MÜHENDİSLİKTE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER DENEY
İÇİNDEKİLER 1. KAPAK SAYFASI…………………………….. 1 2. İÇİNDEKİLER ………………………………….2 3. SEMBOLLER …………………………………..3 4. ÖZET…………………………………………….3 5. GİRİŞ…………………………………………… 3 6. DENEYİN AMACI………………………………3 7. TEORİ VE VERİ TOPLAMA…………………..3 8. CİHAZLAR VE YARDIMCI EKİPMANLAR…..5 9. DENEYİN YAPILIŞI……………………………5 10. ÖLÇÜM SONUÇLARI………………………….5 11. HESAPLAMALAR..…………………………….5 12. SONUÇ…………………………………………. 14 13. REFERANSLAR………………………………..15
1
SEMBOLLER di
: Sapma
n
: Ölçüm sayısı
Xi
: Deney verileri
Xm
: Ortalama
σm
: Standart sapma
E
:Beklenen değer
O
:Gözlenen değer
F
:Serbestlik derecesi
n
:Gözlem sayısı
k
:Limitlerin sayısı
ÖZET Amaç istatistiksel yöntemlerin düzensiz davranış gösteren oluşumlara uygulamasını göstermektir. İlk aşamada 21 metal silindir numunenin çapı mikrometre ile ölçülüp hatalar, standart sapma, ortalama değer ve diğer hesaplamalar yapılarak yapılan ölçümlerle ilgili bir takım kanılara varılır. İkinci aşamada belirli bir devirde dönen milden takometre ile 18 farklı ölçüm yapılıp aynı hesaplamalar ve sonuçları üzerine tartışılır. GİRİŞ Günümüz teknolojisi hatalara çok az yer verdiği için, mühendislikte istatistiksel hesaplamalar ve yöntemler çok önemli bir hal almıştır. İstatistiksel yöntemler kullanılarak alınan verilerin ne gibi bir davranış gösterdiği saptanır, düzensiz davranış gösteren değerler belirlenir ve bu konu üzerinde çalışmalar yapılır. Böylece büyük hataların giderilmesi ve mali kayıpların önlenmesi için yol açılmış olur. TEORİ VE VERİ TOPLAMA Doğruluktan sapma miktarına hata denir. Hatalı verileri ayıklamanın çeşitli yolları vardır. Aşağıda bazı istatistiksel yöntemleri teorik bilgileri verilmiştir.
2
• Aritmetik ortalama(ortalama değer): xm =
1 n ∑ xi n i =1
• Sapma: d i = xi − x m
• Standart Sapma:
σm =
1 n 1 n 2 2 d = ( ) ( xi − xm ) ∑ ∑ i n i =1 n i =1
• Median: Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortada kalan değere median denir. Çift veri sayısında ortada kalan iki değerin aritmetik ortalaması alınır. • Mode: En sık tekrar eden veriye mode denir. • Normal Hata Dağılımı: Yapılan ölçümlerin belirli bir aralıkta bulunma olasılığını − 1 P ( x) = e σ 2π
( x − xm ) 2 2σ 2
ile ifade edebiliriz. Bir diğer ismi Gauss dağılımı dır. • Chi-Kare Testi: n
X2 =∑ i =1
(O − E ) 2 E
O; gözlenen değer E; beklenen değer F; serbestlik derecesi ( F = n − k ) n
: Gözlem sayısı
k
: Limitlerin sayısı. • Chauvenet Kriteri Chauvenet kriteri, ölçüm sonucunda elde edilen deneysel verilerin şüpheli olanlarının
elimine edilmesi amacıyla kullanılır. Verilerin ortalama ve standart sapmaları hesaplandıktan sonra her verinin sapması hesaplanır. Daha sonra bu sapmalar standart sapmaya bölünerek yukarıdaki tablodaki eşik
3
değeri geçip geçmediğine bakılır.Eğer d i / σ sı bu değeri geçen veri yada veriler varsa elimine edilerek baştan standart sapma ve ortalama hesaplanır. Chauvenet kriterini bir kez uygulamak yeterlidir.
