metodo para calcular determinantes

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE GUERRERO UNIDAD ACADEMICA DE CONTADURIA Y ADMINISTRACION

METODO CUANTITATIVO PROFESOR: M.C. ADRIAN MORALES GALVEZ TURNO: MATUTINO GRUPO: 813

INTEGRANTES: GOMEZ ZARAGOZA TANIA NATIVIDAD GPE. MEZA ROMERO BRENDA BEATRIZ APOLINAR MORALES GADIEL FERNANDEZ MARTINEZ JOEL MORENO PINEDA SALVADOR

ABRIL 2008

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INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………………………… ………………………….3 DEFINICIÓN DE DETERMINANTES………………………………………………………… ………………..4 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES……………………………………………… ……………….5 MÉTODOS PARA CALCULAR DETERMINANTES………………………………………… …………..7 A. MÉTODO MÉTODO CRUZADO CRUZADO ………………………… …………………………………… …………………… …………………… ………………… ……… ……………………9 B. MÉTODO MÉTODO DE COFACT COFACTORES ORES ……………………… ………………………………… …………………… …………………… ………… ………………….9 C. MÉTODO MÉTODO DE REDUCCIÓ REDUCCIÓN N A LA L A FORMA ESCAL ESCALONAD ONADA A (GAUSS). (GAUSS). MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………………………………………………………………………………… …………………………….11 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES…………………… …….12 A. RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES SIMULT SIMULTANEAS………………………………… ANEAS………………………………… ………14 B. ELIMINA ELIMINACIÓN CIÓN DE GAUSS……… GAUSS………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ………… …………………15 C. ELIMINA ELIMINACIÓN CIÓN DE GAUSS-JORDÁN GAUSS-JORDÁN …………………… ……………………………… …………………… ……………… …… ……………..18 D. SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS……………………… HOMOGÉNEAS……………………… ……20

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………...23











INTRODUCCIÓN

El mundo de la administración esta cambiando, día a día los directores de una organización se ven en la necesidad de tomar decisiones muy importantes de las cuales dependerá el futuro de su empresa.

En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se puede hacer de muchas formas, la definición que daremos nos permit permite e obtene obtenerr un proce procedim dimien iento to relat relativa ivamen mente te fácil fácil para para el cálc cálculo ulo de dete determ rmin inan ante tes, s, part parte e de la teor teoría ía de dete determ rmin inan ante tess envuelve procesos engorrosos y difíciles que no serán expuestos. Con Con la elab elabor orac ació ión n de este ste trab trabaj ajo o busc busca aremo emos compr ompren ende derr y entender la resolución de ecuaciones para la toma de decisiones dentro de una organización.











DEFINICIÓN DE DETERMINANTE El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por

(las barras no significan valor absoluto).

(Determinante de una matriz de orden 1) DEFINICIÓN 2.1 (Determinante

Si

es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a. Ejemplo 1

DEFINICIÓN 2.2(Menores y cofactores de una matriz de orden n)

Sea A una matriz de orden elemento

, definimos el menor

asociado al

de A como el determinante de la matriz que se obtiene al

eliminar la la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor elemento

de A esta dado por

.

asociado al











PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|.Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.Si se multiplican todos los elem elemen ento toss de una fila fila (o de una colu column mna) a) por por un núm número, ero, el determinante queda multiplicado por ese número.Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero .Si dos fila filass (o dos colu column mna as) de una una matr matriz iz son son propor porcion ciona ales, les, el determinante es cero. Si descomponemos en dos sumandos cada número de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero. Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía. Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varíe. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los











El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante. |A -1| = 1 / |A| Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes. Resolvamos Resolvamos el sistema:

Las fórmulas son:













Recordemos Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es:

Como se puede observar, para que podamos utilizar el método de Cramer, el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule. Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras, es decir, tendríamos parámetros. La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que que tome tomemo moss como como pará paráme metr tro o y de esta esta for forma tend tendrremos emos un determinante que no se anula pero de menor grado. Al aplicar las fórmulas de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes.

METODOS PARA CALCULAR DETERMINANTES Cálculo de determinantes por el método de Gauss

Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo cálculo de determ determina inante ntess usando usando las propi propieda edades des de éstos. éstos. Dicho Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el prob proble lema ma se reduc educe e a calc calcul ular ar un dete determ rmin inan ante te de una una matr matriz iz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.











Si a un menor M de orden h de la matriz A se le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q. Ejemplo

El método para el cálculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos: Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango será 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida. 1. Se orla el menor menor de orden orden k hasta encont encontrar rar un menor menor de orden orden k+1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método. 2. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole al menor de partida los elementos de una línea i 0 son nulos, podemos elim elimin inar ar dich dicha a lín línea por porque que es comb combin inac ació ión n de las las que que componen el menor de orden k. 3. Si todos todos los menore menoress de orden orden k+1 k+1 son nulos nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el método en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k).











Por tanto rg(A)=3











Ahora sacas la derivada respecto a y, de la derivada parcial en x ∂²f(x,y)/(∂x∂y) Ahora se dice que si la función es continua la derivada cruzada de y respecto a x, debe ser igual a la que escribimos, esto es: ∂²f(x,y)/(∂x∂y)

=

∂²f(x,y)/(∂y∂x)

Osea que si la función cumple ciertas propiedades no importa si derivamos primero respecto a x o respecto a y para obtener las cruzadas. Y esto lo podemos trasladar a 3 o más variables

B) METODO DE COFACTORES

SOLUCIÓN POR COFACTORES COFACTORES

El estudiante se preguntará si existe un método único que resuelva determinantes de cualquier orden, la respuesta es afirmativa y se dará su demostración partiendo de la solución general del .

Sacando factor común y agrupando (observando la primer fila)

Cambiando signo al segundo término











Se observa que los determinantes que acompañan acompañan a los elementos elementos a 1 b1 c1 se obtienen al eliminar la fila y columna a que pertenecen resp respec ecti tiva vame ment nte, e, y que que uno uno de ello elloss tien tiene e sign signo o nega negati tivo vo.. Estos Estos determinantes reciben el nombre de COFACTOR COFACTOR de un elemento de un determinante quedando su definición como sigue: Definición. Se lla llama COFA OFACTOR CTOR de un elem elemen ento to de un deter eterm minan inante te al determinante de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y columna a que pertenece dicho elemento y que además posee signo positivo o negativo. Para justificar el signo del cofactor del elemento, se puede pensar en dos formas. 1. Tendrá signo positivo si la posición del elemento en cuanto a la suma de fila y columna es número par y negativo si la suma da impar. 2. El sign signo o del del cofa cofact ctor or del del elem elemen ento to de de un dete deterrminan inante te ten tendrá drá signo positivo o negativo de acuerdo a la siguiente “tabla” de signos.

El valor de cualquier cualquier determin determinante ante de orden orden n, es igual a una suma algebr algebraic aica a de n tér término minos, s, cad cada uno uno de los los cual cuales es se for forma al mult multip ipli lica carr cada cada elem elemen ento to de cual cualqu quie ierr fila fila o colu column mna a por por su COFACTOR correspondiente. Ejemplo Ejemplo.. Calcul Calcular ar el valor valor del Determin Determinant ante e del ejemplo ejemplo anterio anteriorr usando el Método de Cofactores a): tomando como base los elementos de la 1er fila













Solución. a)

Base a 1er fila.

Este método odo de soluc lución se “Compli plica” cuando se aplic lica a Determinantes de Orden Superior. Dicho problema se puede evitar si conocemos las Propiedades de los Determinantes para combinarlas con la solución s olución por cofactores.

MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes .











Recordemos Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es :

Como se puede observar, para que podamos utilizar el método de Cramer , el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que











INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS. Introducción 

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es uno de los problemas matemáticos más importantes en Ingeniería Ø Hasta la llegada de los computadores digitales (segunda mitad del s. XX) XX) la capa capaci cida dad d de resol esolve verr sist sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es esta estaba ba muy muy limitada, no por la complejidad del problema, sino por el número de operaciones aritméticas Ø Ahora se puede resolver con un PC un sistema 1000×1000 en menos de 1 seg. Ø Con programas especiales que aprovechan la estructura de la matriz se pued pueden en reso resolv lver er de form forma a ruti rutina naria ria con con PCs, PCs, siste sistema mass de dece decena nass ó cientos de miles de ecuaciones lineales

