o la columna que quede a nivel cero en su restricción, ir a Paso 1. • Paso 3.-
La solución inicial factible ha sido obtenida.
EJEMPLO N° 1:
Una empresa de desarrollo de software cuenta con personal distribuido entre 3 centros de trabajos: Lima, Trujillo y Arequipa. Actualmente, se encuentran planificando hacia qué zonas enfocar su trabajo, pues el tener gente trabajando en otros lugares distintos a los anteriormente mencionados implica costos de traslado, comida y de permanencia, que al final se traducen en un costo mayor de desarrollo del software. Para esto, ha decidido realizar un cálculo para determinar cómo debe hacer la asignación de su gente entre las distintas ciudades de modo de hacerlo al costo mínimo. Las zonas de trabajo de interés son Huancayo, Pucallpa, Ica y Chimbote en las cuales requieren 20, 65, 55 y 25 personas respectivamente. A su vez, se cuenta con 75 personas disponibles en Lima, 60 en Trujillo y 30 en Arequipa. Los costos asociados son:
Lima Trujillo Arequipa
Huancayo
Pucallpa
Ica
Chimbote
11 16 10
22 30 22
5 13 4
5 15 9
Formule un modelo que permita obtener una solución óptima. Utilice los tres métodos para establecer la solución básica factible y luego calcule la solución óptima a partir del método del costo mínimo.
Lima Trujillo Arequipa Demanda
Huancayo 11 16 10 20
Pucallpa 22 30 22 65
Ica 5 13 4 55
Chimbote 5 15 9 25
Oferta 75 60 30
FORMULACION DEL MODELO Función Objetivo: Minimizar costos de asignación de gente entre las distintas ciudades
Variable de decisión: X11= Número de trabajadores que son enviados de Lima a Huancayo. X12= Número de trabajadores que son enviados de Lima a Pucallpa. X13= Número de trabajadores que son enviados de Lima a Ica. X14= Número de trabajadores que son enviados de Lima a Chimbote. X21= Número de trabajadores que son enviados de Trujillo a Huancayo. X22= Número de trabajadores que son enviados de Trujillo a Pucallpa. X23= Número de trabajadores que son enviados de Trujillo a Ica. X24= Número de trabajadores que son enviados de Trujillo a Chimbote. X31= Número de trabajadores que son enviados de Arequipa a Huancayo. X32= Número de trabajadores que son enviados de Arequipa a Pucallpa. X33= Número de trabajadores que son enviados de Arequipa a I ca. X34= Número de trabajadores que son enviados de Arequipa a Chimbote.
Función Objetivo: Minimizar Z = 11X11+ 22X12+ 5X13+ 5X14+
16X21+ 30X22+ 13X23+ 15X24+
10X31+ 22X32+ 4X33+ 9 X34
Restricciones: Oferta:
X11+ X12+ X13+ X14= 75 X21+ X22+ X23+ X24=60 X31+ X32+ X33+ X34=30
Demanda:
X11+ X21+X31= 20 X12+ X22+ X32= 65 X13+ X23+ X33=55 X14+ X24+ X34= 25 Xij ≥ 0
SOLUCION BASICA FACTIBLE
METODO ESQUINA NOROESTE:
Lima Trujillo Arequipa Demanda
Huancayo
Pucallpa
Ica
Chimbote
Oferta
(1)20
(2)55
0 0 20
(3)10
0 65
0 (4)50 (5)5 55
0 0 (6)25 25
75 60 30 165
0
10
5
0
0
0
1
(S1, D1)= (75, 20)
2
(S1, D2)= (55, 65)
3
(S2, D2)= (60, 10)
4
(S2, D3)= (50, 55)
5
(S3, D3)= (30, 5)
6
(S3, D4)= (25, 25)
55
50 25
0 0 0
X11= 20
X21= 0
X31= 0
X12= 55
X22= 10
X32= 0
X13= 0
X23= 50
X33= 5
X14= 0
X24= 0
X34=25
b) Método modificado de la esquina noroeste. La solución inicial factible generada por el método de la esquina noroeste puede ser una solución a partir de la cual llegar a la solución optima requerida un proceso largo y tedioso con numerosas interacciones. Una modificación que acorta esto es el método modificado de la esquina noroeste. Este método requiere una reorientación de la esquina inicial con la más óptima asignación de tal forma que las cantidades disponibles y requeridas se encuentren satisfechas. Esta regla intenta tener una muy buena solución de tal manera que sean necesarios un menor número de cálculos interactivos. Esta regla no asegura la optimización en la primera solución factible, pero generalmente requiere un número limitado de interacciones. Esta aproximación tiende a colocar la situación más deseable en la esquina noroeste (aquella celda que tenga menor costo), la diferencia con el método de la esquina noroeste es precisamente el desarrollo de la primera tabla factible. El resto del procedimiento es idéntico.
