Mecánica de Fluidos I

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1

JOSE CUAUHTEMOC RUBIO ARANA [email protected] FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA, ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

Salamanca, Gto., enero 19 del 2006.

Rubio Arana J.C. 19/01/05

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2 UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, ELECTRICA Y ELECTRONICA

PROGRAMA DE: IMI.12.09 MECANICA DE FLUIDOS I TRIMESTRE DE INVIERNO DEL 2006 PROFESOR: M. en I. J. CUAUHTEMOC RUBIO ARANA BIBLIOGRAFIA: - J.R. Welty, C. E. Wicks Y R. E. Wilson, “ Transferencia de Calor Momento y Masa ”, Edit. LIMUSA S. A. DE C. V. , 1984 * EDICION, Edit. John Wiley Wiley & Sons. - F.M. WHITE, “ Mecanica de Fluidos”, 4a. EDICION, - R. L. Mott, “ Aplied Fluid Mechanics”, 4th Edition, Prentice Hall, 1994. ”, Mc Graw Hill, 1985. - CRANE, “ FECHA ENERO 13 16 18 20 23 25 27 30

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

1.1-1.4, 2.1,2.2 2.3,2.4, PROBLEMAS PROBLEMAS

TAREA 1 TAREA 2

3.1-3.5, 4.1,4.2,4.3, PROBLEMAS PROBLEMAS 5.1,5.2, PROBLEMAS 5.3, 5.4,5.5, PROBLEMAS

TAREA 3 TAREA 4 TAREA5 TAREA 6

FEBRERO 01 03 06 08 10 13 15 17 20 22 24 27

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

PROBLEMAS 6.1,6.2, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS EXAMEN I 7.1-7.5, PROBLEMAS PROBLEMAS 8.1-8.3, PROBLEMAS 9.1-9.3, PROBLEMAS PROBLEMAS 11.1-11.4 PROBLEMAS

TAREA 7 TAREA 8 TAREA 9

MARZO 01 03 06 08 10 13 15 17

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

14.1-14.2 14.3, PROBLEMAS 14.4, PROBLEMAS 14.5, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS

24

HORAS

CAPITULO

TAREAS

TAREA 10 TAREA 11 TAREA 12 TAREA 13

TAREA 14 TAREA 15

EXAMEN II

*texto Forma de evaluación: La calificación final será el promedio de las calificaciones de los dos exámenes mas un punto por tareas y participación o actividad relacionada con la clase. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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2 UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, ELECTRICA Y ELECTRONICA

PROGRAMA DE: IMI.12.09 MECANICA DE FLUIDOS I TRIMESTRE DE INVIERNO DEL 2006 PROFESOR: M. en I. J. CUAUHTEMOC RUBIO ARANA BIBLIOGRAFIA: - J.R. Welty, C. E. Wicks Y R. E. Wilson, “ Transferencia de Calor Momento y Masa ”, Edit. LIMUSA S. A. DE C. V. , 1984 * EDICION, Edit. John Wiley Wiley & Sons. - F.M. WHITE, “ Mecanica de Fluidos”, 4a. EDICION, - R. L. Mott, “ Aplied Fluid Mechanics”, 4th Edition, Prentice Hall, 1994. ”, Mc Graw Hill, 1985. - CRANE, “ FECHA ENERO 13 16 18 20 23 25 27 30

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

1.1-1.4, 2.1,2.2 2.3,2.4, PROBLEMAS PROBLEMAS

TAREA 1 TAREA 2

3.1-3.5, 4.1,4.2,4.3, PROBLEMAS PROBLEMAS 5.1,5.2, PROBLEMAS 5.3, 5.4,5.5, PROBLEMAS

TAREA 3 TAREA 4 TAREA5 TAREA 6

FEBRERO 01 03 06 08 10 13 15 17 20 22 24 27

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

PROBLEMAS 6.1,6.2, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS EXAMEN I 7.1-7.5, PROBLEMAS PROBLEMAS 8.1-8.3, PROBLEMAS 9.1-9.3, PROBLEMAS PROBLEMAS 11.1-11.4 PROBLEMAS

TAREA 7 TAREA 8 TAREA 9

MARZO 01 03 06 08 10 13 15 17

1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5

14.1-14.2 14.3, PROBLEMAS 14.4, PROBLEMAS 14.5, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS

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HORAS

CAPITULO

TAREAS

TAREA 10 TAREA 11 TAREA 12 TAREA 13

TAREA 14 TAREA 15

EXAMEN II

*texto Forma de evaluación: La calificación final será el promedio de las calificaciones de los dos exámenes mas un punto por tareas y participación o actividad relacionada con la clase. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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3

INDICE CAPITULO

PAG.

1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

4

2 ESTATICA DE FLUIDOS

15

3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO

33

4 LEY DE LA CONSERVACION DE LA MASA

34

5 SEGUNDA LEY DE NEWTON

48

6 LEY DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

64

7 ESFUERZO CORTANTE EN FLUJO LAMINAR

82

8 ANALISIS DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL FLUIDO EN FLUJO LAMINAR

89

9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS

101

11 ANALISIS DIMENSIONAL

116

14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS

125


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4

MECÁNICA DE FLUIDOS I 1

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

La transferencia de momento de un fluido es el estudio del movimiento de los fluidos, así como las fuerzas que se originaron. Ley de conservación de masa Segunda ley de Newton Primera ley de la termodinámica

Ecuación de continuidad Ecuación de momento Ecuación de la energía

Fluido Continuo.Continuo.- Sustancia que se deforma que se deforma continuamente en la acción de un esfuerzo cortante.


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5

Continuo.-En ingeniería la mayor parte del trabajo se relaciona con el comportamiento por Continuo.-En lotes por lo que en gran parte de problemas es mejor imaginar un fluido como una distribución continua de materia. Propiedades de un fluido: Cuando un fluido está en movimiento las cantidades que se asocian con el estado y el movimiento del fluido varían de un punto a otro. Variables del fluido en un punto: Densidad ρ =

∆m lim − − − −− > (1.1) ∆V →dV ∆V

Donde: m Masa contenida en un volumen V Volumen

dV Volumen mínimo


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6

Propiedades del fluido y del flujo. Algunos fluidos (como los líquidos) presentan densidades que permanecen constantes con la presión y temperatura y se conocen como INCOMPRESIBLES Más los efectos de la compresibilidad son una propiedad de la situación mas allá del fluido mismo, como por ejemplo el aire a bajas velocidades se describe con las mismas ecuaciones que describen el flujo de agua. Desde un punto de vista externo el aire es un flujo compresible y el agua es incompresible. En lugar de considerarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de compresibilidad de se consideran propiedad de flujo. Esfuerzo en un punto. ∆ Fn

lim ∆A ∆ A→ dA

∆ Fs

lim ∆A ∆ A→ dA

= σ ii − − − −(1.2) = τ ij − − − −(1.3)

Donde: σ ii  Esfuerzo normal τ ij  Esfuerzo cortante

dA Área más pequeña Las fuerzas ejercidas en un fluido son: 1.- Fuerzas que actúan sobre el cuerpo. (Gravedad, fuerzas eléctricas) 2.- Fuerzas superficiales. (Presión, fricción) Presión en un punto de un fluido. Para determinar el esfuerzo normal en un punto a partir de la aplicación de las leyes de Newton, a un elemento del fluido se hace que este tienta a ya que el elemento está en reposo el z=0 y las únicas fuerzas superficiales serán las debidas a esfuerzos normales y gravedad.


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7

PESO DEL ELEMENTO DEL FLUIDO…..W ⎡ N ⎤ W = δ V ⎢ 3 ⎥[m 3 ] => N ⎣m ⎦ ⎡ Kg ⎤ ⎡ m ⎤ N => δ = ρ g ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ m3 ⎣ m3 ⎦ ⎣ s ⎦ 1 W = ρ gV 2 ρ g (∆ x∆ y∆z ) − − − − − −(4) W = 2

PARA UN FLUIDO EN REPOSO: Σ F = 0 − − − − − (5)

En eje x: ∆ Fx − ∆ Fs ⋅ Senθ = 0 − − − − − −(6) ∆ y ∆ Fx − ∆ Fs = 0 − − − − − − − − (7 ) ∆ s

Dividiendo 7 entre y z y tomando como limites V0 ⎡ ∆ Fx ∆ Fs ∆ y ⎤ − ⋅ =0 ⎢ lim ∆ y∆ z ∆s ⎥⎦ ∆V →o ⎣ ∆ y∆ z ⎡ ∆ Fx

∆ Fs ⎤

lim ⎢⎣ ∆ y∆ z − ∆ z∆s ⎥⎦ = 0 − − − − − − − − − (8) ∆V →o

σ xx − σ ss = 0 σ xx = σ ss − − − − − − − − − − − − − (9)


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8

En el eje y: Σ F = 0 ∆ Fy − ∆ Fs ⋅ Cosθ − ∆ Fy − ∆ Fs ⋅

ρ g (∆ x∆ y∆z )

2

= 0 − − − − − −(10)

∆ x ρ g (∆ x∆ y∆z ) − = 0 − − − − − −(11) 2 ∆ s

Dividiendo entre xz y sacando limites cuando V0 ⎡ ∆ Fy ∆ Fs ∆ x ρ g (∆ x∆ y∆ z )⎤ − ⋅ − =0 lim ⎢ ∆ x∆ z ∆ s 2∆ x∆z ⎥⎦ ∆V →o ⎣ ∆ x∆ z ⎡ ∆ Fy ∆ Fs ρ g (∆ y )⎤ − ⋅− =0 lim ⎢ ⎥ x z s z 2 ∆ ∆ ∆ ∆ ⎣ ⎦ ∆V →o − σ yy + σ ss +

ρ g

(0 ) = 0 2 σ yy = σ ss -----------------------(12) Por lo tantoθ no se aparece en las ecuaciones (9) y (12) ya que el esfuerzo normal σ en un punto de un fluido estático no depende de la dirección y por tanto es: UN ESCALAR 1 P = − (σ xx + σ yy + σ zz ) − − − − − − − (13) 3

VARIACIÓN PUNTO A PUNTO DE LAS PROPIEDADES DE UN FLUIDO De acuerdo al principio de continuidad para la transferencia d momento, se UTILIZARAN CAMPOS DE presión, temperatura, velocidad, densidad y esfuerzo. Como ya se vio se ha introducido el campo de gravedad, siendo la gravedad un campo vectorial.


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9

El cambio de presión entre dos puntos cuales quiera dentro de una región se da por: dP Separadas por las distancias dx, dy, y se representan por: dP =

∂ ρ ∂ρ dx + dy − − − − − − − − − −(14) ∂ x ∂ y

En la ecuación anterior las D.P. representan la forma de que la presión cambia a lo largo de los ejes X y Y. Cuando se tiene una trayectoria S en un punto x, y la derivada total es: dP ∂ ρ dx ∂ρ dy = + − − − − − − − − − −(15) ds ∂ x ds ∂ y ds De la figura adyacente:

dx dy , Senα = ds ds Sustituyendo en 15 los resultados anteriores: Cosα =


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10

dP ∂ ρ ∂ ρ cos α + senα − − − − − − − − − (16) = ds dx ∂ y Hay infinidad de trayectorias en el plano X Y, más existen dos trayectorias muy importantes, a saber: a)

dP =0 ds

b)

dP MAXIMA ds

Para el caso, a) 0=

dP =0 ds ∂ ρ

dx

cos α +

∂ ρ senα ∂ y

∂ P ∂ ρ ∂ ρ senα − cos α = senα ; = − ∂ x ∂ P dx cos α ∂ y ∂ y ∂ P dy ∂ x = tg α ; α = dy dP = − ∂ P dx dx ds =0 ∂ y

dy dx

dP =0 ds

= tg α − − − − − − − − − −(17)

P= Constante y dicha trayectoria se le conoce como ISOLINEA b)

dP MAXIMA ds

Para encontrar la dirección donde P es máxima se tiene:

d ⎛ dP ⎞ ⎜ ⎟=0 d α ⎝ ds ⎠ ⎤ ∂ p ∂ p ∂ P d ⎛ dP ⎞ d ⎡ ∂ P cos α + senα ⎥ = − senα + cos α = 0 ⎜ ⎟= ⎢ ∂ y ∂ x ∂ y d α ⎝ ds ⎠ d α ⎣ ∂ x ⎦ Ahora:


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11

tg α dp ds

es ⋅max

cos α

senα dp ds

∂ P ∂ y = − − − − − − − − − (18) ∂ P ∂ x

dp es ⋅max ds

es⋅max

=

∂ P ∂ x

=

2

⎛ ∂ P ⎞ ⎛ ∂ P ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ y ∂ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ⎠ ∂ P ∂ y 2

⎛ ∂ P ⎞ ⎛ ∂ P ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠

2

2

Sustituyendo cosα y senα en la ecuación 16: ⎡ ∂ P ⎢ dP ∂ P ⎢ ∂ x = ⎢ ds ∂ x ⎢ ∂ P 2 ⎛ ∂ P ⎞ 2 ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎣⎢ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠

⎤ ⎡ ∂ P ⎥ ⎢ ⎥ ∂ p ⎢ ∂ y ⎥+ ⎢ 2 ⎥ ∂ y ⎢ ⎛ ∂ P ⎞ 2 ⎛ ∂ P ⎞ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎥= ⎥ ⎥ ⎦⎥

2

⎛ ∂ P ⎞ ⎛ ∂ P ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ 2

2

⎛ ∂ P ⎞ ⎛ ∂ P ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠

2

Factorizando: a2 + b2 a2 + b2 ⋅ = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Por lo tanto: 2

2

dP ⎛ ∂ P ⎞ ⎛ ∂ P ⎞ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ − − − − − − − −(18' ) MAX = ⎜ ds ⎝ ∂ x ⎠ ⎝ ∂ y ⎠ Las ecuaciones (18) y (18’) indican que la máxima derivada direccional es un vector de la forma: ∂ P ∂ P e x + e y ∂ x ∂ y

Donde: e x , e y Son vectores unitarios La derivada direccional a lo largo de la trayectoria de máximo valor se aplicara mucho en análisis de procesos de transferencia y se conoce como Rubio Arana J.C. 19/01/05

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12

∇ → GRADIANTE ∇ P →

∂ P ∂ P ∂ P e x + e y + e z − − − − − − − − − − − − − (19) ∂ x ∂ y ∂ z

Donde: P=P(x,y,z) ∇=

∂ ∂ ∂ e x + e y + e z ∂ x ∂ y ∂ z

SISTEMA DE UNIDADES. -Internacional -Ingles

Kg., m, seg., N lb., ft, s, lbf Slug, ft, s, lbf

PROBLEMAS Problema 1.2.- Encontrar el gradiante de presión en el punto (a,b) cuando el campo de presión está dado por: y x ⎞ ⎛ x P = ρ ∞ v∞2 ⎜ sen sen + 2 ⎟ b a ⎠ ⎝ a Donde: ρ ∞ , v∞ , a, b son constantes ∇ P =

∂ ∂ ∂ Pe x + Pe y + Pe z ∂ x ∂ y ∂ z

⎡⎛ x y x 1 2 ⎞ y 1 ⎞ ⎤ ⎛ x ∇ P = ρ ∞ v∞2 ⎢⎜ sen (0) + sen cos ⋅ + ⎟e x + ⎜ sen cos + o ⎟e y ⎥ a b a a a a b b ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎡ 1 ⎛ y x ⎞ 1 ⎛ x y ⎞ ⎤ ∇ P = ρ ∞ v∞2 ⎢ ⎜ sen cos + 2 ⎟e x + ⎜ sen cos + ⎟e y ⎥ a ⎠ b ⎝ a b ⎠ ⎦ ⎣ a ⎝ b ⎡ 1 ⎛ b a ⎞ b ⎞ ⎤ 1 ⎛ a ∇ P ( a ,b ) = ρ ∞ v∞2 ⎢ ⎜ sen cos + 2 ⎟e x + ⎜ sen cos + ⎟e y ⎥ = a ⎠ b ⎝ a b ⎠ ⎦ ⎣ a ⎝ b

1 ⎡1 ⎤ = ρ ∞ v∞2 ⎢ ( sen1cos1 + 2)e x + ( sen1cos1)e y ⎥ b ⎣a ⎦ De la relación trigonometrica:


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13

sen2 x Sen2x=2senxcosx; senxcosx= 2 Sustituyendo: ⎡ 1 ⎛ sen2 ⎞ 1 ⎛ sen2 ⎞ ⎤ ∇ P a ,b = ρ ∞ v∞2 ⎢ ⎜ + 2 ⎟e x + ⎜ ⎟e y ⎥ a 2 b 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

1.6.- Demuestre que los vectores unitarios er y eθ en un sistema de coordenadas cilíndricas con los vectores unitarios ex y ey por medio de: er = e x cos θ + e y senθ

eθ = −e x cosθ + e y senθ

Cosθ=

er = er x e x + er y e y er = cosθ e x + senθ e y l θ

=

l θ

= − senθ l x + cosθ l y

l θ

x

l x

+

l θ

y

l y

Por lo tanto: Rubio Arana J.C. 19/01/05

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14

lr =

cosθ l x + senθ l y eθ = − senθ e x + cosθ e y

1.12.-Si el fluido del problema 1.10, cuya densidad es ρ 1 obedece a la ley de los gases perfectos. Obtener la ecuación de estado de la mezcla, es decir; ⎡ ⎛ RT ⎞ ⎤ ρ = f ⎢ ρ s⎜ ⎟, ρ m, x ⎥ ¿Es valido este resultado si se encuentra presente un líquido ⎣ ⎝ M ⎠ ⎦ en lugar de un sólido? ρ m =

ρ s ρ ρ x + ρ s (1 − x )

Para un gas perfecto:


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15

RT pv = RT ; p = ρ M ρ s ρ m = ρ x + ρ s (1 − X ) ρ ρ m =

x +

ρ s ρ s ρ

ρ mX + ρ m

(1 − X )

ρ s ρ

(1 − X ) = ρ s

ρ m ρ X + ρ m ρ s (1 − X ) = ρ s ρ ρρ mX − ρρ s = − ρ m ρ s (1 − X ) ρ (− ρ mX + ρ s ) = ρ m ρ s (1 − X ) ρ =

ρ =

ρ m ρ s (1 − X ) ρ s − ρ mX ρ m ρ s (1 − X )

⎛

ρ m

⎝

ρ s

ρ s ⎜⎜ 1 − ρ =

⎞

X ⎟⎟ ⎠

ρ m (1 − X ) ρ m

1−

ρ s

X

Sustituyendo @ ρ por ρ m(1 − X ) RT ρ = ρ m 1− X M ρ s Si, si el fluido es incompresible 2 ESTATICA DE FLUIDOS

Aquí se analizara la variación de la presión ∑ de un punto a otro de un fluido en reposo. Sistema no inercial.

Tierra

ΣF = ma

Rubio Arana J.C. 19/01/05 Sistema inercial de referencia. ΣF = 0

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16

2.1.- VARIACION DE LA PRESION DE UN FLUIDO ESTATICO.

∑ F = 0

( P X − P X +∆ X )∆Y ∆ Ze x + ( P Y − P Y +∆Y )∆ X ∆ Ze y − ρ g ∆ X ∆Y ∆ Ze y + ( P Z − P Z + ∆ Z )∆ X ∆Ye z = 0 y

Dividiendo por el V.C. P X − P X + ∆ X P − P Y + ∆Y e x + Y e y − ρ ge z ∆ X ∆Y P − P Z + ∆ Z e z = 0 + Z ∆ Z

P6 P3 ∆Z

P1

P2

∆Y

Sacando límites cuando ∆ X , ∆Y , ∆Z → 0 . El V.C → 0 ∂ p ∂ p ∂ p ρ g = e x x + e y + e z : ∂ x ∂ y ∂ z

P4 ∆X P5

x

∇ P = ρ g → (22)

z

Fig. 2.1 Fuerzas de presión sobre Un elemento estático de fluido

La ecuación 22 es la ecuación básica de la estática de fluidos


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17

Ejemplo: *Determinar la presión en A

Pat.

g

∇ P = − ρ g

.

*Integrando entre C y D. ∇ P =

∂ ∂ ∂ P l x + P l y + P l z ∂ x ∂ y ∂ z

d = − ρ g dy dP = − ρ gdy

A

. . . . . . . .

. . . . . . .. . . . . . . ..

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

*Integrando de C @ D Pat D dP ρ g = − m ∫C dy ∫ Pc

D

. . . . . . . . . . . . . . .

d2

. . . . . .. . . . .

. . .

d1

.. ..

B

C

Fluido manométrico

Pat − Pc = − ρ m g ( D − C ) Pat − Pc = − ρ gdz → (1)

*Integrando de B @ A P A A dP ρ g = − ∫ ∫ dy P B

B

P A − P B = − ρ T g ( A − B ) P A − P B = − ρ T gd 1 → (2) P A = P B − ρ T gd 1 → (3) P B = P C

De 1: P C = Pat + ρ m gdz Sustituir el valor de Pc en 3: P A = Pat + ρ m gd 2 − ρ r gd 1 P A − Pat = g ( ρ m d 2 − ρ T d 1 ) Otra forma de cálculo: P A − P B = − ρ T g ( y A − y B ) P C − P D = − ρ m g ( y B − y D ) P C = P B P A − P D = − ρ T gd 1 − ρ m gd 2 P A − Pat = − g ( ρ T d 1 + ρ m d 2 )


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18

Ejemplo 2.3 (WHITE). Encontrar la presión P A, si la P a=2116 lbf/ft2, z A=7 plg, z1=4 plg, z2= 13 plg, el fluido 1 es agua y6 el 2 es mercurio. ¿Cual seria el valor de z 2, si con la misma P A, se sustituyera el mercurio por la glicerina? P A=? Pa=2116 lbf/ft2 Za= 7 plg=0.5830’ Z1= 4 plg=o.333’ Z2= 13plg=1.083’

Z2, P2 Hg

ZA, PA

z 2

=2

P2

P A = Calculado P 2 = = ρ glicerina

P A − P 1 = − ρ 1 g ( Z A − Z 1 ) P 1 − P 2 = − ρ L g ( Z 1 − Z 2 ) Agua P A − P 2 = − ρ 1 g ( Z A − Z 1 ) − ρ 2 g ( Z 1 − Z 2 ) P A = P 2 − γ 1 ( Z A − Z 1 ) − γ 2 ( Z 1 − Z 2 ) lbf lbf l P A = 2116 2 − 62 .4 3 ( 0 .25 ) ft − 846 ft ft P A = 2734 .9 lbf / ft 2 P A

∫ P

1

P 2

∫ P

1

dp = − ρ 1 g ∫

Z A

Z 1

Z1, P1

P1, Z1

dy ; P A − P 1 = − ρ 1 g ( Z A

Z 2

dp = − ρ 2 g ∫ dy ; P 2 − P 1 = − ρ 2 g ( Z 2 − Z 1

P 1 = P 2 + ρ 2 g ( Z 2 − Z 1 ) P A = P 2 + ρ 2 g ( Z 2 − Z 1 ) − ρ 1 g ( Z A − Z 1 ) P A = P 2 + γ 2 ( Z 2 − Z 1 ) − ρ 1 g ( Z A − Z 1 ) P A = 2116 + 846 ( 0 . 75 ) − 62 .4 ( 0 . 25 ) P A = 2734 .9 lbf / ft 2 P A − P 2 = − ρ 1 g ( Z A − Z 1 ) + ρ 2 g ( Z 2 − Z 1 ) P A = P 2 + ρ 2 g ( Z 2 − Z 1 ) − ρ 1 g ( Z A − Z 1 )


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19

2.2.-ACELERACION RECTILINEA UNIFORME

Cuando el sistema de coordenadas x, y, z del volumen de control de loa fig. 2.1 no sea inercial, la ecuación (1), no es valida. Para el caso de aceleración rectilínea uniforme, el fluido estaría en reposo con respecto al sistema de coordenadas acelerado. Si hay una aceleración constante, se aplicara el mismo análisis que el caso del sistema inercial de coordenadas, a excepción que: Σ F = ma = ρ a∆ x∆ y∆ z ∆ P = ρ ( g − a ) → (2)

y

Obteniéndose la máxima rapidez de cambio de la presión en la dirección (g-a) y las líneas de presión constante son perpendiculares a (g-a). Por ejemplo: Calcular la PB cuando el tanque se somete a una aceleración constante a ∇ P = − ρ g ∇ P = P a

∫ P

B

g

Ventila

dp e = − ρ g − a e y dy x a

dp = − ρ g − a 0d dy

P a − P B = − ρ g 2 + a 2 d − P a + P B = ρ g 2 + a 2 d

B

P B = P a + ρ g 2 + a 2 d

Bomba combustible y

Pa 90° g

g-a d

B

X


||||

20

2.3.-FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

La estática de fluidos calcula las fuerzas que actúan sobre las superficies sumergidas: dichas fuerzas se deben a la presión, por lo que se hará uso de las relaciones que describan la variación de la presión de un punto a otro, vistas antes. De la figura: A= Área del plano inclinado ρ = Densidad del fluido

La fuerza en el elemento de área d A es: dF = P G dA P G = − ρ gy P G = − ρ g (−nsenα ) P G = ρ gnsenα Rubio Arana J.C. 19/01/05

||||

21

Sustituyendo PG en (3) dF = ρ gnsenα dA Integrando sobre la superficie de la placa

∫ dF = ρ gsenα ∫ ndA Por definición el centroide de área es: 1 ndA ∴ A ∫ A F = ρ gsenα n A → (4) n=

P(X, Y) = Centroide del área Si y solo si es homogénea la placa.

X A = ∫ XdA 1 XdA A ∫ Y A = ∫ YdA

X =

Y =

1 YdA A ∫

Por lo que: La fuerza debida a la presión es igual a la presión evaluada en el centroide del área sumergida multiplicada por el área sumergida. El punto en que actúa esta fuerza se conoce como centro de presión c. p. (No es el centroide del área). Para determinar el c. p. se deberá localizar un punto en el que esta concentrada la fuerza total ejercida sobre la placa para producir el mismo momento que la presión distribuida, es decir, Fnc. p = ∫ A n

P C dA dF

Fnc. p = ∫ A n ρ gnsenα dA Fnc. p = ∫ A n 2 ρ gsenα dA Rubio Arana J.C. 19/01/05

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22

Sustituyendo F ρ gsenα n Anc. p = ρ gsenα ∫ n 2 dA A 1 2 n dA ∫ n A A 1 nc. p = Iaa → (5) n A Iaa = nc. p n A nc. p =

Momento de Área Iaa = ∫ n 2 dA A

El momento del área cerca de la superficie se puede trasladar de un eje a-a que este en la superficie del fluido a un eje b-b que pase por el centroide por medio de: 2

Iaa = Ibb + n A → (6)

De (5) Iaa = nc. p n A

Sustituyendo en (6) 2

nc. p n A = Ibb + n A 2

nc. p nc. p

Ibb n A = + n A n A Ibb = +n n A

nc. p − n =

Ibb → (7 ) n A


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23

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

Del diagrama de cuerpo libre: Σ F X = F BC − F H ` = 0 → (8) Σ F Z = F `V −W ABC − F AC = 0 → (9)

En donde F ` H = F BC → (10) F `V = F AC + W ABC → (11) De la incapacidad de cuerpo libre del Fluido para soportar esfuerzos de corte Se concluye que: F ` H Debe ser colineal con F BC Y

F `V Debe ser colineal con la resultante de W ABC , F AC Para calcular F AC y F BC se emplean los métodos p/una superficie plana sumergida y planar W ABC es el peso del fluido y actúa sobre su c. de g.


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24

Manómetro con sistema impractico pero complicado, sin embargo es una aplicación muy buena e ilustrativa. Calcular P A-PB

Z AM = 1.6m Z 1 = 0.7m Z 2 = 2.1m Z 3 = 0.9m Z 4 = 1.8m γ 1 = γ 3 = 9790 N / m 3 γ 2 = γ 4 = 132800 N / m 3

P A − P 1 = − ρ 1 g ( Z a − Z 1 ) P 1 − P 2 = − ρ L g ( Z 1 − Z 2 ) P 2 − P 3 = − ρ 3 g ( Z 2 − Z 3 ) P 3 − P B = − ρ 4 g ( Z 3 − Z B ) P A − P B = −γ 1 ( Z a − Z 1 ) − γ 2 ( Z 1 − Z 2 ) − γ 3 ( Z 2 − Z 3 ) − γ 4 ( Z 3 − Z B ) P A − P B = −9790(1.6 − 0.7) − 132800(0.7 − 2.1) − 9790(2.1 − 0.9) − 132800(0.9 − 1.8) P A − P B = −8811 + 185920 − 11748 + 119520 P A − P B = 284881 N / m 2 P A − P B = 284.881 KPa Rubio Arana J.C. 19/01/05

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25

Prob. 2.3 (Welty).- En el agua el modulo β, definido en el problema 2.2 es casi constante y vale 300,000 psi. Determine al porcentaje de cambio de volumen en el agua debido a una presión de 2000 psi. β =

dP dP ρ

β = 300000 psi

∆V P =?=2000 psi

dP dP =

ρ

∴

∆V

V

∆V

V ∆V

β

=−

=−

=−

dV V

dP β

2000 psi 300000 psi

= −6.66 × 10 −3

V ∆V = −0.00666 V ∆V = −0.66% V


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26

2.9.- (WELTY).- Se usa un manómetro diferencial para medir el cambio de presión ocasionado por una reducción de flujo en el sistema de tubos del sistema. ¿Cuál es la ∆ P entre los puntos A y B en lbf/plg 2?¿Cual sección tiene la presión mas alta? P A − P 1 = −γ W ( Z A − Z 1 ) P 1 − P 2 = −γ Hg ( Z 1 − Z 2 ) P 2 − P B = −γ W ( Z 2 − Z B ) lbf lbf γ W = 62.4 3 = 0.0361 ft p lg 3 lbf γ Hg = 0.489 p lg 3 P A − P B = −γ W ( Z A − Z 1 ) − γ Hg ( Z 1 − Z 2 ) − γ W ( Z 2 − Z B ) P A − P B = −γ W [( Z A − Z 1 ) + ( Z 2 − Z B )] − γ Hg ( Z 1 − Z 2 ) lbf lbf P A − P B = −0.0361 ( 10 0 ) ( 10 12 ) 0 . 489 ( 0 10 ) − + − − − [ ] p lg 3 p lg 2 P A − P B = 4.601lbf / p lg 2


||||

27

3.69.- En la figura 3.34 se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de presión entre dos puntos de un tubo. Calcule (P A-PB) Z A = 0 Z 1 = 11' Z 2 = 8' Z B = 6' lbf ft 3 γ ac = 0.98(62.4) lbf γ ac = 56.16 3 ft γ W = 62.4

