Arya • Lardner • Lobo Schettino • Villalobos • Ibarra
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Visítenos í en: www.pearsoneducacion.net
PEARSON PRENTICE HALL
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MÉTODOS CUANTITATIVOS I Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía
Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner Departament of Mathematics, Simon Fraser University Víctor Hugo Ibarra Universidad Anáhuac José Luis Villalobos Pérez Universidad Autónoma de Guadalajara Macario Schettino Yáñez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México Con la colaboración de Justa Lobo de Corea Facultad de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Elena de Oteyza de Oteyza Emma Lam Osnaya Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México Carlos Hernández Garciadiego Angel Manuel Carrillo Hoyo Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México
Max. A. Sobel Montclair State College Norbert Lerner State University of New York at Cortland Allen R. Angel Monroe Community College
® México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela
ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W. Métodos Cuantitativos I México, 2005 970-26-0593-8
Matemáticas Formato: 20 ⫻ 25.5 cm
272
Authorized translation from the English language edition, entitled: Mathematical Analysis for Business, Economics and the Life and Social Sciences, 4th ed., by Jagdish C. Arya and Robin W. Lardner ©1993, ISBN 0-13-564287-6 College Algebra 2nd ed., by Max A. Sobel and Norbert Lerner ©1987, ISBN 0-13-141839-4 Intermediate Algebra for College Students 4th ed., by Allen R. Angel ©1996, ISBN 0-13-183518-1 Elementary Algebra for College Students 4th ed., by Allen R. Angel ©1996, ISBN 0-13-324781-3 College Algebra 4th ed., by Max A. Sobel and Norbert Lerner ©1995 ISBN 0-13-311614-X published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC. All rights reserved. Este libro es una compilación de las siguientes obras. Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía 4/e de Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner ©1993, ISBN 968-444-437-0 Álgebra 2/e, de Max. A. Sobel y Norbert Lerner ©1987, ISBN 968-880-168-2 Álgebra intermedia 4/e de Allen R. Angel ©1996, ISBN 968-880-841-5 Álgebra elemental 4/e de Allen R. Angel ©1996, ISBN 970-17-0119-4 Álgebra 4/e de Max A. Sobel y Norbert Lerner ©1995, ISBN 968-880-680-3 Temas selectos de matemáticas, Elena de Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya, Carlos Hernández Garciadiego y Angel Manuel Carrillo Hoyo ISBN 970-17-0214-X Álgebra 2/e © 2004, Elena de Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya, Carlos Hernández Garciadiego y Angel Manuel Carrillo Hoyo ISBN 970-26-0430-3 publicadas por Pearson Education, Inc., publicadas como PRENTICE HALL INC. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español: Editor: Guillermo Trujano Mendoza e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández Supervisor de Producción: José D. Hernández Garduño PRIMERA EDICIÓN, 2005 D.R. © 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail:
[email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0593-8 Impreso en México. Printed in Mexico.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05
Presentación
Una de las dificultades más frecuentes con las que se enfrentan los docentes en las diversas disciplinas de la enseñanza es la falta de bibliografía que reúna los requerimientos de un determinado silabus y que sea capaz de aglutinar una temática de interés. Ante esa limitante, la coordinación de la clase de Métodos Cuantitativos I, el departamento de Métodos Cuantitativos de la Facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Contables de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, en un esfuerzo conjunto, asumimos el reto de elaborar un texto para esta asignatura. En tal sentido, iniciamos un proceso de investigación y recopilación de información, en varias fuentes bibliográficas, de todos los temas que conforman el contenido de la clase. La experiencia ha sido enriquecedora y los resultados satisfactorios. Hemos elaborado un texto base que llenará un vacío y que constituirá la fundamentación teórico-práctico de la asignatura, con lo que estaremos coadyuvando significativamente no sólo con el proceso, sino con los resultados académicos de los estudiantes, quienes podrán seguir paso a paso las enseñanzas de sus maestros, contar con una amplia gama de ejercicios para realizar prácticas y darle seguimiento a la materia. Agradezco la colaboración de todos los catedráticos que imparten la asignatura, ya que con sus oportunas sugerencias hicieron posible la realización de esta obra. Los invito para que lo usen y hagan de él una de sus mejores herramientas de trabajo. Justa Lobo de Corea Coordinadora de la Cátedra de Métodos Cuantitativos I
iii
Prefacio
En esta edición, nos hemos esforzado por presentar el álgebra en forma tal que resulte de máximo provecho a estudiantes cuyos campos de especialización no sean las matemáticas ni las ciencias físicas. El libro está orientado principalmente hacia aplicaciones en la administración y la economía, aunque en esta edición se incluye una significativa cantidad de ejercicios y aplicaciones concernientes a diversas áreas de las ciencias sociales y biológicas, lo cual amplía la utilidad del texto. En esta edición se ha realizado una gran cantidad de revisiones. Se ha revisado el tratamiento de desigualdades cuadráticas en el capítulo 3. Y las aplicaciones en el capítulo 2 se han dividido y colocado más próximas al álgebra que las relaciona. Además de estas revisiones y adiciones importantes, se ha hecho una gran cantidad de otras a lo largo de todo el libro, las cuales consisten de ejemplos adicionales desarrollados o aplicaciones del análisis. La mayor parte de los conjuntos de ejercicios se ha modificado y se han agregado otros nuevos. Varias herramientas pedagógicas son nuevas en esta edición. Al inicio de cada capítulo se incluye una aplicación o problema interesante y al final se agrega un repaso del capítulo o un caso de estudio. Se hace un uso amplio de cuadros para enfatizar las fórmulas y resultados principales. Quizá lo más útil de todo para el estudiante es la inclusión de “cuadros de repaso”, al margen del texto, que contienen preguntas sencillas que ligan de forma directa al análisis adyacente. Los asteriscos (*) preceden a los ejercicios que constituyen un reto. El libro está orientado a la enseñanza de las aplicaciones y a la utilización de las matemáticas más que a las matemáticas puras. No se hace hincapié en las demostraciones de los teoremas ni se da a éstas un lugar prominente en el desarrollo del texto. Por lo regular, después de enunciar un teorema procedemos a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se ofrece la demostración. Este relativo desinterés por los pormenores matemáticos da a los estudiantes —cuya principal motivación es la aplicación de las matemáticas— el tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas técnicas. Según nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las técnicas por lo común desarrollan una intuición razonablemente clara del proceso, y la carencia de un completo rigor matemático no constituye una grave deficiencia.
v
El contenido de este libro se ha seleccionado de tal manera que incluya aquellas partes de las matemáticas básicas que son de mayor interés tanto para los estudiantes que se especializan en administración y economía, como para los de ciencias sociales y biológicas. Las aplicaciones referidas a estas áreas se han integrado por completo en el desarrollo de la obra: a veces una aplicación particular se utiliza para motivar ciertos conceptos matemáticos; en otros casos, determinado resultado matemático se aplica, ya sea de inmediato o en una sección subsecuente, a un problema concreto, digamos de análisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanía con el tratamiento del concepto matemático específico en cuestión. No obstante, cabe aclarar que las matemáticas de esta obra se presentan en un estilo “limpio”; es decir, fuera del contexto de cualquier aplicación particular. Sólo después de establecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica éste a un problema práctico. Deseamos expresar nuestros agradecimientos a las siguientes personas, quienes revisaron el manuscrito y proporcionaron valiosos comentarios y sugerencias: Michael J. Bradley, Merrimack College; Richard Weimer, Frotsburg State University; Karen Mathiason, West Texas State University; Ronald Edwards, Westfield State University; Yoe Itokawa, University of Alabama, Birmingham y Greg Taylor, Wake Forest University. Agradecemos también al M. en C. Víctor Hugo Ibarra, Universidad Anáhuac e Instituto Politécnico Nacional; al Maestro José Luis Villalobos, Universidad Autónoma de Guadalajara, y al Doctor Macario Schettino, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey campus ciudad de México, las secciones con que inicia cada capítulo y los casos de estudio al final de los mismos. J.C.A. R.W.L.
vi
PREFACIO
Contenido PRESENTACIÓN PREFACIO v
1
REPASO DE ÁLGEBRA 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7
2
iii
1
Los números reales 2 Fracciones 10 Exponentes 18 Exponentes fraccionarios 23 Operaciones algebraicas 29 Factorización 38 Fracciones algebraicas 46 Repaso del capítulo 1 55 Ejercicios de repaso del capítulo 1 ♦ CASO DE ESTUDIO 58
56
ECUACIONES DE UNA VARIABLE 2-1 2-2 2-3 2-4
59
Ecuaciones lineales 60 Aplicaciones de ecuaciones lineales 68 Ecuaciones cuadráticas 73 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas 81 Repaso del capítulo 2 88 Ejercicios de repaso del capítulo 2 88 ♦ CASO DE ESTUDIO 91
vii
3
DESIGUALDADES 3-1 3-2 3-3 3-4
4
127
Conjuntos 128 Unión de conjuntos 134 Intersección de conjuntos 136 Producto cartesiano 140 Lógica matemática 142 Repaso del capítulo 4 157
TEMAS SELECTOS 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8
6
Conjuntos e intervalos 93 Desigualdades lineales de una variable 99 Desigualdades cuadráticas de una variable 106 Valores absolutos 112 Repaso del capítulo 3 118 Ejercicios de repaso del capítulo 3 119 ♦ CASO DE ESTUDIO 122
LÓGICA MATEMÁTICA 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
5
92
159
Radicales y exponentes fraccionarios 160 División sintética 166 Ecuaciones fraccionarias o racionales 173 Ecuaciones con radicales 181 Ecuaciones con valor absoluto 192 Factorización de productos notables 195 Despeje de fórmulas 199 Porcentajes 201
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
Sucesiones 208 Sumas de sucesiones finitas 213 Progresiones aritméticas 217 Progresiones geométricas 225 Series geométricas infinitas 232 Inducción matemática 242 Ejercicios de repaso del capítulo 6
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS viii
CONTENIDO
248
251
207
CAPÍTULO
1
Repaso de álgebra Una compañera nos sorprendió cuando en una clase necesitábamos calcular el área de un cuadrado de 75 cm por lado y ella de inmediato respondió que el área era de 5625 cm2. El profesor intrigado le preguntó cómo había hecho la operación tan rápido, a lo que ella contestó que al siete le sumo uno, cuyo resultado es ocho, multiplicó éste (el ocho) por siete y obtuvo 56, y colocó el 56 adelante del número 25, con lo que llegó a la respuesta. Nuestra compañera agregó que este método sólo servía para números que terminaran en cinco. El profesor se quedó pensativo probando con varios números, y después de un rato nos explicó lo siguiente: Para representar un número que termine en cinco, podemos indicar con d al número de decenas y así formar el número: 10d 5
(10d 5)2 100d(d 1) 25 Con esto podemos entender la “regla” para elevar rápidamente al cuadrado un número que termine en cinco. Hagámoslo con un ejemplo: Elevemos (65)2. a) Nos fijamos en el número de decenas: seis. b) Éste lo multiplicamos por el dígito que es uno mayor que él, siete. c) Formamos el número que inicia con el resultado anterior, 42, y termina con 25, es decir, 4225. Con esta regla, realicemos las operaciones siguientes:
Al elevar este número al cuadrado —recuerden la forma de elevar un binomio al cuadrado— obtenemos: (10d 5)2 100d2 100d 25
TEMARIO
Si factorizamos los primeros dos términos del lado derecho, cuyo factor común es 100d, tenemos:
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7
i) 252 iii) 952 v) 7.52
ii) 552 iv) 1152 vi) 1052
LOS NÚMEROS REALES FRACCIONES EXPONENTES EXPONENTES FRACCIONARIOS OPERACIONES ALGEBRAICAS FACTORIZACIÓN FRACCIONES ALGEBRAICAS REPASO DEL CAPÍTULO
1
1-1 LOS NÚMEROS REALES Empezaremos con un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los números 1, 2, 3, etc., se denominan números naturales. Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 13 y 8 5 40; la suma 13 y el producto 40 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 3 y 8 2 4 son números naturales, pero 5 8 y 2 7 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Con objeto de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). De este modo podemos representar al sistema de los enteros mediante . . . , 3,
2,
1,
0,
1,
2,
3, . . .
Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo, 3 8 5, (3)(5) 15 y 3 8 5 son enteros. Pero aún no podemos dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que: 8 (2) 4 es un entero, pero 8 3 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir. Para superar la limitación de la división extendemos el sistema de los enteros al sistema de los números racionales. Este sistema consiste en todas las fracciones a/b, donde a y b son enteros con b 0. Un número es racional si podemos expresarlo como la razón de dos enteros con denominador distinto de cero. Así 83, 57, 03 y 6 61, son ejemplos de números racionales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir dos números racionales cualesquiera (excepto dividir entre cero)* y el resultado siempre es un número racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética: adición, multiplicación, sustracción y división son posibles dentro del sistema de los números racionales. Cuando un número racional se expresa como un decimal, los decimales terminan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo, 14 0.25 y 93 1.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que 1 0.1666. . . 80 6 y 47 0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten. También existen algunos números de uso común que no son racionales (es de cir, que no pueden expresarse como la razón de dos enteros). Por ejemplo, 2, 3 y no son números racionales. Tales números se denominan números irracionales. La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advierte en sus expresiones decimales. Cuando un número irracional se presenta por me-
*Revise el parágrafo final de esta sección.
2
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
☛ 1. ¿Qué tipo de número es cada uno de los siguientes?: 3 (a) 2 (b) (2)2
(c) 2
dio de decimales, éstos continúan indefinidamente sin presentar ningún patrón repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales 2 1.4142135623. . . y 3.1415926535. . . No importa con cuántos decimales expresemos estos números, nunca presentarán un patrón repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de los números racionales. El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los números racionales, mientras que los restantes corresponden a los números irracionales. ☛ 1 Geométricamente, los números reales se pueden representar con puntos sobre una línea recta denominada recta numérica. Con el fin de hacer esto, seleccionemos un punto arbitrario O sobre la línea que represente al número cero. Los números positivos se representan entonces con los puntos a la derecha de O y los negativos con los puntos a la izquierda de O. Si A1 es un punto a la derecha de O tal que OA1 tiene longitud unitaria, entonces A1 representa al número 1. Los enteros 2, 3, . . . , n, . . . están representados por los puntos A2, A3, . . . , An, . . . , están a la derecha de O y son tales que OA2 2OA1,
OA3 3OA1,
...,
OAn nOA1,
...
De manera similar, si B1, B2, . . . , Bn, . . . , son los puntos a la izquierda de O tales que las distancias OB1, OB2, OB3, . . . , son iguales a las distancias OA1, OA2, . . . , OAn, . . . , respectivamente, entonces los puntos B1, B2, B3, . . . , Bn, . . . , representan a los números negativos 1, 2, 3, . . . , n, . . . En esta forma, todos los enteros pueden representarse mediante puntos sobre la recta numérica. (Figura 1).
Bn
B3
B2
B1
O
A1
A2
A3
An
n
3
2
1
O
1
2
3
n
FIGURA 1
Respuesta (a) racional, real (b) natural, entero, real (c) irracional, real
Los números racionales pueden representarse con puntos sobre la recta numérica que están situados a un número apropiado de unidades fraccionarias a partir de O. Por ejemplo, el número 92 está representado por el punto situado cuatro unidades y media a la derecha de O y 73 está representado por el punto que está situado dos unidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo número racional puede representarse con un punto sobre la línea. Se deduce que todo número irracional también puede representarse con un punto sobre la recta numérica. En consecuencia, todos los números reales, tantos los racionales como los irracionales, pueden representarse con tales puntos. Más aún, cada punto sobre la recta numérica corresponde a uno y sólo un número real. Debido a esto, es bastante común el uso de la palabra punto con el significado de número real.
SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES
3
Propiedades de los números reales Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de manera similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamentales en el sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades por sí mismas parecen ser más bien elementales, quizás obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones algebraicas que efectuaremos después. PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces abba
ab ba
y
Por ejemplo, 3 7 7 3, 3 (7) (7) 3, 3 7 7 3 y (3)(7) (7)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos números son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. PROPIEDADES ASOCIATIVAS entonces
Si a, b y c son tres números reales cualesquiera,
(a b) c a (b c)
y
(ab)c a(bc)
Por ejemplo, (2 3) 7 2 (3 7) 12 y (2 3) 7 2 (3 7) 42. Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multiplican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en primer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos. En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los paréntesis en las expresiones anteriores. Podemos escribir a b c para indicar la suma de a, b y c, y abc para su producto sin ninguna ambigüedad. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a, b y c son números reales cualesquiera, entonces a(b c) ab ac
y
(b c)a ba ca
Por ejemplo, 2(3 7) 2(3) 2(7) 6 14 20. Esto es sin duda cierto porque 2(3 7) 2 10 20. Por otra parte, (2)[3 (7)] (2)(3) (2)(7) 6 14 8. Podemos evaluar la expresión dada directamente y obtenemos la misma respuesta: (2)[3 (7)] (2)(4) 8.
4
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera dado que, por la propiedad conmutativa (b c)a a(b c)
☛ 2. ¿Cuáles propiedades de los números reales son utilizadas en cada una de las siguientes igualdades? (a) 2 3 4 2 4 3 (b) 2 3 4 3 4 2 (c) 2 (3 4) (3 4) 2 (d) 2 (3 4) 4 (2 3) (e) 3x 3x (3 3)x (f) 3x xy x(3 y)
y también
ba ca ab ac
Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera propiedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales. Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los cálculos algebraicos. Como veremos, éstas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplificación de expresiones y, si se leen “hacia atrás”, esto es, de derecha a izquierda, forman la base para los métodos de factorización. ☛ 2 Los siguientes ejemplos ilustran algunos usos elementales de las propiedades de los números reales al simplificar las expresiones algebraicas.
EJEMPLO 1 (a) x(y 2) xy x(2) xy 2x
(propiedad distributiva) (propiedad conmutativa)
(b) 2x 3x (2 3)x 5x
(propiedad distributiva)
(c) 2(3x)
(2 3)x 6x
(d) (2x)(3x) [(2x) 3]x [3 (2x)]x [(3 2)x]x (6x)x 6(x x) 6x2
(propiedad asociativa)
(propiedad asociativa) (propiedad conmutativa) (propiedad asociativa) (propiedad asociativa)
donde x2 denota x x. Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los términos semejantes en el producto original: los números 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadas dan x2. La siguiente parte ilustra este procedimiento. (e) [5(3ab)] (2a) (5 3 2)(a a)b 30a2b Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesión de pasos que emplean las leyes asociativa y conmutativa, como en la parte (d). Respuesta (a) conmutativa (b) conmutativa (c) conmutativa (d) ambas, conmutativa y asociativa (e) distributiva (f) ambas, distributiva y conmutativa
(f) 2x (3y x) 2x (x 3y) (2x x) 3y (2x 1x) 3y (2 1)x 3y 3x 3y
(propiedad conmutativa) (propiedad asociativa) (propiedad distributiva)
SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES
5
(g) 2x(4y 3x) (2x)(4y) (2x)(3x) (2 4)(x y) (2 3)(x x)
(propiedad distributiva) [propiedades asociativa y conmutativa como en la parte (a)]
8xy 6x2 La propiedad distributiva puede usarse en el caso de que más de dos cantidades se sumen dentro de los paréntesis. Esto es, a(b c d) ab ac ad etcétera. EJEMPLO 2 4(x 3y 4z) 4x 4(3y) 4(4z) (propiedad distributiva) 4x (4 3)y (4 4)z (propiedad asociativa) 4x 12y 16z
ELEMENTOS IDENTIDAD
Si a es un número real cualquiera, entonces
a0a
y
a1a
Es decir, si 0 se suma a a, el resultado aún es a y si a se multiplica por 1, el resultado de nuevo es a. Por esta razón, los números 0 y 1 a menudo se conocen como elementos identidad para la adición y la multiplicación, respectivamente, porque no alteran número alguno bajo sus respectivas operaciones. INVERSOS Si a es un número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el negativo de a (denotado por a) tal que a (a) 0
Si a no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recíproco de a (denotado por a1) tal que a a1 1 Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando a se suma a a, el resultado es el elemento identidad para la adición y cuando a1 se multiplica por a, el resultado es el elemento identidad para la multiplicación. A menudo nos referiremos a a como el inverso aditivo de a y a a1 como el inverso multiplicativo de a. (Algunas veces a1 se denomina simplemente inverso de a).
6
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los números reales se utilizan en cada una de las siguientes igualdades? (a) x 3x 1x 3x (1 3) x 4x (b) (2 1) (1) 2 [1 (1)] 2 0 2 (c) 3 13 1
EJEMPLO 3 (a) El inverso aditivo de 3 es 3, dado que 3 (3) 0. El inverso aditivo de 3 es 3, puesto que (3) 3 0. Como el inverso aditivo de 3 se denota por (3), se sigue que (3) 3. En realidad, un resultado correspondiente vale para cualquier número real a: (a) a (b) El inverso multiplicativo de 3 es 31 dado que 3 31 1. El inverso multiplicativo de 31 sería denotado por (31)1 y estaría definido por el requerimiento de que 31 (31)1 1. Pero dado que 31 3 1, se sigue que 3(1)1 es igual a 3. De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier número real a distinto de cero: (a1)1 a
(El inverso del inverso de a es igual a a).
Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, podemos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustracción y división. Definimos a b como el número a (b), es decir, a más el negativo de b. De manera similar, definimos a b como el número ab1, es decir, a multiplicado por el recíproco de b. La expresión a b está definida sólo cuando b 0. También se indica por la fracción a/b y tenemos que
a Definición de : b
a ab1 b
(1)
Si a 1 en la ecuación (1), resulta que
1 1 b1 b1 b
Respuesta (a) propiedad del elemento idéntico multiplicativo y propiedad distributiva (b) propiedad asociativa, inverso aditivo y neutro aditivo (c) idéntico multiplicativo y definición de 1a
De aquí, la fracción 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b1. Por ejemplo, 31 13. Por tanto, se sigue de la ecuación (1) que
a 1 a b b dado que b1 1/b.
☛ 3 SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES
7
EJEMPLO 4 7 1 (a) 7 1 3 ( 3)
1
(Ecuación (1), con a 7 y b 13)
7(31)1 7(3) 21 Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a y b (b 0): a ab 1/b (b) Para cualquier número real, (1)b b. Esto se debe a que b (1)b 1 b (1)b [1 (1)]b 0b0
(propiedad distributiva)
Por tanto, (1)b debe ser el inverso aditivo de b, es decir b. (c) a(b) a[(1)b] (1)(ab) (ab)
(por el inciso (b) anterior) (usando las propiedades asociativa y conmutativa)
Por ejemplo, 3(7) (3 7) 21. (d) 3(x 2y) 3[x (2y)] 3x 3(2y) 3x [3(2y)] 3x [(3 2)y] 3x 6y
(definición de sustracción) (propiedad distributiva) (de la parte (c)) (propiedad asociativa)
En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos. Por ejemplo, a(b c) ab ac De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa. 3(x 2y) 3x 3(2y) 3x 6y Observe que cuando una expresión dentro de paréntesis debe multiplicarse por una cantidad negativa, todo término dentro del paréntesis cambia de signo. (a b) (1)(a b) (1)a (1)b a b EJEMPLO 5 2(x 3y) (2)x (2)(3y) 2x 6y Observe que tanto x como 3y, que están dentro de los paréntesis, cambian de signo, y quedan como 2x y 6y, respectivamente.
8
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
☛ 4. ¿Están definidas las siguientes expresiones?
Observación sobre la división entre cero. La afirmación a/b c es cierta si y sólo si la proposición inversa a b c es válida. Consideremos una fracción en la cual el denominador b es cero, tal como 30. Ésta no puede ser igual a ningún número real c porque la afirmación inversa 3 0 c no puede ser válida para ningún real c. Por tanto, 30 no está bien definido. Asimismo, 00 no es un número real bien definido porque la proposición inversa 0 0 c es válida para cada número real c. Así, concluimos que cualquier fracción con denominador cero no es un número real bien definido o, en forma equivalente, que la división entre cero es una operación que carece de sentido. Por ejemplo, x/x 1 es cierto sólo si x 0. ☛ 4
a (a) b (3b 4b) b (3b 4b) (b) a Respuesta (a) no (b) sí, siempre y cuando a 0
EJERCICIOS 1-1 16. 6 2(3 2)
17. 3(x 2y)
18. 4(2x z)
19. 2(2x y)
20. 3(4z 2x)
21. (x 6)
c. 2(5 4y) 10 4y
22. (x 3)
23. 3(x 4)
d. (x y) x y
24. 2(x 3)
25. 2(x 2)
e. 5x (2 3x) 2x 2
26. 4(x 6)
27. x(y 6)
f. 5 2x 3x
28. x(y 6)
29. 2(x y) 4x
g. 3(x 2y) 3x 6y
30. 3y 4(x 2y)
31. 2z 3(x 2z)
h. (a)(b)(c) (d) (abc d)
32. 4x 2(3z 2x)
33. (x y) 4(x y)
i. a (b c) (ac) b
34. 3(y 2x) 2(2x 2y)
35. 5(7x 2y) 4(3y 2x)
j. a (b c) (a c) b
36. 4(8z 2t) 3(t 4z)
37. x(y)(z)
k. (x)(y) xy
38. (x)(y)(z)
39. (2)(x)(x 3)
a a l. b b 0 m. 0, para todos los números reales x x
40. (x)(y)(2 3z)
41. 2(a)(3 a)
42. (37 p)(2q)(q p)
43. x(2)(x 4)
44. (2x)(3)(y 4)
45. x(x 2) 2(x 1)
1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea correcta. a. 3x 4x 7x
b. (3x)(4x) 7x
46. 2(3x)(2y 1) (y)(4 5x) 47. 2x 5 2(x 2)
48. 3x t 2(x t)
2. 5 (3)
3. 7 (3)
49. 2(x y) x
50. 4x(x y) x2
4. 5(3)
5. (3)(7)
51. 4[2(x 1) 3]
52. x[3(x 2) 2x 1]
6. 8 (2)
7. (9) (3)
53. x[3(4 5) 3]
8. (2 6)
9. (4 3)
54. 4[x(2 5) 2(1 2x)]
55. x1 (x 2)
(2-60) Simplifique las siguientes expresiones.
10. (3)(2)(4)
11. (5)(3)(2)
56. x1 (2x 1)
57. (2x)1 (3x 1)
12. 3(1 4)
13. 2(2 3)
58. (3x)1 (6 2x)
59. (xy)1 (x y)
14. 2(4 2)
15. 4(3 6)
60. (xy)1 (2x 3y)
SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES
9
1-2 FRACCIONES En la sección 1-1, vimos que la fracción a/b está definida como el producto de a y el inverso de b: a ab1 b
(b 0)
En particular, 1 b1 b Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usan al manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar este tipo de operaciones.*
Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y luego los dos denominadores.
b d bd a
c
ac
EJEMPLO 1
59 23 59 1207
2 (a) 3
(2x)4 8x 4y 3y 3y
2x (b) 3
2 7 ☛ 5. Evalúe (a) 3 3 x 7 (b) 2 5
(3x) 4
12x 54y 5y 1 (5y)
4 3x (c) 3x 5y 1
☛ 5
División de fracciones Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte y después se multiplica por la primera. En otras palabras,
ab dc ab dc abdc 14 Respuesta (a) 9 7x (b) 10
10
*Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas al final de esta sección.
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
EJEMPLO 2
97 2375
3 7 3 (a) 5 9 5
4y 38xy
3x 4 3x (b) 2 y 2
56x 256xy
6 5y (c) 5y 5x 1
21y 43xy
3 3 2y 3 (d) (2y) 2x 2x 1 2x
☛ 6. Evalúe 2 3 (a) 3 2 x 7 (b) 2 5
a (e) b
1
a b b 1 1 b a a
(Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador de la fracción). ☛ 6.
En vista de este último resultado, podemos reescribir la regla anterior para la división: para dividir entre una fracción, debe multiplicar por su recíproco.
Cancelación de factores comunes El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o dividirse por un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la fracción. a ac (c 0) b bc
EJEMPLO 3 a 2a (a) b 2b 3 6 9 12 (b) 5 10 15 20 5x 10x2 (c) (con tal que x 0) 6 12x
4 Respuesta (a) 9 5x (b) 14
Esta propiedad de las fracciones puede usarse con el fin de reducir una fracción a su mínima expresión, lo que significa dividir al numerador y al denominador por todos los factores comunes. (Esto se llama también simplificación de la fracción).
SECCIÓN 1-2 FRACCIONES
11
EJEMPLO 4 5 5 2 5 7 70 257 (a) 2 3 6 84 2 2 3 7 2237 Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en términos de sus factores primos y luego el numerador y el denominador se dividen por aquellos factores que son comunes a ambos números, como el 2 y el 7. (Este proceso algunas veces se denomina cancelación). 23xxy 2 3 x x y 6x2y 3x (b) 2 2 2 2 x y y 2 2 2 x y y 4y 8xy (xy 0) En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xy en la simplificación. 2x(x 1) x (c) 4y(x 1) 2y
☛ 7. Evalúe 2 15 (a) 3 4 x 3x (b) 2 8y
(x 1 0)
Aquí el factor común 2(x 1) fue cancelado del numerador y del denominador. ☛ 7
Adición y sustracción de fracciones Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simplemente sumando sus numeradores. a b ab c c c Una regla similar se aplica a la sustracción: a b ab c c c EJEMPLO 5 5 11 5 11 16 4 (a) 12 12 12 12 3 3 5 35 2 1 (b) 2x 2x 2x 2x x (Observe la cancelación de factores comunes al llegar a las respuestas finales). 5 Respuesta (a) 2 4y (b) 3
12
Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restarse, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador.
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mínimo común denominador? 2 5 (a) y 3 6 1 x (b) y 2xy 8y
EJEMPLO 6
Simplique:
5 1 (a) 6 2
5 3 (b) 6 4
Solución 13 1 3 (a) Podemos escribir . Entonces, ambas fracciones tienen el 2 6 23 mismo denominador, de modo que podemos sumarlas. 5 1 5 3 53 8 4 6 2 6 6 6 6 3 (b) En la parte (a), multiplicamos el numerador y el denominador de 12 por 3 para obtener un denominador igual al de la otra fracción. En esta parte, ambas fracciones deben modificarse para que tengan un factor común. Escribimos 5 10 6 12
y
9 3 12 4
Por tanto, 9 1 5 3 10 10 9 12 12 6 4 12 12 En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores diferentes, primero reemplazamos cada fracción por una equivalente que tenga un denominador común. Con el propósito de mantener los números tan pequeños como sea posible, elegimos el más pequeño de tales denominadores comunes, denominado el mínimo común denominador (m.c.d.). Aún obtendríamos la respuesta correcta utilizando un denominador común más grande, pero es preferible usar el mínimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte (b) del ejemplo 6, pudimos emplear 24 como un denominador común: 2 1 5 3 20 18 20 18 24 12 6 4 24 24 24 La respuesta final es la misma, pero habríamos tenido que trabajar con números más grandes. Para calcular el m.c.d. de dos o más fracciones, los denominadores deben escribirse en términos de sus factores primos. Entonces el m.c.d. se forma tomando todos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 56 y 34, se encuentra escribiendo los denominadores en la forma 6 2 y 4 2 2. Los factores primos que ocurren son 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es 2 2 3 12. Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2y. Escribimos 12x 2 2 3 x Respuesta (a) 6 (b) 8xy
y
10x2y 2 5 x x y
Tomando cada factor el mayor número de veces que aparezca, tenemos que m.c.d. 2 2 3 5 x x y 60x2y
☛ 8
SECCIÓN 1-2 FRACCIONES
13
EJEMPLO 7
Simplifique:
x 3y (a) 6 4 4a (d) b 5b 3
1 1 a b (b) (c) 9x 6 c d 1 3 (e) 3x 2 3x 4xy
Solución (a) El m.c.d. es 12. x 2x 6 12
3y 3(3y) 9y 4 12 12
y
Por tanto, x 3y 2x 9y 2x 9y 6 4 12 12 12 (b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que 1 2 9x 18x
y
1 3x 6 18x
Entonces, 1 1 2 3x 2 3x 9x 6 18x 18x 18x ☛ 9. Evalúe y simplifique
(c) El m.c.d. es cd.
2 5 (a) 3 4 x 7x (b) 2y 8y
a b ad bc ad bc c d cd cd cd
☛ 9
(d) Aquí tenemos una fracción cuyo denominador, a su vez, incluye una fracción. Primero simplificamos el denominador: b 15b b 14b 5b 3 3 3 Entonces, la expresión dada es
4a 14b 4a 14b3 3
23 Respuesta (a) 12 3x (b) 8y
14
1
3 6a 4a 14b 7b
(e) Primero simplificamos la expresión que se encuentra entre paréntesis. El mínimo común denominador es 12x2y.
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
1 3 4y 9x 4y 9x 2 3x 4xy 12x2y 12x2y 12x2y
Por tanto la expresión dada es igual a 4y 9x 3x 12x2y 36x3y 3x 2 12x y 1 4y 9x 4y 9x
(en donde x3 x x2 x x x).
Demostraciones de los teoremas Concluimos esta sección demostrando las propiedades básicas de las fracciones que hemos utilizado en los ejemplos anteriores. TEOREMA 1
1b 1d b1d DEMOSTRACIÓN
1 1 Por definición, b1 y d1, de modo que b d
1b 1d b
1
d1
Como, (b1 d1) (bd) (b1 b) (d1 d)
(usando las propiedades asociativa y conmutativa)
111 Por tanto b1 d1 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir, 1 b1 d1 bd como se requería. Observación Este resultado puede reescribirse en la forma (bd)1 b1 d1. TEOREMA 2
ab dc badc DEMOSTRACIÓN
a 1 ab1 a b b y también
c 1 c d d
SECCIÓN 1-2 FRACCIONES
15
Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir
ab dc a1b c1d ac 1b 1d 1 ac (por el teorema 1) bd ac bd como se pedía. TEOREMA 3
ab
1
DEMOSTRACIÓN
b a
Por definición, a/b ab1. Por tanto, por el teorema 1,
ab
1
(ab1)1 a1(b1)1
Pero (b1)1 b, de modo que
ab
1
b a1b ba1 a
como se requería. TEOREMA 4
ab dc ab dc DEMOSTRACIÓN des:
Por definición, x y xy1. Por tanto, tenemos las igualda-
ab dc ab dc
1
a d b c
(por el teorema 3)
TEOREMA 5 a ac b bc
(c 0)
DEMOSTRACIÓN Para cualquier c 0, la fracción c/c 1, puesto que, por definición c/c cc1. Por tanto, por el teorema 2,
ac a c a a 1 bc b c b b como se pedía.
16
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
TEOREMA 6 a b ab c c c DEMOSTRACIÓN
(c 0)
Por definición, a ac1 c
y
b bc1 c
Por tanto, a b ac1 bc1 (a b)c1 c c ab c
(por la propiedad distributiva)
como se requería.
EJERCICIOS 1-2 1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una verdadera. 3 4 7 a. x x x x x x b. 3 4 7 a c ac c. b d bd
c e a ace d. d f b bdf e.
c a e adf d b f bce
a c e adf f. b d f bce 1 1 1 g. a b ab 1 x h. 1y x y 6 8 6978 i. 7 9 79 1 12345 j. 2 2 4 6 8 10
(2-58) Evalúe cada una de las expresiones siguientes. Escriba las respuestas en los términos más simples.
145
2 6 2. 9 5
8 3. 3
3 8 4 4. 4 5 9
2 3 10 5. 5 6 7
295x 6y 8. 7x 21x 18 8 10. 11 33 4 2 12. 8 9 3 7x 21x 14. 10 5 8 16. 4 9x 3x 6xy 18. 4y 20 25 2x 2x 20. 8xy 3 5y 3x 6. 25 2
2
2254y 2x 9. (5xy) 3y 14 6 11. 3 15 12 15 20 13. 25 7 7 3xy 15. (2x) 5 3 4x 17. 8x 15 5x 3y xy 19. 2 4 12 4x 3y 21. 6x y 2 14x 7. 15y
2
2
2
SECCIÓN 1-2 FRACCIONES
17
8 1 s 22. 9t 3st 4
a b a 44. 2 3b 2a b
x 1 1 46. 9y 6xy 3xy
3 x 2xy 23. 4xy y 9
z 2 4 24. 2 x z
x 2xt 2t 25. 4t 3 3
x 2xt 2t 27. 4t 3 3
z 2 4 26. 2 z z
1 1 28. 6 2
1 1 29. 10 15
4x x 30. 5 10
1 1 31. x 2x
x x 32. 2 3
y 1 33. 2x 3x
a a 34. 6b 2b
a 2a 35. 6b 9b
7 3 36. 2 6x 4x
3y 1 37. 2 10x 6x
x y 38. 2 p pq
x y z 39. y z x
x y 40. y x
x2 41. 4y 3y
1 2 x 42. 6 x 2
1 2 1 1 47. 4 5 2 5 x 2 6 45. 2 x x
1 7 2 1 48. 12 10 3 4 1 1 2 3 49. 1 1 4 5
8 2 5 3 50. 2 47
1 1 3 4 1 1 5 6
3 52. 2 4 3 18
51.
2x 7x 3 y 53. 15y 3
1 1 2x 3x 1 54. 1 4y 5y
2a 4b a 3b 5 55.
2
56.
b 2b 15
5p p p 2q 3 8q p 4p 12
38x 9x 14
a 2a 57. b 3b
1 2 x 43. 6 x 2
23 6x 34x
xy 58. 6
1-3 EXPONENTES Si m es un entero positivo, entonces am (léase a a la potencia m o la m-ésima potencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Por lo que am a a a a En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo, 24 2 2 2 2 16 35 3 3 3 3 3 243
(cuatro factores de 2) (cinco factores de 3)
En la expresión am, m se llama la potencia o exponente y a la base. Así en 24 (la cuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35, 3 es la base y 5 el exponente. Esta definición de am cuando el exponente es un entero positivo es válida para todos los valores reales de a. Observe el patrón en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en orden decreciente. Tratemos de completar la tabla. Observe que cada vez que el exponente disminuye en 1, el número de la derecha se divide entre 5.
18
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la división entre 5 con cada reducción del exponente. De esta manera llegamos a las igualdades siguientes: TABLA 1 54 53 52 51 50 51 52 53 54
625 125 25 5 ? ? ? ? ?
51 5
1 1 51 5 51
50 1
1 1 52 25 52
1 1 53 125 53
1 1 54 625 54
Este patrón en forma natural nos conduce a la definición siguiente de am, en el caso de que el exponente m sea cero o un número negativo. DEFINICIÓN Si a 0, entonces a0 1 y si m es un entero positivo cualquiera (de modo que m es un entero negativo),
☛ 10. Evalúe (a)
(15)0
(b) (12)3
1 am a m
1, (5) 1, etc. Asimismo,
3 Por ejemplo, 40 1, 7
1 1 34 4 3 81
0
0
y
1 1 1 (2)5 5 (2) 32 32
☛ 10
De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denominadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuación.
Propiedad 1 am an amn
Esto es, cuando dos potencias de una base común se multiplican, el resultado es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado vale para cualquier número real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, requerimos que a 0. EJEMPLO 1 (a) 52 53 523 55 Podemos verificar que esto es correcto desarrollando las dos potencias del producto. Respuesta (a) 1 (b) –23 8
52 53 (5 5) (5 5 5) 5 5 5 5 5 55
SECCIÓN 1-3 EXPONENTES
19
☛ 11. Simplifique (a) 43 · 45 (b) x4 · x6 · x2
Respuesta (a) (b) 1
(b) x5 x3 x5(3) x2 De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias.
1 2 x5 x3 (x x x x x) x x x x x x ☛ 11
1 16
Propiedad 2 m mn a an a
(a 0)
Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultado es igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que está en el numerador y el exponente del denominador. EJEMPLO 2 ☛ 12. Simplifique
57 (a) 53 573 54 3 4 3(2) 432 45 (b) 42 4 32 32 21 33 (c) 3 3 1 3 x2 x4 x24 24(3) x1 x (d) 3 x3 x x
(a) (b) x4 (x6 x2) 33
32
Respuesta (a) 35 243 (b) x8
☛ 12
Propiedad 3 (am)n amn
(a 0, si m o n es negativo o cero)
Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al producto de los dos exponentes. EJEMPLO 3 (a) (33)2 33 2 36 ☛ 13. Simplifique
Podemos comprobar que esto es correcto, dado que
(a) 33 (32)2 (b) (x 4)4 (x3)3
(33)2 33 33 333 36 (b) (42)4 4(2)(4) 48 (c) x5(x2)1 x5 x(2)(1) x5 x2 x52 x7
Respuesta (a) 31 13 (b) x7
20
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
(x2)2 x(2)(2) x4 (d) x44 x8 (x2)2 x(2)(2) x4 1 (e) p (xp)1 x(p)(1) xp ☛ 13 x
En una expresión, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si necesitamos que la base sea 3c, debemos encerrarla entre paréntesis y escribir (3c)5. Por ejemplo 3 23 3 8 24, no es lo mismo que (3 2)3 63 216. En caso de que la base es un producto, tenemos la propiedad siguiente.
Propiedad 4 (ab)m ambm ☛ 14. Evalúe (a) 2 23 y (2 2)3 (b) 3 22 y (3 2)2
(ab 0 si m 0)
Esto es, el producto de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al producto de las m-ésimas potencias de los dos números. ☛ 14 EJEMPLO 4 (a) 64 (2 3)4 24 34 (b) (x2y)4 (x2)4y4 x8y4 (c) (3a2b3)2 32(a2)2(b3)2 9a4b6
Respuesta (a) 16 y 64 (b) 3 y 1 4
36
(xy3)2 x2(y3)2 x2 y6 x2y6 (d) x2(8)y6(4) x6y2 2 4 2 4 4 8 4 (x y) (x ) y x8 y4 x y
Propiedad 5
ab
m
am bm
(b 0 y a 0 si m 0)
Es decir, el cociente de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al cociente de las m-ésimas potencias de tales números. EJEMPLO 5 ☛ 15. Simplifique (a) 33 (3x)2
x4 (b) 2
2
(4x2)2
x x (b) x y 32 y y y y y (c) x x x x y xy . x (x ) x 3 (a) 2
4
4
5
5
4
2
3
5 5
5
3
2
2
2 2
3
2 4
3(4) 2
7 2
☛ 15
EJEMPLO 6 Simplifique las siguientes expresiones, eliminando paréntesis y exponentes negativos. 3 Respuesta (a) 2 x (b) 4x4
(ax)5 (a) x 7 (d) (x1 y1)1
(x2)2 (b) 2 (x z3)3 x1 y1 (e) (xy)1
(c) x4(2x 3x2)
Solución (ax)5 a5x5 (a) a5x5(7) a5x12 x 7 x7 SECCIÓN 1-3 EXPONENTES
21
☛ 16. En el ejemplo 6(d) sería
(x2)2 x(2)(2) x4 1 (b) 2 3 3 2 3 3 3 (x z ) (x ) (z ) x6z9 x10z9
incorrecto por completo escribir (x1 y1)1 (x1)1 (y1)1 x y. ¿Puede ver por qué esto es incorrecto? Intente con dos valores para x y y, tales como 2 y 4.
Observe que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en el denominador. (c) x4(2x 3x2) x4(2x) x4(3x2) 2x41 3x42 2x5 3x2 (d) Primero debemos simplificar la expresión dentro de los paréntesis. El denominador común es xy. yx x 1 1 y x1 y1 xy x y xy xy Ahora, recuerde que el recíproco de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador, de modo que
yx (x1 y1)1 xy
1
xy yx
x1 y1 x1 y1 x1 y1 1 1 (e) yx 1 1 1 1 1 1 (xy) x y x y x y1 y1 x1 Solución alterna x1 y1 (x1 y1) xy (xy)1 x1 xy y1 xy 1y1xyx
(propiedad distributiva) ☛ 16
EJERCICIOS 1-3 (1-61) Simplifique las siguientes expresiones. No use paréntesis o exponentes negativos en la respuesta final. 1. (25)2
2. (34)3
3. (a3)7
4. (x4)5
5.
(x2)5
7. y2 y5 9. a3 a5 11. (3x)2x7
6.
(x5)2
8. x7 x4 10. b2 b6
15. (x2yz)3(xy)4
12. (4x)2x4 x3 14. (4x1)2 2 16. (3yz2)2(y3z)3
17. (x2y)2
18. (ab3)1
13. (2x)2(2x1)3
22
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
19. (xy2z3)1(xyz)3
20. (x2pq2)2(xp2)1
(24)2 21. 42
(33)2 22. 35
1 23. 3
2
34
15 5 3
24.
2
x5 25. 2 x
y3 26. 7 y
(x2)3 27. x4
z8 28. 24 (z )
(a2)6 29. 4 (a )3
(b7)2 30. 3 (b )3
(x3)2 31. (x)3
(y1)3 32. (y2)2
(x2y)3 33. (xy)2
(ab2)1 34. a2b1
49. (xy)1(x1 y1)1
(2xy)3 35. 3 xy
(ab2c)1 36. a2bc1
7 51. x
(3x)2 37. 3x2
(2x2y)1 38. (2x2y3)2
(2a1b2)2 39. 3 (a b)3
(x3y4)3 40. 2 (3x y2)2
41. x2(x4 2x)
42. x3(x1 x)
43. 2x(x5 3x1)
44. 3x2(x4 2x3)
134x 23x
2
50. (a2 b2)1
6 52. x3 5x
1
1 2x
3y 2 53. 3 10x 15xy
5 2 54. 12x3 15x2
1 1 55. 2x2 3x2
1 1 56. 4y4 3y4
x3y 4 6 57. 3 4 x y
45. x4(2x2 x 3x2)
46. 2x3(x5 3x4 x)
x 59. y5 2xy 2 3y
47. (21 x1)1
48. [(2x)1 (2y)1]1
61. x1 (x x1)1
2
x3 x 58. 5 4x 6x 60.
2x x x2 5x1 1
2
2
1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS Hemos definido am cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definición al caso en que m es un número racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta extensión en tal forma que las propiedades 1 a 5 de la sección 1-3 continúen siendo válidas aun en el caso de que m y n no sean enteros. En primer término consideraremos la definición de a1/ n cuando n es un entero distinto de cero. Para que la propiedad 3 continúe vigente cuando m 1/n, debe ser válido que (a1/ n)n a(1/ n)n a1 a De este modo, si hacemos b a1/n, es necesario que bn a. EJEMPLO 1 (a) 81/3 2 ya que 23 8 (b) (243)1/5 3 ya que (3)5 243 En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta definición de a1/n. Por ejemplo, sea n 2 y a 4. Entonces, b 41/ 2 si b2 4. Pero hay dos números cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b 2 y b 2. De modo que necesitamos decidir qué entenderemos cuando escribamos b 41/ 2. En realidad, definiremos 41/ 2 como 2. En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b a1/ 2 si b2 a. Sin embargo, el cuadrado de cualquier número negativo (positivo, negativo o cero) nunca es negativo. Por ejemplo, 42 16 y (3)2 9 son positivos. En consecuencia b2 nunca es negativo para cualquier número real b, de modo que cuando a 0, a1/ 2 no existe en los números reales. Así, (1)1/ 2 o (34)1/ 2 carecen de sentido como números reales. Adoptaremos la siguiente definición. SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS
23
☛ 17. Evalúe lo siguiente, si existen: (a)
(27)1/3
(b) (64)1/6 (c) 32 5
(d) (116 )1/4 (e) 729 6
(f) 1 101
DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un número real no negativo, entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a, si bn a y b 0. Así, la n-ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a la n-ésima potencia, da el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b a1/n. Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un número real cualquiera, entonces b es la n-ésima raíz de a si bn a, expresada una vez más como a1/n. Es decir b a1/n si bn a;
b 0 si n es par.
Las raíces impares están definidas para todos los números reales a, pero las raíces pares sólo están definidas cuando a no es negativo.
EJEMPLO 2 (a) 321/5 2 porque 25 32 (b) (216)1/3 6 ya que (6)3 216 (c) 161/4 2 porque 24 16 y 2 0 (d) (729)1/6 3 ya que 36 729 y 3 > 0 (e) 11/n 1 para todo entero positivo n, porque 1n 1 (f) (1)1/n 1 para todo entero positivo impar n, debido a que (1)n 1 cuando n es impar. (g) (81)1/4 no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ésimas cuando n es impar.
El símbolo a también se utiliza en lugar de a1/n. El símbolo se denon mina signo radical y a a menudo se llama radical. Cuando n 2, a1/2 se denota 2 simplemente por a más que por a: y se le llama la raíz cuadrada de a. Tam3 4 bién, a a1/3 es la tercera raíz de a, y por lo regular se le llama raíz cúbica, a a1/4 es la raíz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formular utilizando esta notación: n
5
(b) 216 6
6
(e) 1 1 para n un entero positivo
(a) 32 2 (d) 729 3
3
4
(c) 16 2
n
n
(f) 1 1 para n un entero positivo impar 4
(g) 81 no existe ☛ 17 Respuesta (a) –3; (b) 2; (c) –2; (d) y (e) no existen; (f) –1.
24
Ahora estamos en posición de definir am/n para un exponente racional m/n.
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
DEFINICIÓN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un número real. Entonces. am/n (a1/n)m Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es la m-ésima potencia de la raíz n-ésima de a. Observación Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no debe ser cero. EJEMPLO 3 (a) 93/2 (91/2)3 33 27 (b) 41/2 (41/2)1 21 12 (c) 163/4 (161/4)3 23 18 De la parte (b) del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente: 1 a1/n n a Esto se sigue dado que 1 a1/n (a1/n)1 1/n a TEOREMA Si am/n existe, entonces am/n (am)1/n Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es igual a la raíz n-ésima de la m-ésima potencia de a. Este teorema, el cual no demostraremos, ofrece un método alternativo para calcular cualquier potencia fraccionaria. EJEMPLO 4 (a) 163/4 (161/4)3 23 8, o 163/4 (163)1/4 (4096)1/4 8 (b) 363/2 (361/2)3 63 216, o 363/2 (363)1/2 (46,656)1/2 216 Observación Si m/n no está en su mínima expresión, entonces (am)1/n puede existir mientras que am/n no. Por ejemplo, sea m 2, n 4 y a 9. Entonces, (am)1/n [(9)2]1/4 811/4 3 pero am/n (9)2/4 [(9)1/4]2 no existe. Según los ejemplos 3 y 4, es claro que cuando evaluamos am/n, es más fácil primero extraer la raíz n-ésima y después elevar a la m-ésima potencia; de esa manera
SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS
25
☛ 18. Simplifique (a) 31/3 32/3 (b)
31/3
(32/3)2
(c)
(x1/2)3
x
(d) (x1/3)1/2 x7/6
x (e) (8x)2/5 4
3/5
trabajamos con números más pequeños. En otras palabras, en la práctica calculamos am/n usando la definición (a1/n) en lugar de (am)1/n. Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes, que se establecieron en la sección 1-3, también son válidas para exponentes fraccionarios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenunciemos estas leyes, ya que son muy importantes. Leyes de los exponentes: 1. am an amn
am 2. amn an
4. (ab)m ambm
a 5. b
m
3. (am)n amn
am bm
Al utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cualquier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el exponente contiene una raíz par, la base no debe ser negativa.
EJEMPLO 5 (a) 53 57/2 537/2 513/2 (b) 42 47/3 427/3 41/3 47/2 (c) 47/23/2 42 16 (4)3/2 91/2 (d) 2 91/2(2) 95/2 (91/2)5 35 243 9 x9/4 x9/44 x7/4 (e) x4 (f)
(53)7/6 53(7/6) 57/2
(g) (34/3)6/5 3(4/3)(6/5) 38/5 1 (h) am (am)1 para cualquier número racional m am (i)
(36)1/2 (4 9)1/2 41/2 91/2 2 3 6
(j)
(x2y)1/2 (x2)1/2y1/2 x2(1/2)y1/2 xy1/2
(k) (3a2/5b4)1/2 31/2(a2/5)1/2(b4)1/2 31/2a1/5b2 (l)
4
4
x (m) x/ y y Respuesta (a) 3 (b) 31 (c) x2 (d) x1 (e) x
26
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
(n)
4
ab (ab)1/4 a1/4b1/4 a b
8 27
2/3
1/2
x x1/2 1 y /2 y 1
4 82/3 (81/3)2 22 1 1/ 2 2 / 3 3 2 27 (27 ) 3 4 1 9
91 94
☛ 18
9 Encuentre m tal que 3m. 27 3
EJEMPLO 6
Solución Expresamos ambos lados como potencia de 3. 3 91/3 (32)1/3 32/3 9 3(2/3)3 37/3 3 3 3 3 33 27
7 Por tanto, m . 3 EJEMPLO 7
64 1/2 Evalúe: (a) 1 225 64x3 2/3 (b) 7
Solución
17 2 1 15 15 64x 4x 4x (b) 27 3 3 4x 1 3 (4x/3) 64 (a) 1 225
1/2
289 1/2 172 2 225 15 17 2 1/2 15 17 2 (1/2) 15
1/2
(por la ley 5) (por la ley 3)
1
3 2/3
3 3 2/3
3 2/3
3
2
2
(por la ley 5) (por la ley 3)
1 9 2 16x2/9 16x EJEMPLO 8
Simplifique la siguiente expresión 4p 27p/3 125p 62p 8p/3 93p/2 103p
Solución En expresiones tales como ésta, por lo general, conviene escribir todas las bases en términos de sus factores primos. 4p 27p/3 125p 62p (22)p (33)p/3 (53)p (2 3)2p 8p/3 93p/2 103p (23)p/3 (32)3p/2 (2 5)3p 22p 33p/3 53p 22p 32p 23(p/3) 32(3p/2) 23p 53p (22p 22p)(3p 32p) 53p (2p 23p)(33p) 53p 24p 33p 53p 1 24p 33p 53p
(por las leyes 3 y 5)
(combinando términos con bases iguales)
SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS
27
EJEMPLO 9
Simplifique (27 75)/2 12.
Solución Observe que los tres radicales en esta expresión pueden simplificarse factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los números.
27 9 3 9 3 33 75 25 3 25 3 53 12 4 3 4 3 23
☛ 19. Simplifique 3
3
(a) 4 16 3
3
(b) 3 (9)2
Por tanto,
(c) x 4
27 75 33 53 83 8 2 212 2(23) 43 4
x3
(d) x( 3x) x3
x 2x (b) 3 x Solución Exprese los radicales en términos de exponentes fraccionarios y luego utilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes.
EJEMPLO 10
Simplifique: (a) x( x3 x2) 3
(a) x( x3 x2) x1/2(x3/2 x2/3) x1/2 x3/2 x1/2 x2/3 x2 x7/6 3
x 2x x1/2 2x (b) 3 1 x /3 x (x1/2 2x)x1/3 x1/2 x1/3 2x1 x1/3
Respuesta (a) 4 (b) 31 (c) x (d) x2 3x
x1/6 2x2/3 ☛ 19
EJERCICIOS 1-4 (1-6) Encuentre m tal que las siguientes proposiciones sean verdaderas. 3 2 3 1. 82 2m 2. 2m 8 3 2 3 3. 8 2m 4. 33 3 3m
5.
2 4m
2 2m
6.
4
9.
1 9 16
5
11. 32
3
8. 27 10.
3 3
3 8
3
12. 0.1 25
13. ( 3 )2
14.
15. (81)3/4
16. (287 )4/3
28
18. (0.16)3/4
19. 0.1252/3
20. 0.00163/4
21. (93 163/2)1/6
22. 93/4 31/2
23. 164/5 82/5
24. 251/3(15)4/3
25. (27)2/3 (16)1/4
26. (316 )1/8 (6)5/4
3
(7-26) Evalúe las siguientes expresiones. 7. 81
17. (0.16)1/2
(25)2
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
(27-56) Simplifique las siguientes expresiones.
27. (16x4)3/4
27x3 28. 64
29. (32x5y10)1/5
30.
4
2/3
287ab 3
3
3
/2 31. x3/2 6 1 x1
32. (x1/3 x2/5)3
33. (x1/2 x1/3)2
34. (16x4)1/2 (8x6)1/3
a4/9b3/4 36. a2/9b1/2
x3/7 y2/5 35. x1/7 y1/5
p1/5q2/5 37. p3/5q2/5
10
a 50. a2/3 b5/7 b
(x2y)1/3(xy)1/4 38. (xy2)1/12
x2/3 2x5/2 39. 3 / 4 3y2/5 y
40. (2x2y)1/5(41xy2)2/5
41. 345 20
42. 224 54
43. 218 32
82 48 44. 32
(xab)2(yab)2 52. (xy)2ab
xx
xa c x b 53. b xc x
a
c b a
(27)2n/3 (8)n/6 55. (18)n/2
xab xbc xca 54. 2 2 x2a xb xc
28m 35m 103m 56. 85m/3 49m 252m
57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas.
224 46. 112 63 28 3
a11/24 b23/56
23m 32m 5m 6m 51. 8m 93m/2 10m
45. 63 175 4112
20 50 47. 220 5 125
7/8
a. 5 2 3
b. 8 2 2
c. 21 7 3
d. ( 3 )2 3
e. 9 3
f. a2 a
para todo real a
b2 a b si a 0 y b 0 g. a2
3
48. 216 54
am i. am/n an
h. am an amn
1 49. a2/3 a3/4 (a2)1/6 (a1/12)5
j.
a a1/6 3
k. a2 a si a 0
3
1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS Cantidades del tipo 2x2 3x 7, 5y3 y2 6y 2 y 2x 3/y 4 se denominan expresiones algebraicas. Los bloques de construcción de una expresión algebraica se llaman términos. Por ejemplo, la expresión 2x2 3x 7 tiene tres términos, 2x2, 3x y 7. La expresión x2y/3 y/x tiene dos términos, x2y/3 y y/x. En el término 2x2, el factor 2 se denomina el coeficiente numérico (o simplemente el coeficiente). El factor x2 se denomina la parte literal del término. En el término 3x, el coeficiente es 3 y la parte literal x. En el término x2y/3, el coeficiente es 13 y la parte literal es x2y. El término 7 no tiene parte literal y se llama término constante. El coeficiente es 7. Una expresión algebraica que contiene un solo término se denomina monomio. Una expresión que contiene exactamente dos términos se llama binomio y la que contiene precisamente tres términos se denomina trinomio. Los siguientes son unos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos. 5y2,
Monomios:
2x3,
Binomios:
2x 3,
Trinomios:
5x2 7x 1,
7/t,
3x2 5/y,
3,
2xy/z
6x2y 5zt
2x3 4x 3/x,
6y2 5x t
En general, una expresión que contiene más de un término se denomina multinomio.
SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS
29
Adición y sustracción de expresiones Cuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la misma forma, 4x 3x 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva, dado que 4x 3x (4 3)x 7x Si compara lo anterior con la sección 1-1 verá que aquí utilizamos la ley distributiva “hacia atrás”, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumar cualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemente sumamos los dos coeficientes numéricos. EJEMPLO 1 (a) 2x 9x (2 9)x 11x (b) 4ab 3ab (4 3)ab 7ab
2x x x 1 x 1 x 5 x 5x (c) 2 2 y 2y y 2 y 2 y 2 y 2y Dos o más términos de una expresión algebraica se dice que son semejantes si tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, 2x2y y 5yx2 son semejantes dado que sus partes literales, x2y y yx2, son iguales. De manera similar, los tres términos 3x2yz3, 7x2z3y y z3x2/2 son términos semejantes. En general, dos términos semejantes sólo pueden diferir en sus coeficientes numéricos o en el orden en que aparecen las variables. Dos o más términos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propiedad distributiva, como se ilustró en el ejemplo 1. A continuación se presentan ejemplos adicionales. EJEMPLO 2 (a) 2x3 7x3 (2 7)x3 5x3 (b) 5x2y 3x2y 2yx2 (5 3 2)x2y 4x2y
☛ 20. Simplifique las siguientes expresiones: (a) 2ab2 4ab2a (b) x3 2x (2x3 2x)
Los términos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acaba de verse. Así, los términos en la expresión 2x2 5xy no pueden combinarse para dar un término individual. Cuando sumamos dos o más expresiones algebraicas, reagrupamos los términos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. ☛ 20 EJEMPLO 3
Sume 5x2y3 7xy2 3x 1 y 6 2x 4xy2 3y3x2.
Solución La suma requerida es 5x2y3 7xy2 3x 1 (6 2x 4xy2 3y3x2) Respuesta (a) 2ab2
30
(b) –x3 4x
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
5x2y3 7xy2 3x 1 6 2x 4xy2 3x2y3
Reagrupando los términos, de tal manera que los términos semejantes estén agrupados juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente: 5x2y3 3x2y3 7xy2 4xy2
3x 2x
16
(5 3)x2y3
(7 4)xy2 (3 2)x (1 6)
8x2y3
(3)xy2
1x
5
8x2y3
1
3xy2
x
5
EJEMPLO 4
Reste 3x2 5xy 7y2 a 7x2 2xy 4y2 6
Solución En este caso, buscamos 7x2 2xy 4y2 6 (3x2 5xy 7y2) Después de suprimir los paréntesis, cada término dentro de los paréntesis cambia de signo. En consecuencia, la expresión anterior es equivalente a la siguiente: 7x2 2xy 4y2 6 3x2 5xy 7y2dddd 7x2 3x2 2xy 5xy 4y2 7y2 6 (7 3)x2 (2 5)xy (4 7)y2 6
4x2
3xy
(3)y2
6
4x2
3xy
3y2
6
Multiplicación de expresiones La expresión a(x y) denota el producto de a y x y. Para simplificar esta expresión suprimimos los paréntesis y multiplicamos cada término dentro del paréntesis por el número que está afuera; en este caso a: a(x y) ax ay Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este método funciona siempre que una expresión algebraica se multiplique por cualquier monomio. EJEMPLO 5 ☛ 21. Simplifique las expresiones siguientes eliminando los paréntesis: (a) 3(x – 2) x(x – 3) (b) x3 – 2x – 2x(x2 – 1)
(a) 2(x 3y 7t2) (2)x (2)(3y) (2)(7t2) 2x 6y 14t2 (b) x2y(x2 3x 5y3) x2y x2 x2y 3x x2y 5y3 x4y 3x3y 5x2y4 ☛ 21 Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad distributiva puede usarse más de una vez con el fin de suprimir los paréntesis. Consideremos el producto (x 2)(y 3). Podemos emplear la propiedad distributiva para quitar los primeros paréntesis.
Respuesta (a) x2 – 6 (b) –x3
(x 2)(y 3) x(y 3) 2(y 3) SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS
31
Para ver esto, sólo haga que y 3 b. Entonces (x 2)(y 3) (x 2)b x b 2 b x(y 3) 2(y 3) En general, las propiedades distributivas de la sección 1-1 funcionan con a, b, c reemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedades de los números reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los paréntesis restantes. x(y 3) xy x 3 xy 3x asimismo 2(y 3) 2y 2 3 2y 6
☛ 22. Utilice la propiedad distributiva (o método de los arcos) para eliminar los paréntesis: (a) (x 2)(x 3) (b) (x2 2)(x2 – 2)
Por tanto (x 2)(y 3) xy 3x 2y 6. En la figura 2 los cuatro términos (productos) de la derecha pueden obtenerse multiplicando cada uno de los términos de los primeros paréntesis sucesivamente por cada uno de los términos de los segundos paréntesis. Cada término de los primeros paréntesis está unido por un arco a cada término de los segundos paréntesis, y el producto correspondiente también aparece. Los cuatro productos dan entonces el desarrollo completo de la expresión. ☛ 22
FIGURA 2
También pudimos haber hecho lo anterior con el método PIES de multiplicación de dos expresiones binomiales. (PIES se establece por “Primeros, Internos, Externos, Segundos”). Eso es equivalente al método de los arcos descrito aquí. Sin embargo, el método de arcos es mucho mejor, ya que puede utilizarlo para multiplicar cualesquiera dos multinomios. EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x 4)(6x2 5x 2). (Esto significa suprimir los paréntesis). Solución Usamos la propiedad distributiva:
Respuesta (a) x2 5x 6 (b) x4 – 4
32
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
(3x 4)(6x2 5x 2) 3x(6x2 5x 2) 4(6x2 5x 2) (3x)(6x2) (3x)(5x) (3x)(2) (4)(6x2) (4)(5x) (4)(2) 18x3 15x2 6x 24x2 20x 8 18x3 15x2 24x2 6x 20x 8 (agrupando términos semejantes) 3 18x (15 24)x2 (6 20)x 8 18x3 39x2 26x 8
FIGURA 3
De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cada término en el primer paréntesis con cada término dentro del segundo. En este caso, existen seis de tales arcos, lo que da lugar a seis productos en la expansión en el lado derecho. (Figura 3). EJEMPLO 7
Simplifique 3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]}.
