MILA STOJAKOVIĆ - Analiza 2

MILA /TOJAKOVIĆ

MATEMATIČKA ANALIZA 2

Mila Stojaković

MATEMATIČKA

ANALIZA 2

Novi Sad 2010

Naziv udžbenika: “ Matematička analiza 2” Autor:

Dr Mila Stojaković, redovni profesor FTN u N ovom Sadu

Recenzenti: Dr Zoran Kađelburg, redovni profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu, Dr Arpad Takači, redovni profesor Prirodno-matematičkog fakulteta u N ovom Sadu

CIP-KarajiorioaiiHja y ny6jjHKaunjH EHOJJHOTeKa MaTHije cpncKe, H obh Caa 517(075.8)

CTOJAKOBHTi, Mana Matematička analiza 2 / Mila Stojaković. - 5 izd. Novi Sad : Fakultet tehničkih nauka, 2010 (Novi Sad : Stylos). - 202 str.; 24 cm. Tiraž 500. - Bibliografija - Registar

ISBN 978-86-7473-539-8 COBISS.SR-ID 257948935

3

Predgovor Svrha ove knjige je da na jednostavan, pristupacan i razumljiv nacin predstavi odabrana poglavlja matematicke analize. Pisana je na osnovu predavanja iz Matematicke analize 2 koje autor niz godina drzi na Elektrotehnickom odseku Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu. Za uspesno razumevanje materije citalac treba da bude upoznat sa osnovama analize i algebre, Ciji nivo odgovara standardnim kursevima koji se predaju na tehniCkim fakultetima. Sadrzaj knjige obuhvata Cetiri celine: • teorija redova, • integrali funkcija vise promenljivih, • kompleksna analizu, • Furijeova i Laplasova transformacije. Na pocetku svake glave dat je sadrzaj te glave i kratak uvod. To omoguâva lakse praênje i bolji pregled izlozenog gradiva. Na kraju je naveden indeks pojm ova i izbor literature. Kako je knjiga namenjena pre svega studentima tehnickih fakulteta, autor je nastojao da sto je moguê vise izbegne preteran matematicki formalizam. Navedeni su dokazi samo onih teorema koji ne zahtevaju suvise komplikovan matematicki aparat, koji su bitni za razumevanje odgovarajuê teorije ili sadrze postupke i algoritme koji se koriste u primeni teoreme. M nostvo ilustracija i detaljno resenih primera bitno olaksavaju razumevanje i usvajanje izlozenog gradiva. Zahvaljujem se svima koji su na bilo koji nacin pom ogli u realizaciji ovog udzbenika, a posebno recenzentima dr Arpadu Takaciju, redovnom profesoru PM F u Novom Sadu i dr Zoranu Kadelburgu, redovnom profesoru MF u Beogradu i Milosu Stojakovicu, studentu PM F u Novom Sadu koji je nacrtao sve slike. Novi Sad, 1. septembar 1998.g.

A utor ***

U ovom izdanju ispravljene su primeêne stamparske greske i unete su manje izmene u tekst knjige. Novi Sad, 1. novembar 2010.g.

A utor

4

Sadržaj

1

Predgovor .............................................................................................................

3

REDOVI

9

1.1

1.2

2

Brojni redovi

............................................................................................

10

1.1.1

Brojni redovi - osnovne definicije i t e o r e m e ........................

11

1.1.2

Redovi sa pozitivnim cla n ovim a ................................................

14

1.1.3

Alternativni redovi .......................................................................

19

1.1.4

Apsolutno konvergentni r e d o v i ................................................

21

1.1.5

Komutativni i asocijativni zakon za redove

........................

22

1.1.6

Operacije sa r e d o v im a ................................................................

24

1.1.7 Dvojni niz i dvojni r e d ................................................................

27

Funkcionalni nizovi ir e d o v i ...................................................................

29

1.2.1

Funkcionalni n iz o v i.......................................................................

29

1.2.2

Funkcionalni redovi

...................................................................

31

1.2.3

Uniformna konvergencija..............................................................

35

1.2.4

Stepeni (potencijalni) redovi

...................................................

36

1.2.5

Razvoj funkcije u stepeni red ...................................................

38

1.2.6

Pregled najvaznijih osobina stepenih redova .........................

43

I N T E G R A L I F U N K C I J A V IS E P R O M E N L J I V I H

47

2.1

..................................................................................

48

2.1.1

Definicija i osnovne o s o b i n e ......................................................

48

2.1.2

Izrac unavanje dvostrukog in te g ra la .........................................

51

2.1.3

Smena promenljivih u dvostrukom in tegra lu .........................

55

2.1.4

Povrs u R 3 i izracunavanje njene povr s i n e ............................

58

2.2

Dvostruki integral

Krivolinijski integral

.............................................................................. 5

62

6

Sadrzaj

2.3 3

2.2.1

Krivolinijski integral po duzini krive (I v r s t e ) ....................

64

2.2.2

Krivolinijski integral po koordinatama (II vrste)

..............

67

2.2.3

Nezavisnost od putanje integracije...........................................

71

Integralne formule veze - formula G r i n a ...........................................

74

K O M P L E K S N A A N A L IZ A

77

3.1

Kompleksni brojevi ..................................................................................

79

3.2

Kompleksna funkcija.................................................................................

81

3.3

Izvod .............................................................................................................

83

3.4

Analiticka f u n k c ija ..................................................................................

87

3.5

Elementarne funkcije ...............................................................................

89

3.6

Vi sezna cne fu n k cije ..................................................................................

95

3.7

Krivolinijski integral u C ........................................................................ 101

3.8

3.9

3.7.1

Definicija i o s o b in e ......................................................................101

3.7.2

Kosijeva teorema i njene p o s l e d i c e ........................................ 104

3.7.3

Kosijeve integralne f o r m u l e ..................................................... 107

Razlaganje analitickih funkcija u r e d ................................................. 109 3.8.1

Red T e jlo r a ................................................................................... 109

3.8.2

Red L o r a n a ................................................................................... 111

Klasifikacija izolovanih singulariteta

................................................. 116

3.10 R e z id u u m ...................................................................................................117 3.11 Izracunavanje određenih integrala pomoû reziduuma 3.12 Analiti cko produ zenje

................ 121

............................................................................ 129

3.13 Konformna preslikavanja........................................................................ 133 4

F U R IJ E O V A I L A P L A S O V A T R A N S F O R M A C IJ A 4.1

141

Furijeova transformacija ......................................................................... 142 4.1.1

Uvodne napomene ...................................................................... 142

4.1.2

Trigonometrijski red ................................................................... 143

4.1.3

Furijeov razvoj funkcije nad intervalom [—n, n ] .................145

4.1.4

Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom [—n, n] ..................................................................... 147

4.1.5

Razvoj u Furijeov red kosinusa i u Furijeov red sinusa nad intervalom [0, n ] .....................................................148

4.1.6

Furijeov razvoj nad intervalom [ a, b ] .....................................150

Sadrzaj

7

4.1.7

Kompleksni (eksponencijalni) oblik Furijeovog razvoja funkcije nad kona cnim in te rv a lo m .......................... 151

4.1.8

Spektar. Konacna Furijeova transformacija

4.1.9

Furijeov razvoj nad intervalom ( —ro, ro). Furijeov i n t e g r a l ........................................................................ 155

......................

152

4.1.10 Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom ( —to, r o ) ..................................................................157

4.2

4.1.11

Furijeova transformacija. Spektar ..........................................

157

4.1.12

Kosinusna i sinusna Furijeova transformacija

...................

159

Laplasova transformacija ........................................................................

161

4.2.1

Definicija i egzistencija Laplasove tr a n s fo r m a c ije ............ 161

4.2.2

Osobine Laplasove transform acije.......................................... 164

4.2.3

P r i m e r i ........................................................................................ 167

4.2.4

Inverzna Laplasova transformacija

4.2.5

Dvostrana Laplasova tr a n s fo r m a c ija ....................................173

4.2.6

Veza Laplasove i Furijeove tr a n s fo r m a c ije ..........................173

4.2.7

Neke primene Laplasove transformacije

4.2.8

Neke primene u elektroteh n ici.................................................177

....................................... 169

............................. 173

Literatura ............................................................................................................. 183 PR IL O G 1. Neke specijalne f u n k c ije ...........................................................184 PR IL O G 2. Povr si drugog reda ..................................................................... 186 PR IL O G 3. Tablice Laplasovih transformacija

....................................... 189

Indeks ...................................................................................................................

198

8

Sadrzaj

Glava 1

REDOVI 1.1 B r o jn i r e d o v i 1.2 F u n k cion a ln i r e d o v i

Ova glava posveêna je teoriji redova. Citaocu je veoma dobro poznato kako se definise operacija sabiranja na skupovima brojeva (realnih ili kompleksnih). Jasno je sta znaci kada operaciju sabiranja kona can broj puta primenimo na elemente nekog od spomenutih skupova.Tada kao rezultat dobijam o element iz istog skupa. Međutim, sta se događa ako operaciju sabiranja beskonacno mnogo puta primenimo na neki niz elemenata? Kako uopste m ozemo obaviti sabiranje beskonacno mnogo elemenata, da li postoji i sta je rezultat takvog postupka i da li eventualni ” zbir” pripada skupu iz kojeg su uzeti sabirci? To su pitanja kojima se bavim o u ovom poglavlju. U 1.1 je dat kratak, neformalan pregled poznatih pojm ova i definicija sa kojima se citalac sreo u ranijim kursevima. Navedena je op sta teorija brojnih redova. Date su osnovne definicije i dokazane bazi cne teoreme. Posebno su izdvojene klase redova sa pozitivnim clanovima i klasa alternativnih redova. Naredni odeljak posveên je apsolutno konvergentnim redovima - znac ajnoj klasi u skupu konvergentnih brojnih redova. Navedena su dva kriterijuma apsolutne konvergencije i teoreme koje su generalizacija komutativnosti i asocijativnosti za beskona cno sabiranje. Definisane su operacije sabiranja i mno zenja redova i mno zenje reda skalarom. Takode je uveden pojam dvojnog i ponovljenog reda, njihove konvergencije. Teorija je ilustrovana nizom karakteristi cnih primera. 1.2 posvecen je funkcionalnim nizovima i redovima. Prvo je dat pregled poznatih definicija i stavova vezanih za funkcionalne nizove. Posle osnovnih 9

10

Glava 1. R E D O V I

definicija i teorema o funkcionalnim redovima, sledi deo posvecen najvažnijoj klasi funkcionalnih redova - stepenim redovima i Maklorenovom i Tejlorovom razvoju funkcije u stepeni red.

1.1

Brojni redovi

Najpre se ukratko podseâmo nekih definicija i osnovnih pojm ova iž prethodnih kurseva. U skupu realnih brojeva R rastojanje između brojeva x ,y G R jednako je apsolutnoj vrednosti razlike, tj. d(x, y) = |x — y | (slika 1.1). U skupu kompleksnih brojeva C rastojanje izmedu brojeva x ,y G C jednako je modulu razlike, tj. d(x, y) = |x — y| (slika 1 .2 ).

d(x,y)=\x - y\ R

Slika 1.1. Niž ciji su elementi u R ili u C nazivamo b r o jn im n iz o m . Brojni niž {a n} k o n v e rg ira ka a ako za svako e > 0 postoji n G N tako da za sve k > n važi d(a, ak) = |a — ak|< e. To zapisujemo sa limn^ TO an = a. Broj a nazivamo g r a n ic n o m v r e d n o š ć u niža {a n}. Ako su clanovi an konvergentnog brojnog niža realni brojevi, tada je i granicna vrednost a realan broj. Analogno tvrdenje važi i ža kompleksne brojeve. Jedna od važnih osobina konvergentnog brojnog niža {a n} je da ža svako e > 0 postoji n G N tako da ža sve p ,k G N, važi implikacija k > n

d(ak + p ak)

1ak+p

ak1 < e.

To žnaci da se posle n-tog clana svi clanovi niža {a n} nalažena” stepenu bližine” e. Niž koji žadovoljava ovu osobinu naživamo K osijevim 1.Znamo da je svaki konvergentan niž i Kosijev. U prostorima R i C važi da je svaki Kosijev niž konvergentan, sto žnaci da je skup konvergentnih i Kosijevih nižova u R i u C identic an. Kažemo da je b G R ta ćk a n a g o m ila v a n ja niža {a n} C R ako ža svako e > 0 i ža svako m G N, postoji n G N, n > m, tako da d(b, an) = |b — an | < e. Âugustin Louis Cauchy (1789-1857) — Francuski matematičar. Bavio se geom etrijom , teorijom brojeva, teorijom konačnih grupa, ali najznačajnije rezultate je postigao u domenu infinitezimalne analize.

1.1.

Brojni redovi

11

Najvecu tacku nagomilavanja M & R niza {a n} C R nazivamo lim e s o m sup e r io r i to zapisujemo sa lim su p ^ ^ ^ an — M . Najmanju tacku nagomilavanja m & R niza {a n} C R nazivamo lim e s o m in fe rio r i to zapisujemo sa lim infn—w an — m .

1.1.1

Brojni redovi - osnovne definicije i teoreme

P r im e r 1 .1.1 Pretpostavimo da je dat geometrijski niz 1, . . . u skupu realnih brojeva. Oznacimo sa sk sumu prvih k elemenata tog niza 1 1 k -1 1 sk k = H -------------h — j—-r1 = / ^ ^n — 5, k G N. 2 1 Qk— n=0

Ako je k & N fiksiran prirodan broj

sk =

1 ~ 1

2

Postavlja se pitanje cemu je jednaka suma svih clanova niza, tj. sta se dogačta kad k —> oo. Prirodna je ideja da tada suma svih članova niza (tj. 2^ ) bude jednaka lim k—TO s k, ako taj limes postoji. U ovom slucaju 1 ___L 1 2fc lim Sk = lim ------ y1- = 2 . k^ 00 k^ 00 1 — 7^2

□

Sli cno postupam o u skupu realnih ili kompleksnih brojeva. R e d u prostoru realnih brojeva R je ureden par koji se sastoji od dva niza {a n} i { s k}, an & R i sk & R, n, k & N za koje vazi k sk

an

sk+1 = s k + x k+1 ^ k & N .

n =1 Definicija reda u prostoru kompleksnih brojeva C identicna je, sem sto an & C i sk & C, n ,k & N. Red u R ili C nazivamo b r o jn im re d o m . U odeljku 1.1. brojnim redovima i to neCemo svaki put nagla savati.

bavimo se

Elementi an su č la n o v i red a , a s k su p a r c ija ln e s u m e red a . Red se kraCe oznaC ava sa Y an ili Y n an . Brojni red Y an je k o n v e rg e n ta n ako i samo ako je niz parcijalnih suma { s k} konvergentan. Limes s — lim sk k— je s u m a (z b ir ) reda Y an . To kraCe zapisujemo na sledeCi na Cin s

^ ^ an' n =1

12


Nalaženje sume s reda J2 an cesto nazivamo s u m ir a n je m reda. Za red koji ne konvergira kažemo da d iv erg ira . Lako se dokazuju sledece osobine brojnih redova: • Clanovi reda ne moraju biti numerisani od 1. Cesto njihova numeracija poCinje od 0 i tada red oznaC avamo sa ^ n= 0 an, a njegovu sumu sa 5^n=o an. Takođe numeracija može poCeti nekim brojem p G N i tada red ozna Cavamo sa ^ n=p an . Ako je red konvergentan, sumu zapisuje\ OO

m o sa n=p an ili sa ^ , ° =0 Xp+n . Ako ^ a „ konvergira tada i J2n=p a„ konvergira i vazi o p—1 o ^ ân n=1

^ ân + ^ ân, n=1 n=p

sto znaCi da k o n a č n o m n o g o čla n o v a r e d a n e u tič e n a n je g o v u k o n v e rg e n ciju . • redovi ^ an iAan oba istovremeno konvergiraju, odnosno divergiraju za svako A = 0 . • Ako redovi ^ an iJ 2 bn oba konvergiraju, tada i red J2(an + bn) konvergira. • Ako red ^ an konvergira a red ^ bn divergira, tada red X X an + bn) divergira.

P r im e r 1 .1 .2 PokazaCemo da g e o m e t r ijs k i r e d ^ n= 0 z n = 1 + z + z 2 + ••• oo 1 konvergira za svako z £ C takvo da je \z\ < 1 i da važi da je z n = --------. 1 —z n =0 Kako je 1 — z k = (1 — z)(1 + z + z 2 + •••+ z k - 1) za sve k € N i sve z G C, to je 1 —z k parcijalna suma reda sk = --------- . Ako k —> oo i ako je \z\ < 1, dobijam o 1 —z 0

V

1

zk

z ” = lim sk = lim kk ^ o kk^ o 1 — Z 0

Očigledno, ukoliko j e z = x € M i | x | < l , tada je

i 1 —Z x " = T^x-

□

T e o r e m a 1 .1.1 Neka j e ^ an brojni red. Tada r e d ^ an konvergira ako i samo ako za svako £ > 0 postoji k 0 G N tako da za sve p G N i sve k G N vaM implikacija k+p k ^ k0

E

^ an < £ n=k+1

1.1.

Brojni redovi

13

D o k a z. Red Y an je konvergentan ako i samo ako je niz { s k} parCijalnih suma konvergentan sto je ekvivalentno tvrctenju da je niz { s k} Kos ijev. To zna Ci da za svako £ > 0 postoji k 0 G N tako da za sve p G N i sve k G N va zi k ^ k0

|sk+p

sk 1 < £*

Ako poslednju nejednakost napisemo drugaCije, dobijamo k+p

k an —

|sk+p — sk 1

k+p an < £

n n=k+1

1

□

sto je i trebalo dokazati.

Poslednju teoremu nazivamo K o S ije v im k r ite r iju m o m k o n v e rg e n cije i sliCno kao kod nizova, ovaj kriterijum omoguCava ispitivanje konvergenCije reda bez poznavanja njegove sume. T e o r e m a 1 .1 .2 Ako brojni r e d Y an konvergira, tada lim n^ 0 |an |= 0. D o k a z. Sledi iz teoreme 1.1.1. za p = 1 .

□

P r im e r 1 .1 .3 (A lte r n a tiv n i h a r m o n ijsk i re d ) PokazaCemo da alternativni harmonijski red ( —1) n+1 1 1 1 i — i------------- h £ n 2 3 4 konvergira. Neka je £ > 0 fiksiran broj. Tada k+p

E n=k

+1

( —1 ) n+1

1

n

k+ 1

k+ 2

k+ p

<

1

k+ 1

te ako je ko = [^] + 1 , za svako k > ko će biti k+p

E

n=k+1 što znači da red Y konvergentan je.

( —1 ) n+1 n

< £,

(_1\n+1 — ----- zadovoljava Košijev kriterijum konvergencije, tj. □

P r im e r 1 .1 .4 (H a rm o n ijs k i re d ) PokazaCemo da harmonijski red V- 1 / —

1 1 , 1 — l ^ T T ^ 'o + T + ' ' ' 2 3 4

14


divergira, i to na taj nacin sto cem o pokazati da ovaj red ne zadovoljava Kosijev kriterijum konvergencije. Za to je dovoljno dokazati da postoji e > 0 tako da za svako k o £ N postoje prirodni brojevi k i p, k > k 0 takvi da je k+p

E 1 > £.

^ n n=k+1

Neka je k 0 bilo koji prirodan broj i neka je k = p = k 0. Tada vaz i ko+ kc

E 1 n n=ko +1

1

1

ko + l

+

1

ko+ 2

2ko

> ^ = I > I ~ 2k0 2 4

Za e = j teorema 1.1.1. nije zadovoljena ni za jedno ko £ N, što znači da red nije KoSijev, pa samim tim nije konvergentan. □ P r im e r 1 .1 .5 Geometrijski red ^ n = 0 zn, z £ C, n = 0,1, 2 ... , divergira ako je |z| > 1 jer lim |zn |= lim |z|n = 0 . □ P r im e r 1 .1 .6 Ovaj primer pokazuje da uslov limn^ TO |an |= 0 nije dovoljan za konvergenciju reda ^ an. Bez obzira sto je lim ln ( 1 + — ) = 0 , n^TO y nJ red J^ln ( l +

ne konvergira jer niz parcijalnih suma k

(

1\

k

sfc= E ^ n ( l + ~J = E ^ 111^1 + n) _ lnn) = n=1

'

'

n=1

ne konvergira. Naime, lim k^ TO s k = limk^ TOln(1 + k) = ro.

1.1.2

□

Redovi sa pozitivnim članovima

U ovom odeljku baviCemo se veoma vaznom klasom redova u prostoru realnih brojeva koja ima poseban znaCaj u opstoj teoriji redova. Red an , an £ R, je r e d sa p o z it iv n im c la n o v im a ako je an > 0 za sve n £ N. Ovaj naziv je uobi Cajen bez obzira sto se ustvari radi o nenegativnim clanovima reda. T e o r e m a 1 .1 .3 R e d ^ an sa pozitivnim clanovima konvergira ako i samo ako je niz {s k } parcijalnih suma ogranicen odgore.

1.1.

Brojni redovi

15

D o k a z. Kako je sk = Y ^=1 an i ak+1 > 0, sledi da je Sk+1 = sk + ak+1 > sk za svako k £ N, sto znaCi da je niz { s k} m onotono neopadajuCi, te je konvergentan ako i samo ako je ograni cen odgore. □

Navodimo Cetiri kriterijuma konvergenCije redova sa pozitivnim Clanovima. Oni su odabrani među mnogim kriterijumima za konvergenCiju redova sa pozitivnim Clanovima zbog jednostavne prezentaCije i primene.

I U p o r e d n i k rite r iju m 1. Neka su Y an i J 2 bn redovi sa pozitivnim Clanovima i neka postoji n 0 £ N tako da je an < bn za sve n > n 0. Tada iz konvergenCije reda Y bn sledi konvergenCija reda Y an, a iz divergenCije reda Y an sledi divergenCija reda Y bn. D ok a z. Uvedimo oznake X n = + k a „ = sk, X n=+k bn = ^k. Ukoliko red Y bn konvergira, tada je na osnovi teoreme 1.1.3. niz {
sk < limk—TOffk = o.

Ako pretpostavimo da red Y an divergira, a da red Y bn konvergira, nastaje kontradikCija sa upravo dokazanim tvrdenjem. To znaCi da divergenCija Y ,a n impliCira divergenCiju Y bn . 2. Ako članovi reda Y an i Y ^ n zadovoljavaju uslov limnôo = X, A = 0, A = ro. (an ~ Abn kad n ^ ro), tada redovi Y an i Y bn istovremeno konvergiraju ili divergiraju. D ok a z. Ako limnôo f 2- = A, tada za svako e postoji n 0 € N tako da za sve n > n 0 , an

< e

(A — e)bn < an < (A + e)bn

Kako redovi Y bn, X (A — e)bn , Y (A + e)bn istovremeno konvergiraju ili divergiraju, primenjujuCi tvrčtenje navedeno pod 1. sledi da redovi Y an i Y bn istovremeno konvergiraju ili divergiraju. P r im e r 1 .1 .7 Red Y n^+i divergira jer

~ ^ kad n —> oo. Na osnovu

divergencije reda Y ^ (primer 1.1.4) sledi divergencija reda Y n^+i •

1=1

II K o r e n s k i (K o S ije v ) k rite r iju m Neka je Y an red sa pozitivnim Clanovima. Ako postoje n 0 £ N i q £ (0,1) tako da za sve n > n 0 važi da je ^fa^ < q, t j. lim sup n—— ô

< 1,

16


tada red Y an konvergira. Ako za beskonačan skup prirodnih brojeva n važi da je ifa ^ > 1, tj. limsup n—

> 1,

tada je limn—TOan = 0 , sto znači da red Y an divergira. U slučaju da je lim supnôo z fa f = 1 , tada red Y an može ili da konvergira ili da divergira (tj. tada ovaj kriterijum ne daje odgovor o prirodi reda). D ok a z. Ako postojiji q €E (0,1 ) takvo da za n > no važi i f a f < q •<=> an < qn, tada, primenjujuči uporedni kriterijum i znajuči da geometrijski red Y qn konvergira, zaključujemo da Y an konvergira. □ N a p o m e n a : A k o je { i f a f } konvergentan niz, tada je lim supnôo z fa f = limnôo ifa^. U tom slučaju red Y an konvergira ako limnôo vf^n < 1, a divergira ako limnôo ^ fo f > 1 P r im e r 1 .1 .8 Ispitati konvergenciju redova Y n , X ^ 2 , X 2+ 2rl1'1 . R e š e n je . Kako je limnôo \J\ = 1 ,

lininôo \J~~^ = 1; na osnovu korenskog

kriterijuma ne može se odgovoriti koja je priroda re d o v a ^ ^ i Y Već smo videli (primer 1.1.4) da je red divergentan, a u primeru 1.1.10. će biti pokazano da red Y ^2 konvergira. Kako je lim \/2 + n—TO V 2”

= -

lim ^ 2 + ( - 1 )” = - < 1 ,

2 n—~

2

to red Y 2+ 2^ 1'> konvergira.

□

I I I K o lić n ić k i (D a la m b e r o v 2 ) k rite r iju m Neka je Y a« red sa pozitivnim članovima. Ako postoji n 0 € N i q € (0,1) tako da za sve n > no važi da je

W+1 < q, t j.

an lim sup a ” +1 < 1 , n—TO an tada red Y an konvergira. Ako postoji no €= N i Q > 1 tako da za sve n > no važi da je

W+1 > Q, tj.

an

lim inf a'n+1 > 1 n—TO a„ 2Jean Le Rond D ’Alam bert (1717—1783) — Francuski matematicar. Bio je sekretar Francuske akademije i vodeCi matematiCar Enciklopedista. N ajbolje rezultate je postigao u domenu dinamike i diferencijalnih jednaCina.

1.1.

Brojni redovi

17

tada red an divergira. U slučaju da je lim inf a'n+1 < 1 < lim sup a'n+1; n—~ an n—TO a„ tada red an mo ze da konvergira ili da divergira. N a p o m e n a : Ako je { a” +1} konvergentan niz, tada je i. an+l i. • r an+l iirn s u p ------- = iirn m i -= n

i. an+1 nm ---------------- .

U tom slučaju red Y 'a n konvergira ako limnôo art+1 < 1, a divergira ako lim - 1 milnôo ^n- \ ✓> 1. P r im e r 1 .1 .9 Primenom količničkog kriterijuma ispitati da li je ^ konvergentan red.

2"

R e s e n je . an+1 an

g, 3

n parno, n neparno,

te je - = lim inf an+1 < 1 < lim sup an+1 = - . 6 n—TO an n—TO a „ 2 Na osnovu količničkog kriterijuma ne mozemo odgovoriti da li red konvergira ili ne. U primeru 1.1.8. videli smo da ovaj red konvergira na osnovu korenskog kriterijuma. □ Moze se pokazati da, ako je { a n} niz nenegativnih brojeva, onda je lim inf n—w

W+1 < lim inf zfa^ < lim sup ^fa^ < limsup

an

n—w

n—w

n—w

W+1, an

sto zna č i da je korenski kriterijum prečizniji, tj. ako količni č ki kriterijum pokaze konvergenčiju (ili divergenčiju) reda, tada če i korenski kriterijum pokazati isto. S druge strane, ako količnički kriterijum ne moze da da odgovor o prirodi reda, m o ze da se desi da na osnovu korenskog kriterijuma odredim o da li red konvergira ili ne. I V In te g ra ln i k rite riju m . Neka je ^ an = ^ f (n) red sa pozitivnim članovima takav da funkčija f zadovoljava sledeče uslove - postoji n 0 € N tako da je funkčija f definisano za sve x € R, x > n 0, - f (x) > 0 i f je m onotono opadajuča funkčija nad intervalom [n 0, ro).

18


Tada red ^ an konvergira ako i samo ako nesvojstveni integral J vergira.

f (x)dx kon-

D ok a z.

f (n + 1 ) <

['n+^ / f (x)dx < f (n), n

to je

E f (n + 1 ) = n=no O č igledno,

> =f (n) E an < f (x)dx an. n=no+1 no n=n0 n=n0

red ^ an konvergira ili divergira istovremeno kad i integral

ZnT f (x )d x '

D

P r im e r 1 .1 .1 0 Ispitaćemo konvergenciju reda ^ + u zavisnosti od vrednosti parametra a g l . Očigledno, za a < 0 ovaj red divergira jer član reda an = + 1 n ne teži ka 0. Za a > 0, funkcija f ( x ) = + zadovoljava uslove potrebne za primenu integralnog kriterijuma. Kako nesvojstveni integral Umrôo

( T —a+1 — CK+l

i

\

^

— CK+l

x limT^ TO(ln T - 0),

a

konvergira za a > 1 , a divergira za a < 1 , to i red ^ + divergira za a < 1 .

1,

konvergira za a > 1 a □

P r im e r 1 .1 .1 1 Dat je red

E — Qj (n gde Pi ( n)

su P i(x) A + rr

i(x) kad

Pi(n) )=0

polinomi stepena

(n )’ jV 7 i i j

respektivno.

Kako je

?? —>• oo, primenom uporednog kriterijuma i prethodnog Qj(n) □ primera, dobijam o da red konvergira onda i samo onda kad je j — i > 1 .

1.1.

Brojni redovi

1.1.3

19

Alternativni redovi

Iz skupa redova u prostoru realnih brojeva izdvajamo jos jedan podskup alternativne redove. n €

Red Y an u prostoru realnih brojeva je a lte r n a tiv a n ako je za svako N, a2 n - 1 > 0 i a2n < 0. Neka je za svako n € N, bn = |an |. Tada je ^ a „ = 61 — 62 + 63 — 64 +-----

_^ ( _1 )n + 1 1 1 P r im e r 1 .1 .1 2 Red } ------------ = 1 -------- 1-------- •••je primer alternativnog n 2 3 reda, a odgovarajući niz { 6n} je niz { ^ } T e o r e m a 1 .1 .4 (Lajbnicov3 kriterijum konvergencije alternativnih redova). Neka j e ^ an alternativan red u R. Ako je niz { 6n} = {|an |} monotono nerastući i limn^ TO6n = 0 ; tada r e d ^ an konvergira. D o k a z. Izdvojičem o podniz s2k niza parčijalnih suma { s k} reda ^ ak i pokazačemo da je ovaj podniz m onotono neopadajuči i ograničen odgore. Kako je niz { 6n} m onotono nerastuči (tj. 6 ^ > 62 > ••• > 6n > ••• ), svako fiksirano k € N vazi « 2fc = 61 — (62 — 63 ) — •••— ( 62^ - 2 — 62^ - 1) —62^ tj.

< 61

podniz { s 2k} je ograni čen odgore. S druge strane je « 2fc+2 = S2fc + ( 62fc+1 — 62^+2 ) > S2k ,

sto znač ida je podniz { s 2k} m onotono neopadajuči, te uzograni čenost odgore sledi da je konvergentan. Neka je lim fc^ TO s2k = s. Iz jednakosti s2k+^ = s2k + 62k+;i_, ako k ^ ro, dobijam o lim s 2k+1 = lim (s 2fc + 62^+1) = lim s 2fc + lim 62^+1 = s + 0 = s , te mozemo zaključiti da je lim fc^ TO sk = s, tj. konvergentan, sto je i trebalo dokazati.

red ^ an = ^ ( —1 )n+ 16n je □

U sledečem primeru niz {|an |} alternativnog reda ^ an te z i ka 0, ali ne m onotono i taj red divergira. To znač i da uslov limn^ TO |an | = 0 (bez monotonosti) nije dovoljan da obezbedi konvergenčiju alternativnog reda. 3Gottfried W ilhelm Leibniz (1646—1716) — Nemacki fllozof i matematičar. Pored Njutna (Isaak Newton 1642—1727) predstavlja jednog od zacetnika infinitezimalnog racuna. D ao je veliki doprinos matematici, filozofiji, pravu, teologiji, lingvistici i istoriji.

to za

,

20


P r im e r 1 .1 .1 3 Pokazačemo da članovi reda 1

/2 - 1

a

1

1

/2 + 1

+

^

a

=

1

----------------------------- F = ------------- +

/3 - 1

/3

a

a

+1

- - -

+

^

=

1

1

------------ ---------------- -

+

y /n - l

■

y/n + l

zadovoljavaju sve uslove prethodne teoreme sem uslova o m onotonosti niza {|an |}. Zatim čemo pokazatii da taj red divergira. Zaista, radi se o alternativnom redu, takvom da limn^ o |an | = 0. Kako je za svako n € {2, 3, •••} 1

1

y/n — 1

1

>

,

------

1

i —f=— r > yj n — 1 + 1 \/n—1y/n + 1

sledi da niz {|an |} nije monoton niz. S druge strane, za podniz { s 2n} niza parčijalnih suma { s k} vazi

S2n=

' 7^+t) + " '

~ V^+i) + +

—2

1

1

y/n + 1 — 1

Vn+ 1+ 1

1 1\ ^ 1 1 + - + ••• H ) —2 ^ —• 2 n z ' m y m=1

Iz primera 1.1.4. je limnôo Y/L=i ^ = 00, to Je i linifcôo s 2n = oo. Kako podniz { s 2n} niza parčijalnih suma { s k} divergira, to znači da i niz { s k} divergira. □

M o ze se pokazati da ako sumu alternativnog reda zamenimo parčijalnom sumom s k, pravimo gresku koja je manja od člana 6 k+i_, tj. oo |s — sk 1 =

k

£ ( —1 )n+ 16n — £ ( —1 )n+ 16n < 6 k+ 1. n=1 n=1

Ova činjeniča se koristi za pribli zno izra čunavanje sume alternativnog reda. Tada prvi odbačeni član predstavlja gornju graniču greske.

P r im e r 1 .1 .1 4 Koliko članova reda Y manja od 0 .0 1 ?

(_1)n+ 1 — n— treba sabrati da bi greška bila

R e š e n je . Kako je |s — sfc| < bk+ 1 = -j-pj, to je j-j- < =4- k > 99, te ako saberemo prvih 100 članova reda, greska je sigurno manja od 0 .0 1 .. □

1.1.

Brojni redovi

1.1.4

21

Apsolutno konvergentni redovi

Neka je Y an brojni red. Red Y an a p s o lu tn o k o n v e rg ir a ako red Y |an | konvergira. Ukoliko Y an konvergira ali ne konvergira apsolutno, onda kažemo da Y an k o n v e rg ir a u slo v n o . U slucaju reda Y an realnih brojeva an G R, apsolutna konvergencija svodi se na konvergenciju reda Y |an |apsolutnih vrednosti |an |, Sto i objaSnjava naziv ove vrste konvergencije. ( - 1)" — -----konvergira, ali red Y n (_1)n+1 (primeri 1.1.3. i 1.1.4), što znači da red Y — ----- konvergira uslovno.

P r im e r 1 .1 .1 5 Red Y

□

T e o r e m a 1 .1.5 Ako je brojni red Y an apsolutno konvergentan, tada je on konvergentan i vazi

£« n < £

n=1

1an 1•

n=1

D ok a z. Kako red Y 1an |konvergira u R, njegov niž parcijalnih suma je Kosijev, tj. za svako e > 0 postoji k o G N tako da za sve k,p G N k+p

k+p

] 1an 1 < £, n=k+1

£ 1an 1 n=k+1 tj.

k+p

k+p <

an n=k+1

£

k+p |an 1

n=k+1

^ ] |an 1 < e n=k+1

To zna Ci da red Y an zadovoljava Kos ijev kriterijum konvergencije. Nejednakost |2 ” =i. an| < E ” =i. |an| dobija se iž nejednakosti ^ ” =:l ^n k

.

< E ” =:l l^n| kad □

T e o r e m a 1 .1.6 Neka j e Y a n brojni red i neka j e Y an red u R sa pozitivnim clanovima, an > 0, tako da vazi |an | < an za svako n G N. Ako red Y an konvergira u R, tada r e d Y a n apsolutno konvergira i vazi

£ ' n

n=1

n=1

< 'T fc+pu+1 | < y^fc+p < Z_^n=k |an| < n=k+ 1 an, primenjujuci K o sijev kriterijum konvergencije (teorema 1.1.1), red Y |an |konvergira, tj. red Y a n apsolutno konvergira. □ D ok a z. Kako važi nejednakost

k+p +1 an a E n=k

22


K r ite r iju m i k o n v e r g e n c ije a p s o lu tn o k o n v e rg e n tn ih re d o v a Brojni red an konvergira apsolutno ako red |an | konvergira. Kako je |an | red sa pozitivnim c lanovima o cekivano je da su kriterijumi za apsolutnu konvergenciju reda usko povezani sa kriterijumima konvergencije reda sa pozitivnim clanovima. K ao posledicu prethodne teoreme i kriterijuma konvergencije redova sa pozitivnim clanovima, izvodim o dva jednostavna kriterijuma za proveru apsolutne konvergencije brojnog reda an. 1. K o r e n s k i (K o S ije v ) k r ite r iju m • Y an konvergira apsolutno ako lim supnôo

< 1,

• Y an divergira ako lim supnôo v'^fč/^J > 1 , • test je nemoćan ako lim supnôo

= 1,

2. KoliCniCki (D a la m b e r o v ) k rite riju m . • Y an konvergira apsolutno ako lim supnôo • J 2 an divergira ako lim in fnôo • test je nemoćan ako lim in fnôo

< 1,

> 1, |an^

< 1 < lim sup„ , n

l°"-+1l |an 1

Zn P r im e r 1 .1 .1 6 Ispitati konvergenciju reda n=0

n!

gde je 2; fiksiran kompleksan

broj. R eS en je. Primenom kolicnickog kriterijuma dobijamo limsup n

—ôo

= \Zn

|

lim n ^ ° °

= | -^ f|

lim n

^

o

= 0, o

n

+

1

te ovaj red apsolutno konvergira za svako z € C.

1.1.5

□

K om utativni i asocijativni zakon za redove

Operacija sabiranja u prostoru realnih i kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna. Ove osobine ostaju ocuvane za zbir konacno mnogo elemenata. Postavlja se pitanje sta je sa ovim osobinama ako imamo zbir beskona cno mnogo elemenata. U naredne dve teoreme nalazi se odgovor na to pitanje. U sluc aju apsolutno konvergentnog reda ostaju ocuvane osobine komutativnosti i asocijativnosti u sirem smislu. Neka je a i, a2, . . . an, . . . beskona can brojni niz i neka je p : N ^ N jedna permutacija u skupu prirodnih brojeva. Tada se niz ap(i), ap(2) , . . . ap(n), . . . sastoji od istih clanova kao i pocetni niz, ali je redosled drugaciji. Navodimo sledecu teoremu koja se odnosi na komutativnost u sirem smislu beskonacne sume.

1.1.

Brojni redovi

23

T e o r e m a 1 .1 .7 Ako je ^ h an apsolutno konvergentan brojni red, onda je i red ^ ap(n) apsolutno konvergentan i vazi oo

oo

^ _ an^ _ ap(n) • n=1 n=1 U narednom odeljku naveden je primer (primer 1.1.13) u kojem promena redosleda clanova reda dovodi do promene sume reda. Taj red je konvergengentan, ali ne apsolutno konvergentan. Postoji teorema (tzv.Rim anova teorema) koja kaZe da ukoliko je red uslovno konvergentan u R, tada za svako s € R U j-T O , w }p o s to ji permutacija p : N ^ N takva da je ^ x p(n) = s. Takocte je interesantno pod kojim uslovima vaZi asocijativnost u sirem smislu za beskonaCan zbir. SledeCa teorema daje odgovor na to pitanje. T e o r e m a 1 .1 .8 Neka j e ^ n an apsolutno konvergentan brojni red. Ako su N 1 i N 2 neprazni disjunktni podskupovi od N tako da je N = N 1 U N 2 , tada su redovi "Ž2ne Ni an i Y ne n2 an apsolutno konvergentni i vazi ^ ^ an + E an — nGNi 1

^ ^ an* nGN2

Teorema se moze uopstiti na sluCaj kad imamo particiju skupa prirodnih brojeva N na prebojivo mnogo podskupova N 1, N2, . . . N j,. . . . P r im e r 1 .1 .1 7 Primenom poslednje dve tereme dokazaCemo da vaze osobine u skupu kompleksnih brojeva koje su do sada korisCene formalno, bez preciznih definicija i dokaza. Red '}2n=o

apsolutno konvergira za svako z

C (primer 1.1.16). Pres-

likavanje / koje svakom elementu z g C dodeljuje element J2^Lo vamo e k s p o n e n c ija ln o m fu n k c ijo m i to kraCe zapisujemo sa n T — ^ n! n=0

^

nazi-

ez

Na sliCan naCin definisemo sin u sn u i k osin u sn u fu n k ciju . Redovi ( _ l ) n z 2n

^

n=0

(2n)!

_

^^n^n+l

1 n^=0

(2n+l)!

konvergiraju apsolutno za svako z € C. PomoCu njih definisemo funkcije cos z i sin z , z € C, ~ ( - 1 )nz 2n > — ;— - — = cos z, ^ 2n 7 n=0

~ > ^ n=0

( - 1 )nz 2n+1 — --~— = s m z . (2n + 1 )

24


Neka y € R. Ako primenimo teoremu 1.1.8, dobijam o -

f v (iy )nf

(»ž/)2m , f v

(2m)! m=0 '

n\^

n=0

f a ) 2m+1

(2m + l)!'

'

m=0 '

~ ( - 1 )my 2m ~ ( - 1 )my 2m+1 > — ;----- r;-------- h * > —;----------- rr- = cos y + i sm y, ^ 2m ! ^ 2m + l ! y m=0 m=0

=

sto je poznata Ojlerova 4 formula.

1.1.6

Operacije sa redovima

U ovom odeljku uvodimo tri nove operacije u skup brojnih redova • sabiranje redova, • mnoZ enje reda skalarom (brojem iz R ili C), • mno zenje dva reda. Ako su an i 2 bn brojni redovi i ako je c element iz polja skalara (skupa R ili C ), tada y > n + bn bn —

def

E an def=

^ 2 (fln + bn) / v can

T e o r e m a 1 .1 .9 Ako s u ^ an * S bn konvergentni brojni redovi i c je broj (rea/ara ili kompleksan), tada su red ovi^ ( a n + bn) i Y cfln takođe konvergentni i vazi da je o

+ bn) — ( £

o

\

/

o

o

°n ) + ( £

\

CXD

y^

i

£

/

oo

C°n = C ( T . an

1

P r im e r 1 .1 .1 8 U ovom primeru, korisCenjem operacije sabiranja redova, mnoZenja reda skalarom i teoreme 1.1.9, pokazaCemo da promena redosleda Clanova uslovno konvergentnog reda moze dovesti do promene sume reda. Red 1.1.3). Redovi

^-----je konvergentan ali nije apsolutno konvergentan (primer ^ n=1

1

1

1

1

1

1

2 + 3 “ 4 + 5 “ 6 + 7 "'

4Leonhard Euler (1707—1783) — Švajcarski matematičar. Bez obzira sto je bio otac trinaestoro dece i Sto je pred kraj života oslepeo, napisao je preko 800 naučnih radova i knjiga. O jlerovo delo je od sustinskog značaja i predstavlja fundament u mnogim granama matematike.

1.1.

Brojni redovi

25

1

1

1

1

1

2 ^ aP( n ) - l + ^ - 2 + 5 + 7 “ 4 + " ' n=1 imaju iste Clanove napisane razliCitim redosledom. Ako je 1

1 1

1 1

T b n n = 0-\-----i 2 1 + i0 ------2 -2 - + 0 + -------2 3 1----- , n=1 bn = \ Y ^=\ ««• s druge strane J2 aP(n) = J2 an + I ] bn,

tada važi da je te je OO

OO

OO

OO

1 OO

3

oo

^ ' ap(n) = 'y \an + ^ ' bn = ^ an + — ^ an = ^ ^ , an =1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 sto pokazuje da se promenom redosleda sabiraka promenila suma reda. Neka su Y an i Y bn brojni redovi. m n o ž e n je dva reda.

