Método de Kani - Análisis Estructural

ANÁLISIS MÉTODO DE KANI ESTRUCTURAL

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

Tema: MÉTODO DE KANI

Curso: ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Alumos: 

ESPINO!A PAC"AS# $a%r



RAMIRE! ALEGRE# Es&e'a(



VAS)UE! TORREALVA# M%lser

Do*e&e: L+PE! CARRAN!A RU,EN ATILIO

Nue-o C.%m/o&e 0 Per1 2345

ÍNDICE

INTRODUCCION O,$ETIVOS I. II. III. IV.

6

7

VENTA$AS DEL MÉTODO DE KANI 5 CASO DE ESTRUCTURAS SIN DESPLA!AMIENTO 5 ESTRUCTURAS SIN DESPLA!AMIENTO CON E8TREMOS ARTICULADOS 9 P+RTICOS CON NUDOS DESPLA!A,LES EN SENTIDO "ORI!ONTAL: CARGAS "ORI!ONTALES

NICAMENTE EN LOS NUDOS 43 V. P+RTICOS CON DESPLA!AMIENTO "ORI!ONTAL DE LOS NUDOS ; COLUMNAS ARTICULADAS EN LA ,ASE 46 VI. PROGRAMACI+N DEL MÉTODO DE KANI APLICADO A P+RTICOS ORTOGONALES VII. E$ERCICIOS DE APLICACI+N 45

INTRODUCCIÓN

<

45

Au=ue e la a*&ual%>a> e?%s&a @roramas >e *om@u&a*%B =ue *al*ula es&ru*&uras *om@leas >e maera ms r@%>a ( e?a*&a# es e*esar%o mo-ar a los es&u>%a&es a =ue &ea *oo*%m%e&o >e la &eora >e es&os *l*ulos *o el  >e >esarrollar su *a@a*%>a> >e al%s%s# lB%*a ( ra*%oal e %*e-ar su a@re*%a*%B# su se>o ( su %&u%*%B# *o rela* %B al *om@or&am%e&o >e las es&ru*&uras# s% @er>er >e -%s&a as@e*&os rele-a&esH

Para real%ar los *l*ulos es&os @roramas >esarrolla los mJ&o>os =ue# *o el @aso >el em@o# se .a %>o e*o&ra>o e %*or@ora>o al al%s%s >e es&ru*&urasH

El *oo*%m%e&o >e es&os mJ&o>os so >e ra %m@or&a*%a (a =ue .a s%>o el 'u>ame&o &eBr%*o =ue r%e el *om@or&am%e&o >e las es&ru*&uras# es&o u&o *o la e?@er%e*%a a>=u%r%>a e el eer*%*%o >el @ro*eso >e >%seo a(u>a a 'ormar e el %e%ero *%-%l u /ue *r%&er%o es&ru*&ural @ara *al*ular es&ru*&uras *oa/lesH

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL

6

Desarrollar el MJ&o>o >e Ka%H

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 

E?@l%*ar @ara =ue es&ru*&uras se @ue>e real%ar el mJ&o>o >e Ka%



E?@l%*ar *Bmo se real%a el MJ&o>o >e Ka%



Real%ar eer*%*%os >e a@l%*a*%B

I. VENTAJAS DEL MÉTODO DE KANI

7



Se &ra&a >e u mJ&o>o >e a@ro?%ma*%oes su*es%-as (# e *ose*ue*%a# las res@ues&as se @ue>e lorar *o la e?a*&u> =ue se >esee# m%e&ras las .%@B&es%s 'u>ame&ales ( los >a&os lo @erm%&a



La %*lus%B >e los e'e*&os >e >es@laam%e&os se .a*e e 'orma mu( s%m@le



La 'ormula*%B >el @ro*e>%m%e&o *o>u*e a ua el%m%a*%B @r**ame&e au&om*a >e los errores o*as%oales



Es mu( '*%l -er%*ar e *ual=u%er u>o la /o>a> >e los resul&a>os



Los *am/%os e-e&uales >e *aras o >%mes%oes e *ual=u%er eleme&o se @ue>e &eer e *ue&a *o mu( @o*o es'uero a>%*%oal



No es >%*%l >e a@l%*ar a es&ru*&uras *o m%em/ros a*ar&ela>os

II. CASO DE ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO La >e>u**%B >e las 'Brmulas /s%*as @ara el &ra&am%e&o >e las es&ru*&uras s% >es@laam%e&o rela-o >e sus e?&remos es *om@le&ame&e aloa a la -%s&a a&er%orme&e e los mJ&o>os >e ulos >e %ro ( >ee?%B ( Cross solame&e e?%s&e l%eros *am/%os e ome*la&ura# *omo se ao&a a *oua*%BH De ue-o se *os%>era =ue el es&a>o al >el eleme&o se al*aa me>%a&e la su@er@os%*%B >e &res e'e*&os: el >e las *aras *os%>era>o em@o&ram%e&o e los u>os# el e'e*&o >el %ro e el u>o % ( el e'e*&o >el %ro e el u>o H Los mome&os seala>os e la ura 4 so los =ue *orres@o>e a eleme&os @r%sm*os# ( se .a ul%a>o las rela*%oes -%s&as a&er%orme&eH

Figur ! Eleme&o s% >es@laam%e&o rela-o >e su e?&remo El le*&or re*oo*er '*%lme&e =ue# e &al *aso: 0

2 M ij =

4 EI

L

θi

4 0

M ij =

2 EI

L

θi

2

5

A@l%*a>o el Pr%*%@%o >e su@er@os%*%B a la ura 4# se o/ee e&o*es: F

0

0

M ij = M ij + 2 M ij + M ji F

0

<

0

M ji = M ji + 2 M ji + M ij

6

Cos%>era>o a.ora u u>o % >e la es&ru*&ura ( &o>os los eleme&os *oe*&a>os e Jl# el e=u%l%/r%o >el u>o e?%e =ue:

M ∑ ()

ij

=0

i

( al ul%ar la e*ua*%B <:

(M ∑ ( )

F ij

+ 2 M ij0 + M 0ji ) =¿

i

(M ∑ ()

F ji

+ 2 M 0ji + M 0ij ) =0 ( 5 )

i

´ i # *omo la suma&or%a >e los M

De%e>o a.ora el Momento de fjación del nudo #

mome&os >e em@o&ram%e&o e los e?&remos >e los eleme&os =ue *o*urre a Jl# o sea:

M ´ i=

M ( ) ∑ i

F ij

(6 )

( re>o>ea>o la e*ua*%B 7# se o/ee:

−1 ´ M = M +∑ M ∑ 2 [ ( ) ( ) 0

ij

i

i

0

ji

i

]( ) 7

A.ora /%e# las e*ua*%oes 4 ( 2 mues&ra =ue los mome&os >e/%>os al %ro so @ro@or*%oales o sBlo a la ma%&u> >e Js&e s%o &am/%J a la r%%>e >el eleme&o %-olu*ra>oH Es >e*%r#

M ij α K ij θi

Q

De &al maera =ue# s% &o>os los eleme&os =ue *o*urre al u>o % ee *o>%*%oes s%m%lares >e a@o(o e su o&ro e?&remo# la *os&a&e >e @ro@or*%oal%>a># u# ser %>J*a ( @o>r es*r%/%rse la s%u%e&e @ro@or*%B: 0

M ij

∑ ( i)

0

M ij

=

K ij θi

∑ (i )

( K ij θi )

=

K ij θi θi



∑ (i )

K ij

=

K ij

∑K (i)

9 ij

e =ue se .a ul%a>o el su@ues&o >e u>o r%>o (# @or *os%u%e&e# el m%smo -alor >e

θi

@ara &o>os los eleme&osH Reem@laa>o e es&a e*ua*%B el -alor >a>o @or la e*ua*%B  ( >es@ea>o# se llea a: 0

M ij =

−1 K ij

[ M´ +∑ M ]( 0

∑( ) K

2

i

ij

(i)

ji

10)

i

( >e%e>o el coefciente de giro,

μij = −1 2

μij , *omo:

K ij ( 11) K ij

∑ ( ) i

la e?@res%B a&er%or se @ue>e es*r%/%r as:

[

´ i+ M ij =μ ij M 0

∑M (i )

0

ji

](

12)

=ue *os&u(e la e*ua*%B /s%*a @ara el @ro*eso %&era-o >e Ka%H NB&ese =ue los coefcientes de giro so la m%&a > >e los coefcientes de distribución >e Cross# @ero *o s%o *o&rar%o e 0

-%r&u> >e la >%'ere*%a e ome*la&ura  2 M ji

-s

M i H De la e*ua*%B 44 es e-%>e&e

=ue la suma >e los coefcientes de giro >e los eleme&os =ue llea a u u>o >e/e >ar a.ora 42# >a&o 1l e la -er%*a*%B >e o@era*%oesH ´ i so -alores os *oo*%>os# la ese*%a >el @ro*eso *os%s&e e Pues&o =ue μij ( M a@l%*ar su*es%-ame&e a &o>os los eleme&os la e*ua*%B 42# ul%a>o *a>a -e los 1lmos -alores .alla>os >e

0

M ji H Cua>o la >%'ere*%a e&re los -alores o/&e%>os e >os *%*los

*ose*u-o @ara &o>os los eleme&os es meor =ue el error @erm%>o# se *os%>era &erm%a>o el @ro*eso %&era-o ( los 1lmos -alores o/&e%>os se lle-a a las e*ua*%oes < ( 6 @ara o/&eer los mome&os &o&ales e *a>a e?&remoH

E s&es%s# los @asos %-olu*ra>os so: !.

E-al1ese los *oe*%e&es >e %ro 

μij  ( mome&os >e em@o&ram%e&o 

F M ij H

LlJ-ese es&os -alores a u >%arama a>e*ua>o ( *al*1lese los mome&os >e a*%B 

´ i  >e *a>a u>oH M ".

A>B@&ese ua se*ue*%a >e re*orr%>o >e los u>os# em@ea>o @or el >e ma(or mome&o >e a*%B @ara a*elerar la *o-ere*%aH

#.

A@l=uese a *a>a uo >e los eleme&os =ue *o*urre a *a>a u>o la e*ua*%B 42 ( es*r/ase e el >%arama los resul&a>os o/&e%>os =ue *os&u(e @ara ese *%*lo los

Q

-alores >e

0 M ij H O/sJr-ese =ue es&os -alores se *o-%er&e e

0

M ji

al @asar a los

u>os o@ues&osH $.

Ua -e re*orr%>os &o>os los u>os se ee *o*lu%>o u *%*lo ( se re@%&e el @aso < ua ( o&ra -e .as&a o/&eer *o-ere*%a e &o>os los u>osH

%.

A@l=uese e&o*es las e*ua*%oes < ( 6 a &o>os los eleme&os# *o lo *ual se o/&e>r los mome&os >e%-os e *a>a uo >e los e?&remosH Para me*a%ar a1 ms el @ro*eso# o/sJr-ese =ue es&as e*ua*%oes @ue>e es*r%/%rse e la s%u%e&e 'orma e=u%-ale&e:

M ij = M ij + 2 M ij + ( M ij + M ji )


M ji = M ji + 2 M ji + ( M ij + M ji )

6a

F

0

F

0

0

0

0

0

III. ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO CON E&TREMOS ARTICULADOS E la >e>u**%B >e la e*ua*%B 9# se *os%>erB =ue &o>os los eleme&os u%>os e el u>o % &ea *o>%*%oes s%m%lares >e a@o(o e el e?&remo o@ues&oH S% es&e o es el *aso# se &e>r @ara aluos eleme&os =ue: 0

M ij =a0 K ij θi

m%e&ras =ue @ara o&ros: 0

M ik= a1 K ik θi= β a0 K ik θi β =a 1 / a0

e >o>e

es la rela*%B =ue e?%s &e e&re los *oe*%e&es >e las r%%>e*es

a/solu&as >e los eleme&os %-olu*ra>osH Es&a 1lma e?@res%B se @ue>e rees*r%/%r *omo:

M ik= a1 ( β K ik ) θ i=a 0 K ik θ i '

0

'

e >o>e

K ik

re@rese&a la r%%>e mo>%*a>a >el eleme&o e *o>%*%oes >%'ere&esH

Em@lea>o >%*.a r%%>e mo>%*a>a# resul&a e&o*es >e ue-o la e*ua*%B 9 @ero e &Jrm%os >e es %ual a

' K ij H Para los eleme&os *o e?&remo o@ues&o em@o&ra>o# o/-%ame&e

K ij (a =ue @ara ellos

β -ale uoH

Ilus&ra>o es&o @ara u eleme&o @r%sm*o se re*or>ar =ue: 0

2 M ij =

[ ] 4 EI

L

9

ij

θi

'

K ij

0

M ij =(2 EK )ij θ i

a0 = 2 E

Para el m%smo eleme&o# @ero *o e?&remo ar*ula>o: 0

2 M ij =

3 EI

θi

L

0

M ij

ij

=[ [ ]] 3

2

EK θi ij

3

a1 = E 2

Por *os%u%e&e:

β= (

a1 a0

=

3/ 2 E 2E

=

3 4

3

'

K ij = β K ij = K ij 4

o sea# =ue /as&ar &omar *omo r%%>e mo>%*a>a &res *uar&as @ar&es >e la r%%>e real# =ue *o%*%>e *o lo =ue se .a/a .e*.o e el mJ&o>o >e CrossH

IV. PÓRTICOS CON NUDOS DESPLAZABLES EN SENTIDO 'ORIZONTAL( CARGAS 'ORIZONTALES )NICAMENTE EN LOS NUDOS Cua>o los @Br*os o so s%mJ&r%*os e eome&ra ( *aras# o *ua>o es& some>os a 'ueras .or%o&alesH su'r%r >es@laam%e&os o>ales a meos =ue Js&os es&J %m@e>%>os @or u arr%os&ram%e&o a>e*ua>oH E el *aso >e @Br*os or&ooalesH e %ora>o >e ue-o los e'e*&os >e las >e'orma*%oes a?%alesH se &e>r u >es@laam%e&o .or%o&al @or *a>a @%so ( la >%'ere*%a >e >es@laam%e&os e&re >os @%sos *ose*u-os @ro>u*%r mome&os a>%*%oales e las *olumas res@e*-as# *omo se -%o e el *a@&ulo a&er%orH Al &eer e *ue&a es&e e'e*&oH %>%*a>o e la ura 2# ( su@er@oerlo a los &res es&a>os >e la ura 4H -%s&os a&es# las e*ua*%oes < ( 6 se reem@laa @or: F

0

''

4<

F

0

''

46

M ij = M ij + 2 M ij + M ji M ji = M ji + 2 M j i + M ji

43

Figur " E'e*&o >el >es@laam%e&oH ( @la&ea>o e=u%l%/r%o e u u>o %:

(M ∑ ( )

F ij

+ 2 M 0ij + M 0ji + M 'ij' ) =¿

i

¿ ∑ M Fij + ∑ 2 M 0ij +∑ M 0ji + ∑ M ''ij =0 ( 15 ) (i )

(i )

(i )

(i )

>e >o>e se o/ee:

−1 ´ M = M +∑ M +∑ M ∑ 2 [ ( ) ( ) ( ) 0

0

ij

i

i

ji

i

'' ij

i

](

16

)

( @or u ra*%o*%%o s%m%lar al -%s&o a&es e la >e>u**%B >e la e*ua*%B 42 se o/ee# su@o%e>o *o>%*%oes >e a@o(o s%m%lares# el -alor >el mome&o @or %ro e el *aso >e >es@laam%e&o:

[

0 ´ i+ M ij =μ ij M

∑ M +∑ M 0

ji

(i )

(i )

'' ij

](

17

)

Re*or>a>o a.ora el e=u%l%/r%o >e 'ueras .or%o&ales e *ual=u%er @%so ( su@o%e>o =ue las *aras .or%o&ales a*&1a a %-el >e @la*a se1 se %>%*a e la ura <: n

m

H =∑ Q ( 18 ) ∑ = = i

i 1

ij

i 1

Qn+1, k =Qnk = n

m

H =∑ ∑ = = i

i 1

k 1

M nk + M n +1, k ( 19) h nk

M nk + M n+1, k ( 20 ) hnk

44

Figur # E=u%l%/r%o >e 'ueras .or%o&ales e el @%so H

hnk = hn (

; s% &o>as las *olumas >el @%so *os%>era>o ee la m%sma al&ura n

hn

m

H =∑ ( M ∑ = = i

i 1

nk

+ M n+1, k ) ( 21 )

k 1

Co-%%e>o a.ora e =ue los su/>%*es % (  se reere e las 'Brmulas s%u%e&es a los e?&remos %'er%or ( su@er%or# res@e*-ame&e# >e la *oluma e la @os%*%B # # ( reem@laa>o e la e*ua*%B 23 las e*ua*%oes 4< ( 46# se llea a: n

m F

h

n

= ∑ i 1

F

0

H =k = 1 [ M ij + M ji ] + 3 i

∑

( ) ∑ n

''

0

[ M ij+ M ji ]+

( ) ∑ n

''

[ M ij + M ji ] (22 )

Como se .a su@ues&o =ue las *aras .or%o&ales a*&1a sBlo a %-el >e @la*a ( la e*ua*%B a&er%or se reere a *olumas: F

F

M ij = M ji =0 2< A>ems# e el *aso >e eleme&os @r%sm*os: ''

''

M ij = M ji

26

>e &al maera =ue la e*ua*%B 22 se @ue>e rees*r%/%r as: n

∑ ( n)

''

−3

M ij =

2

Se -%o a&er%orme&e =ue:

[

− hn ∑ H i

[] [

i=1

0

]

K K M α ∆ = a ∆ ( 26 ) h ij h ij '' ij

0

25

ij ji (n ) [ M + M ] ( +∑ )

3

42

]

Por *os%u%e&e# *ua>o &o>as las *olumas >el @%so ee las m%smas *o>%*%oes >e a@o(o ( se >es@re*%a las >e'orma*%oes a?%ales# *o lo *ual el >es@laam%e&o rela-o @ara &o>as ellas es el m%smo# se @ue>e es*r%/%r: ''

M ij

[ =

a

K ∆ h

]

ij

M ∑ ∑ [ a Kh ∆ ( ) '' ij

n

( n)

[ ] = ] [ ]∑

a∆ K h ij

a∆ h

ij

=

K ij

K ij K ∑ ( )

( 27 ) ij

n

(n )

; reem@laa>o e es&a rela*%B la e*ua*%B 27: ''

M ij =

−3 K ij 2

∑

K ij

(n )

[

−h n ∑ H i 3

]

+∑ [ M ij + M ji ] ( 28 ) 0

(n )

0

De%e>o a.ora u Momento de piso según Kani: n

hn

( M PK ) n−

H ∑ =

i

i 1

3

( 29 )

=ue *omo se -e es u &er*%o >el mome&o >e @%so e el mJ&o>o al&ero >e Cross e*ua*%B 47# ( uos coefcientes de desplazamiento:

γ ij = − 3 K ij ( 30) 2 K ij

∑ ( ) n

e=u%-ale&es e *ose*ue*%a al &r%@le >e los coefcientes translación >el mJ&o>o *%&a>o e*ua*%B 2<H La e*ua*%B 2Q se &ras'orma e: ''

[

M ij = γ ij M PK +

[M ∑ ( )

0

ij

]

+ M 0ji ] ( 28 a )

n

Es&a e*ua*%B ( la 4  so las e*ua*%oes /s%*as e la a@l%*a*%B >el mJ&o>o >e Ka% a @Br*os *o >es@laam%e&oH Cua>o o .a( *aras .or%o &ales#

M PK

-ale *ero ( la

e*ua*%B 2Qa se re>u*e a: ''

M ij = γ ij

0

[∑( ) [ M n

ij

0

+ M ji ] ( 28 b )

]

E eeral# el @ro*e>%m%e&o >el umeral 2 =ue>a mo>%*a>o e la s%u%e&e 'orma: 4H E-al1ese los *oe *%e&es >e %ro  mome&os >e em@o&ram%e&o  M

F ij

μij # *oe*%e&es >e >es@laam%e&o  γ ij #  ( mome&os >e @%so se1 Ka% 

M PK H

LlJ-ese es&os -alores a u es=uema a>e*ua>o >e la es&ru*&ura ( *al*1lese los mome&os

´ i  >e *a>a uoH >e a*%B  M 4<

2H A>B@&ese ua se*ue*%a >e re*orr%>o >e los u>os# em@ea>o @or el >e ma(or mome&o >e a*%B @ara a*elerar la *o-ere*%aH a u o >e los elem e&os =ue *o *urre a *a>a u>o la e*ua *%B 4 ( es*r/ase e el >%arama los resul&a>os o/&e%>os e el @r%mer *%*lo e es&e @aso es %ual a *ero @ara el @r%mer u>o ( los

''

M ij

0

M ij

so ulos @ara &o>os los eleme&osH

6H Ua -e re*orr%>os &o>os los u>os se *al*ula los mome&os >e >es@laam%e&o 

'' M ij 

>e &o>as las *olumas me>%a&e las e*ua*%oes 2Qa o 2Q/# se1 *orres@o>aH Es *o-e%e&e @ro*e>er @%so @or @%soH Al *o*lu%r es&e @aso se .a/r real%a>o u *%*loH 7H Re@&ase los @asos < ( 6 ua ( o&ra -e .as &a o/&eer la *o-ere*%a >esea>a# &a&o e los mome&os >e %ro *omo e los >e >es@laam%e&oH 5H Co los -a lores ales a@l=uese a *a>a elem e&o las e*ua* %oes 4< ( 46 o su 'orma al&era:

M ij = M ij + 2 M ij + ( M ij + M ji + M ij ) F

0

0

''

0

M ji = M ji + 2 M ji + ( M ji + M ij + M ji ) F

0

0

0

''

=ue# *omo a&es# s%r-e @ara a%l%ar el @ro*eso ( 'a*%l%&ar su -er%*a*%BH V. PÓRTICOS CON DE SPLAZAMIENTO 'ORIZONTAL DE LOS NUDOS * COLU MNAS ARTICULADAS EN LA BASE Cua>o ua es&ru*&ura ee sus *olumas ar*ula>as e la /ase ( su're >es@laam%e&os .or%o&ales# las e*ua*%oes 2Q o so a@l%*a/les e el @r%mer @%so# (a =ue o ee e *ue&a la o e?%s&e*%a >e mome&os >e >es@laam%e&o e el e?&remo %'er%or >e las *olumas res@e*-asH Pla&ea>o el e=u%l%/r%o e los u>os su@er%ores >e las *olumas ( reem@laa>o Js&as @or o&ras e=u%-ale&es *o uos K %uales a las &res *uar&as @ar&es >e los K or%ales se llea *omo a&es a la e?@res%B:

46

[

´ i+ M ij =μ ij M 0

∑ M +∑ M 0

ji

(i )

(i )

'' ij

]

Figur $ PBr*o *o *olumas ar*ula>as e la /aseH

O/ser-a>o a.ora la ura 6 se @ue>e es*r%/%r: P

H =∑ Q ∑ = ( ) i

i 1

ji

P

Q ji =Q ij =

M ij hij

(31 )

P

M H =∑ [ ] ∑ = ( ) h i

i 1

P

ij

( s% &o>as las *olumas ee la m%sma al&ura: P

hP

H =∑ M ∑ = ( ) i

i 1

ij

(32 )

P

A.ora /%e# @ara las *olumas ( @or es&ar ul%a>o la s%m@l%*a*%B# las e*ua*%oes 4< ( 46 se re>u*e a: F

''

0

M ij = M ij + 2 M ij + M ij ( 33) M ij0 =0 H

(a =ue

Reem@laa>o es&e -alor e la e*ua*%B <2# se o/ee: P

hP

H =∑ M ∑ = ( ) i

i 1

P

( >es@ea>o:

M ∑ ( ) P

'' ij

[

P

=− ∑ M ijF −h P ∑ H i+ 2 ∑ M ij0 (P)

i =1

(P )

] 47

F ij

+ 2 ∑ M 0ij +∑ M ''ij (P )

( P)

=ue se @ue>e rees*r%/%r as:

∑M ( P)

'' ij

=−2

[

∑M (P)

P

F ij

−h P ∑ H i i =1

2

+ ∑ M ij0 (P )

]

Para eleme&os @r%sm*os *o u e?&remo ar*ula>o: 3 EI '' M ij = h 2 ∆ ( 35 ) ij

[

]

Por *os%u%e&e# s% &o>as las *olumas >el @r%mer @%so es& e la m%sma *o>%*%B:

K ij hn

''

M ij

∑

''

M ij

( P)

=

∑

=

K ij

(P)

K ij

∑K

(36 ) ij

(P)

hp ( @or la e*ua*%B <6: 0

γ ij =

−2 K ij K ∑ ( )

( 37 )

ij

P

Es&a e*ua*%B se @ue>e as%m%lar a la e*ua*%B H2Qa s% se re>ee los *oe*%e&es >e >es@laam%e&o ( mome&os >e @%so *omo s%ue: P

− hP ∑ H i i =1

M PKA =

( 38 )

2

Se ee e&o*es: ''

0

[

M ij = γ ij M PKA +

( M + M ) ]( 39 ) ∑ ( ) 0

0

ij

ji

P

=ue ee la m%sma 'orma >e la =ue se a@l%*a a los o&ros @%sosH

Com@ara>o es&a e?@res%B *o la >e la e*ua*%B 29 se -e =ue @ara .a*erlas %uales /as&a &omar ua al&ura e=u%-ale&e >el @r%mer @%so '

' h P &al =ue:

3

h P= h P ( 40) 2

P

P

−( 2 /3 ) h'P ∑ H i h P' ∑ H i i =1 M PKA = = i=1 ( 41 ) 2

3

=ue *o*uer>a *o lo es&a/le*%>o @or Ka% s%u%e>o o&ro e'o=ueH 45

VI. PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE KANI APLICADO A PÓRTICOS ORTOGONALES El mJ&o>o >e Ka% se @ue>e @roramar '*%lme&e @ara el *aso >e @Br*os or&ooales# s%u%e>o los m%smos @asos Wul%a>os @ara el Cross al&eroH El *r%&er%o >e *o-ere*%a e el @ro*eso %&era*-o (a o es el e=u%l%/r%o >e mome&os >e u u>o ( >e 'ueras .or%o&ales e u @%so# s%o =ue la >%'ere*%a e&re los mome&os >e %ro ( >e >es@laam%e&o e u *%*lo >a>o# *al*ula>os *o las e*ua*%oes 4 ( 2Q# ( los -alores *orres@o>%e&es e el *%*lo %me>%a&ame&e a&er%or# sea %'er%or a ua *a>a> mu( @e=uea es&a/le*%>a >e a&emaoH

Ua -e lora>a >%*.a *o-ere*%a se a@l%*a las e*ua*%oes 4< ( 46 a *a>a m%em/ro >e la es&ru*&ura ( se e-al1a los *or&es e -%as ( *olumas ( las 'ueras a?%ales e es&as 1lmas *o las m%smas %s&ru**%oes >el @rorama >e Cross >a>o e el >%s*o %*lu%>oH El le*&or %&eresa>o @o>r mo>%*ar >%*.o @rorama @ara *o-errlo# *o mu( @o*o es'uero# e uo =ue resuel-a @Br*os @or el mJ&o>o >e Ka%H Para es&o @o>r a(u>arse *o el alor%&mo @rese&a>o e la re'ere*%a
VII. EJERCICIOS DE APLICACIÓN VII.!. CASO DE ESTRUCTURAS SIN DESPLA!AMIENTO

4

SOLUCIÓN( 4H "allamos las r%%>e*es 3

K=

K BC =

I L

3∗5 5

K AB= K CE =

=75

3∗3 3.5

3

=23.1

3

K CD=

3∗5 6

=62.5

Tam/%J .allamos los mome&os >e em@o&ram%e&o

2H "allamos los *oe*%e&es >e G%ro

4Q

VII.".

P+RTICOS CON NUDOS DESPLA!A,LES EN SENTIDO "ORI!ONTAL: CARGAS

"ORI!ONTALES NICAMENTE EN LOS NUDOS 49

SOLUCIÓN(

23

24

VII.#.

P+RTICOS CON DESPLA!AMIENTO "ORI!ONTAL DE LOS NUDOS ; COLUMNAS

ARTICULADAS EN LA ,ASE !. R+,u+- +- /0r123 43,5r63.

22

2<

26

27