Mekanika Teknik - Bab Garis Pengaruh

M. Yusuf/FT Untan 

1

III. GARIS PENGARUH PENGARU H A.

Cara Analitis Analitis

α P=1kN x

α

L = 3λ Gambar Gambar 1: Beban P berjarak x dari A

α

=

1 3

π rad

= 60°

P = 1kN

λ 

= 3m

L = 3 λ 

 Hitu ng rea ksi perlet p erlet akan aka n V  A dalam fungsi x ΣM D

=0

VA( x ) ⋅ L − P⋅ ( L − x ) = 0 VA( x ) =

P⋅ ( L − x ) L

 Meng gambar ga mbar ga ris pen garu h V  A

Untuk  x A = 0m maka VA( x A) = 1 ⋅ kN Untuk  x D = 3 λ  = 9⋅ m maka VA( x D) = 0 ⋅ kN 3

1× 10

VA( x)

500

0

0

3

6 x

Gambar Gambar 2: Garis Garis pengaruh VA

9

M. Yusuf/FT Untan 

2

 Hitu ng rea ksi perlet p erlet akan aka n V  D dalam fungsi x ΣM A

=0

−VD( x) ⋅ L + P⋅ x = 0 VD( x ) =

P⋅ x L

 Meng gambar ga mbar ga ris pen garu h V  D

Untuk  x A = 0m maka VD( x A) = 0 ⋅ kN Untuk  x D = 3λ  = 9 ⋅ m maka VD( x D) = 1 ⋅ kN 3

1× 10

VD( x)

500

0

0

3

6

9

x

Gambar Gambar 3: Garis Garis peng aruh VD

 Membuat  Membu at p ersamaan ersamaa n ga ris pen garuh ga ruh S 6 dalam fungsi x

Buat potong an I-I I-I

I

α

PA(x) x

P=1kN

PB(x)

α

I

L = 3λ

VA(x)

VD(x) Gambar Gambar 4:

P di bentang A-B A-B pada potong an I-I I-I

M. Yusuf/FT Untan 

3

Untuk P=1kN berada di A-B, A-B, tinjau bag ian kiri po tong an I-I: I-I: P diuraikan menjadi PA(x) dan PB(x) PA( x ) =

ΣV

λ  −

x

λ 

⋅P

=0

VA( x ) − PA( x ) + S6( x ) ⋅ sin( α) = 0 S6( x ) =

PA( x) − VA( x ) 1 2

S6( x ) =

2 3

2

=

3

⋅ 3

⋅ 3⋅ ⎡

λ  −

⎣

x

λ 

⋅P −

⋅ 3 ⋅ ( PA( x ) − VA( x ) ) =

2 3

⋅ 3⋅ ⎡

λ  −

⎣

λ 

x

⋅P −

P⋅ ( L − x ) ⎤ L

⎦

P⋅ ( L − x ) ⎤ L

⎦

Beban P=1kN berada di B-D, B-D, tinjau bag ian kiri po tong an I-I: I-I:

I

α P=1kN x

α

I

L = 3λ

VA(x)

VD(x) Gambar Gambar 5: P di bentang B-D poto ngan I-I I-I

ΣV

=0

VA( x ) + S6( x) ⋅ sin( α) = 0 S6( x ) = −

VA( x ) 1 2

= − ⋅ 3⋅ VA( x ) = − ⋅ 3 ⋅ ⎡

⋅ 3

2

2

3

3

P⋅ ( L − x ) ⎤

⎣

L

⎦

2 P⋅ ( L − x ) ⎤ S6( x ) = − ⋅ 3 ⋅ ⎡ 3 ⎣ L ⎦ Jadi, S6( x ) =

2 3

⋅ 3⋅ ⎡

λ  −

2

P⋅ ( L − x )

3

L

⎣

− ⋅ 3⋅

x

λ 

⋅P −

P⋅ ( L − x ) ⎤ L if 

λ  <

⎦

if  0 ≤ x ≤

x ≤ 3 λ 

λ 

M. Yusuf/FT Untan 

4

 Meng gambarka ga mbarka n ga ris pen garuh ga ruh S 6 

Untuk  x A = 0m maka S6( x A) = 0 ⋅ kN Untuk  x B =

λ  =

3 ⋅ m maka S6( x B) = −0.7698⋅ kN

Untuk  x D = 3 λ  = 9⋅ m maka S6( x D) = 0 ⋅ kN

0

− 500

S6( x)

3

− 1× 10

0

3

6 x

Gambar Gambar 6: Garis Garis peng aruh S6

 Membuat  Membu at p ersamaan ersamaa n ga ris pen garuh ga ruh S 1 dalam fungsi x

Untuk P=1kN di A-B tinjau bag ian k iri poton gan I-I (lihat (lihat Gambar 4): ΣH

=0

S6( x ) ⋅ cos( α) + S1( x ) = 0 1 1 2 P⋅ ( L − x ) ⎤ 1 P⋅ ( L − x ) ⎤ λ  − x λ  − x S1( x ) = − ⋅ S6( x ) = − ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⎡ ⋅P − = − ⋅ 3⋅ ⎡ ⋅P − 2 2 3 L 3 L ⎣ λ  ⎦ ⎣ λ  ⎦ λ  − x 1 P⋅ ( L − x ) ⎤ S1( x ) = − ⋅ 3 ⋅ ⎡ ⋅P − 3 L ⎣ λ  ⎦

Untuk P=1kN di B-D tinjau bag ian k iri poton gan I-I (lihat (lihat Gambar Gambar 5): ΣH

=0

S6( x ) ⋅ cos( α) + S1( x ) = 0 1 1 2 P⋅ ( L − x ) ⎤ 1 P⋅ ( L − x ) S1( x ) = − ⋅ S6( x ) = − ⋅ ⎡− ⋅ 3 ⋅ = ⋅ 3⋅ 2 2 ⎣ 3 L L ⎦ 3 S1( x ) =

1 3

⋅ 3⋅

Jadi, S1( x ) =

P⋅ ( L − x ) L

− ⋅ 3⋅ ⎡ 1 3

1 3

⋅ 3⋅

⎣

λ  − λ 

x

⋅P −

P⋅ ( L − x ) L

P⋅ ( L − x ) ⎤

if 

L λ  <

⎦

x ≤ 3λ 

if  0 ≤ x ≤

λ 

9

M. Yusuf/FT Untan 

5

 Meng gambar ga mbar ga ris pen garu h S 1

Untuk  x A = 0⋅ m maka S1( x A) = 0 ⋅ kN Untuk  x B = 3⋅ m maka S1( x B) = 0.38 0.385 5 ⋅ kN Untuk  x D = 9⋅ m maka S1( x D) = 0 ⋅ kN 3

1× 10

S1( x)

500

0

0

3

6

9

x

Gambar Gambar 7:

Garis Garis peng aruh S1

 Membuat  Membu at p ersamaan ersamaa n ga ris pen garuh ga ruh S 9 dalam fungsi x

II

α

    α

  n   a    t

P=1kN

PA x

x

      λ

PB x

α

II

L = 3λ

VA(x)

VD(x) Gambar Gambar 8: P di bentang AB pada potongan II-II II-II

Untuk P di A-B tinjau bagian kiri dari pot ong an II-II II-II (lihat Gambar 8): Σ V=0

VA( x ) − PA( x ) − S9( x ) ⋅ sin( α) = 0

S9( x ) =

VA( x ) − PA( x ) 1 2

⋅ 3

   ½   =    H

M. Yusuf/FT Untan 

6

Untuk P di B-D tinjau bagian kiri dari pot ong an II-II II-II (lihat Gambar 9):

II

α P=1kN x

α

II

L = 3λ

VA(x)

VD(x) Gambar Gambar 9:

P di bentang BD pada potong an IIII-II II

Σ V=0

VA( x ) − S9( x) ⋅ sin( α) = 0 S9( x ) =

VA( x ) 1 2

⋅ 3 VA( x ) − PA( x )

Jadi, S9( x ) =

1 2 VA( x ) 1 2

if  0m ≤ x ≤

λ 

⋅ 3 if 

λ  <

x ≤ 3 λ 

⋅ 3

 Meng gambar ga mbar ga ris pen garu h S 9 1×10

S9( x)

3

500

0

0

3

6 x

Gambar Gambar 10:

Garis Garis pengaruh S9

9

M. Yusuf/FT Untan 

7

 Membuat  Membu at p ersamaan ersamaa n ga ris pen garuh ga ruh gaya g aya batan ba tan g S 4

Untuk P di A-B tinjau bagian kiri dari pot ong an II-II II-II (lihat Gambar 8): H =

1 2

Σ MB =

2.598 8⋅m ⋅ λ ⋅ tan( α) = 2.59

0

VA( x ) ⋅ λ  − PA( x ) ⋅ λ  + S4( x ) ⋅ H = 0 S4( x ) =

PA( x ) ⋅ λ  − VA( x ) ⋅ λ 

PA( x ) − VA( x)

=

H

1 2

S4( x ) =

2 3

=

2 3

⋅ 3

⋅ 3⋅ ( PA( x ) − VA( x ) )

⋅ 3⋅ ( PA( x ) − VA( x ) )

Untuk P di B-D tinjau bagian kiri dari pot ong an II-II II-II (lihat Gambar 9): Σ MB =

0

VA( x ) ⋅ λ  + S4( x ) ⋅ H = 0

S4( x ) =

−VA( x ) ⋅ λ 

=

−VA( x )

H

1 2

⋅ 3

2

= − ⋅ 3 ⋅ VA( x ) 3

2 S4( x ) = − ⋅ 3 ⋅ VA( x ) 3 2

Jadi, S4( x ) =

3

⋅ 3 ⋅ ( PA( x) − VA( x ) ) if  0m ≤ x ≤ λ  2

− ⋅ 3⋅ VA( x ) if  λ  < x ≤ 3 λ  3

0

S4( x)

− 500

3

− 1× 10

0

3

6 x

Gambar Gambar 11: Garis Garis peng aruh S4

9

M. Yusuf/FT Untan 

8

 Membuat  Membu at p ersamaan ersamaa n ga ris pen garuh ga ruh gaya g aya batan ba tan g S 2

Untuk P di A-B tinjau bagian kanan dari poto ngan IIIIII-II IIII (lihat (lihat Gambar 12):

III

α

    α

  n   a    t

      λ

P=1kN

   ½   =    H

x

α III L = 3λ VA(x)

VD(x) Gambar Gambar 12: P di AB pada poto ngan III-I III-III II

Σ MF =

0

−VD( x) ⋅ 1.5⋅ λ  + S2( x ) ⋅ H = 0 S2( x ) =

VD( x ) ⋅ 1.5λ  H

Untuk P di B-C tin jau b agian k iri poto ngan IIIIII-II IIII (lihat (lihat Gambar 13):

III

α

    α

  n   a    t

      λ

x

P=1kN

PB(x)

PC(x)

α

   ½   =    H

III L = 3λ VA(x)

VD(x) Gambar Gambar 13: P di BC pada poton gan IIIIII-II IIII

PB( x ) =

2 λ  − x λ 

⋅P

M. Yusuf/FT Untan 

Σ MF =

9

0

1 VA( x ) ⋅ 1.5λ  − PB( x ) ⋅ ⋅ λ  − S2( x ) ⋅ H = 0 2 VA( x ) ⋅ 1.5λ  − PB( x ) ⋅ 0.5⋅ λ  S2( x ) = H Untuk P di C-D tinjau bagian kiri pot ongan IIIIII-II IIII (lihat (lihat Gambar 14):

III

α

    α

  n   a    t

      λ

P=1kN x

α

   ½   =    H

III L = 3λ VA(x) Σ MF =

Gambar Gambar 14: P di CD pada poto ngan III-I III-III II

VD(x)

0

VA( x ) ⋅ 1.5λ  − S2( x) ⋅ H = 0 S2( x ) =

VA( x ) ⋅ 1.5λ  H

Jadi, S2( x ) =

VD( x ) ⋅ 1.5λ  H

if  0m ≤ x ≤

1 VA( x ) ⋅ 1.5λ  − PB( x ) ⋅ ⋅ λ  2 H VA( x ) ⋅ 1.5λ  H

λ 

if 

λ  <

x ≤ 2 λ 

if  2 λ  < x ≤ 3λ 

3

1× 10

S2( x)

500

0

0

3

6 x

Gambar Gambar 15:

Garis Garis peng aruh S2

9

M. Yusuf/FT Untan 

10

 Membuat  Membu at p ersamaan ersamaa n ga ris pen garuh ga ruh gaya g aya batan ba tan g S 7 

Untuk P di A-B tinjau bagian kanan poto ngan IIIIII-II IIII (lihat (lihat Gambar Gambar 12): ΣV

=0

VD( x ) − S7( x) ⋅ sin( α) = 0 S7( x ) =

VD( x ) sin( α)

Untuk P di B-C tin jau b agian k iri poto ngan IIIIII-II IIII (lihat (lihat Gambar 13): ΣV

=0

VA( x ) − PB( x ) + S7( x ) ⋅ sin( α) = 0 S7( x ) =

PB( x ) − VA( x ) sin( α)

Untuk P di C-D tinjau bagian kiri pot ongan IIIIII-II IIII (lihat (lihat Gambar 14): ΣV

=0

VA( x ) + S7( x) ⋅ sin( α) = 0 S7( x ) =

−VA( x ) sin( α)

Jadi, S7( x ) =

VD( x ) sin( α)

if  0m ≤ x ≤

PB( x ) − VA( x) sin( α)

−VA( x ) sin( α)

if 

λ 

λ  <

x ≤ 2 λ 

if  2 λ  < x ≤ 3λ 

3

1× 10

S7( x)

0

3

− 1× 10

0

3

6 x

Gambar Gambar 16:

Garis Garis pengaruh S7

9

M. Yusuf/FT Untan 

11

Dari perhitungan di atas didapat S6(x) = S4(x). Dinotasikan saja seb agai S 4.6(x) yaitu S4.6 ( x ) = S4( x ) = S6(x)

3

1× 10

500 S1( x) S2( x) S4.6 ( x)

0

S7( x) S9( x)

− 500

3

− 1× 10

0

3

6

9

x

Gambar Gambar 17: Garis Garis pengaruh S1, S2, S4, S6, S7, dan S9

Karena Karena gambar struktur simetris maka S3( x ) = S1( x ), S5.11 ( x ) = S4.6 ( x ) , S8( x ) = S9( x ), dan S10( x ) = S7( x di mana gambar garis pengaruhnya di cerminkan terhadap sumbu x=1.5λ  seperti terlihat pada Gambar 18. 3

1× 10

500 S3( x) S2( x) S5.11 ( x)

0

S10( x) S8( x)

− 500

3

− 1× 10

x

Gambar Gambar 18: Garis Garis peng aruh S2, S3, S5, S8, S10, dan S11