□

Definisemo jos jednu operaCiju -

P r o iz v o d r e d o v a J2n= 0 an iJ 2 n= 0 bn je red J2n= 0 Čn Ciji su Clanovi definisani sa n

n

Cn^ ^ a kbn-k ? k=0

t j.an ~^ ^ bn = ^ ^ ( ^ ^ bn-k I n=0 n=0 n=0 \k=0

J

T e o r e m a 1 .1 .1 0 Ako su brojni redovi X^n=0 an i n=0 bn apsolutno konvergentni, tada je red ^2 ^=0 ^n takode apsolutno konvergentan i vazi oo

oo

5 3 Cn — A •B , n=0

oo

g d e je A — ^ a „ i B — ^ bnn=0 n=0

P r im e r 1 .1 .1 9 Pokazaćemo da, iako red

(

1 )n

konvergira (ali ne apsoV ^+l lutno), red koji se dobija mno zenjem tog reda samim sobom ne konvergira. (

Konvergencija reda

1 )n

sledi na osnovu Lajbnicovog kriterijuma -

V« + 1 teorema 1.1.4. Dalje, neka je ( - 1 )n

E

^

( - 1 )n

E V/" S - + t1 ' Ê V n + 1

Po definiCiji mnozenja je "

( _ l )fc ^ , /TTj7T

( _ l ) n - fc , /^ m T T

» ^

1

^

26


PokazaCemo da |£n | ne te zi 0 kad n ^ Zaista, n

to, sto Ce znaCiti da Y £n divergira.

n

1

1

^” 1 = ^k=0 V ^ (kT + l ) ( n - k + l ) = k=0 2 V v/(f V2 + l)2- ( f - =l F n+ 1 ____

W

/fn _|_ 1 ^2 v f W

=

2

•

“

^ + 2’

te je n -+ 1 lim |^n |> lim 2 — — = 2 ^ 0 . nÔ nÔ n + 2 □ P r im e r 1 .1 .2 0 U primeru 1.1.17. definisali smo eksponenCijalnu funkCiju f (z ) — ez , z G C. PokazaCemo, korisCenjem poslednje teoreme, osobinu ove funkCije da za svako z G C i svako w € C va zi ez •ew — ez+ w. Zaista, kako su redovi zn wn Y ^ = e* * V ^ - = e“ 1f n! ^ n! n! n=0 n=0 apsolutno konvergentni, to je i red oo n=0

n=0

n!

n=0

n!

takode apsolutno konvergentan. S druge strane ^ Sn -

n

^k „..n—k ^ _ 1 n„fc„ ,n-fc _ (z + w )" i.i (n ' — k)! k! n! ? ................. k!(n — k)! k=0 k=0

te je OO

OO /

E « » = E (; 0 n=0

x

n! ’

e

sto zna Ci da je ez •ew — ez+w. □ P r im e r 1.1.21 PokazaCemo da je ez — ex (Cos y + i sin y). Ako je kompleksan broj z izra zen u algebarskom obliku z — x + iy , x, y G R, na osnovu osobina dokazanih u primeru 1.1.17. i 1.1.20. imamo ez — — exe*y ez — ex+*y ex+iy — exeiy — — ex ex(Cos y + i sin y), □

1.1.

Brojni redovi

1.1.7

27

D vojni niz i dvojni red

Poslednja tema o brojnim redovima kojom se bavimo je problem koji moze biti interpretiran kao beskonaCno sumiranje niza redova. OgraniCiCemo se na brojne nizove i redove i to neCemo naglasavati pri svakom spominjanju dvojnog niza ili reda.. U analizi se Cesto sreCe problem vezan za sumiranje dvojnih nizova { a nk}, n, k € N. Pod d v o jn im b r o jn im n iz o m {a nk} podrazumevamo preslikavanje N x N ^ R ili N x N ^ C. C la n o v e n iza ank, ank € R ili ank € C, n, k € N Cesto predstavljamo kao beskona Cnu matri Cnu semu an a 21

a 12 ••• a 22 •••

a 1k ••• a 2k •••

an 1

an2 •••

ank •••

Dvojni brojni niz k o n v e rg ir a ako i samo ako je lim ( lim ank ) — lim ( lim ank ) — a, n ^ O \kÔ J kÔ VnÔ / a € R ili a € C. Tada pisemo lim ank — a.

P r im e r 1 .1 .2 2 Ispitati konvergenciju dvojnih nizova (^žj^)

i

R e s e n je . Kako je za n — k

lim ( lim

n ^ O \ kÔ y n + 2 J

I

= 0*

lim ( lim ^

+

kÔ \ n ^ O y n + 2

ovaj dvojni niz ne konvergira. Kako je n + 1 < 2n za sve n € {2, 3 ,...}, imamo ( ( n + 1 \ k\ ( ( n + 1 \ k\ / 1 xk iim iim -------= 0 = iim iim -------= iim n^TO \ k^TO V 2 n ) j k^TO \ n^TO V 2 n ) I k^TO \ 2 te ovaj dvojni niz konvergira.

0

□

Analogno kao kod obi Cnog brojnog reda, dvojni brojni red uvodimo kao beskonaCnu sumu dvojnog niza. Naravno, nailazimo na problem kojim redosledom navesti sabirke. Prirodno bi bilo konvergenCiju dvojnog reda definisati tako da redosled navodenja ne uti Ce na sumu.

28


D v o jn i b r o jn i r e d je urečten par dvojnih brojnih nizova ( {a nk}, { s j }), n, k, i, j € N, gde je n=i,k=j Sij =

^ a„k n= 1,k=1

,

i j G N.

Elementi ank su cla n o v i a S j su p a r c ija ln e s u m e dvojnog reda. Dvojni red krace oznac avamo sa T ank. KaZ emo da dvojni brojni red T ank k o n v e rg ira ako i samo ako dvojni brojni niz parcijalnih suma { s j } konvergira. Limes s = lim i Sjj je s u m a (z b ir ) dvojnog brojnog reda T ank i to kraCe zapisujemo j sa OO

s=

^"^ ank • n= 1,k=1

Ako u beskona Cnoj matrici sumiramo svaku vrstu posebno, dobijam o beskona Can niz suma oblika k=1 ank, n = 1, 2 , . . . •Sumiranjem ovog niza dobijamo novu sumu oo

oo

Y j T j ank • n=1 k=1 Ovakav izraz nosi naziv p o n o v lje n i r e d i on k o n v e rg ira ako za svako n € N konvergira red T k=1 ank = A n i ako red T ^=1 A n konvergira. Lako je uoCiti da sa istim Clanovima reda ank postoji jos jedan ponovljeni red oo

oo ank ,

k=1 n=1 i on je dobijen tako sto je prvo izvr seno sabiranje po kolonama pa je onda sabrana dobijena vrsta. U opstem sluCaju moze da se desi da oba ponovljena reda konvergiraju ali ne ka istoj graniCnoj vrednosti. U sledeCoj teoremi je dat dovoljan uslov kada ta dva ponovljena reda konvergiraju ka istoj vrednosti, odnosno kada u ponovljenom redu smemo izmeniti redosled sumiranja. Takodje ova teorema sadri vezu ponovljenog i dvojnog reda.

T e o r e m a 1 .1.11 Neka je { a nk} dvojni brojni niz takav da za svako n € N red T k ank konvergira apsolutno, neka je OO T j lank | = A n € R k=1 i neka r e d Y A n konvergira. Tada r e d Y ank apsolutno konvergira i vazi da je OO OO

OO OO ank =

n=1 k=1

ank = k=1 n=1

OO ank • n= 1,k=1

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

P r im e r 1 .1 .2 3 D ok azatidaje

29

(_1) n T (fc+w2)(fc+w2- i ) k °nvergentan dvojni red. n=l,k=l

R e s e n je . Kako je

E k =1

E k =1

oo

(-i)n (k + n 2)(k + n 2 — 1 ) 1

1

k + n2 — 1

k + n2

i

■ E (k + n2)(k + n 2 — 1 ) 1 2 —

1 1 + ■ 2 n2 + 1 n2 + 1

1 n2

- 1)" —pr apsolutno konvergira. Dalje, red Y n= i ^ sledi da red J2 fc=i (fc+n2()(fe+n 2—1) ( - 1)" konvergira, te po poslednjoj teoremi i dvojni red J2 23TT ( k + n 2) ( k + n 2 —1) aPso" n= 1,k=1 □ lutno konvergira.

1.2


U ovom odeljku bavicemo se redovima ciji su clanovi realne funkcije realne promenljive. K ao i u ranijem razmatranju, osnovno pitanje ostaje pitanje konvergencije takvog reda i ono se svodi na pitanje konvergencije funkcionalnog niza parcijalnih suma. Zbog toga je prvo naveden pregled nekih poznatih definicija i osobina vezanih za funkcionalne nizove. Kako je pitanje neprekidnosti, diferencijabilnosti i integrabilnosti od posebnog znacaja pri ispitivanju funkcionalnih redova, obraticem o paznju na ove osobine i pod kojim uslovima su one ocuvane pri beskonacnom sumiranju. Dalje, stepeni redovi kao specijalan sluc aj funkcionalnih redova zauzima centralno mesto u ovoj teoriji, te cemo jedan deo posvetiti toj problematici.

1.2.1

Funkcionalni nizovi

Neka je I C R, neka je { s k} niz realnih funkcija, sk : I ^ R. Kazemo da n iz fu n k c ija { s k} k o n v e rg ira u ta čk i x 0 € I ka funkciji s, s : I ^ R, ako niz realnih brojeva { s k(x 0 ) } konvergira ka broju s(xo). Ako niz funkcija { s k} konvergira ka funkciji s u svakoj ta cki x 0 € I , onda ka zemo da { s k} k o n v e rg ira p o ta čk a m a ili o b ič n o ka funkciji s n a s k u p u I C R. Ako niz funkcija { s k} konvergira po ta ckama ka s na skupu I C R, to zna ci da za svako fiksirano x 0 € I i svako fiksirano e > 0 postoji k 0 € N (koje zavisi od x 0 i e) tako da za sve k € N vazi implikacija k > k 0 ^ |s(x0 ) — sfc(x 0 )| < e. U skupu funkcija definise se i drugi oblik konvergencije - uniformna (ravnomerna) konvergencija. Kazemo da niz funkcija { s k} u n ifo r m n o k o n v e rg ira

30


ka funkciji s na skupu I ako za svako e > 0 postoji k o € N (koje zavisi samo od e) tako da za sve x € I i sve k € N vaZi implikacija k > ko ^ |s(x) — s fc(x)| < e. Poslednji uslov mo Zemo interpretirati na sledeCi na Cin: niz { s k} konvergira ka s ako za svako e > 0 postoji k 0 € N (koje zavisi samo od e) tako da je za sve k€N k > ko ^ sup |s(x) — sk(x)| < e, x£/ ili lim sup |s(x) — s k(x)| = 0 , k— 0 postoji k o € N tako da za sve k € N i sve p € N k > k 0|sk+p(x o)

s k(x o)| < e .

Uniformna konvergencija niza funkcija { s k} ka funkciji s na skupu I ekvivalentna je sa uslovom da za svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve x € I , sve k € N i sve p € N k> k o

|sk+p(x)

s k(x)| < e .

Pitanje prenosenja osnovnih osobina Clanova funkcionalnog niza { s k} (neprekidnosti, diferencijabilnosti, integrabilnosti) na graniCnu vrednost tog niza, je od posebnog interesa. Ukoliko j e { s k} uniformno konvergentan niz funkcija na intervalu [ a, b ] i ako je funkcija s : [ a, b ] ^ R grani Cna vrednost tog niza, tada znamo da vazi • ako su svi Clanovi niza { s k} neprekidne funkcije, tada je i s neprekidna funkcija i va zi da je za sve x o € [ a, b ] lim lim s k(x) = lim X—— Xo k—— k—— X—— Xo

lim sk(x) = s (x o),

• ako su svi Clanovi niza { s k} integrabilne funkcije, tada je i s integrabilna funkcija i za sve a, ,0 € [ a, b ] je r r ( lim / sk (x)dx = lim s k(x) k—W a Ja \k—~

dx =

rp

s(x)dx,

1.2.


31

ako su svi clanovi niza { s k} diferencijabilne funkcije i ako niz {s'fc} uniformno konvergira ka g u intervalu [ a, b ], tada niz { s k} uniformno konvergira ka funkciji s koja je diferencijabilna i vaZi s'(x ) = g(x) za svako x G[ a, b ]. tj.

^ lim s k( x m k^TO

= lim s'fc(x) = s'(x ). J k^TO

Da osobine neprekidnosti, diferencijabilnosti i integrabilnosti ne moraju da budu sacuvane pri konvergenciji po tackama pokazuju sledeci primeri. P r im e r 1 .2.1 Neka je sin kx Sfc(x) = — , Vk

x (E M.

Tada je s(x) = lim sk(x) = 0 k^TO

i

s'(x ) = 0

za svako x € R. S druge strane s'k(x) = V~kcoskx. Očigledno lim s'fc(x) = ro = ( lim s k(x ))' = s '(x ) = 0 . k^TO k^TO

□

P r im e r 1 .2 .2 Neka je sk(x) = k 2x(1 — x 2 ) k, x € [0,1]. Za sve x € [0,1] je lim k^ TO s k(x) = 0. S druge strane r-1 /■1 k2 „ /(1 i — x 2) k * k / sk(x)dx = ku22 // x kdx Jo 2k + 2 .//o0 ./ 0 te dobijam o da je f 1

jo

1.2.2

( lim Sh{x))dx = 0 f

lim

k^ Sh{x)dx = lim —-------= oo . Jo 2k + 2 f 1

□

Funkcionalni redovi

Neka je I C R i neka je { f n} niz realnih funkcija, f n : I ^ R. Red Y fn c iji su clanovi funkcije f n naziva se fu n k c io n a ln im r e d o m . Funkcija s k : I ^ R definisana za svako k G N sa k sfc (x) = ^ fn (x) , x e I , n=1 je p a r cija ln a su m a fu n k c io n a ln o g r e d a Y fn a funkcionalni niz { s k} je niz parcijalnih suma. Funkcionalni red Y fn k o n v e rg ir a p o taCkam a na skupu I C R ako i samo ako funkcionalni niz parcijalnih suma { s k} konvergira po tackama na skupu I C R. To mozemo izraziti pomoû dva ekvivalentna tvrčtenja:

32


• Y / n konvergira po ta ckama na skupu I C R ako za svako x 0 € I i svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve k € N

• Y / n konvergira po ta ckama na skupu I C R ako za svako x 0 € I i svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve k € N i sve p € N

Analogno se definise uniformna konvergencija funkcionalnog reda. Funkcionalni red Y / n k o n v e rg ir a u n ifo r m n o na skupu I C R ako i samo ako funkcionalni niz parcijalnih suma { s k} konvergira uniformno na skupu I C R. Analogno kao i u sluc aju konvergencije po tackama imamo dva ekvivalentna tvrđenja • Y / n konvergira uniformno na skupu I C R ako za svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve x € I i sve k € N

• Y / n konvergira uniformno na skupu I C R ako za svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve x € I , i sve k € N i sve p € N

Funkcionalni red Y / n k o n v e rg ira a p s o lu t n o (po tac kama ili uniformno) ukoliko funkcionalni red Y |/n |konvergira (po tac kama ili uniformno). Sa |/1 : I ^ R oznacili smo funkciju definisanu sa |/|(x) = |/(x)|, x € I . Ocigledno da apsolutna konvergencija (po tackama ili uniformna) implicira odgovarajuû konvergenciju funkcionalnog reda. Upoređujuci definiciju konvergencije po tackama i uniformne konvergencije funkcionalnog reda, vidimo • da je svaki uniformno konvergentan red na skupu I , konvergentan po tackama na skupu I . • Ako niz funkcija { s k} konvergira po tackama ka funkciji s na skupu I i ako je taj niz uniformno konvergentan na istom skupu I , onda on konvergira ka istoj funkciji s (tj. grani cna vrednost po tac kama i granic na vrednost po uniformnoj konvergenciji ne mogu biti razli cite).

1.2.


33

Niz funkcija koji konvergira po tackama na skupu I ne mora uniformno konvergirati na skupu I , sto pokazuje sledeci primer. P r im e r 1 .2 .3 Ispitati konvergenciju po tackama i uniformnu konvergenciju x2 funkcionalnog reda na intervalu [—1 , 1], n=o x2 R e š e n je . Ako je x £ [—1,1] fiksiran broj, tada red konvergira ka (1 + x ^ n=o 0 ako je x = 0 i ka 1 + x 2 ako je x = 0 , tj. f x2 = r /x ) = ( °’ x = 0> ^ ( l + x 2)" 1 1 + I 2, x £ [—1 , 0 ) U ( 0 , 1]. n=o Sto se tice uniformne konvergencije, pokazaêmo da ona ne vazi za ovaj red. Uniformna konvergencija niza { s k} ka funkciji s ekvivalentna je sa uslovom supx e[-1 1 ] |s(x)-sk(x)| < e, tj. lim k^TO(supx e[-1 1 ] |s(x)-sk(x)|) = 0. Provericemo da li poslednji uslov vazi:

lim sup |s(x) — sk(x)M = lim sup k^TO \ x e [ - 1,1] Ik—~ \ x e [ - 1,1]

E= ((\ +\x ™2\n x 2)n 0 1

lim sup > _ fc^ ° ° W [ - i A ] n^ + i ( i + x 0,

= k -”

2

x2 v 2-^ n= 0 ( 1 + x 2)n

y

x = 0

( 1 + * 2) - ‘ • x € [—1 , 0 ) U (0 , 1] )

= k— . 1 = 1 = ° . □

P r im e r 1 .2 .4 Neka je / n (x) = x n — x n+1, x € [0,1], n = 0,1, 2 , . . . 1. Pokazati da niz { / n} uniformno konvergira na intervalu [0,1]. 2. Pokazati da red T / n ne konvergira uniformno na intervalu [0,1]. R eS en je. 1. Svaka od funkcija / n(x) = x n —x n+1, n = 0,1, 2 , . . . ima maksimum u tački x n =

(jer je / ' ( ^ p r ) = 0 ), te je n

sup

*e[o,i]

fn(x) = max fn(x) = f

®e[o,i]JnK ’

--------

J \n + l )

=

--------

\n+l)

S druge strane, za svako fiksirano x € [0,1] je lim / n (x) = lim x n (1 — x) = 0 , n—— ô n—— ô

1 —

V

n

n+ 1

34


te niz funkcija { f n} konvergira po tackama ka funkciji f (x) = 0 na intervalu [0,1]. Ako niz { f n} uniformno konvergira, onda grani Cna vrednost mora biti ista funkcija f . ProveriCemo da li je limn^ TOsupx£ [0 ^ |fn(x) — f (x)| = 0. lim sup |fn (x) — f(x)| = lim max |(xn — x n+ 1 ) — 0 |= n^ TOx£ [0,i] n^ TOxe [0,i]

liml-^Vfl" V

n^TO y n + 1 J lim ( —— n^TO y n + 11

n + 1

• lim ( 1 ------- — - ] = e _1 - 0 = 0 , n^TO y n + 1

te niz funkcija { f n} uniformno konvergiraka funkciji f (x) = 0 na intervalu [0 , 1]. 2. Parcijalna suma s k reda T f n je fc-i Sfc(x) = ^ fn (x ) = (1 — x) + (x — x 2 ) +-+ (x k -i — x k) = 1 — x k. n=0 Za svako fiksirano x G [0,1] brojni niz { s k(x )} konvergira i to

fcUm sfc(x) = s ( x ) ^

1, 0,

x e [0 , 1 ), x = 1.

Ako niz { s k} uniformno konvergira, on mora konvergirati ka funkciji s, tako da treba proveriti da li je lim k^ TOsup x £ [0 ^ |sk(x) — s(x)| = 0 .

lim

sup |s(x) — sk(x)| = lim max < sup |1 — (1 — x k)|, 0 > = x£ [0,i] fc^TO ^x£ [0,i) J =

lim sup x k = lim 1 = 1 = 0 . fc^ TOx£ [0,i) fc^ TO

Red T f n ne konvergira uniformno, ali konvergira po tac kama na intervalu [0,1]. □ Naredna teorema je poznati Vajerstrasov 5 kriterijum uniformne konvergencije funkcionalnog reda. T e o r e m a 1 .2.1 Neka je T an, an > 0 konvergentan red sa pozitivnim clanovima i neka je { f n} niz funkcija f n : I ^ R, takav da je |fn (x)| < an za sve x G I i sve n G N. T a d a ^ f n konvergira apsolutno uniformno na skupu I . 5Karl Weierstrass (1815—1897) — Nemacki matematicar. Imao je velikog uticaja na razvoj analize. Uvek je insistirao na rigoroznim dokazima. Razvio je, ali nije Stampao, uvod u sistem realnih brojeva.

1.2.


35

D ok a z. an, an > 0 je konvergentan red, te za svako e > 0 postoji k0 € N takvo da je k+p k > k 0 —— ^^^ an < e. n=k+i Kako je za sve x € I , |fn(x)| < an, vazi k+p k > k0 —

k+p

£ |f(x)| < £ an < «, n=k+i n=k+i

sto zna ci da funkcionalni red T |fn |konvergira uniformno, tj. funkcionalni red T f n konvergira apsolutno uniformno. □ sin nx P r im e r 1 .2 .5 Neka je f n : [—7r , 7r] —> R definisano sa f n(x) = — — n G N, i(n + 1 ) ’ x € [—n, n]. Pokazacemo da je sin nx

^ 2 f n(x ) = E ; n( n +

1)

apsolutno uniformno konvergentan red nad intervalom [—n ,n ]. Zaista, sin nx E |fn(x)| < E n=i n=i x£[-n ,n]

lim

= lim fc^w y

> —-------- - = n (n + 1) n=i v

2

+

2

3

sup

(n + 1 )

1

E

n=i

n( n + 1 ) v '

l i m -------- 1-----------!-••• + V 1 -2 2 -3

+

k

k + 1y

k(k + 1) 'vvv

— ! _ " ) = lim ( l - = 1. fc^w y k+1y

na osnovi prethodne teoreme sledi apsolutna uniformna konvergencija reda T f n nad intervalom [—n,n]., □

1.2.3

Uniformna konvergencija i neprekidnost, integrabilnost i diferencijabilnost

Slicno kao u odeljku 1.2.1, u slucaju uniformne konvergencije reda T f n, osobina neprekidnosti, integrabilnosti ili diferencijabilnosti clanova reda f n se prenosi i na sumu funkcionalnog reda. Ove osobine izrazicemo u sledeê tri teoreme.

36


T e o r e m a 1 .2 .2 Neka je { f n} niz neprekidnih funkcija na intervalu [ a, b ] i neka funkcionalni r e d ^ f n uniformno konvergira na [ a, b ] ka funkciji s : [ a, b ] ^ R. Tada je s neprekidna funkcija na [ a, b ] i za svako x 0 € [ a, b ] vazi OO

OO

lim V ' fn (x ) = V X—%0 ' ■* n=0

lim fn (x ) = s (x 0 ). '■* x—— Xo n=0

T e o r e m a 1 .2 .3 Neka je { f n} niz integrabilnih funkcija na intervalu [ a, b ] i neka funkcionalni r e d ^ f n uniformno konvergira na [ a, b ] ka funkciji s : [ a, b ] ^ R. Tada je s integrabilna na [ a, b ] i za svako a, ,0 € [ a, b ] vazi rP / O /E fn (x H •/“ \n=0

\ dx = E /

rP / fn (x ) dx = n=0 a

rP s(x) dx. •/“

T e o r e m a 1 .2 .4 Neka je { f n} niz diferencijabilnih funkcija na intervalu [ a, b ] takvih da za neko x 0 € [ a, b ] brojni r e d Y f n (x 0 ) konvergira i neka r e d Y f uniformno konvergira na [ a, b ] ka funkciji g : [ a, b ] ^ R. Tada i red T f n uniformno konvergira i vazi

(EOO f n(x M\ ’ = EOO f n(x) = g ( x ) n=0

1.2.4

x € [ a,b ].

n=0

Stepeni (potencijalni) redovi

Posebno mesto u teoriji funkcionalnih redova zauzimaju stepeni redovi. S te p e n i r e d je funkcionalni red ciji su clanovi f n(y) = a € R, an € R, n = 0 , 1 , 2 , . . . , tj. red oblika

an(y — a ) n,

n^=0] an(y — a ) n = a 0 + a i(y — a) + a 2 (y — a ) 2 + •••+ a^(y — a ) n + •••. Realni brojevi an, n = 0,1, 2 , . . . , su k o e fic ije n ti a realni broj a je ce n ta r stepenog reda. Ako uvedemo smenu x = y — a, poslednji stepeni red postaje stepeni red n 2 n anx = a 0 + a ix + a 2x + •••+ anx + •••

E

n=0

sa centrom 0. U daljem razmatranju, radi jednostavnosti, bavicemo se najpre redovima sa centrom 0 . Sto se tice oblasti konvergencije stepenog reda slucajevi, sto cemo videti u sledeêm primeru. P r im e r 1 .2 .6 Ispitaêmo konvergenciju redova V - x n, 11 n

V n nx n

i

V ^ x n. n!

anxn, postoje razni

1.2.


37

Po korenskom kriterijumu prvi red konvergira za sve x lim su p ^ ^ ^ \J^~ < 1, tj.

za sve x € ( —1,1).

€

M za koje je

Drugi red konvergira samo

za x = 0 , jer je, za svako x f 0, lim su p ^ ^ ^ \Jnn ■\x\n = oo, te red divergira. Treci red konvergira za svako x € R. Zaista, po kolicnickom kriterijumu, za svako x € R je 1

lim n—ÔO

(n+ 1)

IIn!

x n +1

lim J i L = 0 < 1 . n—— ô n + 1

II

□ Za sve x € R za koje red Y anx n konvergira, mo Zemo pisati

E'

n

n

/ ( x ).

O cigledno da red Y ^=0 anx n konvergira (na osnovu korenskog kriterijuma) za sve x € ( —r, r), gde je 1

r= lim supn

Ako je lim su p ^ ^ ^ ^/ja^J = 0, tada je r = oo, te red

anx " kon-

vergira za sve x € M. Ako je lim su p ^ ^ ^ v^fčž^J = oo, tada je r = 0, te red S n = 0 anx n konvergira samo u tacki x = 0 . Broj r nazivamo p o lu p r e č n ik o m k o n v e r g e n c ije stepenog reda Y anx n a interval ( —r, r) nazivamo in te rv a lo m k o n v e rg e n cije . U slučaju kada je |x| > r, stepeni red Y anx n divergira jer opsti član |anx n | ne tezi ka 0. Ako je x = r i x = —r, red moze biti konvergentan ili divergentan. Poluprečnik konvergencije r moze se takođe nači korisčenjem količničkog kriterijuma konvergenčije i tada je r =

(ln lim n—TO an+l

u sluč aju kad poslednji limes postoji. P r im e r 1 .2 .7 Red Y n x " ima poluprečnik konvergencije 1 = 1,

lim supn—o te on konvergira za svako x € ( —1, 1) a divergira kad god je |x| > 1. U ta čki x = 1 red divergira, a u ta čki x = —1 red konvergira (pogledati primere 1.1.3. i 1.1.4). □

38


T e o r e m a 1 .2 .5 Ako je T anx n stepeni red i ako je r > 0 njegov poluprecnik konvergencije, tada r e d ^ anx n konvergira apsolutno uniformno za sve x, |x| < p, gde je 0 < p < r. D ok a z. Kako je |anx n |< |an |pn za sve n G N i kako je limsup \J\an\pn = P limSUP v / lan| < r lim sup v + n l = 1, n—— ô n—— ô n—— ô na osnovu korenskog kriterijuma brojni red T n= 0 |an |pn konvergira, te na osnovu VajerStrasovog kriterijuma (1.2.1) funkcionalni red T ^=0 anx n konvergira apsolutno uniformno za sve |x| < p. Znamo da su dva polinama jednaka ako i samo ako su im koeficijenti uz iste stepene jednaki. SliCna teorema vaZi i za stepene redove. T e o r e m a 1 .2 .6 Ako za svako x € ( —r, r), r > 0, redovi T anx n i T bnx n konvergiraju istoj sumi f (x), oni su identicni tj. svi odgovarajuci koeficijenti su im jednaki. D o k a z. Kako je za svako x € ( —r, r), T ^= 0 anx n = T ^= 0 bnx n, za x = 0, jednakost se svodi na a 0 = b0. Skratimo a 0 i b0 i podelim o jednakost T n=i anx n = S n = i bnx n sa x. UvrsCavanjem x = 0 u dobijenu jednakost, zakljuC ujemo da je a^ = bi. NastavljajuCi postupak, dobijam o an = bn za svako n € N. □ T e o r e m a 1 .2 .7 Neka je T ^=0 anx n = f (x) za x € ( —r, r), gde je r > 0 poluprecnik konvergencije reda T anx n. Tada za sve x € ( —r, r) funkcija f je neprekidna, ima sve izvode i vazi OO

f ( x ) =

n (n — 1 ) •••(n — k + 1 )anx n-k n=k

f (k)( 0 ) = klafc

za sve k = 0 , 1 , 2 , . . .

.

D ok a z. Na osnovu teorema 1.2.5. i 1.2.2, f je neprekidna funkcija nad intervalom [—p, p] za svako p < r, sto zna Ci da je neprekidna za svako x € ( —r, r). Iz limnôo tfn = 1, imamo da lim su p ^ ^ ^ ^/n\an \= l i m s u p ^ ^ ^\an \, te redovi anx n i nanx n - 1 imaju isti polupre Cnik konvergenCije i na osnovu teoreme 1.2.4. je f '(x ) = n=i nanx n- 1 , x € ( —r, r). Analogno se dokazuje i za izvode viseg reda. □

1.2.5

Razvoj funkcije u stepeni red

Ako postoji stepeni red T anx n i r > 0 tako da je za sve x € ( —r, r), f (x) = $^n= 0 anx n, kazemo da je f a n a litick a fu n k cija u taCki 0 i da stepeni

1.2.


39

red T anx n predstavlja r a z v o j fu n k c ije f u s te p e n i (M a k lo r e n o v 6 ) r e d u tac ki 0. Kaž emo da f ima razvoj u ta cki 0 ili da f ima Maklorenov razvoj. Na osnovu poslednje teoreme, veza koeficijenata an u Maklorenovom razvof(n)(0) ju i funkcije / data je sa a „ = J , , n = 0,1, 2 , . . . , tj. za svako x (E ( —r, r),

f (x) = n=0

f (n)( 0 ) n n!

Na osnovu teoreme 1.2.6, razvoj funkcije f u taCki 0 u stepeni red Y anx n, ako postoji, jedinstven je. Poslednja formula je veoma interesantna. Ona pokazuje, s jedne strane, da su koeficijenti an Maklorenovog razvoja Y anx n funkcije f određeni vrednosCu funkcije f i njenih izvoda f (n),n = 1, 2 , . . . u tacki 0. Ukoliko podem o od reda Y anx n koji za svako x € ( —r, r), r > 0 , konvergira ka f (x), tada f ( 0 ), f "( 0 ), f ” ( 0 )... nalazimo pomoû formule f (n)( 0 ) = n!an, n = 0 , 1 , 2 , . . . . Medutim, ukoliko podem o od funkcije f , egzistencija svih izvoda f (n), n € N, u tac ki 0 nije dovoljan uslov da funkcijs f ima Maklorenov razvoj. U sledeêm primeru pokazaêmo da svi izvodi f (n), n G N, funkcije f u tac ki 0 postoje, ali f(n)(0) / ipak nema Maklorenov razvoj. U ovom primeru Maklorenov red Y — i x n ne konvergira ka funkciji f ni u jednoj tacki sem u 0 .

P r im e r 1 .2 .8 Funkcija f ( x ) = < e x ’ x ^ 0, x = 0,

ima sve izvode u tački 0.

Zaista za x f 0, f ' ( x ) = Kako je lima,^ 0+ f ' ( x ) = lim^ô f ' ( x ) = 0, sledi da je f '(0) = 0. Analogno se pokazuje da je f (n)(0) = 0 , n = 2, 3 ,.... Ako stavimo da je an = ^ w,(0) = 0 , n = 0,1, 2 , . . . , dobijam o Y ^ o anxU = S n =0 0 •x n = 0 sto je, ocigledno, za sve x G R \ { 0 } razli cito od funkcije f (x). Naredna teorema daje potreban i dovoljan uslov da funkcija f bude analiti cka u ta cki 0 . T e o r e m a 1 .2 .8 Funkcija f je analiticka u tacki 0 ako i samo ako postoji r > 0 takvo da je za sve x G ( —r, r) • funkcija f beskonacno puta d,iferencija,bilna,, • limn—— ^ R k(x)

°;

gde je Rk( x ) = * ( k + i ) ^ xk+1 > ® €

^)’ osta,tak u Maklorenovoj formuli f ( x ) =

E t o ^ x” + ^ ( x)6Colin Maclaurin (1698—1746) — Britanski matematičar. Bio je student Njutna i profesor u Edinburgu. Glavni rezultati su mu iz geom etrije i matematičke fizike.

40


Posmatracemo sada stepeni red sa centrom a = 0, tj. red Y bn(x — a ) n . Stepeni red Y n= 0 bn(x — a ) n, a = 0, konvergira za sve x G (a — r i , a + r i ), gde je 1

r i = ---------------------- ------• lim suP n ^ TO n 1bn 1 Ako je ri > 0, definisemo funkciju f sa bn(x — a ) n = f (x),

x G (a — r i , a + r i ).

n=0 KaZemo da je funkcija f razvijena u s te p e n i ( T e jlo r o v 7 ) red u taCki a = 0, odnosno da ima Tejlorov razvoj u taCki a = 0. SliCno kao i u sluCaju razvoja u taCki 0 mo ze se dokazati da je f neprekidna funkcija i da ima sve izvode nad intervalom (a —r i, a + r i). Veza koeficijenata bn reda Y n= 0 bn (x —a ) n i funkcije / data je sa bn = ^

, n = 0 , 1 , 2 , . . . , tj.

Ukoliko funkcija f ima Maklorenov razvoj u taCki 0 sa polupreCnikom konvergencije r > 0, tada u svakoj taCki a iz intervala ( —r, r) postoji Tejlorov razvoj funkcije f . Ta osobina funkcije f opisana je u narednoj teoremi. T e o r e m a 1 .2 .9 Neka funkcija f ima Maklorenov razvoj, f (x) = ^ ^ = 0 anx n, sa poluprecnikom konvergencije r > 0. Tada za svako a G ( —r, r), f ima Tejlorov razvoj u tački a , f ( x ) = Y ^ o ^ vergencije ri > r — |a|.

(x — a ) " ’ sa P°f-uPrečnikom kon-

Naglas avamo da uslov ri > r — |a| znaCi da Tejlorov red moze konvergirati u sirem intervalu nego sto je interval određen uslovom |x — a| < r — |a|.

—r

--------- (

0

r

»

)------

Interval konvergencije reda ^ ^ = 0 a^xn = f (x).

7Brook Taylor (1685-1731) Engleski matematičar. 1715 je ob ja vio rad o razvoju u beskonačni red ali, po običajim a onog vremena, nije se bavio pitanjem konvergencije. Te nedostatke je otklonio Lagranž (J.Z.Lagrange 1736-1813)

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi —r

41 a

r

0

-------- (------ -------)------•-------------------- )-----Interval u kojem red

^— j ^ - ( x ~ a )n sigurno konvergira.

D ok a z. Imamo da je oo

f (x)

oo

oo

n

/ \

= E °n x n = E “ n ((x —a ) + a ) n = a ^ E ( k ) a n-fc (x n=0 n=0 n=0 k=0

— a)*

Kako red oo

n

EE

/ \

oo

a ^ k ) a n -fc(x — a ) k =

n= 0 k=0

n | — a| + |a|) n E |an|(|x n

n=00

konvergira za sve x za koje je |x — a| + |a| < r, na osnovu teoreme 1 .1 . 1 0 . m o zemo promeniti redosled sumiranja, te je

f(x ) = E ( E ( l ) a n a n - M (x — a ) k k=0 \n=k ^ ^ /

k=0 \n=k

•____/ (W)( 0 ) .n -A k!(n — k)! n!

Uvoctenjem smene indeksa n — k = i, dobijam o

/w - f

£

k=0 Vi=0

!

J

^

!

=f

k=0

!

oo f (k) Da su koeficijenti bi~ u razvoju funkcije f { x ) = YkLo bk(x —a ) k jednaki — —— k! dokazuje se na isti na Cin kao u teoremi 1.2.7. Takode, na osnovu jedinstvenosti razvoja funkcije f u stepeni red u taCki a, sledi OO

/

\

f (k)(a) = k ! ^ ( J a n a n-fc n= k ' ' □

P r im e r 1 .2 .9 Stepeni red Y x n ima polupreCnik konvergencije

1

lim s u p ^ ^

1.

(a )

42


Neka je f (x) = T ^=0 x n, x £ ( —1,1). Kako je za svako x £ ( —1,1),

T xn

geometrijski red čiji je zbir --------, to je 1 —x f ( x ) = T—— , 1 —x

x G (-l,l).

Na osnovu poslednje teoreme, f (x) mozemo razviti u stepeni red u svakoj taCki a £ ( —1,1). Razvičemo ovu funkciju u stepeni red u tački a\ = \ i tački a2 =

Razvoj u tački \ ima oblik f ( x ) = T an(x — \)n ■ Kako je / (n)(x) = koeficijenti

1 - 2 ...........n( 1 — x ) _n _1 , to su, za a\ =

f(™)( i ')

_ J

\2> _ on+l , — ^ i n!

an —

te je

/(x) =nX)2n+1U-=0

2

Poluprecnik konvergencije ovog reda je ri = ---------------------------, = — = r — lai I. lim su p ^ ^ ^ $ 2 n+ 1 2

Ako je a.2 = —\, tada je f ( x ) = T bn(x + \)n, gde je / (n ) ( - i )

bn

. n!

_

(2

n

i Q \3

te je °o / o \ n+i /

/w=E(!)

1\ n

n=0

Polupre cnik konvergencije ovog reda je 1 r2 = ----------------,

i i 1 = x3 > r - | a2| = -.

l i m s u p ^ ^ y ( ž ) n+1 Uočimo da interval konvergencije ( 0 , 1 ) pri razvoju u tački \ ne izlazi izvan intervala konvergencije (-1,1) Maklorenovog razvoja, dok pri razvoju u tački —\ interval konvergencije (-2,1) izlazi izvan intervala konvergencije (-1,1) Maklorenovog razvoja. □

1.2.


1.2.6

43

Pregled najvažnijih osobina stepenih redova

Na osnovu razmatranja vezanih za funkcionalne redove i teorema navedenih u ovom odeljku, izdvajamo neke od vaznih elementarnih osobina stepenih redova. • Ako stepeni red T anx n konvergira za x = x 0 = 0, on apsolutno konvergira za sve x za koje je |x| < |x0|, a ako divergira za x = x 0 on divergira za sve x za koje je |x| > |x0|. • Ako stepeni red T anx n konvergira za neko x 0 = 0 i divergira za neko xi_ £ R, tada postoji jedan i samo jedan broj r > 0 takav da red konvergira za sve x takve da je |x| < r, a divergira za sve x takve da je |x| > r. Broj r nazivamo polupre Cnikom konvergencije, a interval ( —r, r) intervalom konvergencije stepenog reda T anx n . U svakoj ta Cki x £ (—r, r) red T anx n konvergira apsolutno (tj. red T |anx n |konvergira). • Na svakom zatvorenom intervalu [ a, b ] C ( —r, r), red T anx n uniformno konvergira. • Ako dva reda T anx n i T bnx n konvergiraju u istom intervalu ( —r, r) i u svim ta ckama tog intervala imaju iste sume, tada su ta dva reda identi cna (an = bn za sve n = 0 , 1 , 2 , . . . ) . • Ako je T n= 0 anx n = f (x) i T ^ = 0 bnx n = g(x), tada za svako x koje pripada preseku intervala konvergencije oba reda, vazi da je

f (x) ± g(x) ^ ( a „ ± bn)xn, n=0

• Stepeni red T anx n mo ze se diferencirati i integrirati Clan po Clan u intervalu konvergencije, naime za svako x, y £ ( —r, r) va zi

• Ako red T bn (x —a ) n ima polupre Cnik konvergencije r (tj. njegov interval konvergencije je (a— r, a + r ) ), tada njegovu sumu f (x) = T ^ = 0 bn( x —a ) n

44


moZemo razloZiti u stepeni red sa centrom u bilo kojoj tacki 0 € (a —r, a + r), i va Zi

n!

n=0

Poslednji stepeni red ima polupre Cnik konvergencije ri > r — |,0 — a|.

KaZemo da je f a n a litičk a fu n k c ija u ta ck i a ako postoji r > 0 takvo da je za sve x € (a — r, a + r) funkcija f suma nekog stepenog reda, tj.

OO

f (x) = E bn(x — a ) n . n=0 Svaka funkcija koja je analitiCka u taCki a, analitiCka je u nekoj okolini taCke a. Zbir, proizvod, kompozicija, kolicnik (gde je imenilac razlicit od 0) analitiC kih funkcija je ponovo analiti Cka funkcija.

• Neka funkcija f u nekoj okolini taCke a ima sve izvode. Ako u Tejlorovoj formuli

n=0

n!

ostatak R k(x) te zi ka 0 kad k ^ ro, tada je funkcija f analiti Cka u ta Cki a i postoji r > 0 tako da je

■ A f (n)(a) f ( x ) = } ------ ;— (x — a ) n n! n=0

za sve

x (E ( a — r, a + r).

Kazemo da je funkcija f razvijena u Tejlorov red u taCki a. Ako je a = 0, tada je ~ T

n=0

f (n)( 0 ) -------x G ( —r, r )

n!

i kazemo da je funkcija f razvijena u Maklorenov red.

1.2.


45

NavesCemo kako izgleda razvoj u Maklorenov red za neke elementarne funkcije koje zadovoljavaju poslednji uslov.

46


Glava 2

INTEGRALI FUNKCIJA VISE PROMENLJIVIH 2 .1 D v o s tr u k i in teg ra l

2 .2 K r iv o lin ijs k i in teg ra l 2 .3 In te g ra ln e fo r m u le v eze

U teoriji realnih funkcija realne promenljive, integral i pojm ovi vezani za njega zauzimaju centralno mesto. Osnovna ideja pri definisanju odredenog integrala funkcije f : [ a, b ] ^ R se ponavlja u drugim granama matemati Cke analize, obezbedujuCi aparaturu nezamenljivu kako u razvijanju matematiCkih teorija koje se oslanjaju na analizu, tako i veoma sirokom polju primene u tehnici, ekonomiji, prirodnim naukama i drugim oblastima U ovom poglavlju baviCemo se dvostrukim i krivolinijskim integralima realne funkcije vise realnih promenljivih. Citaocu Ce biti umnogome olaks ano praCenje izlaganja ako je dobro upoznat sa tehnikom, osnovnim definicijama i teoremama vezanim za integraciju realne funkcije realne promenljive. Osnovni pojm ovi, definicije i teoreme kao i tehnika izvodenja i dokazivanja raznih veza i odnosa integrala funkcije vise promenljivih, analogni su tehnici korisCenoj u teoriji integracije funkcije jedne realne promenljive. To je razlog zbog Cega je u izlaganju materije ove glave izostavljen dokaz veCine navedenih teorema. U 2 .1 obrađen je dvostruki integral. Navedene su osnovne definicije i osobine. Jedan deo posveCen je uvodenju smene promenljivih prilikom dvostruke integracije. 2 .2 posveCen je osnovnim definicijama i teoremama krivolinijskog integrala po du zini krive (I vrste) i po koordinatama (II vrste). Detaljno je obrađen slu Caj kad kriva pripada prostoru R 2. 47

48

Glava 2. IN T E G R A LI FUNKCIJA VIŠE PROM ENLJIVIH

2 .3 sadr ži integralnu formulu koje povezuju razne vrste integrala - formulu Grina koja povezuje krivolinijski i dvostruki integral.

2.1

Dvostruki integral

Dvostruki integral je jedna generalizacija odrectenog integrala f (x) f : [ a, b ] — R. U ovom sluCaju funkciju f zamenjujemo realnom funkcijom dve realne promenljive Ciji je definicioni domen zatvorena oblast
2.1.1

Definicija i osnovne osobine

Neka je
nazivamo in te g ra ln o m s u m o m fu n k c ije f koja odgovara podeli T i izboru tacaka M j G o^, i = 1, 2 , . . . , n. Pretpostavimo da imamo takav proces podele T pri kojoj n — ro, a istovremeno lim „ ^ TO^ ( T ) = 0. Ako postoji jedinstvena granicna vrednost I integralne sume s (T ) za svaku podelu T pri kojoj ^ ( T ) — 0 i n —>■ ^ , bez obzira na nacin izbora ta cke M j, tada tu grani cnu vrednost nazivamo d v o s tr u k im in te g r a lo m funkcije f nad oblascu
E

2.1.

Dvostruki integral

49

Za funkciju f kazemo da je in te g ra b iln a nad oblascu <7 . Drugim recima, za funkciju f kazemo da je integrabilna nad oblascu <7 ako postoji broj 1 takav da za svako e > 0 postoji £(e) > 0 takvo da za svaku podelu T oblasti
Z/K(x, y) + ,0g(x, y)] dxdy = a J J f (x, y) dxdy + ^ J J g (x ,y ) dxdy. 7

7

7

• Ako su <7i i a 2 dve oblasti bez zajednickih unutrasnjih tacaka, tada

J J

f (x ,y )

=

71U72

J J f (x ,y ) + J J g (x ,y ) dxdy. 71

72

• Ako je f (x, y) < g(x, y) za sve (x, y) €
J J f (x, y) dxdy < J J g(x, y) dxdy. J J f (x ,y ) dxdy

<

JJ

|f (x,y)| dxdy.

A k o je g = inf (x,y)e 7 f (x ,y ) i G = sup(x,y)e 7 f ( x , y ) , a oblasti
A a je povrsina

gA
Ako je f neprekidna nad obla scu a, tada postoji bar jedna tac ka (a, ,0) € <7 takva da je

J J f (x ,y ) dxdy = f (a ,^ )A a . 7 Neka je { a n} niz oblasti, <7 i D a 2 D •••takvih da je tac ka (a, 0 ) sadr zana u svakoj od njih i neka lim „^ TO d (a „ ) = 0, gde je d (a „ ) = maxA,B£ 7 n d(A, B ). Ako je A a „ povrsina oblasti a „, n = 1, 2 ,..., i akoje f funkcija neprekidna nad <7 i, tada vaz i lim — 1— [ [ f ( x , y ) d x d y = f ( a , P ) .

50


• Ako je funkcija f neprekidna nad zatvorenom oblascu 0 za sve (x, y) €
Slika 2.2. • Ako je f (x ,y ) = 1 za sve (x ,y ) €
P r im e r 2 .1 .1 Po definiCiji naCi integral

j j

f (x, y) dxdy =

dxdy

xydxdy.

0
R e s e n je . Kako je f (x, y) = xy neprekidna funkdja nad kvadratom a = {(x , y) € R 2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1}, naCiCemo graniCnu vrednost integralne sume za jednu podelu kvadrata
2.1.

Dvostruki integraJ

51

gornjem desnom uglu svakog kvadrata aik. Povrsina A a ik svakog kvadrata je ^ 2 , a /(M jfc) = i , k = 1 , 2 , . . . , n. Tada imamo

x y dxdy =

=

n n lim > > n—w n2 i= i k= i

i n2

=

i n n lim —r / i / k = n—— ô n i= l k=l

1 n (n + 1 ) n (n + 1 ) iim —r •-------------•-------------- = n—TO n 4 2 2

1

4 □

2.1.2

Izračunavanje dvostrukog integrala

Pokazacemo da se izracunavanje dvostrukog integrala može svesti na izracunavanje dva jednostruka integrala. Kao osnova za ovakav nacin izracunavanja služi sledeca teorema: T e o r e m a 2 .1 .1 Neka j e funkcija f neprekidna nad zatvorenom ohlašću a = {(x,y) R 2 : a < x < b, a (x ) < y < P ( x ) } , gde a,b € R, a < b, a : [ a , b ] ^ R, P : [ a,b ] ^ R, su neprekidne funkcije takve da j e a (x ) < ,0(x) za sve x G [ a, b ]. Tada važi

D ok a z. Razmotrimo n pravih na istom odstojanju x = x 0, x = x i, . . . , x = x n, gde je a = xo < x i < . . . x n = b, i n krivih y = y>o(x), y = p i(x ), ... , y = l(x) < ••• < Pn(x).

V = ( Pn(X )

y=
Slika 2.4. Opisana mreza linija deli oblast a na podoblasti a ik, a = U
52

GJava 2. IN T E G R A LI FUNKCIJA VIŠE PROM ENLJIVIH

Neka je mik =

min f (x ,y ), Mik = (x,y)e
max f (x ,y ). (x,y)£o-ik

Ako je x G [xi - :i ,x^] fiksirano, tada integracijom po y nejednakosti mik < f (x ,y ) < M ik u granicama od p k - i (x) do p k(x) dobijam o

mik[pk(x) - p k _ i(x )] <

rVk(x) / f ( x , y ) dy < M ik[pk(x) - p k _ i(x )]. ’ Vk-l(x) J
Integral u poslednjoj nejednakosti je neprekidna funkcija po x na intervalu [xi - :i , x^]. Integracijom poslednje nejednakosti po x u granicama od x i-:i do x^, znajuCi da je / [Pk (x) - p k _ i(x )] dx = A aik , J xi—i gde smo sa A a ik oznacili povrsinu povrsi aik, dobijam o

mik Aaik <

/•xi / rVk(x) / / f (x ,y ) dy xi—i y ./^k-i(x)

\ dx < Mik Aa^k. y

Sabracemo poslednje nejednakosti po k n

Tjmik Aaik < k=i

r'xi

= rxi

/

= A

nr xi / /■Vk(x) E / / f (x ,y ) dy k = i 1' xi—i \ Jvk—l (x) / n

/•Vk(x)

\

/xi —l \k= E ^/ Vk—1(x)f ( x , y^dy )

rč (x) / f ( x , y ) dy ^ (^ )

\ dx = )

dx =

\ n dx < V ' M ikA aik, ) k=i

i = 1 , 2 , . . . , n.

Poslednje nejednakosti sabiramo po i n

n

n

^

/

,■^(x)

E E mikAaik
/•b / /•£(x) / /f (x ,y ) dy A V -M x)

\ dx = /

\ n n dx < ^ E M i k A a ik . / i= i k=i

Sume ^ 2 ^ = mikAa^k i ^ ^ E * = MikAa^k predstavljaju donju i gornju integralnu sumu za opisanu podelu { a ik}, i,k = 0,1, 2 , . . . , n. Ako n ^ to, tada d(aik) ^ 0 za svako i, k G N. Kako je f neprekidna funkcija, ona je integrabilna, te kad n ^ ro donja i gornja integralna suma moraju teziti istoj

2.1.

Dvostruki integraJ

53

granicnoj vrednosti koja predstavlja dvostruki integral f j f ( x , y ) dxdy. Time smo dokazali da je

f l f f (x ,y ) dy\ dx = f f f (x ,y ) dxdy. Ja \Ja(x) ) JJ

□

Levu stranu poslednje jednakosti nazivamo p o n o v lje n im in te g r a lo m i krace ga zapisujemo sa rb / rf3{'x) / / f (x, y) dy J a \ J a(x)

\ dx = /

rb rfi{'x) dx / f (x ,y ) dy. Ja J a(x)

/

Vidim o da se ponovljeni integral izracunava na taj nacin sto prvo izvrsimo integraciju funkcije f (x, y) po promenljivoj y (smatrajuci x konstantom) u granicama od a ( x ) do 0 (x ), a zatim dobijenu funkciju A ( x ) integrisemo po x u granicama od a do b. Oblast 7 moze biti predstavljena u obliku 7 = { ( x ,y ) € R 2 , a < x < b, a (x ) < y < 0 (x ) } ako prave paralelne y-osi presecaju rub oblasti 7 u najvise dve tacke. Ukoliko je oblast 7 takvog oblika da prave paralelne x-osi presecaju rub oblasti u najvise dve tacke (slika 2.5), tada postoje funkcije a : [a , b ] ^ R, 0 : [ a,b ] ^ R takve da je a(y) < 0 (y) za svako y € [ a,b ] i da oblast 7 mozemo predstaviti sa 7 = {(x , y) € R 2 : a < y < b,

a( y) < x < 0 ( y ) } .

Ako su a i 0 neprekidne funkcije na [ a,b ] i ako je f (x, y) neprekidna funkcija nad 7, tada je b f (x, y) dxdy

dy

rf ( v) f ( x , y) dx *(y)

54


Ukoliko je oblast 7 takva da ni po x ni po y ne zadovoljava gore opisane zahteve (slik 2 .6 ), onda oblast 7 izdelimo na disjunktne podoblasti 7 1 , 7 2 , . . . , 7 m koje zadovoljavaju te uslove po nekoj od promenljivih i primenimo formulu

+ / ' + ••• + j2

ji P r im e r 2 .1 .2 Naci

xy dxdy, 0
xy dxdy 0x1 x2
R e s e n je . xy dxdy =

dx / /Q

0
xy dy =

I

dx J

x y dy = J

0

-d x= ~ . 2 4

^ *’ ^ dx = — .

0
□ P r im e r 2 .1 .3 Izmeniti redosled integracije u ponovljenom integralu /»2a dx J0

p\/2ax 2ax ______/ (x, y) dy.

J -\J2ax—x 2

R e s e n je .

/•2a {-\j2ax ,-a r a - ^ a 2- y 2 I dx I f (x ,y ) dy = dy I 2 f (x ,y ) d x + ul i0 J \/2ax—x 2 Jo 2a a 2a 2a 2a c22aa ____ / (x, y) d,x + dy I f ( x , y ) d x . + I dy I ■J0 Ja+Ja2- y 2 Ja J □

2.1.

Dvostruki integraJ

55

P r im e r 2 .1 .4 Naci povrsinu izmectu parabola y x € [0, 1].

=

x2 i y

1

1 f x — x ") dx = — 3

1

R e s e n je .

P

1 • dxdy

dx >0

dy J x2

0

ako

□

x2
tela

koje

se

nalazi

u

preseku

cilindara

R e s e n je . Kako je dobijeno telo simetriCno u odnosu na sve tri koordinatne ravni, njegovu zapreminu moZemo naCi ako 8 puta pomnoZimo zapreminu dela tela u prvom oktantu. a

(‘-s/a2—x

0

a (a2 — x 2)dx

\/a2 — x 2 đy = 8

dx

8

0

0

16a3 3 □

2 .1.3

Smena promenljivih u dvostrukom integralu

Pretpostavimo da je dato preslikavanje T jednaCinama x = x (u ,v ), y = y(u, v), takvo da uzajamno jednoznaCno preslikava otvorenu oblast 0 ravni uOv na otvorenu oblast 0' ravni xOy. Neka su funkcije x(u, v) i y (u ,v ) i njihovi prvi parcijalni izvodi neprekidni nad 0, takvi da je Jakobijan razliCit od 0, tj. J

_ 9(x,y) d(u,v)

xu yu

xv yv

= 0 , u, v € 0 .

56


Moze se dokazati da ovakva transformaCija liniju preslikava u liniju, oblast u oblast, a ako taCka u oblasti 0 opise zatvorenu po delovima glatku krivu, tada Ce i njena slika u oblasti 0' takode opisati zatvorenu po delovima glatku krivu. Takođe vazi da ako je (u, v) € 0 bilo koja taCka, ako je w C 0 oblast koja sadrzi taCku (u, v) i ako je o C 0' slika oblasti w (
•

To znaCi da je apsolutna vrednost Jakobijana transformaCije T u svakoj taCki (u, v) oblasti 0 jednaka koefiCijentu promene povrsine beskonaCno male oblasti koja sadrzi tu taCku. P r im e d b a . Jakobijan transformaCije T moze biti interpretiran kao jedna od dvodimenzionalnih generalizaCija obiCnog izvoda funkCije jedne promenljive. Zaista, ako je y = y(x) neprekidna i diferenCijabilna funkCija na intervalu (a, b), takva da y' oCuvava znak na tom intervalu, tada po teoremi Lagranza1, u svakom zatvorenom intervalu [a, ] C (a, b) postoji taCka £ € [a, ] tako da je y ( P ) — y( a) = y'(£)(P — a ). SuzavajuCi interval [a,,0] oko taCke £, dobijam o

ll™0 d = IžAOI, gde smo sa d oznaCili duzinu intervala [a, ,0], a sa 5 duzinu intervala na y-osi koji je slika intervala [a, ,0]. To znaCi da prvi izvod funkdje y = y(x) interpretiramo kao koefiCijent promene duzine beskonaCno malog intervala koji sadrzi taCku £. □ Razmotrimo sada dvostruki integral f j f (x ,y ) dxdy funkCije f (x ,y ) neprekidne nad zatvorenom oblasti
Moze se pokazati da poslednja formula vazi i u sluCaju kada transformaCija T zadovoljava navedene uslove u svim taCkama oblasti 0 osim duz konaCno mnogo glatkih krivih, pod uslovom da funkCija f (x, y) i Jakobijan ostanu ograniCeni u tim taCkama. Smena promenljivih koju najCesCe sreCemo kod dvostrukih integrala je s m e n a p o la r n im k o o r d in a ta m a gde je x = r Cos <^> ,

y = r sin y>,

J (r, ^ ) = r.

J o s e p h Louis Lagrange (1736-1813) - Francuski matematicar. Postao profesor sa 19 godina. Njegovi najpoznatiji rezultati su iz oblasti varijacionog racuna i analiticke mehanike.

2.1.

Dvostruki integraJ

57

Ova transformaCija kruzni iseCak u xO y ravni preslikava u pravougaonik u rOif ravni.

w

Slika 2.10. P r im e r 2 .1 .6 NaCi JJ" ex +y dxdy, gde je
y = rs in ^ ,

0 < p < —,

1 < r < 2.

Tada je e x +v dxdy =

jj

er \J\ drdip

J

^ J ^V

= 4^

~

□ P r im e r 2 .1 .7 IzraCunati povrs dela paraboloida x 2 + y 2 = z koju iseCa Cilindar x 2 + y 2 = 1.

R eS en je. Kako je zx = 2x i z y = 2y, imamo AS =

JJ \Jl +

4x2 + 4y 2 dxdy,

58


gde je
A

S = J J r\J 1 + 4r 2 drdtp = J

d
Prelaskom na polarne koordinate,

J

r\J 1 + 4r2 dr = —(5a/5 — 1) .

□

2.1.4

Povrs u R3 i izračunavanje njene povrsine

Ponovicemo u najkracim crtama osnovne definicije vezane za povrs u R 3, sa kojima se Citalac upoznao na ranijim kursevima analize. Neka je D zatvorena oblast u R 2 ograniCena po delovima glatkom krivom L i neka je povrs S C R 3 zadata jednaCinama x = x(t, u),

y = y(t, u),

z = z (t,u ),

(t,u ) G D.

P r im e r 2 .1 .8 Parametarske jednaCine x = sin t cos u,

y = sin t sinu,

z = cos t,

t G [0 , 2 n],

u G [0 ,n].

predstavljaju jedinicnu lopte sa centrom u koordinatnom pocetku.

□

Ako je preslikavanje oblasti D na povrs S obostrano jednoznacno, i ako su svi parcijalni izvodi funkcija x (t,u ), y (t,u ) i z (t ,u ) neprekidni, a rang matrice xt xu

yt yu

zt zu

je jednak 2 za sve (t, u) G D, tada je povrs glatka. Povrs S je p o d e lo v im a gla tk a ako se moze izdeliti na konacan broj glatkih povrsi. Ako je povrs glatka, tada u svakoj tacki (t0, u0) G D postoji tangentna ravan cija je jednacina x - xo xt xu

y - yo yt yu

z - zo zt zu

0

pri cemu je xo = x (to , uo), yo = y(to, «o ), zo = z(to, uo). V e k to r n o r m a le povrsi S u tacki (to, uo) G D je vektor normale tangentne ravni u toj tacki. Glatka povrs S se naziva d v o s tr a n o m ako pri kretanju po svakoj zatvorenoj krivoj u S koja ne preseca granicu S , neprekidno menjajuci vektor normale

2.1.

D vostruki integral

59

pri kretanju tačke po krivoj, vraćam o se u istu tačku lcrive sa istim sm erom vektora normale. Na slici je dat primer površi koja nije dvostrana.

slika 2.12. Ravan, lopta, elipsoid, paraboloiđ i sve površi zadate funkcijom z = / ( x , y ) , gde su / , f X) f y neprekidne funkcije nad oblašću Z), su dvostrane, glatke površi. U daljem tekstu nećem o svaki put naglašavati da, je površ p o delovim a glatka i dvostrana, tj.

podpovrši uvekćemopodrazumevati podelovima glatku, dvostranupovrš.

U 2.1.1. smo videli na koji način se pom oću dvostrukog integrala m ože izračunati površina ravne figure. Pokazaćem o na koji način se korišćenjem dvostrukog integrala m ože izračunati površina površi S u l 3 koja nije ra-vna figura. Ne gubi se na opštosti ako pretpostavim o da je površ S zadata param etarskim jednačinam a x = £, y = u, z = z ( t , u ) = z ( x , y ) , ( x , y ) G cr, što kraće zapisujemo sa z = z(x^y)^ ( x yy) G cr. Postupak i zaključci su analogni i u slučaju kad površ S nema ovakvu jednostavnu formu. Neka je površ S zadata jednačinom z = z(x, y)> gde funkcija z ( x , y ) ima neprekidne parcijalne izvode zx i zy u zatvorenoj m erljivoj oblasti cr k oja predstavlja projekciju S na x O y ravan.

Neka {
60


U svakoj od oblasti <7 j izaberemo proizvoljnu tacku Pj = Njoj na povrsi Si odgovara tacka M j = (£j, n®, C*), Z = z (&, n*)- U tacki M j postavljamo tangentnu ravan na povrS S i sa Tj oznacimo onaj deo ravni koja se na xO y ravan projektuje na oblast Sa A Tj oznacimo povrsinu ravne figure Tj. Ako za svaku podelu T oblasti ni) y i= 1

JJ

=

\Jl + zl { x , y ) + z 2( x , y ) dxdy,

tj. AS =

1 + zX + z^ dxdy.

Poslednja formula omoguCava da koriSCenjem dvostrukog integrala izraCunamo povrsinu povrsi S zadatu jednaCinom z = z(x , y), (x ,y ) G
JJ

+ z 2 + z 2 dxdy

Proj x0yS moZe se smatrati uopstenjem formule za izraCunavanje duZine krive L pomoCu odrečtenog (jednostrukog) integrala. Naime, ako je diferenCijabilna kriva L C R x zadata ekspliCitno jednaCinom y = y (x ), x G [ a, b ], tada je formula za izraCunavanje njene duzine = AL=

=b

J

\/l + y 2 dx =

projo^L

J

\/l + y 2 dx.

□

a

P r im e d b a 2. U sluCaju da je povrs S zadata jednaCinom oblika y = y(x, z ) ili x = x(y, z), tada S projektujem o u xO y ili yO z ravan i ponovim o gore opisani postupak. P r im e d b a 3. Ukoliko je povrs S zadata parametarskim jednaCinama x = x(t, u), y = y(t, u), z = z(t, u), (t, u) G D , tada je

As = J J

^ A B - C 2 dtdu,

D gde je A = x y + yy + zy, B = xU + yy + zy i C = x tx „ + yty„ + ztz„.

62


P r im e r 2 .1 .9 NaCi povrSinu povrSi tela ograniCenog povrSima x 22 +i z 22 = 1i2,y i2 +2 z 2 =i 1 .

R e s e n je . Na osnovu simetrije tela, njegovu povrSinu m ožemo izraCunati kao 16P gde je P polovina dela povrSi u prvom oktantu (slika 2.15). Taj deo se na x O y ravan projektuje u trougo 0 < x < 1, 0 < y < x i ima jednačinu z = \/ 1 — x ? . AS =16

J j \Jl + z 2 + z 2 clxđy = 16 J^ dx J^

^

^ ^ z = 16.

0
□

2.2


Krivolinijski integral predstavlja joS jedno uopStenje određenog integrala realne funkcije definisane nad intervalom [ a, b ], a, b G R. U sluCaju odrectenog integrala f (x) dx, integracija se vrSi duž intervala [ a, b ] C R, dok se kod krivolinijskog integrala integracija vrSi duž krive L, gde L pripada R 2 Pretpostavimo da je u xO y ravni zadata funkcija u parametarskom obliku x = x(t),

y = y(t),

t G [a ,^ ].

Preslikavanje t ^ (x (t),y (t )) skupu tacaka intervala [a, ^ ] pridružuje skup tacaka L C R 2 koji pod određenim uslovima naživamo krivom. Kažemo da je kriva L gla tk a ako su izvodi x = i y = neprekidni i x 2 + y 2 = 0 ža sve t G [a, P] (tj. ić i y nisu istovremeno jednaki 0). Kriva L je glatka po delovima, ako je možemo podeliti na konacan broj glatkih krivih. Ako je kriva L po delovima glatka i ako je preslikavanje t ^ (x (t),y (t)), t G [a, ^], obostrano jednožnacno, sem Sto se, eventualno, tacke ( x ( a ) ,y ( a ) ) i (x (^ ),y (^ )) mogu poklopiti, tada krivu L naživamo p u t a n jo m .

2.2.


63

P r im e r 2 .2 .1 Preslikavanje t ^ (t 2 ,t 4), t G [—1,1], nije obostrano jednoznacno s obzirom da svaka tacka krive L, sem tacke (0,0 ), predstavlja

sliku dve tačke iz intervala [—1,1]. Tako je, recimo, tačka (| ,| ) £ L slika tačaka i — jfj. Ukoliko je definicioni domen parametra t interval [0,1], preslikavanje definisano sa x = t2, y = t4, t G [0, 1] jeste obostrano jednoznačno.

□

P r im e r 2 .2 .2 Kriva x = |t|, y = t, t G [-1 ,1 ], nije glatka jer X(0) nije definisano.

Slika 2.17. Kriva x = t 3 , y = t 2 , t G [-1 ,1 ], nije glatka jer je X2 (0) + y 2 (0) = 0. Obe krive su p o delovima glatke. □ Tačku A G L koja odgovara vrednosti parametra a, A = ( x(a), y( a) ), nazivamo p o c e t n o m ta ck o m , a tačku B G L, koja odgovara vrednosti parametara , B = (x(fi),y((3)), nazivamo k r a jn jo m ta č k o m putanje L. Razlikujemo dva smera kretanja na putanji L : od tačke A ka tački B i od tačke B ka tački A. Kazemo da su ova dva smera suprotna jedan drugome. Ako je A = B kazemo da je L z a tv o r e n a p u ta n ja . U tom slučaju, početna i krajnja tačka, koje se poklapaju, ne određuju smer kretanja po putanji. Ako je vazno istači da se tačka kreče po putanji u odredenom smeru, tada u svakom posebnom slučaju opisujemo o kakvom kretanju se radi. Ukoliko zatvorena putanja L lezi u x O y ravni tada, u koordinatnom sistemu desne orijentačije, uobičajeno je da smer kretanja suprotan kretanju kazaljke časovnika nazivamo pozitivnim smerom, a suprotan smer od pozitivnog je negativan.

64


Koordinatni sistem desne orijentacije sa pozitivno orijentisanom krivom

Koordinatni sistem leve orijentacije

Slika 2.18.

2.2.1

Krivolinijski integral po dužini krive (I vrste)

Pretpostavimo da je L putanja u xO y ravni sa pocetnom tackom A i krajnjom tackom B , i neka je f : D ^ R ogranicena funkcija definisana nad oblaScu D C R koja sadrži putanju L. Na L izaberemo redom proizvoljne taCke A = T o , T i , . . . , Tn - i , T n = B koje dele putanju L na n delova i to nazivamo p o d e lo m T .

Slika 2.19. Dužinu putanje izmedu taCaka T i_i i T i, i = 1, 2 , . . . n obeležavamo sa Al^. Neka je M j = (&, n-i) proizvoljna taCka na delu putanje između taCaka T j_ 1 i Ti. Sumu

n s(T ) =

] T f (M i)A li = i =1

n ] T f (£i,ni)A1i i =1

nazivamo in te g ra ln o m s u m o m fu n k c ije f u odnosu na podelu T . OCigledno je da integralna suma zavisi od naCina podele putanje L i od naCina izbora taCaka M j, i = 1, 2 , . . . , n. Neka je ^ ( T ) = mai^^^^^ A l ^. Razmotrimo proCes podele pri kome n ^ ro, a ^ ( T ) ^ 0. Ako postoji jedinstvena graniCna vrednost I integralne sume s ( T ) za svaku podelu pri k ojoj n ^ i ^ ( T ) ^ 0 , bez obzira

2.2.


65

na naCin izbora taCke M^, tada tu graniCnu vrednost nazivamo k r iv o lin ijs k im in te g r a lo m p o d u ž in i k riv e funkCije f (x ,y ) duz krive L i pisemo n 1 =

„

n m f ( M i) A i i = m(T)^0 ^=1

/ f ( x , y^d i . jL

Drugim reCima, broj I je krivolinijski integral po duzini krive, ako za svako e > 0 postoji 5(e) > 0 tako da za svaku podelu T za koje je ^ ( T ) < 5, nezavisno od izbora taCke M^, vazi |s ( T ) — I | < e. Ako zelimo da naglasimo da seintegraCija duz putanje taCke A do krajnje taCke B, tada pisemo / f (x, y) dl JL(AB)

L vrsi od poCetne

ili f (x, y) dl . J(AB)

Primetimo da na vrednost ovog integrala ne utiCe smer kretanja duz putanje L, jer u integralnoj sumi s ( T ), Al^ (duzina putanje izmedu Tj - 1 i Ti) uvek je pozitivan broj bez obzira na redosled navodenja taCaka. Naime, dobija se ista vrednost bilo da A smatramo poCetnom a B krajnjom taCkom ili da B smatramo poCetnom a A krajnjom taCkom putanje L, tj. [ f (x ,y ) dl = [ f (x ,y ) dl. J l (a b ) J l (b a ) Krivolinijski integral po zatvorenoj putanji L obiCno oznaC avamo simbolom L Sto se tiCe ostalih osobina krivolinijskog integrala po duzini krive, one su sliCne (a i na sliCan naCin se dokazuju) osobinama određenog integrala realne funkCije realne promenljive. Navodimo nekoliko najvaznijih osobina: Pod uslovom da svi navedeni integrali postoje, va zi • Za svako a, ,0 G R / [ a f ( x , y ) + ^ g (x ,y )j dl = a / f (x, y) dl + W g (x ,y ) dl. JL jl jl • Ako je putanja L podeljena na dve putanje L 1 i L 2 , tada je f (x ,y ) dl =

f f (x ,y ) dl + f f (x, y) dl. J Li JL2

^ f (x ,y ) dl < [ |f (x,y)| dl. L L Ako je f (x, y) > 0 neprekidna funkCija nad L, tada / L f (x, y) dl postoji i jednak je povrsini CilindriCne povrsi S obrazovane izvodniCama paralenim z-osi koje se kreCu duz putanje L, ograniCenoj xO y ravni i povrsi z = f (x, y) (slika 2.20).

66

Glava 2. IN T E G R A LI FUNKCIJA VIÊ PROM ENLJIVIH

Slika 2.20. Ukoliko je funkCija f neprekidna nad putanjom L koja je zadata u parametarskom obliku jednaCinama x = x(t), y = y(t), t G [a,,0], tada je dl = \JX1 + y 2dt, te važi f(x,y)d l= /

f f ( x ( t ) , y ( t ) ) y / x 2 + y 2 d.t . Ja

Primetimo da je dl = \Jx? + y 2 dt > 0 jer je a < j3 i da je f _ L f ( x , y) dl = fa y(t)) V'^2 + i/2 dt = f L f ( x , y) dl, odnosno, prilikom smene, uvek navodimo a i ^ u istom redosledu bez obzira na orijentaCiju L. Ukoliko je funkCija f neprekidna nad putanjom L koja je zadata u ekspliCitnom obliku y = y(x), x G [ a, b ], tada je r-b [ f ( x , y ) d l = f f ((x, x , yy((x) x ) ) \ J l + y ,2dx. JL Ja P r im e r 2 .2 .3 NaCi J (2 — x — y) dl, gde je L deo jediniCne kruzniCe sa Centrom u (0,0 ) u prvom i Cetvrtom kvadrantu xO y ravni. R eS en je. Kako je L zadato sa x = Cos t ,

y = sin t ,

t G

n n 2

’

2

2.2.


67

Slika 2.21.

J

( 2 — x — y) cll =

J

( 2 — c o s t — s in f)^ /( — sin f)2 + (co s t ) 2 dt = 2 ( 7r — 1 ). □

P r im e r 2 .2 .4 Naci J (2 — x — y) dl gde je L deo jedinicne kružnice sa centrom u (0, 0) u prvom i drugom kvadrantu x O y ravni. R e š e n je . U ovom slučaju, putanju L možemo izraziti u eksplicitnom obliku y = %/1 — X1, x € [—1,1]. Kako je tada dl = \J(1 — x 2 ) - 1 dx, to je traženi integral

J = 2

1

( 2 — x — y) dl =

dx

1

J

xdx

(2 — x — v / l — x 2) \/(1 — x 2) 1 dx =

J

dx = 2 n — 0 — 2 = 2 (n — 1 ).D

- l %/1 — x 2J—i %/1 — x

2.2.2

Krivolinijski integral po koordinatama (II vrste)

Neka je L C R 2 putanja sa poCetnom taCkom A i krajnjom taCkom B i neka je f : D ^ R ograniCena funkcija definisana nad oblaSCu D C R 2 koja sadrži putanju L. Skup taCaka A = T0, T\,. . . , T n = B, T0, T\,. . . , T n G L, je podela T putanje L. Na delu putanje između taCaka T j_ i i Tj izaberemo proizvoljnu taCku M j = (î,ni), i = 1, 2 , . . . ,n.

Slika 2.22.

68


Dalje, neka je Ti =

, yi), i = 1, 2 , . . . , n i neka je Ax^ = n

—x^-i. Tada sumu

n

sx (T ) = Y f ( M i ) A x i = ^ 2 f (&, n )A x i i =1 i=1 nazivamo in te g ra ln o m s u m o m fu n k c ije f u odnosu na podelu T . Neka je limn^ TO^ ( T ) = limn^ TOmai^^j^^ Al^ = 0. Ako postoji jedinstvena granicna vrednost I x integralne sume sx ( T ) za svaku podelu pri kojoj n ^
f ( x , y ) dx. L

To drugaCije m ozemo reCi na sledeCi naCin: B roj I x je krivolinijski integral po apcisi ako za svako e > 0 postoji 5(e) > 0 tako da za svaku podelu T za koju je y«(T) < 5, nezavisno od izbora taCaka M^, vazi |sx( T ) — I x |< e.

Osnovne osobine ovog integrala, ako svi navedeni integrali postoje, su:

Za svako a, 0 £ R

/ [ a f (x, y ) + flg(x,y)\ dx = a f ( x , y ) dx + 0 g ( x , y ) dx. Jl Jl Jl

Ako je putanja L podeljena na dve putanje L 1 i L 2, tada

/ f ( x , y ) dx = / f ( x , y ) dx + f ( x , y ) dx. JL J Li J L2

/ f ( x , y ) dx = — f ( x , y ) dx. J l (a b ) JL(BA) l (b a )

f (x, y ) dx < J

|f (x,y)| dx .

L Ako je f ( x , y ) > 0 neprekidna funkdja nad L, gde je L putanja y = y( x), x £ [ a,b ], tada je |JL f ( x , y ) dx\ jednak povrsini projekCije S ' CilindriCne povrsi S na x O z ravan.

2.2.


69

Slika 2.23. Ako je putanja L zadata u parametarskom obliku, x = x(t), y = y(t), t G [a, ] i ako je f neprekidna funkcija nad L, tada f L f (x, y) dx postoji

f f ( x , y ) dx = [ f ( x ( t ) , y ( t ) ) x dt . JL Ja Primetimo da, za razliku od sliCne osobine krivolinijskog integrala I vrste, kod ovog integrala vaZi f _ L f (x, y) dx = f ^ f (x(t), y (t))x dt = — f L f (x, y) dx. Ukoliko je putanja L zadata jednaCinom y = y(x), x G [a , b ], tada je f ( x , y ) dx =

,b f ( x , y ( x ) ) dx. Ja

• Ako je L zatvorena putanja, tada vrednost integrala ne zavisi od izbora poCetne taCke A (poCetna taCka A se poklapa sa krajnjom taCkom B ). Smer kretanja po putanji L je unapred zadat i vrednost integrala zavisi od smera kretanja (kad se promeni smer, promeni se znak integrala). Analogno se moze definisati i k r iv o lin ijs k i in te g ra l I y p o o r d in a ti funkCije f duz putanje L kao n 1y =

„

iia f ( M i ) A yi = f ( x , y ^dy. m(T)^0 i=1 jL

Ovaj integral ima iste osobine kao krivolinijski integral po apsCisi. P r im e r 2 .2 .5 NaCi ( 2 — x — y) dx,

L gde je L izlomljena linija sastavljena od duzi M = (1,1 ), B = (0,1).

AM

MB,

A = (1 , 0 ),

70


R eS en je. I =

(2 — x — y) dx = Jl

/ (2 — x — y) dx + / (2 — x — y) dx = Ii + I 2. Ja m Jm b

Kako je parametarski oblik jednaCine duzi A M x = 1 , y = t, t G [0,1], imamo da je dx = 0, te je I\ = 0. Parametarski oblik jednaCine duzi B M je x = t, y = 1 , t G [0,1], te je dx = dt. I = I\ + T = 0 —

f

(2 — x — y) clx = —

Jb m

f

(2 — t — 1) dt = —— .

J0

2

Kako je duz krive L, 2 —x —y > 0, to je |/ L(2 —x —y) dx| jednaka povrsini figure u x O z ravni koju dobijam o projekCijom A A M A i i A B M B i na ravan xOz, sto je i

□

Pretpostavimo da su P i Q funkdje P : D ^ R i Q : D ^ D C R 2 oblast koja sadrzi putanju L i pretpostavimo da integrali / P ( x , y ) dx L L

i

R, gde je

/ Q ( x , y ) dy

postoje. Tada definisemo op S ti k riv o lin ijs k i in te g ra l sa / P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = f / P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy . Jl Jl Jl Veza između krivolinijskog integrala po duzini krive i opsteg krivolinijskog integrala je zadata formulom / P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = L L

( P (x,y)C os a + Q (x ,y )C o s 0) dl

gde a i 0 predstavljaju uglove koje tangenta parametarski zadate putanje L, orijentisana u smeru rasta parametra t , zaklapa sa pozitivnim smerom x -ose, odnosno y-ose.

2.2.


71

N a p o m e n a . Ukoliko je putanja L zatvorena putanja, cesto umesto oznake za krivolinijski integral / koristimo oznaku Jl Jl

2 .2.3

Nezavisnost opsteg krivolinijskog integrala od putanje integracije

Pretpostavimo da su funkcije P (x, y) i Q (x, y) definisane nad nekom oblaScu D C R 2. Ako su A i B bilo koje taCke iz D , njih m ozemo povezati pomoCu razliCitih putanja koje leze u oblasti D. U opstem sluCaju integral / P dx + Q dy JL(AB) zavisi od putanje duz koje vrsimo integraciju. Pod izvesnim uslovima vrednost integrala f P dx + Q dy je ista, bez obzira duz koje putanje od A do B vrsimo integraciju. Neka su P : D ^ R i Q : D ^ R ograniCene funkcije nad oblasCu D. Kazemo da opsti krivolinijski integral f P dx + Q dy n e z a v isi o d p u ta n je in te g ra cije nad oblasCu D ako za bilo koje dve taCke A, B G D i bilo koje dve putanje L 1, L 2 iz D koje povezuju taCke A i B vazi da je P dx + Q dy = P dx + Q dy. 'Li(AB) lL2(AB)

Slika 2.26.

72


U slucaju nezavisnosti od putanje integracije, pri zapisivanju integrala dovoljno je naznaCiti poCetnu i krajnju taCku puta integracije, te piSemo P

+ Q dy.

AB SledeCe tri teoreme daju ekvivalentne uslove nezavisnosti od putanje integracije integrala f P + Q dy nad oblasCu D C R 2. T e o r e m a 2 .2 .1 f P d x + Q ne zavisi od putanje integracije nad D ako i samo ako je za svaku zatvorenu putanju L C D P

+ Q dy = 0.

L D ok a z. Neka je L zatvorena putanja u D i neka taCke A i B pripadaju putanji L. AmB=Li , B 'L

AnB=L2 L=L\

Slika 2.27. Tada P

+ Q dy =

L

P

+ Q dy +

'AmB

/ P J BnA

+ Q

=

/ P d x + Q dy — / P d x + Q dy, f AmB J AnB te, iz poslednje jednakosti, sledi ekvivalenCija P d x + Qdy = 0 L

^

P d x + Qdy = / P d x + Q d y. «/ AmB «/ AnB □

T e o r e m a 2 .2. 2 f P + Q ne zavisi od putanje integracije nad D ako i samo ako postoji funkcija V : D ^ R takva da je dV = P + Q i tada vazi da je f P d x + Q dy = AB

f dV = V ( B ) — V (A ). AB

Ako je dV = P + Q dy, tada je Vx = P, Vy = Q, gde smo sa Vx, i Vy oznaCili parCijalne izvode funkdje V po x i y respektivno. OCigledno, funkCija V u ovom sluCaju igra ulogu primitivne funkCije kod odrectenog integrala, za koji znamo da vazi I f (x) = F (b) — F (a ), a

gde je

dF = fd x .

2.2.


73

Funkciju V nalazimo uz pom oc krivolinijskog integrala duž bilo koje putanje L koja povezuje taCke (a, b) i (x, y) koje leže u D . Ako izaberemo putanju sastavljenu od duzi paralelnih koordinatnim osama, dobijam o

V (x , y)

P (t, b) dt +

y / Q (x, t) dt + C , b

(*,y)

(x,6)

(a,6)

Slika 2.28. gde (a, b) G D. T e o r e m a 2 .2 .3 Ako su funkcije P, Q, P y, Q x neprekidne nad jednostruko povezanom oblašcu D , tada j e integral f P d x + Q dy nezavisan od putanje integracije nad D ako i samo ako j e Py = Q x . P r im e r 2 .2 .6 Ako je P ( x , y ) = x + y,

Q (x, y ) = x — y,

tada je Py = Q x za sve (x, y) € R 2. Nalazimo funkciju V : R 2 ^ R

V(x, y ) =

t'x

(t + 0) ctt + /

Jo

t'y

x2 - y2

(x —t) dt = ---- --------1- xy + c.

Jo

2

Funkciju V (x , y) m ozemo naCi i na drugi naCin: Kako je Vx = P , ako izvrsimo integraciju po x, dobijam o da je v (x , v) = ^ x2 + x y + f('ž/)> gde je konstanta integracije funkcija ^ (y), koja zavisi samo od y. Vy = Q, sledi da je x + p'(y) = x - y ,

p (y ) = ~ \ y 2 + c.

p'(y) = - y ,

Konacno, imamo 1 2

v (x , y) = 7>x ~ + x y -

x 2 —y2

1 2

+ c =

—

-------------- h

xy

+

c.

□

Iz uslova

74


2.3

Integralne formule veze - formula Grina

Ova formula uspostavlja vezu između dvostrukog i opsteg krivolinijskog integrala. F orm u la G rin a . Neka je a C R 2 zatvorena oblast ogranicena pozitivno orijentisanom, zatvorenom putanjom L i neka su realne funkcije P , Q, Py, Q x neprekidne nad nekom otvorenom oblašću koja sadrži a. Tada

JP

dx + Q

=

JJ (Qx

- Py)

D ok a z. Pretpostavimo najpre đa oblast a ima specijalan oblik,

Slika 2.29. a = {(x , y) G R 2 : a < x < h(x) < y < g (x )}, gđe a, 0 G R, h(x) i g(x) su neprekiđne funkcije nađ [a, ,0] takve đa je za sve x G [a, ^ ], h(x) < g(x) (slika 2.29). Funkcije P i P y su neprekiđne nađ otvorenom oblasCu koja sadrZi
Zaista, rP

Py ( x, y) dxdy =

rs(x) rP dx / Py(x ,y ) dy = [ P ( x ,g ( x ) ) — P (x , h(x) )] dx = Ja J h(x) Ja

ra rfi r = — / P ( x , g ( x ) ) d x— / P (x , h(x) ) dx = — / P ( x ,y ) d x — / ./a ./Li(BiAi) —P (x , y) dx — / J l 2(AB)

r P (x , y) d x — J Ai A

P ( x ,y ) dx = — ® P (x , y) dx, J BBi Jl

gđe smo sa L i oznaCili krivu y = h(x) orijentisanu ođ taCke A prema taCki B, đok smo sa L 2 oznaCili krivu y = g(x) orijentisanu ođ taCke B^ prema taCki A i. Integrali / P dx AAi

i

/ P dx J BBi

2.3.

Integralne formule veze - formula Grina

75

su jeđnaki 0 jer su duzi A A i i BB^ paralelne sa osom Oy, te je dx = 0. Time smo đobili đa je P y dxdy =

P dx. L

Ukoliko oblast P dx, i = 1, 2 , . . . , k. Li

SabirajuCi sve jeđnakosti đobijam o

| — / / Py dxdy I

(j> P dx.

Leva strana posleđnje jeđnakosti je jeđnaka — f j P y dxdy, a đesna strana je jeđnaka f L P dx, jer se svi krivolinijski integrali po vertikalnim linijama pođele potiru, sto znaCi đa je P y dxdy = J P dx. L Analogno đokazujemo đa je

Qx dxdy = j ) Qdy, L gđe oblast
76

Glava 2. IN T E G R A LI FUNKCIJA VIÊ PROM ENLJIVIH

a, b € R, u(y) i v(y) su neprekiđne funkdje nađ [ a, b ], takve đa je za sve y € [ a, b ], u(y) < v(y) (slika 2.31), a funkdje Q i Q x su neprekiđne nađ zatvorenom oblasCu Ciji je rub pozitivno orijentisana zatvorena putanja L^. Ako je oblast
P dx,

L

J J Q x dxdy

= j Q dy,

(7

L

onđa sabiranjem posleđnje đve jeđnakosti đobijam o fo rm u lu G r in a koja glasi J J (Qx — Py) dxdy = J P dx + Q dy.

Svaka oblast a ograniCena zatvorenom putanjom L moze se pređstaviti kao unija đisjunktnih oblasti koje zađovoljavaju gore opisane uslove, sto znaCi đa za nju takođe vazi formula Grina. □ P r im e r 2 .3 .1 IzraCunati I = j

x y 2 d y—x 2y d x , gđ eje L kruzniCa x 2+ y 2 = a2.

