CUPRINS ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã ………………………………………………. ………………………………………………. II. Mulţimi ………………………………………………………………………. III. Relaţii binare ………………………………………………………………... IV. Funcţii ………………………………………………………………………. V. Operaţii cu numere reale …………………………………………………….. VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi ………………… …………………………………… ………………………... ……... VII. Numere complexe ………………………………………………………….. VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al IIII -lea ……………………………………... IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V ………………… …………………………………… …………………... ... X. Logaritmi …………………………………………………………………….. XI. Metoda inducţiei matematice …………………… ……………………………………… ………………………….. ……….. XII. Analizã combinatorie ………………………………………………………. XIII. Progresii …………………………………………………………………... XIV. Polinoame …………………………………………………………………. XV. Permutãri, matrici, determinanţi …………………………………………… XVI. Sisteme lineare ……………………………………………………………. XVII. Structuri algebrice ………………………………………………………...
3 6 9 11 12 14 16 18 24 24 26 27 29 30 32 35 36
GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE I. Triunghiul …………………………………………………………………….. II. Poligoane convexe …………………………………………………………… III. Relaţii metrice în triunghi …………………………………………………... IV. Patrulatere …………………………………………………………………... V. Poligoane înscrise în cerc ……………………………………………………. VI. Cercul ……………………………………………………………………….. VII. Complemente Complemente de geometrie planã ………………… ………………………………… ………………………. ………. VIII. Poliedre ……………………………………………………………………. IX. Corpuri rotunde ……………………………………………………………... X. Funcţii trigonometrice ……………………………………………………….. XI. Formule trigonometrice …………………………………………………….. XII. XI I. Inversarea funcţiilor trigonometrice ……………………………………….. XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple ………………………………… XIV. Elemete de geometrie analiticã ………………………………………… …………………………………………… …
39 40 40 42 43 43 44 45 49 50 51 53 54 55
ANLIZÃ MATEMATICÃ I. Siruri ………………………………………………………………………….. II. Limite de funcţii ……………………………………………………………... III. Funcţii derivabile …………………………………………………………… IV. Asimptote …………………………………………………………………… V. Primitive ……………………………………………………………………... VI. Integrale definite …………………………………………………………….
59 61 64 67 68 70
ANLIZÃ MATEMATICÃ I. Siruri ………………………………………………………………………….. II. Limite de funcţii ……………………………………………………………... III. Funcţii derivabile …………………………………………………………… IV. Asimptote …………………………………………………………………… V. Primitive ……………………………………………………………………... VI. Integrale definite …………………………………………………………….
59 61 64 67 68 70
ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã I.1. Noţiunea de propoziţie
Definiţia I.1.1. Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie adevãratã. 2) x + 5 = 3, x N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x y, x,y N este un enunţ despre care nu se poate spune s pune nimic. Deci nu este o propoziţie. Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propoziţii . Dacã o propoziţie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f .
I.2. Operatori logici Negaţia
Definiţia I.1.2. I.1.2. Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p . Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţiei v(non p) = 1 – v(p). p non p
1 0
Conjuncţia
0 1
Definiţia I.2.2. Conjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propoziţie p şi q este adevãratã. Se noteazã: p q
Tabela de adevãr a propoziţiei p q este: p
q
p q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
Disjuncţia
Definiţia I.2.3. Disjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã cel puţin una din propoziţiile p, qeste adevãratã. Se noteazã: p q Tabela de adevãr a propoziţiei p q este: p
q
p q
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 0
Implicaţia
Definiţia I.2.4. Implicaţia propoziţiilor p şi q este propoziţia care este falsã dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã. Se noteazã: (non p) sau q, p q şi se citeşte: “ p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia. Tabela de adevãr a propoziţiei pq este:
p
1 1 0 0
Echivalenţa logicã
q
1 0 1 0
non p(non p) q
0 0 1 1
1 0 1 1
Definiţia I.2.4. Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic , dacã şi numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan. Se noteazã (non p)q şi (non q) p; ( pq) şi (q p); pq; se citeşte: “ p echivalent cu q” sau “ p dacã şi numai dacã q”, “ p este condiţie necesarã şi suficientã pentru q”.
Tabela de adevãr a propoziţiei compuse pq este: p
q
non p
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 1 1
non q pq q p (p q) (q p)
0 1 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 0 0 1
I.3. Expresii în calculul propoziţiilor Propoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , , , , putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziţii sau expresii logice. Ele se noteazã sau (p,q,r,…), (p,q,r,…). Înlocuind în pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei , obţinutã pentru propoziţiile p,q,r,… respective. Definiţia I.3.1. O expresie logicã care se reduce la o propoziţie adevãratã, oricare ar fi propoziţiil e p,q,r,… se numeşte tautologie. Definiţia I.3.2. Douã expresii logice şi se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propoziţii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propoziţii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã .
I.4. Noţiunea de predicat
Definiţia I.4.1. Se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile un enunţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se obţine o propoziţie adevãratã sau o propoziţie falsã. Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulţimi date. Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propoziţiile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…) q(x,y,z,…).
I.5. Cuantificatori Definiţia I.5.1. Fie p(x), cu x M , un predicat. Dacã existã (cel puţin) un element x’ M , astfel încât propoziţia p(x’) este adevãratã, atunci scriem xp(x), ( x) p(x) sau ( x M ) p(x). Simbolul se numeşte cuantificator existenţial şi se citeşte “existã”. Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x M , un predicat. Dacã p(x) este o propoziţie adevãratã pentru orice x M , atunci scriem xpx, ( x) p(x) sau ( x M ) p(x). Simbolul se numeşte cuantificator universal şi se citeşte “oricare ar fi”.
Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:
1. (x)(y)p(x,y) (y)(x)p(x,y); 2. (x)( y)p(x,y) (y)( x)p(x,y); Reguli de negare:
1. 2. 3. 4.
((x)p(x)) ((x)(p(x)); ((x)p(x)) ((x)(p(x)); ((x)(y)p(x,y)) ((x)(y)p(x,y)); ((x)( y)p(x,y)) (( x)( y)p(x,y));
I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absu rd Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (pq) (non pnon q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã pq, este totuna cu a demonstra cã non pnon q.
I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem: non(non p) p; (pq) (q p) (comutativitatea conjuncţiei); ((pq)r) (p(qr)) (asociativitatea conjuncţiei); (pq) (q p) (comutativitatea disjuncţiei); ((pq) r) (p (qr)) (asociativitatea discjuncţiei); ((pq)(qr))(pr) (tranzitivitatea implicaţiei); non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan; non(pq) (non p)(non q) (p(qr)) ((pq)(pr)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi (p(qr)) ((pq)(pr)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia
II. Mulţimi Moduri de definire a mulţimilor . Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x Rx2 – 3x + 2 = 0}). Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,… Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã a A şi se citeşte “a aparţine lui A”. Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea car e nu are nici un element. Se noteazã cu .
II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) (xA xB) şi (yB yA) Proprietãţile egalitãţii:
1. A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) (B = A) (simetria); 3. (A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);
II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: (A B) (xA x B) Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B. Proprietãţile incluziunii:
1. 2. 3. 4.
A, A A (reflexivitatea); (A B) (B A) (A = B) (antisimetria); (A B B C) (A C) (tranzitivitatea); A, A Relaţia de neincluziune se noteazã A B.
II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: A B = {xxA xB} Proprietãţile reuniunii:
1. 2. 3. 4. 5.
A, B: A B = B A (reflexivitatea); A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea); A: A A = A (idempotenţa); A: A = A; A, B: A A B, B A B.
II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: A B = {xxA xB} Proprietãţile intersecţiei:
A, B: A B = B A (comutativitatea); A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea); A: A A = A (idempotenţa); A: A = A, B: A B A, A B B A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea intersecţiei faţã de reuniune); 7. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii faţã de intersecţie); 8. A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbţia). 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A B = .
II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B: A \ B = {xxA xB} Proprietãţile diferenţei:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A: A \ A = ; A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C); A, B: A \ B = A \ (A B); A, B: A = (A B) (A \ B); A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C; A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C); A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C); A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B.
II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B: A B = (A \ B) (B \ A) Proprietãţile diferenţei simetrice:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
A: A A = ; A, B: A B = B A (comutativitatea); A: A = A = A; A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea); A, B, C: A (B C) = (A B) (A C); A, B: A B = A B \ (A B)
II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: ( A fiind o parte a lui E , adicã A E ) CEA = {xxE xA} Proprietãţi: (A, BE) 1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii); 2. CEA = E \ A; 3. CE = E; 4. CEE = ; 5. A CEA = A (principiul exluderii terţiului); 6. A CEA = (principiul necontradicţiei); 7. A B CEB CEA; 8. A \ B = CE(A B).
II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE) CE(A B) = CEA CEB; CE(A B)= CEA CEB.
II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: A x B = {(a,b)aA bB} Proprietãţile produsului cartezian ( A,B,C,D avem): 1. A x B B x A, dacã A B; 2. (A x B) (A x C) = A x (B C); 3. (A B) x C = (A x C) (B x C); 4. (A B) x C = (A x C) (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A B) x (C D) = (A x C) (B x D) Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B . Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E = sau dacã existã n N , astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}. Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R. Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exem plu: Mulţimea numerelor raţionale. Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã. Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E , astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F ; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0 , cardinalul mulţimii {1,2,…,n} cu n N , senoteazã cu n , iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero). Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci: A B = A + B -A B Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci: A B C= A +B +C - A B - A C - B C + A B C
III. Relaţii binare Relaţia binarã pe o mulţime Definiţia III.1. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţia binarã R pe M o parte a produsului cartezian MxM. Dacã x M este relaţia R cu y M, atunci scriem xRy sau (x,y) R. Deci o relaţie binarã se referã la perechile de elemente din M. Proprietãţi ale relaţiilor binare pe o mulţime: 1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã aM avem pe aRa. 2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã a,bM avem aRb implicã bRa.
