Tema 2. Métodos de Análisis de Circuitos 2.1 Introducción 2.2 Análisis de nudos 2.3 Análisis de mallas 2.4 Comparación entre el análisis de nudos y el de mallas 1A
2
3A
i2 6
i1
2
¿ R ?
i3
i0
12
1
Bibliografía Básica para este Tema: [1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Sadiku, “Fundamentos de circuitos eléctricos”, 3ª ed., McGraw-Hill, 2006. [2] R. C. Dorf, Dorf, J. A. Svoboda, “Introduction to electric circuits”, 7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku Tema 3 Dorf
Tema 4
2
2.1 Introducción - En principio, principio, para resolver resolver un circuito circuito es necesari necesarioo formular formular un conjunto de ecuaciones simultáneas que se obtiene aplicando de forma combinada las leyes de Kirchhoff y las relaciones i-v de los elementos del circuito - Las relaciones relaciones i-v gobierna gobiernann el comportamiento comportamiento de cada cada elemento elemento con independencia de en qué circuito este conectado - Las leyes de Kirchho Kirchhoff ff son condiciones condiciones impuestas impuestas a las conexiones, conexiones, independientes de los elementos concretos presentes en el circuito - Para un circuit circuitoo de E elementos, elementos, este procedimi procedimiento ento conduce conduce a un sistema lineal de 2E ecuaciones con 2E incógnitas. - EN ESTE TEMA TEMA estudiarem estudiaremos os métodos métodos de análisis análisis más eficientes: eficientes: - El métod métodoo de ten tensio siones nes de nud nudoo - El método método de de corrie corriente ntess de malla malla 3
2.2 Análisis de nudos - De Defin finic ició iónn de Nud Nudo: o: (y (yaa vist vistaa en el el tema tema 1) 1) - Nudo: punto de conexión entre 2 o más elementos de circuito
4
2.2 Análisis de nudos - Def Definic inición ión de Tens Tensión ión de Nudo Nudo:: - Hasta ahora ahora nos nos hemos referid referidoo a la tensión (o potencial potencial)) en términos de “diferencia de potencial entre 2 nudos” que, generalmente, se corresponden con los terminales de un elemento
A
vAB
B
- Alterna Alternativam tivamente, ente, podemos podemos elegir un nudo nudo del circuito circuito como nudo de referencia (nudo de tierra) y asignarle un valor de tensión conocido (típicamente 0V) - El nudo de tierra tierra suele identifica identificarse rse con alguno alguno de los siguiente siguientess símbolos:
5
2.2 Análisis de nudos - Llamamos tensión de nudo al valor de la tensión en un nudo de un circuito. Dicho valor está referido a la tensión en el nudo de tierra - Una vez conocidas las tensiones en todos los nudos de un circuito, resulta inmediato obtener las caídas/subidas de tensión en cada elemento del circuito.
vA
vAB ?
vB vAB
vA vB
6
-Ejemplo 1: Calcular las subidas/caídas de tensión en cada elemento del circuito de la figura sabiendo que las tensiones de nudo valen v1 = 10V, v2 = 2V, v3 = -4V y v4 = 5V v1
v A
v B
v2
v4
vG
v E
v D
vC
vF
v3
7
Solución:
v4
v1
5V
v A
v4 v1 5 10 5 V
v B
v2 v1 2 10 8 V
vC
v2 v3 2 4 6 V
v4 v2 5 2 3 V v E v4 0 5 V vF 0 v3 4 V
v D
vG
0 v4 5 V
v A
10 V
vG
v E
2V
v2 v B
v D
vC
v F
v3
4 V
8
-Ejemplo 2: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura en los casos siguientes: a) v3 = 0; b) v4 = 0
v2
5V 8V
10 V
v1
13 V
v3
3V
v4 9
Solución: a) v3 = 0
v2
v3 10
v2
0 10 V
v1
v2 5
v1
5V
v1
v4 8
v4
3 V
b) v4 = 0
v3
5V
v1
v4 8
0 v1 8 V
v1
v1
v2 5
v2
13 V
v2
v3 10
v3
3V
v3
13 V
8V
5V
10 V
v4
v2
3V v4
v2
10 V
v1
8V
- El valor de las tensiones de nudo no es único!!