Solución Con objeto de simplificar una expresión en la cual intervienen más de un conjunto de paréntesis, siempre empezamos con los paréntesis que están más adentro. 3{5x[2 3x] 7[3 2(x 4)]} 3{5x[2 3x] 7[3 2x 8]} 3{10x 15x2 21 14x 56} 3{15x2 10x 14x 21 56} 3{15x2 4x 77} 45x2 12x 231 Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuencia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente, consideremos el producto (x a)(a b). (x a)(x b) x(x b) a(x b) x2 bx ax ab x2 (b a)x ab Por tanto, (x a)(x b) x2 (a b)x ab
(1)
EJEMPLO 8 (a) Tomando a 2 y b 7 en la ecuación (1), tenemos que (x 2)(x 7) x2 (2 7)x 2 7 x2 9x 14 (b) (x 3)(x 2) (x 3)(x (2)) x2 [3 (2)]x 3(2) x2 x 6
SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS
33
En la ecuación (1), si reemplazamos b por a, obtenemos (x a)(x a) x2 (a a)x a a o bien (x a )2 x2 2ax a2
(2)
Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio. El cuadrado de la suma de dos términos es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos más el doble de su producto. EJEMPLO 9 (a) (2x 7)2 (2x)2 2(2x)(7) 72 4x2 28x 49
(3x) 2(3x)4y 4y 9x 24yx 1y6
4 (b) 3x y
2
2
2
2
2
Si reemplazamos a por a en la fórmula (2), obtenemos otra fórmula. (x a)2 x2 2ax a2
(3)
Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos términos como la suma de los cuadrados de los dos términos menos el doble de su producto. Por último, si reemplazamos b por a en la ecuación (1), obtenemos (x a)(x a) x2 (a a)x a( a) x2 0x a2 En consecuencia, tenemos que (x a)(x a) x2 a2
(4)
Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos términos es la diferencia de los cuadrados de los dos términos. ☛ 23. Utilice las fórmulas
EJEMPLO 10
estándar (1)-(4) para eliminar los paréntesis: (a) (x 2)(x 3) (b) (x2 y)(x2 y) (c) (x x1)2
(a) (2x 3)(2x 3) (2x)2 32 4x2 9 (b) (3 2)(3 2) (3)2 (2)2 3 2 1 (c) (3x 4y)(3x 4y) (3x)2 (4y)2 9x2 16y2 ☛ 23
División de expresiones En el teorema 6 de la sección 1-2 vimos que la ley distributiva se extiende a la división y tenemos las expresiones generales siguientes. Respuesta (a) x2 x 6 (b) x4 y2 (c) x2 2 x2
34
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
ab a b c c c
Esta propiedad es útil cuando dividimos una expresión algebraica entre un monomio, dado que nos permite dividir cada término por separado entre el monomio. EJEMPLO 11 2x2 4x 2x2 4x (a) x 2 2x 2x 2x Observe que dividimos cada término entre el factor común 2x. 2x3 5x2y 7x 3 (b) x2
2x3 5x2y 7x 3 2 2 x x2 x2 x 7 3 2x 5y 2 x x
25t3 12t2 15t 6 6 25t3 12t2 15t (c) 3t 3t 3t 3t 3t 25t2 2 4t 5 3 t
En una fracción, el número o expresión algebraica del numerador a menudo se denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que está siendo dividida) y el número o expresión por la que es dividido se llama divisor. En la parte (b) del ejemplo 11, 2x3 5x2y 7x 3 es el dividendo y x2 es el divisor, mientras que en la parte (c), 25t3 12t2 15t 6 es el dividendo y 3t el divisor. Cuando queremos dividir una expresión algebraica entre un divisor que contiene más de un término, con frecuencia usamos un procedimiento denominado división larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que sólo contienen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se conocen por polinomios). EJEMPLO 12
Divida 23 11x2 2x3 entre 2x 3.
Solución Aquí 23 11x2 2x3 es el dividendo y 2x 3 es el divisor. Antes de que empecemos la división, los términos en el dividendo y en el divisor deben arreglarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero las potencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x3 11x2 0x 23.
Divisor
→
x2 4x 6 ← Cociente 2x 3 2 x3 11 x2 0 x 23 ← Dividendo 2x3 3x2 8x2 0x 23 8x2 12x 12x 23 12x 18 5 ← Residuo
SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS
35
☛ 24. Por medio de la división larga, simplifique (3x2 11x 4) (x 3).
Los detalles de la división larga se acaban de mostrar y se explican de la manera siguiente: en primer lugar, dividimos 2x3 (el primer término en el dividendo) entre 2x (el primer término en el divisor), obteniendo 2x3/2x x2. Esto da el primer término del cociente. Multiplicamos el divisor, 2x 3, por el primer término del cociente, x2, para obtener 2x3 3x2. Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia 8x2 0x 23. Para obtener el siguiente término del cociente, dividimos el primer término de esta diferencia, 8x2, entre 2x, el primer término del divisor. Esto da 8x2/2x 4x, el cual se convierte en el segundo término del cociente. Multiplicamos otra vez el divisor por este segundo término, 4x, con lo que obtenemos 8x2 12x; restamos esto a 8x2 0x 23, los cuales nos dan la siguiente diferencia, 12x 23. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos una diferencia cuya máxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor. Llamamos a esta última diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en la forma 2x3 11x2 23 5 x2 4x 6 2x 3 2x 3
Respuesta Cociente 3x 2 Residuo 2
☛ 24
En general, tenemos
Residuo Dividendo Cociente Divisor Divisor
Observación Esta forma de escribir el resultado de la división larga es la misma que usamos en aritmética. Por ejemplo, consideremos la fracción 627/23, en la cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por división larga ordinaria encontramos que el cociente es 27 y el residuo es 6.
Divisor
→
27 ← Cociente 23 627 ← Dividendo 46 167 161 6 ← Residuo
Por tanto, escribimos 627 6 27 23 23 Ahora, en lugar de dividir 627 entre 23, intente dividir 6x2 2x 7 entre 2x 3. Cuando x 10 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de 2x 7 y un residuo de 6. La división algebraica larga es un reflejo de la división aritmética. Si multiplicamos ambos lados de este cálculo por 23, obtenemos el resultado 627 (27 ⋅ 23) 6
36
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
☛ 25. Verifique si es correcta la
Éste es un ejemplo del resultado general
siguiente división larga:
Dividendo (Cociente)(Divisor) Residuo
3x2 3x 10 4 3x 3 x2 x2 Respuesta Debe verificar que 3x2 – 3x – 10 (3x 3)(x – 2) 4. Esto no es correcto. (El residuo debe ser –4).
Éste es un resultado útil, porque nos permite verificar la respuesta de cualquier división larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo 12. 2x3 11x2 23 (x2 4x 6)(2x 3) 5 Dividendo (Cociente)(Divisor) Residuo
☛ 25
EJERCICIOS 1-5 (1-56) En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indicada y simplifique. 1. (5a 7b 3) (3b 2a 9)
3. (2a 5b) (3a 2b)
5.
6t 1) (3t
4
24. (y2 2)(y2 2) 25. (2t 5x)(2t 5x)
4. (4xy 5x2y 6x3) (3y3 6xy2 7xy x3 2x2y) 5t2
22. (a 2b)(a2 2ab b2) 23. (x 4)(x 4)
2. (3x2 5x 7) ( 2 6x 7x2 x3)
(7t2
21. (x 3)(2x2 5x 7)
t3)
26. (a b)(a b) 27. (x 3y)(x 3y)
6. (x2 3xy 4y2) (2x2 xy 3y2 5)
28. (5x 2y)(5x 2y)
7. (2x 2y) (x 22y)
29. (x y z)(x y z)
8. (5xy 3) (2 4xy )
30. (x 2y z)(x 2y z)
9. 4(2x 3y) 2(5y 3x) 10. 2(x 4y) 3(2x 3y) 11. (x 7y) 2(2y 5x) 12. 3(x2 2xy y2) (2xy x2 2y2) 13. x(2x2 3xy y2) y(5x2 2xy y2) 14. a2b(a3 5ab b3) 2ab(a4 2a2b b3a) 15. (x 3)(y 2) 16. (x 4)(y 5) 17. (2x 1)(3y 4)
31. (x2 1)(x3 2) 32. (y2 2y)(y3 2y2 1)
x 2y 34. 2xy xy y x 1 33. x2 (x3 2x) x 2
35. (y 6)2 36. (x 5)2 37. (2x 3y)2 38. (4x 5y)2 39. (2x 3y)2
18. (5x 2)(2y 5)
40. (x 2y)2
19. (a 2)(3a 4)
41. (2x 3y)2 (2x 3y)2
20. (x 3y)(2x y)
42. 3[(x y)2 (x y)2]
SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS
37
43. xy[(x y)2 (x y)2]
t3 2t2 3t 1 54. tt
44. (3a b)2 3(a b)2
6x2y 8xy2 x3y2 2x2y3 55. 2 x y2 2xy
45. 3{x2 5[x 2(3 5x)]} 46. 2{a2 2a[3a 5(a2 2)]} 7a2 3a 6
3x4 9x2y2 4x3 8xy2 56. 3 3x y 2x2y
47. 2a{(a 2)(3a 1) [a 2(a 1)(a 3)]}
(57-64) Simplifique por medio de la división larga:
48. (a 3b)(a2 3ab b2) (a b)2(a 2b)
57. (x2 5x 6) (x 2)
4x3 3x2 49. 2x
58. (6x2 x 1) (3x 1) 59. (t2 1) (t 1)
15x5 25x3 50. 5x2
60. (6x2 5x 1) (2x 3)
x3 7x2 5x 4 51. x2
61. (x3 2x2 x 5) (x 2) 62. x3 (x 1)
y4 6y3 7y2 9y 3 52. 3y2
63. (2x3 3x2 4x 6) (2x 1)
t2 2t 7 53. t
64. (6x3 11x2 19x 5) (3x 2)
1-6 FACTORIZACIÓN Si el producto de dos enteros a y b es c, es decir, c a b, entonces a y b se llaman factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si a divide exactamente a c. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6; 2, 3, 4 y 6 son factores de 12; etcétera. Esta terminología también se emplea para expresiones algebraicas. Si dos (o más) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto. Por ejemplo, la expresión 2xy se obtuvo multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de 2xy. Más aún, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy ya que 2xy puede obtenerse multiplicando 2y por x. De manera similar, x es un factor de la expresión 2x2 3x puesto que podemos escribir 2x2 3x x(2x 3) y x2 es un factor de 6x2 9x3 ya que podemos escribir 6x2 9x3 x2(6 9x). El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se llama factorización de la expresión. En esta sección, examinaremos ciertos métodos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas. La primera etapa en la factorización de una expresión algebraica es extraer todos los monomios que sean comunes a todos los términos. El siguiente ejemplo ilustra esto. EJEMPLO 1 nes.
Factorice todos los monomios comunes de las siguientes expresio-
(a) x2 2xy2 (b) 2x2y 6xy2 (c) 6ab2c3 6a2b2c2 18a3bc2
38
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
☛ 26. Saque todos lo factores
Solución
comunes de (a) 12ab – 8a2b (b) 4xyz – 6x2z 12xy2 (c) x(3x – 1)2 –y(3x – 1)2
(a) Escribamos cada término en la expresión dada en términos de sus factores básicos. x2 x x
2xy2 2 x y y
Si observamos las dos listas de factores básicos, advertimos que x es el único factor común a ambos términos. De modo que escribimos x2 2xy2 x x x 2y2 x(x 2y2) Notemos cómo la propiedad distributiva se utiliza para extraer el factor común, x. (b) Expresando cada término en términos de sus factores básicos, tenemos 2x2y 2 x x y
y
6xy2 2 3 x y y
Los factores 2, x y y, aparecen en ambas listas, por lo que el factor común es 2xy. Esto da 2x2y 6xy2 2xy x 2xy 3y 2xy(x 3y) de nuevo, por medio de la propiedad distributiva. (c) Primero factorizamos los términos: 6ab2c3 2 3 a b b c c c 6a2b2c2 2 3 a a b b c c 18a3bc2 2 3 3 a a a b c c El factor común de estos tres términos es 2 3 a b c c 6abc2. Respuesta (a) 4ab(3 – 2a) (b) 2x(2yz 3xz 6y2) (c) (3x – 1)2(x – y)
6ab2c3 6a2b2c2 18a3bc2 6abc2 bc 6abc2 ab 6abc2 3a2 6abc2(bc ab 3a2)
☛ 26
Ahora abordaremos el problema de extraer factores que son expresiones binomiales de expresiones algebraicas de diversos tipos. Algunas de las fórmulas establecidas en la sección 1-5 son útiles en la factorización, en particular la fórmula siguiente. a2 b2 (a b) (a b)
(1)
Esta fórmula puede usarse para factorizar cualquier expresión que sea reducible a la diferencia de dos cuadrados. EJEMPLO 2
Factorice completamente: (a) x2y4 9 (b) 5x4 80y4
Solución (a) La expresión dada puede escribirse como (xy2)2 32 SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN
39
que es una diferencia de dos cuadrados. Usando la fórmula (1) con a xy2 y b 3, tenemos x2y4 9 (xy2)2 32 (xy2 3) (xy2 3) Ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse aún más. (b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algún monomio de 5x4 80y4. En este caso, dado que el término es divisible entre 5, sacamos el factor común 5. 5x4 80y4 5(x4 16y4) La expresión x4 16y4 es una diferencia de cuadrados. 5x4 80y4 5[(x2)2 (4y2)2] 5[(x2 4y2)(x2 4y2)] 5[(x2 4y2)(x2 4y2) La factorización no está completa, porque x2 4y2 x2 (2y)2 puede factorizarse como (x 2y)(x 2y). En consecuencia, nos falta un paso. ☛ 27. Utilice la fórmula de la
5x4 80y4 5(x2 4y2)(x2 4y2)
diferencia de cuadrados, para factorizar 2x2 – 4.
5(x 2y)(x 2y) (x2 4y2)
☛ 27
Observaciones 1. La fórmula (1) nos permite factorizar cualquier expresión que tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una fórmula correspondiente para expresar la suma a2 b2 como el producto de dos o más factores. Una expresión que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a2 b2 o 4x2 9y2, no puede factorizarse. Sin embargo, expresiones tales como a3 b3, a4 b4, etc., que contienen la suma de dos potencias más altas pueden factorizarse. Esto se examinará después. 2. Podemos escribir x2 2 x2 (2)2 (x 2)(x 2) Por lo regular es aceptable incluir números irracionales (como 2) en los factores. Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a x como factores. Por ejemplo, como regla no escribiremos x 4 (x)2 22 (x 2) (x 2)
Respuesta (2x 2)(2x 2) o 2(x 2)(x 2)
40
Una técnica útil al factorizar expresiones algebraicas que contienen un número par de términos es el método de agrupamiento. En este método, los términos se agrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de términos. Esto a menudo revela un factor binomial común a todas las parejas. Este método es en particular útil para expresiones que contienen cuatro términos.
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
EJEMPLO 3
Factorice ax2 by2 bx2 ay2.
Solución Podemos agrupar los términos de la expresión dada en aquellos que tienen a x2 como factor y en aquellos que tienen a y2 como factor: (ax2 bx2) (ay2 by2) Cada término dentro de los primeros paréntesis es divisible entre x2, y cada término en los segundos paréntesis es divisible entre y2; por tanto, podemos escribir esta expresión como x2(a b) y2(a b) Notemos que (a b) es común a ambos términos. Así, tenemos que x2(a b) y2(a b) (a b)(x2 y2) De aquí que la expresión dada tenga los factores (a b) y (x2 y2). EJEMPLO 4
Factorice la expresión 2x3y 4x2y2 8xy 16y2.
Solución Observemos en primer lugar que los términos de esta expresión tienen un monomio como factor común 2y, y podemos escribir 2x3y 4x2y2 8xy 16y2 2y(x3 2x2y 4x 8y) Dentro de los paréntesis, agrupamos juntos los primeros dos términos y extraemos el factor común x2; también agrupamos los dos últimos términos y sacamos el factor común 4. x3 2x2y 4x 8y x2(x 2y) 4(x 2y) 14243 1 424 3 x2 es común
4 es común
(x 2y) (x2 4) Observe que este mismo resultado pudo obtenerse agrupando el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto. x3 4x 2x2y 8y x(x2 4) 2y(x2 4) 14243 1 424 3 x es común 2y es común
(x2 4) (x 2y)
Regresando a la expresión original tenemos 2x3y 4x2y2 8xy 16y2 2y(x 2y)(x2 4) ☛ 28. Por agrupación, factorice la expresión x3 2x2 – 9x – 18.
Respuesta (x 2)(x2 – 9) (x 2)(x – 3)(x 3)
No es posible factorizar aún más las expresiones de la derecha, de modo que aquí termina la factorización. ☛ 28 Un tipo importante de factorización que aparece con frecuencia requiere hallar los factores de expresiones del tipo x2 px q SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN
41
donde p y q son constantes. A menudo, tales expresiones pueden escribirse como el producto de dos factores (x a) y (x b), donde a y b son dos números reales. Por ejemplo, puede comprobarse de inmediato que x2 3x 2 (en la cual p 3 y q 2) es igual al producto de x 1 y x 2: x2 3x 2 (x 1)(x 2) En este caso, a 1 y b 2. En general, si p y q están dados, deseamos encontrar a y b tales que x2 px q (x a )(x b). Pero vimos en la sección 1-5 que (x a)(x b) x2 (a b)x ab y, por tanto, x2 px q x2 (a b)x ab Estas dos expresiones son iguales con tal que a b p y ab q. De modo que, con el propósito de determinar a y b, debemos encontrar dos números cuya suma sea igual a p y su producto igual a q. En términos de la expresión original x2 px q, la suma a b es igual al coeficiente de x y el producto ab es igual al término constante. El procedimiento para encontrar a y b consiste en examinar todos los posibles pares de enteros cuyo producto sea igual a q. Seleccionamos entonces el par (si es que existe) cuya suma sea el coeficiente de x. EJEMPLO 5
Factorice x2 7x 12.
Solución Aquí p 7 y q 12. Debemos encontrar dos números a y b tales que el producto de a y b sea 12 y cuya suma sea 7. Consideremos todas las posibles parejas que factorizan a 12. a1 a 1 a2 a 2 a3 a 3
b 12 b 12 b6 b 6 b4 b 4
a b 13 a b 13 ab8 a b 8 ab7 a b 7
De la lista anterior, advertimos que la elección adecuada es a 3 y b 4. Por tanto x2 7x 12 (x 3)(x 4) Observación La elección a 4 y b 3 da exactamente la misma pareja de factores. EJEMPLO 6
42
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
Factorice (a) x2 5x 6 (b) 3x2 3x 6
Solución (a) La factorización de x2 5x 6 se logra si encontramos dos factores de 6 (el término constante) cuya suma sea 5 (el coeficiente de x). Los factores posibles de 6 son (1)(6), (1)(6), (2)(3) y (2)(3). Los dos factores de 6 cuya suma es 5 son 2 y 3. De esta manera, hacemos a 2 y b 3. x2 5x 6 (x a) (x b) [x (2)][x (3)] (x 2)(x 3) (b) Observemos en primer lugar que un factor común es 3: 3x2 3x 6 3(x2 x 2) Para factorizar x2 x 2, debemos encontrar dos factores de 2 (el término constante) cuya suma sea 1 (el coeficiente de x). Los factores posibles de 2 son 1( 2) y (1)(2). Sólo los factores 1 y 2 suman 1, esto es, 1 (2) 1. En consecuencia, x2 x 2 (x 1)[x (2)] (x 1)(x 2) Por tanto, nuestra expresión original puede factorizarse de la siguiente manera 3x2 3x 6 3(x2 x 2) 3(x 1)(x 2) EJEMPLO 7
☛ 29. Factorice (a) 4x2 – 16x
Factorice x2 6x 9.
Solución Tenemos que p 6 y q 9. Es claro que los dos factores de 9 cuya suma es 6 son 3 y 3. Así, la expresión dada tiene factores x 3 y x 3, por tanto, x2 6x 9 (x 3)(x 3) (x 3)2
16 (b) x2 x – 12
☛ 29
Consideremos ahora el problema de factorizar una expresión de la forma mx2 px q
Respuesta (a) 4(x – 2)2 (b) (x – 3)(x 4)
en donde m, p y q son constantes distintas de cero y m 1 o 1. En este caso, el primer paso consiste en encontrar dos factores del producto mq que tengan una suma igual a p, el coeficiente de x. Después expresamos a p como la suma de esos dos factores. Esto transforma la expresión dada en la suma de cuatro términos. Éstos pueden considerarse de dos en dos y factorizarse por el método de agrupamiento. Este método se ilustra en los ejemplos 8 y 9. EJEMPLO 8
Factorice 3x2 11x 6.
Solución En esta expresión, los coeficientes son m 3, p 11 y q 6. El producto del coeficiente de x2 y el término constante es mq 3(6) 18. Debemos encontrar dos factores de este producto 18 que tengan una suma igual a 11, el coeficiente de x. Es claro que, los dos factores adecuados son 9 y 2. En consecuencia, en la expresión dada, expresamos el coeficiente de x, 11, en la forma 9 2 y escribimos, 3x2 11x 6 3x2 (9 2)x 6 3x2 9x 2x 6 SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN
43
Podemos sacar a 3x como factor común de los dos primeros términos y 2 como factor común de los términos restantes. 3x2 11x 6 3x(x 3) 2(x 3) (x 3)(3x 2) Observe que, en el último paso, se extrajo x 3 como factor común de los dos términos. EJEMPLO 9
Factorice 6x2 5x 4.
Solución El producto del coeficiente de x2 y del término constante es 6(4) 24. Debemos encontrar dos factores de 24 que sumados den 5, el coeficiente de x. Sin duda, los dos factores de 24 cuya suma es 5 son 3 y 8. Por tanto, escribimos 5 como 8 3 en la expresión dada. Esto da la factorización siguiente: 6x2 5x 4 6x2 (8 3)x 4 6x2 8x 3x 4 2x(3x 4) 1(3x 4)
☛ 30. Factorice (a) 4x2 – 9x 2
(3x 4)(2x 1)
(b) 6x2 – x – 12
EJEMPLO 10
☛ 30
Factorice 2(x y)2 5(x y) 3.
Solución Sea z x y. Entonces la expresión dada se transforma en 2z2 – 5z 3 El producto de los coeficientes externos es 2 3 6. Dos números cuyo producto es 6 y su suma es –5 son –2 y –3. De modo que escribimos 2z2 5z 3 2z2 2z 3z 3 2z(z 1) 3(z 1) (2z 3)(z 1) (2x 2y 3)(x y 1) después de reemplazar z con x y en el último paso. Las dos fórmulas siguientes son útiles al factorizar una expresión, la cual puede expresarse como una suma o como una diferencia de dos cubos. a3 b3 (a b)(a2 ab b2)
(2)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2)
(3)
Estas fórmulas pueden comprobarse multiplicando las dos expresiones de la derecha. De forma alterna pueden determinarse por medio de la división larga de (a3 b3) (a b). (Revise los ejercicios del 57 al 64 en la sección 1-5). EJEMPLO 11
Factorice 8x3 27y3.
Solución Usamos la fórmula (2).
Respuesta (a) (x – 2)(4x – 1) (b) (2x – 3)(3x 4)
44
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
8x2 27y3 (2x)3 (3y)3 (2x 3y)[(2x)2 (2x)(3y) (3y)2] (2x 3y)(4x2 6xy 9y2)
☛ 31. Factorice 24x4 3x Respuesta 3x(2x 1)(4x2 – 2x 1)
Observe que la expresión 4x2 6xy 9y2 no puede factorizarse aún más porque el producto del coeficiente de x2 y el término constante es 4(9y2) 36y2, el cual no puede expresarse como el producto de dos factores cuya suma sea 6y, el coeficiente de x. ☛ 31 EJEMPLO 12
Factorice la expresión (m n)4(m n) (m n)4 (m n)
☛ 32. Factorice 6(x 2y)7/3
Solución Primero haz que x m n y y m – n. Entonces, la expresión dada es
(3x y)5/4 2(x 2y)4/3(3x y)9/4
x4y y4x xy(x3 y3) xy(x y)(x2 xy y2) Ahora, x – y m n – (m – n) 2n y x2 xy y2 (m n)2 (m n)(m n) (m n)2 (m2 2mn n2) (m2 n2) (m2 2mn n2) 3m2 n2
Respuesta 14y(x 2y)4/3(3x y)5/4
Por tanto, la expresión dada se factoriza como xy(x y)(x2 xy y2) 2n(m n)(m n)(3m2 n2)
☛ 32
Observación De acuerdo con las fórmulas (2) y (3), la suma y la diferencia de dos cubos siempre puede factorizarse. De hecho, toda expresión del tipo an bn o an bn puede factorizarse para todos los enteros n 2 con la única excepción de la suma de dos cuadrados, a2 b2. Por ejemplo, a4 b4 (a2 b2)(a2 b2) (a b)(a b)(a2 b2) a5 b5 (a b)(a4 a3b a2b2 ab3 b4) a4 b4 (a2 2ab b2)(a2 2ab b2) etcétera.
Resumen de factorización: 1. El primer paso al factorizar una expresión algebraica es extraer todos los monomios comunes. 2. Si observa entonces un factor que es la diferencia de dos cuadrados, la diferencia de dos cubos o la suma de dos cubos, utilice las fórmulas (1), (2) o (3) con el propósito de factorizar aún más. 3. Para factorizar una expresión con cuatro términos, deberá usar el método de agrupamiento. 4. Un trinomio del tipo mx2 px q a menudo puede factorizarse como el producto de dos factores del tipo (ax b)(cx d), como ya se esbozó.
SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN
45
EJERCICIOS 1-6 (1-79) Factorice por completo las siguientes expresiones.
47. p2 pq 20q2
48. s2 7st 30t2
1. 3a 6b
2. 2x2 10xy 4x3
49. 2t2 tu 6u2
50. 2x2 9xy 10y2
3. 4xy 6yz
4. 5x2y 10xy2
51. 6a2 ab 15b2
52. 18u2 15uv 12v2
5. 2u a 2 au
6. px qy py qx
53. x3 27
54. 8t3 125
7. xy 4x 2y 8
8. pq 6q 3p 18
55. 27u3 83
56. 128x3 54
9. 3x py 3y px
10. 2px 3y py 6x
57. 64x4y2 27xy5
11. 6xz 16y 24x 4yz
58. x2y2 a2y2 b2x2 a2b2
12. 15ac 9ad 30bc 18bd 13.
x2
16
59. x2y2 9y2 4x2 36 14.
4y2
25
60. 5u22 202 15u2 60
15. 3t2 108a2
16. 5x2 20y2
61. x2z2 4z2 x4 4x2
17. x3y 25xy3
18. x5 4x3y2
62. ax3 by3 bx3 ay3
19. x2 3x 2
20. x2 5x 6
63. x3 y3 x2y xy2
21. x2 x 2
22. x2 7x 12
65. (x y)3(3x 2y)4 2(x y)4(3x 2y)3
23. x2 x 2
24. x2 8x 12
66. 2(a b)2 (a b)3 5(a b)2 (a b)3
25. x2 15x 54
26. x2 14x 48
67. (x y)2 3(x y) 2
12x 11
27.
x2
29.
2x2
2x 12
64. x3y 8 8y x3
9x 20
68. 2(x y)2 5(x y) 2
6x 3
69. 3(a b )2 5(a b) 2
28.
x2
30.
3x2
31. 5y4 25y3 70y2
32. 12x 7x2 x3
70. 2(p q)2 (p q) 1
33. 2x2 5x 3
34. 6x2 10x 4
71. 3x2n 7xn 2
72. x6 y6
35. 9 12x 4x2
36. 9t 2 12t 4
73. x6 8y6
74. x4 16y4
37. 5x2 17x 6
38. 2t2 3t 14
75. (2x 1)2 (x 3)(x 1)
39. 10x2 11x 6
40. 2t2 7t 6
76. 5 (2x 3)2 (3x 2)(x 1)
41. 3q2 20q 32
42. 10p2 3p 18
43.
6x3y
45.
x2
4x2y
6xy
10xy 5y2
44.
(x3
46.
x2
9x) (45
4xy
*77. x4 4y4 5x2)
*78. 16a4 b4
*79. x5 y5
5y2
1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS Por lo general, el término fracción algebraica se emplea para indicar la razón de dos expresiones que contienen una o más variables, tales como las siguientes: x2 7x 5 2x 3
46
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
y
x2y xy2 xy
Con objeto de que una expresión algebraica tenga sentido, se dará por hecho que las variables no tomarán valores que hagan que el denominador de la fracción sea cero. Así, en la fracción de la izquierda, x 32 , pues si x 32 , 2x 3 2( 32 ) 3 3 3 0, y el denominador sería cero. De manera similar, en la fracción de la derecha, y x. En esta sección, estudiaremos métodos para simplificar fracciones algebraicas y examinaremos la adición, sustracción, multiplicación y división de dos o más de tales fracciones. La factorización desempeña un papel importante en tales operaciones, como se aclarará en los siguientes ejemplos. Los principios básicos involucrados son los mismos que se describieron cuando se simplificaron fracciones en la sección 1-2.
Simplificación de fracciones 4x2 20x 24 Simplifique . 6 10x 4x2 Solución En primer lugar, factorizamos por completo las expresiones que aparecen en el numerador y en el denominador. En este caso, tenemos EJEMPLO 1
4x2 20x 24 4(x2 5x 6) 2 2(x 2)(x 3) asimismo 6 10x 4x2 2(2x2 5x 3) 2(2x 1)(x 3) Observe que al factorizar el denominador, primero hicimos que el coeficiente de x2 fuese positivo, de modo que los términos en x sean positivos tanto en el numerador como en el denominador. Por tanto, 2 2(x 2)(x 3) 4x2 20x 24 2(2x 1)(x 3) 6 10x 4x2 2(x 2) 2(x 2) (2x 1) 2x 1 2x2 4x 2 x 4x 3 Indique cualesquiera valores de x en los que la fracción dada no sea igual a su respuesta.
☛ 33. Simplifique . 2
Observe que hemos dividido el numerador y el denominador entre los factores 2 y x 3, los cuales aparecen tanto en el numerador como en el denominador. Esta cancelación de factores se justificó en la sección 1-2 (revise la página 10 y el teorema 5). Puede hacerse para factores binomiales como (x 3) en este ejemplo así como para factores que son monomios. (Tales factores siempre deben ser diferentes de cero; de otra forma la fracción original no estaría bien definida). ☛ 33 Algunas veces encontraremos fracciones que contienen radicales en el denominador, tales como x 2 y 3 2 x 2 2
2(x 1) Respuesta , x3
x1
En la primera fracción sólo intervienen números, mientras que la segunda es algebraica. En tales casos, dado que el denominador sólo tiene dos términos, podemos simplificar la fracción por medio de una operación llamada racionalización del
SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS
47
denominador. Consideremos la primera de las dos fracciones anteriores como un ejemplo. Multipliquemos el numerador y el denominador por 3 2, lo que tiene el efecto de pasar el radical al numerador: 2 2(3 2) 3 2 (3 2)(3 2) Esto funciona dado que el denominador de esta nueva fracción puede simplificarse por medio de la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, (a b)(a b) a2 b2 Tomando a 3 y b 2, tenemos (3 2) (3 2) 32 (2)2 9 2 7 Por tanto, 2(3 2) 2 7 3 2 En general, para racionalizar una fracción que involucra una expresión de la forma A B en el denominador, multiplicamos numerador y denominador por A B. Si A B aparece, multiplicamos numerador y denominador por A B . En general, si un factor del tipo P A Q B aparece en el denominador de una fracción, multiplicamos numerador y denominador por (P A Q B). (Observe el cambio de signo en el segundo término). EJEMPLO 2
Racionalice los denominadores de las expresiones siguientes: 1 (a) 25 33
x3 (b) x 2 5
Solución (a) El factor 25 33 aparece en el denominador por lo que multiplicamos por 25 33: 1 1 (25 33) 25 33 (25 33)(25 33) 25 33 (25)2 (33)2 25 33 25 33 4593 20 27 1 (25 33) 7
48
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
(b) Multiplicamos por x 2 5: x3 (x 3)(x 2 5) x 2 5 (x 2 5)(x 2 5) (x 3)( x 2 5) 2 ( x 2) (5)2 (x 3)( x 2 5) x25 (x 3)( x 2 5) x3 ☛ 34. Racionalice el denomina5 2 dor de 5 2
2 5 x en donde en el último paso cancelamos el factor común (x – 3).
☛ 34
Adición y sustracción de fracciones Dos o más fracciones que tienen un común denominador pueden sumarse o restarse simplemente al sumar o restar sus numeradores y manteniendo sin cambio el denominador. EJEMPLO 3 2x 3 x 1 (2x 3) (x 1) 2x 3 x1 (a) x1 x1 x1 x1 3x 2 x1 2x 5 2(x 1) (2x 5) 7 2x 2 7 (b) 2 x1 x1 x1 x1 x1
Cuando las fracciones que se suman o restan no tienen el mismo denominador, encontramos primero su mínimo común denominador (m.c.d.) y reemplazamos cada una de las fracciones dadas por una equivalente que tenga este m.c.d. como denominador. Este método, en principio, no difiere del que se describió en la sección 1-2. El cálculo del m.c.d. de dos o más fracciones requiere factorizar cada denominador por completo. Después, el m.c.d. se obtiene multiplicando todos los factores distintos que aparecen en los denominadores y elevando cada factor a la máxima potencia con que aparece en los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 2x 1 x3
y
x1 El m.c.d. de , (x 1)2 Respuesta
1 23
(27 102)
3x 1 2x 7
es
5 (x 1)(x 2)
(x 3)(2x 7)
y
7 3 es (x 2) (x 3)
(x 1)2(x 2)3(x 3) SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS
49
EJEMPLO 4
2x 1 x1 Simplifique . x2 3x 2
Solución Aquí, los denominadores ya están factorizados por completo. El m.c.d. en este caso es (x 2)(3x 2). La sustitución de la primera fracción (2x 1)/(x 2) por una equivalente que tenga el m.c.d. (x 2)(3x 2) como denominador, se logra multiplicando el numerador y el denominador por la fracción 3x 2. En consecuencia, 2x 1 (2x 1)(3x 2) x2 (x 2) (3x 2) De manera análoga, x1 (x 1)(x 2) 3x 2 (x 2)(3x 2) Por tanto, tenemos la siguiente suma: 2x 1 x1 (2x 1)(3x 2) (x 1)(x 2) x2 3x 2 (x 2)(3x 2) (x 2)(3x 2) (2x 1)(3x 2) (x 1)(x 2) (x 2)(3x 2) (6x2 x 2) (x2 x 2) (x 2)(3x 2) 4x 2 x 1
7x2 4 (x 2)(3x 2)
3 x1
☛ 35. Simplifique 2
EJEMPLO 5
☛ 35
5 1 3 Simplifique . x2 3x 2 x2 x2 4x 4
Solución La expresión dada, después de factorizar los denominadores, es 5 1 3 2 (x 1)(x 2) x2 (x 2) Aquí el m.c.d. es (x 1)(x 2)2(x 2). 5 1 3 2 (x 1)(x 2) x2 (x 2) (x 1)(x 2)2 5(x 2)(x 2) (x 1)(x 2)2(x 2) (x 2)(x 1)(x 2)2 3(x 1)(x 2) (x 2)2(x 1)(x 2) 1 Respuesta , x 1 x1
50
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
5(x 2)(x 2) (x 1)(x 2)2 3(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 2)2
5(x2 4) (x 1)(x2 4x 4) 3(x2 x 2) (x 1)(x 2)(x 2)2 5x2 20 (x3 5x2 8x 4) 3x2 3x 6 (x 1)(x 2)(x 2)2 x3 13x2 5x 22 (x 1)(x 2)(x 2)2 EJEMPLO 6
1 x2 Simplifique 1 x2 2 . 1 x
Solución En este caso, escribimos ambos términos como fracciones con un m.c.d. de 1 x2. 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 2 2 1 x 1 x Así, tenemos la siguiente suma: 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 2 2 1 x2 1 x
Multiplicación de fracciones Dos o más fracciones pueden multiplicarse a la vez, simplemente multiplicando sus numeradores y denominadores de la manera que se ilustra en el ejemplo 7.
EJEMPLO 7 2x 1 3 x (2x 1)(3 x) (a) x2 x1 (x 2)(x 1) x2 5x 6 4x2 16 (x2 5x 6)(4x2 16) (b) 2 2 2 (6x 18x 12)(2x2 5x 3) 6x 18x 12 2x 5x 3 Este producto puede simplificarse factorizando tanto el numerador como el denominador y dividiéndolos entre sus factores comunes: (x 2)(x 3h) 2s 2(x 2)(x 2h) 2(x 2)(x 2) 2s 3(x 1)(x 2h)(x 3h)(2x 1) 3(x 1)(2x 1) 2(x 2)2 3(x 1)(2x 1)
SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS
51
☛ 36. Simplifique
División de fracciones
3 4x 2 3x2 4x 1 2x 1 x1 x2 1
Para dividir una fracción a/b entre otra fracción c/d, invertimos c/d y la multiplicamos por la primera. (Revise la página 10 y el teorema 4 de la sección 1-2). a a/b a d c b c/d b c d Este método se ilustra para fracciones algebraicas en el ejemplo 8. EJEMPLO 8 2x 3 x3 2x 3 2x2 2 (a) 2 x1 2x 2 x1 x3 (2x 3) 2(x 1)(x 1) (x 1)(x 3) 2(x 1)(2x 3) (x 3)
Respuesta 2(3x 1) , 3
3x 1 3x 1 x2 x2 3x 1 1 3x 1 (b) x1 x1 x 2 x 1 (x 2)(x 1) 1
1 x 1, 1 o 2
EJEMPLO 9
4 x 2 x1 x2 5x 6 . Simplifique x2 1
Solución En primer término, simplificamos el numerador.
☛ 37. Simplifique 2x2 3x 1 ((x2 1)/(2x 1))
(x 2)(x 1) 4 x2 4 4 x 2 x1 x1 1 x1 x1 (x 2)(x 1) 4 x2 x 6 x1 x1 Con este valor del denominador, completamos la división. x2 x 6 x1 x2 x 6 x2 1 x2 5x 6 2 x1 x 5x 6 x2 1 (x2 x 6) (x2 1) (x 1)(x2 5x 6) (x 2h)(x 3)(x 1h)(x 1) (x 1h)(x 2h)(x 3)
Respuesta (2x 1)(2x 1) , x1
52
☛ 36
1 x 1 o 2
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
(x 3)(x 1) (x 3)
☛ 37
EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las siguientes expresiones, efectúe las operaciones indicadas y simplifique. 4x 6 1. 2x 3 2x 3 2x 4 2. x2 x2 x2 5x 6 3. x3 x3 2 3x x2 4. x1 x1 2x 1 5. 3 x2
2 3 1 16. 9x2 6x 1 x1 3x2 2x 1 1 3 2 17. x2 4x 3 x2 1 x3 3 x 18. 2 2 2x2 x 1 1 2x x
x 2x x1
2x 4 x4
x2 1 19. x
2
x2 4x 20. 2x 6
2x 4 x2 1 21. 1 x 3x 6
3x 2 6. 2 x1
x2 7x 12 x2 4x 3 22. x2 x 2 2x2 5x 3
x 3 7. x2 2x 1
x2 5x 6 23. x2 6x 8
x x2 8. 2x 6 x1 3x 1 2 9. x1 x1 2x 3 x 10. 4x 1 2x 3 2x x2 11. 2x 1 x1 2 4 12. 5x 6 10x 2
2x 9x 4 2x 7x 3
2x 3x 2 x x x
2 2
2x4 2x 24. 2x2 5x 3
2
3
2
1 1 3x 2
9 1 x 9
1 25. 3 x1
3 26. x x2
2
x2 x x3 x 27. 2x 1 4x 2
1 1 13. x2 5x 6 x2 3x 2
3x 6 x2 4 28. 2x2 4x 2 x2 3x 2
x 1 14. x2 2x 3 x2 x 2
3x2 5x 2 3x2 x 2 29. x2 x 2 2x2 5x 2
x 1 15. 2 x2 2x 3 1 2x x
2x2 x 1 1 4x2 30. 2 2 2x 10x 12 4x 8x 12
SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS
53
x2 x 2 2x 3 x2 4 31. 2x2 5x 3
1 2 43. 5 3 62 44. 3 6
1 1/t2 32. t 1 2/t
3 45. 3 3
3 x 2 x2 7 33. x 6 x2
1 46. 23 6
2 p p1 4p 7 34. 1 p2 4p 3 x1 y1 35. (x y)1
x2 y2 x y 37. x2 y2 x y y2 x2 38. xy1 yx1
x y 48. x y x 49. x 2 2
(x y)1 36. (x 2 y2)1
1 1 1 39. h xh x
1 47. x y
x 50. x 1 x 1 2x 2 51. x 3 2x 4x 52. 2 x 5 3x
1 1 1 40. 2 2 h (x h) x
(53-56) Racionalice los numeradores de las siguientes expresiones. 5 3 53. 2
(41-52) Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones.
x 4 x 54. 2
1 41. 3 7
x h x 55. h
3 2 42. 2 3
x 2 h x 2 56. h
54
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
REPASO DEL CAPÍTULO 1 Términos, símbolos y conceptos importantes 1.1 Número natural, número entero, número racional, número irracional, número real. La recta de los números reales.
Fórmulas para el cuadrado de un binomio. Fórmula de la diferencia de cuadrados. División entre monomio. División larga de expresiones polinomiales. Divisor, dividendo, cociente, residuo. 1.6 Factores. Factores monomiales. Método por agrupación.
Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Elementos identidad, inverso aditivo de a (el negativo de a, a), inverso multiplicativo de a (el recíproco de a, a1). Diferencia: a – b a (b). División: a b a b1.
Factorización por medio de fórmulas para la diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos. Factorización de expresiones del tipo x2 px q y mx2 px q con m 1, 1. 1.7 Racionalización del denominador.
1 a 1.2 Fracción. Definición: b1; a b1 b b
Técnicas para la suma, resta, multiplicación, división y simplificación de fracciones algebraicas.
Reglas para multiplicar y dividir fracciones. Cancelación de factores comunes. Mínimo común denominador (m.c.d.). Suma y resta de fracciones. 1.3 Potencia (exponente), base
an
Fórmulas
(a elevada al exponente n). Propiedades de los exponentes
Propiedades de los exponentes. 1.4 Raíz n-ésima principal de a: b
a1/n
si
bn
am an amn,
a. 3
Radical, raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz n-ésima. a, a, n a. Exponentes fraccionarios: am/n (a1/n)m. Extensión de las cinco propiedades de los exponentes a exponentes fraccionarios y radicales. 1.5 Expresión algebraica, expresiones monomiales, binomiales, multinomiales. Término, parte literal, coeficiente (numérico); término constante. Términos semejantes, suma y resta de términos semejantes. Multiplicación de expresiones por medio de la propiedad distributiva; método de los arcos.
am amn, an
(ab)m ambm,
ab
m
(am)n amn, am . bm
Fórmulas para el cuadrado de un binomio: (x a)2 x2 2ax a2. Fórmula de la diferencia de cuadrados: (x a)(x – a) x2 – a2. Fórmulas para la suma y la diferencia de cubos: x3 a3 (x a)(x2 ax a2).
REPASO DEL CAPÍTULO 1
55
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1 1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada proposición falsa por una que sea cierta. a. am bn (ab)mn
4. (2x5)2 (2x3)3 (3a2b1)4 5. (6a 1b)3
b. am bm (a b)m
(5p2q3)2 6. (10p2q)3
c. (20)m 1
(6x1y2)3 7. (2x4y3)4
d. (a b)2 a2 b2 e. 2(a b) 2a b f. (x y)2 x2 y2
p2 3p4 q 3q
9. (2x3)1/2(2x)1/2
g. a b a b
10. (r2/5)2(r3/10)3(r2/15)
as 2b h. 2b as
2x5/2 x2/3 11. ÷ 3/4 y 3y2/5
3
6
i. a2 a4 1 1 1 j. a b ab a/b a c k. c b 1 l. (2a)5 2a5 a c ac m. b d bd a c a c n. b d b d o.
(1)n
1 si n es un entero impar.
xx xx
xa 12. xb
ab
b bc
c
c
a
ca
xx xx
xa 13. b x
c
b
a
c
a b c
1 2 14. x2 x3 1 15. 2 x2 1 1 1 1 16. x1 x2 3x 2 x2 2x 1
2 3 4 5 6 2 p. 3 4 5 6 7 7
2 1 3 17. x2 2x 1 x2 4x 3 x2 x 2
q. Todo número decimal que termina representa un número racional.
xy x2 y2 18. 2 2 p q pq
r. Todo número racional puede expresarse como un decimal que termina.
x2 4x 4 x2 5x 6 19. y2 9 y2 y 6
(2-24) En las siguientes expresiones, efectúe las operaciones indicadas y simplifique los resultados. 2. (125)2/3 (81)3/4 3. (32)2 (243)1/5
56
8. 2
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
a2 b2 a2 3ab 2b2 20. 2a 4 a2 4 a2 2ab b2 x2 x 6 21. x2 5x 6 a2 b2
1 x x 2
a 9a
2 22. x x1
33. 8x2 18x 9 34. 12x2 20x 25
2 23. a a3
35. y2 3y 10 36. 12x2 7xy 12y2
x1 3x2 27 2x 1 24. x2 x3 2x 1
37. (a 4)(a 3) (2a 3)(a 1)
(25-42) Factorice las siguientes expresiones por completo. 25. 3x2 75y2 26. x2 7x 10 27. 6x2 x 15 28. 2p2 p 28 29.
x2
x 12
30. u2 2u 3 31. k2 k 20 32. 10t2 3tu u2
38. (x 2)(x2 x 1) (2x 1)(x2 3x 2) 39. 4(x 1)2 (2x 5)2 40. (p q)2 3(p q) 4 8 41. x3 3 x 42. (x 1)(x2 1) (x 1)(x2 1) 1 2 43. Demuestre que 2 3 2 1 3 1 1 44. Dado 2 1.414 y 3 1.732, evalúe sin 3 2 usar calculadora, tablas o división larga.*
*El símbolo significa “aproximadamente igual a”. Debe usarse siempre que se redondea un número.
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1
57
CASO DE ESTUDIO
CÓMO ELEVAR AL CUADRADO CON RAPIDEZ
La base de muchos de los “trucos” y “juegos matemáticos” es el álgebra, si uno escribe en lenguaje simbólico las expresiones verbales y realiza algunas sencillas operaciones algebraicas, por lo regular descubrirá el misterio de estos juegos. Un juego para “adivinar” el mes de nacimiento y la edad de una persona es el siguiente. Pida a la persona que realice las operaciones siguientes, sin verlas. a) Determine el número del mes en que nació (enero, 1; febrero, 2; marzo, 3; etcétera). b) Multiplique el número del mes en que nació por dos. c) Al resultado anterior sume cinco. d) Multiplique por 50 el resultado que obtuvo en el paso anterior. e) A esto, añada el número de años que tiene. f) Y, por último reste 250 al resultado. Pida que le diga el resultado. Los dos dígitos de más a la derecha de este resultado proporcionarán la edad de la
58
CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA
persona, mientras que el primero o dos primeros dígitos de la izquierda revelarán el mes en que nació. Hagamos esto con un ejemplo. Supongamos que una persona nació en noviembre y actualmente tiene 44 años, entonces los pasos que seguiría serían: a) b) c) d) e) f)
Mes en que nació, 11 11 2 22 22 5 27 27 50 1350 1350 44 1394 1394 250 = 1144
Todo lo anterior no se ve, lo único que conoceríamos al final sería el resultado: 1144. Con lo cual podríamos “adivinar” que la persona tiene 44 años y que nació en noviembre. i) Determine por qué este “truco” sirve para el propósito de adivinar la edad y el mes de nacimiento. ii) ¿Siempre funciona? ¿Existirá algún o algunos casos en que no se lea la edad y mes de nacimiento directamente del resultado?
CAPÍTULO
Ecuaciones de una variable
Un excelente matemático griego fue Diofanto de Alejandría; él hizo contribuciones en varias áreas de las matemáticas, tal vez su trabajo más importante lo hizo en lo que ahora se conoce como teoría de números. Se sabe poco de él, pero algunos detalles de su vida se conocen a través del epitafio que, como un homenaje, se inscribió en su tumba. Una traducción libre del original es la siguiente: “Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después de la decimosegunda parte su mejilla se cubrió con
TEMARIO
2-1 2-2 2-3 2-4 2-4
2
el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de casarse y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad”.
Utilizando la información en el epitafio de Diofanto podríamos responder las siguientes preguntas: i) ii) iii) iv)
¿A qué edad falleció Diofanto? ¿Cuántos años vivió antes de casarse? ¿Cuántos años vivió su hijo? ¿Qué edad tenía Diofanto cuando nació su hijo?
ECUACIONES LINEALES APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES CUADRÁTICAS APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS REPASO DEL CAPÍTULO
59
2-1 ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad, . Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones. 2x 3 9 x y2
(1)
5y 6 4y
(2)
2x y 7 a s 1r
(3) (4)
En la ecuación (1), la variable es la letra x, mientras que en la ecuación (2), es y. En la ecuación (3) tenemos dos variables, x y y. No permitiremos que las variables de cualquier ecuación tomen valores que hagan que una expresión que ocurra en la ecuación quede indefinida. Por ejemplo, en la ecuación (4), r no puede ser 1, pues esto produciría una división entre cero. Las expresiones separadas por el símbolo de igualdad se denominan lados (miembros) de la ecuación; por separado se llaman el lado izquierdo (primer miembro) y el lado derecho (segundo miembro). Las ecuaciones que sólo contienen constantes y no tienen variables pueden ser proposiciones verdaderas o falsas. Por ejemplo, 325
y
3 15
240
3 2
23
son afirmaciones verdaderas, mientras que 256
y
son proposiciones falsas. Una ecuación que se refiere a una variable, por lo regular es una proposición válida para algunos valores de la variable, mientras que es falsa para otros valores de la variable. Por ejemplo, consideremos la ecuación 2x 3 x 2 Si x toma el valor 5, esta ecuación se reduce a 2(5) 3 5 2
o bien
10 3 5 2
que es una proposición verdadera. Por otra parte, si x toma el valor 4, obtenemos 2(4) 3 4 2
o bien
56
que es una proposición falsa. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
60
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x 3 x 2. De manera similar, 2 es solución de la ecuación y2 3y 6 4y porque cuando 2 sustituye a y en la ecuación obtenemos (2)2 3(2) 6 4(2) o bien 4 6 6 8 que es una proposición verdadera. En forma análoga, 5 no es una raíz de la ecuación t2 2t 6 3t, pues cuando 5 reemplaza a t, se obtiene ☛ 1. ¿Cuál de los números siguientes es solución de la ecuación x3 3x2 4 0: 2, 1, 0, 1, 2?
(5)2 2(5) 6 3(5) o bien 25 10 6 15 que no es una proposición verdadera. ☛ 1 A menudo estaremos interesados en encontrar las raíces de alguna ecuación dada (es decir, en determinar todos los valores de la variable que transforman la ecuación en una proposición verdadera). El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación. Al llevar a cabo este proceso, por lo general efectuamos ciertas operaciones en la ecuación que la transforman en una nueva ecuación más fácil de resolver. Tales simplificaciones deben realizarse en forma tal que la nueva ecuación tenga las mismas raíces que la ecuación original. Las dos operaciones siguientes producen nuevas ecuaciones, al mismo tiempo que cumplen con el requerimiento de no alterar las raíces de la ecuación. 1.
2.
(PRINCIPIO DE ADICIÓN) Podemos sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión algebraica que incluya a la variable a ambos lados de la ecuación. (PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN) Podemos multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por cualquier constante distinta de cero o cualquier expresión no cero que incluya a la variable. (Observación): La multiplicación por una expresión puede producir una ecuación cuyas raíces difieran de la ecuación original si la expresión se hace cero para ciertos valores de la variable, como se ilustrará después.
Observe que de acuerdo con estos principios debemos hacer la misma operación en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, consideremos la ecuación x32
(5)
Sumemos 3 a ambos lados de la ecuación. Por el principio de adición, esta operación no cambia las raíces de la ecuación. x3323 Después de simplificar, resulta x 5. Respuesta 1 y 2
Por tanto, concluimos que si x satisface la ecuación (5) entonces x 5 : 5 es la única raíz de la ecuación (5).
SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES
61
Como un segundo ejemplo, consideremos la ecuación 5x 15
(6)
Dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Por el principio de multiplicación, esta operación no cambiará las raíces de la ecuación dado que el número por el que estamos dividiendo no es cero. Obtenemos 5x 15 5 5 o bien x3 Así, la única solución de la ecuación (6) es x 3. Dos ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones se dice que son equivalentes. Por tanto, las operaciones 1 y 2 transforman la ecuación dada en una nueva ecuación que es equivalente a la ecuación original. Al resolver una ecuación específica, a veces tenemos que emplear estas operaciones varias veces. EJEMPLO 1
Resuelva la ecuación 5x 3 2x 9
(7)
Solución En primer lugar, restamos 2x a ambos lados de la ecuación y simplificamos. 5x 3 2x 2x 9 2x 5x 2x 3 2x 2x 9 3x 3 9
(8)
Ahora sumemos 3 a ambos miembros de la ecuación y de nuevo simplificamos. 3x 3 3 9 3 3x 12 ☛ 2. ¿Son equivalentes las siguientes parejas de ecuaciones? (a) 1 – 2x y y 1 – y 2x (b) 2(x – 1) 0 y x 1 (c) (x 1)(x – 1) 0 y x – 1 0 (d) x 1 y 1 1 x x1 1 1x
Respuesta (a) Sí (b) Sí (c) No (x 1 es una solución de la primera ecuación pero no de la segunda) (d) No (x 1 es una solución de la primera ecuación pero no de la segunda)
62
(9)
Por último, dividimos ambos lados entre 3 (el cual no es cero). 3x 12 3 3 x4 Por tanto, la solución de la ecuación (7) es x 4.
☛ 2
Observemos que la ecuación (8) pudo obtenerse de la ecuación (7) simplemente pasando el término 2x del lado derecho al izquierdo y cambiando su signo. Obtendríamos. 5x 3 2x 9 o bien
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
3x 3 9
lo cual concuerda con la ecuación (8). Otra vez, obtenemos la ecuación (9) de la ecuación (8), pasando el término 3 del primer miembro al segundo y cambiándole el signo. Obtendríamos 3x 9 3 o bien 3x 12 De esta manera, podemos advertir que el principio de adición antes establecido es equivalente al siguiente: Podemos pasar cualquier término de un lado de una ecuación al otro cambiando su signo sin alterar las raíces de la ecuación. De acuerdo con este principio, la ecuación 5x 3 2x es equivalente a 5x 2x 3 0 o 3 2x 5x. Según el principio de multiplicación, cualquier expresión por la cual se multiplique o divida debe ser distinta de cero; debemos tener cuidado de no multiplicar o dividir la ecuación por una expresión que pueda hacerse igual a cero. Por ejemplo, consideremos la ecuación x2 5x Es claro que, x 0 es una raíz de la ecuación. Si dividimos ambos lados entre x, obtenemos x5 Observemos que x 0 no es una raíz de la ecuación resultante, aunque sí era raíz de la ecuación original. El problema estriba en que dividimos ambos miembros entre x, que puede ser cero, y esto viola el principio de multiplicación. Al dividir entre x perdemos una raíz de la ecuación. Con el objeto de evitar estas trampas, debemos proceder con cautela y no multiplicar o dividir entre una expresión que contenga a la variable, a menos que estemos seguros que esta expresión no pueda hacerse cero. Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente, cada término incluye una potencia entera no negativa* de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. EJEMPLO 2 (a) 23x2 1 3x 2 es una ecuación polinomial de 2º grado. (b) x4 32 x2 5x 4 es una ecuación polinomial de 4º grado. (c) (x2 1)/(x 1) 2x no es una ecuación polinomial, debido a que la fracción incluye a x en el denominador.
*En otras palabras, cada exponente es un número entero.
SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES
63
Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal, mientras que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. Las ecuaciones lineales y cuadráticas serán estudiadas en ésta y en las próximas dos secciones del libro. Damos la definición siguiente. DEFINICIÓN La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es ax b 0
(a 0)
donde a y b son constantes. EJEMPLO 3 (a) x 4 0 es una ecuación lineal. Pasando 4 al lado derecho y cambiando su signo, obtenemos que x 4. (Observación Esto es equivalente a sumar 4 a ambos lados). Así, el número 4 es la única solución de la ecuación. (b) 2x 3 0 es una ecuación lineal. Pasando el 3 al lado derecho, obtenemos 2x 3; dividiendo entre 2, encontramos que x 32. En consecuencia, 32 es la única solución de la ecuación dada. (c) En el caso general, ax b 0 podemos pasar la constante b al lado derecho, lo que da ax b Ahora dividimos entre a, obtenemos x b/a. Así, la ecuación lineal ax b 0 tiene una y sólo una solución, es decir x b/a. Observe que al resolver estas ecuaciones, dejamos los términos que incluyen a x en el lado izquierdo de la ecuación y pasamos los términos constantes al segundo miembro. Ésta es una estrategia general al resolver ecuaciones lineales. (La usamos al resolver el ejemplo 1 que consideramos antes). A menudo surgen ecuaciones que a primera vista no parecen lineales, pero que pueden reducirse a ecuaciones lineales mediante simplificaciones apropiadas. Al efectuar tales reducciones, el procedimiento siguiente por pasos con frecuencia es útil. Paso 1 Elimine las fracciones que aparezcan en la ecuación multiplicando ambos miembros por el denominador común de las fracciones involucradas. Paso 2 Pase todos los términos que contengan a la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Paso 3 Pase todos los términos que contengan a la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Este procedimiento se aplica en los siguientes ejemplos.
64
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
EJEMPLO 4
Resuelva la ecuación 3x 4(6 x) 15 6x.
Solución Paso 1 Dado que no hay fracciones en la ecuación, no necesitamos el paso 1. Paso 2 Al efectuar las operaciones indicadas por los paréntesis obtenemos 3x 24 4x 15 6x Paso 3 Pasamos todos los términos que contienen la variable al lado izquierdo y los constantes al derecho, sin olvidar cambiar sus signos, y obtenemos 3x 4x 6x 15 24 o bien 13x 39 Ahora obtenemos una solución dividiendo ambos lados entre 13, el coeficiente de x. x 3193 3 EJEMPLO 5
Resuelva la siguiente ecuación: 5x x2 9 1 2x 1 x 3 4 3 2 3
Solución Después de eliminar los paréntesis, podemos escribir la ecuación dada como 5x x2 9 x 2x 1 3 4 4 2 6 Con el objeto de eliminar las fracciones, multiplicamos ambos miembros por 12, el denominador común, y simplificamos. 5x x2 9 x 2x 1 12 12 12 12 12 3 4 4 2 6
4(5x) 3(x 2) 3(9) 6x 2(2x 1) 20x 3x 6 27 6x 4x 2 Si pasamos los términos con x al lado izquierdo y los constantes al derecho, tenemos que ☛ 3. Resuelva las siguientes ecuaciones: (a) 3 – 2x 7 (b) 4 – x 3x – 4 (c) 3(x 2) 2(8 – x) (d) 23(1 2x) 4 12(3x 4)
20x 3x 6x 4x 27 2 6 19x 19 Por último, dividimos ambos lados entre 19, para obtener x 1, la solución requerida. ☛ 3 EJEMPLO 6
Resuelva la ecuación x 2t 3(x y) a z
Respuesta (a) –2 (b) 2 (c) 2 (d) 8
(a) Para x;
(b) para t.
SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES
65
Solución Aquí el común denominador es az. Multiplicando ambos lados por az para deshacernos de las fracciones, obtenemos z(x 2t) 3a(x y) xz 2zt 3ax 3ay
(10)
(Observe que ni a ni z puden ser cero, pues de otra forma la ecuación dada tendría una fracción con denominador cero. En consecuencia, está permitido multiplicar por az). (a) Dado que estamos resolviendo para x, todas las demás letras involucradas en la ecuación son manejadas como constantes. Pasando todos los términos que contienen a la variable x al lado izquierdo y todos los términos sin x al derecho, obtenemos xz 3ax 3ay 2zt a 1r
x(z 3a) 2zt 3ay
☛ 4. Despeje r: S
Dividamos ambos miembros de la ecuación entre z 3a, suponiendo que este factor no es cero. 2zt 3ay x z 3a (b) Puesto que vamos a despejar t, sólo mantendremos aquellos términos que contengan a la variable t del lado izquierdo y pasaremos los demás términos al derecho. En consecuencia, de la ecuación (10), obtenemos 2zt 3ax 3ay xz Dividiendo ambos lados entre 2z, el coeficiente de t, el cual, como notamos antes, no puede ser cero, obtenemos 3ax 3ay xz 1 t (3ax 3ay xz) 2z 2z
Respuesta r 1 – a/S
que es la solución requerida para la variable t. ☛ 5. ¿Cuál es el error en lo siguiente? Pedimos resolver la ecuación x3 1 2 2x x2 Primero multiplicamos ambos miembros por (x – 2):
EJEMPLO 7
4x2 4x 1 4x2 4 x 1
Esto es, Por tanto, x 2 es una solución Respuesta Cuando x 2 la ecuación original tiene términos no definidos. No hay solución
66
Resuelva la ecuación (2x 1)2 4(x2 1) x 1.
Solución A primera vista, esta ecuación no tiene la apariencia de una lineal debido a la presencia de los términos x2. Sin embargo, veremos que se reduce a una ecuación lineal. Eliminemos los paréntesis y pasemos todos los términos que contengan x al lado izquierdo de la ecuación. Obtenemos
1 2(x – 2) – (x – 3) 1 2x – 4 – x 3 x – 1
☛ 4
4x2 4x 4x2 x 4 1 1 Observemos que los términos 4x2 se cancelan entre sí (es decir, 4x2 4x 4x2 x (4 4)x2 (4 1)x 0x2 3x) y nos quedamos con 3x 6 De aquí, la solución es x 2.
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
☛ 5
EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si el (los) número (s) dado (s) es (son) solución (es) de las ecuaciones correspondientes.
24. 5[1 2(2z 1)] 3(3z 1) 1
1. 3x 7 12 2x; 1
25. 1 2[4 3(x 1)] 4(x 5) 1
2. 5t 3 18 3(1 t); 3
26. 3[2x 1 2(2x 1)] 4 2[1 2(3 x)]
u2 6u 3. 1 ; 2 3u 1 u1
3x 7 1x 27. 2 3
1 2y 1 4. y ; 3y y2
2x 7 3x 2 28. 5 3 4
2
2u 3 2 5u 29. 1 3u 4 3
5. x2 5x 6; 2, 5 6. y2 12 7y; 4,
5y 6 2y 30. y 2 3
3
31. 13(2y 1) 12 y 25 (1 2y) 4
5 3 x 7. ; 3 x 2x 2 7 15 8. 8; x1 3x 1
12, 13
1 3 5x 9. ; 1 4 x1 x2
1 2z 1 1 32. 2 1 (3z 1) 4 3 2 (33-40) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones lineales y resuélvalas.
7 10. 4x 3; 0 x
33. (x 4)2 (x 2)2 34. (x 1)(x 3) (x 2)(x 3) 1
(11-14) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones polinomiales y declare el grado resultante.
35. x2 (x 1)2 (2x 1)(x 3)
11. x3 7x2 5 x(x2 1) 3x2 2
36. (3x 1)(x 2) 5x (2x 1)(x 3) x2
12. (y 2)(y 5) (2y 1)(y 1) 7
37. (2x 1)(x 1) x2 3(x 1)(x 2) 3
13. y2 7 (y 1)2 3y
38. (3x 1)(2x 1) 2x2 (2x 3)2 6x 5
14. (u 1)2 (u 1)(u 3) 5
39. x(x 2)(x 4) x3 2(x 1)3 40. (x 1)3 (x 1)3 2x3
(15-32) Resuelva las siguientes ecuaciones. 15. 1 x 3 x
16. 3x 7 3 5x
17. 2x 5 15 3x
18. 2 7x 3x 2
19. 4(x 3) 8 x 20. 2x 5(1 3x) 1 3(1 2x) 21. 3 2(1 x) 5 7(x 3) 22. 6y 5(1 2y) 3 2(1 y) 23. 3z 2 4(1 z) 5(1 2z) 12
(41-44) Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables que se indican. 41. ax by cz: a rl 42. S : 1r
(a) para x; (a) para r;
(b) para b.
(b) para l.
1 1 1 43. : x y t
(a) para x;
(b) para t.
2 3 44. 1: x xy
(a) para x;
(b) para y.
SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES
67
2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente procedimiento por pasos con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso.
Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos denotamos sólo una de ellas con x. Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x. Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparecen en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras tales como es o era se traducen al símbolo algebraico . Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos. Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.
En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los siguientes ejemplos ilustran cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos. ☛ 6. En el ejemplo 1(a), Amanda tiene tantos pesos como Juan, Jaime y Samuel juntos. ¿Cuántos tiene? En el ejemplo 1(c). Si la primera tienda tiene una ganancia de $30 en cada refrigerador y la segunda tienda obtiene una ganancia de $75. ¿En cuánto exceden las ganancias mensuales de la primera tienda a las de la segunda?
EJEMPLO 1 (a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x 5) pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x 3) pesos. (b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x 4) años. (c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén vende 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén vende (13x 5) refrigeradores. ☛ 6 Empezaremos con algunos ejemplos elementales que ilustran de la manera más sencilla posible la traducción entre las formas verbales y algebraicas.
EJEMPLO 2
Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 19.
Solución Respuesta (a) 3x 2 pesos (b) 5x 375 pesos
68
Paso 1 Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño.
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
Paso 2
Luego, el segundo entero es x 1, pues son consecutivos.
Paso 3 La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebraica x (x 1). La afirmación de que esta suma es 19, equivale a la ecuación x (x 1) 19 Paso 4
Despejamos x. 2x 1 19
☛ 7. Un triángulo tiene dos lados iguales y el tercero es 8 unidades más largo. Si el perímetro excede al doble de la longitud del lado más corto en 20 unidades, ¿cuáles son las longitudes de los tres lados?
2x 19 1 18 x 128 9 Paso 5 ☛ 7
Por tanto, el entero más pequeño es 9. El mayor, x 1, es 10.
EJEMPLO 3 Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene él? Solución Denotemos con x la edad actual del hombre. Dado que su esposa es 7 años más joven que él, la edad actual de ella debe ser (x 7) años. Hace 10 años, la edad del hombre era 10 años menos de lo que es ahora, de modo que su edad era entonces x 10. (Por ejemplo, si su edad actual es x 38, hace 10 años tenía x 10 38 10 28 años). De manera similar, hace 10 años la edad de su esposa era de 10 años menos de la que es ahora, por lo que (x 7) 10 o x 17. Nos dicen que al mismo tiempo la edad del hombre, x 10, era el doble de la edad de su esposa, x 17. Así, escribimos x 10 2(x 17) Simplificamos y despejamos x. x 10 2x 34 x 2x 23 10 x 24 x 24 La edad actual del hombre es de 24 años. Su esposa tiene 17. Hace 10 años tenían 14 y 7, respectivamente. EJEMPLO 4 (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 112 horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000?
Respuesta 12, 12 y 20.
Solución Suponga que trabaja x horas por mes. Cada 32 horas, efectúa ventas por $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(200/3) en ventas. Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión promedio por hora es 230. Por tanto, en x horas ganará una comisión de 230x dólares.
SECCIÓN 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
69
Si agregamos su salario base, obtenemos un ingreso mensual total de 600 230 x. Esto debe ser igual a 2000, de modo que obtenemos la ecuación 600 230x 2000 Al resolverla obtenemos las siguientes ecuaciones: 20x 3
2000 600 1400
x 230 (1400) 210 La vendedora deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado. EJEMPLO 5 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas con una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%? Solución Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 25% del precio de costo, que es el 25% de $150, o bien $37.50. En 400 reses, su ganancia fue de $37.50 400 $15,000. Sea x dólares el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es x 150 y su ganancia por las restantes 600 es 600(x 150) dólares. Por tanto, su ganancia total por la venta completa es 15,000 600(x 150) dólares Esta ganancia deberá ser el 30% del precio que él pagó por las 1000 reses, es decir, el 30% de $150,000. Esto es igual a $[130 (150,000)], o bien $45,000. Así, obtenemos la ecuación 15,000 600(x 150) 45,000 Ahora resolvemos: 15,000 600x 90,000 45,000 600x 45,000 15,000 90,000 120,000 120,000 x 200 600 El comerciantes debe vender las restantes reses a $200 cada una para lograr una ganancia del 30%. Si una cantidad de dinero de P dólares se invierte a un año a una tasa de interés anual de R por ciento, la cantidad de interés anual está dada por
R I P dólares 100 Por ejemplo, una suma de $5000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interés cada año dada por
6 I $5000 $300 100
70
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
☛ 8. ¿Cuál es el interés anual sobre (a) $4000 a 9% (b) $20,000 a 11%?
Si este interés es retirado cada año, entonces tanto el capital P como el interés I permanecen sin cambio de año a año. ☛ 8 EJEMPLO 6 (Inversiones) La señora Cordero va a invertir $70,000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000? Solución Sea x pesos la cantidad invertida en bonos del gobierno. Entonces, la cantidad invertida en bonos hipotecarios es (70,000 x) pesos. El ingreso recibido por los bonos gubernamentales al 6% es de 1600x pesos. El ingreso percibido por los bonos hipotecarios al 8.5% es 8.5 85 (70,000 x) pesos (70,000 x) pesos 100 1000 Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $5000, 6 85 x (70,000 x) 5000 100 1000 Multiplicamos ambos lados por 1000 y despejamos x. 60x 85(70,000 x) 5,000,000 60x 5,950,000 85x 5,000,000 25x 5,000,000 5,950,000 950,000 950,000 x 38,000 25 En consecuencia, la señora Cordero debería invertir $38,000 en bonos del gobierno y los restantes $32,000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso invirtiendo una proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incrementaría su riesgo. EJEMPLO 7 (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere producir 10,000 litros de jerez encabezando vino blanco, el cual tiene un contenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado. Solución Sean x litros de brandy usados en la producción de 10,000 litros de jerez. Luego, el volumen de vino blanco usado deberá ser de (10,000 x) litros. Puesto que el brandy contiene 35% de alcohol, la cantidad de alcohol en x litros de 5 brandy es 130 x. De manera similar, el vino contiene 10% de alcohol, de modo que 0 (10,000 x) litros de vino contienen 110 (10,000 x) litros de alcohol. Por tanto, la cantidad total de alcohol en la mezcla será de
Respuesta (a) $360 (b) $2200
35 x 100
110 (10,000 x) litros
SECCIÓN 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
71
☛ 9. En el ejemplo 7, si 400 litros de brandy se combinan con 600 litros de jerez, ¿cuál será el porcentaje de alcohol en la mezcla?
La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10,000 litros deberían contener 11050 (10,000) 1500 litros de alcohol. Por tanto, tenemos la ecuación 35 100 x
110 (10,000 x) 1500
Al resolver obtenemos las igualdades siguientes: 3 5 100
x 1000 110 x . 1500 35 100 x
110x . 1500 1000 500
35x 10x . 50,000 25x . 50,000 50,000 x . 2000 25 Respuesta 23%
En consecuencia, deben mezclarse 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino. ☛ 9
EJERCICIOS 2-2 (1-3) Si Juan tiene x dólares, ¿cuántos dólares tendrá Julia en cada caso? 1. Ella tiene $4 más que Juan. 2. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Juan. 3. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Juan. (4-7) Si José tiene x años y Julia es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Alfredo en cada caso? 4. Alfredo tiene 3 años más que Julia. 5. Alfredo es 1 año mayor que la edad promedio de José y Julia. 6. Alfredo es 10 años menor que la suma de las edades de José y de Julia. 7. Alfredo es 2 años menor que cinco veces la diferencia de las edades de José y de Julia. 8. Bruno y Jaime juntos tienen $75. Si Jaime tiene $5 más que Bruno, ¿cuánto dinero tiene Jaime? 9. En una clase de matemáticas para la administración hay 52 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase. 10. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 años, él tendrá el doble de la edad de su vástago. ¿Qué edades tienen el padre y el hijo ahora?
72
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
11. Hace cinco años, María tenía el doble de la edad de su hermano. Encuentre, la edad actual de María, si la suma de sus edades hoy es de 40 años. 12. Susana tiene 3 monedas más de cinco centavos que de diez centavos, y 5 monedas más de diez centavos que monedas de veinticinco centavos. En total tiene $2.10. ¿Cuántas monedas de cada una tiene? 13. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bolsillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez centavos y 3 monedas más de veinticinco centavos, tendría $2.60. ¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo? 14. (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la cantidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 15. (Inversiones) Un colegio destina $60,000 a un fondo, a fin de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos de largo plazo a un 10.5%. ¿Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? 16. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total?
17. (Inversión) Una persona invirtió $2000 más al 8% que al 10% y recibió un ingreso total por intereses de $700 por un año. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 18. (Inversión) Una compañía invierte $15,000 al 8% y $22,000 al 9%. ¿A qué tasa debe invertir $12,000 restantes de modo que el ingreso por los intereses anuales de las tres inversiones sea de $4500? 19. (Precio de venta) Durante una venta de liquidación, un artículo tiene marcada una rebaja de 20%. Si su precio de liquidación es $2, ¿cuál era su precio original? 20. (Precio de mayoreo) Un artículo se vende por $12. Si la ganancia es de 50% del precio de mayoreo, ¿cuál es el precio de mayoreo? 21. (Porcentaje de descuento) Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artículo, y aún así obtiene una ganancia del 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado? 22. (Mezclas) Diez libras de cacahuates tienen un precio de 75¢ por libra y 12 libras de nueces valen 80¢ por libra; se mezclan con pacana; la cual tiene un valor de $1.10 por libra, para producir una mezcla que vale 90¢ por libra. ¿Cuántas libras de pacana deben utilizarse? 23. (Mezclas) ¿Qué cantidad de una solución de ácido al 10% debe mezclarse con 10 onzas de una solución de ácido al 15% para obtener un solución de ácido al 12%? 24. (Mezclas) ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 15 onzas de una solución de ácido al 20% para obtener un solución de ácido al 12%? 25. (Mezclas) Una muestra de agua de mar tiene un contenido de 20% de sal. Se agrega agua pura para obtener 75 onzas de una solución salina al 8%. ¿Cuánta agua de mar estaba en la muestra? 26. (Mezclas) ¿Cuánta agua debe evaporarse de 300 onzas de una solución salina al 12% para obtener una solución salina al 15%?
27. (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de niacina por onza, y la sustancia B contiene 2 miligramos de niacina por onza. ¿En qué proporciones deben mezclarse A y B de modo que la mezcla resultante contenga 4 miligramos de niacina por onza? 28. (Agricultura) Una cosecha de papas da un promedio de 16 toneladas métricas de proteína por kilómetro cuadrado de área plantada, mientras que el maíz produce 24 toneladas métricas por kilómetro cuadrado. ¿En qué proporciones deben plantarse las papas y el maíz para obtener 21 toneladas de proteína por kilómetro cuadrado de la cosecha combinada? 29. (Utilidades de fabricantes) A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 60¢ por artículo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 90¢, encuentre cuántos artículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000. 30. (Ganancia en revistas) El costo de publicar cada copia de una revista semanal es de 28¢. El ingreso de las ventas al distribuidor es 24¢ por copia y de los anuncios es de 20% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 3000 copias. ¿Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana para generar una utilidad semanal de $1000? 31. (Venta de automóviles) Un vendedor de autos usados compró dos automóviles por $2900. Vendió uno con una ganancia de 10% y otro con una pérdida de 5% y aún obtuvo una ganancia de $185 en la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil. 32. (Salario) Un empresario está estableciendo un pequeño negocio. Sus costos fijos son $720 semanales, y planea emplear 48 horas de mano de obra semanales. Él desea asegurar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra y que su producto se venda a sólo 40% sobre el costo total. ¿Qué salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artículos por semana, ¿a qué precio debe venderlos?
2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación del tipo ax2 bx c 0
(a 0)
(1)
donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuación cuadrática en la variable x. Existen tres métodos para resolver una ecuación de ese tipo: factorizando, usando la fórmula cuadrática y completando el cuadrado. Cualquiera que sea el méSECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS
73
todo que se utilice, la primera etapa para resolverla es disponer la ecuación en la forma estándar de la ecuación (1). En esta forma, el lado derecho de la ecuación es cero y en el lado izquierdo se encuentran los términos en x2, en x y las constantes. Por tanto, el procedimiento para llegar a esta forma estándar es, en primer término, eliminar todas las fracciones que aparezcan, multiplicando toda la ecuación por su denominador común, luego eliminar los paréntesis, enseguida pasar todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y, por último, simplificar los términos semejantes. Los siguientes ejemplos ilustran este procedimiento, junto con el método de factorización. EJEMPLO 1
Resuelva la ecuación 3(x2 1) 5(1 x).
Solución No hay fracciones en esta ecuación. Al eliminar los paréntesis, encontramos que 3x2 3 5 5x Después de que todos los términos de la derecha se pasan al primer miembro, la ecuación se transforma en 3x2 3 5 5x 0 o bien 3x2 5x 2 0 Así, tenemos una ecuación cuadrática con coeficientes a 3, b 5 y c 2. Al utilizar el método de factorización, factorizamos la expresión de la izquierda. En este ejemplo, tenemos 3x2 5x 2 (3x 1)(x 2) y así, la última ecuación toma la forma (3x 1)(x 2) 0 El producto de los dos factores (3x 1) y (x 2) es cero. Ahora utilizamos la siguiente propiedad de los números reales:
Propiedad del factor cero: Si A y B son números reales y AB 0, entonces A 0 o B 0, o ambos son iguales a cero.*
☛ 10. Resuelva cada ecuación: (a) (x – 2)(x 4) 0 (b) (y 2)(2y – 5) 0
Respuesta (a) x 2 o –4 (b) y 2 o 52
74
En consecuencia, 3x 1 0 o x 2 0. En el primer caso, 3x 1, de donde x En el segundo, x 2 0 implica que x 2. Así, x 13 o x 2. Estos números nos dan las dos raíces de la ecuación dada. ☛ 10 1. 3
* El producto de dos factores no puede ser cero a menos que uno de los dos factores sea cero.
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
Observemos que el punto crucial del método de factorización consiste en escribir la expresión cuadrática ax2 bx c, que es la forma estándar de la ecuación, como el producto de dos factores lineales. Dado que este producto está igualado a cero, se sigue que alguno de los factores debe ser cero. EJEMPLO 2
Resuelva (2x 3)(3x 1) 4.
Solución Escribimos la ecuación dada con su lado derecho igual a cero y simplificamos. (2x 3)(3x 1) 4 0 (6x2 7x 3) 4 0 6x2 7x 1 0 Factorizando, obtenemos (6x 1)(x 1) 0 Por tanto, tenemos las siguientes igualdades: 6x 1 0 o bien 6x 1 x 16
☛ 11. Resuelva por factorización: 2x2 x – 21 0
Las raíces buscadas son 16 y 1.
x 1 0 x 1
☛ 11
Fórmula cuadrática Recordemos que las raíces de la ecuación cuadrática ax2 bx c 0
(a 0)
están dadas por la fórmula cuadrática b b 2 a 4c x 2a Esta fórmula es utilizada ampliamente y debe memorizarse. (Asimismo se probará al final de esta sección). Para resolver una ecuación cuadrática, podemos usar esta fórmula de la siguiente manera. En primer lugar, reducimos la ecuación a la forma estándar. Luego, identificamos a, b y c, los tres coeficientes que aparecen en la forma estándar, y simplemente sustituimos estos coeficientes en la fórmula cuadrática. EJEMPLO 3 Respuesta x 3 o – 72
Resuelva la ecuación (2x 3)(3x 1) 4.
Solución Esta ecuación se resolvió por el método de factorización en el ejemplo 2; ahora la resolveremos usando la fórmula cuadrática.
SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS
75
La ecuación considerada, al expresarse en la forma estándar (revise el ejemplo 2) es 6x2 7x 1 0 Si comparamos ésta con la ecuación general ax2 bx c 0, tenemos que a 6, b 7 y c 1. La fórmula cuadrática da las siguientes igualdades: b b 2 a 4c x 2a 7 4 9 (6 4)( 1) 2(6) 7 2 5 12 7 5 12 7 5 12
o bien
2 12
o bien
12 12
1 6
o bien
1
7 5 12
De aquí, las raíces son 16 y 1, las cuales se encontraron en el ejemplo 2. Observación El método de factorización con frecuencia es un método más rápido para solucionar una ecuación cuadrática que el método de la fórmula, pero en algunas ocasiones es difícil reconocer los factores. Más aún, muchas expresiones cuadráticas no tienen factores racionales; en tales casos es imposible factorizar por inspección. EJEMPLO 4
Resuelva la ecuación 2x2 x 2 0.
Solución Si comparamos la ecuación dada con la forma estándar ax2 bx c 0, advertimos que los coeficientes son a 2, b 1 y c 2. De este modo tenemos las siguientes igualdades: b b 2 a 4c x 2a (1) ( 1 )2 (2 4)( 2) 22 1 1 16 4 7 1 1 4
76
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
☛ 12. Resuelva la ecuación: x2 – 3x 1 0 Respuesta x 12 (3 5)
En consecuencia, las raíces son 14(1 1 7) 1.281 y 14(1 1 7) 0.781.* ☛ 12 EJEMPLO 5
Resuelva la ecuación x4 – 3x2 – 7 0.
Solución Como aparece, esta ecuación no es una ecuación cuadrática. Sin embargo, si hacemos x2 z, obtenemos z2 – 3z – 7 0 que es una ecuación cuadrática para z. De la fórmula cuadrática obtenemos las soluciones 3 3 7 (3) (3 )2 4 (1 )( 7) z 2 21 Éstas son z 4.54 y z 1.54. Pero, como z x2, entonces z no puede ser negativa, de modo que sólo aplica la primera de estas raíces. Tomando su raíz cuadrada entonces obtenemos ☛ 13. Resuelva las ecuaciones: (a) x6 – 7x3 – 8 0 (b) x4 – 7x2 – 8 0
x
1 4 2.13 (3 37) 4.5 2
☛ 13
Completar el cuadrado El tercer método para resolver ecuaciones cuadráticas se denomina completar el cuadrado. La propiedad subyacente de los números reales es la siguiente:
Propiedad de la raíz cuadrada: Si X2 A, donde A 0, entonces X A . Por ejemplo, si X2 3, entonces X 3 1.73 o X 3 1.73. El objetivo de este método es escribir la ecuación cuadrática en la forma X2 A, donde A es algún número y X es una expresión lineal que incluye a la variable x. Explicaremos este método por medio de la siguiente ecuación cuadrática particular x2 6x 7 0
(2)
Escribamos esta ecuación en la forma equivalente: x2 6x 7
(3)
De la identidad del cuadrado de un binomio tenemos (x 3)2 x2 2 x 3 32 x2 6x 9
(4)
Comparando el lado derecho de la ecuación (4) con el izquierdo de la ecuación (3), notamos que sólo difieren por la constante 9. De esta manera, si sumamos 9 a ambos miembros de la ecuación (3), obtenemos x2 6x 9 7 9 16 Respuesta (a) x 2 o –1 (b) x 8
* Revise la nota al pie de la página 57.
SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS
77
☛ 14. Resuelva las ecuaciones: (a) x2 – 9 0 (b) (x 1)2 4 (c) (x 1)2 4
Respuesta (a) x ±3 (b) x 1, 3 (c) No hay solución
o, en otras palabras, (x 3)2 16 Ahora esta ecuación se resuelve fácilmente tomando la raíz cuadrada en ambos lados. x34 o bien x 3 4 En consecuencia, x 4 3 1 o x 4 3 7. Las dos soluciones son x 1 y x 7. ☛ 14 Ahora queda la siguiente pregunta, ¿por qué decidimos, a partir de la ecuación (3), considerar la cantidad (x 3)2? En realidad, ¿por qué no consideramos (x 3)2 o (x 57)2? La razón es que, después de desarrollar el cuadrado del binomio, querríamos que el resultado coincidiera con el primer miembro de la ecuación (3), por lo que a los términos en x2 y en x se refiere. Por ejemplo, si hubiésemos elegido (x 3)2, tendríamos (x 3)2 x2 6x 9; si bien el término en x2 es el mismo que el del lado izquierdo de la ecuación (3), el término en x es diferente. Con el propósito de obtener el mismo coeficiente en x que en la ecuación (3), debemos considerar (x k)2, donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en la ecuación (3) (es decir, k es igual a la mitad del coeficiente de 6, o sea 3). El procedimiento de resolución de una ecuación cuadrática completando el cuadrado se esboza en los siguientes pasos: Paso 1 Divida toda la ecuación entre el coeficiente de x2. Paso 2 Pase el término constante al segundo miembro. Paso 3 Sume k2 a ambos lados de la ecuación, en donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en el primer miembro. Paso 4 Ahora, el lado izquierdo de la ecuación es el cuadrado perfecto (x k)2, de modo que la solución se obtiene extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados. EJEMPLO 6
Resuelva la ecuación 2x2 x 2 0, completando el cuadrado.
Solución ☛ 15. Complete el cuadrado en cada caso: (a) x2 – 4x 1 (b) 3x2 2x 1 (c) 2y2 5y 2 0
Paso 1 Al dividir toda la ecuación entre 2, obtenemos x2 12x 1 0. x2 12x 1.
Paso 2
Paso 3 El coeficiente de x es 12. Debemos tomar k como la mitad de esto, es decir, 14. Así, debemos sumar k2 (14)2 116 a ambos lados. x2 12x 116 1 116 1176 Paso 4 El primer miembro de esta ecuación ahora es (x k)2, es decir [x (14)]2. De modo que (x 14)2 1176 Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que 1 x 4
Respuesta (a) (x – 2)2 5
17
16 4 17
(b) (x 1)2 4
y por tanto, x 14 17/4. (Esto concuerda con las raíces encontradas en el ejem-
(c) (y 5)2 9
plo 4).
3
4
78
9
16
☛ 15
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
Concluimos esta sección deduciendo la fórmula cuadrática para la ecuación cuadrática ax2 bx c 0, con a 0. La demostración sigue el método de completar el cuadrado. Empezamos pasando el término constante a la derecha: ax2 bx c Dividiendo ambos lados entre a (esto es posible dado que a 0), obtenemos b c x2 x a a
(5)
De acuerdo con el método de completar cuadrados, debemos dividir el coeficiente de x (que es b/a) entre 2, (con b/2a) y el cuadrado del resultado sumarlo a ambos lados. Así, tenemos las siguientes igualdades: 4ac b2
b ac 4a 2a
b b x2 x a 2a
2
2
2
Pero el primer miembro es (x b/2a)2, como puede comprobar por la fórmula del cuadrado de un binomio. Por tanto, obtenemos b2 4ac
b x 4a 2a 2
2
Después de extraer raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que b x 2a
b2 4ac b2 4ac 2a 2 4a
Por tanto, b b 2 a 4c x 2a como se requería. Una observación final: la cantidad D b2 4ac se denomina el discriminante. Si D 0, el término dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática se hace cero. En este caso, las raíces de la ecuación coinciden, de modo que no hay raíces distintas. Por ejemplo, una ecuación de este tipo es la ecuación cuadrática x2 10x 25 0, la que sólo tiene la raíz x 5. Si D < 0, la cantidad dentro de la raíz cuadrada es negativa. En este caso, la ecuación cuadrática ax2 bx c 0 no tiene raíces que sean números reales. Por ejemplo, consideremos la ecuación x2 2x 2 0 (en la cual a 1, b 2 y c 2). De la fórmula cuadrática, tenemos que b b 2 a 4c x 2a (2) ( 2 )2 (1 4)( 2) 2(1) 4 2 2
SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS
79
Pero la expresión 4 no tiene sentido como número real, por tanto, concluimos que la ecuación dada no tiene raíces reales.*
EJERCICIOS 2-3 (1-22) Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización. 1.
x2
5x 6 0
2.
x2
3x 2 0
3. x2 9x 14 0
4. x2 5x 6 0
5. x2 4x 4 0
6. x2 6x 9 0
7.
x2
7x 12 0
8.
x2
2x 3 0
9. x2 1 0
10. x2 25 0
11. x2 8x 0
12. 4x2 5x 0
13.
6x2
5 1 x 0 2 4
x2 10 14. x 2 0 2 3
(23-34) Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula cuadrática. 23. x2 3x 1 0
24. x2 4x 2 0
25. 2x2 3x 4 0
26. 3x2 6x 2 0
27. x2 x 3 0
28. 4x2 12x 9 0
29. 4x2 20x 25 0
30. 2x2 5x 3 0
31. 5x (x 2) 6 3 32. (4x 1)(2x 3) 18x 4 33. (x 1)2 2(x 1)2
34. (2x 1)2 3(x 1)2
15. 2x2 5x 3 0
16. 3x2 11x 10 0
17. 6x2 x 2 0
18. 4x2 4x 15 0
(35-44) Resuelva las siguientes ecuaciones, completando el cuadrado.
19. (x 3)(x 3) x 9
20. 6x2 12x 14 0
35. x2 6x 1 0
36. x2 2x 4 0
21. x4 5x2 4 0
22. x4 3x2 2 0
37. x2 3x 1 0
38. x2 5x 5 0
39. 4x2 8x 3 0
40. 2x2 14x 1 0
* Las cantidades que son raíces cuadradas de números negativos se denominan números imaginarios. En particular, 1 se llama unidad imaginaria y se denota mediante i. Por ejemplo, de esta manera podemos escribir 4 (4 )( 1) 2 1 2i. En forma parecida, todo número imaginario puede escribirse en la forma iB, donde B es algún número real. La solución del último ejemplo puede escribirse en la forma x 12 (2 4 12(2 2i) 1 i Observemos que estas soluciones constan de dos partes, una parte real, la cual es 1, y una parte imaginaria, que es i o i, que depende de la raíz que tomemos. Cualquier número que puede escribirse como la suma de un número real y un número imaginario se denomina número complejo. En general, un número complejo tiene la forma A iB, donde A y B son números reales. Así, cuando b2 4ac 0, las soluciones de una ecuación cuadrática constan de dos números reales distintos. Si b2 4ac 0, existe una única solución y es un número real. Y cuando b2 4ac 0, existen dos soluciones distintas que son números complejos. Todas las operaciones ordinarias se pueden realizar con números complejos. Sólo debemos recordar que i 2 1.
80
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
41. 7x 3(x2 5) x 3 42. 2x(4x 1) 4 2x 43. x(x 1)(x 3) (x
2)3
65. x4 3x2 4 0
66. 2x4 x2 1 0
67. 2x2/3 x1/3 1 0
68. x2/5 3x1/5 2 0
(45-68) Resuelva las siguientes ecuaciones por el método apropiado.
69. Resuelva s ut 12 gt2 para t. 2a 70. Resuelva s 2 para a. 1a 71. Resuelva A 2R(R H) para R.
45. 6x2 11
46. 5x2 7 0
72. Resuelva A = 2x2 4xy para x.
47. 6x2 11x
48. 2(x2 1) 5x
73. Si 2 es una raíz de x2 – kx 2 0, encuentre la otra raíz.
44. (x 1)3 (x 1)3 8x
49.
15x2
40(x 2)
50. (3x 5)(2x 3) 8
51. 3x(2x 5) 4x 3 52. (x 1)2 2x2
53. x2 2(x 1)(x 2)
54. 2x(x 1) x2 1
55.
x2 56. 2x 1 x 3
x2 11 57. x 1 3 6
58. 5x2 72x 12x 1
59. 2x2 3x 1 0
60. x2 3x 2 0
61. 3x2 5x 3
2x2 3
53x x 1
74. Si –1 es una raíz de 2x2 5x k 0, encuentre la otra raíz. 75. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 – 2xy 1 – 3y2 0 a. Para x en términos de y b. Para y en términos de x 76. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación 3x2 – 2y2 xy 1
62. 2x2 5x 2 63. (2x 3)(x 1) (x 2)(x 1) 2
a. Para x en términos de y
64. (3x 1)(x 2) (2x 1)(x 3) 5
b. Para y en términos de x
2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS EJEMPLO 1 Sue es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60, ¿cuál es la edad de Bobby? Solución Asigna a x la edad de Bobby. Entonces Sue tiene x 7 años. Esto significa que el producto (Edad de Bobby) (Edad de Sue) x(x 7) 60 Esto es, x2 7x – 60 0 Esto se factoriza como (x – 5)(x 12) 0, de modo que x 5 o x 12. Pero, x no puede ser negativa, por lo que la edad de Bobby es 5. EJEMPLO 2 Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata, cortando cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja contiene 280 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata. SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
81
Solución Si denotamos con x pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es (x 3) pulgadas y su altura 4 pulgadas. (Figura 1). El volumen de la caja está dado por (Largo)(Ancho)(Altura) (x 3)(x)(4) 4x(x 3).
FIGURA 1 Pero la caja contiene 280 pulgadas cúbicas, de modo que 4x(x 3) 280 Dividiendo ambos lados entre 4, tenemos x(x 3) 70 x2 3x – 70 0
(i)
Comparando esto con la fórmula cuadrática ax2 bx c 0 tenemos a 1, b 3, c 70. Entonces, por la fórmula cuadrática las raíces de (i) están dadas por b b2 4ac x 2a 3 9 4 (1 )( 70) 2(1) 3 9 280 2 3 17 2 3 17 2 7 ☛ 16. Resuelva el ejemplo 2 si el ancho es 4 pulgadas menor que el largo y el volumen es de 240 pulgadas cúbicas.
Respuesta 14 18 pulgadas.
82
o
o
3 17 2
10
Pero x 10 no es aceptable, ya que x representa el ancho de la caja, y el ancho no puede ser un número negativo. Así x 7. Las dimensiones de la hoja de lata antes de que le cortemos las esquinas son x 8 y (x 3) 8. Ya que x 7, las dimensiones son 15 y 18 pulgadas. ☛ 16 EJEMPLO 3 (Renta de departamento) Steve es propietario de un edificio que tiene 60 departamentos. Él puede rentar todos los departamentos si cobra una renta de
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
$180 mensuales. Con una renta mayor, algunos de los departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de $5 en la renta, 1 departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre la renta que debe cobrar por cada departamento para obtener un ingreso total de $11,475. Solución Asigne a n el número de incrementos de 5 dólares. Entonces el aumento en la renta por departamento es 5n dólares, lo cual significa que la renta por departamento es (180 5n) dólares. Entonces el número de unidades no rentadas será n, de modo que el número de rentados será 60 – n. La renta total que él recibirá está dada por Ingreso por la renta (Renta por depto.) (Número de deptos. rentados) Por tanto, 11,475 (180 5n)(60 – n) o bien, 11,475 5(36 n)(60 – n) Dividiendo ambos miembros entre 5, obtenemos 2295 (36 n)(60 – n) 2160 24n – n2 Por tanto, n2 – 24n 135 0 (n – 9)(n – 15) 0
☛ 17. En el ejemplo 3, ¿cuál es el ingreso total por rentas, cuando la renta es de $200 mensuales?
Por lo que n 9 o 15. Por consiguiente, la renta debe ser 180 5n, que es 180 45 $225 o 180 75 $255. En el primer caso, 9 de los departamentos quedarán vacantes y los 51 departamentos rentados producirán un ingreso de $225 cada uno. En el segundo caso, cuando la renta es $255, 15 departamentos quedarán vacantes y sólo 45 rentados, pero el ingreso total será el mismo. ☛ 17 El ingreso de un negocio para un periodo de operación dado es el nombre dado al total de lo que recibe durante ese periodo. La utilidad es igual a este ingreso menos el costo de operación para el periodo en cuestión. Escribimos esto
Respuesta $200 56.
Utilidad Ingreso – Costos ☛ 18. Una compañía vende su producto a $9 por unidad. Producir x unidades por semana cuesta $(4x 3000) ¿Cuáles son los ingresos y ganancias de la compañía, si x unidades se producen y venden por semana?
Respuesta Ingreso 9x, utilidad 5x – 3000.
Cuando los ingresos provienen de la venta de un bien particular, también tenemos la ecuación general Ingreso (Precio de venta por unidad) (Número de unidades vendidas) ☛ 18 EJEMPLO 4 (Decisión de precio) La cámara de comercio del huevo de Columbia Británica sabe por experiencias pasadas que si cobra p dólares por docena de huevos, el número vendido por semana será x millones de docenas, donde p 2 – x. Entonces su ingreso semanal total sería R xp x(2 – x) millones de dólares. El SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
83
costo para la industria de producir x millones de docenas de huevos por semana está dado por C 0.25 0.5x millones de dólares. ¿A qué precio se deben vender los huevos para asegurar una utilidad de $0.25 millones? Solución La utilidad está dada por la siguiente ecuación: PR–C x(2 – x) – (0.25 0.5x) x2 1.5x – 0.25 Haciendo ésta igual a 0.25, obtenemos la ecuación: x2 1.5x – 0.25 0.25 o x2 – 1.5x 0.5 0 Utilizando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces para x. 4ac b b2 x 2a (1 .5 )2 4 (1 )(0 .5) (1.5) (2)(1) .25 2 1.5 2 2 12 (1.5 0.5) 1
o
0.5
Ahora p 2 – x. De modo que cuando x 1, tenemos p 1, y cuando x 0.5, p 1.5. Así, la cámara de comercio tiene una elección entre dos políticas. Puede cobrar $1 por docena, en cuyo caso las ventas serán de 1 millón de docenas, o puede cobrar $1.50 por docena, con lo que las ventas serán de 0.5 millones de docenas por semana. En cualquier caso las utilidades para la industria serán de $0.25 millones por semana. ☛ 19. Una suma de $200 se invirtió durante 2 años a una tasa de interés de 6% anual. El interés del primer año no se retira y genera interés durante el segundo año. ¿Cuál es el valor final total de la inversión?
Respuesta $200(1.06)2 o $224.72
84
En el ejemplo 6 de la sección 2-2 vimos que una suma P invertida a una tasa de interés de R% devenga una cantidad de interés de P(R/10) en un año. Al final del año, el valor total de la inversión es
R R Capital inicial Interés P P P 1 100 100
☛ 19
EJEMPLO 5 (Inversión) Una suma de $400 se invirtió a una tasa de interés R% anual. Al final del año, el capital y el interés se dejan para que generen interés durante el segundo año. Determine R si el valor total de la inversión al final del segundo año es $484.
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
Solución Al final del primer año, el valor total, como se analizó anteriormente, es
R R P 1 400 1 P1 100 100 Este nuevo capital total genera interés durante el segundo año, de modo que el valor de la inversión al final del segundo año es
R R P1 1 400 1 100 100
2
Así, tenemos la ecuación cuadrática
R 2 400 1 484 100 que se resolverá para R. No la escribimos en la forma estándar, sólo tomamos las raíces cuadradas de ambos lados:
1 1R00 448040 1.21 2
de modo que
R 1 1.1 100
R no puede ser negativa, de modo que la solución con sentido es 1 R/100 1.1 o R 10. La tasa de interés es 10%. EJEMPLO 6 (Inversión) Una compañía desea reservar una suma de $1 millón para invertirlo a una tasa de interés y utilizarlo en una fecha posterior para liquidar dos emisiones de bonos que deberá pagar. Un año después de que la suma se invirtió por primera vez, se requerirán $250,000 para la primera emisión; un año después, se necesitarán $900,000 más para la segunda emisión. Determine la tasa de interés necesaria para que la inversión sea suficiente para cubrir ambos pagos. Solución Sea R% al año, la tasa de interés. Cuando se invierte a esta tasa, el valor de la inversión después de 1 año es
R R R P 1 (1 millón) 1 1 millones de dólares 100 100 100 En ese instante, se retiran 0.25 millones; por tanto, al inicio del segundo año, el monto aún invertido es (en millones),
R R P 1 0.25 0.75 100 100 Después de un segundo año de interés, el valor de la inversión es
R R P 1 0.75 100 100
1 1R00
Éste debe ser el monto (0.9 millones) necesario para pagar la emisión del segundo bono. Por tanto, llegamos a la ecuación
0.75 1R00 1 1R00 0.9 SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
85
Así,
R R 2 0.75 1.75 0.9 100 100 Multiplicando ambos miembros por 1002 para eliminar las fracciones, llegamos a la ecuación 7500 175R R2 9000 o R2 175R – 1500 0 De la fórmula cuadrática (con a 1, b 175 y c 1500), encontramos el valor siguiente para R. 4 (1 )( 1500) 175 1752 R 2(1) 0,6 25 0 600] 12 [175 3 12 [175 36,6 25] 12 [175 191.4] 8.2 o bien
183.2
Es claro que la segunda solución no tiene sentido práctico, una tasa de interés difícilmente sería negativa. La solución que tiene sentido es R 8.2. De modo que la inversión debe devengar 8.2% anual, a fin de proporcionar suficientes fondos para pagar la emisión de bonos.
EJERCICIOS 2-4 1. Determine dos números cuya suma sea 15, y la suma de sus cuadrados sea 137. 2. Determine dos enteros impares consecutivos cuyo producto sea 143. 3. Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea 132. 4. Encuentre dos enteros pares consecutivos, tal que la suma de sus cuadrados sea 100.
9. Se quitan cuadrados iguales de cada esquina de una hoja metálica rectangular cuyas dimensiones son 20 por 16 pulgadas. Después los lados se doblan hacia arriba para formar una caja rectangular. Si la base de la caja tiene un área de 140 pulgadas cuadradas, determine el lado del cuadrado que se quitó de cada esquina.
5. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 centímetros. Determine los otros dos lados del triángulo, si su suma es 17 centímetros.
10. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye a partir de una pieza cuadrada de metal, cortando cuadrados de 2 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Encuentre las dimensiones de la hoja metálica, si el volumen de la caja debe ser de 50 pulgadas cúbicas.
6. El diámetro de un círculo es 8 centímetros. ¿En cuánto debe aumentar el radio para que el área aumente 33 centímetros cuadrados?
11. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h (en pies), recorrida en t segundos, está dada por la fórmula
7. El perímetro de un rectángulo es de 20 pulgadas y su área de 24 pulgadas cuadradas. Determine las longitudes de sus lados.
h 80t – 16t2
8. El perímetro de un rectángulo es 24 centímetros y su área es 32 centímetros cuadrados. Encuentre las longitudes de sus lados.
86
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
a. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanzará una altura de 64 pies? b. ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en regresar al piso?
c. Determine la altura máxima que la pelota alcanza. (Sugerencia: El tiempo de recorrido hacia arriba es igual a la mitad del tiempo en que regresa al piso). 12. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 128 pies por segundo. El proyectil está a una altura h después de t segundos del lanzamiento, en donde h 128t – 16t2. a. ¿Después de cuánto tiempo el proyectil estará a una altura de 192 pies por encima del suelo? b. ¿En qué momento el proyectil regresará al suelo? Determine la altura máxima que alcanza el proyectil. 13. (Problema de costo) Un vendedor vendió un reloj en $75. Su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj. 14. (Interés compuesto) Por cada $100 invertidos en préstamos comerciales con garantía, un banco recibe $116.64 después de 2 años. Esta cantidad representa el capital y el interés compuesto anualmente. ¿Cuál es la tasa de interés anual? 15. (Interés compuesto) Dentro de dos años, la compañía XYZ requerirá $1,102,500 para retirar algunos de sus bonos. ¿A qué tasa de interés compuesto anualmente deben invertirse $1,000,000 durante el periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar los bonos? 16. (Renta de apartamentos) Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos. Del pasado se sabe que si ellos cobran una renta mensual de $150 por apartamento, todas las viviendas se ocuparán, pero por cada incremento de $3 en la renta, es muy probable que un apartamento permanezca vacante. ¿Cuál debe ser la renta que se debe cobrar para generar los mismos $9000 de ingreso total que se obtendrían con una renta de $150, y al mismo tiempo dejar algunos apartamentos vacantes? 17. (Renta de apartamentos) En el ejercicio 16, el mantenimiento, los servicios y otros costos del edificio ascienden a $5000 por mes más $50 por cada apartamento ocupado y $20 por cada apartamento vacante. ¿Qué renta debe cobrarse, si la ganancia será de $1225 mensual? (La utilidad es el ingreso por las rentas menos todos los costos). 18. (Decisión de precio) Si un editor pone un precio de $20 a un libro, se venderán 20,000 copias. Por cada dólar que aumente al precio se dejarán de vender 500 libros. ¿Cuál debe ser el costo de cada libro para generar un ingreso total por la ventas de $425,000? 19. (Decisión de precio) En el ejercicio 18, el costo por producir cada copia es $16. ¿Qué precio debe cobrar el editor para tener una utilidad de $200,000?
20. (Decisión de precio) En el ejercicio 19, suponga que además del costo de $16 por copia, el editor debe pagar regalías al autor del libro igual al 10% del precio de venta. ¿Ahora qué precio debe cobrar por copia para obtener una utilidad de $200,000? 21. (Inversión) Una suma de $100 se invirtió a un interés durante un año; después, junto con los intereses generados, se invierte durante un segundo año al doble de la primera tasa de interés. Si la suma total lograda es $112.32, ¿cuáles son las dos tasas de interés? 22. (Inversión) En el ejercicio 21, se retiran $25 después del primer año y el resto se invierte al doble de la tasa de interés. Si el valor de la inversión al final del segundo año es $88, ¿cuáles son las dos tasas de interés? 23. (Decisión de producción y de precio) Cada semana, una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p 600 – 5x. A la compañía le cuesta (8000 75x) dólares producir x unidades. a. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un ingreso de $17,500? b. ¿Qué precio por unidad debe cobrar la compañía para obtener un ingreso semanal de $18,000? c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad semanal de $5500? d. ¿A qué precio por unidad la compañía generará un utilidad semanal de $5750? 24. (Decisión de producción y de precio) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana a un precio de p dólares por unidad, donde p 200 – x. Producir x unidades cuesta (2800 45x) dólares. a. ¿Cuántas unidades deben venderse cada semana para generar un ingreso de $9600? b. ¿A qué precio por unidad se generará un ingreso semanal de $9900? c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante cada semana para obtener una utilidad de $3200? d. ¿A qué precio por unidad obtendrá una utilidad semanal de $3150? 25. (Política de precios) Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $2 una botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x 24 – 2p, cuando el precio es p. ¿Qué valor de p da un ingreso total de $7 millones por semana? ¿Qué valor de p da, a la Cámara del Vino, una utilidad de $4.8 millones semanales?
SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
87
REPASO DEL CAPÍTULO 2 Términos, símbolos y conceptos importantes
Fórmulas
2.1 Ecuación, solución o raíz de una ecuación. Ecuaciones equivalentes. Los principios de suma y multiplicación para ecuaciones. Ecuación polinomial, grado, ecuación lineal, ecuación cuadrática. Procedimiento paso a paso para resolver una ecuación lineal.
Fórmula del interés anual:
2.2 Procedimiento paso a paso para manipular problemas planteados en palabras. Fórmula de interés anual.
Fórmula cuadrática: Si ax2 bx c 0, entonces
2.3 Forma estándar de una ecuación cuadrática. Propiedad del factor cero: solución de una ecuación cuadrática por medio de factorización. Fórmula cuadrática. Propiedad de la raíz cuadrada: completar el cuadrado. 2.4 Ingreso, costos, utilidad.
R I P 100
R Valor después de un año P 1 100
b b2 4ac x 2a Utilidad Ingreso – Costos Ingreso (Precio de venta por unidad) (Número de unidades vendidas)
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2 1.
Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada proposición falsa con una proposición verdadera. a Si ambos lados de una ecuación se multiplican por una constante, las raíces de la ecuación no se alteran. b. Cualquier expresión puede sumarse a ambos lados de una ecuación y las raíces seguirán siendo las mismas. c. Las raíces de una ecuación no se alteran cuando ambos lados se multiplican por una expresión que contiene la variable. d. Es posible elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación sin alterar sus raíces. e. Si px q, se sigue que x q p.
j. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces distintas. k. Es posible que una ecuación lineal no tenga raíces. l. Es factible que una ecuación cuadrática no tenga raíces. (2-29) Resuelva las siguientes ecuaciones para x. 2. 3(2 x) x 5(2x 1) 2 3. 2(1 4x) 1 x 2(2 3x) 4. 4(3x 1) 3(2x 1) 1 7x
f. Una ecuación cuadrática es de la forma ax2 bx c 0, en donde a, b y c son constantes cualesquiera.
5. 3(2x 3) 2(x 7) 4(x 1) 3
g. La solución de la ecuación x2 4 está dada por x 2.
6. 5x 2(3x 1) x 2(1 5x)
h. Las raíces de la ecuación cuadrática ax2 bx c 0, a 0, están dadas por
7. (3x 1)2 (3x 1)2 12x 7
b x b 2 a 4c 2a
88
i. Una ecuación lineal siempre tiene exactamente una raíz.
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
8. x2 13x 40 0
9. 3x2 11x 10 0 1 1 c 10. x a b x x x 11. a b c bc ca ab 12. (3x 2)2 (3x 1)2 13. (2x 1)2 3x2 (x 1)(x 2) 14. (2x 1)(x 3) (2x 5)(x 1)
(30-32) Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables indicadas. 1 1 1 30. x y z a.
16. (x 1)(2x 5) (x 2)(x 3)
b. para z
a rl 31. S 1r a.
para r
b. para l
32. P P0(1 R/100)2 a.
15. (x 2)(x 3) 2 (x 1)(x 2)
para y
para P0
b. para R
33. (Inversiones) El ganador de la Lotería Nacional quiere invertir su premio de $100,000 en dos inversiones al 8 y 10%. ¿Cuánto debería invertir en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales por $8500?
17. 1 (3x 4)(x 2) (2x 1)(x 3) 18. (x 2)(2x 1) 1 (x 3)(x 1) 19. (x 1)(2x 5) 2(x 2)(x 3) 20. 5x2 13x 6 x x x 21. pq qr rp r p q 1 1 1 22. 3 5 x2 23. 28 (x 5)(x 7) (3x 1)(x 2) 24. 2 x5 x 1 25. x5 x 1 26. x 3 5 x1 1 27. x 2 2 x 8 28. 2x2 x 4 29. 4x 83x
34. (Embarque de muebles) El Mercado de Muebles de Occidente recibió 55 artículos, entre buroes y mesas para café. La factura fue por $645. Si cada buró cuesta $9 y cada mesa para café tiene un precio de $15, ¿cuántos artículos de cada tipo se recibieron? 35. (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de $20 cada uno. Le cuesta $12.50 producir cada artículo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7000 al mes con el fin de operar la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $5000 al mes. 36. (Decisiones sobre fabricación) Un fabricante de televisores decide producir sus propios cinescopios, ya que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $5.70 cada uno. La fabricación de los cinescopios acarreará costos adicionales de $960 al mes y el costo de mano de obra y materiales será de $4.20 por cada cinescopio. ¿Cuántos cinescopios debería usar al mes con el fin de justificar la decisión de fabricarlos? 37. (Utilidades del productor) El número de unidades de un producto que un fabricante puede vender a la semana depende del precio que les fije. Suponiendo que al precio de p dólares, pueden venderse x artículos a la semana, en donde x 300(6 p). Cada unidad tiene costo de fabricación de $3. La utilidad por artículo es, por lo tanto, (p 3) dólares y la utilidad semanal es (p 3)x dólares. Determine el valor de p que producirá una utilidad semanal de $600.
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2
89
38. (Decisiones sobre producción) Un fabricante puede vender x unidades de un producto a la semana a un precio de p dólares por unidad, en donde x 160(10 p). Producir x unidades a la semana cuesta (4x 400) dólares. ¿Cuántas unidades debería producir y vender para obtener una utilidad semanal de $1000? 39. (Utilidades de una empresa) Una tintorería ofrece servicio 8 horas diarias de lunes a viernes y cierra el fin de semana. El establecimiento maneja 15 transacciones (operaciones) por hora, y el promedio de ingresos por transacción es de $6. El costo de mano de obra es de $16 por hora y el alqui-
90
CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE
ler del local y el equipo de $560 semanales. El único costo adicional para el operador es en materias primas: C dólares por transacción. a. Exprese la utilidad semanal U en términos de C. b. Supongamos que la tintorería obtiene actualmente utilidades de $600 a la semana. El costo de materias primas, esto es C, aumentará 20% el próximo mes. Los precios al público, se incrementarán 10%. Suponiendo que ningún otro factor varía y que, en particular, el negocio no decae, ¿cuál será la nueva utilidad por semana?
CASO DE ESTUDIO
LA EDAD DE DIOFANTO
Con base en el texto de su epitafio, que aparece al inicio de este capítulo, podemos representar en lenguaje algebraico lo expresado en él. Si denotamos con e la edad en años de Diofanto al morir, entonces la traducción de su epitafio en términos de la variable e es: Años de la niñez de Diofanto: e/6 años. Edad a la que su cara se cubrió de barba: e/6 e/12 años. Edad a la que contrajo matrimonio: e/6 e/12 e/7. Edad de Diofanto cuando se convirtió en papá: e/6 e/12 e/7 5.
Edad de Diofanto cuando falleció su hijo: e/6 e/12 e/7 5 e/2. Edad de Diofanto cuando murió: e/6 e/12 e/7 5 e/2 4. Por tanto, podemos plantear la siguiente ecuación: e/6 e/12 e/7 5 e/2 4 e en donde el miembro del lado izquierdo representa cada una de las partes de la vida de Diofanto descritas en el epitafio, y el miembro derecho (e) es la edad de Diofanto. A partir de esta ecuación es fácil determinar su edad. Resuelva esta ecuación y responda las preguntas realizadas al inicio del capítulo.
CASO DE ESTUDIO
91
CAPÍTULO
3
Desigualdades Como vimos en el capítulo anterior, para modelar situaciones de la vida real es necesario plantear ecuaciones, pero quizá con mayor frecuencia de lo que uno cree, se necesita expresar con un modelo matemático situaciones que incluyen restricciones debidas a la materia prima, a un mínimo de producción, a un nivel mínimo de ganancia o a un máximo poder adquisitivo, etcétera. Por ejemplo: una compañía debe proporcionar a sus representantes de ventas un automóvil para uso oficial. Con el fin de simplificar el problema suponga que sólo se tiene un representante de ventas. Entonces la compañía debe decidir entre comprar, o bien, rentar un automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, tiene las dos opciones siguientes. a) Comprar un automóvil con un desembolso inicial de $60,600, más 24 mensualidades fijas de $4700, incluye el pago de un seguro para automóvil. Al término de los 24 meses, el automóvil se puede vender en $70,000, lo que se conoce como valor de rescate.
TEMARIO
92
3-1 3-2 3-3 3-4
b) Rentar un automóvil, por $3000 mensuales, más $0.60 por kilómetro recorrido y un pago único de $5000 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años. La empresa considera que en promedio su representante viaja 2000 kilómetros al mes, y esto no cambiará en los próximos dos años. Aquí lo único que debe hacer la empresa es calcular el costo en ambos planes. Al final de los dos años, 24 meses, el plan A implica un gasto de $103,400, mientras que en el plan B el gasto asciende a $105,800. Por lo que se debería elegir el plan A. Pero, si el precio por kilómetro aún se puede negociar, ¿a partir de qué precio por kilómetro es mejor el plan B que el plan A? En este capítulo se estudiarán métodos para la resolución de problemas como éste. Y la solución aparece al final del capítulo.
CONJUNTOS E INTERVALOS DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE VALORES ABSOLUTOS REPASO DEL CAPÍTULO
3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS Empecemos recordando las definiciones de los símbolos , , y , denominados símbolos de desigualdad. Los números reales distintos de cero se dividen en dos clases, los números positivos y los números negativos. Escribimos a 0 (a es mayor que cero) para indicar que a es positivo y a 0 (a es menor que cero) para señalar que a es negativo. La suma a b y el producto a b de dos números reales positivos son ambos positivos. Si a es positivo, entonces a es negativo. Si a y b son dos números reales distintos, escribimos a b si la diferencia a b es positiva y a b si a b es negativa. Por ejemplo, 5 2 porque 5 2 es positivo y 2 8 dado que 2 8 6 es negativo. Geométricamente, a b significa que el punto sobre la recta numérica que representa a a está a la derecha del punto que representa al número b, y a b significa que el punto que representa a a está a la izquierda del punto que representa a b. (Figura 1).
FIGURA 1
☛ 1. ¿Las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas? (a) 5 7 (b) 3 4 (c) Si x 5 entonces 5 x (d) Existe x tal que 3 x 4
Definimos a b (a es mayor o igual que b) para indicar que a b o que a b. De manera similar, a b (a es menor o igual que b) se usa para señalar que a b o a b. Por ejemplo, 5 7 es cierto y 5 5 porque 5 5 se cumple. Proposiciones tales como a b, a b, a b o a b se llaman desigualdades. En particular, a b y a b son desigualdades estrictas. La desigualdad a b puede escribirse en forma equivalente en la dirección opuesta como b a. Así, 5 3 es lo mismo que 3 5. Cuando un número b está entre dos números a y c con a c, escribimos a b c. La doble desigualdad se utiliza para indicar que a b y que b c. ☛ 1
Conjuntos El conocimiento de los conjuntos y de las operaciones entre conjuntos es básico en todas las matemáticas modernas. Una gran cantidad de largas proposiciones matemáticas pueden escribirse clara y concisamente en términos de conjuntos y de operaciones entre ellos.
Respuesta (a) Falsa (b) Verdadera (c) Verdadera (d) Falsa
DEFINICIÓN Toda colección de objetos bien definida se llama conjunto. Los objetos de que consta un conjunto se denominan miembros o elementos de un conjunto.
SECCIÓN 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS
93
Por una colección bien definida, entendemos que dado cualquier objeto, podemos decidir sin ambigüedad alguna si pertenece o no a la colección. Un conjunto puede especificarse en dos formas, haciendo una lista de todos sus elementos o estableciendo una regla que caracterice a los elementos del conjunto. Examinemos estos dos métodos, uno por uno. MÉTODO DEL LISTADO Si es posible especificar todos los elementos de un conjunto, éste puede describirse listando todos los elementos y encerrando la lista entre llaves. Por ejemplo, {1, 2, 5} denota al conjunto que consta de los tres números 1, 2 y 5 y {p, q} simboliza el conjunto cuyos únicos elementos son las letras p y q. En casos en que el conjunto contiene un gran número de elementos, es posible emplear a menudo lo que llamaremos una lista parcial. Por ejemplo, {2, 4, 6, . . . , 100} denota al conjunto de todos los enteros pares desde 2 hasta 100. Tres puntos suspensivos, . . . , se usan para señalar que la sucesión de elementos continúa de manera tal que es clara con base en los primeros elementos listados. La sucesión termina en 100. Por medio de los puntos suspensivos, el método de la lista puede emplearse en casos en los cuales el conjunto en cuestión contiene un número infinito de elementos. Por ejemplo, {1, 3, 5, . . . } denota al conjunto de todos los números naturales impares. La ausencia de números después de los puntos suspensivos indica que la sucesión no termina, sino que continúa indefinidamente. MÉTODO DE LA REGLA Existen muchos ejemplos en los que no es posible o que no sería conveniente listar todos los elementos de un conjunto determinado. En tales casos el conjunto puede especificarse estableciendo una regla de pertenencia. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todas las personas que viven en México en este momento. Especificar este conjunto listando todos sus elementos por nombres sería una tarea prodigiosa. En lugar de ello lo podemos denotar de la siguiente manera. {x x es una persona que actualmente vive en México} El símbolo significa tal que, de modo que esta expresión se lee: el conjunto de todas las x tales que x es una persona que actualmente vive en México. La afirmación que sigue a la barra vertical dentro de las llaves es la regla que especifica la pertenencia al conjunto. Como un segundo ejemplo, consideremos el conjunto. {x x es un punto de esta página} el cual denota el conjunto de todos los puntos de esta página. Éste es un ejemplo de un conjunto que no puede especificarse mediante el método del listado, aun si deseáramos hacerlo así. Una gran cantidad de conjuntos puede especificarse por el listado o estableciendo una regla, y podemos elegir el método que más nos agrade. Daremos varios ejemplos de conjuntos, algunos de los cuales pueden especificarse usando ambos métodos.
94
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
EJEMPLO 1 (a) Si N denota el conjunto de todos los números naturales, entonces podemos escribir N {1, 2, 3, . . . } {k k es un número natural} (b) Si P denota el conjunto de los enteros de 2 a 3, entonces P {2, 1, 0, 1, 2, 3} {x x es un entero 2 x 3} Observe que la regla de pertenencia consta de dos condiciones separadas por una coma. Cualquier elemento del conjunto debe satisfacer ambas condiciones. (c) Q {1, 4, 7, . . . , 37} {x x 3k 1, k es un entero, 0 k 12} (d) El conjunto de todos los estudiantes actualmente inscritos en la Facultad de Contaduría y Administración puede escribirse formalmente como S {x x es un estudiante inscrito actualmente en la Facultad de Contaduría y Administración}
☛ 2. Liste los elementos que pertenecen a los conjuntos: (a) {xx es un número natural, 1 x 5} (b) {xx (k 4)1, k es un entero, 2 k 2}
Respuesta (a) {1, 2, 3, 4} (b) { 12 , 13 , 14 , 15 , 16 }
Este conjunto podría especificarse también listando los nombres de todos los estudiantes involucrados. (e) El conjunto de todos los números reales mayores que 1 y menores que 2 puede especificarse mediante el método de la regla como T {x x es un número real, 1 x 2}
☛ 2
Se dice que un conjunto es finito si su número de elementos es finito; es decir, si pueden contarse. Si el número de elementos de un conjunto no es finito, se dice que es un conjunto infinito. En el ejemplo 1, todos los conjuntos de las partes (b), (c) y (d) son finitos, pero los correspondientes a las partes (a) y (e) son infinitos. Se acostumbra usar letras mayúsculas para denotar los conjuntos y letras minúsculas para sus elementos. Observe que seguimos esta convención en el ejemplo 1. Si A es un conjunto arbitrario y x cualquier objeto, la notación x A se utiliza para indicar el hecho de que x es un elemento de A. La afirmación x A se lee x pertenece a A o x es un elemento de A. La afirmación negativa x no es un elemento de A se indica escribiendo x ∉ A. En la parte (b) del ejemplo 1, 2 ∈ P pero 6 ∉ P. En el caso del conjunto de la parte (e), 2 ∈ T y 32 ∈ T, pero 2 ∉ T y ∉ T. DEFINICIÓN Un conjunto que no contiene elementos se denomina un conjunto vacío. También se utiliza el término conjunto nulo. Con el símbolo se denota un conjunto que es vacío y la proposición A significa que el conjunto A no contiene elementos. Entre los ejemplos de conjuntos vacíos están los siguientes: {x x es un entero y 3x 2} SECCIÓN 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS
95
☛ 3. ¿Las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas? (a) 2 ∈ {x0 < x2 2} (b) 23 ∉ {xx 1 k1, k es un número natural} (c) 0 ∈
{x x es un número real y x2 1 0}. El conjunto de todos los dragones vivientes. El conjunto de todos los imanes que sólo tienen un polo.
☛ 3
DEFINICIÓN Se dice que un conjunto A es un subconjunto de otro conjunto B si cada elemento de A también es un elemento de B. En tal caso, escribimos A B. Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si todo elemento de A está en B pero existe al menos un elemento de B que no está en A. En este caso escribimos A B.
EJEMPLO 2 (a) Sea A {2, 4, 6} y B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Entonces A B. Respuesta (a) Falsa (b) Falsa (c) Falsa
(b) Si N es el conjunto de todos los números naturales, I es el conjunto de todos los enteros, Q es el conjunto de todos los números racionales y R es el conjunto de todos los números reales, entonces NIQR (c) El conjunto de todas las estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma es un subconjunto del conjunto de todos los estudiantes de esa universidad. (d) Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo; es decir,
☛ 4. Liste todos los subconjuntos de {1, 2, 3}
A A para cualquier conjunto A Sin embargo, la afirmación A A no es verdadera. (e) Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A: para cualquier conjunto A
Respuesta {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅
Con el propósito de explicar esta última afirmación con más detalle, reformulemos la definición de subconjunto: B es un subconjunto de A si y sólo si no hay elementos en B que no pertenezcan a A. Es claro que no existen elementos que pertenezcan a y no pertenezcan a A por la simple razón de que no tiene elementos. En consecuencia, A. ☛ 4
Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. En forma más precisa, tenemos la siguiente definición. DEFINICIÓN Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si A B y B A. En tal caso, escribimos A B.
96
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
☛ 5. ¿Las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas? (a) {x 1 x 1} {xx2 4} (b) {0, 1, 3, 4} {xx2 4} (c) {0, 3} {xx2 3x}
En consecuencia A B si no existen objetos que pertenezcan a A y que no pertenezcan a B, o que pertenezcan a B y no pertenezcan a A.
EJEMPLO 3 (a) Si A {x x2 1}
y
B {1, 1}, entonces A B.
(b) Si A {y y2 3y 2 0}
y
B {1, 2}, entonces A B. ☛ 5
Intervalos DEFINICIÓN Sean a y b dos números reales tales que a b. Entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a, b), es el conjunto de todos los números reales x situados entre a y b. Así, (a, b) {x x es un número real y a x b} Respuesta (a) Verdadera (b) Verdadera (c) Verdadera
De manera similar, el intervalo cerrado de a a b, denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b pero que también incluye a éstos. Por tanto, [a, b] {x x es un número real y a x b} Los intervalos semicerrados, o semiabiertos, se definen de la siguiente manera: (a, b] {x a x b}
☛ 6. ¿Las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas? (a) 2 [2, 2) (b) 2 (2, 2] (c) 2 (4, q)
[a, b) {x a x b} Observación La afirmación de que x es un número real se ha omitido de las reglas que definen estos conjuntos. Esto por lo regular se hace para evitar repeticiones cuando se trabaja con conjuntos de números reales. ☛ 6 Para todos estos intervalos, (a, b), [a, b], [a, b) y (a, b], a y b se denominan los extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos, mientras que un intervalo cerrado contiene a ambos extremos. Un intervalo semicerrado contiene sólo uno de sus extremos. Los métodos de representar tales intervalos se muestran en la figura 2.
Respuesta (a) Falsa (b) Verdadera (c) Verdadera
FIGURA 2 SECCIÓN 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS
97
Para describir intervalos no acotados usamos los símbolos q (infinito) y q (menos infinito). (Revise la figura 3). Observe que q y q no son números reales.
(a) (a, q) {xx a} (b) (a, q) {xx a} (c) (q, a) {xx a} (d) (q, a) {xx a} FIGURA 3
EJERCICIOS 3-1 (1-8) Utilice del método de listado para describir los siguientes conjuntos. 1. El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que 2.
15. El intervalo [1, 1]. 16. El intervalo (1, q).
2. El conjunto de todos los naturales menores que 50.
(17-20) Escriba los siguientes conjuntos de números en forma de intervalos.
3. El conjunto de todos los enteros menores que 5.
17. 3 x 8
18. 2 y 7
4. El conjunto de todos los números pares mayores que 4.
19. 3 t 7
20. t 5
5. El conjunto de todos los primos menores que 20.
(21-24) Escriba los siguientes intervalos como desigualdades.
6. y
1 y , h es un número natural h2
7. {x x es un factor primo de 36}
8. p
1 p , n es un número primo menor que 20 n1
(9-16) Utilice el método de la regla para describir los siguientes conjuntos. 9. El conjunto de todos los números pares menores que 100. 10. El conjunto de todos los números primos menores que 30. 11. {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 19}
21. [2, 5)
22. (3, 7)
23. (q, 3)
24. (2, q)
25. Establezca si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, explique por qué. a. 2 {1, 2, 3}
b. 3 {1, 2, 3, 4}
c. 4 {1, 2, 5, 7}
d. {a, b} {a, b, c}
e. 0
f. {0}
g. 0
h. {0}
i. {0}
j. {1, 2, 3, 4} {4, 2, 1, 3}
12. { . . . , 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . . }
(x 2)2 k. x 0 {x x 2 0} x2
13. {3, 6, 9, . . . }
l. Si A B y B C, entonces A C
14. {1,
98
1 1 1 , , , 2 3 4
...}
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
m. Si A B y B A, entonces A B. n. El conjunto de todos los rectángulos del plano es un subconjunto del conjunto de todos los cuadrados del plano. o. El conjunto de todos los triángulos equiláteros es un subconjunto del conjunto de todos los triángulos. p. El intervalo abierto (a, b) es un subconjunto del intervalo cerrado [a, b]. q. {x 2 x 3} {y 1 y 5}
junto de todos los cuadriláteros del plano, entonces, ¿cuál de estos conjuntos es un subconjunto de otro (o de qué otros)? 27. Demuestre que el conjunto {x x2 x 2 0} no es un subconjunto del intervalo [0, q). 28. El conjunto {x x (x2 1) 0} ¿es un subconjunto del intervalo (0, q)? 29. El conjunto {x x2 x 6 0} ¿es un subconjunto de los números naturales? 30. El conjunto {x 2x2 3x 1 0} ¿es un subconjunto de los enteros? ¿De los números racionales?
r. {x 1 x 2} {y 1 y 2} 26. Si A es el conjunto de todos los cuadrados del plano, B el conjunto de todos los rectángulos del plano y C es el con-
3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE En esta sección, consideraremos desigualdades que requieren una sola variable. El ejemplo siguiente se refiere a un sencillo problema de negocios que conduce a una de tales desigualdades. El costo total (en dólares) de producción de x unidades de cierto artículo está dado por C 3100 25x y cada unidad se vende a $37. El fabricante quiere saber cuántas unidades deberá producir y vender para obtener una utilidad de al menos $2000. Supongamos que se producen y venden x unidades. El ingreso I obtenido por vender x unidades en $37 cada una es I 37x dólares. La utilidad U (en dólares) obtenida por producir y vender x unidades está dada entonces por las siguientes ecuaciones: Utilidad Ingresos Costos U 37x (3100 25x) 12x 3100 Dado que la utilidad requerida debe ser al menos de $2000, es decir, debería ser de $2000 o más, debemos hacer que P 2000 o bien 12x 3100 2000
(1)
Ésta es una desigualdad en la variable x. Observemos que los términos que aparecen son de dos tipos: términos constantes o términos que son múltiplos constantes de la variable x. Cualquier desigualdad que sólo tiene estos dos tipos de términos se denomina desigualdad lineal. Si el símbolo de desigualdades es o la desigualdad es estricta; si el símbolo es o , se dice que es débil. SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE
99
EJEMPLO 1 (a) 3 x 2x 4 es una desigualdad lineal débil en la variable x. (b)
1 z 4
3 5 13 z es una desigualdad lineal estricta en la variable z.
