Modelare matematică ~ Importanță, caracterizare, exemple ~
Referat Modelare Matematică Jurchiș Florin – Ionuț, SPE, Anul 2.
În Geometry and experience, Sidelight on Relativity – 1983, Albert Einstein spunea: ”Matematica se bucură de o poziţie specială în raport cu celelalte ştiinţe pentru că legile ei sunt absolut certe şi indiscutabile ”. Încă din liceu am fost familiarizați cu aplicabilitatea matematicii in materii precum: chimie, fizică, în clasa a 12-a în special foloseam matematica în partea de genetică a biologiei și nu numai. În anul I și prezent ne- am folosit și ne folosim de rezolvarea unor probleme economice, financiare și de actuariat, cu ajutorul unor algoritmi și modele matematice. Astfel după cum vedem din cele ante-menționate, modelarea matematică deși greu de definit, este matematică aplicată în discipline precum cele de mai sus. După cum se precizează și in manualul nostru de Modelare Matematică, ( Anton S. Mureșan, Editura Mega, 2011 ), la dezvoltarea matematicii contribuie doua tipuri de forțe:1 interne și externe. Forțele interne țin de partea endogenă, aspectele interioare ale matematicii, matematica pură, teoretică, pe cand forțele externe, exogene cum le – am mai putea numi, țin de partea externă a matematicii, de aplicabilitatea ei: statistică matematică, probabilități, informatică, bio- matematică, teoria sistemelor, etc.2 Conceptul de "model", des folosit în ştiinţa modernă, este relativ nou, dar metoda modelării este tot atât de veche pe cât sunt preocupările oamenilor pentru cunoaşterea ştiinţifică.3 Modelul oferă o imagine intuitivă şi totuşi riguroasă, în sensul structurii logice, a fenomenului studiat, facilitează descoperirea unor legături şi legităţi imposibil sau foarte greu de găsit pe alte căi.
1 2 3
Anton S. Mureșan, Editura Mega, 2011, pg. 13 - 14 Ibidem, pg. 14 http://www.asecib.ase.ro
În elaborarea modelelor economico-matematice, teoria economică are un rol deosebit de important întrucât ea formulează categoriile, conceptele şi legile obiective ale realităţii economice. Numai sprijinindu-se pe teoria economică modelele matematice pot reprezenta fidel fenomenele economice. Modelele cibernetico-economice urmăresc să studieze relaţia dintre intrări şi ieşiri într-un organism economic, cu evidenţierea fenomenelor de reglare care determină buna funcţionare a sistemului. Majoritatea modelelor ciberneticoeconomice sunt macroeconomice. Modelele econometrice descriu comportamentul organismelor economice cu ajutorul unor sisteme de ecuaţii în care elementele numerice sunt determinate statistic. Şi aceste modele sunt, de obicei, macroeconomice. Modelele sistemice au drept obiectiv surprinderea ansamblului aspectelor dintrun organism economic.4 În Mathematical models in the applied sciences, Cambridge University Press 1998 A. C. Fowler scria: „nu există reguli şi nici o înţelegere clară privitoare la calea corectă ce trebuie urmată în modelarea matematică. De aceea există doar câteva texte care abordează acest subiect într-un mod serios. Modelarea matematică se învaţă prin practică prin exerciţiu pe multe exemple”. Matematicienii care fac matematici aplicate au un procedeu, aproape o filozofie, pe care-l aplică atunci când construiesc modele. Printre procedee amintesc: procedeul classic (legea lui Newton din mecanică; legile lui Ohm, Kirchoff, Ampere din electricitate, legea de conservare a masei a energiei, legea de conservare a impulsului şi alte legi), procedeul bazat pe legi constitutive (legea lui Hooke), și procedeu bazat pe „legi ipotetice”.
4
http://www.asecib.ase.ro
Revenind la model, în continuare am să prezint o listă cu câteva modele matematice:
Model pentru vibrația coardelor instrumentelor muzicale. Vibrațiile transversale ale unei coarde. Model pentru vibrația longitudinală a barelor. Model pentru vibrațiile transversale ale membranelor Model pentru propagarea undelor de temperatură în sol Model de transport de căldură prin conducție și convecție și radiație Model pentru propagarea sunetului Transportul de materie prin difuzie. Difuzia unui nor Model de propagare a undelor radio deasupra suprafeței Pământului Model de transport de substanță și difuzie.
Model de transport de căldură prin conducție și convecție și radiație. Există modele de transport de căldură prin conducție și convecție tratate într-o singură dimensiune, spre exemplu în creștere cristalelor profilate. Ecuația modelului de transport de căldură prin conducție și convecție și radiație este:5
k este coeficientul de conductibilitate termică a mediului, n este versorul normalei la 6ῳ, c este căldura specifică mediului, p este densitatea mediului, u este temperatura.67
5
H.S. Carslaw, J.C. Jaeger, Conduction of Heat in solids, Clarendon Press Oxford, 1959, 148 pg. 6 A.C. Fowler: Mathematical models in applied Sciences; Cambridge Univerity Press 1998. 7
Y. A. Tatarchenko, Shaped Crystal Growth, Kluwer Academic Publishers, 1993
”Este cunoscut faptul că Premiul Nobel nu se oferă pentru cercetări în domeniul matematicii. Totuşi, de-a lungul anilor mai mulţi matematicieni au fost distinşi cu acest premiu, pentru aplicarea matematicii în alte domenii. Leonid Kantorovich este unul dintre matematicienii căruia i-a fost decernat Premiul Nobel în 1975, împreună cu Tjalling Koopmans, Pentru contribuţia acestora la teoria folosirii 8
optimale a resurselor. ” Problema repartizării eficiente a resurselor limitate Această problemă e numită şi problemă a asortimentului optim, şi problemă a planificării producţiei. Problema dietei Mai are şi denumirile: problema nutriţiei, problema meniului optim. Din considerente de sănătate orice fiinţă trebuie să consume zilnic necesarul biologic constituit din cantităţi minime de anumite substanţe/principii nutritive: proteine, vitamine, glucide, hidrocarburi etc., care se conţin în anumite cantităţi în diferite produse alimentare. Problema dietei constă în asigurarea necesarului biologic cu cheltuieli minime. Fie: n
– numărul de produse alimentare;
m - numărul bi
de principii nutritive;
– cantitatea de principiu nutritiv i ce intră în necesarul biologic (i=1,…,m);
aij - cantitatea
de principiu nutritiv i ce se conţine într-o unitate de produs j, (i=1,…,m,
j=1,…,n); cj – costul unei unităţi de produs alimentar j,( j=1,…,n); xj – cantitatea
de produs alimentar j, (j=1,…,n), care urmează să fie întrebuinţat zilnic.
În notaţiile de mai sus, modelul matematic al problemei dietei are forma: f(x)=c1x1+c2x2 +…+cnxn → min,_______(8) ai1x1+ai2x2 +…+ainxn ≥ bi, i=1,…,m,____(9) xj ≥ 0, j=1,…,n. _____________________(10) 8
Cit. http://valungureanu.toateblogurile.ro
Dacă utilizăm notaţiile matriceale, atunci (8)-(10) se scrie: f(x)=cT x → min, Ax ≥ b, 9
x ≥ 0. Problema de transport
Problema portofoliului de investiţii. Teorema lui Pierre Fermat A fost datată
din 1637, despre imposibilitatea rezolvării în numere întregi a ecuaţiei:
xn + yn =zn,
unde n ≥ 3, demonstrată (pe 150 de pagini) abia în 1994 de către Andrew Wiles, profesor al Universităţii Princeton, este echivalentă cu următoarea problemă de programare matematică: – zn)2 + M (1 – cos 2πx)2 + M (1 – cos 2πy)2 + M (1 – cos 2πz)2 + M (1 – cos 2πn)2 → min, (xn + yn
n ≥ 3, x, y, z ≥ 1, M » 0 este un coeficient de penalizare. Din toate cele prezentate până acum putem trage concluzia importanței matematicii, nu doar din punct de vedere teoretic ci mai ales prin prisma importanței și aplicabilității sale prin modelare matematică în sprijinul multor discipline. Deoarece trăind intr-o lume cu resurse limitate în care acestea cresc în progresie aritmetică, iar populația globului crește în progresie geometrică, modelele economico –matematice sunt de importanță majoră, ele determinând costuri optime de producție, costuri minime de transport și distribuire a sarcinilor, etc. Cu alte cuvinte modelele economico – matematice caută un randament ridicat la costuri reduse și nu numai. Astfel modelarea matematică ajută la evoluția științei, gândirii și implicit evoluția omenirii.
9
V. Ungureanu, Programarea Matematică, Chişinău, USM, 2001
Bibliografie: Anton S. Mureșan, Modelare Matematică, Editura Mega, 2011 Albert Enstein, Geometry and experience, Sidelight on Relativity, 1983 H.S. Carslaw, J.C. Jaeger, Conduction of Heat in solids, Clarendon Press, 1959 A.C. Fowler: Mathematical models in applied Sciences; Cambridge U. Press 1998 V. Ungureanu, Programarea Matematică, Chişinău, USM, 2001 http://www.asecib.ase.ro http://valungureanu.toateblogurile.ro
