DEFORMACIÓN DE VIGAS.
MÉTODO DE LA DOBLE
INTEGRACIÓN
DEFORMACIÓN DE VIGAS. MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN Definición de flecha de una viga: la deformación de una viga se suele expresar en función de la flecha desde la posición no deformada. Se mide desde la superficie neutra de la viga deformada hasta la posición original de dicha superficie. La figura adoptada por la superficie neutra deformada se conoce como curva elástica de la viga. La Fig.1 representa la viga en su estado primitivo sin deformar y la Fig. 2, la viga en la posición deformada que adopta bajo la acción de las cargas. P
Fig. 1
P
x y Fig. 2
Se dice que el desplazamiento y es la flecha de la viga. Generalmente, será necesario determinar la flecha y para cada valor de x a lo largo de la viga. La relación se puede escribir en forma de ecuación, que se llama ecuación de la curva deformada (o elástica) de la viga.
IMPORTANCIA DE LAS FLECHAS DE LAS VIGAS: Las condiciones de diseño de las vigas imponen frecuentemente limitaciones sobre las flechas, lo mismo que sobre las tensiones. Por consiguiente, además del cálculo de las tensiones que se ha visto en el capítulo 8 es esencial que el proyectista sea capaz de determinar las flechas. Por ejemplo, en muchos códigos de la edificación, la flecha máxima admisible no debe exceder de 1/300 de la longitud de la viga. Así, una viga bien proyectada no solo debe de ser capaz de soportar las cargas a que estará sometida, sino que no deberá sufrir flechas indeseablemente grandes. Además, el cálculo de las reacciones en las vigas estáticamente indeterminadas exige el empleo de varias relaciones con deformaciones. Estas se examinaran en detalle en el capitulo 11 MÉTODO PARA DETERMINAR LAS FLECHAS DE LAS VIGAS: Existen numerosos métodos para determinar las flechas en las vigas. Los utilizados frecuentemente son: a.-El método de la doble integración b.- El método del área de momentos. c.-Métodos de la energía elástica
El primero de ellos se estudia en el capítulo presente. El del área de momentos se examinará en el capítulo 10 y el estudio de los métodos de la energía se puede encontrar en libros de resistencia de materiales más avanzados MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN: La ecuación diferencial de la curva deformada de la viga es: d2y EI 2 = M dx
Donde x e y son las coordenadas, representadas en la figura anterior, de la viga deformada. Esto es, “y” la flecha de la viga. En el problema 1 se deduce esta expresión. En ella, representa el módulode lasticidad de la viga, “I”el momento de inercia de la sección respecto al eje neutro, que pasa por el centro de gravedad y M el momento flector a la distancia x de uno de los extremos de la viga. En el capítulo 6 se vio que esta magnitud es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores de un lado de la sección a la distancia x del extremo, respecto a un eje que pasa por ella. Generalmente, MJ será función de x, y para obtener una expresión algebraica de la flecha y en función de x será necesario integrar dos veces la ecuación (1)
PROCESO DE INTEGRACIÓN: El método de la doble integración para calcular la flecha de las vigas consiste simplemente en integrar la ecuación (1). La primera integración nos da la pendiente dy / dx en un punto cualquiera de la viga y la segunda, la flecha “y” para cada valor de “x”. Indudablemente, el momento flector M ha de estar expresado como función de la coordenada “x”, antes de poder integrar la ecuación. Para los casos que estudiaremos, las integraciones son sumamente fáciles. Como la ecuación diferencial (1).es de segundo orden su solución contendrá dos constantes de integración, que deberá calcularse a partir de las condiciones de pendiente o flecha conocidas en determinados puntos de la viga. Por ejemplo, en el caso de una viga en voladizo, se determinarán las constantes por las condiciones de variación de pendiente cero y flecha nula en el extremo empotrado. Para describir el momento flector en las diversas regiones a lo largo de la viga, frecuentemente se necesitan dos o más ecuaciones, como se recalco en el capítulo 6. En tal caso, debe escribirse la ecuación 1 para cada región y en cada una de ellas se obtendrán dos constantes en la integración, constantes en la integración, constantes en la integración, constantes que deberán determinarse de modo que las deformaciones y pendientes sean continuas en los puntos comunes a dos regiones.
CRITERIOS DE SIGNONS: Se conservarán los criterios de signos de los I e E momentos flectores, adoptadas en el cap. 6. Las cantidades que aparecen en la ecuación (1) son, indudablemente, positivas, por lo que si M es 2 2 positivo para un cierto valor de “x”, también lo es d y / dx .Con el criterio anteriror de signos de los momentos flectores es necesario considerar la coordenada x positiva hacia la derecha a lo largo de la viga y la flecha y positiva hacia arriba. HIPOTESIS Y LIMITACIONES: Al deducir (1) se supone que las deformaciones producidas por la ecuación del cortante son despreciables comparadas con las producidas por la flexión. También se supone que las deformaciones son pequeñas que las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la sección de la viga. Además, se admite que la viga es recta antes de la aplicación de las cargas. Todas estas condiciones se añaden alas hipótesis referentes ala teoría de las vigas que se enumeran en el cap. 8
