METODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN.doc

Conferencia C7. Cálculo de desplazamiento en vigas. Métodos para la determinación de desplazamientos: operacionales y variacionales. Método de Doble Integración

Objetivos: Presentar los elementos teóricos que permiten calcular el desplazamientos en vigas elásticas y obtener estos mediante el método de doble integración. Bibliografía: 1. Resistenc Resistencia ia de de Material Materiales es I. G. G. Cabanas Cabanas P. y otros. otros. 2. Resistenc Resistencia ia de Material Materiales. es. V. Feodosie Feodosiev. v. 3. Resist Resistenc encia ia de Mater Material iales. es. P. Stio Stiopin pin..

Introducción El cálculo de los desplazamientos transversales a su eje, en las vigas, forma parte import important ante e en el desarro desarrollo llo del conocimi conocimient ento o del fenómen fenómeno o de la flexión. flexión. Su estudi estudio o nos permitirá aplicar con éxito los modernos métodos del diseño estructural. Bástenos recordar que el Método de los Estados Límites contempla el Estado Límite de Utilización durante el cual el cálculo de los desplazamientos ocupa un papel determinante a la hora de revisar la estructura o un elemento de la misma.

Desarrollo: Los métodos que emplearemos para calcular los desplazamientos de referencia serán: Métodos Operacionales Métodos Energéticos • •

Los métodos Operacionales que se explicarán serán los siguientes: 1. Método de la Doble integración 2. Método de la Viga Viga Conjugada 3. Método de los Parámetros de Origen Los métodos Energéticos que se presentarán serán: 1. Fórmula de Mohr  2. Método de Ritz.( Ritz.( el mismo mismo es un método Variacional)

MÉTODOS OPERACIONALES Método de la Doble Integración. Varios son los métodos operacionales como se describió anteriormente, sin embargo, todos tienen algo en común. Los mismos están basados en la curvatura de la barra sometida a flexión como se podrá comprobar. Comenzaremos por explicar e xplicar el Método de la Doble Integración. Por supuesto s upuesto que los desplazamientos a los que hacemos referencia son los transversales al eje longitudinal de la barra. Entremos en detalle. Cuando una viga está sometida a cargas transversales, tiende a deformarse bajo sus efectos

de la forma en que se describe en la Fig.-3.1 El desplazamiento vertical “ w” se le denomina “Flecha” y el Ángulo de Giro de una sección en determinado lugar de la viga se le denomina “Ө”. Está claro que de forma general:

Donde “z” es el eje longitudinal de la viga analizada. La configuración que tiene la viga después de aplicadas las cargas se denomina: Deformada o Elástica de la Viga. Según lo que vimos en la deducción de de la Fórmula de “Navier”: 1/ρ = M(z)/EI………………………….(I) Donde “ρ” es el radio de curvatura. Por otro lado del “Análisis Matemático” como asignatura, conocimos que: Nota:

Del doble signo se toma el valor positivo (+) siguiendo el valor positivo del eje “y” cuando éste tiene el sentido positivo hacia arriba. Entonces la curva es convexa hacia abajo de la forma que se muestra en la Fig.-3.2 En nuestro caso, partiendo de la consideración de que los desplazamientos son  pequeños, se puede plantear  que: dy/dz = Tan Ө = Ө O sea,si se considera a Ө muy pequeño, entonces el término (dy/dz)² = 0, por lo que la. expresión (II) queda reducida a: 1/ρ = d² y/dz² …… (III)

Y comparando (III) con (I) resulta finalmente: La expresión (IV) es conocida como: “Ecuación Diferencial de la Elástica”, en la misma se ha hecho w = y.

El Método de la Doble Integración se fundamenta precisamente en la solución de la Ecuación Diferencial de la Elástica, ya que integrando dos veces se puede determinar la función flecha: w = w(z). Por este proceder es que recibe el método su nombre. Veamos algunos ejemplos de aplicación del mismo. Ejemplo :

Mediante el método de la Doble integración, determinar la expresión general de la flecha y el ángulo de giro de la viga mostrada. Halle además los valores máximos correspondientes. Nota: se trata de una viga prismática y de material homogéneo e isotrópico.

Solución; Para el único tramo de la viga y en una sección genérica cualquiera: 0 ≤ Z ≤ L; M (z) = –qz²/2 De la Ecuación Diferencial de la Elástica: d²w/dz² = M(z)/EI = –qz²/2EI Resolviendo esta ecuación diferencial: Ángulo de giro: θ = dw/dz = –∫(qz²/2EI)dz + C1

Entonces las expresiones ajustadas de la flecha y la de ángulos de giro serán:

Está claro que Wmax y θmax ocurren para z = 0, luego:

Conclusiones: