Memorator matematic

Zaharia Virgil-Mihail

Mic memorator matematic

CUPRINS ALGEBRÃ ALGEBRÃ ................ ........................ ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ............ ... 5 I. Elemente de logicã matematicã...........................................................................5 I.1. Noiunea de propoziie ................. .......................... ................. ................. ................. ................ ................. ................. ............. ..... 5 I.2. Operatori logici............................................................................................5 I.3. Expresii în calculul propoziiilor iilor ................ ......................... ................. ................. ................. ................ ................ ........77 I.4. Noiunea iunea de predic predicat at ................ ......................... ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................ .......... 7 I.5. Cuantifica Cuantificatori tori ....................................... .................. .......................................... .......................................... ................................... .............. 7 I.6. Metoda de demonstraie prin reducere la absurd...........................................7 I.7. Proprietãi fundamentale ale operatorilor logici............................................8 II. Mulimi..............................................................................................................8 II.1. Egalitatea mulimlor A şi B: ........................................................................8 II.2. Incluziunea mulimii A în mulimea B: ................. ......................... ................ ................. ................. ............. ..... 8 II.3. Reuniunea mulimilor A şi B: ......................................................................9 II.4. Intersecia mulimilor A şi B: ......................................................................9 II.5. Diferena mulimilor A şi B: ........................................................................9 II.6. Diferena simetricã a mulimilor A şi B: ................. ......................... ................. ................. ................. ............ ... 9 II.7. Complementara unei mulimi A în raport cu mulimea E: ................. ......................... ........ 10 II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E).................. E)........................... ................. ................ ................. ............. .... 10 II.9. Produsul cartezian a douã mulimile A şi B: ................. ......................... ................ ................. ............. .... 10 III. Relaii binare binare ......................................... .................... ......................................... ......................................... ..................................... ................ 11 IV. Funcii................... ii ........................................ .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 12 IV.1. Noiunea de funcie ................ ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................ .............. ...... 12 IV.2. Funcii injective, injective, surjective, surjective, bijective bijective .......................................... ..................... ................................. ............ 12 IV.3. Compunerea funciilor................................. iilor............. ......................................... .......................................... ......................... 12 IV.4. Funcia inversã inversã ................ ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. .... 13 V. Operaii cu num numere ere reale.......................................... reale..................... .......................................... ........................................ ................... 13 V.1. Puteri Puteri naturale naturale ale ale numerelor numerelor reale................................................... reale.............................. .............................. ......... 13 V.2. Identitãi fundamentale fundamentale ........................................ ................... .......................................... ..................................... ................ 14 V.3. Radicali. Proprietãi ................ ......................... ................. ................ ................. ................. ................. ................. ............... ....... 14 VI. Ecuaii şi inecuaii de gradul întâi.......................................................... întâi..................................... .............................. ......... 15 VI.1. Ecuaii de gradul întâi sau ecuaii afine ................ ........................ ................. ................. ................. ........... 15 VI.2. Inecuaii de gradul întâi sau ecuaii fine.............. fine................................... ..................................... ................ 15 VI.3. Modului Modului unui numãr real ........................................ ................... .......................................... ................................. ............ 16 VII. Numere complexe complexe .......................................... ..................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 17 VII.1. Forma Forma algebricã algebricã a numerelo numerelorr complexe.......... complexe............................... ........................................ ................... 17 VII.2. Modulul Modulul unui numãr complex ......................................... .................... .......................................... ......................... 18 VII.2. Forma Forma trigonometric trigonometricãã a numerelor numerelor complexe complexe ....................................... .................. ......................... 18 VII.4. Formula Formula lui Moivre ........................................ ................... .......................................... ........................................ ................... 18 VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex..................... complex............ ......... 18 VII.6. Ecuaia binomã binomã ................. .......................... ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ........... 19 VIII. Ecuaii şi inecuaii de gradul gradul al II-lea........................................ II-lea................... ........................................ ................... 19 VIII.1. Ecuaii de gradul gradul al doilea........................................... doilea...................... .......................................... .......................... ..... 19 VIII.2. Inecuaii fundamen fundamentale tale de gradul gradul al II-lea II-lea ........................................ ................... .......................... ..... 22 VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaii cu coeficieni reali reali ................ ......................... ............. .... 22 1



IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV şi V ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ........ 24 X. Logaritmi................ Logaritmi..................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 24 X.1. Ecuaii şi inecuaii logaritm logaritmice ice fundamen fundamentale.................. tale....................................... .......................... ..... 25 X.2. Ecuaii şi inecuaii exponeniale fundam fundamental entalee ................. .......................... ................. ............... ....... 26 XI. Metoda induciei matematice....................... matematice............................................ .......................................... .............................. ......... 26 XI.1. Axioma de recurenã a lui Peano ................ ......................... ................. ................ ................. ................. ........... ... 26 XI.2. Metoda induciei matematice.......... matematice.............................. ......................................... ..................................... ................ 26 XI.2. Variantã a metodei induciei matematice matematice ........................................ ................... .............................. ......... 26 XII. Analizã combinatorie combinatorie ........................................ .................... ......................................... .......................................... ......................... 27 XII.1. Permutãri Permutãri ......................................... .................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 27 XII.2. Aranjamente............. Aranjamente.................................. ......................................... ......................................... ..................................... ................ 27 XII.3. Combinãri Combinãri ........................................ ................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 27 XII.4. Binomul Binomul lui Newton............................ Newton........ ......................................... .......................................... .............................. ......... 27 XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n num numere ere naturale..................... naturale......................... 28 XIII. Progresii Progresii ......................................... .................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 28 XIII.1. XIII.1. Progresii Progresii aritmetice aritmetice.................. ....................................... .......................................... ........................................ ................... 28 XIII.2. XIII.2. Progresii Progresii geometrice geometrice ........................................ ................... .......................................... ..................................... ................ 29 XIV. Polino Polinoame ame ................ ......................... ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ............... ....... 29 XIV.1. Forma Forma algebricã algebricã a unui unui polinom ........................................ ................... ........................................ ................... 29 XIV.2. Divizibilitat Divizibilitatea ea polinoamelor polinoamelor ....................................... .................. .......................................... .......................... ..... 30 XIV.3. Rãdãcinile Rãdãcinile polinoamelor polinoamelor.................... ......................................... .......................................... .............................. ......... 30 XIV.4. Ecuaii algebrice algebrice ....................................... ................... ......................................... .......................................... ......................... 30 XIV.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z ................. ......................... ................. ................. ................. ........... 31 XV. Permutãri, matrici, determinani ................. ......................... ................ ................. ................. ................. ................. ........ 31 XV.1. Permutãri Permutãri ......................................... .................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 31 XV.2. Matrici Matrici .......................................... ..................... ......................................... ......................................... ..................................... ................ 32 XV.3. Determinani ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................ .............. ...... 33 XV.4. Inversa Inversa unei matrici matrici ....................................... .................. .......................................... ........................................ ................... 34 XVI. Sisteme lineare lineare ......................................... ..................... ......................................... .......................................... .............................. ......... 34 XVI.1. Notaii: ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. .... 34 XVI.2. Compatibilit Compatibilitatea atea ....................................... ................... ......................................... .......................................... ......................... 35 XVI.3. Sisteme Sisteme omogene.......................................... omogene..................... .......................................... ........................................ ................... 35 XVII. Structuri Structuri algebrice algebrice ....................................... .................. .......................................... .......................................... .......................... ..... 35 XVII.1. Monoid................................................. Monoid............................ .......................................... .......................................... .......................... ..... 35 XVII.2. Grup.................. Grup ....................................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 35 XVII.3. Inel.................... Inel ......................................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 36 XVII.4. Corp ....................................... .................. .......................................... .......................................... ........................................ ................... 37 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE TRIGONOMETRIE.................. ....................................... .......................................... .............................. ......... 37 Notaii: ................ ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ........ 37 I. Triunghiul Triunghiul ......................................... .................... ......................................... ......................................... .......................................... ......................... 38 II. Poligoane Poligoane convexe convexe ........................................ .................... ......................................... .......................................... .............................. ......... 38 III. Relaii metrice metrice în triunghi............................ triunghi........ ......................................... .......................................... .............................. ......... 38 III.1. III.1. Triunghiul Triunghiul dreptunghic dreptunghic ....................................... .................. .......................................... ..................................... ................ 38 III.2. Triungh Triunghiul iul dreptunghic dreptunghic ABC ABC (a = b = c)............................ c)....... .......................................... .............................. ......... 39 III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥ BC) BC) ................. ......................... ................. ................. ................ ................. ............. .... 39 2



IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV şi V ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ........ 24 X. Logaritmi................ Logaritmi..................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 24 X.1. Ecuaii şi inecuaii logaritm logaritmice ice fundamen fundamentale.................. tale....................................... .......................... ..... 25 X.2. Ecuaii şi inecuaii exponeniale fundam fundamental entalee ................. .......................... ................. ............... ....... 26 XI. Metoda induciei matematice....................... matematice............................................ .......................................... .............................. ......... 26 XI.1. Axioma de recurenã a lui Peano ................ ......................... ................. ................ ................. ................. ........... ... 26 XI.2. Metoda induciei matematice.......... matematice.............................. ......................................... ..................................... ................ 26 XI.2. Variantã a metodei induciei matematice matematice ........................................ ................... .............................. ......... 26 XII. Analizã combinatorie combinatorie ........................................ .................... ......................................... .......................................... ......................... 27 XII.1. Permutãri Permutãri ......................................... .................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 27 XII.2. Aranjamente............. Aranjamente.................................. ......................................... ......................................... ..................................... ................ 27 XII.3. Combinãri Combinãri ........................................ ................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 27 XII.4. Binomul Binomul lui Newton............................ Newton........ ......................................... .......................................... .............................. ......... 27 XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n num numere ere naturale..................... naturale......................... 28 XIII. Progresii Progresii ......................................... .................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 28 XIII.1. XIII.1. Progresii Progresii aritmetice aritmetice.................. ....................................... .......................................... ........................................ ................... 28 XIII.2. XIII.2. Progresii Progresii geometrice geometrice ........................................ ................... .......................................... ..................................... ................ 29 XIV. Polino Polinoame ame ................ ......................... ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ............... ....... 29 XIV.1. Forma Forma algebricã algebricã a unui unui polinom ........................................ ................... ........................................ ................... 29 XIV.2. Divizibilitat Divizibilitatea ea polinoamelor polinoamelor ....................................... .................. .......................................... .......................... ..... 30 XIV.3. Rãdãcinile Rãdãcinile polinoamelor polinoamelor.................... ......................................... .......................................... .............................. ......... 30 XIV.4. Ecuaii algebrice algebrice ....................................... ................... ......................................... .......................................... ......................... 30 XIV.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z ................. ......................... ................. ................. ................. ........... 31 XV. Permutãri, matrici, determinani ................. ......................... ................ ................. ................. ................. ................. ........ 31 XV.1. Permutãri Permutãri ......................................... .................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 31 XV.2. Matrici Matrici .......................................... ..................... ......................................... ......................................... ..................................... ................ 32 XV.3. Determinani ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................ .............. ...... 33 XV.4. Inversa Inversa unei matrici matrici ....................................... .................. .......................................... ........................................ ................... 34 XVI. Sisteme lineare lineare ......................................... ..................... ......................................... .......................................... .............................. ......... 34 XVI.1. Notaii: ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. .... 34 XVI.2. Compatibilit Compatibilitatea atea ....................................... ................... ......................................... .......................................... ......................... 35 XVI.3. Sisteme Sisteme omogene.......................................... omogene..................... .......................................... ........................................ ................... 35 XVII. Structuri Structuri algebrice algebrice ....................................... .................. .......................................... .......................................... .......................... ..... 35 XVII.1. Monoid................................................. Monoid............................ .......................................... .......................................... .......................... ..... 35 XVII.2. Grup.................. Grup ....................................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 35 XVII.3. Inel.................... Inel ......................................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 36 XVII.4. Corp ....................................... .................. .......................................... .......................................... ........................................ ................... 37 GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE TRIGONOMETRIE.................. ....................................... .......................................... .............................. ......... 37 Notaii: ................ ......................... ................. ................. ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ........ 37 I. Triunghiul Triunghiul ......................................... .................... ......................................... ......................................... .......................................... ......................... 38 II. Poligoane Poligoane convexe convexe ........................................ .................... ......................................... .......................................... .............................. ......... 38 III. Relaii metrice metrice în triunghi............................ triunghi........ ......................................... .......................................... .............................. ......... 38 III.1. III.1. Triunghiul Triunghiul dreptunghic dreptunghic ....................................... .................. .......................................... ..................................... ................ 38 III.2. Triungh Triunghiul iul dreptunghic dreptunghic ABC ABC (a = b = c)............................ c)....... .......................................... .............................. ......... 39 III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥ BC) BC) ................. ......................... ................. ................. ................ ................. ............. .... 39 2



