5 Esfuerzos Combinados.
INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO.
Cuarto Semestre.
Ing. En Sistemas Automotrices.
Mecánica De Materiales.
Unidad 5. Esfuerzos Combinados. Presenta:
Oscar Hernández Cervantes. Brenda Rodríguez Abustos. 1 Ing. En Sistemas Automotrices. 9:00 hrs.
Horario. 8:00 a
5 Esfuerzos Combinados.
Apizaco, Tlaxcala Mayo 2016
5.1Transformación de esfuerzo plano, fórmulas de transformación. Las condiciones de esfuerzo que encontramos en los capítulos anteriores, cuando analizamos barras en tensión y compresión, los ejes en torsión y las vigas en flexión son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano. Para explicarlo consideraremos el elemento de esfuerzo que se muestra en la figura
Este elemento tiene tamaño infinitesimal y se puede dibujar como un cubo o bien como un paralelepípedo rectangular. Los ejes xyz son paralelos a los bordes del elemento y sus caras se designan según las direcciones de sus normales hacia fuera. Por ejemplo, a la cara derecha del elemento se le refiere como la cara x positiva y la cara izquierda (oculta al observador) cara x negativa. De manera similar, la cara superior es la cara y positiva y la cara frontal es la cara z positiva. Cuando el material esta en esfuerzo plano en el plano xy, solo las caras x y y del elemento están sometidas a esfuerzos y todos actúan paralelos a los ejes x y y, como se muestra en la figura anterior. Esta condición de esfuerzo es muy común debido a que esta presente en la superficie de cualquier cuerpo sometido a esfuerzo, excepto en los puntos donde actúa la carga externa sobre la superficie. Cuando el elemento que se muestra en la figura 2 Ing. En Sistemas Automotrices. 9:00 hrs.
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5 Esfuerzos Combinados. anterior esta ubicado en la superficie libre de un cuerpo, el eje z es normal a la superficie y la cara z esta en el plano de la superficie. Los símbolos para los esfuerzos que se muestran en la figura anterior tienen los siguientes significados. Un esfuerzo normal s tiene un subíndice que identifica la cara sobre la cual actúa; por ejemplo, el esfuerzo sx actúa sobre la cara x del elemento y el esfuerzo sy actúa sobre la cara y del elemento. Como el elemento tiene un tamaño infinitesimal, los esfuerzos normales que actúan sobre las caras opuestas son iguales. La convención de signos para los esfuerzos normales es la usual, es decir, la tensión es positiva y la compresión es negativa. Un esfuerzo cortante t tiene dos subíndices; el primero denota la cara sobre la cual actúa el esfuerzo y el segundo da la dirección sobre esa cara. Así entonces, el esfuerzo taxi actúa sobre la cara x en la dirección del eje y y el esfuerzo tyx actúa sobre la cara y en la dirección del eje x.
5.2Círculo de Mohr para transformación de esfuerzo plano. El circulo de Mohr se puede trazar en una variedad de formas, dependiendo de cuales esfuerzos se conozcan y cuales se deban encontrar. Para nuestro fin inmediato, que es mostrar las propiedades basicas del circulo, supongamos que conocemos los esfuerzos sx, sy y taxi que actúan sobre los planos x y y de un elemento en esfuerzo plano
Como veremos, esta informacion es suficiente para trazar el círculo. Luego, ya con el trazo del circulo podemos determinar los esfuerzos sx1, sy1 y tx1y1 que actúan sobre un elemento inclinado.
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Tambien podemos obtener los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos a partir del círculo. Si se conocen sx, sy y taxi, el procedimiento para trazar el círculo de Mohr es como se indica
1. Trace un conjunto de ejes coordenados con sx1 como abscisa (positiva hacia la derecha) y tx1y1 como ordenada (positiva hacia abajo). 2. Ubique el centro C del circulo en el punto que tenga las coordenadas sx1 = aspro y tx1y1 = 0 3. Ubique el punto A, que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara x del elemento que se muestra en la figura a trazando sus coordenadas sx1 = sx y tx1y1 = taxi. Observe que el punto A en el circulo corresponde a u = 0. También observe que la cara x del elemento (figura a) está identificada “A” para mostrar su correspondencia con el punto A en el circulo. 4. Ubique el punto B, que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara y del elemento que se muestra en la figura a, trazando sus coordenadas.
5.3Estado general de esfuerzo. 4 Ing. En Sistemas Automotrices. 9:00 hrs.
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5 Esfuerzos Combinados. Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano muestran que los esfuerzos normales sx1 y los esfuerzos cortantes tx1 y1 varían continuamente conforme se giran los ejes a través de un Angulo u. Esta variación se representa
Para una combinación particular de esfuerzos. En la figura observamos que los esfuerzos normales y los cortantes alcanzan valores máximos y mínimos en intervalos de 90°. Estos valores máximos y mínimos suelen requerirse para fines de diseño. Por ejemplo, las fallas por fatiga de estructuras como máquinas y aeronaves a menudo se asocian con los esfuerzos máximos, y de aquí que sus magnitudes y orientaciones se deban determinar como parte del proceso de diseño
Esfuerzos principales
Los esfuerzos normales máximo y mínimo, denominados esfuerzos principales, se pueden determinar a partir de la ecuación de transformación para el esfuerzo normal sx1 al derivar sx1 con respecto a u y al igualar a cero, obtenemos una ecuación para la cual podemos encontrar los valores de u para los que sx1 es un máximo o un mínimo. La ecuación para la derivada es. 5 Ing. En Sistemas Automotrices. 9:00 hrs.
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De donde obtenemos
El subíndice p indica que el Angulo up define la orientación de los planos principales, es decir, los planos sobre los que actúan los esfuerzos principales. Se pueden encontrar dos valores del Angulo 2up en el intervalo de 0 a 360°. Estos valores difieren en 180°, con un valor entre 0 y 180° y el otro entre 180° y 360°. Por tanto, el Angulo up tiene dos valores que difieren en 90°, un valor entre 0 y 90° y el otro entre 90° y 180°. Los dos valores de up se conocen como los ángulos principales. Para uno de estos ángulos el esfuerzo normal sx1 es un esfuerzo principal máximo; para el otro, es un esfuerzo principal mínimo. Dado que los ángulos principales difieren en 90°, observamos que los “esfuerzos principales ocurren sobre planos mutuamente perpendiculares”.
5.4Cilindros de pared delgada. El circulo de Mohr puede trazarse a partir de cualquiera de dos formas. En la primera trazamos el esfuerzo normal sx1 positivo hacia la derecha y el esfuerzo cortante tx1y1 positivo hacia abajo, como se muestra en la figura
La ventaja de trazar los esfuerzos cortantes positivos hacia abajo es que el Angulo 2u en el circulo de Mohr será positivo cuando vaya en sentido
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5 Esfuerzos Combinados. contrario a las manecillas del reloj, lo que concuerda con la dirección positiva de 2u en la deducción de las ecuaciones de transformación. En la segunda forma tx1y1 se traza positivo hacia arriba pero el Angulo 2u ahora es positivo en el sentido de las manecillas del reloj
Que es opuesto a su dirección positiva usual. Las dos formas del circulo de Mohr son matemáticamente correctas y cualquiera puede utilizarse. Sin embargo, es mas fácil visualizar la orientación del elemento de esfuerzo si la dirección positiva del Angulo 2u es la misma en el circulo de Mohr y en el elemento. Además, una rotación contraria a la de las manecillas del reloj concuerda con la regla de la mano derecha acostumbrada para la rotación. Por tanto, elegiremos la primera forma del circulo de Mohr (figura a) donde
en
“el esfuerzo cortante positivo se traza hacia abajo y un ángulo positivo 2u se traza en sentido contrario al de las manecillas del Reloj.”
5.5Círculo de Mohr en el análisis tridimensional de esfuerzo. Las ecuaciones de deformación unitaria presentadas en esta sección se deducen únicamente de la geometría, como ya se destacó. Por tanto, se aplican a cualquier material, ya sea lineal o no lineal, elástico o inelástico. Sin embargo, si se quieren determinar los esfuerzos a partir de deformaciones unitarias, se deben tomar en cuenta las propiedades del material. Si el material sigue la ley de Hooke, podemos encontrar los esfuerzos empleando las ecuaciones apropiadas de esfuerzo-deformación unitario. Como primer ejemplo, suponga que el material esta en esfuerzo plano y que conocemos las deformaciones unitarias x, y gy, quiza de mediciones con 7 Ing. En Sistemas Automotrices. 9:00 hrs.
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5 Esfuerzos Combinados. deformimetros. Entonces podemos utilizar las ecuaciones esfuerzodeformación unitaria para esfuerzo plano para obtener los esfuerzos en el material. Ahora considere un segundo ejemplo. Suponga que determinamos las tres deformaciones unitarias principales 1, 2 y 3 para un elemento de material (si el elemento esta en deformación unitaria normal, entonces 3 = 0). Al conocer estas deformaciones unitarias podemos determinar los esfuerzos principales empleando la ley de Hooke para esfuerzo triaría. Una vez conocidos los esfuerzos principales, podemos encontrar los esfuerzos sobre planos inclinados empleando las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano.
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