1
INTRODUCCION...................................................................................................3 Métodos numéricos...................... numéricos.......................................... ........................................ ....................................... ............................... ............ 4 1
Introducción Introducción a los métodos numéricos...................... numéricos............................................. ................................... ............ 4
1.1
Historia....................... Historia........................................... ....................................... ........................................................... ........................................ 4
1.2 Razons d su a!licación......................... a!licación............................................. ..................................................... ................................. " 1.3 Conc!tos d #actitud$ !rcisión !rcisión % rror....................... rror.......................................... .............................. ........... & 'rcisión..........................................................................................................& (#actitud.......................... (#actitud.............................................. ....................................... ....................................... ....................................... ................... 1) (rror*......... (rror*............................ ....................................... ........................................ ........................................ .......................................... ...................... 1) 1.4 (rrors in+rnts$ in+rnts$ d rdondo rdondo % !or truncaminto..................................11 truncaminto..................................11 Ti!os d d rrors........ rrors............................ ........................................ ........................................ ................................. ......................... ............ 11 (rror (rror d rdondo...................... rdondo.......................................... ........................................ ................................................ ............................ 11 (rror (rror !or truncaminto..................................... truncaminto...................................................................... ............................................. ............ 12 1., (rrors (rrors a-soluto % rlatio........................... rlatio............................................... ................................. ........................... .............. 1/ (rror (rror a-soluto........................... a-soluto............................................... ........................................ ................................. ........................... ................ .. 1/ (rror (rror rlatio......................... rlatio............................................ ....................................... ...................................................... .................................. 1/ 1./ Uso d +rramintas +rramintas com!utacionals........................ com!utacionals....................................................... ............................... 1& D0nición......................... D0nición............................................. ........................................ ........................................ ...................................... .................. 1& 'auts 'auts comrcials comrcials d ortran.................... ortran........................................ ............................................... ........................... 22 IM...............................................................................................................22 Onlin o 55............................................ 55................................................................ .................................................... ................................ 23 D scritorio......................... scritorio............................................. ........................................ ................................. ........................... .................... ...... 24 5R6O( D( D(CII7N.................................... D(CII7N........................................................ .................................... .......................... .......... 2/ 5H'................................................................................................................2/ MONT(C5RO................................................................................................2/ CONCUI7N........... CONCUI7N.............................. ....................................... ........................................ ........................................ ............................... ........... 28 6i-lio9ra:;a.................. 6i-lio9ra:;a...................................... ....................................... ....................................... ............................................... ........................... 2&
2
INTRODUCCION Es importante conocer cuál es la historia y más que nada la aplicación de los métodos numéricos ya que estos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software eistente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la comprensión de los principios científicos básicos.
3
Métodos numéricos 1 Introducción a los métodos numéricos 1.1 Historia !unque, como ciencia estructurada y rigurosa, la "atemática #umérica es relativamente $oven %siglos &'& y &&(, desde tiempos muy remotos se emplearon métodos numéricos aproimados. En el papiro de )hind %el documento matemático más antiguo que se conserva( que data de unos *+++ aos a. n. e., fruto del desarrollo de la antigua civili-ación egipcia, aparecen, entre más de + problemas resueltos, métodos aproimados para calcular el volumen de un montón de frutos y el área de una circunferencia, tomándola como la de un cuadrado cuyo lado fuera /0 del diámetro de la circunferencia. En 1abilonia %siglos && al ''', a. n. e.( ya se conocían métodos aproimados para calcular raíces cuadradas. 2e la antigua 3recia, son famosos los traba$os de !rquímedes %siglo ''' a. n. e.( en la 4uadratura del círculo que le permitió, aproimando una circunferencia mediante polígonos inscritos y circunscritos, llegar a una aproimación.
5obre los conocimientos matemáticos de la cultura egipcia los primeros registros que se tienen son el 6apiro de "osc7 y de )hind, escritos aproimadamente en 89+ !. de 4. y 8:9+ !. de 4., respectivamente. !mbos documentos incluyen e$emplos de cálculos que implican el mane$o de ecuaciones lineales con una y dos incógnitas. En cuanto a geometría, determinaron con éito el área y el volumen de diversas figuras geométricas; entre ellas, el volumen de una pirámide truncada. Es con los griegos que aparece por primera ve-, en el siglo < !. de 4.,
4
la matemática como una ciencia formal que utili-a el método deductivo como herramienta funda= mental para probar que un resultado es verdadero. Los teoremas que se atribuyen a >ales de "ileto y a 6itágoras son algunos de los primeros e$emplos en el que se aplica esta metodología y el libro de los Elementos de Euclides es la muestra más acabada de ello. La matemática griega se ocupó de
estudiar
problemas
de geometría, aritmética, teoría
de
n7meros
y álgebra. !rquímedes %*?=*8*( es posiblemente el más brillante matemático aplicado de la antig@edadA a él se deben diversos e$emplos de métodos muy ingeniosos para aproimar la solución de problemas de la hidrodinámica y estática.
El método de !rquímedes fue posteriormente aplicado por otros matemáticos y ya en la primera mitad del siglo &< el árabe Bashi había obtenido para una aproimación de 8? cifras decimales utili-ando polígonos de hasta +9 C+: C: lados. Dn notable e$emplo de cálculos numéricos son las tablas de logaritmos publicadas en 8:8 por el holandés #eper en que aparecen, con cifras eactas, los logaritmos de las funciones trigonométricas para ángulos desde + hasta 0+ grados con paso de un minuto. 3racias al gigantesco traba$o numérico del propio #eper y
de
otros
como
el
sui-o 1@rgi,
el
escocés 1riggs y
el
holandés
La introducción de la notación decimal y del cero en el siglo &'' por los árabes uniformó la notación y el cálculo numérico entre los diversos pueblos. 6ero no fue sino hasta inicios del siglo &<'', con el invento de las tablas de logaritmos, que el cálculo numérico eperimentó un avance fundamental para el desarrollo de la ciencia en el siglo &<'' y &<'''. La tabla de logaritmos fue creada por Fohn #apier %899+=8:8?(, quien fue de los primeros en estudiar la notación y el mane$o de
,
distintas bases numéricas como la binaria o la eponencial. 5us estudios sobre la relación entre las progresiones geométricas y aritméticas lo llevaron a definir el logaritmo base 8/e que publicó en 8:89.
4on la tabla de logaritmos, las multiplicaciones de varias cifras se convierten en simples sumas y el elevar un n7mero a un eponente se reduce a una simple multiplicación.
Esto
permitió
abordar
problemas
de astronomía,
de balística y de índole práctico que parecían incalculables. 6oco después, hi-o su aparición en 8:* la regla de cálculo que permaneció como instrumento personal de cálculo por ecelencia hasta la aparición de las primeras calculadoras de bolsillo 4on
en80?+. estos
antecedentes
los
precursores
cálculo; 2escartes, Germat, 6ascal, Hallis, 1arrow y 3regory,
del
entre
otros,
desarrollaron la geometría analítica, diversos métodos para determinar la ecuación de la tangente a una curva dadaA el cálculo de máimos y mínimos y el cálculo de cuadraturas, entre otros temas. Estos resultados prepararon el terreno para que, a fines del siglo &<'', Leibnit- y #ewton los sistemati-aran, relacionaran y unificaran en una metodología poderosísima; el cálculo diferencial e integral.
! principios del siglo &<''' se produce otro gran paso con la aparición del 4álculo de 2iferencias Ginitas %fundado por los ingleses >aylor y 5tirling(, el cual constituye la
base
teórica
para
fundamentar
varios
métodos
numéricos.
Giguras como 'saac #ewton %8:*=8?*?( hicieron aportes fundamentales para definir con precisión el concepto de velocidad instantánea, la fuer-a de atracción entre los cuerpos, la fuer-a gravitacional y la descomposición de la lu-, entre otras muchas cosas. 2esde el punto de vista numérico, #ewton inventó varios algoritmos que se siguen utili-ando hasta nuestros días, como el método para encontrar los ceros de una función o la aproimación de derivadas por medio de diferencias divididas o la construcción de polinomios de interpolación.
/
En esa misma época se introdu$o el uso de series de potencias que permitió aproimar localmente con la precisión deseada a un gran con$unto de funciones y abrió la posibilidad de atacar problemas de mayor comple$idad que aparecen en el estudio de fenómenos físicos como las vibraciones de una cuerda, la difusión de calor o el comportamiento de los fluidos. >ambién se le atribuye la invención de la transformada rápida de Gourier, algoritmo que pasó desapercibido hasta su redescubrimiento por 4ooley y >uIey en 80:C. 80:; 5e termina de construir el 'ntegrador y 4omputador #umérico Electrónico; E#'!4 80; "ath HorIs desarrolla el lengua$e de 6rogramación "!>L!1 Jrientado al traba$o con "atrices
1.2 Razones de su aplicación Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. !unque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten una característica com7n; 'nvariablemente los métodos numéricos llevan a cabo un buen n7mero de tediosos cálculos aritméticos. #o es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado considerablemente en los 7ltimos aos. 4omo se mencionó con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos se utili-an para;
"
K 5olución de sistemas de ecuaciones lineales K 5olución de ecuaciones no lineales y trascendentales K Encontrar un valor por medio de tablas; interpolación K Encontrar un comportamiento %un modelo( a partir de datos a$ustando una curva; a$uste de curvas K 'ntegración numérica de una función K 5olución numérica de ecuaciones diferenciales Métodos anteriores a la aparición de la computadora
La disponibilidad general de las computadoras personales y su asociación con los métodos numéricos han tenido una influencia muy significativa en el proceso de solución de problemas de ingeniería. !ntes del uso de la computadora había tres métodos;
•
5e encontraban soluciones de algunos problemas usando métodos eactos o analíticos. Las soluciones analíticas pueden encontrarse solo para aproimados modelos lineales y de geometría simple con pocas dimensiones, aunque la mayoría delos problemas reales no son lineales y
•
son procesos comple$os. 5e usaban soluciones gráficas, se pueden utili-ar para problemas comple$os pero sus resultados no son muy precisos, se limitan a problemas
•
que puedan limitarse a tres o menos dimensiones. 6ara implementar los métodos numéricos se utili-aba calculadora manual y reglas del cálculo. Los cálculos manuales son lentos y tediosos
!demás eiste un buen n7mero de ra-ones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos;
8
8. Los métodos numéricos son herramientas etremadamente poderosas para la solución de problemas. 5on capaces de mane$ar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la práctica de la ingeniería y que a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. 6or lo tanto, amplían la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. *. El uso inteligente de los programas que contengan métodos numéricos dependen del conocimiento de la teoría básica en las que se basan sus métodos. C. 5e pueden disear programas propios para resolver los problemas . Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales la mayoría de los métodos numéricos están elaborados para implementarse en computadoras. 9. Los métodos numéricos son un medio para refor-ar su comprensión de las matemáticas.
1. Conceptos de e!actitud" precisión # error $recisión 5e refiere a la dispersión del con$unto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. 4uanto menor es la dispersión mayor la precisión. Dna medida com7n de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. En si precisión es cuando un instrumento te da siempre la misma medida e$emplo; cuando haces un eperimento varias veces, y los datos obtenidos caen dentro de un pequeo rango de valores se dice que el método utili-ado es reproducible, es decir, que es preciso.
&
%!actitud 5e refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la eactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. 4uanto menor es el sesgo más eacto es una estimación. En si eactitud se refiere a qué tan cercana está esa medición de la realidad ejemplo: el valor obtenido en un eperimento es muy cercano al valor verdadero.
Lo que no te dice es que sea reproducible ese valor verdadero. Ejemplo general:
5i hablaras de un tiro al blanco. 6reciso sería dar siempre en el mismo sitioA eacto sería dar $usto en el centro. En métodos numéricos siempre se implementan las dos técnicas precisión y eactitud.
%rror& El error es la diferencia entre el valor real y el medido. 5in embargo puesto que el valor real nunca se conoce realmente, el error siempre debe estimarse. Esto ocurre cuando tienes pocas interacciones, al tener muchos el error ba$a, debido a que los métodos numéricos no son eactos sino simples a aproimaciones a un valor numérico, para que fueran eactos necesitarías un numero de iteraciones infinitas lo cual no es posible, además de cuál es el método que vas a utili-ar. 4ada uno tiene su nivel de error, y sirve para diferentes cosas.
1)
1.' %rrores in(erentes" de redondeo # por truncamiento Dn error es una incertidumbre en el resultado de una medida. 5e define como la diferencia entre el valor real
Tipos de errores %rror de redondeo: 5e originan al reali-ar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener
11
en cada operación el n7mero de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utili-ando. Eisten dos tipos de errores de redondeo; N Error de redondeo inferior ; se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente. N Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas seg7n el signo del n7mero en particular; 6ara n7meros positivos, el 7ltimo dígito que se puede conservar en la locali-ación de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 9. 6ara n7meros negativos, el 7ltimo dígito que se puede conservar en la locali-ación de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 9.
%rror por truncamiento; Eisten muchos procesos que requieren la e$ecución de un n7mero infinito de instrucciones para hallar la solución eacta de un determinado problema. 6uesto que es totalmente imposible reali-ar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución eacta que se pretendía encontrar, sino una aproimación a la misma. !l error producido por la finali-ación prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Dn e$emplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de >aylor. Este es independiente de la manera de reali-ar los cálculos. 5olo depende del método numérico empleado. Error numérico total;
5e entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. "ientras más cálculos se tengan que reali-a para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. 6ero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimi-ar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración %o sea mayor n7mero de cálculos y seguramente mayor error de redondeo(.
12
Errores humanos:
5on los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar n7meros erróneos por su funcionamiento. !ctualmente las computadoras son muy eactas y el error es atribuido a los hombres. 5e pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseo de la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimi-ar.
%rror in(erente& En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida eperimental de una determinada magnitud física. !sí por e$emplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error seg7n se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey. ! este tipo de error se le denomina error inherente. Error absoluto;
Es la diferencia entre el valor eacto %un n7mero determinado, por e$emplo( y su valor calculado o redondeado; Error absoluto Oeacto = calculadoP 2ebido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. !sí pues, una colección %suma( de errores siempre se incrementan $untos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara ve- están en la misma dirección, es posible que una suma %QalgebraicaQ( de errores sea cero, con aproimadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. 6ero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Dn enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos. Error relativo:
Es el error absoluto dividido entre un n7mero positivo adecuado. 3eneralmente, el divisor es una de tres elecciones; la magnitud del valor eacto, la magnitud del
13
valor calculado %o redondeado( o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utili-aremos
Error relativo Oeacto = calculadoP/OeactoP El error relativo es una me$or medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utili-an sistemas numéricos de punto flotante. 6uesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los n7meros que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa este efecto. Dna característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la variable %es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la unidad de medición( se cancelan. Dna buena medida del error debería ser Qinvariante de las escalasQ, de modo que al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el error aparente por C:, como sucedería en la ecuación de arriba. 5i bien las matemáticas puras se inclinarían a utili-ar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas. !lgunas veces conviene multiplicar el error relativo por 8++ %por ciento( para ponerlo en una base porcentual.
Propagación del error
Las consecuencias de la eistencia de un error en los datos de un problema son más importantes de lo que aparentemente puede parecer. 2esafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al reali-ar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado care-ca de significado. 4on el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los n7meros; a +.*?:C9 b +.*?9:
14
5i los cálculos se reali-an en base die-, coma flotante, redondeando por aproimación y traba$ando con tres dígitos de mantisa, los valores aproimados a dichos n7meros y el error relativo cometido es;
a +.*?: error relativo 8.9?8+=C b +;*?: error relativo 8.98+=C 5i ahora se calcula la diferencia entre los valores eactos y la diferencia entre los aproimados se obtiene;
a = b +;+++C9 aR= bR +.+ 2ebe observarse que el error relativo de la diferencia aproimada es del 8++S. Este e$emplo, etraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se ha amplificado al reali-ar una 7nica operación, hasta generar un resultado carente de significado.
