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Mapa de Contenidos Tema Pág. Introducción........................................................................................................2 Introducción ........................................................................................................2 Objetivos.............................................................................................................3 Objetivos .............................................................................................................3 Introducción Teórica...........................................................................................4 Teórica ...........................................................................................4 La ley de Ohm..................................................................................................4 Ohm..................................................................................................4 Leyes de Kirchhoff ...........................................................................................5 ...........................................................................................5 Análisis de nodos.............................................................................................7 nodos.............................................................................................7 Análisis de mallas..........................................................................................14 mallas..........................................................................................14 Ejemplos de Aplicación.....................................................................................17 Aplicación. ....................................................................................17 Conclusiones.....................................................................................................24 Conclusiones .....................................................................................................24 Bibliografía........................................................................................................25 Bibliografía ........................................................................................................25
Bibliografía
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Introducción La Ley de Ohm, postulada por el físico y matemático alemán Georg Simón Ohm, es una de las leyes fundamentales de la electrodinámica, estrechamente vinculada a los valores de las unidades básicas presentes en cualquier circuito eléctrico. Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos. El análisis de mallas (algunas veces llamada como método de corrientes de malla), es una técnica usada para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta técnica está basada en la ley de tensiones de Kirchhoff.
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Objetivos •
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Conocer el postulado de la Ley de Ohm y sus efectos prácticos en la resolución de incógnitas para encontrar el voltaje, intensidad de corriente, y valor de la resistencia en un circuito eléctrico Comprender el principio de conservación de la energía y de la carga en un circuito eléctrico por medio de las Leyes de Kirchhoff Conocer el método de corrientes de malla para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano.
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Introducción Teórica La ley de Ohm La Ley de Ohm, postulada por el físico y matemático alemán Georg Simón Ohm, es una de las leyes fundamentales de la electrodinámica, estrechamente vinculada a los valores de las unidades básicas presentes en cualquier circuito eléctrico como son: 1. Tensión o voltaje "E", en volt (V). 2. Intensidad de la corriente " I ", en ampere (A). 3. Resistencia "R" en ohm (
) de la carga o consumidor conectado al circuito.
Circuito eléctrico cerrado compuesto por una pila de 1,5 volt, una resistencia o carga eléctrica "R" y la. circulación de una intensidad o flujo de corriente eléctrica " I " suministrado por la propia pila.
Debido a la existencia de materiales que dificultan más que otros el paso de la corriente eléctrica a través de los mismos, cuando el valor de su resistencia varía, el valor de la intensidad de corriente en ampere también varía de forma inversamente proporcional. Es decir, a medida que la resistencia aumenta la corriente disminuye y, viceversa, cuando la resistencia al paso de la corriente disminuye la corriente aumenta, siempre que para ambos casos el valor de la tensión o voltaje se mantenga constante. Por otro lado y de acuerdo con la propia Ley, el valor de la tensión o voltaje es directamente proporcional a la intensidad de la corriente; por tanto, si el voltaje aumenta o disminuye, el amperaje de la corriente que circula por el circuito aumentará o disminuirá en la misma proporción, siempre y cuando el valor de la resistencia 5
conectada al circuito se mantenga constante. Postulado general de la Ley de Ohm
El flujo de corriente en ampere que circula por un circuito eléctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensión o voltaje aplicado, e inversamente proporcional a la resistencia en ohm de la carga que tiene conectada. FÓRMULA MATEMÁTICA GENERAL DE REPRESENTACIÓN DE LA LEY DE OHM Desde el punto de vista matemático el postulado anterior se puede representar por medio de la siguiente Fórmula General de la Ley de Ohm:
VARIANTE PRÁCTICA: Aquellas personas menos relacionadas con el despeje de fórmulas matemáticas pueden realizar también los cálculos de tensión, corriente y resistencia correspondientes a la Ley de Ohm, de una forma más fácil utilizando el siguiente recurso práctico:
Con esta variante sólo será necesario tapar con un dedo la letra que representa el valor de la incógnita que queremos conocer y de inmediato quedará indicada con las otras dos letras cuál es la operación matemática que será necesario realizar. Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica. 6
Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió a Maxwell y gracias a George Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico. Ley de corrientes de Kirchhoff •
La corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i 1 + i 4 = i 2 + i 3 Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la su ma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero
Esta fórmula es válida también para circuitos complejos:
La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Ley de tensiones de Kirchhoff •
Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v 4= v 1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no hace parte de la malla que estamos analizando. 7
Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es común que se use la sigla LVK para referirse a esta ley. En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a cero.
Análisis de nodos
La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del análisis de nodos. En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos. Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la corriente en función de la tensión que es nuestra incógnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, Irama = Vrama * G, donde G es la Conductancia del resistor. El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeño, o también puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de simulación de circuitos (Por ejemplo, 8
SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos, El análisis de nodos modificado. Los ejemplos simples de análisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales(que son más complejas) también se pueden resolver por el análisis de nodos al usar el método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales. •
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Procedimiento
Se elige el nodo con más conexiones como nodo de referencia (cuya tensión es 0) y se asignan 3 variables Va, Vb y Vc
Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán para el método. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el análisis. Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2) Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff. Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e iguálelas a 0. Si el número de nodos es n, el número de ecuaciones será por lo menos n − 1 porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación. 9
Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuación muy sencilla. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida.
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Ejemplos
Ejemplo 1: Caso básico
Circuito sencillo con una tensión desconocida V 1. La única tensión desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:
Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:
Se resuelve con respecto a V1:
Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.
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Ejemplo 2
Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'
Solución: 1. Se localizan todos los nodos del circuito. 2. Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia V d (Figura 5). 3. No hay fuentes de tensión. 4. Se le asignan variables a los nodos V a, Vb y Vc 5. Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así: Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2Ω tiene la polaridad de la Figura 5. Así ○
Simplificando:
Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la polaridad de la Figura 6:
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Factorizando obtenemos
Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:
Factorizando obtenemos:
Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.
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Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: V a = 42.5V , V b = 22.5V y V c = 12.5V Supernodos •
En este circuito, VA está en medio de dos tensiones desconocidas, y además es un supernodo. En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1 y V2. La tensión en la terminal positiva de V B ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada directamente. Además no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V 1 y 2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinación de estos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V 1 = V2 + VA. El sistema de ecuaciones para este circuito es:
Al sustituir V 1 en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V 2, tenemos:
Ejemplo de resolución por supernodos
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Ejemplo de supernodo Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la fuente de tensión como uno solo, así: Tensión en la resistencia de 4Ω: •
factorizando
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Observamos el supernodo en los nodos V b y V c, tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a V b y V c:
factorizando
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Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así: V b − V c = 10
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Observación: Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.
Sistema de ecuaciones: Resolviendo Va= 62,5 V, V b= 22,5 V y V c= 12,5 V Análisis de mallas Circuito plano con mallas esenciales 1, 2, y 3. R1, R2, R3, 1/sc, y Ls representan la impedancia de las resistencias, el condensador y el inductor. Vs e Is representan la tensión y la corriente de la fuente de tensión y de la fuente de corriente, respectivamente. El análisis de mallas (algunas veces llamada como método de corrientes de malla), es una técnica usada para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta técnica está basada en la ley de tensiones de Kirchhoff. La ventaja de usar esta técnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensión o una corriente de un circuito.1 Para usar esta técnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se prefiere asignarle a todas la corrientes de malla el mismo sentido. De cada malla del circuito, se plantea una ecuación que estará en función de la corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla. Corrientes de malla y mallas esenciales •
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Circuito con corrientes de malla marcadas como i1, i2, y i3. Las flechas muestran la dirección de la corriente de malla. La técnica de análisis de mallas funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura uno las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas. Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podría no tener un significado físico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del análisis de mallas.1 Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en el mismo sentido. Esto ayudará a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convención es tenerlas todas girando a la manecillas del reloj. En la figura 2 se muestra el mismo circuito antes pero con las corrientes de malla marcadas. La razón para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El análisis de mallas asegura el menor número de ecuaciones, simplicando así el problema. Planteando las ecuaciones
Circuito simple usando análisis de mallas Después de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuación para cada malla, en la cual se suma todas las tensiones de todos los componentes de una malla.2 Para los elementos que no son fuentes de energía, la tensión será la impedancia del componente por la corriente que circula por él. 3 Cuando un componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente será resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la tensión en la rama en función de la intensidad que circula por ella. Por ejemplo, la tensión de la resistencia R2 en la figura 2 es: V R = R (i 3 − i 1), siendo i 3 la corriente de malla de la que estamos escribiendo su ecuación e i 1 la malla vecina; considerando positiva la corriente de la malla que estamos describiendo y negativa la corriente de malla vecina. Es importante tener en cuenta los signos. 16
Si hay una fuente de tensión en la corriente de malla, la tensión en la fuente es sumada o sustraída dependiendo si es una caída o subida de tensión en la dirección de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no este contenida en dos mallas, la corriente de malla tomará el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla está en la misma dirección o en dirección opuesta a la fuente de corriente. 2 A continuación se plantean las ecuaciones del circuito de la figura 3, así:
Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna técnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales. Observación: En circuitos resistivos (donde solo hayan resistencias), si al resolver el sistema una corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. En circuitos de corriente alterna con condensadores, bobinas, será importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con números complejos, a través de la fórmula de Euler, tendremos cambios de modulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor módulo como positiva; tenemos que acudir al patrón de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra elección).
