Modélisation et commande adaptative d’un bras manipulateur rigide à 2 degré de liberté

‫وزارة التعـليــــم العالـــي و الـبحـــث العلـمـــــــــي‬ MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

‫جامعـــة فرحات عباس سطيــــف‬

UNIVERSITÉ FERHAT ABBAS -SÉTIF Faculté de Technologie

‫كليـة التـكنــولــوجيــــا‬

Département d’Électrotechnique

‫ اإللكتروتقنية‬: ‫قسم‬

Mémoire de Master No. Réf. : ………./……/2012

Présenté au Département d’électrotechnique Domaine : Sciences et Technologie Filière : Automatique Spécialité : Commande des processus industriels Réalisé par : M. Belmahdi Mohamed Amine Thème

Modélisation et commande adaptative d’un bras manipulateur rigide à 2 degré de liberté Soutenu le 27/06/2012 devant la commission d’examen composée de : M. ABDELAZIZ MOURAD

M.C.A à l’Université de Sétif

Président

M. REFFOUFI SALIM

M.A.A à l’Université de Sétif

Directeur du Mémoire

M. BEKTACH ABDELDJABBAR

M.A.A à l’Université de Sétif

Examinateur

M. BOURAHALA FAYÇAL

M.A.A à l’Université de Sétif

Examinateur

Remerciements Je remercie en premier lieu Allah le tout puissant pour m’avoir donné la force et la volonté d’accomplir ce modeste travail. Je tiens à remercier, en tout premier lieu, Mr. REFFOUFI SALIM, Directeur de ce mémoire, Maître assistant au sein de notre département, qui n’a pas hésité un instant à donner son accord pour l’élaboration de ce travail en m’orientant par ses précieux conseils et ses encouragements. Je remercie également tous les membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail :  M. ABDELAZIZ MOURAD  M. REFFOUFI SALIM

M.C.A M.A.A

 M. BEKTACH ABDELDJABBAR

M.A.A

 M. BOURAHALA FAYÇAL

M.A.A

Mes remerciements vont à toute ma famille, je cite en particulier, ma très chère mère, mon père, mon frère et sa femme, mes sœurs qui m’ont toujours comblé d’affection et de soutien moral. Je tiens également à remercier très chaleureusement mes amis Abdenour, Ramzi et Soumia. Sans oublier mes amis au sein de notre département. Je tiens à remercier tous ceux qui m’ont fourni, de près ou de loin, leur aide afin que je puisse mener ce travail à terme.

Sétif, le 20 /06 /2012

SOMMAIRE

Sommaire INTRODUCTION GÉNÉRALE .............................................................................. 1 Chapitre 01............................................................................................................................. 2 MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS ................................................... 2 1.1. Les robots industriels ....................................................................................................................................... 2 1.1.1. Introduction............................................................................................................................................................. 2 1.1.2. Historique ................................................................................................................................................................. 2 1.1.3. Classifications des robots industriels ........................................................................................................... 3 1.1.4. Applications ............................................................................................................................................................. 4

1.2. Robot manipulateur .......................................................................................................................................... 5 1.2.1. Constitution mécanique...................................................................................................................................... 5 1.2.1.1. Structure mécanique................................................................................................................................ 6 1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs) ........................................................................................................... 6 1.2.1.3. Les capteurs .............................................................................................................................................. 6 1.2.1.4. La partie commande................................................................................................................................ 7

1.3. Modélisation d’un bras manipulateur ........................................................................................................ 7 1.3.1. Modélisation géométrique................................................................................................................................. 8 1.3.1.1. Modèle géométrique direct .................................................................................................................... 8 1.3.1.2. Modèle géométrique inverse ................................................................................................................11 1.3.2. Modélisation cinématique ...............................................................................................................................12 1.3.2.1. Modèle cinématique direct ...................................................................................................................12 1.3.2.2. Modèle cinématique inverse ................................................................................................................13 1.3.3. Modélisation dynamique ..................................................................................................................................14 1.3.3.1. Formalisme de Lagrange ......................................................................................................................15 1.3.3.2. Calcul de l’énergie cinétique.................................................................................................................15 1.3.3.3. Calcul de l’énergie potentielle ..............................................................................................................15 1.3.3.4. Formulation du modèle dynamique ...................................................................................................16

1.4. Conclusion ..........................................................................................................................................................16

Chapitre 02.......................................................................................................................... 17 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS ................................................17 2.1. Introduction .......................................................................................................................................................17 2.2. Techniques de commande des robots......................................................................................................17 2.2.1. Commande classique .........................................................................................................................................18

SOMMAIRE

2.2.1.1. Avantages ................................................................................................................................................18 2.2.1.2. Inconvénients .........................................................................................................................................18 2.2.1.3. Lois de commande ................................................................................................................................19 2.2.2. Commande dynamique .....................................................................................................................................21 2.2.2.1. Avantages ................................................................................................................................................21 2.2.2.2. Inconvénients .........................................................................................................................................22 2.2.2.3. Lois de commande ................................................................................................................................22 2.2.3. Commande adaptative ......................................................................................................................................24 2.2.3.1. Définition de la commande adaptative ..............................................................................................24 2.2.3.2. Le principe ..............................................................................................................................................24 2.2.3.3. Différentes commandes adaptatives...................................................................................................25 2.2.3.4. Approches pour l’analyse des (MRAS) ..............................................................................................28

2.3. Conclusion ..........................................................................................................................................................31

Chapitre 03.......................................................................................................................... 32 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE ............................................32 3.1. Introduction .......................................................................................................................................................32 3.2. Modélisation du robot à deux degrés de liberté ..................................................................................32 3.2.1. Modèle géométrique ..........................................................................................................................................33 3.2.1.1. Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiée (DHM) ...................................................................33 3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage ...........................................................................................................34 3.2.2. Modèle cinématique ...........................................................................................................................................34 3.2.3. Modèle dynamique .............................................................................................................................................34 3.2.3.1. Calcul de la matrice d’inertie ................................................................................................................34 3.2.3.2. Calcul de la matrice

.................................................................................................................34

3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravité .............................................................................................35 3.2.4. Modèle dynamique du robot à deux DDL ..................................................................................................35

3.3. La commande adaptative ..............................................................................................................................35 3.3.1. L’estimation des paramètres par une loi de commande adaptative ..............................................35 3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui varié dans le temps ..................................38

3.4. La trajectoire désirée ......................................................................................................................................41 3.5. Résultats de simulation .................................................................................................................................42 3.5.1. Simulation de schéma bloc 1 sans la charge ............................................................................................42 3.5.1.1. Changement des paramètres ................................................................................................................44 3.5.2. Simulation de schéma bloc 1 avec la charge ............................................................................................45 3.5.3. Simulation de schéma bloc 2 sans la charge ............................................................................................47 3.5.3.1. Changement des paramètres ................................................................................................................48 3.5.4. Simulation de schéma bloc 2 avec la charge ............................................................................................50

SOMMAIRE

3.6. Comparaison entre les deux commandes ...............................................................................................51 3.6.1. Sans charge ............................................................................................................................................................51 3.6.2. Avec charge ............................................................................................................................................................52

3.7. Conclusion ..........................................................................................................................................................52

CONCLUSIONS GÉNÉRALES .............................................................................53

SOMMAIRE

Liste des figures

Figure ‎1-1 Robot à chaîne simple ........................................................................................................................................... 6 Figure ‎1-2 Servomoteur ........................................................................................................................................................... 6 Figure ‎1-3 Capteurs de vitesse et position ............................................................................................................................ 7 Figure ‎1-4 La partie commande du robot manipulateur ..................................................................................................... 7 Figure ‎1-5 Choix des repères de la méthode classique ........................................................................................................ 9 Figure ‎1-6 Choix des référentiels de Denavit- Hartenberg ..............................................................................................10 Figure ‎2-1 Schéma classique d’une commande PID .........................................................................................................18 Figure ‎2-2 Schéma d’une commande dynamique par découplage non-linéaire ............................................................21 Figure ‎2-3 Principe des systèmes de commande adaptative.............................................................................................25 Figure ‎2-4 Schéma bloc de la commande gain-scheduling ...............................................................................................26 Figure ‎2-5 Schéma bloc d’un régulateur auto-adaptatif ....................................................................................................26 Figure ‎2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le MRAS ......................................................................27 Figure ‎2-7 Le modèle d’erreur...............................................................................................................................................29 Figure ‎2-8 Illustration de la méthode de Lyapunov ..........................................................................................................30 Figure ‎3-1 Représentation du robot à deux axes rotoïdes ................................................................................................32 Figure ‎3-2 Le Puma 560 .........................................................................................................................................................33 Figure ‎3-3 Le schéma bloc de la loi de commande (3.29) ................................................................................................38 Figure ‎3-4 Le schéma bloc de la loi de commande (3.48) ................................................................................................40 Figure ‎3-5 La trajectoire désirée

et la vitesse désirée

....................................................................................41

Figure ‎3-6 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps......................................................42 Figure ‎3-7 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps ............................................................43 Figure ‎3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ...........................................................................................43 Figure ‎3-9 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps......................................................44 Figure ‎3-10 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps ..........................................................44 Figure ‎3-11 La commande pour chaque articulation U1 et U2 .........................................................................................45 Figure ‎3-12 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps ...................................................46 Figure ‎3-13 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps ..........................................................46 Figure ‎3-14 La commande pour chaque articulation U1 et U2 .........................................................................................47 Figure ‎3-15 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps ...................................................47 Figure ‎3-16 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps ..........................................................48 Figure ‎3-17 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps ...................................................48

SOMMAIRE

Figure ‎3-18 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps ..........................................................49 Figure ‎3-19 La commande pour chaque articulation U1 et U2 ........................................................................................49 Figure ‎3-20 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps ...................................................50 Figure ‎3-21 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps ..........................................................50 Figure ‎3-22 La commande pour chaque articulation U1 et U2 .........................................................................................51

SOMMAIRE

Liste des tableaux Tableau ‎3-1 Les paramètres de DHM .................................................................................................................................33 Tableau ‎3-2 Les paramètres du robot ..................................................................................................................................41 Tableau ‎3-3 Résultats des erreurs de position et de vitesse sans la charge ....................................................................51 Tableau ‎3-4 Résultats des erreurs de position et de vitesse avec la charge ....................................................................52

viii

SOMMAIRE

Liste des Acronymes et Symboles Acronymes : EPFL

École Polytechnique Fédérale de Lausanne.

