BAB. I METODA DISTRIBUSI MOMEN
1.1 PENDAHUL PENDAHULUAN UAN
Metoda distribusi distribusi momen momen (Cross) (Cross) oleh Prof. Hardy Cross dapat digunakan digunakan untuk menganalisa balok dan portal statis tak tentu. Untuk menyelesaikan konstruksi statis tak tentu dengan menggunakan metoda cross diperlukan data sebagai berikut : 1.
Ang Angka Induk ukssi / Koe Koefis fisien ien Tansfe nsfe !"#$ "#
%$Yaitu angka perbandingan antara momen yang timbul pada uung batang yang terepit (M!) dengan momen yang mengakibatkan (M ")# seperti gambar $.$ berikut : M"
M!
&! &"
"
4 ' 5 ' 66 M"
!
M"
&!#"
&!#!
&"
"
M!
!
M! !
"
M"+-
M!+-
7*
8*
8*
3 7*
%ambar. $.$ M" . *
M! . *
666 7 * 9-
666 8 * 9-
&!#" ' 66666
' M" * + , -
&!#! ' 66666 *
*
&! '
dan
' M! * + / -
&!#" &!#! ' #
0ika - 1onstan# Maka
sehingga : M" . * + , - ' M ! . * + / -
M!+M" ' 2
0adi angka angka induksi induksi untuk untuk perletakan sendi 3 epit adalah
4 ' 5 ' M!+M" ' 2
"ngka induksi perletakan sendi sendi adalah ' 4 ' 5 ' M !+M" '
&.
Angka Kekakuan# k ! S'iffness (a)'o %
"dalah besarnya momen yang diperlukan oleh uung batang+balok atau kolom untuk mendapatkan rotasi+putaran sudut sebesar satu radian pada uung tersebut# bila pada uung yang lainnya terepit.eperti diperlihatkan pada gambar $.9 sebagai berikut : 1
&! &"#"
"
2 1 !
&"#!
1
2 1
&"#"
"
!
!
"
1+-
1+9-
7*
8*
3 7*
8*
%ambar. $.9 1.* 666 7 * ;-
1.* 666 8 * 9-
&"#" ' 66666
&"#! ' 66666
' 1 . * + / -
*
*
&" ' $
dan
' 1 . * + $9 -
&"#" &"#! ' $#
sehingga : 1 . * + / - 3 1 . * + $9 - ' $
'''
1 ' ; - + *
"pabila titik ! merupakan perletakan sendi# seperti diperlihatkan pada gambar $./ sebagai berikut :
1.* 666 8 * 9-
1
&"#" ' 66666 *
&"'$
"
' 1 . * + / -
! Untuk &"#" ' $# maka :
1+-
1 . * 66 ' $ ''''
1*+9-
/- 7*
8*
%ambar $./
1 ' /- + *
*.
Pe+an+ian Tanda
Pada setiap metoda perhitungan# peranian tanda tentang arah momen sangat diperlukan. Momen titik dan momen batang# keduanya merupakan momen uung dengan arah yang saling berla
Momen titik# Momen uung terhadap titik hubung : apabila momen berputar ke kanan 3 apabila momen berputar ke kiri
b. Momen batang# momen uung terhadap batang : apabila momen berputar ke kiri 3 apabila momen berputar ke kanan
$
9
/
Momen batang
Momen titik
gambar $.;
,.
Koefisien Dis'i-usi !%
1oefisien distribusi adalah perbandingan kakakuan suatu batang dengan umlah kekakuan batang pada suatu titik hubung. Untuk elasnya kita tinau gambar $.= berikut : Mo $
/
9
%ambar $.= a
>engan bekeranya momen sebesar Mo arah ke kanan# maka akan teradi putaran sudut sebesar &$# &9 dan &/ seperti diperlihatkan pada gambar $.= b sebagai berikut : Mo
&$
1
M/
*
&/
M$
M9
&9
&
%ambar $.= b
0ika kita tinau batang $ atau perletakan $ : M$
&$
1
M$
&#
1
0
2 M$ 1
M$+-
&#$ M$+9-
7*
8*
7*
M$ . * 666 8 * 9-
&#' 66666
8*
M$ . * 666 7 * ;- ' M$ . * + / -
&#$' 66666
*
&$ ' &# &#$ '
' M$ . * + $9 -
*
M$ . * + ; -
''''
M$ ' &$ . 1 $
0ika kita tinau batang / atau perletakan / : M/ *
&/
M/ . * 666 8 * 9-
&/' 66666
' M/ . * + / -
*
M/+-
''''
M/ ' &$ . 1 /
7*
8*
?leh karena titik hubung ? bersifat kaku# maka besarnya putaran sudut yang teradi pada titik ? adalah tetap (sama)# sehingga :
&$ ' &9 ' &/ ' & M$ ' & . 1 $ M9 ' & . 1 9 M/ ' & . 1 / !erdasarkan syarat keseimbangan titik hubung# besarnya M yang bekera adalah : M ' M$ M9 M/ ' '
M & . 1 $ & . 1 9 & . 1 / & ' 66666666 '''''' & ( 1 $ 1 9 1 / )
1 $ 1 9 1 /
1 $ M$' 66666666 1 $ 1 9 1 /
1 $ A M
66666666 '@ 1 $ 1 9 1 /
>engan demikian persamaan dapat dituliskan sebagai berikut : M$ ' @ $ . M M9 ' @ 9 . M M/ ' @ / . M 0adi besarnya angka koefisien distribusi ( @ i ) adalah : Catatan :
1 i @ i ' 6666 B 1 3n
0umlah angka koefisien distribusi !% pada satu titik sama dengan satu ( $ )
$
Mo2en Pi2e ! Mo %
.
Momen primer adalah momen3momen uung suatu batang atau elemen3 elemen dari suatu batang struktur terhadap titik hubungnya. Penentuan besarnya nilai momen primer untuk setiap titik hubung yang menerus selalu dianggap perletakan epit. !esarnya momen primer berbagai enis perletakan dapat ditentukan melalui table momen yang tersedia. "pabila tidak tersedia table momen primer# maka untuk menentukan besarnya nilai momen primer dapat menggunakan analisa3anlisa perhitungan yang lain# antara lain menggunakan metoda konsisten deformasi# metoda perhitungan lendutan dan lain sebagainya.
3.
Dis'i-usi Mo2en
>istribusi+perataan momen dimaksudkan untuk mendapatkan nilai dari momen desain yang teradi pada batang suatu struktur. Perataan momen dilakukan sampai nilai akhir dari momen uung3uung batang mendekati nol atau #; tm. 0umlah momen akhir pada suatu titik kumpul haruslah seimbang ( D M ' ). 0ika D M E # maka pada titik tersebut perlu dilakukan koreksi momen. 1oreksi momen akibat adanya kelebihan momen pada suatu titik dilakukan pada batang sebanding dengan kekakuannya. MF#Y ' MFY 3 @
Ay
.DM
MA#y : Momen uung batang setelah terkoreksi MFY : Momen uung batang sebelum koreksi
1.& BALOK MENERUS DAN PORTAL DEN4AN TITIK HUBUN4 TETAP
Yang dimaksud dengan portal titik hubung tetap adalah suatu portal dimana pada tiap titik kumpulnya (titik hubung) hanya teradi putaran sudut tanpa mengalami pergeseran titik kumpul (titik hubung). ebagai contoh : •
Portal dimana struktur dan pembebanannya simetris
•
Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom3kolomnya disokong oleh suatu perletakan.
!erbagai macam struktur dengan titik hubung yang tidak bergerak+tetap. truktur dapat berupa balok menerus# portal ataupun gabungan keduanya. %ambar $.G berikut ini memperlihatkan contoh struktur dengan titik hubung tetap.
%ambar $.G
*angkah langkah penyelesaian perhitungan momen momen uung batang untuk struktur dengan titik hubung tetap dengan cara cross adalah sebagai berikut : $) Hitung angka kekakuan masing3masing batang+elemen ( K I.) 9) Hitung nilai koefisien distribusi masing3masing batang+elemen (I.) /) Hitung besarnya momen primer masing3masing uung batang+elemen (Mo I.) ;) >istribusi momen sampai diperoleh nilai mendekati nol atau #; tm. =) 1oreksi momen akhir pada masing3masing titik hubung sampai D M '
5on'o6 1 Perhitungan dengan cara cross
uatu struktur balok menerus seperti pada gambar di baiketahui : P$ ' ; t P9 ' = t J ' / t+m
*$ ' ; m *9 ' = m */ ' ; m P$
"
a$ b$ a9 b9
a$
/m $m /m $m
J
C
>
*9 b$
-"! ' $ -!C ' $ -C> ' $ P9
! *$
' ' ' '
*/ b9
a9
Pen7e8esaian 9 Soa8 1 1.
Angka Kekakuan Ba'ang 9 1 "! ' / - + * $ ' #G= 1 !C ' ; - + * 9 ' #K 1 C> ' / - + * / ' #G= 1 "! ' 1 "! # 1 !C ' 1 C! /. Meng6i'ung Mo2en Pi2e
&. Koefisien Dis'i-usi 9 !:.% BA ; 1 !" + (1 !" 1 !C ) ' #;K/L B5 ; 1 !C + (1 !" 1 !C ) ' #=$,$ 5B ; 1 C! + (1 C! 1 C> ) ' #=$,$ 5D ; 1 C> + (1 C! 1 C> ) ' #;K/L
Mo"! ' tm Mo!" ' 3( J * $9 P$ a$ b$ (*$ a$) + (9 *$9 )) ' 3 K#,9= tm Mo!C ' $+$9 J *99 ' ,#9= tm o M C! ' 3 $+$9 J *99 ' 3 ,#9= tm o 9 9 M C> ' ( J * / P9 a9 b9 (*/ a9) + (9 * / )) ' L#9K$/ tm Mo>C ' tm
,.
Dis'i-usi Mo2en
0oint+titik !atang 1oef.>ist M.Primer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance 0umlah "rah Momen #;'stop
" "! # # # # # # # # # # # # # # #
!
C
!" #;K/L 3 K#,9= $#$;L9 # #/GK= # #G,= # #9=9 # #=$ # #$G # #/
!C #=$,$ ,#9= $#99=K 3#GK9/ #;/G 3#$=K9 #K$, 3#=9$ #9,L 3#$= #=; 3#/= #$K 3#G #;
C! #=$,$ 3 ,#9= 3$#=,;= #,$9L 3#/$,/ #9$L 3#$;9 #;K 3#9$$ #$/; 3#,L #9G 3#$; #L 3#=
C> #;K/L L#9K$/ 3 $#;,,G # 3 #9L,, # 3 #LGG # 3 #$LK # 3 #,= # 3 #$/ # 3 #;
> >C # # # # # # # # # # # # # # #
#
3,#LKK;
,#LKK;
3G#/L9/
G#/L9/
#
>iagram ree !ody J
P$
N "!
M!"
N !" a$
.
M!C
J
N C!
N !C
b$
MC!
MC>
P9
N C>
N >C b9
*9
J
a9
Meng6i'ung Reaksi
Untuk menghitung besarnya reaksi perletakan struktur# sebaiknya ditinau free !ody masing3masing batang. !esarnya nilai momen uung batang pada diagram tersebut sudah disesuaikan dengan arahnya ( bernilai positif ). a. Tin+au Ba'ang AB QM! '
QM" '
N "! . *$ 2 J* $9 P$ . b$ M!" '
3N!" . *$ 2 J* $9 P$ . a$ M!" '
N "! . ; 2 /. ; 9 ; . $ ,#LKK; '
3N !" . ; 2 / . ; 9 ; ./ ,#LKK; '
''''''' N "! ' =#9=9L t
''''''' N !" ' $#G;G$ t
b. Tin+au Ba'ang B5 QMC '
QM! '
N !C . *9 2 J* 99 M!C MC! '
3NC! . *9 2 J* 99 3 M!C MC! '
N !C . = 2 / . = 9 ,#LKK; G#/L9/ '
N C ! . = 2 / . = 9 ,#LKK; G#/L9/ '
''''''' N !C ' G#;$L9 t
''''''' N !" ' G#=KK t
c. Tin+au Ba'ang 5D QM> '
QMC '
N C> . */ 2 J* /9 P9 . a9 3 MC> '
3N>C . */ 2 J* /9 P9 . b9 3 MC> '
N C> . ; 2 /. ; 9 = . / G#/L9/ '
3N >C . ; 2 / . ; 9 = . $ G#/L9/ '
''''''' N C> ' $$#=LK$ t
''''''' N >C ' =#;$L t
Rilai masing3masing Neaksi perletakan adalah : N " ' N "! ' =#9=9L t N ! ' N !" N !C ' $#G;G$ G#;$L9 ' $K#$,,/ t N C ' N !C N C> ' G#=KK $$#=LK$ ' $L#$GKL t N > ' N >C ' =#;$L t 1ontrol ''''' QS ' N " N ! N C N > P$ 3 P9 J ( * $ *9 */) ' =#9=9L $K#$,,/ $L#$GKL =#;$L ; 3 = / ( ; = ;) ' ' 33333 ?k 3.
Meng6i'ung 4a7a=ga7a Da8a2 a% 4a7a Lin'ang !D%
>" ' N " ' =#9=9L t >P$ kiri ' N " J.a $ ' =#9=9L / . / ' 3 /#G;G$ t >P$ kanan ' N " J.a$ P$ ' =#9=9L / . / ; ' 3 G#G;G$ t >! kiri ' N " J.*$ P$ ' =#9=9L / . ; ; ' 3 $#G;G$ t >! kanan ' N " J.* $ P$ N ! ' =#9=9L / . ; ; $K#$,,/ ' G#;$L9 t >C kiri ' >! kanan 3 J.*9 ' G;$L9 / . = ' 3 G#=KK t >C kanan ' >C kiri N C ' 3 G#=KK $L#$GKL ' $$#=LK$ t >P9
kiri
' >C kanan J . b 9 ' $$#=LK$ / . $ ' K#=LK$ t
>P9
kanan
' >P9 kiri P9 ' K#=LK$ = ' /#=LK$ t
>> kiri ' >P9 kanan J . a 9 ' /#=LK$ / . / ' 3=#;$L t >> kanan ' >> kiri N > ' 3=#;$L =#;$L ' t
-% Mo2en !M%
M" ' MP$ ' N " . a$ 2 J . a $9 ' =#9=9L . / 2 / . / 9 ' 9#9=KG tm M! ' N " . *$ 2 J . * $9 P$ . b$ ' =#9=9L . ; 2 / . ; 9 ; . $ ' 3 ,#LKK; tm MC ' N " (*$ *9) 3 2 J (* $ *9)9 P$ (b$ *9) N ! . *9 ' =#9=9L . L 2 / . L 9 ; . , $K#$,,/ . = ' 3 G#/L9/ tm ( ' M C!) MP9 ' N "(*$ b9) 3 2 J(*$ *9 b9)9 P$(b$ *9 b9) N !(*9 b9) N C . b9 ' =#9=9L . $ 2 / . $ 9 ; . G $K#$,,/ . , $L#$GKL . $ ' 9#GG= tm M> ' Momen *apangan maksimum ''' gaya lintang >' ''''' >A ' >ari hasil perhitungan nilai >'# berada antara titik " dan P$ untuk bentang "!# antara titik ! dan C untuk bentang !C dan antara titik P9 dan > untuk bentang C>. Untuk bentang "! : N " J . A ' '''
=#9=9L / . A '
'''' A ' $#G=$ m
M*ap.Maks ' N " . A 2 J . A 9 ' =#9=9L . $#G=$ 2 . / . $#G=$ 9 ' ;#=LKK tm Untuk bentang !C : N !C J . A ' '''
G#;$9L / . A '
'''' A ' 9#;G/$ m
M*ap.Maks 'N !C. A 2 J. A 9 3M!C ' G#;$G9. 9#;G/$ 2 ./. 9#;G/$ 9 ,#LKK; ' 9#$K=G tm Untuk bentang C> : N C> J . A P 9 ' '''
$$#=LK$ / . A 3 = '
'''' A ' 9#$LL; m
M*ap.Maks 'N C>. A 2 J. A 9 P9.(A3b9)3 MC> ' $$#=LK$. 9#$LL; 2 ./. 9#$LL; 9 =(9#$LL;3$) 3 G#/L9/ ' ;#K,/= tm
$$#=LK$ G#;$L9 =#9=9L
K#=LK$ /#=LK$
"
!