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Muchos métodos matemáticos (cálculo de valores y vectores propios, integración de ecuaciones diferenciales, optimización, ...) se reducen a la resolución repetida de sistemas de ecuaciones lineales La reso resolu lució ción n de sist sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es line lineal ales es tien tiene e adem además ás un











Ø Se puede utilizar una misma factorización para un número grande e incluso indeterminado de segundos miembros

A) RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS Cuando se escribe el sistema de ecuaciones que representan el flujo en un sist sistem ema a de tube tuberí rías as debe deben n obte obtene ners rse e fina finalm lmen ente te tant tantas as ecuaci ecuacione oness indepe independi ndient entes es como como incógn incógnita itass del sistem sistema a físico físico.La .Lass ecuaciones obtenidas deben satisfacerse simultáneamente, lo cual significa que se debe obtener su solución simultánea. Las ecuaciones simultáneas obtenidas son de diversas características: o

o

o

Las ecuaciones provenientes de la energía son cuadráticas, si se ha usado la ecuación racional de Darcy-Weisbach. Describen la disipación de energía a lo largo de las tuberías. Las ecuaciones provenientes de la continuidad de caudales son lineales. Describen la distribución de caudales en los nudos. Las ecuaci ecuacione oness prove provenie niente ntess de los factor factores es de fricció fricción n son logarítmicas, si se ha usado la expresión de Colebrook-White.











4. Con los valores supuestos calcular la primera incógnita mejorada, por ejemplo Q 1mejorado mediante la ec. 1. 5. Actualizar el vector solución: (Q 1mejorado , Q2, Q3, ..., f 1, f 2, f 3...) 6. Con el vector actualizado calcular la siguiente incógnita mejorada con la siguiente ecuación, por ejemplo Q 2mejorado mediante la ec. 2. 7. Actualizar el vector solución: (Q 1mejorado , Q2mejorado, Q3, ..., f 1, f 2, f 3...) 8. Obtener las demás incógnitas mejoradas a partir de la utilización de las otras ecuaciones. 9. Reanudar desde el paso 4 hasta que el vector solución se estabilice en valores constantes para todas las incógnitas.

C) ELIMINACIÓN DE GAUSS El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebricas lineales simultáneas, es aquel en el que que se elim elimin inan an las las incó incógn gnit itas as medi median ante te la comb combin inac ació ión n de las las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación . eliminación n Gaussian Gaussiana a si en el proceso de Se deno denomi mina na eliminació eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss.













(6 )

en el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera: 1. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en

esa ecuación para obtener:











Siguie iend ndo o los los paso pasoss ante anteri rior ores, es, la segu segund nda a ecua ecuaci ción ón (8) (8) se 4. Sigu convierte convierte en la ecuación pivote , y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote. Esta reducción nos conduce a:

(9 )











ecuación ón pivot pivote e la prim Utili Utiliza zand ndo o como como ecuaci rimera ecuación ión (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:

X1 + 4 X2 + X3 =7 2 X2 - 2 X3 = 6

( 11)

9 X2 + (0) X3 = -9 A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones: X1 + 4 X2 + X3











Supongamos que es necesario encontrar los números x , y , z , que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones 2 x + y − z = 8, − 3 x − y + 2 z = − 11, − 2 x + y + 2 z = − 3 Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas: •

•

•

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales











2 x = 4, , − z = 1 Despejando, podemos ver las soluciones: x = 2, y = 3 y z = −1. Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial: Primero:













Consideramos la ecuación

y supongamos que Podemos resolver directamente esta ecuación: Será Será forma, tendremos

...... ......... ...... ...... ...... ...... ...De De la misma misma











• La suma de las dos soluciones anteriores también es una solución. Lo comprobamos sustituyendo. • Hemo Hemoss obte obteni nido do una una solu solució ción n que que depe depend nde e de dos dos constantes arbitrarias. Todas Todas las soluciones están comprendidas en la fórmula:











Podem odemos os trat tratar ar este este caso caso en la mism misma a for forma que que el primero, de forma que obtenemos que la solución soluc ión es

Esta solución es satisfactoria, salvo si observamos que la solu soluci ción ón está está expr expres esad ada a en térm término inoss de funciones de variable compleja. Si escribimos las raíces en forma polar,











metodo para calcular determinantes

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