1
MEKANIKA TEKNIK 1 Tujuan : Mahasiswa dapat memahami dan mengenal gaya pada keseimbangan suatu konstruksi . SILABI : 1)
2) 3)
4)
5)
6)
Pendahuluan : a. Peranan Mekanika Teknik di bidang Teknik. b. Arti gaya di mekanika teknik. c. Komposisi Gaya, komponen, resultante dan keseimbangan Pengenalan konstruksi statis tertentu. Gaya-gaya luar : a. Beban sebagai gaya luar b. Istilah dan tanda-tanda c. Perletakan/tumpuan d. Bentuk struktur sederhana e. Cara menghitung reaksi perletakan f. Mencari reaksi perletakan dengan cara grafis Gaya-gaya dalam : a. Pengertian gaya dalam yang terdiri dari gaya normal(tarik dan tekan), geser/lintang dan momen(momen lentur dan momen puntir) b. Cara menghitung gaya dalam c. Hubungan gaya lintang dan momen Metoda penyelesaian : a. cara analitis b. cara grafis Kasus : a. Balok sederhana b. Balok gerber c. Portal sederhana
PUSTAKA : 1) 2) 3)
Soewarno : Konstruksi Statis Tertentu 1 Soemono : Statika 1 A. Darkov :Structural Mechanics
2
I. PENDAHULUAN
Mata kuliah mekanika teknik yang bersifat ilmu dasar bagi sarjana teknik, secara ringkas dapat dibagi dalam dua kelompok utama, yaitu STATIKA dan DEFORMASI. Masing-masing kelompok boleh dipecah-pecah lagi dalam beberapa bagian yang beraneka judul. Hitungan Statika menyangkut soal keseimbangan antara beberapa gaya atau kekuatan yang bekerja pada suatu bangunan atau konstruksi teknik sipil, dan oleh karena berbagai gaya itu berasal dari luar bangunan atau bekerja di luar bangunan (gaya gempa, angin, juga berat sendiri konstruksi karena pengaruh gravitasi bumi serta reaksi di tumpuan/perletakan), maka kita boleh memakai istilah “hitungan keseimbangan luar”, yaitu beban seimbang dengan reaksi perletakan. Selain itu ada istilah ”hitungan keseimbangan dalam”, dimana akibat
gaya luar pada struktur/bangunan, maka di dalam elemen struktur (balok dan kolom) mengalami gaya dalam yaitu gaya normal, geser dan momen, yang mana gaya-gaya dalam ini harus seimbang dengan gaya luar dalam suatu potongan. Perlu diketahui bahwa gaya-gaya dalam ini muncul bila struktur tersebut dipotong. Akibat gaya dalam yang bekerja dalam elemen struktur, maka menimbulkan deformasi atau perubahan bentuk pada berbagai unsur didalam bangunan, sehingga terjadilah tegangan di dalam bahannya, untuk membatasi besarnya deformasi
itu.
Agar
supaya
bangunan
cukup
“kokoh”
untuk
menanggulangi deformasi akibat gaya dalam, maka tegangan maksimum yang timbul tidaklah boleh melampaui batas, yatu tegangan bahan yang diperbolehkan (tegangan ijin). Sehubungan dengan itu, hitungan mengenai deformasi boleh diartikan pula “hitungan kekokohan” (Dalam bahasa Inggris orang menyebutnya „Strength of materials‟).
2
I. PENDAHULUAN
Mata kuliah mekanika teknik yang bersifat ilmu dasar bagi sarjana teknik, secara ringkas dapat dibagi dalam dua kelompok utama, yaitu STATIKA dan DEFORMASI. Masing-masing kelompok boleh dipecah-pecah lagi dalam beberapa bagian yang beraneka judul. Hitungan Statika menyangkut soal keseimbangan antara beberapa gaya atau kekuatan yang bekerja pada suatu bangunan atau konstruksi teknik sipil, dan oleh karena berbagai gaya itu berasal dari luar bangunan atau bekerja di luar bangunan (gaya gempa, angin, juga berat sendiri konstruksi karena pengaruh gravitasi bumi serta reaksi di tumpuan/perletakan), maka kita boleh memakai istilah “hitungan keseimbangan luar”, yaitu beban seimbang dengan reaksi perletakan. Selain itu ada istilah ”hitungan keseimbangan dalam”, dimana akibat
gaya luar pada struktur/bangunan, maka di dalam elemen struktur (balok dan kolom) mengalami gaya dalam yaitu gaya normal, geser dan momen, yang mana gaya-gaya dalam ini harus seimbang dengan gaya luar dalam suatu potongan. Perlu diketahui bahwa gaya-gaya dalam ini muncul bila struktur tersebut dipotong. Akibat gaya dalam yang bekerja dalam elemen struktur, maka menimbulkan deformasi atau perubahan bentuk pada berbagai unsur didalam bangunan, sehingga terjadilah tegangan di dalam bahannya, untuk membatasi besarnya deformasi
itu.
