MODELO DE REEMPLAZO DE EQUIPO
Asignatura: Teoría de Redes Integrantes
Elvis Gutiérrez Condori Cristhiam Carrión Leonard Quispe Cárdenas
Prof.: Guido Anco Chanbilla Semestre: V Arequipa –Perú 2017
Contenido
INTRODUCCIÓN _______________________________________________________ 4 P ROGRAMACIÓN DINÁMICA ________________________________________________ 4 ESQUEMA DE UNA ETAPA ______________________________________________ 5 FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ______________________________ 5 RESOLVER PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA SE NECESITA: _________ 5 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA ________ 5 RECURSIVIDAD _______________________________________________________ 5 MODELO DE REPOSICION DE EQUIPOS ____________________________________ 6 T ÉCNICA DE OPTIMIZACIÓN _________________________________________________ 6 MODELO DE REPOSICIÓN __________________________________________________ 6 PROBLEMAS __________________________________________________________ 8 OBSERVACIONES : _______________________________________________________ 13 C ONCLUSIONES : ________________________________________________________ 13 BIBLIOGRAFIA: ______________________________________________________ 13
INTRODUCCIÓN Existe una serie de problemas cuyas soluciones pueden ser expresadas recursivamente en términos matemáticos, y posiblemente la manera más natural de resolverlos es mediante un algoritmo recursivo. Sin embargo, el tiempo de ejecución de la solución recursiva, normalmente de orden exponencial y por tanto impracticable, puede mejorarse substancialmente mediante la Programación Dinámica. para resolver un problema lo dividíamos en sub problemas independientes, los cuales se resuelven de manera recursiva para combinar finalmente las soluciones y así resolver el problema original. El inconveniente se presenta cuando los sub problemas obtenidos no son independientes sino que existe solapamiento entre ellos; entonces es cuando una solución recursiva no resulta eficiente por la repetición de cálculos que conlleva. En estos casos es cuando la Programación Dinámica nos puede ofrecer una solución aceptable. La eficiencia de esta técnica consiste en resolver los sub problemas una sola vez, guardando sus soluciones en una tabla para su futura utilización. La Programación Dinámica no sólo tiene sentido aplicarla por razones de eficiencia, sino porque además presenta un método capaz de resolver de manera eficiente problemas cuya solución ha sido abordada por otras técnicas y ha fracasado. Donde tiene mayor aplicación la Programación Dinámica es en la resolución de problemas de optimización. En este tipo de problemas se pueden presentar distintas soluciones, cada una con un valor, y lo que se desea es encontrar la solución de valor óptimo (máximo o mínimo). La solución de problemas mediante esta técnica se basa en el llamado principio de óptimo enunciado por Bellman en 1957 y que dice: “En una secuencia de decisiones óptima toda sub secuencia ha de ser también ó ptima”
Hemos de observar que aunque este principio parece evidente no siempre es aplicable y por tanto es necesario verificar que se cumple para el problema en cuestión. Un ejemplo claro para el que no se verifica este principio aparece al tratar de encontrar el camino de coste máximo entre dos vértices de un grafo ponderado.
PROGRAMACIÓN DINÁMICA La programación dinámica es Una técnica matemática que se utiliza para la solución de problemas matemáticos seleccionados, en los cuales se toma una serie de decisión de forma secuencial. Proporciona un procedimiento sistemático para encontrar la combinación de decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer el problema en etapas, las que pueden ser completadas por una o más formas (estados), y enlazando cada etapa a través de cálculos recursivos Etapa: Es la parte del problema que posee un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes, de las cuales se seleccionará la mejor alternativa. Estado: es el que refleja la condición o estado de las restricciones que enlazan las etapas. Representa la “liga” entre etapas de tal manera que cuando cada etapa se optimiza por separado la decisión resultante
es automáticamente factible para el problema completo.
ESQUEMA DE UNA ETAPA
Qi Variable de estado en la etapa i
Xij Uno de los valores que puede adoptar la variable de decisión “Xi” en la etapa i
Xi* Decisión óptima de la etapa i
FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS La programación dinámica no cuenta con una formulación matemática estándar, sino que se trata de un enfoque de tipo general para la solución de problemas, y las ecuaciones específicas que se usan se deben desarrollar para que representen cada situación individual. Comúnmente resuelve el problema por etapas, en donde cada etapa interviene exactamente una variable de optimización (u optimizadora) La teoría unificadora fundamental de la programación dinámica es el Principio de Optimalidad , que nos indica básicamente como se puede resolver un problema adecuadamente descompuesto en etapas utilizando cálculos recursivos . “Una política óptima tiene la propiedad de que, independientemente de las decisiones tomadas para llegar a un estado particular, en una etapa particular, las decisiones restantes deben constituir una política óptima para abandonar ese estado”,
RESOLVER PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA SE NECESITA: Un grado de creatividad Un buen conocimiento de la estructura general de los problemas de programación dinámica para reconocer cuando un problema se puede resolver por medio de estos procedimientos y como esto se puede llevar a cabo
CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en cada una .Cada etapa tiene cierto número de estados asociados a ella. El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con la siguiente etapa .El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo. Dado un estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en las etapas anteriores (principio de optimalidad) . El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la última etapa .Se dispone de una relación recursiva que identifica la política optima par la etapa n dada la política óptima para la etapa (n+ 1).
RECURSIVIDAD Existen dos formas de plantear la fórmula de recursividad en l os problemas de programación dinámica: Recursividad de Retroceso:
El problema se resuelva partiendo de la última etapa hacia la primera . Recursividad de Avance: El problema se resuelve partiendo de la primera etapa hacia la última Las formulaciones de avance y retroceso son en realidad equivalentes en términos de cálculo . Sin embargo, hay situaciones donde habría alguna diferencia, en la eficiencia del cálculo, según la formulación que se utilice. Esto sucede en particular en problemas donde intervine la toma de decisiones conforme transcurre el tiempo. En esto caso las etapas se designan con base en el estricto orden cronológico de los periodos que ellas representan y la eficiencia de los cálculos dependerá de si se utiliza formulación de avance o retroceso
MODELO DE REPOSICION DE EQUIPOS Encontrar el costo mínimo de la operación de una máquina y maximizar las utilidades en un periodo dado ("n" etapas), a través de la toma de decisiones de remplazar y conservar la maquina en cada periodo, teniendo en cuenta lo siguiente:
A medida que una maquina se conserva esta se vuelve más antigua, aumentando su costo de operación. Cada remplazo de una máquina, se hace que una suma considerable de dinero. Debemos encontrar las decisiones que optimicen el costo total de operación y maximicen las ganancias, estas decisiones pueden ser:
Conservar Remplazar
En ciertos periodos, la decisión puede ser indiferente, se puede Conservar o Reemplazar, esta decisión no altera la solución óptima del proceso.
TÉCNICA DE OPTIMIZACIÓN Trata problemas de decisión, donde las decisiones deben ser realizadas secuencialmente en muchos puntos en el tiempo. En la Programación dinámica, los problemas de "n" variables se convierten en "n" sub problemas, cada uno de ellos de una variable.
MODELO DE REPOSICIÓN Mientras más tiempo este en servicio una máquina, su costo de mantenimiento es mayor y su productividad es menor. Cuando la maquina llega a cierta antigüedad será más económico remplazarla. Es así entonces que el problema se reduce a determinación de antigüedad más económica de la máquina. Los elementos del modelo de programación dinámica son:
La etapa i se representa por el periodo i, i =1, 2,3... y n Las alternativas en la etapa (el periodo) i son el de remplazar o conservar la maquina al comenzar el año i. El estado en la etapa i es la antigüedad de la maquina al comienzo del año i.
Tenemos la fórmula recursiva de programación dinámica, para el procedimiento de solución de adelante hacia atrás:
De este modo, si la máquina se reemplaza en un período t cualquiera, debemos determinar el costo desde el período t hasta fi+1(1) , el cual está dado por el costo total desde que se compra el equipo hasta que se reemplaza o vende en el período t…. ~ es decir, C(0)' más el costo total desde el período t hasta Representado por f ( x ). La representación gráfica del problema lleva al mismo grafo presentado:
+ +
K
R
T
=
R
=
+ R
=
T=Edad del equipo K=Conservar R=Reemplazar El número de nodos se determinara según las restricciones de la edad del equipo y desde la etapa “i” hasta el número “n” de años dados para el plan.
i=Etapas
i=1
Duración:
1ºetapa
t=1 Año
i=2
2ºetapa
i+1
t=1año
iº etapa
t=i+1Año
n
nºetapa
PROBLEMAS Una empresa debe determinar la política optima, durante los próximos 4 años (n=4), de reemplazo de una máquina, en la actualidad tiene 3 años. La siguiente tabla muestra los datos del problema. La empresa establece que toda la máquina que tenga 6 años de edad debe reemplazarse. El costo de una máquina nueva es $100000
La determinación de los valores factibles de la edad de la máquina en cada etapa requiere de algo de ingenio. Al iniciar el año 1 se tiene una máquina de 3 años de antigüedad. Se puede reemplazarla (R) o conservarla (K) durante otro año.
Al iniciar el año 2, si hay reemplazo, la máquina nueva tendrá 1 año de edad; en caso contrario, la máquina actual tendrá 4 años de antigüedad. Los mismos razonamientos se aplican al iniciar los años 2 a 4. Si se reemplaza una máquina con 1 año de antigüedad al iniciar los años 2 y 3, su reposición tendrá 1 año de antigüedad al inicio del año siguiente. También, al iniciar el año 4, se debe reemplazar una máquina con 6 años de servicio, y al final del año 4 se desechan las máquinas, con recuperación S. La red indica que al comenzar el año 2, las edades posibles de la máquina son 1 y 4 años.
Para el comienzo del año 3, las antigüedades posibles son 1, 2 y 5 años, y para el comienzo del año 4, las antigüedades posibles son 1, 2, 3 y 6 años. La solución de la red de la figura 10.6 equivale a determinar la ruta más larga, del inicio del año 1 al final del año 4. Se usará la forma tabular para resolver el problema. Todos los valores son en miles de $. Nótese que si se reemplaza una máquina en el año 4 (es decir, al fin del horizonte de planeación) los ingresos incluirán el valor de recuperación, s(t), de la máquina reemplazada y el valor de recuperación,
s(1) de la máquina de repuesto.
Al iniciar el año 1, la decisión óptima para t=3 es reemplazar la máquina. Así, la máquina nueva tendrá 1 año al iniciar el año 2, y t 1 al iniciar el año 2 determina conservarla o reemplazarla. Si se reemplaza, la nueva máquina tendrá 1 año al iniciar el año 3; en caso contrario, la máquina conservada tendrá 2 años. El proceso se continúa de esta forma hasta llegar al año 4. Las políticas alternativas óptimas comenzando el año 1 son (R, K, K, R) y (R, R, K, K).
El costo total es $55,300.
Circle Farms posee un tractor de 2 años de antigüedad, y desea establecer una política de reemplazo para sus tractores durante los 5 años siguientes. Se debe tener en servicio durante un mínimo de 3 años, pero después de un máximo de 5 años se debe desechar. El precio actual de un tractor es de $40,000, y aumenta 10% por año. El valor de recuperación de u n tractor con 1 año de uso es de $30,000 y disminuye 10% por año. El costo anual de operación del tractor es de $1,300, y se espera que aumente 10% por año.
Tiempo (años)
Ingreso r(t) ($)
0 1 2 3 4 5 6
$40,000 44,000 48,000 52,000 56,000 60,000 64,000
Costo de operación c(t) ($) $1,300 1,430 1,560 1,690 1,820 1,950 2,080
Valor de recuperación s(t) ($) $30,000 27,000 24,000 21,000 18,000 15,000
Etapa 5. t
r(t) + s (t+1) – c(t)
r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I
F5 (t)
1 2 3 4 6
44000+27000-1430=69570 48000+24000-1560=70440 52000+21000-1690=71310 56000+18000-1820=72180 Se debe reemplazar
40000+30000+30000-1300- 40000=58700 40000+27000+30000-1300-40000=55700 40000+24000+30000-1300-40000=52700 40000+21000+30000-1300-40000=49700 40000+15000+30000-1300-40000=43700
69570 70440 71310 72180 43700
Decisión
K K K K R
Etapa 4. r(t) – c(t)+f5(t+1)
t 1 2 3 5
44000-1430+70440=113010 48000-1560+71310=117750 52000-1690+72180=122490 60000-1950+43700=101750
r(0) + s(t) – c(0) – I+f5(1)
f4 (t)
40000+30000-1300 40000+69570=98270 40000+27000-1300-40000+69570=95270 40000+24000-1300-40000+69570=92270 40000+18000-1300-40000+69570=86270
113010 117750 122490 101750
Decisión
K K K K
Etapa 3.
r(t) – c(t)+f4(t+1)
t 1 2 4
44000-1430+117750=160320 48000-1560+122490=168930 56000-1820+101750=155930
r(0) + s(t) – c(0) – I+f4(1)
F3 (t)
40000+30000-1300- 40000+113010=141710 40000+27000-1300-40000+113010=138710 40000+21000-1300-40000+113010=132710
160320 168930 155930
r(0) + s(t) – c(0) – I+f3(1)
F2 (t)
40000+30000-1300- 40000+160320=189020 40000+24000-1300-40000+160320=183020
211500 206240
r(0) + s(t) – c(0) – I+f2(1)
F1 (t)
40000+27000-1300- 40000+211500=237200
252680
Decisión
K K K
Etapa 2.
t
r(t) – c(t)+f3(t+1)
1 44000-1430+168930=211500 3 52000-1690+155930=206240 Etapa 1.
t 2
r(t) – c(t)+f2(t+1)
48000-1560+206240=252680
Decisión
K K
Decisión
K
El costo total es de $252,680. La compañía ABC posee una máquina de coser con 4 años de antigüedad y desea establecer una política de reemplazo para sus máquinas durante los 5 años siguientes. La empresa establece que toda maquina de coser que tenga 8 años de edad debe reemplazarse. El precio actual de una máquina es de $2,500 y aumenta el 15% por año. El valor de recuperación de la maquina con un año de uso es de $5,000 y disminuye el 12% por año. El costo anual de operación es de $900 y se espera que aumente 10% por año. Solución:
Tiempo (años)
Ingreso r(t) ($)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
$25,000 2,875 3,250 3,625 4,000 4,375 4,750 5,125 5,500
Costo de operación c(t) ($) $900 990 1,080 1,170 1,260 1,350 1,440 1,530 1,620
Valor de recuperación s(t) ($) $5,000 4,400 3,800 3,200 2,600 2,000 1,400 800
Etapa 5.
t
r(t) + s (t+1) – c(t)
r(0) + s(t) + s(1) – c(0) - I
F5 (t)
1 2 3 4 8
2875+ 4400-990 =6285 3250+3800-1080=5970 3625+3200-1170=5655 4000+2600-1260=5340 Se debe reemplazar
2500+5000+5000-900-2500=9100 2500+4400+5000-900-2500=8500 2500+3800+5000-900-2500=7900 2500+3200+5000-900-2500=7300 2500+800+5000-900-2500=4900
9100 8500 7900 7300 4900
Decisión
K K K R R
Etapa 4.
t
r(t) – c(t)+f5(t+1)
r(0) + s(t) – c(0) – I+f5(1)
F4 (t)
1 2 3 7
2875-990+8500 =10385 3250-1080+7900=10070 3625-1170+7300 =9755 5125-1530+4900=8495
2500+5000-900-2500+9100=13200 2500+4400-900-2500+9100=12600 2500+3800-900-2500+9100=12000 2500+1400-900-2500+9100=9600
13200 12600 12000 9600
Decisión
R R R R
Etapa 3. t
r(t) – c(t)+f4(t+1)
r(0) + s(t) – c(0) – I+f4(1)
F43(t)
Decisión
1 2 6
2875-990+12600=14485 3250-1080+12000=14170 4750-1440+9600=12910
2500+5000-900-2500+13200=17300 2500+4400-900-2500+13200=16700 2500+2000-900-2500+13200=14300
17300 16700 14300
R R R
Etapa 2
t
r(t) – c(t)+f3(t+1)
r(0) + s(t) – c(0) – I+f3(1)
F2 (t)
1 5
2875-990+16700=18585 4375-1350+14300=17325
2500+5000-900-2500+17300=21400 2500+2600-900-2500+17300=19000
21400 19000
Decisión
R R
Etapa 1.
t
r(t) – c(t)+f2(t+1)
r(0) + s(t) – c(0) – I+f2(1)
F1 (t)
4
4000-1260+19000=21740
2500+3200-900-2500+21400=23700
23700
El costo total es de $23,700.
Decisión
R
OBSERVACIONES: Se debe tener mucho análisis para identificar las variables de entrada (estados), ya que una mala decisión en la elección de estas afectaría la totalidad del problema. Las decisiones no solo son Conservar o bien Remplazar en un periodo, sino puede existir el caso en que ingreso neto máximo del periodo, tanto para Conservar como al Remplazar una maquina pueden ser iguales, entonces si este es el caso, existen 2 posibles soluciones o rutas óptimas. En un caso extremos, si en todas las etapas del periodo existen decisiones múltiples, entonces existirá una cantidad de soluciones máximas (rutas optimas), que es igual a una potencia de 2, elevada a la cantidad de etapas (periodos). Esta última observación debe ser tomada en cuenta en la elaboración de nuestro programa, ya que debemos considerar todas las soluciones posibles, aunque estas sean muy poco probables o casi imposibles.
CONCLUSIONES: La utilización de la técnica de programación dinámica es muy adecuada en la resolución del modelo de remplazo, ya que nos permite trabajar con múltiples decisiones en los diferentes periodos, además de reducir el número de variables, haciendo esto que al programar el problema en cualquier lenguaje de programación, la solución sea más eficiente (corra más rápido el programa), con esto ahorramos memoria del computador (no lo sobrecargamos), lo cual es muy importante, ya que reducimos el tiempo en la entrega de la solución.
BIBLIOGRAFIA: Investigación de operaciones. Autor, Hamdy A. Taha Traducida: Virgilio González Pozo. Publisher, Pearson Educación, 2004. ISBN, 9702604982 Rardin, R. Optimization in Operations Research. Prentice Hall, New Jersey,1998. Villaplana, J.P. Reemplazamiento de Equipos e Inflación. InvestigaciónOperativa.-ALIO- Volumen 4, Número 2, Agosto 1994.