Algoritmo de Método. 1) Empieza analizando las celdas no asignadas 2) Identifica la celda no asignada que tenga el menor costo Cij en la matriz y asigne en ella tanto como sea posible debido a las restricciones con la f ila y columna. 3) Reduzca lo asignado del correspondiente requerimiento y disponibilidad, eliminando la columna o fila correspondiente a estas que se haya reducido a cero. 4) Continúe con la fila o columna no eliminada y asigne en la celda que tenga menor costo. Si se ha terminado de asignar, ir al paso 2. 5) Repita el paso 2 hasta que lo requerido y lo disponible sea asignado.
EJERCICIO N° 2 Una empresa de electricidad tiene 4 plantas termoeléctricas que son abastecidas por 3 distribuidoras de petróleo. La oferta total de petróleo de las distribuidoras es igual a los requerimientos totales de las plantas termoeléctricas. Existe un costo de transporte de una unidad desde cada distribuidora a cada planta. En la tabla que se muestra a continuación se indican la oferta disponible, los requerimientos y los costos de transporte por unidad.
Distribuidora
Planta 1
2
3
4
1 2 3
2 5 1
3 4 3
4 3 3
5 1 2
Demanda
6
11
17
12
SOLUCION ÓPTIMA: Objetivo: Minimizar los costos de transportes. Variable de decisión: X11= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 1 a la planta 1. X12= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 1 a la planta 2. X13= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 1 a la planta 3. X14= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 1 a la planta 4. X21= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 2 a la planta 1. X22= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 2 a la planta 2. X23= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 2 a la planta 3. X24= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 2 a la planta 4. X31= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 3 a la planta 1. X32= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 3 a la planta 2. X33= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 3 a la planta 3. X34= Cantidad de petróleo distribuido por la distribuidora 3 a la planta 4.
Función Objetivo: Minimizar Z = 2X11+ 3X12+ 4X13+ 5X14+
5X21+ 4X22+ 3X23+ 1X24+ 1X31+ 3X32+ 3X33+ 2X34
Oferta 14 15 17
Restricciones: Oferta: X11+ X12+ X13+ X14= 14 X21+ X22+ X23+ X24=15 X31+ X32+ X33+ X34= 17
Demanda: X11+ X21+X31= 6 X12+ X22+ X32= 11 X13+ X23+ X33=17 X14+ X24+ X34= 12 Xij ≥ 0 SOLUCION BASICA FACTIBLE: METODO COSTO MINIMO: Planta
Distribuidora
1 2
1 2
0
Demanda
3
3 3
11
0
4
0
4
3
0
4
3
2
5
3
11
17
12
0
0
14
0
3 0 2 (S2, D4)
(15, 12)
3 (S1, D2)
(14, 11)
4 (S2, D3)
(3, 17)
5 (S3, D3)
(11, 14)
6 (S1, D3)
(3, 3)
3
0
1
15
3
0
2
17
11 0
0
6
(17, 6)
14
12
11
1 (S3, D1)
5
0
3
1
6
6
Oferta
4
3
5 1
3
2
46
X11= 0 X12= 11 X13= 3 X14= 0 X21= 0 X22= 0 X23= 3 X24= 12 X31= 6 X32= 0 X33= 11 X34=0 c) Método de aproximación de Vogel. Este método es razonablemente bueno para obtener una solución inicial básica factible, la cual puede ser óptima o requerir un número mínimo de interacciones para obtener la solución óptima. El método es el siguiente: Paso 1. Inicio con las celdas no asignadas. Paso 2. Cálculo en cada fila y en cada columna la diferencia entre los dos costos más pequeños de las celdas. Paso 3. De entre estas filas y columnas seleccione aquella que tenga la máxima diferencia. Paso 4. Asigne tanto como sea posible en aquella celda que corresponda a la máxima diferencia y que tenga en su fila o columna el menor costo. (La máxima asignación posible es la cantidad menor entre lo disponible y lo requerido). Paso 5. Reduzca la correspondiente cantidad asignada de la cantidad disponible y de la requerida, y elimine la fila o columna que se haya reducido a cero. Deténgase si no existen filas y comuna restantes. De forma contraria regresar al paso 1.
EJERCICIO N° 3 Una empresa de plásticos posee dos plantas de producción de bolsas que se transportan a tres fábricas diferentes de envase. Los costos de transporte por bolsa, los datos de la demanda y disponibilidad son los siguientes:
Planta/Fábrica 1 2 Demanda
1 25 19 92
2 17 12 74
3 23 18 86
Oferta 173 215
Plantear, mediante un modelo de programación lineal, el problema de encontrar la forma menos costosa de realizar el transporte. Planta
Distribuidora
1
2
1
25
17
23
0
173
2
19
12
18
0
215
136
388
Demanda
92
74
3
86
4
Oferta
SOLUCION ÓPTIMA: Objetivo: Minimizar costos de transporte desde las plantas de producción a las fábricas.
Variable de decisión: X11= Número de bolsas que son enviados de la Plata 1 a la Fabrica 1. X12= Número de bolsas que son enviados de la Plata 1 a la Fabrica 2. X13= Número de bolsas que son enviados de la Plata 1 a la Fabrica 3. X14= Número de bolsas que son enviados de la Plata 1 a la Fabrica 4. X21= Número de bolsas que son enviados de la Plata 2 a la Fabrica 1. X22= Número de bolsas que son enviados de la Plata 2 a la Fabrica 2. X23= Número de bolsas que son enviados de la Plata 2 a la Fabrica 3. X24= Número de bolsas que son enviados de la Plata 2 a la Fabrica 4.
Función Objetivo:
Minimizar Z = 25X11+ 17X12+ 23X13+ 0 X14 +
19X21+ 12X22+ 18X23+ 0X24
Restricciones: Oferta: X11+ X12+ X13+ = 173 X21+ X22+ X23+ X24=215
Demanda: X11+ X21= 92 X12+ X22= 74 X13+ X23=86 X14+ X24=136 METODO VOGUEL: Planta
Distribu idora
1
2 25
1
92
18
2519=6 -
0
17-12=5 -
1 (S2, D1)
(215, 92)
2 (S2, D4)
(123, 136)
3 (S1, D2)
(173, 74)
4 (S1, D3)
(99, 86)
5 (S1, D4)
(13, 13)
X11= 0 X12=74 X13= 86 X14= 13
0
2318=5 -
215
123 86
46
1M1M=0
13
-
0
X21= 92 X22= 0 X23= 0 X24= 123
18-12=6 123
136 0
-
23-17=6 99
1M
2
0 74
173
13
12
0
Oferta
1M
5
86
19
92
4 23
4
74
1
2 Demand a
17
3
0
3
13 0 0