Cualquier desigualdad puede escribirse en una forma equivalente, intercambiando los dos lados e invirtiendo el sentido del signo de la desigualdad. Por ejemplo, x 3 es equivalente a 3 x; el ejemplo 1(a) es equivalente a 2x 4 3 x. DEFINICIÓN La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera. Por ejemplo, la solución de la desigualdad (1) es el conjunto de todos los valores x (el número de unidades vendidas) que producen una utilidad de al menos $2000. A semejanza de las ecuaciones, la solución de una desigualdad se encuentra efectuando ciertas operaciones sobre la desigualdad, con el propósito de transformarla en alguna forma estándar. Hay dos operaciones básicas que se utilizan en el manejo de las desigualdades; ahora estableceremos las reglas que gobiernan estas operaciones.
Regla 1 Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera. En símbolos, si a b y c es cualquier número real, entonces acbc
y
acbc
EJEMPLO 2 (a) Es claro que 8 5 es una proposición verdadera. Si sumamos 4 a ambos lados, obtenemos 8 4 5 4 o 12 9, que sigue siendo cierta. Si restamos 7 a ambos lados obtenemos 8 7 5 7 o 1 2, que de nuevo es válida. (b) Sea x 1 3. Sumando 1 a ambos lados, obtenemos x1131 o bien ☛ 7. Sume 5 a ambos miembros de las siguientes desigualdades: (a) x 5 5 (b) x 5 2
Respuesta (a) x 10 (b) x 10 3
100
x4 El conjunto de valores de x para los cuales x 1 3 es el mismo conjunto para el cual x 4. ☛ 7 En el ejemplo 2 observamos que la igualdad x 4 puede obtenerse de la desigualdad original x 1 3, pasando el término 1 del lado izquierdo al derecho y cambiando su signo. En general, la regla anterior nos permite efectuar este tipo de operación: cualquier término puede pasarse de un lado al otro de una desigualdad
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
después de cambiar su signo sin alterar el sentido de la desigualdad. En símbolos, si a b c, entonces a b c y a c b. EJEMPLO 3 (a) Si 8 5 2, entonces 8 2 5. (b) De 2x 1 x 4 se sigue que 2x x 4 1. Tanto x como 1 se pasaron de un lado a otro. Entonces, al simplificar obtenemos x 5.
Regla 2 El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo. En símbolos, si a b y c es cualquier número positivo, entonces ac bc
y
a b c c
mientras que si c es un número negativo arbitrario, entonces ac bc
y
a b c c
EJEMPLO 4 (a) Sabemos que 4 1 es una proposición verdadera. Multiplicando ambos lados por 2, obtenemos 8 2 que aún es válida. Pero si la multiplicamos por (2), debemos invertir el sentido de la desigualdad. Obtenemos (2)(4) (2)(1)
o bien
8 2
que otra vez es válida. (b) Si 2x 4, entonces podemos dividir ambos lados entre 2 y obtener la desigualdad equivalente 2x/2 4/2 o x 2. ☛ 8. Multiplique ambos miembros de las siguientes desigualdades por 2: (a) 2x 3 (b)
1 2 x
3x
(c) Si 3x 12, podemos dividir entre 3, que es negativo, de modo que debemos invertir el sentido de la desigualdad: 3x 12 3 3
o bien
x 4 ☛ 8
Antes de considerar más ejemplos, deduciremos estas dos reglas básicas. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA 1 Supongamos que a b, y sea c cualquier número real. Si a b, entonces por definición a b 0. Consideremos ahora la diferencia entre (a c) y (b c): Respuesta (a) 4x 6 (b) x 6 2x
(a c) (b c) a c b c a b 0 SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE
101
Pero, dado que (a c) (b c) es positivo, esto significa que acbc que es lo que deseamos encontrar. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA 2 De nuevo, supongamos que a b, y sea c cualquier número real positivo. Entonces, como antes, a b 0. Así a b y c son números positivos, de modo que su producto también es positivo: (a b) c 0 Es decir, ac bc 0 Se sigue, por tanto, que ac bc, como se requería. Si, por otro lado, c fuera negativo, el producto (a b)c sería negativo, puesto que un factor sería positivo y el otro negativo. Se sigue que ac bc 0 y de aquí, ac bc, como se requería. EJEMPLO 5 Encuentre todos los números reales que satisfacen la desigualdad 3x 7 5x 1 Solución Pasamos todos los términos en x a un lado de la desigualdad y todos los términos constantes al otro. Al pasar 5x al lado izquierdo y 7 al lado derecho, cambiando sus signos y simplificando obtenemos las siguientes desigualdades: 3x 5x 1 7
(Regla 1)
2x 8 Enseguida, dividimos ambos lados entre 2 y cambiamos el sentido de la desigualdad (puesto que 2 es negativo). 2x 8 2 2
(Regla 2)
x4 Por tanto, la solución consta del conjunto de números reales en el intervalo (q, 4). Esto se ilustra en la figura 4.
FIGURA 4 EJEMPLO 6 Resuelva la desigualdad 3 5y 2 y 1 4 3
102
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
Solución Antes que nada, debemos eliminar las fracciones de la desigualdad. Aquí, el denominador común es 12, de modo que multiplicamos ambos lados por 12. 3 5y 2 12 y 12 1 4 3
12y 9 4(5y 2) 12 12y 9 20y 8 12 12y 9 20y 4 Pasando los términos en y a la izquierda y los términos constantes a la derecha, obtenemos 12y 20y 4 9 8y 5 Enseguida, dividimos ambos lados entre 8 e invertimos el sentido de la desigualdad (porque 8 es negativo).
☛ 9. Determine las soluciones en la notación de intervalos: (a) 1 x 3 2x (b) x 4 4x 2
5 y 8
o bien
5 y 8
De aquí, la solución consta del conjunto de números reales mayores o iguales que 5 5 , es decir, de los números reales incluidos en el intervalo [ , q). Este conjunto se 8 8 ilustra en la figura 5. ☛ 9
Respuesta (a) (q, 2) (b) (q, 2]
FIGURA 5 EJEMPLO 7 Resuelva la doble desigualdad en x. 8 3x 2x 7 x 13 Solución De la sección 3-1, recuerde que la doble desigualdad a b c significa que a b y al mismo tiempo b c. La doble desigualdad considerada es equivalente a las dos desigualdades siguientes: 8 3x 2x 7
y
2x 7 x 13
Resolvemos estas dos desigualdades por separado por los métodos antes descritos. Y tenemos x 3 y x 6 ☛ 10. Determine la solución y dibújela en la recta numérica: 3x 2 2 x x 6
Ambas desigualdades deben ser satisfechas por x. Pero es imposible que tanto x 3 como x 6 puedan satisfacer a la vez. Por lo que no hay solución; ningún número real satisface la doble desigualdad. ☛ 10
Respuesta 2 x 1
EJEMPLO 8 Determine la solución de la doble desigualdad
(
7 5 2x 3
SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE
103
Solución En este caso, como x aparece sólo en la expresión de en medio, podemos manipular juntas las tres partes de la desigualdad. Primero restamos 5 de las tres partes: 7 5 5 2x 5 3 5 o 2 2x 2 Ahora, dividimos todo entre 2, invirtiendo ambos signos de desigualdad: 1 x 1 La solución consiste en el intervalo semicerrado (1, 1]. EJEMPLO 9 (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de 60 dólares cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana. Solución Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total de producir x unidades es de $3000 más $40 por artículo, lo cual es (40x 3000) dólares El ingreso obtenido por vender x unidades a $60 cada una será de 60x dólares. Por tanto, Utilidad Ingresos Costos 60x (40x 3000) 20x 3000 Puesto que deseamos obtener una ganancia de al menos $1000 al mes, tenemos las siguientes desigualdades: Utilidad 1000 20x 3000 1000 20x 4000
☛ 11. Un rectángulo tiene perímetro de 24 unidades. Si la diferencia entre los dos lados es menor que 6 unidades, determine el intervalo de valores para la longitud del lado más largo.
En consecuencia, el fabricante deberá producir y vender al menos 200 unidades cada semana. ☛ 11
Respuesta [6, 9).
EJEMPLO 10 (Decisiones de fabricación) El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $1.10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de 60¢ por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?
104
x 200
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
Solución Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces, el costo de adquirir x empaques a $1.10 cada uno es de 1.10x dólares. El costo de fabricar x empaques es de $0.60 por empaque más costos generales de $800 al mes, de modo que el costo total es (0.60x 800) dólares Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente: Costo de adquisición Costo de fabricación 1.10x 0.60x 800 1.10x 0.60x 800 0.50 x 800 x 1600 En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.
EJERCICIOS 3-2 (1-20) Resuelva las siguientes desigualdades.
19. 2x 1 3 x 2x 5
1. 5 3x 11
2. 3 2y 7
20. 4 2x x 2 2x 4
3. 2u 11 5u 6
4. 5x 7 31 3x
21. 3x 7 5 2x 13 6x
5. 3(2x 1) 4 5(x 1)
22. 2x 3 1 x 3x 1
2x 3 4 6. x 1 3 4
23. 3x 5 1 x 2x 3 24. 5x 7 3x 1 6x 11
1 1 x 7. (2x 1) x 4 3 6
25. (Inversión) Un hombre tiene $7000 para invertir. Quiere invertir una parte al 8% y el resto al 10%. ¿Cuál es el monto máximo que debe invertir al 8% si desea un ingreso anual por interés de al menos $600 anuales?
8. 32(x 4) 2 15(1 4x) y1 y 2y 1 9. 1 4 3 6 10. 5 0.3t 2.1 0.5(t 1)
26. (Inversión) La señora K tiene $5000 que quiere invertir, una parte a 6% y el resto a 8%. Si ella desea un ingreso anual por intereses de al menos $370, ¿cuál es la cantidad mínima que debe invertir al 8%?
11. 1.2(2t 3) 2.3(t 1) 12. 2(1.5x 2.1) 1.7 2(2.4x 3.5) 13. 5 2x 7 13
1 3x 14. 4 1 4
15. (x 3)2 (x 2)2 16. (2x 3)(3x 1) (6x 1)(x 2) 17. (3x 1)(2x 3) (2x 1)(3x 2) 18. (3x 1)(x 2) (x 3)(3x 4)
27. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12,000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 28. (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15,000 y costos por unidad de $100 en materiales y
SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE
105
mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $1000. 29. (Decisiones de fabricación) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $2.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $1500 al mes, pero sólo le costará $1.70 fabricar cada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas? 30. (Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una máquina empacadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa en $2000 al mes y el costo de
empaquetamiento sería de $1.50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la máquina empacadora fuera rentable? 31. (Publicación de revistas) El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal Compre y venda es de 35¢. Los ingresos por ventas de distribución son de 30¢ por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $1000? 32. (Publicación de revistas) El editor de una revista mensual tiene costos de edición de 60.5¢ por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de 70¢ por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 15% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 20,000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurar utilidades que sobrepasen los $4000?
3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE Una desigualdad cuadrática de una variable, tal como x, es una desigualdad que tiene términos proporcionales a x y a x2 y términos constantes. Las formas estándares de una desigualdad cuadrática son ☛ 12. Exprese en la forma estándar: (x 2)(2x 1) (3x 2)2 1
ax2 bx c 0 (o bien 0),
o bien
ax2 bx c 0 (o bien 0)
en donde a, b y c son constantes determinadas (a 0). ☛ 12 Otra vez estamos interesados en resolver una desigualdad dada, esto es, en determinar el conjunto de x para el cual la desigualdad se cumple. Podemos hacer esto reemplazando la desigualdad con un signo y buscando las soluciones de la ecuación cuadrática resultante. Estas soluciones dividen a la recta numérica en intervalos. En cada intervalo seleccionamos un punto y probamos si la desigualdad es cierta o falsa en ese punto. Si es verdadera en ese punto, entonces será verdadera en todos los puntos del intervalo, y recíprocamente, si es falsa en un punto en el intervalo, entonces será falsa en todos los puntos de ese intervalo. EJEMPLO 1 Resuelva la desigualdad x2 3x 4. Solución Primero reescribimos la desigualdad en la forma estándar restando 4 de ambos miembros: x2 3x 4 0
Respuesta 7x2 15x 7 0
106
Al reemplazar el signo por , obtenemos la ecuación cuadrática x2 3x 4 0. Ésta puede resolverse por medio de factorización. Se convierte en (x 1)(x 4) 0, de modo que las raíces son x 1 y x 4. Al graficar estos puntos en la recta numérica, obtenemos la figura 6. Los dos puntos dividen la recta numérica en tres
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
intervalos, x 4, 4 x 1 y x 1. En cada uno de estos intervalos la expresión siempre conserva el mismo signo, ya que sólo cambia de signo cuando pasa por el cero, y esto sucede sólo cuando x = 4 o 1.
FIGURA 6
☛ 13. Resuelva las desigualdades: (a) (x 1)(x 3) 0 (b) (x 1)(x 4) 0 (c) (x 3)2 2 0
Tomemos cualquier punto en el primer intervalo x 4: seleccionamos x 5. Entonces x2 3x 4 (5)2 3(5) 4 6 0. La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para todos los puntos en el intervalo x 4. En 4 x 1 seleccionamos el punto x 0. Entonces x2 3x 4 (0)2 3(0) 4 4 0. La desigualdad es verdadera, por lo que es cierta para todas las x que satisfagan 4 x 1. En x 1 seleccionamos x 2. Entonces x2 3x 4 (2)2 3(2) 4 6 0. La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para toda x 1. Por tanto el conjunto solución es el intervalo (4, 1). Esto se ilustra en la figura 7. ☛ 13
FIGURA 7
EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad 5x 2(x2 6). Solución Pasando todos los términos a la izquierda, la desigualdad dada se transforma en 5x 2x2 12 0 Siempre conviene tener el término cuadrático con signo positivo, porque entonces, la factorización es más fácil. Así, multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por 1 y cambiamos el sentido de la desigualdad. Respuesta (a) 1 x 3 (b) x 4 o x 1 (c) No hay solución
5x 2x2 12 0 2x2 5x 12 0 Al reemplazar el signo por el signo obtenemos la ecuación cuadrática 2x2 5x 12 0, y por medio de la factorización obtenemos (2x 3)(x 4) 0 Las raíces son x 32 y x 4, que dividen la recta numérica en los tres intervalos (q, 32), (32, 4) y (4, q) como muestra la figura 8. Seleccionar cualquier SECCIÓN 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE
107
3/2
0
4
FIGURA 8 punto en cada intervalo y probar la desigualdad. En (q, 32) elegimos x 2, en (32, 4) seleccionamos x 0; y en (4, q) escogemos x 5. Es conveniente colocar los cálculos como muestra la tabla 1. Por tanto, la desigualdad dada es verdadera en los intervalos (q, 32) y (4, q) y es falsa en el intervalo (32, 4). TABLA 1 Intervalo Puntos de prueba 2x2 5x 12 Signo
3
(q, 2) 2 2(2)2 5(2) 12 6 0 Positivo
3
(2, 4) 0 2(0)2 5(0) 12 12 0 Negativo
(4, q) 5 2(5)2 5(5) 12 13 0 Positivo
En este caso tenemos una desigualdad no estricta, de modo que también se satisface en donde la expresión cuadrática sea cero, es decir en x 32 y x 4. Esta vez, los puntos extremos del intervalo se incluyen en el conjunto solución. La solución consiste en los dos intervalos semiinfinitos (q, 32] y [4, q). Este conjunto solución se ilustra en la siguiente figura.
3/2
0
4
FIGURA 9
Resumen del método de solución de las desigualdades cuadráticas: 1. Escribir la desigualdad en la forma estándar. 2. Reemplazar el signo de desigualdad por un signo y resolver la ecuación cuadrática resultante. Las raíces dividen la recta numérica en intervalos. 3. En cada intervalo elegir un punto y probar la desigualdad dada en ese punto. Si es verdadera (falsa) en ese punto, entonces es verdadera (falsa) en todos los puntos de ese intervalo. 4. Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se incluyen los puntos extremos de los intervalos. Para una desigualdad no estricta, sí se incluyen esos puntos extremos.
Algunas veces no podremos factorizar la expresión cuadrática y podría ser necesario utilizar la fórmula cuadrática para determinar los puntos de división de los intervalos. EJEMPLO 3 Resuelva la desigualdad x2 6x 6 0. Solución La desigualdad ya está en forma estándar. La ecuación cuadrática correspondiente es x2 6x 6 0, que no tiene raíces racionales. Con base en la fórmu-
108
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
la cuadrática, tenemos las raíces (6) ( b 2 4ac 6 )2 4(1 )( 6) b x 12 (6 12) 2a 21 3 3 Son aproximadamente 1.27 y 4.73 y, como es usual, dividen la recta de los números reales en tres intervalos. Seleccionamos un punto de prueba en cada uno. (Revise la tabla 2 para los detalles). La conclusión es que la desigualdad es falsa en (q, 3 3) y (3 3, q) y es verdadera en (3 3, 3 3). TABLA 2 Intervalo Punto de prueba f (x) x2 6x 6 Signo ☛ 14. Resuelva las desigualdades: (a) x2 2x 2 0 (b) x2 2x 2 0 (c) x2 2x 1 0
(q, 3 3) 0 02 6 0 6 6 0 Positivo
(3 3, 3 3) 3 32 6 3 6 3 0 Negativo
(3 3, q) 5 52 6 5 6 1 0 Positivo
Como tenemos una desigualdad no estricta incluimos los puntos extremos, de modo que el conjunto solución es el intervalo cerrado [3 3, 3 3], o aproximadamente [1.27, 4.73]. Esto se ilustra en la figura 10. ☛ 14
FIGURA 10 EJEMPLO 4 Resuelva la desigualdad x2 2 2x. Solución En la forma estándar tenemos x2 2x 2 0. La ecuación cuadrática correspondiente es x2 2x 2 0, y de la fórmula cuadrática, las raíces son (2 )2 4 (1 )(2) (2) 1 x (2 4) 21 2 De modo que, en este caso no existen raíces reales. Esto significa que la expresión x2 2x 2 es positiva para toda x o bien negativa para toda x, ya que si cambiase de signo tendría que ser cero en algún punto. Entonces todo lo que tenemos que hacer es seleccionar cualquier punto como punto de prueba. El más sencillo es x 0, y tenemos 02 2 · 0 2 2 0. La desigualdad dada se satisface; por tanto se satisface para toda x.
Respuesta (a) 1 3 x 1 3 (b) q x q (c) x 1
EJEMPLO 5 (Producción y utilidades) Las ventas mensuales x de cierto artículo, cuando su precio es p dólares, están dadas por p 200 3x. El costo de producir x unidades al mes del artículo es C (650 5x) dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dólares? SECCIÓN 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE
109
Solución El ingreso I (en dólares) obtenido por vender x unidades al precio de p dólares por unidad es I (Unidades vendidas) (Precio por unidad) xp x(200 3x) 200x 3x2 El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es C (650 5x). La utilidad U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por UIC (200x 3x2) (650 5x) 195x 3x2 650 Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que U 2200. En consecuencia, 195x 3x2 650 2200 Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre 3 (observe que el signo de la desigualdad se invierte), obtenemos la desigualdad x2 65x 950 0 Las raíces deben determinarse por medio de la fórmula cuadrática: b b2 4ac x 2a (65) (65 )2 4 (1 )(950) 21 12(65 425)
☛ 15. En el ejemplo 5, ¿para qué intervalo de x la ganancia mensual excede a $2500?
o aproximadamente 22.2 y 42.8. En los tres intervalos x 22.2, 22.2 x 42.8 y x 42.8 seleccionamos los tres puntos x 0, 40 y 100, respectivamente. Encontramos que x2 65x 950 0 cuando x 0 y 100, pero x2 65x 950 0 cuando x 40. Por lo tanto se sigue que x2 65x 950 0 para toda x en el intervalo 22.2 x 42.8. Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [22.2, 42.8]. ☛ 15 De modo que, para alcanzar la meta requerida, el número de unidades producidas y vendidas por mes debe estar entre 22.2 y 42.8, inclusive. EJEMPLO 6 (Decisión de precios) Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Respuesta 30 x 35
110
Solución Sea x el número de incrementos de 75¢ por encima de $8. Entonces el precio por corte de cabello es (8 0.75x) dólares, y el número de clientes será de
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
(120 10x) por semana. Entonces, Ingresos totales semanales Número de clientes Precio por corte (120 10x) (8 0.75x) Los ingresos por los 120 clientes actuales son 120 $8 $960. Por tanto, los nuevos ingresos deben ser al menos $960: (120 10x)(8 0.75x) 960 Simplificamos: 960 10x 7.5x2 960 10x 0.75x2 0 La ecuación correspondiente es 10x 7.5x2 0, cuyas soluciones son x 0 y 43. En los tres intervalos x 0, 0 x 43 y x 43 seleccionamos los puntos de prueba 1, 1 y 2, respectivamente. Encontramos que 10x 7.5x2 0 cuando x 1 o 2, pero 10x 7.5x2 0 cuando x 1. Por tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo 0 x 43. Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 0.75 43) $9.00. El precio máximo que puede cobrarse es $9.00.
EJERCICIOS 3-3 (1-22) Resuelva las siguientes desigualdades. 1. (x 2)(x 5) 0
2. (x 1)(x 3) 0
3. (2x 5)(x 3) 0
4. (3x 1)(x 2) 0
5.
x2
7x 12 0
6. 9x x2 14
7. x(x 1) 2
8. x(x 2) 3
9. y(2y 1) 6
10. 3y2 4 11y
11. (x 2)(x 3) 2 x 14. 9x2 16
15. x2 3 0
16. x2 1 0
17.
x2
6x 9 0
19.
x2
2x 1 0
21.
x2
13 6x
23. (x 2)2 5 0
18.
x2
4 4x
20.
x2
9 6x
22.
x2
7 4x
28. (Ingresos del fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p 200 x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $9900? 29. (Decisiones de producción) En el ejercicio 27, si producir x unidades cuesta (800 75x) dólares, ¿cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $5500?
12. (2x 1)(x 3) 9 (x 1)(x 4) 13. x2 4
cado, con p 600 5x. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $18,000?
30. (Decisiones sobre fijación de precios) En el ejercicio 28, si producir x unidades cuesta (2800 45x) dólares, ¿a qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una utilidad semanal de por lo menos $3200? 31. (Utilidades) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C 3000 20x 0.1x2. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?
24. x 2 2x 4 0
25. (2x 3)(x 3) (x 1)(3x 2) 26. (1 3x)(x 2) (3 2x)(x 3) 27. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mer-
32. (Ingresos del editor) Un editor puede vender 12,000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno. Por cada dó-
SECCIÓN 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE
111
lar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos por lo menos de $300,000? 33. (Agricultura) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2100 yardas cuadradas. 34. Un lado de un campo rectangular está limitado por un río. Un granjero tiene 100 yardas de cerca y quiere cubrir los otros tres lados del campo. Si quiere encerrar un área de al menos 800 yardas cuadradas, ¿cuáles son los posibles valores para la longitud del campo a lo largo del río? 35. Una caja abierta se fabrica de una hoja rectangular metálica de 16 por 14 pies, cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Si el área de la base de la caja es al menos de 80 pies cuadrados, ¿cuál es la máxima altura posible de la caja? 36. Una hoja rectangular de cartón es de 16 por 10 pulgadas. Se cortan cuadrados iguales de cada esquina y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. ¿Cuál es la altura máxima de esta caja si la base tiene un área de al menos 72 pulgadas cuadradas?
37. (Conservación) En cierto estanque se crían peces. Si se introducen n de ellos allí, se sabe que la ganancia por peso promedio de cada pez es de (600 3n) gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28,800 gramos. 38. (Inversiones) Un accionista invierte $100 a un interés anual del R% y otros $100 al 2R% anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $224.80 después de 2 años, ¿qué restricciones deben establecerse sobre R? 39. (Política de fijación de precios) Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, venderá x libras, con x 1000 20p. ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $120? 40. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50¢ en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?
3-4 VALORES ABSOLUTOS Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x, se define por
x x x ☛ 16. Evalúe (a) 5 (b) 2 3 4 (c) 2 3 4
si x 0 si x 0
Por ejemplo, 5 5, 3 (3) 3 y 0 0. ☛ 16 De la definición, es claro que el valor absoluto de un número siempre es un número real no negativo; es decir, x 0
El valor absoluto de x es una medida del “tamaño” de x sin tener en cuenta que x sea negativo o positivo. EJEMPLO 1 Resuelva para x. Respuesta (a) 5
112
(b) 5 (c) 1
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
2x 3 5
Solución De acuerdo con la definición de valor absoluto, la ecuación dada es satisfecha si 2x 3 5
o bien
2x 3 5
porque en cualquier caso el valor absoluto de 2x 3 es 5. Si 2x 3 5, entonces 2x 3 5 8 y así, x 4. De manera similar, si 2x 3 5, entonces x 1. En consecuencia, hay dos valores de x, x 4 y x 1, que satisfacen la ecuación dada. EJEMPLO 2 Resuelva para x. 3x 2 2x 7 Solución La ecuación se satisface si ☛ 17. Resuelva para x: (a) x 1 2 (b) x 1 3 2x (c) x 1 (3 2x)
3x 2 2x 7
o bien
3x 2 (2x 7)
Resolviendo estas dos ecuaciones por separado, obtenemos x 9 y x 1. ☛ 17
De los ejemplos 1 y 2, es claro que tenemos las siguientes reglas generales para resolver ecuaciones en que aparecen valores absolutos. Si a b, donde b 0, entonces a b o bien a b Si a b , entonces a b o bien a b Observación El símbolo a denota la raíz cuadrada no negativa del número real a (a 0). Por ejemplo, 9 3. La raíz cuadrada negativa de 9 se denota mediante 9 . Usando el símbolo de radical, podemos dar la siguiente definición alternativa de valor absoluto. x x2 Por ejemplo, 32 9 3, ( 5 )2 2 5 5 5 y (x ) 32 x 3. Podemos interpretar x geométricamente. (Revise la figura 11). Los números 3 y 8 sobre la recta numérica están separados 5 unidades. También 8 3 5 5 y 3 8 5 5. En consecuencia, 8 3 3 8 da la distancia entre los puntos 3 y 8 de la recta numérica. En general, podemos interpretar x c c x como la distancia entre los puntos x y c situados sobre la recta numérica, sin prestar atención a la dirección. Por ejemplo, la ecuación x 2
Respuesta (a) 3 o 1 (b) 43 o 2 (c) 43 (si x 2, el lado derecho es negativo)
FIGURA 11 SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS
113
5 establece que la distancia entre x y 2 sobre la recta numérica es 5 unidades, sin importar la dirección. Por tanto, x puede ser 2 5 7 o 2 5 3, como se aprecia en la figura 12.
FIGURA 12 Dado que x x 0, x representa la distancia del punto x sobre el eje real al origen O, sin importar la dirección. (Figura 12). También, dado que la distancia entre O y x es igual a la distancia entre O y x, se sigue que x x Por ejemplo, 7 7 7
FIGURA 13
En el ejemplo 3 varios enunciados se reexpresan en términos de valores absolutos. EJEMPLO 3 (a) x está a una distancia de 3 unidades del 5: x 5 3 (b) x está a menos de 7 unidades del 4: x 4 7
☛ 18. Exprese lo siguiente, utilizando valores absolutos: (a) x está a lo más a 4 unidades del 3. (b) 5 x está 4 unidades alejado de x.
Respuesta (a) x 3 4 (b) 5 2x 4
114
(c) x está al menos a 7 unidades del 3: x (3) 7 o x 3 7 (d) x se encuentra estrictamente dentro de un radio de 3 unidades del 7: x 7 3 (e) x está dentro de c unidades de a: x a c
☛ 18
Consideremos ahora algunas desigualdades que incluyen valores absolutos. La desigualdad x 5 implica que la distancia entre x y el origen es menor que 5 unidades. Dado que x puede estar a la derecha o a la izquierda del origen, x está entre 5 y 5 o 5 x 5. (Revise la figura 13). De manera similar, x 5 implica que x está a más de 5 unidades del origen (a la derecha o a la izquierda); es decir, x 5 o x 5. (Figura 14). Este resultado se generaliza en el siguiente teorema:
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
FIGURA 14
FIGURA 15
TEOREMA 1 Si a 0, entonces x a si y sólo si a x a x a si y sólo si x a
o bien
(1) x a
(2)
Las figuras 15 y 16 se refieren al teorema 1.
FIGURA 16
FIGURA 17
EJEMPLO 4 Resuelva 2x 3 5 para x y exprese el resultado en términos de intervalos. Solución Usando la proposición (1) del teorema 1, la desigualdad dada implica que 5 2x 3 5 Sumando 3 a cada lado de la doble desigualdad y simplificando, obtenemos 5 3 2x 3 3 5 3 2 2x 8 Enseguida dividimos todo entre 2. 1 x 4 En consecuencia, la solución consta de todos los números reales x situados en el intervalo abierto (1, 4). (Revise la figura 18).
FIGURA 18 EJEMPLO 5 Resuelva 2 3x 7 para x y exprese el resultado en notación de intervalos. SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS
115
Solución Utilizando la proposición (2) del teorema 1, la desigualdad dada implica que 2 3x 7 o bien 2 3x 7 Considerando la primera desigualdad, tenemos que 2 3x 7 Restando 2 a ambos lados y dividiendo entre 3 (y cambiando el sentido de la desigualdad) obtenemos x 53 De manera similar, resolviendo la segunda desigualdad, x3 Así, 2 3x 7 es equivalente a x 53
o bien
x3
Por tanto, la solución consta de todos los números reales que no están en el intervalo cerrado [53 , 3]. (Figura 19).
FIGURA 19 EJEMPLO 6 Resuelva 2x 3 5 0 para x. Solución La desigualdad dada se puede reescribir como ☛ 19. Resuelva las desigualdades: (a) 1 x 4 (b) 7 4x 3 (c) x 1 x 1 0
2x 3 5 Pero 2x 3 nunca puede ser negativo, de modo que no existen valores de x para los cuales sea verdadera la desigualdad dada. Así, no existe solución. ☛ 19 EJEMPLO 7 Resuelva la desigualdad 3x 5 x 1. Solución Si (x 1) 0, allí claramente no habría solución, ya que el valor absoluto del lado izquierdo no puede ser menor que un número negativo. Así, el conjunto solución está restringido de inmediato a x 1. Si x 1 0, podemos utilizar el teorema 1 para expresar la desigualdad dada en la forma (x 1) 3x 5 (x 1) La mitad izquierda de esta desigualdad doble, (x 1) 3x 5, conduce a x 1. La mitad derecha, 3x 5 x 1, lleva a x 3. Deben satisfacerse las tres condiciones, x 1, x 3 y x 1. Así, el conjunto solución es 1 x 3 o el intervalo cerrado [1, 3].
Respuesta (a) 3 x 5 (b) x 1 o x 52 (c) No hay solución
116
Concluimos esta sección estableciendo dos propiedades básicas del valor absoluto: si a y b son dos números reales, entonces
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
ab a b a
ab b
(3)
(b 0)
(4)
EJEMPLO 8 (a) (3)(5) 35 (3)(5) 15 x 2 x2 (b) 1x 1x
(x 1) x 7 x 7 x 7 (c) 3 3 3 Las ecuaciones (3) y (4) se deducen con facilidad del hecho que para cualquier número real x, x x2. Por ejemplo, la ecuación (3) se deduce como sigue: ab (a b )2 a2 b2 a2 b2
(usando una propiedad de los radicales)
a b
EJERCICIOS 3-4 (19-36) Resuelva las siguientes desigualdades y exprese si es posible la solución en forma de intervalos.
(1-4) Evalúe. 1.
22 52
3. 5 2
2. 3 2 3 1 4. 3 5 5 2
19. 3x 7 4
20. 2x 6 3
21. 2 5x 3
22. 3 4x 12
23. 5 23 2x 7
24. 5 23 2x 1
25. 7 3x 5 5
26. 3x 13 6 0
(5-18) Resuelva las siguientes ecuaciones para x. 5. 3 7x 4
6. 2x 5 7
7. x 2 3 x
2x 1 8. 3x 7 3
9. 3x 2 4 x
10. x 3 5 x
11. x 3 x 5
12. 3x 2 x 4
13. x 3 7 0
14. 2x 1 3x 2 0
x3 15. 6 3x 5
1 17. 3 4 x
5x 2 16. 5 x3 1 18. 3 7 x2
27. x 2 2x 1 0 28. 3x 2 2x 7 0
5x 29. 4 2 3
2 5x 30. 3 4
31. 5 2x 5 0
32. 2x373x 0
*33. 2x 3 x 4
*34. x 2 3 x
*35. x 3 x 2
*36. 3x 2 2x 3
SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS
117
(37-38) Exprese las siguientes afirmaciones en términos de la notación de intervalos. 37. a. x está a menos de 5 unidades de 3.
e. x es mayor que 3 o menor que 3. f. x excede a en más de 2 unidades. g. y es menor que 7 por más de 3 unidades.
b. y está a lo más a 4 unidades de 7.
h. x difiere de y por más de 5 unidades.
c. t está a una distancia de 3 unidades de 5. d. z está estrictamente a menos de (sigma) unidades de (mu). e. x difiere de 4 en más de 3 unidades. f. x difiere de por más de 3 unidades.
39. (Acciones) De acuerdo con una predicción de una revista financiera, el precio p de las acciones de la Bell Co., no cambiará su precio actual, $22, por más de $5. Utilice la notación de valor absoluto para expresar esta predicción como una desigualdad.
b. y está a lo más a 7 unidades de 3.
40. (Mercado de viviendas) De acuerdo con una encuesta de bienes raíces, el precio (en dólares) de una casa promedio en Vancouver el próximo año estará dado por
c. x está a menos de 3 unidades de 9.
x 210,000 30,000
38. a. x está al menos a 4 unidades de 5.
Determine el precio más alto y el más bajo de la casa para el año próximo.
d. x es menor que 4 y mayor que 4.
REPASO DEL CAPÍTULO 3 Términos, símbolos y conceptos importantes 3.1 Los símbolos de desigualdad , , , . Desigualdad estricta. Desigualdad doble. Conjunto, miembro o elemento de un conjunto. Conjunto finito, conjunto infinito. Conjunto vacío. Método de enumeración, enumeración parcial. Método por comprensión o método de la regla; la notación {xx satisface la regla}. Subconjunto, subconjunto propio. Igualdad de dos conjuntos. Intervalos, puntos extremos. Intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos. Intervalos infinitos y semiinfinitos. Notaciones equivalentes, tales como: {xa x b}, (a, b], o bien sobre la recta numérica,
3.2 Desigualdad lineal, conjunto solución de una desigualdad. Las reglas de suma y multiplicación para la manipulación de desigualdades.
118
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
Procedimiento para la resolución de una desigualdad lineal o una desigualdad lineal doble. 3.3 Desigualdad cuadrática. Procedimiento paso a paso para la resolución de una desigualdad cuadrática. 3.4 Valor absoluto de un número real y su interpretación geométrica.
Fórmulas Si a b y b 0, entonces a b o a b. Si a b, entonces a b o a b. Si a b y b 0, entonces b a b. Si a b, entonces a b o bien a b. a a2;
ab a b;
a
b b , a
(b 0).
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3 1. Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Reemplace cada proposición falsa por una proposición correspondiente que sea verdadera. a. Una desigualdad lineal en una variable tiene un número infinito de soluciones. b. Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente de cero, se preserva el sentido de la desigualdad. c. Una desigualdad cuadrática tiene dos soluciones, una solución o no tiene soluciones. d. Si un número negativo se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad debe alterarse. e. Si x a, entonces x a o x a, para todos los valores de la constante a. f. x y implica que x y o que x y. g. La ecuación x 2 x 3 0 no tiene solución.
1
1
1
1
8. (3x 4 )2 9(x 2 )2 9. 2(x 3 )2 4(x 2 )2 10. (3x 1)(x 2) (3x 2)(x 1) 11. (x 5)(x 7) (x 9)(x 3) 12. x2 7x 6 0 13. 2x2 3x 5 14. 5x 2(x2 1) 15. 3x2 7x 2 16. 3(x2 1) 10x 17. 9x 5 2x2 18. 3 x 2x 2
h. x y = x + y si y sólo si x y y tienen el mismo signo.
19. 15 2x2 x
i. Si x es cualquier número real, entonces x x y x x.
20. x2 9 4x
j. x y implica que x y.
21. x2 12 6x
k. Si x2 y 2 entonces x y.
22. (2x 1)(x 2) (x 2)(x 3)
l. x y si y sólo si x2 y2.
23. (3x 2)(x 1) (2x 3)(x 2)
(2-39) Resuelva las siguientes desigualdades. 2. 3(2 x) 5 x 2(x 2) 3. 4x 2 3x 2(2 3x) 4. (2x 1)(x 2) 2(2 3x) 5. x2 3(x 2) (x 3)(x 2)
*24. x3 12x 7x2 *25. x3 2x2 15x 26. 2x 1 5 x x 7 27. 3x 1 x 3 2x 3 28. 3x(2 x) 9
x 3 2x 5 1 2x 6.
4 3 2
29. (x 1)(2x 5) 3
x 1 2x 1 1 3x 7.
3 6 2
30. 3 4x 2
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3
119
2x 3 31. 1 7 32. 2x 3 7 33. 4x 7 3
48. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar las 50 habitaciones si el alquiler es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al menos $8000?
34. 2 3x 7 35. 7 x 3 0 36. 5 2x 5 0 37. 9 2x 7 0 38. 2x 3 7 3x 0 39. 3x 5 x 2 0 (40-45) Resuelva las siguientes ecuaciones: 40. 2x 3 7 4 41. 5 3x x 2 42. 2x 1 3x 2 0 43. 3x 4 2x 2 0 *44. x 2 5x 4 *45. x2 2 3x 46. (Producción y utilidades) Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4000 por semana. ¿Cuántas unidades deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3000? 47. (Utilidades del editor) La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20,000 copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si:
49. (Política de fijación de precios) Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado por x 24 2p cuando el precio es p. ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana? 50. (Recaudación fiscal proveniente de los impuestos a las ventas) Cierto artículo de lujo se vende a $1000; a través de todo un estado, la cantidad de ventas es de 20,000 artículos al año. El gobierno del estado está considerando imponer un impuesto a las ventas de tales artículos. Si el nivel del impuesto se fija en un R%, las ventas caerán en 500R artículos al año. ¿Qué valor de R dará un ingreso total al gobierno de $1.68 millones al año por concepto de este impuesto? ¿Qué valores de R darán al gobierno un ingreso de al menos $1.92 millones al año? 51. (Decisiones sobre inversiones) La señora Ruiz quiere invertir $60,000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de interés. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un ingreso anual de al menos $5500? 52. (Alquiler de automóviles) Una empresa alquila automóviles a sus clientes de acuerdo con dos planes. En el primero puede alquilar un auto en $160 a la semana con kilometraje ilimitado, mientras que en el segundo plan renta el mismo vehículo por $100 a la semana más 25¢ por cada kilómetro recorrido. Encuentre los valores de kilometraje semanal para los cuales es más barato alquilar un automóvil con el segundo plan. 53. Si x unidades pueden venderse diariamente al precio de $p cada una, donde p 60 x, ¿cuántas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de al menos $800?
a. ¿Al menos no desea tener pérdidas? b. ¿Desea por lo menos una ganancia de $1000 por edición del periódico?
120
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
54. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, en donde 2p 3x 200, ¿qué precio por unidad debe fijarse con el propósito de obtener un ingreso de al menos $1600?
55. En el ejercicio 53, tiene un costo de (260 12x) dólares producir x unidades. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse diariamente para obtener una utilidad de al menos $300?
57. (Fijación de precios y utilidades) En el ejercicio 53, tiene un costo de (260 8x) dólares producir x unidades. ¿Qué precio p (en dólares) por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos 400 dólares?
56. En el ejercicio 54, el producir x unidades tiene un costo de (800 7x) dólares. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse con el fin de obtener una utilidad de al menos $640?
58. (Fijación de precios y utilidades) En el ejercicio 54, si cuesta (750 10x) dólares producir x unidades, ¿qué precio (en dólares) debe fijarse por unidad a fin de obtener una ganancia de al menos $450?
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3
121
CASO DE ESTUDIO
¿COMPRAR O RENTAR? Retomemos el problema que aparece al inicio del capítulo, en el que tenemos que determinar el precio por kilómetro que la empresa estaría dispuesta a pagar para adoptar el plan B (renta de un automóvil), en lugar del plan A (compra de un automóvil). Denotemos con p al precio por kilómetro recorrido. Entonces cada mes el costo de rentar el automóvil sería de: 3000 2000p Puesto que son 24 meses, el costo total de rentar el automóvil sería (Costo del seguro) (Costo de renta y uso del automóvil durante 24 meses) es decir, 5000 24 (3000 2000p) El costo en el plan A era: (Pago inicial) + (24 mensualidades de $4700 cada una) – (Valor de rescate) por lo que el costo del plan A sería de: 60,600 (24 4700) – 70,000 $103,400
Lo que necesitamos es determinar el precio p para el cual el costo del plan B sea menor o igual al costo con el plan A, es decir, 5000 24 (3000 2000p) 103,400 Con los métodos estudiados en este capítulo es fácil determinar que la solución es p 0.55. Quiere decir que un precio de $0.55 por kilómetro hace que los dos planes tengan el mismo costo, pero con un precio por kilómetro inferior a $0.55, el plan B es superior al plan A. Responda a las siguientes preguntas, tome como base el planteamiento original y sólo cambie lo que se indica en cada caso: i) ¿Cuál es el número de kilómetros promedio mensuales que debe viajar a lo más el representante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A? ii) Si el pago mensual para la compra del automóvil se reduce a $4500 mensuales cada mes, ¿a lo más cuántos kilómetros debe recorrer el representante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A?
ANEXO CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA Otro método para encontrar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática es el de la tabla de variaciones. Si queremos encontrar el conjunto solución de: (x a) (x b) 0 a0yb0 1. Se dibuja un cuadrado 4 4, es decir de cuatro columnas y cuatro filas, de la siguiente manera:
122
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
2. En la primera y segunda filas de la primera columna se colocan los factores de la desigualdad; en la tercera fila se escribe la multiplicación de los factores, así: xa xa
3. Los números que hacen cero a los factores (a y b) se colocan sobre la línea que divide la segunda y la tercera columnas, y la tercera columna con la cuarta columna. La línea superior de la cuadrícula hará las veces de recta numérica; los números positivos están colocados del lado derecho y los números negativos del lado izquierdo. a
b
xa xb
como
a0 a 0
y b0 y a b
4. De acuerdo con el factor se coloca cero, en este caso no incluido ya que la desigualdad es mayor que. Si hubiera sido mayor o igual que, se rellena el cero. Anotamos el número 0 en el cruce de la línea y la fila que corresponden al coeficiente que hace 0 al factor correspondiente. Como es una desigualdad “mayor que” el 0 hará las veces de punto, por lo que dejamos el 0 sin rellenar. Lo mismo para una desigualdad “menor que”. El cero se rellena si la desigualdad incluye el “igual”. a
b
xa xb
Si x a entonces x a a a 0 Si x b entonces xbbb0 ANEXO
123
5. Si el factor se hace positivo o negativo según nos movamos sobre la recta superior en el intervalo escribimos el signo o el signo ; en las filas. Anotamos signo menos en los cuadrados que queden a la izquierda de los ceros y el signo más en los cuadrados que queden a la derecha, entre los ceros. a b xa
xb
6. Utilizando la regla de los signos multiplicamos de manera vertical los signos anotando el signo correspondiente en la parte inferior. a b xa
xb
7. Si la desigualdad es mayor (), mayor o igual () que cero, el conjunto solución está donde tenemos el signo , y si es menor (), menor o igual () que cero, el conjunto solución está donde tenemos el signo (). Se sombrea el área de la solución. a b xa
xb
8. Ahora se escribe la solución de la siguiente manera en notación de conjuntos: Intervalos: ] , a [ U ] b, [ Se ponen para adentro los corchetes si es Gráfica:
a
b
Se llenan los círculos si es Conjunto: {x/x a o x b} Se coloca en el conjunto el signo de igualdad si es Si la solución hubiera sido de una desigualdad menor que, entonces, en notación de: Intervalos: ] a, b [ Se ponen hacia adentro los corchetes si es a b Gráfica:
124
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
Se llenan los círculos si es Conjunto: {a x b} Se coloca el signo de igualdad si es EJEMPLOS En los siguientes ejemplos, encuentre el conjunto solución de lo que se pide: 1. (x 1) (x 2) 0 2
Conjunto solución ] , 2 [ U ] 1, [
1
x1
x2
2. 1 x2 0 Recomendación: Si el coeficiente principal es negativo, hágalo positivo multiplicando por 1 en ambos lados de la desigualdad y esto cambia en el sentido. x2 1 0 (x 1) (x 1) 0 En este caso rellenamos los “ceros” porque utilizamos el signo
1
Conjunto solución [1.1] La solución se encuentra abajo del signo menos porque la desigualdad es menor que o igual a cero
1
x1
x1
3. 6x2 x 1 6x2 x 1 0 (2x 1) (3x 1) 0 1
3
Conjunto solución
1 ] , 1/3 [ U ]
[ 2
1
2
2x1
3x1
CASO DE ESTUDIO
125
4. x2 2x 3 0 x2 2x 3 0 En ambos lados se multiplica por 1. (x 3) (x 1) 0 1
Conjunto solución
] , 1 ] U [ 3, [
3
x3
x1
5. (2 5x) (2 x) 0 2
5
Conjunto solución
] 2/5, 2 [
2
2 5x
2x
EJERCICIOS DEL ANEXO 1. 28 2x2 10x
6. 9x2 12x 5
2. (1 2x) (3 4x) 0
7. 4x2 9
3. (2x 1)2 0
8. 0 x2 5x 6
4. 5x 2 3x2
9. (3 2x) (4 x) 0
5. (4 x) (3 2x)
126
CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES
10. x2 8x 16
CAPÍTULO
4
Lógica matemática
La Teoría de los Conjuntos fue rigurosamente desarrollada en los siglos XIX y XX, con el objeto de dar a la matemática una mejor fundamentación y tener una mayor precisión en el lenguaje en ella utilizado. En este capítulo se dan los rudimentos de tal teoría. Se introducen las nociones de conjunto, pertenencia a un conjunto y subconjunto. Además, se dan distintas formas de operar con los conjuntos para obtener otros. En particular, estudiaremos las operaciones de unión, intersección y complemento de un conjunto respecto a otro (también llamada diferencia de conjuntos). Son dadas las propiedades fundamentales de estas operaciones, entre las que destacan las llamadas leyes de De Morgan, que establecen fórmulas en las que esas tres operaciones quedan relacionadas. Presentaremos los diagramas de Venn que son gráficos concretos que sirven de apoyo en el estudio de algunas de las propiedades generales de los conjuntos. También se introduce el producto cartesiano de conjuntos que sirve, por ejemplo, para tener modelos numéricos del plano y el espacio.
TEMARIO
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
En la segunda parte del capítulo haremos una breve presentación de la lógica matemática elemental. Se introduce la noción de proposición o enunciado y son presentados los llamados conectivos lógicos que permiten formar proposiciones complejas a partir de otras que pasan a ser llamadas sus proposiciones componentes. Son también consideradas las proposiciones llamadas condicionales, que tienen un interés especial para el estudio de las matemáticas, pues muchos de los resultados que en ella se encuentran son enunciados de este tipo. Las proposiciones tienen asociado un valor de verdad. Mediante las llamadas tablas de verdad se determina el valor de verdad de proposiciones complejas de acuerdo con los valores que tienen sus componentes. El capítulo se cierra dando algunas de las formas de demostración de condicionales.
CONJUNTOS UNIÓN DE CONJUNTOS INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS PRODUCTO CARTESIANO LÓGICA MATEMÁTICA REPASO DEL CAPÍTULO
127
4-1 CONJUNTOS Encuentre todos los divisores positivos de 28. Solución Los divisores de 28 son: {1, 2, 4, 7, 14, 28} En general, un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos. Un conjunto debe ser descrito de tal manera que dado un objeto sea posible decidir si es o no elemento del conjunto. Si x es un elemento y A un conjunto, escribimos x A para decir que x pertenece a A. Para señalar que un objeto x no es elemento del conjunto A, escribimos x ∉ A. En ocasiones, como en el ejemplo anterior, para especificar a un conjunto particular, se hace una lista de todos los elementos y se escriben entre llaves. Otra manera es escribir, también entre llaves, una regla que caracteriza plenamente a los elementos; en el ejemplo anterior escribimos {n n divide a 28}, que se lee “el conjunto de los números naturales n tales que n divide 28”. (Recuerde que un divisor positivo de un número es un natural que divide a dicho número.) Usamos letras mayúsculas para denotar a los conjuntos y minúsculas para denotar a sus elementos. Cuando escribimos la lista de los elementos de un conjunto, no repetimos los elementos, por ejemplo, escribimos {a, b} en lugar de {a, b, a}. El orden en que escribimos los elementos de un conjunto no es importante, así, {a, b, c} y {b, a, c} representan al mismo conjunto.
EJEMPLO 1
Indique si el número 5 pertenece o no al conjunto {pq p, q y q 0}. Solución Observamos que 5 puede escribirse como: 5 5 1 el cual es un elemento del conjunto, entonces:
p 5 p, q y q 0 q El conjunto
p, q y q 0} se conoce como el conjunto de los números rap q
cionales y se denota por .
EJEMPLO 2 Describa al conjunto de los números pares entre 7 y 9. Solución El conjunto es: {6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8}
128
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
EJEMPLO 3 Pruebe que el cero no pertenece al conjunto cuyos elementos son los números reales cuyo cuadrado es mayor que cero. Solución Puesto que 02 0, tenemos que 0 ∉ {x x2 0}.
EJEMPLO 4 Diga si 3 pertenece al conjunto B {x x es mayor que y menor que 7}. Solución Los elementos de B son aquellos reales x tales que:
x7 y como 3 entonces 3 ∉ B. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Si el número de elementos del conjunto es un entero positivo, se dice que el conjunto es finito. Cuando un conjunto no es finito, se dice que es infinito. Cuando dos conjuntos finitos A y B tienen la misma cardinalidad, decimos que los conjuntos son equivalentes y escribimos A B. En este caso también decimos que entre los dos conjuntos existe una correspondencia biunívoca, en ocasiones llamada también uno a uno. Es decir, puesto que los conjuntos tienen el mismo número de elementos, entre ellos se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B, agotando los elementos de B.
EJEMPLO 5 Encuentre la cardinalidad del conjunto que consta de los números enteros mayores que 2 y menores que 11. Solución El conjunto es: {1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La cardinalidad del conjunto es 12.
EJEMPLO 6 Diga si los conjuntos A {5, 3, 2, 7} y B {x, c, d, y, z} son equivalentes. Solución La cardinalidad de A es cuatro y la de B es cinco, entonces los conjuntos no son equivalentes.
SECCIÓN 4.1 CONJUNTOS
129
EJEMPLO 7 Encuentre una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A {x, y, z} y B {w, 1, 5} Solución Escribimos x → w para denotar que al elemento x del conjunto A le asociamos el elemento w del conjunto B. Entonces establecemos la relación: x → w y → 5 z → 1, puesto que hemos agotado todos los elementos de B y a cada elemento de A le asociamos un único elemento de B, la correspondencia es uno a uno. Observación {1, 2} {a, b} pero {1, 2} {a, b} Subconjuntos Si A {xx , 0 x 20 y x es un número primo} y B {xx y 0 x 20}, es decir, B es el conjunto de números enteros entre cero y 20, debemos analizar qué relación hay entre A y B. Solución Observamos que: A {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} y B {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, Notamos que cada elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. En general, para dos conjuntos A y B, escribimos A B si todo elemento del conjunto A es elemento del conjunto B y decimos que A es subconjunto de B. Cuando no se cumple que A B, es decir, cuando al menos un elemento de A no pertenece a B, escribimos A B. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y escribimos A B. Decimos que A es un subconjunto propio de B o que está propiamente en B si A B y hay por lo menos un elemento de B que no está en A. En este caso escribimos A B.
130
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
Observaciones • Si A B y A B entonces A B. • Si A B y B A entonces A B. • Si A B entonces A B y B A.
EJEMPLO 1 7
Si A {3, 4.5, 15, 8} y B 3, 15, 4.5}. Demuestre que B A. Solución Los elementos de B son 3, 15, 4.5 y todos ellos son también elementos de A.
EJEMPLO 2 Si A {11, 5, 0, 7} y B {11, 5, 0, 7, 1}. Pruebe que B A. Solución 1 es elemento de B, pero no es elemento de A, entonces B A.
EJEMPLO 3 Determine si los conjuntos A {2, 5, 8} y B {8, 2, 5} son iguales. Solución Como cada elemento de A es elemento de B entonces A B. De la misma manera, cada elemento de B es elemento de A; entonces B A. Por lo tanto, A B.
EJEMPLO 4 Si A {x 2 x 92} y B {x 52 x 8}. Demuestre que A B. Solución Si x A entonces: 9 2 x . 2 De donde 5 9 2 x 8, 12 2 es decir, x B. Por lo tanto, A B.
Complemento En un internado se encuentran 98 niños de los cuales 27 son recogidos a las cinco de la tarde por sus padres, los restantes únicamente van a casa el fin de semana. ¿Cuántos niños duermen en el internado? Solución Llamamos A al conjunto de niños que salen diariamente y B al conjunto de todos los niños que se encuentran en el internado. Debemos saber cuántos ele-
SECCIÓN 4.1 CONJUNTOS
131
mentos tiene el conjunto de niños que están en el internado pero no salen diariamente, es decir, el conjunto de elementos que pertenecen a B pero no están en A; denotamos a dicho conjunto por B\ A, entonces: B\A {x Bx ∉ A} {niños que duermen en el internado}, entonces B\A tiene 98 27 71 elementos. Hay 71 niños que duermen en el internado.
En general podemos hablar de los elementos que pertenecen a un conjunto B pero no a A, en ese caso escribimos: B\A {x Bx ∉ A} y decimos que B\ A es el complemento del conjunto A con respecto al conjunto B, o simplemente el complemento de A con respecto a B. Otro nombre con el que se conoce a B\A es diferencia de B y A. Para tener una representación gráfica de los conjuntos utilizamos los diagramas de Venn.
FIGURA 1 En cada caso es conveniente tener claro en qué contexto estamos trabajando, de esta manera, es posible simplificar incluso la notación. En cada caso debemos determinar el conjunto que tomaremos como referencia durante la explicación, es decir, uno que contendrá a todos los subconjuntos que intervengan en dicha explicación, a ese conjunto se le llama conjunto universal. Así, por ejemplo, si tomamos a como el conjunto universal y llamamos P al conjunto de los números pares, denotamos por Pc al complemento de P con respecto a , en lugar de escribir \P. Claramente, el conjunto universal cambia, dependiendo de la situación de que se trate.
FIGURA 2
132
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
EJEMPLO 1 Si tomamos como conjunto universal al conjunto de los números reales, encuentre Ac si A es el conjunto de números tales que su cuadrado es mayor que cero. Solución Puesto que para cualquier número real tenemos que su cuadrado es positivo o cero, tenemos que los números tales que su cuadrado es mayor que cero son los que satisfacen: x0
x 0,
o
es decir: A {x x 0}, de donde: Ac \A {0}.
EJEMPLO 2 1
1
3
2
3
1
1
5
Si A {1, 2, 3, 2} y B {3, 2, 1, 4, 2, 2, 1}. Encuentre B \A. Solución Los elementos que están en B y no están en A son:
2 1 5 B\A , , , 1 3 4 2
EJERCICIOS 4-1 (1-10) En cada caso escriba el conjunto exhibiendo todos sus elementos. 1. {números enteros pares entre 5 y 11} 2. {números enteros cuyo cuadrado sea menor que 47} 3. {números primos entre 34 y 60} 4. {números enteros negativos mayores que 8} 5. {números naturales impares menores que 16} 6.
1 {nn
es un número natural entre 1 y 13}
7. {2n 5 n es un número entero entre 3 y 6} 8. {nn es un número entero mayor que 5 y menor que 7} 9. {x x2 2 0} 10. {x
x2
1 0}
(11-15) En cada caso describa el conjunto que se indica. 11. El conjunto de los números enteros que satisfacen (x 2)2 0.
12. El conjunto de números reales que satisfacen 3 x 5 2. 13. El conjunto de números reales que satisfacen la ecuación x2 15 2x. 14. El conjunto de números reales que satisfacen la ecuación x3 2x2 24x. 15. El conjunto de números racionales que satisfacen la ecuación 2x2 11x 21 0. (16-21) Coloque o ∉ en cada espacio en blanco de manera que la proposición sea cierta. 16. 6___{10, 9, 6, 3, 0, 5} 17. ___{2, 2, 2, , 6} 18. 9.4___{1.2, 3.75, 9.3, 12, 13.7, 20} 19. 0___{6, 22, 3, 0, 8, 1} 3
2
3
5
6
7
20. 5___{3, 4, 3, 5, 4} SECCIÓN 4.1 CONJUNTOS
133
21.
1 ______ 32
1
1
1
1
33. B {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
1
{2, 4, 8, 16 , 32 }
(22-29) Coloque o en cada espacio en blanco de manera que la proposición sea cierta.
34. B {5, 4, 3, 2, 1} 35. B {2} 36. Si A es el conjunto formado por todos los triángulos, B es el conjunto de los triángulos rectángulos y C el de los triángulos escalenos. Diga si cada uno de los conjuntos anteriores es subconjunto de alguno de los otros o no. Analice todas las posibilidades.
22. {5, 10, 12} ______ {5, 10, 15, 20, 25} 23. {3, 0} ______ {0, 1, 3, 1, 3} 24. {2, 4, 6, 8} ______ {2, 4, 6, 8, 10, 12} 25. {7, 11, 16} ______ {1, 7, 11, 14, 16}
2 3
(37-41) Si el conjunto universal es el conjunto {11, 1, 3, 4, 4 5 7 9 8 8 6 , , , , 2, , 0, , , , , a, b, 8}. Encuentre Ac si: 5 6 8 10 7 9 5
26. ______ {1, 2, 3, 4} 27. {4, 4} ______
2
3
4
8
6
37. A {1, 3, 4, 5, 9, , 0, 5, , b, 8}
28. 8 ______
3
4
5
7
9
2
3
4
7
8
4
3
4
7
9
8
6
38. A {11, 1, 4, 5, 6, 8, 10 , , 0, 7, 5, , a, 8}
29. {5, 21, 93} ______ {números enteros impares} (30-35) En cada caso encuentre A\ B. Si A {5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} y 30. B {0, 1, 2, 3, 4, 5}
9
8
6
39. A {11, 1, 3, 4, 5, 8, 9, 10 , 2, , 0, 7, 5, , a, 8} 8
6
40. A {1, 11, 6, 4, 5, 8, 10 , 2, , 7, 5, , a, 8} 41. Luis ha comprado tres platos para servir el alimento a sus perros, un plato es azul, otro rojo y el tercero blanco. Los nombres de sus perros son: Boby, Tiny y Romy. Establezca una correspondencia uno a uno entre los platos y los perros.
31. B {3, 1, 5} 32. B {0, 4}
4-2 UNIÓN DE CONJUNTOS Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Roberto practican la natación. José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno y Andrés juegan fútbol. ¿Cuáles niños hacen deporte? Solución Llamamos A al conjunto de niños que nadan, es decir: A {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto} y B al de los niños que juegan fútbol: B {José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Ahora formamos la colección de los niños que practican algún deporte: {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Sin embargo, notamos que hay niños que pertenecen tanto a A como a B, es decir, Mario y Roberto practican ambos deportes, por tal motivo aparecen dos veces en la lista, los borramos una vez de acuerdo con lo dicho al inicio del capítulo y obtenemos el conjunto: A B {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Alfredo, Bruno, Andrés}. Los elementos de este conjunto son los niños que practican algún deporte.
134
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
Cuando deseamos, como en el problema anterior, reunir los elementos de dos conjuntos A y B, escribimos: CAB en este caso decimos que C es la unión de los conjuntos A y B, y para describir sus elementos: A B {xx A o x B} y se lee A unión B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a alguno de los dos conjuntos, es decir, x pertenece a A, o x pertenece a B. Observe que en la unión se encuentran todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir: A A B y B A B.
FIGURA 3 Observaciones Si A B entonces A B B. Si A B entonces A B A B. Si x A B entonces x pertenece a A, x pertenece a B o x pertenece a ambos. EJEMPLO 1 Si A {1, 2 , 13, 3.75} y B {0,38, 123, 13}, encuentre A B. Solución A B {1, 2, 13, 3.75, 0, 38, 123} EJEMPLO 2 Si A {3, 4, 5, 6} y B {3, 6} encuentre A B. Solución A B {3, 4, 5, 6} EJEMPLO 3 Si A {x x 7} y B {x 3 x 232} encuentre A B. Solución Puesto que:
22 3 y 7 , 3 SECCIÓN 4.2 UNIÓN DE CONJUNTOS
135
entonces:
22 A B x x . 3 EJEMPLO 4 Si A {x 4 x 4}, B {4, 0, 2} y C {x 3 x 5}. Encuentre (A B) C. Solución Observemos primero que 0 A y 2 A. Entonces, como 4 B, tenemos: A B {x 4 x 4}, tomando ahora la unión de este conjunto con C, como 4 3 y 4 5, tenemos: (A B) C {x 4 x 5}.
EJERCICIOS 4-2 Si A {x, y, z}, B {y, z} y C {z}. Encuentre:
8
14. Si A {x 2.5 x 3}, B {x 2 x 8} 27
y C {x 3 x 6}.
1. A B
Verifique A (B C) (A B) C.
2. A C
15. Si A es un conjunto de 7 elementos y B es un conjunto de 5 elementos, ¿cuántos elementos tiene A\B? Observe que los conjuntos A y B pueden o no, tener elementos en común.
3. B C 4. (A B) C 5. A (B C)
16. Julieta y Ramón contrajeron matrimonio. Julio y Salvador, hijos del primer matrimonio de Julieta, llegaron a vivir con la pareja. Asimismo, Jaime y Anita, hijos de Ramón, se incorporaron a la familia.
6. (A \ B) C 7. (A \ C) B 8. (A B) \ C
a) Escriba el conjunto que consta de los miembros de la nueva familia.
9. (A C)\ B
b) Exprese el conjunto anterior como la unión de los dos conjuntos que formaba cada pareja de hijos con su respectivo papá, antes de la boda.
10. A (B \C) 11. A \ (B C) 12. (A \ B) (A \ C) 13. Si A {x 25 x 9}, B {x 8 x 2} y C {x 1 x 8}.
17. Si A {a} y B es un conjunto tal que A B {a}, ¿quién es B?
Encuentre (A\B) (A\C).
4-3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Los miembros del Consejo de Seguridad de la ONU durante 1997 fueron Japón, Kenia, Polonia, Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos, Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Nor-
136
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
teamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal, Chile, Costa Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua romance. ¿Qué países son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma? Solución Llamamos A al conjunto de miembros permanentes del Consejo de Seguridad de la ONU, es decir: A {Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China, Francia} y B al conjunto de países cuyo idioma es una lengua romance, o sea: B {Portugal, Chile, Costa Rica, Francia, Guinea-Bissau} Los países que son miembros permanentes y cuyo idioma es una lengua romance son los que están en ambos conjuntos, llamemos C a dicho conjunto, entonces: C {Francia} El único país que es miembro permanente y tiene como idioma una lengua romance es Francia; es decir: C A B. En general, cuando deseamos considerar los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, escribimos: C A B, en este caso decimos que C es la intersección de los conjuntos A y B, o sea: A B {xx A y x B} y se lee A intersección B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B. De acuerdo con la definición, cualquier elemento de A B es un elemento de A y también de B, es decir: ABA
y A B B.
FIGURA 4
Cuando no hay elementos que pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que la intersección es vacía o que el conjunto obtenido es el conjunto vacío, el cual denotamos por . En este caso decimos que los conjuntos son ajenos. Convenimos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A, es decir, A. SECCIÓN 4.3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
137
EJEMPLO 1 En una granja saldrán a la venta los pollitos que serán destinados a la engorda, para ello son seleccionados colocando en un lado las pollas y en otro a los pollos. Al inicio 3 había 2104 animales, de los cuales 8 resultaron ser pollos y el resto pollas. Determine las cardinalidades de los conjuntos que resultaron después de hacer la selección. Solución Para saber cuántos pollos hubo en total, efectuamos la operación:
3 2104 789, 8 como: 2104 789 1315 Entonces, hay un conjunto, llamémoslo A, que contiene a los 789 pollos: A {pollos} otro, al que llamaremos B, que contiene a las 1315 pollas: B {pollas} Notamos que A B .
EJEMPLO 2 7
Si A {x 3 x 4} y B {x 2 < x < 6}, encuentre A B. 7
Solución Observamos que los números reales que satisfacen 3 x 2 son elementos del conjunto A, pero no del conjunto B. De la misma manera, los que cumplen 4 x 6 son elementos del conjunto B pero no están en A. Así:
7
A B x 2 x 4 .
Observaciones • Si A B entonces A B A. • Si A B entonces A B A B.
Leyes de De Morgan Las igualdades (A B)c Ac Bc y
(A B)c Ac Bc
se conocen como las leyes de De Morgan y son válidas para cualesquiera de los dos conjuntos A y B.
EJEMPLO 1 Si A {x 3 x 2}, B {x 1 x 0} y es el conjunto universal, verifique que (A B)c Ac Bc.
