METODOS ALGEBRAICOS: Un método matemático para resolver resolver un par de ecuaciones lineales. Método algebraico se refiere a un método para resolver una ecuación de dos o más variables en las que una de las variables se expresa como una función de una de las otras variables. Normalmente, hay dos métodos algebraicos algebraicos utilizados en la solución de este tipo de ecuaciones: el método de sustitución y el método de eliminación. Un método algebraico es el método de sustitución. En este caso, el valor de una variable se expresa en términos de otra variable y luego sustituido en la ecuación. En el otro método algebraico - el método de eliminación - la ecuación se resuelve en términos de una variable desconocida después de la otra variable se ha eliminado mediante la adición o sustracción de las ecuaciones. Por ejemplo, para para resolver: 8x + 6y = 16 -8x - 4y = -8 Utilizando el método de eliminación, se podría añadir las dos ecuaciones de la siguiente manera: 8x + 6y = 16 -8x - 4y = -8 2y = 8 y=4 La variable "x" ha sido eliminado. Una vez que el valor de y se conoce, se puede resolver para x, sustituyendo sustituyendo el valor de y en cualquier ecuación: 8x + 6y = 16 8x + 6 (4) = 16 8x + 24 = 16 8x + 24 - 24 = 16 a 24 8x = -8 X=-1
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS CON DOS INCOGNITAS: Un sistema de 2 ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas es un par de ecuaciones que tienen exactamente las mismas 2 incógnitas. Este tipo de sistemas de ecuaciones simultáneas es muy común que aparezca en problemas donde se plantean 2 sucesos distintos con las mismas cosas. De cada suceso se obtiene una ecuación y las dos ecuaciones involucran las mismas cosas (mismas variables o incógnitas). Un ejemplo clásico es el siguiente: Un niño es 25 años menor que su padre, dentro de 18 años el niño tendrá la mitad de la edad del padre ¿Cuántos años tiene el niño y el padre? La solución, como puede verificarse, es que el niño tiene 7 años y el padre 32. Este tipo de problemas se suelen plantear como retos en reuniones y muy comúnmente son los niños los que plantean este tipo de preguntas... ¡mas vale responderlas correctamente si no se quiere quedar como tonto! Los métodos de solución de este tipo de sistemas son varios y muy diferentes entre sí. El más ampliamente utilizado es el de “suma y resta”, pero hay métodos más sencillos que son de bastante utilidad cuando se pueden plantear correctamente.Para correctamente.Para ver una explicación animada y ejercicios de estos temas, descarga los siguientes archivo.
ECUACIONES SIMULTANEAS DE 3 X3 CON Y SIN SOLUCION: En matemáticas , ecuaciones simultáneas son un conjunto de ecuaciones que contienen múltiples variables. Este conjunto se refiere a menudo como un sistema de ecuaciones. Una solución para un sistema de ecuaciones es una especificación particular de los valores de todas las variables que satisface simultáneamente todas las ecuaciones. Para encontrar una solución, el solucionador debe utilizar l as ecuaciones de siempre para encontrar el valor exacto de cada variable. En general, el solucionador utiliza ya sea unmétodo gráfico , la matriz de método, el método de sustitución, o el método de eliminación. Algunos libros de texto se refieren al método de eliminación, como el método de adición, ya que implica la adición de ecuaciones (o múltiplos constantes de las ecuaciones, dijo) el uno al otro, como se detalla más adelante en este artículo. Este es un conjunto de ecuaciones lineales , también conocido como un sistema de ecuaciones lineales :
Resolver esto implica restar x + y = 6 de 2 x + y = 8 (utilizando el método de eliminación) para eliminar la variabley, a continuación, la simplificación de la ecuación resultante para hallar el valor dex, entonces sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones para encontrar y. La solución de este sistema es:
que también se puede escribir como un par ordenado (2, 4), lo que representa en un gráfico las coordenadas del punto de intersección de las dos líneas representadas por las ecuaciones.
