Méthode des noeuds et crémona

Chapitre 6 LES POUTRES CONTINUES Application de la méthode des forces

A- POUTRES CONTINUES A ÂME PLEINE 6.1 INTRODUCTION Les poutres continues sont des structures qu'on rencontre très fréquemment dans les constructions courantes. On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il s’agit généralement d’appuis simples, à l’exception d’un seul qui est un appui double et dont le rôle consiste à assurer la stabilité géométrique de la poutre, comme empêcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. L’appui double peut être placé à une extrémité ou, plus généralement, être un appui

0

l1

1

lk

k

ln

n

Figure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numérotation des travées intermédiaire. Les extrémités d’une poutre continue peuvent très bien comporter des porteà-faux ou être encastrées. Le traitement de ces cas particuliers est abordé plus loin. Les poutres continues sont des systèmes hyperstatiques puisqu’elles présentent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit comporter une poutre isostatique). Dans le cas d’une poutre sans encastrements, le nombre de liaisons surabondantes, donc le degré d’hyperstaticité, est égal au nombre d’appuis intermédiaires.

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

96

Comparativement à une série de poutres bi-articulées dont le nombre est égal à celui des travées d’une poutre continue, cette dernière est plus économique car les moments fléchissants qui la sollicitent sont plus faibles. La comparaison est encore plus nettement à l’avantage de la poutre continue par rapport à une poutre isostatique unique de même longueur. Dans une poutre continue, les appuis intermédiaires contribuent à réduire et à mieux répartir sur toute la poutre le moment fléchissant (qui est la sollicitation prépondérante). Cette observation reste valable pour les déplacements qui sont nettement moins importants dans le cas des poutres continues. Ces dernières présentent par ailleurs une plus grande rigidité et résistent de ce fait mieux à l’action dynamique. Les charges considérées ici sont supposées être appliquées statiquement. Elles sont constituées de charges transversales (voire inclinées), concentrées ou réparties, et de couples. Contrairement aux poutres isostatiques, les poutres continues, comme tous les systèmes hyperstatiques, sont très sensibles aux déplacements des appuis. Ce phénomène a déjà été mis en exergue dans un exemple d’application des formules de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de l’affaissement d’un de ses appuis. Lorsque des tassements d’appuis sont à craindre, les poutres isostatiques sont mieux indiquées. Si pour quelque raison que ce soit des appuis intermédiaires sont nécessaires, on ajoute à la poutre continue des articulations judicieusement placées de manière à la rendre isostatique et annuler ainsi sa sensibilité aux affaissements des appuis susceptibles de se produire. Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatique par l’ajout de rotules - est désigné par poutre Gerber. Elles sont obtenues en ajoutant autant d’articulations qu’il y a d’appuis intermédiaires. Pour s’assurer que la structure obtenue est bien isostatique et qu’il n’y a ni tronçon déformable (tronçon libre constituant un mécanisme) ni tronçon hyperstatique, il suffit de respecter la règle suivante : pas plus de deux articulations entre deux appuis, ni plus de deux appuis entre deux articulations. A titre d’exemple, la figure 6.2 montre les deux façons possibles d’obtenir une poutre type Gerber dans le cas de deux appuis intermédiaires. (a)

(b)

Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber L’influence du moment fléchissant sur les déformations étant prépondérante dans les poutres continues, c’est la seule sollicitation dont il sera tenu compte lors du calcul des déplacements que nous serons amenés à effectuer.

A- Poutres continues à âme pleine

97

6.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCES Considérons une poutre continue horizontale sans encastrements (Figure 6.3a). L'application directe et intuitive de la méthode des forces conduit à considérer comme inconnues hyperstatiques les réactions (verticales) des appuis intermédiaires.

(a) 0

l1

1

l2

2

l3

3

(b) X1

Le système de base (c) obtenu par suppression des X1=1 liaisons verticales des appuis intermédiaires est une poutre simplement appuyée (Figure 6.3b). Dans ce cas, le calcul (d) des moments unitaires msk (Figure 6.3c et 6.3d) et du moment provoqué par les Figure 6.3 charges extérieures MsF, nécessaires au calcul des coefficients iju et jF , ne présente aucune difficulté.

X2

X2=1

Cependant, ce choix n’est pas intéressant car il implique des calculs fastidieux à cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont généralement différents de zéro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les éléments de la matrice de souplesse [ u] et du vecteur déplacement [ F] sont tous non nuls. Ceci n’est pas la seule raison ; il en existe une autre plus déterminante. Chaque colonne de la matrice [ u] représente les déplacements (flèches s’il s’agit d’une poutre horizontale) des points d’application des inconnues hyperstatiques provoqués par une sollicitation unitaire. Pour une poutre comportant plusieurs appuis intermédiaires, deux colonnes successives de [ u] auront des valeurs très proches et seront comparables. De ce fait, la matrice [ u] devient pratiquement singulière et conduit à des solutions très imprécises lors de la résolution du système d’équations canoniques. Aussi, on opte pour un autre choix des inconnues hyperstatiques de manière à contourner cette difficulté et à réduire les calculs.

98


6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS 6.3.1 Etablissement de la formule Considérons une poutre continue sans encastrements à n travées (Figure 6.4). Son degré d'hyperstaticité est égal à n-1.

0

1

k-1

l1

k lk

n

k+1 ln

lk+1

Figure 6.4 Prenons pour inconnues hyperstatiques les moments fléchissants agissant au droit de chaque appui intermédiaire. Pour ce faire, on procède à des coupures de manière à supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. S’agissant d’inconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libère deux inconnues (des moments) égales est opposées. En pratique, cela revient à introduire une articulation au-dessus de chaque appui intermédiaire (Figure 6.5a). Pour remplacer les liaisons supprimer, on applique aux lèvres de chacune des coupures deux couples égaux et opposés (M1, M2, …, Mn-1) (Figure 6.5b). (a)

X1=Ml

Xk-1=Mk-1

Xk=Mk

Xk+1=Mk+1

Xn-1=Mn-1

(b) 0

1

k

k-1

k+1

n-1

n

Figure 6.5 : Système statique de base Le système statique de base ainsi obtenu présente une propriété remarquable. En effet, on remarque que si on charge une travée, les autres ne subissent aucune influence. Ce résultat signifie que le système principal se comporte comme une succession de poutres simplement appuyées obtenues par séparation des n travées (Figure 6.6). M1

M1

Mk-1

Mk-1

Mk

Mk

Figure 6.6

Mk+1

Mk+1

Mn-1

Mn-1


99

Pour calculer les moments inconnus aux appuis, on applique le théorème de Menabrea pour chacun d’eux : !W !W !W !W " c1 , " c2 , ... " ck , ... " cn # 1 !M 1 !M 2 !M k !M n # 1

où les ci représentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dans le cas des systèmes concordants. Les équations du système ci-dessus peuvent se mettre sous la forme connue de Müller-Breslau. L’équation courante relative à l’inconnue Mk s’écrit : !W " ck $ !M k

n-1

&

u ki M i

%

kF

" ck

i=1

En développant l’expression précédente, le système des "n-1" équations de continuité prend la forme : u u u 11 M 1 % 12 M 2 % ...% 1n #1 M n #1 % 1 F " c1 ............................................................ u u u k 1 M 1 % k 2 M 2 % ...% kn #1 M n #1 % kF " c k .............................................................. u u n #11 M 1 % n #12 M 2 % ...% n #1n #1 M n #1 % n # 1 F " c n # 1

Chacune des équations exprime la condition de continuité de la poutre déformée au-dessus d'un appui. L’équation k par exemple, exprime que la rotation relative entre les lèvres de la coupure au-dessus de l'appui k est égale au manque de Tangente d concordance correspondant. Dans le cas d’un (' k ) système concordant cette rotation relative est g (' k ) nulle ; ou encore que la rotation à gauche ( ' g ) k

est égale à la rotation à droite ( ' dk ) ; ce qui signifie aussi qu'en chaque point (appui par exemple) il n'y a qu'une tangente car la ligne élastique (la déformée) est continue (Figure 6.7). Signification des coefficients

u ij et

k

Figure 6.7

iF

u ij et iF représentent les rotations relatives des lèvres de la section coupée i du système de base. Les premières sont des rotations par unité de couple.

Les coefficients

u ij est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base, sous l’effet d’un couple unitaire appliqué aux lèvres de la coupure j (les sections i et j se trouvant dans le cas présent au dessus des appuis intermédiaires i et j).

•

iF est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base, sous l’effet des charges extérieures (notées F).

•


100

Considérons par exemple l'équation de continuité k (relative à la coupure k). Elle s’écrit : u u u u k 1 M1 % k 2 M2 %...% kk #1 Mk #1 % kk Mk

u u kk %1 Mk %1 %...% kn#1 Mn#1 % kF

%

u kj

On voit apparaître dans l’équation les coefficients

" ck

(6.1)

avec j = 1, 2, … , n-1

et kF. Si nous ne tenons compte que du moment fléchissant, qui est la sollicitation prépondérante, ces coefficients s’obtiennent par les intégrales suivantes : u kj

"

(

L

0

msk msj EI

dx (a)

kF

"

(

L

0

M sF msk dx (b) EI

(6.2)

n

L = longueur totale =

&l

i

i=1

où msk (mk) et msj (mj) sont les moments fléchissants produits dans la section courante s du système fondamental par les couples unitaires Mk=1 et Mj=1 agissant en k et en j, respectivement (Figure 6.8). MsF étant le moment fléchissant dans la section courante du système de base sous l’action des charges extérieures (F). Mk=1 (a)

k-1

k+1

k

lk

1

lk+1 Mj=1

(b)

j-1

j

lj

j+1

1

lj+1 4

Figure 6.8 : Diagrammes msk et msj On constate que chaque couple unitaire produit un moment fléchissant uniquement sur les deux travées situées de part et d'autre de l'appui où il est appliqué. Pour que les moments dans la section courante s produits par Mk=1 et Mj=1 soient simultanément différents de zéro, il faut que les indices k et j ne diffèrent pas de plus d'une unité. On en déduit que les coefficients

u kj

sont nuls

dès que k diffère de j de plus d'une unité. Ainsi, dans l'équation (6.1) seuls les coefficients uk #1 k , ukk et uk k %1 sont différents de zéro. Compte tenu de ce résultat, l'équation générale de continuité (6.1) se simplifie et devient :

A- Poutres continues à âme pleine u k k -1

M k #1 %

u kk

Mk %

u kk %1

M k %1 %

u kk

Mk %

u kk % 1

M k %1 " ck #

kF

101

" ck

(6.3)

kF

(6.4)

ou encore : u k k -1

M k #1 %

On remarque que trois moments fléchissants interviennent dans cette équation, d'où son nom de "formule des trois moments". 6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois moments Il reste à calculer les coefficients intervenant dans l'équation (6.4). Considérons une poutre continue sans encastrement comportant n travées. Les diagrammes unitaires permettant le calcul des coefficients u u u kk # 1 , kk et kk % 1 sont représentés à la figure 6.9.

Mk-1=1 k-2

(a)

k

k-1

1 lk-1

lk Mk=1 k-1

(b)

k+1

k

1 lk

lk+1

k

(c)

Mk+1=1 k+1

k+2

1 lk+1

lk+2

Figure 6.9 : Diagrammes unitaires msk-1, msk et msk+1 • Calcul de u kk #1

avec :

"

(

L

0

u kk #1 :

msk msk #1 dx = EI

n

&( i=1

li

o

msk msk #1 dx = ( EI )i

(

lk

0

msk msk #1 ( EI )k

(6.5)


102

x x et msk " lk lk

msk #1 " 1 #

d'où : u kk #1

(

"

1 x + x . dx " -1 # 0 lk , l k / ( EI )k l k2

lk

0

(

lk

0

x) l k # x * ( EI )k

dx

(6.5)’

Si (EI)k est constante sur lk, on obtient : u kk #1

lk 6( EI )k

"

Ce dernier résultat - cas avec (EI)k constante sur la travée lk - s'obtient plus rapidement avec la méthode graphique ; il vient : u kk #1

1 ( EI )k

"

lk . + 1. +1 - .1. lk 0 - 0 " / , 3 / 6 ( EI )k ,2

Si la rigidité flexionnelle varie sur chaque travée, on calcule les coefficients analytiquement comme on l'a fait pour ukk #1 . Pour le reste des calculs nous supposons que EI est constante sur chaque travée. u kk

• Calcul de u kk

"

(méthode graphique)

1 +1 lk lk %1 1 +1 .+ 2. .+ 2. % (6.6) - .1. lk 0 - 0 % - .1. l 0 - 0 " / , 3 / ( EI )k %1 , 2 k %1 / , 3 / 3( EI )k 3( EI )k %1 ( EI )k , 2 u kk %1

• Calcul de u k k %1

"

(méthode graphique)

1 ( EI )k %1

• Calcul de

l k %1 . + 1. +1 - .1. l k %1 0 - 0 " / , 3 / 6 ( EI )k %1 ,2

(6.7)

kF

Par définition, voir relation 6.2 (a) : kF

"

n

li

i "1

0

&(

msk M sF dx = ( EI )i

(

lk

0

msk M sF dx % ( EI )k

(

lk % 1

0

msk M sF dx ( EI )k %1

(6.8)

Seules les deux intégrales sur lk et lk+1 subsistent puisque msk est nul en dehors de ces travées. Soit : kF

" Rkg ( F ) % Rkd ( F )

(6.9)

- Rkg ( F ) = rotation de la section k (au-dessus de l'appui k) du système statique de base sous l'effet des charges extérieures agissant sur la travée lk.


103

- Rkd ( F ) = rotation de la section k du système statique de base sous l'effet des charges appliquées sur la travée lk+1. • Calcul pratique de 1

ère

kF

méthode

Considérons les travées lk et lk+1 (du système isostatique de base) adjacentes à l'appui considéré k. Les deux travées constituent deux poutres simplement appuyées comme on l’a vu. Le diagramme des moments fléchissants de chaque poutre sous les charges extérieures peut être aisément obtenu. Selon la méthode de la poutre conjuguée, utilisée pour le calcul des déplacements des systèmes isostatiques (voir chapitre 2), si on charge (fictivement) les poutres par leurs diagrammes des moments respectifs divisés par la rigidité flexionnelle (qf=MsF/EI), alors R kg ( F ) et R kd ( F ) constituent la réaction en k de la poutre de gauche et la réaction en k de la poutre de droite, respectivement (Figure 6.10). MsF/EI k-1

k

k+1

lk

lk+1

g( F ) R k

d( F ) R k

b) Poutres conjuguées

a) Diagramme MsF

Figure 6.10 2ème méthode Sachant que le moment msk vaut “ x/lk ” sur la travée lk et “ 1-x/lk+1 ” sur la travée lk+1, l’équation (6.8) devient : kF

"

(

lk

0

"

1 lk

M sF x dx % l k ( EI )k

(

lk

0

(

lk % 1

0

xM sF 1 dx % l k %1 ( EI )k

M sF x (1# )dx l k %1 ( EI )k %1

(

lk % 1

0

( l k %1 # x ) M sF dx ( EI )k %1

La première intégrale représente le moment statique du diagramme “ MsF/(EI)k ” sur la travée lk par rapport à l’appui “ k-1 ” alors que la deuxième donne le moment statique du diagramme “ MsF/(EI)k+1 ” sur la travée lk+1 par rapport à l’appui k+1. L’équation précédente peut s’écrire : kF

"

S k S k %1 % lk l k %1

où S k et S k %1 sont les moments statiques définis plus haut.

(6.10)

104


Dans le cas où la rigidité flexionnelle est constante sur chaque travée, l’expression précédente prend la forme : kF

"

1 1 1k zk % 1 k %1 z k %1 l k ( EI )k l k %1 ( EI )k %1

(6.11)

- 1k est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk. - 1k+1 est l’aire du diagramme MsF sur la travée lk+1. - zk distance de l’appui “ k-1 ” au centre de gravité de 1k. - z k %1 distance de l’appui “ k+1 ” au centre de gravité de 1k+1. • Calcul de ck Le manque de concordance d’un appui est représenté par le déplacement linéaire ou angulaire qu’il subit depuis sa position concordante jusqu’à sa position réelle. Dans le cas présent, les manques de concordance à introduire sont des déplacements angulaires et la position concordante correspond à la position horizontale. Les manques de concordance proviennent des dénivellations 2 que peuvent subir les appuis (Figure 6.11). Comme nous travaillons dans le cadre des petits déplacements, les dénivellations sont suffisamment petites et de ce fait les angles de discontinuité (Figure 6.11c) peuvent être confondus avec leurs tangentes.

(a)

k

k-1

2k-1

k+1

4

3

2k+1 2k

(c)

(b) (a) Position concordante. (b) Position réelle. lk

lk+1

Figure 6.11 Le manque de concordance est donné par : ck = 35+ 4 = tg3 + tg4 = (2k-52k-1)/lk + (2k-52k+1)/lk+1 = (2k-52k-1)/lk - (2k+1-52k)/lk+1

(6.12)

Les dénivellations sont comptées positivement vers le bas. En introduisant dans l'équation des trois moments (6.4) les valeurs trouvées des différents coefficients on obtient :


M k #1

(

6 msk msk #1 dx % M k 8 ( EI )k 87

lk

0

% M k %1 "

(

lk % 1

0

(

lk

0

2 msk dx % ( EI )k

(

lk % 1

0

2 9 msk dx ; % ( EI )k %1 ;:

msk msk %1 dx " ( EI )k %1

2 k # 2 k #1 2 k %1 # 2 k # # lk l k %1

105

(6.13)

(

lk

0

msk M sF dx # ( EI )k

(

msk M sF dx ( EI )k %1

lk % 1

0

ou encore : M k #1 lk2

(

lk

0

% #

61 x( lk # x ) dx % M k 8 2 ( EI )k 87 lk

M k %1 lk2%1 1 lk

(

lk

0

(

lk % 1

0

(

x2 1 dx % 2 ( EI )k lk %1

lk

0

(

lk % 1

0

( lk %1 # x )2 9 dx ; % ( EI )k %1 ;:

2 # 2 k #1 2 k %1 # 2 k x( lk %1 # x ) dx " k # lk lk %1 ( EI )k %1

xM sF 1 dx # lk %1 ( EI )k

(

lk % 1

0

(6.13)’

( lk %1 # x ) M sF dx ( EI )k %1

Ces expressions sont valables dans le cas général. Cas particuliers 1) Chaque travée a sa rigidité flexionnelle constante. M k #1

6 l 9 lk l l k %1 % 2 M k 8 k % k %1 ; % M k %1 " ( EI )k ( EI )k %1 7 ( EI )k ( EI )k %1 : 6 2 # 2 k #1 2 k %1 # 2 k 9 6 # = 68 k ;# l l l EI ( )k k k %1 7 : k lk % 1 6 M sF ( l k %1 # x )dx # l k %1 ( EI )k %1 0

(

lk

0

M sF xdx

(6.14)

(

2) Rigidité flexionnelle constante sur toute la poutre. M k #1 l k % 2 M k ( l k % l k % 1 ) % M k %1 l k % 1 " 6 2 # 2 k #1 2 k %1 # 2 k # = 6 EI 8 k lk l k %1 7 6 lk % 1 # M sF ( l k %1 # x )dx l k %1 0

9 6 ;# : lk

(

lk

0

M sF xdx

(6.15)

(

3) Le système est concordant et EI est constante sur toute la poutre. M k #1 l k % 2 M k ( l k % l k % 1 ) % M k %1 l k % 1 " =#

6 lk

(

lk

0

M sF xdx #

6 l k %1

(

lk % 1

0

M sF ( l k %1 # x )dx

(6.16)


106

On peut remplacer le second membre par la réaction fictive agissant en k : RkF " Rkg ( F ) % Rkd ( F ) . Cette réaction est positive si elle est dirigée de bas en haut. On écrit l'équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire. 6.3.3 Points particuliers ticuliers 1) Présence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre adjacente dont on fera tendre la longueur vers zéro en appliquant la formule des trois moments. 2) Présence d'un porte-à-faux (console) : la console sera remplacée par ses effets, pour l'application de la formule des trois moments. 3) Couple concentré en un appui intermédiaire : on peut soit le diviser entre les deux travées adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux. 6.3.4 Calcul des éléments de réduction 1) Réaction de l’appui k - Action des moments aux appuis seuls (Figure 6.12). R kg( M ) " R kd( M )

M k #1 # M k ; lk

Mk

Mk-1

Mk+1

k

M # Mk " k %1 l k %1

k-1

- Action des forces extérieures : R k ( F ) " R kg( F ) % R kd( F )

g R k( M )

d R k( M )

lk

lk+1

k+1

Figure 6.12

d'où : Rk " Rk ( F ) %

M k #1 # M k M k %1 # M k % lk l k %1

(6.17)

2) Moment fléchissant Le diagramme final est obtenu par superposition des diagrammes (des travées isostatiques) des charges extérieures et des moments appliqués aux appuis. Cherchons l’expression du moment fléchissant dans la section courante de la travée lk (d’abscisse x par rapport à l’appui k-1). Chaque travée lk du système de base se comporte comme une poutre biarticulée sollicitée, en plus des charges extérieures, par deux couples Mk-1 et Mk appliqués à ses appuis. Si on désigne par M s( F ) le moment produit dans la section courante de lk par les charges extérieures qui lui sont appliquées, alors l’expression générale du moment fléchissant s’écrit : M s " M s( F ) % M k # 1 % ) M k # M k # 1 *

x lk

(6.18)


107

3) Effort tranchant L’expression de l'effort tranchant dans la section courante d’abscisse x s’obtient en dérivant par rapport à x l'expression du moment. Désignons par Ts( F ) l’effort tranchant dû aux charges extérieures ; il vient : Ts " Ts( F ) %

M k # M k #1 lk

(6.19)

6.3.5 Exemple d'application Considérons une poutre à trois travées égales et à inertie constante soumise à une charge uniforme q (Figure 6.13a). La poutre est deux fois hyperstatique mais compte tenu de la symétrie, il n’y a qu’une seule inconnue. On écrit une fois l’équation des trois moments, pour k=1.

q (a) 0

1

l1=l

M1

M2

M1=1 (c) ms1 1

M2=1

M1 = M2 = M

Equation des trois moments (appui 1) : M 0 l 0 % 2 M 1 ) l1 % l 2 * % M 2 l 2 "

) % * 5 Ml " #6 EI )2 R *; = #6 EI

R1g ( F )

(d) ms2 1 (e) Ms(F)

R1d ( F )

ql2/8

g( F ) 1

R1g ( F ) " R1d ( F )

2

(b)

M0 = M3 = 0 et

l2=l

ql2/10 (f) Ms(M)

5 Ml " #12 EI R1g ( F )

R1g ( F ) "

1 + 2 ql 2 . ql 3 l0 " 2 EI , 3 8 / 24 EI

ql 2 < M "# , M est dirigé 10 dans le sens opposé du sens choisi arbitrairement.

Les figures 6.13g et 6.13h montrent les diagrammes de M et de T.

ql2/10 (g) Ms ql2/40

2ql2/25 0.4ql

0.5ql

(h) Ts 0.6ql

Figure 6.13

l3=l

3

108


B- POUTRES EN TREILLIS ARTICULES 6.5 SYSTEMES ISOSTATIQUES PLANS EN TREILLIS ARTICULES 6.5.1 Définitions a) Système en treillis articulé On appelle système en treillis articulé (système réticulé ou plus brièvement treillis) un ensemble de pièces droites ou courbes, appelées barres, liées les unes aux autres (en leurs extrémités) par des articulations. Les points d'assemblage des barres sont appelés nœuds. Membrure supérieure Montant

Diagonale Membrure inférieure

Figure 6.14 : Poutre isostatique b) Système plan en treillis articulé Lorsque les axes des barres et les charges appliquées sont situés dans un même plan, on parle alors de système plan. c) Système chargé indirectement On dit qu'un système en treillis est chargé indirectement, si toutes les forces extérieures sont appliquées exclusivement aux nœuds. Si les charges sont appliquées en des points quelconques et notamment en des endroits des barres autres que les nœuds, on parle alors de système chargé directement. d) Système isostatique Si les équations de la statique suffisent à elles seules à la détermination complète du système, c'est-à-dire qu'elles permettent de calculer les réactions et les efforts en tout point du système, le système considéré est dit isostatique. Dans le cas contraire, le système et dit hyperstatique. 6.5.2 Treillis chargés indirectement Seuls les treillis isostatiques plans, chargés indirectement, seront envisagés dans ce chapitre. a) Théorème : Lorsqu'un système plan en treillis articulé, constitué de barres droites, est chargé indirectement, chaque barre du système n'est soumise qu'à un effort normal constant.


109

Considérons une barre du treillis. Le système étant en équilibre, chaque barre le constituant l'est aussi. La barre étant articulée, ses extrémités ne sont le siège d'aucun moment. Les seules sollicitations qu'elle supporte sont les systèmes de forces concentrées aux extrémités. R 1

Chaque système de forces admet une résultante. Les résultantes (R1 et R2) doivent obligatoirement être égales et opposées pour que l'équilibre puisse se réaliser. En définitive, la barre n'est soumise qu'à un effort normal constant pouvant être une traction ou une compression.

R2

b) Condition d'isostaticité Les barres n'étant soumises qu'à des efforts normaux, en chaque nœud du treillis il y a un système de forces en équilibre. L'équilibre d'un système agissant sur une particule, un nœud par exemple, est vérifié si la résultante est nulle ou si les projections suivant 2 directions perpendiculaires (x et y par exemple), sont nulles (=Fx = 0, =Fy = 0). Si n désigne le nombre de nœuds (les appuis sont aussi des nœuds, n = 10 pour le système de la figure 6.14), le nombre d'équations d’équilibre de la statique qu'on peut écrire est égal à 2n.

Figure 6.15 : Barre d'un treillis chargé indirectement y F1 x F1

Fn Fi

Figure 6.16 : Nœud d'un treillis chargé indirectement

Soient b le nombre de barres et l le nombre de liaisons dans les appuis. La condition d'isostaticité s'écrit : 2n = b+l

(6.20)

Il faut cependant préciser que la condition (6.20) peut s'avérer insuffisante à prouver l'isostaticité d'un treillis ; le système doit en outre être géométriquement invariable. Une règle simple dite règle de la maille triangulaire permet de vérifier si le système est isostatique et stable. Cette règle s'énonce comme suit : si, Figure 6.17 : Système vérifiant partant d'une maille la condition 6.20 mais instable triangulaire, on arrive à reconstituer le système en ajoutant 2 barres à la fois, alors le système est isostatique stable.


110

6.5.3 Méthodes de calcul On peut diviser les méthodes de calcul des systèmes en treillis articulés isostatiques en deux catégories : les méthodes analytiques et les méthodes graphiques. La méthode graphique la plus répandue est celle de Cremona (tracé de Cremona). Elle consiste à construire le polygone des forces en chaque nœud. Les méthodes analytiques les plus usuelles sont la méthode des nœuds et la méthode des sections. Les trois méthodes citées seront présentées. Il faut souligner que, indépendamment de la méthode utilisée, on doit toujours commencer par le calcul des réactions. a) Méthode des nœuds Principe : La méthode consiste à isoler le nœud considéré par des coupures libérant les efforts dans les barres et à projeter toutes les forces, efforts normaux et forces extérieures, agissant sur le nœud suivant deux axes perpendiculaires. On doit obligatoirement entamer les calculs par un nœud auquel n'aboutissent que deux barres (2 inconnues, 2 équations). Puis on passe à un nœud qui ne présente pas plus de deux inconnues. Exemple d'application P/2 C h

1 A

E

4

"

3

P/2

P

y

F

8 7

5

x

9

6

2 l

B

G

D l

l

l

Figure 6.18 : Poutre isostatique >5

Nœud A Le choix du sens des efforts dans les barres est arbitraire. Le sens choisi correspond à la traction ; le calcul montrera pour chaque barre la nature exacte de l'effort qu'elle porte.

N1

A

RA=P

N2

Fx = 0 ! N2 = 0 Fy = 0 !N1 = -P (le signe "-" indique que la barre 1 est soumise à une compression).


#$

Nœud C Fx = 0 ! N3 cos"$+ N4 = 0

N4

Fy = 0 ! P - N3 sin"$= 0

"

d'où :

N3

N3 %

N1=P

P (traction) sin "

et N 4 % & #$

P (compression) tg"

Nœud D

N5

N3=P/sin"

N2=0

Fx % 0 ! N 6 % N 3 cos " % P % (traction) tg" Fy % 0 ! N 5 % & N 3 sin " %

" N6 D

#$

111

% & P (compression)

Nœud E Fx % 0 '

P/2 N4=P/tg"

E

P ( N8 ( N7 cos " % 0 tg"

P (traction) 2 sin " 3 P (compression) ! N8 % & 2 tg"

N8

Fy % 0 ! N7 %

"

N7 N5=P

#$

Nœud F Fx % 0 ! N8 ' % &

P N8=(3/2)P/tg"

N8 ' F

N9

3 P (compression) 2 tg"

Fy % 0 ! N9 % & P (compression)

112


La figure 6.19 ci-après montre la nature de l'effort dans les barres étudiées. P

P/2

P/2

P

P

Figure 6.19 : Représentation de la nature des efforts Convention : - Flèches vers les nœuds = compression - Flèches vers le centre = traction - 0 = effort nul b) Méthode des sections (ou de Ritter) Principe : La méthode consiste à pratiquer dans le système une coupe ne rencontrant pas plus de 3 barres (sauf dans des cas précis) non concourantes, de façon à séparer le treillis en deux parties. Pour trouver l'effort dans une des barres, on écrit l'équation d'équilibre de rotation de l'une des deux parties par rapport au point d'intersection des autres barres (Figure 6.20). M/A = 0 ! N5 = …

6

M/B = 0 ! N4 = …

B

M/C = 0 ! N6 = … (partie de droite)

5 4

C

A

Figure 6.20 NB : Le point d'intersection des barres par rapport auquel on calcule les moments n'est pas nécessairement un nœud du système (d'où l'intérêt à travailler graphiquement). Cas particuliers 1) Deux barres coupées sont parallèles (point d'intersection rejeté à l'infini) (Figure 6.21) K

H

L

J

A

Figure 6.21 : Poutre en N L'effort NKH est obtenu à partir de l'équation M/J = 0 et l'effort NLJ dans la barre LJ s'obtient à partir de : M/K = 0. Pour calculer NKJ, on utilise une équation d'équilibre de translation, Fy = 0 par exemple ; ou bien une équation d'équilibre de rotation par rapport à un appui, M/A = 0 par exemple.


113

2) Plus de trois barres coupées : la méthode de Ritter peur être appliquée à condition que les barres coupées soient toutes convergentes sauf une. I

(a) 6

3 2

9 8

5

1 4

7

(a)

I

Figure 6.22 : Poutre en K La coupe a-a (Figure 6.22) présente trois barres concourantes 4-5, 5-6 et 6-9 en 6 et l'équation M/6=0 donne l'effort N47. L'effort N47 connu, on fait la coupe I-I et il n'y a plus que trois efforts inconnus. Intérêt de la méthode des sections : elle permet de calculer directement l'effort de n'importe quelle barre et constitue de ce fait un excellent moyen de vérification des résultats obtenus par les autres méthodes. Exemple d'application 2t

3t

6

3t

Z' i

Z 2 A

" 1

1m

7

5 3 4

1m

"

B j

c 2m

2m

2m

2m RB

RA

Figure 6.23 Réactions : R A % R B %

8 t%4t 2

M/i = 0 ' 2RA – N4 = 0 ! N4 = 8 t (traction) M/A = 0 ' 2x3t + ZN5 = 0, 4 avec : Z % m 5

! N5 % &

3t i N5

3 5t 2

M/j = 0 ' Z'N6 – 2x3t + 4RB = 0 ! Z'N6 = -10 tm

N4 RA=4t 2m


114

sin " %

1 5

%

Z' , d'où : Z' % 4 5 m 4

et : N 6 % &5.59 t Pour calculer les efforts dans les barres 1, 2 et 3 on écrit les équations ons d'équilibre de translation en A et C. On peut également appliquer la méthode de

Nature des efforts

Ritter. Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent être mesurés graphiquement ce qui présente l'avantage de faciliter le travail.

c) Méthode de Cremona (tracé de Cremona) Principe : La méthode consiste à tracer le polygone d'équilibre des forces appliquées à chaque nœud. Tous les nœuds étant en équilibre, les polygones sont nécessairement fermés. Pour pouvoir appliquer la méthode, il est nécessaire que le système possède au moins un nœud auquel n'aboutissent que deux barres. Les étapes de la méthode : 1) On représente le système dans une échelle des longueurs. 2) On calcule les réactions puis on numérote : a) Les intervalles entre les forces extérieures en tournant dans un sens, le sens horlogique par exemple. b) Les intervalles du réseau (domaines intérieurs délimités par les barres). Ainsi, chaque barre se trouve caractérisée par deux chiffres désignant les intervalles (domaines) adjacents. 3) On construit le polygone des forces extérieures, dans une échelle des forces choisie ; ce polygone est fermé puisque les forces extérieures sont équilibrées par les réactions (équilibre global). On précise le sens des forces par des flèches. 4) On trace ensuite le polygone des forces agissant sur chaque nœud (forces extérieures et efforts dans les barres) en commençant par un nœud auquel aboutissent seulement deux barres puis on passe à un nœud n'ayant que deux efforts inconnus. N.B. : Les directions des efforts sont connues (orientations des barres) et leurs sens et intensité sont obtenus en fermant chaque polygone.


115

Exemple d'application Soit à calculer les efforts dans les barres de la poutre représentée à la figure 6.24 déjà calculée par la méthode de Ritter. 2t E 3t C

3t G

9

8

1

l 4

6

A

3

2

10

7 D

l

11

l

l

l RB=4t

5

RA=4t

B

F

Figure 6.24 La résolution du problème se fait selon les étapes ci-après. 0- On représente la structure dans une échelle des longueurs (Figure 6.24). 1- Numérotation des domaines extérieurs (délimités par les forces appliquées et les réactions) : 1, 2, 3, 4 et 5 (sens horlogique, Figure 6.24). 2- Numérotation des domaines intérieurs (mailles) : 6, 7, 8, 9, 10, 11 (de gauche à droite). On pouvait choisir des lettres à la place des chiffres (Figure 6.24). On peut maintenant numéroter chaque effort (extérieur ou interne), avant de passer à l'étape suivante. Chaque effort est caractérisé par les deux chiffres des domaines qui sont adjacents à sa direction. Les efforts internes agissant sur les nœuds sont numérotés en tournant dans le sens horlogique (Figure 6.25). F23=2t

F12=3t C N28 N61 N87 A

N16 N65

F51=4t

N76 N67 N56 D N75

N82

E

N39 N98

F34=3t

F

Figure 6.25

F45=4t

116


3- On trace le polygone des forces extérieures (forces appliquées et réactions). Ce polygone est représenté par le segment vertical : 1-2-3-45-1 (Figure 6.26).

4- Construction des polygones des forces agissant sur chaque nœud. a)

Nœud A : Les efforts intervenant sont : N16, N65 et F51. Cette dernière force étant connue et représentée sur le polygone des forces extérieures. Notons que seul le point 6 est indéterminé. (3)

1 (6) 2 6

(2) (4)

5 3

7 8

(4)

(5)

4

Figure 6.26 A partir du point 1 on trace une parallèle à la barre AC (N16) et à partir de 5 on mène une parallèle à AD (N65). L'intersection des deux parallèles détermine le point 6 cherché. Pour connaître le sens des efforts N16 et N65, on ferme le polygone en partant de l'effort connu, F51 (schémas ci-dessous). 1 N16 A

N65

(compresion) (traction)

F51 6

5

Les flèches obtenues en fermant le polygone (des efforts agissant sur le nœud A) indiquent la nature de chaque effort. b) On passe ensuite au nœud D où seuls les efforts dans les barres DF et DC sont inconnus. Efforts intervenant : N56 (connu puisque N65 est connu), N67 et N75. Dans ce cas également, seul le point 7 est indéterminé. A partir de 6 on mène une parallèle à DC (N67) et à partir de 5 on trace une parallèle à DF (horizontale) (N75). L'intersection des deux parallèles se fait au point 6, donc le point 7 est confondu avec 6. Le polygone des forces en D (N56,


117

N67 et N75) se limite au segment 5-7 ; donc l'effort N67 = 0 (voir schémas cidessous).

5

N56

6 7

c)

N56 (traction)

N76

D

N75 (traction)

Point C : Efforts intervenant : N61, F12, N28, N87 et N76 (N67 = N76 = 0). Seul le point 8 reste à trouver.

A partir du point 2 on trace une parallèle à CE (N28) ; puis à partir de 7 on mène une parallèle à CF (N87). L'intersection des deux parallèles détermine la position du point 8. On ferme ensuite le polygone pour déterminer le sens des efforts inconnus (N87 et N28) (N61)F12)N28)N87 et N76) (schémas ci-après). F12

1

N61

C

N87

2

6

N28

N76

7 8

Remarques : 1) Utilisation combinée du tracé de Cremona et de la méthode de Ritter Lors d'un tracé de Cremona, on ne peut pas franchir les nœuds auxquels aboutissent plus de deux barres dont les efforts sont inconnus. La méthode de Ritter permet de franchir ces nœuds. Il suffit d'effectuer une ou plusieurs coupes donnant les valeurs des efforts dans les barres "surabondantes". Ce cas se présente fréquemment dans les fermes dites "Polonceau" (Figure 6.27).

118


a

8

7 5 6 2 1

4 3

4' a

Figure 6.27 : Ferme type Polonceau Ayant amorcé le Cremona en 1, en arrivant en 4 on se trouve en présence de 3 efforts inconnus (N45, N46 et N44'). La coupe a-a' permet de calculer directement l'effort N44' ( M/8=0) ; après quoi on poursuit normalement le tracé de Cremona. 2) Barres ne travaillant pas (N=0) Dans l'exemple ci-contre, cinq barres ne travaillent pas (N=0) ; néanmoins, elles sont nécessaires car elle contribuent à : - assurer l'indéformabilité et l'isostaticité du système ; - réduire les longueurs de flambement ; faciliter les dispositions constructives.

P

Figure 6.28 : Poutre avec plusieurs barres non sollicitées

Méthode des noeuds et crémona

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