JPL

Jet Propulsion Laboratory.

JIRA

Japon Industrial Robot Association.

AFRI

Association Française de Robotique Industrielle.

RIA

Robot Institute of America.

AFNOR

Association Française de NORmalisation.

DH

Denavit Hartenberg.

DHM

Denavit Hartenberg Modifié.

DDL

Degré De Liberté.

PID

Proportionnel Intégral Dérivé.

PD

Proportionnel Dérivé.

MRAS

Système Adaptative à Modèle de Référence.

Symboles : q

Vecteur des variables articulaires.

X

Vecteur des variables opérationnelles. Vecteur des vitesses articulaires. Vecteur des vitesses opérationnelles. La vitesse angulaire. Vecteur des accélérations des articulations.

T

La matrice de transformation entre les repères.

J(q)

La matrice Jacobienne. La matrice inertie. ix

SOMMAIRE

Vecteur des couples. Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis. Vecteur des forces de gravité. Les forces ou les moments extérieurs exercés sur l’organe terminal. Lagrangienne. Énergie cinétique. Énergie potentielle L’erreur de position. L’erreur de vitesse. L’erreur d’accélération. La position angulaire. La vitesse angulaire. La fonction de Lyapunov. m

La masse du bras.

L

La longueur du bras.

x

INTRODUCTION GÉNÉRALE

INTRODUCTION GÉNÉRALE Quand on parle de robotique, plusieurs idées viennent à l’esprit de chacun de nous. Historiquement, nous pourrions nous référer aux premiers concepts et automates de l’antiquité ou aux premiers robots comme à des personnages de la mythologie. C’est au siècle dernier que l’éclatement de la robotique industrielle a amorcé l’explosion des thèmes de recherche. A cette époque les robots étaient conçus en respectant les contraintes imposées par le milieu industriel, comme la répétabilité et la précision dans la réalisation des tâches, c’est avec les développements scientifiques, spécifiquement de l’électronique et de l’informatique mais aussi automatique, mathématique, mécanique, matériaux, que la technologie robotique a progressé. Les robots actuels sont dotés d’une intelligence qui leur donne une certaine autonomie qui va leur permettre de se diffuser dans de nouveaux domaines. Ce travail représente une introduction sur le domaine de la robotique et principalement la modélisation et la commande des robots manipulateur. Le mémoire est constitué de trois chapitres, chaque chapitre traite une partie de ce travail. Dans le premier chapitre nous exposons une introduction sur les robots industriels, les éléments constituants un robot manipulateur tels que la structure mécanique, les actionneurs ou les servomoteurs et les capteurs et aussi ce chapitre sera consacré aux modélisations des robots après avoir rappelé les principes et les méthodes de la modélisation. Le deuxième chapitre traite quelques techniques de commande des robots manipulateurs telle que la commande classique, la commande dynamique et la commande adaptative. Dans le dernier chapitre on va simuler la commande adaptative pour un robot manipulateur rigide à deux degré de liberté par deux lois de commande avec présentation des résultats de simulation. Finalement une conclusion générale sur le contenu des trois chapitres et les résultats obtenus par la simulation des deux lois de commande qui nous utilisent dans le dernier chapitre.

1

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Chapitre 01 MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS 1.1. Les robots industriels La robotique a toujours été une technique chargée d’un contenu émotionnel, bien avant qu’elle devienne une réalité industrielle et par l’économique, elle était présente dans tous les ouvrages d’anticipation. Dans le domaine industriel, l’approche n’était pas très différente. Certains responsables ont souffert, dans les années 60 et 70, de la pression des ouvriers sur les conditions de travail et de salaires. Il en est résulté le mythe de l’usine sans homme, qui a eu plus d’un adepte. Dans un tel contexte, deux solutions étaient proposées : l’usine automatique, dédiée à une production bien déterminée, ou l’usine robotisée, plus ou moins prête à exécuter n’importe quelle tâche dans un domaine assez large. Il a été créé de nombreuses usines automatiques dédiées.[1] 1.1.1. Introduction Les robots industriels ont été développés pour intervenir dans les milieux à risques, par exemple dans l’industrie nucléaire ou dans des environnements créant une forte corrosion. Un robot industriel peut aussi servir au maniement d'objets lourds, ce qui est une autre utilisation très courante. Les robots sont depuis longtemps utilisés dans les chaînes de montage de l'industrie Automobile où ils remplacent les ouvriers dans les tâches pénibles et dangereuses. 1.1.2. Historique L'origine du mot robot est issue du grecque "Robota" qui signifie travail forcé. Le terme de robotique est apparu en 1942 dans l'œuvre de l'écrivain ISAACASIMOV. Le premier robot manipulateur industriel, appelé Unimate, était un descendant direct des télémanipulateurs développés pour les besoins du nucléaire. Créé par George Devol dans les années 1950, il fut utilisé pour travailler sur les chaînes d'assemblage de General Motors à partir de 1961. Parmi les robots industriels, le KukaFamulus, qui date de 1973, fut le premier robot à 6 axes entraînés de façon électromécanique.

2

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Le Robot Delta, imaginé en 1985 par Reymond Clavel, professeur à l'École Polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL), possède un bras de manipulation formé de 3 parallélogrammes. Son brevet tombe dans le domaine public en 2007 et différents constructeurs devraient alors sortir leur propre robot delta. Le Jet Propulsion Laboratory (JPL) développe un robot industriel hexapode (à 6 pattes) du nom de Lemur. Lemur aura pour mission de monter, assembler et réparer des installations spatiales. Pesant moins de 5 kg, il offre la possibilité innovante d’adapter différents outils sur chacun de ses membres.[2] 1.1.3. Classifications des robots industriels Dans la robotique, on peut distinguer les robots industriels, composes d'un bras articule muni d'un effecteur, et les robots mobiles qui peuvent se déplacer en autonomie dans un environnement. Cependant, certains organismes, comme la JIRA (Japon Industrial Robot Association) ou l'AFRI (Association Française de Robotique Industrielle), ont établi des classifications plus précises, basées sur la spécificité fonctionnelle des robots. La classification élaborée par la JIRA est la suivante : 

Classe 1 : TELEMANIPULATEURS. Bras commandé par un opérateur humain.



Classe 2 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE FIXE. Contrôle automatique, mais difficilement programmable.



Classe 3 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE VARIABLE. Contrôle automatique, reprogramme mécaniquement.



Classe 4 : ROBOTS ≪ PLAY-BACK ≫. Séquences qui sont exécutées à l’origine sous la supervision de l’être humain, mémorisées puis rappelées pour être rejouées.



Classe 5 : ROBOTS AVEC CONTROLEUR NUMERIQUE. Les positions des séquences sont contrôlées par des données numériques.



Classe 6 : ROBOTS INTELLIGENTS. Le robot peut gérer son environnement à des modifications arrivant durant l'exécution.

La classification élaborée par l'AFRI est la suivante : 

Classe A : TELEMANIPULATEURS. Manipulateur maitre/esclave.

3

CHAPITRE 01



MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Classe B : MANIPULATEURS AUTOMATIQUES. Manipulateurs automatiques avec séquences fixes et variable (Machines à commandes numériques).



Classe C : ROBOTS PROGRAMMABLES. 1ere génération de robots.



Classe D : ROBOTS INTELLIGENTS. 2ème génération de robots. Ces classifications des seuls robots industriels en fonction du type de commande ont bien

vieilli, puisque tous les robots modernes, qu’ils soient à poste fixe ou mobile, sont conçus avec pour principal souci la détection de l’environnement, soit pour la sécurité des personnes et des biens, soit pour une meilleure autonomie de leur comportement. Ceci signifie qu’ils sont tous dotés d’un minimum de capteurs externes et qu’ils se trouvent tous dans la classe 6 de la JIRA ou la classe D de l’AFRI. Pourtant, tous ces robots sont loin d’être identiques en performance. On tentera plus loin de proposer une nouvelle classification qui peut prendre ce phénomène en compte.[2] 1.1.4. Applications Les robots manipulateurs industriels sont utilisés pour réaliser des tâches de déplacements d’outils, de manutention ou d’assemblage. Ils se substituent à l’homme ou prolongent son action en apportant précision, rapidité ou capacité à appliquer d’importants efforts. Parmi les applications les plus utilisées dans la robotique industrielle sont : 

Le soudage robotisé des châssis de voiture améliore la sécurité car un robot ne manque jamais son point de soudure et les réalise toujours de la même manière tout au long de la journée .À peu près 25% des robots industriels sont impliqués dans différentes opérations de soudure.



L’assemblage occupe environ 33% des applications des robots industries. Beaucoup de ces robots peuvent être trouvés dans l’industrie automobile et l’industrie électronique.



L’emballage et la pelletisation sont toujours des applications mineures des robots industriels, comptant seulement pour 2,8% des applications des robots.



L’industrie agro-alimentaire est un champ d’applications voué à jouer un rôle majeur dans le futur, les constructeurs développent une gamme spécifique de produits pour ce domaine.



Les applications dans l’industrie pharmaceutique et dans les biotechnologies constituent également un marché d’avenir encore presque vierge.[2]

4

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

1.2. Robot manipulateur Un bras manipulateur est le bras d'un robot généralement programmable, avec des fonctions similaires à un bras humain. Les liens de ce manipulateur sont reliés par des axes permettant, soit du mouvement de rotation, ou de translation (linéaire) de déplacement. Il peut être autonome ou contrôlé manuellement et peut être utilisé pour effectuer une variété de tâches avec une grande précision. Les bras manipulateurs peuvent être fixes ou mobiles (c'est-à-dire à roues) et peuvent être conçus pour des applications industrielles. Généralement, un robot manipulateur est considéré comme un système articulé rigide. Nous avons trouvé dans la littérature différentes définitions de ce système dynamique tel que : 

Celle donnée par JIRA (Japon Industrial Robot Association) : Un robot est un système versatile doté d’une mémoire et pouvant effectuer des mouvements comme ceux d’un opérateur humain.