v3
13 V
3V
v4
10
2.2 Análisis de nudos - El análisis de nudos (ó método de las tensiones de nudo) es un método general y sistemático para el análisis de circuitos - Este método usa tensiones de nudo (en vez de tensiones de elemento) como variables de circuito - Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver - En resumen, el objetivo del método de las tensiones de nudo es calcular la tensión en todos y cada uno de los nudos del circuito problema, supuesta conocida la tensión en el nudo de referencia. - El método se basa en la aplicación combinada de: - La ley de las corrientes de Kirchhoff (KCL) - La ley de Ohm
11
2.2.1 Análisis de nudos para circuitos sin fuentes de tensión - Dado un circuito de N nudos sin fuentes de tensión, el análisis de nudos consta de los siguientes pasos: - Elegir un nudo de referencia y asignar tensiones v 1, v 2,…,v N-1 a los restantes N-1 nudos - Aplicar la KCL a cada nudo, salvo al de referencia se obtienen N-1 ecuaciones - Utilizar la relación i-v de cada resistencia para escribir las corrientes de rama en función de las tensiones de nudo - Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones obtenidas 12
- Ejemplo 3: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura
I 2
R2
I 1
R1
R3
13
Solución: 1. Elegir un nudo de referencia y asignar tensiones v 1, v 2,…,v N-1 a los restantes N-1 nudos - Para este circuito N = 3 - Indicamos el nudo de referencia con el símbolo de la tierra - Asignamos tensiones de nudo v1 y v2 - Asignamos corrientes de rama I 2
v1
i2
v2 i3
i1 I 1
R2
R1
R3
14
2. Aplicar la KCL a cada nudo, salvo al de referencia - Nudo 1: - Nudo 2:
I 1
I 2 i1 i2
I 2
I 2
i2 i3 v1
i2
v2
i3
i1 I 1
R2
R1
R3
15
3. Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las corrientes de rama en función de las tensiones de nudo I - Nudo 1:
I 1
- Nudo 2:
I 2 i1 i2 i2 i3
I 2
- Aplicamos:
i1
v1
0
R1
2
i
v1
ventrada
vsalida
v1
v2
I 1
i3
R2
v2
R1
- Nudo 2:
I 1
I 2
v1
v2
R2
I 2
v2
R3
0
R3
- Sustituímos en las ecs. de nudo: - Nudo 1:
R2
i3
i1
R
i2
i2
v1 R1
v1
v2
R2
v2 R3 16
4. Calcular las N-1 tensiones de nudo resolviendo las N-1 ecuaciones obtenidas I v v v I 1
I 2
I 2
1
R1 v1 v2 R2
1
2
2
R2 v2 v1
R3
- Conviene expresar las ecs. utilizando conductancias I
G1 G2 v1 G2v2 I 1 I 2 -G2 v1
i2
R2 i3
i1
1
v2
R3
R1
G2 G3 v2 I 2
- En forma matricial
G1 G2 G 2
G2 v1 I 1 I 2 G1 G3 v2 I 2 Ecuaciones de Tensiones de Nudo
17
- Resolución de sistemas lineales: Regla de Cramer - Consideremos un sistema de ecuaciones con n incógnitas x1,x2,...xn de la forma:
- Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial:
18
- La solución del sistema de ecuaciones es:
donde
19
2.2.2 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes de tensión - CASO 1: Si la fuente de tensión está conectada entre el nudo de referencia y otro nudo cualquiera, se fija la tensión de este último igual a la tensión de la fuente.
v1
v1
V S
Resto Circuito
V S
V S Resto Circuito
- La tensión de nudo v 1 deja de ser una incógnita 20
- Ejemplo 4: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura
R2
v1
V s
R1
v2
R3
I s
21
Solución: - Nudo 1:
v1
i2
v2 i3
V s
v1
R2
V s
- Nudo 2:
R1
R3
I s
- Aplicando la KCL: I s
i2 i3
- Utilizando la ley de Ohm: I s
V s
v2
v2
R2
R3
- Resolviendo para v 2: v2
R3V s R2 R3
R2 R3 I s
22
2.2.2 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes de tensión - CASO 2: Si la fuente de tensión está conectada entre dos nudos, no siendo ninguno de ellos de referencia, entonces: - Se introduce la corriente que atraviesa la fuente (i x) como variable adicional. - Se añade una ecuación que relaciona la tensión de la fuente con las dos tensiones nodales (v 1-v 2 = V S) i x
v1
V S v2
Resto Circuito
v1
V S v2
v1
Resto Circuito
v2 V S 23
- Ejemplo 5: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura
v1
R1
V s
v2
R2
I s
24
Solución: - Nudo 1:
i x
- Nudo 2:
I S
i x
v1
i1
i1
v2
(KCL-1)
i x i2 (KCL-2)
V s
R1
i2
I s
R2
- Fuente de tensión: V S
v1 v2
- Sumamos (KCL-1) y (KCL-2): I S
i1 i2
- Quedan las ecs.:
G1v1 G2 v2 V s v1 v2
I s
- Aplicamos la ley de Ohm: i1
v1 R1
i2
v2 R2
- Sustituyendo: I s
G1v1 G2 v2
- Resolviendo: v1
G2V s G1 G2
I s
v2
G1V s G1 G2
I s
25
2.2.3 Análisis de nudos para circuitos CON fuentes controladas - Cuando en un circuito hay fuentes controladas el método de análisis de nudos se aplica igual que si no hubiera fuentes controladas y se añade un paso adicional: Las variables de control (tensiones y/o corrientes) se expresan en función de las tensiones de nudo (que son las verdaderas incógnitas del método de nudos). - Veamos un ejemplo.