P A − P 1 = − ρ W g ( Z A − Z 1 ) P 1 − P 2 = − ρ AC g ( Z 1 − Z 2 ) P 2 − P B = − ρ W g ( Z 2 − Z B ) P A − P B = −γ W [( Z A − Z 1 ) + ( Z 2 − Z B )] − γ AC [ Z 1 − Z 2 ] P A − P B = −62.4[(0 − 11' ) + (8 − 6)] − 56.16(11.8) P A − P B = 561.6 − 168.48 1 ft 2 P A − P B = 393.12lbf / p lg 144 p lg 2 2

P A − P B = 2.73lbf / p lg 2


||||

28

3.71.- En la figura 3.36 se muestra un manómetro del tipo pozo inclinado en el que la distancia L indica el movimiento del fluido manométrico a medida que la presión P A se aplica por encima del pozo. El fluido manométrico tiene una gravedad especifica de 0.87 y L = 115mm. Despreciando la caída en el nivel del fluido en el pozo, calcule P A. 56 M = 0.87 L = 115m P A = ? h Son15 o = ; h = 29.76mm = 0.02970m 115 P A = −γ M h N P A = 0.87 ∗ 9780 3 ∗ 0.02970m m P A = 252.7 N / m P A = 0.2527 KPa


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29

FLOTACION

El cuerpo de la figura se sumerge en un fluido cuya densidad es ρ . La fuerza resultante F mantiene en equilibrio al cuerpo. Hay fuerzas debidas a la gravedad y a la presión que actúa en el cuerpo h dA. Componente en y de P 2 : − P 2 Cosα ds 2 ly → (12) El producto escalar de ds 2 Cosα = dA → (3) ds 2 Cosα − P 2 dAl y → (13)

Sust. en (12)

La fuerza neta causada por la presión sobre el elemento es: ( P 1 − P 2 )dAl y ∴ La fuerza resultante ejercida

Sobre el elemento h da es: dF = ( P 1 − P 2 )dAl y − ρ B ghdAlY → (14) P 1 − P 2 = ρ gh

∫ dF = ( ρ gh − ρ B gh)∫ dAl y F = ( ρ − ρ B ) gV l y → (5) ∴ La ferza resultante se compone de: -El peso del cuerpo ρ B gV l y -La fuerza boyante ρ gV l y De ahí que: El cuerpo sufre una acción de una fuerza hacia arriba igual al peso el fluido desplazado (principio de Arquímides) Rubio Arana J.C. 19/01/05

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30

Cuando ρ B es menor que ρ el cuerpo flota. 2.23.(white).- El manómetro A indica 250kPa de presión absoluta a 20°C. ¿Cuál s la altura h del agua en cm. de agua?¿Que indicara el manómetro B en kPa de presión absoluta?

PA= 250kPa TA= 20°C

p=ρgh p=γh

h= cm H2O pB= ?

p AIRE = 20

lbf 6.895kPa = 137.9kPa p lg 2 1lbf p lg 2

PA= paire + pagua + pHg PA = 137.9 + 9.79h + 132.7(0.8) 250= 244.14 + 9.79h

h=

250 − 244.14 = 0.598m 9.79

PB= paire + pagua PB= 137.9 + γ(20+h) PB= 137.9 + 9.7(1.398) PB= 137.9 + 13.5 Rubio Arana J.C. 19/01/05

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31

PB= 151.5 kPa 2.101.(White).- La compuerta de la figura de 10m de ancho tiene forma parabólica y esta abisagrada en B. Calcular la fuerza necesaria F para mantenerla en equilibrio. Despreciar la presión atmosférica.

Σ Fy = 0 = F v − W = 0 F v = W = ρ gAW = γ V F v = 9790 N / m(2 / 3)(5)(8)(10) F v = 2.61 MN < p = ρ g p = ρ gh

FH= pA; F=pghA proyectada FH= γHA= 9790(4)(80) FH= 3.132 MN I XX senθ 1/ 12(10)83 sen90°m 4 yc. p = = = 1.33m hcg A proy 4m(80m 2 )

∑ M B = F (8) − F H (2.66) − F V (1.875) = 0 3.132(2.66) + 2.61(1.875) = 1.655 MN 8 − _ 3h 3a x = ; y = b 5 2ah A = ; H=am 3 3 ( 8 ) = 4.8m y = 5 1 3 1 I bh = (100)(83 ) = 4266.6m 4 = XX x = 1 . 875 12 12

F =

−

−


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32

2.104.(White).- El bote de la figura flota en la posición indicada. ¿ Cuál es su peso en Newton?

3

γa= 9790 N/m

W= PESO DEL AGUA DESPLAZADA W= γa Ah w = 9790

N π (0.09) (0.08) m3 9

W= 4.98 N


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33

3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO El desarrollo que describe analíticamente el movimiento de un fluido tiene como principio las leyes físicas relacionadas con el flujo de fluidos. De ahí que se expondrán leyes físicas necesarias y se mostraran los métodos utilizados para describir un fluido en movimiento.

LEYES FISICAS FUNDAMENTALES. Ley 1.- Conservación de la masa 2.- Segunda ley de newton del movimiento 1.-Primera ley de la termodinámica

Ecuación Continuidad Teorema del momento Ecuación de la energía

También se utilizaran relaciones auxiliares como la de los gases ideales, leyes de Hooke etc.

CAMPOS DE FLUJO DE FLUIDOS. Campo es una cantidad definida como función tanto como de la posición como del tiempo en una región dada REPRESENTACIÓN DE CAMPOS. Lagrangiano.- Describe las variables físicas para un elemento particular de dicho fluido al moverse a lo largo del flujo: ν = ν (a, b, c, t ) a,b,c son coordenadas en t=0 Euleriano.- Da el valor de la variable de un fluido en un punto y tiempo determinado. ν = ν (a, y, z, t ) x,y,z,t son V.I Flujo permanente cuando es independiente de t Flujo no permanente cuando es dependiente de t Líneas de corriente son útiles para describir el movimiento de un fluido, y es la tangente al vector velocidad en cada uno de los puntos del campo de flujo

ν y ν x

=

dy dx

dx dy dz = = ν x ν y ν z Rubio Arana J.C. 19/01/05

||||

34

4 CONSERVACIÓN DE LA MASA. En este apartado se desarrollara una relación integral que exprese la ley de conservación de la masa para un V.C. general. Esta relación integral se aplicara a algunos casos que con frecuencia se encuentran en mecánica de fluidos.

RELACIÓN INTEGRAL. m2 − m1 + ∆m = 0 − −− > (1) n= vector unitario →

dAcosθ= proyección de dA a un plano normal a →

θ = ángulo formado por v y

v

→

h

dA= superficie de control de análisis vectorial →

cos θ = →

→

v .h=

→

v⋅n vn

producto punto (escalar)

v ⋅ n cos θ

El flujo de masa a través de dAcos θ es: ρν dA cosθ = ρ dAν cosθ = ρ dA v →

n cosθ

→

vn

ρν dA cos θ = ρ ( ⋅ ) dA − − − −− > ( 2)


||||

35

La ecuación (2) designa la rapidez de flujo de salida a través de dA. Integrando la ecuación (2) sobre la superficie de control →

∫∫cs ρ (v ⋅ n)dA − − − − − − > (3) La ecuación (3) dará el flujo neto de masa hacia fuera del V.C. En caso de que el flojo entre a la V.C. el producto es: →

→

→ →

v⋅n = −v

n cosθ

La rapidez de acumulación de masa dentro del V.C. es: ∂ ρ dV − − − − − −− > ( 4) ∂t ∫∫∫V .C .

Por lo tanto el balance de masa en el V.C. es: → →

∫∫ v n

ρ ( ⋅ ) dA +

∂ ρ dV = 0 − − − − − − > ( 4) ∂t ∫∫∫V :C .

FORMAS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN 1.- Para flujo permanente. ∂ ρ dV = 0 ∂t ∫∫∫V :C . → →

∴ ∫∫ ρ (v ⋅ n)dA = 0 − − − −− > (5)

2.- Para flujo incompresible. ∂ ρ dV = 0; ρ = cte. ∂t ∫∫∫V :C . →

∫∫cs ρ (v ⋅ n)dA = 0 − − − − − − − − > (6)


||||

36

PROBLEMAS 4.1. (White).- El vector velocidad en un flujo bidimensional esta dado por la ecuación ν = 10ex + 2 xey m/s, donde x esta dada en m. Determine la componente de la velocidad que forma un Angulo de 30° con el eje x en el punto (2,2). ν = 10e x + 2 xe y →

e=

3 1 e x − e y 2 2

La componente de v en dirección del vector unitario e en P(2,2) → →

⎛ 3

1 ⎞ e − e y ⎟⎟ • (10e x + 4e y ) = 5 3 − 2 2 ⎠ ⎝ 2

e.v = ⎜⎜ → →

e.v = 6.66 ft / s

Sen30°=0.5=1/2 R 2= x2+y2 X2= 4-1=3 X= 3 Cos30°=

3 2


||||

37

4.3.- Esta fluyendo agua por un conducto circular con un perfil parabólico de velocidad dado ⎛ r 2 ⎞ por la ecuación ν = 6⎜⎜1 − ⎟⎟ ft / s . ¿Cuál es la velocidad promedio del agua en el tubo de ⎝ 16 ⎠ 1.5ft?

r 2 ν = 6(1 − ) 16 ν = ? →

∫∫cs v

ρ ( ⋅ n) dA + →

∫∫cs v

ρ ( ⋅ n) dA =

ρ 2 A2ν 2 =

∂ ρ dV = 0 ∂t ∫∫∫V :C . →

∫∫cs 2 v

ρ ( ⋅ n)dA −

→

∫∫cs1 ρ (v ⋅ n)dA;

→

∫∫cs1 v

ρ ( ⋅ n)dA = 0

ρ 2 = ρ 1

1 2π R r 2 ν 2 = 6(1 − )rdrd θ A2 ∫0 ∫0 16 R 6 r 3 (2π ) ∫ (rdr − dr ) ν 2 = A2 16 0 R

12π ⎡ r 2 r 4 ⎤ 12π ⎡ R12 R14 ⎤ ν 2 = − ⎢ − ⎥ = A2 ⎣ 2 64 ⎦ 0 A2 ⎢⎣ 2 64 ⎥⎦ 12π 4 ⎡16 256 ⎤ − π (1.5) 2 ⎢⎣ 2 64 ⎥⎦ 48 [8 − 4] = 85.33m / s v2 = 2.25 m2-m1=0 ρ 1 A1ν 1 = ρ 2 A2ν 2 A2 1.52 ν 1 = ν 2 = 2 85.33 = 2.999m / s ≈ 3m / s A1 8 ν 2 =


||||

38

4.4.(Welty).- Entra agua en un canal cuadrado de 4plg con una velocidad de 10ft/s. El canal converge hasta llegar a cambiar en una sección cuadrada de 2”x2”. La sección de salida esta cortada a 30° de la vertical, pero la velocidad media del agua que sale permanece horizontal. Encontrar la velocidad media de salida del agua así como la rapidez total de flujo.

A1=0.111ft2 ν = 10 ft / s ν 2 = ? →

∫∫cs 2 v

ρ ( ⋅ n) dA −

→

∫∫cs1 v

ρ ( ⋅ n) dA = 0

ρ 1 A1ν 1 = ρ 2 A2ν 2

A2Cos30°ν 2 = A1ν 1 ν 2 =

A1 ν A2 cos 30° 1

0.11 ft 2 ν 2 = 10 ft / s 0.0277 ft (0.866) ν 2 = 45.85 ft / s

Q2 = A2ν 2 = 0.0277 cos 30°(45.85) Q2 = 1.1 ft 3 / s


||||

39

4.8. (Welty).- En la combinación de pistón y cilindro de la figura, el pistón grande tiene una velocidad de 2ft/s y una aceleración de 5ft/s2. Calcular la velocidad y aceleración del pistón más pequeño.

→

∫∫cs v

ρ ( ⋅ n) dA +

∂ ρ dV = 0 ∂t ∫∫∫V :C .

ρ 2 A2ν 2 = ρ 1 A1ν 1 ν 2 =

A1 ν A2 1

d 12 ν 2 = 2 ν 1 d 2 2

⎛ 4 ⎞ ν 2 = ⎜ ⎟ 2 ft / s = 128 ft / s ⎝ 0.5 ⎠

d 12 a2 = 2 a1 d 2 2

⎛ 4 ⎞ a2 = ⎜ ⎟ 5 ft / s 2 = 320 ft / s 2 ⎝ 0.5 ⎠


||||

40

Calculo de la velocidad media en un tubo con perfil parabólico de velocidad

v = v Max

2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢

Y flujo compresible

r

ρ v A =

∫∫CS

r r

ρ (v ⋅ n )dA

r

r r

v A = ∫∫ (v ⋅ n )dA CS

r

v=

1 r r v ⋅ n )dA ( A ∫∫CS

⎡ r r r ⎞ 1 v = ∫∫ (v ⋅ n )dA ; v = v Max ⎢1 − ⎛ ⎜ ⎟ A CS ⎢⎣ ⎝ R ⎠ r

2

⎤ 1 ⎥= 2 ⎥⎦ π R

2π R

∫0 ∫0

⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ v Max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥rdrd θ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦

R r 3 ⎡ R ⎤ 1 = 3 (2π )v MAX ⎢ ∫ rdr − ∫ 2 dr ⎥ 0 R π R ⎣0 ⎦ R

2v MAX ⎡ r 2 r 4 ⎤ 2v MAX ⎡ R 2 R 2 ⎤ 2v MAX ⎡ R 2 ⎤ v MAX = − = − ⎥= = 4 ⎦ R 2 ⎢⎣ 4 ⎥⎦ R 2 R 2 ⎢⎣ 2 4 R 2 ⎥⎦ 0 R 2 ⎢⎣ 2 v=

v MAX 2


||||

41

6.41. (Mott).- UN conducto de 150mm lleva 0.072 m3/s de agua, el conducto se ramifica en dos como se observa en la figura 6.15, si la velocidad en el conducto es de 12m/s ¿Cuál es la velocidad en el conducto de 100mm?

φ 1 = 150mm = 0.15m

V 1=0.072m3/s V 2=12m/s φ 2 = 50mm = 0.05m

V 3=? φ 3 = 100mm = .1m →

→

→

→

∫∫CS ρ (v ⋅ n)dA =0 = ∫∫cs 2 ρ (v ⋅ n)dA + ∫∫cs3 ρ (v ⋅ n)dA − ∫∫cs1 ρ (v ⋅ n)dA m2+m3-m1=0;

m1=m2+m3; m3 0.71 x 4 V 1 s ν 1 = = = 40.177m / s A1 π (0.12) 2 m m A1V 1= A2V 2+ A3V 3

ρ1A1V 1= ρ2A2V 2+ ρ3A3V 3

A3V 3= A1V 1- A2V 2 A ν − A2ν v V 1 − V 2 ν 3 = 2 v = A2 A3 π (0.05) 2 m V 2 = A2ν 2 = 12m / s = 0.023m3 / s 4


||||

42

(0.072 − 0.023)4 = 6.23m / s π (0.1) 2 6.59 (MOTT).- La boquilla de flujo mostrada en la fig 6.20 se utiliza para medir la velocidad de flujo. Si la boquilla se instala dentro de un tubo de 14 pulgadas calibre 40 y tiene un diámetro de 2 ¾ pulgada, calcule la velocidad de flujo en a sección 1y en el cuello de la boquilla cuando 7.5ft3/s de agua fluyen por el sistema. ν 3 =

φ TUBO = 14" CAL 40 φ BOQUILLA = 2

3" 4

v1=?

v1=? ⋅ ft 3 V = 7.5 s A1 φ =14"CAL 40 = 0 − 9396 ft 2 De tabla ⋅

V = v1 A1 ft 3 7.5 V s = 7.982 ft v1 = = A1 0.9396 ft 2 s ⋅

.

.

m 2 = m1 ρ 1 A1v1 = ρ 2 A2 v 2


||||

43

A1 0.9396 ft 2 ft ft = v 2 = v1 = 7 . 982 181 . 828 2 A2 s s π ⎛ 2.75 p lg⋅ ft ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎜⎝ 12 p lg ⎠⎟ 3.36.- La bomba de chorro de la figura p3.36 inyecta agua a U1= 100ft/s a través de un tubo de 3” de diámetro y arrastra un flujo secundario de agua a U2=10ft/s en la región anular indicada. Los dos flujos se mezclan completamente aguas abajo, tomando una velocidad U3 casi constante. Si el flujo es estacionario e incompresible calcular U3 en ft/s.

u3 = ?

∫∫CS

∂ ρ dV = 0 ∂t ∫∫∫V :C .

r r

ρ (v ⋅ n )dA +

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

m3 − m 2 − m1 = 0 m = m + m = ρ A v + ρ A v πρ m = ρ ( A v + A v ) = 4 (φ v + φ v ) 3

2

1 1 1

1

2

⋅

1 1

2 1 1

2 2

2 2

2 2 2

2 ⎛ π ⎞⎡⎛ 3 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎤ = 62.4⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ (100 ) + ⎜ ⎟(10 )⎥ = 49(6.25 + 6.94 ) = 646.52 ⎝ 4 ⎠⎣⎢⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦⎥

lb lb 2 ft ⋅ ⋅ → ft s s ft 3 ⋅ lb m 3 = 646.52 s ⋅

⋅

m

3

= ρ 3 A3 v3 ;

v3 =

m

3

ρ A3


||||

44

lb ft s v3 = 18 . 99 = 2 s lb π ⎛ 10 ⎞ 2 62.4 3 ⎜ ⎟ ft ft 4 ⎝ 12 ⎠ 464.52

4.6.- Se midieron las velocidades de un conducto circular de 20” de diámetro. Encuentre a).La velocidad media y b) la rapidez de flujo en ft3/s Q = vA

r plg 0 3.16 4.45 5.48 6.33 7.07 7.75 8.37 8.94 9.49 10.00 Q=∫

3.16

0

Velocidad ft/s 7.5 7.1 6.75 6.42 6.15 5.81 5.47 5.1 4.5 3.82 2.40

4.45

10

3.16

9.49

v1 2π r dr + ∫ v2 2π r dr + ......∫ v10 2π r dr

⎧⎡⎛ 7.5 + 7.1 ⎞⎛ 3.16 ⎞ ⎤ ⎛ 7.1 + 6.75 ⎞ ⎡⎛ 4.45 ⎞ 2 ⎛ 3.16 ⎞ 2 ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ +⎜ ⎟⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥+ 2 ⎠⎣⎢⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎦⎥ ⎪⎣⎢⎝ 2 ⎠⎝ 12 ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪ ⎛ 6.75 − 6.42 ⎞ ⎡⎛ 5.48 ⎞ ⎛ 4.45 ⎞ ⎤ ⎛ 6.6.42 + 6.15 ⎞ ⎡⎛ 6.33 ⎞ ⎛ 5.48 ⎞ ⎤ ⎪ ⎟⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥+⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ +⎪ ⎪+ ⎜ 2 2 ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎝ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪ ⎛ 6.15 + 5.81 ⎞ ⎡⎛ 7.07 ⎞ ⎛ 6.33 ⎞ ⎤ ⎛ 5.81 + 5.47 ⎞ ⎡⎛ 7.75 ⎞ ⎛ 7.07 ⎞ ⎤ ⎪ − + − + Q = π ⎨+ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎬ 2 2 ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪+ ⎛ 5.47 + 5.10 ⎞ ⎡⎛ 8.37 ⎞ − ⎛ 7.75 ⎞ ⎤ + ⎛ 5.10 + 4.5 ⎞ ⎡⎛ 8.94 ⎞ − ⎛ 8.37 ⎞ ⎤ + ⎪ ⎟⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎪ ⎜⎝ ⎪ 2 2 ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎪ 4.5 + 3.82 ⎡ 9.49 2 ⎪ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 8.94 ⎞ ⎤ ⎛ 3.82 + 2.40 ⎞ ⎡⎛ 10 ⎞ ⎛ 9.49 ⎞ ⎤ ⎪+ ⎛ ⎪ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥+⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 2 2 ⎪⎩ ⎝ ⎪⎭ ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ 2


||||

45

⎛ 0.506 + 0.472 + 0.467 + .0438 + .0411 + ⎞ ft 3 ⎟⎟ = 12.214 Q = π ⎜⎜ 0 . 394 0 . 366 0 . 328 0 . 292 0 . 214 + + + + s ⎝ ⎠

v=

Q = A

3 ft 12.214 s ⋅ 4

⎛ 20 ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

2

= 5.598

ft s

DIAGRAMA DE FLUJO INICIO

PIDE RADIOS Y VELOCIDADES

REALIZA LA OPERACIÓN INDICADA: q=q+(v[i+1]+v[i])*((r[i+1]*r[i+ 1])-(r[i]*r[i])); q = (3.14159/288)*q;

PIDE LAS (N) ITERACIONES SI

NO

HACE EL NUMERO DE ITERACIONES PEDIDAS

FIN DEL PROGRAMA

MUESTRA EL RESULTADO

EL PROGRAMA FUNCIONA PARA CUALQUIER VALOR DADO POR EL USUARIO Rubio Arana J.C. 19/01/05

||||

46 MECANICA DE FLUIDOS 1. GRAFICA DE RADIO CONTRA VELOCIDAD.

>>A=[7.5,7.1,6.75,6.42,6.15,5.81,5.47,5.10,4.5,3.82,2.40]; >>B=[0,3.16,4.45,5.48,6.33,7.07,7.75,8.37,8.94,9.49,10.00]; >>plot(A,B); >>grid on; >>hold on; >>C=[0,-3.16,-4.45,-5.48,-6.33,-7.07,-7.75,-8.37,-8.94,-9.49,-10.00]; >>plot(A,C); >>grid on, xlabel('Velocidad en (ft/s)'), ylabel('Radio en (Plg)'); >>title('Grafica de Flujo Masico') >>gtext('Velocidad Maxima') >>gtext('Mecanica de Fluidos 1')


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47

SOLUCIÓN AL PROBLEMA QUE VIENE ILUSTRADO EN LOS ACETATOS:


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48

5 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Relación integral para momento lineal. La segunda ley de Newton se enuncia como: La rapidez de cambio de momento de un sistema es igual a la fuerza neta que actúa sobre el sistema y seda en la dirección de la fuerza neta.

I → t II → (t + ∆t ) III → t + ∆tyt ⋅

Σ F = ma = m v

d (mv ) dt d Σ F = ( P ) − − − − − − > (1) dt Donde: P Momento lineal del sistema. Σ F =

En t + ∆t : P t + ∆t = P II

t + ∆t

+ P III

t + ∆t

En t: P t = P I t + P III t Restando la segunda ecuación de la primera y dividiendo por t: P t + ∆t − P t P II = ∆t

t + ∆t

+ P III

t + ∆t

− P I t − P III

t + ∆t

∆t

Sacando limites cuando t0 ⎛ P III P t + ∆t − P t ⎜ = lim lim ⎜ t ∆ ∆t →0 ∆t →0 ⎝

⎛ P − P III t ⎞ ⎟ + lim ⎜ II ⎟ ⎜ ∆t ⎠ ∆t →0 ⎝

t + ∆t

− P II t ⎞ ⎟ ⎟ ∆t ⎠

t + ∆t


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49

Donde: ΣF Es la suma de fuerzas que actúan sobre el V.C.

⋅

r

P = m v r v ( ρ v )dA cos θ r r r v ( ρ v )dA cos θ = v ρ dA v n cos θ El flujo de momento es: r

r r

v ( ρ v )dA cos θ = ρ v (v ⋅ n )dA Integrando esta ecuación: r → →

∫∫ ρ v (v ⋅ n ) dA r ∂ v ρ dV ∂t ∫∫∫V :C .

 Flujo

 Rapidez

neto de salida de momento lineal del V.C.

neta de acumulación de momento lineal dentro del V.C.

Y el balance total de momento lineal para un volumen de control es: r → →

Σ F = ∫∫ ρ v (v ⋅ n)dA +

r ∂ v ρ dV − − − −− > ( 4) ∂t ∫∫∫V :C .

La ecuación (4) es muy importante en mecánica de fluidos y se conoce como: Teorema del momento Se debe notar que la ecuación 4 es una expresión vectorial muy diferente a la forma escalar de equilibrio total de masa. En coordenadas rectangulares:


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50

r ∂ v x ρ dV ∫∫∫ ∂t V :C . r → → r ∂ Σ F y = ∫∫ ρ v y (v ⋅ n)dA + ∫∫∫ v y ρ dV ------------------ > (5) ∂t V :C . r → → r ∂ Σ F z = ∫∫ ρ v z (v ⋅ n)dA + ∫∫∫ v z ρ dV ∂t V :C . r

→ →

Σ F x = ∫∫ ρ v x (v ⋅ n)dA +

Cuando se aplican cualquiera de las ecuaciones (5), se debe recordar que cada termino tiene un signo con respecto a las direcciones x. y e z y que se han definido como positivas. Aplicaciones de la expresión integral para el momento lineal.

Fuerzas externas 1.- Debidas a la presión en (1) y (2) 2.- Debido al peso del fluido. 3.- Ocasionadas por la presión de las paredes del codo así como del rozamiento: Pw Σ Fx = P 1 A1 − P 2 A2 cos θ + Bx Σ Fy = P 2 A2 senθ − W + By Bx y By son las componentes de la fuerza resultante que el tubo ejerce sobre el fluido (Pw y ZW). Fuerzas internas: r → →

Σ Fx = ∫∫ ρ v (v ⋅ n)dA + r

→

→

∂ r v ρ dV ∂t ∫∫∫V :C . r

→

→

r

→

→

r

→

→

∫∫C .S . ρ v x (v ⋅ n)dA = ∫∫C .S .2 ρ v x (v ⋅ n)dA − ∫∫C .S .1 ρ v x (v ⋅ n)dA = v 2 cos θ ( ρ 2 A2 v 2 ) + v1 (− ρ 1 A1 v1 ) r

→

→

r

→

→

∫∫C .S . ρ v y (v ⋅ n)dA = ∫∫C .S .2 ρ v y (v ⋅ n)dA − ∫∫C .S .1 ρ v y (v ⋅ n)dA Rubio Arana J.C. 19/01/05

||||

51

= −v 2 senθ (ρ 2 A2 v 2 )

Igualando Σ F : P 1 A1 − P 2 A2 cos θ + Bx = P 2 A2 senθ − W + By P 2 A2 senθ − W + By = −v2 senθ (ρ 2 A2 v2 ) Bx = v 22 ρ 2 A2 cos θ − v12 ρ 1 A1 − P 1 A1 + P 2 A2 cos θ By = −v22 ρ 2 A2 senθ − P 2 A2 senθ + W Las relaciones serán: Rx = −v 22 ρ 2 A2 cos θ + v12 ρ 1 A1 + P 1 A1 − P 2 A2 cos θ Ry = v22 ρ 2 A2 senθ + P 2 A2 senθ − W ⋅

Rx = − m (v 2 cos θ + v1 ) + P 1 A1 − P 2 A2 cos θ ⋅

Ry = m (v 2 senθ ) + P 2 A2 senθ − W Las fuerzas debidas a PW y ZW son denominadas por B.


||||

52

PROBLEMAS 5.6.- (WELTY) La bomba de la figura bombea 3ft3/s del agua del acueducto sumergido, que tiene un área de 0.25ft2 en la popa. Determine la tensión en la cuerda de amarre. Suponiendo que las presiones de entrada y salida son iguales.

⋅

V = 3 ft

3

s

A1 = 0.25 ft 2 A2 = 0.15 ft 2 T = ? P 1 = P 2

r

→ →

Σ Fx = ∫∫ ρ v x (v ⋅ n)dA +

r ∂ v x ρ dV ∫∫∫ ∂t V :C .

Σ Fx = v 2 cos θ ( ρ 2 A2 v 2 ) − v1 (ρ 1 A1v1 ) ⎛ ⋅ 2 ⎞ ⎛ ⋅ ⎞ ⋅ ⎟ ⋅ ⎟ ⎜ V ⎜ V − V ⎟ − ρ ⎜ − V ⎟ ρ ⎜ ⎜ A2 ⎟ ⎜ A1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ 2 ⎞ ⎛ ⋅ 2 ⋅ ⎜ V V ⎟ ⎛ 1 1 ⎞ = ρ ⎜ − − ⎟⎟ ⎟ = ρ V 2 ⎜⎜ ⎜ A2 A1 ⎟ ⎝ A2 A1 ⎠ ⎝ ⎠

62.4

lbm 2 ft 2 ⎡ 1 1 ⎤ 1 − 3 ft 3 s 2 ⎢⎣ 0.15 0.25 ⎥⎦ ft 2

lbmft lbfs 2 = 46.5lbf s 2 32.2lbmft Σ Fx = 46.5lb f 46.5lb f Fx Fx = cos 30 = ; T = T 0.866 cos 30 T = 53.69lb f = 1497.6

o

o


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53

RELACIÓN INTEGRAL PARA EL MOMENTO DE MOMENTO Σ F =

d d mv = p dt dt

Aplicada a un sistema de partículas: r

r

r xΣ F => Momento resultante, ( Σ r

r

r r

) con respecto al origen.

r

∴ r xΣ F = Σr x F = Σ M

Donde:

r

Es el momento total (impulso total) con respecto al origen de todas las fuerzas actúan sobre el sistema. r d r r x P Es el impulso de la rapidez de cambio de momento lineal con respecto al dt tiempo y se puede representar: r d r d r r d r r d r x P = (r xmv ) = (r x P ) = ( H ) dt dt dt dt d Σ M = ( H ) − − − − − − − − − −− > (6) dt


||||

54

RAPIDEZ NETA DE LA EMISIÓN DEL IMPULSO EN EL VOLUMEN DE CONTROL r r

→ →

Σ M = ∫∫ (r xv ) ρ (v ⋅ n)dA +

r r ∂ r xv )ρ dV − − − − − − > (7) ( ∂t ∫∫∫V :C .

La ecuación (7) se expresa por medio de tres escalares para coordenadas ortogonales inerciales e las direcciones x. y. z como: r r ∂ r xv )x ρ dV I ( ∫∫∫ ∂t V :C . → → r r r r ∂ Σ My = ∫∫ (r xv ) y ρ ( ⋅ )dA + ∫∫∫ (r xv )y ρ dV -I---------- >(8) ∂t V :C . → → r r r r ∂ Σ Mz = ∫∫ (r xv ) z ρ (v ⋅ n)dA + ∫∫∫ (r xv )z ρ dV I ∂t V :C . r r

→ →

Σ Mx = ∫∫ (r xv ) x ρ (v ⋅ n)dA +

vn

Las direcciones asociadas a MX y (rxv) son las consideradas en mécanica y se rigen por la regla de la mano derecha para determinar la orientación de las cantidades que tienen un sentido de rotación.

r r

→ →

Σ Mz = ∫∫ (r xv ) z ρ (v ⋅ n)dA +

r r ∂ r xv )z ρ dV ( ∫∫∫ ∂t V :C .

Σ Fz = M FLECHA Momento externo aplicado al eje que actúa sobre el volumen de

control.


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55

Donde Mflecha es el momento que la flecha ejerce sobre el rotor y es el único que actua sobre el v. c. La integral de superficie:

∫∫C .S (r * s )ρ (v * n)dA Es la rapidez neta de emisión del impulso. La componente del fluido que sale del volumen de control en la dirección X es:

[rw − (vo − r w ) cosθ ]l X ∴ ∫∫ (r x v ↓ ρ (v • u)dA = r [rw − (vo − rw) cosθ ] ρ V − rvo ρ V ) C .S

] V − rvO ρ V − M S = −r [rw − (vO − rw) cosθ ] ρ V − rvO ρ V ∴∑ M Z = M S = r [rw − (vO − rw) cosθ ρ


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56

PROBLEMAS Prob.5.2 (WELTY). La figura muestra un motor estacionario de jet. El aire con ρ = 0.0805lbm / ft 3 entra en la forma indicada. Las áreas transversales de entrada y salida son de 10.8 ft 2. La masa de combustible representa el 1% de masa de aire que entra a la sección de prueba. Calcule el impulso que desarrolla dicho motor para las condiciones dadas. mC = 0.01ma

∑ Fx = ∫∫ v X ρ (v • u )dA + C . S

∂ v X ρ dV ∂t ∫∫∫V .C

Fx = ρ 2 A2V 22 − ρ 1 A1V 12 = ρ 2 A2V 2V 2 − ρ 1 A1V 1V 1 = ρ 2 A2 (1.01V 1 )V 2 − ρ 1 A1V 12 = ρ AV 1 (1.01V 2 − V 1 ) lb ft ⎡ ft ft ⎤ = 0.0805 3 *10.8 ft 2 300 ⎢1.01 * 900 − 300 ⎥ s ⎣ s s ⎦ ft lbm 2 ft 2 lbfs 2 = 158839.4 3 ft 2 = 4932.9 ft s 32.2lbmft Fx = 4932.9lbf Rx = −4932.9lbf


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57

5.27.- Una presa vierte agua en un canal ancho constante como el de la figura se observa que una región de agua tranquila se encuentra detrás del chorro a una altura H. Tanto que la velocidad como la altura de flujo en el canal están dadas por v y h, respectivamente, siendo su densidad ρ . Aplicando el teorema de momento así como la superficie de control que se indica, determine lts desprecie el momento horizontal del flujo que esta entrando al volumen de control desde la parte superior y suponga que se desprecia la fricción. La presión del aire existente en la cantidad que hay bajo la cresta del agua que esta cayendo se debe tomar como la atmosférica. H=?

∂

∑ Fx = ∫∫C .S v X ρ (v • n)dA + ∂t ∫∫∫V .C v X ρ dV ∫∫C .S v X ρ (v • n )dA = v2 ρ 2 A2 v2 − v1 ρ 1 A1v1 1 = ( ρ gH 2 − ρ gh 2 ) Fx ∑ 2 1 Fx = ρ g ( H 2 − h 2 ) ∑ 2 2 ∫∫ v X ρ (v • n)dA = ρ 2 A2 v2 C . S

Igualando fuerzas externas a internas: 1 ρ g ( H 2 − h 2 ) = ρ 2 A2 v 22 2 ρ = ρ 2

2 A2 v22 H − h = ; g A2 = h *1 2hv 22 2 2 H − h = g 2

2

⎛ 2v 22 ⎞ 2v22 h 2 H = + h = h⎜⎜ + h ⎟⎟ g ⎝ g ⎠ 2

⎛ 2v 22 ⎞ 2v 22 h 2 ⎟⎟ + h = H = h⎜⎜ +h ← g g ⎝ ⎠


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58

FUERZAS SOBRE OBJETOS ESTACIONARIOS E 16.1(L. MOTT) Un chorro de agua de 1” de diámetro que tiene una velocidad de 20 ft/s se reflecta por medio de una paleta curvada a 90º como se muestra en la figura 16.1. El chorro fluye libremente en la atmósfera sobre un plano horizontal. Calcule la fuerza en x o y que ejerce la paleta sobre el agua. φ = 1" θ = 90º

v=20 ft/s

Fx=?

Fy=? ∂

∑ Fx = ∫∫C.S v X ρ (v • n)dA + ∂t ∫∫∫V .C v ρ dv ∑ Fx = Rx º ( ) v ρ v n dA v ρ v A v ρ A v v m • = + − = − ( ) X 2 X 2 2 2 1 X 1 1 1 1 X 1 ∫∫C .S 2

2

lbm π ⎛ 1 ⎞ ⎛ ft ⎞ Fx = −⎜ 20 ⎟ * 62.4 2 * ⎜ ⎟ ft 2 ft 4 ⎝ 12 ⎠ ⎝ s ⎠ ft 2 lbm 2 lbfs 2 = 136.13 2 ft * 32.2lbmft s ft 3 Fx = −4.227lbf ←

∑ Fy = ∫∫C .S v Y ρ (v • n )dA ∑ Fy = Ry º v v n dA A v v A v v m = + = = ( ) ρ * ρ 0 ρ Y 2 2 2 Y 2 2 2 2 Y 2 2v y2 ∫∫C .S 2

2 lbm π ⎛ 1 ⎞ 1lbfs 2 2 ft 2 Fy = 62.4 3 * (20) 2 * ⎜ ⎟ + t * 4 ⎝ 12 ⎠ 32.2lbmft ft s Fy = 4.227lbf ←


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59

16.2(L.MOTT).- En una fuente decorativa de 0.05 m 3/s de agua que tiene una velocidad de 8 m/s están siendo reflectados por la caída en un ángulo mostrado en la figura. Calcule las reacciones sobre la caída en las direcciones x o y mostradas. También calcule la fuerza resultante total y la dirección en que actúa. Desprecie los cambios de elevación. m3 v = 0 .05 s v = 8 m / s Rx , Ry , R = ?, θ º

∂

∑ F = ∫∫CS v ρ (v • n )dA + ∂t ∫∫∫ v ρ dV ∑ Fx = F 1Cos 45 º + F 2 Cos 75 º ⎛ ⎞ ∫∫C .S v X ρ (v • n )dA = v X 2 ρ v + v x1 ⎜ − ρ v ⎟ = ρ v (v X 2 − v X 1 ) º

º

⎝

º

⎠

3

kg m m (2 .07 − 5.656 ) = − 179 .3 N 0 .05 3 s s m 2 ∑ Fx = − 179 .3kg / s ⇒ N ← = 10 3

∑ Fy = − F 1 Sen 45 º + F 2 Sen 75 º ∫∫C .S vY ρ (v • n )dA = vY 2 ( ρ v ) − vY 1 (− ρ v ) = ρ v (vY 2 + vY 1 ) kg m3 m ( ) 0 . 05 7 . 27 5 . 656 + s s m3 m ∑ Fy = 646 kg s 2 = 646 N ← F = Fx 2 + Fy 2 = 179 .3 2 + 646 2 = 670 .7 F = 670 .7 m / s = 10 3

v X 1 = vCos 45 º = 8Cos 45 º m v X 1 = 5 .656 s m v X 2 = vCos 75 º = 2 .07 s m v Y 1 = vSen 45 º = 5 .656 s m v Y 2 = vSen 75 º = 7 .27 s 646 179 .3 θ = 74 . 47 º ← tg θ =


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60

E. 16.5 (L.MOTT).- En la figura se muestra un chorro de agua a una velocidad v 1 que impacta a una paleta que se mueve con velocidad v o. Calcule las fuerzas por la paleta sobre el agua si v 1=20 m/s y v o=8 m/s. El chorro tiene un diámetro de 50 mm. v1 = 20m / s vo = 8m / s φ = 50mm ve ⇒ vel .efectiva ve = 20 − 8 = 12m / s Qe ⇒ Flujo.volumetric, efectivo = Qe m π m3 2 2 ve = ve A = (20 ) (0.05) m = 0.023 s 4 s º

∂

∑ Fx = ∫∫C .S v X ρ (v • n )dn + ∂t ∫∫∫V .C v X ρ dv ∑ Fx = −ve Cos 45º ⎛ ⎜ ρ ve ⎞⎟ + ve ⎛ ⎜ − ρ ve ⎞⎟ + Rx = 0 º

⎝

º

⎠

º

⎝

⎠

º

∑ Fx = − ρ ve ve Cos 45º− ρ ve ve + Rx = 0 º Fx ρ v = − ∑ e v e (1 + Cos 45º ) + Rx = 0 kg m3 m *12 (1 + 0.707 ) + Rx = 0; = −10 3 * 0.023 s s m Rx = 471.1 N ← 3

º

∑ Fy = ve Sen45º ρ ve = Ry 3

m kg m Ry = 12 Sen45º*10 3 3 * 0.023 = 195.132 s s m Ry = 195.132 N ←


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61

3.57.-Un chorro de agua empuja a una cuchara 160º de una turbina como la de la figura a 40 ft/s hacia la derecha. Calcular la fuerza ejercida sobre la cuchara en lb y b).- La potencia comunicada. (WHITE) vC = 40 ft / s F C = ? º

W = ? ∂ v ρ dV ∂t ∫∫∫V .C

∑ Fx = ∫∫ v X ρ (v • n)dA + C . S

º ⎛ ⎞ = −v e 2 ρ v e + ve1 ⎜ − ρ v e ⎟; v e1 = ve 2 ⎝ ⎠ º

º

º

º

= − ρ ve v e − ρ v e ve = −2 ρ v e v e ⎡ lbm ft ft 3 ⎤ lbfs 2 = −2⎢62.4 3 * 60 * 2.945 ⎥ * 32.2lbmft s s ft ⎣ ⎦ ∑ Fx = 684.84lbf ← 2

ft π ⎛ 3 ⎞ 3 3 ve = ve A = (100 − 40) ⎜ ⎟ ft = 2.945 ft / s s 4 ⎝ 12 ⎠ ve1 = ve 2 º

º

W = FxvC = 684.84lbf * 40 ft / s ft 1 HP s 550 lbfft s º 0.746 KW W = 49.80 HP = 37.15 1 HP = 27393.98lbf

º

W = 37.15 KW ←


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62

5.22.-(WELTY). Un irrigador de agua consta de dos chorros de 3/8” de diámetro en los extremos de una varilla hueca. Si el agua sale con una velocidad de 20 ft/s. ¿Qué par será necesario para mantener el irrigador en su lugar? φ = 3 / 8"

v 2 = 20 ft / s M = ?

∑ Mo = 0 ∂ ∑ Mo = ∫∫C .S (r xv ) ρ (v • n )dA + ∂t ∫∫∫V .C (r xv ) ρ dv ∫∫C .S (r xv ) ρ (v • n )dA = −r Y v(2 ρ Av ) = −2r Y v 2 ρ A 2

ft 2 lbm π ⎛ 3 ⎞ 2 = −2(0.5 ft )20 2 62.4 3 ⎜ ⎟ ft s ft 4 ⎝ 12 * 8 ⎠ 2

lbmft 2 lbfs 2 = 19.14 2 32.2lbm ft s

∑ Mo = 0.594lbf * ft

←


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63

16.23(L.MOTT).- Para la rueda descrita en el prob. 16.22 calcule la fuerza ejercida sobre el remo cuando la rueda gira a 40 rpm. F R = ? W = 40 rpm φ = 15 mm v aire = 0.35 m / s ρ aire = 1.20 kg / m 3

v = W * r rev 2π rad 1 min = 40 * 0.075 m min 1rev 60 s v = 0.314 m / s A =

πφ 2

4

2

=

π (0.015m )

4

= 1.767 x 10 − 4 m 2 ∂

∑ M Z = ∫∫C .S (r x v ) ρ (v * n )dA + ∂t ∫∫∫V .C (r x v ) ρ dv ∫∫C .S (r x v ) ρ (v * n )dA = rv ρ v A = ∑ M Z m2 kg = 0.075 m * 0.314 2 *1.20 3 *1.767 x 10 − 4 m 2 s m m = 1.568 x 10 −6 kg 2 m s ∑ M Z = 1.568 x10 −6 N m 2

∑ M Z = r x F ; ∑ M Z = r F M Z 1.568 x 10 6 N m ∑ F = = = 2.09 x10 5 N −

−

r

0.075 m

F = 209 x 10 −7 N ←


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64

6

CONSERVACION DE LA ENERGIA

La primera ley de la termodinámica que es útil en el análisis de flujo es la tercera ley fundamental o ecuación de la energía. RELACION INTEGRAL PARA LA CONSERVACION DE LA ENERGIA. 1

∫ δ Q = J ∫ δ W

→ (1)

Donde: J ⇒ Equivalent e mecanico de calor lbf ft N m J = 778.17 =1 Btu J El calor total que el sistema adquiere de la región circundante es proporcional al trabajo realizado por el sistema sobre la región circundante. 2

1

2

1

∫1a ∫2a ∫1a ∫2a δ W 2 1 2 1 + = + δ Q δ Q δ W ∫1a ∫2b ∫1a ∫2b δ W δ Q +

δ Q =

δ W +

→ (2 ) → (3)

Restando (3) de (2) 1

1

1

1

∫2a ∫2b ∫2a ∫2b δ W 1 1 Q W − = ( ) δ δ ∫2a ∫2b (δ Q − δ W ) δ Q −

δ Q =

δ W −

→ (4 )

Como cada lado de la ecuación 4 representa el integrando calculado entre los mismos puntos pero a lo largo de trayectorias diferentes: δ Q − δ W ⇒ Es una funcion punto x es designada como dE