1,
1.) %rrores a*soluto # relati+o %rror a*soluto Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como eacto. 6uede ser positivo o negativo, seg7n si la medida es superior al valor real o inferior %la resta sale positiva o negativa(. >iene unidades, las mismas que las de la medida. 5in embargo, para facilitar el mane$o y el análisis se emplea el error absoluto definido como; EA = I P * - P I
%rror relati+o Es el cociente %la división( entre el error absoluto y el valor eacto. 5i se multiplica por 8++ se obtiene el tanto por ciento %S( de error. !l igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo %seg7n lo sea el error absoluto( porque puede ser por eceso o por defecto. no tiene unidades. T el error relativo como E = I P * - P I
! si P =" #
P
El error relativo también se puede multiplicar por el 8++S para epresarlo como; EP = E $ %## Ejemplo:
5upóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 0 000 y 0 cm, respectivamente. 5i los valores son 8+ +++ y 8+ cm, calc7lese a( el error y b( el error relativo porcentual de cada caso.
1/
5olución; a( El error de medición del puente es; E! 8+ +++ = 0 000 8cm
y para el remache es de E! 8+ = 0 8cm b( El error relativo porcentual para el puente es de; E)6 8/ 8+ +++ 8++S +.+8S y para el remache es de E)6 8/8+ 8++S 8+S
6or lo tanto ambas medidas tiene un erro de 8 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. 5e puede concluir que se ha hecho un buen traba$o en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache de$a mucho que desear.
1"
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1., Uso de (erramientas computacionales De-nición 2e acuerdo al 6"' %6ro$ect "anagement 'nstitute( se identifica al término 6"'5 %6ro$ect "anagement 'nformation 5ystem( como aquel sistema de información que consiste en las herramientas y técnicas utili-adas para recopilar, integrar y distribuir las salidas de los procesos de gestión de proyectos. 2e acuerdo a la HiIipedia el software de gestión de proyectos es aquel software que incluye la gestión de cronogramas, costes y presupuestos, asignación de recursos, colaboración, comunicación, gestión de la calidad y documentación los cuales son utili-ados para gestionar la comple$idad de grandes proyectos. La HiIipedia introduce el término UcolaboraciónV el cual se está imponiendo en la forma que se gestionan los proyectos. 4ada ve- más los procesos de gestión son diseados y e$ecutados de manera colaborativa. La HiIipedia hace mención al uso de estas herramientas software para proyectos grandes, sin embargo este tipo de software puede facilitar al 2irector de 6royecto para cualquier tamao o comple$idad del mismo.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software eistente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras
1&
sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi:n de los principios científicos básicos. El análisis numérico trata de disear métodos para U aproimarV de una manera eficiente las soluciones de problemas epresados matemáticamente. El ob$etivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones UaproimadasV a problemas comple$os utili-ando sólo las operaciones más simples de la aritmética. 5e requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproimación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en;
4álculo de derivadas 'ntegrales Ecuaciones diferenciales Jperaciones con matrices 'nterpolaciones !$uste de curvas 6olinomios
Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utili-ando computadoras electrónicas. En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.
•
Especi&icación del problema' 4on esto se indica que se debe identificar
perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen •
y los resultados deseados. An(lisis' Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que
2)
resuelvan el problema y que sean susceptibles de e$ecutarse en la computadora. •
Programación' Este paso consiste en traducir el método de análisis o
algoritmo de solución epresándole como una serie detallada de operaciones. •
)eri&icación' Es la prueba ehaustiva del programa para eliminar todos los
errores que tenga de manera que efect7e lo que desea los resultados de •
prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. ocumentación' 4onsiste en preparar un instructivo del programa de
•
manera que cualquier persona pueda conocer y utili-ar el programa. Producción' Es la 7ltima etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.
2e lo antes epuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el ob$eto de los métodos numéricos para computadora. 5i los métodos numéricos son los algoritmos %con$untos detallados y secuenciados de operaciones( que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el !nálisis #umérico. 2e acuerdo con nuestros ob$etivos, nosotros nos concentraremos muy especialmente en los métodos numéricos y reba$aremos el rigor del análisis de errores, propio de quien tiene por centro el método numérico mismo y no tanto su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos la línea de los tetos de WW"étodos #uméricosQ más que la de los tetos de WW!nálisis #uméricoQ.
$auetes comerciales de /ortran 6aquetes de software comercial para cómputo numérico general. #!3
21
El 3rupo de !lgoritmos numéricos %#umerical !lgorithms 3roup( %#!3( ha desarrollado una biblioteca de Gortran conteniendo alrededor de 8+++ subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas,
incluyendo;
ecuaciones
diferenciales
ordinarias
y
parciales,
transformada rápida de Gourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.
IM0 La biblioteca numérica de Gortran '"5L hecha por ambién tiene soporte para anali-ar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios #umerical récipes; Los libros de #umerical )ecipes in 4/Gortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una Qreceta %recipe(Q para resolver alg7n problema a mano. 5in embargo, el software correspondiente de #umerical )ecipes no es comparable en alcance o calidad al dado por #!3 o '"5L. 2ebe de mencionarse que todo el software listado anteriormente también está disponible para el lengua$e 4 %o al menos puede ser llamado desde 4(. El programador sólo tiene que escribir una rutina pequea %driver( para el problema particular que tenga, porque el software para resolver las subtareas se encuentra ya disponible. 2e esta forma la gente no tiene que reinventar la rueda una y otra ve-. "atlab % "!>ri L!1oratory, Qlaboratorio de matricesQ( es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado %'2E( con un lengua$e de programación propio %lengua$e "(. Está disponible para las plataformas Dni, Hindows y !pple "ac J5 &.
22
Entre sus prestaciones básicas se hallan; la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario %3D'( y la comunicación con programas en otros lengua$es y con otros dispositivos hardware. El paquete "!>L!1 dispone de dos herramientas adicionales que epanden sus prestaciones, a saber, 5imulinI %plataforma de simulación multidominio( y 3D'2E %editor de interfaces de usuario = 3D'(. !demás, se pueden ampliar las capacidades de "!>L!1 con las ca$as de herramientas %toolboes(A
y
las
de
5imulinI
con
los paquetes
de
bloques %blocIsets(. Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los 7ltimos aos ha aumentado el n7mero de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de seal o crear código
Online o 00
Basecamp. 5eguramente esta es la herramienta software online más
conocida para la gestión de proyectos. Está aconse$ada para pequeas, medianas empresas. 5u fortale-a reside en la comunicación del equipo %p.e se pueden personali-ar )55 feeds para distribuir el estado del proyecto( y la gestión de tiempo.
Central Desktop. 4ercano en popularidad con 1asecamp aunque sus
herramientas no son tan simples de usar. 5e pueden crear ho$as de traba$o online y tiene funcionalidades de colaboración en tiempo real. El punto débil es su comple$idad.
Copper Project. 5oftware de gestión de proyectos, diseada para
ayudar a los equipos en la gestión de clientes, los proyectos, tareas,
23
archivos y eventos. Entre otros lo utili-an !pple, 5ony 6ictures y 4oca 4ola.
Redmine. Es un robusto gestor de proyectos y herramienta de
tra-abilidad de errores basada en web. 2estinada principalmente a proyectos informáticos.
ProjectPier. Es una solución open source gratuita basada en web para
la gestión de proyecto y que hace especial hincapié a las comunicaciones dentro del proyecto.
Zoho Projects. 5e ha autodefinido como la solución UsocialV de gestión
de proyectos. 4uenta con integración de google docs y una potente gestión de la base de conocimiento. Eiste una versión gratuita que permite la gestión de un 7nico proyecto a la ve-.
Collabtive. !lternativa open source gratuita a 1asecamp. Está
destinado a pequeos proyectos.
ctiveCollab. 5imilar en cuanto a prestaciones 1asecamp. Project !pen. 5oftware open source gratuito que permite implantar
todo el ecosistema necesario para gestionar toda la información que gira alrededor del proyecto.
De escritorio
"icrosoft Project . Es la herramienta de escritorio para la gestión de
proyectos más popular. 5u punto débil es su precio.
#erena !penProj . La herramienta open source alternativa a "icrosoft
6ro$ect. Es una herramienta con una interfa- muy amigable %similar a la de
24
hómologo de pago( y con una lista muy etensa de funcionalidades. 2isponible para Linu, Dni, "ac y Hindows. Eiste versión en espaol. Jpen6ro$ ha sido incluida en la distribución de 5tarJffice de 5un %alternativa gratuita a "icrosoft Jffice(. 4on Jpen6ro$ es posible abrir ficheros de "icrosoft 6ro$ect y también guardar ficheros que pueden ser abiertos por la herramienta de "icrosoft.