26
- Ejemplo 6: Calcular las tensiones de nudo en el circuito de la figura
v1 ?
8V
v2 ?
6
i x 2A
3
v3 ?
3ix
27
v1
Solución: - Ecs. de nudo:
8V - Nudo 2: i x i1 2 0 - Nudo 3: v3 3i x
- Nudo 1:
8V
v1
- Expresamos las corrientes de rama y las variables de control en función de las tensiones de nudo: i x i1
8 v2
3
i x
4 3
1 2
v2
v3
i1
2A
3ix
- Sustituimos en las ecs. de nudo: v2
- Nudo 2: v2
- Nudo 3:
6
3ix v2
3
v2
6
2
7V
v3 4
- Despejando v3: v3
1 2
V 28
2.3 Análisis de mallas - Definición de Malla: - Lazo: Camino cerrado, es decir, camino que empieza y termina en el mismo nudo sin pasar más de una vez por cada uno de los nudos intermedios - Malla: Lazo que no contiene ningún elemento en su interior
29
2.3 Análisis de mallas - Definición de Corriente de Malla: - Hasta ahora hemos trabajado solamente con corrientes de rama, es decir, con corrientes que fluyen entre dos nudos y que, normalmente, se asocian con un elemento concreto i B
i A
iC
i D
30
2.3 Análisis de mallas - Definición de Corriente de Malla: - Alternativamente, podemos introducir el concepto de corriente de malla - Corriente de Malla: es la corriente que recorre una determinada malla. Por tanto, es una corriente cerrada
i1
i2
- La asignación de sentido de giro a las corrientes de malla es arbitrario 31
2.3 Análisis de mallas - Para un circuito dado, la relación entre las corrientes de rama y las corrientes de malla puede determinarse por simple inspección i B
iC
i A
i1
i D
i2
- Para el ejemplo de la figura, las corrientes de rama valen: i A
i1
i B
i1
iC
i2
i D
i1 i2
32
-Ejemplo 7: En el circuito de la figura, calcular las corrientes de rama indicadas. i E
i B
i A
10 A
3A
iC
i D
5A
iF
33
Solución:
i A
10 A
i B
10 (3) 13 A
iC
10 5 5 A
i D
3 5 8 A
i E
3 A
iF
5A
i E
i B
i A
10 A
3A
iC
i D
5A
iF
34
2.3 Análisis de mallas - El análisis de mallas es otro método general para el análisis de circuitos - Se basa en usar corrientes de malla (en vez de corrientes de rama) como variables de circuito - Esta elección de variables reduce el número de ecuaciones a resolver
35
2.3.1 Análisis de mallas para circuitos SIN fuentes de corriente - Dado un circuito de N mallas sin fuentes de corriente, el análisis de mallas consta de los siguientes pasos: 1. Asignar las corrientes de malla i 1, i 2,…,i N a las N mallas 2. Aplicar la KVL a cada una de las mallas 3. Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las tensiones de elemento en función de las corrientes de malla 4. Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones obtenidas
36
- Ejemplo 8: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura
R1
V 1
R2
R3
V 2
37
Solución: 1. Asignar las corrientes de malla i 1, i 2,…,i N a las N mallas - Para este circuito N = 2 - Asignamos corrientes de malla i 1 e i 2 - Asignamos tensiones de elemento v 1, v 2 e v 3
R1
V 1
R2
v1
i1
v3
R3
v2 i2
V 2
38
2. Aplicar la KVL a cada una de las mallas - Malla 1:
V 1
v1 v3
- Malla 2:
v2
V 2 v3 R1
V 1
R2
v1
i1
v3
R3
v2 i2
V 2
39
3. Utilizar la relación i-v de cada elemento para escribir las tensiones de elemento en función de las corrientes de malla
i1 R1 i1 i2 R3
- Malla 1:
V 1
- Malla 2:
i2 R2
V 2 i1 i2 R3 R1
V 1
R2
v1
i1
v3
R3
v2 i2
V 2
40
4. Calcular las N corrientes de malla resolviendo las N ecuaciones obtenidas - Ordenando las ecs. obtenidas
R1 R3 i1 R3i2 V 1 R3i1 R2 R3 i2 V 2
R1
V 1
R2
v1
i1
v3
R3
v2 i2
V 2
- En forma matricial
R1 R3 R 3
R3 i1 V 1 R2 R3 i2 V 2 Ecuaciones de Corrientes de Malla 41
2.3.2 Análisis de mallas para circuitos CON fuentes de corriente - CASO 1: Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a una única malla, se fija la corriente de dicha malla igual a la corriente de la fuente.