3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã a,bM, aRb şi bRa implicã a=b. 4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã a,b,c M, aRb implicã bRc implicã aRc. Definiţia III.2. Se numeşte greficul relaţiei R definitã pe M mulţimea G = {(x,y) xRy}. Definiţia III.3. O relaţie binarã R definitã pe o mulţime nevidã M se numeşte relaţie de echivalenţã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã. Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a b (mod 3); de pildã 4 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie de echivalenţã. Definiţia III.4. Fie M o mulţime. R o relaţie de echivalenţã pe M şi a un element fixat din M. Se numeşte clasã de echivalenţã corespunzãtoare elementului a mulţimea C a = {x M xRa}. Douã clase de echivalenţã C a şi C b sau coincid (când aRb ) sau sunt disjuncte. Definiţia III.5. Fie M o mulţime şi R o relaţie de echivalenţã pe M. Se numeşte mulţimea cât a lui M în raport cu relaţia R şi se noteazã M/R mulţimea claselor de echivalenţã. Definiţia III.6. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţie de ordin pe M o relaţie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã. Se noteazã: “<” sau “” De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “ ” pe N, Z, Q şi R este o relaţie de ordine. Definiţia III.7. Fie M o mulţime nevidã şi “ ” o relaţie de ordin pe M. Aceastã relaţie de ordin se numeşte relaţie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã a,b M avem sau a
IV. Funcţii IV.1. Noţiunea de funcţie
Definiţia IV.1.1. Fie A şi B douã mulţimi. Prin funcţie definitã pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie) f, în baza cãreia oricãrui element a A i se asociazã un unic element, notat f(a) , din B. Mulţimea A se numeşte domeniu de definiţie, iar mulţimea B se numeşte codomeniu de definiţie sau domeniul valorilor funcţiei. Definiţia IV.1.2. Fie f:A B o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea G f a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)), a A. deci G f = {(a, f(a) a A} Definiţia IV.1.3. Se numeşte funcţie numericã o funcţie f:A B , pentru care atât domeniul de definiţie A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimilor numerelor reale (deci A, BR ).
IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective Definiţia IV.2.1. Fie f:A B o funcţie. Spunem cã f este o funcţie injectivã , dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A , x y , avem f(x) f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: x,yA: f(x) = f(y) x = y De exemplu: f:NN, definitã prin formula f(x) = x 2, este injectivã, dar g:ZN, g(x) = x 2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4. Definiţia IV.2.2. O funcţie f:A B este o funcţie surjectivã , dacã pentru orice b B existã cel puţin un element a A , astfel încât f(a) b. Deci f:A B nu este surjectivã dacã b B avem f(a) b()a A. De exemplu: f:RR, f(x) = ax, a 0 este surjectivã. Definiţia IV.2.3. O funcţie f:A B care este simultan injectivã şi surjectivã se numeşte funcţie bijectivã. De exemplu: Fie A = {x Rx 0} şi f:R R, f(x) = x 2. Funcţia f este bijectivã.
IV.3. Compunerea funcţiilor Definiţia IV.3.1. Fie funcţiile f:A B şi f:BC (domeniul de definiţie al funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei f ). Fie a A, atunci f(a) B, deci existã imaginea sa prin g , adicã g(f(a))C. Astfel putem defini o funcţie h:AC unde h(a) = g(f(a)) pentru a A . Funcţia h astfel definitã se noteazã g◦ f (sau gf ) şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f . Observaţii: 1. Dacã f:AB şi g:CD sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C.
2. Dacã f:AB şi g:BA sunt douã funcţii, are sens g◦f:A A şi f◦g:BB. în general f◦g g◦f. Teoremã. Fie f:AB şi g:BC şi h:CD trei funcţii. Atunci fiecare din funcţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
IV.4. Funcţia inversã Definiţia IV.4.1. Fie A o mulţime oarecare. Notãm cu 1 A:A A funcţia definitã astfel: 1 A(a) = a pentru a A. 1 A se numeşte funcţia identicã a mulţimii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1 A funcţia sa identicã. Atunci: 1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A B avem f◦1A= f 2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:C A avem 1A◦g = g Definiţia IV.4.2. O funcţie f:A B se numeşte inversabilã dacã existã o funcţie g:B A astfel încât g◦ f = 1 A şi f ◦g = 1 B. Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.
V. Operaţii cu numere reale V.1. Puteri naturale ale numerelor reale 1.
2. 3. 4. 5. 6.
(+a)n = +an (-a)2n = +a2n (-a)2n+1 = -a2n+1 aman = am+n am:an = am-n, a 0 ambm=(ab)m m
m
7. a :b = 8.
1
am
a b
m
, b 0;
m
1 a m , a 0; a
9.(am)n = amn = (an)m; 10. a0 = 1, a 0; 11. 0n = 0, n 0, nN. Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere naturale.
V.2. Identitãţi fundamentale Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c R şi nN, avem: 1. a – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b) 2 – (a – b)2; 2
2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2; 3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx + + dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2; 4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); 5. a3 + b3 = (a + b)(a 2 – ab + b2); 6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y2 + z2 – xy – xz – yz); 7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x); 8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2); 9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab 10.a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); 11.a5 + b5 = (a + b)(a 4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4); 12.(1 + a)(1 + a 2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5; 13.a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson); 14.an – bn = (a – b)(an-1 + an-2 b + … + abn-2 + bn-1); 15.a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2); 16.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a 2n + a2n-1 b + … + ab2n-1 +b2n); 17.(1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.
V.3. Radicali. Proprietãţi 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
1
m
a a ,a 0; m
1
m
a
1 m
a
a
1 m
,a 0;
a
m
a, a 0 ; m a m b m ab , a, b 0 ; m
m
1
m
1 ,a 0; a a m a m b m c m abc , a, b, c, 0 ; m
a :mb m
a b
, a 0, b 0 ;
8. m a n a mn a m n , a 0 ; 9. m a : n a mn a mn , a 0 ; 10. n a nm a m , a 0 ; n
11. a a a , a 0 ; 12. mn a mp n a p , a 0 ; 13. m a p n b q mn a pn b qm , a, b 0 ; m
n
m
n
m
14. m n a mn a n m a , a 0 ; 15. m a p : n b q mn a pn : b qm , a 0, b 0 ; 16. a 2 a , a R; 1
17. a a 2n1 a , a 0 ; 2 n 1 18. 2n1 a a, a 0 ; 19. a b a b 2 ab , a, b 0 ; 2 n 1
20.
2 n 1
A B
A C
2
A C
2
, dacã şi numai dacã A 2 – B = C2;
21.Expresia conjugatã a lui 3
a 3 ab 3 b 2
a b
este
a b
iar pentru
3
a 3 b
este
2
VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţi i afine ax + b = 0, a,b,xR Fie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã b
b
a
a
1. a 0, x = (soluţie unicã). S = { }. 2. a = 0 şi b 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ; 3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R. Semnul funcţiei afine f:R R, f(x) = ax + b, a 0 x b - a
f(X)
0 semnul lui a Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y semn contrar lui a
A(0,b)
x b
B( ,0) a
+
VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x R. Fie S b
mulţimea soluţiilor. Dacã:
1. a > 0, S =( , + ); a
b
2. a < 0, S = (-, ); a
3. a = 0, b > 0, S = R; 4. a = 0, b = 0, S = . Cazul 2. ax + b = 0, a,b,xR. Dacã: b
1. a > 0, S = (+, ] a
b
2. a < 0, S = [ ,+) a
3. a = 0, b = 0, S = R; 4. a = 0, b > 0, S = . Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţirea inecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).
VI.3. Modului unui numãr real x, daca x 0 x 0, daca x 0 x, daca x 0
Proprietãţi: x,yR, avem: x 0 x 0 ; x x ; x y x y sau x y ; x a a x a, a R; x x x ; x y x y ;
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. x y x y 8. x y x y ; 9. x y x y x y ; 10. xy x y ; 11.
x y
x y
, y 0.
Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul : 1. x a b , (a,b,xR, S = mulţimea soluţiilor) b
S
b<0 b=0 b >0
a {a – b; a + b}
2. x a b b
S
b<0 b=0 b >0
R R\{a} {-,a – b){a + b,}
3. x a b b
S
b<0 b=0 b >0
{a – b; a + b}
VII. Numere complexe Definiţia VII.1. Se numeşte numãr complex orice element z=(a,b) al mulţimii RxR = {(a,b) a,b R }, înzestrate cu douã operaţii algebrice, adunarea: z=(a,b), z’=(a’,b’)RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmulţirea: z=(a,b), z’=(a’,b’)RxR, z z’ = (aa’ -bb’, ab’ +a’ b) . Mulţimea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ .
VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe
z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i 2 = -1. Egalitatea a douã numere complexe z şi z’: a + i b = a’ + ib’ a = a’ şi b = b’ Adunarea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus – a – ib. Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex a + bi
1 nenul admite un invers a bi
a a b 2
de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” z,z’,z”C.
2
este distributivã faţã 2 a b b
i ; 2
Puterile numãrului i: mN, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i. Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeşte conjugatul lui z şi se noteazã a – ib = a ib z . Au loc urmãtoarele proprietãţi, z,z’,z”C. 1. z + z = 2a; 2. z - z = 2bi; 3. z z ' z z' ; 4. zz' z z' ; 5. zz ' a 2 b 2 (a bi)(a bi) ;
6.
z z '
z ' z
;
z z
7. z n z ; n
z ' z ' 8. .
z z
VII.2. Modulul unui numãr complex zC z z z
sau z a 2 b 2
Avem apoi: 1. z z 2. z z ' z z ' ; 3. z z ' z z ' z z ' ; 4. zz' z z ' ; 5.
z ' z
z ' z
, z 0.
VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe z = r(cos u + isin u) unde r = z , iar unghiul u[0,2) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice r cos u = a şi r sin u = b. De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci
z 2 , u
5 4
şi z = 2 (cos
5 4
i sin
5 4
).
VII.4. Formula lui Moivre
uR şi nN, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu) Consecinţele formulei lui Moivre cos nu = cosn u + C2ncosn-2u sin2u + C4ncosn-4u sin4u + …; sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + …; C n tgu C n tg u C n tg u ... 1
tg nu =
2
3
5
5
2 2 4 4 1 C n tg u C n tg u ...