Celle donnée par RIA (Robot Institute of America) : Un robot est un manipulateur à fonction

multiple

programmé

pour

réaliser

automatiquement

des

taches

variées

éventuellement répétitives. 

Celle donnée par AFNOR (Association Française de NORmalisation) : Manipulateur commandé en position, reprogrammable, polyvalent, à plusieurs degrés de liberté, capable de manipuler des matériaux, des pièces, des outils et des dispositifs spécialisés, au cours de mouvements variables et programmés pour l’exécution d’une variété de tâches. Il a souvent l’apparence d’un ou plusieurs bras se terminant par un poignet. Son unité de commande utilise, notamment, un dispositif de mémoire et éventuellement de perception et d’adaptation à l’environnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes ont généralement étudiées pour effectuer la même fonction de façon cyclique et peuvent être adaptées à d’autres fonctions sans modification permanente du matériel. [3]

1.2.1. Constitution mécanique Un bras manipulateur est composé de quatre parties principales : a) Structure mécanique. b) Les servomoteurs (Actionneurs). c) Les capteurs. d) La partie commande.

5

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

1.2.1.1. Structure mécanique Une structure mécanique qui sera le squelette du robot, peut être divisée en deux parties distinctes comme le montre la figure (1.1) : a) Organe terminal : les tâches qui sont dévolues aux robots sont très variées. Pour chaque opération ou travail spécifique, l’organe terminal prend un aspect particulier. b) Élément porteur : il est composé d’un ensemble de corps souples ou rigides liés par des articulations, servant à déplacer l’organe terminal d’une configuration à une autre.

Figure ‎1-1 Robot à chaîne simple

1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs) Le second élément correspond aux servomoteurs qui vont permettent au robot d'effectuer réellement ses actions. Ces servomoteurs seront commandés par la partie commande en interaction avec les informations transmises par les capteurs. Le terme "servo" induit en effet un asservissement effectué en fonction d'une comparaison avec le résultat souhaité et la réalité extérieure.

Figure ‎1-2 Servomoteur

1.2.1.3. Les capteurs La troisième partie composante d'un robot correspond aux différents capteurs sensoriels équipant le robot pour une application particulière.

6

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Figure ‎1-3 Capteurs de vitesse et position

1.2.1.4. La partie commande Quatrième le cerveau (La partie commande) : cette partie qui va permette au robot d'analyser les données provenant des capteurs et d'envoyer les ordres relatifs aux servomoteurs.[4]

Figure ‎1-4 La partie commande du robot manipulateur

1.3. Modélisation d’un bras manipulateur Pour développer une stratégie de commande performante pour un robot, il est impératif de connaître la cinématique et la dynamique du manipulateur considéré. Pour cela on est souvent amené à décrire les différentes relations mathématiques qui permettent de définir les mouvements de ce dernier dans l’espace. Dans la pratique courante de robotique, la description du mouvement d’un robot manipulateur dans l’espace est réalisée en fonction des modèles de transformation entre l'espace opérationnel (dans lequel est définie la situation de l'organe terminal) et l'espace articulaire (dans lequel est définie la configuration du robot). Parmi ces modèles, on distingue : 

Les modèles géométriques direct et inverse qui expriment la situation de l'organe terminal en fonction de la configuration du mécanisme et inversement,

7

CHAPITRE 01



MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Les modèles cinématiques direct et inverse qui expriment la vitesse de l'organe terminal en fonction de la vitesse articulaire et inversement,



Les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot, qui permettent d'établir les relations entre les couples ou forces exercés par les actionneurs et les positions, vitesses et accélérations des articulations. Dans le présent chapitre, on présentera quelques définitions concernant ces modèles ainsi

que la façon de leurs obtentions. 1.3.1. Modélisation géométrique 1.3.1.1. Modèle géométrique direct Le modèle géométrique direct permet de déterminer la position et l’orientation de l’organe terminal du manipulateur par rapport à un repère de référence en fonction des variables articulaires, le modèle s’écrit : (1.1) Où Par exemple, si le manipulateur se déplace dans l’espace on pose m=6 (3 coordonnées pour la position et 3 coordonnées pour la rotation). S’il se déplace dans un plan on pose m=2 et si en plus on est concerné par la rotation on pose m=3. La position de l’organe terminal peut être définie par des cordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques. Le choix d’une structure particulière est guidé par les caractéristiques du robot, ainsi que par celle de la tâche à réaliser.[4] Pour calculer le modèle géométrique du robot manipulateur, il existe 3 méthodes, la première est la méthode classique, la deuxième est la convention de DenavitHartenberg (DH) et la troisième méthode est la convention de DenavitHartenberg modifié (DHM). a. La méthode classique Le principe de cette méthode est basé sur les trois étapes suivantes:  Fixer des repères à chaque corps du robot. Figure (1-5).  Calculer les matrices homogènes entre chaque corps  Calculer la matrice homogène entre la base du robot et l’organe terminal. (1.2)

8

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Figure ‎1-5 Choix des repères de la méthode classique

b. Convention de Denavit-Hartenberg (DH) La convention de Denavit et Hartenberg (DH 1955) est une méthode systématique. Elle permet le passage entre articulations adjacentes d’un système robotique. Elle concerne les chaînes cinématiques ouvertes où l’articulation possède uniquement un degré de liberté, et les surfaces adjacentes restent en contact. Pour cet aspect l’utilisation des charnières ou des glissières est indispensable. Le choix adéquat des repères dans les liaisons facilite le calcul des matrices homogènes de DH et permet d’arriver à exprimer rapidement des informations de l’élément terminal vers la base ou l’inverse.[1] Cette méthode est destinée à systématiser la modélisation de n'importe quel type de robot série. Ses principaux avantages sont :  Simplification maximale du modèle géométrique.  Établissement d'une norme reconnue par tous. Hypothèse : On peut représenter l'attitude d'un repère Ri par rapport à un repère Ri-1 à l'aide de 4 paramètres uniques à condition de fixer deux contraintes [5]  DH1 : l'axe  DH2 : l'axe

de

est

coupe l'axe

à l'axe

de

.

.

Le premier repère (X0,Y0,Z0) dans la première articulation et le dernier repère (Xn,Yn,Zn) dans l’organe terminal.

9

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Figure ‎1-6 Choix des référentiels de Denavit- Hartenberg

Les termes

sont appelés les paramètres de Denavit- Hartenberg.



θi : c’est l’angle entre Xi-1 et Xi mesuré autour de Zi-1.



di : c’est la distance entre Xi-1 et Xi mesuré autour de Zi-1.



αi : c’est l’angle entre Zi-1 et Zi mesuré autour de Xi.



ai : c’est la distance entre Zi-1 et Zi mesuré autour de Xi.

Décomposition en 4 transformations élémentaires : 

Rotation autour de z d'un angle θ.



Translation le long de z d'une longueur d.



Translation le long de x d'une longueur a.



Rotation autour de x d'angle α.

Comme ces transformations sont faites par rapport au repère courant, on a : (1.3) (1.4)

(1.5)

(1.6)

c. Convention de Denavit-Hartenberg modifiée (DHM) La méthode de DH modifiée où le repère Ri est tel que l'axe zi est suivant l'articulation n° i et 10

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

non pas i+1. Dans cette méthode le premier repère (X0,Y0,Z0) dans la base du bras manipulateur et le dernier repère (Xn,Yn,Zn) dans la dernière articulation. Les paramètres de Denavit- Hartenberg modifiée :  θi : c’est l’angle entre Xi-1 et Xi mesuré autour de Zi.  di : c’est la distance entre Xi-1 et Xi mesuré autour de Zi.  αi : c’est l’angle entre Zi-1 et Zi mesuré autour de Xi-1.  ai : c’est la distance entre Zi-1 et Zi mesuré autour de Xi-1.

(1.7) (1.8)

(1.9)

(1.10) La convention Denavit-Hartenberg c’est la plus utilisée pour déterminer la position et l’orientation de l’organe terminal par rapport au repère de référence, et la plus répandue pour exprimer le passage du repère Ri-1 au repère Ri.[5] 1.3.1.2. Modèle géométrique inverse Le modèle géométrique inverse permet de déterminer le vecteur des variables articulaires à partir du vecteur de coordonnées opérationnelles, le modèle s’écrit : (1.11) C’est-à-dire à partir de position de l’organe terminale dans la matrice vecteur des variables articulaires

, on cherche le

. (1.12)

11

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Avec

1.3.2. Modélisation cinématique 1.3.2.1. Modèle cinématique direct Le modèle cinématique direct permet de déterminer la vitesse de l’organe terminal dans l’espace opérationnel en fonction de la vitesse des variables articulaires.[5] Le modèle est décrit par l’équation : (1.13) Où L’une des méthodes utilisées pour le calcul de la matrice jacobéenne est la dérivation du modèle géométrique direct :

(1.14)

La 2ème méthode est propagation de la vitesse : La détermination du Jacobien consiste à calculer les vitesses linéaires et angulaires en fonction des vitesses articulaires, les calculs se propagent de la base vers l’effecteur. Chaque élément du robot manipulateur est supposé rigide, son mouvement est décrit par les vecteurs des vitesses angulaires et linéaires. Ces vitesses seront décrites dans les repères associés aux articulations ensuite dans le repère de base.[7] 

1er étape : calcul des vitesses angulaires

La formule qui donne les vitesses angulaires

et est : (1.15)

La vitesse angulaire de l’articulation n par rapport à repère de base est : (1.16)

12

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

Où

Avec



2ème étape : calcul des vitesses linéaires

La formule qui donne les vitesses linéaires

et est : (1.17)

La vitesse linéaire de l’articulation n par rapport au repère de base est : (1.18) On a donc

alors le Jacobien

est :

(1.19)

1.3.2.2. Modèle cinématique inverse Le modèle cinématique inverse permet de déterminer la vitesse des variables articulaires en fonction de la vitesse des variables opérationnelles. Pour les manipulateurs non redondants, le modèle s’écrit : (1.20) La solution de l’équation (1.20) existe si

est de rang plein, cela est valable tant que le

manipulateur ne passe pas par une configuration singulière. Pour les manipulateurs redondants, le modèle cinématique inverse admet plusieurs solutions possibles. Le choix d’une parmi plusieurs est guidé par l’optimisation d’une fonction objective. Dans le cas régulier le nombre de degré de liberté (DDL) de l’espace de la tâche est égale nombre d’articulations du bras manipulateur et la matrice J est carrée avec un déterminant non nul. Le modèle cinématique inverse est déterminée par le calcul de la matrice inverse

.