R e s e n je . Neka je
dip J

7

r 3 dr =

7ra4 “ iT ’

gđe je x = r Cos y>,

y = r sin y>,

0 < r < a,

0 < ^ < 2n. □

Glava 3

KOMPLEKSNA ANALIZA 3.1 K o m p le k s n i b r o je v i 3 .2 K o m p le k s n a fu n k cija k o m p le k s n e p r o m e n ljiv e - op S ti p o jm o v i 3 .3 I z v o d 3 .4 A nalitiC ka fu n k cija 3 .5 E le m e n ta rn e fu n k cije 3 .6 V iSeznaC ne fu n k cije 3 .7 K r iv o lin ijs k i in te g ra l u C 3 .8 R a z la g a n je a n a litick e fu n k c ije u re d 3 .9 K la s ifik a cija iz o lo v a n ih s in g u la r ite ta 3 .1 0 R e z id u u m 3 .11 Iz ra cu n a v a n je o d r e d e n ih in te g ra la p o m o ^ u re z id u u m a 3 .1 2 A n a litic k o p r o d u z e n je 3 .1 3 K o n fo r m n a p reslik a v a n ja

Ova glava je posveCena teoriji kompleksne funkCije kompleksne promenljive. Pojam kompleksnog broja uveđen je prvi put u X V I veku kao koren kvađratne jednaCine sa negativnom điskriminantom. Naziv ” kompleksan b roj” uveo je K. Vajerstras 1881 gođine. Za razvoj teorije kompleksnih brojeva posebno je znaCajan momenat kađ je đokazana teorema đa svaka algebarska jednaCina n-tog stepena sa kompleksnim koefidjentima ima n kompleksnih korena. Do tađa je postojala hipoteza đa Ce, sliCno kao sto je kvađratna jednaCina đovela đo uvođenja kompleksnog broja, za resavanje jednaCina stepena n = 3 ,4 , ..., biti nuzno uvođiti nove vrste brojeva. 77

78

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

Pojam kompleksnog broja pređstavlja prosirenje pojm a realnog broja. Mnoga pravila aritmetike realnih brojeva su preneta na kompleksne brojeve. Tema ovog poglavlja je teorija kompleksne funkCije kompleksne promenljive, koja razvija mođele i aparaturu primenljivu ne samo u đrugim oblastima matematike, nego i u svim tehniCkim naukama. U ranijim kursevima upoznali smo se sa algebarskim operaCijama uveđenim u skup kompleksnih brojeva. Primetimo đa, ukoliko ne uveđemo nove operaCije, pomoCu osnovnih algebarskih operaCija mozemo definisati samo raCionalnu funkCiju. Izrazi oblika ij , sin(2 + i), ln i i sliCno, liseni su svakog smisla bez definiCije eksponenCijalne, sinusne, logaritamske funkCije kompleksne promenljive. Neke đefiniCije, teoreme i đokazi teorema u kompleksnoj analizi pređstavljaju đirektnu generalizaCiju analognih pojm ova i postupaka u realnoj analizi i ne đaju nista novo i neoCekivano. Te sluCajeve neCemo đetaljno obrađivati. Posebnu paznju obratiCemo na đelove kompleksne analize koji se bitno razlikuju ili đaju nesto sustinski novo u ođnosu na realnu analizu. BiCe naveđeni đokazi samo onih teorema koji ne zahtevaju veoma komplikovan matemati Cki aparat, koji sadrze elemente bitne za razumevanje odgovarajuCe teoreme ili sadrze postupak koristan za kasniju primenu same teoreme. 3 .1 i 3 .2 sađr ze neke osnovne pojm ove i definiCije iz ranijih kurseva ponovljene rađi lakseg praCenja izlaganja. U 3 .3 đata je definiCija izvođa i osobine koje su bitno razliCite ođ onih koje su va zile za izvođ u realnoj analizi. U 3 .4 na jeđnom mestu izlozena su, bez đokaza, najvaznija svojstva analitiCkih funkCija. Neka ođ njih Ce biti đetaljno razrađena u kasnijim odeljCima. U 3 .5 obrađene su neke elementarne funkCije: eksponenCijalna, trigonometrijske, logaritamska, stepena, inverzne trigonometrijske. 3 .6 sadrzi ukratko izlozenu teoriju viseznaCnih funkdja, bez strogih definidja i teorema. Primerima su ilustovani pojm ovi taCke grananja i zaseka visezna Cne funkCije. 3 .7 posveCen je krivolinijskom integralu kompleksne funkCije kompleksne promenljive. Dokazane su osnovne Kosijeve integralne teoreme. U 3 .8 bavimo se Tejlorovim i Loranovim razlaganjem u ređ analitiCke funkCije. 3 .9 prirođan je nastavak 3.8. Date su definiCije esenCijalnog singulariteta i pola. 3 .1 0 i 3 .11 posveCeni su integraCiji pomoCu reziđuuma. Teorija je ilustrovana m nogobrojnim primerima. U 3 .1 2 đat je kratak, neformalan pregleđ teorije analiti Ckog produzenja funkCije. U 3 .1 3 đefinisani su i naveđeni osnovni ob lid konformnih preslikavanja.

3.1.

3.1

Kompleksni brojevi

79

Kompleksni brojevi

Pojam kompleksnog broja, osnovni stavovi, algebarske operaCije (sabiranje, mnozenje, đeljenje) i struktura prostora kompleksnih brojeva đetaljno se izuC avaju u kursu algebre i analize 1. U ovom i sledeCem ođeljku ponoviCemo neke pojm ove i osobine potrebne za lakse praCenje đaljeg izlaganja. Skup kompleksnih brojeva oznaCavamo sa C. Svaki kompleksan broj z ima oblik x + iy, gđe su x i y realni brojevi a i nazivamo im a g in a r n o m je d in ic o m . B roj x nazivamo rea ln im , y im a g in a r n im d e lo m kompleksnog broja i koristimo oznaku x = Re z, y = Im z. Kompleksni brojevi zi i z 2 su jeđnaki ako i samo ako je Re zi = Re z 2 i Im zi = Im z2. Za geometrijsko pređstavljanje kompleksnih brojeva koristimo pravougli Dekartov 1 koorđinatni sistem u kojem svakom kompleksnom broju x + iy ođgovara obostrano jeđnozna Cno ta Cka sa koorđinatama (x ,y ). ApsCisu nazivamo r e a ln o m o s o m , a orđinatu im a g in a r n o m o s o m . Koorđinatnu ravan u k ojoj pređstavljamo kompleksne brojeve nazivamo k o m p le k s n o m ra vn i. Kompleksne brojeve oznaCavaCemo obiCno slovima z, w, a, ^, . . . i Cesto Cemo ih nazivati taCkama. Za geometrijsko pređstavljanje kompleksnih brojeva z = x + iy, poređ taCke sa koorđinatama (x ,y ), Cesto se koristi i vektor Cije su projekCije na realnu i imaginarnu osu jeđnake x, ođnosno y. Kompleksan broj z = x + iy zbog toga neki put nazivamo taCkom (x, y) ili vektorom z . Intezitet vektora z nazivamo m o d u lo m kompleksnog broja z i oznaCavamo ga sa m odz ili sa |z|.

Ugao između pozitivnog smera realne g u m e n to m ođ z i oznaCavamo ga sa argumenta ođgovara uslovu 0 < p < a rg u m en ta , u oznaCi p = arg z. Tađa

ose i vektora z (z = 0) nazivamo arArg z. Jeđna i samo jeđna vređnost

Arg z = arg z + 2kn,

k G Z.

T r ig o n o m e tr ijs k i o b lik kompleksnog broja đat je sa z = |z| Cos Arg z + i|z| sin Arg z = |z| (cos
), ^Rene Descartes (1596-1650) - Francuski matematicar i filozof. ometrije.

Osnivac analiticke ge-

80


a e k s p o n e n c ija ln i oblik sa

R a s t o ja n je između dve tacke zi i z 2 iz C dato je sa d (z i,Z 2 ) = |zi - Z21.

Im

Re Slika 3.3. O tv o r e n a e -o k o lin a taCke z 0 je skup svih tacaka z G C takvih da je d ( z , z 0) < e

|z — zo| < e.

Prema tome, e-okolina tacke z0 pređstavlja krug sa centrom u z0 i poluprecnikom e. Rađi jeđnostavnijeg tumaCenja nekih pojm ova u teoriji kompleksnih funkcija kompleksne promenljive, korisno je uvesti pojam beskonaCnog kompleksnog broja koji Cemo oznaCavati sa ro. Da bismo razjasnili geometrijsko pređstavljanje broja ro, opisaCemo na koji naCin se kompleksni brojevi mogu pređstaviti na sferi. Neka je P kompleksna ravan i neka je a jeđiniCna sfera takva đa jo j je ravan P tangentna ravan u taCki z = 0. PreCnik N S je normalan na P i taCku N nazivamo severnim a S juznim polom sfere. Ovakvu sferu nazivamo Rimanovom sferom. Z

N

Slika 3.1. Neka je taCka A u ravni P i neka je A' taCka u k ojoj đuz N A prođire sferu a. Tađa svakoj taCki A iz ravni P ođgovara jeđna i samo jeđna taCka A' na sferi a,

3.2.

Kompleksna funkcija.

81

sto znaCi đa se svaki kompleksan broj moze pređstaviti jeđnom i samo jeđnom taCkom na sferi
v = v±

to

= X,

X •u = u •X = X •X = X , v — = 0 ;

X — = 0 0 ; u

u - = 00. 0

x — nisu definisani. 0 x N a p o m e n a . Izraz x + v je simboliCki zapis graniCne vređnosti niza { z n + wn}, gđe je limn^ TOzn= x a limn^ TOwn= v.To znaCi đa je graniCna vređnost niza { z n+ wn}, gđe zn ^ x i wn ^ v £ C,jeđnaka x . Analogno tumaCimo ostale jeđnakosti. Izrazi 00 ± 0 0 , 0 •0 0 ,

0

N e p r e k id n o m k r iv o m L u C naziva se skup taCaka z = z(t) = x(t) + i y(t) kompleksne ravni, gđe je x = x(t),

y = y(t),

—x < a < t < b < + x

parametarska jeđnaCina neprekiđne krive u ravni xO y (ođeljak 2.1). Sve đefiniCije i teoreme koje se ođnose na krive u R 2 vaze i u sluCaju krive u kompleksnoj ravni kađa promenljivu x smatramo realnim đelom kompleksne promenljive z, a promenljivu y smatramo imaginarnim đelom kompleksne promenljive z. Ako je preslikavanje [ a,b ] ^ L obostrano jeđnoznaCno i kriva je po đelovima glatka, nazivamo je p u t a n jo m . Putanju za koju je z(a ) = z(b) nazivaCemo z a tv o r e n o m p u ta n jo m . Unutrasnjost zatvorene putanje L oznaCavamo sa int L (ođ latinske reCi interior — unutrasnji), a spoljasnost sa ext L (exterior — spoljasnji).

3.2

Kompleksna funkcija kompleksne promenljive - opSti pojmovi

Ako svakoj vređnosti promenljive z = x + iy iz skupa D, D C C, po pravilu f ođgovara ođređena vređnost promenljive w = P + iQ , w € C, tađa

82


f nazivamo k o m p le k s n o m fu n k c ijo m k o m p le k s n e p r o m e n ljiv e z. Skup D je d e fin ic io n i d o m e n , a f (D) sk u p slika (kodomen) funkcije f . Funkciju f krace zapisujemo sa w = f ( z ) , z G D. Ako svakoj vrednosti z odgovara samo jedna vrednost w tada f nazivamo je d n o z n a C n o m fu n k c ijo m , a ako nekim vrednostima z G D odgovara vise od jedne slike w, tada f nazivamo v isezn a C n om fu n k c ijo m . Ako drugaCije ne naglasimo, pod pojm om funkcija smatraCemo ubuduê jednoznacnu funkciju, a ako se radi o viseznacnoj funkciji, to cemo posebno naglasiti. P r im e r 3 .2 .1 Funkcija u> = |^| je jednoznačna funkcija dok je u> = znacna (n-znacna) funkcija.

više□

U opstem slucaju, ako je z = x + iy a w = P + iQ, tada je w = P + iQ = f (z ) = f (x + iy), dakle, svakom paru realnih brojeva (x ,y ) takvom da x + iy G D, odgovara par realnih brojeva (P, Q ), tj. P i Q su realne funkcije dve realne promenljive x i y, P = P ( x ,y ) ,

Q = Q (x ,y ).

Funkcija w = f (z) moze biti zapisana sa w = P (x ,y ) + iQ (x ,y )

=

Re f (z) + i Im f (z ).

P r im e r 3 .2 .2 U funkciji w = z 2 = (x + iy ) 2 = x 2 — y 2 + i 2xy je P (x , y) = x 2 — y 2,Q (x, y) = 2xy.

□

Kako je C metricki prostor, granicna vrednost i neprekidnost funkcije f : D ^ C, D C C, definisu se u skladu sa definicijama ovih pojm ova u metrickom prostoru. Naime, kompleksan broj w0 je g r a n icn a v r e d n o s t funkcije f u tacki zo, u oznaci lim z^ z0 f (z) = w0, ako za svaku e-okolinu tacke w postoji 6-okolina

tacke z 0 takva da se funkcijom f 6 —okolina tacke z0, bez same tacke z0, preslikava u e-okolinu tacke w0, tj. (Ve > 0)

(36(e) > 0) : |z — z 0 |< 6 ^ |f (z ) — W0 |< e.

3.3.

Izvod

83

Ako je w0 = f (z0), onda je f n e p r e k id n a u z0. Tada je lim z^ zo f (z) = f (z0). Ako neprekidnu funkciju f predstavimo u obliku f (z) = f (x + iy) = P (x , y) + iQ (x , y) i ako je z0 = x 0 + iy0 , w0 = a + i^ , tada se lako dokazuje da je lim P ( x , y ) = a ,lim Q (x, y ) = 0 y^yo y^yo i da je f neprekidna u z0 ako i samo ako su P i Q neprekidne u (x 0, y0). Kazemo da je funkcija f : D ^ neprekidna u svakoj tacki oblasti D.

C

n e p r e k id n a u o b la s ti D ako je

Kao za realnu funkciju realne promenljive i za kompleksnu funkciju kompleksne promenljive vaze teoreme o neprekidnosti zbira, proizvoda, kolicnika i slozene funkcije neprekidnih funkcija. Saglasno tome polinom je neprekidna funkcija u celoj kompleksnoj ravni, a racionalna funkcija u svim tackama gde je definisana.

3.3

Izvod

Funkcija w = f (z ), definisana u nekoj okoline tacke z0, je d ife r e n c ija b iln a u tacki z0 ako i samo ako postoji

Um

/(;o+

A * ) - / ( ; o)

Az^ 0

,m

Az

z^zo

z — z0

Tu granicnu vrednost nazivamo iz v o d o m funkcije w = f (z ) u tacki z0 i oznacavamo je sa f ' ( zo),

§ ~ ( z o) dz

ili sa

j - \ z = z 0dz

Ako je funkcija f diferencijabilna u svakoj tacki oblasti D, kazemo da je ona d ife r e n c ija b iln a u o b la s ti D i njen izvod u tacki z G D oznacavamo sa

/w

-

51

111 5 1 w

Izraz f (z0 + A z ) —f (z0) oznacavamosa A f (z0) i nazivamo ga p r ir a s ta je m fu n k c ije f u z0 dok A z nazivamo p r ir a s ta je m n e z a v isn e p r o m e n ljiv e z.

84


Slika 3.5. Sa df i dz oznacavamo d ife r e n c ija l funkcije f i nezavisne promenljive z . Veza između izvoda, prirastaja i diferencijala funkcije f i promenljive z je potpuno analogna kao u realnoj analizi, te stoga pisemo lim

f '(z )

A f(z) 0

Az

df , , s (i)-

Iz đefinicije izvođa i osobina graniCnih vređnosti sleđi đa osnovna pravila điferenciranja koja su vazila u realnoj analizi vaze i u kompleksnoj analizi. Naime zbir, proizvođ, kolicnik, slozena funkcija se điferenciraju po istim pravilima. Takođe vazi osobina: ako je funkcija f điferencijabilna u tacki z0, onđa je ineprekiđna u z0. Sto se tice elementarnih funkcija (z n, ez, sin z, cos z ...) , điferenciranje se vrsi po istim formulama ( (z ” )' = n zn -1 , (ez)' = ez,... ) , sto cemo za neke ođ njih kasnije đokazati. Ako je funkcija f điferencijabilna u tacki z , onđa llm / ( ~ + A.J) ~ / W Az^ 0

= a Az

e C

Ay ne zavisi od načina na koji A z = A x + i A y teži ka nuli. Kako je tg arg A z = , Ay Ax to znači da poslednji limes ne zavisi od količnika . Prelaskom na diferencijale, imamo

-

7 df d (P ( x ,y ) + iQ (x ,y )) d P + i dQ a = j (z) = — (z) = ------------------------------ —---------- — = —-— — dz d(x + iy) dx + idy

=

P x dx + P y dy + ^ (Q x dx + Q y dy)(P x + iQ x^ dx + (P y + i Q y) dy dx + i dy dx + i dy Nezavisnost ođ nacina na koji A z tezi ka nuli svođi se na to đa posleđnji razlomak ne zavisi od količnika dx . To znači da za sve dx = t € M,' važi (Px + iQ x) + (P y + iQ y)t = a + iat, a to je ekvivalentno sa Px + iQx = a, P y + ^Q y

ia i t j. Px + iQ xPy + iQ y 1

3.3.

Izvod

85

Posleđnja jeđnakost svođi se na p o t r e b a n u s lo v d ife r e n c ija b iln o s ti funkcije f (z) = f (x + iy) = P (x , y) + iQ (x , y) koji glase: Px = Q y ,Py = - Q x . Nazivamo ih K o S i-R im a n o v im 2 u slo v im a . Oni nisu đovoljni za egzistenciju izvođa u tacki z = x + iy. U sleđeôj teoremi đat je potreban i đovoljan uslov điferencijabilnosti funkcije f u nekoj tacki z G D , gđe je D oblast u kojoj je f đefinisana. T e o r e m a 3 .3 .1 Potreban i dovoljan uslov da funkcija f (z) = f (x + iy) = P (x , y) + iQ (x , y ), f : D ^ C, bude diferencija,bilna, u tački z = x + iy, z G D , je da funkcije P i Q bud,u diferencijabilne u tački (x ,y ) i da P x = Q y, P y = —Q x. N a p o m e n a . Iz realne analize je poznato đa je đovoljan uslov điferencijabilnosti funkcija P i Q egzistencija i neprekiđnost njihovih prvih parcijalnih izvođa. Prema tome, đovoljan uslov điferencijabilnosti funkcije f je egzistencija i neprekiđnost P x, Q x, P y, Q y uz Kosi-Rimanove uslove. Ako su svi uslovi prethođne teoreme ispunjeni, pomoû jeđnakosti (■l, \ _ i.Px + ^Qx]

-\- (Py -\- iQy) dy dx -\- i dy ’

koriscenjem Kosi-Rimanovih uslova Px = Q y i P y = izraziti sa

—Q x, izvođ f '(z ) mozemo

f (z) — Px + iQ x — Q yiP y — P xiP y — Q y + iQ x

U slucaju đa je kompleksan broj z izrazen preko polarnih koorđinata, |z |= r, arg z = y>, na slican nacin kao u slucaju pravouglih koorđinata (x, y) moze se izvesti potreban i đovoljan uslov điferencijabilnosti funkcije f (z) = f (reiv ) = P (r, y>) + iQ (r, ^) koji se svođi na uslov • điferencijabilnosti funkcija P i Q (po promenljivim r i y>), • đa njihovi parcijalni izvođi zađovoljavaju jeđnakosti

P r — — Qip

j

Q r — ------ P (y9 •

2Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) - Nemacki matematičar. Njegova istraživanja su dala snažan inpuls razvoju matematike, osobito u domenu kompleksne analize.

86


U tom slucaju izvođ f ' u polarnim koorđinatama izracunavamo pomoû formule i r f ' ( z ) = ---- ('Pcp + iQcp) = — {'Pr + iQr) ■ z z P r im e r 3 .3 .1 Ispitati điferencijabilnost i naci izvođ funkcije f (z) = ez . R eS en je. U primeru 1.3.5. đefinisali smo funkciju ez i viđeli đa je njen đefinicioni đomen C. U primeru 1.3.3. i 1.3.5. pokazali smo đa je ez = ex+iy = ex •eiy = ex(cosy + i sin y). To znaci đa je P (x , y) = ex cosy ,

Q (x, y ) = ex s in y .

Kako su svi parcijalni izvođi Px = ex cos y,

Py = - e x sin y,

Qx = ex sin y,

Qy = ex cos y,

đefinisani i neprekiđni na celom C i kako je Px = Q y i Py = —Q x za sve z = x + iy G C, to znaci đa je ez điferencijabilna u svakoj tacki z G C. Takođe vazi (ez)' = Px + iQ x = ex cos y + iex sin y = ex (cos y + i sin y) = ez . □ P r im e r 3 .3 .2 Ispitati điferencijabilnost funkcije f (z) = |z|2. R eS en je. f (z) = |z|2 = x 2 + y 2,

P ( x , y ) = x 2 + y 2,

Q (x ,y )= 0 .

Svi parcijalni izvođi Px = 2x, Py = 2y, Q x = Q y = 0 su neprekiđni za sve (x, y) G R 2, ali Kosi-Rim anovi uslovi su ispunjeni samo u tacki (0, 0). To znaci đa je funkcija f (z) = |z|2 điferencijabilna samo u tacki z = 0 i f '(0) = 0 . □ P r im e r 3 .3 .3 Ispitati điferencijabilnost i naci izvođe funkcije f (z) = zn, n G N. R eS en je. U ovom slucaju jeđnostavnije je koristiti formulu u polarnim koorđinatama. Ako je |z| = r i arg z = y>, f (z) = f (re®v ) = (re®v )n = r n e®” v = rn (cos n^> + i sin ny>), te je P (r, y>) = r n cos ny>,Q(r, y>) = r n sin n^>. Dalje, iz P r = n rn-1 cos ny>,V v = —n rn sin ny>,

3.4.

Analiticka funkcija

87

Qr = n rn 1 sin ny>,

Q v = n rn cos ny>,

vidimo da su svi parcijalni izvodi neprekidni u svim taCkama iz C i da važi V r = ~Qip,

Qr = --------'Pip-

To znaCi da je f (z ) = zn, n G N , diferencijabilna funkcija za sve z € C i važi f ( z ) = (znY = - (Vr + i Qr ) = — — (nr " -1 c o s mp + inr" -1 sinnc^) =

n rn- V ( nv -v ) = n r n - 1 ei(n-1)v = n z n - 1 . □ K o m e n ta r . Slicno se moze dokazati da i ostale elementarne funkcije, o kojima ce biti reci u odeljku 3.5, imaju isti ” tablicni” izvod kao u realnoj analizi.

3.4

Analitička funkcija

Funkcija f : D ^ C, D C C, je a n a litick a u ta čk i z 0 € D ako postoji okolina tacke z 0 takva da je f diferencijabilna u svakoj tacki te okoline. Funkcija f je a n a litičk a n a sk u p u D ako je analiticka u svakoj tacki iz D.

P r im e r 3 .4 .1 Funkcija f (z) = |z|2 diferencijabilna je u tacki z = 0 , ali nije analiticka u tacki 0 jer f nije diferencijabilna ni u jednoj tacki sem z = 0 (pogledati primer 3.3.2). □

Tacke u kojima funkcija nije analiticka su s in g u la rn e ta čk e ili sin g u la rite ti funkcije. Tacke u kojima je funkcija analiticka su re g u la rn e ta čk e 3 . Teorija analitickih fukcija zauzima centralno mesto u kompleksnoj analizi. U ovom odeljku navodimo, radi preglednosti, neke od veoma vaznih osobina analitickih funkcija (bez dokaza). Neke od tih osobina detaljnije cemo razraditi u daljem izlaganju.

• Ako je funkcija f analiticka na D , onda je izvod f ’ neprekidna funkcija na D. • U svim regularnim tackama, analiticka funkcija ima izvod proizvoljnog reda n i svi izvodi su analiticke funkcije. 3Neki autori definisu analiticku funkciju na domenu D kao funkciju koja je analiticka u svim, sem m ožda u konaCno m nogo taCaka iz D . Funkciju koja je analitiCka u svim taCkama tada naživaju regularnom na D .

88


• Ako je f analiticka funkcija u tacki z0, tada postoji konvergentan stepeni red S n = 0 a n (z — z0)n koji reprezentuje f u okolini O (z 0) taCke z 0 tj.

f (z) = ^ a „ ( z — Z0 )” , z 6 O (z 0 ). n=0 VaZi i obrnuto, tj. funkcija f definisana sa

^ a „ ( z — Z0 )” = f (z), n=0 gde z pripada oblasti konvergencije stepenog reda, |z —z0|< r, je analitiCka funkcija. Iz tog razloga se egzistencija reprezentacije stepenim redom Cesto uzima kao polazna tacka u definisanju analiticke funkcije. • Zadavanjem realnog ili imaginarnog dela, funkcija analiticka na oblasti D, odredena je sa tacnoscu do proizvoljne konstante. Ova osobina sledi iz Kosi-Rimanovih uslova. • Ako je f analiticka na oblasti D i f '(z ) = 0 za sve z 6 D, tada nad oblascu slika od f postoji inverzna funkcija z = y>(w), koja je analiticka i za svako Z0 6 D je f ' ( zo) =

— T> ^ '(^ 0 )

gde je

ojo

= f ( z o).

• Ako je f analiticka funkcija na zatvorenoj oblasti D, maksimum modula vrednosti funkcije (maxzeD |f (z)|) bice dostignut na rubu oblasti D. • Ako je f analiticka na celoj kompleksnoj ravni C i ogranicena nad C, onda je f jednaka konstanti. • Dve analiticke funkcije u oblasti D jednake su na D ako su jednake nad bilo kojim beskonacnim podskupom koji u D ima tacku nagomilavanja. • Ako niz (ili red) funkcija f k, analitickih na otvorenoj oblasti D, konvergira uniformno ka f na D , tada je f analiticka na D i niz (ili red) izvoda f uniformno konvergira ka f ' na D (uniformna konvergencija niza funkcija u C se definise analogno kao u realnoj analizi). • Kažemo da je / analitička funkcija u tački z = oo ako je f ( ^ ) analitička u tacki z = 0 . Iz ovog kratkog pregleda najvaznijih posledica, vidimo da je uslov diferencijabilnosti kompleksne funkcije kompleksne promenljive m nogo jaci nego u realnoj analizi. To proizilazi iz prilicno restriktivnog zahteva da granicna vrednost kojom je izvod definisan ne zavisi od nacina na koji A z ^ 0.

3.5.

Elementarne funkcije

3.5

89


Polinom i racionalna funkcija definisani na C imaju ista svojstva kao u realnoj analizi, te se njima neCemo posebno baviti. ReCiCemo neSto viSe o elementarnim funkcijama koje imaju neke osobine bitno drugaCije od osobina analognih realnih funkcija realne promenljive.

1. F u n k cije e z , sin z, co s z. U primeru 1.1.17, za svako z € C, definisali smo funkcije ez, sin z i cos z sa

U slucaju da je z realan broj, vrednost funkcija ez, sin z i cos z izracunata pom o cu reda, jednaka je vrednostima koje te funkcije imaju izracunate saglasno definicijama u realnoj analizi (pogledati odeljak 1.2.6. o Maklorenovom razvoju fun kcija ex, sin x i cos x). Moze se pokazati da su sve tri funkcije analiticke na celoj kompleksnoj ravni i pravila za nalazenje izvoda su analogna onima iz realne analize, tj. (ez)' = ez ,

(sin z ); = cos z ,

(cos z ) ; = — sin z .

Za funkciju sin z (a isto i za cos z) ne vazi osobina da je |sin z|< 1. Podsetimo se osobine navedene u odeljku 3.4: ako je funkcija analiticka i ogranicena na C, onda je jednaka konstanti. Kako znamo da sin z nije konstantna funkcija, znaci da nije ogranicena funkcija. Na isti nacin kako su u Glavi 1, koriscenjem teorije redova, dokazane neke osobine ovih funkcija, mogu biti dokazane i ostale osobine koje navodimo: • ez •e“ = ez+w,

z, w € C

(dokaz u primeru 1.1.20),

• ez = exeiy = ex (cos y + i siny)

(dokaz u primeru 1 .1 .2 1 ),

• ezi = cos z + i sin z ezi — e-z i

ezi + e-z i 2

• sin(—z) = — sin z ,co s (—z ) = cos z 2 9 - i • sin z + cos 2 z = 1

90


i ostale trigonometrijske formule imaju isti oblik kao u realnoj analizi. sin z ima nule u tačkama k n , k € Z, a cos z ima nule u tačkama — + kn, k € Z. Kako je ez + e—z 2

2

sledi da je sin iz = i sinh z ,

cos iz = cosh z .

Eksponencijalna funkcija ez u kompleksnoj analizi je p e rio d iC n a sa periodom 2 ni. oj

ravan

Zaista, ez+ 2ni = eze2ni = ez •1 = ez . Ova osobina je nova u odnosu na realnu analizu. Kako period predstavlja umnozak imaginarnog broja ( 2 ni), on i nije mogao da se pojavi kod realne funkcije ex . Sto se tice trigonometrijskih funkcija sin z i cos z , one su periodicne sa periodom 2 n (kao u realnoj analizi).

Slika 3.7.

3.5.


Zaista,

91

ezi+ 2ni _ e—zi —2ni sin(z + 2n) = ------------ —------------ = sin z.

Funkcija ez, a time i sin z i co sz, nisu definisane za z = x . Zaista, ako z tezi x preko pozitivnih realnih brojeva, onda ez tezi + x , a ako z tezi x preko negativnih realnih brojeva, onda ez tezi 0. To znaci da ne postoji limz^ TOez . Na kraju m ozemo zakljuciti da funkcije ez, sin z, cos z, definisane za kompleksan argument z, zadrzavaju vecinu osobina koje su vazile ako je argument realan, ali imaju nekoliko sustinski drugacijih osobina nego u realnoj analizi.

2. L o g a rita m s k a fu n k cija L n z . Logaritam kompleksnog broja definise se isto kao u elementarnoj algebri, tj. lo g a r it m o m (prirodnim) k o m p le k s n o g b r o ja z nazivamo onaj broj w takav da je e“ = z i pisemo w = Ln z . Da bismo dobili formulu za izracunavanje logaritma kompleksnog broja, postupi cemo na slede ci naScin: Neka je w = a + ib,

z = rei(v+2fcn),

0 <

Kako je e“ = z , imamo e“ = e“ eib = z = r ei(v+ 2kn) . Moduli leve i desne strane poslednje jednakosti moraju biti jednaki, te je e“ = r tj. a = ln r, s tim sto pod ln r podrazumevamo realan broj jednak logaritmu pozitivnog broja r. Sto se tice argumenata, oni stoje u odnosu b =

k € Z,

gde je r = |z|,

Im L n z = A r g z .

Tako, recimo, L n i = ln 1 + i

/n

\ ni + 2/c7rJ = ~^~(1 + 4/c),

Ln 1 = ln 1 + 2kni = 2kni,

Ln( —1) = (2k + 1)ni,

k € Z. V idim o da logaritamska funkcija nije jednoznacna i to da se svaki kompleksan broj z ovom funkcijom preslikava u beskonacno mnogo vrednosti koje se sve

92


nalaze na istoj pravoj paralelnoj imaginarnoj osi, na međusobnom rastojanju od 2 n. Primetimo đa Ln0 nije definisan, jer jeđnacina e“ = r za r = 0 nema reSenje. Ako u vezi L n z = ln r + i(

| ui ravan]

Sve osobine logaritamske funkcije ostaju ocuvane, Ln(z •w) = Ln z + Ln w, Ln ■2- = Ln^ - L n w i td., s tim što se mora voditi računa da u tim formulama koristimo pravilno izabrane grane.

3. S te p e n a fu n k c ija z a , a E C. Stepena funkcija w = z a , gđe je a bilo koji kompleksan broj, đefinise se sa z a = ea Ln z

z = 0 .

Kako je Ln z viseznacna funkcija i funkcija z a je u opstem slucaju viseznacna. Oznacimo sa ln z glavnu granu (onu za koju je 0 < I m {L n z } < 2n). Tađa je Ln z = ln z + 2kni ,

k G Z,

te je z « = ea(ln z+ 2kni) = ea ln ze2knai = w0 e2fcnai ,

k G Z,

3.5.


93

gđe je w0 jeđna ođ vređnosti funkcije w = z a (kađ je k = 0). Sve ove vređnosti obrazuju geometrijsku progresiju o f , . —2nna.i S — |. . . , ôe , . . . , ôe

—2 na i ,. ., _2nai J2nnai \ , ô, ôe , . . . , ôe ,... /

Razmotrimo specijalne slucajeve: a € Z, a = n. Tađa je w = z n = woe 2fcnni, k G Z. Kako je e 2knni = 1 za svako k € Z, to su svi elementi iz skupa S jeđnaki wo, tj. stepena funkcija zn za koju je stepen n celobrojan je je d n o z n a C n a fu n k cija . N a p o m e n a . U kolikoje n € N, ta đ a je zn = z •z . . . •z, tj. z n je polinomna funkcija koja je đefinisana i neprekiđna za svako z € C. P a E Q , a = —, p G Z ,
Među brojevim a e 2fc7r 9 i ima tačno q različitih vrednosti koje m ožemo dobiti ako k uzima redom vrednosti iz skupa 0,1, 2, 1. Dakle, funkcija lo = z« = -^fžp svakom z £ C \ {0 } pridužuje q različitih vrednosti, što znaci đa je q-znaCna funkcija. • a = R \Q

(tj. a je ira cio n a la n broj).

Ako je a iracionalan broj tađa, za svako fiksirano z € C \ {0 }, u skupu vređnosti funkcije w = z a, kojeg smo oznacili sa S , nema jeđnakih. Svi elementi iz S imaju isti mođul |wo|, ali im je argument razlicit (arg wo+ 2 k n a , k € Z ). To znaci đa je u ovom slucaju funkcija w = z a b esk on aC n oznaCna. Za fiksirano z € C sve vređnosti z a leze na istoj kruznici. • a = b i, b € R \ { 0 } . Kako je e2knai = e- ■ 2knb € R +, to su svi elementi iz skupa S razliciti. Oni imaju isti argument (arg wo) ali razli cit mođul (|wo |e—2knb, k € Z ) i funkcija je beskonaC noznaC na. Za fiksirano z € C sve vređnosti z bi le ze na istoj polupravoj. • a = a + bi, a ,b € R \ { 0 } . U ovom slucaju su svi elementi iz S razliciti i mogu se razlikovati i po mođulu i po argumentu. Znaci, za a = a + bi, a, b € R \ {0 }, funkcija w = z “ +ib je beskonaC noznaC na. P r im e r 3 .5 .1 Naci a) i% b) (1 + i)\

94


R eS en je. a) il = elLnl = e~ (T+2fc7r), k € Z. Očigledno da sve vrednosti il pripadaju R. b) (1 +

iy

=

e i[inV2+i(f+2kiT)] _

e i L n ( 1+ i ) =

g - ( f + 2fc?r)

ln V 2 ^

q

4. In v e r z n e tr ig o n o m e t r ijs k e funkC ije A rC sin z, ArCCos z, A rC tg z A rk u s sinus kompleksnog broja z , u oznaci Arcsin z, je onaj kompleksni broj w, za koji je sin w = z. Kako sinus m ozemo izraziti preko eksponencijalne funkcije, prirođno je ocekivati đa inverzna funkcija ođ sinusa mozi đa se izrazi preko logaritamske funkcije. Zaista, w = Arcsin z je skup resenja jeđnacine sinw = z

ti. J

e“ i — e—“ i ----------------= z, 2i ’

sto se svođi na (e wi) 2 - 2 iz (e wi) - 1 = 0 . Resenja posleđnje kvađratne jeđnacine po ewi su

eui = i z + \ J \ - z 2. Ispred a/1 — z 2 nismo pisali ± jer je kvadratni koren kompleksnog broja već sam po sebi đvoznac an. Dalje imamo Arcsin z = —i Ln(iz + \J1 — z 2). Slicno, za ostale inverzne trigonometrijske funkcije đobijam o A rccosz = —i Ln(z + i\J 1 — z 2), 1 1 + iz Arctg z = — L n ------ —. 2i 1 — iz Sve inverzne trigonometrijske funkcije su b eskon aC n ozn aC n e. Arcsin z i Arccos z đefinisane su za sve z € C, đok je Arctg z đefinisan za sve z € C \ { —i, i} P r im e r 3 .5 .2 Naci a) A rcsini

, b) A r c tg l.

R e š e n je . a) Arcsin* = —*Ln( —1 ± %/2). Kako je Ln( —1 + V 2) = ln (V 2 - 1) + 2kvi ,

k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ,

3.6.

ViseznaCne funkcije

95

Ln( —1 - V2) = 111( 1/2 + 1) + i(n + 2kn ) ,

k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ,

to sve vrednosti Arcsin i izracunavamo iz Arcsin i = 2k'7r — i ln( \/2 — 1) Arcsin i = (2k + 1 ) 7t — i ln (i/2 + 1 ) , k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . . 1 1 ~+ i 1 n b) Arctg 1 = — L n ------- : = — Ln* = — |- A’7t, k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . 2i 1 —i 2i 4

3.6

□

Višeznačne funkcije

Videli smo da su neke od elementarnih funkcija viSeznaCne. Da bi se na njih mogli primenjivati pojm ovi i rezultati vezani za jednoznacne funkcije korisno je uvesti pojam jednoznacnih grana mnogoznacne funkcije. Pokazaêmo najpre na primeru višeznačne (troznačne) funkcije u> = ^fž na koji način se to postiže. P r i m e r 3 . 6 . 1 Neka je u> = ^fž. Za svako z € C \ {0 }, funkcija u> ima 3 različite

vrednosti

3/rr/

= y \ z \ [ cos

Ars^ , • • A f g A ^----- | - * s i n—

3/ n (

v + 2kn

v + 2kn\

I = i/\z\ ( c o s ----- -------- h * s m ----- ------ j

k = 0,1, 2, gde smo sa tp oznacili glavnu vrednost argumenta od z, 0 < ip < 2n. Te vrednosti u ravni w formiraju jednakostranicni trougao sa centrom u O.

u> ra v a n

Vazi i obrnuto: temena bilo kojeg jednakostranicnog trougla sa centrom u 0 u ravni u> su slike vižeznačne funkcije ^fž neke tačke iz ravni z. Izdvojim o u ravni w tri oblasti G i , G 2 i G 3 takve da su one međusobno disjunktne i da svaka od njih predstavlja ugao veličine 4^ sa temenom u koordinatnom pocetku.

96


Slika 3.10. Obicno se za prvu oblast G i uzima skup tacaka u ravni w takvih da je 0 < 2n 4n 4n argw < 4^, u drugoj oblasti je — < argw < — , a u trećoj G% , je — < argw < 2 tt. Na taj način,ako preslikavanje u> = {fž, u> : C —> G,,, definišemo tako da skup slika bude jedna od oblasti G j, i = 1, 2, 3, dobijam o tri jednoznacne funkcije, koje nazivamo granama. Jednu od grana obicno proglasavamo glavnom granom i u slučaju funkcije u> = ^fž to je grana za koju je skup slika G\. □

Ukoliko imamo viseznacnu funkciju w = f (z), izdvajamo g ra n e / i ( z ) , f 2 (z ), . . . kao jednoznacne, neprekidne funkcije u oblasti definisanosti. Svaka grana ima vrednosti u nekom skupu vrednosti funkcije f . K od viseznacnih funkcija postoji jos jedno svojstvo na koje treba obratiti paznju. Naime, u ravni z izdvajamo tacke koje imaju osobinu da ako promenljiva z prede jednom put po zatvorenoj krivoj oko te tacke, tada njena slika prelazi put po krivoj koja nije zatvorena. Tu osobinu za funkciju u> = ^fž ima tačka z = 0. Ako se, recimo, tačka z krece po jedinicnoj kruznici sa centrom u 0 (tj. z = ellp, 0 < p < 2 n) tada njena slika w opisuje trecinu kruznice | z ra v a n ]

|qi ravan]

Slika 3.11. oko tacke 0 u ravni w. Drugim recima, u ravni z treba tri puta obici kruznicu oko 0 da bi se u ravni w kruznica zatvorila. Takvu tacku nazivamo tackom

3.6.


97

grananja.

□

Pretpostavimo da je viseznacna funkcija w = f (z ) definisana u svim tackama okoline O (a) tacke z = a, sem mozda u samoj tacki a. Tada za tacku a kazemo da je ta ck a g ra n a n ja funkcije w = f (z) ako f (z) prelazi sa jedne svoje grane na drugu, kada promenljiva z opisuje krivu u O (a) oko tacke a. Ako se, posle n obilazaka po toj krivoj u istom smeru, ponovo prvi put vratimo na istu granu, tada kazemo da je a ta čk a g ra n a n ja (n — 1 ) - o g red a . Ako je f (z) definisana u tacki grananja a, tada je f (a) zajednicka tacka za sve grane. Recimo, tačka 0 je tačka grananja reda 2 za funkciju ui = ^fž i zajednička je tačka za sve grane. Funkcija takođe, ima tačku grananja reda 2 u nuli ali nijedna grana nije definisana za z = 0 . Ukoliko pri opisivanju krive oko tacke z = a u istom smeru bilo koji broj puta, stalno dobijam o nove grane, tada tacku a nazivamo ta č k o m g ra n a n ja b e s k o n a č n o g red a . Viseznacna funkcija w = Ln z ima tacku grananja beskonacnog reda u tacki z = 0 . Za tacku z = kazemo da je tacka grananja funkcije f (z) ako je u = 0 tačka grananja funkcije / ( ^ ) . Očigledno, tačka oo je tačka grananja za funkciju

P r im e r 3 .6 .2 Neka je ui = f ( z ) = tfz i neka je a G C fiksiran broj. Ako tačka z obide jedinicnu kruznicu sa centrom u a u pozitivnom smeru, ispitati po kojoj krivoj ce se kretati njena slika w za a) a = 0 , b) a £ C, |a| > 1. c) Ispitati da li je z = ro tacka grananja za f (z ). R e š e n je . Promenljiva z opisuje jediničnu kružnicu oko tačke a ako je z = a + e 1'^ kad

|ui ravan]

Slika 3.12.

98


f (A)

B' =

e0i = e0i = 1,

2iri 1 \/3 : 3 = -------- 1- l ----

f (B )

2

2

Ako £ tri puta obiđe kružnicu u pozitivnom smeru tada je slika tačke e 6 j r i jednaka f ( B ' ) = \/e 6 7ri = e2m = f ( A ) . b) Ako je a £ C, |a| > 1, \u> ravan

Slika 3.13. tada za A = a + e0i i B = A = a + e2ni imamo f ( A ) = 'J a + e°® = a/oT+T = \ /« + e,27ri = f { B ) , te ako z opise zatvorenu kruZnicu oko a, |a| > 1, tada i f (z) opise zatvorenu krivu oko f (a). Analogno se pokazuje da obilaskom oko taCke a = 0, |a| < 1, po zatvorenoj kruZnici, slika takode prođe zatvornu krivu. U tom sluCaju kruznica mora biti odabrana tako da 0 bude u njenoj spoljasnjosti, tj. polupreCnik kruznice mora biti manji od |a| . To znaci da nijedna tacka iz C \ {0 } nije tacka grananja za funkciju f (z) = c) Da bismo proverili da li je tacka ro tacka grananja, ispitaêmo da li je u = 0 tačka grananja funkcije g(u) = f ( — Vu Ako tacka u opisuje jedinicnu kruznicu oko 0, onda je u = eiV,

Analognim postupkom se dobija da je funkcija f ( z ) = n = ±2, ±3, n —znacna i da su jo j tacke 0 i ro tacke grananja (n — 1 ) - og reda. P r im e r 3 .6 .3 Neka je ui = f ( z ) = \/z2 + 1.

3.6.


99

a) Pokazati da su z = i i z = —i tacke grananja za f (z ). b) Pokazati da ako z opise zatvorenu krivu koja obuhvata obe tacke grananja, tada se slika w vraâ na istu granu sa koje je posla. R e š e n je . Kako je w = (z2 + l ) i = (z — i ) i ( z + i ) i , to je 1 1 argw = - arg(.s - *) + - arg(.s + *)• Ako sa A arg simbolicki oznacimo promenu argumenta, iz poslednje jednakosti dobijamo A a r g w = -A a r g (.s — i) + -A a r g (.s + i) . 2 2

Slika 3.14. a) Ako z obiđe krivu C (leva slika) koja obuhvata tacku i ali ne —i, tada je A arg(z — i) = 2n,A arg(z + i) = 0, te je A arg w = -27r + - 0 = 7T. To znaci da se w nije vratila u pocetnu tacku, tj. promenjena je grana. Prema tome, i je tacka grananja. Analogno se pokazuje za —i. b ) Ukoliko z obiđe krivu C (desna slika) koja obuhvata tacke i i —i, tada je A arg(z — i) = 2n,

A arg(z + i) = 2n,

te je A a r g w = -27r + -27r = 27t, sto znaci da se slika w vratila na onu granu sa koje je posla. P r im e r 3 .6 .4 Dokazati da w = f (z ) = L n z ima tacke grananja u 0 i ro.

□

100


R e s e n je . Znamo da je

a glavna grana je ln z = ln |z| + arg z (pogledati odeljak 3.5. tacku 2). Neka tacka z obilazi put po zatvorenoj krivoj koja okruZuje tacku nula i neka polazi iz tacke zi = rie®01.

