LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap Metode Analisi Grafik dan Numerik Perpindahan Kalor Konduksi Dua Dimensi Oleh: Ahmad Faisal / 1006660491 / Kel. 8
I.
Metode Analisi Grafik
Metode analisis grafik merupakan metode yang menggunakan garis-garis aliran-kalor dan isotherm yang membentuk berkas-berkas garis-lengkung kurvilinear seperti Gambar 2 pada lampiran. Melalui metode grafik, kita bisa menghitung perpindahan kalor yang relative lebih cepat dibanding dengan metode analisis matematik pada sistem dua dimensi yang geometrinya rumit dengan batas-batas isothermal dan yang diisolasi. Persamaan yang digunakan pada aliran kalor yang melintasi bagian kurvilinear diberikan oleh hukum Fourier dengan mengandaikan satuan kedalaman bahan : q k x(1)
T y
(1)
Gambar 1. Bagan menunjukkan unsur untuk analisis bujur-sangkar kurvilinear aliran kalor dua
dimensi (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). (terjemahan). Jakarta:Erlangga.)
Persamaan (6) berlaku untuk semua jalur aliran-kalor dengan aliran kalor total merupakan jumlah dari aliran kalor dalam semua jalur. ΔT yang melintas pada unsur (dengan Δx = Δy, dan dengan aliran kalor ko nstan) diberikan oleh :
T
T menyeluruh N
1 Perpindahan Kalor Konduksi Tunak
(2)
LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap N merupakan banyaknya peningkatan suhu (temperature increment ) antara permukaan dalam dan luar. Aliran kalor yang melewati setiap jalur akan sama karena tidak bergantung pada dimensi Δx dan Δy sehingga perpindahan kalornya adalah : q
M N
k (T 2 T 1 )
(3)
M merupakan jumlah jalur aliran-kalor. Kunci dari metode ini adalah ketelitian dan keterampilan dalam menggambarkan bujur-sangkar kurvilinear. Namun, metode ini tidak banyak bermanfaat dalam menyelesaikan soal-soal sederhana.
II.
Metode Analisi Numerik
Salah satu pendekatan dalam penyelesaian masalah yang terjadi pada perpindahan kalor adalah melalui metode analisis numerik. Pendekatan ini disebut sebagai teknik beda berhingga ( finite-difference technique). Perhatikanlah sebuah benda dua dimensi yang dibagi atas sejumlah jenjang tambahan kecil yang sama (equal increments) pada arah x dan arah y, sebagaimana terlihat pada gambar di bawah ini.
Gambar 2. Bagan yang menunjukkan nomenklatur yang digunakan dalam
analisis numerik konduksi kalor dua dimensi (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.)
Titik-titik node diberi tanda seperti pada gambar itu, lokasi m menunjukkan tambahan pada arah x, dan lokasi n tambahan pada arah y. Kita ingin menentukan suhu pada setiap titik node di dalam benda itu dengan menggunakan persamaan (1) sebagai kondisi yang menentukan. Kita gunakan beda-beda berhingga untuk mendekati tambahan diferensial pada koordinat ruang dan suhu. Makin kecil tambahan berhingga yang kita gunakan, makin baik pula
2 Perpindahan Kalor Konduksi Tunak
LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap pendekatan kita terhadap distribusi suhu sebenarnya. Persamaan umum yang digunakan jika Δ x = Δ y adalah:
T m 1, n T m1,n T m, n1 T m, n1 4T m , n 0 .........(4) Oleh karena dalam hal yang kita perhatikan ini konduktivitas termal tetap, maka aliran kalor dapat dinyatakan dalam diferensial suhu. Persamaan (1) dengan sederhana menunjukkan bahwa aliran kalor netto pada setiap node ialah nol pada keadaan tunak. Pada hakekatnya, dalam pendekatan numerik beda-berhingga distribusi suhu yang kontinu digantikan dengan sejumlah batangan penghantar kalor khayalan yang bersambungan pada setiap titik node, dan tidak mempunyai pembangkitan kalor. Kita dapat pula menyusun jalan beda-berhingga yang memperhitungkan pembangkitan kalor. Kita hanya tinggal menambahkan suku
q
k
ke dalam persamaan umum sehingga mendapat
persamaan di bawah ini:
T m1, n T m 1,n T m, n1 T m, n1
q x k
2
4T m , n 0 ............(5)
Untuk menggunakan metode numerik, Persamaan (1) harus ditulis untuk setiap node di dalam bahan itu, dan sistem penamaan yang dihasilkan lalu diselesaikan untuk rnendapatkan suhu pada setiap node. Contoh yang paling sederhana ialah seperti pada Gambar di bawah:
Gambar 3. Persoalan empat node (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.) di mana empat persamaan untuk node 1,2,3, dan 4 adalah:
3 Perpindahan Kalor Konduksi Tunak
LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap Penyelesaian persamaan di atas akan menghasilkan:
Jika suhu telah ditentukan, maka aliran kalor dapat dihitung dari persamaan: q
k x
T ............(6) y
di mana ΔT ditentukan pada batas-batas. Dalam contoh di atas, aliran kalor dihitung dari muka yang 500°C atau pada ketiga muka yang 100°C. Jika kita menggunakan kisi yang cukup halus, kedua nilai yang didapat mesti sangat mendekati sama satu sama lain. Dalam prakteknya, biasanya paling baik digunakan rata-rata dan kedua nilai itu untuk perhitungan. Jika benda padat berada dalam kondisi batas konveksi,seperti pada gambar 3, m,n+1
∆y m-1,n
m,n
∆y m,n-1
∆x
∆x
suhu pada permukaan harus dihitung dengan cara yang berbeda dari metode di atas. Persamaan umumnya jika Δ x = Δ y adalah
1 h x h x 2 T 2T m 1,n T m, n1 T m, n1 0 .............(7) 2 k k
T m ,n
Formulasi Numerik dengan Unsur-unsur Tahanan
Hingga saat ini telah ditunjukkan bagaimana menyelesaikan soal-soal konduksi dengan pendekatan beda-berhingga terhadap persamaan-persamaan diferensial. Untuk setiap node dirumuskan sebuah persamaan node, lalu perangkat persamaan itu diselesaikan untuk mendapatkan suhu pada seluruh benda itu. Dalam merumuskan persamaan itu, kita sebetulnya dapat saja menggunakan konsep tahanan untuk menuliskan perpindahan kalor antara node
4 Perpindahan Kalor Konduksi Tunak
LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap yang satu dengan yang lain. Dengan menandai node yang kita perhatikan dengan sub skrip i, dan node di sampingnya dengan subskrip j, maka akan kita dapatkan situasi node-konduksiumum ( general-conduction-node situation) seperti pada Gambar 3.
Gambar 4.Node Konduksi Secara Umum (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.)
Pada keadaan-tunak, masukan kalor netto pada node i mesti nol, atau di mana qi adalah kalor yang diserahkan ke node i oleh pembangkitan kalor, radiasi, dan sebagainya. R 11 dapat mengambil bentuk batas konveksi, konduksi dalam, dan sebagainya. Persamaan (3) dapat dibuat sama dengan sesuatu sisa agar kita dapat menggunakan penyelesaian relaksasi, atau nol untuk penyelesaian dengan meto de matriks. Tabel 1. Tahanan untuk Node ∆x = ∆y, ∆z = 1
(sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.)
5 Perpindahan Kalor Konduksi Tunak
LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap
qi
T i T i T ij
j
0 ............(8)
Formulasi tahanan berguna pula untuk penyelesaian numerik bentuk-bentuk tiga dimensi yang rumit.
Iterasi Gauss-Seidel
Metode ini digunakan jika jumlah node sangat banyak. Dari persamaan 5 di atas, kita dapatkan suhu Ti dan suhu-suhu node T j di sebelahnya sebagai
T / R ..............(9) 1 / R
qi T i
j
ij
j
ij
j
Iterasi Gauss-Seidel memanfaatkan persamaan-persamaan beda seperti dalam persamaan 6, menurut prosedur sebagai berikut :
Mula-mula suatu perangkat awal untuk nilai T i diandaikan.
Kemudian dengan persamaan 6 dihitung nilai-nilai baru untuk suhu node Ti, dengan
menggunakan nilai T j yang terbaru.
Proses ini diulangi terus-menerus sehingga perbedaan antara dua perhitungan cukup
kecil.
Daftar Pustaka
Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.
6 Perpindahan Kalor Konduksi Tunak