Si le bras manipulateur possède six DDL avec une poignée de type rotule, la matrice prend la forme : 13

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

(1.21) Avec

deux matrices carrées inversibles.

Alors : (1.22) L’inversion de

est plus simple que l’inversion de .[7]

1.3.3. Modélisation dynamique Un système mécanique peut être traduit sous forme d’un modèle dynamique pour faciliter son étude grâce aux équations différentielles qui existent entre les variables d’état du mécanisme, leurs dérivés et les forces extérieures agissant sur chaque corps. [9] La forme la plus générale du modèle dynamique est : (1.23) Où : 

: La matrice inertie.



: Vecteur des couples.



: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.



: Vecteur des forces de gravité.

Cette équation exprime les couples (et/ou les forces) moteurs des actionneurs des différentes bras du robot manipulateur en fonctions des positions, des vitesses et des accélérations articulaires et des forces extérieurs à exercer sur l’organe terminal. Il exprime l’équilibre entre les couples d’entraînement et le couple de freinage dus aux inerties, aux forces centrifuges et de Coriolis ainsi qu’aux forces de gravitation. Ce modèle est aussi appelé, modèle dynamique inverse. [1] (1.24) Où : 

: Vecteur des positions articulaires.



: Vecteur des vitesses articulaires.



: Vecteur des accélérations articulaires.



: Les forces ou les moments extérieurs exercés sur l’organe terminal.

14

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

1.3.3.1. Formalisme de Lagrange Le modèle dynamique (1.24) est obtenu par l’équation d’Euler-Lagrange (E-L) suivante :

(1.25) Où L la fonction de Lagrange donnée par: (1.26) Avec 1.3.3.2. Calcul de l’énergie cinétique L’énergie cinétique totale du robot est : (1.27)

et l’élément

Où

est définit par : (1.28)

: est la matrice homogène de transformation de repère

à repère .

Avec

(1.29)

: La masse du corps n° i. La matrice d’inertie cinétique

est symétrique et définie positive (

dépend des variables articulaires

), alors l’énergie

et .[8]

1.3.3.3. Calcul de l’énergie potentielle L’énergie potentielle d’un bras manipulateur est donnée par : (1.30) Où:

(1.31)

Avec L’énergie potentielle dépend de la variable articulaire .

15

CHAPITRE 01

MODÉLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS

1.3.3.4. Formulation du modèle dynamique En exploitant les relations (1.25) et (1.26) nous obtenons: (1.32)

Où

: l’expression du couple

Avec :

(1.33)

Donc :

(1.34)

En remplaçant (1.32) dans (1.34) et en utilisant la symétrie de

trouve : (1.35)

L’utilisation des symboles de Christoffel : (1.36)

L’équation du modèle dynamique du robot manipulateur est:

1.4. Conclusion Dans ce chapitre nous avons exposé une introduction sur les robots manipulateurs industriels et ses classifications, la définition de quelques notions générales relatives aux mécanismes des robots manipulateurs à chaîne simple et les différents modèles utilisés pour décrire les mouvements des articulations d’un manipulateur et montré comment calculer ces modélisations (géométrique, cinématique et dynamique) auxquelles ils sont nécessaires pour la commande des robot manipulateurs.

16

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

Chapitre 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS 2.1. Introduction La commande des robots

manipulateurs a pour but de contrôler le déplacement des

actionneurs suivant une trajectoire programmée, donc problème de la commande des robots manipulateurs peut être formulé comme la détermination de l’évolution des forces généralisées (forces ou couples) que les actionneurs doivent exercer pour garantir l’exécution de la tâche tout en satisfaisant certains critères de performance. Durant ces trois dernières décennies, en vue d’améliorer les performances des manipulateurs, des recherches avancées ont permis de faire émerger de nouvelles techniques de commande non linéaire pour les applications aux robots manipulateurs. 2.2. Techniques de commande des robots Dans le cas où le modèle exact du robot est parfaitement connu, plusieurs stratégies de commande peuvent être appliquées. Cependant, en pratique, cette condition idéale n’est jamais tout à fait remplie vu les différentes perturbations agissant sur le robot manipulateur, et les incertitudes du modèle, d’où la nécessité d’adapter la commande. Différentes techniques sont utilisées pour la commande des bras manipulateurs. La conception mécanique du bras manipulateur a une influence sur le choix de schéma de commande. Un robot manipulateur est une structure mécanique complexe dont les inerties par rapport aux axes des articulations varient non seulement en fonction de la charge mais aussi en fonction de la configuration, des vitesses et des accélérations.[6] Parmi les commandes des robots manipulateurs les plus utilisées dans les applications industriels sont :  Commande classique.  Commande dynamique.  Commande adaptative.

p. 17

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

2.2.1. Commande classique La commande classique est l’ensemble des lois linéaires de type PID (proportionnel intégral dérivé) à gains constants, et le régulateur standard (PID) est le régulateur le plus utilisé dans l’industrie, car il permet de régler à l’aide de ses trois paramètres les performances (amortissement, temps de réponse) d’une régulation d’un processus modélisé par un deuxième ordre. Pour élaborer une commande PID, il faut considérer chaque articulation du robot comme un mécanisme indépendant et pouvant être linéarisé dans une zone de fonctionnement.[8]

Les paramètres du régulateur PID sont le gain proportionnel Kp, le temps intégral Ti et le temps dérivatif Td, les temps étant exprimés en secondes. La figure (2.1) présente le schéma d’une commande classique PID.

Figure ‎2-1 Schéma classique d’une commande PID

La commande classique tient le monopole dans le domaine industriel mais elle présente certains inconvénients et certains avantages. 2.2.1.1. Avantages  Facilité d’implantation.  Faible coût (implantation, temps de calcul). 2.2.1.2. Inconvénients  Cette commande, fondée sur un modèle linéaire du robot manipulateur, n’est plus acceptable pour les grands déplacements effectués à des vitesses importantes et demandant une bonne précision.  le terme intégral est indispensable pour éliminer l’erreur statique en position due aux forces de gravité. Cependant, pour une entrée de type rampe, l’erreur statique subsiste.

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

 la dynamique du manipulateur variant avec sa configuration, il ne sera pas possible de maintenir les performances du système pour toutes les configurations accessibles si les coefficients du correcteur sone constants.[8] 2.2.1.3. Lois de commande Si les forces de pesanteur sont compensées mécaniquement ou autrement, la loi de commande à choisir est du type PD : (2.1)

Dans le cas où les forces de pesanteur ne sont pas compensées, une commande PID est nécessaire et la loi correspondante est de la forme :

(2.2)    

: Position désirée. : Position réelle. : Vitesse désirée. : Vitesse réelle.

KP, KD, KI : matrices diagonales (n×n) contenant les gains KPi, KDi, KIi. L’implantation de la commande PID nécessite la connaissance des gains KPi, KDi, KIi de chaque articulation. Pour cela, on suppose que les équations dynamiques des articulations sont découplées et linéaires et en négligeant les forces centrifuge et Coriolis ainsi que les forces de pesanteur et de frottement. L’équation correspondant de chaque articulation prend la forme : (2.3) Où Ji : représente la partie fixe (ou maximale dans d’autre cas) de l’élément mij de la matrice d’inertie M(q). Le modèle est d’autant plus réaliste que le rapport de réduction est important, que les vitesses sont faibles et que les gains en position et en vitesses sont grands. On égalisant l’équation (2.3) avec une équation du système (2.2) on obtient : (2.4)

p. 19

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

La fonction de transfert en boucle fermée entre qi et qdi est comme suit :

(2.5)

donc, la présence d’une erreur.

On remarque bien que,

En robotique, la pratique la plus courante consiste à choisir les gains de manière à obtenir comme pôles dominants un pôle double réel négatif, dans le but d’obtenir une réponse sans oscillations et rapide, l’autre pôle est choisi réel négatif mais loin des deux autres. L’équation caractéristique de la fonction de transfert (2.5) s’écrit sous la forme :

(2.6)

Si on pose

;

;

.

Alors (2.7)

Les pôles choisis sont donc comme suit : ;

;

D’où : (2.8) Avec

K>0

et

>0 .

Nous remarquons que les gains Kp ,KD , KI sont fonction de Ji supposé constant, mais en réalité Ji varie en fonction de la situation de l’ensemble du robot, donc l’amortissement n’est vraiment critique que pour la valeur de Ji choisie.[8] Les commandes de type PID sont implantées dans tous les contrôleurs de robots industriels actuels. Le système est considéré comme un système linéaire et chacune de ses articulations est asservie par une commande décentralisée de type PID à gains constants.

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

2.2.2. Commande dynamique Ce type de commande est aussi connu sous le nom de commande par découplage non linéaire ou couple calculé. La commande par découplage non linéaire « commande dynamique » est un asservissement non linéaire dont les paramètres utilisent un modèle de la dynamique du robot, la mise en œuvre de cette méthode exige le calcul en ligne du modèle dynamique et la connaissance des valeurs numériques des paramètres inertiels et de frottements ce qui ne constitue plus maintenant une limite rédhibitoire grâce aux évolutions technologiques en microinformatique et le développement de techniques d'identification. La commande dynamique n'est pas dans tous les cas le type de commande nécessaire pour obtenir une bonne précision et une bonne stabilité. En effet une commande classique suffit lorsque le robot manipulateur évolue sans contraintes de performance, de rapidité et de précision car dans ce cas, les inerties ont une influence moins importante, Pour évaluer ces performances, nous comparons cette stratégie (commande dynamique) à la commande classique de type PID.[12] La figure (2-2) présente le schéma d’une commande dynamique par découplage nonlinéaire.

Figure ‎2-2 Schéma d’une commande dynamique par découplage non-linéaire

Cette commande consiste à transformer par un retour d’état le problème de commande d’un système non linéaire en un problème de commande d’un système linéaire, ce qui permet ensuite d’appliquer les techniques classiques de la théorie de la commande linéaire. La commande dynamique présente des avantages comme elle présente des inconvénients.

2.2.2.1. Avantages  Bonne précision de suivi.  Application aux robots rapides.

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

2.2.2.2. Inconvénients  Nécessité d’une identification précise des paramètres du robot.  Nécessité d’un important temps de calcul.  Identification en ligne (paramètres de dernier corps). Parmi les solutions apportées pour remédier aux problèmes précédents, nous citons l’utilisation : 

Des systèmes informatiques performants.



Du formalisme de Newton-Euler pour l’identification en ligne.



D’un modèle dynamique réduit.

La commande dynamique a été étudiée par un ensemble de chercheurs depuis une vingtaine d’années dans le but de trouver une forme qui ne nécessite pas un temps de calcul important.[8] 2.2.2.3. Lois de commande Si l’équation du modèle est comme suit : (2.9) L’équation de la loi de commande sera donné par : (2.10)

Où :

Avec

(2.11)

estimés de

,



M : Matrice d’inertie.



C : Matrice des termes Coriolis, centrifuges et de gravités.



: Couple de frottement.

Dans le cas où le modèle dynamique est exact, l’équation (2.11) nous donne l’équation de l’erreur

.

(2.12)

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

L’équation de l’erreur est découplé et linéaire. Le bon choix des constantes Kp, KD et KI fait tendre asymptotiquement l’erreur vers zéro. À partir de l’équation (2.12) nous déduisons la fonction de transfert entre la position désirée et la position réelle mesurée :

(2.13)

La fonction de transfert (2.13) est unitaire, donc la trajectoire du robot doit suivre exactement la trajectoire d’erreur de modélisation. Le calcul de la commande dynamique dépend de la tâche à réaliser :  Si la charge est connue, sont identification se fait hors ligne.  Si la charge n’est pas connue l’identification en ligne est obligatoire.  Si vecteur de commande u est obtenu par un correcteur proportionnel dérivée et d’une anticipation en accélération. Il s’écrit donc : (2.14) En utilisant le fait que

dans le cas parfait, le comportement de l’erreur est alors

caractérisé par l’équation suivante : (2.15) Dans ce cas, l’erreur se comporte comme un système du second ordre. La pulsation propre et l’amortissement

sont alors réglés par les gains du correcteur : (2.16)

La présence d’un gain intégral est théoriquement inutile puisque le système asservi se comporte comme un double intégrateur. Cependant, en pratique, le gain intégral est utilisé pour diminuer l’influence des erreurs de modélisation puisque la commande en couple calculé a aussi tendance à être peu robuste face aux erreurs de modélisation.[8] Lorsque les erreurs de modélisation sont importantes, que ce soit à cause d’incertitudes sur les paramètres inertiels, soit à cause des charges inconnues soit à cause des frottements. L’équation de l’erreur sera donnée par la relation suivante :

p. 23

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

(2.17) Soit : (2 .18) Où : (2.19) Couple de perturbation. Nous déduisons que l’erreur de modélisation constitue une excitation pour l’équation de l’erreur ‘e’. Remédier à ce problème c’est augmenter les gains

,

et

.

2.2.3. Commande adaptative La commande adaptative a débutée dans les années 50 comme solution pour contrôler les processus fonctionnant sous des conditions et environnement variables dans le temps. Dans les années 60 plusieurs contributions de théorie de la commande ont été introduites dans le développement de la commande adaptative, comme par exemple l’approche d’état et les théories de stabilité. Au début des années 70 les différentes méthodes d’estimation ont été introduites dans la commande adaptative. L’utilisation de la commande adaptative a commencé au début des années 80 en parallèle avec une rapide évolution en micro-électronique qui permit d’implémenter des régulateurs adaptatifs sur des systèmes a microprocesseurs.[11] 2.2.3.1. Définition de la commande adaptative La commande adaptative est un ensemble de techniques utilisées pour l’ajustement automatique en temps réel des régulateurs des boucles de commande afin de réaliser ou maintenir un certain niveau de performances quand les paramètres du procédé à commander sont soit inconnus soit variantes dans le temps.[12] 2.2.3.2. Le principe En principe, un système de commande adaptative mesure un certain indice de performance du système à commander à partir de l’écart entre l’indice de performance désiré et l’indice de performance mesuré. Le mécanisme d’adaptation commande certains paramètres du système ajustable ou introduit un signal supplémentaire de commande d’après une certaine stratégie afin de minimiser l’indice de performance. La figure (2-3) représente le principe général d’un système dans une plage donnée de commande adaptative.[13]

p. 24

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

Figure ‎2-3 Principe des systèmes de commande adaptative

2.2.3.3. Différentes commandes adaptatives Bien qu’il existe plusieurs types de commande adaptatives nous présentons les plus répondues telles que : 

Gain-Scheduling.



Régulateur auto-adaptative.



Commande adaptative à modèle de référence.

L’ensemble des commandes ont pour rôles l’ajustement des paramètres du régulateur, mais ils diffèrent par la manière d’ajustement.[8] a. Gain-Scheduling Il est possible des fois de trouver des variables auxiliaires qui ont une grande corrélation avec le changement des paramètres dynamiques. Il est donc possible de réduire les effets des paramètres on ajustant le régulateur et on se basant sur ces variables auxiliaires. Le problème du Gain-Scheduling est la détermination des paramètres auxiliaires, qui nécessite la connaissance de la physique du système à commander. Ce procédé a la propriété de répondre avec grande vitesse aux variations processus.

La figure (2-4) donne un schéma bloc de cette commande.

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

Figure ‎2-4 Schéma bloc de la commande gain-scheduling

b. Régulateur auto-adaptative Dans le cas des systèmes adaptatifs, il est supposé que les paramètres du régulateur sont ajustés tout le temps et suivent les changements du processus. Cependant il est difficile d’analyser la convergence et la stabilité de tels systèmes. Pour simplifier le problème, on suppose que le processus a ses paramètres constants mais inconnus. Lorsque le processus est connu, la procédure d’ajustement du régulateur spécifier les paramètres nécessaires. Le régulateur auto-adaptatif est basé sur l’idée de séparer entre l’estimateur des paramètres inconnus et la procédure d’ajustement.[8] La figure (2-5) montre que les paramètres inconnus sont estimés en ligne utilisant les méthodes d’estimation récursives.

Figure ‎2-5 Schéma bloc d’un régulateur auto-adaptatif

Les paramètres estimés sont supposés prendre les valeurs réelles et les incertitudes de l’estimation ne sont pas considérées. Parmi les méthodes d’estimation des paramètres on cite : 

Les approximations stochastiques.



Les moindres carrés.



Les moindres carrés étendu et généralisés.

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS



La variable instrumentale.



Le maximum de Likelihode.

La combinaison des méthodes d’estimations et d’ajustements des paramètres permet d’avoir des régulateurs à différentes propriétés. En général, on estime les paramètres de la fonction de transfert du processus et les perturbations et cela donne un algorithme adaptatif indirect. Dans le cas où les paramètres du régulateur sont en fonction des paramètres du modèle, l’estimation est dite indirecte.[8] c. Commande Adaptative à Modèle de Référence (MRAS) La commande adaptative avec modèle de référence consiste à adopter l’organe de commande d’une façon à ce que le processus se comporte comme le modèle de référence. La détermination d’une loi de commande adaptative permet à la repense du système de suivre celle du modèle même en présence des perturbations en agissant sur les performances dynamiques du système. Le principe de cette commande est illustré dans la figure (2-6) :

Figure ‎2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le MRAS

L’ensemble du système de commande a une première boucle ordinaire contenant le modèle de référence et le mécanisme d’ajustement des paramètres du régulateur. Les deux nouvelles idées apportées par le MRAS sont :  Les performances sont fixées par le choix d’un modèle de référence.  L’ajustement des paramètres du régulateur est basé sur l’erreur : . Le but de cette régulation est la minimisation de l’erreur référence

(2.20) entre la sortie du modèle de

et la sortie du processus .

Le problème dans le cas du (MRAS) consiste à obtenir le mécanisme d’ajustement des paramètres du régulateur qui stabilise le système et réduit l’erreur à zéro [8].

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CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

2.2.3.4. Approches pour l’analyse des (MRAS) La construction d’un système adaptatif à modèle de référence consiste au : 

Choix d’u modèle de référence fixe les performances désirées.



Chois de la loi de commande.



Détermination de la loi d’adaptation.

Si le choix du modèle de référence et la loi de commande est lié aux performances désirées, la loi d’adaptation doit assurer la stabilité du système et la tendance de l’erreur vers zéro. Parmi les approches utilisées comme mécanismes, nous notons :  Les règles MIT (gradient).  La fonction de Lyapunov. a. Approche du gradient La méthode du gradient est utilisée en premier lieu par Whitaker dans son travail original. Le développement de cette approche envers le MRAS revient à utiliser les règles de MIT. 

Règle de MIT

Soit l’erreur entre

et

:

et θ le vecteur des paramètres à ajuster. Un critère à

minimiser est proposé comme : (2.21) Par conséquent pour que J soit petit il est raisonnable de changer les paramètres dans le sens négatif du gradient de J c.-à-d. : (2.22)

(2.23)

S’il est supposé que les paramètres θ changent plus lentement que les autres variables du système, alors on peut calculer

dans ce cas en supposant θ constant.

Représente la sensibilité du système et

détermine la vitesse d’adaptation des

paramètres. Le schéma de la figure (2-7) représente le modèle d’erreur.

p. 28

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

Figure ‎2-7 Le modèle d’erreur

Le choix du critère est arbitraire, si on pose : (2.24)

(2.25)

La règle de MIT est performante si

est choisi petit, mais sa valeur peut dépendre de

l’amplitude du signal et du gain du processus. En conséquence, il n’est pas possible de donner à une limite qui assure la stabilité globale du système. Il se peut que le système est stable pour des valeurs et non pour d’autres. Une façon de remédier au problème précédent est d’utiliser les règles MIT modifiées donnés par la formule. (2.26)

Une autre façon de limiter carrément la vitesse de convergence est d’introduire la fonction de saturation :

(2.27)

Il arrive parfois que le choix de larges des valeurs pour y provoque l’instabilité. Pour

toutes ces raisons, le choix d’une approche que se base sur la stabilité semble

meilleure.[8]

p. 29

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

b. Fonction de Lyapunov Les recherches extensives menées dans le but de trouver une méthode d’analyse de stabilité, qui assure la tendance de l’erreur vers zéro ont pu donner la fonction de Lyapunov. La méthode proposée par Lyapunov est valable pour les systèmes non-linéaires et dont l’idée est illustrée en figure (2-8). L’énoncé de la méthode est le suivant : l’équilibre est stable si on trouve une fonction réelle de l’espace d’état, sa courbe enveloppe l’état d’équilibre et la dérivée de la variable d’état pointe à l’intérieur de la courbe.

Figure ‎2-8 Illustration de la méthode de Lyapunov

Pour énoncer Formellement les résultats on considère l’équation différentielle suivante: (2.28) Avec Où x représente vecteur d’état de dimension n. Soit la fonction

Satisfaisant les conditions suivantes :



.

pour tout



est différentiable en



est définie positive.

et .

La condition suffisante pour une stabilité asymptotique uniforme pour le système (2.28) est: (2.29)

Alors

doit être définie négative :

La condition (2.29) fixera donc la loi d’adaptation assurant par suite la stabilité et la tendance de l’erreur vers zéro. [8].

p. 30

CHAPITRE 02

TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS

2.3. Conclusion Dans ce chapitre nous avons présentée quelques techniques de commande des robots industriels telle que la commande classique, la commande dynamique et la commande adaptative, ces derniers sont les commandes les plus utilisées dans l'industrie. Nous nous sommes plus particulièrement intéressés à la commande adaptative des robots manipulateurs car notre système possède un modèle dynamique non linéaire, paramètres inertiels variables, couplage entre les articulations et erreurs d’identifications. Le prochain chapitre nous présenterons la simulation de la commande adaptative pour un robot manipulateur à deux degrés de liberté.

p. 31

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Chapitre 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE 3.1. Introduction Lorsqu' un robot manipulateur doit être commandé de manière rapide et précise, les contraintes dynamiques doivent être prises en compte. Il est nécessaire de concevoir un système de commande plus sophistiqué qui prend en compte l’ensemble des forces dynamiques d’interactions. Le modèle dynamique doit être le plus complet possible et les paramètres qui le caractérisent doivent être bien identifiés. Le besoin à une commande adaptative vient compenser contraintes qu’opposent certains types de commandes. La simulation est effectuée sur un bras manipulateur à deux degré de liberté. 3.2. Modélisation du robot à deux degrés de liberté Un robot à deux degrés de liberté et qui a deux articulations rotoïdes.

Figure ‎3-1 Représentation du robot à deux axes rotoïdes

m1 : masse du corps 1 ;

m2 : masse du corps 2.

G1 : centre de masse du corps 1 ;

G2 : centre de masse du corps 2.

L1 : longueur du corps 1 ;

L2 : longueur du corps 2.

Lc1 : position du centre de masse G1 par rapport à O1. Lc2 : position du centre de masse G2 par rapport à O2. Ce bras est constitué de deux axes de masses respectives m1 et m2 de longueurs respectives L1 et L2, les vecteurs numériques utilisés pour la simulation sont celles des axes 2 et 3 du robot

p. 32

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Puma 560. Figure (3-2).

Figure ‎3-2 Le Puma 560

Soit : Vecteur des coordonnées opérationnelles donnant la position de l’organe terminal. Vecteur des coordonnées généralisées.

3.2.1. Modèle géométrique Les positions des masses m1, m2 sont données par [8]: (3.1) (3.2) Avec 3.2.1.1. Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiée (DHM) Nous définissons les paramètres (DHM) de ce robot manipulateur à 2 DDL comme suit : Tableau ‎3-1 Les paramètres de DHM

joint

θ

d

a

α

V.A

1

q1

0

0

0

q1

2

q2

0

L1

0

q2

p. 33

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage La matrice du passage globale est donnée par :

(3.3)

3.2.2. Modèle cinématique Le modèle cinématique appelé aussi modèle variation el permet de calculer les vitesses ou la variation de l’organe terminal en fonction des vitesses articulaires. (3.4) (3.5)

3.2.3. Modèle dynamique 3.2.3.1. Calcul de la matrice d’inertie Afin de calculer la matrice d’inertie M(q), on calcule d’abord ses éléments mij(q) par la formule (1.28),[7] on a donc : (3.6) (3.7) (3.8) Avec :

(3.9)

mp: une masse dans l’organe terminal. représente l’inertie par rapport à l’axe (Oi , Zi) du corps Ci.

Telle que

3.2.3.2. Calcul de la matrice A partir de la relation (1.36) et la matrice M(q), on peut calculer les éléments de la matrice

: (3.10) (3.11)

p. 34

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

(3.12) (3.13)

3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravité L’énergie potentielle de chaque corps Cj (i=1,2) s’obtient à partir de relation (1.31) et (1.32). (3.14) (3.15)

3.2.4. Modèle dynamique du robot à deux DDL D’après les paragraphes précédents, les matrices et le vecteur des termes des gravités du modèle dynamique du bras manipulateur sont exprimés comme suit : Matrice d’inertie : (3.16) Matrice des forces centrifuge et Coriolis : (3.17) Vecteur des efforts gravitationnels : (3.18) Le modèle dynamique est : (3.19) 3.3. La commande adaptative 3.3.1. L’estimation des paramètres par une loi de commande adaptative En l'absence de frottement ou d'autres perturbations, le modèle dynamique d'un bras manipulateur à 2 DDL est: (3.20) Où : 

: La matrice d’inertie (2 2).

p. 35

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE



: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis (2 2).



: Vecteur des forces de gravité (2 1).



: Vecteur de couple (2 1).

On pose : (3.21)

Où le terme

décrit une action de contrôle qui garantit une compensation

approximative des effets non linéaires et les découplages des articulations.[10]. : Vecteur de paramètres constants du robot (6 1). : Matrice en fonction de positions, vitesses et accélérations (2 6) Considérons la loi de commande avec K une matrice définie positive.

(3.22)

Avec

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Avec le terme

est l’équivalant de l’action PD (proportionnel dérivé).



: Vecteur (6 1) estimé du vecteur



: Matrice (2 2) estimé de la matrice M.



: Matrice (2 2) estimé de la matrice C.



: Vecteur (2 1) estimé du vecteur G.

.

En substituant (3.25) dans (3.21), donne : (3.26)

p. 36

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Où

La fonction de Lyapunov est définie par : (3.27)

Où

En utilisant la propriété

et la dérivée de la fonction

de Lyapunov est : (3.28)

La loi d'adaptation est choisie de telle sorte que

, qui est :

(3.29) donc l’équation (3.28) devient (3.30) :

Avec

(3.30) L’équation (3.29) peut aussi s'écrire sous la forme suivante : En intégrant les deux côtés de l'équation (3.29)

(3.31) Où Le schéma bloc de la loi de commande adaptative (3.29) est donné dans la figure 3-3. Avec

.

p. 37

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Figure ‎3-3 Le schéma bloc de la loi de commande (3.29)

Les éléments de la matrice variable Y pour l’équation (3.31) sont :

(3.32)

3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui varié dans le temps Dans le but de contrôler la trajectoire du robot manipulateur, si l'estimation de paramètre, est définie comme une nouvelle commande d’entrée [10] : (3.33) Où L’utilisation de (3.33) dans le modèle dynamique (3.25) est une stratégie de commande obtenu de telle sorte que les erreurs

et l'estimation du

sont bornées.

Épreuve : Afin d’obtenir la loi d'estimation des paramètres définis dans l'équation. (3.33) qui satisfait la stabilité du système en boucle fermé et assure les limites des erreurs. La fonction de Lyapunov proposé : (3.34)

p. 38

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

La dérivée de la fonction de Lyapunov est : (3.35) Avec

En utilisant la propriété

et la dérivée de la fonction

de Lyapunov devient : (3.36) On a

et

donc les premiers termes de l'équation (3.36) sont inférieurs ou égales

à zéro: (3.37) Pour la condition de stabilité, les derniers termes de l'équation. (3.36) doivent être égale à zéro : (3.38) Pour cette équation (3.38), il est très important de choisir la fonction équation, et il n'y a pas une certaine règle de choisir

pour résoudre cette

pour ce systèmes. Nous utilisons les

paramètres d'état du système pour la recherche de la fonction appropriée

comme une solution

de l’équation différentielle du premier ordre. Pour cela nous choisissons,

et de son dérivé tel

que [10] : (3.39) On remplace (3.39) dans (3.38) : (3.40)

Avec

et en divisant l’équation (3.40) par

: (3.41)

En multipliant l’équation (3.41) par

: (3.42)

Nous pouvons écrire l’équation (3.42) comme suit : (3.43)

p. 39

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

L'intégration des deux côtés de l'équation (3.43) nous donne : (3.44)

(3.45) En divisant les deux côtés de l'équation. (3.46) par

: (3.46)

Avec :

et le constant C=2

(3.47)

Par conséquent, la loi d'adaptation des paramètres est :

(3.48) (3.49) (3.50) Le schéma bloc qui comprend l'adaptation des paramètres en utilisant la loi de commande (3.48) est illustré dans la figure (3-4).

Figure ‎3-4 Le schéma bloc de la loi de commande (3.48)

Les éléments de la matrice variable Y pour l’équation (3.48) sont :

p. 40

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

(3.51) Les paramètres du robot à 2 DLL sont présentés dans le tableau 3-2: Tableau ‎3-2 Les paramètres du robot m1 10Kg

m2

l1

5 Kg

l2

1m

1m

lc1

lc2

0.5m

0.5m

Les éléments du vecteur constant

I1

I2

10/12 Kg.m2

g

5/12 Kg.m2

9.81 m/s2

: [10]

(3.52)

3.4. La trajectoire désirée La dynamique du robot exige d’imposer des trajectoires réalisables, ainsi la continuité en position, vitesse et accélération offre au robot la possibilité de poursuivre la trajectoire avec des commandes réalisables. Pour notre simulation, un polynôme du troisième ordre est considéré comme une trajectoire de référence

, pour les deux articulations comme montre la figure suivante. [7]. (3.53)

Avec : 2.5

1.4

vitesse

1.2 théta

2

1

théta (rad)

dthéta/dt (rad/s)

1.5 0.8

0.6

1

0.4

0.5 0.2

0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-5 La trajectoire désirée

0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

et la vitesse désirée

p. 41

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Les angles des articulations changent de 0 rad à 2,5 rad en 3s et la vitesse variée entre 0 rad/s et 1.25 rad/s pendant 1.5s et entre 1.25 rad/s et 0 rad/s jusqu’à 3s, le temps d'échantillonnage est 0,01 s. 3.5. Résultats de simulation Pour une comparaison de la loi de commande proposée par le contrôleur connue (3.29) et le contrôleur (3.48) en utilisant les mêmes paramètres tels que K et , les algorithmes de commande développés sont appliquées au modèle pour la même trajectoire désiré afin d'analyser les performances de chaque loi de commande. Dans cette simulation nous considérons que les perturbations externes sont négligeables. 3.5.1. Simulation de schéma bloc 1 sans la charge Les résultats des positions et des vitesses réelles et désirés des deux articulations et ses erreurs sont présentés dans les figures (3.6) et (3.7) avec les paramètres :

2.5

0.06 e1

0.04 Erreur de position e1 (rad)

2

Angle (rad)

thd1 thr1 1.5

1

0.5

0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08

0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.1

3

3

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.02

Erreur de position e2 (rad)

2 Angle (rad)

0.5

e2

0.015

2.5

thd2 thr2

1.5 1 0.5 0

0

0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.02

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-6 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps

p. 42

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

1.4

0.4 thd1 thr1

de1

Erreur de vitesse de1 (rad/s)

la vitesse (rad/s)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.2

-0.4

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.08 dthd2 dthr2

de2

0.06

Erreur de vitesse de2 (rad)

1.2

la vitesse (rad/s)

0

-0.6

3

1.4

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.2

0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.08

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-7 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps

D'après la figure (3-6) nous remarquons que la valeur de l'erreur maximale en régime transitoire pour la première articulation est environ de 0.056 rad et pour la deuxième articulation est environ de 0.015 rad avec les valeurs des paramètres

sont :

À partir de la figure (3-7) on remarque que l’erreur de la vitesse pour la 1er articulation est environ de 0.03 rad/s et 0.078 rad/s pour la deuxième articulation. La figure suivante représente la commande U pour les deux articulations : la commande U 160 u1 u2 140

120

la commande U (N.m)

100

80

60

40

20

0

-20

-40

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2

La deuxième articulation suit la trajectoire qui lui correspond avec une erreur maximale de position mieux que la première articulation car la 1er articulation comporte les deux segments, par contre la 2ème articulation ne commande qu’un seul segment.

p. 43

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

3.5.1.1. Changement des paramètres qui sont équivalant à l’action de régulation PD jusqu’à

On augmente les paramètres 130 pour le K et 60 pour

, les résultats des positions et des vitesses avec ses erreurs seront

présentées dans les figures (3-9) et (3-10). Les paramètres sont :

2.5

0.015 e1

0.01

Erreur de position e1 (rad)

2

Angle (rad)

thd1 thr1 1.5

1

0.5

0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02

0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.025

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-3

3

x 10

4

e2

Angle (rad)

2

Erreur de position e2 (rad)

2.5

thd2 thr2

1.5 1 0.5 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

2

0

-2

-4

-6

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-9 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps 1.4

0.2 thd1 thr1

de1 Erreur de vitesse de1 (rad/s)

la vitesse (rad/s)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

0

-0.1

-0.2

-0.3

3

1.4

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.04 dthd2 dthr2

de2 Erreur de vitesse de2 (rad)

1.2 la vitesse (rad/s)

0.1

1 0.8 0.6 0.4

0.02

0

-0.02

-0.04

0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.06

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-10 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps

p. 44

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

Dans ce cas, l’augmentation des paramètres

et

nous donne des bons résultats par rapport aux résultats obtenus dans le cas précédant, de sorte que les valeurs maximales des erreurs de position e1 et e2 sont : e1 est environ de 0.013 rad et e2 est environ de 0.0037 rad, même pour les vitesses des deux articulations comme montre la figure (3-10), l’erreur de vitesse pour la 1er articulation est environ de 0.18 rad/s et pour la deuxième articulation est 0.038 rad/s. la commande U 200 u1 u2

la commande U (N.m)

150

100

50

0

-50

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-11 La commande pour chaque articulation U1 et U2

Avec

les couples actionneurs.

D’après la figure (3-11) qui représente les couples actionneurs des deux articulations sans charge, on remarque que la valeur de couple au début est 154 N.m pour la 1er articulation et puis commencera à diminuer jusqu'à ce qu'il atteigne à 15N.m à 3 secondes et pour la 2ème articulation est environ de 34 N.m jusqu’à -25.5 N.m pendant 3 secondes. Mais on remarque que le taux d’oscillation de la commande augmente par rapport au premier cas comme montre la figure (3-11). 3.5.2. Simulation de schéma bloc 1 avec la charge On suppose que l’organe terminal porte une masse de 3 Kg. Les résultats des positions et des vitesses avec ses erreurs seront présentées dans les figures (3-12) et (3-13) avec les paramètres :

p. 45

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

2.5

0.02 e1

0.015

Erreur de position e1 (rad)

2

Angle (rad)

thd1 thr1 1.5

1

0.5

0.01 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015

0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.02

3

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.01 e2

Angle (rad)

2

Erreur de position e2 (rad)

2.5 thd2 thr2

1.5 1 0.5

0.005

0

-0.005

0 -0.5 0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.01

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-12 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps 1.4

0.15 thd1 thr1

de1 Erreur de vitesse de1 (rad/s)

la vitesse (rad/s)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

0 -0.05 -0.1 -0.15

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.1 dthd2 dthr2

de2

0.08 Erreur de vitesse de2 (rad)

1.2 1 la vitesse (rad/s)

0.05

-0.2

3

1.4

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

0.1

0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.06

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-13 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps

On remarque que les articulations du robot suivent les trajectoires désirées, avec une erreur maximale acceptable dans le cas de la charge est 3 Kg. La valeur de l’erreur maximale dans l’articulation 1 dans la figure (3-12) est presque la même valeur que l’erreur d’articulation 1 sans charge, par contre la valeur de l’erreur maximale dans la deuxième articulation est augmentée un peu par rapport à la valeur maximale de l’erreur sans charge. On remarque que Les vitesses des deux articulations suivent les vitesses désirées avec des erreurs en environ de 0.1 rad/s pour la 1er articulation et pour la deuxième articulation environ de 0.04 rad/s.

p. 46

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE la commande U 200 u1 u2

150

la commande U (N.m)

100

50

0

-50

-100

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-14 La commande pour chaque articulation U1 et U2

On remarque que la valeur maximale du couple est 160 N.m pour la 1er articulation et puis commencera à diminuer jusqu'à ce qu'il atteigne à 0.8 N .m à 3 secondes et pour la 2ème articulation est environ de 70 N.m jusqu’à -60 N.m pendant 3 secondes avec une charge sur l’organe terminal de 3 Kg. 3.5.3. Simulation de schéma bloc 2 sans la charge Les résultats des erreurs e1 et e2 sont présentés dans les figures. (3-15) avec les paramètres

3

0.04

Erreur de position e1 (rad)

Angle (rad)

2

thd1 thr1

1.5 1 0.5 0

e1

0.03

2.5

0.02 0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.04

3

3

0.01

2.5

0.005

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Angle (rad)

2

Erreur de position e2 (rad)

e2

thd2 thr2

1.5 1 0.5 0

0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.025

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-15 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps

p. 47

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

1.4

0.4 thd1 thr1

de1 Erreur de vitesse de1 (rad/s)

1.2

rad/s

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

3

1.4

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.1 dthd2 dthr2

de2 Erreur de vitesse de2 (rad)

1.2 1 rad/s

0

0.8 0.6 0.4

0.05

0

-0.05

-0.1

0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.15

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-16 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps

D’après les résultats de la simulation obtenus dans la figure (3-15), on peut remarquer que les articulations du robot suivent les trajectoires désirées, avec une erreur maximale environ de 0.02 rad pour la première articulation et environ de 0.009 rad pour la deuxième articulation. Pour les vitesses, on a l’erreur de vitesse pour l’articulation 1 est 0.25 rad/s et 0.05 rad/s pour la deuxième articulation. 3.5.3.1. Changement des paramètres Les résultats des erreurs e1 et e2 sont présentés dans les figures. (3-17) avec les paramètres

3

0.01 e1

Angle (rad)

2

Erreur de position e1 (rad)

2.5

thd1 thr1

1.5 1 0.5 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.005

0

-0.005

-0.01

-0.015

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-3

3

4

2.5

2

x 10

Angle (rad)

2

Erreur de position e2 (rad)

e2

thd2 thr2

1.5 1 0.5 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0 -2 -4 -6 -8

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-17 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps

p. 48

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

1.4

0.1 thd1 thr1

de1

Erreur de vitesse de1 (rad/s)

1.2

rad/s

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

0

-0.05

-0.1

-0.15

3

1.4

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.05 dthd2 dthr2

de2

Erreur de vitesse de2 (rad)

1.2 1 0.8

rad/s

0.05

0.6 0.4 0.2

0

0 -0.2

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-0.05

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-18 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps

On remarque d’après la figure (3-17) que les deux articulations suivent les trajectoires désirées avec des erreurs maximales qui ne dépassent pas 0.01rad pour la première articulation et 0.004 rad pour la deuxième articulation. D’après les résultats de la simulation obtenus dans la figure (3-18), on remarque que l’erreur de vitesse pour l’articulation 1 est environ de 0.06 rad/s et 0.04 rad/s pour la deuxième articulation. la commande U 160 u1 u2 140

120

100

U

80

60

40

20

0

-20

-40

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-19 La commande pour chaque articulation U1 et U2

D’après la figure (3-19) qui représente la variation des couples actionneurs des deux articulations sans charge, on remarque que la valeur du couple au début est 140 N.m pour la 1er articulation et puis commencera à diminuer jusqu'à ce qu'il atteigne à 15 N.m à 3 secondes et pour la 2ème articulation est environ de 30 N.m jusqu’à -22 N.m pendant 3 secondes.

p. 49

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

3.5.4. Simulation de schéma bloc 2 avec la charge Les résultats des erreurs e1 et e2 sont présentés dans la figure (3-20) avec les paramètres

2.5

0.015

2

0.01

Erreur de position e1 (rad)

e1

Angle (rad)

thd1 thr1 1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

0.005

0

-0.005

-0.01

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-3

8

2.5

6

Angle (rad)

2

Erreur de position e2 (rad)

3

thd2 thr2

1.5 1 0.5 0

x 10

e2

4 2 0 -2 -4 -6

-0.5 0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

-8

3

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-20 Les positions angulaires et l’erreur de poursuite en fonction du temps 1.4

0.06 thd1 thr1

de1 Erreur de vitesse de1 (rad/s)

1.2

rad/s

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06

3

1.4

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

0.1 dthd2 dthr2

de2 Erreur de vitesse de2 (rad)

1.2 1 0.8 rad/s

0.04

0.6 0.4 0.2

0.05

0

-0.05

0 -0.2

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

-0.1

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-21 Les vitesses angulaires et l’erreur de vitesse en fonction du temps

D’après les figures (3-20) et (3-21) on remarque que malgré l’effet de la charge sur les deux articulations du robot, l’erreur maximale de position et de vitesse dans les deux articulations ont des valeurs acceptables.

p. 50

CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE la commande U 200 u1 u2

150

U

100

50

0

-50

-100

0

0.5

1

1.5 temps (s)

2

2.5

3

Figure ‎3-22 La commande pour chaque articulation U1 et U2

D’après les valeurs des couples actionneurs des deux articulations avec charge de 3Kg sur l’organe terminal, on remarque que la valeur de couple au début est 150 N.m pour la 1er articulation et puis commencera à diminuer jusqu'à ce qu'il atteigne à 0.85 N.m à 3 secondes et pour la 2ème articulation est environ de 60 N.m jusqu’à -59.7 N.m pendant 3 secondes. 3.6. Comparaison entre les deux commandes Les valeurs des erreurs de position et de vitesse dans les deux tableaux suivants sont valeurs obtenues par la simulation des deux lois de commande (3.29) et (3.48) avec ou sans charge et les valeurs des paramètres sont:

et

3.6.1. Sans charge Tableau ‎3-3 Résultats des erreurs de position et de vitesse sans la charge

Le schéma bloc 1

Le schéma bloc 2

Erreur de

1er articulation : 0.013 rad

Erreur de

1er articulation : 0.01 rad

position

2ème articulation : 0.0037 rad

position

2ème articulation : 0.0032 rad

Erreur de

1er articulation : 0.18 rad/s

Erreur de

1er articulation : 0.006 rad/s

vitesse

2ème articulation : 0.038 rad/s

vitesse

2ème articulation : 0.02 rad/s

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CHAPITRE 03

SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE

3.6.2. Avec charge Tableau ‎3-4 Résultats des erreurs de position et de vitesse avec la charge

Le schéma bloc 1

Le schéma bloc 2

Erreur de

1er articulation : 0.015 rad

Erreur de

1er articulation : 0.01 rad

position

2ème articulation : 0.008 rad

position

2ème articulation : 0.006 rad

Erreur de

1er articulation : 0.12 rad/s

Erreur de

1er articulation : 0.045 rad/s

vitesse

2ème articulation : 0.06 rad/s

vitesse

2ème articulation : 0.04 rad/s

D’après les deux tableaux (3-3) et (3-4) qui contiennent les valeurs maximales des erreurs on remarque que la simulation du deuxième schéma bloc nous donne des valeurs mieux que la simulation du premier schéma bloc dans les deux cas (avec ou sans charge) et avec les mêmes paramètres de telle sorte que les articulations du robot suivent les trajectoires désirées, avec une bonne performance même pour les commandes (les couples actionneurs) sont des valeurs acceptable pour notre système, donc la loi de commande (3.48) offre des meilleures performances que la loi de commande (3.29).

3.7. Conclusion Dans ce dernier chapitre nous avons présenté la simulation d’un robot manipulateur rigide à deux degré de liberté, nous avons commencé par la modélisation du bras manipulateur en exploitant le formalisme d’Euler –Lagrange. Une fois le modèle dynamique du robot est obtenu, nous nous sommes intéressés à la planification de trajectoire adéquate à la dynamique du robot afin de réaliser les poursuites de trajectoire en position et en vitesse. Par la suite nous avons développé deux stratégies de commande adaptative qui sont basées sur le théorème de stabilité du Lyapunove et on termine ce chapitre par une comparaison entre le de lois de commande utilisées dans la simulation du robot.

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CONCLUSIONS GÉNÉRALES

CONCLUSIONS GÉNÉRALES Le but de ce mémoire est de poser un schéma de commande adaptative pour les robots manipulateurs industriels, le contenu de ce travail est résumé par les points suivant : Nous avons exposé l’ensemble des éléments constituant un robot manipulateur, et rappelé les bases théoriques de la modélisation géométrique direct et inverse, cinématique direct et inverse et la modélisation dynamiques dans le premier chapitre. Nous avons ensuite montré quelques techniques de commande des robots industriels et leurs avantages et inconvénients et les lois de commande telle que la commande classique, la commande dynamique et commande adaptative dans le deuxième chapitre. Le troisième chapitre est consacré à la modélisation et à la simulation des deux lois de la commande adaptative d’un robot manipulateur à deux degrés de liberté, Cette étude a permis de définir un schéma général de commande adaptative qui rend possible la spécification des objectifs indépendants en asservissement et en régulation tout en conservant un point d’équilibre unique des paramètres du correcteur, la stabilité du système est assurée directement par la méthode de conception qui s’appuie sur la théorème de stabilité du Lyapunov. La simulation en temps réel est presque toujours utilisée, dans le développement de la commande des systèmes rapides, a fin de confirmer les bonnes performances réalisées par la simulation par MATLAB.

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RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Références Bibliographiques [1]

M. GIORDANO & J. LOTTIN. Description et fonctionnement des robots industriels. Livre 1er édition. France.1990.

[2]

S.B.NIKU. Introduction to Robotics Analysis, control applications. Livre seconde edition.USA. 1998.

[3]

R. MERZOUKI. Modélisation des systèmes articulés rigides. Coures de robotique Master 1 polytechnique de Lille/France 2005.

[4]

Melle N. AZOUI. Commande non linéaire d’un bras manipulateur. Mémoire d’ingénieur d’état.2009. Université de Batna/Département d’électronique.

[5]

J. GANGLOFF. Cours de Robotique. ENSPS 3A/MASTER ISTI/ France 2007.

[6]

I.H. AGUILAR. Commande des bras manipulateurs et retour visuel pour des applications à la robotique de service. Thèse du doctorat de l’Université Toulouse III/France/2007 (spécialité robotique).

[7]

S. REFOUFI. Commande neuro-floue optimisée par les algorithmes génétiques Application à la robotique. Univ-Sétif /Département d’électrotech/ Algerie. Mémoire du magistère. 2005

[8]

T. GUESBAYA. Modélisation et commande de bras manipulateur rigide à cinématique simple. Département d’électronique/ Unive-Sétif-Algerie. Mémoire du magistère 1994.

[9]

M. Tokhi & A.M. Azad. Flexible Robot Manipulators Modelling, simulation and control. Livre USA/New yourk/2008.

[10]

R. Burkan & I. Uzmay. A model of parameter adaptive law with time varying function for robot control. Article de Elsevier. Applied Mathematical Modelling 29/361–371. Kayseri/Turkey. 2005.

[11]

N. DOUKHI. Commande Floue Adaptative par Mode Glissant d’une Classe des Systèmes Non Linéaires. Mémoire de master Dept/élec-tech/Université de Sétif-Algérie. 2011.

[12]

W.KHALIL, E.DOMBRE. Modeling, Identification & Control Of Robots. Livre/New York/USA 2002.

[13]

B. BAYLE. Introduction à la Robotique. Thèse du doctorat. Université Louis Pasteur/ Strasbourg/France.2004.

p. 54

:‫ملـخـص‬

‫ تم إقتراح نظام التخطيط والتحكم في حركة الذراع اآللي باستخدام التحكم التكييفي و باإلعتماد على نظرية‬،‫في هذه الدراسة‬ . ‫ هو المسؤول عن التحكم المستمر و السليم للمسارالمقترح للذراع اآللي‬،‫ نظام المراقبة المقترح‬.‫ليابونوف الستقرار األنظمة الغير خطية‬ ‫ ويتم تقييم فعالية النظام‬.‫والجديد في النتائج هو أن نظام التحكم التكييفي تم باستخدام التقدير القانوني للقيم يداللة ديناميكية الذراع اآللي‬ ‫المقترح من خالل محاكاة ذراع آلي يحتوي على درجتي حرية من قبل الماتالب‬

.‫ أداء التتبع‬،‫ التكيف التحكم؛ الذراع اآللي؛ تقدير معلمة؛ استقرار النظام‬:‫كلمـات مفتاحيـــة‬ Résumé : Dans cette étude, un système de planification et de contrôle de mouvement des robots manipulateurs est proposé en utilisant la commande adaptative basé sur la théorie de Lyapunov pour la stabilité des systèmes non linéaires. Le système de commande proposé, est chargé de contrôler en permanence le bon suivi des trajectoires désirées pour le robot. La nouveauté de résultat obtenu est que l'algorithme de contrôle adaptatif est proposé en utilisant une règle d'estimation des paramètres en fonction de dynamique du robot manipulateur. L’efficacité du système proposé est évaluée à travers la simulation d’un robot manipulateur à deux degrés de liberté par MATLAB.

Mots Clés :

La commande adaptative; robots manipulateurs; l'estimation des paramètres; la stabilité du système; performance de suivi.

Abstract: In this study, a planning system and motion control of robot manipulators is proposed using adaptive control based on Lyapunov theory for stability of nonlinear systems. The proposed control system, is responsible for monitoring continuously the right track desired trajectories for the robot. The novelty of the result is that adaptive control algorithm is proposed using a rule based parameter estimation of dynamics of the robot manipulator. The effectiveness of the proposed system is evaluated through simulation of a robot manipulator with two degrees of freedom by MATLAB.

Key Words:

Adaptive control; Robot manipulators; Parameter estimation; System stability; Tracking performance.