∂ Q − δ W = dE → (5) dE ⇒ Es una funcion punto que es la energia total del sistema. Q ⇒ (+ )Cuando se agrega al sistema Q ⇒ (− )Cuando sale del sistema W ⇒ (+ )Cuando se dona a los alrededore s W ⇒ (− )Cuando el sistema recibe de los alrededore s

Para un sistema durante un tiempo dt la ecuación 5 se transforma en: Rubio Arana J.C. 19/01/05

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65

∂ Q ∂ W dE − = → (6 ) ∂ t ∂ t d t

Energia : E / t + ∆ t = E II / t + ∆ t + E III / t + ∆ t E / t = E I / t + E III / t Restando la segunda ecuación de la primera: E / t + ∆ t − E / t = E II / t + ∆t − E I / t + E III / t + ∆t − E III / t Dividiendo entre ∆ t y sacando limites cuando ∆ t → 0 ⎡ E / t + ∆t − E / t E II / t + ∆t − E I / t E III / t + ∆t − E III / t ⎤ lim ⎢ = + ⎥ ∆ t →0 ∆ t ∆ t ∆ t ⎣ ⎦ dE = E 2 − E 1 + ∆ E dt

E2 – E1= Razón neta de energía abandonando el sistema de control. ∆ t = Acumulación de energía en el sistema de control ⎡ Rapidez en el ⎤ ⎡ Rapidez del ⎤ ⎡ Rapidez de ⎤ ⎡ Rapidez de ⎤ ⎢aumento de ⎥ ⎢trabajo reali ⎥ ⎢energia que ⎥ ⎢energia que ⎥ ⎡ Rapidez de ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢acumulacion ⎥ ⎥ ⎢calor en el v.c ⎥ − ⎢ zado por v.c ⎥ = ⎢abandona el ⎥ − ⎢entra al v.c ⎥ + ⎢ ⎢ ⎥ de energia en ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ debido a la sobre su region v . c al fujo de debido al flu ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢el v.c ⎣ ⎦ ⎢⎣region vecina⎥⎦ ⎢⎣circundant e ⎥⎦ ⎢⎣ fluido ⎥⎦ ⎢⎣ jo de fluido ⎥⎦


||||

66

Aplicamos esta ecuación a un volumen de control: Rapidez de flujo de energía a la salida: e ρ vdA Cosθ ↓

º

m

energia especifica v2 e = g y + + u 2 e ρ vdA Cosθ = e ρ v u Cosθ = e ρ (v • u )dA

La forma integral de la ecuación de la energía es: ∂Q ∂W ∂ − = ∫∫ e ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv C . S ∂t ∂t ∂t V .C Existen tres tipos de trabajo a saber: 1.- Trabajo en la flecha, W S 2.- Trabajo de flujo, que es el realizado sobre la s.c. para vencer los esfuerzos normales que hay en la s.c. donde hay flujo de fluidos, W σ . 3.- Trabajo cortante es el realizado sobre la región de control para vencer los esfuerzos cortantes que hay en la s.c., Zij. Intensidad de esfuerzo con componente σ ij , z ij en dirección normal y tangencial a la superficie. Rapidez de trabajo realizado por el fluido que fluye a través de dA. º

W = v • s dA → (10) N m J m N 2 m ⇒ ⇒ s m 2 s s

La rapidez neta de trabajo realizado por el v.c sobre su región circundante es − ∫∫ v − s dA C . S

→ (11)

El signo (-) indica el hecho que la fuerza por unidad ejercida sobre la región circundante es (-s).


||||

67

Por lo tanto la ecuación de la primera ley de la termodinámica queda como: ∂ Q ∂ Ws ∂ − + ∫∫ v • s dA = ∫∫ e ρ (v • u )dA + ∫∫∫ e ρ dv → (12 ) C . S C . S ∂ t ∂ t ∂ t V .C

∫∫C .S . ( v − s )dA = ∫∫C.S . v • σ ij u dA = ∫∫C .S .σ ij ( v • u )dA ∂W = ∂ t ∂W = ∂ t

∂Ws ∂W σ ∂Wz + + ∂ t ∂ t ∂ t ∂Ws ∂Wz − ∫∫ σ ij (v • u )dA + C . S . ∂ t ∂ t

→ (13)

Sustituyendo la ecuación (13) en (12): ∂Q ∂Ws ∂Wz ∂ − + ∫∫ σ ij (v • u ) dA − = ∫∫ e ρ (v • u )dA + ∫∫∫ e ρ dv C .S . C . S ∂ t ∂ t ∂ t ∂ t V .C .

Y si :

∫∫C .S .

(

)

σ ij v • u dA −

∂W ∂Wz = − ∫∫ P (v • u ) dA − M C . S . ∂ t ∂ t

Donde : P ⇒ Pr esion Ter mod inamica σ ij ⇒ Es el negativo de P , entonces : ∂W ∂Q ∂Ws ∂ − = ∫∫ e ρ (v • u )dA + ∫∫ P (v • u )dA + ∫∫∫ e ρ dv + M C . S . C . S . ∂ t ∂ t ∂t V .C . ∂ t ⎛ P ⎞ ∂Q ∂Ws ∂ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + W M → (14 ) C . S . ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t ⎝ ρ ⎠

La ecuación 14 es la ecuación de la primera ley de la Termodinámica. Aplicaciones: Condiciones: • Flujo permanente • Perdidas por fricción Se desprecian Aplicando la ecuación de energía:


||||

68 ⎛ P ⎞ ∂ Q ∂Ws ∂ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + W M C . S . ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t ⎝ ρ ⎠

P v 2 P e + = + g y + u + ρ 2 ρ º

M = ρ 1 A1 v1 = ρ 2 A2 v2

h = u + P v = u +

P ρ

La ecuación general se transforma:

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ v 22 v12 ⎜ ⎟ ⎜ Q − Ws = m ⎢⎜ h2 + + g y 2 ⎟ − ⎜ h1 + + g y1 ⎟⎟⎥ 2 2 ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦ o

o

o

⎡ ⎤ v22 − v12 Q − W = m ⎢h2 − h1 + + g ( y 2 − y1 )⎥ 2 ⎣ ⎦ KJ Kg ⎡ KJ ⎤ ; = s s ⎢⎣ Kg ⎥⎦ o

o

o

KJ KJ = s s


||||

69

LA ECUACION DE BERNOULLI ∂ Q ∂Ws ⎛ P ⎞ ∂ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + W M C . S . ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t ⎝ ρ ⎠

Cuando : ∂Q ∂Ws ∂ ∂ =0, = 0 , ∫∫∫ e ρ dv = 0 , W M = 0 ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t

La ecuación de la primera ley de la Termodinámica se convierta en: La Ecuación de Bernoulli: ⎛

P ⎞

⎛

P ⎞

⎛

P ⎞

∫∫C .S . ⎜⎜⎝ e + ρ ⎠⎟⎟ ρ (v • u ) dA = ⎜⎜⎝ e + ρ ⎠⎟⎟ ρ (v • u )dA 2 + ⎜⎜⎝ e + ρ ⎠⎟⎟ ρ (v • u )dA 1 ⎛ P ⎞ ⎛ e P ⎞ = ⎜⎜ e + ⎟⎟ ( ρ vA)2 + ⎜⎜ + ⎟⎟ (− ρ vA)1 ⎝ ρ ⎠ ⎝ 1 ρ ⎠ ⎛ ⎛ v 22 P 2 ⎞ v12 P 1 ⎞ 0 = ⎜⎜ g y 2 + + ⎟⎟ ( ρ 2 A2 v2 ) − ⎜⎜ g y1 + + ⎟⎟ ( ρ 1v1 A1 ) 2 ρ 2 ⎠ 2 ρ 1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ v 22 − v12 ⎞ P 2 − P 1 ⎟⎟ + g ( y 2 + y1 ) + ⎜⎜ =0 2 ρ ⎝ ⎠

v12 P 1 v 22 P 2 g y1 + + = g y 2 + + 2 ρ 1 2 ρ 2

ρ g y1 +

ρ v12

2

+ P 1 + ρ g y 2 +

ρ v 22

v12 P 1 v22 P 2 y1 + + = y + + 2 g ρ g 2 2 g ρ g

NICA:

2

; ρ 1 = ρ 2

+ P 2

ECUACION ⎛ N ⎞ ⎜ 2 ⎟ DE ⎝ m ⎠ BERNOULLI

m {

CARGA

Restricciones a la primera ley de la Termodinámica:

Flujo permanente Incompresible No viscoso No hay trabajo en la flecha No hay transferencia de calor No hay transferencia de energía interna.


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70

Aplicación de la ecuación de Bernoulli ⎛ v12 − v 22 ⎞ P 1 − P 2 ⎟⎟ + =0 ( y1 − y 2 ) + ⎜⎜ 2 g g ρ ⎝ ⎠

v22 =0 y1 − 2 g

v 22 y1 = 2 g

v 22 = 2 g y ; v 2 = 2 g y1

←

E-2 (WELTY).- Si fluye agua en condiciones continuas en las que la bomba entrega 3 HP al fluido, encuentre la rapidez de flujo de masa si se desprecia las perdidas por fricción. W = 3 HP o

m=?

∂W M =0 ∂ t

Aplicando la primera ley de Termodinámica: ⎛ P ⎞ ∂ Q ∂ Ws ∂ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + W M C . S . ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t ⎝ ρ ⎠ −

⎛ P ⎞ ∂Ws = ∫∫ . ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA C . S . ∂ t ⎝ ρ ⎠

Btu 2545 ∂Ws o h 778 lbf ⋅ ft 1 hr = W s = 3 HP 1 HP 1 Btu 3600 s ∂ t lbf ⋅ ft s o lbf ⋅ ft − Ws =1650 s o

W = 1650

hT = hS + hd 1 hT = h s + ρ v 22 2 2(h − h ) 1 hT − h s = ρ v 22 ⇒ v 22 = T S 2 ρ

⎛ v 22 ⎛ v12 P 2 ⎞ P 1 ⎞ ⎛ P ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ( ρ 1 A1v1 ) e v u dA g y u A v g y u ⎜ + ⎟ • = + + + − + + + ρ ρ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 ∫∫C .S . ⎜⎝ ρ ⎠⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ρ ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ v 22 − v12 ⎤o =⎢ + g ( y 2 − y1 ) + (h2 − h1 )⎥ m h = u + Pv 2 ⎣ ⎦ =u+

hT − hS ρ

P ρ

;

u1 = u 2

v2 = 2


||||

71

⎡ v 22 − v12 ⎤ o ⎡ v 22 v12 ⎤ o ⎛ P ⎞ ∫∫C .S . ⎜⎜⎝ e + ρ ⎠⎟⎟ ρ (v • u ) dA = ⎢⎣ 2 ⎥⎦ m = ⎢⎣ 2 − 2 ⎥⎦ m

Y si : v22 ⎡ hT − hS ⎤ = 2 ⎢⎣ ρ ⎥⎦

Entonces :

o ⎡ ⎡ hT − hS v12 ⎤ o 2(hT − hS ) − ρ v12 ⎤ ⎛ P ⎞ ⎥ ∫∫C .S . ⎜⎜⎝ e + ρ ⎠⎟⎟ ρ (v • u ) dA = ⎢⎣ ρ − 2 ⎥⎦ m = m ⎢⎣ 2 ρ ⎦ ⎡ 2(hT − hS ) − ρ v12 ⎤ = ρ 1 A1v1 ⎢ ⎥ 2 ρ 1 ⎣ ⎦

sustituyendo datos : ⎡ ⎤ lbf 144 p lg 2 1 ⎢ ⎥ 2 1 ft lbf s 2 ⎥ lb 2 ft 2 ⎢ 2 * 2 p lg Hg p lg − 62.4 3 v1 2 * ⎢ 2.036 p lg Hg ft s 32.2 lbm ft ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ π 2 2 ft ⎢ (1) ft v1 ⎢ ⎥ 4 s ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ft lbf ⋅ ft = 0.7854 ft 2 v1 [111v1 − 0.76 v13 ] = −1650

s − 0. + 60 v + 111 v1 + 1650 = 0; − 3113 + 1776 + 1650 = 0 − 3113 + 3426 = 0 313 ≠ 0

s

3 1

v1 ≅ 16 ft / s

←

o

m = ρ A v lb π ft 062.4 3 * 12 ft 2 16 s ft 4 o

m = 784.15 lb / s

←


||||

72

E-3.-Una flecha gira con una velocidad angular constante, w en el cojinete que aparece en la figura. El diámetro es d y el esfuerzo constante que actúa sobre el eje ej. E. Encuentra la rapidez con la que se debe remover energía del cojinete para que la temperatura del lubricante que hay entre el eje que jira y la superficie estacionaria del cojinete permanece constante, supóngase que la flecha tiene poco peso y es concéntrico con el eje. ω = cte, d , z

∂Q = ? ∂ t T = cte

1.- El flujo masico no atraviesa el s.c. 2.- El trabajo de la flecha no atraviesa la s.c. 3.- El flujo es permanente. ∂W ∂ Q ∂Ws ⎛ P ⎞ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + M C . S . ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t ⎝ ρ ⎠ ∂ Q ∂W M ∂ = = W Z ∂ t ∂ t ∂ t

Todo el trabajo viscoso se utiliza para Vencer los esfuerzos cortantes: ∂ W M = ∫∫C .S . Z (v • et ) ∂ t

En la frontera exterior, v=0 y en la Frontera interior: ⎛ ω d ⎞ ∫∫C .S . Z (v • e)dA = − Z ⎜⎝ 2 ⎠⎟ A ∂Q ω d π d = − Z (1) 2 ∂ t π ω d 2 ∂Q = − Z → Rapidez deTransfer encia 2 ∂ t de calor requerida para mantener el lub ricante a T = cte Donde: eT = indica el sentido del esfuerzo constante


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73

Si no se disipa energía del sistema: ∂Q y entonces: =0 ∂ t ∂W ∂ e ρ dv = − M ∫∫∫ ∂ t V .C . ∂ t

Ya que solo la energía interna del lubricante alimentara con respecto al tiempo: ⎛ D 2 − d 2 ⎞ d u ∂W M π ω d 2 ∂ ⎟⎟ (1) e ρ dv = ρ π ⎜⎜ =− = − Z 4 d t t 2 ∂ t ∫∫∫ ∂ ⎝ ⎠

Con calor específico constante: C ρ

( D 2 − d 2 ) d u = − Z ω d 2

2 d t d u 2 Z ω d 2 =− d t ρ ( D 2 − d 2 ) d T 2 Z ω d 2 c =− d t ρ ( D 2 − d 2 )

;

d u = c dt ←

Notar que: 1.- El trabajo viscoso solo incluye cantidades que se encuentran en el v.c. ∂W 2.- Cuando la velocidad desarrollada sobre la s.c. del v.c. es nula, M = 0 ∂ t


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74

Ejemplo 4. (WELTY).- En el conducto de la figura se presenta un ensanchamiento súbito, la presión que actúa sobre la región y es uniforme y es P1 encontrar el cambio de u entre las regiones 1 y 2 para un flujo permanente e incompresible. Desprecie el esfuerzo constante que actúa sobre las paredes y exprese ∆ u en términos de A 1, A2 y v 1. P 1 , ∆ u = ? Flujo permanente, e incompresible, Z = 0 ∆ u = f ( A1 , A2 , v1 ) Aplicando la ecuación de Continuidad: ∂ ρ dv = 0 ∫∫C .S . ∂ t ∫∫∫V .C . ρ 2 A2 v 2 − ρ 1 A1v1 = 0 ρ 1 = ρ 2 ρ (v • u ) dA +

A1 v ← A2 1 Aplicando la ecuación de momento v2 =

v22 P 2 v12 P + g y 2 + u 2 + = + g y1 + u1 + 1 2 2 ρ 2 ρ 1 v22 − v12 P − P + g ( y 2 − y1 ) + 2 1 = 0 (u 2 − u1 ) + ∑ Fx = P 1 A1 − P 2 A2 2 ρ P 1 − P 2 v12 − v 2 2 ∫∫C .S . v X ρ (v • u )dA = v2 ( ρ 2 A2 v2 ) + v1 (− ρ 1 A1v1 ) u 2 − u1 = ρ + 2 A1 2 v12 v22 2 2 2 v + − = ρ (v 2 A2 − v1 A1 ) ∆ u = v2 − A2 1 2 2 Igualando fuerzas int ernas a externas ∂ ∑ Fx = ∫∫C .S . v X ρ (v • u )dA + ∂ t ∫∫∫V .C . v X ρ dv

2

2

P 1 A1 − P 2 A2 = ρ (v A2 − v A1 )

⎛ A1 ⎞ 2 A1 2 v12 1 ⎛ A1 ⎞ 2 A2 = A1 ; ∆u = ⎜⎜ ⎟⎟ v1 − v1 + − ⎜⎜ ⎟⎟ v1 A2 2 2 ⎝ A2 ⎠ ⎝ A2 ⎠

( P 1 − P 2 ) A2 = ρ (v22 A2 − v12 A1 )

1 ⎛ A1 ⎞ 2 ⎛ A1 ⎞ 2 v12 ∆u = ⎜⎜ ⎟⎟ v1 − ⎜⎜ ⎟⎟ v1 + 2 ⎝ A2 ⎠ 2 ⎝ A2 ⎠

2 2

2 1

2

P 1 − P 2 ρ

A = v − 1 v12 A2 2 2

←

v12 ∆u = 2

⎡⎛ A ⎞ 2 ⎛ A ⎞ ⎤ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 2⎜⎜ 1 ⎟⎟ + 1⎥ ⎢⎣⎝ A2 ⎠ ⎝ A2 ⎠ ⎥⎦


||||

75

Aplicando la ecuación de la energía. 2 v12 ⎡ A1 ⎤ ∆u = ⎢1 − ⎥ 2 ⎣ A2 ⎦ ⎛ P ⎞ ∂ Q ∂Ws ∂ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + W M C . S ∂ t ∂ t ∂ t ∂ t ⎝ ρ ⎠ ⎛ P ⎞ o ⎛ P ⎞ o ⎜⎜ e2 + ⎟⎟ * m 2 − ⎜⎜ e1 + ⎟⎟ m1 = 0 ρ ⎠ 2 ρ ⎠ ⎝ ⎝ o

o

m1 = m 2 e2 +

P 2 ρ 2

− e1 −

P 1 ρ 1

=0

→

2 ⎧⎪ v12 ⎡ A1 ⎤ ⎫⎪ ⎨u 2 − u1 = ⎢1 − ⎥ ⎬ 2 ⎣ A2 ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩

Esta ecuación muestra que la energía interna aumento con el ensanchamiento súbito. El cambio de temperatura con este ∆ u es expresable por ser insignificante por lo que el cambio de ∆ u total E: P 1 v12 P 2 v 22 + + g y1 − h2 = + + g y 2 2 ρ 2 ρ P 2 − P 1 v22 − v12 − h2 = + + g ( y 2 − y1 ) ρ 2 P 1 − P 2 v12 − v 22 h2 = + + g ( y1 − y 2 ) ρ 2

← ←


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76

PROBLEMAS 3.122 (WHITE) Calcular despreciando las perdidas el nivel del agua h, de la figura para el cual comienza a formarse burbujas de vapor en la garganta de la tubería. h=?

@ T = 30º C : Pv = 4242 Pa vapor de agua de ρ = 996 kg / m 3 tablas

Aplicando la ecuación de Bernoulli; Entre (1) y (2): v12 P 1 v22 P + g y1 + = + g y 2 + 2 2 ρ 2 ρ P 1 v12 P 2 v 22 + = + 2 ρ 2 ρ Ya que P 1 = Pv y P 2 = Pat . P 2 − P 1 v12 − v 22 Pa − Pv v12 − v 22 = = ; ρ 2 ρ 2 Aplicando la ecuación de continuidad: Entre (1) y (2) A2 φ 22 ρ 1 A1v1 = ρ 2 A2 v 2 , v1 = v = v A1 2 φ 12 2 64 v1 = v 2 ; v1 = 2.56 v 2 25 Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli Pa − Pv (2.56 v2 )2 − v 22 = = 2.77 v 22 ρ 2 ( Pa − Pv ) v2 = 2.77 ρ

=

N N ⎤ 1 kg m / s ⎡ 100000 4242 − ⎢⎣ m2 m 2 ⎥⎦ 1 N

(2.77 ) (996 ) v 2 = 5.89 m / s

2

kg m3

←

Y si se sabe que:


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77

v 2 = 2 g h v22 v = 2 g h ; h = 2 g 5.89 2 m 2 / s 2 h= 2 * 9.81 m / s 2 h = 1.76 m ← 2 2


||||

78

6.3.- (WELTY) Fluye aire a 70º F hacia un deposito de 10 ft 3 con una velocidad de 90 ft/s. Si la presión en el depósito es de 14 psig y sus temperaturas de 70 ºF. Determinar la rapidez de aumento de la temperatura dentro del depósito. Suponga que el aire que entra esta a la presión del deposito y fluye a través de un tubo de 3” de diámetro. De la ecuación de la energía: ⎛ P ⎞ ∂ Q ∂Ws ∂ ∂ − = ∫∫ ⎜⎜ e + ⎟⎟ ρ (v • u ) dA + ∫∫∫ e ρ dv + W M ∂ t ∂ t ∂ t V .C . ∂ t ⎝ ρ ⎠ ⎡ v 22 P 2 ⎤ o ⎛ P ⎞ ⎜ + ⎟ • = + + + e ρ v u dA g y u ( ) ⎢ ⎥ m2 − 2 2 ∫∫C .S . ⎜⎝ ρ ⎠⎟ 2 ρ ⎣ ⎦ o ⎡ v12 P ⎤ o − ⎢ + g y1 + u1 + 1 ⎥ m1 = (u1 + P 1v1 ) m1 ρ ⎦ ⎣2 o

= − m1 h1 ∂ ∂ e ρ dv = u M ∫∫∫ ∂ t V .C . ∂ t ⎛ P ⎞ ∂ e v u dA e ρ dv = 0 ⎜ + ⎟ • + ( ) ρ ∫∫ ⎜⎝ ρ ⎠⎟ ∂ t ∫∫∫V .C . o ∂ − m1 h1 + u M = 0 ∂ t Si : h1 = CpT y u = CvT

Entonces : ∂u ∂ M o M + u = m1 h1 ∂ t ∂ t o o ∂u M + u m1 = m1 h1 ∂ t

De Tablas Ter mod inamicas para el aire @ 70º F Cp 0 = 0.24

Btu Btu , Cv 0 = 0.171 lbmº R lb º R

π ⎛ 3 ⎞

∂u o = m1 (h1 − u ) ∂ t ∂ T o = m1 (h1 − u ) M Cv ∂ t

M

2

ft

2 ⎜ ⎟ ft 90 ∂ T 4 ⎝ 12 ⎠ s ⎡ 0.24 ⎤ = − 530 530 ( ) 3 ⎢⎣ 0.171 ⎥⎦ º R ∂ t 10 ft ∂ T = 94.48 º R / s ← ∂ t

o

∂ T m1 Cv = (h1 − u ) ∂ t M ∂ T ρ 1 A v1 Cv = (CpT 1 − CvT 0 ) ∂ t ρ 1V ∂ T A1 v1 = V ∂ t

⎡ Cp ⎤ ⎢⎣ Cv T 1 − T 0 ⎥⎦ → → ↑


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79

6.7.- (WELTY) Un ventilador succiona aire de la atmósfera a través de un conducto circular de 0.30 m de φ , que tiene una entrada suavemente redondeada. El manómetro diferencial conectado a una apertura que hay en la pared del conducto registra una presión de vacío de 2.5 mm H 2O. La densidad del aire es de 1.22 Kg/m 3. Determine la rapidez de flujo del volumen de aire del conducto. ¿Cuál es el rendimiento de salida en HP del ventilador? φ 1 = 0.3 m hVACIO = 2.5 cm H 2 O ρ AIRE = 1.22 Kg / m 3 o

V = ? o

W = ? Aplicando la ecuación de Bernoulli, entre (1) y (2) v12 P 1 v22 P + g y1 + = + g y 2 + 2 2 ρ 2 ρ 98.2 N / m 2 2 * 2.5 cm H 2 O 1cm H 2 O v 22 = 1.22 Kg / m 3 v 2 = 20 m / s ← o

V = v A = 20 m / s ⋅ π / 4(0.3)2 m 2 m 3 1 ft 3 = 1.418 s 0.0283 m 3 o

← V = 50.1 ft 3 / s Aplicando la ecuación de la energía Entre (1) y (2) ⎛ ∂ P ⎞ ⎜ ⎟ e v u dA e ρ dv ρ + • + ( ) ∫∫ C . S . ⎜⎝ ρ ⎠⎟ ∂ t ∫∫∫ V . C . o ⎡ v 32 − v 12 P − P 1 ⎤ ∂ ∂ Ws + = m⎢ + g ( y 3 − y 1 ) + (u 3 − u 1 ) + 3 W M − ⎥ ∂ t ∂ t 2 ρ ⎣ ⎦ y 3 = y 1 , P 3 = P 1 = P atm u 3 = u1 ∂Q ∂ Ws − = ∂ t ∂ t

−

o ⎛ o v 2 ⎞ v2 ∂ Ws = m ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = m 3 ∂ t 2 ⎝ 2 ⎠ o

o

v 3 = v 2 , m = ρ V o v 32 ∂ Ws kg m 3 400 m 2 m m − = ρ V = 1 . 22 = 346 kg 2 * * 1 . 418 * 3 2 ∂ t 2 s 2 s s m s

Y

−

N m 1 Joule 1 W 1 HP ∂ Ws = 346 = 346 W = 0 . 463 HP ∂ t s 1 N m 1 J / s 746 W

←


||||

80

6.18 WELTY. Un automóvil viaja a 90 MPH en contra de la dirección del viento de 50 MPH. Si la lectura del Barómetro es de 29 plg Hg y la temperatura de 40 ºF. ¿Cuál es la presión de un punto del automóvil en el que la velocidad del viento es de 120 ft/s con respecto al auto? v a = 95 MPH = 139.3 ft / s P at = 29 p lg Hg = 14.28 psi T am = 40 º F = 500º R P AUTO Vv / auto = 120 ft / s lbf ft R = 53.34 lbmº R Aplicando la ecuación de los gases para determinar la densidad del aire: lbf 144 p lg 2 14.28 * p lg 2 1 ft 2 P P lbm = R T ; ρ = = = 0.077 3 lbf ft ρ R T ft 53.34 lbm º R Aplicando la ecuación de Bernoulli entre un punto del auto ( P A ) en el que la vV / auto = 120 ft / s y el auto. va2 P a vv2 / auto P + g y a + = + g y v / auto + A 2 ρ 2 ρ va2 P a vv2 / auto P A P A − P a va2 − vv2/ auto ; + = + = 2 ρ 2 ρ P 2 ⎡ v a2 − v v2/ auto ⎤ P A − P a = ρ ⎢ ; P a = P atm ⎥ 2 ⎣ ⎦ lbf s 2 lbm ⎡139.3 2 − 120 2 ⎤ ft 2 P A − P a = 0.077 3 ⎢ ⎥ s 2 * 32.2 lbm ft = 6.02 2 ft ⎣ ⎦

lbf 1 ft 2 lbf P A − P a = 6.02 2 0 . 0418 = ft 144 p lg 2 p lg 2 lbf P A = 0.0418 + 14.69 = 14.73 2 in lbf P A = 14.73 2 ← in


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81

6.61.-( MOTT) Agua a 10 ºC fluye del punto A al punto B por el conducto mostrado en la fig. 6.22 a una rapidez de 0.37 m 3/s si la presión en A es de 66.2 KPa. Calcular la presión en B. Agua @ T = 10 º C A → B o

v = 0.37 m 3 / s P A = 66.2 KPa P B = ? Aplicando la ecuación de Bernoulli Entre A y B v A2 P A v B2 P + g y A + = + g y B + B 2 ρ 2 ρ P B − P A v A2 − v B2 = + g ( y A − y B ) ρ 2 P B − P A ⎡ 5.234 2 − 1.32 ⎤ m 2 m =⎢ + 9 . 81 (0 − 4.5) m ⎥ s 2 ρ 2 s 2 ⎣ ⎦ m2 = −31.29 2 s m 2 3 kg kg m 2 P B − P A = −31.29 2 10 3 = −31290 3 2 s m m s m m P B − P A = −31290 kg 2 3 s m P B − P A = −31290

N 1 Pa 1 KPa m 2 1 N 10 3 Pa m2

P B − P A = −31.290 KPa P B = −31.290 KPa + 66.2 KPa = 34.9 KPa P B = 34.9 KPa

o

v v = v A ; v = A o

v A =

π φ 2 ⎛ π

2 ⎞ ⎜ 0.3 ⎟ 0.37 4 ⎝ 4 ⎠

v A = 5.234

m s

m3 0.37 * 4 s v B = = 1.3 2 π (0.6 ) m v B = 1.3 s

←


||||

82 7

ESFUERZO CORTANTE EN FLUJO LA MINAR

FLUIDOS NEWTONIANOS En los fluidos no Newtonianos Z depende de la rapidez de deformación cortante, en los fluidos Newtonianos se deforman continuamente bajo la acción de Z. Los plásticos soportan un cierto Z antes de que se produzca la deformación.


||||

83

Esfuerzos Cortantes En Flujos Laminares. El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere magnitud, dirección y orientación con respecto a un plano para su identificación

Ζ = µ

d ν dy

N 2 Ζ ⇒= m = Pa ⋅ s µ = d ν m dy s ⋅ m µ → Pa ⋅ s Z ij

Z Magnitud. i Dirección del eje normal al plano de acción del esfuerzo cortante. j Dirección de la acción.


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84

La rapidez de deformación cortante en un punto se define como −

−

d ∂ de la figura anterior: dt

∂ t + ∆t − ∂ t d ∂ = − lim ∆ x , ∆ y , ∆t →0 dt ∆t

{(

}

⎡ ⎧π ∆t ⎫⎬ − π ⎤ ⎢ ⎨ 2 − arctg v y + ∆ y − v y ∆ y ⎭ 2 ⎥ ⎩ ⎥ = lim ⎢ ∆ x , ∆ y , ∆t →0 ⎢ ∆t ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

En el limite: −

d ∂ dv = dt dy

)

 Rapidez

de deformación cortante -------- > (7.3)

Sustituyendo (7.3) en (7.2), resulta: Ζ = µ

d ν ---------- >(7.4) dy

La ecuación 7.4 es la ley de Newton para la viscosidad. Para un flujo que se encuentra entre dos placas paralelas el perfil de velocidad es parabólico, así como la deformación cortante es proporcional a la derivada de la velocidad. Z varía en forma lineal.