Búsqueda de soluciones A veces, no todas las variables se pueden resolver para, y por lo tanto una respuesta para al menos una variable debe ser expresada en términos de otras variables y por lo que el conjunto de soluciones es infinito, esto es típico para el caso de que el sistema tiene menos ecuaciones que variables . Si el número de ecuaciones es el mismo que el número de variables, entonces probablemente (aunque no necesariamente) el sistema es resoluble exactamente en el sentido de que el conjunto de sus soluciones es finito, por unsistema de ecuaciones lineales en este caso no es exactamente una solución, para otros sistemas que tienen varias soluciones también es típico. A veces, un sistema no tiene solución, lo que es típico para el caso de que el sistema tiene más ecuaciones que variables. Si estas reglas sobre la conexión entre el número de soluciones y el número de ecuaciones y variables que no se cumplen, entonces tal situación se refiere a menudo como la dependencia entre las ecuaciones o entre sus partes a la izquierda. Por ejemplo, esto ocurre en los sistemas lineales, si una ecuación es un múltiplo simple de los otros (en representación de la misma línea, por ejemplo, 2x + y = 3 y 4 x + 2 y = 6) o si la relación de variables como lineales en dos ecuaciones es el mismo (en representación de líneas paralelas, por ejemplo, 2 x + y = 3 y 6 x + 3 y = 7, donde la proporción de cartas comparable es 3). Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas valor real por lo general aparecen como uno de los cinco tipos diferentes, tener una relación con el número de soluciones: 1.
2.
Los sistemas que representan conjuntos de intersección de puntos tales como líneas y curvas, y que no son de uno de los tipos más adelante. Esto se puede considerar el tipo normal, los otros son excepcionales en algún aspecto. Estos sistemas suelen tener un número finito de soluciones, cada uno formado por las coordenadas de un punto de intersección. Sistemas que simplifican hasta falsas (por ejemplo, ecuaciones, tales como 1 = 0). Estos sistemas no tienen puntos de intersección y las soluciones no. Este tipo se encuentra, por ejemplo, cuando las ecuaciones representan líneas paralelas.
3. 4.
5.
Sistemas en los que ambas ecuaciones simplificar hasta una identidad (por ejemplo,x = 2x - x 0 y y = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones: todos los puntos del plano. Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformado en otro a través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente las líneas superpuestas, o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser descartado. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Por lo general, esto significa que hay un número infinito de soluciones. Sistemas en los que uno (y sólo una) de las dos ecuaciones simplifica hasta una identidad. Por lo tanto, redundante, y puede ser descartado, según el tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por la otra ecuación es una solución de los que hay a continuación, por lo general un número infinito. 2
2
La ecuación x + y = 0 se puede considerar como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de un círculo normal que contenga una infinidad de puntos. Ejemplos de este y otros muestran la razón por la cual los dos últimos tipos descritos anteriormente necesitan la calificación de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones de primer tipo descrito anteriormente con un número infinito de soluciones viene dada porx = | x |, y = | y | (donde la notación | • | denota el valor absoluto de la función), cuyas soluciones forman un cuadrante de la x - y avión . Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solución representa un rayo . Otro ejemplo es (x +1) (x + y) = 0, (y +1) (x + y) = 0, cuya solución representa una línea y un punto. método de sustitución
Los dos ejemplos de ecuaciones se cruzan dos veces. Por lo tanto, hay dos soluciones. Sistemas de ecuaciones simultáneas pueden ser difíciles de resolver a menos que un enfoque sistemático se utiliza. Una técnica común es el método de sustitución: Encontrar una ecuación que se puede escribir con una sola variable como el sujeto, en la que la variable de izquierda no se da en la expresión lado derecho. A continuación, sustituir esa expresión cuando esta variable aparece en las otras ecuaciones, obteniendo así un sistema más pequeño, con menos variables. Después de que el sistema más pequeño ha sido resuelto (ya sea por una mayor aplicación del m étodo de sustitución o por otros métodos), el sustituto de las soluciones encontradas para las variables en la expresión de lado por encima de la derecha. En este conjunto de ecuaciones
x se hace el tema de la segunda ecuación:
entonces, este resultado se sustituye en la primera ecuación:
Después de la simplificación, los rendimientos de las soluciones
y sustituyendo esto en x = -2 y los valores de x correspondientes se obtienen. Las dos soluciones del sistema de ecuaciones son entonces:
