Habla de ejemplos de sistemas dinámicos cotidianosDescripción completa
Una comparación entre los sistemas continuos y los sistemas discretos con miras a su empleo en los Métodos de elementos finitos.Descripción completa
Descripción: operaciones de tensores
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Descripción: 3 VIBRACIONES (SISMOS)
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Sistemas de Control Continuos y Discretos - Carlos ValdiviaFull description
Vibracione ibraciones s en sistema sistemas s conti continuos: nuos: 1. Soluci olución ón mediante mediante re reducció ducción n a un modelo de 1 gra grado do de liberta libertad. d. 2. Solució Soluc ión n mediante el Mé Méto todo do de Rayl yle eig igh, h, est ste e métod método o utili uti liz za do dos s premisas básicas: 2.1 a asum sume e una defor deformación mación en vibr v ibra ació ción n de d el sist s iste ema conocid cono cida a. 2.2 apl plic ica a cons co nsid ide eracio raciones nes energétic energética as pa p ara determi determinar nar la frecuencia fundame fun damental ntal de vibración del siste sist ema. Ejemplo: viga simplemente apoyada con carga concentrada P en la mitad de su luz
l
1. Solució olución n media mediante nte re reducción ducción a un mode modelo de 1 grado de liberta lib ertad. d.
deformación estática E I
δ est
=
Pl
48 EI
(= y max ) Deflexión estática máxima
mg = k δ est
Módulo de elasticidad Coeficiente de inercia
3
↓ ω n
=
k m
=
g δ est
=
48 EIg Pl
3
= 6.9282
EIg Pl
3
Vibraciones en sistemas continuos: Ejemplo: viga simplemente apoyada con carga concentrada P en la mitad de su luz 2. Solución mediante el Método de Rayleigh, este método utiliza dos premisas básic as: 2.1 adopta una deformación del sistema en vibración como conocida. 2.2 aplica consideraciones energéticas para determinar la frecuencia fundamental de vibración del sistema.
E cmax =
Energía cin ética máxima:
1P 2 g
2 y& max
Energía potencial para este si stema es la energía elásti ca de deformación por f lexión pur a y plana:
Deformación por flexión pu ra y plana:
y = y max
max
E p
2 3 3 xl − 4 x
y ′′ = − y max
= =
l3
1 2
∫
2 24 2 EI y max
3l
6
l
max c
E
= E
max p
y& max = ω n y max
x
3
l/2
0
1P 2g
ω n
l/2
0
l
24 x 3
∫
2 EI y ′′ dx =
=
EI ( y max
24 x l
3
) 2 dx
2
= 24
EI y max l
3
2
y&
2 max
= 24
48 EIg Pl
3
EI y max l
3
= 6.9282
EIg Pl
3
l
Ejemplo: viga simplemente apoyada bajo peso propio
w
(peso por unidad de longitud)
Solución m ediante el Método de Rayleigh considerando como deformada las tres siguientes aproximaciones: 1. elástica bajo carga concentrada en la mit ad de la luz.
y = ymax
2. elástica bajo carga distribuida.
y = y max
3. primer modo de vibración (exacta).
2 3 3 xl − 4 x 3
l 16 x 4 − 2lx 3 + l 3 x 5
l
y = y max sen(
π x
l
4
)
1. Solución considerando deformación elástica bajo c arga concentrada en la mitad de la luz. 1w 2 dE c = y& dx Energía cinética de un dm=w/g dx 2 g 2 3 3 xl − 4 x Considerando que la velocidad puede expresarse como: y& = y& max 3 l
Resulta:
max c
E
=2
1 2
l/2
w
0
g
∫
( y& max
3 xl 2 − 4 x 3 l3
2
) dx = 2
w y& max 16 gl 6
7
x − 7
24l 2 5
x + 5
9l 4 3
l/2
x
=
3 0
17 35
2
wl
y& max
2g
Por equivalencia de la energía para una carga concentrada en el medio de la luz, puede interpretarse:
17 35
wl
como el valor de la carga concentrada equivalente al peso propio distribuido,
por lo que el valor de la frecuencia propia se obtiene como:
ω
=
48 EIg
=
48 EIg
= 9 941
EIg
2. Solución cons iderando deformación elástica bajo carga distribuida. 1w 2 dE = y& dx c Energía cinética de un dm=w/g dx 2 g y = y max
Considerando que la velocidad queda expresada como:
16 x 4 − 2lx 3 + l 3 x 5
l
4
Resulta: max c
E
=
1 2
l
w
0
g
∫
( y& max
16 x 4 − 2lx 3 + l 3 x 5
l
4
) dx = ( 2
16 5
2
)
2
w y& max 1
2 gl
8
9
l
4l 2
l
3
4l 4
l
l
6
x − x + x + x − x + x 2 7 3 5 3 9
8
7
6
5
=
3 0
2
0.50387 wl
y& max
2g
Energía potencial para este sistema es la energía elástica de deformación por flexión pura: max
E p
=
1
2∫
EI y ′′ dx = 2
l
1
2∫
l
0
EI ( ymax
16 5
x − lx 2
12
l
4
2
) 2 dx =
2
16 12 EI y 2 8
25 l
2 max
1 5
x − 5
1l 2
x + 4
l
2
24.576 max c
Siendo: E
EI ymax l
3
= E
max p
con: y& max = ω n y max
resulta:
ω n
= 9.87666
EIg wl
4
l
2
3
x
=
3 0
3. Solución considerando deformación coincidente al primer modo de vibración (exacta). 1w 2 dE = y& dx c Energía cinética de un dm=w/g dx 2 g π x = ( ) y y sen & & Considerando que la velocidad queda expresada como: max l
Resulta:
max c
E
=
1
l
w
0
g
2∫
( y& max sen(
π x
l
2
wl y& max
)) dx = 2
4π g
Energía potencial para este sistema es la energía elástica de deformación por flexión pura: max p