Solución: El voltaje de la resistencia R1 se encuentra directamente encontrando la resistencia total del circuito:
Ejemplos de Aplicación. Problemas: Encontrar la resistencia total del siguiente circuito:
Por lo tanto la resistencia R 2 tiene un voltaje de 6V, como podemos ver:
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También debemos considerar que la corriente en un circuito en serie, como lo es esté, por lo que la corriente en la resistencia R1 es la misma que la de R2 y por tanto:
3. Encontrar el voltaje de la fuente del diagrama siguiente:
Por último la resistencia total de las resistencias del circuito son: Solución: De manera inmediata podemos determinar que por tratarse de un circuito serie la intensidad de la corriente es la misma en todos sus elementos. Por otro lado conocemos el valor de las resistencias, no así el de la pila del cual no será considerada en este ejercicio, y por tanto podemos obtener directamente el voltaje total del las componentes.
2. Encontrar el voltaje de la resistencia R2 del siguiente diagrama
Entonces el voltaje total de la fuente es igual a:
Solución. Aunque no se da el valor de la resistencia R1, podemos determinar el valor del voltaje en la resistencia R2, ya que lo que si conocemos es la corriente en la resistencia R 1, la cual es la misma en el resto del circuito. Por lo tanto:
4. Demostrar que para un circuito en paralelo de dos resistencias la resistencia total es igual a:
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Solución. Sabemos que para un circuito en paralelo la resistencia total es igual a:
a) El voltaje en cada una de las resistencias es igual al voltaje total, es decir el de la fuente. Por lo tanto, podemos calcular el voltaje total calculando el voltaje en una de las resistencias, en este caso, el que podemos calcular es el de la resistencia R 1:
Si solo tenemos dos resistencias tendremos: b) Para calcular la corriente de la fuente los podemos hacer de dos formas:
La expresión demostrada es una expresión clásica para encontrar la relación entre dos resistencias en paralelo, al menos es una expresión nemotécnica fácil de recordar. 5.- Se tienen los siguientes datos para el circuito mostrado 1er Método Para el caso de la corriente en las otras resistencias tendremos:
a) Encontrar el voltaje de la fuente b) Encontrar la corriente administrada por la fuente
Soluciones. 19
DIAGRAMA 6a Solución: De acuerdo al diagrama podríamos acomodar el circuito de la siguiente forma:
2º Método Calculemos la resistencia total:
la corriente total es igual a:
DIAGRAMA 6b Donde RA representa la resistencia, producto de realizar el arreglo siguiente: 6. Encuentra la resistencia R x del
circuito. Considérese siguientes datos:
los
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Donde
DIAGRAMA 6c
En el DIAGRAMA 6b podemos ver que las resistencias 1,4 y A están es serie, como se ve a continuación:
A partir de este diagrama podemos encontrar el voltaje en RB que es el mismo de la fuente y de la resistencia R5, en cuanto a corriente vemos que en R5 la corriente es:
Pero, como sabemos de un circuito en paralelo, la corriente total es la suma de la corriente en cada uno de los circuitos, tenemos: Por lo que podríamos reducir el circuito a uno en paralelo:
Y el voltaje en la resistencia R B es:
Recordemos que para tenemos el siguiente arreglo: 21
RB
Como el arreglo es el de un circuito en serie, y el voltaje total es la suma en cada una de las componentes, entonces el voltaje en R A :
La corriente es de I A= 276 mA Ahora el problema es más concreto, recordemos que:
Lo que equivale a pensar en un circuito equivalente como el que se muestra a continuación: Lo que es equivalente, finalmente a resolver el circuito paralelo:
La corriente en RB es la misma en R1, R4 y en RA por pertenecer a un arreglo en serie. En cuanto el voltaje tenemos: El voltaje es el mismo en cada resistencia. En tanto a la corriente vemos que:
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Finalmente la resistencia en R X es: La corriente de la resistencia RX:
Conclusiones
El flujo de corriente en ampere que circula por un circuito eléctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensión o voltaje aplicado, e inversamente proporcional a la resistencia en ohm de la carga que tiene conectada.
En cualquier nodo, y la suma de todos los nodos y la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero
En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a cero.
Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nodo. 23
nunca puede acumularse en un
Bibliografía
Boylestad, Robert L.; Nashelsky, Louis; Electronica: Teoria de circuitos y dispositivos electrónicos; PretinceHall Hispanoamerica; Mexico; 2003.
Referencias web :
http://www.asifunciona.com/electrotecnia/ke_ley_ohm/ke_ley_ohm_1.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_mallas http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_nodos Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Coordinación de innovación educativa. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/electro/problemas_ley_ohm.htm
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