Tada je Ln zi = ln ri + i#i. Posle obilaska putanje u pozitivnom smeru vracamo se u tacku zi, s tim Sto je argument veci za 2n, zi = r i e l(ei+ ‘2'K') . Tada je L n z i = ln r i + i(#i + 2n), tj. presii smo na sledecu granu. Ponovni obilazak u istom smeru nas vodi na sledecu granu i obilazenjem po zatvorenoj krivoj u istom smeru nas nece vise vratiti na pocetnu (glavnu) granu. To znaci da je z = 0 tacka grananja beskonacnog reda. Da bismo pokazali da je ro takođe tacka grananja, ispitujemo funkciju g(u) = f ( — ] = Ln — = —Ln u \u J u u taCki u = 0. Kako taCka u = 0 jeste taCka grananja za g(u), to je ro taCka grananja za f (z). □ Na sli Can na Cin se, s obzirom na vezu koja postoji izmedu Arcsin z, Arccos z i Arctg z (pogledati odeljak 3.5, taCku 4) i L n z, dokazuje da viseznaCne funkcije Arcsin z i Arccos z imaju taCke grananja 1, —1 i ro, dok Arctg z ima taCke grananja i i —i. Neka je f (z ) viseznaCna funkcija i neka su za nju izdvojene jednoznaCne grane. Odvojene jednoznaCne grane funkcije f (z ) su definisane u oblastima ograniCenim z a secim a . Zaseci su proste krive (obiCno duzi ili poluprave) izabrane tako, da nijedna zatvorena kriva, koja okruzuje taCku grananja, ne le zi u oblasti definisanja neke druge jednoznaCne grane. Zaseke m ozem o shvatiti kao zamisijenu barijeru koju zatvorena kriva ne sme da prede ako zelimo da skup slika ne prede na drugu granu funkcije. Izbor grana i zaseka funkcije f (z) nije jedinstven. Recimo, funkcije t f ž i Ln^ imaju tačke grananja 0 i oo i zasek može da bude svaka poluprava koja spaja taCke 0 i ro (svaka poluprava Cija je poCetna taCka u 0). Obi Cno se uzima pozitivni deo realne ose ili negativni deo realne ose.

3.7.

Krivolinijski integral u C

101

Za funkcije A rcsin z i Arccos 3 , čije su t-ačke grananja 1, —1 i o c, zasek je obično ■’duž” koja spaja 1 i - 1 duž realne ose preko tačke 00 ili preko 0 (pogleđati sliku).

-1

1

-1

1

Slika 3.16.

3.7


U ovom odeljku bavićem o se krivolinijskim integralom kompleksne funkcije kompleksne promenljive. Pri izračunavanju tog integrala p ojaviće se potreba izračunavanja f ^ f ( t ) d t , gde je t.a. b 6 R, f ( t ) = P ( t ) + i Q ( t ), P : [a,6] -> R, Q : [a, 6] -> M. U skladu sa ostalim pravilima izračunavanja sličnih izraza u kompleksnoj analizi, imamo definiciju

f Ja

3 .7 .1

f(t)d t=

f J a

P ( t ) d t + i [ Q ( t) d t. Ja

Definicija i osobine

Neka je / neprekidna funkcija nad putanjom L čija je početna tačka a i krajnja tačka b.

slika 3.17. Podelićem o L proizvoljno izabranirn tačkam a 11a n elementarnih delova krive, numerišući tačke podele zk, k = 0 . 1 , 2 , . . . ,n , u smeru od a prem a b. Ako je L zatvorena putanja, uzimamo pozitivan smer (suprotan kretanju kazaljke na časovniku). U vedim o oznaku Ačfc = zk - 2 fc_ 1 ,

k = 1 ,2 ,..., n

102


Na svakom od delova putanje L izmedu z k - 1 i z k izaberimo proizvoljnu tacku £k i formirajmo sumu n Sn = Y ; f ( & )A Zfc • k= 1 Ako postoji jedinstvena granična vrednost n nm max1
(tk )A z k

bez obzira na način izbora tačaka z k i £k, tada tu graničnu vrednost nazivamo in te g r a lo m funkcije f duz putanje L i označavamo ga sa J f ( z ) dz • Ukoliko je L zatvorena putanja, tada koristimo oznaku J f ( z ) dz . A k o d r u g a c ije n e n a g la sim o , s m a t r a m o d a j e z a tv o r e n a p u ta n ja p o z it iv n o o rije n tis a n a . Uvedimo oznake zk = xk + iyk , Šk = ak + iftk ,

f (z) = P (x, y) + i Q (x ,y ).

Tada je Azk = zk - z k -i = (xk + iyk) - (x k -i - iy k -i) = = (xk - x k - i ) + i(yk - y k - 1) = Axk + iAyk f (£k) = P ( « k ,Pk ) + iQ (a k ,Pk) • Sabirke u integralnoj sumi transformisemo f (^k)Azk = [P (a k , Pk) + iQ(&k, Pk)] (Axk + iA y k ) = [P ( a k■ ?$k ) A x kQ ( a k■ ?Pk) A y k] + ^ [Q (a k■ ?$k ) A x k + P ( a k■ ?$k )A y k]

■ ?

za svako k G N. Kad max |Azk|— 0,

1
onda max A x k — 0, 1
max A y k — 0,

1
te sabiranjem po k, k = 1 , 2 , . . . , n, leve i desne strane poslednjih jednakosti, za n ——^ , dobijamo

JL

f ( z ) dz = P (x , y) dx - Q (x, y) dy + iQ (x, y) dx + P (x , y) dy • JL Jl

Ovako definisan integral ima sledeče o s o b in e :

3.7.


103

[ a f (z) + fig (z)] dz = a L

L f ( z ) dz = ) L(AB)

f ( z ) dz + 0 g(z) dz , L

f ( z ) dz ' L(BA)

Ako je putanja L podeljena na dve putanje L 1 i L 2, tada f ( z ) dz = f ( z ) dz + JL J L1

f ( z ) dz J L2

Ako je |f (z)| < M za sve z € L i ako je A L duzina krive L, tada je

f ( z ) dz < L

|f ( z ) |dz

M

AL

L

Ako je putanja L zadata parametarskim jednačinama x = x(t), y = y(t), t € [ a,b ], tada je

f f (z) dz = f f (z(t)) ■z '(t) dt , •JL Ja gde je z '(t) = x '(t) + iy '(t).

P r im e r 3 .7 .1 Nači f L z dz od tačke z = 0 d o z = 4 + 2i

a) duz putanje z(t) = t 2 + it, b) duz duzi od z = 0 do z = 2i i duzi od z = 2i do z = 4 + 2i,

R e š e n je . a)

f z dz = f (x — iy) dz = f jl

b)

Jl

(t 2 — it)(2t + i) dt = 1 0 ----- i,

J0

3

/ (x - iy)(d x + i dy) = / x d x + y d y + i / x d y - yd x. ./ l ./ l ./ l i\.ko je

/ L = «/ / Li + «/

L^ duz koja spaja 0 i 2i a L 2 duz koja spaja 2i i 4 + 2i, tada /L •2 * «/

^ / ž : dz = L

/•2

/*4 ydyx d x + i / 0 0

/•4 ( - 2 ) dx = 2 + 8 - 8 i = 10 - 8 i. 0

□

104


3.7.2

Kosijeva teorem a i njene posledice

T e o r e m a 3 .7 .1 (Kosijeva teorema) N ek a je f analiticka funkcija na nekoj jednostruko povezanoj oblasti G, a L zatvorena putanja koja zajedno sa svojom unutrašnošću int L = D pripada G. Tada je J f (z) dz = 0 .

D ok a z. N ekaje z = x + iy i f (z) = P ( x ,y ) + iQ (x ,y ). K a k oje f '( z ) neprekidna funkčija na L, znači da su Px, P y, Q x, Q y neprekidni na L. Tada je ® f (z ) dz = ® P dx - Q dy + i ® Q dx + P dy = / 1 + i / 2 . L L L Ako na krivolinijske integrale / 1 i I 2 primenimo Grinovu formulu (odeljak 2.3), imamo

J f (z ) dz = JJ ( - Qx L

- Py) dxdy + i JJ (P^ - Q y) dxdy .

D

D

Funkčija f je analitička, sto znači da su zadovoljeni Kosi-Rim anovi uslovi (odeljak 3.2) Px — Q y^ Py

Q x t e je J f (z ) dz = 0 + i 0 = 0 . □

P o s le d ic e K o s ije v e te o r e m e

Ako je f analitiCka u jednostruko povezanoj oblasti D tada vazi:

Integral J f (z ) d z, L C D , zavisi samo od početne i krajnje tačke putanje L, tj. za bilo koje putanje L 1 i L 2 iz D koje povezuju tačke a i b vazi f ( z ) dz = f ( z ) dz J Li(a,b) J L2 (a,b) fb i obično pisemo / f (z) dz. a Ako a, z € D, gde je a fiksirana, z promenljiva veličina, a D konveksan skup, tada f f M dw = F (z ), a

3.7.


105

gde je F '(z ) = f (z). Funkciju F nazivamo p r im it iv n o m fu n k c ijo m analiticke funkcije f . Sve primitivne funkcije od f , razlikuju se međusobno za konstantu. Skup svih primitivnih funkcija oznaCavamo sa J f (z) dz = F (z ) + C, gde je C bilo koja konstanta, i nazivamo ga n e o d r e đ e n im in te g ra lo m funkcije f . Neodređeni integrali elementarnih funkcija kompleksne promenljive nalaze se po istim pravilima i formulama kao i neodredeni integrali odgovarajucih funkcija u realnoj analizi. Iz prethodno izlozenog sledi o s n o v n a fo rm u la in te g ra ln o g raCuna, koja glasi f f (z) dz = F (b) - F (a ). Ja Tacke a i b su bilo koje dve tacke koje pripadaju oblasti D (u k ojoj je nb f analiticka). U oznaci integrala / f (z) dz navedene su samo pocetna i Ja krajnja tacka putanje integracije jer integral ne zavisi od putanje koja ih spa ja. Neka su L i L i zatvorene putanje takve da L i leži u unutrasnjosti L (L i C int L) i neka je f analiticka na L, L i i prstenu P izmectu L i L i (P = int L n ext L^). Tada je I f (z) dz = I f (z) dz. L Li

Zaista, ako formiramo zatvorenu, pozitivno orijentisanu putanju T = L U A B U ( —L i) U B A (slika 3.18), unutrasnjost te putanje je jednostruko povezana oblast u k ojoj je f analiticka, te, na osnovu Kosijeve teoreme §T f (z) dz = 0. Kako je

T

= đ> + / ./ L ./ AB

+ / J -L i

J

= 0 ,

BA

JL

sledi da je I f (z) dz = I f (z) dz. L Li

J Li

106


Neka zatvorene putanje L i, L 2, . . . Ln pripadaju unutrasnjosti zatvorene putanje L (L k C int L, k = 1 , . . . , n) i za sve m, k € { 1 , . . . , n }, m = k, vazi int L m n int L k = 0 i neka je funkcija f analiticka nad L, L i , . . . , L n i nad oblascu int L \ |Jn= i int L k (osenceni deo slike 3.19).

Tada je ® f (z) dz = ® f (z) dz + ® f (z) dz + •••+ ® •/ L JLi JL2

f (z) dz. JLn

Ova osobina je uopstenje prethodne osobine. f dz P r im e r 3 .7 .2 Naći ® -------- , gde je L zatvorena putanja i element o. pripada Jl z — a 1) spoljasnjosti L (a G ext L), 2) unutrasnjosti L (a G int L).

R e š e n je . 1) Ako a £ ext L tada je f ( z ) = -------z a int L, te je po Kosijevoj teoremi — Lz a

analitička na oblasti D

= 0.

2) Ako a G int L i neka je r C int L kruznica sa centrom u a i poluprecnikom e cija je jednacina z — a = e e lv , 0 < < 2 n, tada je dz

f

dz

l z — a Jr z — a

Jo

<■2 f n iee®' -— d

d
□

P r im e r 3 .7 .3 Neka je L bilo koja putanja takva da tacke A = (1,1 ) i B = (2, 3) pripadaju L. Naci / (3z 2 — 2 iz ) dz. J l (a b )

3.7.


107

R e s e n je . K ak oje funkcija f (z) = 3z 2 —2iz analitickana C, primitivna funkcija F (z ) je

F (z) =

t'

3z 3 z2 (3 Z2 — 2iz) dz = —------ + C =

— i z 1 + C,

te je [ (3z 2 — 2iz ) dz = F (B ) — F (A ) = J l (a b ) = (2 + 3 i) 3 — i(2 + 3 i) 2 — (1 + i) 3 + i(1 + i ) 2 = 34 + 12i. □

3.7.3

Kosijeve integralne formule

T eorem a Neka je f zatvorena int L = D

3 .7 .2 (KoSijeve integralne formule). analiticka funkcija na nekoj jednostruko povezanoj oblasti G, a L pozitivno orijenrisana putanja koja zajedno sa svojom unutrašnjošću pripada G. Tada za svako a G D i svako n G N vaši

Slika 3.20. 1 /* f (z) D ok a z. Dokazaćemo samo prvu formulu, f(a) = — : ® --------d.z 2 iri JL z — a f (z ) Kako je podintegralna funkcija -------- analitička u D \ { a } , važi

Lz a

r z a

gde je r kružnica polupreCnika £ sa centrom u a.

108


Jednacina kružnice r je z — a = eeiV,

r " f ( a + ^ iLp) l£e^ d ( f = t r Jo

£eltf

f { a + eei*) ^

Jo

Ako £ ^ 0, na osnovu neprekidnosti funkcije f (z), sledi 27T 2 z»2n lim i /f (a + £eiv) d
= i / f (a) d^> = 2 n i f (a), £—>-0 0 0 0

te je f (z ) 2 ni .Zl z — a

dz,

Sto je i trebalo dokazati. Dokaz druge formule koja se tiCe izvoda je sliCan navedenom, te ga izostavljamo. □ Na osnovu Kosijevih integralnih formula zakljuCujemo da ako poznajem o ponasanje analitiCke funkcije f na zatvorenoj putanji L, tada m ožemo naCi vrednosti funkdje f i svih njenih izvoda f (n) u bilo kojoj taCki a koja pripada unutrasnjosti L. Takocte, na osnovu ove teoreme m ožemo zakljuCiti da ako fu n k c ija f im a p r v i iz v o d n a D (tj. analitiCka je nad D ), ta d a o n a im a i sve iz v o d e v is e g r e d a n a D. Primetimo da u realnoj analiži ova osobina ne va ži. VeCina važnih osobina analitiCkih funkdja, koje smo radi preglednosti i da bismo istakli njihov žnaC aj, naveli u poglavlju 3.4, dokažuju se korisCenjem upravo Kosijevih integralnih formula i predstavljaju direktnu poslediCu ove teoreme. Cak i jedna od najvažnijih teorema algebre - Fundamentalna teorema algebre, da svaki polinom Pn(z), n > 1, z G C, ima najmanje jednu nulu u skupu C, dokažuje se kao poslediCa ove teoreme. P r im e r 3 .7 .4 Ako je L kružniCa |z| = 2, naCi

2 sin z

A R eS en je.

( , - 1) ( , + I ) ' k -

(' 2)

e2z

7i ( 5 T I F *

3.8.

Razlaganje analitičkih funkcija u red

1) Kako je

1

1

(z — 1 )(z + 1 )

1

2 \z —1

2 sin z l

1

dz =

(z — 1)(z + ^

109

z + 1/ f sin z Lz

1

lmamo sin z

dz

Lz+ 1

dz =

= 2ni (sin 1 — sin( —1)) = 4ni sin 1. 8 2)

L (z + l f d z -

3.8

3! (e

2

3m e

□

Razlaganje analitičkih funkcija u red

Osnovne definicije i pojm ovi vezani za funkcionalne redove kompleksnih funkcija kompleksne promenljive glase isto kao i u realnoj analizi. Naravno, vodim o raCuna o razliCitim definicijama rastojanja i okoline u realnoj i kompleksnoj analizi (pogledati odeljak 1.1). Recimo, kad u realnoj analizi promenljiva x prolazi intervalom |x — a| < r, a G R, r > 0 , analogan uslov u kompleksnoj analizi je da promenljiva z prolazi krugom |z — a| < r, a G C, r > 0. Sve teoreme navedene u 1.6. vezane za konvergenciju, uniformnu konvergenciju, neprekidnost, diferencijabilnost, integrabilnost, stepene redove u realnoj analizi vaz e i za funkcionalne redove u kompleksnoj analizi. Nave scem o dve teoreme o razvoju analiti cke funkcije u Tejlorov i Loranov 4 red.

3.8.1

Red Tejlora

T e o r e m a 3 .8 .1 (Tejlorova teorema) Neka je f analiticka funkcija na kruznici K : |z — a| = r i u unutrašnjosti kruznice int K . Tada za svako z G int K

f (z) = ^

a „(z — a ) n, 0

gde je an

f (n)(a) n:

n = 0 , 1, 2 ,

D ok a z. Svi uslovi teoreme 3.7.2. ispunjeni su, te za svako z G int K vazi

/ (z) =

i

2 ni .JK w — z

■

4 Pierre A lfonse Laurent (1813-1854) - Francuski matematičar. inženjer. D om en rada mu je bila kompleksna analiza.

Po profesiji je bio vojni

110


Kako je 1

1

Lv — z

(u> (z — a) ) \ — a) ) — \

1

u) — a

1 1 — i^— —— a ’

iz uslova da z £ int K a w € K , sledi da je |z — a| < |w — a|, te je ..

OO

- =T n

—

1

Za svako fiksirano z € intA ', red

=0

(jjz^ j

konvergira uniformno kad u> G

K , jer se moze majorirati brojnim geometrijskim redom

O= 0 qn, gde je q =

\~~a\ < 1. Na osnovu uniformne konvergencije, članove reda možemo integrisati clan po c lan (tj. mo zemo izmeniti redosled integracije i sumiranja), te imamo

/W

= 2ii

T\ • ^ \— ni J ni 2 2

0

f M (z — a ) n — (w — —a —a )n

K

dw I (z — a ) n. k

(w — a ) ” +1

Na osnovu teoreme 3.7.2. f

1

f M

2 ni J k (w — a ) ” +1

dw

f (n)(a) ni

an □

sto je trebalo dokazati. P o s le d ic e T e jlo r o v e te o r e m e O

• Ako je f (z) =

E an (z — a ) n, za n=0

|z — a| < r, tada kazemo da je red

O ^ ^ a n(z — a ) n T e jlo r o v r a z v o j ili T e jlo r o v r e d funkcije f (z ) u tacki n=0 a £ C. Ovaj razvoj je jedinstven.

3.8.

Razlaganje analitickih funkcija u red

111

• Funkcija f koja je analiticka u tacki a moze se razviti u Tejlorov red

f (z) = T an(z — a ) n n=0 koji je konvergentan u krugu, opisanom oko tacke a sa poluprecnikom r = |,0 — a|, gde je 0 singularitet funkcije f najblizi tacki a. B roj r nazivamo p o lu p re C n ik o m k o n v e r g e n c ije . • Na kruznici |z — a| = r red ne mora da konvergira. • Za one z za koje je |z — a| > r, red divergira. • Ako je najblizi singularitet funkcije f u ro, tada je poluprecnik konvergencije r = ro, tj. red konvergira za sve z £ C. • Ako je a = 0, razvoj u red funkcije f nazivamo M a k lo r e n o v im ra z v o je m . Moze se pokazati da elementarne funkcije ciji su Maklorenovi razvoji u red navedeni u 1 .2 .6 . imaju isti razvoj i u kompleksnoj analizi. • Ukoliko je f (a) = 0, tacku a £ C nazivamo n u lo m funkcije f . Ako je Tejlorov razvoj u ta cki a takav da je a 0 — a 1 — •••— ak - 1 — 0

ak = 0

tj. f (z) = ak(z — a)k + ak+1 (z — a ) k+1 + •••^ tada kazemo da je a n u la r e d a k za f . U tom sluc aju je f (a ) = f '(a ) = ••• = f ( k - 1) (a ) = 0 ,

3.8.2

f (k)(a ) = 0 .

Red Lorana

T e o r e m a 3 .8 .2 (Loranova teorema) Neka su K i i K 2 koncentrične kruznice sa centrom u a £ C, i neka je funkcija f analiticka na K i, K 2 i u prstenu P između K i i K 2 . Tada za svako z £ P

f(z )=

T an(z — a ) n, n= - O

gde je

n £ Z, a L je proizvoljna zatvorena pozitivno orijentisana putanja u P koja obuhvata manji krug.

112


D ok a z. Neka je z e P fiksirana tacka. Ako kružnica K i ima poluprecnik ri a kruž nica K 2 ima polupreCnik r2, r 2 < ri, tada je r 2 < |z — a| < ri. Oko ta Cke z opi semo kruž nicu r koja pripada prstenu P (slika 3.24).

Na osnovu posledica KoSijeve teoreme (3.7.1) je

/

m

■

JKi w — z

r

JK 2

a na osnovu Kosijeve integralne formule (3.7.2) je

^

^■dw = 2nif(z),

sto žna ci da je 1

f(z) = —

d> ^ L d w ~ —

2 ni Jki w — z

/ (w)

= Si + S 2 .

2 ni Jk 2 w — z

Prvi sabirak Si transformisemo na isti nacin kao u dokazu teoreme 3.8.1. dobijamo 1

= 2 ni jK i ^ — zv 2 ni J K i (^ — « )n+i

i

) (z — a ) n .

/* / (^) Kako u prstenu P funkcija / nema singulariteta, integral ® ---------- ——rđio J k x (^ — a )n + i se nece promeniti ako umesto putanje K i uzmemo bilo koju zatvorenu putanju L C P koja obuhvata K 2.

3.8.


113

Drugi sabirak S 2 transformisemo na slican nacin: Kako je z fiksirana ta cka iž prstena P , to je |z — a| > r2. U drugom sabirku vrsimo integraciju po promenljivoj w koja se kreê po K 2, sto znaci da je |w — a| = r2. Tada je

< 1,

r2

|z — a|

z a te imamo 1

1

1

w — z(w — v a) — (z ) —va )

1

1

z — a i i------------w a z —a

)

E

z — a m=0 vV z — a

Poslednji red uniformno konvergira na K 2 (po promenljivoj w) jer se može majorirati geometrijskim redom J2qm, q =

---------r < 1. Transformišemo drugi |z - a|

sabirak

S 2 = ---- — 2

dca = V ] ( —

iT ii J K 2

lv —

z

Z ^ o y 2 m

f ( c o ) ( c o - a ) m d c J )--------——p

J K 2 n

n

^

J

(

z

-

a

r

+ 1

Putanju K 2 možemo, isto kao i K i, žameniti gore opisanom putanjom L. Ako uvedemo smenu indeksa numeracije u poslednjem redu, m = —(n + 1 ), dobijamo f

f i - i

— fi"!— ,

/

„

A

v

1 -

n=- TO sto je trebalo dokažati.

□

Red

an (z — a ) n, z £ P , naživamo Loranovim redom ili ražvojem u n= —oo Loranov red funkcije / u prstenu P u tacki a. Cesto ga žapisujemo u obliku

i/ \ _

,

a -n

,

a _ ( « - l)

,

,

f ( z ) — - - + 7(z - a )wn + (z 7 - a ) n—i f + ••• +

a -l

,

,

z - a h a0+

+ a i( z — a ) + ••• + an(z — a ) n + •••= _

,

bn

,

b( n - l )

7 - a ) n—i ~ " ' + 7(z - a ) n + (z

,

,

+ a i( z — a ) n + ••• + an(z — a ) n + tj.

&1

+ ••• + z - a

,

,

h ao+

114


Koeficijenti an , bn, n = 0,1, 2 , . . . mogu se izracunati iz formula 1

an =

2 ni JL (w — a )” ^ 1

bn =

f

dw,

/ M (w - « ) "

n = 0 , 1 , 2 , .. .

n = 1, 2 ,

1

Red V a „ (z — a ) n naziva se a n a litick im d e lo m , a red (z — a ) n n=0 n=1 naziva se g la v n im d e lo m Loranovog reda. U sluCaju da je glavni deo jednak nuli, Loranov red se reducira u Tejlorov red (to se događa ako je funkcija f analitiCka i na unutrasnjosti kruga K 2, tj. na celoj unutrasnjosti kruga K i). M o ze se dokazati da je u okviru istog prstena razvoj u Tejlorov, odnosno Loranov red, jedinstven.

P r im e r 3 .8 .1 Naci razvoj u Loranov red funkcije f (z ) =

4 (z - 1)(z + 3)

u ta cki

a = 0 .

1 . u krugu |z| < 1 , 2 . u prstenu 1 < 1z 1 < 3

3. u oblasti |z| > 3,

i u tacki a = 1 4. u krugu 0 < |z - 1 |< 4, 5. u oblasti |z — 1| > 4. 1

R e s e n je . Kako je f (z) =

1

=0 ( 1 +

1 1 - -

1

= z

imamo:

i + | :-E n

3

2 - f ( z) = ~ ■ Z

z+3

1

1 - /(* ) = -

1

3

i+ i

n=0

i zn+ 1

( - 1 )” 3n+i

-E n

=0

\

( - 1 )n 3n+1

|z| < 1 ,

z n,

1 < |z| < 3,

3.8.


115

Slika 3.25.

3- f ( z ) = - ■ zz

-i 1

1

1 1

z

------------

1

z

4 4. f ( z )

E

1 +

-

^

z n+1

,

3 < |z|,

n = 0

z

4

z —1

1- (-3 )n

1

1

(z — 1) + 44 (z — 1)

^

z —1 4

( _1 )n

4

1

(z - 1 )

2

1+ —

z

□ ,f^ ^ - 1 ) n+2

1

P r im e r 3 .8 .2 Naci razvoj u Loranov red funkcije f(z )

(z + 1) 3

u tacki a = —1 i naci oblast konvergencije tog reda. R e s e n je . f(z )

e2z (z + 1) 3

,

z + 1 = u,

z = u — 1.

e2(u— g (u) = f (u — ^

u3

Nacicemo razvoj g(u) u tacki u = 0 . 2 nun

g(u) = +u 3e 2“ e ~2 =

■

Ako zamenimo u sa z + 1 dobijam o —2 f(z ) (z + 1 )

E

0

2 n(z + 1 )n

n;

O c igledno, ovaj red konvergira za svako z = —1 .

□

116


3.9

Klasifikacija izolovanih singulariteta

Kazemo da je a G C sin g u la r ite t ili sin g u la rn a ta čk a funkcije f ako f nije analiti cka u z = a (definicija analiti cke funkcije je u 3.4). Tac ka a G C je iz o lo v a n i sin g u la r ite t ako postoji okolina O (a ) tacke a takva da je a jedini singularitet funkcije f u O (a ). Naj ce sce sreêmo tri vrste izolovanih singulariteta u konacnoj kompleksnoj ravni C i o njima ce biti rec u narednim pasusima . 1. O tk lo n jiv (p r iv id a n ) s in g u la rite t. Tacka a G C je otklonjiv (prividan) singularitet ako je f ogranicena u nekoj okolini tacke z = a. Tada su svi koeficijenti bk, k € N , glavnog dela Loranovog razvoja u tacki a jednaki nuli. ez — 1 Recimo, funkcija f ( z ) = --------- ima prividan singularitet u tački 0. Zaista, ez — 1 lim f ( z ) = lim ■ zÔ zÔ

1

a Loranov razvoj za a = 0 je

/W

1 1 z2 = - ( eZ - 1) = - ( 1 + z + ¥ +

z z2 - - - 1) = 1 + 2 + 3 ! +

2. P o l r e d a k. Navodimo tri uslova da je tacka a G C pol reda k, k € N. Tacku a € C je pol reda k ako je • lim f (z) = ro. 1

f ( z ) = ----------h (z ), gde je h analitička funkcija u a i h(a) f 0 . (z — a ) k bk bk- 1 b1 - ^ \ . c( \ _ M J f Z T a f + (Z - <*)*-! + J f ^ a j + a° + ° l(z “ a ) + '•• ’ tj. u Loranovom razvoju funkcije f (z) u tacki a, glavni deo ima konacno mnogo clanova, bk = 0 i za sve m > k je bm = 0 . U primeru 3.8.2. tacka —1 je pol reda 3 funkcije f (z ) =

e2z (z + 1) 3

3. E se n cija ln i s in g u la rite t. Tacka a € C je esencijalni singularitet funkcije f ako je zadovoljen jedan od sledeâ dva uslova: • limz^ a f (z) ne postoji (ni konac an ni beskonac an), • glavni deo u Loranovom razvoju funkcije f u ta cki a sadr zi beskona cno m nogo c lanova, tj. za svako k € N postoji m € N, m > k, takvo da je bm = 0 .

3.10.

Reziduum

117

Recimo, funkcija f( z ) = e* ima esencijalni singularitet u tački z = 0. Zaista lim e* ne postoji - ako z —> 0 preko pozitivnih realnih vrednosti, tada zÔ e* —> + o o , a ako z —> 0 preko negativnih realnih vrednosti, tada e* —> 0 , te očito lim e* ne postoji. Loranov razvoj funkcije e* u tački 0 je zÔ ! , 1 1 e I = 1 + J + 2?

+

'

Glavni deo ima beskonacno mnogo clanova.

4. T a čk e g ra n a n ja . Pogledati odeljak 3.6. S in g u la rite t u ta čk i ro. Kazemo da funkcija f (z) ima izolovan singu-

^

laritet u tački z = oo, ako funkcija g(oj) = f

ima izolovan singularitet u

tacki w = 0 . Recimo, funkcija f (z) = 1 + z + z 3 ima pol reda 3 u tacki z = ro jer funkcija g(oj) = f ( — ) = 1 H------- 1-----5- ima pol reda 3 u tački uj = 0. Vw w

3.10

Reziduum

Pretpostavimo da je za funkciju f (z) tacka z = a, a € C, regularna tacka ili izolovani singularitet. R e z id u u m funkcije f u tacki a, u oznaci Res [f (z ), a], definisan je sa f ( z) dz ,

Res [f(z), a] =

tj. j> f (z ) dz = 2ni Res [f (z ), a], gde je L zatvorena pozitivno orijentisana putanja koja okru zuje ta cku a i u cijoj unutrasnjosti i na L nema singulariteta sem eventualno u tacki a. Ukoliko je Res [f (z ), a] = 0.

a

regularna

tacka

ili

otklonjiv

singularitet,

tada

je

Reziduum funkcije f u tacki a € C jednak je koeficijentu b^ uz (z — a ) - 1 u Loranovom razvoju funkcije f u tacki a ( na osnovu Loranove teoreme 3.8.2), tj. Res [ f (z), a] = b^

118


T e o r e m a 3 .1 0 .1 Ako je f analitička funkcija u unutrasnjosti i na zatvorenoj pozitivno orijentisanoj putanji L sem u konačno mnogo tačaka a^, k = 1, 2, .. ., m, ak € int L, tada je

D ok a z. Ako su L i, L 2, . . . , Lm kružnice, L k C int L, int L k n int L n = 0, n = k, n, k G { 1 , . . . , m }, opisane redom oko a i, a 2, . . . , a m,

L

tada na osnovu pete posledice Kosijeve teoreme (3.7.1) važi ,.

m

,.

i f (z) dz = E f f (z) dz, Jl k = i^ Lk te kako je ža svako k = 1 , 2 , . . . , m ® f (z) dz = 2ni Res [ f ( z ) , a k], JLk

P m ® f (z) dz = 2 n i^ ^ Res [f ( z ) , a k]. L

□

Iž poslednje teoreme vidimo da se izraCunavanje integrala funkcije f po zatvorenoj putanji L može obaviti nalaženjem svih reziduuma u unutrasnjosti putanje. Svaki od režiduuma možemo naCi ražvijajuCi funkciju f u Loranov red u ta cki ak , k = 1 , . . . , m. Naredne dve teoreme daju m etod ža jednostavno ižracunavanje režiduuma u sluc aju da se radi o polu, s tim sto se prva teorema odnosi na pol reda k, k € N, dok se druga odnosi na pol prvog reda. T e o r e m a 3 .1 0 .2 Ako je a € C pol reda k funkcije f , tada je Res [ f ( z ) ,a ] =

lim ((z - a ) kf ( z ) ) ^

1}.

3.10.

Reziduum

119

D ok a z. Ako je a pol reda k, tada je Loranov ražvoj ža f u a dat sa / (z ) — 7---------tj: + ••• H------------- 1~ ao + ••• , bk ^ 0 , (z - a ) k z- a te je (z — a) f ( z ) — bk + b k - i(z — a ) + ••• + b i(z — a )

+ ao(z — a )

+

k f ((z z ) ) (k ((z — a ) kf (k -i) ^ = (fc (k -— 1 )! b^ + k !a0(z — a ) + lim [(z — a ) kf (z )]k - ^ = (k — 1 )! bi □

6l = T e o r e m a 3 .1 0 .3 Ako je a € C pol prvog reda funkcije f , tada je

D ok a z. Ako je a € C pol prvog reda funkcije f , tada 1

f(z )

(z — a )h (z ),

h (a ) = 0 ,

te je 1

i j j ž j ) = h(z) + (z ~ a )h'(z)^ 1

----l /(*)

h (a) z= a

S druge strane f (z ) = -----------h ag + a i(z + a ) +

1

- [bi + ao(z — a ) + •••],

te je

h(z)

— (bi + ao(z —a ) + •••),77 —7 — b\. ’

h (a)

P r im e r 3 .1 0 .1 Naci režiduum u svakom od singulariteta a € C, ža funkciju ez 2 f ( z ) = -sin2 z

□

120


R e s e n je . f (z) ima pol reda 2 u svakoj od tacaka a = mn, m € Z. Zaista, 2

1

sin 2 z

f(z )

ez

u tacki a = mn, m € Z ima nulu reda 2 , jer je g'(m n ) = 0 ,

g "(m n ) = ( —1 )memn = 0 ,

ža sve m € Z. Za nalaženje režiduuma u tacki a = mn koristimo formulu Res

lim z—^mn

ez

=

2 sin 2 z

lim

ez ( (z — rmr) 2 — 2 sin 2 z

ez ((z — m n ) 2 sin z + 2 (z — m n) sin z — 2 (z — m n ) 2 cos z ) . 3 sin z

Uvoctenjem smene w = z — mn, z = w + mn, dobijam o ez

Res

em7r lim W—>•0

2 sin 2 z

e

„ w3w2 sin w + 2 w sin w — 2 w2 cos w lim e — • l i m ------------ 5----------w^ o sin3 w ^ô

( oj — e

e“ (w 2 sin w + 2 w sin w — 2 w2 cos w)

+ •••) + 2oj ( oj — 3! + •••) —2oj (1 —^2! +

lim w—>•0

3

e □

Režiduum u tacki ro definisan je sa Res [ /(z ), °°] =

j)

f(z) dz =

j

f( z) dz = - a u

gde je L žatvorena, požitivno orijentisana putanja van koje f nema singulariteta sem eventualno u tacki ro i gde je ai koeficijent už linearni clan w u Loranovom razvoju funkcije g(oj) = f (^ ) u tački oj = 0 . Primenom teoreme 3.10.1, lako se dokažuje naredna teorema. T e o r e m a 3 .1 0 .4 Ako je f analitička funkcija za sve z € C sem u tačkama a i, a 2 •••, a n, n € N, tada je n Res [f (z ), ak] + Res [f (z), k=i

to] =

0 .

3.11.

Izracunavanje određenih integrala pom ocu reziduuma

3.11

121

Izračunavanje određenih integrala pomocu reziduuma

Neke klase određenih integrala realne funkcije realne promenljive mogu se ižracunati primenom teorije ižložene u prethodnom odeljku. Obradicem o 4 slu caja už ilustraciju primerima. f‘2n 1. In te g ra l t ip a / f (sin x, cos x) dx o Ako je f : R 2 ^ R racionalna funkcija, integral /*2n / f (sin x, cos x) dx o mož emo ižrac unati na sledeci na cin: Uvedimo smenu z = eix. Kada x prođe intervalom [0, 2n], tada z € C opise centralnu jedinicnu kružnicu K . Dalje je sm x = --------------- = -----------, 2i dz = ietx dx

cos x =

tj.

eix + e-ix z 2 + 1 2 iz

’2

2z

dx = — dz, iz

te je 1 2n

o

Jo

fr ( ^z z^2— - 11 z^ z 2++ 1l\\ 1^ f ( s m x , c o s x ) d x = ( p f [ --------- , ---------- I — dz = 2iri n

JK

\ 2iz V 2*zj K’ 2z ^ *z’ 2z

J iz

k=i

Res \F, ai], [

’ fcJ’

1 z2 — 1 z2 + 1 gde su afc, k = 1 , . . . , m, polovi funkcije F (z ) = — / ---- ;— , --------u ceniz y 2 iz 2 z y tralnom jedini cnom krugu K . Funkcija F (z) mora biti analiticka na kružnici K.

-

O cigledno je da se isti postupak može sprovesti ža svaku funkciju f (ne z2 — 1 z2 + 1 mora obavezno biti racionalna) ako je / ( ——— , — ) analitička na K i na y 2 iz 2 z / skupu int K ima kona cno mnogo ižolovanih singulariteta.

Primer 3 .11 .1 Naći

r2n sin 2 x ------ --------- dx, Jo a + b cos x

a > b > 0.

R e s e n je f 2n

'

/0

sin 2 x

i

f

-dx = — 1

a + 6 co s x

2 b J l z{=1

(z 2 — 1) 2 dz

—

z 2( z 2 + 2 - z + l )

b

i

f

1

(z 2 — 1) 2 dz

26 V|z|= 1

z 2(z - a ) ( z - (3)

122


gde je —a + %/a 2 — b2

—a — %/a? — b2 ,

b

3 = b

Kako je a •3 = 1, to je |a| •|3| = 1, tj. |a| < 1 i |3| > 1, sto žnaci da funkcija F (z ) =

(z 2 — 1) 2 z 2(z — a )(z — 3 )

ima u krugu |z| < 1 dva singulariteta: z = 0 je pol drugog reda, a z = a je pol prvog reda. Nacicemo režiduume u ove dve tacke Res [F(.s),0] = l im b 2^1^ ) ] ' = — zô b Res [F (z ), a] = lim (z — a )F (z )

= a —3 =

(a 2 — 1) 2(a 2 — a 3 ) 2 a 2(a — 3 ) a 2(a — 3 ) 2 V a 2 - b2

b

'

Kona c no dobijamo r 2n o

sin x i . 2 V a 2 - b2 ------ --------- clx = — ■2 tii a + b cos x 2b b

2 a,

T

= Tw{a - V/ a 2 - b2). b2 □

-.X) 2. In te g ra l tip a

f (x) dx

Neka je f (z) funkcija analiticka u oblasti Im z > 0 sem u konacno mnogo singularnih tacaka a k, k = 1 , . . . , m , koje nisu na realnoj osi i neka je ža z = R ež^,

|Rf (R eiv )| < h(R ) R—^1° 0. Tada je

/OOf (x) dx = O

m

2 ni

E Res [ f (z ), ak]. k=i

Pokažacemo da poslednja jednakost važi. Zaista važi jednakost P m I = ^ f (z) dz = 2n^ ^ ^ Res [ f ( z ) , a k], k=i JL j„_1 gde je L putanja sa slike 3.27,

Slika 3.27.

3.11.


123

a R je dovoljno veliko da svi polovi a k, k = 1 , . . . , m, budu u int L. S druge strane je R /*n f (x) dx + / f (R e ^ ) R ie ^ d^.

/

R

o

Kad u poslednjem ižražu R ^ ^ , tada / R R f (x) dx = -R

/* O

O f (x) dx.

./- O

Iž uslova da ža z = R eiV, R f (R eiV) < h(R ) R—°° 0 sledi da /*n /*n lim |W f (R eiv )R eiv d^| W lim |f (R eiv )R ei v | R—— o jo o R

= 0.

Kona cno dobijamo

/OOf (x) dx = 2ni

m Res [ f (z ), a k], k=i

O sto je i trebalo dokažati. Primer 3 .1 1 .2 Izračunati

f °

dx ------- 7 , a > 0. x 4 + a4

—

Rešenje. Funkcija —:------- j ima polove prvog reda u gornjoj polovini komplekz 4 + a4 sne ravni u tačkama ae1 ’ , a e ~ l , te je

/O f (x) dx =

R R ie iv lim / f (z) dz = lim / f (x) d x + lim / o / oJoR 4 e4^^ + a 4 i—O JL R—O J -R R—O

-OO

= 2ni

Res

1

z 4 + a4

e4

+ Res

/OOf (x) sin x d x ili

1

z4 + a4

37T■

,e 4

□ a/ 2 a 3

/*OO / f (x) cos x d x . 5

O -O Neka je funkcija f (z) analiti cka u gornjoj polovini kompleksne ravni (Im z > 0 ), sem u kona cno mnogo singulariteta a k, k = 1 , 2 , . . . , m koji nisu na realnoj osi i neka je ža z = R eiV, f (R eiV) < h(R ) R—°° 0 . Tada je

/OOf (x) cos x d x + if (x)/*OOsin x d x = 2 n i^ ^ Resm[f (z)e iz, a k] -O O

J—

OO

k=i T, 1

5 U ovom slučaju nalazimo ustvari glavnu vrednost traženih integrala.

A ko nesvojstveni

b

integrali f _ ^ f (x) dx i f ^ f (x) dx divergiraju a granična vrednost lim b ^ ^ f_ ^ f (x ) dx postoji, tada je nazivamo glavn om vrednošću nesvojstvenog integrala f ^ ^ f (x) dx. O bično je označavamo sa g.v. f ^ ^ f (x) dx.

124


Da bismo dokažali poslednju jednakost, pođim o od integrala §L f (z)e iz d z, gde je L putanja na slici 4.27. Funkcija f (z)e iz ima singularitete u istim tackama gde ih ima funkcija f (z). Ako R ^ ro, imamo da je P m lim ® f (z)e iz dz = 2ni Res [f (z)e iz, a k]. R—O / l f-T k=i S druge strane l' (R lim 6 f (z)eiz dz = lim / f (x)eix dx + R—o L R—o R

lim / R—o

/■n f (R eiV)eiRe o

iV . R ie iV d^.

Kako je

-.X)

R lim / f (x )eix dx = R—o R

/

f (x) cos x d x + i /

—oo

f (x) sin x d x ,

— oo

ostaje jo s da doka žemo da je lim R

/

f (R eiv )eiRe^ R ie iv #

= 0.

o

Pretpostavili smo da je f (R eiv ) < h(R ) R— O 0. Kako je — < sin ^ za sve 0 <

/ o

< — (slika 3.28), imamo

|f (R eiv )eiRe^ R i e iv | o

< R h (R W

7T e-Rsin v

=

= 2Rh(R) [ 2 e - Rs'mLpd,if < 2R h (R ) ( ~ e ^ ^ d i p = 7th(R.)(l - e ~ R). o o O cigledno da, kad R ^ ro, poslednji ižraž te ž i ka 0. Time smo dokažali da je O m /OOf (x) cos x d x + i //»f O(x) sin x d x = 2 n i^ ^ Res [f (z)e iz, a k]. -oo

J—OO

7. 1

3.11.


125

Iž poslednje jednakosti, ižjednacavanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane, nalažimo svaki od integrala

/OOf (x) cos x d x

i

-OO

J —

OO

cos x -dx. x2 + 1

P r im e r 3 .1 1 .3 Naci o R e s e n je .

f OO f (x) sin x d x .

e dz = 2ni Res z 2 + 1 L cos x x2 + 1

e z2 + 1

dx + i

ne \ te je sin x x2 + 1

cos x -dx = —7re x2 + 1 2

o

dx = ■

.

i

□

4. Ako u in te g ra lu tip a 2 ili 3 podintegralna funkcija f žadovoljava sve navedene uslove, ali na realnoj osi ima konacan broj polova prvog reda 3 i, 32 . . . 3 i, tada putanju definisemo kao na slici 3.29.

Slika 3.29. sin x

P r im e r 3 .1 1 .4 Naci o

x

dx .

R e š e n je . Koristićem o integral I = (p — dz 7 gde je L putanja na slici 3.30. L z

Slika 3.30.

126


e Kako je — regularna u unutrašnjosti putanje L, to je / = 0. S druge strane z /=

/

CR eeix r n eiRe^^ e — c£r +

1

x

,/o

C£ eixenie

------:— R ie lv dcp +

R ei(^

JR xeni

/*o ei£eiVe

------- - e 7™c£r +

,/n

£ei(^

-----:— e ie %
Ii + I 2 + I3 + I4 . Kad R —>•0 0 , £ —>•0, tada /1= /

O cos x ------- + * o x

O sin x -------cžx. o x

Slicno kao u primeru 3.11.3. pokažujemo da I 2 ^ 0 kad R ^ ro.

|/2| < / Jo Kad R ^

\eiRe^\d cp = f ./o to ,

e - flsin^ ^ < 2

/ 2 e - ^ ^ = ^ ( l - e - fi) fl- ^ ° 0 . ./o R

£ ^ 0, tada

13 =

/*o —ix /*OO /*CXD I e ix . . _ I cos x _ . I sin x _ / ------ (—l ) a x = — --------ax + * -------ax. —x /o x /o x

Kako je lim |eie o

|= lim e -e sin v = 1 , £->o

sledi da je o lim I 4 = i 1 e—o I

= —ni.

Kona cno dobijamo /* o o

0 = 1 = 2i

•

sin x -------d x—Tii, x

, te je

/* o o

sin x n -------dx = —■ x 2

□

Navescemo jos nekoliko primera realnih integrala koji se mogu ižracunati koriscenjem režiduuma.

Primer 3 .1 1 .5 Dokazati da je

f O xp - ^ n --------dx = --------- , 0 < p < 1. 1+ x sin pn

Jo

f zP- ^ Rešenje. Poćićem o od integrala / = ® --------dz, gde je L putanja na slici 3.31. Jl 1 + z

3.11.


127

Kako su 0 i ro ta cke grananja funkcije zp - ^, 0 < p < 1, ako ižaberemo žasek duž požitivnog dela realne ose, biramo putanju koja ne sme seci žasek. Ako bi putanja sekla žasek tada bismo presli na drugu granu funkcije zp -i\ Funkcija

1+ z

u unutras njosti konture L ima pol prvog reda u ta cki —1. zp -i

Res

e(p- i )n

1

1+ z’

te je z'P- 1

dz = 2 n ie (p -i)n i.

L l + z' S druge strane / + / + / + / = 2 n ie (p -i)n i, IAB Jt 1 J c d Jr^

L

AB 1 + z zp - i

1+x

■dx, f*2n

f 2n R p - i ei(p -i)v ■dz <

zp- 1

ICD 1 + z

R ie iv

1 + R ei(^

lo

/r i 1 + z

r

0

■

Rp i 0

dz

-dx,

n

zp - i

-dz < 1+ z

0

£p- i ei(p- i ) v

7T

1 + £ei(^

■

1+ x

£p

0.

n

Kona cno imamo ’ O xp - i 0

1+x

•O xp - i dx - e2n(p-i)i n

1+x

dx = 2 n ie (p -i)n i,

te je

-.X) xp-1 n

-dx

1+ x

2 ni epni _ e-pni

sin pn

□

128


-.X) ln 2 x

n3 —^------ d,x = — , x2 + 1 8

P r im e r 3 .1 1 .6 Dokažati da je 0

f O Jo

ln x , —r------ d,x x2 + 1

R e s e n je . Neka je L žatvorena kriva sa slike 3.32.

ln 2 s

U unutrasnjosti putanje L je z = i pol funkcije ln 2 z L z2 + 1

te je

z2 + 1

3

ln 2 z

dz = 2ni Res

z2 + 1 ’

S druge strane je I =

I = + + + / = Ii + I 2 + I3 + I4, l J ab Jr i J c d ./r^ R

O ln 2

i U

|I2 |<

ln 2 R eiv R ieiv R 2e2iv + 1

n

< n

x2 + 1

|ln R + i ^>|2 1 + R2

ln 2 R 0

R

0

I3

~R

-d ćf =

(ln.Te71"'')2 (x e 7Ti) 2 + 1

ln 2 : dx + 2 ni x2 + 1

0

0

|I41 <

dx,

ln" R R = c 7T

*

~~R

0

eni dx = 00

0

(ln x + ni) 2 dx x2 + 1

ln O dx ■dx — n 2 x2 + 1 1 + x2 0

ln 2 £eiv £ 2e2iv + 1

1 2 n£ ln £ — o>•0n .

Tada imamo 3 1 = ------ = 2

00

O ln 2 x

0

x2 + 1

dx + 2ni

0

ln dx — n arctg x x2 + 1 n

0.

3.12.

Analiticko produženje

2

129

ln 2 x

ln x

+ 2 ni

/o x 2 + 1 )o Ako izjednacimo realni deo leve i desne strane jednakosti, dobijamo

10

ln 2 x n —t,------ dx = — , x +1 8 ’

izjednac avanjem imaginarnih delova dobijamo ln x

2 ni

n

3.12

x2 + 1

dx = 0 tj. 0

ln x -dx = 0 . x2 + 1

□

Analitičko produženje

Neka su / i i / 2 funkcije analiticke u oblasti R^ i R 2 respektivno, R^ C C, R 2 C C, i neka je /^ ( z ) = / 2 (z) za sve z G R^ fi R 2 = 0, gde R^ n R 2 ima bar jednu taCku nagomilavanja. Tada ka Zemo da je / i analiti Cko produ Zenje funkcije / 2 sa oblasti R 2 na oblast R^ i obrnuto / 2 je analitiCko produZenje funkcije / i sa oblasti R^ na oblast R 2.

To znaCi da postoji funkcija / analitiCka na R^ U R 2 takva da je / (z )

/i ( z ) , / 2 (z),

z G R i, z G R 2.

Na osnovu dve naredne teoreme sledi da je ovakvo analitiCko produzenje jedinstveno. T e o r e m a 3 .1 2 .1 Neka je / analiticka funkcija na oblasti R C C i neka je / (z ) = 0 za sve z G P Q C R, gde je P Q putanja. Tada je / (z ) = 0 za sve z G R. D ok a z. Neka je z 0 bilo koja taCka na putanji P Q .

V\

X Slika 3.34.

130


Kako je / (z ) analitiCka na R, to postoji okolina O (z 0) takva da je za svako z e O (z o )

/ « - £

n=0

^

<

* -*»>*•

PokazaCemo da je za svako z 0 € P Q / '(z 0 ) = / " ( z 0 ) = ••• = / (m) (z 0 ) = ••• = 0 . Dalje, / je analitička u R , što znači da postoji f'(z o ) = \imz ^ z0 = a € C za svako z 0 € R i da poslednji limes ne zavisi od putanje po k ojoj se z priblizava ka z0. Kad z te zi ka z 0 du z putanje P Q , tada je / (z) = 0, te je /tU(zo)\ =

rlim -----------------f ( z) - f ( zo)=

n

0.

z - z0 Analogno se pokazuje da je za svako z 0 € P Q , To znaCi da je za svako z € O (z 0)

/ " ( z 0) = 0 , / '" ( z 0) = 0 , ... .

/ « - £ £ ^ n!< * - « r - o + o + ... =o. n=0

U okolini O (z 0) izaberemo drugu putanju i nastavimo ovaj proces. Na taj naCin mozemo prekriti celu oblast R okolinama u kojim je / (z) = 0, sto znaCi da je / (z) = 0 na celoj oblasti R. □ T e o r e m a 3 .1 2 .2 Neka su funkcije / i i / analitičke na oblasti R C C i neka je / i ( z ) = / 2 (z) za svako z € P Q , gde je P Q putanja u R. Tada je / i ( z ) = / 2 (z) za svako z € R. D ok a z. Na funkciju / (z) = /i.(z ) — / 2(z) primenimo prethodnu teoremu. P r im e r 3 .1 2 .1 Stepeni red ^ ^ = 0 zn za |z| < 1 definise analitiCku funkciju ------.. S t.eneni re d V* f ( z ) = ------Stepeni red 5^ )°°^ 0 z " konvergira samo u unutrašnjosti jediničnog

1-z

kruga, a funkcija ------- je definisana za sve z + 1. To znači da -------- predstavlja 1 —z 1 —z analiti Cko produz enje za ^= 0 z n sa jedini Cnog kruga na celu kompleksnu ravan bez taCke z = 1 . □ Ako analitiCko produzenje postoji ono moze biti konstruisano na sledeCi na Cin. Pretpostavimo da je analitiCka funkcija / (z) predstavljena u nekoj taCki a u obliku stepenog reda sa krugom konvergencije |z — a| < r. Za svaku taCku b iz tog kruga su poznate vrednosti / (b), / '( b ) ,. . . te je poznat i razvoj u Tejlorov

3.12.

A nalitičko produženje

131

red funkcije / ( z ) u tački b. Novi stepeni red konvergira u krugu \z — b\ < r i koji m ože imati deo koji leži izvan prvog kruga.

y

X slika 3.36. Na taj način dobijam o analitičko produženje funkcije f { z ) . Taj proces m ože biti produžen. Tada se formira lanac krugova konvergencije k oji se presecaju. Unija tih krugova daje oblast G u k ojoj razni razvoji u red d aju funkciju F k oja je analitičko produženje funkcije / . Stepene redove, koji na taj način reprezentuju funkciju F u sviin krugovima konvergencije, nazivamo elem en tim a funkcije F. Funkcija F je određena jednoznačno ako je zadat svaki njen element. Lanac krugova se obično formira duž neke putanje, tj. konvergencije su locirani na nekoj putanji P i .

centri krugova

D a bi se napravilo analitičko produženje sa kruga C i na krug Cn m ožem o izabrati drugu putanju Pz- Postavlja se pitanje da li ćem o u ob a slučaja dobiti isti razvoj u red na Cn . O dgovor je p otvrdan ako u oblasti ograničenoj putanjam a F\ i P2 nema singulariteta. Uopšte, prilikom analitičkog produženja m oram o izbegavati singularitete. Očigledno, kada vršim o analitičko produženje sa kruga C \ na krug C 2, onda u C'2 ne m ože biti sadržan singularitet sa ruba kruga C \, jer onda C 2 ne bi m ogao biti krug konvergencije za analitičko produženje. Ponekad su singulariteti tako gusto raspoređeni na rubu kruga konvergencije da nije m oguće analitičko produženje. U tom slučaju granicu takvog kruga nazivamo prirodnom granicom analitičke funkcije. U sledećem primeru navodim o funkciju k oja ima prirodnu granicu. P rim er 3 .1 2 .2 Dokazati da red OO

,2n

ne m ože biti analitički produžen van kruga \z\ < 1.

Rešenje. Neka je F{z) = 1 + z + z2 + z4 + z8 +

132


Tada je F (1) =

to .

Dalje,

F ( z ) = z + F ( z 2 ), te je

( / T ) = V T + f ( i ) = V T + oo = oo,

F ( z ) = z + z 2+ F ( z 4 ), te j e F(V ~

= V l + ( V l ) 2 + F ( l ) = v^T+( v T ) 2+ o o = oo,

F ( z ) = z + z 2 + z 4 + F ( z 8), te je F ( v T ) = v T ' + ( ^ I ) 2 + ( ^ T ) 4 + F ( 1 ) = oo. Produžavajući gore navedeni postupak, zakljucujemo da su vrednosti z koje zadovoljavaju jednacine z = 1,

z

1,

z = 1,

z8

1,

- odnosno svi n-ti koreni iz jedinice, singulariteti funkcije F (z ). Sve te vrednosti leže na jediniCnoj kružnici i svuda su gusti na toj kružnici. Kružnica |z | = 1 predstavlja prirodnu granicu ža funkciju F (z ). □ P r im e r 3 .1 2 .3 Dokažati da su redovi

Z ^ 2 n+1’

(z - i)n E ( 2 -- i ) n + 1 ^

analiticko produženje jedan drugog. ~ R e š e n je . Red

zn ^n+i konvergira u krugu |Z|< 2 i njegov zbir je

n=0 z

1

= f (z). n=0 Ako funkciju f ( z ) = -------- ra.zvijemo u Tejlorov red u ta.čki o. = i, dobija.mo 2 z

/•(.) =

1 = ______ 1______ = _ J _________ 1____ = y " 2 - z 2 - i - ( z - i ) 2 - i , z - i ^ v

;

1

---------------------------n = 0

2

v

- i

(* -* )"

.

( 2 - *) n+1 '

3.13.

Konformna preslikavanja

133

Poslednji red konvergira ža sve z ža koje je

2 - i 1

Kako su oba reda jednaka istoj funkciji f ( z ) =

< 1 tj.

jz

—i\ <

i imaju žajednicku oblast

konvergencije, ocigledno da predstavljaju direktno analiticko produženje jedan drugog. □ P r im e r 3 .1 2 .4 Za Re z > 0 je definisana g a m a fu n k cija /*OO x z - 1 e - x dx.

r(z ) =

0

Ako je z = a + ifi, tada važi O O |xz - 1 e- x |dx =

|r(z)| < / 0

O /

|x“ - 1 e- x x®^| dx =

0

O |x“ - 1 e- x e®^ln x |dx =

0

/

1

x

0

Ocigledno, poslednji integral konvergira ža svako a = Re z > 0. Na ranijim kursevima je dokažano (primenom metode parcijalne integracije) da ža ovu funkciju važi rekurživna formula r ( z + 1 ) = z r ( z ),

r ( 1) = 1 .

O Ako je a = Re z < 0, tada integral

/

x z - 1 e- x dx divergira.

Koriscenjem

0

analitickog produženja definisemo r ( z ) ža vrednosti z € C ža koje je Re z < 0. Primenom gore navedene rekurživne formule n puta, dobijam o ža svako n € N i svako z € C takvo da —n < Re z < —n + 1 , z € {0, - 1 , - 2 , . . . } r(z ) =

r ( z + n) z (z + 1 ) •••(z + n — 1 )

Funkcija r ( z ) ima polove prvog reda u 0, —1, —2 ,.... Poslednja formula se koristi za izračunavanje vrednosti funkcije r ( z ) za R e z < 0. Tako, recimo, T ( —— izračunavamo iz jednakosti: T ( dobijam o T ( —-

3.13

□


Analiticka funkcija w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) koje oblast D C C preslikava u oblast G C C je k o n fo r m n o u taCki z 0 = x 0 + iy 0 ako ocuvava ugao

134


među putanjama koje prolaze kroz tacku z0. Ako se funkcijom f tacka (xo,yo) preslikava u tacku (uo,vo) i ako se putanje C\ i C 2 , koje se seku u ( x 0, y 0 ), preslikavaju u putanje C{ i C2 respektivno (C { i C2 se seku u (u 0 , v 0 ) ), tađa, ako je f konformno preslikavanje, ugao između putanja C i i C 2 jeđnak je (po veliCini i orijentaciji) uglu između putanja C1 i C2. Ugao između putanja je ugao između tangenti u taCki preseka.

Slika 3.37. Kazemo đa je preslikavanje f k o n fo r m n o n a o b la s ti D C C ako je f konformno u svakoj taCki z 0 G D. T e o r e m a 3 .1 3 .1 Ako je f analiticka funkcija i f ' (z) = 0 za svako z iz oblasti D , tada je preslikavanje w = f (z) konformno na D. D ok a z. Neka je z = x + iy i w = f (z) = u + iv . Ako putanja C ima parametarsku jeđnaCinu z(t) = x(t) + iy(t), onđa njena slike C ' ima parametarsku jeđnaCinu w(t) = u(t) + iv(t). DokazaCemo prvo đa ako tangenta u z 0 na putanju C zaklapa sa pozitivnim smerom x-ose ugao 00, onđa Ce tangenta u w0 = f (z0) na putanju C' = f (C ) zaklapati sa pozitivnim smerom u-ose ugao ip0 = 0 0 + a r g f '( z 0).

y

v

Cj

( c>

/ /za

,

/

\

X

u

Slika 3.38. i duj I Kako §dt1 IZ=Zq reprezentuju vektor tangente u taCki z 0 na C , dt \ = odnosno u tački w0 na C ' , iz jednakosti ^ dU ~ 7F ' II = f ' ( z ) w 1 17j usl° va da je dz I f ' ( z 0) ^ 0 sledi da je ■To znači da Je ^=Wq = f'(zo) co

arg

dw

dt ^=Wq

coq

= arg f' ( zo) + arg%

dt Z= Zq

tj.^0 = 60 + arg f '(z 0 ),

3.13.

K onform na preslikavanja

135

gde je ipo ugao koji tangenta u tački lj 0 = f ( z o) na putanju C ' zaklapa sa pozitivnim smerom u-ose. U slučaju da je f ' ( z o ) = 0 , argument od f ' ( z o ) nije odre;đen. Kako je svaka tangenta u tački cjq na krivu C ' rotirana u odnosu na tangentu u tački zo na krivu C za isti ugao (9o = a x g f '( z o ) ), to će, očigledno, ugao između putanja u ravni z i ugao između njihovih slika u ravni w biti isti i po veličini i p o orijentaciji. □ Tačke u k ojim a je f ' ( z ) = 0 nazivamo kritičnim tačkama. A ko je / konform no preslikavanje u oblasti D , tada ono dve familije uzajam no normalnih pravih koordinatnih linija Re z = a, a £ R, Im z = b, b £ R, preslikava u dve familije uzajam no normalnih krivih u ravni uj. Tako, recim o, konform no preslikavanje u> = z 2, z ^ 0, preslikava mrežu linija paralelnih sa a>osom i y-osom u mrežu uzajam no norm alnih istofokusnih parabola. U tački z = 0 preslikavanje nije konformno. Prvi kvadrant se preslikava u gornju poluravan.

slika 3.39.

N eki prim eri konform nih preslikavanja

1 . Linearna funkcija ui = a z + b,

a

£ C \ {0 },

b£ C

Neka je a = \ a \ e i a . Tada se preslikavanje uj = a z + b m ože prikazati kao kom pozicija tri preslikavanja:

136


wi = eiaz - rotacija za ugao a, u 2 = |a|wi - homotetija sa faktorom |a|, w = w2 + b - translacija za vektor b. Oblik figure prilikom svakog od ovih preslikavanja ostaje ocuvan, jedino se pri homotetiji menja njena veliCina ito ako je |a|< 1smanjuje se,aako je |a| >

1 povećava se. Za a ^ 1, tačke z\=

1

-----------—a

iz = oo preslikavajuseu

same sebe (fiksne taCke preslikavanja w = az + b). P r im e r 3 .1 3 .1 Trougao A B C , gde je A = 0, B = 2, C = 1 + i, preslikati preslikavanjem 1 .^1

Z + (1

i ),

1

3.

uj-i = - z , 2

’

2.

CJ2 = e 2 'lz,

4.to4 — - ^ - z + (1 — i).

R e s e n je .

uj

3 ravan Cz B3

2. In v e r z ija ui = —

Ovim preslikavanjem tačka z = r e llp preslikava se u tačku ui = —e 'llp, tj. r taCke izvan jediniCnog kruga |z| > 1 preslikavaju se u unutrasnjost jediniCnog

3.13.


137

kruga |w| < 1 i obrnuto. Sama kruZniCa |z| = 1 preslikava se u kruZniCu |w| = 1. TaCke 1 i —1 su fiksne taCke. TaCka preslikava se u 0 a 0 se preslikava u ro. PokazaCemo da se inverzijom kruZniCa preslikava u kruZniCu, gde pravu smatramo kruzniCom sa beskonaCnim radijusom. Zaista, opsti oblik jednaCine kruzniCe |z — zo| = r, zo G C, r > 0, mozemo transformisati u oblik koji nam vise odgovara (z - z0)(z - Z0) = r 2 zz - z 0z - z 0z + \z0\ - r

=0

A z z + a z + a z + B = 0,

A, B (E M,

agC .

U primeni inverzije najpogodniji je treCi oblik jednaCine kruzniCe. Jednačina A z ' ž + a z + a ž + B = 0 predstavlja kružnicu ili pravu u zavisnosti od koeficijenata A, B \ a. Ako je A ^ 0 i a a — A B > 0, tada je to kružnica i njen Centar z 0 G C i polupreCnik r > 0 nalazimo iz a zo - ~ J ,

B r - N

\J \a\2 — A B |A| •

■

Ako je A = 0, onda jednačina a z + a ž + B = 0 predstavlja pravu p x + qy + s = 0, gde je p = Re a, q = Im a, s = y . U zavisnosti od koeficijenata A i B jednačina Az~ž + a z + a ž + B = 0 predstavlja za • A

= 0, B = 0 - kruzniCu koja ne sadrzi 0,

• A

= 0, B = 0 - kruzniCu koja sadrzi 0,

• A

= 0, B = 0 - pravu koja ne sadrzi 0,

• A

= 0, B = 0 - pravu koja sadrzi 0.

JednaCina A žž + az + a ž + B = 0 transformacijom cu = — postaje z A cucu

a a „ H------- 1- — + B cu co

0

tj. Bcucu + aco + aco + A — 0. Jednačina BcočJ + aco + acj + A = 0 takođe predstavlja kružnicu čiji oblik i polozaj zavise od A i B. ReCimo, za A = 0 i B = 0, kruzniCa u z ravni koja ne sadrzi 0 preslikava se u kruzniCu u w ravni koja ne sadrzi 0.

138


P r im e r 3 .1 3 .2 Krugove \z\ < 1 i \z — 1| < 1 preslikati inverzijom

uj =

- .

Rešenje. Kružnica \z\ = 1 ima jednačinu z ž — 1 = 0. Inverzijom u> = — se ona z preslikava u kružnicu 1 —uiuJ = 0 (tj. |w| = 1). Unutrašnjost kružnice \z\ = 1 se preslikava u spoljasnjost kružnice |w| = 1 . Kružnica \z —l\ = 1 ima jednačinu zH—z —ž = 0, te se inverzijom preslikava u pravu 1 — w — ČJ = 0 tj. 1 — 2 R ew = 0. To je prava paralelna imaginarnoj osi i prolazi kroz tačku Unutrašnjost kružnice \z — 1| < 1 se preslikava u poluravan Rew > □

3. Bilinearno preslikavanje

uj =

— - t — a,b, c, d € C , ad — bc J 0, 0. cz + d Bilinearno preslikavanje jednoznaCno i konformno preslikava prosirenu kompleksnu ravan C na C. Važi i obrnuto tvrđenje, koje navodimo bez dokaza, da svaka analitiCka funkcija, koja obostrano jeđnoznaCno i konformno preslikava C na C jeste jeđno bilinearno preslikavanje. Upravo žbog posleđnje osobine, bilinearno preslikavanje pređstavlja najznaCajniju klasu konformnih preslikavanja. Bilinearno preslikavanje možem o razložiti na kompoziciju tri preslikavanja wi = cz + d - linearno preslikavanje, 1

u>2 = — mverzija, wi a bc — ad uj = — | -------------- u>2 - hnearno presiikavanje. c c Kako svako ođ ta tri preslikavanja preslikava kružnicu u kružnicu (ako prave smatramo kružnicama sa beskonacnim rađijusom), to ce i bilinearno preslikavanje imati ovu osobinu. Fiksne tacke ovog preslikavanja (one koje se preslikavaju u same sebe) su one koje zadovoljavaju jednačinu z = — -. cz + d z 1 Primer 3 .1 3 .3 Funkcijom u> = --------preslikati oblast G z definisanu sa \z\ < 1, z —1 Im z > 0. Rešenje.

Bilinearno preslikavanje ui =

preslikavanja wi = z — 1 (translacija ža —1 ), 0J2 = —

wi

(inverzija),

z+ 1 2 -------- = 1 H---------- razložićemo na z —1 z —1

3.13.


139

w3 = 2 •w2 (homotetija - povecanje 2 puta), = 1 + w3 (translacija za 1 ). |z ravan]

|uji ravan]

b3

A2

Ch= oo

|u ravan] b4

-<4.3

Gi=oc

^

b2

|u>3 ravan]

1

|oi2 ravaii|

64=00

d2 d3 C2 = 0 0

Da

C3 = 0 0

C i= oo

Slika 3.41. Oblast G z je ograniCena polukruZnicom C D A (|z| = 1, A B C ( - 1 < R e z < 1, Im z = 0).

Im z > 0) i duZi

Oblast G i u ravni wi je translirana oblast G za - 1 . Oblast G 2 u ravni w2 je dobijena inverzijom G^. Oblast G 3 u ravni w3 dobijam o tako sto koordinate svake taCke u G 2 pomnoZimo sa 2. Oblast Gw u ravni w nastaje ako G 3 transliramo za 1. Vidim o da se polukrug (oblast G z) preslikao u treCi kvadrant (oblast G w). □ 4. E k s p o n e n c ija ln o p reslik a v a n je

w = ez

Eksponencijalnim preslikavanjem se oblast z-ravni u obliku beskonaCne horizontalne pruge sirine 2n, preslikava u celu w-ravan bez 0. PokazaCemo da to vazi u sluCaju pruge ograniCene pravama Im z = 0 i Im z = 2n . Zaista, taCka z = x + iy, gde je —to < x <
to .

Kako je arg w = y,

O Cigledno, isti rezultat dobijam o ako se horizontalna pruga sirine2n nalazi između pravih Im z = a i Im z = a + 2n , gde je a G R. □

140


Primer 3 .1 3 .4 (Preslikavanje Žukovskog6) Preslikavanje ui 0 , je konformno u svim tackama sem u z

— ( z - \ — ), z J 2 V z 1 i z = - 1 . Ovo preslikavanje je =

ekvivalentno sledecim preslikavanjima uj —1

.s - 1

Ul + 1

Z + 1

2

1+ \jUp- — 1

• R eU J = \ (j^l +

c o s ip, Imw = \ (j^| -

sin^, gde je

I spoljasnjost (|z| > 1 ) i unutrasnjost (|z| < 1 ) jedinicne kružnice |z| = 1 preslikavaju se na celu ravan w iž koje je ižbaCena duž Im w = 0, —1 < Re w < 1 u koju se preslikava jediniCna kružnica |z| = 1. ravan|

\u ravan| V

V

c \

( -1

V 1

Ai

1 X

-1

Ci

B, 1

Slika 3.42.

6Nikolaj Jegorovic Zukovskij (1847—1921) — Ruski mehanicar. Postavio osnove savremene hidromehanike.

Glava 4

FURIJEOVA I LAPLASOVA TRANSFORMACIJA 4 .1 F u rijeov a tr a n s fo r m a c ija 4 .2 L a p la sov a tr a n s fo r m a c ija U ovom poglavlju biCe ižnete osnovne definicije, osobine i primene dva tipa integralnih funkcionalnih transformacija - Furijeove 1 i Laplasove 2 transformacije. Ražjasnimo ukratko ideju formiranja ove teorije i nacin na koji se ona primenjuje. Navedenim integralnim transformacijama svakoj funkciji (originalu) ižjednog skupa funkcija dodeljuje se, po nekom unapred žadatom pravilu, odgovarajuâ funkcija (slika) iž nekog drugog skupa funkcija. Odredene veže ižmedu originala proužrokuju odgovarajuê veže ižmeđu njihovih slika i obrnuto. Takode, primeni nekih operacija nad originalima odgovara primena nekih drugih (po pravilu jednostavnijih) operacija nad slikama. Naime, ako postoji neka složena veža ižmedu originala, tada, pogodno odabranom integralnom transformacijom , dobijam o bitno jednostavniju vežu ižmedu odgovarajucih slika. Recimo, umesto diferencijalne jednacine u k ojoj figurise original, primenom Laplasove transformacije, dobija se algebarska jednacina u k ojoj figurise odgovarajuâ slika. Obicno je žnatno lakse naci resenje tako dobijene algebarske nego pocetne diferencijalne jednacine. Resavanjem algebarske jednacine nalažimo funkciju (sliku) ciji je original traženo resenje diferencijalne jednacine. ^Fourier Jean Baptiste Joseph (1768-1830) Francuski matematicar. Osnovna oblast izucavanja bila mu je matematiCka fizika. 2Laplace Pierre Simon (1749-1827) Francuski astronom, matematiCar i fiziCar. Pored matematike, bavio se izuCavanjem nebeske mehanike i matematiCke fizike.

141

142

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

Jednom recju, osnovna sema resavanja problema primenom ove vrste transformacija, je sledeca: - od pocetnih funkcija (originala), primenom odgovarajuê transformacije, prelazimo na neke druge funkcije (slike), - nad slikama se izvode operacije proizasle iz operacija zadatih nad originalima, - rezultat izvedenih operacija nad slikama ” vracamo” u skup originala i tako dobijam o resenje pocetnog problema u skupu originala. 4 .1 . je posvecen Furijeovoj transformaciji. Razmotrena su dva osnovna slucaja, ako je original periodicna i ako je original neperiodicna funkcija. 4 .2 . se bavi Laplasovom transformacijom. Pored opstih definicija i osobina, dat je neformalan pregled osnova teorije inverzne Laplasove transformacije. Naveden je niz primera primene Laplasove transformacije na resavanje raznih matematickih problema. Takođe je detaljno naveden jedan primer primene u elektrotehnici.

4.1 4 .1.1

Furijeova transformacija U vodne napomene

P e r io d ič n a fu n k cija . Funkcija f : R ^ R je periodicna sa periodom T (T = 0) ako je za svako x £ R f (x) = f (x + T ).

(4.1)

Ona je u potpunosti poznata ako znamo njen oblik i osobine na bilo kojem intervalu [a, a + T ], a £ R.

Osobine periodicnih funkcija •Zbir, proizvod, izvod periodicne funkcije sa periodom T je periodicna funkcija sa periodom T .

4.1.

Furijeova transformacija

143

T Ako f ( x ) ima period T, tada f ( a x ) , a ^ O , ima period — . a Ako integrabilna funkcija f ima period T , tada za sve a,b G R / a

a+T f (x) dx = b

b+T f (x) dx.

Ako je T period funkcije f , tada je za svako n G Z, n = 0, n T takođe period funkcije f . ObiCno pođ periođom funkcije smatramo najmanji pozitivan broj T koji zadovoljava uslov (4.1).

J e d n a k o s ti k o je k o r is tim o u n a r e d n o m p o g la v lju . Za sve n, k G {0 ,1 , 2 , . . . } vazi cos nx cos kx dx = —n -n sin nx sin kx dx =

n,

n=k n=k

0,

n=k

n,

k n =

' —n

0,

rn sin nx cos kx dx = 0 . Dokazacemo prvu ođ naveđenih jeđnakosti. Ostale se đokazuju analogno. cos nx cos kx dx l

^ / (cos(n + k)x + cos(n — k)x) dx = 0 ,

2 J „ —n

cos 2 nx dx = n

4 .1 .2

n=k n = k.

Trigonometrijski red

Ređ oblika

+ ^ ( o „ co s n x + bn sin n x) =

(4.2)

-^- + (ai cos x + &i sin x) + •••+ (a „ cos n x + bn sin m ) + nazivamo tr ig o n o m e t r ijs k im re d o m , a realne brojeve a o ,a i ,b i ,. . . k o e ficije n tim a tog ređa.

144


O s o b in e tr ig o n o m e t r ijs k o g re d a Svaki od sabiraka (an cos n x + b n sin nx) reda (4.2) može se izraziti u obliku periodiCnih oscilacija A n cos(n x — y>n), gde je an — A n cos ^n?bn — A n sin ^ n . Dalje, A n = V al + bl
je amplituda, a je početna faza

oscilacije. Trigonometrijski red (4.2) se cesto zapisuje u obliku

y

+ ' ^ A n cos(nx -
(4.3)

Svaki od sabiraka (an cos n x + bn sin n x), n £ N, reda (4.2) ima period 2n. Ako trigonometrijski red (4.2) konvergira na intervalu dužine 2n,tada on konvergira nad celom realnom pravom i njegova suma f (x), x £ R, je periodicna funkcija sa periodom 2 n. Ako trigonometrijski red (4.2) konvergira uniformno na intervalu [—n, n] i ako je funkcija f njegova suma, tj.

—

+ ^ ^ ( a n co sn x + bn sin n x) = f ( x ) ,

x £ M,

(4.4)

tada je 1

ak

f ^ ■f (x) cos k xd x, J —n

k £ { 0 , 1, 2 , . . . } ,

1 rn bi~ = — f(x)sin k x d x , n J -n

(4.5)

k £ {1, 2, 3 , . . . } ,

D ok a z. S obzirom na uniformnu konvergenciju, ukoliko jednakost (4.4) pom nožim o sa cos kx, k £ { 0 , 1 , . . . } i zatim izvrsimo integraciju nad intervalom [—n, n] leve i desne strane, dobijam o

/n —a cos kx d x + y ^ ( q n -n 2

n=1

f n

co s k x c o sn x d x -\ -b n

n f n — / f (x) cos k xdx.

fn

c o s k x s i n n x dx) =

J—n

4.1.


145

Na osnovu jednakosti iz prethodnog odeljka je

Analogno dokazujemo i drugu jednakost za bk, k £ {1, 2 , . . . } , tako Sto izraz (4.4) mnoZimo sa sin kx, k £ {1, 2 , . . . } i ponovim o postupak. Kako je funkcija u (4.4) periodicna sa periodom 2n, sledi da izrazi u (4.5) ostaju nepromenjeni ukoliko granice integrala od —n do n zamenimo granicama od a do a + 2n, a £ R. Naj CesCe u literaturi, granice integrala u (4.5) su ili od —n do n ili od 0 do 2n.

4 .1 .3

Furijeov razvoj funkcije nad intervalom [—n , n ]

Razmotrimo sada obrnut problem. Pretpostavimo da je f : [—n, n] ^ R funkcija integrabilna nad intervalom [—n, n]. Tada koeficijenti an, bn, n £ N, odredeni izrazom (4.5) postoje. Nazivamo ih F u r ije o v im k o e ficije n tim a , a odgovarajuci trigonometrijski red (4.2) F u r ije o v im r e d o m funkcije f . Medutim, tako definisan red ne mora biti konvergentan u svim tackama x £ [—n, n], ili ako je konvergentan, moze se desiti da ne konvergira ka vrednosti funkcije f (x). Ukoliko u svakoj tacki neprekidnosti funkcije f : [—n, n] ^ R odgovarajuci Furijeov red konvergira vrednosti funkcije f u toj tacki, kazemo da je funkcija f r a z v ije n a u F u r ije o v r e d nad intervalom [—n, n] i pisemo

n= 1 Poslednji izraz nazivamo F u r ije o v im r a z v o je m funkcije f nad intervalom [—n, n]. U sledece dve teoreme navodimo, bez dokaza, dovoljne uslove za postojanje razvoja funkcije u Furijeov red. Podsecamo na definicije dva pojm a koji se spominju u tim teoremama. Funkcija f : [ a, b ] ^ R je n e p r e k id n a p o d e lo v im a ako interval [ a, b ] m o ze biti razlo zen na kona can broj podintervala nad kojima je f neprekidna funkcija, s tim sto na granicama podintervala postoje jednostrane grani cne vrednosti za f . Funkcija f : [ a, b ] ^ R je m o n o t o n a p o d e lo v im a ako interval [ a, b ] m o ze biti razlo zen na kona can broj podintervala nad kojima je f monotona funkcija. U daljem tekstu koristicemo uobicajene skraêne oznake za levu i desnu grani cnu vrednost funkcije:

146


T e o r e m a 4 .1 .1 Neka je funkcija f : [—n, n] ^ R neprekidna po delovima i monotona po delovima nad intervalom [—n ,n ]. Tada vazi 1. Furijeov red funkcije f je konvergentan za svako x £ [—n, n]. Njegova suma jednaka je funkciji s(x) definisanoj nad R i periodičnoj sa periodom 2 n. 2 . s(x) = f (x) za sve x £ ( —n, n) koje su tačke neprekidnosti f .

f (x - ) + f (x + ) 3. s ( x ) = ---------- ----------- za 5«e x (E ( —7r, 7r) koje su tačke prekida f .

i

,

/ /_>, / ( O + /(“ 7r+) s (- t t ) = s(tt) = ------------ 2------------• To zapisujemo sa f (x),

u tačkama neprekidnosti f ,

f (x - ) + f (x+ ) + ^ ( o „ cos nx + bn sin n x) = < 2 n=1

2

/(?r~ ) + / ( 2

tt+ )

u tačckama prekida f, ,

za

x £ { —n, n }.

T e o r e m a 4 .1 .2 Neka za funkciju f : [—n,n] ^ R vači da su f i f ' funkcije neprekidne po delovima nad intervalom [—n, n]. Tada posledice 1, 2, 3, 4 iz prethodne teoreme i dalje vače. • N a p o m e n a 1. Ukoliko je f : [—n,n] ^ R n e p r e k id n a funkcija koja može biti razvijena u Furijeov red, tada taj red konvergira u svakoj taCki x £ (—n ,n ) ka vrednosti funkcije f (x), te umesto ~ m ožemo pisati = , tj. / ( x ) = ------1- ^~~^(an cos nx + bn sin nx), 2 n=1

x (E ( —7r, 7r).

Sama neprekidnost nije dovoljna da osigura konvergenciju Furijeovog reda. • N a p o m e n a 2. U prethodne dve teoreme dati su dovoljni uslovi za razvoj funkcije u Furijeov red. Postoje mnoge teoreme koje obezbeduju dovoljne uslove, a poslednje dve su odabrane zbog jednostavnosti provere. Do sada nije formulisan potreban i dovoljan uslov koji treba da zadovoljava funkcija da bi njen Furijeov red konvergirao. • N a p o m e n a 3. Neka f : R ^ R nad intervalom [—n, n] zadovoljava uslove za razvoj u Furijeov red i periodicna je sa periodom 2n. Njen Furijeov razvoj je takođe periodicna funkcija sa periodom 2n. U tom slucaju smatramo đa je izvreen Furijeov razvoj nađ celim R i pisemo f ( x ) ~ ~7 T + 5 3 ( an c° s n x + bn sin n x), 2 n=1

x G R.

4.1.


147

• N a p o m e n a 4. Svaka funkcija f : [—n ,n ] ^ R ciji je definicioni domen interval [—n, n] može biti p e r io d ič n o p r o d u ž e n a na celo R tako sto definisemo funkciju F F (x + 2kn) = f (x), x G ( —n, n],

k G Z.

Funkcija F : R ^ R je p e r io d ič n o p r o d u ž e n je funkcije f : [—n, n] ^ R. Ukoliko postoji Furijeov razvoj funkcije f nad intervalom [—n, n], on je ujedno i razvoj periodicnog produženja F nad celim R.

4 .1 .4

Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom [—n,n]

Koristicemo sledeê osobine parnih i neparnih funkcija: • proižvod dve parne ili dve neparne funkcije je parna funkcija, • proižvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija, • za sve a G R važi 0,

a f (x) dx

2

a

,a f (x) dx,

ako je f neparna, ako je f parna.

0

Neka je f : [—n, n] ^ R parna funkcija i neka zadovoljava uslove za razvoj u Furijeov red nad intervalom [—n ,n ]. Kako je cos n x parna, a sin n x neparna funkcija, imamo

/-nn f ( x ) cos nx dx =n fJ—n 2

f ( x ) cos nx dx,

n G { 0 , 1, 2 , . . . } ,

0

1 f n bn = — f ( x ) sin nx d,x = 0, n J —n

k € {1, 2, 3 , . . . } ,

148


te r a z v o j p a r n e fu n k c ije f nad intervalom [—n, n], sadrži samo sabirke sa kosinusom, tj. 2

an cosn x,

an = —

f n

f(x )co sn x d x .

(4.7)

0

1

Analogno, r a z v o j n e p a rn e fu n k c ije f nad intervalom [—n ,n ], sadrži samo sabirke sa sinusom, tj.

f (x) '

4 .1 .5

bn sin nx, n= 1

bn = n

f (x) sin n x dx.

(4.8)

0

Razvoj u Furijeov red kosinusa i u Furijeov red sinusa nad intervalom [0,n]

Neka funkcija f nad definicionim domenom [0,n] zadovoljava uslove za razvoj u Furijeov red.

R a z v o j u F u r ije o v r e d k o sin u sa se obavlja na sledeCi naCin: • formiramo parno produženje 0 funkcije f ( srednja slika 4.3)

c) =

f (x), f ( —x )

x G [0 , n], x G [—n, 0 ).

Razvoj parne funkcije 0 sadrži samo Clanove sa kosinusima, koje izraCunavamo pomoû formule (4.7). Kako je f (x) = 0(x) za sve x G [0, n], to je gore opisani razvoj funkcije 0 ujedno i razvoj u red kosinusa funkcije f nad intervalom [0 , n].

parno produženje Slika 4.3.

neparno produženje

4.1.


149

R a z v o j u F u r ije o v r e d sin u sa se obavlja na sledeci nacin: • formiramo neparno produženje ^ funkcije f (desna slika 4.3) #x) = ( \

f (x ) , ^ —f ( —x),

" G [0, " ]0) x G [—n, 0 ).

• Ražvoj neparne funkcije ^ sadrži samo clanove sa sinusima, koje ižracunavamo pomoû formule (4.8). • Kako je f (x) = ^(x) ža sve x G [0, n],to je gore opisani ražvoj funkcije ^ ujedno i ražvoj u red sinusafunkcije f nad intervalom [0 , n].

P r im e r 4 .1 .1 Funkciju f (x) = x 2 ražviti u Furijeov red sinusa nad intervalom [0,n]. R e s e n je . Kako je neparno produženje ža f dato sa x 2, x € [0 , n], ^ (x) ^ —x 2, x G [—n, 0 ), i kako je 9 Cn O'tt A bn = — x 2 sinn x d x = — ( —l ) n+1 H-------r-(( —l ) n — 1 ), n J0 n nn 3 dobijamo 2

°° = Y n= '1

/O /f \ ( — ( - l ) n+1 H------ ^ - ( ( - l ) n — 1 ) ) sinnx, V' n nn 3 '/

x £ [0 , 7r]. □

P r im e r 4 .1 .2 Funkciju f (x) = sin x, x G [0, n] ražviti u Furijeov red kosinusa. R e s e n je . Kako je parno produženje ža f dato sa ,

f sinx, . , . [ sin(—x),

0 (x) = <

x G [0 , n], ' , x G[—n, 0 ),

i kako je 2 r ao = — /

sm x ax = —,

4

0

2 P , —2 (1 + ( —1))n a „ = — / sm x cos nx ax = ------ — ------ -— , n Jo n(n2 — 1)

za n € N,

dobijamo 2 n

4 ^ n ^

s m x = --------- >

1 4n2 — 1

— 7,------ c o s 2 nx,

r

n

x 6 0,i . □

150


4 .1 .6

Furijeov razvoj nad intervalom [ a,b ]

Razmotricemo prvo slucaj kada je funkcija f definisana nad simetricnim intervalom [ - 1,1 ]. Neka je f : [—1,1 ] ^ R funkcija koja nad intervalom [-1,1 ] duZine 21 zadovoljava uslove za razvoj u Furijeov red. Smenom t = f x dobijam o funkciju g(t) = f(-^t) definisanu nad intervalom [—7r, 7r]. Njen razvoj, posle smene promenljive t promenljivom x (tj. posle vraCanja prvobitne promenljive x), predstavlja Furijeov razvoj funkcije f nad intervalom [—1,1 ], tj.

f ( x ) ~ ^ - + '^2 (an cosojnx + bn siuojnx), n= 1

ojn = n ' j ,

x £ [ - 1, 1 ],

(4.9)

gde je rl

f (x) cos wnx d x

n € { 0 , 1, 2 , . . . } ,

rl , f f (x) sin wnx d x

n £ {1 ,2 ,3 ,...}.

1

an- \ j

bn = l j U sluCaju Furijeovog razvoja nad intervalom [c,c + 21 ], c G R, 1 > 0, smenom t = j (x —c —l), dobijam o iste formule (4.9) i (4.10), sem što su granice integrala od c do c + 2 1 umesto od —1 do 1.

P r im e r 4 .1 .3 Funkciju f (x) = x razviti u Furijeov red nad intervalom a) [—n, n ], R e s e n je .

a)

b) [ 0 , 2 n ]

a 0 = an = 0

1

2

bn = —

x sin n x dx = —

1

—x cos n x H— sin nx n

^ ( —1 )n +1 f ( x ) - 2 V ------------ sin nx, n n=1 b)

0

= - ( - 1) n

x £ [—7r, 7t] .

ao = \ f g 77 x dx = 2 , 1

1

x cos n x dx = —

— 0

1

x sin n x -------cos n

2n 0. 0

n+1

4.1.


151

(‘ 2n

1

bn = —

2n

1

1

x sin n x dx = — nn

—x cos n x H— sin n x n

OO f ( x ) ^ i r — 2 V — sin nx, f Jn

0

x £ [0 , 2 n\. □

4 .1 .7

Kom pleksni (eksponencijalni) oblik Furijeovog razvoja funkcije nad konacnim intervalom

Cesto su u prikazivanju procesa harmonijskih oscilacija mnoge osobine i postupci jednostavniji i ocigledniji ako je Furijeov razvoj funkcije zadat u kompleksnom (eksponencijalnom) obliku. Neka je f : [—n ,n ] ^ Furijeov red nad [—n, n ]

f(x) ~ y +

R funkcija koja zadovoljava uslove za razvoj u

^ ( a n co s n x + 5 „sin n x ),

x £ R,

1 1

—

r* f ( x ) cos n x d x ,

n £ { 0 , 1, 2 , . . . } ,

1 rn bn = — f(x)s\ n n xd x, n J -n

n £ {1 ,2 ,3 ,...}.

& n.

n J —n

Ako u gornjim izrazima izvrsimo smenu Ojlerovim formulama ginx _ e—inx sin nx

2i

Anx _|i_ e- inx emx cos n x

’

2

dobijamo

(4.11)

gde je 1

Fo = 7— 2n

n

a0

f ( x ) dx = — , 2

dok je za n £ N 1

Fn = — I 2n . 1? 1 b -n = — 2n

1

f ( x ) ( c o s n x — i sin n x) dx = — I / 2n I

- ibn f ( x ) e mx dx = — ----- " 2

tt \t , •• 1 f n f r \ i n x ,an + ibn f(x)(cosn x + i s \ n n x )d x = — f(x )e dx = ----- -----2n

152


Ukoliko je f funkcija zadata nad konacnim intervalom [—l, l ], tada formule (4.11) postaju

00 /(* )-

1 rl K = 2 ž / f { * ) e ~ iUnX J—l

E F» e" nI, n= —co

(4-i2)

gde je wn = n j ,

n (E Z.

Ako je funkcija f zadata na intervalu [c, c + 2l ], njen Furijeov razvoj je isti kao (4.12), samo su granice integrala od c do c + 2l umesto od —l do l.

4 .1 .8

Spektar. Konačna Furijeova transformacija

U ovom odeljku navodimo neke uobiCajene oznake i nazive pojm ova iz teorije razvoja u Furijeov red . Razvoj u Furijeov red sa fiziCkog stanovista smatramo predstavljanjem periodiCnog procesa zbirom harmonijskih oscilacija. Razjasnimo blize ovaj aspekt razmatranja. Neka je f : R ^ R periodicna funkcija sa periodom 2l ciji je Furijeov razvoj dat sa /(* )-

] T Fne ^ x , n=-
Fn = -

r1

1

f { x ) e - ^ x dx,

n con = n j ,

n G Z.

*'—l

S druge strane Furijeov razvoj, slicno kao (4.3), moze biti zapisan sa

f (x) - Ao + ^ 2 An cos(^nX — ^n), n=1

X G R,

gde je An =

Val +

K ’

f n = arctan — , an

za sve n G N 0 . Tada je 2 |Fn| — 2|F—n \— A n argF-n —

argFn — ^n

Niz kompleksnih brojeva |Fn} neZ nazivamo s p e k tr a ln im n iz o m ili d is k re tn im s p e k tr o m , {|Fn |}neZ a m p lit u d n im s p e k tr a ln im n iz o m a {argFn} neZ fa z n im s p e k tr a ln im n iz o m periodicne funkcije f (x), x G R. Ako je poznata periodicna funkcija f , formulom (4.12) je u potpunosti određen odgovarajuci spektralni niz {F n} neZ i obrnuto, ako je zadat spektralni niz { F n} neZ , postoji periodicna funkcija f k ojoj taj niz odgovara. Na

4.1.


153

taj nacin svakoj periodicnoj funkciji koja može biti razvijena u Furijeov red dodeljuje se odgovarajuCi spektralni niz i obrnuto. To predstavlja transformaciju definicionog domena periodiCnih funkcija (razloživih u Furijeov red) u skup slika spektralnih nizova. Tu transformaciju nazivamo konacnom Furijeovom transformacijom i o njoj ce biti reci u narednom pasusu. Neka je f funkcija zadata na konacnom intervalu [—1, 1] ili neka je f periodicna funkcija sa periodom 21, takva da se moze razviti u Furijeov red. Funkciju F : Z ^ C, 1

rl

Fn= 21 J

% UnX

n

=

nJ ’ n e

definisanu nad skupom celih brojeva, nazivamo k o n a č n o m F u r ije o v o m tra n sfo r m a c ijo m ili Furijeovom transformacijom periodicne funkcije f . Dalje, funkciju f nazivamo in v e rz n o m k o n a č n o m F u r ije o v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije Fn . To sve zapisujemo sa Fn = F [f (x)],

f (x) = F - 1 [Fn].

(4.13)

U narednom primeru pokazaêmo kako teoriju Furijeove transformacije m ozemo iskoristiti za resavanje diferencijalnih jednacina.

P r im e r 4 .1 .4 Data je linearna diferencijalna jednacina y '' + ai y' + a 2y = f (x),

(4.14)

gde su ai, a2 -konstante, a f (x) -periodicna funkcija. Da bismo skratili pisanje, neka period bude T = 2n. Treba naci parcijalno resenje jednacine koje je periodicno sa istim periodom. Ako je |Fn} neZ diskretni spektar funkcije f (x), tada je y '' + a iy ' + a 2y =

F ne n

inx

.

OO

Primetimo da je desna strana (nehomogeni deo) linearne diferencijalne jednacine jednaka zbiru nekih funkcija. Tada je parcijalno resenje u obliku zbira parcijalnih resenja jednacina u kojim je leva strana ista, a desna strana je jednaka pojedinacnim sabircima. Parcijalno resenje jednacine inx »e yn + aiyn + a2yn = Fne' ima oblik yn = A neinx. Ako ga dva puta diferenciramo, zamenimo u jednacinu i skratimo sa einx, dobijam o

—n 2 + ia in + a2

,

(4.15)

154


pod uslovom da je ai = 0, ili a2 = k2, k £ N. Niz A n, n £ Z je diskretni spektar parcijalnog resenja

yp( x ) =

yp, tj.

E Aneinx. n=-TO

Konvergencija poslednjeg reda se lako dokazuje na osnovu uporednog kriterijuma i cinjenice da je |An |< |Fn |. Ukoliko je ai = 0 i a2 = k2, tada jednacina ima oblik

y'' + k2y =

^ Fneinx, n= -TO

i parcijalno resenje koje odgovara indeksima k i —k nema oblik eikx (kazemo da je doslo do rezonance). Ostavljamo citaocu da sam razmotri ovaj slucaj.

Ukoliko funkcija f nad intervalom [0,1] zadovoljava uslove za razvoj u Furijeov red, tada Furijeov razvoj u red kosinusa njenog parnog produzenja (pogledati odeljak 4.1.5) predstavljamo na sledeci nacin

f ( x ) -----+ ^ 2 F n COSUJnx , n=i

Fn = J j

f (x ) COS LVnX dx,

gde je ujn = r i j , n G No, x G [0,/]. Niz { F £ } nazivamo k o n a č n o m Fur ije o v o m k o sin u sn o m tr a n s fo r m a c ijo m , funkcije f , dok f nazivamo inv e r z n o m k o n a č n o m F u r ije o v o m k o sin u sn o m t r a n s fo r m a c ijo m i to zapisujemo sa FnC = F c [ f (x)],

f ( x ) = F-^^Fn0].

Ukoliko funkcija f nad intervalom [0,1] zadovoljava uslove za razvoj u Furijeov red, tada Furijeov razvoj u red sinusa njenog neparnog produzenja (pogledati odeljak 4.1.5) predstavljamo na sledeci nacin

/(x ) ~

.F® sinwnx, n=i

2 f i Fn = j f ( x ) s m c j nx d x , 1

gde je ujn = n j , n £ N, x G [0,/]. Niz { f n} nazivamo k o n a č n o m Furije o v o m s in u s n o m tr a n s fo r m a c ijo m , funkcije f , dok f nazivamo in v e rz n o m k o n a c n o m F u r ije o v o m s in u s n o m tr a n s fo r m a c ijo m i to zapisujemo sa Fn = F s [f (x)],

f ( x ) = F -H F n ].

4.1.


4 .1 .9

155

Furijeov razvoj nad intervalom ( -r o , ro). Furijeov integral

Neka je f : R ^ R neperiodicna funkcija definisana na celoj realnoj pravoj. Slicno kao pri razvoju periodicne funkcije u Furijeov red, u ovom slucaju se, p od određenim uslovima, f moZe razviti u tzv. Furijeov integral. T e o r e m a 4 .1 .3 Neka je f : R ^ R funkcija koja zadovoljava uslove 1- f Z

lf ( x)| dx = M £ R,

tj. f je apsolutno integrabilna na R.

2. Funkcija f može biti razvijena u Furijeov red nad svakim konaCnim intervalom [—1, l ]. Tada funkcija f može biti r a z v ije n a u JoTO cos wx + b(w) sin wx) dw, što zapisujemo sa 0 ° ((a(w) ' f(x ) ~

nOO / (a(w) cos wx + b(w) sin wx) dw, 0

F u r ije o v

x £ ( —ro, ro)

in te g ra l

(4.16)

gde je 1 a(uj) = —

O f ( x ) cos

1 b(co) = —

ujx d x:

n J —oo

O f(x)sin coxd x:

u ;£ [0 ,o o ) .

n J —o o

(4.17) U svim tackama neprekidnosti Furijeov integral jednak je vrednosti funkcije f u toj tački. Ako je x tacka prekida (prve vrste), u toj tački je Furijeov integral jednak \ ( f ( x + ) + f ( x ~ ) ) , tj. oo

( f (x) (a (w )cosw x +

o

u tackama neprekidnosti f

6(w )sinw x) = < f ( x + ) + f ( x_ ) ^ ---------------------------- ------------- utačkama prekidaf

Veza funkcije injenog Furijeovog razvoja(integrala) moze biti zapisana ekvivalentan nacin 1 O O f(x )~ — dco f ( t ) c o s u > ( x —t )d t n J0 J —o

na

(4-18)

ili u kompleksnoj (eksponencijalnoj) formi O f(x )~ —

doj J — - oo O

O 7^1

O

O

O ( /

—O

JJ—oo —o

m e-^ d tje ^ d u .

f ( t ) e ^ x- ^ d t = (4.19)

156


S em a d ok a za . Pokazaêmo prvo na koji nacin pretpostavke teoreme impliciraju relaciju (4.18), a zatim da je ona ekvivalentna relacijama (4.16) i (4.19). Za svako 1 > 0, razvoj funkcije f nad intervalom [—1,1 ] ima formu

f ( x ) ~ -tt + ^ 2 ( a n cosujnx + 5n smwnx), n=1

(4.20)

gde je a n

—

J

J

f(t)ca s(jjntdt, j

J

bn = j^

un

J

f ( t ) sin ojnt dt,

(4-21)

i gde je ujn = n f , n £ N o. Ako u formulu (4.20) zamenimo koeficijente an i iz (4.21), imamo 1 f 1 1 f 1 f(x )~ — f(t)d t + - j / j /( * ) (cos tont cos L0nx + sin ujnt sin ujnx) dt = 21 J —1 1 n=1^ —' 1 / 1 % % /"1 = 27 / f ( t ) d t + y E f ( t ) cos ujn ( x - t ) d t . J —1 n=1-' —1 Prvi sabirak poslednjeg reda, na osnovu uslova 1 teoreme, tezi ka 0 kad 1 ^ Zaista 1 •

s

/* 1 L

1 /

w

«

-

3

/* 1 L

1 l

/

W

I

s

/*o

5 1 L

to .

M i

m

“ t

=

š

*

*

0

Da bismo pokazali da drugi sabirak tezi Furijeovom integralu, zapisaêmo ga u pogodnijoj formi 1 O n /' * 1 O /' * — — f ( t ) c o s ujn (x — t) dt = — Awn f ( t ) c o s u j n(x — t)dt. -i n f-; .7-1 Kad 1 —>• oo, tada diskretna promenljiva wn = n j , n G No ” postaje” neprekidna promenljiva w sa vrednostima u intervalu [0, to ). K a k oje A w „ = ujn — ujn - 1 = j , kad 1 —>•oo tada A ujn —> 0 i "p ostaje” du>, suma "p ostaje” integral, te za 1 ^ imamo O f ( x ) l^S° — n J0

O duj

f ( t ) c o s u j ( x — t)dt. J —o

sto je Furijeov razvoj u obliku (4.18). Ako u poslednjem cos w(t — x), dobijam o

dvostrukom

1 O O f ( x ) -----dw I ( f (t) cos n J0 J —oo

integralu

transformisemo

cos wx + f (t) sin sin wx) dt

izraz

4.1.


157

n OO

*OO

(/

( f (t) cos wt dt) cos + ( f (t) sin wt dt) sin wx)

=

J — OO

=

/•oo (a(w )cos Jo

+ 6(w)sin wx) dw.

sto je Furijeov razvoj u obliku (4.16). TreCi, eksponencijalni, oblik (4.19) dobijam o koriscenjem Ojlerove formule za kosinus u (4.18).

4 .1 .1 0

Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom ( -r o , ro)

Ako je f : R ^ R parna funkcija, slicno kao u odeljku 4.1.5, u izrazu (4.17) 2 f o je b(ou) = 0 a a(u>) = — f ( x ) c o s u i x d x , te je n Jo o f (x) ~

/ o

a (w )cos w id w ,

x £ ( - r o , ro).

(4.22)

Analogno, ako je f : R ^ R neparna funkcija, u izrazu (4.17) je 2 r o a(u>) = 0 a b(u>) = — f(x)sin u >xdx, te je n Jo f (x) ~

4 .1.11

r o / 6(w)sin wxdw, o

x £ ( - r o , ro).

(4.23)

Furijeova transformacija. Spektar

Neka je f : R ^ R funkcija ciji je razvoj u Furijeov integral dat sa (4.19), tj. f(x ) ~ ^

[ ° ° ( f ° ° f ( t ) e - ^ d t ] e^ d oj. o —o

Poslednji izraz moze biti zapisan pomoû dve formule o

F( oj) = —

o

f ( x ) e - iujx dx,

27T

f(x) ~

F(oj)eiux duj,

(4.24)

J-r^

i tada funkciju F : R ^ C nazivamo beskonacnom F u r ije o v o m tr a n s fo r m a c ijo m funkcije f , a funkciju f nazivamo beskonacnom in v e rz n o m F u r ije o v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije F i to zapisujemo sa F M = F [ f (x)],

f ( x ) = F —1[F M ] .

Rec ” beskonacna” obicno se izostavlja u poslednja dva naziva. S obzirom kako su dobijene formule (4.24), ocigledno da je vrednost koeficijenata ispred integrala proizvoljna, bitno je samo da njihov proizvod bude

158


jednak Pored zapisa (4.24), često se koristi i takozvana simetrična forma Furijeove transformacije kada su oba koeficijenta ispred integrala jednaka Neperiodican proces opisan funkcijom f : R ^ R ne može biti predstavljen zbirom harmonijskih oscilacija diskretnih, izolovanih frekvencija = n f . Razvoj u Furijeov integral u fizičkom smislu znači da takav proces može biti predstavljen zbirom (integralom) harmonijskih oscilacija svih frekvencija kontinualnog spektra. Otuda nazivi koje navodimo u narednom pasusu. Funkciju F (w) nazivamo s p e k tr a ln o m fu n k c ijo m ili n e p r e k id n im s p e k tr o m , |F(w)| a m p lit u d n im s p e k tr o m a argF(w) fa z n im s p e k t r o m funkcije f.

O s o b in e F u r ije o v e tr a n s fo r m a c ije Neka su F (w ) i G(w) Furijeove transformacije funkcija f (x) i g(x) i neka a,b £ R. Tada vazi • F [a f (x) + bg(x)] = a F [ f (x)] + b F [g(x)], • F ( —lv) = F ( lv), • |F( - W)| = |F(W)|, • argF ( —w) = —argF (w), • Ako je f apsolutno integrabilna nad intervalom ( —to, ro), tada je F neprekidna za sve u> G ( —oo, oo) i teži ka 0 kad u> —> + o o . • Jednakost Parsevala -| —

p OO

p OO \f(x)\2 d x =

J —W

\F(oj)\2 doj J —W

• F [ ( f * g)(x)] = 2 n F ( w)G ( w ),

F - 1 [(F * G)(w)] = f (x )g (x ),

gde je sa f * g oznacena k o n v o lu c ija funkcija f i g definisana sa

/TO f (t)g (x —t) dt,

x £ R.

• J7 \f(ax)] = —F ( — , a > 0. a a • F [e“ x f (x)] =

F (w — a).

• F [ f (x + a)] =

eiaw F (w).

•

[ f <">(x)] = (iw) " F M , pod uslovom da f (n) postoji za sve x £ R i svi izvodi nizeg reda teze ka 0 kad x —> oo. f

4.1.


159

U narednom primeru, slicno kao u primeru 4.1.4, koristimo beskona cnu Furijeovu transformaciju za reSavanje diferencijalne jednacine sa konstantnim koeficijentima, ali sada sa neperiodi Cnim nehomogenim delom f (x).

P r im e r 4 .1 .5 Neka je y " + a iy ' + a2y = f (x)

(4.25)

diferencijalna jednaCina gde je f neperiodi Cna funkcija. Neka je, dalje, F (w) neprekidni spektar (Furijeova transformacija) od f (x). Tada parcijalno re senje jedna cine y " + a iy ' + a2y = F (w)eiwx, za svako fiksirano w € R, ima oblik A (w )eiwx. Postupajuci na isti nac in kao pri nalaZenju (4.15), dobijam o =

2 , • —w2 + *aiw + a2

(4-26)

Ako je desna strana jednacine (4.25) predstavljena kao ” suma” (tj. integral) elemenata F (w )eiwx, tada ce i parcijalno resenje yp(x) jednacine (4.25) biti ” suma” (tj. integral) elemenata A (w )eiwx, te je

f (x) =

OO I F (w )eiwx dw, J —oo

CXD

^

yP( x ) = /

A (w )eiwx dw. J —OO

(4.27)

Kako je |A(w)| < |F(w)|, iz apsolutne konvergencije prvog, sledi apsolutna konvergencija drugog integrala u poslednjoj formuli. □

4 .1 .1 2

Kosinusna i sinusna Furijeova transformacija

Furijeova transformacija mo ze biti razlozena na kosinusnu i sinusnu Furijeovu transformaciju. Ako je funkcija f : [0, ro) ^ R, tada funkciju k o sin u sn o m F u r ije o v o m tr a n s fo r m a c ijo m ako je 2

p OO

F c (lo) = —

Fc : R ^

R

nazivamo

p OO f(x)cosujxdx,

F c (lo) coslox div,

f(x) ~

n J0

(4.28)

J0

dok funkciju Fs : R ^ R nazivamo s in u s n o m F u r ije o v o m t r a n s fo r m a c ijo m ako je 2

p OO

F s ( lo) = —

W o

p OO f(x)sinLoxdx,

f(x) ~

F s ( lo) sin lox cLo.

Jo

(4.29)

160


Formula (4.28) je dobijena koriscenjem izraza (4.22). Zaista, kako je funkcija f definisana nad intervalom [0, ro), definisemo njeno parno produzenje na celo R, te izvr simo Furijeov razvoj saglasno sa formulom (4.22). Ukoliko funkciju a(w) oznacimo sa Fc(w) i to zamenimo u (4.22), dobijam o (4.28). Analogno se iz (4.23) izvodi(4.29) uz pom oc neparnog produzenja funkcije f . Ako je f parna funkcija, tada je F (w ) = Fc(w) (pri w < 0 je F (w ) jednako parnom produzenju funkcije Fc(w)), dok je za neparnu funkciju f , F (w ) = iF s (w) (pri w < 0 je F (w ) jednako neparnom produzenju funkcije Fs (w)). U opstem sluc aju koristimo cinjenicu da se svaka funkcija f moze predstaviti u obliku zbira jedne parne funkcije p i jedne neparne funkcije n, gde je P (x) = 7} ( f ( x ) + f ( ~ x ) ) ,

n (x) = ^ ( f ( x ) - f ( - x ) ) ,

te kako je f (x) = p (x) + n (x ), x £ R to je F (w ) = P c(w) + N s(w), gde je P c kosinusna Furijeova transformacija od p a N s sinusna Furijeova transformacija od n. To znaci da kosinusna i sinusna Furijeova transformacija u potpunosti određuju Furijeovu transformaciju funkcije.

U ovoj knjizi razmotreni su razni oblici Furijeove transformacije realne funkcije realne promenljive ( f : R ^ R ). Ni sta se bitno ne menja ako je f kompleksna funkcija realne promenljive ( f : R ^ C ). Tada je f (x) = f i ( x ) + f 2 ( x ) , gde su f i i f 2 realne funkcije realne promenljive koje zadovoljavaju uslove za razvoj u Furijeov red ili integral. Kako je F [fi(x ) + i f 2 (x)] = F [fi(x )] + i F [f 2 (x)], nema potrebe posebno razmatrati ovaj slucaj.

4.2.

Laplasova transformacija

4.2

161


U ovom poglavlju bavicemo se definisanjem i razmatranjem osnovnih osobina i primena joS jedne integralne transformacije - Laplasove transformacije.

4 .2.1

Definicija i egzistencija Laplasove transformacije

Jednostranom L a p la s o v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije f (t) realne promenljive t nazivamo funkciju F (s ) kompleksne promenljive s definisanu sa

(4.30)

i to zapisujemo sa F (s) = L [ f (t)]. ReC ” jednostrana” u nazivu obicno izostavljamo. Nesvojstveni integral u (4.30) nazivamo L a p la so v im in te g ra lo m Smatramo da Laplasova transformacija funkcije f egzistira ako Laplasov integral (4.30) konvergira bar za jedno s € C. Tada funkciju f nazivamo o rig in a lom , a funkciju F s lik o m Laplasove transformacije. U ovoj knjizi bavicem o se sluc ajem kada je f realna funkcija realne promenljive ( f : R ^ R ). Funkcija f moz e biti kompleksna funkcija realne promenljive ( f : R ^ C) i tada ima oblik f ( t ) = f i ( t ) + i f 2(t), gde su f i ( t ) i f 2(t) redom realni i imaginarni deo od f (t). Kako je L [ f (t)] = L [fi(t)] + iL [f2(t)], ocigledno da ovaj sluc aj ne donosi nista sustinski novo u teoriji Laplasove transformacije, te ga necemo posebno razmatrati.

O b la s t a p s o lu tn e k o n v e r g e n c ije L a p la s o v o g in te g ra la Ako Laplasov integral (4.30) konvergira apsolutno za neko s = a + ib, tj. ako je

tada, ocigledno, on konvergira apsolutno za svako s € C takvo da je Re s > a. Infimum a0 € R svih a € R za koje Laplasov integral funkcije f (t) konvergira apsolutno, nazivamo a p s c is o m a p s o lu tn e k o n v e r g e n c ije Laplasove transformacije L [ f (t)]. U poluravni Re s > a0, slika F (s ) je analiticka funkcija i svi njeni singulariteti se nalaze u poluravni Re s < a0. Oblast definisanosti analiticke funkcije F (s ) = L [ f (t)], Re s > a0, obicno prosirujemo uz pom oc analitickog produzenja (pogledati odeljak 3.12) na celu kompleksnu ravan, iz koje su iskljuceni singulariteti od F .

162


J e d in s tv e n o s t L a p la sov e i in v e rz n e L a p la so v e tr a n s fo r m a c ije Ako je f original a F njegova slika, tada umesto formulacije ” F je Laplasova transformacija od f ,” cesto kazemo da je f in v e rz n a L a p la so v a tr a n s fo r m a c ija od F i to zapisujemo sa f (t) = L - 1 [F (s)].

Ako za funkciju f : R ^ R postoji Laplasova transformacija, ona je jedinstvena. Drugim recima, original ima jednu i samo jednu sliku. Obrnuto ne vazi. Naime, razliciti originali mogu imati istu sliku. Zaista, ako originali f i g zadovoljavaju uslov p OO / ( f (t) - g(t)) dt = 0, (4.31) 0 oni ce pripadati klasi funkcija koje imaju istu sliku. Tu klasu sacinjavaju svi originali koji su levo od 0 proizvoljno definisani, dok se nad intervalom [0, ro) međusobno razlikuju nad skupom mere 0 (recimo, svaki konacan ili prebrojiv skup ima meru 0). U odeljku 4.2.4. bice vise reci o postupku nalazenja jednog predstavnika klase originala ako je poznata slika F (s ).

D o v o lja n u s lo v za e g z is te n c iju L a p la so v e tr a n s fo r m a c ije U narednoj teoremi dat je dovoljan uslov za egzistenciju Laplasove transformacije funkcije f . Od mnogih teorema koje se bave ovom problematikom, ona je odabrana zbog relativno jednostavne primene. T e o r e m a 4 .2 .1 Neka je f : R ^ R funkcija koja zadovoljava sledece uslove: 1 . f je funkcija neprekidna po delovima nad intervalom [0, ro) ,

2. za sve t > 0 a € R.

je

|f(t)| < M e at,

Tada integral F (s ) =

gde su M i a konstante, M > 0,

p OO f (t)e-st dt, 0

konvergira apsolutno za sve s € C za koje je Re s > a. Funkcija F (s ) je analitička nad poluravni Re s > a. Prokomentarisimo uslove 1 i 2 iz poslednje teoreme Uslov 1, da je f neprekidna funkcija po delovima, znaci da svaki konacan podinterval intervala [0, ro) moze biti razlo zen na kona cno mnogo podintervala nad kojima je f neprekidna funkcija. Tacke prekida takve funkcije, ako postoje, su ta cke prekida prvog reda (u ta ckama prekida postoji leva i desna grani cna

4.2.


163

vrednost funkcije). Cesto u ta cki prekida funkcije f (obicno u t = 0), ne preciziramo da li je njena vrednost jednaka levoj ili desnoj granicnoj vrednosti, sto, oc igledno, nema uticaja na Laplasov integral (4.30). Uslov 2 obezbeduje konvergenciju Laplasovog integrala (4.30). Naime, modul funkcije f (t) moze da raste kad t — ro, ali ne brze od neke eksponencijalne funkcije. Ovaj uslov zadovoljavaju sve ogranicene funkcije (recimo sinusna, kosinusna funkcija), zatim stepena funkcija t k, k > 0, eksponencijalna funkcija , ,2 eat, a € R, dok recimo, funkcija e ne zadovoljava ovaj uslov. Uslovi 1 i 2 odnose se na deo funkcije f desno od 0, sto znaci da njen oblik levo od 0 nije bitan. Ukoliko t interpretiramo kao vreme, a funkciju f (t) kao proces koji se odvija u vremenu, to znaci da posmatranje procesa pocinje u nekom momentu (najjednostavnije je taj momenat oznaciti sa t = 0), a ranije ponasanje procesa nema uticaja na dobijene rezultate. Uobic ajeno je da se pri primeni jednostrane Laplasove transformacije pretpostavlja da je za t < 0, f (t) = 0 i to obi cno ne naglas avamo. Tako, recimo, funkciju f (t) = cos t zamenjujemo funkcijom f (t) = | °, ^ < °, f (t) \ cost, t > 0. Saglasno sa napomenom iz tacke 1, nismo precizirali koja je vrednost funkcije f u ta cki 0. Razmotrimo na kraju ponasanje slike F u beskonacno udaljenoj tacki. Ako je slika F analiticka funkcija za s = ro, tada je lim F ( s ) = 0. s—ÔO Pokazacemo daposlednje tvrđenje va zi ukoliko je F slika originala f koji zadovoljava uslove tereme4.2.1. Uvedimo oznaku s = x + iy. Tada |F(s)| W

p OO |f(t)e- s t |dt < M / Jo

p OO e-(x -a )t dt, Jo

gde su konstante a i M one koje se pominju u teoremi 4.2.1. O cigledno, ako s ——^ duz realne ose tako sto x — , tada, na osnovu poslednje formule, F (s ) tezi ka 0. Ako je F analiticka funkcija u beskonacno udaljenoj tacki, tada je granicna vrednost jedinstvena, te je lims^ O F (s ) = 0. U opstem slucaju, dokaz je komplikovaniji, te ga ne navodimo.

P r im e r 4 .2 .1 (Hevisajdova3 jedini cna funkcija) Funkciju

Itl, 3Heaviside Oliver (1850-1925) Engleski fizičar i inženjer.

<4 32>

164


nazivamo H e v is a jd o v o m je d in ič n o m fu n k c ijo m . Kad je a = 0, u teoriji Laplasove transformacije uobi c ajen je zapis U (t) = 1. Nađimo Laplasovu transformaciju za U (t — a), a > 0. r C [U (t-a )]= Ja

e-as e ~ s t dt = -------, s

pođ uslovom đa e -st ^ 0 kađ t ^ to. Ako je s = x +

tađa je

|e- s t |= |e-x t -iy t |= e- x t . Posleđnji izraz teZi ka 0 kađ t ^ konvergira ako je x = Re s > 0.

to,

ako je x > 0. To znaCi đa Laplasov integral

Za a = 0 je C\lA{t)] = C[ 1] = - , s

Re s > 0. □

U poslednjem primeru našli smo da je £[1] = ^ , s tim što Laplasov integral konvergira nađ poluravni Re s > 0. S đruge strane, funkcija F (s) = je definisana i analitička ne samo nad pomenutom poluravni, nego nad celim C izuzev tačke s = 0 gde ima pol. Funkcija s £ C!\{0} je, ustvari, analitiCko prođuzenje Laplasovog integrala e-st dt, Re s > 0. Kako Cemo viđeti kasnije, uglavnom se sreCemo sa sluCajevima sliCnim ovome primeru. DobijaCemo funkdju F (s) đefinisanu i analitiCku nađ Celom kompleksnom ravni izuzev izolovanih singularnih taCaka funkCije F , a ne samo nađ poluravni Re s > a (nađ kojom Laplasov integral konvergira apsolutno i nađ kojom nema singulariteta). UbuđuCe, nas Ce po pravilu zanimati sama slika F (s ), a ne oblast nađ kojom se ona moze izraziti kao ođgovarajuCi Laplasov integral. Bitno je samo đa postoji poluravan nađ kojom Laplasov integral konvergira apsolutno.

4 .2 .2

Osobine Laplasove transformacije

U ovom ođeljku razmotriCemo osnovne osobine Laplasove transformaCije i kako se neki ođnosi između originala ođrazavaju na ođnos ođgovarajuCih slika. PretpostaviCemo đa su svi originali koji se spominju jeđnaki 0 za t < 0. Da bi zapis bio sto kraCi, originale Cemo oznaC avati sa f (t), g(t) a ođgovarajuCe slike sa F (s ), G (s). Konstante iz R oznaCiCemo sa a, b, konstante iz C sa a, ,0, a parametar iz R sa x. Simbol * koristiCemo za oznaku k o n v o lu c ije đve funkdje. Navođimo đefinidje konvoludje nađ realnim i nađ kompleksnim đomenom. Ako su f i g originali 4 (tj. realne funkCije realne promenljive), tađa je ( f * g)(t) = f f (y)g(t — y) dy. 0 4 Podsetim o da je za sve t < 0, f (t) = g(t) = 0, te otuda prividna razlika (kod granica integrala) u odnosu na definiciju konvolucije koja je navedena u odeljku 4.1.11.

4.2.


165

Ako su F i G slike (tj. kompleksne funkcije kompleksne promenljive), tada je konvolucija definisana sa 1 pb+iw ( F * G )(s) = — : F ( z ) G ( s - z) dz, 2ni Jb—ioo gde je putanja integracije bilo koja vertikalna prava koja pripada poluravni Re s > a u kojoj konvergiraju apsolutno oba Laplasova integrala koja defini su F i G ( sto zna Ci da svi singulariteti za F i G le že levo od te prave).

O s o b in e L a p la sov e tr a n s fo r m a c ije 1. L in e a r n o st 2. S lič n o s t

L [ a /(t ) + ,% (t)] = a F ( S ) + ^ G (S ). C[f(at)\ = - F f — , a > 0. a Va/

3. P r ig u s iv a n je £ [e at/( t ) ] = F (s — a). 4. K a s n je n je

L [ /( t — a)] = e-a s F (s ),

5. I z v o d p o p a r a m e tr u

a > 0.

Ako je L [/(t , x)] = F (s , x), tada je £

'd / ( t , x ) ]

d F (s ,x )

dx

dx

6. I z v o d o rig in a la L [/'(t )] = s F (s ) — / (0+), L [ / (n)(t)] = snF (s) — sn -1 / ( 0 + ) ----------- / (n -1 )(0+). 7. I z v o d slike L [—t /( t ) ] = F '(s ). 8. In te g r a c ija o rig in a la

L /o

9.

/ (t) dt

r / (t) n £ — = J

In te g r a c ija slike

10.

P r o iz v o d o rig in a la

11.

P r o iz v o d

slika

^

F (s) s

oo

F (u )d u .

L [/(t)g (t)] = (F * G )(s) L [ ( / * g)(t)] = F (s )G (s ).

12. P o n a s a n je u 0 i ro lim / (t) = lim s F (s), t—>-0+ s—to

lim / (t) = lim sF (s). t— s—0

13. U porecT ivanje p o n a s a n ja u 0 i ro

t—

g(t)

llm

M

t—o+ g(t)

s—— o G (s) = 1

s—to

lim

G (s)

166


Prokomentarišimo neke od navedenih osobina. • Naziv osobine 3 potice od procesa u fizici koje ona opisuje. Naime, ako je a < 0, tada Cinilac e at umanjuje funkciju f (t), te ako ona opisuje neki signal, tada je eatf (t) ” prigusen” signal. Kako ” prigusivanje” originala izaziva ” pomeranje” slike, ponekad se za ovu osobinu koristi naziv ” pomeranje” ili ” translacija” , • Proces opisan funkcijom f (t — a) poc inje s ” ka snjenjem” za vreme a u odnosu na proces opisan funkcijom f (t). (slika 4.4).

Iz osobine 4 vidimo da ” kasnjenje” originala za vreme a izaziva ” prigusivanje” slike F (s) za e- a s . • Osobina 5 vazi uz dve dodatne pretpostavke - za svako fiksirano x iz nekog domena, f (t, x) je original, - svi pomenuti parcijalni izvodi po parametru x postoje. • Kada govorimo o primeni Laplasove transformacije, osobine 6,7,8 i 9 spadaju u red najvaznijih osobina. U njima se kao original Laplasove transformacije pojavljuje izvod ili integral funkcije f , sto nameê potrebu postavljanja dodatnih uslova za f . • U osobini 6, ako se n-ti izvod f (n) javlja kao original, tada pretpostavljamo da su svi prethodni izvodi f , f ' , . . . , f (n-1) neprekidne funkcije. Ukoliko te pretpostavke nisu zadovoljene, te recimo, f ' jeste original, ali f ima prekid prvog reda u tacki t = a, tada ce prva formula u osobini 6 biti modifikovana na sledeci nac in L [ f '(t)j = s F (s) — f (0+) — e- a s ( f (a + ) — f (a- )). Analogno mogu biti modifikovane obe formule u zavisnosti od broja prekida i od njihove vrste. Napominjemo da f (a+) i f (a- ), a € R, predstavlja kraci zapis za levu i desnu grani cnu vrednost funkcije f u tac ki t = a, tj. f(a + ) =

lim+ f ( t ) , t—— a+

f(a - ) =

lim f ( t ) . t—>a

4.2.


167

• Ako se u ulozi originala javlja J0 f (t) dt, tada nikakve dodatne pretpostavke nisu potrebne. Moze se dokazati da ako je takođe original Laplasove transformacije. da lim f ( t )/t postoji. Kako je F t—o+ lims—_ TOF (s ) = 0, integral f s F (u ) du je.

f (t) original, tada je i J^ f (t) dt, Osobina 9 vazi uz pretpostavku analiti cka funkcija takva da ne zavisi od putanje integraci-

• Osobine 10 i 11 zna ce da proizvodu originala odgovara konvolucija slika, i obrnuto, proizvodu slika odgovara konvolucija originala. Konvolucija dve funkcije se cesto sreê u matematickim disciplinama i primenama u tehnici. Lako se dokazuje da je - konvolucija komutativna operacija, - ako su f i g originali, tada je f * g takođe original, - ako su F i G slike, tada je F * G takođe slika. • Osobina 12 vaz i pod uslovom da sve navedene grani cne vrednosti postoje. Primetimo da ako ta cka s = 0 nije singularitet funkcije F , tada je s F (s) = 0 •F (s ) = 0 , te poslednja osobina nije interesantna. • U 13 je navedena osobina koja opisuje istovetnost ponas anja originala i odgovarajucih slika u tackama 0 i ro. Ako su, recimo, originali f i g ekvivalentne beskona cno male veli cine kad t ^ 0+, tada su njihove slike F i G ekvivalentne beskona cno male velicine kad s ^ ro

4 .2 .3

Primeri

P r im e r 4 .2 .2 (č-funkcija ili impulsna funkcija Diraka5) U ovom primeru naznacicemo, u grubim crtama, ideju koja se poslednjih nekoliko decenija razvila u modernu matematicku teoriju (tzv. teorija uopstenih funkcija), veoma dobro prilagođenu potrebama primene u tehnici. Ako primenjujemo osobine Laplasove transformacije, moramo voditi racuna pod kojim uslovima one vaze (to je navedeno u napomenama iza samih osobina). U protivnom, dobijam o pogresan rezultat. Tako, recimo, osobina (6) o diferenciranju originala, primenjuje se pod uslovom da je f neprekidna funkcija (pogledati komentar naveden posle osobina). Ako bi ova osobina bila primenjena formalno na funkciju U(t —a) definisanu sa (4.32) bez obzira sto ona ima prekid u tacki t = a, rezultat bi bio L[U '(t — a)] = s£[W (t — a)] — U (0 — a) = e- a s . S druge strane, izvod U ' funkcije U je jednak 0 na celom R osim u tacki t = a, gde nije definisan. Laplasov integral nula-funkcije jednak je 0. To je, ocigledno, korektan rezultat. 5Dirac Paul Adrien Maurice (1902-1984) Engleski teorijski fizicar, jedan od osnivaca kvantne mehanike.

168


U poslednje vreme veoma se razvija t e o r ija u o p s te n ih fu n k c ija u kojoj se problemi, povezani sa upravo izloZenim primerom, razmatraju sa drugog stanoviSta. U toj teoriji cesto se srece takozvana J- fu n k cija ili im p u lsn a fu n k c ija D ira k a J(t) , definisana formalno izrazom J(t) = Kako za funkciju D

lim D e(t), e^0+ vazi

D e(t)

t £ [0, e] t £ [0, e].

/*w / D e(t) dt = 1, Jo

formalno ” izvodim o” sledeCe osobine: 1.

/*OO / J(t) dt = 1,

Jo

2.

/» OO / J(t — a ) f (t) dt = f (a),

Jo

gde je f (t) funkcija neprekidna u taCki t = a, a > 0. U teoriji uopstenih funkcija, J(t — a) se smatra izvodom pomerene jediniCne funkcije U (t — a). Naziv ” uop stene funkcije” dolazi otuda sto neka njihova svojstva protivurece osobinama funkcija u klasi cnoj analizi. Primenom Laplasove transformacije dobijam o p OO L[W'(t — a)] = £[J(t — a)] = J(t — a )e -st dt = e- a s , Jo sto je u saglasnosti sa rezultatom dobijenim na po cetku primera.

□

Teorija uopstenih funkcija je formirana sa namerom da za uopstene funkcije ostanu na snazi osnovne teoreme klasicne analize, a da ipak om oguci znatno sire polje primene i jednostavniju aparaturu pri resavanju mnogih problema u matematici, fizici i tehnici.

P r im e r 4 .2 .3 (Impulsna funkcija, periodicni sistem impulsa) Naci Laplasovu transformaciju impulsne funkcije f di cnog sistema impulsa g (desna slika), zadatih sa

Slika 4.5.

(leva slika) i perio-

4.2.


0, f (t) = ^ 1, 0, gde je n G N0, 0

169

t < 0, [ 0, 0 < t < a, g(t) = < 1, t > a. ^ 0,

t < 0, n T < t < n T + a, n T + a < t< (n + 1)T,

R e s e n je Kako je f (t) = W(t) —W(t — a), na osnovu primera 4.2.1. je C[f{t)} = C[U{t) - U{t - a)] = - - - e as = - ( 1 - e“ s). s s s Ukoliko jedinicni impuls f T ne poc inje u tacki 0 nego u tacki T > 0 i kao i ranije deluje nad intervalom du žine a, tada primenom osobine kaSnjenja (4), imamo e-T s C [fT (t)] = C [ f { t - T ) ] = — ( l - e “ s). Na kraju, nađimo Laplasovu transformaciju funkcije g. Kako je g(t) = f (t) + fT (t) + f 2T(t) +------- , dobijam o 1 £[ff(i)] = £ [ / ( i ) + ] T f nT(t)] = - ( 1 - e - “ s) n=1

e - nTs =

1 _ e-os _T n=0(*

pod uslovom da geometrijski red ^=0 e-nTs konvergira. O Cigledno |e- T s | < 1 kadgod je Re s > 0, te analitiCkim produzenjem dobijam o resenje za sve s e C \ {0 } □

4 .2 .4

Inverzna Laplasova transformacija

Do sada, pri bavljenju Laplasovom transformacijom, koristili smo Laplasov integral p OO F (s) = / f (t)e -st dt, 0 gde je slika F ižra žena preko originala f . Podsetim o da funkciju f (original) Cesto nazivamo in v e rz n o m L a p la so v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije F (slike) i to zapisujemo sa f (t) = L - 1 [F (s)]. Ocigledno da svakom originalu odgovara jedna slika. Da li je isti slucaj i obrnuto? U odeljku 4.2.1. smo naglasili da jednoj slici odgovara beskonacno mnogo originala, citava klasa funkcija. Ako su dve funkcije originali jedne iste slike, tada se one nad intervalom [0, ro) mogu razlikovati u tackama prekida i to samo za takozvanu nultu funkciju N (t ) (definiciju nulte funkcije pogledati

170


u dodatku 1 na kraju knjige). Kako u jednostranoj Laplasovoj transformaciji oblik funkcije f levo od 0 nije bitan, radi pojednostavljenja postupka obicno pretpostavljamo da je f (t) = 0 za sve t < 0. To, dalje, znaci da data slika F ne mo že imati vi se od jednog originala f neprekidnog ža sve t > 0 (i jednakog 0 ža t < 0). U daljem tekstu navodimo formulu (izra ženu u narednoj teoremi), iž koje, na osnovu zadate slike F, nalazimo jednog predstavnika iž odgovarajuê klase originala. Postupkom koji ce biti opisan nalazimo original f takav da je za sve t < 0, f (t) = 0 . T e o r e m a 4 .2 .2 Ako je f (t) original, a F njegova slika,, tada u svakoj tacki t, u kojoj je original f neprekidan, vazi formula

(4.33)

gde se integracija obavlja po bilo kojoj pravoj Res = b, koja pripada poluravni apsolutne konvergencije Laplasovog integrala funkcije f . Posebno treba obratiti pažnju da konvergencija integrala (4.33) nije dovoljna ža egžistenciju originala f cija je slika funkcija F . Egžistencija originala mora biti proverena prilikom svake primene poslednje teoreme. Navodimo jedan dovoljan uslov ža egžistenciju originala, koji smo odabrali žbog jednostavnosti provere. T e o r e m a 4 .2 .3 Ako funkcija F : C ^ C zadovoljava uslove: • F ima konačno mnogo singulariteta, a u ostalim tačkama iz C je analitička funkcija (uključujuci i tačku r x ), lim-sÔ F (s ) = 0, tada postoji funkcija f : R ^ C za koju j e F (s ) = L [ f (t)].

Ižracunavanje integrala (4.33) proižvoljne analiticke funkcije F obicno se obavlja koriscenjem teorije režiduuma. Navescemo opis ovog postupka u opstem slucaju, a žatim cemo ižneti posebne aspekte u žavisnosti od oblika funkcije F . Integral (4.33), ako je t > 0, ižracunavamo pomoû integrala (4.34) gde je L putanja sa slike 4.6. Ona se sastoji iž dva dela. Prvi deo je duž A B , a drugi deo je luk B K A centralne kružnice poluprecnika R.

