Travaux dirigés de Commande optimale
Mastère professionnelle
���������� �� � �������� ��������
0=
∂ H ∂u
= 2u + λ
(b)
ème
4
condition :
Le temps final est connu T = 1 et l’état final x (1) est libre d’où dT = 0
���������� �� �
et dx ≠ 0 , la condition (6) impose alors :
1) L’expression du critère et du Hamiltonien sont donnés par : J (t0 ) = φ ( X (T ), T ) + 14243
∫
T
t 0
T
φ X +ψ TX υ − λ dX ≠0 =0 =0
L( X (t ), U (t), t ) dt
144244 244 3
=0
2
x + u
{
2
T
H ( X (t ), U (t ), λ (t ), t ) = L( X (t ),U (t ), t ) + λ f ( X (t ),U (t ), t ) 144244 244 3 2
x + u
2
Soit
144244 244 3
{
{
+
(φ
t
T
)
+ ψ t υ + H d T = 0 { =0
λ (T ) = λ (1) = 0
x&
4) Le système à résoudre est : 2) Le Hamiltonien est donné par : 2
λ (a ) ⇒ x& = − 2 (b) ⇒ λ & = −2 x
2
H = x + u + λ u
3) Les conditions d’optimalités sont : er
1 condition : x& =
���������� ���
∂ H ∂λ
1) C’est un problème de C.O linéaire quadratique à état final libre.
), u (t ), ), t ) = u = f ( x (t ),
2) La représentation d’état du système est : 2
ème
condition donne le système adjoint :
λ & = − 3
∂ H ∂ x
= −2 x
x& (t ) = Ax(t ) + Bu(t )
(a) avec :
ème
condition de stationnarité :
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0 1 , 0 0
A =
0 B= 1
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3) Le critère est de la forme : J (t0 ) =
avec R =
1 2
1 2
X T (3)S (3) X (3) +
q11
Q =
,
q21
T 4) On a : X QX = ( x1
soit
q11 = 2 q22 = 4 q + q 21 12
5) La résolution du problème de C.O linéaire quadratique à état final 1
T
(X 2∫
T
t 0
q12
q11 q21
− S& = Q + A S + SA − SBR B S ,
s11 (3) s12 (3) s21 (3) s22 (3)
q12 x1
2
= 2 x1 q22 x2
⇒ = 2 ⇒ q12 = q 21 = 1
d’où le système d’équations différentielle couplées suivant :
s&11 (t ) = −2 + 2 s122 (t ) s&12 (t ) = −1 − s11 (t ) + 2 s12 (t )s 22 (t ) s& (t ) = −4 − 2s (t ) − 2s 2 (t ) 12 22 22
définit
positive.
s11 (3) = 1 s22 (3) = 2 s (3) = s (3) = 0 21 12
avec les conditions terminales :
D’autre part on a : 1 2 =
soit
T
X (3) S (3) X (3) =
1
( x 2
2 1
1 2
( x1 (3)
s11 (3) s12 (3) x1 (3) = s21 (3) s22 (3) x2 (3)
6) Le gain de Kalman est alors :
x2 (3))
s11 (t ) s12 (t ) s12 (t ) s22 (t )
T G (t ) = R −1B S (t ) = 2 ( 0 1)
(3) + 2 x22 (3) )
s11 (3) = 1 s22 (3) = 2 s (3) = s (3) = 0 21 12
⇒
1 0 est définit 0 2
d’où
S (3) =
G (t ) = 2 ( s12 (t )
s22 (t ) )
���������� ���
positive.
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t p 3
s11 (t ) s12 (t ) s21 (t ) s22 (t )
2
2 1 est 1 4
T
avec S (t ) =
+ 4 x2 + 2 x1 x2
Q=
−1
T
S =
, q22
x2 )
libre nécessite la détermination de l’équation de Ricatti suivant :
QX + U T RU ) dt
A. Partie 1 :
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1) Il s’agit d’un problème de CO. Linéaire quadratique à état final fixe.
