UNIVERSITE MOHAMMED V ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS
Département Départeme nt Génie Civil
Réalise par : -AHRAM Youssef - BAAZI Said -EL DRISSI Youness (group B)
Encadré par: - Mr. Benabdeljalil
Année
2011/2012
La connaissance des débits de fluides circulant dans des canalisations est non de moindre importance pour un ingénieur, surtout en génie civil où l’hydraulique est une branche qu’il doit maîtriser. Cependant, les méthodes de mesure de débit ne sont pas moi ndres, et leur précision varie elle aussi. Le but de cette manipulation est l’étude de différentes techniques de mesure de débit. On se focalisera sur trois moyens de mesure de Q :
La méthode du diaphragme ;
La méthode du venturi ;
Le chronométrage direct pour un volume déterminé.
A l’obtention des résultats, on procédera à une comparaison de ceux-ci pour en déduire l’équation d’étalonnage du rotamètre.
II - Description de l’appareil utilisé L’appareil servant dans cette étude (dont l’image figure dans l’annexe pour meilleure identification), a son schéma représenté dans la figure suivante :
L’eau pompée pénètre le débitmètre par le venturi en plexiglas, pour ensuite s’écouler dans un divergent puis dans une conduite droite, pour passer dans un diaphragme puis enfin, par un rotamètre constitué d’un tube en verre calibré et un flotteur. La pompe en elle -même permet de mesurer le débit en chronométrant le r emplissage du réservoir à une certaine quantité. Les prises de pression sont comme illustrées dans la f igure ci-dessus. Il est à noter que le flotteur n’est point comme n’importe quelle pièce métallique de cette forme, mais possède une caractéristique géométrique majeure : son centre de gravité se situe au point le plus bas de son axe de révolution, lui procurant ainsi une horizontalité quasi parfaite, et donc une lecture on ne peut plus précise.
Les dimensions sont comme suit : -
dSa = 26 mm ;
-
dSb = 16 mm ;
-
dSc = 26 mm ;
-
dSy = 50,9 mm ;
-
DSf = 20 mm.
III - Théorie : III - 1 – Venturi : C’est un orifice comportant deux parties l’une convergente et l’autre divergente, avec un col au milieu. Les deux équations de conservation de la masse et de Bernoulli permettent de déterminer V B en fonction de la différence de pression entre A et B, sans tenir compte des pertes de charge :
Et l’on sait bien que
(PA – PB) / (ρ*g) = hA – hB.
Prendre en compte les pertes de charge revient à multiplier par un coefficient K v dans l’expression de V B. On aura donc : VB’
= Kv*VB.
Le débit volumique sera donc donné par la formule :
Q = SB*VB’ en tenant compte des
pertes de charge.
III - 2 – Diaphragme : Un diaphragme est un disque sur lequel a été pratiqué un orifice. Cet appareil, contrairement aux autres étudiés, ne permet pas une mesure grandement précise des vitesses à partir des prises de pression E et F. La formule donnant la vitesse à la sortie F et permettant la mesure du débit est comme suit :
La prise en compte des pertes de charge est encore une fois matérialisée par la multiplication par un coefficient K D, propre à la géométrie de l’appareil, déterminé par étalonnage.
Le débit volumique : Q = Sf *Vf .
III - 3 – Rotamètre : Chaque position du rotamètre correspond à un débit bien déterminé. Ce dernier est proportionnel (d’après considérations) à la surface traversée par le fluide. En première approximation, celle-ci est donnée par la formule suivante :
Sd = 2*π*rf *(l*θ) Où θ est l’angle formé par la verticale et le contour du tube du rotamètre, r f étant le rayon du flotteur, et Sf est la surface traversée par le fluide, et l étant la hauteur du flotteur. Remarque : on procédera à la mesure directe du débit directement en chronométrant le temps nécessaire au remplissage de 15 litres d’eau. La pompe permet la mesure directe du volume cumulé dans son réservoir, donc la pesée chronométrée n’entre pas dans le cadre de ce TP .
IV - Calcul à effectuer : IV - 1 – Tableau des mesures : En jouant sur la vanne aval, on fait varier le débit et on note les valeurs indiquées par les manomètres aux points A, B, E et F, ainsi que la position du f lotteur dans le tube, et le débit en chronométrant la durée relative à un volume de 15 litres. Toutes les mesures sont portées sur le tableau suivant :
ΔHA ΔHB ΔHE ΔHF ΔR Essai HA HB HE HF R N° (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 383 1 164 2 348 2 86 2 177 1 1 368 2 180 2 332 2 117 3 161 1 2 358 2 188 1 328 2 129 1 154 1 3 342 2 202 2 309 3 159 1 136 1 4 317 1 228 1 301 1 199 1 108 1 5 308 2 241 1 295 1 221 1 92 1 6 296 1 260 1 289 1 249 1 63 1 7 290 2 288 1 286 1 274 2 27 0,5 8
T (s) 33 36 38 42 53 63 86 167
IV - 2 – Calcul du débit pour le venturi et le diaphragme ainsi que la
valeur réelle par chronométrage : A partir de ces valeurs, on peut calculer le débit d’écoulement par trois méthodes différentes, ainsi que l’erreur relative à chaque méthode de calcul. Les relations permettant le calcul direct du débit volumique sont données par l es expressions suivantes :
3
Q t = 0,015 / T (en m /s) -3 1/2 Q d = 1,408439413*10 *[(hA – hB)/1000] -4 1/2 Q v = 9,622622372*10 *[(h E – hF)/1000]
La marge d’erreur est retrouvée en diff érenciant les expressions du débit, et sont données ciaprès (tous calculs faits) :
3
∆Q t (m /s) = (∆T/T) * Q t 3 ∆Q d (m /s) = Q d*(∆hA + ∆hB) / [2*(hA – hB)] 3 ∆Q v (m /s) = Q v*(∆hE + ∆hF) / [2*(hE – hF)]
ΔT
(s) 1 1 1 1 2 2 2 2
Les tableaux rassemblant l’ensemble des calculs de débit est comme suit :
Essai N° 1 2 3 4 5 6 7 8
Q d (m3/s)
ΔQ d (m3/s)
Q v (m3/s)
ΔQ v (m3/s)
Q t (m3/s)
ΔQ t (m3/s)
0,000720923
1,10065E-05
0,000450314
6,16869E-06
0,000454545
1,37741E-05
0,000653066
1,51876E-05
0,000417227
8,87717E-06
0,000416667
1,15741E-05
0,000628297
9,47181E-06
0,000396751
7,00149E-06
0,000394737
1,03878E-05
0,000545486
1,45463E-05
0,000360046
1,0287E-05
0,000357143
8,5034E-06
0,000449819
8,81999E-06
0,00028707
6,45102E-06
0,000283019
1,068E-05
0,000383137
1,03551E-05
0,000249075
1,11526E-05
0,000238095
7,55858E-06
0,000281688
1,40844E-05
0,000182576
1,01431E-05
0,000174419
4,05625E-06
0,000154287
3,85717E-05
4,30337E-05
6,45505E-05
8,98204E-05
1,07569E-06
IV - 3 – Détermination des coefficients du venturi et du diaphragme : D’après ce qui a été introduit dans la partie théorique, les coefficients K V et KD sont obtenus en calculant le rapport du débit obtenu par les mesures respectives sur le venturi et le diaphragme, et le débit réellement calculé par le chronométrage du remplissage du réservoir. On aura donc KV = Q v / Q T et KD = Q D / Q T. Les formules d’erreurs sont comme suit :
∆Kv = ((∆Q t / Q t) + (∆Q v / Q v)) * K v ∆Kd = ((∆Q t / Q t) + (∆Q d / Q d)) * K d
Le tableau suivant regroupe l’ensemble des calculs spécifiques à cette étape du travail :
Essai N° 1 2 3 4 5 6 7 8
KV
ΔKV
KD
ΔKD
1,009396557
0,045998409
0,630504955
0,027743265
0,998657093
0,050965058
0,63801569
0,03129746
0,99492366
0,041181051
0,628265128
0,027620325
0,991937955
0,050069249
0,654723862
0,034295059
0,985886554
0,056534375
0,629183223
0,037881712
0,955916296
0,056182125
0,621436389
0,047553649
0,955318339
0,069982622
0,61919101
0,048799292
1,240442103
0,318939295
0,345984104
0,521438677
Les valeurs moyennes de K v et de K D sont :
Kv = 0,89038525 KD = 0,517099926
IV - 4 – Graphe de Q D et de Q V en fonction de Q T : Dans le graphique, les croix en rouge représentent Q D en fonction de Q T, les étoiles bleues représentent quant à eux Q V en fonction de Q T : 0,0008
0,0007
0,0006 y = 1,4336x + 5E-05 0,0005 v
Qv
Q t e 0,0004
Qd
d
Q
Linéaire (Qv) 0,0003
y = 1,0046x + 4E-07
Linéaire (Qd)
0,0002
0,0001
0 0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
Q T
Il est à noter que toutes les droites représentées sur le graphe précédent sont obtenues par la méthode des moindres carrés, et les carrés d’incertitude sur les débits sont représentés dans le même graphe pour chacun des points. La méthode des moindres carrés se résume comme suit : En posant : E (a,b) = (y(xi) – a*xi -b), le minimum de E est atteint pour les valeurs de a et de b telles que : dE/da = dE/db = 0 Pour la droite représentant Q D en fonction de Q T, la méthode des moindres carrés donne une équation caractéristique : yD = 1,433x + 5E-05; quant à celle de Q V en fonction de Q T, on trouve : yV = 1,004x + 4E-07. La première remarque que l’on peut fair e est la plus importante : les deux droites sont très voisines de la première bissectrice du repère choisi (la pente est proche de 1 et l’écart par rapport à l’origine reste faible), sauf peut-être pour la droite concernant le diaphragme où la pente s’éloigne légèrement.
La mesure par chronomètre étant la plus précise des trois méthodes, on peut dire que la méthode du diaphragme est, comme nous l’avons précisé dans la partie théorique, la moins précise parmi celles -ci ; alors que celle du venturi donne des résultats avoisinant ceux du chronomètre. On ne peut omettre les erreurs introduites dans chacun des calculs à cause de l’imperfection matérielle ainsi que l’erreur accidentelle due à la lecture à l’œil.
IV - 5 – Courbe d’indication du rotamètre en fonction de Q T – Equation
d’étalonnage du rotamètre: La courbe est la suivante : 180 160
y = 376881x + 2,6208
140 120 r
100 80 60 40 20 0 0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
Q T
5
L’équation que l’on obtient par la méthode des moindres carrés est la suivante : y = 3,7.10 *x+ 2.62 3
où l’on prend y égal à la hauteur du flotteur dans le tube (en mm) et x égal au débit (en m /s). Le nuage de points obtenu avoisine la droite dont l’équation est donnée ci-dessus. Cette équation est appelée équation d’étalonnage du rotamètre : en lisant directement la valeur de y sur le tube du rotamètre, on déduit le débit (qui est égal au x) à partir de cette équation. On peut aussi confirmer la justesse des résultats obtenus par l’écart par rapport à l’origine qui est très faible : pour un débit nul, le flotteur est naturellement à la position zéro.
IV - 6 – Calcul des pertes de charge dans le venturi et le diaphragme : L’équation de Bernoulli tenant compte des pertes de charge s’écrit comme suit : 2
P V 1
g
1
2 g
2
= P V 2
g
2
2 g
2
h
f 1 2
2
2
2
2
On en déduit que : H F / (V /2g) = (2*∆h*g + [(1/S1 )- (1/S2 )]*Q ) /V , Où V est la vitesse à l’amont du venturi ou du diaphragme. Si on prend l’essai n°3 par exemple, on aura : 2
-
Pour le venturi : H F / (V /2g) = 0,6176424 ;
-
Pour le diaphragme : H F / (V /2g) = 72,63297662.
2
IV - 7 – Conclusion : Le but de ce TP était de comparer trois méthodes de mesure de débit. La méthode la plus sûre étant le chronométrage direct, on peut reconnaître la précision relative de chaque méthode. La méthode du diaphragme s’est révélée très imprécise face à c elle du venturi dont les résultats étaient très proches des valeurs réelles chronométrées, ceci est dû au temps que met le fluide à remplir tout la section à sa sortie du diaphragme. L’équation d’étalonnage du rotamètre s’est avérée être un moyen d’obtention directe du débit à partir de la hauteur du flotteur dans le tube. On ne peut cependant négliger les effets des erreurs su r la lecture des valeurs prises ainsi qu’une erreur relative au matériel, dont les valeurs accompagnent chaque mesure de hauteur dans les manomètres, ainsi que les calculs ultérieurs. .