.
VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex z = r(cos u + isin u)
u 2k u 2k r n cos i sin , k 0,1,2,...,n 1 n n 1
z n
k
1 n
n
cos k
2k
i sin
2k
, k 0,1,2,...,n 1 n n (2k 1) (2k 1) 1 k cos i sin , k 0,1,2,...,n 1 n n
Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie: n 1k k şi n 1k k
a ib
2 2 a b a
2
i
b
2 2 a b a
2
b
VII.6. Ecuaţia binomã
xn – A = 0, AC, A = (cos + isin ) xk = A1/nk, k = 0, n 1, AR, A < 0; xk = A1/nk, k = 0, n 1, AR, A > 0; xk =
n
p cos
2k n
i sin
2k n
, k = 0, n 1, AC\R
VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II -lea VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 x1
b 2a
, x2
b 2a
, = b2 – 4ac; sau
x1
b' ' a
, x2
b' ' a
, b = 2b’, ’ = b’2 – ac.
2. Formule utile în studiul ecuaţiei de gradul al II -lea: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP x14 + x24 = (x1 + x2)4 – 2x12x22= S4 – 4S2P + 2P2 3. Discuţia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2.
P -
<0
-
=0 >0
S -
P>0 P>0 P<0
S>0 S<0 S>0
P<0
S<0
Natura şi semnul rãdãcinilor Rãdãcini complexe: x1, 2
bi
Rãdãcini reale şi egale x1 x2
<0 X - f(x)
b
2a
Rãdãcini reale pozitive Rãdãcini reale negative Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este mai mare decât valoarea absoluta a celei negativi Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã este mai mare în valoare absolutã.
4. Semnul funcţiei f:RR, f(x) = ax 2 + bx + c, a,b,c R > 0: a 0, x1 < x2. x - x1 x2 f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0
=0 X - f(x)
2a
semnul lui a
+ semnul lui a +
x1 = x2 0
semnul lui a +
semnul lui a
5. Graficul funcţiei f:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR este o parabolã. Aceastã 2
b x funcţie se poate scrie şi sub forma f ( x) a , numitã formã canonicã. a a 4 2
>0 a>0 A(x1,0) B(x2,0) C(0,c)
y
V
C
b
2a
O A
B
,
4a
x
D 6. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea 1. Dacã a > 0, funcţia f (x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu realizeazã pentru x =
b 2a
2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax 2 + bx + c are un maxim egal cu realizeazã pentru x =
b
4a
4a
, minim ce se
, maxim ce se
2a
7. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax 2 + bx + c, a0
1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul (,
b şi strict 2a
b crescãtoare pe intervalul ,) . 2a
2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul (,
b şi strict 2a
b descrescãtoare pe intervalul ,) . 2a
Observaţie: Intervalele (,
b b şi 2a ,) se numesc intervale de 2a
monotonie ale funcţiei f . Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,cR, a0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului.
1. > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2); 2. = 0, f(x) = a(X – x1)2; 3. < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX 2 + bX + c Construirea unei ecuaţii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul 2 rãdãcinilor ei: x – Sx + P = 0, cu S = x 1 + x2 şi P = x1x2.
Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x 2 + b’x + c’ = 0, a,b,c,a’,b’,c’R, a,a’0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã: a b c 0 0 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0 a’ b’ c’ 0 0 a’ b’ c’ Condiţii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date şi sã fie în anumite relaţii cu rãdãcinile x 1 şi x2 ale ecuaţiei de gradul al doilea f(x)=ax 2 + bx + c a,b,cR, a0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant x,xR. Condiţii necesare şi suficiente Nr.crt. Relaţii între x1 , x2 , şi
1
2
< x1 < < x2 sau x1 < < x2 <
< x1 x2 <
1. f( )f() < 0 1. = b2 – 4ac = 0 2. af() > 0 3. af() > 0 4. < 5. >
3
x1 < < < x2
4
x1 < < x2
5
< x1 x2
x 1 x2 <
2a b 2a
1. af() < 0 2. af() < 0 ceea ce atrage dupã sine >0 1. af() < 0 1. = 0 2. af() > 0 3. <
6
b
b 2a
1. = 0 2. af() > 0 3.
b 2a
<
7
f(X) = 0, x, xR
8
f(X) 0, x, xR
1. 2. 1. 2.
0 a>0 0 a<0
Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax 2n + bxn + c = 0, nN, n > 2, prin substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma x n = y1, xn = y2.
VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II -lea
1. ax2 + bx + c > 0, a,b,cR, a0, S = mulţimea soluţiilor: a S > 0 a > 0 (-, x1)(x2, +) (x1,x2) >0 a<0 R\{x1} =0 a>0 =0 a<0 R <0 a>0 <0 a<0 2. 2. ax2 + bx + c 0, a,b,cR, a0, S = mulţimea soluţiilor: a S > 0 a > 0 (-, x1][x2, +) [x1,x2] >0 a<0 R =0 a>0 {x1} =0 a<0 R <0 a>0 <0 a<0 Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax 2 + bx + c 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).
VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali 1. Sisteme formate dintr-o ecuaţie de gradul al doilea şi una de gradul întâi Aceste sisteme sunt de forma: ax by c 0 ( S ) 2 2 a1 x b1 xy c1 y d 1 x e1 y f 1 0
Se rezolvã prin metoda substituţiei . În prima ecuaţie putem presupune cã sau a0 sau b0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b 0, atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia
y
c ax b
a
c
b
b
x .
Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul: a c y x b b ( S ' ) 2 a c a c a c a x 2 b x x c x d x e x f 1 0 1 1 1 1 1 b b b b b b
Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y. Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o soluţie realã. 2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã soluţii reale. 3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale. 2. Sisteme de ecuaţii omogene Un astfel de sistem este de forma: a1 x 2 b1 xy c1 y 2 d 1 ( S ) 2 2 a2 x b2 xy c2 y d 2
Sistemul (S) se numeşte omogen numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b 1XY + c1Y2 şi a2X2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea lor au acelaşi grad. Presupunem mai întâi cã d10 şi d20. Existã în aces caz numerele reale şi diferite de zero astfel încât d1 + d2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu şi cea de a doua cu şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent: a1 x 2 b1 xy c1 y 2 d 1 ( S ' ) 2 2 ( a2 a2 ) x ( b1 b2 ) xy ( c1 c2 ) y 0
Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a 3,b3,c3. Atunci: a1 x 2 b1 xy c1 y 2 d 1 ( S ' ) 2 2 a3 x b3 xy c3 y 0
Deoarece d10 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã x0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x 2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în 2
y y : c3 + b3 + a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k 1 şi k 2 pentru x x x y y x
adicã,
y x
= k1 şi
y x
= k2.
Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douã sisteme: y k 1 x y k 2 x şi (S 2 ) 2 ( S1 ) 2 2 2 a x b xy c y d 1 a1 x b1 xy c1 y d 1 1 1 1
Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecuaţii simetrice Definiţia VIII.3.3. O ecuaţie în douã necunoscute se zice simetricã dacã x cu y şi y y cu x , ecuaţia nu se schimbã. înlocuind x Rezolvarea Rezolv area sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p. Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemul dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie de se reduce la un sistem de ecuaţii format form at dintr-o gradul al doilea în necunoscutele s şi p.
IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treilea
ax3 + bx2 bx a = 0, a,bR, a0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0
IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patrulea
ax4 bx3 + cx2 bx + a = 0, a,b,cR, a0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin
substituţia y = x +
1 x
: a(x2 +
1 x
2
) b(x +
1 x
) + c = 0 sau ay2 + by + c – c – 2a= 2a= 0.
IX.2. Ecuaţia bipãtratã
ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c R, a0 2
2
Cu x = y , rezultã ecuaţia ay + by + c = 0, deci x1, 2,3, 4
b b 2 4ac 2a
X. Logaritmi Definiţia X.1. Fie a R*+, a 1 şi b R*+ douã numere reale. Se numeşte logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a obţine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab
Evident b a log b . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obţinem logaritmi naturali. a
Proprietãţi:
1. logab = logac b = c, (b,c > 0); 2. logaa = 1; 3. loga1 = 0 1
4. logaac = c; loga =- logab; logax2n = 2n logax , x0 b
5. log a m b
1 m
log a b, (b 0, m N , m 2) ;
6. logab logba = 1; 7. Formula de schimbare a bazei logaritmului: log
b a
log c b log c a
8. x>0 şi y>0 logaxy = logax + logay; 9. x>0 şi y>0 loga
x y
= logax – logay; cologax = - logay – log
10.a>1 şi x(0,1) logax < 0; a>1 şi x>1 logax > 0; 10.a>1 11.0 0; 01 logax < 0; a>1 şi 01 12. 13. x>0, y>0, a>0, b>0, a1, b1
log a x log a y
log b x log b y
;
14.x>0, a>0, a1, nN logax = logaxn; 14.x>0, 15.xxR, a>0, a1 ax = exlna. 15. Operaţii cu logaritmi zecimali 1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric. 2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului. 3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşte separat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele. -un numãr întreg: în cazul când caracteristica este 4. Împãrţirea unui logaritm printr -un pozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este ne gativã se împarte separat mantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive.
X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale 1. logax = b, a>0, a 1, bR. Soluţia: x = a b. 2. logax > b, bR. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a S a>1 (ab, +) 01 (0, ab) 0 < a < 1 (ab, +)
X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale
1. ax = b, a>0, a1, b>0. Soluţia x = log ab, bR 2. ax = b, a>0, a1, b0, nu are nici o soluţie realã 3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a b S a>1 b>0 (logab, +) 00 (-, logab) a>0 b<0 R a1 x 4. a < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem: a b S a>1 b>0 (-, logab) 00 (logab, +) a>0 b<0 a1
XI. Metoda inducţiei matematice XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano
Fie A o parte a lui N astfel cã: 1. 0A 2. (nN), nA n+1A. Atunci rezultã A = N.
XI.2. Metoda inducţiei matematice
Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem: 1. P(0) adevãratã; 2. nN, P(n) adevãratã P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n.