I S
i1
Resto Circuito
i1
I S
i1
Resto Circuito
I S
- La corriente de malla i 1 deja de ser una incógnita 42
- Ejemplo 9: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura
R1
vs
i1
R2
R3
i2
is
43
Solución:
R1
- Malla 1: - Aplicando la KVL: v1
vs
v3 vs
R2
v1
i1
v3
R3
v2
is
i2
- Utilizando la ley de Ohm: i1 R1
i1 i2 R3 vs
- Malla 2: i2
is
- Resolviendo para i 1:
¡ No hace falta aplicar la KVL a la malla 2 !
i1
R3is R1 R3
vs
44
2.3.2 Análisis de mallas para circuitos CON fuentes de corriente - CASO 2: Si la fuente de corriente está en una rama que pertenece a dos mallas, entonces: - se introduce la tensión a través de la fuente (v x) como variable adicional. - se añade una ecuación que relaciona la corriente de la fuente con las dos corrientes de malla ( i 1-i 2 = I S)
I S
i1
Resto Circuito i2
i1
I S
v x
I S
Resto Circuito
i2
i1 i2
45
- Ejemplo 10: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura
R1
vs
i1
R2
is
i2
R3
46
Solución:
R1
- Malla 1:
v1
- Malla 2:
v
(KVL-2)
2 v3 v x
- Fuente de corriente:
is
vs
v1
i1
v x
is
v2 v3 vs R2i2 R3i2 vs
- Quedan las ecs.:
i1 i2 is R1i1 R2 R3 i2 vs
v2
i2
v3
R3
- Resolviendo: i1
i2
- Aplicamos la ley de Ohm: R1i1
i2 i1
- Eliminamos v x sumando (KVL-1) y (KVL-2): v1
v x vs (KVL-1)
R2
( R2 R3 )iS R1 R2 R3
vS
R1iS R1 R2 R3 vS
47
2.3.3 Análisis de mallas para circuitos con fuentes controladas - Análogamente al caso del análisis de nudos, cuando en un circuito hay fuentes controladas, el método de mallas se aplica igual que si no hubiera fuentes controladas y se añade un paso adicional: Las variables de control (tensiones y/o corrientes) se expresan en función de las corrientes de malla (que son las verdaderas incógnitas del método de mallas). - Veamos un ejemplo.
48
- Ejemplo 11: Calcular las corrientes de malla en el circuito de la figura
32
32
24 V
i2 ?
i x
i1 ?
5 i x
49
Solución:
32
32
- Ecs. de malla: - Malla 1: - Malla 2:
24 v1 0 i2
24 V
i x
i1
v2
5 i x
i2
5i x
- Expresamos las tensiones de elemento y las variables de control en función de las tensiones de nudo: v1 32i1 i x
v1
i1 i2
- Sustituimos en las ecs. de malla: - Malla 1:
i1
4 3
A
- Malla 2: 5i1 4i2 0 - Resolviendo: i2
15 16
A 50
2.4 Comparación entre el análisis de nudos y el de mallas - Dado un circuito, ¿qué método es mejor o más eficiente? - La respuesta depende, esencialmente, de dos factores: 1. Naturaleza del circuito: la clave es elegir el método que lleve a un número menor de ecuaciones. * Menos nudos que mallas * Más nudos que mallas
Análisis de Nudos Análisis de mallas
2. La información requerida: en general … * Si se requieren tensiones de nudo, puede ser ventajoso aplicar análisis nodal * Si se precisan corrientes de malla, análisis de mallas - Además, ciertos circuitos sólo pueden analizarse por un método. * Ej.: los circuitos no planos, no pueden resolverse por mallas 51
-Ejemplo 12: Encontrar en valor de la resistencia R en el circuito de la figura. D&S 7ª Ex. 4-8.1
1A
2
2
¿ R ?
3A 6
i0
0. 5 A
12
52
Solución:
1A
2
3A
i2
i1
2
¿ R ?
6
- Análisis de nudos: Hay 5 nudos 4 ecs. - Análisis de Mallas: Hay 3 mallas 3 ecs.
i3
i0
0 .5 A
12
* Es más conveniente el Análisis de Mallas * Además, las corrientes de malla se conocen de antemano: i1
1A
i2
3A
i3
0.5 A 53
