METODO PARA RESOLVER CIRCUITOS APLICANDO LEYES DE KIRCHOFF
El circuito de la figura es utilizado en una experiencia de laboratorio para verificar el cumplimiento de las leyes de Kirchoff. Solución: Mediante la aplicación de las leyes de Kirchoff vamos a determinar los valores de las corrientes que circulan por cada rama del circuito. Lo primero que hacemos es identificar la cantidad de nodos (punto del circuito donde coexisten tres o más corrientes). En este caso vemos que hay dos nodos; los puntos A y B. Los nodos van a determinar las ramas (porción de circuito comprendido entre dos nodos y por el cual circula una única corriente); por lo que tenemos tres ramas formadas por los elementos; Rama 1: V 1, R1 y R2, Rama 2: V2, R5 y R 6 y Rama 3: R3 y R 4; Como por cada rama circula una corriente, tenemos tres corrientes; I1, I2 e I3, respectiva respectivamente. mente. Para hallar las corrientes tendremos que plantear un sistema de ecuaciones (de nodos y de mallas) donde las incógnitas serán las corrientes; consecuentemente tendremos tantas ecuaciones como corrientes circulen por el circuito. En nuestro caso tres. Si hay n nodos, tendremos (n-1) ecuaciones de nodos, las restantes serán ecuaciones de mallas. Ahora identificamos cada una de las corrientes en el circuito, y el sentido de circulación lo elegimos arbitrariamente, pero siempre respetando la 1º Ley o ley de nodos (La suma de las corrientes que llegan al nodo es igual a la suma de las corrientes que salen; esto es, la suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es igual a cero – Principio de conservación de las cargas). Para ello debemos adoptar un convenio de signos; por ejemplo, tomamos como (-) las corrientes que entran y como (+) las que salen (puede ser al revés). Elegimos uno de los nodos. Por ejemplo, si analizamos el nodo B, y atendiendo a los sentidos de las corrientes adoptados, tendremos planteada la primera ecuación del sistema: -I1 -I2 + I3 = 0 (1) Nos resta armar las ecuaciones de mallas. Se llama malla a todo recorrido cerrado en un circuito (sin pasar dos veces por el mismo lugar). Así en el circuito podemos identificar tres mallas. Pero como ya tenemos una ecuación de nodos, solo necesitamos dos ecuaciones de malla para completar el sistema. Entonces, de las tres mallas elegimos dos. Por comodidad seleccionamos las dos mallas paralelas. Para plantear las ecuaciones de mallas debemos elegir el sentido en que vamos a recorrerlas, en nuestro caso serán los indicados con M1 y M2. Cuando recorremos la malla nos vamos a encontrar con los elementos del circuito y con las corrientes de cada rama en ese recorrido. Hagamos un paréntesis pera observar un convenio. Dentro de una fem o pila, la corriente circula desde un potencial menor (-) a un potencial mayor (+), en cambio en una resistencia, lo hace desde un
Ing Carlos A. Merino
1
potencial mayor a un potencial menor, por eso se dice que en la resistencia se produce una caída de potencial. Para ilustrar esto, observe la figura en la que se representa una grafica de potencial en correspondencia con cada uno de estos elementos. (Los signos + y – en la resistencia no indica polaridad sino mayor y menor potencial respectivamente) Recordando la segunda Ley o ley de mallas; que establece que en un recorrido cerrado la suma de todas las fem (V) es igual a la suma de las caídas de potencial sobre las resistencias (IR) – Principio de conservación de la energía- ; esto es ΣV = ΣIR, o bien ΣV – ΣIR= 0. Entonces para armar la ecuación de una malla, comenzamos desde un punto (por ej. un nodo) y recorremos la malla hasta volver al punto de partida. Teniendo en cuenta el convenio anteriormente explicado, cuando en el recorrido pasamos por una fem y este coincide con el sentido de la corriente, decimos que el potencial