Ölçme sayısı n 3 4 5 6 7 10 15 25 50 100 300 500 1000
Kabul edilebilir max. Sapmanın standart sapmaya oranı d max / σ 1.38 1.54 1.65 1.73 1.80 1.96 2.13 2.33 2.57 2.81 3.14 3.29 3.48
Öncelikle standart sapma ( σm ), aritmetik ortalama ( x m ) ve sapma ( d i = xi − x m ) değerleri hesaplandıktan sonra her bir değer için d i / σ değerleri hesaplanır, daha sonra tablodan d max / σ ile karşılaştırılır ve büyük değerler atılır hesaplama tekrarlanır ve sorunlu değerler atılınca tamamlanmış olur. Ancak her işlemden sonra standart sapma ( σm ), aritmetik ortalama ( x m ) ve sapma ( d i = xi − x m ) yeni degerler için tekrar hesaplanmalıdır.
CİHAZ VE YARDIMCI EKİPMANLAR •
Mikrometre
•
Dijital takometre
•
Çap ölçümü yapmak için silindirik numuneler
•
Devir ölçümü yapmak için motor
4
DENEYİN YAPILIŞI Deneyimizin ilk aşaması için 21 adet silindirik metal numunenin çapları mikrometre kullanılarak ölçülür. (Ölçülen numuneler ise birbirine yakın olmasında rağmen farklı çaplara sahiptir.) Ölçümler kaydedilir. Deneyin ikinci aşamasında dijital takometre ile bir milin devir sayısı ölçülür. 18 adet devir sayısı ölçülmüştür ve milin farklı yarıçaplı bölgelerinden ölçüm alınmıştır. Burada yine bir ölçüm için farklı ama yakın verilerin alındığı bir sistem oluşturmaktır. Ölçümler tekrar kaydedilir ve hesaplamalar için hazırlanır. ÖLÇÜM SONUÇLARI ÇAP ölçülen ölçüm no: değerler
1 2 3 4 5
19,93 19,96 20,07 20,15 20,13
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
20,09 19,78 20,07 20,07 20,06 20,07 20,13 20,06 19,87 19,98 20,17 20,12 20,10 20,17 20,12 20,04
6
5
DÖNME HIZI: ölçüm no: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ölçülen değerler 1410 1409 1404 1413 1400 1395 1398 1404 1406 1405 1398 1393 1414 1409
HESAPLAMALAR: •
Ortalama Değer:
Xmçap=1/21 (420,87) = 20,04 Xmhız=1/14(19658)=1404 •
Standart Sapma:
σ mçap=(1/21 Σ(xi-xm)2)1/2=(1/21(1,897))1/2=0,300555 σ mhız=(1/14 Σ(xi-xm)2)1/2=(1/14(562))1/2=6,335 •
Chauvenet kriteri
ÇAP İÇİN: Numune 1 2 3 4 5
d i = xi − x m -0.110 -0.080 0.030 0.110 0.090
d i /σ -0,365989 -0,266174 0,099815 0,365989 0,299446
6
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0.050 -0.260 0.030 0.030 0.020 0.030 0,090 0,020 -0.170 -0.060 0.130 0,080 0.060 0,030 -0,090 0,000
0,166358 -0,865066 0,099815 0,099815 0,066543 0,099815 0,299446 0,066543 -0,565620 -0,199630 0,432533 0,266174 0,199630 0,099815 -0,299446 0
21 ölçüm için uygulanacak d i / σ oranı 2,25 dir. Herhangi bir ölçümün çıkartılmasına gerek yoktur. Küçükten büyüğe sıralı hali 19,78 19,87 19,93 19,95 19,96 19,98 20,04 20,06 20,06 20,07 20,07 20,07 20,07 20,07 20,09 20,10 20,12 20,13 20,13 20,15 20,17
7
Median: 20,07
MOTOR DEVRİ ÖLÇÜMÜ İÇİN: Numune 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
d i = xi − x m 6 5 0 9 -4 -9 -6 0 2 1 -6 -11 10 5
d i /σ 0,947 0,789 0 1,420 -0,631 -1,420 -0,947 0 0,315 0,157 -0,947 -1,736 1,578 0,789
14 değer için uygulanacak d i / σ oranı 2,09 dur. Yukarıdaki hesaplamalarda d i / σ oranı 2,09 u geçen yoktur. Hiç bir değeri elimine etmemize gerek yoktur.