!racle Primavera. 4ompetidor directo de "icrosoft 6royect. 6aquete o
suit de herramientas de mane$o de proyectos ampliamente utili-adas en varias ramas de ingeniería, y especialmente en la industria de la construcción. 2estinado a grandes proyectos / 6"J con m7ltiples proyectos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos más utili-ados en 2irección de proyectos son;
Yrboles de decisión. Dtili-ados para determinar cual es la me$or o pción cuando se disponen diferentes ramas de decisión.
!nalytic Xierarchy 6rocess."étodo matemático para resolver la comparación entre pares. "uy utili-ado para determinar la me$or alternativa en procesos de adquisición teniendo en cuenta m7ltiples criterios.
5imulación "ontecarlo. "étodo matemático para determinar/acotar la incertidumbre a la salida de un proceso teniendo en cuenta incertidumbres
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acotadas a la entrada. "uy utili-ado para determinar el nivel de certe-a cuando se reali-a estimaciones de duración o costes en proyectos.
R3O%0 D% D%CI0I4N En dirección de proyectos los árboles de decisión se utili-an sobre todo para determinar el valor monetario esperado %E"<(. Este es un concepto estadístico que calcula el resultado promedio cuando el futuro incluye escenarios que pueden ocurrir o no %es decir, análisis ba$o incertidumbre(.
H$ Esta herramienta basada en matemáticas y psicología, fue desarrollada por >homas L. 5aaty en los setenta %?+s( y ha sido etensivamente estudiado y refinado, desde entonces. El 6!F provee un marco de referencia racional y comprensivo para estructurar un problema de decisión, para representar y cuantificar sus elementos, para relacionar esos elementos a los ob$etivos generales, y para evaluar alternativas de solución. !X6 se basa en la comparación entre pares. En lugar de valorar un con$unto de criterios o alternativas de manera absoluta se reali-a una comparación entre todos los elementos a comparar y se obtienen valores relativos.
MONT%CRO El método "ontecarlo o simulaciones "ontecarlo es un método estadístico numérico usado para aproimar epresiones matemáticas comple$as y costosas de evaluar con eactitud.
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El método se llamó así en referencia al 4asino de "ontecarlo %6rincipado de "ónaco( por ser Ula capital del $uego de a-arV, al ser la ruleta un generador simple de n7meros aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de "ontecarlo datan aproimadamente de 80 y se me$oraron enormemente con el desarrollo de los ordenadores. El uso de los métodos de "ontecarlo como herramienta de investigación, proviene del traba$o reali-ado en el desarrollo de la bomba atómica durante la 5egunda 3uerra "undial en el Laboratorio #acional de Los Ylamos en EE.DD. Este traba$o conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. En el ámbito de la dirección de proyectos se utili-a para;
Estimación de costes %análisis de riesgos de costes(
Estimación de duración de actividades %análisis de riesgo de calendario(
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CONCU0I4N Ginalmente se concluye en que el análisis numérico trata de disear métodos para UaproimarV de una manera eficiente las soluciones de problemas epresados matemáticamente. 5e determina con ello que el ob$etivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones UaproimadasV a problemas comple$os utili-ando sólo las operaciones más simples de la aritmética. 5e requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproimación al problema matemático. T estos sirven o pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en; 4álculo de derivadas 'ntegrales Ecuaciones diferenciales Jperaciones con matrices 'nterpolaciones !$uste de curvas 6olinomios etc.
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"étodos numéricos. 'ntroducción, aplicaciones y propagación. !ntonio Xuerta 4ere-uelo, 1arcelona, 800, págs. ?*=??. "étodos #uméricos para 'ngenieros, 5teve 4. 4hapra, )aymond 6 4anale, "c3raw Xill, 8ra edición. ihttp;//www.esimea-c.ipn.m/"at2esc/Licenciatura/"E>J2J5#D"E)'4J5/"eto
dos/'ntro.htm http;//www.uv.es/vimonmas/mneq/fiters/>+83+:.doc
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