III.4. Relaii exprimate prin funcii trigonom trigonometri etrice ce ................ ......................... ................. ................. ........... 39 IV. Patrulatere Patrulatere ......................................... .................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 40 IV.1. Paralelogramul Paralelogramul ......................................... .................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 40 IV.2. Dreptunghiul D C........................ C................................ ................. ................. ................. ................. ............... ....... 40 IV.3. Rombul Rombul ....................................... .................. .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 40 IV.4. Pãtratul............................................ Pãtratul....................... ......................................... ......................................... .......................................... ......................... 41 IV.5. Trapezul D C................... C........................... ................ ................. ................. ................. ........... 41 V. Poligoane Poligoane înscrise înscrise în cerc ........................................ ................... .......................................... ........................................ ................... 41 V.1. Patrulaterul Patrulaterul înscris înscris în cerc A ........................................ ................... ................................. ............ 41 V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R................. ......................... ................. ................. ........ 41 VI. Cercul.................... Cercul......................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 41 VII. Complemente Complemente de geometrie geometrie planã ....................................... .................. .......................................... .......................... ..... 42 VIII. Poliedre Poliedre .......................................... ..................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 43 VIII.1. VIII.1. Prisma.......................................... Prisma..................... ......................................... ......................................... ..................................... ................ 43 VIII.2. VIII.2. Piramida Piramida ......................................... .................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 44 VIII.3. VIII.3. Trunchiul Trunchiul de piramidã.... piramidã........................ ......................................... .......................................... .............................. ......... 45 VIII.4. VIII.4. Poliedrul regulat ....................................... ................... ......................................... .......................................... ......................... 46 IX. Corpuri Corpuri rotunde rotunde ........................................ ................... .......................................... .......................................... ................................. ............ 46 IX.2. Conul circular circular drept.................................................... drept............................... .......................................... ..................................... ................ 47 IX.3. Trunchiul Trunchiul de con ....................................... .................. .......................................... .......................................... ................................. ............ 47 IX.4. Sfera................................................ Sfera........................... ......................................... ......................................... .......................................... ......................... 47 X. Funcii trigonometrice trigonometrice ......................................... ..................... ......................................... .......................................... ......................... 47 X.2. Proprietãile funciilor trigonometrice................... trigonometrice........................................ .......................................... ......................... 48 XI. Formule Formule trigonometrice trigonometrice..................... .......................................... .......................................... ........................................ ................... 48 XI.1. Relaii între funciile trigonometri trigonometrice ce ale unui argument:..................... argument:.......................... ..... 48 XI.2. Formule Formule de adunare: adunare:................... ........................................ .......................................... ........................................ ................... 49 XI.3. Formule Formule pentru pentru multiplii multiplii de argument argument ......................................... .................... ................................. ............ 49 XI.4. Formule pentru jumãtãi de argument: argument:.................... ......................................... ................................. ............ 50 XI.5. Sume, diferene şi produse: produse: ................. .......................... ................. ................ ................. ................. ................. ........... 50 XII. Inversarea funciilor trigonometrice trigonometrice ....................................... .................. .......................................... ......................... 50 XIII. Soluiile ecuaiilor trigonometrice trigonometrice simple ........................................ ................... ................................. ............ 51 XIII.1. Ecuaii fundamentale fundamentale ....................................... .................. .......................................... ..................................... ................ 51 XIII.2. XIII.2. Tabele de valori: ....................................... ................... ......................................... .......................................... ......................... 51 XIV. Elemente Elemente de geometrie geometrie analiticã ........................................ ................... .......................................... .......................... ..... 52 XIV.1. Segmente Segmente................... ........................................ .......................................... .......................................... ................................. ............ 52 XIV.2. Ecuaia dreptei............................ dreptei........ ......................................... .......................................... ..................................... ................ 52 XIV.3. Cercul............................... Cercul.......... .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 53 XIV.4. Conice Conice raportate raportate la axele de simetrie simetrie ........................................ ................... ................................. ............ 53 ANALIZÃ MATEMATICÃ MATEMATICÃ ........................................ .................... ......................................... .......................................... ......................... 54 I. Şiruri........................ iruri... .......................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................... ..... 54 I.1. Şiruri şi limite limite ................ ......................... ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ........ 54 I.2. Criterii suficiente de convergenã sau de existenã a limitei unui şir........ ir........... ... 55 I.2. Operaii cu şiruri convergente convergente .......................................... ..................... .......................................... .......................... ..... 55 I.3. Operaii cu şiruri care au limitã ........................................ ................... .......................................... .......................... ..... 55 I.4. Şiruri tip................... tip ........................................ .......................................... .......................................... ........................................ ................... 56 3



II. Limite de funcii .............................................................................................. 56 II.1. Definiii ale limitei.................................................................................... 57 II.2. Operaii cu limite de funcii ...................................................................... 57 II.3. Limite tip .................................................................................................. 57 II.4. Continuitatea funciilor ............................................................................. 58 III. Funcii derivabile............................................................................................ 59 III.1. Definiia derivatei într-un punct............................................................... 59 III.2. Reguli de derivare.................................................................................... 59 III.3. Derivatele funciilor elementare............................................................... 59 III.4. Derivata funciilor compuse..................................................................... 60 III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcii elementare.......................... 61 III.6. Proprietãi ale funciilor derivabile .......................................................... 61 IV. Asimptote....................................................................................................... 62 IV.1. Asimptote orizontale ............................................................................... 62 IV.2. Asimptote oblice ..................................................................................... 62 IV.3. Asimptote verticale ................................................................................. 62 V. Primitive.............................................................................................................. 62 Integrarea prin pări.......................................................................................... 63 V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei.................................................... 63 V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei.................................................. 63 V.3. Tabel de primitive..................................................................................... 63 V.4. Primitivele funciilor raionale .................................................................. 64 VI. Integrale definite ............................................................................................ 64 IV.1. Definiia integrabilitãii (integrale Riemann) ........................................... 64

4



ALGEBRÃ

I. Elemente de logicã matematicã I.1. Noiunea de propoziie

Definiia I.1.1. Se nume ş te propozi  ie un enun  despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enun care exprimã un adevãr, deci o propoziie adevãratã. 2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x ≤ y, x,y∈N este un enun despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziie. Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propozi  ii. Dacã o propoziie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f .

I.2. Operatori logici Nega  ia

Definiia I.1.2. Nega  ia unei propozi  ii p este propozi  ia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p,  p, p . Tabela de adevãr a propoziiei non p se întocmeşte be baza relaiei v(non p) = 1 – v(p). p non p

1 0

0 1

Conjunc  ia

Definiia I.2.2. Conjunc  ia a douã propozi  ii p şi q este propozi  ia care este adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propozi  ie p şi q este adevãratã. Se noteazã: p ∧ q Tabela de adevãr a propozi iei p ∧ q este: p q p ∧ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

5



Disjunc  ia

Definiia I.2.3. Disjunc  ia a douã propozi  ii p şi q este propozi  ia care este adevãratã dacã şi numai dacã cel pu  in una din propozi  iile p, qeste adevãratã. Se noteazã: p ∨ q Tabela de adevãr a propozi iei p ∨ q este: p

q

p ∨ q

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Implica  ia

Definiia I.2.4. Implica  ia propozi  iilor p şi q este propozi  ia care este falsã dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã. Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “ p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propoziia p este ipoteza, iar propoziia q este concluzia. Tabela de adevãr a propozi iei p→q este:

p

1 1 0 0

non p(non p)∨ q

q

1 0 1 0

0 0 1 1

1 0 1 1

Echivalen  a logicã

Definiia I.2.4. Propozi  iile p şi q sunt echivalente logic , dacã şi numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan. Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨ p; ( p→q) şi (q→ p); p↔q; se citeşte: “ p echivalent cu q” sau “ p dacã şi numai dacã q”, “ p este condiie necesarã şi suficientã pentru q”. Tabela de adevãr a propozi iei compuse p↔q este: p

q

non p

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

non q p→q

0 1 0 1

1 0 1 1

6

q→ p

→q)∧ (q→ p) (p

1 1 0 1

1 0 0 1



I.3. Expresii în calculul propozi iilor Propoziiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propozi  ii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α (p,q,r,…), β (p,q,r,…). Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziii obinem o altã propoziie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α , obinutã pentru propoziiile p,q,r,… respective. Definiia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propozi  ie adevãratã, oricare ar fi propozi  iile p,q,r,… se nume ş te tautologie. Definiia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propozi  ii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propozi  ii care au aceea şi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡ β .

I.4. Noiunea de predicat

Definiia I.4.1. Se nume ş te predicat sau propozi  ie cu variabile un enun  care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se ob  ine o propozi  ie adevãratã sau o propozi  ie falsã. Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulimi date. Definiia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acela şi domeniu, propozi  iile corespunzãtoare au acelea şi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

I.5. Cuantificatori Definiia I.5.1. Fie p(x), cu x∈ M , un predicat. Dacã existã (cel pu  in) un element x’∈ M , astfel încât propozi  ia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃ xp(x), (∃ x) p(x) sau (∃ x∈ M ) p(x). Simbolul ∃ se nume ş te cuantificator existen  ial şi se cite ş te “existã”. Definiia I.5.2. Fie p(x) cu x∈ M , un predicat. Dacã p(x) este o propozi  ie adevãratã pentru orice x∈ M , atunci scriem ∀ xpx, (∀ x) p(x) sau (∀ x∈ M ) p(x). Simbolul ∀ se nume ş te cuantificator universal şi se cite ş te “oricare ar fi”. Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:

1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y); 2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y); Reguli de negare:

1. 2. 3. 4.

((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x)); ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x)); ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y)); ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraie prin reducere la absurd Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q. 7



I.7. Proprietãi fundamentale ale operatorilor logici 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Oricare ar fi propoziiile p,q,r,… avem: non(non p) ≡ p; (p∧q) ≡ (q∧ p) (comutativitatea conjunciei); ((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjunciei); (p∨q) ≡ (q∨ p) (comutativitatea disjunciei); ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjunciei); ((p→q)∧(q→r)) →(p→r) (tranzitivitatea implicaiei); non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan; non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q) (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncia este distributivã în raport cu disjuncia şi (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjunc ia este distributivã în raport cu conjuncia

II. Mulimi  imilor. Mulimile se definesc fie prin indicarea Moduri de definire a mul elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietã i caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}). Mulimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,… Apartenen  a unui element la o mul  ime. Dacã un element a aparine unei mulimi A, acesta se noteazã a∈ A şi se citeşte “ a aparine lui A”. Definiie. Mul  imea vidã este mul  imea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mulimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A) Proprietã  ile egalitã  ii:

1. ∀ A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria); 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulimii A în mulimea B: (A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B) Mulimea A se numeşte o parte sau o submul  ime a lui B. Proprietã  ile incluziunii:

1. 2. 3. 4.

∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea); (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria); (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea); ∀ A, ∅ ⊂ A 8



Relaia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.

II.3. Reuniunea mulimilor A şi B: A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B} Proprietã  ile reuniunii:

1. 2. 3. 4. 5.

∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea); ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea); ∀ A: A ∪ A = A (idempotena); ∀ A: A ∪ ∅ = A; ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

II.4. Intersecia mulimilor A şi B: A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B} Proprietã  ile intersec  iei:

∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea); ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea); ∀ A: A ∩ A = A (idempotena); ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea interseciei faã de reuniune); 7. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faã de intersecie); 8. ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbia). 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Definiie. Mul  imile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.

II.5. Diferena mulimilor A şi B: A \ B = {xx∈A ∧ x∉B} Proprietã  ile diferen  ei:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

∀ A: A \ A = ∅; ∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C); ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B); ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C; ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.

II.6. Diferena simetricã a mulimilor A şi B: A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) Proprietã  ile diferen  ei simetrice:

1. ∀ A: A ∆ A = ∅; 9


2. 3. 4. 5. 6.


∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea); ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A; ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea); ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C); ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)

II.7. Complementara unei mul imi A în raport cu mul imea E: ( A fiind o parte a lui E , adicã A⊂ E ) CEA = {xx∈E ∧ x∉A} Proprietã  i: (∀A, B⊂E) 1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãii); 2. CEA = E \ A; 3. CE∅ = E; 4. CEE = ∅; 5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii teriului); 6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradiciei); 7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA; 8. A \ B = CE(A ∩ B).

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB. II.9. Produsul cartezian a douã mulimile A şi B: A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B} Proprietã  ile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem): 1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B; 2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C); 3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C); 4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D) Definiia II.9.1. Mul  imile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijec  ie de la A la B . Definiia II.9.2. Fie E o mul  ime. Aceasta se nume ş te finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈ N , astfel încât E este echipotentã cu mul  imea {1,2,…,n}. Definiia II.9.3. O mul  ime E se nume ş te infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulimi infinite sunt: N, Z, Q, R. Definiia II.9.4. Fie E o mul  ime. Aceasta se nume ş te numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulimea numerelor raionale. Definiia II.9.5. O mul  ime se nume ş te cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.  imi un Definiia II.9.6. Fie E o mul  ime. Se nume ş te cardinalul acestei mul simbo asociat ei, notat E  sau card E , astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F ; cardinalul mul  imii vide se noteazã cu 0 , cardinalul mul  imii 10


{1,2,…,n} cu n∈ N ,

zero).


senoteazã cu n , iar cardinalul mul  imii N se noteazã cu x0 (alef

Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mul  imi finite. Atunci: A ∪ B = A + B -A ∩ B  Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mul  imi finite. Atunci: A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C

III. Relaii binare Rela  ia binarã pe o mul  ime Definiia III.1. Fie M o mul  ime nevidã. Se nume ş te rela  ia binarã R pe M o parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈ M este rela  ia R cu y ∈ M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈ R. Deci o rela  ie binarã se referã la perechile de elemente din M. Proprietã  i ale rela  iilor binare pe o mul  ime: 1. Relaia binarã R pe mulimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa. 2. Relaia binarã R pe mulimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb implicã bRa. 3. Relaia binarã R pe mulimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şi bRa implicã a=b. 4. Relaia binarã R pe mulimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb implicã bRc implicã aRc.  iei R definitã pe M mul  imea Definiia III.2. Se nume ş te greficul rela

G = {(x,y) xRy}. Definiia III.3. O rela  ie binarã R definitã pe o mul  ime nevidã M se nume ş te rela  ie de echivalen  ã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã. Exemplu: Fie N mulimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaie R: a şi b din N sunt în relaie cu R, dacã a şi b împãrite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaie de echivalenã.  ime. R o rela  ie de echivalen  ã pe M şi a un Definiia III.4. Fie M o mul element fixat din M. Se nume ş te clasã de echivalen  ã corespunzãtoare elementului a mul  imea C a = {x ∈ M  xRa}. Douã clase de echivalen  ã C a şi C b sau coincid (când aRb ) sau sunt disjuncte.  ime şi R o rela  ie de echivalen  ã pe M. Se Definiia III.5. Fie M o mul  imea cât a lui M în raport cu rela  ia R şi se noteazã M/R mul  imea nume ş te mul claselor de echivalen  ã. Definiia III.6. Fie M o mul  ime nevidã. Se nume ş te rela  ie de ordin pe M o rela  ie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã. Se noteazã: “<” sau “ ≤” De exemplu: relaia cunoscutã de ordine naturalã “ ≤” pe N, Z, Q şi R este o relaie de ordine. 11



 ime nevidã şi “ ≤ Definiia III.7. Fie M o mul o rela  ie de ordin pe M. ≤” Aceastã rela  ie de ordin se nume ş te rela  ie de ordine totalã dacã oricare douã elemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈ M avem sau a
IV. Funcii IV.1. Noiunea de funcie

Definiia IV.1.1. Fie A şi B douã mul  imi. Prin func  ie definitã pe mul  imea A, cu valori în mul  imea B se în  elege orice lege (procedeu sau conven  ie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈ A i se asociazã un unic element, notat f(a) , din B.  ie , iar mul  imea B se nume ş te Mul  imea A se nume ş te domeniu de defini codomeniu de defini  ie sau domeniul valorilor func  iei. Definiia IV.1.2. Fie f:A→ B o func  ie. Prin graficul acestei func  ii în  elegem submul  imea G f a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)), a∈ A. deci G f = {(a, f(a)  a∈ A} Definiia IV.1.3. Se nume ş te func  ie numericã o func  ie f:A→ B , pentru care atât domeniul de defini  ie A cât şi domeniul valorilor B sunt submul  imi ale mul  imilor numerelor reale (deci A, B⊂R ).

