metodo de distribucion de momentos ( Cross

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA NUCLEO ANZOATEGUI EXTENSION PUERTO PIRITU

TEORIA DE ESTRUCTURAS II METODO DE DISTRIBUCION DE MOMENTOS (CROSS)

Programa de Ingeniería Civil !amora

Ambiente: E.B. Ezeqiel

Ing. "o#e $artinez

Perto Pirit "nio %&'(

INTRODUCCION

El método de Cross, o método de la distribució de mometos, es u método !ue "a sido cocebido desde #$%&, ' "o' e da es uo de los ms *rcticos de los e+istetes E térmi térmios os -eera -eerales les,, cosis cosiste te e distri distribui buirr a cada cada a*o'o, a*o'o, !ue "a sido sido tratad tratado o como como u em*otramieto, el .alor del mometo, ' su resultado es ese / *artir de all es *osible costruir los dia-ramas de cortates ' mometos com*letos

El metodo de distribució de mometos *uede ser utili0ado *ara aali0ar cual!uier ti*o de .i-a idetermiada o de *órtico r-ido, e "i0o *osible resol.er de maera secilla ' se-ur se-ura a muc"a muc"as s estru estructu ctura ras s !ue !ue ates ates se dise1 dise1ab aba a 2ica 2icame mete te media mediate te re-la re-las s em*ricas o métodos a*ro+imados Ua .e0 com*redido el mecaismo del metodo, las o*eracioes matemticas se reduce a sumas, restas, multi*licacioes ' di.isioes, adems, al dis*oerse de tablas de mometos, ri-ideces ' 3actores de trasmisió, o "a' !ue memori0ar ada El metodo de Cross, cosiderado de a*ro+imacioes sucesi.as, !ue o si-i4ca !ue !ue sea a*ro a*ro+im +imado ado,, !uier !uiere e decir decir !ue !ue el -rado -rado de *reci *recisió sió, , es el desea deseado do *or *or el calculista SUPOSICIO)ES BASICAS DE* $ETODO • •

• •

 Todos  Todos los miembro miembros s de la estructura estructura so *rismticos *rismticos (E, I costates) costates) 5as de3ormacioes de la estructura so debidas, *rici*almete, al e3ecto de los mometos 5a estructura se com*orta e el ra-o elstico (obedece a la le' de 6oo7e) 5as de3ormacioes a+iales so des*reciables

CO)CEPTOS +U)DA$E)TA*ES +U)DA$E)TA*ES $omento de em,otramiento: so em,otramiento: so los mometos -eerados e los e+tremos de ua barra i89 debido a las car-as e+teras actuates sobre la barra cuado sus e+tremos se cosidera restri-idos, es decir, em*otrados

:i-ura N; #< e+tremos de ua barra i89 )odo Rígido: U odo r-ido tiee como caracteristicas *rici*ales !ue todos los e+tremos de los elemetos !ue cocurre a el tiee la misma rotació ' el mismo des*la0amieto, es decir, o "abr des*la0amietos relati.os i rotacioes relati.as etre los e+tremos de los elemetos

“los elementos que concurren a un nodo rígido conservan el mismo angulo inicial existente entre ellos después de que la estructura se ha deformado bajo la acción de las cargas externas”. Rigidez Rota-ional :5a ca*acidad !ue tiee u miembro *ara resistir ua rotació uitaria de # radia e u e+tremo sim*lemete a*o'ado , -eerada *or la a*licació de u mometo e ese mismo a*o'o, mietras el e+tremo o*uesto se ecuetra em*otrado , semi8em*otrado o sim*lemete a*o'ado

:i-ura N; %< Ri-ide0 rotacioal E9em*lo N; #< Determiar la ri-ide0 rotacioal de la .i-a *rismtica de la 4-ura mostrada

:i-ura N; = Rotació Uitaria e el odo / /*licado el metodo de la .i-a co9u-ada coocemos la relació e+istete etre el mometo a*licado e / (M! ' la rotació e / (

4 EI 

MA=

 L

θ A

) est dada *or la e+*resió<

θ A

E,re#i/n '.'

>ara ua rotació uitaria θ A

4 EI 

? # radia

MA=

 L

. ( 1 rad )

E,re#i/n '.%

De la e+*resió aterior se establece !ue el .alor del mometo !ue se tedra !ue 4 EI 

a*licar e el odo / *ara obteer ua rotació uitaria es de cooce como la ri-ide0 rotacioal ' se desi-a co la letra

 K  AB

 L



 Este .alor se

4 EI 

De la e+*resió ##, sustituimos

MA=

 L

 *or

 K  AB

 ' obteemos

K  AB .θ A

E,re#i/n '.0

E1em,lo )2 %: Determiar la ri-ide0 rotacioal de la .i-a mostrada, co ambos e+tremos articulados ' u mometo a*licado e el odo / (*ara resol.er)

 :i-ura N; & @i-a co e+tremos articulados

DISTRIBUCIO) DE $O$E)TOS E) U) )ODO 3 +ACTOR DE DISTRIBUCIO)4 >ara distribuir el mometo a*licado e u odo etre todos los elemetos !ue lle-a a ese odo , es decir , !ue *orcio del mometo actuate e el odo absorbe cada barra coectada a este , aali0aremos la si-uiete 4-ura ( estructura) a la cual se le "a a*licado u mometo e+tero

 M i

e el odo

i.

:i-ura N; A< Estructura co u Mometo a*licado e el odo i

El Mometo

 M i

"ace !ue el odo i se dese!uilibre ' *or lo tato rote "asta alca0ar su

*osició de e!uilibrio, esta ocurre cuado e los e+tremos i de cada ua de las barras !ue lle-a a este odo ( i8#,i8%,i8=)se -eere mometos su4cietes tales !ue sumados com*ese el e3ecto del mometo

 M i

 Es decir , el odo i !ueda e e!uilibrio cuado

la suma de los mometos e los e+tremos de cada ua de las barras *rodu0ca u mometo de i-ual ma-itud !ue la del mometo E coclusió<

M i

*ero de si-o cotrario

Mometo de dese!uilibrio (

 M des

Mometo de e!uilibrio (

 M i

i) <

 Mequi

i) <

− M i

E el -ra4co si-uiete se muestra la estructura de3ormada *or el mometo

 M i

:i-ura N;  < Estructura de3ormada *or el Mometo Mi

Cada barra -ira u a-ulo i-ual a

θi

?

θi −1

?

θi − 2

?

θi− 3

e su odo

i1

, esto se

debe a la ri-ide0 !ue *reseta el odo Se*arado el odo i de toda la estructura *ara su alisis e el istate cuado el odo lle-a a su *osició de e!uilibrio se tiee< :i-ura N;  /lisis de la estructura de3ormada

>lateado el e!uilibrio del odo i (   M des i

F M equi i?

Dode<  M des i

?  M i

 M equi

i? ( M i1 + M i 2+ M 13 ¿

 M nodo

i? ), se tiee <

Sustitu'edo obteemos  M i

? M equi i

 M i

? M i1 + M i 2+ M 13 ¿

E+*resió N; #&

/"ora al aali0ar las barras de la estructura *or se*arado teemos< :i-ura N; G< /lisis de cada barra de la estructura

Calculado el Mometo e el odo I de cada ua de las barras e 3ució de la rotació θi

, se obtiee<

 M i1

 M i2

 M i3

4 EI 

?

 L



θi

?

K i 1



θi



θi

?

K i 2



θi



θi

?

K i 3



θi

4 EI 

?

 L 4 EI 

?

 L

E,re#i/n )2 '.( /l sustituir estos .alores e la e+*resió #& teemos<  M i

?8 M equi i?8(  K i 1  θi + K i 2  θi + K i 3  θi ¿

'.5 :actor com2 ' des*e9e de

θi

de la e+*resió aterior

E,re#i/n

θi

− M i ?  K i + K i .+ K i 1

2

E,re#i/n '.6

3

θi

Sustituimos este .alor de  M i1

?

K i

#H

− M i  K i + K i .+ K i 1

2

3

 e la e+*resió N; #A

?

K i

− M i

#

 Σ K ij

Rea-ru*ado , teemos <  K i 1

 M i1

?H  Σ K ij

(8

M i

 )

E,re#i/n '.7

De la misma 3orma co las dems e+*resioes  K i 2

 M i2

?H  Σ K ij  K i 3

 M i3

?H  Σ K ij

(8

M i

 )

(8

M i

 )

E,re#i/n '.8

E,re#i/n '.'&

Se coclu'e !ue el mometo de e!uilibrio actuate e el odo i (8

M i

e cada ua de las barras !ue lle-a al odo i e *ro*orció al termio

),

(

se distribu'e  K ij  Σ K ij

cual se deomia 9+a-tor de Di#trib-i/n ' se re*reseta *or el simbolo  μij

 K ij

'.''  μij

Dode<  K ij

? ri-ide0 rotacioal de la barra i89

 Σ K ij

μij

E,re#i/n

?  Σ K ij

Nota < tambie *uede ser em*leado :D *or

), el

? Suma de todas las ri-ideces de las barras i89 !ue lle-a al odo

>or lo tato las ecuacioes ori-iales !ueda reducidas a<

 M i1

? μi 1  8 M i

 M i2 = μ i 12 .  M i3 = μi 3

 8 

8

M i M i

De lo aterior se coclu'e !ue< J El mometo de e!uilibrio !ue se *roduce e el e+tremo i de cada ua de las barras !ue cocurre al odo i, cuado el odo tiee la libertad de -irar ba9o la acció de u mometo  μij

 M i

,

es i-ual al *roducto del 3actor de distribució

de cada barra *or el .alor e-ati.o del mometo actuate

 M i



 μ

+a-tor de Di#trib-i/n (¿¿ ij ) ¿

El 3actor de de distribució se de4e como el *orceta9e del mometo de e!uilibrio del odo i , !ue *rodu9o cada barra !ue lle-a a ese odo •

•

•

El 3actor de distribució es ide*ediete de la car-a ' solo de*ede de las caracteristicas de la .i-a tales como< la iercia I) , el modulo de elasticidad (ME)' su lo-itud ( 5) El clculo del 3actor de ri-ide0 *ara la barra es secillo, solo "a' !ue di.idir la ri-ide0 de cada barra sobre la suma de las ri-ideces de todas las barras !ue lle-a a ese odo 5a suma de los 3actores de distribució de todas las barras !ue cocurre a u odo es i-ual a # (

μij =1

4.

Tran#mi#i/n de $omento# entre etremo# /l a*licar u mometo u mometo

 M  ji

 M ij

e el e+tremo i de la .i-a de la 4-ura mostrada, se iduce

e el e+tremo em*otrado

:i-ura N; $ Mometo

 M ij

a*licado e el e+tremo i

/*licado el metodo de la .i-a co9u-ada , *artiedo del dia-rama de cuer*o libre de la barra i89 :i-ura N; # Dia-rama de Cuer*o 5ibre de la barra i89

/l des*e9ar el .alor de

 M  ji

 de la ecuacio aterior se obtiee<

1

 M  ji =  M ij 2

:i-ura N; ##< Calculo de Mometos E+tremos e la Barra i89

De acuerdo a lo aterior< El mometo trasmitido al odo 9 es i-ual a la mitad del mometo a*licado e el odo i ' tiee su mismo si-o /!u a*arece u térmio llamado JCoe4ciete de TrasmisióK, el cual se de4e como la relació e+istete etre el mometo trasmitido e 9 ' el mometo actuate e i se a*lica u mometo a ua .i-a co u e+tremo sim*lemete a*o'ado ' el otro em*otrado, el coe4ciete de trasmisió es i-ual a F#L%Kcuado se a*lica Coe4ciete de trasmisió ?

 M  ji  M ij

1

?F

2

E+*resió ##% E9em*lo N; = determiar el coe4ciete de trasmisió cuado ambos de ua .i-a se ecuetra articulados ' se a*lica u mometo e el odo i PROPIEDADES DE *OS APO;OS

/alicemos la estructura si-uiete :i-ura N; #% .i-a co a*o'os sim*les ' em*otramieto

El odo / se ecuetra sim*lemete a*o'ado ' a este solo lle-a la barra /B >ara calcular el 3actor de distribució de esta barra

 μ AB

< se cosidera !ue la barra e su

e+tremo / se ecuetra uida a otra barra de ri-ide0 ula ( ?), *or lo !ue el 3actor de distribució sera i-ual a

μ AB=¿

 #

:i-ura N; #= :actor de Distribució e /*o'os sim*les

 μ AB=

K  AB  K  AB + 0

=

 K  AB  K  AB

='

E,re#i/n )2 '.'0  Todo lo cotrario se *reseta e el odo D, el cual se ecuetra *er3ectamete em*otrado E este caso , se cosidera !ue la barra CD e su e+tremo D se ecuetra uida a otro elemeto de ri-ide0 i4ita ( ? es ulo

 μ DC 

∞ ¿ , *or lo !ue el 3actor de distribució

=&

:i-ura N; #= :actor de Distribució e a*o'o em*otrado

 μ AB

 K  AB

=  K  AB +∞ =

 K  AB ∞

=&

E,re#i/n '.'>

E el caso de u .oladi0o tedremos la si-uiete situació :i-ura N; #&< @i-a car-ada ' e .oladi0o

El tramo /B o cotribu'e a la ri-ide0 rotacioal del odo B, es decir, el 3actor de distribució *ara el e+tremo B/ sera ulo e+tremo BC sera i-ual a #,

 μBC 

 μBA

? , mietras !ue el 3actor *ara el

? #, asi , este odo se *uede tratar como si tu.iera u

a*o'o sim*le Si embar-o , es de suma im*ortacia teer e cueta e el odo B el mometo !ue se -eera *or la car-a sobre el .oladi0o, asi como el cortate -eerado PRI)CIPIOS BASICOS DE* $ETODO DE *A DISTRIBUCIO) DE $O$E)TOS DE CROSS Este metodo es u *roceso iterati.o e el cual , iicialmete se cosidera !ue todos los odos de la estructura !ue tiee la libertad de rotar se ecuetra tem*oralmete restri-idos a la rotació *or medio de su9ecioes ima-iarias a*licadas e los e+tremos de los elemetos /*licado las car-as e+istetes sobre los elemetos de la estructura 49a ("i*otéticamete) se calcula los mometos de em*otramieto de los e+tremos de los elemetos /"ora e+iste u mometo de desbalace e cada uo de los odos >ara lo-rar el e!uilibrio , se libera uo de los odos dese!uilibrados *ermitiédole asi la rotació, mietras se matiee em*otrados los otros odos El odo liberado rota ba9o la acció del mometo de dese!uilibrio "asta ecotrar su *osició de e!uilibrio esta se alca0ara cuado se *rodu0ca e los e+tremos de las barras coectadas al odo mometos su4cietes !ue sea ca*a0 de e!uilibrar el odo   M nodo

? 

5os mometos -eerados se cooce como mometos distribuidos ' tedr el si-o cotrario al mometo de dese!uilibrio Sus .alores se obtedr al multi*licar el .alor negativo del momento de de#eqilibrio *or el mometo distribuido !ue a*arece e cada e+tremo los 3actores de distribució (

μij

) de cada uo de elemetos coectados a

ese odo El mometo distribuido !ue a*arece e cada e+tremo de las barras coectadas al odo trasmite a su e+tremo o*uesto u mometo de ma-itud i-ual a la mitad del mometo distribuido ' de i-ual si-o  E!uilibrado el odo ' trasmitidos los mometos a los odos ad'acetes, se restri-ir ue.amete el -rado de libertad rotacioal< / cotiuació se seleccioa otro odo !ue este dese!uilibrado ' se libera de la su9eció ima-iaria El ue.o odo liberado se

e!uilibra de la misma maera e+*uesta ateriormete ' se trasmite los mometos a los odos o*uestos de cada ua de las barras, ' ue.amete se restri-e El *roceso se re*ite co todos los odos de la estructura !ue *uede rotar, cuatas .eces sea ecesario "asta !ue los .alores a distribuir sea mu' *e!ue1os El *rocedimieto *ara desarrollar estructuras si des*la0amietos relati.os etre odos *or medio de este metodo se reduce a los si-uietes *asos< a Calcule la ri-ide0

 K ij

de cada barra de la estructura

b Calcule el 3actor de distribució c d

e 3 - "

 μij

*ara cada ua de las barras !ue cocurre a

u odo Cosidere todos los odos de la estructura em*otrados ' calcule los mometos de em*otramieto e los e+tremos de cada ua de las barras 5ibere uo de los odos de la estructura *ara e!uilibrarlo (comiece *or el odo mas dese!uilibrado), *ara lo-rar esto, distribuimos el .alor e-ati.o del mometo de dese!uilibrio del odo etre los elemetos !ue lle-a al odo e *ro*orció a los 3actores de distribució 5os mometos distribuidos tedr si-o cotrario al del mometo de dese!uilibrio Trasmita la mitad del mometo distribuido de cada barra a su e+tremo o*uesto El mometo trasmitido tiee el mismo si-o del mometo distribuido Nue.amete em*otre al odo ' libere otro odo dese!uilibrado Re*ita el *aso d, e ' 3 "asta !ue los mometos distribuidos ' los mometos trasmitidos sea lo su4cietemete *e!ue1os *ara ser des*reciados 5os mometos de4iti.os e cada uo de los e+tremos de las barras se obtiee sumado el mometo iicial de em*otramieto de cada e+tremo ' todos los mometos distribuidos !ue lle-a a ese e+tremo

Nota< la a*ro+imació de los resultados obteidos de*eder del 2mero total de ciclos de distribució !ue se "a-a Si la distribució de mometos se reali0o de 3orma correcta , etoces los mometos 4ales debe satis3acer las ecuacioes de e!uilibrio de mometos e todos los odos de la estructura i Coocidos los mometos resultates e los e+tremos de cada elemeto , se calcula los cortates *ara cada uo de los elemetos mediate las ecuacioes basicas de e!uilibrio ( 

M i

?, 

F Y 

? )' co eso calculamos las reaccioes e

los odos A,li-a-i/n del metodo de Cro## E1er-i-io )2 ' Calcular los mometos e+tremos de cada uo de los elemetos !ue co3orma la si-uiete estructura

5os a*o'os /, B ' C so em*otrados 2 EI? %N8 m

MD?#%N8m /ali0ado la estructura aterior, el mometo

 M  D

"ace !ue el odo D se dese!uilibre '

-ire e setido ati "orario *ara e!uilibrarlo "a' !ue a*licar u mometo i-ual a(8 ) El (8

M  D

) es la suma de los mometos -eerados como o*osició a la rotació e

cada uo de los e+tremos D de las barras !ue cocurre al odo D •

•

M  D

>rimero calculamos la ri-ide0 de cada barra<

Coocidas las ri-ideces *rocedemos a calcular el coe4ciete de distribució de cada ua de las barras !ue lle-a al odo usado la si-uiete e+*resió <

dode

/si se tiee <

@eri4cado ,

Coocidos los 3actores de distribució de cada ua de las barras *or medio de la si-uiete e+*resió<

a*licado este coce*to

•

Com*robado el e!uilibrio del odo<

•

>or 2ltimo se calcula el .alor de los mometos trasmitidos

 M  ji

 al e+tremo

o*uesto de cada barra, *ara lo cual se "ace uso del coe4ciete de trasmisió , !ue e este caso es i-ual a A <

A)A*ISIS DE ?I@AS CO)TI)UAS SI) DESP*A!A$IE)TO RE*ATI?O E)TRE )ODOS: Calcular los mometos e+tremos de cada uo de los elemetos !ue co3orma la si-uiete estructura

Solució< •

• •

Calculo de ri-ideces de las barras

Calculo de 3actores de distribució e los odos Nodo /< El 3actor de distribució *ara u e+tremo em*otrado es i-ual a

•

•

 μ AB

?

Nodo B

Nodo C< El 3actor de distribució *ara u e+tremo sim*lemete a*o'ado es i-ual a •

 μBC 

# Calculo de Mometos de em*otramieto Cosiderado todos los odos em*otrados, los mometos de em*otramieto *er3ecto so<

?

•

>roceso iterati.o )ota . U)A $A)ERA PRACTICA< ORDE)ADA ; CO)TRO*ADA PARA REA*I!AR *OS CA*CU*OS CO) E* $ETODO DE CROSS< ES UTI*I!AR E* ESUE$A DE *A ?I@A O PROTICO CO$O @UIA.

/l reali0ar la sumatoria de mometos e los odos, se obtiee u mometo de dese!uilibrio e cada uo de ellos Si embar-o, estos mometos o *uede *ermaecer e la estructura *or!ue alterara las codicioes reales del *roblema /!u  se iicia el *roceso de e!uilibrar los odos !ue realmete *uede rotar, !ue e este caso so los odos B ' C /tes de *roceder al e!uilibrio de los odos recordemos lo si-uiete

/l cosiderar todos los odos de la estructura em*otrados, liberamos del em*otramieto 4cticio al odo mas dese!uilibrado, co el 4 de !ue el sistema alcace lo ms r*ido los mometos de4iti.os >ara esto se *latea ua sumatoria de mometos e cada uo de los odos !ue *uede rotar

Etoces el odo B *reseta u mometo de dese!uilibrio odo C tiee u

 M des

 M des

?&N8m ' el

?8#A N8m

>ara e!uilibrar el odo C es ecesario a*licar u mometo de e!uilibrio ( de i-ual ma-itud !ue el mometo de dese!uilibrio (

M des

M equi

C)

C) *ero de si-o cotrario