MODELO DE REEMPLAZO DE EQUIPO Mientras más tiempo esté en servicio una máquina, su costo de mantenimiento es mayor y su productividad menor. Cuando la máquina llega a cierta antigüedad será más económico reemplazarla. Es así que entonces el problema se reduce a determinación de la antigüedad más económica de una máquina. Suponga que se estudia el problema de reposición de la máquina durante un lapso de n años. Al inicio de cada año, se debe decidir si mantener la máquina en servicio por un año más o reemplazarla por una nueva. Notación:
r(t)=ingresos ($)
c(t)=costo de c(t)=costo operación anual ($)
t= tiempo (años de antigüedad)
s(t)=valor de recuperación de una máquina ($)
I=costo de adquisición de una máquina nueva en cualquier año
Los elementos del modelo de programación dinámica son:
2,… , n. 1. La etapa i se representa por el año i, i= 1, 2,…, 2. Las alternativas en la etapa (el año) i son de conservar o reemplazar la máquina al comenzar el año i. 3. El estado en la etapa i es la antigüedad de la máquina al comienzo del año i.
Se deduce la siguiente ecuación recursiva: r(t) - c(t) + fi+1(t+1)
si se CONSERVA
fi(t)=máx r(0) + s(t) – I - c(0) + fi+1 (1) si se REEMPLAZA Problema : Una empresa debe determinar la política óptima, durante los próximos 4 años (n=4), de reemplazo de una máquina, que en la actualidad tiene 3 años. La siguiente tabla muestra los datos del problema. La empresa establece que toda máquina que tenga 6 años de edad debe reemplazarse. El costo de una máquina nueva es $100,000.
Tiempo, t (años)
Ingreso, r(t) ($)
Costo de operación, c(t) ($)
Valor de recuperación, s(t) ($)
0
20,000
200
---
1
19,000
600
80,000
2
18,500
1,200
60,000
3
17,200
1,500
50,000
4
15,500
1,700
30,000
5
14,000
1,800
10,000
6
12,200
2,200
5,000 TAHA, HAMDY A. Investigación de Operaciones Séptima edición
En la figura 1 se resume la red que representa el problema. Al iniciar el año 1 se tiene una maquina de 3 años de antigüedad. Se puede reemplazarla (R) o conservarla (K) durante otro año. Al iniciar el año 2, si hay reemplazo la maquina nueva tendrá un año de edad en caso contrario, la maquina actual tendrá 4 años de antigüedad. Los mismos razonamientos se aplican al inicial los 2.
La red indica que al comenzar el año 2 las edades posibles de la maquina son 1 y 4 años. Para el comienzo del año 3, las antigüedades posibles son 1, 2, y 5 años, y para el comienzo del año 4, las antigüedades posibles son 1, 2 3 y 6. La solución de la red equivale a determinar la ruta más larga, del inicio del año 1 al final del año 4. A continuación se resolverá el problema utilizando la forma tabular. Todos los valores son en miles de $. Nótese que si se reemplaza una maquina en el año 4 (es decir al final del horizonte de planeación) los ingresos incluirán el valor de recuperación, s (t), de la maquina reemplazada y el valor de recuperación, s (1) de la máquina de repuesto. Procedimiento de la solución:
Forma tabular.
Etapa 4. K
R
t
r(t) + s (t+1) – c(t)
r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I
1
19.0 + 60 - 0.6 = 78.4
20 + 80 + 80 - 0.2 - 100 79.8 79.8
R
2
18.5 + 50 - 1.2 = 67.3
20+ 60+80 - 0.2 -100 = 59.8 67.3
K
3
17.2+ 30 - 1.5 = 45.7
20 + 50 + 80 - 0.2 - 100 = 49.8 49.8
R
6
Se debe reemplazar
20 + 5 + 80 - 0.2 - 100 = 4.8 4.8
R
f4 (t) Decisión
Etapa 3. K
t
Solución óptima
r(t) – c(t)+f4(t+1)
R r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1)
Solución óptima f3 (t)
Decisión
1 19.0 - 0.6 + 67.3 = 85.7
20 + 80 - 0.2 - 100 + 79.8 = 79.6 85.7
K
2 18.5 - 1.2 + 49.8 = 67.1
20 + 60 - 0.2 - 100 + 79.8 = 59.6 67.1
K
5 14.0 - 1.8 + 4.8 = 17.0 20 + 10 - 0.2 - 100 +79.8 =19.6
19.6
R
Etapa 2.
K t
R
r(t) – c(t)+f3(t+1)
Solución óptima
r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1)
f2 (t) Decisión
1 19.0 - 0.6 + 67.1 = 85.5 20 + 80 - 0.2 - 100 + 85.7 = 85.5
85.5
4
35.5
15.5 - 1.7 + 19.6 = 33.4 20 + 30 - 0.2 - 100 + 85.7 = 35.5
Ko R R
TAHA, HAMDY A. Investigación de Operaciones Séptima edición
Etapa 1.
K t
3
r(t) – c(t)+f2(t+1)
17.2 - 1.5 + 35.5 = 51.2
R
Solución óptima
r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1)
f1 (t)
20 + 50 - 0.2 - 100 + 85. 5 = 55.3 55.3
Decis ión
R
TAHA, HAMDY A. Investigación de Operaciones Séptima edición
Solución óptima:
La figura siguiente resume la solución óptima. Al iniciar el año 1, la decisión optima para t=3 es remplazar la maquina. Así la maquina nueva tendrá 1 año al iniciar el año 2, y t=1al iniciar el año 2 determina conservarla o reemplazarla. Si se reemplaza la nueva máquina tendrá 1 año al iniciar el año 3; en caso contrario, la maquina conservada tendrá 2 años. El proceso se continúa de esta forma hasta llegar al año 4. Las políticas alternativas óptimas comenzando el año 1 son (R, K, K, R) y (R, R, K, K). El costo total es de $55,300.
Bibliografía: TAHA, HAMDY A. Investigación de Operaciones Séptima edición
En cada uno de los casos que siguen, forme la red y determine la solución optima. 1. Circle Farms posee un tractor de 2 años de antigüedad, y desea establecer una política de reemplazo para sus tractores durante los 5 años siguientes. Se debe tener en servicio durante un mínimo de 3 años, pero después de un máximo de 5 años se debe desechar. El precio actual de un tractor es de $40,000, y aumenta 10% por año. El valor de recuperación de un tractor con 1 año de uso es de $30,000 y disminuye 10% por año. El costo anual de operación del tractor es de $1,300, y se espera que aumente 10% por año. Solución: Tiempo (años)
Ingreso r(t) ($)
Costo de operación c(t) ($)
Valor de recuperación s(t)
($) 0 1 2 3 4 5 6
$40,000 44,000 48,000 52,000 56,000 60,000 64,000
$1,300 1,430 1,560 1,690 1,820 1,950 2,080
$30,000 27,000 24,000 21,000 18,000 15,000
Representación de la red:
Etapa 5. K
R
Sol óptima
t
r(t) + s (t+1) – c(t)
r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I
F5 (t)
Decisión
1 2 3 4 6
44000+27000-1430=69570 48000+24000-1560=70440 52000+21000-1690=71310 56000+18000-1820=72180 Se debe reemplazar
40000+30000+30000-1300- 40000=58700 40000+27000+30000-1300-40000=55700 40000+24000+30000-1300-40000=52700 40000+21000+30000-1300-40000=49700 40000+15000+30000-1300-40000=43700
69570 70440 71310 72180 43700
K K K K R
Etapa 4. K
R
Sol óptima
t
r(t) – c(t)+f5(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f5(1)
f4 (t)
Decisió n
1 2 3 5
44000-1430+70440=113010 48000-1560+71310=117750 52000-1690+72180=122490 60000-1950+43700=101750
40000+30000-1300 40000+69570=98270 40000+27000-1300-40000+69570=95270 40000+24000-1300-40000+69570=92270 40000+18000-1300-40000+69570=86270
113010 117750 122490 101750
K K K K
Etapa 3. K
R
Sol óptima
t
r(t) – c(t)+f4(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1)
F3 (t)
Decisió n
1 2 4
44000-1430+117750=160320 48000-1560+122490=168930 56000-1820+101750=155930
40000+30000-1300- 40000+113010=141710 40000+27000-1300-40000+113010=138710 40000+21000-1300-40000+113010=132710
160320 168930 155930
K K K
Etapa 2. t
r(t) – c(t)+f3(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1)
F2 (t)
Decisió n
1 3
44000-1430+168930=211500 52000-1690+155930=206240
40000+30000-1300- 40000+160320=189020 40000+24000-1300-40000+160320=183020
211500 206240
K K
F1 (t)
Decisió n
Etapa 1. t
r(t) – c(t)+f2(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1)
2
48000-1560+206240=252680
40000+27000-1300- 40000+211500=237200
252680
El costo total es de $252,680. 2. La compañía ABC posee una máquina de coser con 4 años de antigüedad y desea establecer una política de reemplazo para sus máquinas durante los 5 años siguientes. La empresa establece que toda maquina de coser
K
que tenga 8 años de edad debe reemplazarse. El precio actual de una máquina es de $2,500 y aumenta el 15% por año. El valor de recuperación de la maquina con un año de uso es de $5,000 y disminuye el 12% por año. El costo anual de operación es de $900 y se espera que aumente 10% por año. Solución: Tiempo (años)