IV.2. Funcii injective, surjective, bijective Definiia IV.2.1. Fie f:A→ B o func  ie. Spunem cã f este o func  ie injectivã , dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A , x≠ y , avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, dar g:Z→N, g(x) = x2 nu este o funcie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4. Definiia IV.2.2. O func  ie f:A→ B este o func  ie surjectivã , dacã pentru orice b∈ B existã cel pu  in un element a∈ A , astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→ B nu este surjectivã dacã ∃ b∈ B avem f(a) ≠ b(∀)a∈ A. De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã. Definiia IV.2.3. O func  ie f:A→ B care este simultan injectivã şi surjectivã se nume ş te func  ie bijectivã. De exemplu: Fie A = {x∈Rx ≥ 0} şi f:R→R, f(x) = x2. Funcia f este bijectivã.

IV.3. Compunerea funciilor Definiia IV.3.1. Fie func  iile f:A→ B şi f:B→C (domeniul de defini  ie al func  iei g coincide cu codomeniul func  iei f ). Fie a∈ A, atunci f(a)∈ B, deci existã imaginea sa prin g , adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o func  ie h:A→C unde 12



h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈ A . Func  ia h astfel definitã se noteazã g◦ f (sau gf ) şi se nume ş te compunerea func  iei g cu func  ia f . Observaii: 1. Dacã f:A→B şi g:C→D sunt douã funcii, are sens sã vorbim de compunerea funciei g cu funcia f numai dacã B = C. 2. Dacã f:A→B şi g:B→A sunt douã funcii, are sens g◦f:A→A şi f ◦g:B→B. în general f ◦g ≠ g◦f. Teoremã. Fie f:A→B şi g:B→C şi h:C→D trei funcii. Atunci fiecare din funciile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

IV.4. Funcia inversã  ime oarecare. Notãm cu 1 A:A→ A func  ia Definiia IV.4.1. Fie A o mul definitã astfel: 1 A(a) = a pentru ∀ a∈ A. 1 A se nume ş te func  ia identicã a mul  imii A. Propoziie. Fie A o mulime şi 1A funcia sa identicã. Atunci: 1. Pentru orice mulime B şi pentru orice funcie f:A→B avem f ◦1A= f 2. Pentru orice mulime C şi pentru orice funcie g:C→A avem 1A◦g = g Definiia IV.4.2. O func  ie f:A→ B se nume ş te inversabilã dacã existã o func  ie g:B→ A astfel încât g◦ f = 1 A şi f ◦g = 1 B. Teoremã. O funcie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.

V. Operaii cu numere reale V.1. Puteri naturale ale numerelor reale 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(+a)n = +an (-a)2n = +a2n (-a)2n+1 = -a2n+1 am⋅an = am+n am:an = am-n, a ≠ 0 am⋅bm=(a⋅b)m m  a  m m a :b = , b ≠ 0;    b 

1

m

 1  =   = a −m , a ≠  a 

0; am 9.(am)n = amn = (an)m; 10. a0 = 1, a ≠ 0; 11. 0n = 0, n ≠ 0, n∈N. Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponeni raionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru exponeni reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raionale. Aceste puteri au proprietãi identice cu exponeni numere naturale.

13



V.2. Identitãi fundamentale Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R şi n∈N, avem: 1. a – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b) 2 – (a – b)2; 2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2; 3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx + + dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2; 4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); 5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2); 6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz); 7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x); 8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a 2 + b2); 9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab 10.a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); 11.a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4); 12.(1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5; 13.a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson); 14.an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1); 15.a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2); 16.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n); 17.(1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1. 2

V.3. Radicali. Proprietã i 1.

1

= a ,a > 0; 1 − 1 1 2. m = m = a m , a > 0 ; m

m

a

a

a

3. (m a ) = a, a ≥ 0 ; 4. m a ⋅ m b = m ab , a, b ≥ 0 ; m

1 

m

5.

 m  

6.

m

a ⋅m b ⋅m c

7.

m

a

1 ,a > 0; = a a 

= m abc , a, b, c, ≥ 0 ; a

: m b = m , a ≥ 0, b > 0 ; b

8. m a ⋅ n a = m+n a m +n , a ≥ 0 ; 9. m a : n a = m+ n a m −n , a > 0 ; 10. n a nm = a m , a ≥ 0 ; n

11. a = ( a ) = a , a ≥ 0 ; 12. mn a mp = n a p , a > 0 ; 13. m a p ⋅ n b q = mn a pn ⋅ b qm , a, b ≥ 0 ; m

n

m

n

m

14



14. m n a = mn a = n m a , a ≥ 0 ; 15. m a p : n b q = mn a pn : b qm , a ≥ 0, b > 0 ; 16. a 2 = a , a ∈ R; 1 2 n +1

17. − a = −a = − 2n +1 a , a ≥ 0 ; 2 n +1 18. (2n +1 − a ) = −a, a ≥ 0 ; 19. a + b = a + b + 2 ab , a, b ≥ 0 ; 2 n +1

20.

A ± B

=

A + C

2

±

A − C

2

, dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2

a

±

b

este

a

+

iar pentru

b

3

a

±3

b

este

VI. Ecuaii şi inecuaii de gradul întâi VI.1. Ecuaii de gradul întâi sau ecua ii afine ax + b = 0, a,b,x∈R Fie S mulimea de soluii a acestei ecuaii. Dacã b

b

a

a

1. a ≠ 0, x = − (soluie unicã). S = { − }. 2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaia nu are soluii: S = ∅; 3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluie a ecuaiei afine date; S = R. Semnul funciei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0 x b -∞ − a

f(X)

semnul lui a 0 Graficul funciei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y semn contrar lui a

A(0,b)

x b

B( − ,0) a

VI.2. Inecuaii de gradul întâi sau ecua ii fine Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulimea b

1. a > 0, S =( − , + ∞); a

15

soluiilor. Dacã:

+∞



b

2. a < 0, S = (-∞, − ); a

3. a = 0, b > 0, S = R; 4. a = 0, b = 0, S = ∅. Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã: b

1. a > 0, S = (+∞, − ] a

b

2. a < 0, S = [ − ,+∞) a

3. a = 0, b = 0, S = R; 4. a = 0, b > 0, S = ∅. Inecuaiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmul irea inecuaiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãilor).

VI.3. Modului unui numãr real − x, daca x < 0  x = 0, daca x = 0 x, daca x > 0 

Proprietãi:∀ x,y∈R, avem: 1. x = 0 ⇔ x = 0 ; 2. − x = x ; 3. x = y ⇔ x = y sau x = − y ; 4. x = a ⇔ − a = x = a, a ∈ R; 5. − x ≤ x ≤ x ; 6. x + y ≤ x + y ; 7. x − y ≤ x + y 8. x − y ≤ x − y ; 9. x − y ≤ x + y ≤ x + y ; 10. xy = x ⋅ y ; 11.

x y

=

x y

, y ≠ 0 .

Ecuaii şi inecuaii fundamentale, care conin modulul: 1. x − a = b , (a,b,x∈R, S = mulimea soluiilor) b

S

b<0 b=0 b >0

∅ a {a – b; a + b}

2. x − a > b 16



b

S

b<0 b=0 b >0

R R\{a} {-∞,a – b)∪{a + b,∞}

3. x − a < b b

S

b<0 b=0 b >0

∅ ∅ {a – b; a + b}

VII. Numere complexe Definiia VII.1. Se nume ş te numãr complex orice element z=(a,b) al mul  imii RxR = {(a,b) a,b∈R }, înzestrate cu douã opera  ii algebrice, adunarea: ∀ z=(a,b), ∀ z’=(a’,b’) ∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmul  irea: ∀ z=(a,b),  imea numerelor complexe se ∀ z’=(a’,b’) ∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b) . Mul noteazã cu C şi este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe

z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1. Egalitatea a douã numere complexe z şi z’: a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’ Adunarea numerelor complexe are proprietãile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib. Înmulirea numerelor complexe are proprietãile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex a + bi

−1 nenul admite un invers   (a + bi ) =



a a

2

+ b2

−

 este distributivã faã 2 2 a + b  b

i ;

de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C.

Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i. Definiia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se nume ş te conjugatul lui z şi se noteazã a – ib = a + ib = z . Au loc urmãtoarele proprietãi, ∀z,z’,z”∈C. 1. z + z = 2a; 2. z - z = 2bi; 3. z ± z ' = z ± z ' ; 4. zz ' = z ⋅ z ' ; 5. zz ' = a 2 + b 2 = (a + bi )(a − bi) ; 17


6.

z z '

=

z ' z


;

z z

7. z n = ( z ) ; z '  z ' 8.   = . n

 z  z

VII.2. Modulul unui numãr complex ∀ z∈C

= z z sau z = Avem apoi: z = z z + z ' ≤ z + z ' ; z − z ' ≤ z + z ' ≤ z + z ' ; zz ' = z z ' ; z ' z ' = , z ≠ 0 . z

1. 2. 3. 4. 5.

z

a2

+ b2

z

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe z = r(cos u + isin u) unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluia ecuaiilor trigonometrice r cos u = a şi r sin u = b. 5π 5π 5π De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci z = 2 , u = şi z = 2 (cos + i sin ) . 4 4 4

VII.4. Formula lui Moivre

∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu) Consecinele formulei lui Moivre cos nu = cosn u + C2ncosn-2u sin2u + C4ncosn-4u sin4u + …; sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + …; 1 2 3 5 5 C tgu − C tg u + C tg u − ... tg nu = . 2 2 4 4 1 − C tg u + C tg u − ... n

n

n

n

n

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex z = r(cos u + isin u) 1 n ( z )k = r n cos u + 2k π + i sin u + 2k π , k = 0,1,2,..., n − 1 

( 1) n

k

(

n

= cos

n

2k π n

− 1) = cos k

+ i sin

n

2k π

(2k + 1)π n

n



, k = 0,1,2,..., n − 1

+ i sin

(2 k + 1)π n

, k = 0,1,2,..., n − 1 18



Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaie: (n 1)k = ε k şi (n − 1)k = ω k  a + ib = ±  

a

2

b + b2 + a +i 2 b

a

2

+ b 2 − a   2 

VII.6. Ecuaia binomã

xn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ ) xk = A1/nωk, k = 0, n − 1, A∈R, A < 0; xk = A1/nεk, k = 0, n − 1, A∈R, A > 0; ϕ + 2k π ϕ + 2k π  cos sin + xk = n p  i   , k = 0, n − 1, A∈C\R 

n

n



VIII. Ecuaii şi inecuaii de gradul al II-lea VIII.1. Ecuaii de gradul al doilea

ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 0 1. Formule de rezolvare: ∆ > 0 −b+ ∆ −b− ∆ , x2 = , ∆ = b2 – 4ac; sau x1 = 2a 2a − b'+ ∆' − b'− ∆ ' , x2 = , b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac. x1 = a

a

2. Formule utile în studiul ecua  iei de gradul al II-lea: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP x14 + x24 = (x1 + x2)4 – 2x12x22= S4 – 4S2P + 2P2 3. Discu  ia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2.

∆ ∆<0

P -

S -

∆=0

-

-

∆>0

P>0 P>0 P<0

S>0 S<0 S>0

P<0

S<0

Natura şi semnul rãdãcinilor −b±i −∆ Rãdãcini complexe: x1, 2 = 2a Rãdãcini reale şi egale x1 = x 2 = −

b

2a

Rãdãcini reale pozitive Rãdãcini reale negative Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este mai mare decât valoarea absoluta a celei negativi Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã este mai mare în valoare absolutã. 19



4. Semnul func  iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R ∆ > 0: a ≠ 0, x1 < x2. x -∞ x1 x2 f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0

∆=0 X -∞ f(x)

semnul lui a

∆<0 X -∞ f(x)

x1 = x2 0

+∞ semnul lui a +∞ semnul lui a +∞

semnul lui a

5. Graficul func  iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã. Aceastã 2 −∆ b   funcie se poate scrie şi sub forma f ( x ) = a x +  + , numitã formã canonicã. 4a  2a 

∆>0 a>0 A(x1,0) B(x2,0) C(0,c)

y

V  −

C

b

 2a

O A

B

,−

∆   4a 

x

D 6. Maximul sau minimul func  iei de gradul al doilea 1. Dacã a > 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu realizeazã pentru x =

−b 2a

2. Dacã a < 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu realizeazã pentru x =

−∆ , minim ce se 4a −∆ , maxim ce se 4a

−b 2a

7. Intervale de monotonie pentru func  ia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0 20



1. Dacã a > 0, func ia f este strict descrescãtoare pe intervalul (−∞,

− b şi strict  2a 

−b crescãtoare pe intervalul  ,+∞) .  2a 2. Dacã a < 0, funcia f este strict crescãtoare pe intervalul (−∞,

− b şi strict 2a 

−b descrescãtoare pe intervalul  ,+∞) .  2a −b −b Observaie: Intervalele (−∞,  şi  ,+∞) se numesc intervale de 2a   2a monotonie ale func  iei f . Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a ≠0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului. 1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2); 2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)2; 3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c Construirea unei ecua  ii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul 2 rãdãcinilor ei: x – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2. Teoremã: Ecuaiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’ ∈R, a,a’≠0, au cel puin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã:

a 0 a’ 0

b a b’ a’

c b c’ b’

0 c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0 0 c’

Condi  ii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în 2 anumite rela  ii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecua  iei de gradul al doilea f(x)=ax + bx + c a,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Condi  ii necesare şi suficiente Rela  ii între x1 , x2 , α şi β

1

α < x1 < β < x2 sau x1 < α < x2 <β

2

α < x1 ≤ x2 < β

3

x1 < α < β < x2

1. f(α )f(β) < 0 1. ∆ = b2 – 4ac = 0 2. af(α) > 0 3. af(β) > 0 −b 4. α < 2a −b 5. β > 2a 1. af(α) < 0 2. af(β) < 0 ceea ce atrage dupã sine ∆ >0 21


4

x1 < α < x2

5

α < x1 ≤ x2

6

x1 ≤ x2 < α

7

f(X) = 0, ∀x, x∈R

8

f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R


1. af(α) < 0 1. ∆ = 0 2. af(α) > 0 −b 3. α < 2a 1. ∆ = 0 2. af(α) > 0 −b 3. <α 2a 1. 2. 1. 2.

∆≤0 a>0 ∆≤0 a<0

Observaie: Rezolvarea ecuaiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin substituia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaii de gradul al doilea în y, anume ay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaii binome de forma xn = y1, xn = y2.

VIII.2. Inecuaii fundamentale de gradul al II-lea

1. ax2 + bx + c > 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulimea soluiilor: a S ∆ ∆ > 0 a > 0 (-∞, x1)∪(x2, +∞) (x1,x2) ∆>0 a<0 R\{x1} ∆=0 a>0 ∅ ∆=0 a<0 R ∆<0 a>0 ∅ ∆<0 a<0 2. 2. ax2 + bx + c ≥ 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulimea soluiilor: a S ∆ ∆ > 0 a > 0 (-∞, x1]∪[x2, +∞) [x1,x2] ∆>0 a<0 R ∆=0 a>0 {x1} ∆=0 a<0 R ∆<0 a>0 ∅ ∆<0 a<0 Inecuaiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente (prin înmulirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãi).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaii cu coeficieni reali 1. Sisteme formate dintr-o ecua  ie de gradul al doilea şi una de gradul întâi Aceste sisteme sunt de forma: 22



ax + by + c = 0

(S )

2 2 a1 x + b1 xy + c1 y + d 1 x + e1 y + f 1 = 0

Se rezolvã prin metoda substitu  iei. În prima ecuaie putem presupune cã sau a≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaie dispare). Presupunând cã b≠0, a c − c − ax atunci ecuaia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecua ia y = = − x − . b

b

b

Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul: a c  y x = − −  b b (S ' ) 2 a c a c a c      a x 2 + b x − x −  + c  − x −  + d x + e  − − x   + f 1 = 0 1 1 1 1  1 b b b b b b      

Rezolvând ecuaia a doua a sistemului (S’) obinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaie din sistemul (S’) obinem valorile lui y. Discuie. 1. Dacã ecuaia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale, atunci sistemul (S) are o soluie realã. 2. Dacã ecuaia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale, sau în cazul când aceasta este o ecua ie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douã soluii reale. 3. Dacã ecuaia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinã realã, atunci sistemul (S) nu are soluii reale. 2. Sisteme de ecua  ii omogene Un astfel de sistem este de forma: a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d 1 (S ) 2 2 a 2 x + b2 xy + c2 y = d 2 Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b 1XY + c1Y2 şi a2X2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea lor au acelaşi grad. Presupunem mai întâi cã d1≠0 şi d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α şi β diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmuleşte prima ecuaie cu α şi cea de a doua cu β şi apoi se adunã. Se obine sistemul echivalent: a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d 1 (S ' ) 2 2 (α a2 + β a 2 ) x + (α b1 + β b2 ) xy + (α c1 + β c2 ) y = 0 Notãm coeficientul ecuaiei a doua din (S’) cu a 3,b3,c3. Atunci: a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d 1 (S ' ) 2 2 a3 x + b3 xy + c3 y = 0 Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are soluia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã x≠0. Împãrim ecuaia a doua din (S’) cu x2 şi ob inem ecuaia de gradul al doilea în 23



2

y y  : c3    + b3 + a 3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k 1 şi k2 pentru x x  x  y y x

adicã,

y x

= k 1 şi

y x

= k2.

Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douã sisteme:  y = k x  y = k 2 x ( S1 )  2 1 ( ) i ş S 2  2 2 2 + + = a x b xy c y d  1 1 1 1 a1 x + b1 xy + c1 y = d 1 Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuã ca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecua  iiii simetrice Definiia VIII.3.3. O ecua  ie ie în douã necunoscute se zice simetricã dacã x cu y şi y cu x , ecua  ia înlocuind x ia nu se schimbã. Rezolvarea sistemelor de ecuaii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliare s şi p date de relaiile: x + y = s şi xy = p. Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemul se reduce la un sistem de ecua ii format dintr-o ecuaie de gradul întâi şi o ecuaie de gradul al doilea în necunoscutele s şi p.

IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV şi V

IX.1. Ecuaia reciprocã de gradul al treilea

ax3 + bx2 ± bx ± a = 0, a,b∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaiei (x ± 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

IX.2. Ecuaia reciprocã de gradul al patrulea

ax4 ± bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0 Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaii de gradul al doilea, prin 1 1 1 substituia y = x + : a(x2 + 2 ) ± b(x + ) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0. x x x

IX.2. Ecuaia bipãtratã

ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0 2

2

Cu x = y , rezultã ecuaia ay + by + c = 0, deci x1, 2 ,3, 4 = ±

−b ±

b2

− 4ac

2a

X. Logaritmi Definiia X.1. Fie a∈R*+, a ≠ ≠ 1 şi b∈R*+ douã numere reale. Se nume ş te logaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numãrul a, numit bazã, pentru a ob  ine ine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab 24



Evident b = a log b . Pentru a = 10 obinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obinem logaritmi naturali. a

Proprietã  i: i:

1. logab = logac ⇔ b = c, (b,c > 0); 2. logaa = 1; 3. loga1 = 0 1 4. logaac = c; loga =- logab; logax2n = 2n logax , x≠0 b 1 5. log a m b = log a b, (b > 0, m ∈ N , m ≥ 2) ; m

6. logab logba = 1; 7. Formula de schimbare a bazei logaritmului: log a b =

log c b log c a

8. x>0 şi y>0 ⇒ logaxy = logax + logay; x 9. x>0 şi y>0 ⇒ loga = logax – logay; cologax = - logay y 10.a>1 10. a>1 şi x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 şi x>1 ⇒ logax > 0; 11.0 0; 01⇒ logax < 0; 12.a>1 12. a>1 şi 00, y>0, a>0, b>0, a≠1, b≠1 ⇒ ; = log a y log b y 14.x>0, 14.x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logaxn; 15.x 15. x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna. Opera  iiii cu logaritmi zecimali 1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucât existã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi cele douã rezultate se adunã algebric. 2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului. 3. Înmulirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmuleşte separat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele. 4. Împãrirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica este pozitivã, împãrirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separat mantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prin numãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãi negative câte sunt necesare pentru a avea un numãr divizibil prin împãritorul respectiv şi, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãi, dar pozitive. X.1. Ecuaii şi inecuaii logaritmice fundamentale 1. logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Soluia: x = ab. 2. logax > b, b∈R. Fie S mulimea soluiilor. Avem: 25



a S a>1 (ab, +∞) 01 (0, ab) 0 < a < 1 (ab, +∞)

X.2. Ecuaii şi inecuaii exponeniale fundamentale

1. ax = b, a>0, a≠1, b>0. Soluia x = logab, b∈R 2. ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o soluie realã 3. ax > b. Fie S mulimea soluiilor. Avem: a b S a>1 b>0 (logab, +∞) 00 (-∞, logab) a>0 b<0 R a≠1 x 4. a < b. Fie S mulimea soluiilor. Avem: a b S a>1 b>0 (-∞, logab) 00 (logab, +∞) a>0 b<0 ∅ a≠1

XI. Metoda induciei matematice XI.1. Axioma de recuren ã a lui Peano

Fie A o parte a lui N astfel cã: 1. 0∈A 2. (∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.

XI.2. Metoda induc iei matematice

Fie P(n) o propoziie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem: 1. P(0) adevãratã; 2. ∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n. În demonstraie prin metoda induc iei matematice (recurenã) poate apãrea în loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziia P(n) pe care vrem sã demonstrãm am constatat n≠n0.

XI.2. Variantã a metodei induciei matematice Fie P(n) o propoziie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem: 1. P(n0) adevãratã; 26



2. (∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru orice numãr natural n≥n0.

XII. Analizã combinatorie XII.1. Permutãri Definiia XII.1.1. O mul  ime împreunã cu o ordine bine determinatã de dispunere a elementelor sale este o mul  ime ordonatã şi se notazã (a1 ,a2 ,…,an). Definiia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mul  imi A cu n elemente toate mul  imile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈N* , este P n=1⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅… ⋅ ⋅ n = n!; 0! = 1 (prin defini  ie). (n + 1)! Factoriale (proprietãi): n! = (n – 1)!n; n! = n +1

XII.2. Aranjamente Definiia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤ ≤ n) ale unei mul  imi A cu n elemente, toate submul  imile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mul  imii A. Se noteazã Amn. Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este: n! Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) = , n≥m. (n − m)! n! n n Proprietã  i: A n = Pn; A n = sau Ann= n!; Ann−1 = Ann ; An0 = 1 . 0!

XII.3. Combinãri Definiia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤ ≤ n) ale unei mul  imi A cu n elemente toate submul  imile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mul  imii A. Se noteazã C nm . Proprietã  i: C n = n; C nn = C n0

= C 00 = 1 ; 1. 2. C nn = C nn −m ; C nm = C nm−1 + C nm−−11 ; 3. Numãrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n; 4. C nm = C nm−−11 + C nm−−11 + ... + C mm+−11 + C mm−1 + C mm−−11 ; n! 5. = C n p C n p− p ...C n−( p +...+ p ) unde p1 + … pm-1 < n p1! p2 !... pn ! 1

1

2

1

1

m −1

XII.4. Binomul lui Newton

(x + a)n = C n0 x n + C n1 x n−1 a + ... + C nk x n −k a k + ... + C nn a n (x – a)n = C n0 x n − C n1 x n −1 a + ... + (−1) k C nk x n−k a k + ... + (−1) n C nn a n unde n∈N Proprietã  i:

1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k C nk xn-kak; 27


2. C nk +1 = 3. Tk+2 =


n − k k k +1 C n ; C n +1 k + 1 n − k a

⋅

k + 1 x

=

n − k k C n ; k + 1

Tk+1 sau Tk+2 = −

n − k a

⋅ Tk+1;

k + 1 x

4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x ± a)n este n+1; 5. Coeficienii termenilor egal depãrtai de extremi sunt egali. Rela  ii importante: n n n n 0 1 0 1 C n + C n + ... + C n = 2 ; C n − C n + ... + (−1) C n = 0; n n C n0 + C n2 + C n4 + ... = 2 −1 ; C n1 + C n3 + C n5 + ... = 2 −1 ; n n C 2 n = (C n0 ) 2 + (C n1 ) 2 + ... + (C n ) 2 Dezvoltãri particulare uzuale:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac); (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3; (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc; (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Dacã Sp = 1p + 2p + …+ np, p∈N, atunci avem: 2 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)  n( n + 1  ; S2 = ; S3 =  S1 = 2 6  2  n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) n 2 (n + 1) 2 (2n 2 + 2n − 1) ; S5 = S4 = 30 12 O relaie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ C p1 +1 S p + C P2+1 S p −1 + ... + C p p+1 S1 + n

XIII. Progresii XIII.1. Progresii aritmetice Definiia XIII.1.1. Se nume ş te progresie aritmeticã un şir de numere a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se ob  ine din cel precedent  ia progresiei. Se noteazã prin adãugarea unui numãr constant numit ra ÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n≥2 (prin definiie) an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin definiie) (a + a )n Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = 1 n 2 28



2a 1 + (n − 1)r n 2 Termenii echidistan  i de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor Sn =

echidistan  i de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an. Observaie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1 , astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1. Condiia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometrice Definiia XIII.2.1. Se nume ş te progresie geometricã un şir de numere a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se ob  ine din cel precedent  irea acestuia cu un acela şi numãr q (q≠ prin înmul ≠ 0) numit ra  ie. Se noteazã ÷÷a1,a2,a3,…an,… Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = qan-1, n≥2 (prin definiie) an = a1qn-1, n≥2 (an în funcie de a1, q şi n) qn − 1 Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = a 1 q −1 a −a q Sn = 1 n , q ≠ 1 1− q Termeni echidistan  i de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi termeni echidistan  i de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: a pan-p+1 = a1an. Observaie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã un termen la mijloc, am+1 , astfel încât am2 +1 = a1 a2 m+1 . Condiia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b2 = ac.

XIV. Polinoame XIV.1. Forma algebricã a unui polinom

f ∈C[x] este f = a0Xn + a 1Xn-1 + a 2Xn-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientul dominant, an – termenul liber. ~ ~ Func  ia polinomialã asociatã lui f ∈C[x] este f :C→C f (α) = f(α) ∀α∈C; f(α) fiind valoarea polinomului f în α. Teorema împãr  irii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x] astfel încât f = gq + r, grad r < grad g. Împãr  irea unui polinom cu X-a: Restul împãririi polinomului f ∈C[x], f ≠0 la X-a este f(a).