Agar
supaya
bangunan
cukup
“kokoh”
untuk
menanggulangi deformasi akibat gaya dalam, maka tegangan maksimum yang timbul tidaklah boleh melampaui batas, yatu tegangan bahan yang diperbolehkan (tegangan ijin). Sehubungan dengan itu, hitungan mengenai deformasi boleh diartikan pula “hitungan kekokohan” (Dalam bahasa Inggris orang menyebutnya „Strength of materials‟).
3
II. G A Y A
II.1. Pengertian : Gaya adalah kekuatan yang mempunyai besar (kg, ton, Newton, dsb.), arah, garis kerja dan titik tangkap. GARIS GARIS KERJA
ARAH
R S A E B
Y A A G
TITIK TANGKAP
Untuk mempelajarinya kita lukiskan gaya itu sebagai sepotong garis lurus yang berujung tanda panah dan kita sebut vektor : : panjangnya melukiskan besar gaya, tanda panah menunjukkan arah kerja gaya. Jika gaya bekerja pada suatu benda maka tempat bekerjanya gaya disebut titik tangkap. Garis yang ditarik melalui titik tangkap gaya dan arahnya sama dengan arah kerja gaya disebut garis kerja gaya. Perlu diketahui bahwa titik tangkap gaya bisa dipindahkan sepanjang garis kerja gaya. garis kerjanya terletak pada satu bidang datar disebut gaya koplanar . Semua gaya yang garis kerjanya berpotongan pada satu titik disebut gaya kongruen (bertitik tangkap tunggal). Jika garis kerja berbagai gaya itu terletak pada satu garis lurus, gaya disebut gaya kolinear . Semua
gaya
yang
II.2. MENYUSUN GAYA Sejumlah gaya dapat dijumlahkan/digabung menjadi satu gaya yang disebut resultan gaya. Kita dapat menghitungnya secara analisa atau lukisan (grafis).
4
Secara analisa kita membuat susunan koordinat OXY, kemudian gaya diproyeksikan pada kedua sumbu X dan Y.
II.2.1. GAYA KONGRUEN (bertitik tangkap tunggal) Cara analisa :
Y
y R R y 2 F
2 F
y 1 F
a2 x 2 F
x R
O
F1 F1x F1y F2 F2x F2y
= = = =
F 1
a1 F1x
F1 cos a1 F1 sin a1 F2 cos a2 F2 sin a2
Rx = F1x + F2x Ry = F1y + F2y R = (Rx2 + Ry2) a = arc tg Ry/Rx Cara grafis : Metoda jajaran genjang :
X
5
R
2 F
F 1
Untuk besar gaya dan arah gaya,tinggal diukur, tentunya gambar harus menggunakan skala, misalnya 1 cm = 2 ton
Metoda poligon/segi banyak gaya :
2 F R
F 1
II.2.2. GAYA-GAYA SEJAJAR
( dalam 1 bidang datar )
Y
F 1
3 F
F 2
4 F
X X1 X2 X3 X4
6
Cara analisa : Resultan, R = Letak resultan,
-F1 –F2 +F3 +F4 x
=
F 1. x1 F 2. x 2 F 3. x3 F 4. x4 R
Arahnya, karena sejajar maka arah resultan juga sejajar, untuk menentukan arahnya ke atas atau ke bawah tergantung hasilnya, bila positip berarti ke atas, bila negatip berarti ke bawah. Cara grafis : Untuk mencari resultan gaya secara grafis, mula-mula gambar gaya-gaya dengan tepat sesuai skala, baik besar, arah maupun letaknya. Selanjutnya, gambar poligon gaya disebelah gambar, buat titik kutub O sembarang (asalkan tidak segaris dengan garis kerja gaya2 yang akan dijumlahkan), buat garis-garis kutub berurutan dari awal gaya sampai akhir gaya (disini ada 5 garis kutub, untuk 4 gaya yang akan dijumlahkan). Selanjutnya tarik garis kerja gaya-gaya pada gambar disebelah kiri, kemudian pindahkan arah garis-garis kutub ke garis kerja gaya secara berurutan (lihat gambar) . Garis kutub pertama mengenai garis kerja gaya F1, garis kutub kedua dimulai dari garis kerja gaya F1 hingga menyentuh garis kerja gaya F2, garis kutub ketiga dimulai dari garis kerja gaya F2 hingga menyentuh garis kerja F3, dst. secara berurutan. Bila garis kutub kurang panjang bisa diperpanjang dengan arah sama. Untuk menentukan letak resultan R, tarik garis kutub pertama dan garis kutub terakhir, titik potongnya adalah letak resultan R.
7
Y
R F 1
3 F F 2
4 F
4 F
5
1 F 1
4 2
4 X F 2
3
3 F
3
5
1 2
R
X
II.2.3. GAYA-GAYA KOPLANAR Yang kita bahas disini adalah gaya-gaya yang tidak sejajar, tidak setitik tangkap namun dalam satu bidang datar. Letak titik tangkap gaya-gaya ini bisa dalam satu balok, satu kolom , portal maupun konstruksi rangka batang. Contoh
1.
Gaya-gaya dalam balok
8
g k 0 2
45 o 15 kg
60 o 2 0
X
k
2 5 k g 3
g 0 k g
2m
3.5 m
1.5 m
1.5 m
Cara analisa : Resultan , Rx = 0kg + 0kg – 25kg cos60o + 0kg + 15kg cos45o Rx = 0kg + 0kg – 12.5kg + 0kg + 10.61kg Rx = -1.89 kg (ke kiri) Ry = -20kg –30kg –25kg sin60o +20kg–15kg sin 45o Ry = -20kg –30kg –21.65kg +20kg –10.61kg Ry = -62.26 kg (ke bawah) R = [(-1.89)2 +(-62.26)2] = 62.3 kg Arah resultan
a = arc tg Ry/Rx = arc tg -62.26/-1.89 = 89,5 o (di kuadran III)
Letak resultan x x =
=
F 1 y. x1 F 2 y. x 2 F 3 y. x3 F 4. x 4 F 5. x5 Ry
20 x0 30 x 2 21.65 x5.5 20 x7 10.61x8.5
x =
Cara grafis
62.26
129 .26kgm = 2.08 m 62.26kg
9
g k 0 2
x=2.1 m 0 k 3 g 0 k
X
45 o 15 kg
60 o 2 5 k g
2
2 0 k g
g R = 6 2 . 2 k g
2m
1
3.5 m
1.5 m
3
2
0
1.5 m k g
R = 6 2 . 2 k g
15 2 kg 5 g k k g 0 2
6
5
6
1
6
4
2
3
6
1
Contoh 2. Gaya-gaya dalam portal
P
P3=5ton n
to
=
2
45 derajat
2
2 m
P1 = 4 ton 2 m
Cara Grafis :
3m
5
2m
5
3
6 4
6
10
P2= 2 ton
P3= 5 ton , sudut 45 derajat
0.4 m
1 2 m
P1 = 4 ton 2 m
4
2 3
3m
2m
P1 P 1
4
to t - a 2 8 l 4 5 .9 . 5 5 3 3 d 4 e t r o a n aj , t a n g l e
P2
P3
Cara analisa: Rx Ry R
= = = = =
4ton + 0ton –5ton cos 45o 0.465 ton (kekanan) 0ton –2ton –5ton sin45o -5.536 ton (kebawah) (0.4652 + -5.5362)
= 30.864 = 5.56 ton (serong kekiri bawah)
11
arah sudut,a = arc tg (-5.536/0.465) = -85.20 Untuk mencari letak resultan gaya, lebih mudah pakai grafis karena resultan gaya miring jadi ada banyak kombinasi nilai x dan y, karena gaya-gaya yang dijumlahkan tidak terletak dalam satu garis. II.3. MENGURAIKAN GAYA Berbeda dengan menyusun gaya, dimana berapapun gaya-gaya yang ada bisa dijumlahkan menjadi satu gaya (resultan), tetapi untuk menguraikan gaya, satu gaya hanya bisa diuraikan dalam 2 arah. Jika diuraikan lebih dari 2 arah, akan mendapatkan hasil yang berbeda-beda. Lihat contoh berikut :
a r a h F 3
2 F h a r a
arah F1
Alternatif pertama
F 3
2 F
F
F1
F
12
Alternatif kedua :
3 F
F
2 F
F1
a r a h F 3
Kedua jawaban tersebut sama –sama benar, dalam hal ini nilai F2 dan F3 berbeda-beda untuk setiap penentuan nilai F1, tentunya hal ini tidak diharapkan. Dalam ilmu eksakta jawaban yang diinginkan adalah jawaban yang pasti. Oleh karena itu untuk mendapatkan jawaban yang pasti, satu gaya hanya dapat diuraikan dalam 2 arah. Untuk soal di atas gaya F diuraikan dalam dua arah saja yaitu F1 dan F2, hasilnya sebagai berikut. 2 F h a r a
F
2 F
F1
Sama juga dengan menyusun gaya, dalam menguraikan gaya bisa dikerjakan dengan cara analisa atau cara grafis. Cara analisa : Masing-masing gaya diuraikan dalam arah sumbu x (horisontal) dan sumbu y (vertikal). Selanjutnya berlaku keseimbangan gaya, yaitu : Fx = F1x + F2x
13
Fy = F1y + F2y Ada dua bilangan yang tidak diketahui yaitu F1 dan F2, ada dua persamaan keseimbangan statika yang bisa digunakan, maka gaya F1 dan gaya F2 bisa didapat.
Contoh-contoh
penerapan uraian gaya
Tentukan gaya-gaya yang terjadi pada batang-batang AB dan BC untuk konstruksi-konstruksi sebagai berikut : 1. B
5 t o n
2 m
A
C 1m
Penyelesaian : Cara grafis :
1m
14
B 5 t o n
n o t 8 . 2 = C B 2 m
5 to n
A
C 1m
n t o 8 . 2 = B A
1m
Cara analisa : x B A
BCx B
2
a k a r 5
A C B y, A B y
B C
F
1
Keseimbangan gaya arah x :
-ABx +BCx = 0 -(1/5)AB +(1/5)BC = 0 AB = BC
Keseimbangan gaya arah y : ABy + BCy = 5 (2/5)AB + (2/5)BC = 5 (2/5)AB + (2/5)AB = 5 4/5 AB = 5 AB = +2.8 ton arah sesuai gbr. BC = +2.8 ton arah sesuai gbr. 2.
15
A
C 2 m
B
F=6ton
3m
1m
Penyelesaian cara grafis : A
C B C = 5 t o n 2 m
B 3m
n
F=6ton 1m A B = 2 .8 t o n
3. B F=4ton
3 m
A
to
6
=
F
C 4m
Penyelesaian cara grafis :
16
B F=4ton
3 m
A
A B = 5 t o n
C 4m
B C = 3 t o n
F=4ton
4. F=4ton B
4 m
A
C 3m
Karena arah gaya sama / sejajar dengan batang maka jelas AB=4ton ke bawah dan BC=0
salah
satu
III. MOMEN III.1. Pengertian Momen terhadap suatu titik(Mi)adalah gaya(F) dikalikan dengan panjang lengan(l)(jarak tegak lurus gaya terhadap titik tersebut). Karena gaya mempunyai arah, maka momen juga mempunyai arah yaitu searah jarum jam atau berlawanan jarum jam terhadap sumbu tertentu.Jika kita berbicara dalam dua dimensi yaitu sumbu XOY, dan gaya berada dalam bidang XOY, maka momen disuatu titik yang kita maksud adalah Mz (momen yang memutari sumbu z) Untuk jelasnya, perhatikan gambar berikut :
17
Y
n o t 1 6 . 3 = F
l = . 3 n o t 2 = x F 9 m
y=1m
A x=3m y = 2 m
n o t 3 = y F
x=4m
O
X
Momen terhada titik A akibat gaya F adalah : MA = Fxl = 3.61ton x 3.9 m = 14 ton.m, berlawanan arah jarum jam atau bisa juga dicari dengan cara menguraikan gaya dalam Fx dan Fy, maka : MA = Fx.y + Fy.x = 2t.1m + 3t.4m = 14 ton.m Jika satuan gaya adalah ton, kg atau N(Newton=kg.m/det2), maka satuan momen adalah ton.m, kg.m atau N.m Momen di dalam struktur bangunan ada dua jenis yaitu momen lentur dan momen puntir. Momen lentur pada balok,membuat balok melentur keatas bawah (Mz) atau pada kolom melentur ke kiri kanan(Mz) atau bisa juga kolom melentur kedepan dan belakang (Mx). Sedangkan momen puntir adalah momen yang memuntir balok (Mx) dan memuntir kolom (My).Yang akan kita bahas di mekanika teknik 1 ini hanya momen lentur.
IV. PERLETAKAN/TUMPUAN Dalam struktur bangunan teknik tumpuan/perletakan : 1. Perletakan Sendi 2. Perletakan Roll 3. Perletakan Jepit IV.1. Perletakan Sendi
sipil
dikenal
ada
3
jenis
18
Perletakan Sendi mempunyai dua reaksi simbolnya adalah sebagai berikut :
reaksi H
yaitu
V
dan
H,
V i s k a e r
Karena mempunyai dua reaksi yaitu V dan H,berarti Sendi bisa menahan dalam arah horisontal dan vertikal maka pada tumpuan sendi tidak bisa bergeser baik dalam arah horisontal dan vertikal (V=0 dan H=0) namun bisa berputar (0). IV.2. Perletakan Roll Perletakan Roll hanya mempunyai satu reaksi Vertikal, simbolnya adalah sebagai berikut :
yaitu
reaksi
V i s k a e r
Karena hanya mempunyai satu reaksi vertikal, maka perletakan roll hanya bisa menahan dalam arah vertikal saja maka pada tumpuan roll tidak bisa bergeser arah vertikal (V=0), namun tidak bisa menahan dalam arah horisontal(H0)dan bisa berputar (0). IV.3. Perletakan Jepit Perletakan jepit mempunyai tiga reaksi yaitu reaksi V, H dan Momen, dan simbolnya adalah sebagai berikut :
reaksi H reaksi M
V i s k a e r
Karena mempunyai tiga reaksi maka pada perletakan jepit, tidak bisa bergeser arah horisontal dan vertikal juga tidak dapat berputar (V=0,H=0 dan =0). Reaksi-reaksi perletakan yang kita bahas diatas adalah untuk mengimbangi beban yang bekerja pada struktur tersebut. Dalam hal ini, beban kita sebut sebagai gaya luar dan reaksi perletakan juga sebagai gaya luar. Didalam struktur bangunan
19
berlaku keseimbangan gaya luar (reaksi seimbang/berlawanan arah dengan beban Didalam konstruksi bangunan keseimbangan statika yaitu : 1) 2) 3)
V = 0 H = 0 M = 0
T.Sipil
perletakan
dikenal
ada
,
tiga
total
gaya-gaya arah vertikal=0 total gaya-gaya arah horisontal=0 total gaya-gaya momen di setiap titik=0
Karena ada tiga keseimbangan statika, maka struktur dikatakan statis tertentu, jika mempunyai tiga reaksi perletakan. Contoh-contoh berikut :
Struktur
Statis
tertentu
adalah
sebagai
1. Struktur Balok sederhana,dengan perletakan sendirol d 3 e r t a o j n a t 6 0 2 to n
HA=1.5ton
VA=2.31ton
2. Struktur bebas
2m
3.5 m
2.5m VB=2.29ton
Balok
sederhana,dengan
2 t o d e r n , 4 a 5 j a t
q=2ton/m HA=1.42ton MA=7.57tm
1.5m
perletakan
2.25m
VA=4.42ton
3. Portal sederhana, dengan perletakan sendi-rol
jepit
20
q=2t/m kaku D
B
E
2
HB=3ton
VB=3.5ton m
3ton
C
3 m
A VA=2.5ton 3m
4)
3m
Portal sederhana, dengan perletakan jepit-bebas q = 2t/m HA=4 ton A
C kaku
B
MA=8 tm
2 m
VA=8 ton D
4m
4 ton
2m
Untuk menyelesaikan struktur Statis Tertentu digunakan 3 persamaan keseimbangan statika yaitu : V=0, H=0 dan M=0
diatas,
Untuk struktur dengan perletakan sendi-rol, baik berupa balok maupun portal, penyelesaian reaksi perletakan bisa menggunakan metoda analitis maupun grafis (untuk struktur nomor 1 dan 3 di atas). Sedangkan untuk struktur dengan perletakan jepit bebas, baik pada balok maupun portal hanya bisa diselesaikan dengan metoda analitis (untuk struktur nomor 2 dan 4 di atas).
Penyelesaian dengan metoda grafis : 1)
21
HA=1.5t
t 1 3 . 2 A = R A V P
t 9 2 . 2 = B V
g a r i s k e r j a R A
2 to n
n a b e b n a t l u s e r a j r e k s i r a g
B V a j r e k s i r a g
3 t o , n 6 0 d e r a j a t P 1 = 2 to n P
P d = 2 e r 3 a t j a o t n , 6 0
Prinsip yang digunakan adalah menyusun gaya dan menguraikan gaya. Dua beban yang bekerja dijumlahkan dulu menjadi satu
22
gaya beban (P), selanjutnya gaya tersebut diuraikan menjadi 3 gaya reaksi perletakan (VA, HA dan VB). Karena prinsip menguraikan gaya yaitu satu gaya hanya bisa diuraikan dalam dua arah, maka gaya VA dan HA dijumlahkan dulu menjadi RA. Yang penting diperhatikan disini adalah mencari letak resultan gaya beban, garis kerja reaksi di rol B yaitu VB dan garis kerja reaksi di sendi A yaitu RA. Letak resultan gaya beban, karena hanya ada dua beban, tentu letaknya adalah diperpotongan garis kerja P1 dan garis kerja P2, sedang arahnya sesuai dengan arah resultan beban P. Selanjutnya, ditarik garis kerja resultan beban P hingga memotong garis kerja reaksi di rol VB, dari titik potong yang didapat ditarik ke titik A, maka diperoleh garis kerja reaksi di sendi RA. Selanjutnya, resultan beban P diuraikan ke dalam dua arah yaitu VB dan RA (namun berlawanan arah, karena merupakan reaksi dari beban). Selanjutnya RA diuraikan kembali dalam VA dan HA. Penyelesaian dengan cara analitis : 1) 2.6t d 3 e r o t a j n a t 6 0 2 to n
1.5t
HA
VA
2m
3.5 m
2.5m
VB
Kita gunakan tiga persamaan keseimbangan statika yaitu :
H = 0
HA – 1.5 ton = 0 HA = 1.5 t (kekanan) MA = 0 2tx2m(searah jarum jam) + 2.6tx5.5m(searah jarum jam)-VBx8m(berlawanan arah jarum jam)=0 4 tm+14.3 tm-8VB m = 0 VB = 2.29 t (ke atas) V = 0 VA – 2t – 2.6t + VB = 0 VA – 2t – 2.6t + 2.29 t = 0 VA = 2.31 t (ke atas) Dalam menggunakan persamaan M=0, selain digunakan MA=0 bisa juga digunakan MB=0, dan disini akan didapatkan nilai VA terlebih dahulu.
23
3) Penyelesaian secara grafis :
HB=3t V
B = 3 .5
P
t
P1=3t P 2 = 2
V A = 2 . 5 t
t/ m x
P 3 m = 6 t P 2 = 2 t/ m x 3 m = 6 t
D kaku E
B
HB=3t
V
P B =
m 2 3 .5 t
C P1=3t
m 3
A V A = 2 . 5 t
3m
3m
Penyelesaian secara analitis :
H = 0
P1 –HB = 0 3 t - HB = 0 HB = 3 ton (kekiri) VAx6m(searah jarum jam) – P1x2m(berlawanan jarum MB=0 jam) – 2t/mx3mx1.5m(berlawanan jarum jam) = 0 6VA m – 6 tm -9 tm = 0 VA = 2.5 t (ke atas) V = 0 VA – 2t/mx3m + VB = 0 2.5 t – 6 t + VB = 0 VB = 3.5 t (ke atas)
24
2) q=2ton/m
P=2t,45derajat 1 .4 2
HA=1.42ton
1.42t
MA=7.57tm
1.5m
t
2.25m
VA=4.42ton
H=0
HA – 1.42 t =0 HA = 1.42 t (ke kanan) VA –2t/mx1.5m – 1.42t = 0 V=0 VA – 3 – 1.42 t = 0 VA = 4.42 t (ke atas) MA = 0 - MA(berlawanan jarum jam) + 2t/mx1.5mx0.75m (searah jarum jam) + 1.42tx3.75m(searah jarum jam) = 0 -MA+2.25tm+5.32tm = 0 MA = 7.57 tm (berlawanan jarum jam) 4) q = 2t/m HA=4 ton A
C kaku
B
MA=8 tm
2 m
VA=8 ton D
4m
H = 0
4 ton
2m
4t – HA = 0 HA = 4 ton (kekiri) -MA(berlawanan jarum jam) + 2t/mx4mx2m(searah MA=0 jarum – 4tx2m(berlawanan jarum jam) = 0 -MA + 16 tm -8 tm = 0 MA = 8 tm (berlawanan jarum jam) V = 0 VA – 2t/mx4m = 0 VA = 8 t (ke atas)
25
V. GAYA-GAYA DALAM
Di awal, kita telah membahas gaya-gaya luar yaitu berupa beban-beban dan reaksi-reaksi perletakan. Selain gaya-gaya luar , dimana gaya-gaya luar tersebut harus berada dalam keseimbangan (beban seimbang dengan reaksi perletakan), kita juga mengenal gaya-gaya dalam yaitu gayagaya yang bekerja di dalam penampang elemen struktur. Karena gaya-gaya dalam bekerjanya di dalam penampang elemen struktur, maka gaya-gaya dalam tersebut hanya muncul ketika penampang elemen struktur tersebut dipotong. Untuk mencari besarnya gaya-gaya dalam tersebut, tetap berlaku keseimbangan gaya, sehingga gaya-gaya dalam tersebut bisa dihitung. Ada 3 jenis gaya dalam, yaitu : 1. Gaya normal, N 2. Gaya Lintang, D 3. Momen, M
V.1. Gaya normal, N Gaya normal,satuannya ton,kg,Newton dan garis kerjanya searah dengan garis netral penampang. Pada balok, gaya normal adalah gaya dalam yang arahnya horisontal, sedang pada kolom, gaya normal adalah gaya dalam yang arahnya vertikal. V.2. Gaya lintang, D Gaya lintang, satuannya adalah ton,kg,Newton dan garis kerjanya melintang terhadap garis netral penampang. Pada balok, gaya lintang adalah gaya dalam yang arahnya vertikal, sedang pada kolom, gaya lintang adalah gaya dalam yang arahnya horisontal. Dalam hal ini, kita berbicara dalam bidang 2 dimensi yaitu sumbu XOY, jadi tidak kita bahas beban yang arahnya tegak lurus bidang XOY, yaitu beban yang bekerja arah depan-belakang. V.3. Momen,M Momen, satuannya ton.m, kg.m, Newton.m dan arahnya memutar searah jarum jam atau berlawanan jarum jam. Pada balok, momen mengakibatkan balok tersebut melentur ke atas-bawah. Sedang pada kolom, momen mengakibatkan balok tersebut melentur ke kiri-kanan. Dalam hal ini yang kita bahas,
26
adalah Mz yaitu momen yang dengan bidang 2 dimensi XOY.
memutari
sumbu
z
jadi
searah
Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut! q=3t/m garis netral balok
E 1 m
B
D
C
t 5 . 4 = B V
P1=3t 2 .5 m
2 m g a ri s n
1m e tr
2m
1m
HA=3t
A a l k o lo m
t 5 . 1 = A V
Carilah gaya-gaya dalam di potongan C dan D ! Di potongan C : q=3t/m
D=0
1m M=6tm N=1.5t
2m
1m
t 5 . 4 = B V
N=1.5t M=6tm CD=0
2 m
P1=3t 2 5 . m
HA=3t t 5 . 1 = A V
Cara menghitung gaya-gaya dalam di potongan C yaitu dengan menggunakan tiga persaman keseimbangan statika sebagai berikut, lihat potongan AC !
H=0, digunakan untuk mencari gaya lintang D,yaitu : -HA +P+ DC = 0
27
-3t+3t+ DC = 0 DC = 0 ton
V=0, digunakan untuk mencari gaya normal N,yaitu : VA – NC = 0 1.5t– NC = 0 NC = 1.5 ton ke bawah
Mc=0, digunakan untuk mencari momen M, yaitu : HAx2.5(searah jarum jam)-Px0.5(berlawanan jarum Jam)+ MC =0 3tx2.5m-3tx0.5m + MC =0 MC = -6 tm (berlawanan arah jarum jam) Cara yang sama, bisa juga dihitung dari potongan CB, sebagai berikut, namun arah gaya-gaya dalam berlawanan arah dengan yang diperoleh di atas :
V=0 H=0 MC=0
NC – 3t/mx2m + 4.5t = 0 NC = 1.5 ton (ke atas) DC = 0 MC + 3t/mx2mx2m – 4.5tx4m =0 MC = 6 tm (searah jarum jam)
Disini, kita katakan bahwa momen di C adalah momen positip, menyebabkan kolom AE melentur ke kanan. Di potongan D :
q=3t/m garis netral balok
NdiD=0
1
D m
P1=3t ri s e
n tr
1m o
HA=3t
a l k lo m
ND=0
t 5 . 4 = B V
a
m
t 5 . 4 = D
g
2
H=0
t 5 . 4 M diD=4.5tm = D
t 5 . 1 = A V
2m
1m
28
V=0
MD=0
Dari kiri : 1.5t –3t/mx2m + DD = 0 DD = 4.5t ke atas Dari kanan : -DD + 4.5t = 0 DD = 4.5 t ke bawah Dari kiri : 1.5tx3m +3tx3m – 3tx1m –3t/mx2mx1m – MD=0 4.5tm + 9tm – 3tm – 6tm – MD =0 MD = 4.5tm (berlawanan jarum jam) Dari kanan : MD – 4.5tx1m = 0 MD = 4.5tm (searah jarum jam)
Disini, kita katakan bahwa momen di D adalah momen positip dan menyebabkan balok EB melentur ke bawah. Gaya-gaya dalam tersebut terdapat di seluruh penampang struktur, maka dalam setiap analisa struktur, selain diminta mencari reaksi-reaksi perletakan, juga diminta mencari semua gaya-gaya dalam baik normal, lintang maupun momen di seluruh penampang elemen struktur dalam bentuk diagram N,D dan M. Untuk soal di atas, untuk menggambar diagram N, D dan M nya , karena terdiri dari dua elemen struktur yaitu balok dan kolom, maka terlebih dahulu harus dibuat FREEBODY, sebagai berikut. q=3t/m M=6tm N=0 t 5 . 1 = N
M=6tm
t 5 . 1 = D
1m
2m
1m
t 5 . 4 = B V
D=0
1 m
P1=3t 2 m
HA=3t t 5 . 1 = A V
Dan, gambar diagram N,D dan Mnya adalah sebagai berikut :
29
Diagram Normal, N
Diagram Lintang, D
Diagram Momen, M
D=1.5 t
M=6 tm
N=0 D=3 t
M=6 tm
D=0 dix=1.5m
M=6 tm
M=4.5 tm
M=7.5 tm M=7.9 tm
N tekan 1.5 t D=4.5 t
D=3 t
Perjanjian tanda untuk sebagai berikut :
Diagram N tekan
diagram
Diagram N tarik
Diagram M positip
N,D
dan
M
tersebut
Diagram D positip
Diagram M negatip
adalah
Diagram D negatip
30
VI. LATIHAN SOAL 1)
Selesaikan struktur balok berikut ini, hitung reaksi perletakan dan gambar diagram N,D dan Mnya ! 100kg
200kg
150kg
30o
A C 2m
D 2m
B
E 3m
2m
Penyelesaian reaksi perletakan dengan cara grafis :
31
1) HA=173kg g k 7 6 1 = A V g k 3 8 1 = B V
P
3 1
P
4
2
1
1
2 P
2 1
P1=100kg
4
HA=173kg
A C
g k 7 6 1 = A V
2m
2m
B
E
D
3m
Gambar diagram N,D dan Mnya :
2m
P
3
P2=200kg, 30derajat P3=150kg
g k 3 8 1 = B V
3
P
32
100kg
100kg
200kg 30o
A HA=173kg
150kg
C
g k 7 6 1 = A V
2m gD=+167kg k 7 6 1 = A V
D
173kg
2m
3m
B
E
2m
g k 3 8 1 = B V
P1=100kg D=+67kg P2V=100kg D=-33kg
N tekan diAD = 173kg
P3=150kg
g k 3 8 1 = B V
D=-183kg MA=0kgm
MB=0kgm
MC=+334kgm
ME=+368kgm MD=+468kgm
Gaya normal, hanya ada di AD yaitu tekan sebesar 173 kg Gaya lintang, seperti tergambar. Momen : MA = 0 MC dihitung dari kiri = 167kgx2m = 334 kgm searah jarum jam, momen positip. MD dihitung dari kiri = 167kgx4m – 100kgx2m = 468 kgm searah jarum jam, momen positip. ME, dihitung dari kiri = 167kgx7m-100kgx5m-150kgx3m =
2)Selesaikan struktur balok dengan perletakan jepit-bebas di
33
bawah ini ! Cari bidang N,D dan M !
reaksi-reaksi
perletakan
dan
gambar
P1=4ton
q=2t/m A B
C
4m
D
3m
P2=3t
6m
Penyelesaian : Cara analitis : P1=4ton
q=2t/m
MA=136tm HA=3t A B VA=16t
H = 0
MA=0
4m
V = 0
C 3m
D
P2=3t
6m
P2 – HA = 0 HA = 3 ton (kekiri) -MA(berlawanan jarum jam) + 4tx4m(searah jarum jam) + 2t/mx6mx10m(searah jarumjam) = 0 -MA + 16 tm -120 tm = 0 MA = 136 tm (berlawanan jarum jam) VA – 4t - 2t/mx6m = 0 VA = 16 t (ke atas)
34
Gambar bidang N,D dan M nya : P1=4ton
q=2t/m
MA=136tm HA=3t A B VA=16t
4m
C
D
3m
P2=3t
6m
Normal tarik 3t di AD D di AB=16t
4 t
D di BC=12t
1 6 to n
M di A=-136tm
M di B=-72tm M di C=-36tm
3). Selesaikan struktur balok , dengan perletakan sendi-rol dan memiliki cantilever seperti tergambar berikut ini ! P=3t
A
q=2t/m
45o C 2m
D
B 4m
2m
35
Penyelesaian reaksi cara grafis : Q=2t/mx2m=4t P=3t
A
q=2t/m
VB=5.37t
45o C
D
B
2m
4m
2m Ptotal
P=3t
RA
VA=0.75t HA=2.12t
Ptotal Q=4t
Penyelesaian Bidang N,D dan M, cara analitis : P=3t
Pv=2.12t q=2t/m
45o
A
Ph=2.12t C
HA=2.12t VA=0.75t
2m
D
B 4m
2m
VB=5.37t
Ntarik=2.12t
DB=+4.0t
DA=0.75t VB=5.37t
Pv=2.12t DC=-1.37t
DD=0 t MB=-2x2x1=-4tm
MA=0tm MD=0tm
MC=+0.75x2=+1.5tm
36
4).Selesaikan struktur portal berikut ini ! P1=7.07t q=4t/m
45o E
C
D 4m
2 m
4m P2=3t
B 2 m
A
Penyelesaian : Pv=5t
P1=7.07t q=4t/m
45o E Ph=5t
C
D Q=4t/mx4m=16t 4m
2 m
4m P2=3t
B 2 m
HA=5t-3t=2t
A MA=5x8+5x4+16x2-3x2=86tm
VA=5t+16t=21t
Freebody :
37
Pv=5t
E
Q=4t/mx4m=16t
4m
Nc=21t
Mc=72tm C Nc=5t Mc=72tm
D
Ph=5t
Dc=21t
Dc=5t 2 m
4m B
P2=3t
2 m
HA=2t
A
MA=86tm
VA=21t
Diagram N,D dan Mnya : N tarik = 5 t
N te k a n = 2 1 t
DCkanan=-5t DE=-5t DCkiri=-21t
DBkanan=-2t