∂ H & λ 1 = − ∂ x = 0 1 ∂ H λ&2 = − = −λ 1 ∂ x2
soit :
2) On a :
T T T X Q X + U RU + λ ( AX + BU ) 2 =0 =0 x&1 1 2 = u + ( λ1 λ 2 ) 2 x&2
H =
1
{
=
1 2
ème
3
{
condition de stationnarité :
0=
∂ H ∂u
= u + λ 2 = 0
d’où la commande u (t ) = −λ 2 (t ) .
2 u + λ1 x2 + λ 2u
4) La solution du système adjoint donne le vecteur adjoint suivant : 3) Les conditions d’optimalités sont :
λ &1 = 0 On a : soit : λ&2 = −λ 1
ère
1 condition redonne les équations d’états du système.
& ∂ H x1 = ∂λ = x2 ∂ H 1 ⇒ x& = ∂ H ∂λ x&2 = =u ∂λ 2
NB :
λ&2
= −λ1
T T ⇒ ∫ λ&2 (t )dt = − ∫ λ1 (t )dt ⇒ λ2 (t ) = −λ1 (t ) ( t − T ) + λ2 (T ) t
t
5) D’après la condition de stationnarité on a :
ème
2
λ1 (t ) = λ 1 (T ) λ2 (t ) = −λ1 (T ) ( t − T ) + λ 2 (T )
condition donne le système adjoint :
u (t ) = −λ 2 (t )
∂ H T −λ& = = A λ ∂ x
* D’où la commande optimale u (t ) est :
u* (t ) = λ1 (T ) ( t − T ) − λ 2 (T )
6) Les équations d’états sont données par :
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x&1 = x2 x1 (0) = ξ 1 avec x&2 = λ1 (T ) ( t − T ) − λ 2 (T ) x2 (0) = ξ 2
* * En remplaçant (3) et (4) dans (1) et (2), on trouve x1 (t ) et x 2 (t ) en
fonction des conditions terminales.
D’où :
B. Partie 2 :
x*2 (t ) − x2 (0) =
t
∫ λ (T ) ( t − T ) − λ (T )u dt 1
0
1) Il s’agit d’un problème de C.O à temps final libre.
2
2) Le Hamiltonien est donné par :
Soit : *
x 2 (t ) =
1 2
T H ( X (t ), U (t ), λ (t ), t ) = L( X (t), U ( t), t) + λ f ( X ( t), U ( t), t ) 2
λ1(T )t
− λ1 (T )Tt − λ2 (T )t + ξ 2
(1) Soit : H =
x&1 = x2 ⇒ x1 (t ) − x1 (0) =
∫
t
0
x2 (t )dt
1 2
u 2 + 1 + λ1 x2 + λ 2u
3) Détermination des conditions terminales : D’où :
La détermination de T nécessite l’utilisation des conditions terminales. x1* (t ) =
1 6
1
1
2
2
λ1 (T )t 3 − λ1 (T )Tt 2 − λ2 (T )t 2 + ξ2 t + ξ1
En effet, le temps final T étant libre, dT ≠ 0 , à partir de la condition
(2)
d’optimalité suivante :
Sachant que :
T
φ +ψ υ − λ ) dX + (φ +ψ υ + H ) dT = 0 (144 42444 3 144 42444 3 X
x1 (T ) = 0 et x2 (T ) = 0 , les conditions terminales λ 1 (T ) et λ 2 (T )
T X
t
¨ =0
T t
H ( T ) =0
peuvent êtres déterminés à partir de (1) et (2) pour t = T . Nous avons :
λ1 (T ) =
12 T
λ2 (T ) = −
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3
ξ1 + 6
T
6 T 2
ξ − 2 1
ξ 2
2 T
ξ 2
(3)
H (T ) = 0 où encore sachant que x1 (T ) = 0 et x2 (T ) = 0 :
(4)
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u 2 (T ) + 1 + λ 2 (T )u (T ) = 0
or u (T ) = −λ 2 (T ) , on obtient alors :
λ 22 (T ) = 2 Connaissant λ 2 (T ) , (4) ⇒ T et (3) ⇒ λ 1 (T ) .
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