4.2.


171

Razmotrimo sta se dogada kada R ^

to .

Duž A B postaje prava Re s = b tj. prava duZ koje se promenljiva s krece od b — iro do b + iro. Kako je prava Re s = b izabrana u oblasti apsolutne konvergencije Laplasovog integrala, svi singulariteti funkcije F leže levo od te prave, sto znaCi u unutras njosti konture L (podsetimo da R ^ to ). Desno od prave Re s = b nema singulariteta, sto znaCi da je u toj oblasti funkcija F analitiCka. Ukoliko je lims^ TOF (s ) = 0, tada za sve t > 0, integral du z kruznog dela putanje B K A te zi ka 0, tj. lim / F (s )e st ds = 0. R^ ~ JBKA

(4.35)

Poslednja jednakost se izvodi analogno izvodjenju u odeljku 4.11, taCka 3. Ukoliko je lims^ TO F (s ) = 0, tada je za sve t > 0

(4.36)

gde su , k € {1, 2, •••, m } singulariteti funkcije F . Zaista, na osnovu teoreme o reziduumu, je f f f m lim ® = lim / + lim / = 2ni R es[F (s)est, a k], r ^ t o /L r ^
te kako je

lim

/

r ^ to _/BKA

= 0

a

lim

/ = 2 n i/(t ) , jednakost (4.36)

r ^ to _/AB

zaista va zi. Razmotrimo, dalje, slucaj kada je t < 0. Pokazaêmo da je tada / (t) = 0. Za dokaz koristimo jednakost <£ F (s )e st ds = f + / =0, /l' J a b JBK'A

172


gde je L ' zatvorena putanja sastavljena od duzi A B i kruznog luka B K 'A desno od duz i A B (slika 4.7). Ukoliko je t < 0 i R ^

to,

te zi ka 0.

integral / J'BK b . 'A

Kako desno od prave Re s = b nema singulariteta funkcije F , integral nad zatvorenom putanjom L ' je jednak 0, te je

lim / = 2 n i/(t ) = 0, sto R^ ~ JAB

znaci da je / (t) = 0. Postupak je identican ukoliko su zadovoljeni svi navedeni uslovi, sem sto funkcija F levo od prave Re s = b ima prebrojivo (a ne konacno) mnogo singulariteta , k € N. Tada u formuli (4.36) reziduume sumiramo ne do m nego do ro. Ukoliko funkcija F ima tacke grananja levo od prave Res = b, putanju integracije L modifikujemo tako da one budu izbegnute. Recimo, ukoliko je tacka grananja u 0, koristimo putanju navedenu na donjoj slici.

P r im e r 4 .2 .4 Naci C - l

l s2+ l

R e s e n je Primenom formule (4.36), za t > 0, imamo / ( t ) = Res

e s2 + 1 ’

+ Res

e s2 + r

e« —i

e-it

------1 --------= sin#. 2i

-2 i

□

4.2.


4 .2 .5

173

Dvostrana Laplasova transformacija

D v o s tr a n a L a p la sov a tr a n s fo r m a c ija definisana je sa

/TOf (t)e -st dt = L [ f ( t ) , s ] + L [ f ( - t ) , - s ] , gde je L [f (t ),s ]=

/

/*OO f (t)e -st dt,L [ f ( - t ) , - s ] = o o

/

/»OO f ( —t)e st dt.

Ona predstavlja uopstenje Laplasove transformacije, i primenjuje se, slicno kao Furijeova transformacija, nad intervalom ( - r o , to ). L d[ f (t)] apsolutno konvergira ako i samo ako oba integrala L [ f (t),s] i L [ f ( —t), —s] apsolutno konvergiraju. Oblast apsolutne konvergencije, ako postoji, predstavlja deo kompleksne ravni odreden dvema apscisama apsolutne konvergencije. Osobine dvostrane Laplasove transformacije se dobijaju iz odgovarajucih svojstava obicne Laplasove transformacije.

4 .2 .6

Veza Laplasove i Furijeove transformacije

Razmotrimo sada vezu izmedu Laplasove i Furijeove transformacije. Podsetimo se definicije Furijeove transformacije funkcije f 1 f O -P [/W ] = ^ y f(x )e-^ d x . O cigledno, integral sa desne strane predstavlja dvostranu Laplasovu transformaciju funkcije f definisanu u prethodnom odeljku, za koju je s = iw. Prema tome T [ f ( x ) ] = ^ C d[f(x)]\a=iu. Naravno, moramo voditi ra cuna da f zadovoljava uslove za egzistenciju svake od pomenutih transformacija. Ako je funkcija f ( x ) jednaka 0 za x < 0, tada je .^[/(a:)] = + £ [ / ( x ) ] |s=*w. Kako su uslovi za egzistenciju Furijeove transformacije restriktivniji nego uslovi egzistencije Laplasove transformacije, dovoljno je proveriti samo uslove za egzistenciju Furijeove transformacije.

4 .2 .7

Neke primene Laplasove transformacije

1. N a la ž e n je v r e d n o s ti n e s v o js t v o g in te g ra la /*OO Nesvojstveni integral / f (t) dt mozemo naci na osnovu sledeê jedo nakosti O O / f (t) dt = lim / f (t)e -st dt = lim F (s ), Jo s^ 0 Jo s^ 0

174


gde je F (s ) = L [ f (t)]. Slicno se nalazi vrednost integrala oblika

p OO / f (t)e -at dt, koja je jednaka o

F (a).

P r im e r 4 .2 .5 Naci

I

■dt. o

R e s e n je . Kako je C

e- t - e-3t

e o

/ ^ [ e ^ - e - 34] dw = / ’ 00 f — ------------— ) du = ln

Js

Js

\ u + l u + 3J

s+ 3 s+ l’ □

imamo da ie I = lim ln — —- = ln 3. sô s +1

P r im e r 4 .2 .6 Naci

OO te 2t costd t.

I = o

R e s e n je . Kako je £ [tco st] =

f o 7o

s2 1 d d ( s \ t e ~ s t c o s t d t = — —£[cost] = — — ( ------ ) — „ ds ds \ s 2 + 1 / (s2 + 1)2 s2

imamo da je I = F (2) =

1

3

(s2 + 1)2 s =2

25'

□

2. R e sa v a n je lin e a rn ih d ife r e n c ija ln ih jed n aC in a Neka je

r(n) + a ix (” ^ + •••+ a „ _ i x + a „x = f ( t ) ,

(4.37)

nehomogena linearna diferencijalna jedna cina sa konstantnim koeficijentima sa po cetnim uslovima x(0) = x o, x '(0 ) = x i , •••, x (n -1 )(0) = x n -1 . Primenimo Laplasovu transformaciju na diferencijalnu jednacinu (4.37) (sn X (s) — sn -1 x o — s” - 2 ^^ — •••— x n_ i ) + ai (sn -1 X (s) — sn -2 x o — •••x n -2 ) + + . . . + a „ _ 1(s X (s) — xo) + a „ X (s) = F (s),

4.2.


gde je X ( s ) = izracunavamo

L[x(t)],

175

F (s ) = X (s)

L [f(t)]. Iz poslednje algebarske jednacine F ( s ) + P (s) Q (s)

’

gde je Q (s) = sn + a is ” -1 + ••• + a „ _ is + an, a P (s ) je polinom najviSe (n — 1)-og stepena ciji koeficijenti zavise od po cetnih vrednosti x k, k € {0 ,1 , •••, n — 1}. Ako je x 0 = ••• = x n-1 = 0, tada je P (s ) = 0, te je X s = TtTT' Q (s) Ukoliko poCetne vrednosti x 0, •••, x n -1 , nisu unapred zadate, izloZenim postupkom dobijam o opste resenje diferencijalne jednaCine.

P r im e r 4 .2 .7 Resiti diferencijalnu jednaCinu x m — 3 x" + 3x; — x = t2e4,x(0) = 1, x ; (0) = 0, x /;(0) = —2. R e s e n je . Primenom Laplasove transformacije dobijam o (s3X — s2x(0) — sx^(0) — x "(0 )) — 3 (s2X — sx(0) — x^(0))+ 2 + 3 (s X -x (0 )) - X (s — 1)3 odakle je

x = —-_____ _______ -I / 1 -|\0 / ! -_ i \qI+ s —1

(s — 1)2

2

(s — 1)3 1 (s — 1)6 '

Konacno, upotrebom tablica iz dodatka, nalazimo resenje t2e* x = C - 1 [X] = e4 - teJ - — - — 11 2 60

. □

P r im e r 4 .2 .8 Naci opste resenje diferencijalne jedna cine x " — a2x = f (t). R e s e n je . Neka je x(0) = ci, x^(0) = c2. Primenom Laplasove transformacije dobijamo s2X - s d — c2 — a2X = F {s ),

tj.

X

SCl +

Odatle je C2 1 [ * x = cicosh atH -------sinhatH— a a Jo

f { u ) sinh a(t — u) du =

.

176


1 f 1 = A cosh at + B sinh at H— j ( u ) smh a(t a(t — u)—du. u ) sinn u) a J 00 □ Naredni prlmer ilustruje kako, sllcno kao u izlo ženom postupku, mož emo reSltl neke jednostavnlje linearne diferencijalne jednaclne cljl koeficljentl nlsu konstantnl.

P r im e r 4 .2 .9 Re sitl dlferencljalnu jednaClnu tx /; + 2x; + tx = 0,x(0) = 1, x(n ) = 0. R e s e n je . Imamo da je — —(s2X — sx( 0) — x' (0)) + 2 ( s X — x ( 0 ))---- —X = 0, ds ds lll 2

—s X

,

— 2 s X + 1 + 2 sX — 2 — X

,

=0,

tj. X

-1 s + 1

Posle integraclje je X = — arctan s + A Kako je lim s^ TOX (s) = 0, dobljamo A = te je X = \ — arctan s = arctan ^ . Konačno, primenom inverzne Laplasove transformaclje, nalazlmo resenje x = £

1 arctan -1 s

sln t t □

3. R e sa v a n je s is te m a lin e a rn ih d ife r e n c ija ln ih je d n a č in a M etode resavanja su u ovom slucaju uste kao u sluc aju jedne jednacine. Narednl prlmer navodlmo kao llustraclju.

P r im e r 4 .2 .1 0 Re sitl slstem x " + y' + 3x = 15e- t ,

y " — 4x^ + 3y = 15 sln 2t,

uz pocetne uslove x(0) = 35, x^(0) = —48, y(0) = 27, y^(0) = —55. R eS en je. Prlmenom Laplasove transformaclje dobljam o s0X — 35s + 48 + sY — 27 + 3 X

s2Y — 27s + 55 — 4 (s X — 35) + 3Y =

15 s + 1’ 30 s2 + 4

4.2.


177

Resavanjem slstema algebarsklh jednacina (s2 + 3 )X + s Y = 35s - 2 1 ------^ - , s+ 1

- 4 s X + (s2 + 3 )Y = 27s - 195 + 3° s2 + 4

po X i Y , dobljam o 30s 45 3 2s X = ^ r— r + — r + s2 + 1 s2 + 9 s+ 1 s2 + 4 60 30s 3 2 — — Y = -------------1--------------------------h s2 + 1 s2 + 9 s+ 1 s2 + 4 Dalje je x = L - 1 [X ] = 30cos t — 15sln3t + 3e- t + 2cos t, y = L -1 [Y ] = 30 cos 3t — 60 sln t — 3e- t + sln 2t. □ 4. R eS av an je in te g ra ln e je d n a č in e tip a k o n v o lu c ije Neka je y(t) = f (t) +

k(t — u )y(u ) du, 0

integralna jednacina u kojoj je y nepoznata funkclja, a f i k su poznate funkclje. Ona mo ze bltl zaplsana sa: y(t) = f (t) + (k * y)(t). Prlmenom Laplasove transformaclje dobljamo Y (s) = F ( s ) + K ( s ) Y ( s ) ,

ili

Y (s) = ^ ^ | g ).

Resenje dobljam o prlmenom inverzne Laplasove transformaclje na poslednju jednakost.

P r im e r 4 .2 .1 1 Resitl integralnu jednacinu

y(t) = t2 + / y (u )sln (t — u) du. 0

2 Y 2 2 2 1 4 R e š e n je . Kako je Y = - ^ + - ^------ , tj. Y = “ §■+ ” ) imamo da je y = t -\------1 . s s |1 s s 12 □j

4 .2 .8

Neke primene u elektrotehnici

Razmatramo redno R L C kolo sa jednlm nezavlsnlm naponsklm izvorom v(t) (pogledatl sllku). Anallzlracemo takvo kolo u slu c aju da je 1. v(t) perlodl cna funkclja i poc etnl uslovl su jednakl 0,

178

Glava 4. FU RIJEO VA IL A P L A S O V A T R A N S F O R M A C IJ A

2. v(t) neperiodična funkcija i početni uslovi su jednaki 0, 3. v(t) neperiodična funkcija i početni uslovi su različiti od 0. 1. P rim en a konaćne Furijeove transform acije Primer koji ćem o izložiti ima veom a važnu ulogu u izučavanju procesa u oscilujućim kolima ( sa prom enljivim strujama) p o d dejstvom periodične elektrom otorne sile. K ao što je poznato, diferencijalna jednačina struje i(t) za procese sa prom enljivim strujama ima oblik

1 f 1 Li' (t) + Ri (t ) + — i ( t ) d t = v ( t ), C Jo gde je /(‘-otp or (Ri(t) je napon na otporniku), L-kalem (Li'(t) je napon na kalem u), C- kondenzator sila.

i(t) dt je lmpon na kondenzatoru) i u(č)-elektrom otorna

Diferenciranjem obe strane po t, dobijam o linearnu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima (4.38)

i"(t) + j i ' ( t ) + - L i ( t ) -

k oja je, očigledno, istog tipa kao (4.14) Neka je v(t) periodična funkcija sa periodom 27t i neka je { E n } nez njen spektralni niz . Tada je parcijalno rešenje ip(t) jednačine (4.38) takode periodična funkcija sa istim periodom i spektralnim nizom { I n} n e z- Vrednosti I n , n e Z nalazimo isto kao što smo pri rešavanju jednačine (4.14) našli koeficijente A n (4.15) . Naime, kako je

=

Y

j

E r eint\

ip ( t ) =

£

In ein t,

zam enom odgovarajućih redova u (4.38) i izjednačavanjem koeficijenata, dobijam o In =

En R R + i(Ln - ^ ) '

Parcijalno rešenje ip(t) nazivamo sopstvenim režimom.

(4.39)

4.2.


179

Opste resenje odgovarajuceg homogenog dela jednacine (4.38) nazivamo nametnutim rezimom. Ono ima oblik ih (t) = c i e Xlt + C2 eX2t, gde su Ai i A2 koreni karakteristicne jednacine

A + L X + L Č -°>

t j'

Ai-2 “ “ 2 1 ^ 4 1 ž ~ L Č '

Ocigledno, koreni Ai i A2 su ili oba negativna, ili su oba kompleksni brojevi sa negativnim realnim delom. U oba slucaja moduli |eAlt| i |eAlt| teZe ka 0 kad t ^ ro, sto znaci da tada ostaje samo sopstveni reZim ip(t). Ukoliko je v(t) periodicna funkcija sa periodom T = 21, tada promenljivu n zamenjujemo sa = “ , a formula (4.39) postaje E In = ------- — ^ ------------------------------------------------- — R + * (Lujn - ^

.(4.40)

sto je Om ov zakon za konstantnu struju. Nizovi [ E n} neZ i { I n} ne z su spektralni nizovi napona i struje. Izraz u imeniocu od (4.40) nazivamo impedancom kola i obiCno ga oznaCavamo sa Zn, tj. Z n = /? + *( Lojn — 2. P r im e n a b e s k o n a č n e F u rije o v e tr a n s fo r m a c ije Ukoliko u prethodnom primeru v(t) nije periodiCna funkcija, tada je analiza odgovarajuCeg elektricnog kola analogna, sem sto umesto konacne, koristimo beskonacnu Furijeovu transformaciju. Neka je E (w ) neprekidni spektar (Furijeova transformacija) funkcije napona v(t). Tada su v(t) i v'(t) izrazene sa

/OOE (w )eiwt

v '(t)=

-O

p OO i u E ( u ) e lut du, J —O

te zamenom u jednacinu (4.38), dobijam o r i i i r oo ^"(t) + - i ’ (t) + — i(t) = - v \ t ) = - ] tcjE(uj)eiu tduj.

(4.41)

Za nalazenje neprekidnog spektra I(w ) funkcije struje i(t) koristimo jednacinu i"(t) + ^ i '( t ) + ^ ( t ) =

(4.42)

cije parcijalno re senje ima oblik I(w )e iwt. Analogno kao pri re savanju jednac ine (4.25), dobijam o /(„ > = — EM ,. R + i ( L uj - - ^ )

= | j4 , Z ( uj)

«■ «)

180


gde je Z (w ) impedanca kola. Prema tome, struja se dobija iz

rfM ^-

m =

J —O Z (^J

(4-44)

3. P r im e n a L a p la so v e tr a n s fo r m a c ije Primena Laplasove transformacije je omogucila formiranje aparature i metoda koje zauzimaju centralno mestu u razvoju teorije kola. Upoznaêmo se sa osnovnim principima ove primene, ne ulazeci u detalje koji se izucavaju na kursevima elektrotehnike. Neka je dato kolo opisano u primeru primene konacne Furijeve transformacije, okarakteristano diferencijalnom jednacinom 1 Li (t) + Ri(t) + —

C1 i (t)d t = v(t).

(4.45)

J0

C

Pretpostavimo da su u pocetnom momentu t = 0, struja i napon na kondenzatoru jednaki 0. Te pocetne uslove imamo pri ukljucenju kola. Sa I ( s ) i V ( s ) oznacicemo Laplasovu transformaciju struje i (t ) i napona v (t ). Na osnovu osobine 6 i 8 o izvodu i integralu originala, imamo Cli'(t)] = sl ( s ) ,

C [ ( i(t) dt] = —— . Jo s

Primenom Laplasove transformacije na jednacinu kola (4.45), dobijam o algebarsku jedna cinu I (s ) LsI(s) + R I(s) + ^ = V (s ), Cs odakle je /(« ) = - ^ R +L

s

> +

jt^

Z { s)

( 4 , 6,

i gde smo sa Z ( s ) oznac ili Laplasovu transformaciju otpora kola. Impedanca kola iz (4.43) se dobija ako u Laplasovu transformaciju otpora kola Z ( s ) stavimo s = i w . Formulu (4.46) nazivamo Laplasovom transformacijom Om ovog zakona. Kako je

i

(t ) = L - 1[I( s )], struju i (t ) izracunavamo iz 1 m

=

b+i o ( b+

2ni Jb-i

v

(s)

Z (s )

Ukoliko su pocetni uslovi drugaciji, naime, ako je pocetna struja i(0) = i0 = 0 i ako na kondenzatoru postoji pocetno punjenje q0,tada je kolo opisano sledeôm diferencijalnom jednacinom 1 (’ t Li f(t) + Ri(t) + — i(t) dt + ^ = v(t). C Jo C

(4.47)

4.2.


181

Kako je sada L[i '(t)] = s I(s) —i 0 , Laplasova transformacija poslednje jednacine je data sa

Lsl ( s) - Li0 + RI( s) +

^

Cs

Cs

= V(s),

odakle je

V(s) + Lio + - ^ J (s) = ’ R + TLsT+ -' l^CS =

V (s)

Lio + ^

z (s)+

Z(s)

(4 -48)

Na taj nacin struji nultih pocetnih uslova i^(t) dodajem o i tzv. struju kratkog zatvaranja i 2(t), te je

= ^ r r i-^ r r ^ = -> + ^ Struja i 2(t) odgovara zadatim poc etnim uslovima i dobija se ako u jednac ini kola stavimo v(t) = 0 , tj. na kratko zatvorimo kolo.

182

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRANSFORMACIJA

Literatura [1] D.Adnadjevic, Z.Kadelburg, Beograd, 1989.

Matematicka

analiza I, Naucna knjiga,

[2] D.Adnadjevic, Z.Kadelburg, Matematicka analiza II, Zavod za izdavanje ud zbenika, Beograd, 1991. [3] N .Adzic et al., Matematička analiza II, FTN, Novi Sad, 1996. [4] R.G.Bartle, The elements of real analysis, John W iley & Sons, New York, 1964. [5] W.L.Ferrar, Integral calculus, Oxford University Press,London, 1958. [6] G.M .Fihtengolc, Kurs diferencialnogo i integralnogo isčislenija I, II, III, Fizmatgiz, Moskva 1959. [7] D.Kovacevic at al., Funkcije vise promenljivih, Univerzitet u N.S., 1997. [8] H.Kraljevic, S.Kurepa, Matematička analiza 4, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1986. [9] S.Marde sic, Matematička analiza, Skolska knjiga, Zagreb, 1988. [10] D.S.Mitrinovic, Kompleksna analiza, Gradjevinska knjiga, Beograd, 1967. [11] W .Rudin, Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill, New York, 1964. [12] M.Spiegel, Complex variables, Schaum Publ.Co., New York, 1964.

183

184

P R IL O G 1. N eke specijalne funkcije

P R I L O G 1. N e k e s p e c ija ln e fu n k cije G a m a fu n k cija . Za z € C, Re z > 0 defini semo gama funkciju sa p OO r(z ) = 0 Osobine 1 . r ( z + 1 ) = z r (z ),

2. r ( n + 1) = n! n € N 3. T (n + 1) ~ n” e_n V^Tm,

n

GN

4. r ( i ) = V5F, 5. z € C, n € N,

—n < Re z < —n + 1 , z € {0, —1, —2, •••}, r ( z ) = ___r ( z + n)___________ y J

z{z+l)---{z + n - l )

B e se lo v a fu n k cija . Beselova funkcija reda n, n € Z, je definisana sa j

(x) = V ____ __________r x y +2k ”U ^ f c ! r ( n + fc + l) V27 '

Osobine 1. J -n (x) = ( —1 )"J „(x ), n € N, 2. Jn+i(x ) = ^ J n (x) - Jn- i ( x ) , 3 -

=

xnJn - l ,

J q (x ) = - J l ( x ) ,

4. Jn (x) je resenje jednacine x 2y "(x ) + x y '(x ) + (x 2 — n 2)y(x) = 0. 5- Y . Z - o o U x )tn = e ^

,

M o d ifik o v a n a B e s e lo v a fu n k cija . / X \ n+ 2k

I n ( x ) - % n j n(i x ) - Y ; kAHFfn T (n + + k/ ++ ! '1) ) (2) ^ k= 0

Im p u ls n a fu n k cija D ira k a. Formalno se definise sa 5(t) = ( 0 w [ to, Ako je f

t = 0 t = 0,

tj. 5(t — a) = ( 0 t = a J v ' [ ro, t= a,

neprekidna funkcija u tacki t = a, tada, ako a € [c, d] I J(t — a ) f (t) dt = f (a). t/ c

P R ILO G 1. N eke specijalne funkcije

185

• N u lta fu n k cija . N nazivamo nultom funkcijom ako za sve a, b € [—ro, ro] f N (x) dx = 0. Ja Svaka funkcija koja je razlicita od 0 u konacno ili prebrojivo mnogo ta caka iz R, a u svim ostalim tackama je jednaka nuli, je nulta funkcija. • F u n k cija g resk e erf(t). K o m p le m e n ta r n a fu n k c ija g re sk e erfc(t) 2 t1 2 erf(t) = —= e ~ x dx, V'n J 0

2 erfc(t) = 1 — erf(t) = —=

tO 2 e ~ x dx t

• S inu sn i in te g ra l Si(t). K o s in u s n i in te g ra l C i(t). E k s p o n e n c ija ln i in te g ra l Ei(t)

Si (t) =

t 1 sin x -------dx, 0 x

t ° cos x ------- dx, t x

Ci (t) =

Ei(t) =

F re sn e lo v sin u sn i in te g ra l S(t). F re sn e lo v k osin u sn i in te g ra l C (t) S(t) =

/ sin x 2 dx, C (t) = 0 0

/

cos x 2 dx.

P o lin o m L a gera . Za n € N0 e Ln(x) = -

d —

n! dxn

( x n e - x ).

t° e x ----- dx. t x

P R IL O G 2. Površi drugog reda

186

P R IL O G 2 POVRŠI D R U G O G R ED A

Lopta x 2 + y2 + z2 — r2

Konus x2

y2 z2 _

d2

b2

c2

Ilip erb oličn i paraboloid 9

9

P R IL O G 2. P ovrši d ru gog reda

187

PB JLO G 2. P ovrši dru gog reda

188

Dvograni b oloid

x2

y2

^ 2 + 62

— Jednograni eliptični h iperboloid

,2

62

eliptićni

hiper-

189

PRILOG 3 TABLICE LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA poo F( s) = / f ( t ) e ~ s i dt J0 F(s)

fa )

1

1.

i

S J_ s2

2.

t

4.

— sn

n >

1

tn - l

0

r (n) eat

5.

s —a

6.

(s — a)n

7.

(s — a)n

r (n)

8.

1

s2 + a2

sin at a

(n — 1 ) ! 7

’

t n - l e at

s s2 + a2

9.

cos at

1 10.

(s — b)2 + a2

11.

(s -

s

— b b)2 +

a2

1 12.

13.

14.

s2 — a2

ebt sin at a

ebt cos at

sinh at a

s s2 - a 2

cosh at

1

ebt sinh at

(s - b)2 - a2

a

rH

n = 1,2,3, . . .

II O

— sn

i *

3.

190

15.

16.

17.

F(s)

/( « )

s —b (s — 6 ) 2 — a2

ebt cosh a£

(s — a)(s — b)

_ eat b —a

(s — a)(s — 6 )

be^t — acat b —a

18.

(S2 + a2)2

sin at — at cos at 2 a3

19.

S (S2 + « 2)2

t sin at 2a

20

.

S2 (s2 + a2) 2

sin at + at cos at 2a

2 1

.

22

.

s2 - a2 (s2 + a2) 2

23.

(s2 - a2) 2

at cosh at — sinh at 2 a3

24.

s (s2 - a2)2

£ sinh a£ 2a

25.

s2 (s2 - a2) 2

sinh at + at cosh at 2a

26.

s3 (s2 - a2) 2

cosh at + ât sinh at

27.

s2 + a2 (s2 - a2) 2

t cosh at

1

cos at — Jat sin a£

(s2 + a2) 2

t cos

1

(s2 + a2)3

(3 — a2t2) sin at — 3at cos at 8 a5

29.

s (s2 + a2) 3

t sin at — at2 cos at 8 a3

30.

s2 (s2 + a2) 3

31.

s3 (s2 + a2)3

28.

1

(1

+ a2t2) sin at — at cos at 8 a3 31 sin at + at2 cos at 8a

191

F (s)

/( « )

32.

s4 (s2 + O2)3

(3 — a2 f2) sin af + 5at cos at 8a

s5 (s2 + a2)3

(8

33.

34.

3s2 - a2 (s2 + a2)3

t2 sin af 2a

35.

s3 — 3a2s (s2 + a2)3

£t 2 cos at

36.

s4 — 6a2s2 + a4 (s2 + a2)4

^t3 cos at

37.

s3 — a2s (s2 + a2)4

t3 sin at 24a

1

(s2 - a2) 3

(3 + a2 t2) sinh at — 3at cosh at 8 a5

39.

s (s2 - a2)3

at2 cosh at — t sinh at 8 a3

40.

s2 (s2 - a2)3

at cosh at + (a2 t2 — 1 ) sinh at 8 a3

41.

s3 (s2 — a2)3

3t sinh at + at2 cosh at 8a

42.

s4 (s2 — a2)3

(3 + a2 t2) sinh at + 5at cosh at 8a

s® (s2 - a2)3

(8

43.

44.

3s2 + a2 (s2 — a2) 3

t2 sinh at 2a

45.

s3 + 3a2s (s2 - a2)3

^f2 cosh at

46.

s4 + 6a2s2 + a4 (s2 - a2)4

^t3 cosh at

47.

s3 + a2s (s2 - a2)4

t3 sinh at 24a

38.

1 48.

s3 + a3

— a2 f2) cos at — la t sin at 8

+ a2 t2) cosh at + 7at sinh at 8

e“ t/2 3a2 |V

, 5l. VŠat Sln 2

VŠaf cos

2

+ e

] J

192

F (s)

49.

50.

51.

f(t) eat/2 f

-Jšat

s3 + a3

r\[Žat + v 3 sin—-z—

I (e~at +

s3 + a3

a^2 fe3» -i ‘ /2

-----

s3 — a3

2 c»
— cos

cos^ ~ ^ j

VŽTat

/—

— 5 ------- v 3

. \/3 ai

sin —^—

52.

e--------“‘/2 rI V3 /s- sm . —g------\/3at c o s —V3a« , ,„t/, 2 --------e3at/2

53.

•i ( e at + 2 e-at/2 c o s ^ )

^ (sin at cosh at — cos at sinh at)

54.

s4 + 4a4

55.

s4 + 4a4

2a2

56.

s4 + 4a4

A - (sin at cosh at + cos at, sinh at) 2a

57.

s4 + 4a4

4a-1

sin at sinh at

58 .

^^-(sinhat — sin at)

59.

2a2

60.

61.

cos at cosh at

(cosh at — cos at)

(sinh at + sin at)

s3

l (cosh at + cos at)

62. Vs + a + Vs + b

2 (6

— a)\frrt3

erf \/at 63.

64.

65.

Va

sVs + a

; erf Vat

Va

V š (s — a)

Vs — a +

6

eot i — -------6 el> ‘ erfc (b ^ t)

Ivvt

193

F (s)

66 .

(a«) tJs2

67.

68 .

/(«)

+ o2

70 (at)

'Js2 — a2 (V s2 + a2 — 8)"

n >

a" Jn(at)

—1

\/s2 + a2 (s — V s2 — a2)n

a "/„(a t)

69.

Vs2 — a2 _b(s — V s 2 + a2 ) 70.

J0(aV t2—62)

71.

72.

73.

74.

J0(aVt(t + 26))

Vs2 + a2

t>

5

t< 6

Vs2 + a2 tj^ (at) (s2 + a2)3/2

tJ 0(at)

(s2 + a2)3/2

J0(at) — at

(s2 + a2)3/2

(at)

t/ât) 75.

(s2 - a2)3/2

76.

( S2 _ a 2 )3/2

77.

(s2 — a2)3/2

78.

79.

s(es — 1)

s(l — e- s )

! — r)

t / 0(at)

Ioiat) + a tli(a t)

i?(f) = n,

F(t) =

s (l — re s)

81 .

es — 1 _ s(es — r)

1 — e~ s s(l — re~ s)

e-a/s

~7T

1,

n =

0,1,2,

m 2 rk k= l

g d e je

80.

n = t < n+

F(t) = r'1,

[t] =

najveći c e o broj ž

t

n ši t < n + 1, m = 0 ,1 ,2 ,

i 2Vat

194 F (s)

82.

/(*>

e -u /j

sin 2\/at

g 3 /2

yfrra

p —a/s

83.

— —"TT sn+ !

/ t \ n' 2

n > -1

[a )

Jn(2V a t)

e-aVš

e-a‘/4t

V>

V rt

84.

°

e-aVš

85.

e - a ! /4 t

zV^t3 l — e-aJš

86.

erf (a/2Vt )

s g-oVT

87.

erfc ( a l lV t )

s e-aVš

88.

e b (b t

+a )

erf c

V š (Vs + b) e ~ a / Vs

89.

8„+i

»>

i

/—

Virt a2n+1

f

/

^------ 5 _ \

l

2 ^ ;

« "« “‘ 'ial‘ J2n(2V u ) du e -M

_

e -a t

90.

'" ( S )

t

91.

ln [(s2 + a2)/a2] 2s

Ci (at)

92.

ln [(« + a)/a] s

Ei (at)

93. y =

ln t

/ s 2 + a2\ \s* + b2 j

94.

2 (cos at — cos bt) t

v2 _j_ (y + ln s)2 6s s

95. y =

96.

_ (y + In s) s O jlerova konstanta = .5772156...

O jlerova konstanta

ln2 t

= .5772156...

ln s s

- (ln t + y) y =

97.

ln2 s s

O jlerova konstanta

(ln t + y)2 y =

O jlerova konstanta

= .5772156...

J^2 = .5772156...

195

F (s) — r(» + sn+ 1

sr3

1

1)

99.

1)

ln s

v.

p'

r '(« +

98.

f(t)

tan ~ 1 (a/s) s

100.

pd/s

,---

.

tn ln t

sin a( t

S i (at) e -2Vču

101.

Vs

102.

es!/4“! erfc («/2o)

2£. e -o 2'* v?

103.

es’ /4a2erfc (»/2o) s

erf (ot)

104.

eas erfc V a i Vš eas Ei (as)

105.

106.

— j^cos as

1

\/ir(£ + o) 1

t+ a 1

— Si (as) j- — sin as Ci (as) J «2

107.

sin as

— Si (as) j- + cos as Ci (as)

108.

cos as

— Si (as)

+ o2

t t2 + o2

— sin as Ci (as) tan-1 (f/a)

8

109.

sin as j j - — Si (as)j> + cos as Ci (as) 8

110.

[| -

Si (as)

J

+ Ci2 (as)

M^) M^)

111.

0

* «t)

112.

1

«(t)

e~ as

S (t-a )

113.

e~ a s 114.

8

V(t - a)

196

F (s)

fa )

115.

sinh sx s sinh sa

X + 2 2 (_1)" sin n" x cos nwt a 7Tn= ! n a a

116.

sinh sx s cosh sa

117.

cosh sx s sinh sa

118.

cosh sx s cosh sa

119.

sinh sx s2 sinh sa

120

.

sinh sx s2 cosh sa

1

121

.

cosh sx s2 sinh sa

t2 72a i~

122

.

cosh sx s2 cosh sa

123.

cosh sx s3 cosh sa

124.

4 £ >

(—l)n . (2n — l)v x . (2n — V)Trt ' T sin n sin 0 2n 1 2a 2a

7r n=\

t 2 (—l)n nvx . nnt + 2t cos sm — a tt n=i n a a

+ ir 4 2 ,( - — 1 )’ c o .(2 " “ 1 )" c o s (2 * r 1)' t n= ^ 2n 1 2a 2a

1

xt , 2a (—l)n . nrrx . nirt — + —5- > — 5— sm ------sin-----a tt n= j nz a a 8a

n*

1

JUt9 +1 x‘ £(t z>

a°) a)

^

sinh xy/~8

cosh x V š cosh ay/š

“2

126.

sinh xy/s V š cosh a\fš

127.

cosh xy/š V š sinh ay/š

128.

sinh xy/H s sinh aV?

129.

cosh xy/š s cosh a\/š

130.

sinh xt / š s2 sinh ay/š

131.

cosh xy/š s2 cosh ay/š

2

a n=

(—l)n nirx A nvt\ cos----- 1 — cos----- ) n1 a \ a J

,2 a ^ + ~T vz

sinh ay/~š

125.

(2 n -lM 2a

005

8“ V (_ 1 )n co, (2m - V ” * oin r* „-1 , (2 n - l ) 2 C 0 3 2a “ln

( 1

(

(-1 ) " (2 n - l V * (2 n - l ) 2 Sln 2a

„-“ 1

2

„=i

v

(~_l)n (2n 1 ) 3 cos (2» — 2al)irx cos (2n— l)rt

sin

(— 1

(~ 1 )"~ 1 (2 n -

- D«-* 2a

a

1 ) e~ ( 2 n - 1 ) W / 4 a » c o s

<2m~ 1 ) ^

1

|2 -a

(—l ) "

-1

e- <2" - s i n

(2w~a1)ra!

+ - 2 ( - l ) » e - " 2^ » ! cos — a n=^ a

* + 2 2 <_1>n e - « w 'a2 sin ” ”■* a 7r n=1 n a

1

4 ^ (—l)n c_ , ?„_l)2T!t/4o! co_ (2n — 1)7TX ji- n= i 2 n — 1 ” 2a

1

*t a

a 9.\

+

1

f

a > +

f

2f 2 (~V” (1 7r n = ! w3 16a2 (— l)n r3 J l ( 2 n -1 )3 0

a

(2n— l)27r2t/4a2

___ (2tl 1)jt3J 003 2a

197

F (s)

/<*> j _

J0(ix-/š)

132.

s J0(ia\Ts)

J0(ixy[š)

J(*2 - a 2) + *

a2 J0 (ia-\fš)

gdesu \],X2.

e-xi t/o* jo (\n*/a) Xn

(^n)

pozitivni koreni od -

t +

2 a2 2

n i

J0(\) = o

e ~ < t/a,J0(\nx/a) --------;— — "-----^ IJ A K )

pozitivni koreni od

<70 (X) =

f(t)

^ t& nh( f )

134.

^ n=l

gde su Xi,X2, . . .

133.

0

l-

2a

4a

6a

/(« 1-

, , / as\ —tanh = s \2 / 1

135.

i i ia

; i i2a i

1

: i

i i i5a

1

i i4a

j 3a

i

1

1

- 1-

/<«> 136.

170 a2s2 +

jr2

coth

V2 )

1-

/ ^

\

/ " \ a

/ " \ 2a

/ 3a

/(o 137.

irCb

(a2s2 + >r2)(l - e - “s)

1-

/ \

/ \ a

/

2a

3a

4a

2a

3a

4a

/« ) 138.

1

as2

«-
1-

a .

0

198

Indeks alternativan red, 19 amplitudni spekrar, 158 amplitudni spektralni niz, 152 analitička funkcija, 44 u tački, 87 na. skupu, 87 analitičko produženje, 129 pririrodna granica, 131 apsc.isa apsolutne konvergencije, 161 argument, 79 glavna vrednost, 79 Beselova funkcija, 184 bilinearno preslikavanje, 138 diskretni spektar, 152 d vojni niz, 27 d vojni red, 28 dvostruki integral, 48 eksponencijalna funkcija, 23, 89 esencijalni singularitet, 116 fazni spektar, 158 formula Grina, 74 funkcija Beselova, 184 gama, 184 greške, 185 H evisajdova jedinična, 163 impulsna, 168 impulsna Diraka, 167, 184 modifikovana Beselova, 184 m onotona po delovima, 145 neprekidna po delovim a, 145 nulta, 185 spektralna, 158

uopštena, 167 funkcionalni red, 31 konvergencija p o tačkama, 31 konvergencija uniformna, 32 Furijeov integral, 155 koeficijent, 145 razvoj, 145, 150 red, 145, 150 red kosinusa, 148 red sinusa, 148 Furijeov razvoj, 145 Furijeov red, 145 kompleksni oblik, 151 Furijeova transform acija, 157 beskonačna, 157 beskonačna inverzna, 157 inverzna konačna, 153 inverzna konačna kosinusna, 154 inverzna konačna sinusna, 154 konačna, 153 konačna kosinusna, 154 konačna sinusna, 154 kosinusna, 159 sinusna, 159 Furijeovi koeficijenti, 145 gama funkcija, 133, 184 grana višeznačne funkcije, 96 H evisajdova jedinična funkcija, 163 impulsna funkcija, 168 impulsna funkcija Diraka, 167, 184 integral eksponencijalni, 185 Fresnelov kosinusni, 185

199

IN D E K S

200

korenski (K ošijev ), 15, 22

Fresnelov sinusni, 185 Furijeov, 155 kosinusni, 185 Laplasov, 161 sinusni, 185 integral u C , 102 neodređeni integral, 105 prim itivna funkcija, 105 interval konvergencije, 37 inverzija, 136 inverzna Furijeova transform acija, 157 inverzna L aplasovatransform acija, 162

L a jb n icov, 19 V ajerštrasov, 34 kriva, 62 glatka, 62 krajnja, tačka, 63 p očetn a tačka, 63 putanja, 62, 81 u C , 81 krivolinijski integral opšti, 70 p o apscisi, 68 p o dužini krive, 65 p o ordinati, 69

169 izvod kom pleksne funkcije, 83 Jakobijan , 55 K ošijev kriterijum konvergencije, 13 kom pleksan b roj argument, 79 beskonačan, 81 eksponencijalni oblik, 80 m odul, 79 trigonom etrijski oblik, 79 kom pleksna funkcija, 82 definicioni dom en, 82 diferencijabilna, 83 izvod, 83 jed n označn a funkcija, 82 neprekidna, 83 skup slika (kod om en ), 82 višeznačna, 82 kom plem entarna funkcija greške, 185 konform no preslikavanje, 133 kritične tačke, 135 konvolucija, 158, 164 kosinusna funkcija, 89 K ošijeva teorem a, 104 K ošijeve integralne formule, 107 K oši-R im an ovi uslovi, 85

Laplasov integral, 161 Laplasova transform acija, 161 dvostrana, 173 linearna funkcija, 135 Logaritam ska funkcija, 91 Loranov red, 111 analitički deo, 114 glavni deo, 114 m odifikovana Beselova funkcija, 184 m odul. 79 neprekidni spektar, 158 niz am plitudni spektralni, 152 fazni spektralni, 152 K ošijev, 10 konvergentan, 10 spektralni, 152 niz funkcija konvergencija p o tačkam a, 29 konvergencija u tački, 29 uniform na konvergencija, 29 nulta funkcija, 185 original, 161

kriterijum konvergencije uporedni, 15 kriterijum konvergencije integralni, 17 K ošijev, 13 količnički (D a la m b erov), 16, 22

p eriodični sistem impulsa, 168 p eriodičn o produženje, 147 p odela, 64 p ol, 116 polinom Lagera, 185

IN D E K S

poluprečnik konvergencije, 37, 111 ponovljeni red, 28 površ, 58 dvostrana, 58 glatka, 58 površina, 60 vektor normale, 58 preslikavanje Zukovskog, 140 proširena kompleksna ravan, 81 produženje neparno, 149 parno, 148 periodično, 147 proizvod redova, 25 putanja, 62, 81 zatvorena, 63, 81 red, 11 član reda, 11 alternativan, 19 apsolutno konvergentan, 21 dvojni, 28 Furijeov, 145 konvergentan, 11 parcijalna suma, 11 ponovljeni, 28 sa pozitivnim članovima, 14 suma, 11 trigonom etrijski, 143 uslovno konvergentan, 21 regularna tačka, 87 reziduum, 117 Rim anova sfera, 80 singularitet, 87, 116 esencijalni, 116 izolovani, 116 otklonjiv , 116 pol, 116 prividan, 116 singularna tačka, 87, 116 sinusna funkcija, 89 slika, 161 smena polarnim koordinatam a, 56 spektar

201

amplitudni, 158 diskretni, 152 fazni, 158 neprekidni, 158 spektralna, funkcija, 158 spektralni niz, 152 stepena funkcija, 92 stepeni red, 36 c.entar, 36 interval konvergencije, 37 koeficijent, 36 M aklorenov, 39, 111 poluprečnik konvergencije, 37, 111 Tejlorov, 40, 109 tačka grananja, 97 teorija uopštenih funkcija, 167 transformacija Furijeova, 157 Laplasova, 161 Laplasova inverzna, 162, 169 trigonometrijski red, 143 zasek, 100

O va k n jig a je nam en jen a p re svega stu den tim a teh n ičk ih faku lteta, ali je m o g u koristiti i stu den ti m atem atike, fizike i svi ostali k o ji žele d a se u p o z n a ju sa osn ovam a • teorije redova, • integrala fu n k cija više p rom en ljivih , • kom plek sne analize, • F u rijeove i L aplasove tran sform acije. N aveden a p o g la v lja nisu tesn o p ovezan a , ta k o d a se m o g u čita ti nezavisno je d n o o d d ru gog. A u to r je n a s to ja o d a izlagan je b u d e s je d n e strane p o stu p n o , p ristu p a čn o i ra zu m ljivo a s d ru ge strane m a tem a tičk i korektn o. T ekst sadrži veliki b r o j ilu stracija i rešenih prim era, š to olakšava praćen je i razum evanje izložene m aterije.

Izbegn u t je preteran m a tem a tičk i for-

m a lizam i n avedeni su dokazi sam o on ih teore m a k o ji ne zah tev aju suviše k om p likovan m a tem a tičk i aparat, k o ji su z n a ča jn i za razu m evanje o d g o va ra ju će teorije ili sadrže p ostu p k e i a lgoritm e k o ji se koriste u prim eni teorem e.

MILA STOJAKOVIĆ - Analiza 2

Recommend Documents