Método de eliminación Eliminación por la multiplicación juicioso es el otro método comúnmente utilizado para resolver ecuaciones lineales simultáneas. Utiliza los principios generales que cada lado de la ecuación sigue siendo igual a l a otra cuando ambas partes se multiplican (o dividen) por la misma cantidad, o cuando la misma cantidad se suma (o resta) de ambos lados. Como las ecuaciones de crecimiento más simples mediante la eliminación de algunas variables, una variable con el tiempo van a aparecer en forma totalmente solucionable, y este valor puede ser "back-sustituido" en las ecuaciones previamente obtenidas por tapar este valor en la variable. Por lo general, cada "vuelta de sustitución", entonces se puede permitir que otra variable en el sistema que hay que resolver. Matrices Sistemas de ecuaciones se puede representar en términos de matrices , lo que permite diversos principios de las operaciones de la matriz que se aplica cómodamente con el problema. Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas se estudian en el álgebra lineal , sino que se resuelven mediante la eliminación de Gauss o la descomposición de Cholesky . Para determinar soluciones aproximadas a sistemas generales numéricamente en una computadora, el n-dimensional el método de Newton puede ser utilizado. Geometría algebraica es esencialmente la teoría de la simultánea polinomio de ecuaciones. La cuestión de cálculo efectivo de tales ecuaciones pertenece a la teoría de la eliminación . Véase también la regla de Cramer , que calcula el cociente de dos factores determinantes para el cálculo de la solución. Los modelos de ecuaciones simultáneasson una forma de modelo estadístico en la forma de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. A menudo se utilizan enla econometría .
En la aritmética modular , los sistemas simples de congruencias simultáneas pueden ser resueltos por el método de sustitución sucesiva . Ecuaciones simultáneas son más fáciles de resolver con este método. por mínimos cuadrados
Un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas se puede escribir en forma matricial como Ax = y. Si hay más ecuaciones que variables, el sistema se denomina sobredeterminado , y tiene (en general) no hay soluciones. El sistema puede T T. entonces ser cambiado a (A A) x = A y El nuevo sistema tiene tantas ecuaciones T como variables (la matriz A A es una matriz cuadrada ) y se puede resolver de la manera habitual. La solución es unade mínimos cuadrados solución del sistema original, sobredeterminado, minimizando la norma euclídea | | Ax - y | |, una medida de la discrepancia entre las dos partes en el sistema original.
INTERPRETACION GRAFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras delalfabeto latino, o si son demasiadas, con negras subíndices. Representación gráficaLos sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas. Clasificación de los sistemasUn sistema de ecuaciones sobre soluciones en:
puede clasificarse de acuerdo con el número de
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución. Un ejemplo de sistema incompatible es {54x − 36y = 9, − 54x + 36y = 30}, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39. Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en: Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman o una variedad continua. Un ejemplo de sistema compatible indeterminado es {x + y = 1,2x + 2y = 2} ya que claramente la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2. Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto o infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito depuntos de acumulación. Un ejemplo de sistema compatible determinado es {2x + 3y = 9,3x − 2y = 7} cuya solución única es y = 1 y x = 3.
Sistema lineal Artículo principal: Sistema lineal de ecuaciones Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones sonfunciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones li neales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son
números reales o complejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada. Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamadaforma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:
(2) La primera es la matriz de coeficientes, donde el término
representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita
de la ecuación i-ésima . La segunda es l a matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas que queremos averiguar. Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada término independiente de la ecuación i-ésima .
representa al
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como elmétodo de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo:
Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término encontramos alguna fila del tipo
, con
se corresponderá con el de la incógnita
. Si nos
, el sistema no tendrá solución.
Existencia de soluciones El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un sistema como(1) con . Si sucede que la función vectorial:
Es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y sujacobiano no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema (1). Ya que en ese caso existirá una función inversa, y podremos escribir la solución buscada simplemente como:
Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, elteorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso
