mecanica de materiales

Estado de de esf esfuer erzo zo plano plano Ing. Norber Norberto D. D. Ñique Ñique G.

Estado de esfuerzo plano Representación del estado de esfuerzo plano

El estado de esfuerzo en un punto puede describirse en un   número  infinito  de maneras en la que son todas equivalentes 

Sea el estado de esfuerzo para un elemento de espesorunitario mostrado enla figura. Una representación alternativa del estado de esfuerzos en el mismo punto puede darse sobre una cuñainfinitesimal con unángulo α = 22½º. Determinar: (a)¿Cuáles son los esfuerzos que actúan sobre el plano AB de la cuña para mantener al elemento en equilibrio?

 ABde área de 1 m2  Área del planoAC: 1 m2 x cos  = 0.924 m2  Área del planoAC: 1 m2 x sen  = 0.383 m2

F1 F2 F3 F4 FN  N

FS 

= = = =

3 2 2 1

x 0.924 x 0.924 x 0.383 x 0.383

= = = =

2.780 MN 1.850 MN 0.766 MN 0.383 MN

= F1 cos  – F2 sen  – F3 cos  + F4 sen  = 2.78( 0.924) – 1.85(0.383) – 0.766(0.924) + 0.383(0.383) = 1.29 MN

S = F1 sen  – F2 cos  – F3 sen  + F4 cos  = 2.78( 0.383) – 1.85(0.924) – 0.766(0.383) + 0.383(0.924) = 2.12 MN

Las fuerzas así determinadas N  y S  actúan sobre el plano definido por AB, que se supuso inicialmente con una área 1m2. Sus signos positivos indican que sus direcciones supuestas se escogieron correctamente. Dividiendo esas fuerzas entre el área en que actúan, seobtienenlosesfuerzosque actúansobre el planoAB: = 1.29 MPa τα = 2.12Mpa

σα

y que actúan en la dirección mostrada.

El área de la sección transversal inclinada esA/cos. Por tanto: El esfuerzo normal   y el esfuerzo cortante , están dados por las dos ecuaciones siguientes: σθ



 Pcosθ   P   cos 2θ   A  A cosθ 

τθ



 Psenθ  P    senθ  cosθ   A  A cosθ 

σ θ 90

τ θ 90





 Psenθ  P   sen 2θ  A  A  senθ

 P cos θ  P   senθ cos θ  A  A  senθ

Transformaciones de esfuerzos en problemas bidimensionales

σ  y '



σ  x

 σ  y 2



σ  x

 σ  y 2

cos 2θ

 τ  xy sen2θ

σ  x '

 σ  y '  σ  x  σ  y

La manera en que varían los esfuerzos normales y cortantes se presenta en la figura, que es una grafica de σx´ y τx´y´ versus el ángulo θ. La grafica está trazada para el caso particular σy = 0.2σx y τxy = 0.8 σx. En ella vemos que los esfuerzos varían de modo continuo conforme la orientación del elemento cambia. En ciertos ángulos, el esfuerzo normal alcanza un valor máximo o mínimo; en otros, se vuelve cero. De forma similar, el esfuerzocortante tiene valores máximo y mínimo y cero enciertos ángulos.

Esfuerzos principales en problemas bidimensionales σ  x  σ  y σ  x '  2 sen 2θ  2τ  xy cos 2θ  0 θ 2

Esfuerzos cortantes máximos en problemas bidimensionales

Circulo de Mohr para problemas bidimensionales Las ecuaciones básicas de transformación, serán reexaminadas para interpretarlas gráficamente, con ello se persigue dos objetivos. Primero, al interpretar gráficamente esas ecuacionessetendrá una mejor idea del problema general de la transformación del esfuerzo. En segundo lugar, con ayuda de la construcción gráfica puede obtenerse una solución más rápida delos problemasdetransformacióndeesfuerzos. σ  x '



τ  x ' y '

σ  x



 σ  y 2

σ  x



 σ  y 2

σ  x

 σ  y 2

cos 2θ

 τ  xy sen 2θ

sen 2θ  τ xy cos 2θ

σ  x  a   τ 2

2

'

2

2

σ  σ  y      σ  σ  y    σ  x '   x   τ 2 x ' y '    x   τ  xy 2 2        

a  OC  

b   R 

σ  x

 x ' y '

 b2

 σ  y 2



σ  x

 σ  y 2

 τ 2

2

xy

Un número infinito de posibles estados de esfuerzo dependientes del ángulo θ   están definidos por el círculo de esfuerzos. Por tanto, pueden hacerse las siguientes importantes observaciones relativas al estado de esfuerzo en un punto con base en el círculo deMohr: 1. El esfuerzo normal máximo posible es σ1; el mínimo es σ2. Ningún esfuerzo cortante existe junto con cualquiera deesos esfuerzos principales. 2. El esfuerzo cortante máximo  τ máx es numéricamente igual al radio del círculo, es decir (σ1  - σ2)/2. Un esfuerzo normal igual a (σ1 + σ2)/2 actúa sobre cada uno de losplanos de esfuerzo cortantemáximo. 3. Si  σ 1 = σ2, el círculo de Mohr degenera en un punto, por lo que ningún esfuerzo cortante se desarrolla en absoluto enel plano x-y. 4. Si,  σ x + σy = 0, el centro del círculo de Mohr coincide con el origen de las coordenadas σ-τ y entonces existe el estado de cortante puro. 5. La suma de los esfuerzos normales sobre dos planos mutuamente perpendiculares cualquiera es invariable o invariante; es decir: σx + σy = σ1 + σ2 = σx’ + σy’

En el primer procedimiento se muestran claramente los planos físicos sobre los que actúan los esfuerzos transformados; en el segundo, la deducción de la transformación del esfuerzo es más sencilla, aunque la determinación de la dirección del esfuerzo transformado es algo menos conveniente. Escoger un métodou otro es asunto de preferencia. Método 1:

Método 2:

Bibliografía BIBLIOGRAFIA (1)

“Introduccióna la deformaciónplástica”. . Ulises H. Ladera. 12-20, págs.

(2)

“Mecánica deSólidos”. Egor P. Popov”. 481-495págs.. Dr. Ing. Norberto D. Ñique G.