sube, entonces sumamos (+V) si el sentido de la corriente es opuesto al recorrido, el potencial decae; en ese caso restamos (-V). Si al pasar por una resistencia coincidimos con el sentido de la corriente, el potencial decae, por lo tanto restamos (-I.R) y si los sentidos de recorrido y corriente son opuestos; el potencial sube, entonces sumamos (+I.R). Vamos a analizar la malla 1: Partimos desde el nodo B. Al encontrarnos con R 2 vemos que el recorrido es opuesto a la corriente I 1, según lo anteriormente explicado, vamos de un potencial mayor a un potencial menor, por lo tanto sumamos (+I1.R2), igualmente con R1 que también sumamos (+I1.R1). Seguimos y nos encontramos con V1 vamos de un potencial mayor a uno menor, entonces restamos (-V 1). Pasamos por el nodo A y nos encontramos con R 3 y R4 y la corriente I3, nuevamente el recorrido es opuesto a esta corriente por lo que sumamos (+I 3.R3) y (+I3.R4) y terminamos el recorrido nuevamente en el nodo B. Así podemos armar la primera ecuación de malla, quedando: I1.R1 + I1.R2 + I3.R3 + I3.R4 – V1 = 0 (2) Segunda ecuación del sistema. De la misma forma analizamos la malla 2. Nuevamente partimos del nodo B. al pasar por R4 y R3, vemos que nuestro recorrido coincide con el sentido de la corriente I 3, entonces estamos yendo de un potencial mayor a uno menor, por lo que restaremos (-I3.R4) y (-I3.R3). Al pasar por V2, vamos de un potencial menor a uno mayor por lo que sumamos (+V 2) y al pasar por R5 y R6, nuevamente el recorrido coincide con el sentido de I 2, por lo que restaremos (-I 2.R5) y (-I2.R6) y así regresamos al nodo B cerrando el recorrido. Tenemos ya la segunda ecuación de malla y tercera ecuación del sistema: -I3.R4 - I3.R3 - I2.R5 - I2.R6 + V2 = 0 (3) Ahora armamos el sistema -I1 -I2 + I3 = 0 I1.R1 + I1.R2 + I3.R3 + I3.R4 – V1 = 0 (Cada una de las I.R nos da la d.d.p sobre la respectiva resistencia) -I3.R4 - I3.R3 - I2.R5 - I2.R6 + V2 = 0 Agrupamos, ordenamos y pasamos al segundo miembro a V 1 y V2 (estas son datos) -I1
-I2
(R1+R2).I1
+ I3 = 0 +(R3+R4).I3 = V1
– (R5+R6).I2
-(R4+R3).I3 = -V2
Nota: Observe la asociación en serie de las resistencias de cada rama (R 1+R2, R3+R4 y R5+R6)
Ing Carlos A. Merino
2
Ya tenemos el sistema de ecuaciones armado, solo resta resolverlo por cualquier método conocido (para tres o más ecuaciones, resulta más sencillo aplicar el método de determinantes) Si los valores de I1, I2 e I3; resultan positivos (+), significa que el sentido arbitrario que le dimos a las corrientes es el correcto. Si alguna de las corrientes resulta con signo negativo (-), su real sentido es opuesto al que nosotros elegimos. En cualquier caso, se debe verificar el cumplimiento de la ley de nodos.Una vez halladas las corrientes. Podemos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del circuito. Para calcular la d.d.p. entre los puntos C y D, aplicamos el mismo criterio de recorrido de mallas, solo que ahora no tendremos un circuito cerrado, ya que comenzaremos en un punto y finalizaremos en otro distinto. Veamos como se hace: Partimos del punto C que está a un potencial V C y vamos a llegar hasta el punto D que está a un potencial VD. Comenzamos el recorrido y nos queda: V C – I 3.R3 + V2 – I 2.R5 = V D, por lo que la d.d.p. buscada será; VC-VD = I3.R3 - V2 + I2.R5 Si esta diferencia es positiva, significa que el potencial del punto C (VC) es mayor que el potencial del punto D (V D), si es negativa, será lo contrario. Si se conecta un capacitor de capacidad CµF a estos puntos, se cargará a la d.d.p. VC-VD. La carga que adquirirá el capacitor será: Q = C. VCD; y sus placas se polarizarán; con cargas positivas (+) la que está conectada al punto de mayor potencial y con carga negativa (-) la conectada al punto de menor potencial.-
Ing Carlos A. Merino
3