138
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
Solución (A B)c ({x 3 x 2} {x 1 x 0}) c \({x 3 x 2} {x 1 x 0}) {x x 3} {x 2 x 1} {x x 0} Por otra parte, Ac Bc {x 3 x 2}c {x 1 x 0}c (\{x 3 x 2}) (\{x 1 x 0}) ({x x 3} {x 2 x}) ({x x 1} {x 0 x}) {x x 3} {x 2 x 1} {x x 0} Entonces (A B)c Ac Bc.
EJEMPLO 2 Si A {x 0 x 3}, B {x 2 x 6} y es el conjunto universal, verifique que (A B)c Ac Bc. Solución (A B)c ({x 0 x 3} {x 2 x 6}c \({x 0 x 3} {x 2 x 6}) \{x 2 x 3} {x x 2} {x x 3} Por otra parte, Ac Bc {x 0 x 3}c {x 2 x 6}c (\({x 0 x 3}) ( \{x 2 x 6}) ({x x 0} {x 3 x}) ({x x 2} {x 6 x}) {x x 2} {x x 3} Entonces, (A B)c Ac Bc.
EJERCICIOS 4-3 (1-6) En cada caso, conteste cierto o falso:
3
(7-10) Si A {, 0, }, B {0, 2, } y C {, 0, 2}, encuentre:
1. b {b}
2. 0
3. {0}
4. Si A B y x B, entonces x A
7. A B
5.
6. Si A B A B entonces A B
9. A C
8. B C 10. (A B) C
SECCIÓN 4.3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
139
(11-24) Si A {1, 5, 9}, B {a, b, c, 5} y C {2, 3, a, 9}, encuentre: 11. A B
12. B C
13. A B
14. A C
15. A C
16. B C
17. A B C
18. (A B) C
19. (A B) C
20. A B C
21. (A C) B
22. (B C ) A
23. (A B) (A C) 24. (A B) (A C) 1
25. Si A {x 1 x 2}, B {x 2 x 4} 1 y C {x 2 x 3}.
Verifique que: (A B) C (A C) (B C) 3
26. Si A {x 1 x 2}, B {x 0 x 2} 1 5 y C {x 2 x 5}. Verifique que: (A B) C (A C) (B C) 27. Ilustre (A B) C utilizando diagramas de Venn, en el caso en que A B A C, pero B C 28. Por medio de diagramas de Venn, verifique que (A B) C (A C) (B C), suponiendo que A B , A C y B C .
4-4 PRODUCTO CARTESIANO En una lonchería, el menú del día consta de sopa, a elegir entre las siguientes opciones: lentejas o fideos. Un guisado, a elegir entre: pollo a la naranja, ternera con ensalada o milanesa con papas. Cualquier opción está acompañada con frijoles y postre. ¿Cuáles son los menús posibles que se pueden formar? Solución Llamamos A al conjunto de sopas y B al de los guisados, es decir: A {lentejas, fideos} B {pollo a la naranja, ternera con ensalada, milanesa con papas}. Para formar todos los menúes posibles tomamos una sopa y combinamos con todos los guisados, posteriormente hacemos lo mismo con la otra sopa. Todas las posibilidades de elegir una sopa y un guisado son:
lentejas y pollo a la naranja
lentejas y ternera con ensalada
lentejas y milanesa con papas
fideos y pollo a la naranja
fideos y ternera con ensalada
fideos y milanesa con papas
Puesto que estamos tomando parejas, conviene escribir: {(lentejas, pollo a la naranja), (lentejas, ternera con ensalada), (lentejas, milanesa con papas), (fideos, pollo a la naranja), (fideos, ternera con ensalada), (fideos, milanesa con papas)}. Este conjunto lo denotamos como A B. Observe que escribimos las parejas de forma ordenada, es decir siempre primero la sopa y después el guisado.
140
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
En general, cuando a partir de dos conjuntos A y B deseamos formar parejas de elementos de manera que en cada una haya un miembro de cada uno de los conjuntos dados, formamos el conjunto que llamamos el producto cartesiano de A y B, que denotamos A B. Es decir: A B {(a, b) a A y b B} y se lee el conjunto de parejas a coma b tales que a está en A y b está en B. Es importante notar que las parejas son parejas ordenadas, es decir, (a, b) (c, d) sólo en el caso en el que a c y b d, así, en general (a, b) (b, a). Las parejas ordenadas, en ocasiones también se llaman pares ordenados. Observación A . EJEMPLO 1 Si A {3, 6, 2} y B {4, 2}, dibuje en el plano cartesiano los elementos del producto A B. Solución A B {(3, 4), (3, 2), (6, 4), (6, 2), (2, 4), (2, 2)}.
FIGURA 5 EJEMPLO 2 Si A {3, 6, 2} y B {4, 2}, dibuje en el plano cartesiano los elementos del producto B A. Solución B A {(4, 3), (4, 6), (4, 2), (2, 3), (2, 6), (2, 2)}.
FIGURA 6 SECCIÓN 4.4 PRODUCTO CARTESIANO
141
EJEMPLO 3 Si A {n 2 n 5} y B {x, y, z}, encuentre A B. Solución Observamos primero que A {3, 4}, entonces: A B {(3, x), (3, y), (3, z), (4, x), (4, y), (4, z)}.
EJEMPLO 4 Si A {x, y, z} y B {x, y}, encuentre (A B) (B A). Solución A B {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y), (z, x), (z, y)} B A {(x, x), (x, y), (x, z), (y, x), (y, y), (y, z)} Entonces: (A B) (B A) {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)} Observación A B B A
EJERCICIOS 4-4 (1-4) Si A {1, 1, 0} y B {1, 2, 3}, encuentre: 1. A B
2. B A
3. (A B) (B A)
4. (A B) (B A)
(5-12) Si A {a, b} y B {a, b, c} y C {a, c} encuentre: 5. A B
6. A C
7. B A
8. C A
9. A (B \ C) 11. A (B C)
10. (A B) \ (A C) 12. B (C A)
13. Si A {2, a, z}, B {a, b} y C {3, b} verifique que: A (B C) (A B) (A C),
(14-17) Si A {1, 2, 3} y B {1, 2, 3}, dibuje en el plano los elementos de los conjuntos: 14. A B
15. B A
16. A A
17. B B
18. Si A {a, b, c, d, e , f, g, h, i} y B {1, 2, 3}. ¿Cuál es la cardinalidad de A B? 19. Considere los conjuntos A {a}, B {b}, C {c}, D {a, b}, E {a, c}, F {b, c}, G {a, b, c}. Encuentre: (G G)\ ((A F) (B E) (C D)). 20. Si A , B y A B B A, ¿qué se puede decir de los conjuntos A y B?
4-5 LÓGICA MATEMÁTICA Proposiciones Si digo “Hoy por la noche voy a leer un libro”, ¿qué podré decir mañana por la mañana? Solución Si dije la verdad, entonces mañana podré decir que leí un libro De otra manera, diré que mentí.
142
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
Una proposición o enunciado es una expresión que afirma o niega algo. En ocasiones, en una proposición se distinguen a su vez dos o más proposiciones, las cuales se estudian para analizar la original. Aristóteles, filósofo griego (384 – 322 a.C.) con el objeto de analizar los esquemas de razonamiento, inició el estudio de la lógica, escribiendo a lo largo de su vida cinco libros sobre el tema, a los que llamó Organon.
EJEMPLO 1 Me comí todo el pastel.
EJEMPLO 2 Todos los enteros positivos son primos.
EJEMPLO 3 Con mi sueldo puedo comprar lo que se me antoje.
EJEMPLO 4 El agua es indispensable para los seres humanos.
EJEMPLO 5 Haré tres pasteles y los venderé todos. Observación Una proposición puede ser verdadera o falsa. Más adelante nos ocuparemos de este tema.
Negación Lucrecia llegó a la oficina de telégrafos con la intención de enviar un mensaje a su hijo Andrés y le dictó a la empleada: El jueves no estaré en casa. La empleada no entendió y transmitió a Andrés la negación de lo que Lucrecia le dijo. ¿Cuál fue el mensaje que Andrés recibió? Solución El telegrama que Andrés recibió decía: El jueves estaré en casa. En general, negar alguna proposición es algo común en el lenguaje cotidiano, una muestra es el ejemplo anterior. De la misma manera, en matemáticas, escribimos usualmente negaciones de proposiciones, por ello, es necesario tener una notación sencilla y cómoda para indicarlo. Así, si P denota cierta proposición, escribimos P para señalar que estamos considerando la negación de P. Al símbolo lo llamamos negación y decimos que es un conectivo lógico. Más adelante hablaremos de otros conectivos lógicos. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
143
EJEMPLO 1 Escriba le negación de la proposición “Todos los mamíferos son vivíparos”. Solución La negación es: “No todos los mamíferos son vivíparos”; es decir: “Algún mamífero no es vivíparo”.
EJEMPLO 2 Escriba la negación de la proposición “Hay mamíferos que son vivíparos”. Solución La negación es: “Ningún mamífero es vivíparo”.
EJEMPLO 3 Escriba la negación de la proposición “Algunos mamíferos no son vivíparos”. Solución La negación es: “Todos los mamíferos son vivíparos”.
EJEMPLO 4 Escriba la negación de la proposición “Ningún mamífero es vivíparo”. Solución La negación es: “Algún mamífero es vivíparo”. EJEMPLO 5 Escriba la negación de la proposición “Todos los lunes sirven mole poblano en el comedor de la Universidad” Solución La negación es: No todos los lunes sirven mole poblano en el comedor de la Universidad, es decir: Algunos lunes no sirven mole poblano en el comedor de la Universidad. Observaciones Al negar una proposición, es frecuente que se haga alguna de las siguientes “traducciones”. • Si una proposición establece: “Todos…, entonces la negación dirá: “Alguno no… • Si una proposición establece: “Algún…, entonces la negación dirá: “Ningún… • Si una proposición establece: “Alguno no…, entonces la negación dirá: “Todos sí… • Si una proposición establece: “Ningún…, entonces la negación dirá: “Algún…
Conjunción y disyunción Juan recibió una nota que decía: Busca a tu prima durante el recreo y ven a mi casa al salir del colegio. Atte. tu tía Lupe
144
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
Solución En la nota que Juan recibió, distinguimos dos proposiciones más sencillas: Busca a tu prima durante el recreo Ven a mi casa al salir del colegio Observamos que se plantea a Juan la posibilidad de hacer alguna de las dos cosas, sin embargo no queda excluida la posibilidad de realizar las dos acciones.
Si en el problema anterior llamamos P a la proposición “Busca a tu prima durante el recreo” y Q a la proposición “ven a la casa al salir del colegio”, entonces la nota que Juan recibió, se lee como P o Q. En general, para escribir lo anterior, usamos un conectivo lógico que llamamos disyunción, que denotamos por ∨ y tiene el significado del planteamiento anterior, por ello P ∨ Q se lee “P o Q”. Si una proposición es de la forma P y Q, usamos otro conectivo, llamado conjunción, al cual denotamos por ∧. Así P ∧ Q se lee “P y Q”
EJEMPLO 1 Juan recibió una nota que decía: Busca a tu prima durante el recreo y ven a mi casa al salir del colegio. Atte. tu tía Lupe ¿Qué debe entender Juan? Solución Juan debe buscar a su prima durante el recreo y además dirigirse al salir, a casa de su tía.
EJEMPLO 2 Escriba, usando conectivos, la proposición “Había tres mandarinas o desayunamos manzanas”. Solución Si llamamos: P a la proposición “había tres mandarinas” Q a la proposición “desayunamos manzanas” entonces escribimos P ∨ Q.
EJEMPLO 3 Escriba, usando los conectivos , ∨ e ∧, la proposición “Tiró los boletos o los perdió y no asistió al concierto”. Solución Si llamamos: P a la proposición “tiró los boletos” Q a la proposición “los perdió” R a la proposición “asistió al concierto” SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
145
entonces la proposición se escribe como: (P ∨ Q) ∧ (R).
EJEMPLO 4 Si P es la proposición “Olvidé la tarea en casa” y Q es la proposición “El maestro la revisó”, escriba usando conectivos, la proposición “Olvidé la tarea en casa y el maestro no la revisó” Solución Puesto que Q significa “El maestro no la revisó”. Entonces la proposición “Olvidé la tarea en casa y el maestro no la revisó” se escribe como: P ∧ Q.
Condicionales y bicondicionales El domingo por la mañana, el dueño de un establecimiento le dice a su empleado. “Si no hay clientes por la tarde, entonces cerraremos a las seis”. Al llegar la tarde, a pesar de haber clientes, el dueño decidió cerrar a las seis, ¿contradice este hecho la afirmación que hizo por la mañana? Solución El dueño del establecimiento expresó lo que haría en caso de no haber clientes, pero no en caso contrario, por consiguiente no hay contradicción. La proposición del problema anterior, puede escribirse de la forma: Si P entonces Q, esta forma se llama condicional. En este caso llamamos a P la hipótesis y a Q la tesis o conclusión. Otras formas de expresar condicionales de este tipo son: P implica Q Q si P P es suficiente para Q P sólo si Q Q es necesario para P Q cuando P P 1 Q. Las condicionales P 1 Q y Q 1 P son una el recíproco de la otra. Cuando decimos que “P implica Q” y también “Q implica P”, es decir, P1Q y
Q 1 P.
entonces establecemos una bicondicional y podemos decir en forma resumida: P si y sólo si Q. Otras formas de expresar una bicondicional son: P es equivalente a Q Para Q es necesario y suficiente que P Si P entonces Q y recíprocamente P3Q
146
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
EJEMPLO 1 Escriba la proposición “si estudias, podrás efectuar el viaje, y solamente en ese caso”, usando condicionales. Solución La primera parte de la afirmación, es decir, “si estudias, podrás efectuar el viaje”, es una condicional. En realidad dice: “si estudias, entonces podrás efectuar el viaje”. La segunda parte: “y solamente en ese caso” es también una condicional, pues dice “sólo si estudias podrás efectuar el viaje”, lo cual se escribe como: “si puedes efectuar el viaje entonces estudiaste”. Así, la proposición “si estudias, podrás efectuar el viaje, y solamente en ese caso” es una bicondicional que podemos escribir como: “podrás efectuar el viaje si y sólo si estudias”.
EJERCICIOS 4-5-1 (1-9) En cada caso, escriba la negación de la proposición correspondiente.
Escriba, en términos de su significado, cada una de las siguientes proposiciones.
1. El gato rasguñó al perro.
10. P ∧ R ∧ (Q)
2. Todo el grupo reprobó el examen.
11. (P ∨ Q)
3. Todos los alacranes se alimentan de ratones.
12. ( R) ∧ P
4. Todos los números enteros son primos.
13. (P ∨ (Q))
5. Algunos números elevados al cuadrado no son enteros. 6. Compramos un coche o armamos un rompecabezas.
14. Si P es la proposición “Yo no me comí el pastel”, ¿qué es (P)?
7. Ningún sueño se convierte en realidad.
(15-16) Si P, Q y R representan las proposiciones:
8. Todos los días hay nuevas oportunidades.
P: Te quiero
9. El jueves pasado, pusieron en la puerta del colegio un letrero que decía: “El próximo lunes no habrá clases y la ceremonia será el martes”. Pero un chistoso que estudiaba lógica agregó antes un símbolo de negación y el letrero quedó: (“El próximo lunes no habrá clases y la ceremonia será el martes”). ¿Qué debe entenderse entonces?
Q: Te lo digo
(10-13) Si P, Q y R representan las proposiciones:
R : No entiendes Escriba, usando conectivos, cada una de las proposiciones siguientes: 15. Te quiero y no te lo digo, o te lo digo y no entiendes. 16. Ni te quiero, ni te lo digo, ni entiendes.
P: Me acosté temprano Q: Leí 60 páginas del libro R: Cené demasiado. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
147
TABLAS DE VERDAD Escriba la negación de la proposición “Hoy es domingo” e indique si la proposición es verdadera o falsa. Solución La negación de la proposición es: “Hoy no es domingo”. En cuanto a la veracidad o falsedad de la afirmación, observamos que depende del día en el que se lea la proposición. Si se lee en domingo, diremos que es verdadera, en caso contrario diremos que es falsa. Para representar esta situación, utilizamos el siguiente esquema:
Hoy es domingo
Hoy no es domingo
V F
F V
Estamos leyendo en domingo: No estamos leyendo en domingo:
en el que observamos que cuando la proposición es verdadera, la negación es falsa y viceversa.
En general, puede ocurrir que una proposición ni siquiera tenga sentido en el lenguaje cotidiano o no podamos decir si es cierta o falsa. Sin embargo, cuando una proposición está escrita en el lenguaje cotidiano, es común cuestionarnos acerca de la veracidad. Cuando en una proposición aparecen varios conectivos, esta cuestión puede no tener una respuesta tan sencilla, por ello y para auxiliarnos introducimos las llamadas tablas de verdad. La tabla de verdad correspondiente a una proposición P y su negación es: P V F
(P) F V
Notamos que cuando P es verdadera (P) es falsa y viceversa. La tabla de verdad de la disyunción es: P V V F F
Q V F V F
P∨Q V V V F
Observamos que para que P ∨ Q sea verdadera, basta con que al menos una, P o Q, sea verdadera. Es decir, si P es verdadera, si Q es verdadera o si ambas lo son.
148
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
La tabla de verdad de la conjunción es: P V V F F
P∧Q V F F F
Q V F V F
Para que P ∧ Q sea verdadera, tanto P como Q deben ser verdaderas. Cuando en una tabla de verdad en todos los renglones aparece V, decimos que la proposición es una tautología, si por el contrario, aparece F en cada uno de los renglones, decimos que la proposición es una contradicción. Observación En la tabla correspondiente a la negación, la proposición P, es verdadera o falsa dependiendo sólo de si P lo es, razón por la cual la tabla tiene sólo dos renglones. En el de la conjunción y la disyunción aparecen dos proposiciones, P y Q, cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, por tanto, para la veracidad de la conjunción o disyunción, debemos considerar todas las combinaciones posibles; por ello hay cuatro renglones en la tabla correspondiente. EJEMPLO 1 Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa: “El mango es una fruta” o “El aguacate es una verdura”. Solución La proposición es de la forma P ∨ Q. Donde P es “El mango es una fruta”, que es verdadera, y Q es “El aguacate es una verdura”, que es falsa. Entonces por el segundo renglón de la tabla de verdad de la disyunción, tenemos que P ∨ Q es verdadera. EJEMPLO 2 Si P es verdadera y Q es falsa, ¿qué se puede decir de (P ∧ Q) ∨ R? Solución Utilizando las tablas de verdad de la negación, la conjunción y la disyunción, tenemos: Q es falsa entonces Q es verdadera entonces P ∧ Q es verdadera. P es verdadera
Entonces:
(P ∧ Q) ∨ R es verdadera. EJEMPLO 3 Escriba la tabla de verdad ( P) ∨ Q. Solución
P
Q
P
(P) ∨ Q
V V F F
V F V F
F F V V
V F V V
SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
149
EJEMPLO 4 Escriba la tabla de verdad de P ∧ (Q ∨ R). Solución Como tenemos 3 proposiciones P, Q, R, hay exactamente 23 8 ternas distintas de valores de verdad. P
Q
R
Q∨R
P ∧ (Q ∨ R)
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V V F F F F F
Veracidad de las condicionales y bicondicionales Pili le dice a Martha: “Si Julián me invita al baile, entonces voy”. El día del baile, Martha encuentra a Pili en el baile pero a Julián no. ¿Puede decirse que Pili mintió? Solución Pili no mintió pues dijo que iría al baile en caso de ser invitada por Julián, pero no afirmó que ésa era su única posibilidad para ir al baile. La proposición que aparece en el ejemplo anterior es de la forma P 1 Q. En general, una proposición de este tipo es verdadera si en el caso en que P es verdadera, puede concluirse que Q es verdadera. Al igual que en el caso de las proposiciones compuestas en las que aparecen los conectivos ∨, ∧ o , cuando nos preguntamos acerca de la validez de una condicional, también debemos considerar todas las posibilidades en cuanto a la veracidad de P y Q. Hagamos la tabla de verdad para P 1 Q
P
Q
P1Q
V V F F
V F V F
V F V V
Observamos que la implicación es falsa únicamente en el caso en el que, siendo verdadera la hipótesis, la conclusión es falsa. Asimismo, notamos que en general, para que P 1 Q sea verdadera, basta con que Q sea verdadera siempre que P lo sea. En el ejemplo, la conclusión es verdadera y la hipótesis es falsa, por ello la condicional resulta verdadera.
150
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
EJEMPLO 1 Indique si la condicional: “Si 0 a 1 entonces a ” es verdadera o falsa. Solución La implicación es verdadera, puesto que: {a | 0 a 1} .
EJEMPLO 2 Indique si la condicional: “Si hace frío entonces es invierno” es verdadera o falsa. Solución La implicación es falsa, pues no únicamente durante el invierno hace frío; es decir, es posible que haga frío y sin embargo no sea invierno.
EJEMPLO 3 Escriba la tabla de verdad de una proposición bicondicional. Solución Una proposición bicondicional es de la forma P 3 Q; es decir, P 1 Q y Q 1 P, entonces: P
Q
V V F F
V F V F
P1Q Q1P P⇔Q V F V V
V V F V
V F F V
Observamos que P ⇔ Q es verdadera si P 1 Q y Q 1 P son verdaderas, y solamente en ese caso; es decir, cuando P y Q tienen el mismo valor de verdad.
EJEMPLO 4 Demuestre por medio de tablas de verdad que P y X son proposiciones, entonces la condicional P 1 X ∧ X es verdadera en el caso en que P es falsa y solamente en ese caso. Solución La tabla de verdad de P 1 X ∧ X es: P
X
X
X ∧ X
P1X∧X
V V F F
V F V F
F V F V
F F F F
F F V V
Observamos que X ∧ X es siempre falso, pues nunca algo y su negación pueden ser verdaderas simultáneamente. Asimismo, los renglones en los que P 1 X ∧ X es verdadero son aquellos en los que P es falso.
SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
151
Decimos que dos proposiciones P y Q son equivalentes si la bicondicional P 3 Q es verdadera. en cuyo caso escribimos: P Q. Observación Recordamos que un bicondicional es verdadera cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es el mismo, y únicamente en ese caso. Para verificar que dos proposiciones son equivalentes, suelen utilizarse tablas de verdad, como puede ver en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1 Demuestre que (P 1 Q) P ∧ Q. Solución Escribimos las tablas de verdad de (P 1 Q) y P ∧ Q:
P
Q
Q
P1Q
(P 1 Q)
P∧Q
V V F F
V F V F
F V F V
V F V V
F V F F
F V F F
Puesto que los valores de verdad de (P 1 Q) y P ∧ Q son idénticos, en todos los casos posibles, entonces la bicondicional y (P 1 Q) ⇔ (P ∧ Q) es verdadera.
Conectivos lógicos y conjuntos Escriba la negación de la proposición: “El elemento a pertenece al conjunto B”. Solución La negación de la proposición es: “El elemento a no pertenece al conjunto B”. En el lenguaje de conjuntos lo anterior es equivalente a decir: a B. La situación anterior sugiere establecer la relación entre el conectivo lógico y el complemento en el sentido de los conjuntos. De la misma manera, si recordamos que un objeto es elemento de la unión de dos conjuntos si pertenece a alguno de los dos o a ambos, entonces el conectivo ∨ se relaciona con el símbolo . Igualmente ∧ se relaciona con . Todo lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla. ∨ ∧
152
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
)c
(
Una vez establecida la analogía observamos que: (P ∧ Q) P ∨ Q que en la teoría de conjuntos equivale a: (A B)c Ac Bc y (P ∨ Q) P ∧ Q que en la teoría de conjuntos equivale a: (A B)c Ac Bc Éstas son las leyes de De Morgan que conocíamos. Por esta razón, cuando se escriben en términos de conectivos, se les llama de la misma manera. EJEMPLO 1 Escriba en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos A A A Solución En términos de conectivos, escribimos: P∧PP EJEMPLO 2 Escriba, en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos (A B) C (A C) (B C) Solución En términos de conectivos, escribimos: (P ∧ Q) ∨ R (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)
EJERCICIOS 4-5-2 1. Demuestre que la proposición P ∨ ( P) es una tautología. 2. Demuestre que P ∧ P es una contradición. 3. Usando tablas de verdad, muestre que si P 1 Q y Q 1 R son verdaderas, entonces P 1 R es verdadera. 4. Muestre que las tablas de verdad de P⇔ Q y (P 1 Q) ∧ (Q 1 P) son iguales. 5. Muestre que las tablas de verdad de ( P ∨ Q) y P 1 Q son iguales. 6. Muestre que las tablas de verdad de (P ∧ Q) y ( P) ∨ ( Q) son iguales.
10. Escriba la negación de la proposición “Si comes dulces entonces se te picarán los dientes”. (11-14) Si P, Q, R y S representan las proposiciones: P: Todo cuadrado es un rectángulo. Q: Todo réctangulo es un paralelogramo. R: Todo cuadrilátero es un cuadrado. S: Todo paralelogramo es un cuadrilátero. Diga, en cada caso, si la condicional es verdadera o falsa: 11. P 1 Q
7. Demueste que la proposición ( (P ∨ Q)) 1 (( P) ∧ ( Q)) es una tautología.
12. Q 1 R
8. Demuestre usando tablas de verdad, que la proposición ( P ∨ Q) 1 (P 1 Q) es verdadera.
14. P 1 S
9. Si P es la proposición “n es un número entero mayor que 6”, y Q es la proposición “n2 no es un número primo”. Escriba, usando estas proposiciones, una condicional verdadera.
13. R 1 S
15. En una fiesta de disfraces, Pepe dice a su acompañante: “Si aquel hombre de antifaz rojo es Julián, entonces el que está vestido de arlequín es Paco”. Pero el hombre de antifaz rojo era Roberto. ¿Es verdadera o falsa la condicional planteada por Pepe? SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
153
16. Rubén, Luis y Jorge afiman que son muy listos pues se van turnando las tareas. ¿Quién hizo la tarea de hoy? si:
(17-20) En cada caso, escriba en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos.
Rubén dijo: La tarea no la hizo Luis.
17. A A A
Luis dijo: Yo no hice la tarea.
19. A (B C) (A B) C
Jorge dijo: Yo hice la tarea.
18. (Ac) c A
20. (A B) C (A C) (B C)
y se sabe que al menos uno dijo la verdad y al menos uno miente?
FORMAS DE DEMOSTRACIÓN Luisa se compromete con su hija diciéndole: “Si me pagan las horas extras que me deben, te compraré la máquina de escribir que necesitas”. Sin embargo, aun cuando Luisa siempre cumple su palabra, el tiempo pasó y no compró la máquina de escribir, ¿qué fue lo que sucedió? Solución Puesto que si a Luisa le hubieran pagado, ésta hubiese comprado la máquina de escribir, entonces podemos concluir que no le pagaron. Observamos que la proposición expresada por Luisa es una implicación de la forma: P1Q y como Luisa siempre cumple su palabra, dicha proposición es verdadera, entonces al asegurar que Q no se cumplió, dedujimos que entonces P tampoco se cumple, es decir, afirmamos: Q 1 P. En el ejemplo anterior mostramos que si P 1 Q, entonces podemos deducir que Q 1 P. Elaboremos ahora las tablas de verdad de P 1 Q y de Q 1 P:
P
Q
P
Q
P1Q
Q 1 P
V V F F
V F V F
F F V V
F V F V
V F V V
V F V V
Observamos que en las tablas de verdad, las columnas correspondientes a P 1 Q y Q 1 P son iguales, es decir (P 1 Q) (Q 1 P). En matemáticas, muchos de los resultados que se quieren demostrar tienen la forma P 1 Q. Utilizando la equivalencia anterior, encontramos una manera alternativa; basta con probar Q 1 P. Esta forma de demostración se llama contrapuesta.
154
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
EJEMPLO 1 Demuestre que si n2 es par entonces n es par. Solución Recordemos primero que los números pares son aquellos que se pueden escribir de la forma 2m para algún entero m, y los impares son los que se pueden escribir de la forma 2m 1 para algún número entero m. La proposición es de la forma P 1 Q, entonces utilizaremos la contrapuesta y probaremos Q 1 P, es decir, probaremos que: Si n no es par, entonces n2 no es par. Supongamos que n no es par, entonces n es impar. Por lo que n 2m 1 para algún entero m n2 (2m 1)2 n2 4m2 4m 1 n2 2 (2m2 2m) 1 De donde n2 es impar, es decir, n2 no es par. Hemos probado entonces que: si n2 es par, entonces n es par.
Reducción al absurdo 1 Demuestre que si a 0, entonces 0. a 1 Solución Supongamos que a 0 y que 0. a Recordemos que cuando se multiplican ambos lados de una igualdad por un número positivo, la desigualdad no se altera. 1 Entonces, multiplicando ambos lados de la desigualdad 0 por a, obtenea mos: 1 (a) 0 (a) a 1 0. Lo cual no es posible, pues sabemos que 1 0. Concluimos que nuestra suposición 1 0 es falsa, de donde: a 1 Si a 0, entonces 0. a Otra manera de demostrar una condicional P 1 Q es la llamada reducción al absurdo, que consiste en suponer P ∧ Q y deducir a partir de ello que las condicionales P ∧ Q 1 X P ∧ Q 1 X son verdaderas. Es decir, P ∧ Q 1 X ∧ X es verdadera. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA
155
Ahora bien, en la sección “Veracidad de las condicionales y bicondicionales” (ejemplo 4), vimos que una implicación como la que tenemos, es verdadera cuando la hipótesis es falsa y sólo en ese caso. Así, P ∧ Q es falsa, por lo que si P es verdadera Q es verdadera; es decir, P 1 Q.
EJEMPLO 1 Demuestre que 2 no es un número racional. Solución Haremos la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que 2 es un número racional. Entonces, p q
2
p, q q 0.
p Donde es su mínima expresión, o sea p y q no tienen factores en común. Entonces, q p q
2
(3.1)
q2 p,
elevando al cuadrado tenemos: 2q2 p2, lo cual indica que p2 es par, donde p es par (ejemplo 1 de la sección “Formas de demostración”). Así, p debe ser de la forma: p 2n
para algún entero n.
Sustituyendo este valor en la segunda igualdad de (3.1) tenemos: 2q2 (2n)2 2q2 4n2 q2 2n2. De aquí tenemos que también q es par, es decir, tanto p como q son pares o sea, tienen el 2 como factor común. Pero sabíamos que p y q no tienen factores en común. Por lo tanto, hemos deducido una proposición y su negación, entonces la hipótesis es falsa. Como la hipótesis fue 2 es un número racional, concluimos
2 no es un número racional.
156
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 1. ¿De cuántas maneras se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A {∗, , } y B {x, y, z}? Escríbalas todas. (2-9) En cada caso, escriba el conjunto exhibiendo todos los elementos. 2. El conjunto de los estados de la república mexicana que empieza con la letra S. 3. El conjunto de números enteros entre 0 y 300 que tienen exactamente dos unos. 4. Si A {x 0 x 1}, B {x 2 x 5} y es el conjunto universal, verifique que (A B)c Ac B c. 5. Si A es un conjunto de 4 elementos y B es un conjunto de 3 elementos, ¿cuál es la cardinalidad de A B? Observe que algunos elementos pueden pertenecer a ambos conjuntos. 6. Si la cardinalidad de A B es igual a la cardinalidad de A más la cardinalidad de B, ¿qué se puede decir de los conjuntos A y B? 7. Si la cardinalidad de A es m y la de B es n, ¿cuál es la cardinalidad del producto A B?
21. Suponiendo que B A, C A y B C , utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad A\ (B C) (A\B) (A\C). 22. ¿Qué diferencia hay entre y {}? 23. Trate de justificar que (A\B) \A . Sugerencia: Empiece suponiendo que hay un elemento en (A\ B)\ A y observe cuáles son las condiciones que debe cumplir, puesto que ello no es posible, concluya que (A\ B)\ A no tiene elementos, entonces el conjunto debe ser igual al conjunto vacío. 24. Demuestre que (P) 1 P es una tautología. 25. Demuestre que (P ∨ P) 1 (P ∧ P) es una contradicción. 26. A la salida de una universidad una señorita y un joven comentan: El joven dice: “Yo ya no vivo con mis papás”. La señorita afirma: “Yo sí, me siento más segura”. Sabiendo que al menos uno miente y que sólo uno de ellos continúa viviendo en casa de sus padres: a) ¿Cuál de los dos vive con sus papás? b) ¿Quién dijo la verdad?
8. ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de números naturales mayores que 2 y menores que 999,999,999?
27. Si P y Q son falsas y R es verdadera, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición (P 1 Q) 1 (R 1 Q)?
9. Si A B y C D, demuestre que A C B D.
28. Si P y Q son falsas, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición (R ∨ ( Q ∧ P)) 1 S?
(10-15) Si A {{ 1}, 1} y B { 1}. En cada caso, indique si la afirmación es falsa o verdadera. 10. B A
29. ¿Cuántos renglones deberá tener la tabla de verdad correspondiente a la proposición (P 1 Q) 1 ((R ∧ S) ∨ P)? 30. Escriba la contrapuesta de la condicional (P ∧ Q) 1 (P ∨ Q), y simplifíquela de manera que no aparezcan dobles negaciones.
11. 1 A 12. 1 B 13. { 1} A
(31-34) En cada caso, escriba la tabla de verdad de la proposición indicada.
14. B A
31. R 1 (Q ∨ P)
15. B A 3 2
(16-18) Si A {x 5 x 2} y B {x x 7}. Verifique cada una de las siguientes igualdades:
32. P 1 (Q ∧ R)
16. A (A B) A
34. ((P) 1 Q) 1 (Q 1 P)
17. A (A B) A
35. Demuestre, usando reducción al absurdo, que si a 0 en1 tonces 0. a
18. Si A B y C D, demuestre que A C B D. 19. Utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad B\A B Ac, en el caso en que B no sea subconjunto de A pero A B . 20. Utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad (A B) c Ac B c.
33. ((P ∨ Q) ∧ R) 1 P
(36-39) En cada caso, diga si la bicondicional es verdadera o falsa 36. 8 5 11 si y sólo si 3 6 9 37. 4 3 7 si y sólo si 9 5 4 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4
157
38. 2 7 9 si y sólo si 6 8 14 39. 9 6 3 si y sólo si 7 5 12 40. Usando tablas de verdad, diga si la proposición (((P 1 Q) ∧ (Q 1 P)) ∧ P) 1 (P ∧ Q) es verdadera o falsa. 41. Por la mañana, papá buscó las llaves que había dejado sobre la mesa del comedor la noche anterior. En casa estaban
158
CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA
Juan, Rosa, Paco y María. Cuando papá preguntó: “¿Quién tomó mis llaves?”, Juan dijo: “Las tomó Paco”. Rosa dijo: “Yo no las tomé”. Paco dijo: “Rosa miente”. María dijo: “Paco no dijo la verdad”. Si sólo uno dijo la verdad: a) ¿Quién tomó las llaves? b) ¿Quién dijo la verdad?
CAPÍTULO
5
Temas selectos
Antes de que se usaran signos para describir conceptos matemáticos, ya se empleaban las palabras raíz, o lado, para referirse a la raíz cuadrada de un número. Como los matemáticos árabes pensaban que el cuadrado de un número provenía de una raíz, las traducciones del árabe utilizaban la palabra radix (raíz). En trabajos posteriores, los escritores medievales representaban radix con el signo Rx
TEMARIO
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8
que se utilizó durante casi un siglo. En 1484 apareció el signo Rx2 para raíz cuadrada. El signo se presentó por primera vez, impreso, en 1525 y en el siglo XVII ya era ampliamente aceptado. En la sección 5-4 estudiaremos aplicaciones de las ecuaciones con radicales.
RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS DIVISIÓN SINTÉTICA ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES ECUACIONES CON RADICALES ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES DESPEJE DE FÓRMULAS PORCENTAJES
159
5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS Tal vez se acuerde de haber usado radicales en el pasado, cuando trabajó con raíces cuadradas. Por ejemplo, la expresión 2 5 se llama radical y denota al número positivo cuyo cuadrado es 25. Ahora bien, esto se cumple con 52 25 y con (5)2 25, pero el signo del radical implica al número positivo, que es la raíz cuadrada principal de un número. Por eso decimos: 25 5. Designamos la raíz cuadrada negativa así: 25 5. En general, la raíz n-ésima principal de un número real a se denota por medio n de a, como en estos ejemplos: 3
64 4
porque
8 x6 2x2
porque
3
5
32 2
43 64 (2x2)3 8x6
porque
25 32
n
La expresión a no siempre tiene significado. Por ejemplo, tratemos de evaluar 4 16: 24 16
(2)4 16
Según vemos, no existe ningún número real x tal que x4 16. En general, no existe ningún número real que sea la raíz par de un número negativo. Sin embargo, una propiedad fundamental de los números reales consiste en que cada número real positivo a tiene precisamente una raíz n-ésima positiva. Además, cada número real negativo tiene una raíz n-ésima positiva, siempre que n sea un número non. n
DEFINICIÓN DE a; La n-ésima RAÍZ PRINCIPAL de a Sea a un número real y n un entero positivo, n 2. n
(i) Si a 0, a es el número positivo x tal que xn a. n
(ii) 0 0. n
(iii) Si a 0 y n es un número non, a es el número negativo x tal que xn a. n
(iv) Si a 0 y n es par, a no es un número real. n
Se dice que el símbolo a es un radical; es el signo radical, n es el índice n o raíz, y a recibe el nombre de radicando. Observe que, cuando a x, tenemos xn a que también se puede escribir como: n
(a )n a
EJEMPLO 1 Evalúe los radicales que son números reales y verifíquelo. Si una expresión no constituye un número real, explique el motivo. 3
160
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
(a) 1 25
(b) 9
(d) x4
(e)
x10 32 5
(c)
81 4
16
3
(f) (7a)3
Solución 3
a) 125 5
Comprobación: (5)3 125
b) 9 no es un número real por ser la raíz de un número negativo.
23 1861
81 3 16
4
c)
2
2 Comprobación: 3
d) x4 x2
4 4
Comprobación: (x2)2 x4 y
5
x2 0
x32
x2
x2 Comprobación: 2
x10 2 32
e)
4
3
5
10
3
f) (7a)3 7a
Comprobación: Sea 7a x. Entonces: 3 x3 7a, o (7a)3 7a.
Para multiplicar o dividir radicales, el índice debe ser el mismo. He aquí algunos ejemplos que dan lugar a las reglas 1 y 2, que aparecen abajo. 3
3
8 • 27 (2)(3) 6 3
3
(8 )( 27) 216 6 36 6 3 2 4
4 9 3 36
8 • 27 (8 )( 27)
36 4
3
3
3
4 36
En las siguientes reglas se supone que todos los radicales existen de acuerdo con la n definición a y, como siempre, ninguno de los denominadores es cero. REGLAS DE LOS RADICALES Si todos los radicales indicados son números reales, n
n
n
1. a • b ab
(Multiplicación de radicales)
n
2.
a n b
3.
a a m
a n
a
n
(División de radicales; b 0) mn
EJEMPLO 2 Simplifique. Suponga que todas las variables representan números positivos. 1 b) 35 0 • 2 2
a) 6 x • 7y 3
81 x7 c) 3 3x 5
d)
64 2
3
5
e) 16x • 2 x4 SECCIÓN 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS
161
Solución Identifique la regla de los radicales que se está aplicando en cada caso. a) 6x • 7y 6 x•y 7 4 2xy
1 1 3 • 2 • 5 b) 35 0 • 2 0 • 6 50 • 12 625 2 2 6 • 5 30 3
81x 27x6 3x2
c)
81 x7 3 3x
d)
64 64 2 (Nota: 26 64.) 2
3
3
7
3
3x
(Nota: (3x2)3 27x6)
6
5
5
5
5
e) 16x • 2 x4 (1 6x) ( 2) x4 32 x5 2x (Nota: (2x)5 32x5) EJEMPLO 3 Evalúe el producto 5 • 14 hasta tres cifras decimales. Solución Por la regla de los radicales: 5 • 14 70. Utilizando una calculadora debe encontrar que, aproximada hasta millonésimos (6 cifras decimales), 70 8.366600; si redondeamos este número a tres cifras decimales, nos da la raíz cuadrada igual a 8.367.
Advertencia: He aquí un error común que debe evitar. Explique por qué no es posible este paso:
Al aplicar las reglas de los radicales, debe tener el cuidado de evitar el tipo de error que resulta de la falsa suposición de la existencia de una raíz n-ésima. Por 2 ejemplo 4 no es un número real; pero, si no hace hincapié en esto, obtendrá resultados falsos, como el siguiente: 4 1 6 ( 4)( 4) 4 • 4 ( 4)2 4
( 4)( 4) 4 4
VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN representan números positivos.
3
1. 1 21 4.
Simplifique. Suponga que todas las variables
81 4
3. 32 x5
5. 22 • 532
6.
125
8. ( 1000)( 343)
9.
8 1
11.
(8)(125) 27
12.
49 3 6
14.
4 x3 5 128 x8
15.
24
3
7. (2x)4 10. (9 )( 144)( 225)
5
2. 64
3
3
4
27
256
144
196
•
5
3
3
13. 8x • 27 x2
3
1
3
•
81 x6
Ya estamos listos para llevar a cabo la extensión del concepto exponencial para incluir exponentes fraccionarios. Nuevamente, nuestra guía será preservar las reglas dadas anteriomente para los exponentes enteros. 1 Primero, tomemos en consideración exponentes de la forma n, donde n es un entero positivo. (Supongamos que n 2, dado que es trivial el caso n 1). Se trata
162
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
de darle significado a la expresión b1/n. Si debe cumplirse la regla 3 de los exponentes, tenemos: (b1/n)n b(1/n)(n) b Por lo tanto, b1/n es la n-ésima raíz de b (siempre y cuando exista esa raíz). Esto nos conduce a la siguiente definición de b1/n. Como 1 no es un número real, (1)1/2 no se define. En general, b1/n no se define dentro del conjunto de los números reales, cuando b 0 y n es par.
DEFINICIÓN DE b1/n
Para un número real b y un entero positivo n (n 2), n
b1/n b n
siempre y cuando b exista. EJEMPLOS 3
15 151/2 1 1 1 91/2 1/2 9 3 9
6 (6)1/3 3
(27)1/3 27 3 4
(16)1/4 no se define, ya que 16 no es un número real. m
Ahora que se ha definido b1/n, tenemos la posibilidad de definir bm/n, donde n es cualquier número racional. Una vez más, queremos que se apliquen las reglas de los exponentes. Observe, por ejemplo, las dos maneras de evaluar 82/3, con base en la suposición de que se aplica la regla 3. 82/3 8(1/3)
•
2
3
(81/3)2 (8)2 22 4
c Regla 3
T 82/3 82
•
(1/3)
3
3
(82)1/3 82 64 4
Estas observaciones nos conducen a una definición: Observe que siempre es posible expresar un número racional con el denominador positivo; por
DEFINICIÓN DE bm/n Sea mn un número racional con n 2. Si b es un número n real tal que b está definida, entonces n
n
m bm/n (b) m b
2 2 ejemplo, 3 3
Usando nada más exponentes fraccionarios, también podemos escribir: bm/n (b1/n)m (bm)1/m EJEMPLO 4 Evalúe: (64)2/3 n
Solución Usando bm/n (b)m 3
(64)2/3 (64)2 (4)2 16 SECCIÓN 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS
163
n
m Usando bm/n b 3
3
(64)2/3 ( 64 )2 4096 16 Obviamente, el primer planteamiento representa menos trabajo. Para la mayoría de estos problemas resulta más fácil extraer primero la n-ésima raíz y luego elevar a la n-ésima potencia, que ejecutar estas operaciones en el orden contrario. 1 Observe que la definición bn n se amplía para el caso b(m/n), en la sib guiente forma 1 1 b(m/n) bm/n (b1/n)m 1/n m (b )m b /n EJEMPLO 5 Evalúe: 82/3 (32)2/5 Solución Primero, volvemos a escribir cada parte empleando exponentes positivos. Luego aplicamos la definición y sumamos, como se muestra en la página siguiente. 1 1 82/3 (32)2/5 2/3 8 (32)2/5
1 1 5 2 ( 32)2 (8) 3
1 1 2 2 (2) (2) 1 1 1 4 4 2
VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN tes expresiones. 1. 51/2
2. (9)1/3
Escriba como radical cada una de las siguien-
3. 101/4
4. 52/3
5. 23/4
Escriba cada una de las siguientes expresiones usando exponentes fraccionarios. 6. 7
3
4
3
4
7. 10
8. 7
9. 72
10. (5)3
11. 251/2
12. 641/3
13. (316 )1/2
14. 491/2
15. (217 )1/3
16. 43/2
17. 43/2
18. (8116 )3/4
19. (8)2/3
20. (8)2/3
Evalúe:
Como la definición de los exponentes racionales se elaboró con el fin de preservar las reglas fundamentales de los exponentes enteros, es posible demostrar que estas reglas se aplican también a los exponentes racionales. Los ejemplos que vienen a continuación demuestran el uso de estas reglas cuando se aplican a los exponentes racionales.
164
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
EJEMPLO 6 Simplifique y después exprese el resultado exclusivamente con exponentes positivos. x2/3y2z2 x1/2y1/2z1 En el ejemplo 6, es posible que resulte más fácil primero escribir de otra manera el problema original, usando nada más exponentes positivos.
Solución x2/3y2z2 x2/31/2y21/2z2(1) x1/2y1/2z1 x1/6y5/2z3 x1/6 z3 5 y /2 (s3t2)1/6 EJEMPLO 7 Simplifique: a) (s4t4)1/2
8a3 b) b 6
2/3
Solución (s3t2)1/6 (s3)1/6(t2)1/6 (s4t4)1/2 (s4)1/2(t4)1/2
a)
(Regla 4)
s1/2t1/3 s2t2
(Regla 3)
s(1/2)(2) t2(1/3) s5/2 7 t /3
8a b
3 2/3
b)
6
(8a3)2/3 (b6)2/3
(Regla 5)
(8)2/3(a3)2/3 (b6)2/3
(Regla 4)
( 8a )2 2 b 4 3
3
4a2b4
3
(( 8 )2 64 4)
PRECAUCIÓN: APRENDA A EVITAR ERRORES COMO ÉSTOS MAL 2 5 5 (Mal uso de la definición de a ) 3
BIEN 25 5 4
4
163/4 (16)4 (Mal uso de la definición de bm/n)
163/4 (16)3 o 163
(2)1/3 21/3
1 1 (2)1/3 3 (2)1/3 2
a1/2 b1/2
1 a b
a1/2 b1/2
1 1 a b
SECCIÓN 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS
165
EJERCICIOS 5-1 (1-8) Ecriba con exponente fraccionario. 3
1. 11 5.
2. 21
3
62
6.
3
(7)2
3
3. 9 7.
4. 10
5
1 5
3
8.
1 3
42
(9-16) Escriba en forma de radical. 9.
31/2
10.
13. 21/2
71/3
14. 73/2
11.
(19)1/3
12.
15.
16. 32/3
3 1/4 4
62/3 1
(17-26) Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener la aseveración verdadera. 3
17. 27 3
18.
19. (8)2/3 4
20. 643/4 (64)4
21. 81/3 2
22. (1 00)1 10
4 0.12 23. 1.4
24. (0.25)3/2 8
1
7 25. 49 3 9
41/2
2
26.
245
28.
1211/2
5
2
27.
(125)2/3 3
35. 9 3 3
37.
3 3 24
9 39. 27 1/3
44. (4 )( 9)( 49)( 100)
45.
46.
625
47.
512
48.
729
3/2
2/3
2 3
3
75 98
3
5
49. 1 44 5 2
50. ( 243 )2 (49)1/2
16 256 53. 81 625 1/3
1 1 51. 27 8
52. 1 44 2 5
1/3
18
56.
287
58.
1285 614
1/3
1 64
1/2
1 27
2/3
1/3
38 1 57. 49 7
1/3
54.
1/4
125 55. 8
3
32 243
2/5
1/3
(59-72) Simplifique y después exprese todas las respuestas con exponentes positivos. (Suponga que todas las letras representan números positivos). 59. (8a3b9)2/3
60. (27a3b9)2/3
61. (a4b8)3/4
62. (a2/3b1/2)(a1/3b1/2)
63. (a1/2b1/3)(a1/2b1/3
a2b1/2c1/ 3 64. a3b0c1/3
64a6 2/3 65. b 9
(49a4)1/2 66. 6 (81b )1/2
36. 5 2 0
a2b3 1/2 a4b5 1/3 67. ab a4b3
68.
2 (3x 3
1)1/3 3
38. 75 3
69. 2(3x2 2)1/2 6x
70.
1 (x3 3
2)2/3 3x2
71. 2(x2 4x)1/2(2x 4) 72.
2 (x3 3
6x2)1/3(3x2 12x)
30. 64
31. (64)2/3
3
16
3
29. 811/2
33.
42.
18
1 43. 4
3
(27-58) Evalúe. 1251/3
41. ( 125)( 1000)
3/4
1
81 4
3
4
32. (64)1/3 34.
40.
(125)2/3
1
91/2 3 27
1
5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA División de polinomios Cuando se divide un polinomio entre un binomio de la forma x a, el proceso de la división puede abreviarse bastante mediante un proceso llamado división sintética. Considere los siguientes ejemplos. En el ejemplo de la derecha, utilizamos sólo los coeficientes numéricos.
166
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
x
2x2 5x 4
2 54 1 3 2 1 9 115 2 6 5 19 5 15 4 15 4 12 3
32 x3 x 22 9 1 x 5 1 2x3 6x2 5x2 19x 5x2 15x 4x 15 4x 12 3
Observe que las variables no juegan un papel importante para determinar los coeficientes numéricos del cociente. Este problema de división puede realizarse con mayor rapidez y facilidad utilizando la división sintética. A continuación explicaremos la forma de utilizar la división sintética. Considere la división 2x3x219x15 x3 1. Escriba el dividendo en potencias descendentes de x. Después liste los coeficientes numéricos de cada término del dividendo. Si no existe algún término de cierto grado, coloque 0 en la posición adecuada para rellenar el hueco. En el problema anterior, los coeficientes numéricos del dividendo son 1
2
19
15
2. Al dividir entre un binomio de la forma x a, coloque a a la izquierda de la fila de números de la parte 1. En este problema estamos dividiendo entre x 3, de modo que, a 3. Escribimos
3
2
1
19
15
3. Baje el primer coeficiente de la izquierda como sigue: 3
2
1
19
15
2 4. Multiplique el 3 por el número que bajó, el 2, para obtener 6. Coloque el 6 bajo el siguiente coeficiente, el 1. Después sume 1 6 para obtener 5.
3
2 2
1 6 5
19
15
5. Multiplique el 3 por la suma 5, para obtener 15. Coloque el 15 bajo 19. Después sume para obtener 4. Repita este procedimiento como se ilustra.
3
2 2
1 6 5
19 15 15 12 4 3
En el último renglón, los primeros tres números son los coeficientes numéricos del cociente, como en la división larga. El último número, 3, es el residuo obtenido en la división larga. El cociente debe ser un grado menor que el dividendo, ya que SECCIÓN 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA
167
estamos dividiendo entre x 3. El dividendo original era un polinomio de tercer grado. Por lo tanto, el cociente debe ser un polinomio de segundo grado. Utilice los primeros tres números del último renglón como los coeficientes de un polinomio de segundo grado en x. Esto produce 2x2 5x 4, que es el cociente. El último número, el 3, es el residuo. Por lo tanto, 2x3 x2 19x 15 3 2x2 5x 4 x3 x3 EJEMPLO 1 Divida utilizando la división sintética. (6 x2 x3) (x 2) Solución Primero enumere los términos del dividendo en orden descendente de x. (x3 x2 6) (x 2) Como no existe término de primer grado, cuando liste los coeficientes numéricos inserte un 0 para llenar el hueco. Como x 2 x (2), a 2
2
1 1
1 2 3
0 6 6 12 6 6
d residuo
Como el dividendo es una ecuación de tercer grado, el cociente debe ser de segun6 do grado. La respuesta es x2 3x 6 x2 EJEMPLO 2 Utilice la división sintética para dividir. (3x4 11x3 20x2 7x 35) (x 5) Solución 5
3 3
11 15 4
20 20 0
7 0 7
35 35 0
d residuo
Como el dividendo es de cuarto grado, el cociente debe ser de tercer grado. El cociente es 3x3 4x2 0x 7 sin residuo. Esto puede simplificarse como 3x3 4x2 7.
EJEMPLO 3 Utilice la división sintética para dividir. 1 (3x3 6x2 4x 5) x 2 Solución
1 2
3
3
168
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
6
4
5
3 9 2 4
7 8
9 2
7 4
47 8
d residuo
La respuesta es 47 9 7 3x2 x 8(x 12 ) 2 4
3x2 4.5x 1.75
o
5.875 x 12
Teorema del residuo En el ejemplo 1, al dividir x3 x2 6 entre x 2, determinamos que el residuo era 6. Si escribimos x 2 como x (2) y evaluamos la función polinomial∗ P(x) x3 x2 6 en 2, obtenemos P(x) x3 x2 6 P(2) (2)3 (2)2 6 8 4 6 6 Como P(2) 6, el valor de la función en x 2 es 6. Cuando dividimos x3 x2 6 entre x 2, el residuo también fue 6. ¿Esto es sólo una coincidencia? Intentemos una vez más. En el ejemplo 3, cuando dividimos 3x3 6x2 4x 5 entre 1 47 1 x 2, obtuvimos un residuo de 8. Evaluemos P(x) 3x3 6x2 4x 5 en x 2. P(x) 3x3 6x2 4x 5
1 1 3 1 2 1 P 3 6 4 5 2 2 2 2 1 1 3 6 2 5 8 4 3 3 7 8 2 3 12 56 47 8 8 8 8 El valor de P(21) es 487 , el mismo residuo obtenido por división sintética. Para obtener el residuo cuando un polinomio P(x) se divide entre un binomio de la forma x a, podemos utilizar el teorema del residuo. TEOREMA DEL RESIDUO Si el polinomio P(x) se divide entre x a, el residuo es igual a P(a).
EJEMPLO 4 Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo, cuando 3x4 6x3 2x 4 se divide entre x 4. Solución Primero escribimos el divisor x 4 en la forma x a. Como x 4 x (4) evaluamos P(4). P(x) 3x4 6x3 2x 4 P(4) 3(4)4 6(4)3 2(4) 4 3(256) 6(64) 8 4 768 384 8 4 396
*Podría haberse utilizado f(x) en lugar de P(x). Sin embargo, al analizar las funciones polinomiales, por lo general se utiliza P(x).
SECCIÓN 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA
169
Así, al dividir 3x4 6x3 2x 4 entre x 4, el residuo es 396. Utilizaremos la división sintética para demostrar que el residuo del ejemplo 4 es efectivamente 396. 4
3
6
0
12 3 6
24 24
2
4
96 392 98 396
d residuo
En el ejemplo 2, al dividir 3x4 11x3 20x2 7x 35 entre x 5, determinamos que el cociente era 3x3 4x2 7 y el residuo era 0. En un problema de división, si el residuo es 0, el divisor y el cociente son factores del dividendo. En el ejemplo 2 podemos escribir 3x4 11x3 20x2 7x 35 3x3 4x2 7 x5 o
(x 5)(3x3 4x2 7) 3x4 11x3 20x2 7x 35
Podemos utilizar el teorema del residuo para determinar si un binomio de la forma x a es un factor del polinomio P(x). Para esto, evaluamos P(a). Si P(a) 0, entonces x a divide al polinomio sin residuo y x a es un factor del polinomio.
EJEMPLO 5 a) Demuestre, utilizando el teorema del residuo, que x 2 es un factor de x3 6x2 11x 6 b) Determine el otro factor. Solución a) x 2 x (2). Si P(2) 0, entonces x 2 es un factor del polinomio P(x) x3 6x2 11x 6 P(2) (2)3 6(2)2 11(2) 6 8 24 22 6 0 Como P(2) 0, x 2 es factor de x3 6x2 11x 6 b) Podemos determinar el otro factor utilizando la división sintética. 2
1 1
6 2 4
11 8 3
6 6 0
El otro factor es x2 4x 3. Así, x3 6x2 11x 6 (x 2)(x2 4x 3) En el ejemplo 5, en x 2, el valor del polinomio x3 6x2 11x 6 es 0. Por lo tanto, 2 es una solución de la ecuación polinomial x3 6x2 11x 6 0.
170
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
EJERCICIOS 5-2 (1-22) Divida utilizando la división sintética. 1. (x2 x 6) (x 2)
(33-42) Dado un polinomio P(x) y un valor x tal que P(x) 0, determine los factores de P(x) (revise el ejemplo 5).
2. (x2 4x 32) (x 4)
33. P(x) 6x2 x 5, P(1) 0
3. (x2 5x 6) (x 6)
34. P(x) 5x2 19x 12, P(3) 0
4. (x2 12x 32) (x 4)
35. P(x) x3 x2 x 10, P(2) 0
5. (x2 5x 12) (x 3)
36. P(x) x3 3x2 x 20, P(4) 0
6.
(2x2
9x 15) (x 6)
7.
(3x2
7x 10) (x 4)
8. (x3 6x2 4x 7) (x 5) 9. (4x3 3x2 2x) (x 1)
37. P(x) 2x3 6x2 18x 10, P(5) 0 38. P(x) 3x3 14x2 8x, P(4) 0 39. P(x) x3 3x2 22x 12, P(3) 0
10. (x3 7x2 13x 5) (x 2)
40. P(x) 6x3 12x2 x 5, P(1) 0
11. (3x3 7x2 4x 12) (x 3)
3 1 41. P(x) x3 x2 5x 2, P 0 2 2
12. (3x4 25x2 20) (x 3) 13. (5x3 6x2 3x 6) (x 1) 14. (y4 1) (y 1) 15. (x4 16) (x 4) 16. (2x4 x2 5x 12) (x 3) 17. (y5 y4 10) (y 1) 18. (z5 4z4 10) (z 1) 1 19. (3x3 2x2 4x 1) x 3 3 20. (8x3 6x2 5x 3) x 4
1 21. (2x4 x3 2x2 3x 1) x 2 2 22. (9y3 9y2 y 2) y 3 (23-32) Determine el residuo de las siguientes divisiones, utilizando el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo. 23. (4x2 5x 4) (x 2) 24. (2x2 3x 2) (x 3) 25. (x3 5x2 2) (x 4) 26. (x3 6x 4) (x 1) 27. (x3 2x2 4x 8) (x 2) 28. (3x3 4x 12) (x 4)
1 29. (2x3 6x2 2x 4) x 2 1 30. (5x3 6) x 5 31. (x4 6x3 3x2 2x 276) (x 3) 32. (x4 5x3 6x 30) (x 5)
10 2 42. P(x) 3x3 4x2 x , P 0 3 3 43. (a) Describa con su propias palabras como dividir un polinomio entre (x a), utilizando la división sintética. (b) Divida x2 3x 4 entre x 5, utilizando el procedimiento de la parte (a). 44. (a) Enuncie el teorema del residuo con sus propias palabras. (b) Determine el residuo obtenido al dividir x2 6x 4 entre x 1, utilizando el procedimiento enunciado en la parte (a). 45. Explique cómo puede determinar, mediante división sintética, si una expresión de la forma x a es un factor de un polinomio x. 46. Explique cómo puede determinar, mediante el teorema del residuo, si una expresión de la forma x a es un factor de un polinomio en x. 47. Dado P(x) ax2 bx c y un valor d tal que P(d) 0, explique por qué x d es una solución a la ecuación ax2 bx c 0. 48. Considere el trinomio 40x2 313x 56 y los binomios x 8, x 8, x 7. Utilice el teorema del residuo para determinar cuál de los binomios es un factor del trinomio. Explique cómo determinó su respuesta. 49. Si un factor de P(x) es x2 5x 12 y si P(3) 0, determine P(x). Explique cómo determinó su respuesta. 50. Escriba un polinomio de tercer grado de cuatro términos que tenga un factor de x 4. Explique cómo obtuvo su respuesta. Existen muchas respuestas posibles.
SECCIÓN 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA
171
Actividad en grupo y problemas para pensar En los ejercicios de 1 a 3, explique su respuesta. ¿x 1 es un factor de x100 x99 . . . x1 1? ¿x 1 es un factor de x100 x99 . . . x1 1? ¿x 1 es un factor de x99 x98 . . . x1 1? Divida (0.2x3 4x2 0.32x 0.64) por (x 0.4). La división sintética puede utilizarse para dividir polinomios entre binomios de la forma ax b, a 1. Para calcular esta división divida ax b entre a para b obtener x . a Después, coloque b a a la izquierda de los coeficientes numéricos del polinomio. Resuelva el problema como hemos explicado. Después de sumar los valores numéricos bajo la línea, divida todos, excepto el residuo, entre a. Después escriba el cociente del problema, utilizando estos números. 1. 2. 3. 4. 5.
(a) Utilice este procedimiento para dividir (9x3 9x2 5x 12) por (3x 5). (b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a.
5-2-1 DIVISIÓN SINTÉTICA (repaso) En la división sintética, o división corta, cuando el coeficiente principal del divisor es diferente de 1 se resuelve de la misma manera que cuando el coeficiente del divisor es igual a 1; lo que cambia es que el cociente se tiene que dividir entre el coeficiente principal del divisor. EJEMPLO 1 Encuentre el coeficiente y el residuo al dividir 3x 12x3 4 4x2 entre 2x 1 Solución 12 12
4 6 2
3 1 2
4 1 3
1 2
12x2 2x 2 C(x) 6x2 x 1 2 2 2 R(x) 3 EJEMPLO 2 Encuentre el cociente y el residuo al dividir 3x2 6x3 9x entre 1 x. Solución 6 6
3 6 9
9 9 0
0 0 0
1
6x2 9x 0 C(x) 6x2 9x 1 1 1 R(x) 0
172
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
EJEMPLO 3 Encuentre el cociente y el residuo al dividir 11x3 11x 6x4 3x2 5 entre 3x 1. Solución 6 6
11 2 9
3 3 6
11 2 9
5 3 8
1 3
6x3 9x2 6x 9 C(x) 2x3 3x2 2x 3 3 3 3 3 R(x) 8 1 EJEMPLO 4 Encuentre el cociente y el residuo al dividir 3x2 5 1 x. 4 Solución 3
0 12 12
3 C(x)
3x 1 4
4
5 48 43 12 1 4
12x 48
R(x) 43
EJERCICIOS 5-2-1 (1-8) En cada caso encuentre el cociente y el residuo. 1. 4x3 4x 7x2 7 4x 7 2. 2x 3x3 6x4 4x2 2x 1 3. 5 6x 9x2 1 3x
1 1 5. 5 x3 17x x 3 2 2 6. 2x3 4x4 7 12x 1 2x 7. 2x4 1 1 x 8. 5x2 4x3 7 6x 4x 3
4. 3x4 4 5x 5x5 5x 3
5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES Ecuaciones fraccionarias En esta sección resolveremos ecuaciones fraccionarias, que son aquellas que contienen una o más expresiones racionales. SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES
173
Para resolver ecuaciones fraccionarias 1. Determine el m.c.d. de todas las fracciones en la ecuación. 2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d. Esto hará que todos los términos de la ecuación queden multiplicados por el m.c.d. 3. Elimine los paréntesis y agrupe los términos semejantes de cada lado de la ecuación. 4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades estudiadas en los capítulos anteriores. 5. Verifique su solución en la ecuación original. El propósito de multiplicar ambos lados de la ecuación por el m.c.d. (paso 2) es eliminar todas las fracciones de la ecuación. Después de haber multiplicado ambos lados de la ecuación por el m.c.d., la ecuación resultante no debe contener fracciones. Omitiremos algunas de las verificaciones para ahorrar espacio. x EJEMPLO 1 Resuelva 2x 7 3 Solución
x 3 2x 7 3 3
Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 3
x 3 3 2x 7 3 3 x 6x 21 7x 21 x3 Verificación
Propiedad distributiva
x 2x 7 3 3 2(3) 7 3 167 77
verdadera
3 5x x EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación . 4 9 6 Solución
Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 36.
3 5x x 36 36 4 9 6
9 3 4 5x x 6 36 36 36 4 9 6
27 20x 6x 27 14x 27 x 14 27 La verificación mostrará que es la solución. 14
174
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
x EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación 3 2(x 2). 4 Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 4. x 3 2(x 2) 4
x 4 3 4[2(x 2)] 4
x 4 4(3) 4[2(x 2)] 4
x 4 4(3) 8(x 2) 4
Advertencia: Si aparece una variable en cualquier denominador de una ecuación fraccionaria, es necesario verificar su respuesta en la ecuación original. Si la respuesta anula al denominador, no es solución de la ecuación. Estos resultados se llaman raíces o soluciones extrañas.
x 12 8(x 2) x 12 8x 16 12 7x 16 28 7x 4x 4 5 EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 3 . x 2 Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 2x.
4 5 2x 3 2x x 2
4 5 2x(3) 2x 2x x 2 6x 8 5x x80 x8 Verificación
4 5 3 x 2 4 5 3 8 2 1 5 3 2 2 5 5 2 2
verdadera
Como 8 da una proposición verdadera, ésta es la solución de la ecuación.
SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES
175
x7 1 EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación . x2 4 Solución El m.c.d. es 4(x 2). Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d. (x7) 1 4(x 2) 4(x 2) (x2) 4 4(x 7) 1(x 2) 4x 28 x 2 3x 28 2 3x 30 x 10 La verificación mostrará que 10 es la solución. Como ya sabrá, las proporciones de la forma c a d b pueden multiplicarse en cruz para obtener a d b c. El ejemplo 5 es una proporción y también puede resolverse multiplicando en cruz, como en el ejemplo 6. 3 EJEMPLO 6 Utilice la multiplicación en cruz para resolver la ecuación x4 4 . x1 Solución 3 4 x4 x1 3(x 1) 4 (x 4) 3x 3 4x 16 x 3 16 x 19 x 19 La verificación mostrará que 19 es la solución a la ecuación. Ahora examinaremos algunos ejemplos con ecuaciones cuadráticas. Recuerde que las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax2 bx c 0, y que a 0. 12 EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación x 7 x Solución
12 x x 7 x x
176
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
Multiplique ambos lados de la ecuación por x
12 x(x) x() 7x x 2 x 12 7x x2 7x 12 0 (x 3) (x 4) 0 x30
o
x40
x 3
x 4
x 3
x 4
12 x 7 x
12 x 7 x
12 3 7 3
12 4 7 4
3 (4) 7
4 (3) 7
Verificación
7 7
7 7
verdadera
verdadera
Las soluciones son 3 y 4 7 2x 5 EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación . x6 x6 Solución Aplique la multiplicación en cruz para obtener 7 2x 5 x6 x6 (2x 5)(x 6) 7(x 6) 2x2 17x 30 7x 42 2x2 24x 72 0 2(x2 12x 36) 0 2(x 6)(x 6) 0 x60
o
x60
x6 Verificación
x6
x6 7 2x 5 x6 x6 2(6) 5 7 66 66 7 7 7 , 0 0 0
no es un número real
Como 7/0 no es un número real, 6 es una solución extraña. De este modo, esa ecuación no tiene solución.
SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES
177
x2 16 EJEMPLO 9 Resuelva la ecuación . x 4 x4 Solución Si intentamos resolver esta proporción mediante una multiplicación en cruz, obtenemos x2(x 4) 16(x 4), que se simplifica como x3 4x2 16x 64. Éste es un ejemplo de ecuación cúbica, ya que el exponente mayor de la variable x es 3. Como la solución de ecuaciones cúbicas va más allá del objetivo de este libro, debemos buscar otro procedimiento para resolver la ecuación original. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación original por el mínimo común denominador, x 4, resolvemos como sigue: x2 16 (x 4) (x 4) (x 4) (x 4) x2 16 x2 16 0
Ésta es una diferencia de cuadrados
(x 4)(x 4) 0 x40 x 4
o
x40 x4
x 4
x4
x2 16 x 4 x4
x2 16 x 4 x4
(4)2 16 4 4 4 4
(4)2 16 4 4 44
16 16 8 8
16 16 0 0
Verificación
2 2
no es solución
verdadera
Como 4 anula al denominador, x 4 no es solución de la ecuación, sino una raíz extraña. La única solución de la ecuación es x 4. 1 2 2x EJEMPLO 10 Resuelva la ecuación . x2 4 x2 x2 Solución Primero factorice x2 4 2x 1 2 (x 2)(x 2) x2 x2 Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., (x 2)(x 2). 2x 1 2 (x 2)(x 2) [ ] (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) x 2 x2 2x 1 2 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2) (x 2) 2x 1 2 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2) (x 2)
178
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
2x (x 2) 2(x 2) 2x x 2 2x 4 3x 2 2x 4 x 2 4 x 6 La verificación mostrará que 6 es la solución a la ecuación. SUGERENCIA Algunos estudiantes confunden la suma y la resta de expresiones fraccionarias con la solución de ecuaciones fraccionarias. Al sumar o restar expresiones fraccionarias debemos escribir cada expresión con un denominador común. Al resolver una ecuación fraccionaria, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el m.c.d. para eliminar las fracciones de la ecuación. Considere los dos problemas siguientes: observe que el de la derecha muestra una ecuación, ya que contiene un signo de igualdad. Resolveremos ambos problemas. El m.c.d. de ambos es x(x 4). Suma de expresiones racionales
Solución de ecuaciones racionales
x2 3 x4 x
x2 3 x4 x
Escribimos cada fracción con el m.c.d. x(x 4).
Eliminamos las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el m.c.d. x(x 4).
x x2 3 x4 x x4 x x4 x(x 2) 3(x 4) x(x 4) x(x 4) x2 2x 3x 12 x(x 4) x(x 4) x22x3x12 x(x4) x2 5x 12 x(x 4)
x2 3 (x)(x 4) (x)(x 4) x4 x
x(x 2) 3(x 4) x2 2x 3x 12 x2 x 12 0 (x 4)(x 3) 0 x40
o
x30
x4
o
x 3
Los números 4 y 3 de la derecha hacen verdadera la proposición y son las soluciones de la ecuación. Observe que al sumar o restar expresiones fraccionarias, por lo general terminamos con una expresión algebraica. Al resolver ecuaciones fraccionarias, la solución será un valor o valores numéricos. La ecuación de la derecha también se resuelve multiplicando en cruz.
SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES
179
EJERCICIOS 5-3 (1-48) Resuelva cada ecuación y verifique su solución. x 3 1. 10 5
3 9 2. k 6
5 20 3. 12 x
x 10 4. 4 8
a 12 5. 25 10
9c 9 6. 10 5
9 6 7. 3b 2
5 2b 8. 8 80
x4 5 9. 9 9
1 z1 10. 4 8
4x 5 7 11. 6 2
a a3 12. 5 2
6x 7 2x 9 13. 10 6
n n 14. 9 10 5
x 1 3x 15. 3 12 4
2 3 w 16. 8 4 5
3 17. x 2x 4
5 2 1 18. 2y y 2
5 3 19. 1 3x x
x x 1 20. 4 6 4
4 x1 21. x5 x5
2x 3 3 22. x1 2
5y 3 15y 2 23. 7 28
2 1 24. x1 x2
5 2 25. x 6 x
4 6 26. y3 y3
5 2x 3 27. x4 x4
3 3 28. 4 x x
x1 x2 29. x 10 x4
x3 x6 30. x1 x5
2x 1 3x 5 31. 3 4 6
3 12 32. x x x
6 33. x 5 x
15 9x 7 34. 9 x x2
3y 2 y2 35. 4 y1 y1
2b 5 36. 2 b1 2b
180
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
1 1 5 37. x3 x3 x2 9
c c 38. c 26 3 5
a 3 3 39. a3 a3 2
3x 1 3 40. x2 9 x 3 x 3 2 4 8 41. x3 x3 x2 9 2x2 15 x1 x3 42. x2 x 6 x3 x2 y 2y 16 y3 43. 2y 2 4y 4 y1 3 5 12x 19 44. x3 x4 x2 7x 12 1 1 2 45. 2 x1 x2 1 2y y 3 46. y2 y3 y2 5y 6 x 2 6 47. x2 x x2 1 2 1 5 48. x2 x1 x2 x 2 49. a) Explique con sus propias palabras los pasos a seguir para resolver ecuaciones fraccionarias. b) Con el procedimiento de la parte (a), resuelva 1 1 3x . la ecuación x1 x1 x2 1 x2 25 50. Considere la ecuación . x 3 x3 a) Explique por qué puede ser difícil resolverla multiplicando en cruz. b) Determine la solución de la ecuación. 51. Considere los siguientes problemas: Simplifique:
Resuelva:
x x 1 , 3 4 x1
x x 1 3 4 x1
a) Explique la diferencia entre uno y otro. b) Explique cómo resolvería cada problema para obtener la respuesta correcta. c) Determine la respuesta correcta de cada problema.
5-4 ECUACIONES CON RADICALES Resolución de ecuaciones radicales que contienen un radical Una ecuación radical es una ecuación que contiene una variable en un radicando. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones radicales: x 4,
3
y 4 9,
x 2 4 x 8
Para resolver ecuaciones radicales 1. Reescriba la ecuación de modo que el radical que contiene la variable quede solo en un lado de la ecuación. 2. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical. 3. Agrupe y sume los términos semejantes. 4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repita los pasos 1 a 3. 5. Despeje la variable en la ecuación resultante. 6. Verifique todas las soluciones en las ecuaciones originales, para evitar la presencia de soluciones extrañas. Recuerde que una solución extraña es un número obtenido al resolver una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones radicales. EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación x 6. Solución La raíz cuadrada que contiene a la variable se encuentra sola en un lado de la ecuación. Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. x 6
x 6
Verificación
(x)2 (6)2
36 6
x 36
66
verdadero
EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación x 4 6 0. Solución x 4 60 x 4 6 (x ) 42 62 x 4 36
Aísle el radical que contiene la variable. Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. Ahora despeje la variable.
x 32 Una verificación mostrará que 32 es la solución.
SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES
181
3
EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación x 4 6. Solución Como 4 está fuera del radical, primero reste 4 a ambos lados de la ecuación para aislar al radical. 3
x 4 6 3 x 2 Ahora eleve al cubo ambos lados de la ecuación. 3
(x)3 23 x8 Una verificación mostrará que 8 es la solución. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 2x 3 x 3. Solución Como el radical ya está aislado, eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. (2 x ) 32 (x 3)2 2x 3 (x 3)(x 3) 2x 3 x2 6x 9 0 x2 8x 12 Ahora factorice x2 8x 12 0 (x 6)(x 2) 0 x60 o x20 x6 x2 Verificación
x6 2 x 3 x3 2 (6 ) 3 63 9 3 33 verdadero
x2 2 x 3 x3 2 (2 ) 3 23 1 1 1 1
falso
Así, 6 es una solución, pero no es una solución de la ecuación. El 2 es una raíz extraña, pues 2 satisface la ecuación (2x ) 3 2 (x 3)2, pero no la ecuación original, 2 x 3 x 3. SUGERENCIAS ÚTILES No olvide verificar sus soluciones en la ecuación original. Recuerde que cuando usted eleva ambos lados de una ecuación a una potencia, puede introducir soluciones extrañas. Considere la ecuación x 2. Observe lo que ocurre cuando eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación. x2 x2 22 x2 4
182
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
Observe que la ecuación x2 4 tiene dos soluciones, 2 y 2. Como la ecuación original x 2 sólo tiene una solución, 2, hemos introducido la solución extraña, 2. EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación 2x 5x 3 0. Solución En primer lugar, escriba la ecuación con la raíz cuadrada que contiene a la variable, aislada, de un lado de la ecuación. 2x 5x 3 0 5x 2x 3 o 5x 2x 3 Ahora eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación: (5x)2 (2x 3)2 25x (2x 3)(2x 3) 25x 4x2 12x 9 0 4x2 37x 9 0 (4x 1)(x 9) 4x 1 0
o
x90
4x 1
x9
1 x 4 1 x 4
Verificación
x9
2x 5x 3 0
2x 5x 3 0
2(9) 59 30
18 5(3) 3 0
1 1 2 5 3 0 4 4 1 1 5 3 0 2 2 5 0
falso
18 15 3 0 00
verdadero
1 La solución es 9. El valor 4 es una solución extraña.
Resolución de ecuaciones que contienen dos expresiones radicales Ahora analizaremos algunas ecuaciones que contienen dos expresiones radicales. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación 4 x2 6 1 2 x2 x 3 . 2 Solución Como los dos radicales aparecen en lados diferentes de la ecuación, eleve al cuadrado ambos lados de la misma. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES
183
(4 x2 6 1)2 (2 x2 x 3 ) 2 2 4x2 16 4(x2 3x 2) 4x2 16 4x2 12x 8 16 12x 8 24 12x 2x Una verificación mostrará que 2 es la solución. 3
3
EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación 3 x 2 17 x 4 1. Solución 3
3
3 x 2 17x 4 1 3 3 3 (3 x ) 2 (17 x 4 1)3 27(x 2) 17x 14 27x 54 17x 14 10x 54 14 10x 40 x4
Eleve al cubo ambos lados de la ecuación
Una verificación mostrará que la solución es 4. Como las expresiones radicales se pueden representar mediante exponentes fraccionarios, las ecuaciones radicales también se pueden dar con exponentes fraccionarios. Por ejemplo, podemos escribir el ejemplo 7 como 3(x 2)1/3 (17x 14)1/3. Para resolver esta ecuación, elevamos al cubo ambos lados de la ecuación, como lo hicimos en el ejemplo 7. [3(x 2)1/ 3]3 [(17x 14x)1/ 3]3 33(x 2)1 (17x 14)1 27(x 2) 17x 14 Éste es el tercer paso de la resolución en el ejemplo 7. Si usted continúa resolviendo el ejemplo, verá que x 4. Cuando una ecuación radical contiene dos términos radicales y un tercer término no radical, a veces necesitará elevar ambos lados de la ecuación a una determinada potencia dos veces para obtener la solución. En primer lugar, aísle un término radical. Después eleve ambos lados de la ecuación a una potencia dada. Esto eliminará uno de los radicales. A continuación, aísle el radical restante en un lado de la ecuación. Después, eleve ambos lados de la ecuación a la potencia dada una segunda vez. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 8. EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación 5 x 1 3 x 2 1. Solución Debe aislar un término radical en un lado de la ecuación. Comience sumando 3 x 2 a ambos lados de la ecuación para aislar 5 x . 1 Después eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación y sume los términos semejantes.
184
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
5x 1 1 3 x 2 (5 x ) 1 2 (1 3 x ) 2 2 5x 1 (1 3 x )(1 2 3x ) 2 5x 1 1 3 x 2 3 x ) 2 (3 x ) 2 2 5x 1 1 23 x 2 3x 2 5x 1 3x 1 23 x 2 Ahora aísle el término radical restante. Después de esto eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación y despeje x. 2x 23 x 2 (2x)2 (23 x ) 2 2 4x2 4(3x 2) 4x2 12x 8 4x2 12x 8 0 4(x2 3x 2) 0 4(x 2)(x 1) 0 x20
o
x2
x10 x1
Una verificación mostrará que 2 y 1 son soluciones de la ecuación.
Interpretación gráfica de la solución de una ecuación radical En esta sección utilizaremos las gráficas de las funciones con raíz cuadrada como apoyo para explicar la resolución de una ecuación radical con una variable. Consideremos la ecuación 2 x 3 x 3, resuelta en el ejemplo 4. La solución fue 6. Suponga que graficamos cada lado de la ecuación por separado. Para esto, escribimos las dos funciones y 2x 3 y y x 3. Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. Graficamos ambas ecuaciones en los mismos ejes y determinamos el punto de intersección. Grafiquemos primero y 2 x . 3 Podemos determinar el dominio, calculando dónde 2x 3 0 (recuerde que el radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que 0 para que la expresión represente un número real). 2x 3 0 2x 3 3 x 2 3
Por lo tanto, el dominio de y 2 x 3 es {x x 2}. Adelante tenemos algunos valores para x y calculamos los valores correspondientes para y. La gráfica de y 2 x 3 aparece en la parte superior de la figura 1. La gráfica de y x 3 es una línea recta. El dominio de la función es el conjunto de números reales. Enseguida seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes para y. La gráfica de y x 3 aparece en la parte inferior de la figura 1. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES
185
y 2 x 3
yx3
x
y
x
y
3 2
0
0
3
2
1
2
1
7 2
2
6
3
6
3
y 2 x 3
FIGURA 1 Observe que las gráficas se intersectan en (6, 3). La abscisa del par ordenado, 6, es la solución de la ecuación original. Esto concuerda con la solución obtenida en el ejemplo 4.
Uso de la calculadora graficadora EJERCICIOS Utilice su calculadora para resolver las ecuaciones. Redondee las soluciones a décimas. 1. x 8 3 x 5
2. 10x 6 1 15 0
3
3
3. 5 x2 6 40
3
4. 5 x2 0 1 4 x 5 9
Aplicaciones de las ecuaciones radicales Ahora analizaremos algunas de las muchas aplicaciones de los radicales.
EJEMPLO 9 Un poste telefónico forma un ángulo recto, o 90, con el suelo (figura 2). La longitud, l, de un cable desde la altura a sobre el poste hasta un punto a una distancia b desde la base del poste se puede determinar mediante la fórmula l 2 a 2 b.
l
a
b
FIGURA 2
186
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
Determine la longitud del cable que se conecta al poste a 40 pies sobre el suelo y está unido al suelo a 20 pies de la base del poste. Solución Si sustituye 40 en vez de a y 20 en vez de b en la fórmula, obtendrá l a2 b2 (4 0 )2 2 (0 )2 1 600 0 40 2 000 44.7 Así, el cable mide aproximadamente 44.7 pies. La fórmula utilizada en el ejemplo 9 es un caso particular del teorema de Pitágoras. La fórmula anterior se puede adaptar a muchas situaciones que implican triángulos rectángulos. EJEMPLO 10 El intervalo de tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa es el periodo del péndulo. El periodo de un péndulo, T, en segundos, L se puede determinar mediante la fórmula T 2 , donde L es la longitud del 32 péndulo en pies. Determine el periodo de un péndulo si su longitud es de 4 pies.
Solución Sustituya 4 en vez de L y 3.14 en vez de en la fórmula. Si tiene una calculadora que tenga la tecla utilícela para introducir el valor de .
4 2(3.14) 32
L T 2 32
2(3.14)0 .1 25 2.22 Así, el periodo es aproximadamente 2.22 segundos. Si tiene un enorme reloj del abuelo con un péndulo de 4 pies, éste tardará aproximadamente 2.22 segundos en dar una oscilación completa. 1
EJEMPLO 11 El área de un triángulo es A b bh. Si no conoce la altura, pero conoce la longitud de los tres lados, puede utilizar la fórmula de Herón para determinar el área. A S(S ) )( aS )( bS ) c donde a, b y c son las longitudes de los lados y abc S 2 Utilice la fórmula de Herón para determinar el área de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 pulgadas. Solución El triángulo aparece en la figura 3. Sean a 3, b 4 y c 5. Primero determine el valor de S. 345 12 S 6 2 2 4
3 5
FIGURA 3 SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES
187
Ahora determine el área. A S (S )( aS )( bS ) c 6 (6 )( 36 )( 46 ) 5 6 (3 )( 2)( 1) 3 6 6 El área del triángulo es de 6 pulgadas cuadradas.
Despeje de una variable Si usted recibe una fórmula y se le pide despejar una variable en un radicando, siga el mismo procedimiento general utilizado para resolver una ecuación radical. Comience aislando la expresión radical. Después, eleve ambos lados de la ecuación a la misma potencia dada por el índice del radical. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 12(b). EJEMPLO 12 Una fórmula utilizada en estadística para determinar el error máximo de una estimación es E Z . n a) Determine E si Z 1.28, 5, y n 36 b) Despeje n en esta ecuación. Solución a) E Z
5 5 1.28 1.28 1.07 6 n 36
b) Primero multiplique ambos lados de la ecuación por n para eliminar las fracciones. Después aísle n. Por último despeje n elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. EZ n
n (E) Z
n n
n(E) Z Z n E Z (n )2 E
Z n E
2
o
n
Z2 E2
EJERCICIOS 5-4 (1-40) Resuelva y verifique su solución o soluciones. Si la ecuación no tiene soluciones reales, indíquelo. 1. x 5
2. x 9
3. x 2
4. x 4
188
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
3
4
5. x 3
6. x 3 56
7. 2 x 4 6
8. x 3 5
3
9. 2 x 1 1 3
3
10. 6 x 3 3
3
11. 3 x 4 7
12. 24 x 3 10
13. 2 x 3 23 x 2
14. 8 x 4 7 x 2 4
4
15. 5 x 0 1 3 x 8 16. x 8 2x 3
17. 6 x 1 2 x 5 19.
3
x2 x 9 3
x
18. 3 x 1 2 20.
x2 x 3 9
24. x2 3 x1
25. x 2x 1
26. 3 x 4 x2
27. x 7 2x 1
28. 3 x 1 40
3
29. x 2 1 5 x 6 1
30. 6x 1 3x
31. 8 b 5 1 b 10
32. 4 x 3 30
3
33. (x 15)1/2 x 5 0 34.
4x
6)1/2
x
x
23. x2 2 x4
(2x2
62. 12 pulg
22. 5a 1 11 0
3
61.
4
21. m 2 m 4 0 2 m
3
(61-62) Utilice la fórmula dada en el ejemplo 9 para determinar la longitud del lado x.
2 pies
9 pies
x
5 pulg
(63-65) Utilice la fórmula dada en el ejemplo 9 para responder. 63. ¿Cuál es la longitud de cable que necesita un trabajador de la compañía telefónica para alcanzar la parte superior de un poste telefónico de 4 metros de altura, desde un punto que se encuentra a 1.5 metros de la base del poste? 64. La señora Song Tran coloca una escalera al lado de su casa. La base de la escalera está a 2 metros de la casa y la escalera reposa sobre la casa, a 6 metros sobre el suelo. ¿Cuál es la longitud de la escalera?
2 x2 6
35. (r 2)1/3 (3r 8)1/3 36. x 5 3
65. Un diamante oficial de béisbol es un cuadrado con 90 pies entre las bases. ¿A qué distancia está la segunda base del plato de home?
37. (5x 18)1/4 (9x 2)1/4 38. (3x 6)1/3 3 0 39. (x2 4x 4)1/2 x 3 0 40. (5a 2)1/4 (2a 16)1/4
(41-52) Resuelva. Tendrá que elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dos veces para eliminar todos los radicales (revise el ejemplo 8). 41. 2 a 3 2 a 1
42. x 2 x 6 1
43. x 1 2 x
44. x 3 x 3
45. x 7 5 x 8
46. y 2 1 y 3
47. b 3 4 b 5 48. 4 x 3 2 2 x 5 49. r 0 1 3 r 5 0 66. Si usted conoce el área de un cuadrado, la longitud de un lado se puede determinar mediante la fórmula s A . Determine el lado de un cuadrado que tiene un área de 64 pulgadas cuadradas.
50. y 1 y 2 1 51. 2 x 4 x 3 1 0 52. 2 x 8 3 x 2 1
(53-60) Despeje la variable indicada en cada fórmula.
67. Determine el lado de un cuadrado que tiene un área de 60 metros cuadrados.
53. p 2 v, despeje v
54. l 4r, despeje r
68. Si conoce el área de un círculo, puede determinar su radio
55. v 2 g h, despeje g
2E 56. v , despeje E m a 58. 0 , despeje x0 x0 L 60. T 2 , despeje L 32
FR 57. v , despeje F m m 59. x V0’ despeje m k
mediante la fórmula r A . / Determine el radio de círculo que tiene un área de 20 pulgadas cuadradas. 69. Sobre la Tierra, la velocidad de un objeto, en pies por segundo, después de caer libremente h pies se puede determinar mediante la fórmula V 6 4 h . Determine la velocidad de un zapato después de que éste ha caído 80 pies. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES
189
70. Determine la velocidad de un objeto después de que éste ha caído 50 pies. 71. Determine el periodo del péndulo si su longitud es de 8 pies. Utilice T 2 L /2 3. Consulte el ejemplo 10. 72. Determine el periodo de un péndulo de 40 pies. 73. Determine el área de un triángulo si sus tres lados miden 6, 8 y 10 pulgadas, respectivamente. Utilice A S (S )( aS )( bS ) c. Consulte el ejemplo 11. 74. Determine el área de un triángulo si sus tres lados miden 4, 10 y 12 pulgadas. 75. Para cualquier planeta, su “año” es el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol. El número de días terrestres en el año de un planeta dado, N, se calcula mediante la fórmula N 0.2(R )3, donde R es la distancia media del planeta al Sol en milllones de kilómetros. Determine el número de días terrestres en el año del planeta Tierra, cuya distancia media al Sol es de 149.4 millones de kilómetros. 76. Determine el número de días terrestres en el año del planeta Mercurio, cuya distancia media al Sol es de 58 millones de kilómetros. 77. Cuando dos fuerzas, F1 y F2, jalan formando un ángulo recto entre sí, como muestra la siguiente figura, podemos determinar la resultante o fuerza efectiva R, mediante la 2 fórmula R F F 2. 1 2 Dos autos intentan sacar otro auto del lodo, como se muestra a continuación. Si el auto A ejerce una fuerza de 600 libras y el auto B ejerce una fuerza de 800 libras, determine la fuerza resultante sobre el auto atascado en el lodo.
79. Una fórmula utilizada en el estudio del movimiento ondulatorio en aguas profundas es c g H , donde c es la velocidad de onda, H es la profundidad del agua y g es la acelaración debida a la gravedad. Determine la velocidad de la onda si la profundidad del agua es de 10 pies. (Utilice g 32 pies/seg2).
80. La longitud de la diagonal de un sólido rectangular está 2 2 dada por d a b c2. Determine la longitud de la diagonal de una maleta 37 pulgadas de longitud, 15 pulgadas de ancho 9 pulgadas de profundidad.
d b
c a
81. Una fórmula que hemos mencionado y que será analizada con mayor detalle en breve es la fórmula cuadrática. 2 a b ± b 4c x 2a
a) Determine x cuando a 1, b 0, c 4. b) Determine x cuando a 1, b 1, c 12. c) Determine x cuando a 2, b 5, c 12. d) Determine x cuando a 1, b 4, c 5. 78. La velocidad de escape, o la velocidad necesaria para que una nave espacial escape del campo gravitacional de un planeta, se determina mediante la fórmula ve 2 gR , donde g es la fuerza de gravedad de planeta y R es el radio del planeta. Determine la velocidad de escape de la Tierra, en metros por segundo, donde g 9.75 metros por segundo al cuadrado y R 6,370,000 metros
3 2 x . 1 Analice la 82. Considere la ecuación x ecuación y diga si puede determinar sus solución. 83. Considere la ecuacion x2 ( x) 2. Analice la ecuación y diga si puede determinar su solución. Explique su respuesta. 3
3
84. Considere la ecuación x2 . x2 Analice la ecuación y diga si puede determinar su solución. Explique. 85. Explique sin resolver la ecuación cómo puede determinar que x 3 3 0 no tiene solución. 86. ¿Por qué es necesario verificar las soluciones de las ecuaciones radicales? 87. a) Resuelva la ecuación 2x 2 1 4. b) Grafique y 2 x 2 1 y y 4 y determine la abscisa del punto de intersección. c) ¿Coincide la abscisa de la intersección con su respuesta de la parte (a)?
190
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
88. a) Resuelva la ecuación 2x 3 x3 b) Grafique y 2 x 3 y y x 3 y determine la abscisa de la intersección. c) ¿Coincide la abscisa de la intersección con su respuesta de la parte (a)?
90. A continuación se muestra la gráfica de la ecuación y x 3 2. a) ¿Cuál es el dominio de la función? b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x 3 2 0? Enumere todas las soluciones reales. Explique cómo determinó su respuesta.
89. a) Considere la ecuación 4 x 2 1 x 3. Si igualamos cada lado de la ecuación a y, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.
y
y 4 x 2 1 4
yx3 A continuación mostramos las gráficas de las ecuaciones del sistema. A partir de la gráfica, determine los valores que parecen ser las soluciones de la ecuación 4 x 2 1 x 3. Explique cómo determinó su respuesta. b) Sustituya los valores determinados en la parte (a) en la ecuación original y determine si son soluciones a la ecuación. c) Resuelva la ecuación 4 x 2 1 x 3 en forma algebraica y vea si su solución concuerda con los valores obtenidos en la parte (a). y 6 4 2
2
x 2
4
6
91) Considere la ecuación resuelta en el ejemplo 5, 2x 5 x 30 a) Revise el ejemplo y determine cuántas soluciones reales y cuántas soluciones extrañas tiene la ecuación. b) Si graficamos y 2x 5 x 3, ¿cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica? ¿Dónde se presentan? Explique su respuesta. c) ¿Cuál es el dominio de la función? d) Gratifique y 2x 5 x 3, trazando los puntos o utilizando una graficadora, y determine si es correcta su respuesta a la parte (b).
x
2
2
4
6
2
Actividad en grupo y problemas para pensar (1-7) Resuelva: 1. (x2 4x 4)1/2 x 2 0 2. x2 4 (x2 4)1/2 3. 4 x 1 3 x 2 x 5 4.
x x 3 3 x x 3
x 25 x 5 6. x 9 x 3 5.
7. (3p 1) 2/3 (5p2 p)1/3 8. a) Resuelva la ecuación x 4 2 x . 3 b) Muestre, mediante una gráfica, que la ecuación no tiene soluciones reales. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES
191
(9-11) Despeje n en cada una de las siguientes ecuaciones. x 9. z n
10. z
p p pq n
11. Una fórmula utilizada para determinar la frecuencia de un resorte vibrante es 1 k f adonde f es la frecuencia de oscilación en ciclos por segundo 2p m ’ (también llamados hertz), k es la constante de rigidez del resorte y m es la masa del resorte. Determine la frecuencia resultante de un resorte con una constante de rigidez de 105 dinas/cm y una masa de 1000 gramos.
5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones de la forma x a, a 0 Cuando resolvemos una ecuación de la forma x a, a 0, estamos encontrando los valores que están exactamente a a unidades del 0 en la recta numérica. Para resolver este tipo de problemas podemos utilizar el siguiente procedimiento: Resolución de ecuaciones de la forma x a Si x a y a 0, entonces x a o x a. EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación x 4. Solución Utilizando el procedimiento, se obtiene x 4 o x 4. El conjunto solución es { 4, 4}. EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación x 0. Solución El único número real cuo valor absoluto es igual a 0 es 0. Así, el conjunto solución para x 0 es {0}. EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación x 2. Solución El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones a esta ecuación. El conjunto solución es . EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 2w 1 5. Solución A primera vista no parece ser de la forma x a. Sin embargo, hagamos 2w 1 x y 5 a, entonces verá la ecuación de esta forma. Buscamos los valores de w tales que 2w 1 esté exactamente a 5 unidades del 0 en la recta numérica. Así, 2w 1 debe ser igual a 5 o 5. 2w 1 5 o 2w 1 5 2w 6 2w 4 w3 w 2
192
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
Verificación w3
2w 1 5
w 2
2w 1 5
2(3) 1 5
2(2) 1 5
6 1 5
4 1 5
5 5
5 5
5 5
55
verdadero
verdadero
Cada una de las solicitudes 3 y 2 hacen que 2w 1 esté a 5 unidades del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {2, 3}. 2
EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación 3z 6 4 6 Solución Comience restando 4 de ambos lados de la ecuación para dejar sólo el valor absoluto en un lado de la ecuación. 2
3z 6 4 6 2 3z 6 2 Ahora proceda como antes. Escriba los dos casos. 2 2 z 6 2 z 6 2 o 3 3 2 2 z 8 z 4 3 3 2z 24
2z 12
z 12
z6
El conjunto solución es {6,12}.
Ecuaciones de la forma x y Ahora analicemos ecuaciones con valor absoluto en las que hay un valor absoluto en ambos lados de la ecuación. Para resolver ecuaciones de la forma, utilice el siguiente procedimiento. Resolución de ecuación de la forma x y Si x y, entonces x y o x y. Cuando resuelva una ecuación que contenga una expresión con valor absoluto en cada lado del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí, o ser opuestas entre sí. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación z 3 2z 7. Solución Si dejan que z 3 sea x y 2z 7 sea y, esta ecuación es de la forma x y Utilizando el procedimiento dado anteriormente, obtendrá las dos ecuaciones. z 3 2z 7
o
z 3 (2z 7)
SECCIÓN 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
193
Ahora resuelva cada ecuación. z 3 2z 7
o
3z7
z 3 (2z 7) z 3 (2z 7)
10 z
3z 3 7 3z 4 4 z 3 4 z 3
Verificación z 10 z 3 2z 7
z 3 2z 7
10 3 20(10) 7
3 3 23 7
13 20 7
3 3 3
13 13
3 3
4
4
13
8
13
13 13
21
13
13 13 3 3
verdadero
verdadero
4
El conjunto solución es 10, 3 . EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación 4x 7 6 4x. Solución 4x 7 6 4x 8x 7 6 8x 13 13 x 8
o
4x 7 (6 4x) 4x 7 (6 4x) 7 6
falso
Como la ecuación 4x 7 (6 4x) es una proposición falsa, la ecuación con valor absoluto tiene una única solución. Una verificación mostrará que el conjunto
13
solución es 8 .
Resumen de los procedimientos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Para a 0. Si x a, Si x a, Si x a, Si x y,
194
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
entonces entonces entonces entonces
x a o x a. a x a. x a o x a. x y o x y.
EJERCICIOS 5-5 Encuentre el conjunto solución para cada ecuación.
Encuentre el conjunto solución para cada ecuación. 1. x 5
2. y 7
3. x 12
4. x 0
5. x 2
6. x 1 5
7. x 5 7
3 8. 3 y 5
9. 2.4 0.4x 4
12. 3(y 4) 12
13. 4(x 2) 18
14.
3z 5 15. 3 6 6
x3 16. 4 4 4
5x 3 17. 2 6 2
18.
20. x 1 2x 4
21. 6x 3x 9
22. 4x 2 4x 2
3 1 23. x 2 x 5 4 2 1 3 1 25. x x 1 2 5 2
10. 3x 4 0
1 11. 5 3x 2
19. 2x 1 4x 9
24. 3x 5 3x 5 26.
32r 2 12r 3
Determine para qué valores de x la ecuación será verdadera. Explique su respuesta.
x 3 5 4
27. x 3 3 x
28. x 3 x 3
29. x x
30. x 2 x 2
31. a) Explique cómo encontrar la solución de la ecuación ax
b c. (Suponga que c 0 y a 0).
2x 3 14 2
b) Despeje x en esta ecuación.
Actividad en grupo y problemas para pensar 1. Determine todos los valores de x y y tales que x y y x. (2-4) Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta. 2. x 1 2x 1
3. 3x 1 x 3
4. x 2 (x 2) (5-8) Resuelva, considerando los signos posibles para x. 5.x x 6
6. x x 6
7.x x 6
8. x x 6
5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Dos cubos de distintos tamaños cumplen que la diferencia de sus volúmenes es igual a 13 veces la diferencia de sus lados. ¿Cuáles serán las dimensiones de los cubos si se sabe que las longitudes de sus lados son números enteros impares consecutivos? Solución Llamamos C1 y C2 a los dos cubos. Llamamos 1 a la longitud del lado de C1 y 2 a la de C2. Entonces el volumen de C1 es 13 y el de C2 es 32. Planteamos la ecuación: 31 32 13 (1 2)
(1)
Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación anterior: (1 2) (21 12 22 ) 13 (1 2) SECCIÓN 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES
195
Como los cubos son de distintos tamaños, entonces 1 2 0 y podemos dividir entre esta cantidad, con lo que obtenemos: (21 12 22) 13
(2)
Ahora utilizaremos la hipótesis que nos falta por usar, es decir, que 1 y 2 son enteros impares consecutivos: 1 2n 1
y
2 2n 3
sustituimos estos valores en (2) y simplificamos: (2n 1)2 (2n 1) (2n 3) (2n 3)2 13 4n2 4n 1 4n2 8n 3 4n2 12n 9 13 12n2 24n 13 13 12n2 24n 0 n2 2n 0 n (n 2) 0 El último producto es igual a cero si: n0
o
n2
Si n 0, entonces 1 1 y 2 3 Si n 2, entonces 1 y 2 son negativos. Como son los lados de los cubos, no se puede dar este caso. Verificación: Sustituimos 1 1 y 2 3 en la ecuación (1): Lado izquierdo: 31 32 13 33 26 Lado derecho: 13 (1 2) 13 (1 3) 26 Para poder realizar la factorización de polinomios donde aparecen términos elevados al cubo, conviene recordar algunos productos: (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(3)
a3 b3 (a b) (a2 ab b2) a3 b3 (a b) (a2 ab b2)
EJEMPLO 1 FACTORICE 8x3 60x2 150x 125. Solución Para factorizar este polinomio, observe el grado. Como es de tercer grado, vea si se trata del cubo de un binomio: 8x3 60x2 150x 125 (2x)3 3 (20) x2 3 (50) x 125 (2x)3 3 (2x)2 5 3 (2x) 25 125 (2x 5)3
196
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
Verificación Desarrolle (2x 5)3: (2x 5)3 (2x)3 3 (2x)2 5 3 (2x) (5)2 125 8x3 60x2 150x 125
EJEMPLO 2 FACTORICE 36x2 16y2 48xy 12x 8y 1. Solución Como el polinomio es de segundo grado en ambas variables y además hay término en xy, en x y en y, veamos si se trata del cuadrado de un trinomio: 36x2 16y2 48xy 12x 8y 1 (6x)2 (4y)2 2 (6x) (4y)
2 (6x) 2 (4y) 1 (6x 4y 1)2 Verificación Desarrolle (6x 4y 1)2: (6x 4y 1)2 (6x)2 (4y)2 (1)2 2 (6x) (4y)
2 (6x) (1) 2 (4y) (1) 36x2 16y2 1 48xy 12x 8y 36x2 16y2 48xy 12x 8y 1
EJEMPLO 3 FACTORICE x6 y6. Solución Observe que podemos identificar este polinomio como una suma de cubos: x6 y6 (x2)3 (y2)3 Ahora factorice esta suma de cubos: (x2)3 (y2)3 (x2 y2) ((x2)2 x2y2 (y2)2) (x2 y2) (x4 x2y2 y4) Verificación Efectúe el producto (x2 y2) (x4 x2y2 y4): (x2 y2) (x4 x2y2 y4) x6 x4y2 x2y4 x4y2 x2y4 y6 x6 y6 En el caso de polinomios de grado mayor o igual que 3 puede ser difícil encontrar una factorización; sin embargo, en ocasiones puede lograrse utilizando los productos notables. Además de (3), los que se usan con más frecuencia son: a4 b4 (a b) (a3 a2b ab2 b3) a4 b4 (a b) (a3 a2b ab2 b3) a5 b5 (a b) (a4 a3b a2b2 ab3 b4) a5 b5 (a b) (a4 a3b a2b2 ab3 b4) SECCIÓN 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES
197
EJEMPLO 1 FACTORICE z4 64. Solución Para poder factorizar este polinomio sume y reste el término 16x2, para obtener un trinomio cuadrado perfecto menos otro polinomio, así: z4 64 z4 64 16z2 16z2 z4 16z2 64 16z2 (z2 8)2 16z2 ((z2 8) 4z) ((z2 8) 4z) (z2 4z 8) (z2 4z 8) Verificación Efectuamos el producto (z2 4z 8) (z2 4z 8): (z2 4z 8) (z2 4z 8) z4 4z3 8z2 4z3 16z2 32z 8z2 32z 64 z4 64
EJEMPLO 2 FACTORICE x8 y8. Solución Observe que es posible identificar este polinomio como una diferencia de cuadrados: x8 y8 (x4)2 (y4)2 Ahora factorice como el producto de la suma por la diferencia y observe que el procedimiento puede repetirse como uno de los factores. Así: (x4)2 (y4)2 (x4 y4) (x4 y4) ((x2 y2) (x2 y2)) (x4 y4) ((x y) (x y)) (x2 y2) (x4 y4) Por tanto, x8 y8 (x y) (x y) (x2 y2) (x4 y4) Verificación Efectúe los productos obtenidos: ((x y) (x y)) (x2 y2) (x4 y4) (x2 y2) (x2 y2) (x4 y4) (x4 y4) (x4 y4) x8 y8
198
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
EJERCICIOS 5-6 (1-32) Factorice las expresiones. 1. x6 y6
2. z4 z2 25
3. w4 4
4. a10 b10
5. 6y5 48y2
6. y3 27
7. z9 1
8. x4 69x2 36
9. x5 243 11. y8 256
10. ((w 2)2 4)3 12. w6 64
13. x3 6x2 12x 8 14. 27x3 225x 135x2 125 15. z4 9z3 27z2 27z
31. r3 3r2s 3r2t 6rst 3rs2 3rt2 s3 3st2
3s2t t3 32. x2 2xy 2xz 2xw y2 2yz 2yw z2 2zw
w2 33. El lado de un cubo mide 2 cm. El volumen de ese cubo más el volumen de otro cubo es igual a 12 por la suma del lado del primer cubo más el lado del segundo. Encuentre cuántos centímetros mide el lado del segundo cubo. 34. Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la diferencia de las áreas de una de las caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la diferencia de los volúmenes de los cubos? 35. El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas 224 es igual a 3 cm3. ¿Cuál es el volumen de la esfera pequeña, si se sabe que su radio es 2 cm menor que el radio de la grande?
16. 27a3 216a2 576a 512 17. 64w3 432w2 972w 729 18. 125r3 64s3 19. x2 49y2 14xy 6x 42y 9 20. 25x2 9y2 30xy 70x 42y 49 21. 8x3 12x2y2 6xy4 y6 22. 36a2 81b2 108ab 60a 90b 25 23. a4 24a3 216a2 864a 1296 24. 9x2y2z2 54x2y2z 81x2y2 25. x2 y2 2xy 1 26. x3y3 3x3y2 3x3y x3
36. Dos números enteros consecutivos satisfacen que la diferencia del cubo del mayor menos el cubo del menor es igual a 7. Encuentre dichos números. 37. Dos números enteros consecutivos satisfacen que la suma de sus cubos es igual a 1 más el doble del menor. Encuentre dichos números. 38. Dos números enteros consecutivos pares satisfacen que la diferencia del mayor elevado a la cuarta, menos el menor elevado también a la cuarta es igual a 80 veces la suma de 1 más el producto de la mitad del mayor por el menor. Encuentre dichos números. 39. ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 99 en dicho sistema sea 1020?
27. 125y3 300y2 240y 64 28. x4 4x3y 6x2y2 4xy3 y4 29. 16z4 8z3 24z2 8z 1 30. w5 10w4 40w3 80w2 80w 64
40. ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 64 en dicho sistema sea 1,000,000?
5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS Objetivo: Que el estudiante pueda aislar una variable. EJEMPLOS a) 2 B 4a 6C
Despejar a
3 B 4 b) 1 C a
R/ a (2B 6C)/(4) o a (B 3C)/2
Despejar B
R/ B C (1 4/a) 3
a 1 c) 4 m b c
Despejar b
a R/ b m 4 1/c
SECCIÓN 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS
199
q d) p m n c
Despejar q
R/ q c (m n p)
e) (a b) C dm C
Despejar C
dm R/ C a b 1
f) xy 5 ay x
Despejar y
x 5 R/ y x a
pm g) a p q
Despejar p
aq m R/ p 1 a
k 5m p h) y x c
Despejar m
c (y x) k p R/ m 5 o
200
c (y x) k p m 5
1 i) 4 (3A a) B b
Despejar a
1 1 R/ a B 3A 4b 4
1 j) 4 (3A a) B b
Despejar b
1 R/ b B 12A 4a
c k) B (a b) 2d 1 d
Despejar b
2d2 d Bd R/ b a c c c
K pm l) 3m n
Despejar m
K p R/ m 3n 1
m d d m) a n b b
Despejar m
R/ m an
m d d n) a n b b
Despejar n
m R/ n a
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
ñ) (A b) p (B b) / c D Despejar p
D (B b)/c R/ p A B
o) (A b) p (B b) / c D Despejar b
cD Acp R/ b pc 1
p) (A b) p (B b) / c D Despejar A
D (B b)/c bp R/ A p
q) (A b) p (B b) / c D Despejar c
cD Acp b R/ c cp 1
1 (a b) (A ) r) mn m n
1 n (a b) R/ A B m m
Despejar A
5-8 PORCENTAJES En las elecciones para la sociedad de alumnos, Juan obtuvo 34% de los votos. Si votaron 850 alumnos, ¿cuántos votaron por él? Solución Llame x a los alumnos que votaron por Juan. 34% significa 34 de cada 100, así que igualamos las razones, ← alumnos que votaron por él 34 x ← total de alumnos 100 850
Resuelva la ecuación: 34 x 100 850 850 0.34 x 289 x Juan recibió 289 votos. El signo % significa por cada cien o centésimos. Un porcentaje puede expresarse como fracción o como decimal. Así, por ejemplo, 34 34% 0.34 100 Observe, en el ejemplo anterior, que para encontrar el 34% de 850, multiplicamos 850 por 0.34; ésta es la manera más común de obtener la cantidad correspondiente a un porcentaje.
EJEMPLO 1 Escriba 34 como un porcentaje. Solución Llame x al porcentaje buscado. Iguale las razones: x 3 100 4 Resuelva la ecuación: x 3 100 4 300 x 4 75 x Entonces: 75 3 75% 100 4
SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES
201
EJEMPLO 2 Encuentre el 27% de 79.65. Solución 79.65 0.27 21.5055 EJEMPLO 3 Encuentre el 140% de 63. Solución 63 1.40 88.2 EJEMPLO 4 Una ración de sardinas contiene 19 gramos de proteína y corresponde al 40% de los requerimientos diarios de proteína de un adulto. ¿Cuáles son los requerimientos diarios de proteína de un adulto? Solución Llame x a la cantidad total de proteína requerida. Iguale las razones: 40 19 100 x
← proteína de la sardina ← total de proteína
Resuelva la ecuación 40 19 100 x 40x 19 100 1900 x 40 x 47.5 Los requerimientos diarios de proteína son de 47.5 gramos. Comprobación Si x 47.5, entonces: 40 19 19 Lado izquierdo: 0.40; lado derecho: 0.40 100 x 47.5 EJEMPLO 5 ¿Qué porcentaje de 350 representa 14? Solución Llame x al porcentaje buscado. Iguale las razones: x 14 100 350 Resuelva la ecuación:
x 14 100 350 14 100 x 350 x4
14 es el 4% de 350. Verificación 350 0.04 14
202
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
EJEMPLO 6 ¿De qué número es 78 el 65%? Solución Llame x al número que representa al 100%. Iguale las razones: 65 78 100 x Resuelva la ecuación: 65 78 100 x 65x 78(100) 7800 x 65 x 120 78 es el 65% de 120. Verificación 120 0.65 78
EJEMPLO 7 El precio del café aumentó de $100 a $120 el kilo. ¿Qué porcentaje aumentó? Solución Reste las dos cantidades para saber la cantidad que aumentó, es decir, $20. Llame x al porcentaje buscado y compare la cantidad que aumentó el precio con el precio original. 20 x 100 100 2000 x 100 20 x Entonces, el porcentaje incrementado es 20%.
EJEMPLO 8 ¿Cuántos litros de una solución ácida al 65% hay que añadir a 21 litros de una solución ácida al 35% para hacer una solución ácida al 40%? Solución Recuerde que si una solución de L litros tiene una concentración de P% de ácido, entonces hay: P L 100 litros de ácido puro en la solución. Plantee dos ecuaciones, una para la cantidad de solución y otra para la cantidad de ácido. Llame w a la cantidad de solución añadida. SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES
203
Cantidad original
Cantidad añadida
Cantidad final
21
w
21 w
21 (0.35)
w (0.65)
21 (0.35) w (0.65)
Solución: Ácido:
Como desea que la solución final tenga una concentración de 40%, tenemos: (21 w) (0.40) 21 (0.35) w (0.65) Resuelva la ecuación: (21 w) (0.40) 21 (0.35) w (0.65) 8.4 0.4w 7.35 0.65w 8.4 7.35 0.65w 0.4w 1.05 0.25w 1.05 w 0.25 4.2 w Entonces, hay que añadir 4.2 litros de solución ácida. Verificación Si w 4.2, entonces: Lado izquierdo: (21 w) (0.40) (21 4.2) (0.40) 10.08 Lado derecho: 21 (0.35) w (0.65) 7.35 (4.2) (0.65) 7.35 2.73 10.08
EJERCICIOS 5-8 (1-10) Escriba las siguientes fracciones como porcentajes. 1 1. 2 5. 0.07 7 9. 8
3 2. 5 3 6. 2 0
3. 5.8 5 7. 4
21 10. 12
1 4. 4 1 8. 5
18. ¿Qué porcentaje de 15 representa 0.9? 19. ¿De qué número es 78 el 150%? 20. Encuentre el 173% de 325. 21. ¿Qué porcentaje de 32 representa 26? 22. ¿Qué porcentaje de 8 representa 12?
(11-34) Resuelva los siguientes ejercicios.
23. Encuentre el 12.5% de 63.
11. Encuentre el 15% de 134.
24. ¿Qué porcentaje de 150 representa 30?
12. ¿Qué porcentaje de 225 representa 45?
25. ¿Qué porcentaje de 21 representa 63?
13. ¿De qué número es 21 el 30%?
26. Encuentre el 2% de 52.
14. Encuentre el
1 422%
de 2450.
27. Encuentre el 204% de 4009.
15. ¿Qué porcentaje de 70 representa 28?
28. ¿De qué número es 47 el 25%?
16. ¿De qué número es 55 el 110%?
29. ¿Qué porcentaje de 43 representa 34.83?
17. Encuentre el 20% de 1658.
30. Encuentre el 40% de 578.
204
CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS
31. ¿De qué número es 14 el 4%? 32. ¿De qué número es 12 el 5%? 33. ¿Qué porcentaje de 75 representa 77.25? 34. ¿De qué número es 86 el 32%? 35. Si se diluyen 250 gramos de azúcar en 5 litros de agua, ¿cuántos litros de agua hay que añadir para que la mezcla contenga 8 gramos de azúcar por litro? 36. Una tienda departamental anuncia que aportará para la construcción de escuelas $3 por cada $150 que venda de cierto artículo. Si la aportación durante el primer mes fue de $1,000, ¿qué cantidad recibió por la venta del artículo mencionado? 37. La sociedad de ex alumnos de una escuela organizó el año pasado una posada a la que asistieron 420 personas. A la posada de este año aistieron 567. ¿En qué porcentaje aumentó la asistencia? 38. ¿Cuántos litros de una solución ácida al 10% hay que añadir a 14 litros de una solución ácida al 40% para hacer una solución ácida al 30%? 39. En 400 ml de leche materna, 52 ml son proteína, grasa y azúcar, y el resto es agua. ¿Qué porcentaje es agua? 40. En 670 m3 de aire hay 140.7 m3 de oxígeno. ¿Qué porcentaje del aire es oxígeno? 41. Un capital de $5000 se invirtió al 12% de interés anual durante un año, y se reinvirtió, junto con los réditos obtenidos, otro año al 14% de interés anual. ¿Cuál es el valor de la inversión al terminar el segundo año? 42. Dos recipientes contienen agua salada, uno al 30% y el otro al 3%. ¿Qué cantidad habrá que tomar de cada uno para obtener 60 ml de agua salada al 12%? 43. Un paquete de galletas muestra en el empaque la lista de ingredientes en la que dice que 7.63% es huevo. Si el pa-
quete pesa 225 gramos, ¿qué cantidad de huevo contiene? Si contiene 13.5 gramos de leche descremada, ¿qué porcentaje de leche contiene? 44. El peso del vapor de agua es el 62.5% del peso del aire. Si 1 litro de vapor de agua pesa 0.80625 gramos. ¿Cuánto pesa un litro de aire? 45. El hidrógeno pesa el 6.9% del peso del aire. ¿Qué cantidad de hidrógeno hay en un globo de 150 m3 de capacidad, si el decímetro cúbico de aire pesa 1.3 gramos? 46. Una tela de 90 cm de ancho encoge 10% de largo y ancho al lavarla. ¿Cuánto debe comprarse para que una vez lavada el área sea de 21.87m2? 47. Si el 7% del agua de mar es sal, ¿cuántos gramos de agua hay que evaporar para obtener un kilo de sal? 48. Una inversión inicial de $7400 se convirtió en $9000 al cabo de un año. ¿Cuál era la tasa de interés a la que estuvo invertida? 49. Si se combinan una onza troy de plata y una onza de plata libertad, ¿qué ley tendrá la mezcla, si se sabe que la onza troy tiene ley 0.925 y la onza libertad tiene ley 0.999? La ley indica el porcentaje de plata pura que contiene la moneda. Por ejemplo, en una onza troy el 92.5% es plata pura. 50. Al llegar a la tienda, Lucía observa que su perfume favorito tiene una etiqueta que dice: precio $165,10% de descuento más IVA. a) ¿Cuánto debe pagar por el perfume? b) Si el precio normal es $165 más IVA, ¿cuánto ahorrará si decide comprarlo? 51. Un terreno de 160,000 m2 está sembrado de trigo, avena y sorgo. El 60% está sembrado de trigo, el 25% de avena y el resto de sorgo. ¿Cuántos metros cuadrados están sembrados de cada cereal?
SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES
205
CAPÍTULO
6
Progresiones geométricas y aritméticas 2 puntos
3 puntos
2 regiones
4 regiones
4 puntos
5 puntos
8 regiones
16 regiones
Sucesiones y series ¿Puede decir cuál número sigue en esta sucesión? 1, 4, 7, 10, . . . Si suponemos que continúa el comportamiento que se emplea para obtener un término nuevo a partir del anterior, es claro que el siguiente término es 13; cada término, después del primero, se obtiene sumando 3 al término anterior. Éste es un ejemplo de una sucesión aritmética. Veamos una sucesión interesante, cuyos términos se determinan como sigue. Se toma un círculo y se ubican 2 puntos en su periferia, después 3, después 4 y se continúa de este modo, cada vez con un punto más que antes. Se unen los puntos con rectas, de todas las maneras posibles,
TEMARIO
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
y se cuenta la cantidad de regiones no traslapadas formadas dentro del círculo. El número de las regiones que así se forman son los términos de una sucesión, y los cuatro primeros términos son 2, 4, 8 y 16, como se muestra en la figura anterior. Después del primer término, 2, cada uno de los siguientes se puede obtener multiplicando por 2 el anterior. ¿Continúa este comportamiento? ¿Es 2(16) 32 el siguiente término? Trace un círculo con 6 puntos y únalos de todas las maneras posibles. Cuente la cantidad de regiones no traslapadas. ¿Fueron 32? Si no es así, ¿cuál es su reacción?
SUCESIONES SUMAS DE SUCESIONES FINITAS PROGRESIONES ARITMÉTICAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS INDUCCIÓN MATEMÁTICA
207
6-1 SUCESIONES Se puede emplear la misma ecuación para definir una variedad de funciones, cambiando el dominio. Por ejemplo, a continuación vemos las gráficas de tres funciones, y todos los valores de sus rangos están expresados por la ecuación y x2, para los dominios indicados.
El tipo de función que estudiaremos en este capítulo tiene como ejemplo la gráfica anterior, la de la derecha, en la cual el dominio está formado por los enteros consecutivos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. A este tipo de función se le llama sucesión. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Una sucesión es una función, cuyo dominio es un conjunto de enteros positivos consecutivos.
an se lee “a sub ene”, “a subíndice ene” o “a ene”, y tiene el mismo significado que la notación funcional a(n), que es “a de ene”.
En lugar de usar la variable x, lo normal es emplear letras como n, k o i para la variable del dominio de una sucesión. Con frecuencia representaremos a las sucesiones (funciones) mediante letras minúsculas, como a, y los valores del rango mediante an, que también se llaman términos de la sucesión. Muchas veces, las sucesiones se especifican enunciando su término general o enésimo término. Así, el término general de la sucesión, que antes era y x2, se vuelve an n2. 1 EJEMPLO 1 Determine los valores del rango de la sucesión definida por an n para el dominio {1, 2, 3, 4, 5} y grafíquelos. Solución Los valores en el rango y la gráfica son los siguientes: 1
a1 1 1 Éste es un ejemplo de una sucesión finita, porque el dominio es finito. Esto es, el dominio es un conjunto de enteros positivos que tiene un último elemento.
1
a2 2 1
a3 3 1
a4 4 1
a5 5
208
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
EJEMPLO 2 Haga una lista de los seis primeros términos de la sucesión represen(1)k tada por bk . k2 Solución Emplee el enésimo término dado y sea k 1, 2, 3, 4, 5 y 6, respectivamente. (1)1 b1 1 12
(1)4 1 b4 42 16
(1)2 1 b2 22 4
(1)5 1 b5 52 25
(1)3 1 b3 32 9
(1)6 1 b6 62 36
PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada. 1. an 2n 1
2. an 2n
3. an 2n 2
(1)k 4. bk k 3 7. cn n(2n 1)
1 5. bk 2 k 1 8. cn 3
3 6. bk k(k 1)
n
9. cn 1 (1)n
A veces una sucesión se determina mediante descripción verbal. Si por ejemplo, se pide la sucesión creciente de enteros impares que comienza con 3, lo anterior implica la sucesión infinita cuyos primeros términos son Éste es un ejemplo de una sucesión infinita, porque el dominio es infinito. Esto es, el dominio está formado por todos los enteros positivos.
3,
1,
1, . . .
También se puede definir una sucesión presentando una lista de los primeros términos, en la que quizá se incluya el término general. La sucesión anterior se puede representar por 3,
1,
1,
...,
2n 5,
...
EJEMPLO 3 Determine el décimo término de la sucesión 3,
5 4, , 3
...,
n2 , , 2n 3
...
Solución Ya que el primer término, 3, se obtiene haciendo n 1 en el término n2 general , el décimo término es 2n 3 10 2 12 a10 2(10) 3 17
EJEMPLO 4 Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión representada por n 1 an 1 . Cuando sea necesario, redondee a dos decimales. n
SECCIÓN 6-1 SUCESIONES
209
Solución
1
1
3
9
1
4
64
1
5
625
1
a1 1 1 2 2
2
a2 1 2 2 4 2.25 3
3
a3 1 3 3 2 7 2.37 4
4
a4 1 4 4 256 2.44
Los términos de la sucesión del ejemplo 4 se hacen más y más grandes, pero el aumento de uno a otro se hace más y más pequeño. Esto es, las diferencias entre los términos sucesivos son decrecientes: a2 a1 0.25 a3 a2 0.12
Con una calculadora compruebe los valores de la siguiente tabla, con una precisión de cuatro decimales.
n 10 50 100 500 1000 5000 10,000
1 an 1 n
n
2.5937 2.6916 2.7048 2.7156 2.7169 2.7180 2.7181
a4 a3 0.07
n
1 Si se calcularan más términos de an 1 , vería que aunque siguen creciendo n los términos, la cantidad de incremento para cada nuevo término sigue disminuyendo. n 1 Sucede que, independientemente de lo grande que sea n, el valor de 1 n n 1 nunca es mayor que 2.72. De hecho, mientras mayor sea n, 1 se acerca más n y más al valor irracional e 2.71828. Las sucesiones también se pueden definir recursivamente, lo cual significa que se da (como dato) el primer término, y el enésimo término, an, se define en función del anterior, an1. Veremos esto en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 5 Sea an el enésimo término de una sucesión definida recursivamente mediante a1 6 an 3an1 7
para n 1
Determine los cinco primeros términos de esta sucesión. Solución Observe que cada término en una sucesión recursiva, excepto el primero, se obtiene a partir del término anterior de acuerdo con una regla especificada. Así, a menos que se indique otra cosa, una sucesión recursiva es una sucesión infinita.
210
a1 6 a2 3a1 7 3 · 6 7 11 a3 3a2 7 3 · 11 7 26 a4 3a3 7 3 · 26 7 71 a5 3a4 7 3 · 71 7 206
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
EJERCICIOS 6-1 El dominio de la sucesión de cada ejercicio está formado por los enteros 1, 2, 3, 4 y 5. Escriba los valores correspondientes del rango. 1. an 2n 1
2. an 10
3. ak ( 1)k
6 4. bk k 1 i3 6. bi 2
1 i 5. bi 8 2
n2
1 a 31 0
1 9. cj 3 1 0
j
10.
2j
11.
1 a 31 0
1 8. cj 3 1 0
42. Escriba las cinco primeras potencias de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término.
j1
j1
45. A los números 1, 3, 6 y 10 se les llama números triangulares, porque corresponden a la cantidad de puntos en los arreglos triangulares que vemos abajo. Determine los siguientes tres números triangulares.
j
12. an n3
1 1 13. cn n1 n
n2 4 14. an n2
15. ak (2k 10)2
16. ak 1 (1)k
43. Escriba las cinco primeras potencias de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 44. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión de recíprocos de los enteros negativos y deduzca la fórmula del enésimo término.
(1)n 1
j
40. Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión decreciente de enteros impares que comienza con 3. 41. Escriba los cinco primeros múltiplos de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término.
Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión definida por la fórmula en cada ejercicio. 7. ck ( 1)kk2
39. Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión creciente de enteros pares que comienza con 4.
17. an 2 (n 1) (3) 18. an a1 (n 1) (d) i1 19. bi i1
20. bi 641/i
n1
1 21. bn 1 n 3 23. un 2 4 n 1 k 25. xk k 2
24. uk a1r k 1 (1)n 26. xn n n
k 1 k1 27. xk 28. yn 1 k1 n1 k 29. yn 4
46. Cuando una inversión devenga interés simple, quiere decir que sólo gana interés el capital original. Por ejemplo, si se invierten P dólares en un banco que paga interés simple a la tasa anual de r por ciento, entonces el interés en el primer año es Pr, y el depósito en el banco al final del primer año es P Pr. Para el segundo año, el interés es nuevamente Pr; el depósito ahora sería (P Pr) Pr P 2Pr.
1 22. un n 2
n
n 30. yn (n 1) (n 2)
1 31. Calcule el sexto término de 1, 2, 5, . . . , 2 (1 3n 1), . . . 32. Calcule el noveno y décimo términos de 0, 4, 0, . . . , , . . . n 33. Calcule el séptimo término de ak 3(0.1)k 1 2n
(2)n
34. Calcule el vigésimo término de an
(1)n 1
35. Calcule el duodécimo término de ai i 36. Calcule el duodécimo término de ai (i 1)2 37. Calcule el duodécimo término de ai (1 i)3 n1 38. Calcule el centésimo término de an n2 5n 4
a) ¿Cuál es la cantidad disponible después de n años? b) ¿Cuál es la cantidad en el banco si una inversión de $750 ha estado ganando interés simple durante 5 años a la tasa anual de 12%? c) Si la cantidad en el banco es $5395 después de 12 años, ¿cuál fue la inversión original, P, si ha estado ganando 1
interés simple a la tasa anual de 12 2 %? 47. Determine los ocho primeros términos de la sucesión 1
definida recursivamente por a1 12 y an 2 an 1 2 para n 1. 48. Determine los seis primeros términos de la sucesión defi3 nida recursivamente mediante a1 6 y an para an 1 n 1. 1 (1)n 1 . 49. Escriba los ocho primeros términos de an 2in 1 SECCIÓN 6-1 SUCESIONES
211
50. a. Escriba los siete primeros términos de an n!, donde n!, se lee “ene factorial” y está definido por n! n(n 1) (n 2) · · · 3 · 2 · 1 a (2n)! 2n 1 b. Si an , demuestre que n 1 2 . an (n!)2 n1
51. Escriba los primeros cuatro términos de
3 · 5 · · · (2n 1) (2n 1)
an 2 · 4 · · · (2n 2) (2n)
Deduzca una fórmula para el enésimo número triangular. (Sugerencia: Revise el ejercicio 45 de la sección 6-1 y la cantidad adicional de puntos en cada figura nueva).
RETO
REDACCIÓN
EJERCICIOS PARA CALCULADORA GRAFICADORA
Cite el concepto de función y explique lo que quiere decir sumar dos sucesiones y multiplicar dos sucesiones. Cuando se especifica una sucesión mediante una función de la forma an f(n), podemos estudiar el comportamiento de ella graficando la función. Las variables RANGE se deben ajustar de tal modo que los n enteros correspondan a píxeles de la pantalla, y el MODE se debe poner en DOT o en DISC. Con ello se tendrán todavía más puntos que los que corresponden a los enteros, naturalmente, y en especial si usted no desea una n muy grande. Sin embargo, si su calculadora permite el empleo de operadores relacionales (consulte su manual), al graficar la función y f(x)*(x-IPart x 0) tan sólo se graficarán los puntos en los que x es entero. (Nota: IPart “parte entera de”). Con esta técnica, si su calculadora la permite, calcule los primeros 10 términos de las sucesiones de los ejercicios 1 al 5. En su gráfica haga la diferencia de los puntos de la sucesión y los demás puntos graficados, si es que los hay. 1. an 2n 1 2. an n2 n 2 3. an (2n 1) (n 1) 4. an ( 1)n n2 5. an (1 1/n)n 6. La sucesión de los números de Fibonacci se puede definir recursivamente mediante an an 1 an 2, a1 a2 1. Por consiguiente, los 5 primeros términos son 1, 1, 2, 3 y 5. a. Determine los primeros 20 números de Fibonacci. b. Los términos de la sucesión también se pueden definir como an (15 ) ((1 5)2)n (15 ) ((1 5)2n Compruebe lo anterior para n 18, 19 y 20. c. Determine la sucesión de cocientes qn an 1/an de los números de Fibonacci hasta n 10, redondeando a cuatro decimales cuando sea necesario. Los cocientes qn se acercan más y más a un número llamado razón dorada. ¿Cuál es ese número, con precisión de un milésimo?
212
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS ¿Cuánto tardaría el lector en sumar los enteros del 1 al 1000? He aquí un método rápido. Haga una lista de la sucesión que contenga los primeros y los últimos términos: 1, 2, 3, . . ., 998, 999, 1000 Sumemos por pares, el primero más el último, el segundo más el penúltimo, y así sucesivamente. Se dice que Karl Friedrich Gauss (1777-1855) descubrió cómo calcular estas sumas cuando tenía 10 años.