C
>
/#G;G$ =#;$L G#G;G$
G#=KK $#G;G$
,#LKK;
"
G#/L9/
!
C
>
9#$K=G ;#=LKK
;#K,/=
%b. >iagram !idang *intang dan Momen oal $
5on'o6 & Perhitungan dengan cara cross
uatu struktur balok menerus seperti pada gambar di baiketahui : P$ ' ; t P9 ' = t J ' / t+m
*$ ' ; m *9 ' = m */ ' ; m P$
"
a$ b$ a9 b9
a$
/m $m /m $m
J
C
>
*9 b$
-"! ' $ -!C ' $ -C> ' $ P9
! *$
' ' ' '
*/ b9
a9
Pen7e8esaian 9 Soa8 & 1.
Angka Kekakuan Ba'ang 9 1 "! ' / - + * $ ' #G= 1 !C ' ; - + * 9 ' #K 1 C> ' ; - + * / ' $# 1 "! ' 1 "! # 1 !C ' 1 C!
&. Koefisien Dis'i-usi 9 !:.% BA ; 1 !" + (1 !" 1 !C ) ' #;K/L B5 ; 1 !C + (1 !" 1 !C ) ' #=$,$ 5B ; 1 C! + (1 C! 1 C> ) ' #;;;; 5D ; 1 C> + (1 C! 1 C> ) ' #===,
/. Meng6i'ung Mo2en Pi2e Mo"! ' tm Mo!" ' 3( J * $9 P a$ b$ (*$ a$) + (9 *$9 )) Mo!C ' 3 $+$9 J *99 MoC! ' 3 $+$9 J *99 MoC> ' $+$9 J */9 (P a99 b9 + */9 ) Mo>C ' 3 ($+$9 J */9 (P a9 b99 + */9 ) ,.
' 3 K#,9= tm ' ,#9= tm ' 3 ,#9= tm ' ,#K$9= tm ' 3;#L/G= tm
Dis'i-usi Mo2en
0oint !atang 1oef.>ist M.Primer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance
" "! # # # # # # # # # # # # # # #
!
C
!" #;K/L 3 K#,9= $#$;L9 # #,= # #,=L # #/= # #/K # #9 # #9
!C #=$,$ ,#9= $#99=K 3#$9= #,;= 3#$/,9 #G/ 3#G9 #/G 3#GK #; 3#; #9 3#; #9
C! #;;;; 3 ,#9= 3#9= #,$9L 3#9G9; #/9/ 3#$;/ #/=$ 3#$=, #$K 3#K #9 3#L #$ 3#
C> #===, ,#K$9= 3 #/$9= # 3 #/;= # 3 #$GL # 3 #$L= # 3 #$ # 3 #$$ # 3 #$
> >C # 3;#L/G= # 3#$=,/ # 3#$G/ # 3#L # 3#LK # 3#= # 3#, #
0umlah "rah Momen
#
3G#/;$K
G#/;$K
3,#$$LK
,#$$LK
3=#9K/K
>iagram ree !ody J
P$
N "!
M!"
N !" a$
b$
M!C
J
MC!
N C!
N !C *9
MC>
P9
J
N C>
N >C b9
a9
M>C
. Meng6i'ung Reaksi
!esarnya reaksi perletakan struktur# analog dengan perhitungan pada soal $. Hasil perhitungan diperlihatkan sebagi berikut Reaksi Pe8e'akan.
N " ' N "! ' =#$,;== t N ! ' N !" N !C ' $#K/=;= G#G;;; ' $K#=GLK= t N C ' N !C N C> ' G#9==, L#L=L ' $G#9$;, t N > ' N >C ' G#;$ t 3. 4a7a=ga7a Da8a2 a% 4a7a Lin'ang !D%
>" ' =$,;== t > P$ kiri ' 3 /#K/=;= t
> P$ kanan ' 3 G#K/=;= t
>! kiri ' 3$#K/=;= t
> ! kanan ' G#G;;; t
> C kiri ' 3 G#9==, t
>C kanan ' L#L=L t
>P9
>P9
>> kiri ' 3G#;$ t
>> kanan ' t
kiri
' ,#L=L t
kanan
' $#L=L t
-% Mo2en !M%
M" '
Mlap "! ' ;#;;=;/ tm M P$ ' $#LL/,= tm
M! ' 3 G#/;$K tm
M *ap !C ' 9#,=;$=, tm
M C ' 3,#$$LK tm
MP9 ' 39#//L9 tm
M *ap C> ' 9#LGKK$; tm
M > ' 3=#9K/K tm
L#L=L =#9$,;==
G#G;;;
,#L=L $#L=L
"
!
C
>
/#K/=;=
G#;$
G#K/=;=
G#9==,
$#K/=;= G#/;$K
,#$$LK
"
!
=#9K/K
C
>
9#,=;$=, ;#;;=;/
9#LGKK$;
%b. >iagram !idang *intang dan Momen oal 9
5on'o6 * Perhitungan dengan cara cross
uatu struktur balok portal seperti pada gambar di baiketahui : P$ ' = t P9 ' = t J ' / t+m
P$
a ' 9m b ' $m c ' 9m
*'abc'=m H';m -"C ' -!> ' $# -C> ' 9
Penyelesaian :
P9
J
C
1. Kekakuan Ba'ang.
1 C" ' 1 >! ' ; -+H
>
' $#
1 C> ' 1 >C ' ; (9-)+* ' $#, &. Koefisien Dis'i-usi. C" ' 1 C"+( 1 C" 1 C>) ' #/K;, " a
! b
C> ' 1 C>+( 1 C" 1 C>) ' #,$=;
c
>C ' 1 >C+( 1 >C 1 >!) ' #,$=; >! ' 1 >!+( 1 >C 1 >!) ' #/K;, "C ' !>
'
*. Mo2en Pi2e.
M"C ' MC" ' M>! ' M!> '
tm
MC> ' ($+$9.J.* 9) (P$.a(bc)9+*9) (P9.(ab)c9+*9) ' $9#9= tm M>C ' 3 $9#9= tm ,.
Dis'i-usi Mo2en 0oint !atang 1oef.>ist+@ M.Primer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance 0umlah
"rah Momen
" "C # # # 39#/==K # 3#G9;L # 3#99/
C C" #/K;, # 3;#G$$= # 3$#;;LG # 3#;;,$ #
> C> #,$=; $9#9= 3G#=/K= /#G,L9 39#/$L= $#$=LK 3#G$/G #/=,L
>C #,$=; 3 $9#9= G#=/K9 3/#G,L9 9#/$L= 3$#$=LK #G$/G 3#/=,L
>! #/K;, # ;#G$$= # $#;;LG # #;;,$ #
! !> # # # 9#/==K # #G9;L # #99/
>an seterusnya# dengan cara yang sama sehingga diperoleh hasil dengan umlah momen akhir sebagai berikut :
3/#;9G
3,#K==
,#K==
3,#K==
,#K==
/#;9G
Diaga2 (ee Bod7
P$
P9 J
MC>
M>C
HC>
H>C
SC" S>! S>C
SC> MC"
HC"
a
b
c
H>!
M>!
;m H"C
M"C
M!>
S"C
H!>
S!>
. Reaksi Pe8e'akan.
>engan memanfaatkan persamaan keseimbangan pada masing masing batang# maka akan diperoleh hasil sebagai berikut : H"C ' HC" ' 9#==9= t
H!> ' H>! ' 9#==9= t
SC> ' S>C ' $9#= t
S"C ' SC" ' SC> ' $9#= t
S!> ' S>! ' S>C ' $9#= t 3. 4a7a=ga7a Da8a2. 4a7a Lin'ang !D%
>"3C ' 3H"C ' 39#==9= t
>C ' 3SC> ' $9#= t
> C3P$ ' ,#= t
>P$3P9 ' 3$#= t
>P93> ' 3$9#= t
>>! ' H>! 9#==9= t
4a7a No2a8 !N%
R"3C ' 3S"C ' 3$9#= t RC3> ' 3HC> ' 39#==9= t Mo2en !M%
R!3> ' 3S!> ' 3$9#= t
M" ' /#;9G tm
M C" ' ,#K== tm
MP$' $9#$L;= tm
M P9 ' $9#$L;= tm
M C>' 3 ,#K== tm
Mlap.maks ' $9#=,L= tm ( Tengah bentang C> )
$9#= ,#= $#= 9#==9=
$#= ,#=
9#==9=
$9#= >iagram *intang (>)
9#==9=
9#==9=
9#==9=
9#==9=
$9#=
$9#=
>iagram Rormal (R)
$9#=
$9#=
,#K==
,#K==
,#K==
,#K==
>iagram Momen (M)
/#;9G
/#;9G
%b. >iagram %aya3gaya >alam 1.* PORTAL DEN4AN TITIK HUBUN4 BER4ERAK
truktur dengan titik hubung yang bergerak dalam analisa cross disebut dengan pergoyangan. turktur dapat bergerak dalam satu arah (pergoyangan tunggal)maupun dua arah (pergoyangan ganda).Pemakaian metoda distribusi momen untuk menganalisa portal statis taktentu yang mengalami pergoyangan dapat dilakukan sebagai berikut : $.
emua oint ditahan terhadap pergoyangan. Momen3momen primer (iAed -nd Momen) ditimbulkan oleh beban3beban luar didistribusikan sehingga akan diperoleh suatu kelompok momen yang telah seimbang (kelompok pertama). Portal tanpa beban dianggap mengalami suatu pergoyangan sehingga timbul satu satuan momen primer (iAed -nd Momen). Momen primer ini kemudian didistribusikan sehingga akan diperoleh suatu kelompok momen yang seimbang (1elompok kedua)
9. Rilai nilai momen yang sebenarnya dapat diperoleh dengan menumlahkan momen pada kelompok pertama dengan momen pada kelompok kedua. Untuk analisa lebih lanut khususnya analisa pergoyangan pada struktur yang mengalami pergoyangan# baik tunggal maupun ganda# dapat dianalisa bah
C
> C
C
>
>
F9
h
"
(a)
h
F$ !
"
(b)
!
%ambar $.K
Cara perataan (distribusi momen) adalah sama seperti struktur yang tidak mengalami pergoyangan# hanya saa diperlukan analisa+langkah perataan momen sebagai berikut : $. >istribusi momen akibat adanya beban luar# dimana pendel penahan dianggap terpasang pada struktur ( gambar $.Ka ). 9. >istribusi momen akibat gayangan# pendel penahan dilepas (gambar $.Kb) Pada gambar $.Kb# nilai3nilai F $ dan F9 merupakan momen primer yang timbul pada masing3masing batang (batang "C dan !>) akibat adanya s uatu goyangan. !esarnya nilai F$ dan F9 ditentukan berdasarkan rumus lendutan sebagai berikut : W
$+/ h 2 Mh
M
W ' $+- (2Mh . 8h 3 2Mh . 7h) W ' Mh9+,-
W ' $ satuan
M ' ,- W+h 9
33333333333( pers. a )
9+/ h 2 Mh M
W
W ' $+- ( 2Mh . 8h ) $+/ h
W ' Mh9+/- M ' /- W+h 9
W ' $ satuan 33333333333( pers. b )
2 Mh 9+/ h
>ari hasil perhitungan lendutan dia atas# kita dapatkan besarnya nilai F $ dan F9 sebagai berikut : F$ ' ,- WhC+h9 333 ( dari pers. a ) dan
F9 ' /- W h>+h9 333 ( dari pers. b )
!erdasarkan hal tersebut di atas# maka perbandingan nilai F $ dan F9 adalah , dan / sehingga untuk kondisi secara umum dapat diperoleh bah
aktor F$ ' , '''''''' untuk keadaan struktur +e +e
*angkah perhitungan metoda distribusi momen pada pergoyangan sebagai berikut : " $. Tentukan umlah pendel dan letak pendel penahan goyangan pada struktur 0umlah Pendel ' 9 A oint (9 A Perletakan epit 9 A Perletakan sendi umlah !atang) >imana oint adalah titik kumpul# termasuk titik perletakan. 9. Hitung kekakuan dan koefisien distribusi masing3masing titik kumpul. ! $. >istribusi momen akibat beban luar (pendel penahan goyangan terpasang). a. Hitung momen primer tiap batang akibat beban luar. b. >istribusi momen sampai teradi keseimbangan pada masing3masing titik kumpul c. Hitung besarnya reaksi pada pendel penahan goyangan
'''''' Neaksi pendel
Hp ' IIII.
! 9. >istribusi momen akibat goyangan (pendel penahan goyangan dilepas). a. Hitung momen primer tiap batang akibat goyangan. b. >istribusi momen sampai teradi keseimbangan pada masing3masing titik kumpul dan hasilnya dinyatakan dalam Oariable F c. Hitung besarnya reaksi pada pendel penahan goyangan
'''''' Neaksi pendel
HpF ' IIII.
C. Mencari nilai Oariable F dan momen akhir dari struktur. 1enyataannya pada struktur sebenarnya tidak ada pendel sehingga gaya yang teradi pada pendel adalah ' # sehingga '''''' Hp HpF ' 333333 F akan diperoleh. Momen akhir dari struktur adalah penulahan dari : Momen akibat beban luar dan momen akibat goyangan.
5on'o6 , Perhitungan dengan cara cross
uatu struktur balok portal seperti pada gambar di baiketahui : P$ ' ; t P9 ' = t J ' / t+m
a ' 9m b ' $m c ' 9m
*'abc'=m H';m -"C ' -!> ' $# -C> ' 9 ' $#,
>
C
&. Koefisien Dis'i-usi. C" ' 1 C"+( 1 C" 1 C>) ' #/K;, a "
b
C> ' 1 C>+( 1 C" 1 C>) ' #,$=;
c
!
>C ' 1 >C+( 1 >C 1 >!) ' #,$=; >! ' 1 >!+( 1 >C 1 >!) ' #/K;,
A. 1 ?u28a6
A. & Kekakuan# koef. Dis'i-usi# Mo2en <i2e
P9
J
1. Kekakuan Ba'ang.
1 C" ' 1 >! ' ; -+H ' $#
>
C
1 C> ' ; (9-)+*
' $#,
&. Koefisien Dis'i-usi. "
a
!
b
C" ' 1 C"+( 1 C" 1 C>) ' #/K;, C> ' 1 C>+( 1 C" 1 C>) ' #,$=;
c
>C ' 1 >C+( 1 >C 1 >!) ' #,$=; >! ' 1 >!+( 1 >C 1 >!) ' #/K;,
*. Mo2en Pi2e.
M"C ' MC" ' M>! ' M!> '
tm
MC> ' ($+$9.J.* 9) (P$.a(bc)9+*9) (P9.(ab)c9+*9) ' $$#=/ tm M>C ' ($+$9.J.* 9) (P$.a9(bc)+*9) (P9.(ab)9c+*9) ' 3$$#GG tm ,. Dis'i-usi Mo2en Aki-a' Be-an Lua 0oint !atang 1oef.>ist M.Primer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance
" "C # # # 39#9$G/ # 3#,L,; # 3#9LL
C C" #;/K;, # 3;#;/;, # 3$#/L9L # 3#;$LK #
> C> #,$=; $$#=/ 3G#L=; /#,9$= 39#99K, $#L$, 3#,G$K #/;9L
>C #,$=; 3 $$#GG G#9;/$ 3/#=;GG 9#$K/9 3$#$$;/ #,K=G 3#//=L
>! #;/K;, # ;#=9,L # $#/,;= # #;9K, #
>an seterusnya# dengan cara yang sama sehingga diperoleh hasil dengan umlah momen akhir sebagai berikut :
0umlah
3/#9$K;
3,#;/,L
,#;/,L
3,#=G=
,#=G=
"rah Momen Diaga2 (ee Bod7
P$
P9 J
MC>
M>C
HC>
H>C
SC" S>! S>C
SC> MC"
H"C
! !> # # # 9#9,/= # #,K99 # #9$;/
HC"
a
b
H>!
c
M"C
M>!
M!>
S"C
S!>
. Meng6i'ung ga7a/eaksi
Tin+au Ba'ang BD
QMC '
QM> '
H!>
/#9=/G
3 H"C . ; M"C MC" '
H!> . ; 3 M>! M!> '
3 H"C . ; /#9$;K ,#;/,L '
H !> . ; ,#=G= 3 /#9=/G '
''''''' H"C ' 9#;$/K t (
)
''''''' H!> ' 9#;;/ t (
)
QH ' diperoleh reaksi pendel pada titik C yaitu Hp o ' #9,= t (
)
A. * Dis'i-usi Mo2en Aki-a' 4o7angan !
C
C
>
>
MoC"
1. Mo2en Pi2e
Mo>!
Mo"C ' MoC" ' , ($- ) W + ;9 '#/G= - W Mo>! ' Mo!> ' , ($- ) W + ;9 '#/G= - W
>engan suatu perbandingan# diambil : Mo"C ' MoC" ' Mo>! ' Mo!> ' $
Mo"C "
Mo!> !
&. Dis'i-usi Mo2en Aki-a' 4o7angan 0oint !atang 1oef.>ist M.Primer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance C.?Oer !alance 0umlah
" "C # $# # 3#$L9/ # #=L9 # 3#$K9
C C" #;/K;, $# 3#/K;, # #$$K/ # 3#/,; #
> C> #,$=; # 3#,$=; 3#/GG #$KL; #L;G 3#=K/ 3#9L$
>C #,$=; # 3#,$=; 3#/GG #$KL; #L;G 3#=K/ 3#9L$
>! #;/K;, $# 3#/K;, # #$$K/ # 3#/,; #
! !> # $# # 3#$L9/ # #=L9 # 3#$K9
>an seterusnya# dengan cara yang sama sehingga diperoleh hasil dengan umlah momen akhir sebagai berikut :
#K=9L
#G=L
3#G=L
3#G=L
#G=L
"rah Momen
Diaga2 (ee Bod7
MC>
M>C
HC>
H>C
SC" S>C
SC>
HC"
H>!
MC"
a
M"C H"C
S"C
S>!
b
M>!
c
M!>
S!>
H!>
#K=9L
*. Meng6i'ung 4a7a Pende8 Pena6an Tin+au Ba'ang A5
Tin+au Ba'ang BD
QMC '
QM> '
H"C . ; M"C 3 MC" '
H!> . ; 3 M>! 3 M!> '
H"C . ; #K=9L 3 #G=L '
H !> . ; #G=L 3 #K=9L '
''' H"C ' #/KLG t (
''' H!> ' #/KLG t (
)
)
QH ' diperoleh reaksi pendel pada titik C yaitu Hp A ' #GGL; A (
)
A. , Ni8ai @aia-e8 dan Mo2en Ak6i
0umlah gaya penahan pendel ' Hpo HpA ' ''' #9,= #GGL; A ' ''' A ' 3 #/; Momen "khir truktur ' M 0oint !atang
M akibat goyangan
akibat beban luar
" "C
C
>
C"
C>
>C
>!
! !>
3/#9$K;
3,#;/,L
,#;/,L
3,#=G=
,#=G=
/#9=/G
#K=9L A 3 #9L Momen "khir truktur 0umlah 3/#9;G;
#G=L A 3 #9;
3 #G=L A #9;
3 #G=L A #9;
#G=L A 3 #9;
#K=9L A 3 #9L
3,#;,L
,#;,L
3,#;K/=
,#;K/=
/#99;G
M akibat beban luar M "khir
M akibat goyangan M "khir
"rah Momen Diaga2 (ee Bod7 P$
MC>
P9 J
HC>
M>C H>C
SC" S>! HC" MC"
H"C
S>C
SC>
H>! a
b
c
M"C
M!>
S"C
S!>
M>!
H!>
. Meng6i'ung Reaksi Pe8e'akan Tin+au Ba'ang A5
Tin+au Ba'ang BD
QMC '
QM> '
H"C . ; M"C 3 MC" '
H!> . ; 3 M>! 3 M!> '
H"C . ; 3 /#9;G; 3 ,#;,L '
H !> . ; ,#;K/= 3 /#99;G '
''' H"C ' 9#;9G$ t ( !erdasarkan
''' H!> ' 9#;9G$ t (
)
)
persamaan keseimbangan pada masing masing batang pada gambar
diagram free body# maka akan diperoleh hasil sebagai berikut : N " ' N "C ' S"C ' SC> ' $$#KL=;K t N ! ' N !> ' S!> ' S>C ' $9#$;=9 t
3. Pe6i'ungan ga7a=ga7a Da8a2 Ba'ang a%. 4a7a Lin'ang
>"C ' 3 H"C ' 3 9#;9G$ t >C ' SC> ' $$#KL=;K t
> P$3P9 ' >P$ J.$ ' 3$#$;=9 t > P9 ' >P$3P9 P9 ' 3,#$=;9 t
>C3P$ ' SC> J.9 ' $$#KL=;K / . 9 ' =#KL=;K t
> P93> ' >P9 J.9 ' 3$9#$=;9 t
>P$ ' >C3P$ P$ ' $#KL=;K t
> >3! ' H>! ' 9#;9G$ t
-%. 4a7a No2a8
R"C ' S"C ' 3 $$#KL=;K t
R !3> ' S!> ' 3$9#$;=9 t
R C> ' 39#;9G$ t
)%. Mo2en
M" ' /#9;G; t m
M >C ' M>! ' 3,#;K/= tm
MC" ' MC> ' 3,#;,L tm
M!>' /#99;G tm
MP$ ' $$#//$ tm
M P9 ' $$#G9==; tm
M*ap Maks ''' %aya *intang > ' Pada arak A ' 9#,/$K m dari titik C M*ap Maks ' $$#L9KKG tm
$$#KL=;K =#KL=;K $#KL=;K $#$;=9 ,#$=;9
9#;9G$
9#;9G$
$9#$;=9 >iagram *intang (>)
9#;9G$
9#;9G$
9#;9G$
9#;9G$ $9#$;=9
$$#KL=;K
>iagram Rormal (R)
$$#KL=;K
$9#$;=9
,#;,L
,#;K/=
,#;,L
,#;K/= $$#//$
$$#9G==; $$#L9KKG ;
>iagram Momen (M)
/#9;G;
/#99;G
%b. >iagram %aya3gaya >alam
1., RAN4KUMAN
$). Perhitungan >istribusi momen untuk titik hubung tetap. *angkah perhitungan momen3momen uung batang untuk struktur dengan titik hubung tetap dengan cara cross adalah sebagai berikut : a) Hitung angka kekakuan masing3masing elemen+batang ( 1 ) b) Hitung koefisien distribusi masing3masing elemen+batang ( @ ) c) Hitung momen primer masing3masing elemen+batang ( Mo I. ) d) >istribusi momen sampai diperoleh nilai #; kg e) 1oreksi momen masing3masing titik kumpul sampai DM ' Momen uung hasil koreksi adalah momen uung elemen+batang
9). Perhitungan >istribusi momen untuk titik hubung bergerak. *angkah perhitungan momen3momen uung batang untuk struktur dengan titik hubung bergerak dengan cara cross adalah sebagai berikut : " $. Tentukan umlah pendel penahan goyangan pada struktur. B pendel ' 9 A oint ( 9 A perletakan epit 9 A perletakan sendi B !atang ) 9. Hitung kekakuan dan koefisien distribusi pada masing3masing titik kumpul
! $. >istribusi momen akibat beban luar a) Hitung momen primer masing3masing elemen+batang ( Mo I. ) b) >istribusi momen sampai diperoleh nilai #; kg c) 1oreksi momen masing3masing titik kumpul sampai DM ' d) Hitung besarnya reaksi pendel penahan goyangan '''' Neaksi pendel ' HP ' IIII..
! 9. >istribusi momen akibat goyangan ( pendel penahan dilepas ) a) Hitung momen primer masing3masing elemen+batang yang dinyatakan dalam F$# F9 II dst atau M$# M9 IIII. >st b) >istribusi momen sampai diperoleh nilai #; kg c) 1oreksi momen masing3masing titik kumpul sampai DM ' d) Hitung besarnya reaksi pendel penahan goyangan '''' Neaksi pendel ' HPF ' IIII.. ( dalam Oariable F ) C. Mencari harga+Rilai dari Oariable F dan Momen akhir dari struktur Pada kenyataannya suatu struktur tidak ada terpasang pendel penahan goyangan# sehingga gaya yang timbul+teradi pada pendel tersebut adalah ' # sehingga#
'''' Neaksi pendel ' HP ' HP HPF ' sehingga nilai F akan diperoleh.
!esarny anilai momen akhir dari struktur adalah hasil penumlahan dari momen hasil distribusi akibat beban luar momen hasil distribusi akibat goyangan setelah dikalikan Oaribael F. sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :
''' M "khir ' M akibat beban luar M akibat goyangan A Oariable F