În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat nn0.
XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n n0. Dacã avem: 1. P(n0) adevãratã; 2. (mN, n0mk) P(m) adevãratã P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n n0.
XII. Analizã combinatorie XII.1. Permutãri
Definiţia XII.1.1. O mulţime împreunã cu o ordine bine determinatã de dispunere a elementelor sale este o mulţime ordonatã şi se notazã (a1 ,a2 ,…,an). Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mulţimi A cu n elemente toate mulţimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n N* , este P n=1 2 3 … n = n!; 0! = 1 (prin definiţie). Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! =
(n 1)! n 1
XII.2. Aranjamente Definiţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m n) ale unei mulţimi A cu n elemente, toate submulţimile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã Amn. Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este: Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) = Proprietãţi: Ann = Pn; Ann =
n! 0!
n! (n m)!
, nm.
sau Ann= n!; Ann1 Ann ; An0 1.
XII.3. Combinãri Definiţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m n) ale unei mulţimi A cu n elemente toate submulţimile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulţimii A. Se noteazã C . m
n
Proprietãţi: n C n; C n C n0 C 00 1 ;
1. 2. C nn C nnm ; C nm C nm1 C nm11 ; 3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n; 1 n
4. C nm C nm11 C nm11 ... C mm11 C mm1 C mm11 ; n!
5.
C n p C n p p ...C n( p ... p 1
p1! p2 !... pn !
2
1
m 1 )
1
unde p1 + … pm-1 < n
XII.4. Binomul lui Newton
(x + a)n = C n0 x n C n1 x n1a ... C nk x nk a k ... C nn a n (x – a)n = C n0 x n C n1 x n1a ... (1) k C nk x nk a k ... (1) n C nn a n unde nN Proprietãţ i:
1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k C nk xn-kak; C n 1
2.
k
3. Tk+2 =
n k
C n ; C n11 k
k 1 n k a
k 1 x
k
n k k 1
k
C n
;
Tk+1 sau Tk+2 =
n k a
Tk+1;
k 1 x
4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x a)n este n+1; 5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali. Relaţii importante : n n n n C n C n ... C n 2 ; C n C n ... (1) C n 0;
0
1
0
1
C n C n C n ... 2 ; C n C n C n ... 2 ; 0
2
n 1
4
1
3
5
n 1
C 2nn (C n0 ) 2 (C n1 ) 2 ... (C nn ) 2 Dezvoltãri particulare uzuale:
1. 2. 3. 4. 5. 6.
(a b)2 = a2 2ab + b2; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3; (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale Dacã Sp = 1p + 2p + …+ np, pN, atunci avem:
n(n 1)
n(n 1)(2n 1)
2
n( n 1 S1 ; S2 ; S3 2 6 2 3 2 2 2 2 n(n 1)(6n 9n n 1) n (n 1) (2n 2n 1) S4 ; S5 30
12
O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ C p1 1S p C P21S p1 ... C pp1 S1 n
XIII. Progresii XIII.1. Progresii aritmetice
Definiţia XIII.1.1. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… n î care fiecare termen, începând cu a 2 , se obţine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raţia progresiei . Se noteazã a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n2 (prin definiţie) an = a1 + (n – 1)r, n2 (prin definiţie) Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = Sn
2a 1 (n 1)r 2
(a 1 a n )n 2
n
Termenii echidistanţi de extremi . Într-o progresie aritmeticã suma termenilor echidistanţi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: a k + an-k+1 = a1 + an.
Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1 , astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1. Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.
XIII.2. Progresii geometrice Definiţia XIII.2.1. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se obţine din cel precedent prin înmulţirea acestuia cu un acelaşi numãr q (q 0) numit raţie . Se noteazã a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n2 (prin definiţie) an = a1qn-1, n2 (an în funcţie de a 1, q şi n) Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = a 1 Sn =
a1 a n q 1 q
n q 1
q 1
,q 1
Termeni echidistanţi de extremi . Într-o progresie geometricã, produsul a doi termeni echidistanţi de extremi este egal cu produsul termenilor extremi : a pan-p+1 = a1an.
Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un termen la mijloc, am+1 , astfel încât am2 1 a1a2 m1 . Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.
XIV. Polinoame XIV.1. Forma algebricã a unui polinom
f C[x] este f = a0Xn + a 1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber. ~ ~ Funcţia polinomialã asociatã lui f C[x] este f :CC f () = f() C; f() fiind valoarea polinomului f în . Teorema împãrţirii cu rest: f,gC[x], g0 existã polinoamele unice q,rC[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g. Împãrţirea unui polinom cu X -a: Restul împãrţirii polinomului f C[x], f 0 la X-a este f(a). Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b 0Xn-1 + b1Xn-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a 0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an la binomul X-a; precum şi restul acestei împãrţiri r = f(a); a0 a1 an-1 an … a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=ab n-1+an
XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor Definiţia XIV.2.1. Fie f,g C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm g f dacã q C[x] astfel încât f=gq. Proprietãţi: 1. a f, aC*, f C[x]; 2. g f şi f 0 r = 0; 3. g f şi f 0 grad f grad g; 4. aC* af f; 5. f f (refelexivitate); 6. f g şi g h f h (tranzitivitate); 7. f g şi g f aC* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate). Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeşte cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g. 2) d’ f şi d’ g d’ d şi notãm d=(f,g) Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele.
Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeşte cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m. 2) f m’ şi g m’ m m’ Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m =
f g d
XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor Definiţia XIV.3.1. Numãrul C se numeşte rãdãcinã a polinomului f dacã ~ şi numai dacã f ( ) = 0. Teorema lui Bezout: Numãrul C este rãdãcinã a polinomului f 0(X-a) f. Definiţia XIV.3.2. Numãrul se numeşte rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f 0 dacã şi numai dacã (X-a) f iar (X-a) p+1 nu-l divide pe f . Teoremã: Dacã f C[x] este un polinom de gradul n şi x1 ,x2 ,x3 ,…,xn sunt rãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1 ,m2 ,m3 ,…,mn atunci m m m f a0 ( X x1 ) ( X x2 ) ...( X xn ) unde a0 este coeficientul dominant al lui f , iar m1 + m2 + … + mn = grad f . 1
2
n
XIV.4. Ecuaţii algebrice
Definiţia XIV.4.1. O ecuaţie de forma f(x) = 0 unde f 0 este un polinom, se numeşte ecuaţie algebricã . Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali. Teorema lui D’Alambert -Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã). Formulele lui Viete: Dacã numerele x1 ,x2 ,…,xn sunt rãdãcinile polinomului f C[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + …+ an, a00 atunci: a1 x x ... x n 1 2 a0 a2 x1 x 2 ... x1 x n x 2 x3 ... x n1 x n a 0 a3 x1 x 2 x3 x1 x 2 x 4 ... x n2 x n1 x n a0 ...................................................... a x1 x 2 ... x k x1 x 2 ... x k 1 x k 1 ... x m k 1 x mk 2 ... x m (1) k k a0 ....................................................... n an x x x ... ( 1 ) 1 2 n a0
XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z Teoremã: Dacã f R[x] admite pe = a + ib, b0 ca rãdãcinã atunci el admite ca rãdãcinã şi pe = a – ib, iar şi au acelaşi ordin, de mutiplicitate. Teoremã: Dacã un polinom f Q[x] admite pe = a + b d (a,bQ, b0, dR\ Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi pe = a – b d , iar şi au acelaşi ordin, de mutiplicitate. Teoremã: Dacã un polinom f Z[x], grad f 1, admite o rãdãcinã = (p,q) = 1 atunci p an şi q a0. În particular dacã f Z[x] are rãdãcina =pZ atunci p an.
p 2
Q,
XV. Permutãri, matrici, determinanţi XV.1. Permutãri se numeşte permutare de gradul n
Definiţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, daacã :A A şi bijectivã. 1
2
=
(1)
(2)
n
...
... (n)
Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n! 1 2 ... n 1 2 ... n
1A = e, permutarea identicã e = Compunerea permutãrilor 1
Fie ,Sn atunci o =
( (1))
2
( (2))
Transpoziţii Definiţia XV.1.2. Fie i,j A, i j, j, daca k i ij (k ) i, daca k j k, daca k i, j
...
ij
S n ,
n
Sn ... ( (n)) ij
se numeşte transpoziţie dacã:
1 2 ... i ... k ... j ... n ij (k ) 1 2 ... j ... k ... i ... n
Observaţii: 1. (ij)-1 = ij; 2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este C n2 Signatura (semnul) unei permutãri Definiţia XV.1.3. Fie (i,j) AxA, i
() = (-1)
m()
se numeşte signatura lui .
n(n 1)
2
;
Observaţii: 1. Permutarea se numeşte parã dacã () = 1, respectiv imparã dacã () = - 1; 2. Orice transpoziţie este imparã; 3. ( )
(i) ( j )
1i j n
i j
;
4. ( o) = ()().
XV.2. Matrici Definiţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxN C A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane: a11 a12 a21 a22 A ... ... a m1 am 2
... a1n
... a2 n ... ...
şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu
... amn
elemente numere complexe. Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeşte pãtraticã de ordinul n , iar mulţimea lor se noteazã M n(C). Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,B M m,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij (i,j) MxN. Operaţii cu matrici: 1. Adunarea Fie A,BMm,n(C) atunci C = A + B Mm,n(C) unde cij=aij + bij (i,j)MxN este suma lor. Proprietãţi A,B,CMm,n(C): 1. A+B = B+A (comutativitate); 2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate); 3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0); 4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este – A). 2. Înmulţirea cu scala ri Fie AMm,n(C) şi C atunci B=AMm,n(C) unde bij=ij (i,j)MxN este produsul matricei A cu scalarul . Proprietãţi A,BMm,n(C) şi C. 1. 1A = A; 2. A = A; 3. (A+B) = A + B; 4. (+)A = A + A; 5. (A) = ()A = (A).
3. Transpusa unei matrici Fie AMm,n(C) atunci tAMm,n(C) unde taij = a ji, (i,j)MxN 4. Înmulţirea matricelor Fie AMm,n(C) şi BMn,p(C) atunci C=ABMm,p(C) unde
n
cij aik bkj
,
k 1
(i,j)MxN este produsul lor Proprietãţi:
1. (AB) C = A(BC) (asociativitate); 2. AIn = InA (element neutru-matricea unitate) 1 0 I n ... 0
0
... 0
... 0 ... ... ... 1
0 ... 1
3. (A+B)C = AC + BC; 4. A(B+C) = AB + AC.
XV.3. Determinanţi
Fie Mn(C) – mulţimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:
a11 a12 a21 a22 A ... ... a m1 am 2
... a1n
... a2 n , AMn(C) ... ...
... amn
Definiţia XV.3.1. Se numeşte determinantul matricii A , numãrul det A = ( )a1 (1) a2 ( 2) ...an ( n) S n
det A =
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
an1
an 2
... anm
...
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + a inAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:
a 11
a 12 ... a 1j-1
a 21
a 22 ... a 2j-1
...
.... ... ...
a 1j1 ... a 1n a 2j1 ...
... a 2n ... ...
Aij = (-1)i+j a i11 a i-12 ... a i-1j-1 a i-1j1 ... a i-1n a i 11 a i12 ... a i 1j-1 a i 1j1 ... a i 1n ...
...
a n1 a n2
...
...
...
... ...
... a nj-1
a nj1
... a nm
Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,CMn(C)) Determinantul de ordinul 2: a11
a12
a21
a22
a11a22 a12 a21
Determinantul de ordinul 3: a11
a12
a13
a21
a22
a23 a11a22 a33 a21a32 a13 a12 a23 a31 a31a22 a13 a11a32 a23 a21a12 a33
a31
a32
a33
XV.4. Inversa unei matrici
Fie AMn(C), dacã det A0 existã A-1Mn(C) astfel încât AA-1 = In, InMn(C), In – matricea unitate: A11 A21 1 A12 A22 1 A ... det A ... A1n A2 n
... An1
... An 2 ... ...
... Ann
XVI. Sisteme lineare XVI.1. Notaţii:
aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 2n n 2 (S) 21 1 22 2 , m – ecuaţii, n – necunoscute; ....................................... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bn
a11 a12 a21 a22 A ... ... a m1 am 2
... a1n
a11 a12 ... a2 n a21 a22 , A ... ... ... ... ... amn a m1 am 2
... a1n b1
... a2 n b2 , ... ... ... ... amn
bn
r – rangul matricii A = rangul sistemului
XVI.2. Compatibilitatea
Sistemul (S) este compatibil determinat dacã:
1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = 0, atunci xI = a11 a12 a22 a i 21 ... ... a n1 an 2
i , unde
... b1 ... a1n
... b2 ... a2 n ... ... ... ...
... bn ... ann
2. r = n < m şi rang A = r. Sistemul (S) este incompatibil dacã r min (m,n) şi rang A = r + 1.
XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0)
1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = x n = 0) dacã r = n; 2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.
XVII. Structuri algebrice XVII.1. Monoid Fie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea); M2. eM astfel încât x*e = e*x = x xM (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E E, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor).
XVII.2. Grup Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG(asociativitatea); G2. eG astfel încât x*e = e*x = x xG (e element neutru);
G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative; 2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate), comutativ; 5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H G, H este subgrup dacã x,y H x*y H şi x H x’ H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,), (G2,): Definiţia XVII.2.2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia XVII.2.3. f:G 1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia XVII.2.4. f:G 1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1 , dacã f este un izomorfism (morfism).
XVII.3. Inel Fie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y şi AxAA, (x,y)xy, A nevidã; Definiţia XVII.3.1. (A,+, ) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,) este monoid şi D. este distributivã faţã de +: x(y+z) = x y + yz (y+z)x = yx + yz, x,y,zA dacã C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bi a,bZ} 3. (Rn,,) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,) – inelul claselor de resturi modulo n. Fie inelele (A,,*) şi (A’,,o): Definiţia XVII.3.1. f:A A’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este bijectivã şi f(xy) = f(x)f(y), f(x*y) = f(x) of(y), x,yA. Definiţia XVII.3.2. (A,+, ) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x0, y0 implicã x y0.
Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã divizori ai lui zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+, ) este inel, atunci (A[X],+ , ) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienţi în A. f A[X], f = a 0 + a 1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an0, grad f = n (an – coeficient dominant); - dacã a0 = a1 = … = a n, f = 0 (polinom nul), grad 0 = - . Proprietãţi: 1. grad ( f+g) max{grad f , grad g}; 2. grad f g grad f + grad g. Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad f g = grad f + grad g, f,g A[X].
XVII.4. Corp Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y şi KxK k, (x,y)xy, K – nevidã. Definiţia XVII.4.1. (K,+, ) este corp dacã (K,+, ) este inel, 01 şi xK, x0 x-1K, astfel încât x x-1 = x-1 x = 1. Dacã xy = yx x,yK, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ) – corpul numerelor complexe; 4. (Q( d ),+,) – corpul numerelor pãtratice (d Z, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ) – corpul claselor de resturi modulo p ( pN*, p >1, p – numãr prim). Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K, ,*) şi (K’, , o ), f:K K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x y) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,y R. Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi g K[X], g0: f K[X], existã polinoamele q,rK[X], unic determinate astfel încât f = q g+r, grad r < grad g.
GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE Notaţii:
- lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b; - lungimile segmentelor importante în triunghi: AD = ha (ADBC, ha lugimea înãlţimii din A, D BC); AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D (BC)); AD = ba (BAD =CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D (BC)); -
abc 2
= p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);
AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S; R – raza cercului circumscris unui poligon; r – raza cercului înscris într-un poligon; ln – latura poligonului regulat cu n laturi; an – apotema poligonului regulat cu n laturi; P – perimetrul poligonului; Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã); Atot – aria totalã, notatã şi A; V – volumul.
I. Triunghiul Inegalitãţi gemetrice : 1. m(MBA) > m(A), m(MBA) > m(C), MBA este unghi exterior; 2. a+b > c, b+c > a, a+c > b 3. a > b-c , b > c-a , c > a-b A 4. ma <
bc 2
5. p < ma + mb + mc < P Teorema bisectoarei (BAD DAC) ac ab ; BD ; DC DC AC bc bc BD
M
B
C
AB
Observaţii: 1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie al mediatoarelor; 2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor; 3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor. 4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.
II. Poligoane convexe Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi: Sn = (n – 2)180 Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui alt cerc.
III. Relaţii metrice în triunghi III.1. Triunghiul dreptunghic ABC (m(A) = 90, ADBC) 1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2; 2. Teorema catetei: b2 = aCD, c2 = aBD; 3. Teorema înãlţimii: h a2 =BDDC; 4. h
bc
, hb b, hc c ; 2 a 3 3 ma , mb2 a 2 b 2 , mc2 a 2 c 2 ; 2 4 4 bc 2a 2a ba ; 2 ; bb c ;bc b bc ac ac bc A ABC ; 2 a R ; 2 bc r ; abc a
5. 6. 7. 8. 9.
10.Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice: b = asin B, b = acos C , b = ctg B, b = cctg C . III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c) 1.
ha ma ba
2.
A ABC
3.
R
4.
r
a2 3
a 3
3 a 3 6
4
;
a 3
2
III.3. Triunghiul oarecare ABC (ADBC) 1. Teorema lui Pitagora generalizatã: a) b2 = a2 + c2 – 2aBD, dacã m(B)<90 ; b) b2 = a2 + c2 + 2aBD, dacã m(B)>90 ; 2. Relaţiile lui Steward O (BC): b2BO + c2CO – a2AO = aBOCO; 3.
ma2
2(b 2 c 2 ) a 2
4. ha
4 2
;
p( p a)( p b)( p c) ;
a
ba
2
7.
p( p a)bc ; bc a ha A ABC S; 2 S p( p a)( p b)( p c) ;
8.
R
abc
5. 6.
9. r
4S S p
;
.
III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice 1. Teorema sinusurilor:
a
sin A
b
sin B
c
sin C
2 R ;
2. Teorema cosinusului: a b c 2bc cos A; cos A 2
3. Teorema tangentelor: 4. S 5.
ab sin C
2
,S
tg
2
A B
2 a sin B sin C 2
2 sin A A B C p 4 R cos cos cos ; 2 2 2 ha 2 R sin B sin C ;
2
tg
C
2
ba
2bc bc
cos
A
2
;
ab
2bc
;
;
, S p( p a)tg
6. 7. ma2 R 2 (sin 2 A 4 cos Asin B sin C ) ; 8.
ab
2 2 2 b c a
A
2
, S 2 R 2 sin A sin B sin C ;
A
p( p a)
2
bc
9. cos 10. sin 11. tg
A
2
A
2
;
( p b)( p c) bc
( p b)( p c) p( p a)
;
.
IV. Patrulatere IV.1. Paralelogramul ABCD (AB CD, BC AD, DEAB) ACBD = {O} OA = OC, OB = OD AABCD = ABDE AABCD = ABADsin A. A
D
IV.2. Dreptunghiul
D
ABCD (AB CD, BC AD, A = 90) AC = BD AABCD = ABAD
C O E
C O
A
B
IV.3. Rombul ABCD (AB CD, BC AD, AB = BC) AC = d1, BD = d2 AB = a ACBD AABCD =
B
D A
C
d1 d 2 2
IV.4. Pãtratul ABCD (AB CD, BC AD, AB = AC A = 90, AB = a, AC = d) AC = BD ACBD d=a 2 AABCD = a2.
B D
C O
A
B
IV.5. Trapezul
D
C
ABCD (AB CD, AB = B, DC = b MN – linie mijlocie) M MN =
B b
AABCD =
2 ( B b) h 2
M MN h
N
A E
B
V. Poligoane înscrise în cerc V.1. Patrulaterul înscris în cerc
A
+ BCD = 180; BAC BDC; Teorema lui Ptolomeu ABDC + ADBC = ACBD AABCD = ½ ACBDsin BAD
D M
C B
V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R 1. Triunghiul echilateral:
l3 R 3, a3
2. Pãtratul: l4 R 2 , a4 3. Hexagonul regulat:
R 2
2
R
2
,S
3 3 R 2 4
;
, S 2R 2 ;
l6 R, a6
R 3
2
,S
3 3 R 2 2
;
n
2
n
n
2
n
4. Poligonul regulat cu n laturi: ln 2 R sin , an R cos , S R 2 sin unde p
n ln
2
.