Como hay 500 pares de esos que se suman, el total es 500 (1001) 500,500 En cualquier sucesión finita podemos sumar todos sus términos y decir que se calcula la suma de la sucesión. Esta suma de una sucesión se llama serie. Por ejemplo, la sucesión 1,
3,
5,
7,
9,
11
se puede asociar con la serie 1 3 5 7 9 11 La suma de los términos de esta serie, se puede calcular con facilidad y el resultado es 36. 1 Otro ejemplo: la sucesión an , donde n 1, 2, 3, 4 y 5, tiene la suma n 1 1 1 1 137 60 30 20 15 12 1 2 3 4 5 60 60
EJEMPLO 1 Calcule la suma de los siete primeros términos de an 2n. Solución a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 2 4 6 8 10 12 14 56 Sólo piense que sigma es el comando para sumar.
Existe un símbolo muy útil para expresar la suma de una sucesión, la sigma mayúscula, . Por ejemplo, podemos representar la suma de los siete primeros términos de la 7
sucesión cuyo término general es ak como
ak; esto es,
k1 7
ak a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
k1
SECCIÓN 6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS
213
Los términos ak se suman usando valores consecutivos de k, desde k 1 hasta e incluyendo k 7. Con este simbolismo, se puede formular entonces la pregunta del 7
ejemplo 1 pidiendo el valor de
2k.
k1
Observe que la variable del dominio, k, de la sucesión dada se transforma en el índice de la sumatoria en esta notación.
NOTACIÓN DE SUMATORIA Para una sucesión cuyo término general es ak, la suma de los n primeros términos se puede representar como sigue n
ak a1 a2 a3 . . . an
k1
El índice de la suma es k; la suma comienza con k 1 y termina con k n. 5
EJEMPLO 2 Calcule para
n1
n bn para bn . n1
Solución 5
bn b1 b2 b3 b4 b5
n1
Ahora reemplazamos cada bn por su valor numérico: 5
n1
1 2 3 4 5 bn 2 3 4 5 6 30 40 45 48 50 60 213 71 60 20
4
EJEMPLO 3 Calcule
(2k 1).
k1
Solución En este caso se sobreentiende que debemos determinar la suma de los cuatro primeros términos de la sucesión, cuyo término general es ak 2k 1. 4
(2k 1) (2 · 1 1) (2 · 2 1) (2 · 3 1) (2 · 4 1)
k1
3579 24 En el ejemplo 3, la sigma representa la suma de los números impares, de 3 a 9. ¿Cómo se puede modificar la sigma para que exprese los cinco primeros números impares?
214
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
5
EJEMPLO 4 Calcule
xi, en la cual xi (1)i (i 1).
i1
Solución 5
xi x1 x2 x3 x4 x5
i1
(1)1 (1 1) (1)2 (2 1) (1)3 (3 1) (1)4 (4 1) (1)5 (5 1) 2 3 4 5 6 4 PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Evalúe cada suma. 5
1.
5
(4k)
2.
k1 6
4.
5
(2k 1)
k1
( 1)n
4
5.
n1
3.
(k2 k)
k1 4
(2n2 n)
6.
n1
2(12)n 1
n1
Cuando se puede determinar el término general de una serie dada, esa serie se puede reformular con la notación de sumatoria. Por ejemplo, como la serie Nota: En algunos de los siguientes ejercicios, la suma se inicia con valores de i, n o k distintos de 1. Vea, por ejemplo, los ejercicios 8, 22, 24, 25 y 30.
3 6 9 12 15 18 21 7
es la suma de los primeros siete múltiplos de 3, se puede escribir como
3n.
n1
EJERCICIOS 6-2 Calcule la suma de los cinco primeros términos de la sucesión representada por la fórmula de cada ejercicio.
20
9. Calcule
yk siendo yk 3
k1
1. an 3n
1 2. ak (1)k k
Calcule las siguientes sumas, para n 7.
3. ai i2
4. bi i3
10. 2 4 . . . 2n
3 5. bk k 10
6. bn 6 2 (n 1)
11. 2 4 . . . 2n 12. 7 2 . . . (9n 16)
8
7. Calcule
tn siendo tn 2n
n1
n1
3 1 13. 3 2 . . . 3 2 Evalúe cada suma.
8
8. Calcule
n0
1 xn siendo xn n 2
k1
k 6
6
14.
(5k)
15. 5
k1
SECCIÓN 6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS
215
4
16.
4
(n2 n)
17.
n1 8
18.
4
(i 2i2)
19.
k1
c) Note que u1 u3 u2, u2 u4 u3, u3 u5 u4, y así sucesivamente. Use esta forma para los primeros n enteros y deduzca una fórmula para la suma de los primeros n números de Fibonacci.
4
n
n1
k k 2
39. Sea an una sucesión con a1 2, y am an am n, donde m y n son enteros positivos cualesquiera. Demuestre que an 2n para toda n.
8
7
(1)k
21.
k1 7
22.
n2
n1
t1
20.
(1)k
9
k1 6
(2k 5)
23.
k3
40. Demuestre que
k1
[3 (j 1)5]
k1 a log10 1 (Sugerencia: log10 k b
log10a log10b)
j1
n
3
3
24.
10k
k 3 5
26.
k1 3
28.
n1
25.
k 3
1 4 2
41. Demuestre que
1 k 10
k1 n
k1
42. Demuestre que
4
27.
sk
(1)i3i
n
tk
k1
csk c
k1
n
(sk tk)
k1
n
sk, donde c es una constante.
k1
i1
n
n n1 29. n1 n
3
n1
n1 n
3
n1
n n1
43. Demuestre que
k1
(sk c)
s nc, donde c es n
k
k1
una constante. 8
30.
k0
1 (1)k 2
3
31.
(0.1)2 k
k1
10
44. a) Evalúe
k1
Reformule cada serie con la notación de sumatoria.
1 1 . k1 k
32. 4 8 12 16 20 24 33. 5 10 15 20 . . . 50
b) Con la identidad citada en la parte (a), demuestre que 1 1 1 1 1 ... 1 ·2 2·3 3·4 98 · 99 99 · 100
34. 4 2 0 2 4 6 8 35. 9 6 3 0 3 . . . 24
99 100
36. Lea lo expuesto al principio de esta sección, cuando calculamos la suma de los primeros 1000 enteros positivos, y deduzca una fórmula para la suma de los n primeros enteros positivos, cuando n es par. 3
37. a) Calcule
n
c) Escriba
(2k 1) para cada uno de los siguientes
2 1 1 45. a) Use la identidad , para demosk (k 2) k2 k 10 2 175 trar que k (k 2) 132
a) Escriba los siete términos siguientes de esa sucesión. b) Sea u1, u2, u3, . . . , un, . . . la sucesión de Fibonacci. Calcule Sn
k1
n
b) Escriba
k1
1 sin la notación sumatoria y 1k k 2
n
uk con los siguientes valores de n:
k1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
216
1 sin la notación de sumatoria 1k k 1
y muestre, cuando menos, los tres primeros y los tres últimos términos. Con ello podrá simplificar la sumatoria. (Nota: a esa suma se le llama suma telescópica. ¿Puede comprender por qué se llama así?)
valores de n: 2, 3, 4, 5 y 6.
38. La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . se llama sucesión de Fibonacci. Sus dos primeros términos son uno, y en adelante cada término se calcula sumando los dos primeros.
k1
k1
b) Basado en los resultados de la parte (a), deduzca una fórmula de la suma cuando n son los primeros enteros impares positivos.
1 1 , empleando el resultado k(k 1) k(k 1)
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
muestre, cuando menos, los cuatro primeros y los cuatro últimos términos. A continuación, simplifique la sumatoria.
REDACCIÓN
Se tiene la sucesión ak c para toda k; evalúe su respuesta.
n
c, y explique cómo llegó a
k1
6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Veamos los cinco primeros términos de la sucesión an 7n 2: 5,
12,
19,
26,
33
¿Observa algún comportamiento especial? No tarda uno mucho en darse cuenta que cada término después del primero es el término precedente aumentado en 7. Esta sucesión es un ejemplo de una progresión (sucesión) aritmética.
Una progresión aritmética también se llama sucesión aritmética.
DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se dice que una progresión es aritmética si cada término, después del primero, se obtiene del término precedente sumándole un valor común. Veamos los cuatro primeros términos de dos progresiones aritméticas distintas: 2,
¿Puede usted determinar el enésimo término de la progresión aritmética 11, 2, 7, 16, . . . ?
4,
6,
8, . . .
1 3 , 1, , 2, . . . 2 2 Para la primera progresión, el valor común (o diferencia) que se suma a cada término para obtener el siguiente es 2. Es fácil ver que 10, 12 y 14 serán los tres términos siguientes. El lector puede suponer que el enésimo término es an 2n. 1 La segunda progresión tiene la diferencia común 2. Esa diferencia se puede determinar restando el primer término del segundo, o el segundo del tercero, etc. El 1 enésimo término es an 2 n. A diferencia de las sucesiones anteriores, no siempre es fácil ver cuál es el enésimo término de la progresión aritmética específica. Por consiguiente, ahora desarrollaremos una fórmula general que haga posible conocerlo. Sea an el enésimo término de una progresión aritmética, y sea d la diferencia común. Entonces, los cuatro primeros términos son: a1 a2 a1 d a3 a2 d (a1 d) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d) d a1 3d La pauta es clara. Sin más cálculos podemos ver que a5 a1 4d, y que a6 a1 5d
Esta fórmula nos dice que el enésimo término de una progresión aritmética queda determinado totalmente por su primer término, a1, y por su diferencia común, d. También, observe que an an 1 d y que d an an 1.
Como el coeficiente de d siempre es igual al número del término menos uno, el enésimo término es el siguiente. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA El enésimo término de una progresión aritmética es an a1 (n 1)d donde a1 es el primer término y d la diferencia común.
SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS
217
El lector puede comprobar que esta fórmula da como resultado los términos anteriores, desde a1 hasta a6, sustituyendo los valores de n 1, 2, 3, 4, 5 y 6. EJEMPLO 1 Determine el enésimo término de la progresión aritmética 11, 2, 7, . . . Solución Emplee la fórmula anterior con a1 11 y d a2 a1 2 11 9. Así, an a1 (n 1)d 11 (n 1) (9) 9n 20 PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Los siguientes son los primeros términos de progresiones aritméticas. Determine el enésimo término en cada caso. 1. 5, 10, 15, . . .
2. 6, 2, 2, . . .
3.
4. 5, 13, 21, . . .
5. 1, 2, 3, . . .
6. 3, 2, 1, . . .
1 10
, 15, 130
Determine el enésimo término, an, de la progresión aritmética con los valores del primer término y de la diferencia común que se dan en cada caso. 2
2
7. a1 3; d 3 1
9. a1 0; d 5
8. a1 53; d 12 10. a1 2; d 1
EJEMPLO 2 El primer término de una progresión aritmética es 15 y el quinto es 13. Calcule el cuadragésimo término. Solución Como a5 13, hacemos que n 5 en la fórmula an a1 (n 1)d, para despejar d. a5 a1 (5 1)d 13 15 4d 28 4d 7d Entonces, a40 15 (39)7 258. Es posible que sumar los términos de una sucesión finita, no implique mucha dificultad cuando la cantidad de términos que se suman es pequeña. Sin embargo, cuando se han de sumar muchos términos, el tiempo y el esfuerzo necesarios son abrumadores. Por ejemplo, para sumar los 10,000 primeros términos de la sucesión aritmética que comienza con 246,
261,
276, . . .
se necesitaría un esfuerzo enorme, a menos que se pudiera encontrar algún atajo. Por fortuna, contamos con un método fácil para calcular esas sumas. Este método (disfrazado) ya lo empleamos en la pregunta al principio de las sección 6-2. Veamos el panorama general. Sea Sn la suma de los n primeros términos de la progresión aritmética representada por ak a1 (k 1)d:
218
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
La suma de una progresión aritmética también se llama serie aritmética.
n
Sn
[a1 (k 1)d]
k1
a1 [a1 d] [a1 2d] . . . [a1 (n 1)d] Si escribimos esta suma en orden inverso y escribimos juntas las dos igualdades obtendremos: Sn
a1
[a1 d] . . . [a1 (n 2)d] [a1 (n 1)d]
D
D
D
Sn [a1 (n 1)d] [a1 (n 2)d] . . . [a1 d]
D
a1
Ahora sumamos para obtener 2Sn [2a1 (n 1)d] [2a1 (n 1)d] . . . [2a1 (n 1)d] [2a1 (n 1)d] En el lado derecho de esta ecuación hay n términos, y cada uno tiene la forma 2a1 (n 1)d. Por consiguiente, 2Sn n [2a1 (n 1)d] Para despejar Sn dividimos entre 2: n Sn [2a1 (n 1)d] 2 Regresamos a la notación de sumatoria para poder resumir nuestro resultado como sigue: SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Sn
n
k1
n [a1 (k 1)d] [2a1 (n 1)d] 2
EJEMPLO 3 Calcule S20 de la progresión aritmética cuyo primer término es a1 3 y cuya diferencia común es d 5. Solución Sustituya a1 3, d 5 y n 20 en la fórmula de Sn y obtendrá 20 S20 [2(3) (20 1)5] 2 10(6 95) 1010 EJEMPLO 4 Calcule la suma de los 10,000 primeros términos de la progresión aritmética que comienza con 246, 261, 276, . . . Solución Como a1 246 y d 15, 10,000 S10,000 [2(246) (10,000 1)15] 2 5000(150,477) 752,385,000
SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS
219
EJEMPLO 5 Calcule la suma de los n primeros enteros positivos. Solución Primero nos percatamos de que el problema pide la suma de la progresión ak k con k 1, 2, . . . , n. Es una progresión aritmética en la que a1 1 y d 1. Por consiguiente, n
k1
n n(n 1) k [2(1) (n 1)1] 2 2
Con el resultado del ejemplo 5 podemos comprobar la respuesta donde se pedía la suma de los primeros 1000 enteros positivos, al principio de la sección 6-2 como sigue: 1000
k1
1000(1001) k 500,500 2
La forma ak a1 (k 1)d del término general de una progresión aritmética se transforma con facilidad en ak dk (a1 d). Esta última es la forma que más se usa cuando se da el término general de una progresión aritmética específica. Por ejemplo, normalmente comenzaríamos con la forma ak 3k 5 en lugar de ak 8 (k 1)3. Lo importante que debemos notar en la forma ak dk (a1 d) es que la diferencia común es el coeficiente de k. 50
EJEMPLO 6 Evalúe
(6k 10)
k1
Solución Primero observe que ak 6k 10 es una progresión aritmética con d 6 y a1 4. 50
k1
50 (6k 10) [2(4) (50 1) (6)] 2 7150
La fórmula para una serie aritmética se puede convertir en otra, muy útil, cuando a1 (n 1)d se reemplaza por an. Así, n Sn [2a1 (n 1)d] 2
Cuando se rearregla esta forma como
a1 an Sn n 2
n [a1 a1 (n 1)d] 2
n (a1 an) 2
se puede considerar que la suma es n veces el promedio del primero y el último términos.
SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (Forma alterna) n Sn (a1 an) 2 50 Aplique este resultado al ejemplo 6, con a1 4, a50 290 y S50 (4 2 (290)) 7150.
220
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
Para decidir cuándo un entero positivo, N, es divisible entre 3, se usa el hecho que N es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es divisible entre 3. Así, 261 es divisible entre 3, porque 2 6 1 9 es divisible entre 3.
EJEMPLO 7 Calcule la suma de todos los múltiplos de 3, desde 4 hasta 262. Solución El primer múltiplo de 3 después de 4 es 6 a1, y el que antecede a 262 es 261 an. Calcule n. an a1 (n 1)d 261 6 (n 1)3 86 n Entonces S86 86 [a1 a86] 86 [6 261] 11,481 2 2
Compruebe que la diferencia ba común es d . 2
Cuando se introduce el promedio de dos números, (a b)/2 entre ellos, se obtiene a b la progresión aritmética a, , b. El promedio (a b)/2 se llama media arit2 mética de los dos números a y b. Este concepto se puede ampliar, esto es, cuando se tienen dos números puede haber más de una media aritmética si vemos lo siguiente: si k es un entero positivo y a,
m1,
m2,
. . .,
mk,
b
es una progresión aritmética, entonces los números m1, m2, . . ., mk son k medias aritméticas entre a y b. Por ejemplo, como 2, 6, 10, 14 y 18 es una progresión aritmética, entonces 6, 10 y 14 son tres medias aritméticas entre 2 y 18.
EJEMPLO 8 Introduzca cuatro medias aritméticas entre 5 y 20. Solución Necesita los números m1, m2, m3 y m4 para que 5, m1, m2, m3, m4 y 20 sea una progresión aritmética. Para calcular la diferencia común d, se usa la fórmula an a1 (n 1)d, en la que a1 5, n 6, y an a6 20. Entonces 20 5 (6 1)d 5d 15 d3 Ahora comenzamos en 5 y sumamos 3 cada vez, para obtener las medias aritméticas 8, 11, 14 y 17, de manera que la progresión es 5, 8, 11, 14, 17, 20 Nuestro ejemplo final será una aplicación de las progresiones aritméticas a un caso financiero.
EJEMPLO 9 Suponga que contrata un préstamo por $6000 a corto plazo y que lo debe pagar en 12 exhibiciones mensuales iguales, más el 3% mensual por saldos insolutos. El pago de cada mes se hace durante la primera semana del mes siguiente. a) Escriba el término general de la sucesión que expresa el saldo mensual. SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS
221
b) ¿Cuál es el interés de cada uno de los primeros 3 meses? Exprese el término general de la progresión que indica la cantidad del interés mensual. c) ¿Cuál es el pago total por intereses en el año y qué porcentaje es del préstamo de $6000? Solución Al final del primer mes, su saldo es 6000 500(0) 6000, y cuando k 12 es 6000 500(11) 500, que es el último pago en la primera semana del decimotercer mes.
a) Los pagos mensuales iguales del préstamo son 6000 112 500 pesos. Como esos pagos se hacen durante la primera semana del mes siguiente, el balance mensual es ak 6000 500(k 1) donde k 1, 2, . . . , 12. b) El interés del primer mes es 3% sobre $6000, o 6000(0.03) 180 pesos. También se pagan $500, de modo que el interés del segundo mes es 5500(0.03) 165 pesos. Igualmente, el interés para el tercer mes es 5000(.03) 150 pesos. En general, el pago mensual por interés es
saldo mensual
tasa mensual
[6000 500(k 1)] (.03) 180 15 (k 1)
Es una progresión arimética con a1 180 y d 15.
195 15k c) El interés total es la suma de los 12 pagos de intereses. Así 12
k1
12 (195 15k) (2 · 180 11( 15)) 2 6(195) 1170
1170 La tasa anual es 0.195 19.5% 6000
EJERCICIOS 6-3 En cada caso aparecen los dos primeros términos de una progresión aritmética. Escriba los tres términos siguientes; determine el enésimo término y calcule la suma de los 20 primeros términos. 1. 1, 3, . . .
2. 2, 4, . . .
3. 2, 4, . . .
4. 1, 3, . . .
15 5. 2, 8, . . . 2 1 7. 5, 5, . . .
4 11 6. 3, 3, . . . 1 1 8. 2, 4, . . .
222
9. 50, 100, . . .
10. 27, 2, . . .
11. 10, 10, . . .
12. 225, 163, . . .
Calcule el total que se pide, sumando normalmente; también calcule el total con la fórmula de la suma de una progresión aritmética. 13. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 14. 33 25 17 9 1 7 15 23 31 39 3 5 3 7 9 5 11 15. 1 2 4 4 2 4 4 2 4
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
16. 128 71 14 43 100 157
47. Introduzca seis medias aritméticas entre 8 y 48.
17. Calcule a30 para la progresión aritmética que tiene a1 30 y a10 69.
48. Introduzca siete medias aritméticas entre 36 y 4.
18. Calcule a51 para la progresión aritmética en la que a1 9 y a8 19. Calcule S100 para la progresión aritmética con los valores dados de a1 y d. 19. a1 3; d 3
20. a1 1; d 8
21. a1 91; d 21
22. a1 7; d 10
1
24. a1 5; d 4
25. a1 725; d 100
26. a1 0.1; d 10
50. Se deja caer un objeto desde un aeroplano, y durante el primer segundo cae 32 pies. Durante cada uno de los segundos siguientes cae 48 pies más que en el segundo anterior. ¿Cuántos pies cae durante los primeros 10 segundos? ¿Cuánto cae durante el décimo segundo? 51. Suponga que ahorra $10 una semana y que de ahí en adelante ahorra 50 centavos más que en la semana anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado al finalizar un año?
2
23. a1 7; d 5
49. Introduzca seis medias aritméticas entre 15 y 3.
27. Calcule S28 de la progresión 8, 8, . . . , 16n 24, . . . . 28. Calcule S25 de la progresión 96, 100, . . . , 4n 92, . . . . 29. Calcule la suma de los primeros 50 múltiplos positivos de 12.
52. Suponga que un saco de 100 libras de grano tiene un pequeño agujero en el fondo, que cada vez que se hace más grande. El primer minuto sale 31 de onza, y de ahí en adelante, en cada minuto siguiente se sale 31 de onza más que durante el minuto anterior. ¿Cuántas libras de grano quedan en el saco después de una hora? Una libra tiene 16 onzas.
30. a) Calcule la suma de los 100 primeros números pares. b) Calcule la suma de los n primeros números pares positivos. 31. a) Calcule la suma de los 100 primeros números impares. b) Calcule la suma de los n primeros números impares positivos. Evalúe lo siguiente. 12
32.
[3 (k 1)9]
9
33.
k1 20
34.
40
(4k 15)
30
35.
1
(3k 2)
49
37.
(10k 1)
3
1
(4k 2)
k1 n
20
k1
k1
38.
1
[6 (k 1)2]
k1
k1
36.
5k
39.
k1
5k
k1
40. Determine u tal que 7, u, 19 sea una progresión aritmética. 5
41. Determine u tal que 7, u, 2 sea una progresión aritmética. 42. Calcule el vigésimo tercer término de la progresión aritmética 6, 4, . . . .
53. Un préstamo de $12,000 se paga en 12 abonos mensuales iguales, durante la primera semana del mes siguiente. La tasa de interés es 2% mensual sobre saldos insolutos. (Los saldos insolutos representan la cantidad que queda al final de un mes antes de pagar los 100 pesos correspondientes a ese mes). a) Calcule el pago mensual de interés en cada uno de los primeros 3 meses. b) Deduzca el término general de las progresiones que expresan el saldo mensual y el interés mensual. c) Calcule el interés total pagado en el año y la tasa anual de interés. 54. Una pirámide de bloques tiene 26 bloques en la hilera inferior y 2 bloques menos en cada hilera en adelante. ¿Cuántos bloques hay en la pirámide? 20
(5n 3).
43. Calcule el trigésimo quinto término de la progresión arit2 1 mética 3, 5, . . . .
55. Evalúe
44. Introduzca tres medias aritméticas entre 8 y 44. 45. Introduzca cuatro medias aritméticas entre 3 y 38.
n Use la fórmula Sn (a1 an) para calcular S80 de las pro2 gresiones en los ejercicios 56 y 57.
46. Introduzca cinco medias aritméticas entre 6 y 10.
56. ak 2 k 10
n6
1
57. ak 3k 8
SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS
223
58. Calcule la suma de todos los números pares que hay entre 33 y 427. 59. Calcule la suma de todos los números impares que hay entre 33 y 427. 60. Calcule la suma de todos los múltiplos de 4 que hay entre 100 y 56. 30
61. Si
[a1 (k 1)d] 5865 y
k1
30
[a1 (k 1)d]
k1
predecir el término siguiente. Demuestre que las dos progresiones, tn 2n y un 2n (n 1)(n 2) (n 3) producen estos tres primeros términos, pero son distintos sus cuartos términos. 63. Determine u y v tales que 3, u, v, 10 sea una progresión aritmética. 64. ¿Cuál es la relación entre las progresiones aritmética y las funciones lineales? 65. La función f, definida por f(x) 3x 7 es una función 16
2610, calcule a1 y d.
lineal. Calcule
62. Si se hace una lista de los primeros términos de una progresión, como 2, 4, 6, . . . sin enunciar su término general ni describir de qué tipo de sucesión se trata, es imposible
fk, en donde fk f(k) es la progresión
k1
aritmética asociada con f.
REDACCIÓN
Sea f(x) x2 8x 12 para todos los números reales x, y sea an a1 (n 1)d cualquier progresión aritmética. ¿Cuál es la cantidad máxima de puntos, (x, y), en la gráfica de y f(x) que coinciden con los puntos de la progresión (n, an)? Explique su respuesta. (Nota: an dn b, en donde b es igual a la constante a1 d).
RAZONAMIENTO CRÍTICO
1. Las sucesiones infinitas pueden tener o no una cantidad infinita de términos distintos. Cite ejemplos de términos generales de sucesiones infinitas que tengan la siguiente cantidad de términos distintos: (a) uno, (b) dos y (c) tres. 2. Si el sumando 2k 1 de
n
(2k 1) se cambia a 2k 1, el valor de la su-
k1
ma será igual, siempre que se haya hecho el cambio adecuado en el índice de la n
sumatoria. Haga ese ajuste completando la ecuación
(2k 1) (2k 1).
k1
A continuación complete la igualdad
n1
k3
(k 1)2
n1
. . . , en la cual se
k1
ha modificado el índice de la sumatoria ajustando el sumando. 3. El procedimiento que empleamos en los ejercicios 44 y 45 de la sección 6-2 evita cálculos tediosos para evaluar ciertas sumas. 4 Convierta ak en la diferencia de dos fracciones y evalúe (k1)(k3)
10
ak.
k1
4. En los ejercicios 30(b) y 31(b) de esta sección se pidió la suma de los n primeros enteros impares, y la suma de los n primeros enteros pares. Cuando se suman las dos respuestas, ¿la suma de cuales enteros consecutivos que comienzan con 1, representa este resultado? Use la fórmula de la suma de una progresión aritmética para comprobar su resultado.
224
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Suponga que se deja caer una pelota desde una altura de 4 pies, y que rebota directo hacia arriba y hacia abajo, y que en cada rebote sube exactamente la mitad de lo que acaba de bajar. ¿Qué distancia habrá recorrido la pelota si usted la atrapa al llegar a la cúspide del quinto rebote? La siguiente figura le ayudará a contestar esta pregunta. Para mayor claridad hemos separado los rebotes. Baja
Sube
Baja
4' Baja
Sube 2
2' 1'
Baja
Sube
1'
1' 2
Sube
Baja Sube 1' 1' 8
{
{
{
4
{
1' 4
{
1' 2
Primer rebote
Segundo rebote
Tercer rebote
Cuarto rebote
Quinto rebote
Con este diagrama podemos determinar lo que ha recorrido la pelota en cada rebote. En el primero baja 4 pies y sube 2, en total 6 pies; en el segundo rebote, la distancia total es 2 1 3 pies, y así sucesivamente. Estas distancias forman la sucesión que vemos, de cinco términos uno por cada rebote. 6,
3,
3 , 2
3 , 4
3 8
Esta sucesión tiene la propiedad especial que, después del primer término, cada tér1 mino sucesivo se puede obtener multiplicando el anterior por ; esto es, el segundo 2 término, 3, es la mitad del primero, y así sucesivamente. Este es un ejemplo de una progresión geométrica. Más adelante deduciremos una fórmula para calcular la suma de esta progresión; mientras tanto, podemos calcular la distancia total que ha recorrido la pelota durante los cinco rebotes sumando los cinco primeros términos como sigue: 3 3 3 48 24 12 6 3 5 6, 3 11 2 4 8 8 8 También se llama progresión geométrica a una sucesión geométrica
DEFINICIÓN DE SUCESIÓN GEOMÉTRICA Se dice que una sucesión es geométrica si cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por un valor común. He aquí los cuatro primeros términos de una progresión geométrica: 2, 4, 8, 16, … SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
225
Por inspección se puede determinar que el multiplicador común de esta progresión es 2. Para calcular el enésimo término deduciremos primero una fórmula que sirva para cualquier progresión geométrica. Sea an el enésimo término de una progresión geométrica, y sea a1 su primer término. El multiplicador común, que también se llama razón común, o simplemente razón, se representa por r. Los cuatro primeros términos de la progresión son a1 a2 a1r a3 a2 r (a1r) a1r 2 a4 a3 r (a1r2) r a1r3 Observe que el exponente de r es el número de orden del término menos 1. Esta observación nos permite definir como sigue el enésimo término. Está fórmula dice que enésimo término de una progresión geométrica queda totalmente determinado por el primer término, a1, y la razón común.
TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA El enésimo término de una progresión geométrica es an a1r n1 en donde a1 es el primer término y r es la razón común. Con este resultado, los cuatro primeros términos y el enésimo término de la progresión geométrica que vimos antes son los siguientes. 2, 4,8, 16,
2(2) n1
...,
(r2)
Veamos dos ejemplos más: 1, 5,
n1
1 , 3
1 , 9
1 , 27
...,
1 1 3
5,
5,
5,
...,
5(1) n1
(r 13) (r 1)
El lector puede sustituir los valores n 1, 2, 3 y 4 en las formas de los enésimos términos y ver que se obtienen en cada caso los cuatro primeros términos. EJEMPLO 1 Determine el centésimo término de la progresión geométrica con r 12 y a1 12. Solución El enésimo término de esta progresión es
1 1 an 2 2
n1
1 1 1 n n 2 2 1 2
1 . Entonces, a100 100 2 La causa de que a r se le llame razón común de una progresión geométrica es que para toda n, la razón del (n 1)enésimo término al enésimo término es igual a r. Así, an 1 a rn 1 r an a1r n1
226
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
Observe que también se puede calcular r usando a2 y a3. 27 a3 2 3 27 a2 2 29 9
EJEMPLO 2 Determine el enésimo término de la progresión geométrica 6, 9, 27 , … y calcule el séptimo término. 2 Solución Primero determine a r. a2 9 3 r a1 6 2 Entonces el enésimo término será
3 an 6 2
3 Sean n 7: a7 6 2
71
3 6 2
6
n1
36 37 2187 (3 2) 6 5 2 2 32
EJEMPLO 3 Escriba el késimo término de la progresión geométrica ak (12)2k en la forma a1r k1 y determine el valor de a1 y r Solución
El primer término, a1, también se puede determinar sustituyendo 1 en la fórmula que dimos para ak; a continuación se determina. a2 a2 y se calcula r . a1
1 ak 2
2k
2 k
1 2
1 4
1 1 4 2
k1
k
← Esto ya está en la forma a1r n1.
1 1 Entonces, a1 y r . 4 4 PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Escriba los cinco primeros términos de las progresiones geométricas cuyo término general aparece. También escriba el enésimo término en la forma a1r n1y determine r. 1. an (12) n1
2. an (12) n1
3. an (12) n
4. an (13) 3n
Calcule r y determine el enésimo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos se mencionan. 5.
1 5
, 2.
6. 27, 12.
EJEMPLO 4 Una progresión geométrica formada por números positivos tiene a1 18 y a5 392 . Determine r. Solución Usamos n 5 en an a1r n1.
Compruebe este resultado, escribiendo a1 18 y calculando a2, a3, a4 y a5 mediante an an1r.
32 18r4 9 32 16 r4 9 18 81
4 16 2 r ± ± 81 3
Como los términos son positivos, r . 2 3
SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
227
Regresemos al problema original de esta sección. Vimos que la distancia total que recorrió la pelota es 11 58 pies. Ésta es la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica cuyo enésimo término es 6(12)n1. Fue fácil sumar estos cinco términos. Pero ¿qué hay de sumar los primeros 100 términos? Disponemos de una fómula para calcular la suma de una progresión geométrica, que nos permitirá responder con facilidad este tipo de preguntas. La suma de una progresión geométrica se llama serie geométrica. Igual que con las series aritméticas, disponemos de una fórmula para calcular las sumas. Para deducirla, sea ak a1rk1 una progresión geométrica, y sea Sn Entonces
n
a1rk1 .
k1
Sn a1 a1r a1r 2 … a1r n2 a1r n1 Multiplicando por r esta ecuación obtenemos rSn a1r a1r 2 … a1r n1 a1r n Ahora veamos las dos ecuaciones siguientes Sn a1 a1r a1r 2 … a1r n2 a1r n1 rSn
D D D D 2 n2 a1r a1r … a1r a1r n1 a1r n
Restamos y factorizamos: Sn rSn a1 a1r n (1 r)Sn a1(1 r n)
En este caso, r 1. Sin embargo, cuando r 1, ak a1rk1 a1, que también es una progresión aritmética con d 0.
Para despejar Sn dividimos entre 1 r: a1(1 rn) Sn 1r Regresamos a la notación de sumatoria para resumir nuestros resultados como sigue: SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Sn
n
a1rk1
k1
a1(1 r n) (r 1) 1r
Con esta fórmula podemos comprobar nuestro resultado anterior del rebote de la pelota: 6[1 125] 5 1 k1 6 2 1 1 k1 2
61 312 1 2
93 5 11 8 8
228
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
EJEMPLO 5 Calcule la suma de los 100 primeros términos de la progresión geométrica definida por ak 6(12) k1 y demuestre que el resultado es muy cercano a 12. Solución
1 6 1 100 2
S100
1
1 2
1 12 1 100 2 1 1 es tan pequeña que 1 100 es casi igual A continuación vemos que la fracción 100 2 2 a 1, y por consiguiente S100 es casi igual a 12. 8
EJEMPLO 6 Calcule:
k1
1 3 10
k1
Solución Otro modo de determinar a a1 y a r es escribir los primeros términos como sigue: 3 3 3 … 100 1000 10,000 3 3 1 100 100 10 3 1 2 … 100 10 Entonces a1 0.03 y r 0.1.
Entonces, a1 0.03, r 0.1 y
k1
3 1 100 10
k1
0.03[1 (0.1)8] S8 1 0.1
Los progresiones geométricas tienen muchas aplicaciones, como vemos en los ejemplos 7 y 8. El lector se encontrará con otras en los ejercicios al final de esta sección.
1 3 10
0.03[1 0.00000001 0.9 0.033333333 EJEMPLO 7 Suponga que usted ahorró $128 en enero, y que de ahí en adelante sólo ha podido ahorrar la mitad de lo que ahorró el mes anterior. ¿Cuánto ha ahorrado en el décimo mes y cuánto es su ahorro total entonces? Solución Lo que ahorra cada mes forma una progresión geométrica en la que n1 a1 128 y r 12. Entonces, an 12812 y
1 9 27 1 a10 128 9 0.25 2 2 4 Esto quiere decir que usted ahorró 25 centavos en el décimo mes. Sus ahorros totales son:
S10
1 128 1 210 1
1 2
1 256 1 210
256 256 1 20 28 256 210 255.75 Los ahorros totales son $255.75.
SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
229
EJEMPLO 8 Un rollo contiene 625 pies de alambre. Si se corta una y otra vez la quinta parte del alambre, ¿cuál es el término general de la progresión que expresa la longitud del alambre que queda? Con un calculadora y ese término general determine la longitud del alambre en el rollo después de cortarlo 7 veces. Solución como se corta 15 quedan 45 0.8. Así, 625(0.8) 500 son los pies que quedan después de un corte, 625(0.8)(0.8) 500(0.8) 400 pies después de dos cortes, y después de n cortes, la longitud del alambre que queda es 625(0.8)n pies. Con una calculadora obtenemos 625 (0.8)7 131.072 Primer corte
1 5
(625)
Por consiguiente al redondear a la décima de pie, quedan 131.1 pies de alambre después de cortarlo 7 veces. Una media geométrica de dos números reales, a y b es un número, g, tal que a, g, b es un progresión geométrica, si r es la razón común, entonces ar g y gr b. Despejando r e igualando los resultados se llega a g b a o g2 ab 8
Observe que 18 y 32 tienen las mismas medias geométricas, mientras que 18 y 32 no tienen, porque
1 8
• 2 3 no es un número real.
Entonces g ± a
b , siempre que a b sea número real. Por ejemplo, las medias geométricas entre 18 y 32 son ± 1
8
2 3 ± 5
7 6 ± 24. Tal como hicimos en las medias artiméticas, el concepto de las medias geométricas también se puede ampliar como sigue. Para números reales a y b, y un entero positivo k, si hay k números g1, g2, …, gk tales que a, g1, g2,
…,
gk , b
es una progresión geométrica, entonces las gi son k medias geométricas entre a y b. EJEMPLO 9 Intercale tres medias geométricas tres entre 7 y 567. Solución Se piden tres números, g1, g2, y g3, tales que 7, g1, g2, g3, 567 sea una progresión geométrica. Para determinar la razón común se usa la fórmula an a1rn1, en donde a a1 7, a5 567 y a 5: 567 7r 4 81 r 4 ±3 r Hay dos soluciones: Para r 3, la progresión 7, 21, 63, 189, 567. Para r 3, la progresión 7, 21, 63, 189, 567.
230
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
EJERCICIOS 6-4 Se dan los tres primero términos de una progresión geométrica. escriba los tres términos siguientes y también la fórmula del enésimo término. 1. 2, 4, 8, …
2. 2, 4, 8, …
3. 1, 3, 9, …
4. 2, 2, 2, …
5. 3, 1,
1 , 3
…
7. 1, 5, 25,… 8
9. 6, 4, 3, … 11.
1 1 , , 1000 10
10, …
3k 4
6
28.
j2
j1 8
31.
k1
(3)k 2
8
1 k2 16 2
k1
2 3 5
8. 12, 6, 3, …
30.
k1
1 k2 16 2
32. Calcule u 0 tal que 2, u, 98 sea una progresión geométrica.
10. 64, 16, 4, … 27 3 2 , , , 8 2 3
k1
29.
6. 100, 10, 1, …
12.
5
27.
33. Determine u 0 tal que 71, u, 6235 sea una progresión geométrica.
…
Calcule el total de los seis primeros términos de la progresión indicada, empleando suma ordinaria y también con la fórmula de la suma de una progresión geométrica.
34. Forme una progresión cuyo primer término sea 5, que sea geométrica y aritmética a la vez. ¿Cuáles son r y d?
13. La progresión del ejercicio 1.
35. Calcule las medias geométricas de 8 y 12.
14. La progresión del ejercicio 5.
36. Intercale tres medias geométricas entre 2 y 162.
15. La progresión del ejercicio 9.
37. Intercale tres medias geométricas entre 6 y 1536.
16. Calcule el décimo término de la progresión geométrica 2, 4, 8,…
38. Intercale cuatro medias geométricas entre 128 y 4.
17. Calcule el decimocuarto término de la progresión geométrica 18, 14, 12, … 18. Calcule el decimoquinto término de la progresión geomé1 1 1 trica , , , . . . 100,000 10,000 1000 19. ¿Cuál es el centésimo primer término de la progresión geométrica que tiene a1 3 y r 1? deter20. En la progresión geométrica con a1 100 y r 1 con la fórmula an mine cuál término es igual a , 1010 n1 a1r . 1 , 10
21. Calcule r de la progresión geométrica con a1 20 y a6 5 . 8 22. Calcule r de la progresión geométrica con a1 25 y a5 3.24 Evalue lo siguiente: 10
23.
2k 1
10
24.
k1 n
25.
k1
2 j2
j1
2k 1
8
26.
k1
1 310
k1
39. Suponga que alguien le ofrece un trabajo por el que va a ganar 1 centavo el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero, etcétera; cada día gana el doble de lo que ganó el día anterior. ¿Cuánto ganará en 30 días en ese trabajo? 40. Suponga que lo que usted ahorra en determinado mes es el doble de lo que ahorró en el mes anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado al final de un año, si en enero ahorró $1? ¿Cuánto si en enero ahorró 25 centavos? 41. Cierto cultivo bacteriano crece duplicando su cantidad cada día. Al finalizar el primer día hay 1000 bacterias; ¿cuántas habrá después de 10 días? ¿Cuántas después de n días? 42. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que al final de cada mes sólo hay la tercera parte de lo que había al principio. Si había 75 gramos de la sustancia al principio de año, ¿cuánto queda a mitad del año? 43. Suponga que un automóvil se deprecia el 10% cada año, durante los primeros 5 años. ¿Cuánto vale después de 5 años si su precio original fue $14,280? 44. En la fórmula del interés compuesto, At P(1 r)t, P es el capital inicial, r es la tasa de interés anual y t es la cantidad de años durante los cuales se ha compuesto el interés anualmente para obtener el valor total At . Explique cómo se puede considerar que esta fórmula es la de término general de una progresión geométrica. 45. Se invierten $800 al 11% de interés compuesto anualmente.
SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
231
primero, el tercero 12 del volumen del segundo, etcétera. Si el recipiente está vacío y los demás están llenos de agua, ¿pueden vaciarse todos ellos en el primero sin que se derrame el agua? Explique la respuesta.
a) ¿Cuánto se tiene despues de n años? b) ¿Cuánto se tiene después de 5 años? 46. ¿Qué cantidad se debe invertir a 12% de interés compuesto anualmente para que después de 3 años se tengan $1000?
b) Conteste la pregunta en parte (a) suponiendo que cada recipiente, después del primero, tiene 32 del volumen del que le precede.
47. Calcule la cantidad que gana una inversión de $1500 con interés de 8% compuesto anualmente durante 5 años. 48. a) Si se cortan repetidamente 53 del alambre del ejemplo 8, ¿cuál es la forma general de la progresión de la longitud del alambre restante? b) ¿Qué longitud queda después de hacer seis cortes? Exprese la respuesta con precisión de décima de pie. c) ¿Cuál es la forma general de la longitud total de alambre restante después de haberlo cortado n veces? 49. a) Se tiene un conjunto de recipientes cuyo tamaño decrece de tal modo que el segundo tiene 12 del volumen del
50. Determine el primer término y la razón común de una progresión cuyo cuarto término es 29 y el sexto es 881 . (Hay dos respuestas posibles).
Suponga que chasquea sus dedos, espera 1 minuto y los vuelve a chasquear. Después los chasquea pasados 2 minutos, después a los 4 minutos, de nuevo a los 8 minutos, etc., cada vez esperando el doble de tiempo que para el chasquido anterior. Primero adivine cuántas veces chasquearía sus dedos si continuara con ese proceso durante un año. Calcule cuánto tiempo pasaría para chasquearlos (a) 10 veces, (b) 15 veces, y (c) 20 veces.
RETO
REDACCIÓN
1. Con ejemplos específicos, explique la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica. 2. En la fórmula de la suma de una progresión geométrica, r 1. Explique por qué el caso con r 1 queda comprendido en otras partes de nuestro estudio de las sucesiones.
6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS Zenón, filóso griego de la Antigüedad (aprox. 450 a. de C.), propuso cuatro paradojas que confundieron a los filósofos de su tiempo. Por ejemplo, en una de ellas decía que nunca se puede cruzar un recinto, porque para hacerlo se debe alcanzar el punto medio entre las paredes. Después se debe recorrer la mitad de la distancia restante, y quedaba por recorrer la cuarta parte de la distancia… y así sucesivamente. Representando con w el ancho del recinto, se podría indicar la distancia recorrida con la siguiente suma de una cantidad infinita de términos: 1 1 1 1 w w w w … 2 4 8 16 Por ello, independientemente de la cercanía a la otra pared del recinto, siempre se debe recorrer la mitad de la distancia restante antes de llegar. Por consiguiente, decía Zenón, ¡nunca se puede llegar al otro lado!
232
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
Más adelante, en esta sección, se presentará una solución matemática de paradoja, pero primero vamos a describir la suma de una cantidad infinita de términos. Para ello será de utilidad la familiaridad del lector con las formas decimales. 3 La fracción 4 es 0.75 en forma decimal, lo que significa 17050 . Esto también se puede escribir en la forma 170 1500. ¿Y qué hay con 13? En forma decimal se escribe 1 0.333. . . 3 en la que los puntos quieren decir que el 3 se repite de manera infinita. Este decimal se puede expresar como una suma de fracciones cuyos denominadores son potencias de 10: 1 3 3 3 . . . 3 10 100 1000 Los números que estamos sumando son los términos de la progresión geométrica infinita, cuyo primer término es a1 130 y razón es r 110 . entonces, el enésimo término es
n1
3 1 a1rn1 10 10
1 3 10 1 3 10
1 10
n1
n
3 n 10 La suma de los n primeros términos, Sn, se llama enésima suma parcial y se determina con la fórmula n
Sn
k1
a1(1 rn) a1r k1 1r
Examinemos algunos casos:
3 1 1 10 10 1 1 S1 1 0.3 1 3 1 0 1 10
3 1 1 2 10 10 1 1 1 2 0.33 S2 1 3 10 1 10
3 1 1 10 1010 S10 1 1 10
1 1 1 0.3333333333 3 1010
10 lugares
3 1 1 n 10 10 1 1 Sn 1 n 0.333 . . . 3 1 3 1 0 1 n lugares 10
La suma de una sucesión infinita es una serie infinita.
SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS
233
Como puede ver, conforme se agregan más y más términos, el resultado se acerca más y más a 13. Esto lo podemos apreciar si estudiamos la forma de la suma de los primeros n términos: 1 1 Sn 1 n 10 3
Es claro que mientras más grande es n,
1 1 se acerca más a cero y 1 se acer10n 10n 1
ca más a 1 y, por último, Sn se acerca más a 3. En símbolos, podemos expresarlo como sigue: 1 1 Cuando n ¡ ∞, n ¡ 0 y 1 n ¡ 1 10 10 1 Así cuando n ¡ ∞, Sn ¡ 3 1 Aunque es cierto que Sn nunca es exactamente igual a 3, cuando n es muy grande, 1 la diferencia entre Sn y 3 es muy pequeña. Expresándolo en otra forma: Si hacemos que n sea suficientemente grande, podemos hacer que las sumas 1 parciales Sn sean tan cercanas a 3 tanto como queramos. Lo que deseamos expresar cuando decimos que la suma de todos los términos 1 es 3 es: 3 3 3 3 1 2 3 . . . . . . 10 10 10 10n 3 También podemos emplear aquí el símbolo de sumatoria, , haciendo ajustes en la notación. Tradicionalmente se ha empleado el símbolo ∞ para indicar una cantidad infinita de objetos. Por ello lo usaremos y pasaremos de la suma de una cantidad finita de términos Sn
n
k1
En cálculo infinitesimal se sustituye el símbolo S∞ por lím Sn 13, que se lee “el límite de Sn cuando n se hace arbitrariamente 1 grande es 3 ”.
3 3 3 3 1 1 k 2 . . . n 1 n 10 10 10 10 3 10
a la suma de una cantidad infinita de términos: S∞
∞
k1
3 3 3 3 1 k 2 . . . n . . . 10 10 10 10 3
No todas las progresiones geométricas generan series geométricas cuya suma es finita. Por ejemplo, la progresión 2, 4, 8, . . . ,
2n, . . .
es geométrica, pero la serie geométrica correspondiente 2 4 8 . . . 2n . . . no puede tener una suma finita. Las sumas parciales se hacen más y más grandes, sin límite. Ya para estas alturas usted puede sospechar que la razón común, r, determina si se puede sumar una progresión geométrica infinita. Sucede que así es. Para ver por qué examinaremos el caso general a continuación.
234
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
Sea a1, a1r, a1r2, . . . , a1rn 1, . . . una progresión infinita. Entonces, la suma de los n primeros términos, que es la enésima suma parcial, es a1(1 rn) Sn 1r La rearreglamos en esta forma: a1 Sn (1 rn) 1 r
Con una calculadora revise las potencias de r 0.9 y r 1.1, con los decimales indicados. (0.9)1
0.9
(0.9)10
0.35
(0.9)20 0.12 (0.9)40 0.015 (0.9)80 0.0002
En este punto se aclara la importancia de r n. Si, cuando n se hace grande, r n se hace muy grande, la serie geométrica infinita no tiene suma finita. Pero si rn se acerca arbitrariamente a cero cuando n se hace grande, entonces 1 rn se acercaa a1 1 y Sn se acerca más y más a . 1 r Los valores de r para los cuales rn se acerca arbitrariamente a cero son pre3 cisamente aquellos comprendidos entre 1 y 1; esto es, r 1. Por ejemplo, , 5 1 3 , y 0.09 son valores de r para los cuales rn se acerca a cero, y 1.01, 2 y son 10 2 valores para los cuales la serie no tiene suma finita. Resumiendo, tenemos el siguiente resultado:
(0.9)100 0.00003 T se aproxima a 0 (1.1)1
1.1
(1.1)5
1.6
SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA Si r 1, entonces ∞ a1 S∞ a1r k1 . Para otros valores de r, la serie no tiene suma finita. 1 r k1
(1.1)10 2.6 (1.1)20 6.7 (1.1)50 117.4
EJEMPLO 1 Calcule la suma de la serie geométrica infinita:
(1.1)100 13780.6
1 27 3 . . . 3
T se hace muy grande 3
1
Solución Como r 27 9 y a1 27, la fórmula anterior da como resultado 27 27 1 243 S∞ 27 3 . . . 8 1 3 8 1 9 9
EJEMPLO 2 ¿Por qué la serie geométrica infinita finita?
∞
k1
53
4 k1
no tiene suma
Solución La serie no tiene suma finita porque la razón común r 43 no está entre 1 y 1.
SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS
235
∞
Otro modo de determinar a1 es 7 7 : a hacer k 1 en 10k1 1 102 7 100 También, se puede determinar r formando el cociente del segundo término entre el primer término.
EJEMPLO 3 Calcule
k1
7 10k1
7 1 1 1 7 1 7 k Solución Ya que 7 2 k 10k1 10 1 10 10 1 100 10
k1
, entonces
7 1 a1 100 y r 10 . Por consiguiente, de acuerdo con la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita, se obtiene
7 3 10 1 r 10 7 2 10
S∞
∞
k1
7
100 7 7 7 k 1 1 10 100 10 9 0 1 10
PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Determine la razón común, r, y a continuación calcule la suma, si existe, de la serie geométrica infinita dada. 1
1 64
1
1
1. 10 1 10 . . .
2.
3. 36 6 1 . . .
4. 16 4 1 . . .
∞
5.
43
k1
k1
∞
6.
k1
∞
∞
7.
i1
16 4 . . .
(1)i3i
8.
n1
3(0.01)k
100 10
9 n1
9. 101 102.01 103.0301 . . . Vimos antes cómo el decimal repetitivo infinito, 0.333 . . . se puede considerar como una serie geométrica infinita. El ejemplo que sigue muestra cómo se pueden es a cribir esas fracciones decimales en la forma racional (el cociente de dos enteros) b empleando la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita.
EJEMPLO 4 Exprese el decimal repetitivo 0.242424 . . . en forma racional. Solución Primero escriba Observe que 24 1 24 102k 102k
24 24 24 0.242424 . . . . . . 100 10,000 1,000,000
k
1 1 24 2 24 10 100
24 1 100 100
236
k1
k
24 24 24 24 2 4 6 . . . ... 10 10 10 102k
2
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
k1
24 24 1 24 1 24 1 . . . 100 100 100 100 100 100 100
...
24 1 , r y Entonces, a1 100 100 0.242424 . . .
∞
k1
24 100
1 1100
8 24 33 99 Parece como si el caballo no pudiera terminar la carrera de este modo. Pero siga leyendo para ver que en realidad no hay contradicción con esta interpretación.
k1
24 1 100 100
Compruebe este resultado dividiendo 33 entre 8.
EJEMPLO 5 Un caballo de carreras corre a la velocidad constante de 30 millas por hora, y termina en 2 minutos la carrera de una milla. Ahora suponga que la carrera se divide en las partes siguientes: antes de que el caballo pueda terminar esta carrera debe alcanzar la marca intermedia; una vez alcanzada, debe alcanzar la marca siguiente de cuarto de milla; después la siguiente de un octavo de milla, y así sucesivamente. Esto es, siempre debe recorrer la mitad de la distancia que queda antes de poder recorrer toda la distancia. Demuestre que la suma de la cantidad infinita de intervalos de tiempo también es 2 minutos.
Meta
distancia D T tiempo . velocidad R Observe que la velocidad de 30 1 millas por hora se convierte en 2 milla por minuto.
1 2 1 Solución Durante la primera 2 milla, el tiempo será 1 1 minuto; para el si 2 1 1 1 1 4 guiente 4 de milla, el tiempo será 1 2 minuto; en el siguiente 8 de milla el tiempo 2 1 1 8 1 será 1 4 de minuto, y en la enésima distancia, que es n millas el tiempo será 2 2 1 n 1 2 n 2 1 minuto. 1 2 Entonces, aquí el tiempo total está expresado por la serie siguiente: ∞
k1
1 1 1 1 1 . . . ... 2k1 2 4 2n1 SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS
237
Es una serie geométrica infinita que tiene a1 1 y r 12. Por consiguiente ∞
k1
k1
1 1 2
1 1 2 minutos 1 2
que es el mismo resultado que el anterior. Probablemente usted reconozca en el problema del ejemplo 5 una variación de la paradoja de Zenón, que se describió al inicio de esta sección. En aquel caso manejamos lo que ahora sabemos que es la serie geométrica infinita 1 1 1 1 w w w w . . . 16 2 4 8 1
w a1 1 1 2 en la que a1 w y r , la suma de esa serie es S∞ w. 1 r 2 2 1 12
Con ello hemos hallado una solución matemática de la paradoja.
EJEMPLO 6 Las dimensiones del rectángulo ABCD son 1 por 2. El rectángulo si1 guiente, PQRS, tiene dimensiones por 1. De igual modo, cada rectángulo interior tiene 2 ne la mitad de las dimensiones que el rectángulo precedente. Si esta sucesión de rectángulos continúa al infinito, ¿cuál es la suma de las áreas de todos los rectángulos? 2
B 1 A
Q
1
C R
1 2
P
S
D
1 Solución El área del rectángulo ABCD es 1 2; la del rectángulo PQRS es 1, 2 1 1 la siguiente área es , y así sucesivamente. La suma de todas las áreas es la si4 2 guiente serie geométrica infinita: 1 2 12 1 14 12 18 14 . . . 2 12 18 312 . . . 3
5
2 12 12 12 . . . Como a1 2 y r 14, la suma es igual a 2 a1 83 223 1r 1 14
238
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar estos errores INCORRECTO ∞
n1
1 k1 3
CORRECTO ∞
1 1 3
∞
n1
12 n1
∞
n1
∞
1 1 2
n1
n1
1 1 9 3
1 9 1 1 3
n1
12 n1
1
∞
n1
1 n1 3
1
1
1 1 2
∞
2 2(1.03)n1 1 1.03
n1
2(1.03)n1 no es una suma finita,
porque r 1.03 1.
EJERCICIOS 6-5 Calcule la suma, si existe, de cada serie geométrica infinita. 1 2
1. 2 1
...
2. 8 4 2 . . . 4
16
4. 1 3 9 . . .
3. 25 5 1 . . . 1 1 5. 1 . . . 2
Decida si la serie geométrica infinita tiene suma o no. Si la a1 tiene, calcúlela con la fórmula S∞ . 1r
6. 100 1
4
1 100
...
7. 1 0.1 0.01 . . . 8. 52 0.52 0.0052 . . . 1 1 9. 2 4 32 . . . 10. 729 81 9 . . .
∞
15.
∞
n1
∞
12.
n1
∞
13.
∞
n1
1
∞
17.
n1
1 1 1 3
3 3(1.02)n 1 1 1.02
∞
18.
k1
19.
20.
2(0.1)k 1
22.
∞
n1
n1
∞
21.
∞
∞
k1
k1
1 2
k1
3 2
k1
1 10
∞
∞
24.
n1
25.
1 2n 1
k1
k1
23.
n1
1 2n 2
k
1 3
k1
k1
1 3
∞
1 1 2
1 1 ( 1)n 1 1 ( 1) 2
1 3
n1
14.
n1
12
∞
16.
k1
Explique cuál es el error en cada una de las ecuaciones. 11.
k1
1 3
(0.7)k 1
n2
1 3
n1
∞
26.
5(0.7)k
k1
SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS
239
∞
∞
27.
5(1.01)k
k1
∞
k1
∞
31.
k1
k1
∞
103
30.
(0.45)k 1
32.
2
29.
∞
( 0.9)k 1
k1
n1
∞
3 7 4
∞
34.
n1
∞
( 1)k
k1
k1
33.
k4
1 10
28.
(0.1)2k
k1
2k
2 5
35.
k1
Determine una forma racional de cada uno de los siguientes decimales repetitivos, de modo semejante al del ejemplo 4 de esta sección. Compruebe sus respuestas. 36. 0.444 . . .
37. 0.777 . . .
38. 7.777 . . .
39. 0.131313 . . .
40. 13.131313 . . .
41. 0.0131313 . . .
42. 0.050505 . . .
43. 0.999 . . .
48. Después de ponerse en movimiento, cada oscilación de un péndulo, en cualquier dirección, es 40% de lo que recorre en la oscilación anterior. ¿Cuál es la distancia total que el extremo del péndulo recorre hasta que se detiene, si la primera oscilación mide 30 pulgadas? 49. Suponga que un caballo de carreras tarda 1 minuto en re1 correr la primera milla de una carrera de 1 milla. Des2 pués de ello, la velocidad del caballo varía: en el siguiente 1 2 1 de milla tarda de minuto, en el siguiente de milla 4 5 8 4 40 1 tarda de minuto, en el siguiente de milla tarda 9 81 16 minutos, y así sucesivamente, de tal modo que los intervalos de tiempo forman una progresión geométrica. ¿Por qué el caballo no podrá terminar la carrera? 50. a) ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 8 unidades. PQRS es un cuadrado cuyos lados tienen la mitad de la longitud de los del cuadrado ABCD. El cuadrado siguiente tiene sus lados con la mitad de la longitud de los del cuadrado PQRS. De igual forma, cada cuadrado interior tiene sus lados igual a la mitad de la longitud de los del cuadrado anterior. Si se continúa sin límite esta sucesión de cuadrados, ¿cuál es la suma de las áreas de los cuadrados de la progresión? b) ¿Cuál es la suma de todos los perímetros? 8
B
44. 0.125125125 . . . 45. Suponga que un pura sangre debe correr una milla, que se divide en una cantidad infinita de partes; esas partes siem2 pre se obtienen definiendo el intervalo como 3 de la distancia por recorrer. Entonces, las longitudes de esas partes forman la sucesión
Q
2 2 2 2 , , , . . . , , ... 3n 3 9 27
P
a) Determine la progresión de tiempo que corrresponde a 1 esas distancias. Suponga que el caballo corre a 2 milla por minuto. b) Demuestre que la suma de los tiempos en la parte (a) es 2 minutos. 1
46. Una pelota siempre rebota 3 de la altura desde la que cae. Si se deja caer desde una altura de 9 pies, ¿qué distancia recorre hasta que se para? (Revise, al principio de la sección 6-4, un caso semejante).
R
8
A
S D
51. ABC es un triángulo rectángulo isósceles con su ángulo recto en C. P1 es el punto medio de la hipotenusa AB, y por ello CP1 divide al triángulo ABC en dos triángulos congruentes. P2 es el punto medio de BC, y por consiguiente P1P2 divide al triángulo CBP1 en dos triángulos congruentes. Este proceso continúa sin fin.
47. Una sustancia que pesa, inicialmente, 64 gramos, se desintegra con una rapidez tal que después de 4 horas sólo quedan 32 gramos. En otras 2 horas sólo quedan 16 gramos; 1 hora después sólo quedan 8 gramos, y así sucesivamente; los intervalos de tiempo y las cantidades que quedan forman progresiones geométricas. ¿Cuánto tiempo pasa en total hasta que no queda nada de la sustancia?
240
C
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
a) Si AC CB 4, ¿cuál espera que sea la suma del área de los triángulos identificados con 1, 2, 3. . . ? b) Compruebe el resultado de la parte (a) con una serie geométrica infinita. c) Calcule la suma del área de los triángulos identificados con números impares, y también la de los triángulos identificados con números pares. ¿Cuál es la suma de esas dos sumas?
B
B P5 5 6 P4 4
P3 P1
P1
3
P2 2
54. Una pelota se suelta en un carril semicircular donde recorre 8 pies e invierte su dirección. Recorre 6 pies y se regresa. Estos movimientos con regresos continúan indefinidamente de tal modo que las distancias recorridas forman una progresión geométrica infinita. Calcule la distancia total recorrida hasta llegar al reposo.
1
A
C
A
C
52. El círculo mayor tiene radio A1B 1. El siguiente círculo 1 1 tiene radio A2B 2 A1B; el siguiente, A3B 2 AB, y así sucesivamente. Si los círculos continúan de este modo, sin fin, ¿cuál es la suma de todas sus áreas?
A1
A2 A3
B
53. El triángulo AB1C1 tiene un ángulo recto en C1. AC1 9, y B1C1 3. Los puntos C2, C3, C4, . . . se ubican de tal mo2 2 do que AC2 3 AC1, AC3 3 AC2, y así sucesivamente. Calcule la suma de las áreas de todos los triángulos rectángulos identificados con ABkCk, para k 1, 2, 3, . . . B1 B2 B3 B5 A
B4
C5 C4
RETO
C3
C2
C1
55. a) Suponga que tiene $2000 en una cuenta de ahorros y gasta 60% en diversos productos. A continuación, suponga que los dueños de los almacenes donde compró esos productos gastan también el 60% de lo que les pagó, en sus propias compras. Si este proceso continúa al infinito, la cantidad total gastada forma una serie geométrica infinita cuyo primer término es 1200. Calcule el gasto total por concepto de compras. b) Suponga que en cada etapa de la parte (a) la cantidad sin gastar se deposita en cuentas de ahorro. Por medio de una serie geométrica infinita, cuyo primer término es 800, calcule los ahorros totales. 56. En cálculo infinitesimal se demuestra que el nímero e 2.718281 . . . está expresado por la serie infinita e 1 1 1 1 1 . . . . . . en donde k! k(k 1) 2! 3! k! (k 2) . . . 3 2 1. Calcule e, aproximadamente, sumando los seis primeros términos de la serie y compare su resultado con la forma decimal de e.
1 1 1 Con la identidad , calcule la suma k(k1) (k1) k Sugerencia: Revise la suma parcial Sn mente).
EJERCICIOS PARA CALCULADORA GRAFICADORA
n
k1
∞
k1
1 . k(k 1)
1 cuando n crece arbitrariak(k 1)
1. La suma de una progresión geométrica infinita cuyo primer término es igual a 1 y su razón común igual a x se puede escribir 1 x x2 x3 . . . 1/(1 x) SECCIÓN 6-1 LOS NÚMEROS REALES
241
siempre que x 1. (A esto se le llama representación de 1/(1 x) como serie de potencias). Grafique las funciones f(x) 1/(1 x), 1 x, 1 x x2 y 1 x x2 x3 en el mismo conjunto de ejes coordenados en 1 x 2. ¿Qué nota cuando se agregan más términos a la serie? 2. Agregue tres términos más a la serie del ejercicio 1. Al agregar cada término nuevo, ¿se confirma su observación de ese ejercicio? 3. Repita los ejercicios 1 y 2 con la serie 1 x x2 x3 . . . y con la función f(x) 1/(1 x) en 2 x 1. 4. Determine una aproximación de cuatro términos de serie de potencias, de la función 1/(1 2x), y confirme su estimado graficándola. ¿Para qué valores de x cree el lector que es válida la representación correspondiente en series de potencias, de 1/(1 2x)?
RAZONAMIENTO CRÍTICO
1. ¿Qué es mayor, la suma de las n primeras potencias de 2, comenzando con 20, o el único término 2n? Justifique su respuesta. 2n
2. Observe que
2n
[2k 1 (2)k 1]
k1
2k 1
k1
2n
(2)k 1. Por con-
k1
siguiente, la serie de la izquierda se puede evaluar calculando cada una de las de la derecha y sumando los resultados. Haga estos cálculos y con lo obtenido n
demuestre que la serie de la izquierda se puede escribir en la forma
a1rk 1.
k1
3. Para toda x tal que x 1,
∞
xk 1 es una serie geométrica infinita cuya
k1
suma es finita. Por consiguiente, podemos definir la función f mediante f(x) ∞
k1
xk 1 para x 1. Trace la gráfica de esa función. ∞
4. Diga si la serie
k1
3k 1 es geométrica con razón r, siendo 1 r 1. Si lo es, 5k 1
calcule la suma. Si no lo es, dé una explicación de por qué no lo es. 5. ¿Para qué valores de x la serie geométrica Calcule la suma para esas x.
∞
(3x 4)k 1 tiene suma finita?
k1
6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Observe estas igualdades y determine un comportamiento 1 12 1 3 22 1 3 5 32 1 3 5 7 42 1 3 5 7 9 52
242
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
¿Nota usted el comportamiento? La última igualdad muestra que la suma de los primeros cinco enteros impares positivos es 52. ¿Qué hay acerca de la suma de los seis primeros enteros impares? La pauta es la misma: 1 3 5 7 9 11 62 Parece razonable aventurar que la suma de los n primeros enteros positivos es n2; esto es, 1 3 5 (2n 1) n2 Pero una apreciación no es una demostración. En esta sección nuestro objetivo es aprender cómo demostrar una afirmación que implica a una cantidad infinita de casos. Llamemos Sn a la enésima igualdad de las anteriores. Así, S1, S2, S3, S4, S5 y S6 son los seis primeros casos de Sn de los que conocemos se cumple el comportamiento. ¿Permiten los seis primeros casos llegar a la conclusión que Sn es válida para todos los enteros positivos n? ¡No! No podemos suponer que unos pocos casos especiales garanticen lo que sucede en una cantidad infinita de casos. Si permitiéramos “demostrar mediante un número finito de casos”, podríamos decir que lo que sigue es una “demostración” de que los enteros positivos pares son menores que 100. El primer entero positivo par es 2, y sabemos que 2 100. El segundo es 4, y sabemos que 4 100. El tercero es 6, y 6 100. Por consiguiente, como 2n 100 para un número finito de casos, podríamos llegar a la conclusión que 2n 100 para toda n. Este resultado erróneo nos debe convencer de que al tratar de demostrar un conjunto de afirmaciones, Sn, para todos los enteros positivos n 1, 2, 3, . . . necesitamos hacer más que tan sólo comprobarlas con una cantidad finita de casos. Necesitamos recurrir a un tipo de demostración que se conoce como inducción matemática. Supongamos que hay una fila larga (infinita) de fichas de dominó, cada una de 5 cm de longitud, paradas y formadas de tal modo que la distancia entre dos de ellas sea 4 cm. ¿Cómo se podría hacer caer a todas ellas con el menor esfuerzo?
