TRABAJO DE ESTRUCTURAS II: METODO DE KANI, METODO DE TAKABEYA, LINEAS DE INFLUENCIA, ALGEBRA MATRICIAL, ANALISIS DE ARMADURAS Y ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS PLANOS CON EL USO DEL METODO DE LA RIGIDEZ
DIDIER YUSSETH SERRANO LOPEZ CODIGO: 07202023
PRESENTADO A: ING JAVIER RICARDO GOMEZ
BUCARAMANGA UNIVERSIDAD DE SANTANDER- UDES INGENIERIA CIVIL ABRIL 20 METODO DE KANI Todas las estructuras en general al estar sometidas a tensión sufren deformaciones como consecuencias de las cargas. Afortunadamente se
habían desarrollado unos métodos manuales más sencillos, aplicables a vigas continuas y pórticos ortogonales
VENTAJAS: 1. Se trat trata a de un méto método do de apro aproxi xima maci cion ones es suce sucesi siva vass y, en cons consec ecue uenc ncia ia,, las las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee, mientras las hipótesis fundamentales y los datos básicos lo permitan. per mitan. 2. a inclusión inclusión de los efectos efectos de despla despla!amien !amiento to se hace en forma forma muy simple simple.. ". a form formul ulac ació ión n del del proc proced edim imie ient nto o cond conduc uce e a una una elim elimin inaci ación ón prác práctitica came ment nte e automática de los errores ocasionales. #. $s muy fácil fácil verifi verificar car en cualquie cualquierr nudo la bondad bondad de los los resultados resultados.. %. os os camb cambio ioss even eventu tual ales es de carg cargas as o dime dimens nsio ione ness en cual cualqu quie ierr elem elemen ento to se pueden tener en cuenta con muy poco esfuer!o adicional.
DESVENTAJAS: 1. &ue su aplicación está limitada a pórticos ortogonales y que no influye los efectos
de los los acor acorta tami mien ento toss axia axiale les, s, que que se hace hace cada cada ve! ve! mas mas impo import rtan ante tess al incrementar el n'mero de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros d(as.
PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO! DESPLAZAMIENTO! 1. )alcul )alculamo amoss las rigide rigideces ces de las column columnas as y vigas vigas con la siguie siguiente nte ecuaci ecuación ón
*i+-bi+xhi+"/h 2. $val $val'e 'ens nse e los los coef coefic icie ient ntes es de giro giro -0i+ con con la ecua ecuaci ción ón 0i+ 1/2 -*i+/*i+ y
momentos de empotramiento -3 f i+ con la ecuación 3 f i+ 42/12 . lévense estos valores a un diagrama adecuado y calc'lense los momentos de fi+ación -3 ide cada nudo. ". 5dópte 5dóptese se una secuenc secuencia ia de recorrid recorrido o de los nudos, nudos, empe! empe!and ando o por el de mayor momento de fi+ación para acelerar la convergencia. !. 5pl(quese a cada uno de los elementos que concurren a cada cada nudo la ecuación
36i+ 0i+ 73 i 8i 36i+ y escr(banse en el diagrama los resultados obtenidos que constituyen para ese ciclo los valores de 3 6i+. 9bsérvese que estos valores se convierten en 36 +i al pasar a los nudos opuestos.
habían desarrollado unos métodos manuales más sencillos, aplicables a vigas continuas y pórticos ortogonales
VENTAJAS: 1. Se trat trata a de un méto método do de apro aproxi xima maci cion ones es suce sucesi siva vass y, en cons consec ecue uenc ncia ia,, las las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee, mientras las hipótesis fundamentales y los datos básicos lo permitan. per mitan. 2. a inclusión inclusión de los efectos efectos de despla despla!amien !amiento to se hace en forma forma muy simple simple.. ". a form formul ulac ació ión n del del proc proced edim imie ient nto o cond conduc uce e a una una elim elimin inaci ación ón prác práctitica came ment nte e automática de los errores ocasionales. #. $s muy fácil fácil verifi verificar car en cualquie cualquierr nudo la bondad bondad de los los resultados resultados.. %. os os camb cambio ioss even eventu tual ales es de carg cargas as o dime dimens nsio ione ness en cual cualqu quie ierr elem elemen ento to se pueden tener en cuenta con muy poco esfuer!o adicional.
DESVENTAJAS: 1. &ue su aplicación está limitada a pórticos ortogonales y que no influye los efectos
de los los acor acorta tami mien ento toss axia axiale les, s, que que se hace hace cada cada ve! ve! mas mas impo import rtan ante tess al incrementar el n'mero de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros d(as.
PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO! DESPLAZAMIENTO! 1. )alcul )alculamo amoss las rigide rigideces ces de las column columnas as y vigas vigas con la siguie siguiente nte ecuaci ecuación ón
*i+-bi+xhi+"/h 2. $val $val'e 'ens nse e los los coef coefic icie ient ntes es de giro giro -0i+ con con la ecua ecuaci ción ón 0i+ 1/2 -*i+/*i+ y
momentos de empotramiento -3 f i+ con la ecuación 3 f i+ 42/12 . lévense estos valores a un diagrama adecuado y calc'lense los momentos de fi+ación -3 ide cada nudo. ". 5dópte 5dóptese se una secuenc secuencia ia de recorrid recorrido o de los nudos, nudos, empe! empe!and ando o por el de mayor momento de fi+ación para acelerar la convergencia. !. 5pl(quese a cada uno de los elementos que concurren a cada cada nudo la ecuación
36i+ 0i+ 73 i 8i 36i+ y escr(banse en el diagrama los resultados obtenidos que constituyen para ese ciclo los valores de 3 6i+. 9bsérvese que estos valores se convierten en 36 +i al pasar a los nudos opuestos.
%. :na ve! recorri recorrido do todos los los nudos se tiene tiene concluido concluido un ciclo ciclo y se repite repite el paso " una y otra ve! hasta obtener convergencia en todos los nudos. ". 5pl(quense entonces las ecuaciones 3 i+3;i+8236i+836 +i y 3 +i3; +i8236 +i836i+ a todos
los elementos, con lo cual se obtendrán los momentos definitivos en cada uno de los los extr extrem emos os..
PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE KANI EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTO 1. )alcul )alculamo amoss las rigide rigideces ces de las column columnas as y vigas vigas con la siguie siguiente nte ecuaci ecuación ón
*i+-bi+xhi+"/h 2. $val $val'e 'ens nse e los los coef coefic icie ient ntes es de giro giro -0i+ con con la ecua ecuacción ión 0i+ 1/2 -*i+/*i+, coeficientes de despla!amiento - #i+con la ecuación #i+"/2->i+/2>i+ y momentos
de empotramie empotramiento nto -3f i+ con la ecuación 3 f i+ 42/12 y momentos de piso seg'n >ani -3p>con la ecuación -3p>n-hnni1?i/" /" lév léven ense se esto estoss valo valore ress a un esqu esquem ema a adec adecua uado do de la estructura y calc'lense los momentos de fi+ación -3 ide cada uno. ". 5dópte 5dóptese se una secuenc secuencia ia de recorrid recorrido o de los nudos, nudos, empe! empe!and ando o por el de mayor momento de fi+ación para acelerar la convergencia. !. 5pl(quese a cada uno de los elementos que concurren a cada cada nudo la ecuación
36i+ 0 i+ 73 i 8i 36i+ 8 3@i+ y escr(banse en el diagrama los resultados obtenidos -en el primer primer ciclo ciclo en este este paso paso 3 6i+ es igual a cero para el primer nudo y los 3 @i+ son nulos para todos los elementos. $. :na ve! reco recorrrido ridoss todos odos los los nudo nudoss se cal calcula culan n los momen omenttos de de
despla!ami despla!amiento ento 3@i+ de toda todass las las colu column mnas as medi median ante te las las ecua ecuaci cion ones es 3 @i+ #i+73p>8-36i+836 +iA ó la ecuación 3@i+ #i+ 7-36i+836 +iAseg'n corresponda. $s conveniente proceder piso por piso. 5l concluir este paso se habrá reali!ado un ciclo. ". Bep(tase Bep(tase los pasos " y # una y otra ve! hasta. obtener la convergencia convergencia deseada,
tanto en los momentos de giro como en los de despla!amiento. %. )on
los los val valores ores fina finale less apl( apl(qu quen ensse a cada cada elem elemen entto las las ecua ecuaccione ioness 3i+3;i+8236i+836i+83@ +i y 3 +i3; +i8236 +i836i+83@ +i o su forma alterna 3 i+3;i+836i+8 -36i+836 +i83@i+ y 3 +i3; +i836 +i8-36 +i836i+83@ +i, que sirven para agili!ar el proceso y facilitar su verificación.
METODO DE TAKABEYA a principal venta+a a comparación con la del método de *ani es el tiempo, ya que este método es realmente corto a'n para un problema complicado, y cuyo método consiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y los despla!amientos de los los piso pisos, s, en luga lugarr de los los mome moment ntos os debi debido doss a ello ellos, s, con con lo cual cual se dism dismin inuy uye e considerablemente el n'mero de operaciones. $sto lo hace sumamente 'til. :na ve! obtenida la convergencia de giros y despla!amientos, se procede a evaluar los momentos definitivos mediante las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión.
PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE TAKABEYA EN ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO! 1. $val'ense los coeficientes de giro 0 i+ y momentos de empotramiento 3 ;i+. 2. )alc'lense los giros relativos iniciales de cada nudo C 6i mediante la ecuación C 6i
--i3;i+/-2-i>i+. lévense estos valores a un esquema adecuado. ". 5dóptese 5dóptese una secuencia secuencia de recorri recorrido do de los nudos. nudos. Si se está está traba+ando traba+ando a mano, mano, para acelerar la convergencia conviene empe!ar por el de mayor giro inicial. !. 5pl(quese a cada nudo la ecuación Ci C6i 8 -i- 0i+C + y escr(banse en el diagrama
los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de C i. 9bsérvese que estos valores corresponden a los C + al pasar a los nudos opuestos. $. :na ve! recorridos todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso #
una y otra ve! hasta obtener convergencia en todos los nudos. ". ;inalmente apl(quense las ecuaciones 3 i+3;i+8>i+-2Ci8C + y 3i+3;i+8>i+-Ci 82C + a
todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. as rotaciones verdaderas C i se pueden obtener despe+ando su valor en la ecuación Ci2$)Di.
PASO A PASO PARA DESARROLLAR PORTICOS POR EL METODO DE TAKABEYA EN ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS! 1. $val'ense los coeficientes de giro 0 i+, los despla!amientos #i+ y los momentos de
empotramiento 3;i+. 2. )alc'lense los giros relativos iniciales de cada nudo C 6i mediante la ecuación C 6i
--i3;i+/-2-i>i+ y los despla!amientos relativos iniciales de cada piso E 6n con la ecuación E6n -hnni1?i/-2-n>i+ lévense estos valores a un esquema adecuado. &. 5dóptese una secuencia de recorrido de los nudos que facilite la sistemati!ación
de los cálculos. !. 5pl(quese a cada nudo la ecuación Ci C6i 8 -i 0i+ -C +8 Ei+ y escr(banse en el
diagrama los resultados obtenidos, que constituyen para el ciclo los valores de C i. $stos valores corresponden a los C + al pasar a los nudos opuestos. $. :na
ve! recorridos todos los nudos procédase a evaluar todos los despla!amientos de piso con la ecuación E n E6n8-n#i+-Ci8C +. ?echo esto, se habrá concluido un ciclo.
". BepFtase los pasos # y % hasta obtener convergencia de C i en todos los nudos y de
En en todos los pisos. %. ;inalmente apl(quense las ecuaciones 3 i+3;i+8>i+-2Ci8C +8Ei+ y 3i+3;i+8>i+-2C +8Ci8
Ei+ a todos los elementos para obtener los momentos definitivos en cada uno de sus extremos. as rotaciones y despla!amientos de piso verdaderos C i y Gn se pueden despe+ar de las ecuaciones C i2$)Di y Ei+H$)-Gi+/hi+.
LINEAS DE INFLUENCIA D"#$%$&$'%: :na l(nea de influencia es una gráfica de una función de respuesta de una estructura como función de la posición de una carga unitaria hacia aba+o que se mueve de un lado a otro de esa estructura. O()"*$+: 5nali!ar estructuras estáticamente determinadas su+etas a cargas variables -como las vivas y las ambientales, la cual consta de dos pasos= 1.Ieterminación de la posición -o posiciones de la-s cargas-s en las que la función de respuesta que interesa -por e+emplo, una reacción, una cortante o un momento flexionante en una sección de una viga, o una fuer!a en un miembro de una armadura se hace máxima y 2. )álculo del valor máximo de la función de respuesta. PASO A PASO PARA LA COSNTRUCCIN DE L.NEAS DE INFLUENCIA PARA LAS REACCIONES, LAS CORTANTES Y LOS MOMENTOS FLE/IONANTES DE LAS VIGAS Y ARMAZONES, MEDIANTE LA APLICACIN DEL MTODO DE E1UILIBRIO! 1. Se selecciona el origen a partir del cual se medirá la posición de una carga unitaria hacia aba+o y concentrada, en movimiento. Suele ser conveniente suponer que la carga unitaria se mueve desde el extremo i!quierdo de la estructura hacia el derecho, con s posición definida por una coordenada x que se mide desde el extremo i!quierdo de la propia estructura. 2.
a. )oloque la carga unitaria a una distancia x del extremo i!quierdo de la
estructura y determine la expresión para la reacción, en términos de x, por la aplicación de una ecuación de equilibrio o condición. Si la estructura está compuesta de dos o más partes r(gidas conectadas entre s( por articulaciones o rodillos internos, o por ambos tipos de ligas, la expresión para la reacción puede cambiar conforme la carga unitaria se mueve desde una de las partes r(gidas hacia la siguiente, cru!ando una articulación o rodillo interno.
posiciones de la carga unitaria, construya la l(nea de influencia al tra!ar la gráfica de la expresión -o expresiones con la magnitud de la reacción como ordenada, contra la posición x de la carga unitaria como abscisa. :na ordenada positiva de la l(nea de influencia indica que la carga unitaria aplicada en ese punto hace que la reacción act'e en la dirección positiva -es decir, la dirección de la reacción usada inicialmente en la deducción de la ecuación de la l(nea de influencia y viceversa.
c. Bepetimos el paso 2 hasta que se hayan determinado todas las l(neas de influencia deseadas para las reacciones.
". $n general, resulta conveniente construir las l(neas de influencia para las cortantes y los momentos flexionantes mediante el uso de las l(neas de influencia para las reacciones en los apoyos.
a. )oloque la carga unitaria sobre la estructura, en una posición variable x, a la
i!quierda del punto que se esté considerando y determine la expresión para la cortante -o el momento flexionante. Si se conocen las l(neas de influencia para todas las reacciones, entonces suele ser conveniente usar la parte de la estructura a la derecha del punto, para la determinación de la expresión para la cortante -o el momento flexionante, la cual contendrá términos que solo comprendan reacciones. Se considera que la cortante -o el momento flexionante es positiva-o o negativa-o de acuerdo con la conveniencia de los signos de la viga. b. 5 continuación, coloque la carga unitaria a la derecha del punto que se esté
considerando y determine la expresión para la cortante -o el momento flexionante. Si se conocen las l(neas de influencia para todas las reacciones, entonces suele ser conveniente usar la parte de la estructura a la i!quierda del punto, para la determinación de la expresión deseada, la cual contendrá términos que solo comprenden reacciones. c. Si las expresiones para la cortante -o el momento flexionante contienen
términos que solo comprenden reacciones, entonces en general es más sencillo construir la l(nea de influencia para esa cortante -o momento flexionante mediante la combinación de los segmentos de las l(neas de influencia de las reacciones, de acuerdo con estas expresiones. Ie lo contrario, sustituya las expresiones para las reacciones en las expresiones para la cortante -o el momento flexionante y trace las gráficas de las expresiones resultantes, las cuales ahora estarán en términos sólo de x, con el fin de obtener la l(nea de influencia. d. Bepetir el paso " hasta que se hayan determinado todas las l(neas de influencia deseadas para las cortante y los momentos flexionantes.
PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Y L.NEAS CUALITATIVAS DE INFLUENCIA!
a construcción de las l(neas de influencia para las funciones de respuesta que comprenden fuer!as y momentos se puede facilitar de modo considerable mediante la aplicación de un procedimiento desarrollado por ?einrich 3ullerJresalau, en 1KLH. $l procedimiento, el cual com'nmente se conoce como principio de 3ullerJresalau, se puede enunciar del modo siguiente= La línea de influencia para una función de respuesta de fuerza (o de momento) queda dada por la forma deformada de la estructura liberada que se obtiene al eliminar la restricción correspondiente a la función de respuesta de la estructura original y al dar a la estructura liberada un desplazamiento (o rotación) unitario (a) en el lugar y en la dirección de la función de respuesta, de modo que sólo la función de respuesta y la carga unitaria efectúen trabajo externo.
$ste principio es sólo válido para las l(neas de influencia para las funciones de respuesta que contienen fuer!as y momentos -por e+emplo, reacciones, cortantes, momentos flexionantes o fuer!as en los miembros de armaduras y no se aplica a las l(neas de influencia para las deflexiones.
E)"4= $ncuentre las posiciones que producen máxima reacción en J, máximo corte en ) y máximo momento en J. M Maria entre #," m y K.6 m, suponga M #." m
S45&$'%: 5 3áxima reacción en J.
as ordenadas se obtienen midiendo a escala o por triángulos seme+antes. Besulta entonces= N1 6.%O" B J 35P
y2 1.666
y " 6.%O"
<1 y 1 8 < 2 y 2 8 <" y " "% x 6.%O" 8 1#% x 1 8 1#% x 6.%O" 2#L >Q
J
Besulta entonces= N1 6 3J35P
y 2 ".O"6
y" L.666
"% x 6 8 1#% x -L.666 8 ".O"6 1O61 *Q m
)on lo cual queda resuelto el problema.
PROCEDIMIENTO PARA EL AN6LISIS BASADO EN UNA COMBINACIN DEL PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU Y EL METODO DEL E1UILIBRIO, PARA FACILITAR LA CONSTRUCCION DE L.NEAS DE INFLUENCIA!
V"%*):
1. Iibu+ar la forma general de la l(nea de influencia por la aplicación del principio de
3uller Jresalau: a.
en el lugar y en la dirección positiva de la función de respuesta. Iibu+e una forma deformada de la estructura liberada que sea coherente con las condiciones de apoyo y de continuidad de ésta, para obtener la forma general de la l(nea de influencia. Becordando que las l(neas de influencia para las estructuras estáticamente determinadas sólo constan de segmentos rectil(neos. $ntonces, si sólo se desea la l(nea cualitativa de influencia, finalice el análisis en esa etapa. Ie lo contrario, contin'e con el paso siguiente.
2. Ietermine los valores numéricos de las ordenadas de la l(nea de influencia mediante la aplicación del método de equilibrio y de la configuración geométrica de la propia l(nea. a. )oloque una carga unitaria sobre la estructura dada -es decir, no liberada, en la ubicación de la función de respuesta y determine el valor numérico de la ordenada de la l(nea de influencia en ese lugar aplicando la ecuación -o ecuaciones de equilibrio o de condición, o de ambos tipos. Si la función de respuesta que interesa es un cortante, entonces la carga unitaria debe colocarse de manera sucesiva en dos lugares, precisamente a la i!quierda y a la derecha del punto en donde se desea la cortante, y deben calcularse los valores de las ordenadas de la l(nea de influencia en esos lugares. Si la ordenada de la l(nea de influencia en la ubicación de la función de respuesta es cero, entonces colocar la carga unitaria en la ubicación de la ordenada
máxima o m(nima, y determine el valor numérico de esa ordenada por la consideración de equilibrio. b. 5plicando la configuración geométrica de la l(nea de influencia, determine los valores numéricos de todas las ordenadas restantes, en donde ocurren los cambios en pendiente de esa l(nea.
ANALISIS DE VIGAS Y MARCOS PLANOS CON EL USO DEL METODO DE LA RIGIDEZ
OBSERVACIONES 5ntes de aplicar el método de la rigide! a vigas y marcos, es importante conocer algunos conceptos y definiciones preliminares relacionadas con dichas estructuras.
I8"%*$#$&&$'% 8" $"(9 ; %8
C98"%8 8" $"(9 ; <4(4" $l sistema coordenado global o de la estructura se identificara con el uso de e+es x, y, ! que tienen generalmente su origen en un nodo y están posicionados de manera que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas positivas, figura 1%1a. as coordenadas locales o de miembro xU, yU, !U tienen su origen en el extremo Tcercano@ de cada miembro del e+e xU positivo está dirigido hacia el extremo Tale+ado@. a figura 1% 1b muestra esas coordenadas para el elemento ". $n ambos casos hemos usado un sistema coordenado r(gido por la regla de la mano derecha, de modo que, si los dedos de la mano derecha se curvan del e+e x -xV hacia el e+e y -yU, el pulgar seRalara en la dirección positiva del e+e ! -!U, que seRala hacia afuera de la página.
F$
M9&! 5l derivar los métodos clásicos de análisis, despreciamos la deformación en los miembros del marco causada por fuer!a axial y fuer!a cortante y consideramos solo el efecto de la flexión. $sto es +ustificable ya que las fuer!as axiales o cortantes, en general, no contribuyen en forma considerable a la deflexión de los miembros del marco. Sin embargo, en el análisis que sigue, podemos proporcionar fácilmente un análisis más exacto del marco incorporando los despla!amientos por flexión y fuer!a axial en el método de la rigide!. -$l pequeRo efecto de la fuer!a cortante puede también incluirse en el análisis en consecuencia, cada nodo de un miembro del marco tendrá tres grados de libertad, cada uno de los cuales se identifican por medio de un n'mero de código. )omo el caso de las armaduras, los n'meros de códigos más pequeRos se usan para identificar los despla!amientos desconocidos -grados de libertad no restringidos y los n'meros mayores se usan para identificar los despla!amientos conocidos -grados de libertad restringidos. :n e+emplo de etiquetación con n'meros de código para un marco se muestra también en la figura 1%1W. 5qu(, el marco tiene 12 grados de libertad, para los cuales los n'meros de código del 1 al L representan despla!amientos desconocidos y del K al 12 representan despla!amientos conocidos, que en este caso son iguales a cero. V$<! Si despreciamos los efectos de la fuer!a axial y la fuer!a cortante y consideramos solo deflexiones de vigas causadas por flexión, como el análisis clásico, el tamaRo de la matri! de rigide! de estructura será algo pequeRo. 5demás, si la viga no tiene volados de pat(n, o si los soportes no tienen un despla!amiento transversal por asentamientos, entonces cada nodo, si está locali!ado en un soporte, tiene solo un grado de libertad, representado como un despla!amiento angular. 5s(, la viga continua mostrada en la figura 1%2 se etiqueta con tres nodos y dos miembros y tiene tres grados de libertad. os n'meros de código 1 y 2 indican los despla!amientos angulares desconocidos y el n'mero de código " indica el despla!amiento angular conocido -cero.
F$
C9< $%*"9"8$ 8" 5% $"(9 Si un elemento de marco o viga soporta una carga lateral entre sus nodos, será conveniente para un análisis matricial que los efectos que esta carga se conviertan en una carga equivalente en los nodos. $sto se debe a que el método de la rigide!, igual que todos los métodos de despla!amientos, se basa en plantear ecuaciones de equilibrio en los nodos y, por lo tanto, si se hace esta conversión de cargas, las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse en forma sencilla.
F$
y y
en fuer!as cortantes
y
y en momentos
todas esas cargas act'an en las direcciones coordenadas
positivas. $n particular y son positivos en sentido contrario a las manecillas del relo+, ya que seg'n la regla de la mano derecha, están dirigidos a lo largo del e+e positivo !U que es hacia afuera de la página. os despla!amientos lineales y angulares asociados con esas cargas siguen también la misma convención de signo positivo. Xmpondremos ahora por separado esos despla!amientos y luego determinaremos las cargas que act'an en el miembro como consecuencia de cada despla!amiento.
F$ D"4?$"%* @ Si el miembro sufre un despla!amiento o un despla!amiento se generan las fuer!as axiales en los extremos del miembro mostradas en la figura 1%%W y 1%%b.
F$
D"4?$"%* ; as fuer!as cortantes y momentos flexionantes resultantes que se generan cuando se impone un despla!amiento positivo mientras todos los otros posibles despla!amientos están impedidos, se muestran en la figura 1%HW. $n part(culas, el momento se ha desarrollado en la sección 16.1 como la ecuación 16%. Xgualmente, cuando se impone la figura 1%Hb.
las fuer!as cortantes y momentos requeridos son los mostrados en
F$
R*&$%" ? Si se impone una rotación positiva mientras que todos los otros posibles despla!amientos están impedidos, las fuer!as cortantes y momentos requeridos para esta deformación son como se muestra en la figura 1%OW. $n particular, el momento que resulta se desarrolla en la sección 16.1 como las ecuaciones 161 y 162. Xgualmente, cuando se impone
F$
las cargas resultantes son como se muestra en la figura 1%Ob.
=- $stas ecuaciones pueden también escribirse en forma abreviada como
8
=-2
5 la matri! simétrica >U en la ecuación 1%1 se llama matri! de rigide! de miembro. os "H coeficientes de influencia que contiene, toman en cuenta las formas axiales, cortantes y momento flexionante por despla!amientos del miembro. ;(sicamente, estos coeficientes representan la carga sobre el miembro cuando este sufre un despla!amiento unitario espec(fico.
1, figura 1%%W, mientras todos los despla!amientos son
cero, el miembro será sometido a las fuer!as 5$/ y 5$/, como s indica en la primera columna de la matri! >U. Ie manera similar, las otras columnas de la matri! >U son las cargas en el miembro por despla!amientos unitarios identificados por la codificación de los grados de libertad indicada arriba de las columnas. $n el desarrollo, se han satisfecho tanto el equilibrio como la compatibilidad de los despla!amientos.
MATRICES DE TRANSFORMACION DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS )omo en caso de las armaduras, debemos transformar las cargas internas q de miembro as( como las deformaciones d de coordenadas locales xU, yU, !U a coordenadas globales x, y, !. por esto se requieren matrices de transformación.
M*9$? 8" *9%#9&$'% 8" 8"4?$"%*
F$< =- )onsidere el miembro del marco mostrado en la figura 1%LW. Se ve aqu( como un despla!amiento de coordenada global locales.
genera despla!amientos de coordenadas
Xgualmente, un despla!amiento de coordenada global despla!amientos de coordenadas locales.
figura 1%Lb, genera
;inalmente, como los e+es !U y ! coinciden, esto es, están dirigidos hacia fuera de la página, una rotación de alrededor de ! genera una correspondiente rotación alrededor de !U. 5s( entonces,
Ie manera similar, si despla!amientos globales
en la dirección !,
en la
dirección y una rotación se impone sobre el extremo ale+ado del miembro, las ecuaciones de transformación resultantes son, respectivamente,
Si representan los cosenos directores del miembro, podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial como
M*9$? 8" *9%#9&$'% 8" #5"9?
Si ahora aplicamos cada componente de carga al extremo cercano del miembro, podemos determinar cómo transformar las componentes de carga, de coordenadas locales a globales. Si aplicamos
Si aplicamos
figura 1%KW, vemos que
figura 1%Kb, sus componentes son entonces
;inalmente, como
es colineal con
tenemos
Ie manera similar, las cargas extremas de componentes respectivas
darán las siguientes
$stas ecuaciones, agrupadas en forma matricial con , dan
5qu(, como se establecientes, transforma las seis cargas de miembro expresadas en coordenadas locales a las seis cargas expresadas en coordenadas globales.
MATRICES DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN MIEMBRO DE UN MARCO )on los resultados anteriores, los combinamos ahora para determinar la matri! de rigide! de un miembro que relacione las cargas globales 1 con los despla!amientos globales D. para ello, sustituimos la 8 de la ecuación 1%2 - 8 por la ecuación 1%# - 8TD, de modo que tenemos
KTD 5qu( las fuer!as de miembro se relacionan con los despla!amientos globales D. si se sustituye este resultado por la de la ecuación 1%H , se obtiene el resultado final
=- 9
Ionde,
=-
5qu(, representa la matri! de rigide! global del miembro.
=-0 9bserve que esta matri! de HxH es simétrica. 5demás la posición de cada elemento está asociada con la codificación en el extremo
seguida de la del extremo ale+ado
que se muestran en la parte superior de las columnas y a lo largo de los renglones. Xgual que la matri! , cada columna de la matri! representa las cargas en coordenadas globales sobre los nodos del miembro, necesarias para resistir un despla!amiento unitario en la dirección definida por el n'mero codificado de la columna.
MATRICES DE RIGIDEZ GLOBAL DE UNA VIGA
Si los soportes no sufren despla!amientos transversales como asentamientos, o si la viga no tiene un volado de pat(n, entonces, en general, cada uno de los soportes de la viga tendrá solo un grado de libertad, llamado un despla!amiento angular , entonces la matri! de rigide! de una viga puede determinarse cancelando renglones y columnas de la matri! del marco en la ecuación -1%16 asociados a los despla!amientos a lo largo de ya que los soportes de la viga no tienen ning'n grado de libertad en estas direcciones. 5demás, 5$/ no es pertinente, ya que no se consideran despla!amientos ni las cargas axiales. $n consecuencia, la matri! de rigide! de una viga queda representada por cuatro elementos que son
-1%11
Iebe observarse que esta matri! es equivalente a la matri! de rigide! del miembro en coordenadas locales, , ya que las rotaciones no se transforman, esto es T.
APLICACIN DEL MTODO DE LA RIGIDEZ AL AN6LISIS DE VIGAS Y MARCOS
5hora que hemos desarrollado , podemos formular un procedimiento para aplicar el método de la rigide! al problema de vigas y marcos.
M*9$? 8" 9$<$8"? 8" 4 "*95&*59 :na ve! que se han encontrado todas las matrices de rigide! de los miembros, debemos ensamblarlas en la matri! de rigide! de la estructura . este procedimiento depende primero en la posición de conocer la posición de cada elemento en la matri! de rigide! de miembro. 5 este respecto, recuerde que los renglones y las columnas de cada matri! -ecuación 1%16 se identifican por los tres n'meros de código en el extremo ale+ado -; PU ;NU ;Y.
P9&"8$$"%* 8" %4$$ )on este método determinamos los despla!amientos, las reacciones en los soportes y las cargas internas para los miembros o elementos finitos de una viga o un marco estáticamente determinado o indeterminado.
N*&$'% Iivida la estructura en elementos finitos e identifique arbitrariamente cada elemento y sus nodos. :se un n'mero escrito dentro de un c(rculo para un nodo y un n'mero encerrado en un cuadrado para un miembro.
soportes, use un n'mero de código solo para identificar el despla!amiento angular en cada soporte. $n todos los casos use los n'meros más ba+os para identificar los grados de libertad no restringidos y los n'meros mayores para identificar los grados de libertad restringidos. Ie acuerdo con el problema, estable!ca los despla!amientos conocidos D y las cargas externas conocidas 1!
M*9$? 8" 9$<$8"? 8" 4 "*95&*59 5plique la ecuación 1%16 para determinar la matri! de rigide! de cada elemento expresado en coordenadas globales. $n particular, los cosenos directores y se determinan a través de coordenadas x, y, de los extremos del elemento, ecuaciones 1#% y 1#H. Iespués de determinada cada matri! de rigide! de miembro e identificados los renglones y columnas con los n'meros de código apropiados, ensamble las matrices para determinar la matri! de rigide! de la estructura ! como comprobación, las matrices de miembro y de la estructura deben ser simétricas.
D"4?$"%* ; &9< Subdividida la matri! de rigide! seg'n la ecuación 1#1O. $l desarrollo conduce, entonces, a &**11I:8*12I* &:*21I:8*22I* $stas ecuaciones expresan el equilibrio por fuer!as y momentos de cada nodo. os despla!amientos desconocidos D5 se determinan con la primera de esas ecuaciones.
K TD
Soporte de un puente estáticamente determinado
EJEMPLO N2
Ietermine las cargas en los nudos del marco de dos miembros que se muestra en la figura 1%11W. )onsidere 1 %66 in #, 5 16 in 2 y $2K-16" >si para ambos miembros.
S45&$'%!
N*&$'%!
M*9$? 8" 9$<$8"? 8" 4 "*95&*59 . os siguientes términos son comunes a ambas matrices de rigide!=
3iembro 1.
Se sustituyen los datos en la ecuación 1% 16, y tenemos
as columnas y los renglones de esta matri! de H x H están identificados por los tres n'meros de código x, y, !, primero en el extremo respectivamente, fig. 1% 11 $sto se hace as( para el posterior ensamble de los elementos. 3iembro 2=
Sustituyendo los datos de la ecuación 1%16 se obtiene
)omo siempre, la identificación de columnas y renglones se hace por medio de los n'meros de código en la secuencia x, y, ! para los extremos cercano y le+ano, respectivamente, esto es, 1, 2, " y luego O, L, K, figura 1%11b. a matri! de la rigide! de la estructura se determina ensamblado > 1 y >2. $l resultado, mostrado subdividido, ya que &*I, es
D"4?$"%* ; &9<! Si desarrollamos, para determinar los despla!amientos, obtenemos
Iespe+amos y resulta
)on estos resultados, se determina las reacciones a partir de la ecuación -1 como sigue=
as cargas internas en el nodo 2 pueden determinarse aplicando la ecuación 1%O al miembro 1. 5qu(, está definida por la ecuación 1%1 y Z 1 por la ecuación 1%". 5s(,
Qote el arreglo apropiado de los elementos en las matrices como se indica por los n'meros de código a lo largo de las columnas y renglones. 5l despe+ar, se obtiene
R"!
os resultados anteriores se muestran en la figura 1%11c. as direcciones de esos vectores están de acuerdo con las direcciones positivas definidas en la figura 1%". 5demás, el origen de los e+es locales xU, yU, !U está en el extremo cercano del miembro 2 se muestra en la figura 1%11d.
=-&, =-8
AN6LISIS DE ARMADURAS CON EL USO DEL MTODO DE LA RIGIDEZ :n método de fuer!a se basa en especificar primero las fuer!as redundantes externas o internas y luego determinar esas fuer!as mediante condiciones de compatibilidad de despla!amientos +unto con relaciones de cargadespla!amiento. :na ve! se determinan las fuer!as en la estructura, los despla!amientos pueden calcularse con ayuda de alguno de los métodos de deflexiones. $l método de la rigide! mediante el análisis matricial, es un método de análisis de despla!amientos también puede usarse como un método para el análisis de fuer!as para el análisis estructural. $l método de la rigideces en el que las ecuaciones de equilibrio en los nudos se escriben en términos de sus despla!amientos desconocidos. $l método de rigideces elimina la necesidad de seleccionar redundantes y una estructura fundamental. $l método de la rigide! puede usarse para anali!ar estructuras tanto determinadas como indeterminadas. $l método de la rigide! requiere subdividir la estructura en una serie de elementos finitos e identificar sus puntos externos como nodos.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO DE ARMADURA
qV; es negativa ya que por equilibrio act'a en sentido PV negativo. Xgualmente, un despla!amiento positivo d; del extremo ale+ado, manteniendo el extremo cano articulad, en la segunda figura conduce a las fuer!as de miembro.
$stas ecuaciones de carga despla!amiento se pueden escribir en forma matricial, de la siguiente manera=
\ -q >Vd Ionde=
$sta matri! >V se llama matri! de rigide! de miembro y es de la misma forma para cada miembro de la armadura. os cuatro miembros que la componen se denominan coeficientes de influencia de rigide! del miembro representa la fuer!a en el nudo i cuando se impone un despla!amiento unitario solo en el nudo +.
MATRICES DE TRANSFORMACIN DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS :na armadura esta constituida por una gran cantidad de elementos, se desarrollo un método para transformar las fuer!as -q de miembro y los despla!amientos -d de miembro definidos en coordenadas locales a un sistema de coordenadas P,N globales o de la estructura, para toda la armadura. os ángulos más pequeRos entre los e+es P, N y el e+e local PV se representan por= Dx y Dy. os cosenos de estos ángulos se usan en el análisis matricial. $sto se identifica con ]x cos Dx ^ ]y cos Dy. os valores numéricos para ]x y ]y se definen de la siguiente manera.
3atri! Ie Zransformación Ie Iespla!amientos $n coordenadas globales, cada extremo del miembro puede tener dos grados de libertad o despla!amientos independientes^ o sea, el nudo Q tiene y como se muestra en las primeras dos figuras y el nudo ; tiene y en las otras dos figuras. )onsiderando por separado estos despla!amientos globales, para determinar cada componente de despla!amiento a lo largo del miembro. )uando el extremo ale+ado se mantiene articulado y al extremo cercano se le da un despla!amiento global en la primera figura. $l despla!amiento correspondiente a lo largo de la barra es la misma manera, un despla!amiento global
de
ocasionara que la barra se desplace
a lo largo del e+e PV. $l efecto de los dos despla!amientos globales es por tanto.
Ie manera similar, los despla!amientos positivos y aplicados sucesivamente en el extremo ale+ado ; mientras el extremo cercano se mantiene articulado, como se muestra en las figuras " y #, ocasionaran que el miembro se desplace.
Si
y
representa los cosenos directores del miembro, se obtiene=
N esto se escribe de forma matricial de la siguiente manera
d ZI donde=
$n la derivación anterior, Z transforma los cuatro despla!amientos globales x, y I en los dos despla!amientos -d locales PV.
3atri! Ie Zransformación Ie ;uer!as )onsidere ahora la aplicación de la fuer!a al extremo cercano del miembro, manteniendo el extremo ale+ado articulado, en estos casos los componentes globales de la fuer!a en los nudos llamados Q y ; son=
)on los cosenos directores= en la ecuación quedando de la siguiente manera=
N se expresan en forma matricial as(=
Ionde=
estas expresiones se rempla!an
$n este caso transforma las dos fuer!as -q locales que act'an en los extremos de los miembros en las cuatro componentes -&. $sta matri! de transformación de fuer!as es la transpuesta de la matri! de transformación de despla!amientos.
MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE UN MIEMBRO Se toman los resultados de las secciones precedentes y se determina la matri! de rigide! para un miembro que relaciona las componentes globales de fuer!a -& del miembro con sus despla!amientos globales I. se rempla!a en las ecuaciones en , podemos determinar las fuer!as -q del miembro en términos de los despla!amientos globales I en sus puntos extremos. N a su ve! se sustituye q en teniendo
. Se obtiene
, donde
a matri! > es la matri! de rigide! del miembro en coordenadas globales como son conocidas, tenemos
, Z y >V
a locali!ación de cada elemento en esta matri! simétrica de #_# esta relacionada con cada grado de libertad global asociado con el extremo cercano Q, seguido del extremo ale+ado ;. esto se indica por la notación de n'meros codificados a lo largo de renglones y columnas esto es . Xgual que >V, > representa aqu( las relaciones fuer!a despla!amiento para el miembro cuando las componentes de fuer!a y despla!amiento en los extremos del miembro están dadas en las direcciones globales o direcciones P, N. cada uno de los términos de la matri! es por lo tanto un coeficiente de influencia de rigide! , que denota la componente de fuer!as en -x o en -y en -i necesaria para generar en -+ una componente de despla!amiento unitario en -x o en -y.en consecuencia, cada columna identificada de la matri! representa las cuatro componentes de fuer!a desarrolladas en los extremos del miembro cuando el extremo identificado sufre un despla!amiento unitario relaciones con su columna en la matri!.
despla!amiento unitario generara las cuatro componentes de fuer!a sobre el miembro mostradas en la primera columna de la matri!.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA )on todas las matrices de rigide! de miembro son expresadas en coordenadas globales, el siguiente paso es organi!arlos en el orden correcto para formular la matri! -* de rigide! de la estructura para la armadura entera. $ste proceso de combinar las matrices de miembro depende de la identificación de los elementos de cada matri!. $sto se hace designando los renglones y columnas de la matri! con los cuatro n'meros de código usados para identificar los dos grados de libertad que pueden representarse en cada extremo del miembro
a matri! de rigide! de la estructura tendrá entonces un orden que será igual al n'mero de código más alto asignado a la estructura, por que este representa el n'mero de grados de libertad de toda la estructura. )uando se ensamblan las matrices ->, cada elemento de -> se escribe en su misma designación de renglón y columna en la matri! de rigide! de la estructura -*. )uando sucede esto, los elementos asignados a la posición com'n deben sumarse entre si algebraicamente. N esto es debido a que cada elemento -> representa la resistencia del miembro a una fuer!a aplicada en su extremo. Ie este modo, al sumar esas resistencias en la dirección x ó y al tiempo que se forma la matri! -* es un simbolismo de la determinación de la resistencia total de cada nudo a un despla!amiento unitario en la dirección x ó y.
APLICACIN DEL MTODO DE LA RIGIDEZ AL AN6LISIS DE ARMADURAS $ste método sirve para determinar los despla!amientos y reacciones desconocidas en una armadura usando el método matricial de la rigide!. $ste método es apropiado para cualquier tipo de armadura.
Na formada la matri! de la rigide! de la estructura, podemos determinar los despla!amientos de los nudos, las reacciones externas y las fuer!as internas en los miembros. Se asignan n'meros de código menores para identificar los grados de libertad no restringidos, esto nos permitirá subdividir de la siguiente forma a
Ionde= = Son las cargas y despla!amientos externos conocidos^ -los despla!amientos generalmente se toman iguales a cero = son las cargas y despla!amientos desconocidos^ -los despla!amientos son en los nudos donde no hay restricción alguna *= matri! de rigide! de la estructura.
Begularmente
por que sus soportes no se despla!an, quedando^
)omo los elementos de la matri! subdividida representan la resistencia total en el nudo de una armadura a un despla!amiento unitario en la dirección x ó y, la anterior ecuación simboli!a representa el con+unto de todas las ecuaciones de equilibrio de fuer!as aplicadas a los nudos donde las cargas externas son cero o tienen un valor conocido . Iespe+ando
)on esta ecuación se puede obtener la solución directa para todos los despla!amientos desconocidos de nudo. Ie la misma manera con=
Se puede determinar las reacciones desconocidas en los soportes y las fuer!as en los miembros pueden hallarse con=
9bteniendo=
)omo por equilibrio, determina
, solo una de las fuer!as tiene que encontrarse. 5qu( se
, aquella que e+erce tensión en el miembro.
Si el resultado calculado con la ecuación es negativo, el miembro estará a compresión.
CONLUSIONES
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a reacción máxima debida a una simple carga concentrada, ocurre cuando la carga está en el apoyo y es igual al valor de dicha carga. a reacción máxima debida a una carga uniformemente repartida, ocurre cuando la viga está totalmente cargada y es igual al producto del área de la l(nea de influencia de dicha reacción por el valor de la carga repartida. a fuer!a de corte máxima en una sección ), debida a una simple carga concentrada, ocurre cuando la carga esta +usto a la derecha o a la i!quierda de la sección, sobre el mayor de los segmentos en que queda dividida la viga. Su valor es el de la ordenada correspondiente, multiplicada por el valor de la carga. $l algebra matricial es una herramienta muy importante para el análisis estructural y es necesario que los ingenieros estén familiari!ados con este tipo de operaciones matemáticas para as( poder tener un mayor mane+o a la hora de reali!ar cualquier e+ercicio estructural