29



Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1Xn-2 + … + bn-1 al împãririi polinomului f = a0Xn + a 1Xn-1 + a2Xn-2 + … + an la binomul X-a; precum şi restul acestei împãriri r = f(a); a0 a1 … an-1 an a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor Definiia XIV.2.1. Fie f,g∈C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm g f dacã ∃q∈C[x] astfel încât f=gq. Proprietãi: 1. a f, ∀a∈C*, ∀f ∈C[x]; 2. g f şi f ≠0 ⇔ r = 0; 3. g f şi f ≠0 ⇒ grad f ≥ grad g; 4. a∈C* ⇒ af f; 5. f f (refelexivitate); 6. f g şi g h ⇒ f h (tranzitivitate); 7. f g şi g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate). Definiia XIV.2.2. Un polinom d se nume ş te cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d  f şi d g. 2) d’  f şi d’ g ⇒ d’ d şi notãm d=(f,g) Definiia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele. Definiia XIV.2.4. Un polinom m se nume ş te cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m. 2) f m’ şi g m’ ⇒ m m’ f ⋅ g Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m = d

XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor

Definiia XIV.3.1. Numãrul α α∈ C se nume ş te rãdãcinã a polinomului f dacã ~ şi numai dacã f ( α α ) = 0. Teorema lui Bezout: Numãrul α∈C este rãdãcinã a polinomului f ≠0⇔(X-a) f. Definiia XIV.3.2. Numãrul α α se nume ş te rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f ≠0 dacã şi numai dacã (X-a)  f iar (X-a) p+1 nu-l divide pe f . Teoremã: Dacã f ∈C[x] este un polinom de gradul n şi x1 ,x2 ,x3 ,…,xn sunt rãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1 ,m2 ,m3 ,…,mn atunci m f = a0 ( X − x1 ) m ( X − x2 ) m ...( X − xn ) unde a0 este coeficientul dominant al lui f , iar m1 + m2 + … + mn = grad f . XIV.4. Ecuaii algebrice Definiia XIV.4.1. O ecua  ie de forma f(x) = 0 unde f ≠ ≠ 0 este un polinom, se nume ş te ecua  ie algebricã. Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaiile algebrice de grad mai mare decât patru nu se pot rezolva prin radicali. Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaie algebricã de grad mai mare sau egal cu unu, are cel puin o rãdãcinã (complexã). 1

2

n

30



Formulele lui Viete: Dacã numerele x1 ,x2 ,…,xn sunt rãdãcinile polinomului f ∈C[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci: a1  x x x ... + + + = − n  1 2 a0  a2   x1 x 2 + ... + x1 x n + x 2 x3 + ... + x n−1 x n = a 0   a3  x1 x 2 x3 + x1 x 2 x 4 + ... + x n− 2 x n −1 x n = − a0   ......................................................  a  x1 x 2 ... x k + x1 x 2 ... x k −1 x k +1 + ... + x m −k +1 x m − k + 2 ... x m = (−1) k k a0  .......................................................   n an  x1 x 2 ... x n = (−1) a0  

XIV.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z Teoremã: Dacã f ∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite ca rãdãcinã şi peα = a – ib, iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate. Teoremã: Dacã un polinom f ∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0, d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi pe α = a – b d , iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate. p Teoremã: Dacã un polinom f ∈Z[x], grad f ≥1, admite o rãdãcinã α = ∈Q, 2 (p,q) = 1 atunci p an şi q a0. În particular dacã f ∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.

XV. Permutãri, matrici, determinani XV.1. Permutãri Definiie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕ se nume ş te permutare de gradul n daacã ϕ:A→ → A şi ϕ bijectivã. 2 ... n   1 ϕ =   ϕ ϕ σ (1) (2) ... (n)   Sn – mulimea permutãrilor de grad n; card Sn = n!  1 2 ... n  1A = e, permutarea identicã e =   1 2 ... n   31



Compunerea permutãrilor  1 Fie σ,τ∈Sn atunci σoτ =   ϕ (τ (1))

2 ... n   ∈Sn ϕ (τ (2)) ... σ (τ (n)) 

Transpozi  ii Definiia XV.1.2. Fie i,j∈A, i≠ j, τij∈S n , τij se nume ş te transpozi  ie dacã:  j, daca k = i  1 2 ... i ... k ... j ... n    τ ij (k ) = i, daca k = j τ ij (k ) =  1 2 ... j ... k ... i ... n   k, daca k ≠ i, j  Observaii: 1. (τij)-1 = τij; 2. Numãrul transpoziiilor de grad n este C n2 Signatura (semnul) unei permutãri Definiia XV.1.3. Fie (i,j)∈AxA, i
XV.2. Matrici Definiia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaie A:MxN→C A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:  a11 a12 ... a1n     a21 a22 ... a2 n  şi notãm Mm,n(C) mulimea matricelor de tipul (m,n) cu A =  ... ... ... ...     a m1 am 2 ... amn  elemente numere complexe. Definiia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se nume ş te pãtraticã de ordinul  imea lor se noteazã M n(C). n , iar mul Definiia XV.2.3. Douã matrici A,B∈ M m,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij ∀(i,j)∈ MxN. Operaii cu matrici: 1. Adunarea Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxN este suma lor. Proprietã  i ∀A,B,C∈Mm,n(C): 1. A+B = B+A (comutativitate); 2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate); 32



3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0); 4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este –A). 2. Înmul  irea cu scalari Fie A∈Mm,n(C) şi λ∈C atunci B=λA∈Mm,n(C) unde bij=λij ∀(i,j)∈MxN este produsul matricei A cu scalarul λ. Proprietã  i ∀A,B∈M m,n(C) şi λµ∈C. 1. 1⋅A = A; 2. λ⋅A = A⋅λ; 3. λ(A+B) = λA + λB; 4. (λ+µ)A = λA + µA; 5. λ(µA) = (λµ)A = µ (λA). 3. Transpusa unei matrici Fie A∈Mm,n(C) atunci tA∈Mm,n(C) unde taij = a ji, ∀(i,j)∈MxN 4. Înmul  irea matricelor Fie A∈Mm,n(C) şi B∈Mn,p(C) atunci C=A⋅B∈Mm,p(C) unde

n

cij

= ∑a k =1

∀(i,j)∈MxN este produsul lor Proprietã  i:

1. (A⋅B) ⋅C = A⋅(B⋅C) (asociativitate);  1  0 2. A⋅In = In⋅A (element neutru-matricea unitate) I n =  ...   0

0 1 ... 0

... ... ... ...

3. (A+B)⋅C = A⋅C + B⋅C; 4. A⋅(B+C) = A⋅B + A⋅C.

XV.3. Determinani

Fie Mn(C) – mulimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:  a11 a12 ... a1n    ... a a a  21 22 2n  , A∈Mn(C) A =   ... ... ... ...    a m1 am 2 ... amn  Definiia XV.3.1. Se nume ş te determinantul matricii A , numãrul det A = ∑ ε (σ )a1σ (1) a2σ ( 2 ) ...anσ ( n ) σ ∈S n

det A =

a11

a12

a21

a22

...

...

a n1

an 2

... a1n ... a 2 n ... ... ... anm 33

b

ik kj

0   0 ...  1 

,



det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A: a 11 a 12 ... a 1j-1 a 1j+1 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2j-1 a 2j+1 ... a 2n ... .... ... ... ... ... ... Aij = (-1)i+j a i−11 a i-12 ... a i-1j-1 a i -1j+1 ... a i-1n a i+11 a i+12 ... a i +1j-1 a i+1j+1 ... a i +1n ... ... ... ... ... ... ... a n1 a n2 ... a nj-1 a nj+1 ... a nm Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C)) Determinantul de ordinul 2: a11

a12

a21

a 22

= a11 a22 − a12 a21

Determinantul de ordinul 3: a11

a12

a13

a21

a 22

a 23

a31

a32

a33

= a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23 a31 − a31a22 a13 − a11a32 a23 − a21 a12 a33

XV.4. Inversa unei matrici

Fie A∈Mn(C), dacã det A≠0 existã A-1∈Mn(C) astfel încât AA-1 = In, In∈Mn(C), In – matricea unitate:  A11 A21 ... An1    A A A ... 1  12 n2  22 −1 A = det A  ... ... ... ...     A1n A2 n ... Ann 

XVI. Sisteme lineare XVI.1. Notaii: aij – coeficieni, xI – necunoscute, bi – termeni liberi; a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b  2n n 2 (S)  21 1 22 2 , m – ecuaii, n – necunoscute; .......... .......... .......... .........  am1 x1 + a m 2 x 2 + ... + amn xn = bn 34



... a1n   a11 a12   a22 ... a2 n   a21 a22 , A =  ... ... ...  ... ...   am 2 ... amn   a m1 am 2 r – rangul matricii A = rangul sistemului

 a11   a21 A =  ...   a m1

a12

... a1n ... a2 n ... ... ... a mn

b1 



b2 

... 

,

 bn 

XVI.2. Compatibilitatea Sistemul (S) este compatibil determinat dacã: 1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = ∆ ≠ 0, atunci xI =

∆ , unde ∆ i

... b1 ... a1n   a 22 ... b2 ... a 2 n  ... ... ... ... ...   an 2 ... bn ... ann  2. r = n < m şi rang A = r. Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) şi rang A = r + 1.  a11  a ∆ i =  21 ...   a n1

a12

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0)

1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n; 2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.

XVII. Structuri algebrice XVII.1. Monoid Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea); M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulimea funciilor f:E→E, E – nevidã, o – compunerea funciilor).

XVII.2. Grup Fie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea); G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru); G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative; 35



2. (Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faã de sistemul de coordonate), comutativ; 5. (σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H ⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈ H ⇒ x*y∈ H şi ∀ x∈ H ⇒ x’∈ H (x’ este simetricul lui x în raport cu opera  ia *); Fie grupurile (G1,⊥ ), (G2,∆): ş te morfism de grupuri dacã Definiia XVII.2.2. f:G1→G2 se nume f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. Definiia XVII.2.3. f:G1→G2 se nume ş te izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(x⊥ y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1. ş te automorfism (endomorfism) al Definiia XVII.2.4. f:G1→G2 se nume grupului G1 , dacã f este un izomorfism (morfism).

XVII.3. Inel Fie (A,+,•), AxA→A, (x,y)→x+y şi AxA→A, (x,y)→x•y, A nevidã; Definiia XVII.3.1. (A,+,•) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,•) este monoid şi D. • este distributivã faã de +: x•(y+z) = x•y + y•z (y+z)•x = y•x + y•z, ∀x,y,z∈A dacã C. x•y = y•x ∀x,y∈A, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,b∈Z} 3. (Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n. Fie inelele (A,⊥,*) şi (A’,∆,o): Definiia XVII.3.1. f:A→A’ se nume ş te izomorfism de inele dacã f este bijectivã şi f(x⊥ y) = f(x)∆f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A. Definiia XVII.3.2. (A,+,•) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0 implicã x• y≠0. Definiia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel pu  in douã elemente şi fãrã divizori ai lui zero se nume ş te domeniu integritate. Definiia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅ ) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅ ) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficien  i în A. f ∈A[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de nedeterminatã X cu coeficieni în A: - dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant); 36



- dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞. Proprietã  i: 1. grad ( f+g) ≤ max{grad f , grad g}; 2. grad f ⋅g ≤ grad f + grad g. Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad f ⋅g = grad f + grad g, ∀ f,g∈ A[X].

XVII.4. Corp Fie (K,+,•), KxK→K, (x,y)→x+y şi KxK→k, (x,y)→x•y, K – nevidã. Definiia XVII.4.1. (K,+,• • ) este corp dacã (K,+,• • ) este inel, 0≠1 şi ∀x∈K, x≠0 ⇒ ∃ x-1∈K, astfel încât x• x-1 = x-1 • x = 1. Dacã x•y = y•x ∀x,y∈K, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,⋅) – corpul numerelor raionale; 2. (R,+, ⋅) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe; 4. (Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p ( p∈N*, p >1, p – numãr prim). Definiia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥ ⊥ ,*) şi (K’,∆ , o ), f:K → K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥ y) = f(x) ∆ f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀ x,y∈R. Teorema împãririi cu rest în mulimea K[X], K corp comutativ şi g∈K[X], g≠0: ∀f ∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r, grad r < grad g.

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE

Notaii:

- lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b; - lungimile segmentelor importante în triunghi:  AD = ha (AD⊥ BC, ha lugimea înãlimii din A, D∈BC);  AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D∈(BC));  AD = ba (∠BAD =∠CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D∈(BC)); a+b+c = p (p – semiperimetrul triunghiului ABC); 2 - AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S; - R – raza cercului circumscris unui poligon; - r – raza cercului înscris într-un poligon; - ln – latura poligonului regulat cu n laturi; - an – apotema poligonului regulat cu n laturi; - P – perimetrul poligonului; - Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã); - Atot – aria totalã, notatã şi A; - V – volumul. 37



I. Triunghiul Inegalitã  i gemetrice: 1. m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior; 2. a+b > c, b+c > a, a+c > b 3. a > b-c , b > c-a , c > a-b  A b+c 4. ma < 2 5. p < ma + mb + mc < P Teorema bisectoarei (∠BAD ≡ ∠DAC) B C BD AB a⋅c a ⋅b = ; BD = ; DC = DC AC b+c b+c Observaii: 1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecie al mediatoarelor; 2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecie al bisectoarelor; 3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecie al medianelor. 4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecie al înãlimilor.

II. Poligoane convexe

Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi: Sn = (n – 2)⋅180° Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui alt cerc.

III. Relaii metrice în triunghi

III.1. Triunghiul dreptunghic 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

ABC (m(∠A) = 90°, AD⊥BC) Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2; Teorema catetei: b2 = a⋅CD, c2 = a⋅BD; Teorema înãlimii: h a2 =BD⋅DC; b⋅c ha = , h = b, hc = c ; 2 b 3 3 a ma = , mb2 = a 2 − b 2 , mc2 = a 2 − c 2 ; 2 4 4 2a 2a b⋅c ; ba = 2 ; bb = c ⋅ ;bc = b ⋅ b+c a+c a+c b⋅c ; A ABC = 2 38



a

8. R = ; 2

b⋅c

9. r =

;

a+b+c 10.Relaii exprimate prin funcii trigonometrice: b = a⋅sin B, b = a⋅cos C , b = c⋅tg B, b = c⋅ctg C .

III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c) 1. ha = ma = ba = a

2. A ABC =

4

3

2

;

3

a

3. R =

2

3

a

3 a 3 4. r = 6

III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC) 1. Teorema lui Pitagora generalizatã: a) b2 = a2 + c2 – 2a⋅BD, dacã m(∠B)<90° ; b) b2 = a2 + c2 + 2a⋅BD, dacã m(∠B)>90° ; 2. Relaiile lui Steward O∈(BC): b2⋅BO + c2⋅CO – a2⋅AO = a⋅BO⋅CO; 2(b 2 + c 2 ) − a 2 2 3. ma = ; 4 2 4. ha = p( p − a)( p − b)( p − c) ; a

2 p ( p − a )bc ; b+c a ⋅ ha 6. A ABC = =S; 2 7. S = p( p − a )( p − b)( p − c) ; 5. ba =

8. R =

abc

9. r =

S

4S

p

;

.

III.4. Relaii exprimate prin funcii trigonometrice 1. Teorema sinusurilor:

a

=

b

=

c

sin A sin B sin C 2

2

2

= 2 R ;

2. Teorema cosinusului: a = b + c − 2bc cos A; cos A = 39

b

2

+ c2 − a2 ; 2bc



3. Teorema tangentelor: tg

A − B

C

=

a −b

; 2 2 a+b ab sin C a 2 sin B sin C A ,S = , S = p( p − a)tg , S = 2 R 2 sin A sin B sin C ; 4. S = 2 2 sin A 2 A

B

tg

C

5. p = 4 R cos cos cos ; 2 2 2 6. ha = 2 R sin B sin C ; 7. ma2 = R 2 (sin 2 A + 4 cos A sin B sin C ) ; 2bc A 8. ba = cos ; 2 b+c A p ( p − a ) 9. cos = ; 2 bc ( p − b)( p − c) A 10. sin = ; 2 bc ( p − b)( p − c) A 11. tg = . 2 p ( p − a)

IV. Patrulatere IV.1. Paralelogramul ABCD (AB CD, BC AD, DE⊥ AB) AC∩BD = {O} OA = OC, OB = OD AABCD = AB⋅DE AABCD = AB⋅AD⋅sin A. A

D

IV.2. Dreptunghiul

D

ABCD (AB CD, BC AD, ∠A = 90°) AC = BD AABCD = AB⋅AD

C O E

B C O

A

B

IV.3. Rombul ABCD (AB CD, BC AD, AB = BC) AC = d1, BD = d2 AB = a AC⊥ BD d ⋅d AABCD = 1 2 2

A

C

B

40



IV.4. Pãtratul ABCD (AB CD, BC AD, AB = AC ∠A = 90°, AB = a, AC = d) AC = BD AC⊥ BD d=a 2 AABCD = a2.

D O A

IV.5. Trapezul

B

D

ABCD (AB CD, AB = B, DC = b MN – linie mijlocie) M B + b MN = 2 AABCD =

C

C

M

N

A

B

( B + b) ⋅ h = MN ⋅ h 2

V. Poligoane înscrise în cerc V.1. Patrulaterul înscris în cerc

A

+ ∠BCD = 180°; ∠BAC ≡ ∠BDC; Teorema lui Ptolomeu AB⋅DC + AD⋅BC = AC⋅BD AABCD = ½ AC⋅BD⋅sin α ∠BAD

D M

α C B

V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R 3 3 R 2 1. Triunghiul echilateral: l3 = R 3 , a3 = , S = ; 2 4 R 2 , S = 2 R 2 ; 2. Pãtratul: l4 = R 2 , a4 = 2 3 3 R 2 R 3 ,S = 3. Hexagonul regulat: l6 = R, a6 = ; 2 2 R

π π 2π n 4. Poligonul regulat cu n laturi: ln = 2 R sin , an = R cos , S = R 2 sin = p ⋅ an 2 n n n n ⋅ ln unde p = . 2

VI. Cercul

Lungimi şi arii: lcerc = 2πR, Acerc = πR2; 41


larcAB=

π Rα

180

AsectorAB =


; α - mãsura în grade;

A

R 2α π

α O

180 α ⋅ π µ(∠AOB) = (µ - mãsura în radiani) 180 Unghi cu vârful în interiorul cercului: m(∠AOB) = m(AB)   m(AB) + m(CD) m(∠AMB) = 2 Unghi cu vârful pe cerc OM⊥ MT  m(AB) m(∠AMB) = 2 m(AM) m(∠AMT) = 2

B B A M

D

C

M T A

B

Unghi cu vârful în exteriorul cercului OT⊥ MT   m(AB) − m(CD) m(∠AMB) = 2   m(BT) − m(DT) m(∠AMB) = 2

M C D

T

A

Puterea unui punct fa  ã de un cerc OT⊥ MT ρ(M) = MA⋅MB = OM2 – r2 = MT2 ρ(N) = NA⋅NB = r2 – ON2

B N

B

M

T A

VII. Complemente de geometrie planã Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãl  imilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi (sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru. Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse. Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt concurente dacã şi numai dacã

MB NC PA

⋅

⋅

MC NA PB

42

= 1.



Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pe laturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã:

MB NC PA

⋅

⋅

MC NA PB

= 1.

Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G (ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare. Dreapta lui Simson: Proiec  iile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare. Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului şi la  ia prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersec bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare. Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãl  imilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi vârfurile triunghiului sunt conciclice.

VIII. Poliedre VIII.1. Prisma 1. Paralelipipedul dreptunghic Alat = 2(a + b)c; Atot = 2(ab + ac + bc); V = abc d 2 = a 2 + b 2 + c2 2. Cubul (de laturã a = b = c) A = 6a2 V = a3 a=a 3 3. Paralelipipedul B’O⊥(ABC) B’O = h V = AABCD⋅h

c

d

b

a

c d a

b

D’

C’

A’

B’ D

O

A

4. Prisma (dreaptã sau oblicã, de înãlime h) V = Abazei⋅h

C B

C’ A’

B’ h

C

Prisma triunghiularã regulatã (AB = a) Alat = 3a⋅h

A

B A’

43

C’ O’

B’



a2 3 Atot = 3a⋅h + 2 a2 3 V= ⋅h 4

C

O

A

B

VIII.2. Piramida 1. Tetraedrul regulat (toate muchiile sunt congruente, AO⊥ (BCD), AM⊥ DC) a 6 a 3 , AM = ; h= 3 2 6 ˆO = 2 2 sin A Bˆ O = , sin A M 3 3 a3 2 2 A = a 3;V = 12

A

B

C

2. Tetraedul dreptunghic (OA⊥ OB⊥OC⊥ OA, OA = OB = OC = a, CM⊥ AB) a 2 a 6 , CM = ; AB = a 2 OM = 2 2 2 a 3 A ABC = 2 2 3a a 2 3 + Atot = 2 2 V =

a

C

3

6

3. Piramida triunghiularã regulatã (AB = AC = BC = A, VA = VB = VC VM ⊥ BC, VM – apotemã) VM = h

2

+

a2

12

3a ⋅ VM 2 a 2 3 3a ⋅ VM + Atot = 4 2 a2 3 h ⋅ V = 4 3 Alat =

44



Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtrat de laturã a, VA = VB = VC = VD, VM⊥ BC) VM = h

2

+

a

2

4

Alat = 2a ⋅ VM Atot = a 2 V =

+ 2a ⋅ VM

a2 ⋅ h

3

4. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM ⊥ BC, VA = VB = VC = VD = VE = VF = a) 3a 2 2 VM = h + 4 Alat = 3a ⋅ VM 3a 2 3 Atot = + 3a ⋅ VM 2 a 2 3h V = 2 M A

5. Piramida regulatã (piciorul înãlimii coincide cu centrul circumscris bazei): ⋅ apotema P Alat = bazei 2 A ⋅h Atot = Abazei + Alat ;V = bazei 3 6. Piramida (de înãlime h): A ⋅h Atot = Abazei + Alat ;V = bazei 3

VIII.3. Trunchiul de piramidã ( B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlimea) 45

B



1. Trunchiul de piramidã oarecare : V =

h

3

( B + b + B ⋅ b

2. Trunchiul de piramidã regulat P – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici, a p – apotema ( P + p)a p Alat = 2 ( P + p )a p Atot = B + b + 2 V =

h

3

( B + b + B ⋅ b )

VIII.4. Poliedrul regulat Relaia lui Euler: v-m+f = 2 (v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feelor) Tipurile de poliedre regulate: - tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6; - cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12; - octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12; - dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30; - icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;

IX. Corpuri rotunde Notaii: R – razã, G – generatoare, h – înãlime IX.1. Cilindrul circular drept h=G Alat = 2π RG Atot = 2π R ( R + G ) 2

V = π R h

46



IX.2. Conul circular drept G 2 = h 2 + R 2 Alat = π RG Atot = π R( R + G ) V =

π R 2 h

3

IX.3. Trunchiul de con (r – raza bazei mici) 2 2 2 G = h + ( R − r ) Alat = π G ( R + r ) Atot = π G ( R + r ) + π ( R V =

π h

3

2

+ r 2 )

( R 2 + r 2 + Rr )

IX.4. Sfera 2 A = 4π R 4π R 3 V = 3 Acalotei sferice A zonei

= 2π Rh1

= 2π Rh2

X. Funcii trigonometrice X.1. Definiii în triunghiul dreptunghic b

c

b

a c

a

c

sin B = , cos B = , tgB = ctgB =

b

C b

, sin B = cos C , tgB = ctgC

A

47

a c

B



X.2. Proprietãile funciilor trigonometrice 1. sin:R→[-1,1]

sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kπ) = sin x, (k∈Z) 2. cos:R→[-1,1

cos(-x) = cos x, cos (x + 2kπ) = cos x, (k∈Z) π

3. tg:R\{(2k+1) }→R 2

4. ctg:R\{kπ}→R

tg(-x) = -tg x tg(x+kπ) = tg x, (k∈Z)

ctg(-x) = -ctg x ctg(x + kπ) = ctg x, (k∈Z)

XI. Formule trigonometrice XI.1. Relaii între funciile trigonometrice ale unui argument: 1. sin 2 α + cos 2 α = 1; sin α = ± 1 − cos 2 α ; cosα = ± 1 − sin 2 α sin α 2. tgα = cosα 48


sin α =

tgα

± 1 + tg 2α


; cosα =

1 ± 1 + tg 2α

   3. sin   − α  = cosα ; tg  − α  = ctgα  2   2  4. sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cosα ; tg (π − α ) = −tgα π

π

 5. sin   + α  = cosα  2  π

   cos  + α  = − sin α , tg  + α  = −ctgα  2   2  6. sin(π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cosα ; tg (π + α ) = tgα 7. sin( 2π − α ) = − sin α sin( 2π − α ) = cosα ; tg (2π − α ) = −tgα π

π

XI.2. Formule de adunare:

sin(α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± sin β ⋅ cosα cos(α ± β ) = cosα ⋅ cos β  sin α ⋅ sin β tgα ± tg β tg (α ± β ) = 1  tgα ⋅ tg β

XI.3. Formule pentru multiplii de argument: sin 2α = 2 sin α ⋅ cosα

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 2tgα 2 tg 2α = = 1 − tg 2α ctgα − tgα ctg 2α − 1 ctgα − tgα = ctg 2α = 2ctgα 2 sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cosα 2tgα 1 − tg 2α sin 2α = ; cos 2α = 1 + tg 2α 1 + tg 2α sin nα = cos n α − C n2 cos n−2 α ⋅ sin 2 α + C n4 cos n−4 α ⋅ sin 4 α − ... cos nα = C n1 cos n−1 α ⋅ sin α − C n3 cos n−3 α ⋅ sin 3 α + C n5 cos n−5 α ⋅ sin 5 α − ...