VI. Cercul
Lungimi şi arii : lcerc = 2R, Acerc = R2; larcAB=
R 180
AsectorAB =
; - mãsura în grade;
A
R 2
(AOB) =
180 180
O ( - mãsura în radiani)
B
p an
Unghi cu vârful în interiorul cercului: m(AOB) = m(AB)
m(AMB) =
B A
m(AB) m(CD)
M
2
D
Unghi cu vârful pe cerc OMMT m(AMB) = m(AMT) =
M
m(AB)
T
2 m(AM)
A
2
B
Unghi cu vârful în exteriorul cercului OTMT
m(AMB) =
M C
m(AB) m(CD)
m(AMB) =
C
2
D
T
m(BT) m(DT)
A
2
Puterea unui punct faţã de un cerc OTMT (M) = MAMB = OM2 – r2 = MT2 (N) = NANB = r2 – ON2
B N
B
M
T A
VII. Complemente de geometrie planã Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãlţimilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi (sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru. Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse. Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt
concurente dacã şi numai dacã
MB NC PA
MC NA PB
1.
Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pe
laturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri MB NC PA
de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã:
MC NA PB
1.
Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G (ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare. Dreapta lui Simson: Proiecţiile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare. Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a tr iunghiului şi la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersecţia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare. Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãlţimilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi vârfurile triunghiului sunt conciclice.
VIII. Poliedre VIII.1. Prisma 1. Paralelipipedul dreptunghic Alat = 2(a + b)c; Atot = 2(ab + ac + bc); V = abc d2 = a2 + b2 + c2
b
a
2. Cubul (de laturã a = b = c) A = 6a2 V = a3 a=a 3 3. Paralelipipedul B’O(ABC) B’O = h V = AABCDh
c
d
c d a
b
D’
C’
A’
B’ D
O
C
A
B
4. Prisma (dreaptã sau oblicã, de înãlţime h) V = Abazeih
C’ A’
B’ h
C A
B
C’
5. Prisma triunghiularã regulatã (AB = a) Alat = 3ah
V=
a
3
4
B’
a2 3
Atot = 3ah + 2
O’
A’
2 C
h
O
A
B
VIII.2. Piramida 1. Tetraedrul regulat (toate muchiile sunt congruente, AO(BCD), AMDC) h
a 6
3
, AM 6
sin A BO ˆ
A a
2
;
, sin A M O
2 2
ˆ
3
3;V
2
a 3
3
a3 2
12
B
2. Tetraedul dreptunghic (OAOBOCOA, OA = OB = OC = a, CMAB) a 2
OM
A ABC Ato t
V =
a
2 2
3
6
, CM
2 a2 3
3a 2
A
a2 3
2
a 6
2
; AB a 2
C C
3. Piramida triunghiularã regulatã (AB = AC = BC = A, VA = VB = VC VM BC, VM – apotemã) a2
VM h 2
Ala t Ato t V
12 3a VM 2 a2 3 4
3a VM 2
a2 3 h
4
3
4. Piramida patrulaterã regulatã (ABCD – pãtrat de laturã a, VA = VB = VC = VD, VMBC) VM h 2
a2
4 Ala t 2a VM Ato t a 2 2a VM V
a2 h 3
5. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM BC, VA = VB = VC = VD = VE = VF = a) VM h 2
3a 2 4
Ala t 3a VM Ato t V
3a 2 3 2
3a VM
a 2 3h 2
M A
B
6. Piramida regulatã (piciorul înãlţimii coincide cu centrul circumscris bazei): Ala t
Pbazei apotema
2
Ato t Abazei Ala t ;V
Abazei h
3
7. Piramida (de înãlţime h): A h Ato t Abazei Ala t ;V bazei 3
VIII.3. Trunchiul de piramidã
( B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlţimea) 1. Trunchiul de piramidã oarecare: V
h
3
( B b B b
2. Trunchiul de piramidã regulat P – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici, a p – apotema Ala t
( P p)a p 2
Ato t B b V
h
3
( P p)a p 2
( B b B b )
VIII.4. Poliedrul regulat Relaţia lui Euler: v-m+f = 2 (v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feţelor) Tipurile de poliedre regulate: - tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6; - cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12; - octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12; - dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30; - icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;
IX. Corpuri rotunde Notaţii: R – razã, G – generatoare, h – înãlţime IX.1. Cilindrul circular drept hG
Ala t 2 RG Ato t 2 R( R G ) V R h 2
IX.2. Conul circular drept G 2 h 2 R 2 Ala t RG Ato t R ( R G ) V
R 2 h 3
IX.3. Trunchiul de con (r – raza bazei mici) 2 2 2 G h ( R r )
Ala t G ( R r ) 2 2 Ato t G ( R r ) ( R r )
V
h 3
( R 2 r 2 Rr )
IX.4. Sfera A 4 R 2 V
4 R 3 3
Acaloteisferice 2 Rh1 A zonei 2 Rh2
X. Funcţii trigonometrice X.1. Definiţii în triunghiul dreptunghic sin B ctgB
b a c b
c
, cos B , a
tgB
b
C
c
b
, sin B cosC , tgB ctgC
a c
A
B
X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice 1. sin:R[-1,1] y 1
0
2
x
-1 sin(-x) = -sin x, sin(x + 2k ) = sin x, (kZ) 2. cos:R[-1,1] y 1
0
2
-1 cos(-x) = cos x, cos (x + 2k) = cos x, (kZ)
3. tg:R\{(2k+1) }R y -
2
tg(-x) = -tg x tg(x+k) = tg x, (kZ)
2
0
2
x
x
4. ctg:R\{k}R y
0
ctg(-x) = -ctg x ctg(x + k) = ctg x, (kZ)
3
2
2
x
XI. Formule trigonometrice XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument: 1. sin 2 cos2 1; 2.
sin 1 cos2 ; cos 1 sin 2 sin tg cos tg 1 sin ; cos 1 tg 2 1 tg 2
3. sin cos
2
,
ctg 2
tg
4. sin( ) sin cos( ) cos ; tg ( ) tg
5. sin cos
2 cos sin , tg ctg 2 2 6. sin( ) sin cos( ) cos ; tg ( ) tg 7. sin( 2 ) sin sin( 2 ) cos ; tg (2 ) tg
XI.2. Formule de adunare:
sin( ) sin cos sin cos cos( ) cos cos sin sin tg ( )
tg tg
1 tg tg
XI.3. Formule pentru multiplii de argument: sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin 2 1 2 sin 2 2 cos 2 1 tg 2
2tg 1 tg 2
ctg 2
2
ctg tg
2 ctg 1
2ctg
ctg tg
2
sin 3 3 sin 4 sin 3 3 cos 3 4 cos 3 cos
sin 2
2tg 1 tg 2
1 tg 2
; cos 2
1 tg 2
n2
sin n cos C n2 cos n
sin 2 C n4 cosn4 sin 4 ...
cos n C n1 cos n1 sin C n3 cosn3 sin 3 C n5 cos n5 sin 5 ...
XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument: sin tg
2
2
1 cos 2
sin 1 cos
; cos
2
1 cos
1 cos sin
2
1 cos 1 cos
XI.5. Sume, diferenţe şi produse: sin sin 2 sin sin sin 2 sin
2
cos cos 2 cos cos cos 2 sin
cos cos
2
2 2
2
cos
sin
2
2 2
tg tg
sin( ) cos cos
; tg tg
sin( ) cos cos
2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin
1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 tg tg tg tg ctg ctg
XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice
XII.1. arcis:[-1.1][- , 2
y -1
0
2
], arcsin (-x) = - arcsin x
1
x
XII.2. arcos:[-1,1][0,], arcos (-x) = - arcos x y
2 -1
0
1
x
XII.3. arctg:R , , arctg (-x) = -arctg x
2 2
2 0
x - 2
XII.4. arctg:R(0,), arctg (-x) = - arctg x y
2 0
x
XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple XIII.1. Ecuaţii fundamentale 1.sin x a, a [1,1] x {(1) arcsin a k k Z } k
2. cos x a, a [1,1] x { arccosa 2k k Z } 3.tgx a, a R x {arctga k k Z 4.ctgx a, a R x {accctga k k Z }
XIII.2. Tabele de valori: x funcţia sin x cos x
0
4
2
3 3
2
0
6 1
1
0
-1
0
2
2 2
2 3
0
-1
0
1
2
2
1
3 2
3
2
2
x funcţia tg x
0
6
4
3
2
0
3
1
3
1
3
0
2
3 2
/
0
/
0
3
ctg x
/
3
/
0
/
3
x funcţia arcsin x arcos x x functia arctg x arcctg x
-1
3
2
2
3
2
4
1 2
0
1
2
3
1
0
2
2
2
6
4
3
2
0
6
5
3
2
6
4
3
2
3
4
6
-1
3
2
3 5
3
1
3
0
3
6 2
6
4
3
3
2
3
4
6
4 3
6
0
3
4
3
XIV. Elemente de geometrie analiticã XIV.1. Segmente 1. Distanţa dintre douã puncte A(x 1,y1), B(x2,y2): AB = ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 2. Panta dreptei AB:
m AB
y2 y1 x2 x1
3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB: x
x1 x2
2
, y
y1 y2
4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k: x
x1 kx2
1 k
, y
y1 ky2
2
2
XIV.2. Ecuaţia dreptei
1. Drepte paralele cu axele de coordonate: (d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox) 2. Dreapta determinatã de punctul M o(xo ,yo) şi vectorul nul a(u, v) : (d ) : r r o t a , t R, r o -vectorul de poziţie a lui M o; r-vectorul de poziţie a unui punct M al dreptei d . x xo ut , t R, ecuaţiile parametrice; (d ) : y yo vt
3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (m R*, nR, m – panta, n – ordonata la origine); 4. Ecuaţia prin tãieturi:
x a
y
1 0, (a, b R*);
b 5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul M o(xo ,yo): y – yo = m(x – xo), (m0); 6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1 ,y2), B(x2 ,y2): y y1 y y1 x x1 ( x x1 ), , ( x1 x2 , y1 y2 ) sau y y1 2 x2 x1 y2 y1 x2 x1 x
y
1
x1
y1
10
x2
y 2
1
7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0; 8. Aria triunghiului ABC (A(x 1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = x
y
1
x1
y1
1 , dacã = 0 atunci A, B, C sunt
x2
y2
1
1 2
colineare
9. Poziţia relativã a dreptelor (d 1) şi (d2): (d 1 ) : a1 x b1 y c1 0 şi (d 2 ) : a2 x b2 y c2 0 d1 = d2, dacã d1 d2, dacã
a1 a2 a1 a2
b1 b2 b1 b2
c1 c2 c1 c2
;
d1 d2 şi d1 d2 , dacã
a1 a2
b1 b2
10.Distanţa de la punctul M o(xo ,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0 d ( M , h)
ax0 by0 c a2 b2
11.Unghiul determinat de dreptele:
, unde
(d 1 ) : y m1 x n1 şi (d 2 ) : y m2 x n2 m m1 tg 2 , ( m1m2 1) 1 m1m2
d1 d2, dacã m1m2 = -1
XIV.3. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r : 1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x 2 + y2 = r2; 2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde a 1
r2 =
4
m 2
,b=
n 2
şi
(m2 + n2) – p.
XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie 1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,- b), MF + MF’ = 2a, M E
Ecuaţia elipsei:
x 2 a2
y 2 b2
1 0, b 2 c 2 a 2
B
A’
M F
F’
A
O B’ Ecuaţia tangentei în punctul M(x o ,y o ), M E: xxo a2
yyo b2
1 0
2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M H .
Ecuaţiea hiperbolei:
x 2 a
2
y 2 b
2
1 0, c 2 b 2 a 2
y M
F’
A’
O A
Ecuaţia tangentei în M o(x o ,y o ), M o H .
F
x
xx0 a2
yy0 b2
1 0
p
p
2
2
3. Parabola P: F( ,0), h:x = -
(h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M P.
Ecuaţia parabolei P: y2 = 2px y h M x O
F
Ecuaţia tangentei în M o(x o ,y o ), M o P: yyo = p(x + xo)
ANALIZÃ MATEMATICÃ I. Şiruri I.1. Şiruri şi limite Definiţia I.1.1. Se numeşte şir de numere reale o funcţie f:N R , f(n) = a n . Definiţia I.1.2. Şirul (a n ) n 0 se numeşte crescãtor (respectiv descrescãtor) dacã a n a n+1 , n N (respectiv a n a n+1 , n N ). Şirurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone . Definiţia I.1.3. Şirul (a n ) n 0 este mãrginit dacã şi numai dacã M>0 astfel încât a n M , n N. R {-, +}. Notaţie: (an)n0, anR, R = Definiţia I.1.4. Şirul (a n ) n 0 , a n R are limita a şi scriem lim an a , a R n
dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã toţi termenii şirului începând de la un anumit rang. Definiţia I.1.5. Şirul este convergent , lim an a , aR, dacã >0, N N n
astfel încât n> N , an - a< . Definiţia I.1.6. lim an a dacã >0, N N astfel încât an > , n > N . n
Definiţia I.1.7. lim an dacã >0, N N astfel încât an < - , n > N . n
Dacã lim an , atunci şirul este divergent. n
I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir 1. dacã lim bn 0 , bn 0 şi an - a bn atunci lim an a ; n
n
2. dacã lim bn şi an bn atunci lim an ; n
n
3. dacã lim bn şi an bn atunci lim an ; n
n
4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass); 5. dacã bn an cn şi lim bn lim cn a atunci lim an a ; n
n
n
6. criteriul lui Stolz: - dacã (bn)n0 crescãtor: lim bn şi existã lim n
lim
n
an bn
lim
n
an1 an bn1 bn
;
n
an1 an bn1 bn
, atunci
- dacã (an)n0, an > 0 şi existã lim
n
an1 an
atunci lim n n
an
= lim
lim
an
n
lim
bn
n
an1 an
n
an
n
- - dacã (bn)n0 crescãtor: lim an lim bn 0 şi existã lim n
an1
n
(Cesaro);
an1 an bn1 bn
, atunci
;
bn1 bn
I.2. Operaţii cu şiruri convergente lim an a , lim bn b , a,bR n
n
1. lim (an bn ) a b, lim (an bn ) a b; n
n
2. lim an a, R; n
3. lim
n
an bn
a
, (daca b 0) b
I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã lim an a , lim bn b , a,b R n
n
1. dacã lim an şi lim bn b , bR atunci lim (an bn ) , lim n
n
n
n
1 an
0,
, daca b 0 n , daca b 0 2. lim an lim bn atunci lim (an bn ) , lim (an bn ) ; lim an bn
n
n
n
n
3. dacã lim an şi lim bn b , bR, atunci lim (an bn ) n
n
n
, daca b 0 ; b , daca 0 n 4. lim an lim bn atunci lim (an bn ) , lim (an bn ) ; lim an bn
n
n
n
n
5. dacã lim an şi lim bn atunci lim (an bn ) ; n
n
n
6. dacã lim an 0 atunci lim n
n
1 an
dacã an > 0 şi lim
n
1 an
dacã an < 0.
I.4. Şiruri tip 0, daca 1 q 1 1, daca q 1 n 1. lim q n , daca q 1 nu exista, daca q 1 , daca a0 0 2. lim (a 0 n a1n ... a k 1n a k ) lim a0 n n n , daca a0 0 0, daca k p , daca k p si a p 0 o o k k 1 a0 n a1n ... a k 1n a k , daca k p si ao po 0 3. lim p p 1 n b0 n b1n ... b p1n n p a 0 , daca k p b0 k 1
k
k
4. lim (1 q q 2 ... q n ) n
5. lim (1 n
n
6. lim
n
1 2
1 3
1 1 q
, daca q 1;
1
... ) ; n
a 1, a 0;
7. lim n 1 p 2 p ... n p 1, p 1; n
n
1 8. lim 1 e; n n 1 1 9. lim 1 ... 1! 2! n
1
n
e.
n!
II. Limite de funcţii Notaţii: f :DR, DR, - punct de acumulare a lui D;
II.1. Definiţii ale limitei Definiţia II.1.1. lim f ( x) l , l R , dacã pentru orice vecinãtate V a lui l x
existã o vecinãtate U a lui astfel încât xDU, x, sã rezulte f(x)V.
Definiţia II.1.2. lim f ( x) l , l R , dacã pentru orice şir (x n ) n 0 , x nD\{} , x
având lim xn rezultã lim f ( x) l (criteriul cu şiruri); n
n
Definiţia II.1.3. lim f ( x) l , l R , dacã >0, >0 astfel încât xD\{} x
şi x - < rezultã f(x) - l< ; Definiţia II.1.4. lim f ( x) l , dacã ls = ld = l, unde x
ls lim f ( x) x x
şi
ld lim f ( x) . x x
II.2. Operaţii cu limite de funcţii f:DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, lim f ( x) l1 , lim g ( x) l2 , l1 ,l2R; x
1. lim ( f ( x) g ( x)) l1 l2 ; x
2. lim f ( x) g ( x) l1 l2 ; x
3. lim af ( x) a l1 ; x
f ( x)
4.daca l2 0, lim
x
g ( x)
l1 l2
.
II.3. Limite tip 1. lim (a0 x n a1 x n1 ... an ) a0 n a1 n1 ... an x
n n1 n lim (a0 x a1 x ... an ) lim a0 x ;
x
a0 x a1 x
n1
... an 2. lim m m1 x b0 x b1 x ... bm n
lim
a0 x n a1 x n 1 ... an
x b x 0
m
b1 x
m1
... bm
x a0 n b0 m
lim
a0 x n
x b x 0
3. lim n x n , R , n N , n 2 x
n lim x , lim
x
x
2 n1
x ;
4. lim a x a , R, a R* \ {1} x x
x lim a , lim a 0 , dacã a > 1;
x
x
a1 n1 ... an b1 m1 ... bm m
;
x
x x lim a 0 , lim a , dacã 0 < a < 1;
x
x
5. lim log a x log a , 0 finita, R* \ {1} x
lim log a x
şi lim log a x dacã a > 1;
lim log a x
şi lim log a x dacã 0 < a < 1;
x0 x 0 x0 x 0
x
x
6. lim sin x sin , lim cos x cos x
x
lim tgx tg ,
Z , lim ctgx ctg , Z
2 lim tgx , lim tgx
x
x 2 x 2
x
x 2 x 2
7. lim ctgx , lim ctgx x0 x0
x0 x0
lim arcsin x arcsin , [1,1] , lim arccos x arccos , [1,1]
x
x
lim arctgx arctg , R , lim arcctgx arcctg , R
x
x
lim arctgx
, lim arctgx
2 x 2 lim arcctgx , lim arcctgx 0 ;
x
x
8. lim
x
sin x x
x0
9. lim
x n
x
x
a
1 , lim
x0
tgx x
1 , lim
x0
arcsin x x
0, n Z , a 1; 1
x
1 10. lim 1 e, lim (1 x) x e; x x x0 ln(1 x) 1; 11. lim x
x0
12. lim
a x 1
x0
13. lim
x0
ln a, a 0 ,
x (1 x) r 1 x
r , r R .
1 , lim
x0
arctgx x
1;
II.4. Continuitatea funcţiilor Definiţia II.4.1. Fie f:DR, xoD, xo – punct de acumulare a lui D , f este continuã în xo , dacã lim f ( x) f ( x0 ) , xo se numeşte punct de continuitate. x x0
Definiţia II.4.2. Fie D, este punct de discontinuitate de prima speţã dacã existã şi sunt finite limitel e laterale în , dar funcţia nu este continuã în . Definiţia II.4.3. Fie D, este punct de discontinuitate de speţa a doua dacã nu este de prima speţã. Teoremã. Dacã f:I R , I – interval şi f continuã pe I , atunci J = f(I) este interval ( o funcţie co ntinuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).