Ingreso r(t) ($)
Costo de operación c(t) ($)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
$25,000 2,875 3,250 3,625 4,000 4,375 4,750 5,125 5,500
$900 990 1,080 1,170 1,260 1,350 1,440 1,530 1,620
Representación de la red:
Valor de recuperación s(t) ($) $5,000 4,400 3,800 3,200 2,600 2,000 1,400 800
Etapa 5. K
R
Sol óptima
t
r(t) + s (t+1) – c(t)
r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I
F5 (t)
Decisión
1 2 3 4 8
2875+ 4400-990 =6285 3250+3800-1080=5970 3625+3200-1170=5655 4000+2600-1260=5340 Se debe reemplazar
2500+5000+5000-900-2500=9100 2500+4400+5000-900-2500=8500 2500+3800+5000-900-2500=7900 2500+3200+5000-900-2500=7300 2500+800+5000-900-2500=4900
9100 8500 7900 7300 4900
K K K R R
Etapa 4. t
r(t) – c(t)+f5(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f5(1)
F4 (t)
Decisión
1 2 3 7
2875-990+8500 =10385 3250-1080+7900=10070 3625-1170+7300 =9755 5125-1530+4900=8495
2500+5000-900-2500+9100=13200 2500+4400-900-2500+9100=12600 2500+3800-900-2500+9100=12000 2500+1400-900-2500+9100=9600
13200 12600 12000 9600
R R R R
Etapa 3. t
r(t) – c(t)+f4(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1)
F43(t)
Decisión
1 2 6
2875-990+12600=14485 3250-1080+12000=14170 4750-1440+9600=12910
2500+5000-900-2500+13200=17300 2500+4400-900-2500+13200=16700 2500+2000-900-2500+13200=14300
17300 16700 14300
R R R
r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1)
F2 (t)
Decisión
Etapa 2. t
r(t) – c(t)+f3(t+1)
1 5
2875-990+16700=18585 4375-1350+14300=17325
2500+5000-900-2500+17300=21400 2500+2600-900-2500+17300=19000
21400 19000
R R
Etapa 1. t
r(t) – c(t)+f2(t+1)
r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1)
F1 (t)
Decisión
4
4000-1260+19000=21740
2500+3200-900-2500+21400=23700
23700
R
El costo total es de $23,700. 3. Una empresa debe determinar la política óptima, durante los próximos 5 años, de reemplazo de una máquina, que en la actualidad tiene 2 años. La siguiente tabla muestra los datos del problema. La empresa establece que toda máquina que tenga 6 años de edad debe reemplazarse. El costo de una máquina nueva es $80,000.
Tiempo (años)
Ingreso r(t) ($)
Costo de operación c(t) ($)
0 1 2 3 4 5 6 7
30,000 25,000 20,000 18,000 17,500 16,200 15,000 14,200
300 700 1,300 1,500 1,700 1,800 2,000 2,100
Representación de la red:
Valor de recuperación s(t) ($) 60,000 40,000 20,000 15,000 10,000 10,500 6,000
Solución: Etapa 5. K t
r(t) + s (t+1) – c(t)
1 2 3 4 6
25000+40000-700=64300 20000+20000-1300=38700 18000+15000-1500=31500 17500+10000-1700=25800 Se debe reemplazar
R r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I 30000+60000+60000-300-80000=69700 30000+40000+60000-300-80000=49700 30000+20000+60000-300-80000=31500 30000+15000+60000-300-80000=25800 30000+10500+60000-300-80000=20200
Sol óptima F5 (t)
Decisión
69700 49700 31500 25800 20200
R R K K R
F4 (t)
Decisión
79400 59400 42300 34600
R R K K
F3 (t)
Decisión
89100 69100 50400
R R K
F2 (t)
Decisión
98800 66900
R K
Etapa 4. t 1 2 3 5
r(t) – c(t)+f5(t+1) 25000-700+49700=74000 20000-1300+31500=50200 18000-1500+25800=42300 16200-1800+20200=34600
r(0) + s(t)– c(0) – I+f5(1) 30000+60000-300-80000+69700=79400 30000+40000-300-80000+69700=59400 30000+20000-300-80000+69700=39400 30000+10000-300-80000+69700=29400
Etapa 3. t 1 2 4
r(t) – c(t)+f4(t+1) 25000-700+59400=83700 20000-1300+42300=61000 17500-1700+34600= 50400
r(0) + s(t)– c(0) – I+f4(1) 30000+60000-300-80000+79400=89100 30000+40000-300-80000+79400=69100 30000+15000-300-80000+79400=44100
Etapa 2. t 1 3
r(t) – c(t)+f3(t+1) 25000-700+69100=93400 18000-1500+50400=66900
Etapa 1.
r(0) + s(t)– c(0) – I+f3(1) 30000+60000-300-80000+89100=98800 30000+20000-300-80000+89100=58800
t
r(t) – c(t)+f2(t+1)
2
20000-1300+66900=85600
El costo total es de $88,500.
r(0) + s(t)– c(0) – I+f2(1) 30000+40000-300-80000+98800=88500
F1 (t)
Decisión
88500
R