49



XI.4. Formule pentru jumãtã i de argument: α 1 − cosα 1 + cosα ; cos = ± 2 2 2 2 α sin α 1 − cosα 1 − cosα = =± tg = 2 1 + cosα sin α 1 + cosα

sin

α

=±

XI.5. Sume, diferene şi produse: sin α + sin β = 2 sin

α + β

cos

α − β

2 2 α − β α + β sin α − sin β = 2 sin cos 2 2 α + β α − β cosα + cos β = 2 cos cos 2 2 α + β β − α cosα − cos β = 2 sin sin 2 2 sin(α + β ) sin(α − β ) ; tgα − tg β = tgα + tg β = cosα ⋅ cos β cosα ⋅ cos β    sin α + cosα = 2 sin  + α  = 2 cos − α   4   4  π

π

   sin α − cosα = − 2 sin  + α  = − 2 cos − α   4   4  1 sin α ⋅ sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 cosα ⋅ cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α ⋅ cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 tgα + tg β tgα ⋅ tg β = ctgα + ctg β π

π

XII. Inversarea funciilor trigonometrice π π

XII.1. arcsin:[-1.1]→[- , ], arcsen y = x sin x = y 2 2 arcsin (-x) = - arcsin x XII.2. arcos:[-1,1]→[0,π], arcos (-x) = π - arcos x

50



 XII.3. arctg:R →   − ,  , arctg (-x) = -arctg x  2 2  π π

XII.4. arctg:R→(0,π), arctg (-x) = π - arctg x

XIII. Soluiile ecuaiilor trigonometrice simple XIII.1. Ecuaii fundamentale 1.sin x = a, a ∈[−1,1] ⇒ x ∈{(−1) k arcsin a + k π k ∈ Z } 2.cos x = a, a ∈ [−1,1] ⇒ x ∈{± arccos a + 2k π k ∈ Z } 3.tgx = a, a ∈ R ⇒ x ∈{arctga + k π k ∈ Z 4.ctgx = a, a ∈ R ⇒ x ∈{accctga + k π k ∈ Z }

XIII.2. Tabele de valori: x funcia sin x

0

cos x

1

tg x

0

ctg x

/

x funcia arcsin x

-1

arcos x x functia

π

2

π

− 3

0

1

π

π

π

6 1 2 3 2

4 2 2 2 2

3 3 2 3 2

2 1 0

3 3 3

1

3

1

3 3

0

3 − 2

−

-1

π

0

−

2 π

0

3π 2 -1

π

2 − 2

−

π

−

π

−

3

5π 6

4

3π 4 -1

/

0 /

0

/ 0

0 /

1 2

0

1 2

3 2

1

π

0

2 2

π

π

π

π

6

4

3

2 0

6

2π 3

π

π

π

π

2

3

4

6

3 − 3

0

51

3 3

1

3


arctg x arcctg x

−


π

3

5π 6

−

π

−

4

3π 4

0

π

π

π

π

6

4

3

π

π

π

π

2

3

4

6

6

2π 3

XIV. Elemente de geometrie analiticã XIV.1. Segmente 1. Distana dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 y − y 2. Panta dreptei AB: m AB = 2 1 x2 − x1 x + x y + y 3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB: x = 1 2 , y = 1 2 2 2 4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k: x + kx2 y + ky 2 , y = 1 x = 1 1 + k 2 XIV.2. Ecuaia dreptei 1. Drepte paralele cu axele de coordonate: (d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox) 2. Dreapta determinatã de punctul M o(xo ,yo) şi vectorul nul a (u, v) : (d ) : r = r o + t a , t ∈R, r o -vectorul de poziie a lui M o; r-vectorul de poziie a unui punct M al dreptei d .  x = xo + ut (d ) :  , t ∈R, ecuaiile parametrice;  y = yo + vt 3. Ecuaia explicitã: y =mx + n (m∈R*, n∈R, m – panta, n – ordonata la origine); 4. Ecuaia prin tãieturi:

x a

+

y

− 1 = 0, (a, b ∈ R*);

b 5. Ecuaia dreptei de pantã m, prin punctul M o(xo ,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0); 6. Ecuaia dreptei determinatã de punctele A(x1 ,y2), B(x2 ,y2): y − y1 y − y1 x − x1 ( x − x1 ), , ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y 2 ) sau y − y1 = 2 = x 2 − x1 y 2 − y1 x 2 − x1

1 x1 y1 1 = 0 x2 y 2 1 7. Ecuaia generalã: ax + by + c = 0; x

y

8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC =

52

1 ∆ , unde 2



1 ∆ = x1 y1 1 , dacã ∆ = 0 atunci A, B, C sunt colineare x2 y 2 1 9. Poziia relativã a dreptelor (d1) şi (d2): (d 1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 şi (d 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 x

y

d1 = d2, dacã d1 d2, dacã

a1

=

a2 a1 a2

=

b1 b2 b1 b2

= ≠

c1 c2 c1 c2

;

d1 ≠ d2 şi d1 ∩ d2 ≠ ∅, dacã

a1 a2

≠

b1

b2 (h): ax + by + c = 0

10.Distana de la punctul M o(xo ,yo) la dreapta ax0 + by0 + c d ( M , h) = 2 2 a +b 11.Unghiul α determinat de dreptele: ( d 1 ) : y = m1 x + n1 şi (d 2 ) : y = m2 x + n2 m − m1 , (m m ≠ −1) tgα = 2 1 + m1m2 1 2 d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1

XIV.3. Cercul Cercul C de centru M(a,b) şi razã r : 1. Ecuaia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2; m n 2. Ecuaia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde a = − , b = − şi 2 2 1 r2 = (m2 + n2) – p. 4

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie 1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M ∈E x

2

a

2

Ecua  ia elipsei:

+

y

2

b

2

A’

− 1 = 0, b 2 + c 2 = a 2 B M F

F’ O

B’ Ecua  ia tangentei în punctul M(x o ,y o ), M ∈ E: xxo a

2

+

yyo b

2

−1= 0 53

A



2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M∈ H . Ecua  iea hiperbolei:

x 2 a

2

−

y 2 b

2

− 1 = 0, c 2 − b 2 = a 2

Ecua  ia tangentei în M o(x o ,y o ), M o∈ H . xx0 a

2

−

yy0 b

2

−1 = 0

p

p

3. Parabola P: F( ,0), h:x = - (h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M∈P. 2 2 2 Ecua  ia parabolei P: y = 2px Ecua  ia tangentei în M o(x o ,y o ), M o∈ P: yyo = p(x + xo)

ANALIZÃ MATEMATICÃ

I. Şiruri I.1. Şiruri şi limite Definiia I.1.1. Se nume ş te şir de numere reale o func  ie f:N→R , f(n) = a n . Definiia I.1.2. Ş irul (a n ) n≥ ≥0 se nume ş te crescãtor (respectiv descrescãtor ) dacã a n ≤ ≤ a n+1 , ∀ n∈N (respectiv a n ≥ ≥ a n+1 , ∀ n∈N ). Ş irurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone. Definiia I.1.3. Ş irul (a n ) n≥ ≥0 este mãrginit dacã şi numai dacã ∃ M>0 astfel încât  a n≤ M , ∀ n∈N. Notaie: (an)n≥0, an∈R, R = R ∪ {-∞, +∞}. Definiia I.1.4. Ş irul (a n ) n≥ ≥ 0 , a n∈R are limita a şi scriem lim an = a , a∈ R n→∞

dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã to  i termenii şirului începând de la un anumit rang. Definiia I.1.5. Ş irul este convergent , lim a n = a , a∈R, dacã ∀ε >0, ∃ N ε ∈N n →∞

astfel încât ∀ n> N ε , an - a<ε . Definiia I.1.6. lim an = a dacã ∃ε >0, ∃ N ε∈ N astfel încât an > ε , ∀ n > N ε. n →∞

Definiia I.1.7.

an = −∞ dacã ∀ε >0, ∃ N ε∈ N astfel încât an < -ε , ∀ n > N ε. lim n →∞

54



Dacã lim a n = ±∞ , atunci şirul este divergent. n→ ∞

I.2. Criterii suficiente de convergenã sau de existenã a limitei unui şir 1. dacã lim bn = 0 , bn≥ 0 şi an - a≤ bn atunci lim an = a ; n→ ∞

n→∞

2. dacã lim bn = ∞ şi an ≥ bn atunci lim an = +∞ ; n→∞

n→ ∞

3. dacã lim bn = −∞ şi an ≤ bn atunci lim an = −∞ ; n→ ∞

n→ ∞

4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass); 5. dacã bn ≤ an ≤ cn şi lim bn = lim cn = a atunci lim an = a ; n→ ∞

n→∞

n→∞

6. criteriul lui Stolz:

− an , atunci n→∞ bn +1 − bn

- dacã (bn)n≥0 crescãtor: lim bn = ∞ şi existã lim n→∞

lim

n→∞

an+1

− an ; n→∞ bn+1 − bn

an

= lim

bn

an+1

- dacã (an)n≥0, an > 0 şi existã lim

n→∞

an +1 an

atunci lim n a n = lim n→∞

n→∞

- - dacã (bn)n≥0 crescãtor: lim an = lim bn = 0 şi existã lim n→∞

lim

n→∞

n →∞

n→ ∞

an +1 an

(Cesaro);

an+1 − a n bn+1 − bn

, atunci

− an ; n→∞ bn+1 − bn

an

= lim

bn

an+1

I.2. Operaii cu şiruri convergente lim an = a , lim bn = b , a,b∈R

n→∞

n→∞

1. lim (an + bn ) = a + b, lim (an − bn ) = a − b; n →∞

n →∞

2. lim α an = α a,α ∈ R; n→∞

3. lim

n→∞

an bn

a

= , (daca b ≠ 0) b

I.3. Operaii cu şiruri care au limitã lim an = a , lim bn = b , a,b∈ R

n→∞

n→∞

1. dacã lim a n = ∞ şi lim bn = b , b∈R atunci lim (an + bn ) = +∞, lim n→ ∞

n→ ∞

n→∞

n →∞

1 an

+ ∞, daca b > 0 lim an ⋅ bn =  n→∞ − ∞, daca b < 0

2. lim a n = lim bn = +∞ atunci lim (an + bn ) = +∞ , lim (an ⋅ bn ) = +∞ ; n→∞

n→∞

n→ ∞

n→ ∞

55

= 0,



3. dacã lim a n = −∞ şi lim bn = b , b∈R, atunci lim (a n + bn ) = −∞ n→ ∞

n→∞

n→ ∞

− ∞, daca b > 0 = ; n→∞ + ∞, daca b < 0 4. lim a n = lim bn = −∞ atunci lim (an + bn ) = −∞ , lim (an ⋅ bn ) = +∞ ;

lim an ⋅ bn

n→∞

n→∞

n→ ∞

n→ ∞

5. dacã lim a n = ∞ şi lim bn = −∞ atunci lim (an ⋅ bn ) = −∞ ; n→ ∞

n→∞

n→∞

6. dacã lim an = 0 atunci lim n→∞

n→∞

1 an

= ∞ dacã an > 0 şi lim

n→∞

1 an

= −∞ dacã an < 0.

I.4. Şiruri tip 0, daca − 1 < q < 1 1, daca q = 1  n 1. lim q =  n →∞ + ∞, daca q > 1 nu exista, daca q ≤ −1 + ∞, daca a0 > 0

2. lim (a0 n k + a1n k −1 + ... + ak −1n + a k ) = lim a0 n k =  n→∞

n →∞

− ∞, daca a0 < 0

0, daca k < p + ∞, daca k > p si a p > 0 o o 1 a0 n k + a1n k − + ... + ak −1n + a k   = − ∞, daca k > p si ao po < 0 3. lim p p−1 n→∞ b0 n + b1n + ... + b p−1n + n p  a  0 , daca k = p  b0

4. lim (1 + q + q 2 + ... + q n ) = n→∞

1 , daca q < 1; 1− q

1 1 1 5. lim (1 + + + ... + ) = +∞; 2 3 n→∞ n 6. lim n a = 1, ∀a > 0; n→∞

7. lim n 1 p + 2 p + ... + n p = 1, ∀ p ≥ 1; n→∞

n

1  8. lim  1 +   = e; n→∞  n  n

1 1 1  + + + + 9. lim  1 ...   = e. 1! 2! n→∞  n! 

II. Limite de funcii Notaii: f :D→R, D⊂R, α - punct de acumulare a lui D; 56



II.1. Definiii ale limitei Definiia II.1.1. lim f ( x ) = l , l ∈ R , dacã pentru orice vecinãtate V a lui l x→α

existã o vecinãtate U a lui α astfel încât ∀ x∈D∩U, x≠α, sã rezulte f(x)∈V. Definiia II.1.2. lim f ( x ) = l , l ∈ R , dacã pentru orice şir (x n ) n≥ ≥ 0 , x n∈D\{α} , x→α

având lim xn = α rezultã lim f ( x) = l (criteriul cu şiruri); n→∞

n→∞

Definiia II.1.3. lim f ( x ) = l , l ∈ R , dacã ∀ε>0, ∃δε >0 astfel încât ∀x∈D\{α} x→α

şi x - α< δε rezultã  f(x) - l< ε; Definiia II.1.4. lim f ( x) = l , dacã ls = ld = l, unde ls x→α

= lim f ( x ) x →α x <α

şi

ld = lim f ( x) . x→α x >α

II.2. Operaii cu limite de funcii f:D→R, g:D→R, α - punct de acumulare a lui D, lim f ( x ) = l1 , lim g ( x) = l2 , l1 ,l2∈R; x→α

1. lim ( f ( x) + g ( x )) = l1 + l2 ; x →α

2. lim f ( x ) ⋅ g ( x) = l1 ⋅ l2 ; x→α

3. lim af ( x) = a ⋅ l1 ; x →α

4.daca l2 ≠ 0, lim

f ( x )

x →α

g ( x)

l

= 1. l2

II.3. Limite tip 1. lim (a0 x n + a1 x n−1 + ... + an ) = a0α n + a1α n−1 + ... + a n x →α

n n−1 n lim (a0 x + a1 x + ... + an ) = lim a0 x ;

x→±∞

x →±∞ n

+ a1 x + ... + an a0α + a1α n−1 + ... + an = 2. lim m m −1 x→α b x + b1 x + ... + bm b0α m + b1α m−1 + ... + bm 0 n n −1 n a0 x + a1 x + ... + an a0 x = lim ; lim m m −1 m x→±∞ b x x →±∞ b x + + + ... b x b 0 1 0 m 3. lim n x = n α ,α ∈ R+ , n ∈ N , n ≥ 2 a0 x

n

n −1

x →α

lim n x = ∞ , lim

x→∞

x→−∞

2 n+1

x

= −∞ ;

4. lim a x = aα ,α ∈ R, a ∈ R+* \ {1} x→α x

x lim a = ∞ , lim a = 0 , dacã a > 1;

x→∞

x→ −∞

57

x→α



x x lim a = 0 , lim a = ∞ , dacã 0 < a < 1;

x→∞

x→ −∞

4. lim log a x = log a α ,α > 0 finita, α ∈ R+* \ {1} x→α

lim log a x = −∞ şi lim log a x = +∞ dacã a > 1;

x →0 x > 0

x→∞

lim log a x = +∞ şi lim log a x = −∞ dacã 0 < a < 1;

x →0 x > 0

x→∞

6. lim sin x = sin α , lim cos x = cosα x→α

x→α

lim tgx = tgα ,α ∉

x→α

π

2

+ π Z , lim ctgx = ctgα ,α ∉ π Z

limπ tgx = ∞ , limπ tgx = −∞

x→ x<

x→

2

π

x >

2

x→α

2

π

2

7. lim ctgx = ∞ , lim ctgx = −∞ x→0 x> 0

x→0 x<0

lim arcsin x = arcsin α ,α ∈ [−1,1] , lim arccos x = arccosα ,α ∈ [−1,1]

x→α

x→α

lim arctgx = arctgα ,α ∈ R , lim arcctgx = arcctgα ,α ∈ R

x→α

x→α

π

π

lim arctgx = − , lim arctgx = x→−∞ 2 x→∞ 2 lim arcctgx = π , lim arcctgx = 0 ; x→−∞

8. lim x→0

9. lim

x→∞

sin x x n x

x→∞

a x

= 1 , lim x →0

tgx x

= 1 , lim

arcsin x

x →0

x

= 1 , lim x →0

arctgx x

= 1;

= 0, ∀n ∈ Z , a > 1; 1

x

1  10. lim  1 +  = e, lim (1 + x) x = e; x→±∞  x→0 x  11. lim

ln(1 + x ) x

x →0

12. lim

a x

x →0

13. lim x→0

−1

x

= 1;

= ln a, a > 0 ,

(1 + x) r − 1 x

= r , ∀r ∈ R .

II.4. Continuitatea funciilor Definiia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D , f este continuã în xo , dacã lim f ( x) = f ( x0 ) , xo se nume ş te punct de continuitate. x→ x0

58



Definiia II.4.2. Fie α∈ D, α este punct de discontinuitate de prima spe  ã dacã existã şi sunt finite limitele laterale în α , dar func  ia nu este continuã în α . Definiia II.4.3. Fie α∈ D, α este punct de discontinuitate de spe  a a doua dacã nu este de prima spe  ã. Teoremã. Dacã f:I →R , I – interval şi f continuã pe I , atunci J = f(I) este interval ( o func  ie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Funcii derivabile III.1. Definiia derivatei într-un punct f :E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E: f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 )  f’(x0) = lim = lim x→ x0 h→0 x − x0 h x0 + h∈ E

lim

f ( x ) − f ( x0 )



f s’(x0) =



f’(x0) = f s’(x0) = f d ’(x0)

x→ x0 x< x0

x − x0

, f d’(x 0) = lim

f ( x) − f ( x0 )

x→ x0 x > x0

x − x0

Interpretarea geometricã: - dacã f’(x0)∈R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaia tangentei la graficul funciei f în punctul A(x0 ,f(x0)); - dacã f este continuã în x0, f d’(x 0) = +∞, f s’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de întoarcere al graficului; - dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0 , cel puin una fiind finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivare 1. 2. 3.

f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E: (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x); (cf)’(x) = cf’(x), c∈R; (f ⋅g )’(x) = f’(x)⋅ g(x) + f(x)⋅ g’(x) '

 f  f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x ) 4. dacã g(x)≠ 0,   ( x) = ; 2 g ( x)  g 

5. dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci (go f)’(x0) = g’(y0)f’(x0); 6. dacã f:I→J continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)≠ 0, atunci f -1:J→I este 1 derivabilã în y0 , y0 = f(x0) şi f -1(y0) = . f ' ( x0 )

III.3. Derivatele funciilor elementare Funcia (condiii) C

Derivata (condiii) 0 59


Mic memorator matematic n-1

x , n∈N* r x , r ∈R, x>0

nx n-1 rx

x , x ≥ 0

1

n

loga x, a≠ 1, a>0, x>0 ln x, x>0 x

a , a≠ 1, a>0, x>0 x e sin x cos x

π

tg x, x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z 2 ctg x, x ≠ k π , k ∈ Z arcsin x, x∈[0,1] arcos x, x∈[0,1] arctg x arcctg x

, x > 0

2 1 1 ⋅ ln a x 1 x

x x a ln a x e cos x -sin x

1 cos 2 x 1 − 2 sin x 1 , x ∈ (0,1) 2 1 − x 1 , x ∈ (0,1) − 2 1 − x 1 1 + x 2 1 − 1 + x 2

III.4. Derivata funciilor compuse Funcia (condiii) n u , n∈N* r u , r ∈R, u>0 u,u ≥ 0 logau, a≠ 1, a>0, u>0 ln u, u>0 u

a , a≠ 1, a>0 u e sin u cos u

Derivata (condiii) n-1

nu ⋅ u’ n-1 ux ⋅ u’ u' ,u > 0 2 u 1 u'

⋅ ln a u 1 ⋅ u'

u u a ln a⋅ u’ u e ⋅ u’ cos u⋅ u’ - sin u⋅ u’

60


tg u, cos u≠ 0 ctg u, sin u≠ 0 arcsin u, u ∈[-1,1] arccos u, u∈[-1,1] arctg u arcctg u v

u , u>0


1 ⋅ u' 2 cos u 1 − 2 ⋅ u' sin u 1 ⋅ u ' , u ∈ (−1,1) 2 1− u 1 − ⋅ u ' , u ∈ (−1,1) 2 1− u 1 ⋅ u' 2 1+ u 1 − ⋅ u' 2 1+ u v v-1 u ⋅ v’⋅ ln u + v⋅ u ⋅ u’

III.5. Derivatele de ordin superior ale unor func ii elementare

Funcia (condiii) m x , m∈N, m≥ n 1 , m ∈ N m x x e x a ln x

Funcia (condiii) sin x

Derivata de ordinul n(f (n))

m(m-1)…(m-n+1)x

m-n

n

(-1) m(m-1)…(m+n-1) x

1 m n x +

e

(ln a)n⋅ a x

1

n-1

(-1) (n-1)! n x

Derivata de ordinul n(f (n))

cos x

sin   x +

nπ 



2 

 nπ  cos  x +  2  

Formula lui Leibniz: ( f ⋅ g ) ( n) = f ( n) ⋅ g + C n1 f ( n−1) ⋅ g '+C n2 f ( n−2 ) ⋅ g ' '+...C nn−1 f '⋅g ( n−1) + C nn f ⋅ g ( n) = n

= ∑ C nk f ( n−k ) ⋅ g ( k ) , f ( 0) = f k = 0

III.6. Proprietãi ale funciilor derivabile

Teorema lui Fermat: Fie f :I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ este nulã. Teorema lui Rolle: Dacã funcia continuã f :[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunci existã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0. 61



Teorema lui Lagrange: Dacã funcia continuã f :[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b) f (b) − f (a) = f ' (c ) . astfel încât b−a Teoremã. Dacã funcia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis), atunci: 1. între douã rãdãcini consecutive ale funciei existã cel puin o rãdãcinã a derivatei; 2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funciei. Teorema lui Cauchy: Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)≠0, ∀x∈(a,b) f (b) − f (a) f ' (c) atunci ∃c∈(a,b) astfel încât = g (b) − g (a) g ' (c)

IV. Asimptote IV.1. Asimptote orizontale ( f :D→R) Definiia IV.1.1. Dacã lim f ( x ) = l1 sau lim f ( x ) = l2 , l1 ,l2∈R, dreptele y=l1 x→+∞

x→−∞

şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞, respectiv -∞

IV.2. Asimptote oblice ( f :D→R) Definiia IV.2.1. Dacã

lim

f ( x) x

x→∞

= m ≠ 0 şi

lim [ f ( x) − mx] = n, m, n ∈ R

x→+∞

dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +∞. f ( x) = m' ≠ 0 şi lim [ f ( x) − m' x] = n' , m' , n'∈ R Definiia IV.2.2. Dacã lim x→∞

x

x→+∞

dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞.

IV.3. Asimptote verticale ( f :D→R) Definiia IV.3.1. Dacã lim f ( x) = ±∞ , α - punct de acumulare a lui D , x→α x<α

dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f . Definiia IV.3.2. Dacã lim f ( x) = ±∞ , α - punct de acumulare a lui D , x→α x >α

dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f .

V. Primitive (integrale nedefinite) 62



Definiia V.1. Fie func  ia f :J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f , dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), ∀ x∈ J . Se noteazã: ∫ f ( x)dx = F ( x ) + c Proprietã  i ale primitivelor: ∫ [ f 1 ( x) + f 2 ( x)]dx = ∫ f 1 ( x)dx + ∫ f 2 ( x )dx ;

1. 2. ∫ af ( x )dx = a ∫ f ( x)dx ; Integrarea prin pări ∫ f ( x) g ' ( x )dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ' ( x) g ( x)dx .

V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei Dacã ϕ :I→J, f :J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ' (t )dt = F  ϕ (t ) + c

V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei Dacã ϕ :I→J, f :J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I, 1 h = ( f  ϕ ) ⋅ ϕ ' admite primitive (H) atunci ∫ f ( x)dx = H  ϕ − ( x) + c .

V.3. Tabel de primitive: ( I – interval, I ⊂R) 1. ∫ x dx = n

2. ∫ xα dx = 3. ∫ a dx = x

dx

4. ∫

x

x n+

1

n +1 1 x α +

+ c, x ∈ R, n ∈ N ;

α + 1 a x

ln a

+ c, x ∈ (0,+∞),α ∈ R \ {−1} ;

+ c, x ∈ R, a > 0, a ≠ 1 ;

= ln x + c, x ∈ I , I ⊂ R ;

1 1 x − a = + c, x ∈ I , I ⊂ R \ {− a, a} ; ln dx 2 2 2a x + a x − a 1 1 x = + c, x ∈ R, a ≠ 0 ; 6. ∫ 2 dx arctg 2 a a x + a 7. ∫ sin xdx = − cos x + c, x ∈ R ; 8. ∫ cos xdx = sin x + c, x ∈ R ; 1 π 9. ∫ 2 dx = tgx + c, x ∈ I , I ⊂ R \ (2k + 1) k ∈ Z  ; 2 cos x   1 10. ∫ 2 dx = −ctgx + c, x ∈ I , I ⊂ R \ {k π k ∈ Z }; sin x 5. ∫

11. ∫ tgxdx = − ln cos x + c, x ∈ I , I ⊂ R \ (2k + 1) k ∈ Z  ; 2   12. ∫ ctgxdx = ln sin x + c, x ∈ I , I ⊂ R \ {k π k ∈ Z }; π

63



1 2 2 dx = ln ( x + x + a ) + c, x ∈ R ; x 2 + a 2 1 2 2 14. ∫ dx = ln x + x − a + c, x ∈ (a,+∞) sau x ∈ (−∞,− a), a > 0 ; x 2 − a 2 x 1 15. ∫ dx = arcsin + c, x ∈ ( −a, a ), a > 0 a a 2 − x 2 13. ∫

V.4. Primitivele funciilor raionale 1. ∫ (ax + b) n dx = 2. ∫

dx ax + b

1 (ax + b) n+1 + c, n ∈ N , n ≠ −1, a ≠ 0 ; (n + 1)a

1 = ln(ax + b) + c, a ≠ 0 ; a

1 dx = − + c, n ∈ N , n ≠ 1, a ≠ 0 ; 3. ∫ n n−1 (ax + b) (n − 1)a (ax + b) 1 dx x + b 4. ∫ = + c, a ≠ b ; ln ( x + a )( x + b) a − b x + a 1 dx dx 2 = ∫ + ∆ = − 4ac, a ≠ 0 . , unde b 5. ∫ 2 c 2 ax + bx + c a  2 ∆ b  x + −   2a  4a  Substitu  iile lui Euler: 1. ax 2 + bx + c = t ± x a , daca a > 0 ; 2. ax 2 + bx + c = tx ± c , daca c > 0 ; 3. ax 2 + bx + c = t ( x − x1 ), daca b 2 − 4ac > 0 si x1 este o rãdãcinã a ecuaiei 2 ax + bx + c = 0.

VI. Integrale definite IV.1. Definiia integrabilitãii (integrale Riemann) Notaii: f :[a,b]→R, ∆ = (a = x0 , x1 , x2 , …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξ i ≤ xi , ξ i – puncte n

intermediare, σ ∆(f, ξ ) – suma Riemann: σ ∆ ( f ,ξ ) = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) i =1

Definiia VI.1.1. f se nume ş te integrabilã dacã existã numãrul real I f cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃η ε >0 astfel încâtr pentru orice divizune ∆ a lui [a,b] cu ∆ < η ε şi orice puncte intermediare ξ i are loc σ ∆ ( f ,ξ ) − I f < ε unde ∆ = max ( xi − xi −1 ) 1≤i ≤ n

b

Se noteazã: I f = ∫ f ( x)dx a

64



Proprietã  i ale integralei definite: b

b

b

a b

a

a

1. ∫ (α f ( x ) + β g ( x ))dx = α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ; c

b

a

c

2. ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x)dx ; a b

a

3. ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ; a a

b

4. ∫ f ( x)dx = 0 . a

Formula lui Leibniz-Newton: b

∫ f ( x)dx = F (b ) − F (a ) (F – primitivã a lui f)

a

Teorema de medie: b

Dacã f continuã pe [a,b], atunci ∃ξ ∈[a,b] astfel încât: ∫ f ( x)dx = (b − a ) f (ξ ) a

Formula de integrare prin pãr  i: b

b

∫ f ( x) g ' ( x )dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ' ( x) g ( x) dx b a

a

a

Formula de schimbare de variabilã: Dacã ϕ :[a,b]→J, f:J→R, f continuã pe J, ϕ derivabilã cu derivata continuã pe b

ϕ ( b )

a

ϕ ( a )

[a,b], atunci ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ' (t )dt = ∫ f ( x)dx Proprietã  i de paritate: 0, daca f impara  Dacã f :[-a,a]→R continuã atunci: ∫ f ( x)dx =  a −a 20∫ f ( x )dx, daca f para a

VI.2. Aplicaii ale integralei definite 1. Aria subgraficului Γ f , f :[a,b]→R+, f continuã: b

aria Γ f = ∫ f ( x )dx a

Aria subgraficului Γ f,g, f,g:[a,b]→R şi f(x) ≤ g(x) ∀ x∈[a,b] b

aria Γ f , g = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a

2. Volumul corpurilor de rotaie, f :[a,b]→R+, f continuã: b

2

vol (C f ) = π ∫ f ( x )dx a

65

Memorator matematic

Recommend Documents