8
•
Frekans eğrileri
ÇAP ÖLÇÜMÜ İÇİN ölçülen değerler
frekans eğrisi 22 21 20 19 18 17
ölçülen değerler
1 4 7 10 13 16 19 22 25 ölçüm no
MOTOR DEVRİ ÖLÇÜMÜ İÇİN: ölçülen değerler
motor devir sayısı için frekans eğrisi 1480 1460 1440 1420
Seri 1
1400 1
3
5
7
9 11 13 15 17
ölçüm no
•
Chi-kare Testi
n (O − E ) 2 X 2 = ∑ E i =1
-çap ölçümü için: E = 20 mm olmak üzere; (O-E)2/E 0,000245 0,000080 0,000245 0,001125 0,000845 0,000405 0,002420 0,000245 0,000245 0,000180 0,000245 0,000845
9
0,000180 0,000845 0,000020 0,001445 0,000720 0,000500 0,000245 0,000125 0,000080
⇒ X 2 = 0,011285
=TOPLAM
ve F=n-k =14-1=13 -devir ölçümü için: E = 1400 d / d olmak üzere (O −E ) 2 / O
0,071428 0,057857 0,011428 0,120714 0,000000 0,600000 0,002857 0,011428 0,025714 0,017857 0,002857 0,035000 0,140000 0,057857
TOPLAM=1,154997
⇒ X 2 = 1,154997 =TOPLAM
ve
F = n − k = 18 −1 = 17
10
NormalDağılım(gaussian) -Çap ölçümü için ölçülen
P(x)
P(x)*(2*pi)**1/ 2
19,93 19,96 20,07 20,15 20,13 20,09 19,78 20,07 20,07 20,06 20,07 20,13 20,06 19,87 19,98 20,17 20,12 20,10 20,07 19,95 20,04
0,012078634 0,098191972 0,772040885 0,772040885 0,806719476 0,829387270 0,883462435 0,883462435 0,885891895 0,887884603 0,887884603 0,887884603 0,887884603 0,890548521 0,891438269 0,889437585 0,889437585 0,885891895 0,885891895 0,679234757 0,609791927
0,030276666 0,246130943 1,935220844 1,935220844 2,02214724 2,078967013 2,214513443 2,214513443 2,220603201 2,225598182 2,225598182 2,225598182 2,225598182 2,232275639 2,234505908 2,229490934 2,229490934 2,220603201 2,220603201 1,702590219 1,528522738
GAUSIENHATA DAĞILIMI 2,5
P(x)*(2*pi)**1/2
2 1,5 Seri 1 1 0,5 0 18,50 19,00 19,50 20,00 20,50 21,00 21,50 X
11
-Devir ölçümü için: ölçülen devir sayısı 1410 1409 1404 1413 1400 1395 1398 1404 1406 1405 1398 1393 1414 1409
p(x)*(2*pi)**1/2 0,009157 0,017343 0,026505 0,057175 0,057175 0,063724 0,065436 0,068009 0,068833 0,069500 0,065436 0,061759 0,057175 0,046249
GAUSIENHATA DAĞILIMI 0,080000 P(x)*(2*pi)**1/2
0,070000 0,060000 0,050000 0,040000
Seri 1
0,030000 0,020000 0,010000 0,000000 1420
1440
1460
1480
x
SONUÇ Ölçme bilgisi dersinde de öğrendiğimiz gibi, her ölçüm belirli miktarda hata içerir. Bu hatalar gerek dış koşulların uygunsuzluğundan, gerek kalibrasyon hatalarından, gerekse deneyi yapan kişinin hatalarından kaynaklanabilir. Bu deneyde amaç hataları belirli yöntemler, hesaplamalar ve grafiklerle belirlemek, sonuçları incelemektir.
12
REFERANSLAR: 1. Experimental Methods- Ölçme Bilgisi Ders Kitabı,p71 2. Theories of Engineering Experimentation
13
