Mitad Proyecto Cilindros

x2 + y 2 = 1

x2 + z 2 = 1

y 2 + z 2 = 1

x2 + y2 = 1 x2 + z 2 = 1 y2 + z2 = 1

a c y +z =1 2

2

x2 + z 2 = 1

b

x2 + y 2 = 1

a 2

2

x +z = 1

z

z=

V  = 16

 1 − x

2

ˆ ˆ  ˆ  D

D

0

√ 

1−x2

dzdA

D



D = (r, θ) /0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ

≤ π4



x = rCosθ 4

V  = 16

√ 

1

π

ˆ  ˆ  ˆ  0

0

1−r2 cos2 θ

rdzdrdθ

0

1

π

ˆ  ˆ    V  = 16 r 1 − r cos θdrdθ 4

2

0

0

u = 1

π

V  = 16

2

ˆ  0

4

− r2 cos2 θ

− 2cos1 2 θ

du =

1

ˆ  √ 

ududθ

0

−2rcos2 θdr

π

V  = 16

ˆ 



0

π

V  = 16



− 2cos1 2 θ 23 (1 − r2cos2 θ) |10 dθ

4

ˆ 

3 2

1 (1 − cos2 θ) 2 cos θ

4



0

π

V  = 16

ˆ  0

4

1 − sen3 θ dθ cos2 θ

π

ˆ   4

V  = 16

2

sec θ −

0

 − 1 dθ

3 2

sen3 θ cos2 θ



dθ

d(tanθ )

= senθ

dx

sec2 θ 3

ˆ  sen θ cos2 θ

dθ =

3

ˆ  sen θ cos2 θ

dθ =

cos2 θ

cos2 θ

dθ =

3

ˆ  sen θ cos2 θ

dθ =



sen θ dθ

2



(1 − cos θ dθ

ˆ   senθ

ˆ 

2

cos2 θ

ˆ   senθ

3

ˆ  sen θ

ˆ   senθ

cos2 θ

− senθ



(secθtanθ − senθ) dθ

3

ˆ  sen θ cos2 θ

dθ

dθ = secθ + cosθ + C 

16 V  = tanθ − secθ − cosθ|0 3



16 V  = 3



1−

π

4

√ 

2−

√ 1 2

V  = 8(2 −



 

− (0 − 1 − 1)

√ 

2)

x2 + y 2 = a2 a>1

a < 1