La respuesta es sencilla. Empuje la primera ficha para que caiga sobre la segunda. Como la primera cae y el espacio entre dos de ellas cualesquiera es menor que la longitud de una ficha, todas ellas finalmente, caerán. La primera hace caer a la segunda, la segunda a la tercera y, en general, la késima ficha hace caer a la (k 1)ésima. En esta “reacción en cadena” tenemos dos cosas aseguradas: 1. La primera ficha caerá. 2. Si cae cualquier ficha, también caerá la siguiente. SECCIÓN 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
243
Estas dos condiciones son los lineamientos que se emplean en el principio de inducción matemática. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea Sk una afirmación para todo entero positivo n. Supongamos que se cumplen las dos condiciones siguientes: La condición 1 inicia la “reacción en cadena” y la condición 2 la mantiene activa.
1. Sk es cierta. 2. Si Sk es cierta, entonces Sk 1 es cierta siendo k cualquier entero positivo. Entonces, Sk es afirmación cierta, o válida para todo entero positivo n. Observe que no estamos demostrando este principio; es un principio básico que aceptaremos y usaremos para elaborar demostraciones. Es muy importante darse cuenta que en la condición 2 no estamos demostrando que Sk sea cierta; más bien debemos demostrar esta proposición: Si Sk es cierta, entonces Sk 1 es cierta.
Al iniciar esta sección aventuramos la fórmula de la suma de los n primeros enteros impares. Ahora demostraremos esa fórmula con inducción matemática, en el ejemplo 1.
En consecuencia, una demostración mediante inducción matemática incluye una demostración de que la proposición que Sk implica a Sk 1; es una demostración dentro de otra demostración. Dentro de esa demostración interna podemos suponer Sk y usarla.
EJEMPLO 1 Demuestre, mediante inducción matemática, que Sn es cierta para todos los enteros positivos n, estando Sn definida por 1 3 5 (2n 1) n2 La cadena comienza al demostrar Sk. Ha caído la primera ficha. Suponemos que Sk es cierta para ver que efecto tiene sobre el siguiente caso Sk 1. Podemos comparar lo anterior cuando vemos lo que sucede cuando cae la késima ficha de dominó.
DEMOSTRACIÓN Deben quedar satisfechas las condiciones 1 y 2 del principio de inducción matemática. Comenzaremos con la primera. 1. S1 es cierta, porque 1 12. 2. Supongamos que Sk es cierta, siendo k un entero positivo. Esto es, suponemos que 1 3 5 (2k 1) k2 Deseamos demostrar que Sk 1, es consecuencia de esta ecuación. Para hacerlo, vemos que el siguiente número impar después de 2k 1 es 2(k 1) 1 2k 1, que sumamos a la ecuación anterior: 1 3 5 (2k 1)
k2
2k 1 2k 1 1 3 5 (2k 1) (2k 1) k2 2k 1 Ahora factoricemos k2 2k 1: 1 3 5 (2k 1) (2k 1) (k 1)2 Esta es la afirmación Sk 1. Por consiguiente hemos demostrado que si se conoce Sk, entonces Sk 1 será consecuencia de Sk. Esto, junto con el hecho que S1 es cierta, nos
244
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
permite decir que Sn es cierta para toda n, de acuerdo con el principio de inducción matemática.
EJEMPLO 2 Demuestre que la suma de los cuadrados de los n primeros enteros pon(n 1)(2n 1) sitivos es . 6 DEMOSTRACIÓN Sea Sn la afirmación
n(n 1)(2n 1) 12 22 32 n2 6
(suma de los n primeros cuadrados) para todo entero positivo n, 1(11)(211) 1. S1 es cierta porque 12 6 2. Supongamos que Sk es cierta para k. Esto es, suponemos que k(k1)(2k1) 12 22 32 k2 6 Debemos demostrar que Sk 1 es consecuencia de esto. Para hacerlo, sumamos el siguiente cuadrado, (k 1)2, a los dos lados. (A)
k(k1)(2k1) 12 22 32 k2 (k 1)2 (k 1)2 6
Combinamos el lado derecho. k(k1)(2k1)6(k1)2 k(k1)(2k1) (k 1)2 6 6 (k1)[k(2k1)6(k1)] 6 (k1)(2k27k6) 6 (k1)(k2)(k3) 6 Sustituimos en la ecuación (A). (k1)(k2)(2k3) 12 22 32 (k 1)2 6 Observe que los primeros k 1 cuadrados a la izquierda se suman, y en la derecha tenemos la forma requerida en términos de k 1.
Para ver que esto es igual a Sk 1, reformulamos el lado derecho: (k1)[(k1)1][2(k1)1] 12 22 32 (k 1)2 6 Se han satisfecho las dos condiciones del principio de inducción matemática, y en consecuencia n(n1)(2n1) 12 22 32 n2 6 es cierta para todos los enteros n 1. SECCIÓN 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
245
En los ejemplos 1 y 2 vimos ecuaciones que se confirmaron mediante la inducción matemática. Sin embargo, este principio también se emplea en otros casos matemáticos. En el ejemplo que sigue demostraremos su aplicación cuando interviene una desigualdad. Observe también que en el ejemplo 3 la demostración comienza confirmando S2, y no S1. Esto es un uso aceptable del principio de inducción, siempre que también confirmemos la parte (2). De hecho, si reemplazamos S1 en una demostración por inducción por Sa, en donde a es cualquier entero positivo fijo, y la parte (2) demuestra que Sk implica a Sk 1 para toda k a, entonces Sn es válida para toda n a.
Compruebe algunos casos específicos. Con una calculadora verifique los siguientes: (1.02)2 1 2(0.02) (1.001)2 1 2(0.001)
EJEMPLO 3 Sea t 0; demuestre, con inducción matemática, que (1 t)n 1 nt para todo entero positivo n 2. DEMOSTRACIÓN Sea Sn la afirmación (1 t)n 1 nt, donde t 0 y n cualquier entero tal que n 2. 1. Cuando n 2, (1 t)2 1 2t t2. Como t2 0, obtenemos
(1.00054)2 1 2(0.00054)
1 2t t2 1 2t porque (1 2t t2) (1 2t) t2 0.
En este caso nuestro objetivo es demostrar que (1 t)k 1 1 (k 1)t.
a b quiere decir que a b 0.
2. Suponga que para k 2 se cumple (1 t)k 1 kt. Multiplicamos ambos lados por el número positivo (1 t) (1 t)k(1 t) (1 kt)(1 t) Entonces
(1 t)k 1 1 (k 1)t kt2
Pero 1 (k 1)t kt2 1 (k 1)t. Por consiguiente, por la transitividad de la desigualdad , (1 t)k 1 1 (k 1)t De acuerdo con (1) y (2) anteriores, el principio de inducción matemática implica que (1 t)n 1 nt para todos los enteros n 2.
EJERCICIOS 6-6 6. 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n(n 1)(n 2) 3 1 1 1 1 n 7. 12 23 34 n(n 1) n1 3n 1 3 8. 3 32 33 3n 2
Demuestre, mediante inducción matemática, las siguientes ecuaciones para todo entero positivo n. n(n 1) 1. 1 2 3 n 2 2. 2 4 6 2n n(n 1) n
3.
k1
3n(n 1) 3t 2
n(3n 1) 4. 1 4 7 (3n 2) 2 5.
5 3
246
n(11 n) 43 1 13 n 2 6
9. 2 4 6 2n n n2 1 1 1 1 21 n 10. 1 n 2 2 2n 1 2 11. 1 25 245 25
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
n1
53 1 25
n
12. 1 13
1 9
13
n1
34 1 13
n
n2(n 1)2 13. 13 23 33 n3 4 14. ¿Cuáles de los ejercicios anteriores (1 al 13) se pueden demostrar también con la fórmula de la suma de una progresión aritmética? ¿Cuáles se pueden demostrar con la fórmula de la suma de una progresión geométrica?
b) ¿Cómo expresa el resultado la factorización de la diferencia de dos enésimas potencias? 26. Sea un la sucesión tal que u1 1, u2 1 y un 1 un 1 un para n 2. (Es la sucesión de Fibonacci, vea el ejercicio 38, página 216.) Con inducción matemática demuestre que n
para todo entero positivo u,
i1
u1 un 2 1.
27. a) Complete las igualdades Haga uso de la inducción matemática para demostrar la ecuación, para todos los enteros positivos n 1. n
15.
k1
n
16.
k1
a(1 rn) ar 1 , r 1 1r
1234321 123454321
b) Use los resultados de la parte (a) para adivinar la suma en el caso general.
17. Demuestre, con inducción matemática, que 2n 4n para n 5.
18. Demuestre, con inducción matemática, que 34 34 para n 2. n
19. Emplee inducción matemática para demostrar que an 1, donde 0 a 1, para n 1. 20. Sea 0 a 1. Demuestre, con inducción matemática, que an a para todos los enteros n 2. 21. Sean a y b números reales. Emplee inducción matemática para demostrar que (ab)n anbn para todos los enteros positivos n. 22. Demuestre, con inducción matemática, que la propiedad distributiva generalizada a(b0 b1 bn) ab0 ab1 abn para todos los enteros positivos n, donde a1 y b1 son números reales. (Suponga que los paréntesis se pueden intercalar o sacar de una suma indicada de números reales). 23. Presente una demostración inductiva de a0 a1 an a0a1 an para todos los enteros positivos n, en donde a1 son números reales. 24. Emplee inducción para demostrar que si a0 a1 . . . an 0, cuando menos uno de los factores es cero, para todos los enteros positivos n. Suponga que se pueden intercalar o sacar paréntesis en o de un producto indicado de números reales. an bn 25. a) Demuestre, por inducción, que an 1 an 2 ab b . . . abn 2 bn 1 para todos los enteros n 2.
b a aabb Sugerencia: Considere ab ab ana bna bna bnb ab
121 12321
n [a (i 1)d] [2a (n 1)d] 2
n1
1
n1
n
n
1 2 3 (n 1) n (n 1) 321 c) Demuestre la parte (b) por inducción matemática. 28. a) La columna de la izquierda contiene varios puntos en el plano, sin que haya tres de ellos que sean colineales. La columna de la derecha contiene la cantidad de líneas distintas que quedan determinadas por los puntos. Complete esa información para los tres últimos casos. Cantidad de puntos
Cantidad de líneas
2
1
3
3
4
5
6
4(3) b) Observe que cuando hay 4 puntos, hay 6 líneas. 2 Escriba ecuaciones semejantes cuando hay 2, 3, 5 o 6 puntos. c) Adivine cuántas líneas hay para n puntos, sin que haya tres de ellos colineales. Demuestre la conjetura mediante inducción matemática. 29. Demuestre mediante inducción matemática, que 7n 1 es divisible entre 6, cuando n 1. (Sugerencia: Un número divisible entre 6 se puede escribir como 6b, si es entero). 30. Demuestre mediante inducción matemática, que 7n 4 es divisible entre 3, cuando n 1. (Sugerencia: Un número divisible entre 3 se puede escribir como 3b, si es entero). SECCIÓN 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
247
En el ejercicio 29 se le pidió demostrar que 7n 1 es divisible entre 6 cuando n 1. Demuestre este resultado sin recurrir a la inducción matemática.
RETO REDACCIÓN
En sus propias palabras, explique por qué son esenciales las dos partes del principio de inducción matemática.
EJERCICIOS DE REPASO Sección 6-1 Sucesiones
Evalúe: 4
1. Enuncie la definición de una sucesión. ¿Qué quiere decir que una sucesión sea infinita?
15.
2. El dominio de una sucesión consiste en los enteros 1, 2, 3, 4 y 5. Escriba los valores correspondientes del rango cuando an 3n 2.
16.
3. Escriba los siete primeros términos de la sucesión expre1 a sada por 1 . Redondee a tres decimales cuando sea n necesario y calcule las diferencias an an 1 cuando n 2, 3, . . . , 7. Escriba los cinco primeros términos de cada sucesión. 4. an 3n ( 2 5. bk k(k 2)
1)n
(3k 1)
k1
5
(n2 n)
n1
17. Exprese la serie 4 8 12 16 20 24 con notación de sumatoria. Sección 6-3 Progresiones aritméticas 18. Enuncie la definición de una progresión aritmética. 19. ¿Cuál es el enésimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya diferencia común es d? 20. Determine el enésimo término de la progresión aritmética 10, 3, 4, . . .
1 n2 6. an 2
21. El primer término de una progresión aritmética es 12, y el quinto es 8. Calcule el vigésimo término.
(2)n 7. an n(n 1)
22. Enuncie la fórmula de la suma de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya razón común es d.
4 8. Calcule el décimo término de la sucesión 2, 1, , . . . , 5 n1 , . . . 2n 1 9. Sea an el enésimo término de una sucesión, definida por a1 5 y an 2an 1 para n 1. Calcule los cinco primeros términos de esta sucesión. 10. Escriba las cinco primeras potencias de 3 y deduzca la fórmula para el enésimo término. Sección 6-2 Sumas de sucesiones finitas n
11. Explique el significado del símbolo
ai .
i1
Calcule la suma de los seis primeros términos: 13. ak (1)k(k 1) 5
n1
248
24. Calcule la suma de los 1000 primeros términos de la progresión aritmética que comienza con 257, 269, 281, . . . 40
25. Evalúe: a)
(3k 5)
k1
1 3 k 5 40
b)
k1
26. Calcule la suma de todos los múltiplos de 5 entre 9 y 297. 27. ¿Qué quiere decir la media aritmética de dos números a1 y a2? 28. Intercale cuatro medias aritméticas entre 8 y 43. Sección 6-4 Progresiones geométricas 29. ¿Qué quiere decir una progresión geométrica?
12. an 5n
14. Calcule
23. Calcule S30 de la progresión aritmética cuyo primer término es a1 5 y cuya diferencia común es d 3.
n bn donde bn 2n 1
30. ¿Cuál es el enésimo término de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón común es r? 31. ¿Cuál es el centésimo término de la progresión geométrica 1 1 que tiene r y a1 ? 3 3
CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS
Evalúe, de ser posible.
16 Se tiene la progresión geométrica 12, 8, , . . . 3 32. Determine el enésimo término.
46.
k1
33. Calcule el octavo término. 34. Escriba el késimo término de la progresión geométrica 1 3k ak en la forma a1rk 1 y calcule el valor de a1 y r. 3 9 35. Una progresión geométrica tiene a1 36 y a5 . Calcu4 le r. n
36. Escriba una fórmula para
a1rk 1.
k1
7
37. Evalúe: a)
k1
1 210
∞
k1
7
b)
k1
1 210
k1
47.
5 10k 1
∞
(1)i 5i
i1
48. Exprese en forma a/b al decimal repetitivo 0.727272 . . . . a donde son números enteros. b 49. Al ponerlo en movimiento, cada oscilación en cualquier dirección de un péndulo tiene el 60% del recorrido de la oscilación previa. ¿Cuál es la distancia total que el extremo del péndulo recorre hasta llegar al reposo, si la primera oscilación tiene una trayectoria de 40 pulgadas?
38. Un rollo con 800 pies de alambre se corta repetidamente, y cada vez se le quita la cuarta parte de la longitud que le queda. ¿Cuál es el término general de la sucesión que expresa la longitud de alambre que queda? Calcule la longitud que queda después de 8 cortes.
Sección 6-6 Inducción matemática
39. ¿Cuáles son las medias geométricas entre dos números a y b?
Demuestre, con inducción matemática, que la ecuación es cierta para todo entero positivo n. 3 51. 3 6 9 3n n(n 1) 2 52. 3 6 12 3 2n 1 3(2n 1) 1 1 1 1 53. 13 35 57 (2n 1)(2n 1) n 2n 1 1 1 1 3 1 1 n 54. 1 2 3 3 3n 1 2 3 55. Emplee inducción matemática para demostrar que 3n 27n para todo entero n 5.
40. Intercale tres medias geométricas entre 6 y 96. Sección 6-5 Series geométricas infinitas 41. ¿Cuál es la enésima suma parcial de una progresión geométrica infinita? Cite un ejemplo específico. 42. Escriba la fórmula para calcular la suma de una progresión geométrica infinita y cite las condiciones de la razón común r. Calcule la suma de las series geométricas infinitas: 43. 36 24 16 . . . 44. 48 12 3 . . . 45. Explique por qué la serie geométrica infinita no tiene suma finita.
∞
k1
5 23
50. Para demostrar una aseveración Sn es cierta para todo entero positivo n, ¿que condiciones debe satisfacer, de acuerdo con el principio de la inducción matemática?
56. Emplee inducción matemática para demostrar que n2 3n es entero par, si n es cualquier entero positivo. (Recuerde que un entero positivo, b, es par, si b 2k para algún entero k).
k1
EJERCICIOS DE REPASO
249
Respuestas a los ejercicios 3. 10
CAPÍTULO 1
13.
Ejercicios 1-1
33. (3y 2)/6x
c. Falso; 2(5 4y) 10 8y
17. 45/32x2 27. 16 t 3/9
25. 4t
39. (x2z xy2 yz2)/xyz
e. Falso; 5x (2 3x) 5x 2 3x 8x 2
43. (x2 x 4)/6x
f. Falso; 5 2x 3x, 5 2x no puede simplificarse.
49. 10/27
g. Falso, 3(x 2y) 3x 6y
57. 40a/87b
19. 45/2x 29. 1/6
21. x/y
31. 3/2x
37. (9y 5x)/30x2
35. 7a/18b
d. Falso; (x y) x y
11. 335
9. 10x2/3
7. 35x/36
15. 10/3y
23. y/6x
b. Falso; (3x)(4y) 12x2
1. a Cierto
9 25
2 7
5.
41. (x2 12y2)/3y
45. (x2 4)/12
47. 1/2
53. 19x/44y
55. 23a/31b
51. 5/2
h. Falso; (a)(b)(c) (d) abc d i. Cierto
m. Falso; únicamente verdadero si x 0.
l. Cierto 3. 4
5. 21
13. 10
k. Falso, (x)(y) xy
j. Cierto
7. 3
17. 3x 6y
15. 12
21. x 6
23. 3x 12
29. 6x 2y
31. 3x 4z
35. 43 22y 41. 6a 47. 1
37. xyz
2a2
43.
49. x 2y
57. 3/2 1/2x
11. 30
9. 7
2x2
19. 4x 2y
25. 2x 4
27. xy 6x
33. 5x 3y
8x
45.
51. 8x 4
4x 2 55. 1 2/x
53. 0
59. 1/y 1/x
11. 9/x5
13. 32/x
17. x4/y2
19. x2y
21. 16
25. x7
27. x2
33. 1/x8y5 41. x6 2x3
39. 4b/a11
51.
57. 3x4/8y2
47. 2x/(x 2)
53. (9y2 4x2)/30x3y
15/4x2
3. 2/3
1. 10/3 b. Falso; x/3 x/4 7x/12
13. 3
15. 1/27
25. 1/18 35. x4/7y1/5
e. Cierto
f. Falso; (a/b) [(c/d) (e/f )] ade/bcf g. Falso; 1/a 1/b (b a)/ab h. Falso; x/(x y) 1/(1 yx1) i. Falso; (67)(89) (6 8)/(7 9) 4683
23. 36 729
45. 2x6 x5 3x2
49. 1/(x y) 55. 5x2/6
15. x10y7z3
31. x9
29. 1
37. 3
7. y7
59. 6/y2
61. (x2 1)/x2
Ejercicios 1-4
c. Falso; a/b c/d (ad bc)/bd d. Cierto
5. x10
3. a21
9. 1/a2
43. 2x6 6
Ejercicios 1-2 1. a. Cierto
1. 210 1024
35. 8y2
39. 2x2 6x x2
Ejercicios 1-3
j. Cierto
43. 22 53. 1
27.
5. 1/8 17. 2.5
8x3
29.
37. p4q8 45. 147 55.
7. 9
9. 5/4
11. 2
19. 4
21. 2/3
23. 4
2x/y2
31. 2x
39. 6x11/6/y7/20 47. 25
33. x 3
41. 115
49. a5/6
51. 1
33n
57. a. Falso b. Cierto f. Falso g. Falso k. Cierto
c. Cierto h. Falso
d. Cierto e. Falso i. Falso j. Falso
251
67. (x y 1)(x y 2) (Sugerencia: Haga x y u).
Ejercicios 1-5 3. 5a 3b
1. 3a 10b 6 5.
t3
9. 14x 22y 13.
2x3
21.
x2
3xy2
19. 3a2 2a 8 23.
35. y2 12y 36
16
25.
2xy3
25x2
37. 4x2 12xy 9y2
47. 2a3 8a
45.
41. 8x2 18y2 3x2
55. 4x 2y
135x 90
49. 2x2 3x/2
4 5 51. x 7 2 x x
53. t3/2 2t 7/t 2 59. t 1 t1
57. x 3
3 63. x2 2x 3 2x 1
3 61. x2 1 x2
Ejercicios 1-6 1. 3(a 2b)
Ejercicios 1-7 1. 2
(5x 7) 5. (x 2)
3. x 2
3 4x 3x2 9. x2 1
2(x2 x 3) 7. (x 2)(2x 1)
2x 11. (2x 1)(x 1)
2 13. (x 1)(x 2)(x 3)
x2 3 15. (x 1)2 (x 3)
10 4x 2x2 17. (x 3)(x 1)(x 1)
l9. (x 1)(x 2)
2 21. 3(x 1)
(x 2)(2x 1) 23. (x 2)(2x 1)
(x 1)(2x 1) 29. (x 1)2
x2 1 31. x2
25. 3
(x 1)(x 2) 33. (x 2)(x 5)
9. (3 p)(x y)
3 7 41. 2
1 43. (5 10 3 6) 2
15. 3(t 6a)(t 6a)
3 3 45. 2
x y 47. xy
17. xy(x 5y)(x 5y)
19. (x 1)(x 2)
21. (x 2)(x 1)
23. (x 2)(x 1)
25. (x 6)(x 9)
27. (x 11)(x 1)
29. 2(x 2)(x 3)
31. 5y2(y 7)(y 2)
33. (2x 3)(x 1)
35. (2x
37. (x 3)(5x 2)
39. (5x 2)(2x 3)
41. (q 4)(3q 8)
43. 2xy(x 1)(3x 5)
45. (x y)(x 5y)
47. (p 5q)(p 4q)
49. (2t 3u)(t 2u)
3)2
51. (2a 3b)(3a 5b)
53. (x 3)(x2 3x 9)
55. (3u 2)(9u2 6u 42)
57. xy2(4x 3y)(16x2 12xy 9y2) 59. (x 3)(x 3)(y 2)(y 2)
1 39. x(x h)
51. (2/3)(x 3 2x)
49. x 2 2
53. 11/(5 3)
h x) 55. 1/(x
Ejercicios de repaso del capítulo 1 1. a. Falso; ambn no puede simplificarse por leyes de exponentes. b. Falso; am bm (a b)m. Por ejemplo, (a b)2 a2 2ab b2 y no a2 b2. c. Verdadero
d. Falso; (a b)2 a2 2ab b2
e. Falso; 2(a b) 2a 2b
f. Falso;
b a b. Por ejemplo, si a 25, g. Falso; a b 9, entonces a b 25 9 4 y a b 5 3 2; es claro que 4 2.
61. (x 2)(x 2)(x2 z2)
h. Falso; (a 2b)/a 1 2b/a
63. (x y)(x2 y2)
j. Falso; (1/a) (1/b) (b a)/ab
252
2 27. x 1
(x2 y2) 37. (x y)2
5. (2 a)(u )
11. 2(3x 2y)(z 4) 13. (x 4)(x 4)
79. (x y)(x4 x3y x2y2 xy3 y4)
(x y)2 35. xy
3. 2y(2x 3z)
7. (x 2)(y 4)
75. (3x 2)(3x 2) 77. (x2 2y2 2xy)(x2 2y2 2xy)
4t2
33. x5 2x3 x2 2
39. 2x2 2x6y 3y 43.
x2
29. x2 y2 2xy z2
31. x5 x3 2x2 2
2x3y
73. (x 2y)(x 2y)(x2 2y2 2xy)(x2 2y2 2xy) 15. xy 2x 3y 6
y3
8x 21
27. x 9y
71. (xn 2)(3xn 1) (Sugerencia: Haga xn u).
11. 9x 3y
2x2y
17. 6xy 8x 3y 4 2x3
69. (3a 3b 2)(a b 1)
7. x 32y
3t 5
12t2
65. 5x(x y)3(3x 2y)3
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
i. Verdadero
a/b a 1 k. Falso; c b c
l. Falso; (2a)5 25a5 32a5
m. Verdadero
n. Verdadero
p. Verdadero
q. Verdadero
o. Verdadero
3a11 5. 8b7
11. 6x11/16/y7/20 3 2x2 15. x2 1
7. (27/2)x13y6
9. 1/x
13. x2ab2bc 4x2 15x 1 17. (x 1)2(x 3)(x 2)
(x 2)(y 2) 19. (x 3)(y 3)
(a b)(x 3) 21. (a b)(x 3)
(a 2)(a 1)(a 3) 23. a 27. (3x 5)(2x 3)
1. 2, 3 3. 2, 7 5. 2 9. 1, 1 11. 0, 8 13. 16, 14 17. 12, 23
r. Falso; un número racional puede expresarse como un decimal que se trunca o que se repite. 3. 3/210
Ejercicios 2-3
29. 52
29. (x 1)(x 2)
3 41 25. 4
5 10 31. 5
3 13 37. 2
41. 1 5
9 17 43. 4
49. 4, 43
5 11 61. (no es una solución real) 6
37. 3(a 3)(a 1)
u u2 2gs 69. t g
75. a. x y 4 y2 1
Ejercicios 2-1 1. Sí 7. No
3. No 9. No
5. 2 es solución y 5 no 11. 10x2 x 7 0; grado 2
13. y 6 0; grado 1 21.
17 3
31. 2
23. 1 33. 3
35.
43. a. x ty/(y t)
17. 2
15. 1
25. 10
41. a. x (cz by)/a
4 3
27. 179 37. 2
19. 4 29. 1530
39. 1
b. b (cz ax)/y b. t xy/(x y)
7. 18
5. x 1
11. 25 años
1 2
x 4 x2 3 b. y 3
1. 4, 11
3. 12 y 11 o bien 11 y 12
5. 5 y 12 cm
7. 4 y 6 pulg
9. 3 pulg
11. a. 4, 1 segundo
b. 5 segundos
13. $50
17. $195
15. 5%
19. (38 221) dólares
c. 100 pies
21. 4% y 8% b. $300 d. $325
1. a. Verdadero; con tal de que la constante sea distinta de cero. b. Cierto, a condición de que la expresión esté bien definida para todos los valores de x.
15. $52,000 a 8% y $8000 a 10.5% 17. $3000 a 10% y $5000 a 8%
27. 2:1
73.
Ejercicios de repaso del capítulo 2
13. 10 dieces y 5 de 25¢
19. $2.50
67. 1, 1/8 (Haga x1/3 u).
25. $5 o $7; $8 o $6
3. 2 x/2 9. 15
57. 5, 12
Ejercicios 2-4
23. a. 50 o 70 unidades c. 46 o 60 unidades
Ejercicios 2-2 1. x 4
65. 2, 2
H 2 H2 2 A 71. R 2
CAPÍTULO 2
11
3 17 59. 4
35. (y 5)(y 2)
6
4 10 55. 2
63. 3, 1
45.
53. 1 5
33. (4x 3)(2x 3)
2 4 41. x x2 2 2 x x
1 7 39. 2
51. 13, 32
31. (k 5)(k 4)
39. 3(4x 7)
1 13 27. 2
3 22 33. 2
35. 3 10
47. 0, 161
25. 3(x 5y)(x 5y)
21. 1, 1, 2, 2
19. 0, 1
3 5 23. 2
7. 3, 4 15. 23, 1
21. $55.00 29. 10,000
23. 15 onzas 31. $2200 y $700
25. 30 onzas
c. Falso; multiplicando ambos lados de la ecuación por una expresión que contenga la variable puede dar como resultado nuevas raíces y no las raíces de la ecuación original.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
253
d. Falso; por ejemplo, si elevamos al cuadrado x 2, obtenemos x2 4 cuyas raíces son 2 y 2 que no son exactamente iguales a las raíces de x 2.
f. Falso; es un conjunto vacío sin elementos, mientras que el conjunto {0} contiene al elemento 0.
e. Falso; si px q, entonces x q/p.
g. Falso; no contiene ningún elemento, de modo que 0 no puede estar en .
f. Falso; ax2 bx c 0 es una ecuación cuadrática, con tal de que a 0.
h. Falso; el conjunto vacío no es un elemento de {0}.
g. Falso; la solución de x2 4 está dada por x 2 o x 2.
i. Cierto
h. Falso, las raíces de ax2 bx c 0 (a 0) están dadas por x (b b24ac)/2a. i. Verdadero j. Falso; una ecuación cuadrática puede tener dos raíces iguales o bien no tener raíces reales. k. Falso; una ecuación lineal siempre tendrá una sola raíz. l. Cierto 3. 1/3
7. No hay solución
17. 1, 4
27. 2
9. 2, 5/3
13. 1
l. Cierto
m. Cierto
n. Falso; el conjunto de todos los cuadrados del plano es un subconjunto de todos los rectángulos del plano. o. Cierto
p. Cierto
q. Falso; {x2 x 3} {y1 y 5}. 29. No, contiene 2.
Ejercicios 3-2
19. 7
21. pqr, siempre y cuando pq qr pr 0 25. 4
k. Falso; 2 ∉ {x(x 2)2/(x 2) 0}, mientras que 2 ∈ {xx 2 0}.
r. Cierto
5. No hay solución
11. abc, con tal que a b c 0 15. 5
j. Cierto
23. 3, 3/2
1. x 2 9. y
29. 9/5
31. a. r (a S)/(l S)
b. l (a rS S)/r
33. $75,000 en 8% y $25,000 en 10% o $5 39. a. P $(2400 600C)
35. 1600
3. u 137
75
11. t 13
15. x 2 37. $4
21. x 2
5. x 2
7. x 1/8
13. 1 x 3 19. 23 x 23
17. No hay solución 23. No hay solución
27. 1501 o más
25. $5000
29. Al menos 1875
31. Más de 1600
b. $600
Ejercicios 3-3 CAPÍTULO 3
1. 2 x 5
Ejercicios 3-1
7. 2 x 1
1. {1, 0, 1, 2, 3, 4}
3. {4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, . . . }
5. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
7. {2, 3}
11. {xx es un número impar 0 x 20} o {xx 2n 1, n es un entero y 0 < n 9} 13. {xx es un número natural divisible entre 3} o {xx 3n, n es un número natural}
17. [3, 8]
19. (7, 3)
25. a. Cierto
21. 2 x 5
23. x 3
13. x 2 o x 2
19. Toda x 1
21. No hay solución 23. Toda x
25. No hay solución
29. 45 x 60
27. 60 unidades
31. x 150
33. Si x yardas es la longitud de un lado del terreno, entonces 30 x 70. 37. 80 n < 120.
39. 20¢ p 30¢
b. Falso; 3 ∈ {1, 2, 3, 4}
c. Falso; 4 ∉ {1, 2, 5, 7}
d. Cierto
e. Falso; es un conjunto, mientras que 0 es un número. Un conjunto no puede ser igual a un número.
254
17. 3
35. A lo más 3 pies
15. {xx es un número real: 1 x 1}
5. 3 x 4
9. y 2 o y 32
11. x 22 o x 22 15. Toda x
9. {xx es un número par, 0 x 100} o {xx 2n, n es un número natural; 1 n 49}
3. x 3
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Ejercicios 3-4 1. 72 7. 1/2
3. 3 9. 1, 32
5. 1, 17 11. No hay solución
13. No hay solución
15. No hay solución
17. 1, 17
19. 131 x 1 o (131, 1) 21. x
15
o x 1; (q,
23. 1 x 2; (1, 2)
15]
o [1, q)
25. No hay solución
27. Todo número real o (q, q) 31. Todo número real
29. No hay solución
33. No hay solución
35. x 52, es decir, (52, q)
Respuestas del anexo 1. ] 2, 7 [
2. ] , 3/4[ U ] 1/2, [
3. R {0}
4. ] 2, 1/3 [
5. ] , 4[ U ] 3/2, [
7. [ 3/2, 3/2] 8. ] , 3] U [ 3, [ 9. ] , 4[ U ] 3/2, [
Ejercicios 4-1
b. y 7 4; y ∈ [3, 11] c. t 5 3; t ∈ {2, 8}
1. {4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}
d. z ; z ∈ ( , )
3. {37, 41, 43, 47, 53, 59}
e. x 4 3; x ∈ (q, 1) o x ∈ (7, q)
5. {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
f. x 5; x ∈ ( 5, 5) 39. p 22 5.
7. {9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5,} 9. { 1, 0, 1} 13. {5, 3}
Ejercicios de repaso del capítulo 3 1. a. Cierto b. Falso; cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante positiva, el sentido de la desigualdad se conserva. c. Falso; una desigualdad cuadrática no tiene soluciones o una solución o un número infinito de soluciones. d. Falso; si un número negativo se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad se preserva. e. Falso; la proposición sólo es cierta si a 0. g. Cierto
h. Cierto
i. Cierto
j. Falso; por ejemplo si x 2 y y 7, entonces x y, mientras que x y ya que 2 7. k. Verdadero 3. x
2 5
9. x 16
l. Verdadero
5. x 6
15. x 23 o x 1 19. 3 x
5 2
17. x 12 o x 5
25. x 3 o 0 x 5 29. x
12
ox2
33. x 1 o x
23. Sin solución
27. 2 x 6
31. x 2 o x 5 35. x 4 o x 10
5 2
37. Sin solución 43. 0, 85
13. 1 x 52
21. Para toda x
39. Para toda x
11. {x x 2} 15. 7, 23
17. {2 , 2, 2 , , 6 } 19. 0 { 6, 22, 3, 0, 8, 1} 21.
1 32
12, 14, 18, 116 , 312
23. {3, 0} {0 1, 3, 1, 3} 25. {7, 11, 16} {1, 7, 11, 14, 16} 27. {4, 4} 29. {5, 21, 93} {números enteros impares} 31. A\B {5, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 4} 33. A\B {5, 4, 4, 5} 35. A\B {5, 4, 3, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 37. Ac {11, 56, 78, 190 , 2, 87, a}
7. x 0
11. Sin solución
10. No tiene solución.
CAPÍTULO 4
37. a. x 3 5; x ∈ (2, 8)
f. Cierto
6. ] 5/3, 1/3 [
41. 72, 34
39. Ac {56, b}
41. Boby → azul;
Tiny → rojo;
Romy → blanco
Boby → azul;
Tiny → blanco;
Romy → rojo
Boby → rojo;
Tiny → azul;
Romy → blanco
Boby → rojo;
Tiny → blanco;
Romy → azul
Boby → blanco;
Tiny → rojo;
Romy → azul
Boby → blanco;
Tiny → azul;
Romy → rojo
45. 1, 2
47. a. Al menos 120,000
b. Al menos 120,000
49. $6 p $8
51. $35,000
53. 20 x 40
55. 20 x 28
57. $30 p $38
Ejercicios 4-2 1. A B {x, y, z} 3. B C {y, z} RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
255
5. A (B C) {x, y, z}
15. B A {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
7. (A\C) B {x, y, z} 9. (A C) \B {x} 11. A\ (B C) {x} 13. (A\B) (A\C) {x 25 x 9} 15. La cardinalidad de A\B es 7 n 17. B
o
B {a} 17. B B {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
Ejercicios 4-3 1. Falso
3. Cierto
5. Cierto
7. A B {0, }
9. (A C) {, 0} 13. A B {5}
11. A B {1, 5, 9, a, b, c} 15. A C {9}
17. A B C {a, b, c, 1, 2, 3, 5, 9} 19. (A B) C {2, 3, 5, a, 9} 21. (A C) B {a, b, c, 5, 9} 23. (A B) (A C) {5, 9} 27.
C B
19. (G G)\((A F) (B E) (C D) {(a, a), (b, b), (c, c)}
Ejercicios 4-5-1 1. El gato no arañó al perro. 3. Cualesquiera de las respuestas siguientes es correcta: “No todos los alacranes se alimentan de ratones” o “Algún alacrán no se alimenta de ratones”. 5. Todos los números elevados al cuadrado son enteros. 7. Algún sueño se convierte en realidad. 9. “El próximo lunes habrá clases o la ceremonia no sea el martes”.
A
11. “No me acosté temprano y no leí 60 páginas del libro”. 13. “No me acosté temprano y leí 60 páginas de libro” 15. (P Q) (Q R)
Ejercicios 4-4 1. A B { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3)} 3. (A B) (B A) {(1, 1)} 5. A B {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c)} 7. B A {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b)} 9. A (B\C) {(a, b), (b, b)} 11. A (B C) {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c)}
256
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Ejercicios 4-5-2 3.
P
Q
R
P1Q
Q1R
P1R
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V F F V V V V
V F V V V F V V
V F V F V V V V
en los renglones primero, quinto, séptimo y octavo P 1 Q y Q 1 R son ambas verdaderas, y en esos mismos renglones, P 1 R es también verdadera. 5. P
Q
QP
R 1 (Q P)
Q
R
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
11. Verdadera
F
F
V
F
F
15. Verdadera
F
F
F
F
V
PQ
P1Q
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
13. Verdadera
31.
29. 16 renglones
P
P
9. P 1 Q
27. Verdadero
17. P P P 19. P (Q R) (P Q) R
33.
Ejercicios de repaso del capítulo 4
P Q R P P Q ((P Q) R) ((P Q) R) 1 P
1. *
→
x;
◊
→
y;
→
z
*
→
x;
◊
→
z;
→
y
*
→
y;
◊
→
x;
→
z
*
→
y;
◊
→
z;
→
x
*
→
z;
◊
→
y;
→
x
*
→
z;
◊
→
x;
→
y
3. {11, 101, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 211} 5. La cardinalidad de A B es 7 n 7. La cardinalidad de A B m n 11. Verdadera
V V V
F
V
V
V
V V F
F
V
F
V
V F V
F
F
F
V
V F F
F
F
F
V
F V V
V
V
V
F
F V F
V
V
F
V
F F V
V
V
V
F
F F F
V
V
F
V
35.
37. Verdadera
39. Falsa 41. a. Las tomó Rosa
13. Verdadera 15. Verdadera
b. Paco dijo la verdad
CAPÍTULO 5
19.
Verifique su comprensión, página 162 1. 11
2. 4
3. 2x
4. 3
5. 80
6.
7. 2x
8. 70
B A
9.
21. A B
C
4 3
3 5
10. 540
11. 130
12. 4
13. 6x
1 14. 2x
15. 32x2
Verifique su comprensión, página 164 1. 5
3
2. 9 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
257
4
3. 10 4
3
4. 25
5. 8
6. 712
7. (10)13
8. 714
9. 72\3
13.
12. 4
1 6
19. 4
17.
18.
27 8
25. 142 19 29. o 4.75 4 33. (x 1)(6x 5)
20.
1 4
37. (x 5) (2x2 4x 2)
14.
15. 3 1 8
272 15. x3 4x2 16x 64 x4 10 17. y4 19. 3x2 3x 3 y1 23. 10 21. 2x3 2x 2
10. 534
11. 5
1 7
16. 8
Ejercicios 5-1 1. 1112
3. 91/4
5. 623
7. 15
35
9. 3 3
11. 19
13.
1 2
1 3 4
17. Verdadera
19. Verdadera
21. Falsa; 2
23. Falsa; 1.2
25. Verdadera
27. 5
29.
1 9
33.
1 25
37.
1 2
15.
31.
4
1 16
35. 3 39. 9 43.
45.
47. 2
41. x2 12 (x 2x 4) 39. (x 3)(x2 6x 4) 36 43. (b) x 8 x5 45. Si el residuo es 0 entonces el divisor x a es un factor. 47. Cuando x d, ax2 bx c es igual a 0. Por lo tanto, d debe ser una solución. 49. x3 2x2 27x 36; multiplique (x 3) (x2 5x 12)
Ejercicios 5-2-1 1. C(x) x2 1 R(x) 0
2. C(x) 3x3 2x R(x) 0
3. C(x) 3x 1 R(x) 6
4. C(x) x4 1 R(x) 7
5. C(x) x2 6x 2 R(x) 11
6. C(x) 2x3 6 R(x) 1
53.
Ejercicios 5-3
148 135
1. 6
3. 48
5. 30
7. 1
4a2 59. b6
31 57. 7 1 61. 36 ab
13. 3
63. 1
65. 16a4b6
17.
3x 69. (3x2 2)1/2
21. Sin solución
a2
67. b x2 71. (x3 4x)1/2
Ejercicios 5-2 1. x 3
3. x 1
12 5. x 8 x3
10 7. 3x 5 x 4
9.
258
35. (x 2)(x2 3x 5)
49. 13
141
4x2
31. 0, factor
8. C(x) x2 2x 3 R(x) 2
2 7
3
51. 35 6 55.
27. 0, factor
7. C(x) 2(x3 x2 x 1) R(x) 1
41. 50
1 32
20 13. 5x2 11x 14 x1
3 x 3 x 1
11.
3x2
6 2x 2 x3
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
9. 1
25.
11. 4 15. 15
1 4
19.
172
14 3
23. 2 27. Sin solución
29. 8
31. 14
33. 2, 3
35. 4
37.
52
41. 5
43. Sin solución
45. 3 49. b.
39. Sin solución
2 3
47. 2
51. a. El problema de la derecha es una ecuación y el de la izquierda no lo es. (b) y después, agrupe los numeradores. Problema de la derecha: multiplique ambos lados de la ecuación por el mcd 12(x 1) para eliminar las fracciones y después, resuelva la ecuación resultante. x2 x 12 c. Problema de la izquierda: 2 ; Problema de la 12(x 1) derecha: 4, 3
89. a. 3, 7
b. sí
c. 3,7
91. a. Una real, 9; una extraña b. Una, en x 9 c. {xx 0 d.
Sí
Ejercicios 5-4
Uso de la calculadora graficadora, pág. 186
1. 25
3. 4
5. 81
7. 16
9. 8
15. Sin solución 13
17. 1
19.
21. 5
23. 94
25.
Ejercicios 5-5
11. 9
13. Sin solución
1 4
31. 5
33. 10
35. 3
1. {1, 5}
3. {12, 12}
5.
7. {12, 2}
9. {16, 4}
19.
21. {3, 1}
23.
39.
25.
41. 2
43.
9 16
29. {xx 0}
45. 9
47. 4
49. Sin solución p2 53. v 2 v 2m 57. F R 61. 13 pulg
51. 6 v2 55. g 2h x2k 59. m 2 v0 63. 1 8.2 5 4.27 m
6,2 00 127.28 pies 65. 1 0 7.75 m 67. 6
27.
2 5
31. a. Escriba ax b c o ax b c, después despeje x en cada ecuación. cd c b b. xx o x a a
Actividad en grupo y problemas para pensar 3.
5. {3}
7. {3}
624 pulgadas cuadradas 73. 57
9. 4)3 365.2 días 77. 1,0 00,0 00 1000 Ib 75. 0.2(14 20 17.89 pies/segundos 79. 3 b. 3, 4
c. 4, 32
d. 5, 1
83. 0, para todos los valores, el lado izquierdo de la ecuación es negativo y el lado derecho es positivo. 85. x 3 no puede ser igual a un número negativo y debe ser igual a 3. 87. a. 2
32, 161 539, 439 5, 43 28, 152
69. 5 120 71.55 pies/seg
71. 3.14 seg
81. a. 2, 2
15.
17. 1, 151
52
37. 4
11.
13. 52, 123
27. 2
29. 7
3. 3.7, 3.7
1. 1.5
b.
c. sí
Ejercicios 5-6 1. (x y) (x y) (x2 xy y 2) (x2 xy y2) 2. (z2 3z 5) (z2 3z 5) 3. (w2 2w 2) (w2 2w 2) 4. (a b) (a b) (a4 a3b a2b2 ab3 b4) (a4 a3b a2b2 ab3 b4) 5. 6y2 (y 2) (y 2 2y 4) 6. (y 3) (y 2 2y 9) 7. (z 1) (1 z z2) (1 z3 z6) 8. (x2 9x 6) (x2 9x 6) 9. (x 3) (x4 3x3 9x2 27x 81) 10. w3 (w 4)3 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
259
11. (y 2) (y 2) (y 2 4) (y 4 16)
25. 300%
26. 1.04
12. (w 2) (w 2) (w2 2w 4) (w2 2w 4)
27. 8178.36
28. 188
13. (x 2)3
14. (3x 5)3
29. 81%
30. 231.2
15. z(z 3)3
16. (3a 8)3
31. 350
32. 240
17. (4w 9)3
33. 103%
34. 268.75
18. (5r 4s) (25r2 20rs 16s2)
35. Hay que agregar 26.25 litros de agua.
19. (x 7y 3)2
20. (5x 3y 7)2
21. 8x3 12x2y2 6xy4 y6 22. (6a 9b 24.
9x2y2
26.
x3(y
(z
5)2
3)2
1)3
28. (x y)4
37. La asistencia aumentó en 35%. 23. (a
6)4
38. Hay que añadir 7 litros de la solución ácida al 10%.
25. (x y 1) (x y 1) 27. (5y
4)3
29. 16z4 8z3 24z2 8z 1
30. (w 4) (w 4 6w 3 16w 2 16w 16) 31. (r t s)3
36. La venta de la tienda ascendió a $50,000 durante el primer mes.
32. (x y z w)2
33. El lado del segundo mide 4 cm. 34. La diferencia de los volúmenes de los cubos es 23,382 unidades cúbicas. 35. El volumen de la esfera pequeña es
32 3
cm3.
39. En 400 ml de leche materna 13% es proteína, grasa y azúcar y 87% es agua. 40. El 21% es oxígeno. 41. El valor de la inversión es $6384. 42. Hay que tomar 20 ml de agua salada al 30% y 40 ml de agua salada al 3%. 43. El paquete contiene 17.16 gramos de huevo. El paquete contiene 6% de leche. 44. Un litro de aire pesa 1.29 gramos. 45. En 150 m3 de aire hay 13,455 gramos de hidrógeno.
36. Los números son 1 y 2, o 2 y 1.
46. Hay que comprar 30 metros de tela.
37. Los números son 0 y 1, o 1 y 0.
47. Hay que evaporar 14,285.7 gramos.
38. Los números son 4 y 6.
48. La tasa de interés era de 21.62%. 49. La mezcla tendrá ley 0.962.
39. La base del sistema es 3.
50. a. Deberá pagar $163.35; b. Lucía ahorrará $18.15.
40. La base del sistema es 2.
51. Están sembrados 96,000 m2 de trigo, 40,000 m2 de avena y 24,000 m2 de sorgo.
Ejercicios 5-8 1. 50%
2. 60%
CAPÍTULO 6
3. 580%
4. 25%
Ejercicios 6-1
5. 7%
6. 15%
1. 1, 3, 5, 7, 9
3. 1, 1, 1, 1, 1
7. 125%
8. 20%
5. 4, 2, 1, 12, 14
7. 1, 4, 9, 16
9. 87.5%
10. 175%
9.
3 3 3 3 , , , 10 100 1000 10,000
11.
3 3 3 3 , , , 100 10,000 1,000,000 100,000,000
11. 20.1%
12. 225
13. 12, 16, 112 , 210
15. 64, 36, 16, 4
13. 70
14. 1041.3
17. 2, 1, 4, 7
19. 0, 13, 12, 35
15. 40%
16. 50
125 21. 1, 32, 196, 64
23. 2, 32, 98, 2372
17. 331.6
18. 6%
25.
19. 52
20. 562.25
29. 4, 4, 4, 4
31. 122
21. 81.25%.
22. 150%
33. 0.000003
35. 12
23. 7.875
24. 20%
37. 1331
39. 4, 6, 8, 10
260
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
1 1 3 1 , , , 2 2 8 4
27. 32, 56, 172 , 290
41. 5, 10, 15, 20, 25; sn 5n
45. 15, 21, 28
47. 12, 4, 4, 0, 2, 1, 32, 54
49. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
51.
3 15 35 315 , , , 2 8 16 128
3. 55
5. 0.33333
7. 510
9. 60
11. 254
381 64
15. 105
17. 40
19.
23. 57
25. 1111.111
27. 60
35 12
5k
3k
39. an a1 an 1 a1 (a1 an 2) . . . n términos
a1 a1 a1 . . . a1 2 2 2 . . . 2 2n
k1
n
tk (s1 s2 . . . sn) (t1 t2 . . . tn)
k1 n
(s1 t1) (s2 t2) . . . (sn tn)
(sk tk)
k1
43.
17. 289 25. 567,500
19. 15,150 173,350 23. 7 27. 5824
29. 15,300
31. a. 10,000;
33. 36
35. 4620
37. 41.
k1
2 k(k 2)
10
k1
s nc
1 7
1 4
1 3
19
1 8
1 5
k
1 1 1 13 k k2
1 4
1 6
110
1 9
1 5
1 7
111
1 10
15,
35,
1,
75,
95,
47. 8, 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48 151,
153, 3
b. saldo mensual del préstamo 12,000 1000(k 1), interés mensual [12,000 1000(k 1)] (0.02) 260 20k; c. $1560, 13%
n
1 2
43.
5 n (n 1) 2 228 76 15 5
53. a. $240, $220, $200;
k1
10
39.
b. n2
51. $1183
k1
45. a.
3577 4 94
45. 3, 10, 17, 24, 31, 38
(sk c) (s1 c) (s2 c) . . . (sn c)
(s1 s2 . . . sn) (c c . . . c)
63 4
15.
49.
n
106
13. 455 21. 94,850
b. n2
37. a. 4, 9, 16, 25, 36;
17 19 1 , 9, ; n 7; 245 2 2 2 45, 75, 2; 35n 1;
11. 30, 50, 70; 20n 30; 3600
k 3
sk
9. 150, 200, 250; 50n; 10,500
35.
k1
n
16 . . .
3. 10, 16, 22; 6n 8; 1100 5.
8
1 4
1. 5, 7, 9; 2n 1; 400
31. 0.010101
10
41.
15
Ejercicios 6-3
7.
1 3
n(3n 5) 2(n 1)(n 2)
13 8
21. 0
33.
14
1 1 1 1 1 21 n1 n2 n n2
1. 45
29.
1 2
1 1 1 1 1 1 n 3 n 1 n 2 n1 n1 n
Ejercicios 6-2
13.
b. 1 13
43. 5, 25, 125, 625, 3125; sn (5)n
1 6
1 8
1 112 1 2
55. 930
57. 9080 61. a1 7; d 13
59. 45,540 63. u
16 ; 3
v
23 3
65. 520
Ejercicios 6-4 3. 27, 81, 243; 3n 1
1. 16, 32, 64; 2n 5.
1 , 9
217 , 811 ; 313
n1
7. 125, 625, 3125; 5n 1 n1
1 1 175 11 12 132
9. 196, 3227 , 6841 ; 6 23
1 (100)n 1 11. 1000; 100,000; 10,000,000; 1000
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
261
13. 126
1330 15. 81
17. 1024
19. 3
21. 25. 29. 33.
12 2n 1
23. 1023
211 54 251
31.
1 1 Para los triángulos con número par: 2 . . . 2 8 2 8 16 8 ; 8 3 3 3 1 1 4
1 1 1 4 27 8 53. (9)(3) (6)(2) (4) . . . 6 . . . 2 2 2 3 2 3
121 27 8654
27.
27 2
35. 46
1 49
37. 6, 24, 96, 384, 1536 o bien 6, 24, 96, 384, 1536 39. $10,737,418
41. 512,000; 1000(2n 1)
43. $8432.20
45. a. $800(1.11)n; b. $1348.05
55. a. $3000;
49. a. Si V es el volumen del primer recipiente, entonces 1 2 1 3 1 4 1 5 31 V V V V V es la suma de los 2 2 2 2 32 volúmenes de los otros cinco; como 3312 V < V, la respuesta es sí. 1 V 2
5
k
k(k 1) k2 3k 2 (k 1) (k 1) 2
Ejercicios 6-5 1. 4
3.
2 3
7.
125 4 10 9
(k 1)[(k 1) 1] (k 1)(k 2) . Por consiguiente, 2 2
9. 176 11. El numerador de la derecha debería ser a1 14, y no 1.
13. El denominador de la derecha debería ser 1 13 porque r 13, y no 13 3 2
17.
19. 4
21.
15.
En estos ejercicios, Sn representa la afirmación dada, en la que n es un entero 1 (n 2 cuando sea el caso). La segunda parte de cada demostración comienza con la hipótesis Sk, donde k es un entero positivo arbitrario. 1(1 1) 1. Como 1 , es verdadero, S1 es cierta. Suponga 2 Sk y sume k 1 para obtener 1 2 3 . . . k
2 422 3 V 243 V V; por consiguiente, no.
k1
5.
b. $2000
Ejercicios 6-6
47. $703.99
b.
243 10
1 6 20 9 10 3
Sk 1 es cierta. Como S1 es cierta y Sk implica Sk 1, el principio de inducción matemática hace que Sn sea cierta para todos los enteros n 1. Nota: La oración final es una construcción adecuada para las demostraciones restantes. Sin embargo, no la repetiremos para abreviar. 1
3. Como
i1
3(1 1) 3i 3 , S1 es cierta. Suponga Sk y 2
23. La suma no es finita
25.
27. La suma no es finita
29. 30
sume 3(k 1) para obtener lo siguiente:
33. 4
k1
31. 35. 39.
20 11 4 21 13 99
7 9 13 990
37. 41.
i1 k1
43. 1 4 4 4 4 ... ; 45. a. , , , . . . , , 3 9 27 3n 47. 8 horas
∞
b.
n1
4 n 3 1
49. El tiempo de la última 12 milla debe ser no es suma finita, porque 190 1. 51. a.
1 2
4 3
∞
1 3
2
n1
2 10 n 1 , 5 9
(AC)(CB) 12(4)(4) 8
b. 4 2 1 12 . . .
...
4 136 1 14
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
i1
k
i1
3k(k 1) 3i 3(k 1) 3(k 1); 2
3(k2 3k 2) 3(k 1)(k 2) 3i 2 2
3(k 1)[(k 1) 1] . Por lo tanto, Sk 1 es válida. 2 5 1(11 1) 5. Como , S1 es cierta. Suponga Sk y sume 3 6 1 5 4 1 (k 1) 2 para obtener 1 . . . k 3 3 3 3
4 8 1 12
c. Para los triángulos con número impar: 4 1
262
que
3i
1 k(11 k) 1 2 (k 1) 2 [(k 1) 2] 3 6 3
1 4
10 9k k2 (k 1)(10 k) 6 6 (k 1)[11 (k 1)] . Por consiguiente Sk 1 es válida. 6
1 1 7. Como , S1 es cierta. Suponga Sk y sume 1• 2 1 1 1 para obtener 1 1 . . . (k 1)[k 1) 1] 1•2 2•3
21. S1 es cierta por (ab)1 a1b1. Suponga que (ab)k akbk y multiplique por ab para obtener (ab)k(ab) (akbk)ab; (ab)k 1 (aka)(bkb); (ab)k 1 ak 1bk 1. Por consiguiente, Sk 1 es válida.
1 1 k 1 k(k 1) (k 1)(k 2) k 1 (k 1)(k 2)
23. S1 es cierta porque a0 a1 a0 a1 . Suponga Sk. Entonces a0 a1 . . . ak ak 1 a0 a1 . . . ak) ak 1
k2 2k 1 (k 1)2 k1 k1 . (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) k 2 (k 1) 1
a0 a1 . . . ak ak 1
Por consiguiente, Sk 1 es válida. 9. S1 es cierta por 2 1 (12). Suponga Sk y sume 2 (k 1) para obtener 2 4 6 . . . 2k 2(k 1) k k2 2(k 1) (k 1) (k2 2k 1) (k 1) (k 1)2. Por consiguiente, Sk 1 es válida.
1 251 . Suponga Sk y sume
11. S1 es cierta, porque 1
25
k
5 [1 3
para obtener 1
2 5
5 3
2 k 5
4 2 2 . . . k 1 k 25 5 5 k k k 2 3 2 5 2 3 1 5 (1 53) 5 5 5 2 k1 . Por consiguiente, Sk 1 5
1 k 1 52 52 53 1 2 k 5
5 3
5 3
(a0 a1 . . . ak ) ak 1 (de acuerdo con Sk) a0 a1 . . . ak 1 Por consiguiente, Sk 1 es válida. a2 b2 25. a. Como a b a2 1 b2 1, S2 es cierta. ab Suponga Sk. Entonces ak 1 bk 1 aka bkb ab ab
aka bka bka bkb ab
es válida.
a(ak bk) a(ak bk) bk(a b) bk ab ab
12(1 1)2 13. S1 es cierta, porque 13 1 . Suponga Sk y 4 sume (k 1)3 para obtener 13 23 33 . . . k3 (k
1)3
a[ak 1 ak 2b . . . abk 2 bk 1] bk (de acuerdo con Sk)
k2(k 1)2 k2(k 1)2 4(k 1)3 (k 1)3 4 4
ak ak 1b . . . a2bk 1 abk 1 bk
(k 1)2[k2 4k 4] (k 1)2[k 2]2 4 4
Por consiguiente, Sk 1 es válida.
(k 1)2[(k 1) 1]2 . Por consiguiente, Sk 1 es válida. 4 1
15. S1 es cierta, porque
i1
Sk y sume
ar (k 1)1
an bn b. Como an 1 an 2b . . . abn 2 bn 1, ab multiplicando por a b se obtiene an bn (a b) (an 1 an 2b . . . abn 2 bn 1).
a(1 r1) ar i 1 a . Suponga 1r k
para obtener
ar i 1
ar k
i1
a(1 rk) ark. Entonces 1r
k1
i1
(de acuerdo con S1)
a(1 rk) ar i 1 ar k 1r
a(1 rk) ark ark 1 a ark 1 a(1 rk 1) . 1r 1r 1r Por consiguiente, Sk 1 es válida. 17. 25 32 20 4 • 5. Por consiguiente S5 es cierta. Suponga 2k 4k. A continuación multiplique por 2 para obtener 2k 1 8k 4k 4k 4k 20 4k 4 4(k 1). Por consiguiente, 2k 1 4(k 1) y Sk 1 es válida. 19. Para n 1, a1 a 1, porque 0 a 1 (dato). Entonces S1 es cierta. Suponga ak 1. Entonces, como a 0, ak 1 a. Pero a 1. Por consiguiente, ak 1 1 y Sk 1 es válida.
27. a. 1; 4; 9; 16; 25; b. n2 c. S1 es cierta porque 1 12. Suponga Sk y sume k (k 1) para obtener 1 2 3 . . . (k 1) k (k 1) k (k 1) . . . 3 2 1 k2 k (k 1) k2 2k 1 (k 1)2. Por consiguiente, Sk 1 es válida. 29. Cuando n 1, 71 1 6, que es divisible entre 6, de modo que S1 es cierta. Suponga Sk. Entonces, 7k 1 6b y 7k 6b 1. Multiplique por 7 para obtener 7k 1 42b 7, y 7k 1 1 42b 6 6(7b 1), que es divisible entre 6. Por consiguiente, Sk 1 es válida.
Ejercicios de repaso del capítulo 6 1. Véanse páginas 208, 209 2. 1, 4, 7, 10, 13 3. 0, 0.250, 0.296, 0.316, 0.328, 0.335, 0.340; diferencias: 0.250, 0.046, 0.020, 0.012, 0.007, 0.005 4. 4, 5, 10, 11, 16
5.
6. 2, 1, 12, 14, 18
7.
8.
11 19
2 1 2 1 , , , , 3 4 15 12 1, 23, 23,
2 35 4 , 5
1165
9. 5, 10, 20, 40, 80
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
263
10. 3, 9, 27, 81, 243; (3)n 11. Véase página 214
12. 105
13. 3
14.
15. 26
16. 70
54. S1 es cierta, porque 321 311 32 12 1. Suponga Sk y 1k 31 1k sume 1k : 1 1 12 . . . k11 3
3207 945
3 3 2
1
6
17.
4k
18. Véase página 217 20. 7n 17
21. 83
22. Véase página 509
23. 1155
24. 6,251,000
25. a. 2260;
220 b. 3
2
3
3 k
Por consiguiente, Sk 1 es
55. S5 es cierta, porque 35 27(5). Suponga que 3k 27k. Multiplique por 3 para obtener 3k 1 81k 27k 54k 27k 27 27(k 1). Por consiguiente, Sk 1 es válida. 56. S1 es válida, porque 12 3(1) 4, que es entero par. Suponga que k2 3k es par. Entonces, (k 1)2 3(k 1) k2 2k 1 3k 3 (k2 3k) (2k 4), que es la suma de dos enteros pares, y por consiguiente es par. Por lo anterior, Sk 1 es válida.
26. 8845
27. Véase página 221
28. 8, 15, 22, 29, 36, 43
29. Véase página 225
30. Véase página 516
1 31. 3100
32. 1223
n1
1 1 k1 ; 27 27
Pruebe su compresión
33.
512 729
34.
35.
1 2
36. Véase página 228
37. a. 0.02222222;
40. 6, 12, 24, 48, 96
a1
1 , 27
r
1 27
b. 0.01818182
38. 800(0.75)n; 80.1 pies o
39. Véase página 230 6, 12, 24, 48, 96
41. Véase página 532
42. Véase página 235
43. 108
44.
192 5
45. r 53 1
46.
1 18
47. La suma no es finita; r 1 48.
3
2 32 1 31k 3 •3
válida.
k1
19. Véase página 217
3 3 3 1 3 2 1 k 2 3 2 3 3k 3 1 ) 2 1 3k 1
3 2 k 3 • 3
1k 32(1)
8 11
49. 100 pulgadas
50. Véase página 244 51. S1 es cierta porque 3 32(1)(1 1). Suponga Sk y sume 3(k 1): 3 6 9 . . . 3k 3(k 1) 32 k(k 1) 3(k 1) 3(k 1)12k 1 32(k 1)(k 2). Por consiguiente, Sk 1 es válida. 52. S1 es cierta, porque 3 3(21 1). Suponga Sk y sume 3(2k 1 1): 3 6 12 . . . 3 • 2k 1 3 • 2k 3 (2k 1) 3 • 2k 3 • 2k 3 3 • 2k 2 • 3 • 2k 3 3(2k 1 1). Por consiguiente, Sk 1 es válida. 1 1 53. S1 es cierta porque . Suponga Sk y sume 1 •3 2•11 1 1 : (2k 1)(2k 3) [2(k 1) 1][2(k 1) 1]
Página 209 1. 3, 5, 7, 9, 11
2. 2, 4, 6, 8, 10
3. 0, 2, 4, 6, 8
4. 1, 12, 13, 14, 15
5. 1, 7. 3,
1 , 4 1 , 2
1 , 9 1 , 5
1 , 16 3 , 28
6. 32, 12, 14, 230 , 110
1 25 1 15
1 1 1 1 1 , , , , 3 9 27 81 243
8.
9. 2, 0, 2, 0, 2 Página 215 1. 60
2. 25
3. 40
4. 0
5. 50
6.
5 16
1. 5n
2. 4n 10
3.
1 n 10
4. 8n 3
5. n
6. n 4
8. 12n 65
9.
Página 218
7.
2 n 3
1 n 5
15
10. n 1 Página 227 1. 1, 12, 14, 18, 116 , 112
n1
2.
; r 12
1 1 1 1 1 1 1 n1 , , , , , ; 4 8 16 32 64 4 2
r 12
3. 12, 14, 18, 116 , 312 ; 12 12
n1
; r 12 n1
4. 217, 2172 , 2173 , 2174 , 2175 , 217 217
; r 217
5. r 10; 15(10)n 1
n1
6. r 49; 2749 Página 236
1 1 1 1 • • • . . . 1 3 3 5 5 7 (2k 1)(2k 1)
1. r 110; S∞ 1119
2. r 4; la suma no es finita
1 k 1 (2k 1)(2k 3) 2k 1 (2k 1)(2k 3)
3. r 16; S∞ 67
4. r 14; S∞ 2113
5. r 43; la suma no es finita
k(2k 3) 1 2k2 3k 1 (2k 1)(k 1) (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) k 1 . Por consiguiente, Sk 1 es válida. 2(k 1) 1
264
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
6. r 0.01; S∞ 313 8. r
190;
S∞
7. r 3; la suma no es finita
810 19
9. r 1.01; la suma no es finita.