III. Funcţii derivabile III.1. Definiţia derivatei într-un punct f :ER, xoE, xo – punct de acumulare a lui E: f ( x) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) lim f’(x0) = lim x x0 h x x h0 0
x0 h E
f ( x) f ( x0 )
f s’(x0) = lim
f’(x0) = f s’(x0) = f d’(x 0)
x x0 x x0
x x0
, f d ’( x0) = lim
x x0 x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
Interpretarea geometricã: - dacã f’(x0)R, y - f(x0 ) = f’(x 0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul A(x0 ,f(x0)); - dacã f este continuã în x0, f d’(x 0) = +, f s’(x0) = -, sau invers, x0 este punct de întoarcere al graficului; - dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0 , cel puţin una fiind finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.
III.2. Reguli de derivare 1. 2. 3.
f,g:ER, f,g derivabile în xE: (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x); (cf)’(x) = cf’(x), c R; (f g)’(x) = f’(x) g(x) + f(x) g’(x) '
f f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) 4. dacã g(x) 0, ( x) ; 2 g ( x) g
5. dacã f:IJ, g:JR, f derivabilã în x0I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci (go f)’(x0 ) = g’(y 0 )f’(x0); 6. dacã f:IJ continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0) 0, atunci f -1:JI este derivabilã în y0 , y0 = f(x0) şi f -1(y0) =
1 f ' ( x0 )
III.3. Derivatele funcţiilor elementare Funcţia (condiţii) C n x , nN* r x , r R, x>0 x , x 0
Derivata (condiţii) 0 n-1
nx n-1 rx 1
, x 0
loga x, a 1, a>0, x>0
2 x 1 1
ln x, x>0
ln a x 1
x
a , a 1, a>0, x>0 x e sin x cos x tg x, x (2k 1) , k Z 2 ctg x, x k , k Z
x x a ln a x e cos x -sin x 1
cos 2 x 1
arcsin x, x[0,1]
sin 2 x 1
arcos x, x[0,1]
1 x 1
2
arctg x arcctg x
1 x 1
1 x 2 1
, x (0,1)
1 x 2
2
, x (0,1)
.
III.4. Derivata funcţiilor compuse Funcţia (condiţii) n u , nN* r u , r R, u>0 u ,u 0
logau, a 1, a>0, u>0 ln u, u>0 u
a , a 1, a>0 u e sin u cos u tg u, cos u 0
ctg u, sin u 0 arcsin u, u[-1,1] arccos u, u[-1,1] arctg u arcctg u v
u , u>0
Derivata (condiţii) n-1
nu u’ n-1 ux u’ u' ,u 0 2 u 1 u'
ln a u 1 u' u u a ln a u’ u e u’ cos u u’ - sin u u’ 1 u' 2 cos u 1 2 u' sin u 1 u ' , u (1,1) 2 1 u 1 u ' , u (1,1) 2 1 u 1 u' 1 u2 1 u' 1 u2 v v-1 u v’ ln u + v u u’
III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare
Funcţia (condiţii) m x , m N, m n 1
, m N m
x x e x a ln x
Derivata de ordinul n(f (n)) m(m-1)…(m-n+1)x n
m-n
(-1) m(m-1)…(m+n-1) x
e
(ln a)n a x n-1
(-1) (n-1)!
1 x n
1 x m
n
Derivata de ordinul n(f (n))
Funcţia (condiţii) sin x
n 2 n cos x 2
sin x
cos x
Formula lui Leibniz: ( f g ) (
n)
f ( n) g C n1 f ( n1) g 'C n2 f ( n2) g ' '...C nn1 f 'g ( n1) C nn f g ( n)
n
C nk f ( nk ) g ( k ) , f ( 0) f k 0
III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabi le Teorema lui Fermat: Fie f :IR derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este nulã. Teorema lui Rolle: Dacã funcţia continuã f :[a,b]R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunci existã c(a,b) astfel încât f’(c) = 0. Teorema lui Lagrange: Dacã funcţia continuã f :[a,b]R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c (a,b) astfel încât
f (b) f (a) ba
f ' (c) .
Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci: 1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei; 2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei. Teorema lui Cauchy: Dacã f,g:[a,b]R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x) 0, x(a,b) atunci c(a,b) astfel încât
f (b) f (a) g (b ) g ( a )
f ' (c) g ' (c )
IV. Asimptote IV.1. Asimptote orizontale ( f :DR) Definiţia IV.1.1. Dacã lim f ( x) l1 sau lim f ( x) l2 , l1 ,l2R, dreptele y=l1 x
x
şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre + , respectiv -
IV.2. Asimptote oblice ( f :DR) Definiţia IV.2.1. Dacã lim
f ( x) x
x
m 0 şi
lim [ f ( x) mx] n, m, n R
x
dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre + . Definiţia IV.2.2. Dacã lim
x
f ( x) x
m' 0 şi lim [ f ( x) m' x] n' , m' , n' R x
dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre - .
IV.3. Asimptote verticale ( f :DR) Definiţia IV.3.1. Dacã lim f ( x) , - punct de acumulare a lui D , x x
dreapta x= este asimptotã verticalã la stânga a lui f . Definiţia IV.3.2. Dacã lim f ( x) , - punct de acumulare a lui D , x x
dreapta x= este asimptotã verticalã la dreapta a lui f .
V. Primitive (integrale nedefinite) Definiţia V.1. Fie funcţia f :JR, J – interval, F:JR este primitiva lui f , dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), x J . Se noteazã: f ( x)dx F ( x) c 1. 2. 3.
Proprietãţi ale primitivelor: f 1 ( x) f 2 ( x)dx f 1 ( x)dx f 2 ( x)dx ; af ( x)dx a f ( x)dx ; f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x)dx .
V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei Dacã :IJ, f :JR, derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci f ( (t )) ' (t )dt F (t ) c
V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei Dacã :IJ, f :JR, bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I, h ( f ) ' admite primitive (H) atunci f ( x)dx H 1 ( x) c .
V.3. Tabel de primitive: ( I – interval, I R) 1. x
n
dx
2. x dx 3. a x dx 4.
7. 8.
x
1
n 1 x 1
c, x R, n N ;
1 x a ln a
c, x (0,), R \ {1};
c, x R, a 0, a 1 ;
ln x c, x I , I R ; 1
9. 10.
x 2 a 2 1
1 cos 2 x 1 2
sin x
dx
1
x a
c, x I , I R \ {a, a}; 2a x a 1 x dx arctg c, x R, a 0 ; 2 2 a a x a sin xdx cos x c, x R ; cos xdx sin x c, x R ;
5. 6.
dx
x n
ln
dx tgx c, x I , I R \ (2k 1)
2
k Z ;
dx ctgx c, x I , I R \ k k Z ;
11. tgxdx ln cos x c, x I , I R \ (2k 1) k Z ;
2
12. ctgxdx ln sin x c, x I , I R \ k k Z ; 13. 14. 15.
1 x a 1 2
2
x 2 a 2 1 a x 2
2
2 2 dx ln x x a c, x R ;
dx ln x x 2 a 2 c, x (a,) sau x (,a), a 0 ; dx arcsin
x a
c, x (a, a), a 0
V.4. Primitivele funcţiilor raţionale 1. (ax b) n dx 2.
dx ax b
1
1 (n 1)a
(ax b) n1 c, n N , n 1, a 0 ;
ln( ax b) c, a 0 ; a
4. 5.
dx
1
c, n N , n 1, a 0 ; (n 1)a(ax b) n1 1 x b ln c, a b ; ( x a)( x b) a b x a dx dx 1 c, unde b 2 4ac, a 0 . 2 2 ax bx c a 2 b x 2a 4a
3.
(ax b) n dx
Substituţiile lui Euler: 1. ax 2 bx c t x a , daca a 0 ; 2. ax 2 bx c tx c , daca c 0 ; 3. ax 2 bx c t ( x x1 ), daca b 2 4ac 0 si x1 este o rãdãcinã a ecuaţiei 2 ax + bx + c = 0.
VI. Integrale definite IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) Notaţii: f :[a,b]R, = (a = x0 , x1 , x2 , …, xn = n) diviziune, xi-1 i xi , i – puncte n
intermediare, (f, ) – suma Riemann: ( f , ) f ( i )( xi xi1 ) i 1
Definiţia VI.1.1. f se numeşte integrabilã dacã existã numãrul real I f cu proprietatea: > 0, >0 astfel încâtr pentru orice divizune a lui [a,b] cu şi orice puncte intermediare i are loc ( f , ) I f unde max ( xi xi 1 ) 1i n
b
Se noteazã: I f f ( x)dx a
Proprietãţi ale integralei definit e: b
b
b
a b
a
a
1. ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx ; c
b
2. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ; a b
a
c a
3. f ( x)dx f ( x)dx ; a a
b
4. f ( x)dx 0 . a
Formula lui Leibniz-Newton: b
f ( x)dx F (b) F (a) (F – primitivã a lui f)
a
Teorema de medie: b
Dacã f continuã pe [a,b], atunci [a,b] astfel încât: f ( x)dx (b a) f ( ) a
Formula de integrare prin pãrţi: b
b
f ( x) g ' ( x)dx f ( x) g ( x) f ' ( x) g ( x)dx b a
a
a
Formula de schimbare de variabilã: Dacã :[a,b]J, f:JR, f continuã pe J, derivabilã cu derivata continuã pe b
(b )
a
( a )
[a,b], atunci f ( (t )) ' (t )dt f ( x)dx
Proprietãţi de paritat e: 0, daca f impara Dacã f :[-a,a]R continuã atunci: f ( x)dx a a 20 f ( x)dx, daca f para a
VI.2. Aplicaţii ale integralei definite 1. Aria subgraficului f , f :[a,b]R+, f continuã: y b
aria f f ( x)dx
f
a
y 0
a
b
x
Aria subgraficului f,g, f,g:[a,b]R şi f(x) g(x) x[a,b] 0
a
f,g
b
x b
aria f , g [ f ( x) g ( x)]dx a