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85

PROBLEMAS Problema.- Si la viscosidad cinemática del benceno es de 7.42x10-3 stokes y su densidad es de 860kg/m3, calcule se viscosidad dinámica en kg/m3. D=7.42x10-3 stokes ρ=860kg/m3 µ=? ∂=

ρ

;

1stokes=10-4m2/s

= ρ ∂

m2 10 kg −3 s µ = 860 3 ∗ 7.42 x10 stokes 1 stokes m −4

m 2 kg kg µ = 6.38 x10 ⋅ 3 ⇒ µ = 6.38 x10 − 4 s m m ⋅ s 3 1m − 4 kg 10 g −3 g 6 . 38 x 10 6 . 38 x 10 = ⇒ µ m ⋅ s 1kg 10 2 cm cm ⋅ s −4

µ = 6.38 x10 −3

g 1 poise = 6.38 x10 −3 poise cm ⋅ s g cm ⋅ s


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86

Problema.- El espacio entre dos placas paralelas horizontales separadas por 5mm en donde está lleno con aceite crudo de viscosidad dinámica de 2.5kgm/s. Si la placa inferior está en reposo y la superior es jalada con una velocidad de 1.75m/s, determine el esfuerzo cortante sobre la placa inferior.

h=5mm µ=2.5kg/m·s v placa inferior =0 v placa superior =1.75m/s Z=? τ = µ

d ν dy

m kg s ∗ τ = 2.5 m 1m 5mm 3 s 10 mm N τ = 875 2 m 1.75


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87

Problema 7.3.- El pivote cónico de la figura tiene una velocidad angular y descansa sobre un capa de aceite cuyo espesor uniforme es h. Determine el momento de fricción en función del ángulo α, de la viscosidad, de la velocidad angular ω, de la distancia que separa las dos superficies y del diámetro del eje.

dA = rd φ dL dr r dL = ; dF = ΖdA = µ rd φ dL senα h r 2ϖ dF = µ d φ dL h dM = r ⋅ dF r 3ϖ r 2ϖ dr dM = µ d φ dL = µ d φ h h senα 2π r 3 r dr µϖ dM d φ = ∫ h ∫∫ sen α 0 0 M = M =

2π µϖ ⎛ r 4 ⎞

hsenα ⎜⎝ 4 ⎠⎟ ∫0 ⎜

⎟ d φ

µϖ r 4

2π 4hsenα r πµϖ r 4 M = ;....... si.... D = 2hsenα 2 D 4 πµϖ M = 32hsenα


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88

Problema 7.6.- La rapidez de trabajo cortante por unidad de volumen está dado por el producto Z·v en un perfil parabólico de velocidad en un tubo circular (ver ejemplo 2 capitulo 4). Determine la distancia a la pared en el cual es máximo el trabajo cortante.

& = Zv W z r W & z = MAX = ?

⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ v X = v MAX ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦

dp R 2 v MAX = − dx 4 M si dv Z = µ dy dv Ζv = µ v MAX MAX dr v dv Zv PROM = µ MAX MAX 2 dr 2 µ dv MAX Ζv PROM = 2 dr r 2 r 4 ⎞⎤ µ d ⎡ 2 ⎛ = ⎢v ⎜1 − 2 2 + 4 ⎟⎟⎥ 2 dr ⎣ MAX ⎜⎝ R R ⎠⎦

2 ⎛ r 3 ⎞ 2µ v MAX ⎜ ⎟ r Ζv PROM = − R 2 ⎜⎝ R 2 ⎠⎟ 2 ⎛ 3r 2 ⎞ 2µ v MAX d ⎜ − 1⎟ (Ζv )= dr PROM R 2 ⎜⎝ R 2 ⎠⎟ 2 ⎛ 3r 2 ⎞ 2 µ v MAX ⎜ 0= − 1⎟ R 2 ⎜⎝ R 2 ⎠⎟

3r 2 −1 = 0 R 2 3r 2 = R 2 2

1 ⎛ r ⎞ ⎜ ⎟ = 3 ⎝ R ⎠ r = 13 R 2 r = R 3

2 ⎛ µ v MAX

r r 3 ⎞ ⎜− 4 = + 4 4 ⎟⎟ 2 ⎜⎝ R 2 R ⎠ ⎛ 2r 2r 3 ⎞ 2 = µ v MAX ⎜⎜ − 2 + 4 ⎟⎟ ⎝ R R ⎠ ⎛ r 3 r ⎞ = 2 v ⎜⎜ 4 − 2 ⎟⎟ ⎝ R R ⎠ 2 ⎛ r 3 ⎞ 2µ v MAX ⎜ ⎟ Ζv PROM = − r R 2 ⎜⎝ R 2 ⎠⎟ 2 µ MAX


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89

8 ANÁLISIS DIFERENCIAL DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL FLUIDO EN UN FLUJO LAMINAR. El análisis de un elemento en flujo de fluidos como ya se mencionó anteriormente se puede realizar desde dos puntos de vista al microscopio (volumen de control) visto hasta aquí y el microscópico o diferencial, que es el que se vera en los siguientes capítulos, por lo que las expresiones resultantes de este análisis serán ecuaciones diferenciales. La solución de estas ecuaciones diferenciales darán información sobre el flujo de forma diferente a la obtenida en un análisis macroscópico (integral). Esta información puede ser de menor interés para el ingeniero que requiere de la información global para el diseño, pero puede dar un conocimiento más profundo de los mecanismos de transferencia de masa, momento y energía. Es posible cambiar una forma de análisis en otra, es decir, pasar fácilmente por integración de un análisis diferencial a un análisis integral y viceversa. La solución completa de las ED. del flujo de fluidez es posible solo si el flujo es laminar. Flujo laminar totalmente desarrollado en un conducto circular de sección transversal constante. Flujo totalmente desarrollado es cuando se perfil de rapidez no varía a lo largo del eje del flujo. Aplicando la segunda ley de Newton a este volumen de control se conoce la fuerza y los términos del momento para ka sección X.


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90

→ →

Σ F X = ∫∫ ρ v X (v ⋅ n)dA +

∂ v X ρ dV ∂t ∫∫∫V :C .

Fuerzas externas: Σ F X = p(2π rdr ) X − p (2π rdr ) X + ∆ X + Ζ rX (2π xdx ) r + ∆r − Ζ rX (2π xdx ) r = 0 − −− > (1)

Fuerzas internas: → →

∫∫ ρ v X (v ⋅ n)dA = ρ v X (2π r ∆rv X ) X

− ρ v X (2π r ∆rv X ) X = 0 − − − −− > (2)

+ ∆ X

∂ v X ρ dV = 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− > (3) ∂t ∫∫∫V :C .

De (1) p(2π rdr ) X − p (2π rdr ) X + ∆ X + Ζ rX (2π xdx ) r + ∆r − Ζ rX (2π xdx ) r = 0 ρ r (∆v ) X − ρ r (∆r ) X + ∆ X + Ζ rX r (∆ x ) r + ∆r − r Ζ rX (∆ x ) r = 0

r ∆r [ ρ X − ρ X + ∆ X ] + ∆ x[r Ζ rx

[ ρ X − ρ X +∆ X ]

− r

∆ x

+

r Ζ rx

r + ∆r

r + ∆r

− r Ζ rx

− r Ζ rx

∆r

r

r

]

= 0 − − − − − − − − − − − − − − − −− > (4)

Evaluando y sacando límites cuando xr 0, se tiene: − r

d ρ d + (r )(Ζ rX ) = 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (5) dx dr

Recordando que para un flujo completamente desarrollado: − ∫ rdr

d ρ = cte dx

d ρ + d (r )(Ζ rX ) = 0 dx ∫

r 2 d ρ − + r Ζ rx + C 1 = 0 2 dx C r d ρ − + Ζ rx + 1 = 0 2 dx r r d ρ C 1 Ζ rx = + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (6) 2 dx r


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91

La C1 de (6) se puede calcular conociendo un valor de Zrx para una r determinada. Esta condición se conoce en el centro del conducto en: r=0

Ζ rX = 0

Debido a que esto es físicamente imposible, el único calor real para C1=0 y por tanto la distribución del esfuerzo cortante para las condiciones y geometría especificadas es: r d ρ Ζ rX = − − − − − − − − − − − − − − − − > (7 ) 2 dx Como se podrá observar que Z varía linealmente a través del conducto, desde un valor de Z=0 en r=0 hasta un valor máximo en r=R, es decir Ζ → Ζ MAX ; r = R

Además si el fluido es laminar y con viscosidad Newtonica d ν Ζ rX = µ X − − − − − − − − − − − − − − − − − −(8) dr Sustituyendo (8) en (7) µ

d ν X r d ρ = dr 2 dx

Separando variables 1 d ρ

∫ dv X = 2µ dx ∫ rdr 1 d ρ r 2 v X = + C 2 − − − − − − − − − − − − − − − −(9) 2µ dx 2 Aplicando la condición de frontera de no deslizamiento: En r=R, vx=0 1 d ρ R 2 0= + C 2 2 µ dx 2 1 d ρ R 2 0= + C 2 4 µ dx 1 ⎛ d ρ ⎞ R 2 C 2 = −⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ 4µ

Sustituyendo C2 en (9): Rubio Arana J.C. 19/01/05

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92

1 d ρ r 2 ⎛ d ρ ⎞ R 2 + −⎜ ⎟ 4µ dx 1 ⎝ dx ⎠ 4µ d ρ 1 [− r 2 + R 2 ] v X = − dx 4 µ v X =

2 2 ⎛ d ρ ⎞ R ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ v X = −⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (10) ⎝ dx ⎠ 4µ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

La ecuación (10) gobierna un perfil parabolico de velocidad asi como también que la velocidad máxima esta en r=0 por tanto: 2

⎛ d ρ ⎞ R v MAX = −⎜ ⎟ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (11) ⎝ dx ⎠ 4µ Sustituyendo (11) en (10) ⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ v X = v MAX ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (12) ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

Como se recordara: v v X = MAX 2 Sustituyendo vmax en la ecuación (12) 2

v PROM

⎛ d ρ ⎞ R = −⎜ ⎟ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (13) ⎝ dx ⎠ 8µ

Y el gradiente de presión queda entonces expresado como: −

d ρ 8µ v PROM = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (14) dx R 2

En función del diámetro: v PROM d ρ 32 = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −(15) dx D 2

La ecuación (15) se le conoce como la ecuación de: Rubio Arana J.C. 19/01/05

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93

Hagen-Poiseville. Esta ecuación se puede integrar sobre una longitud dada del conducto para encontrar el descenso de presión y arrastre asociado que se ejerce sobre e conducto como resultado de un flujo de fluido viscoso. Las condiciones para las cuales se obtuvo y se puede emplear son: 1.- Fluidos: a).- Newtoniano. b).- Se comporte continuo. Flujo: a).- Laminar. b).- Permanente. c).- Totalmente desarrollado. d).- Incompresible.


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94

FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO NEWTONIANO QUE FLUYE HACIA ABAJO POR UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA. Aplicando la ecuación de momento al V.C → →

Σ F X = ∫∫ ρ v X (v ⋅ n)dA +

∂ v X ρ dV ∂t ∫∫∫V :C .

∆ysenθ Σ F X = p ∆ y X − p ∆ y X + ∆ X + Ζ yX ∆ x y + ∆ y − Ζ yX ∆ x y + ρ g ∆ x → →

∫∫

vn

ρ v X ( ⋅ ) dA = ρ v x2 (∆Y ) X + ∆ X − ρ v x2 (∆y ) X

Por que

dv = 0; v=cte dx

Por lo tanto: ∆ysenθ = 0 Ζ yX ∆ x y + ∆ y − Ζ yX ∆ x y + ρ g ∆ x Dividiendo esta ecuación entre el V.C Ζ yX ∆ x y + ∆ y − Ζ yX ∆ x y ∆ x∆ y (1) Ζ yX y + ∆ y − Ζ yX

y

∆ y (1)

+ ρ gsenθ = 0

+ ρ gsenθ = 0

Si y0 y sacando el limite: d (Ζ ) + ρ gsenθ = 0 dy yx Separando variables:

∫ d (Ζ yx ) + ρ gsenθ ∫ dy = 0 Ζ yx + ρ gsenθ y = C 1 Ζ yx = − ρ gsenθ y + C 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −(16)

Sujeta a las condiciones de frontera: Ζ yx = 0 en y=L

Aplicándola a la ecuación (16)


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95

0 = − ρ gsenθ L + C 1 C 1 = ρ gsenθ L Sustituyendo C1 en la ecuación (16): Ζ yx = − ρ gsenθ y + C 1 Ζ yx = − ρ gsenθ y + ρ gsenθ L Ζ yx = ρ gsenθ ( L − y ) ⎛ y ⎞ Ζ yx = ρ gsenθ ⎜1 − ⎟ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (17) ⎝ L ⎠

Si:

d ν X dy 1

Ζ yX = µ

d ν X = Ζ rX dy µ d ν X y ⎞ ρ gLsen θ ⎛ = ⎜1 − ⎟ dy µ ⎝ L ⎠ Separando variables e integrando:

∫ dv X = v X =

ρ gLsenθ ⎛ y ⎞ ⎜1 − ⎟dy µ ⎝ L ⎠

∫

ρ gLsenθ ⎛

y 2 ⎞ ⎜⎜ y − ⎟⎟ + C 2 2 L ⎝ ⎠

µ

Sujeta a las condiciones de frontera: vx=0 en y=0 por lo tanto: 0 = 0 + C 2 ; C2=0 y v X =

v X =

ρ gLsenθ ⎛ µ

ρ gL2 senθ ⎛ ⎜ y µ

y 2 ⎞ ⎜⎜ y − ⎟⎟ ⎝ 2 L ⎠

1 ⎛ y ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ L 2 ⎝ L ⎠ ⎝

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Ahora: Rubio Arana J.C. 19/01/05

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96

v X y = L = v MAX Entonces: v MAX = v MAX =

ρ gL2 senθ ⎛ µ ρ gL2 senθ

2µ

1 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 2 ⎠ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (18)

En la superficie libre: y=L


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97

PROBLEMAS Problema 8.6.- Un conducto hidráulico de 0.635cm se rompe repentinamente a 8m de un depósito cuya presión manométrica es de 207kPa. Compare la rapidez de flujo laminar con una rapidez de flujo no viscoso del conducto roto en m3/s.

Q NV=? QV=? a).- Flujo laminar Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 (para flujo no viscoso). 2 p1 v1 p 2 v 22 + + gz1 = + + gz 2 ρ 2 ρ 2 p1 − p 2 ρ

v22 2( p1 − p 2 ) = ;.........v 2 = 2 ρ

Q NV = v2 A2 ;..........Q NV = Q NV =

π D22

2( p1 − p 2 )

4

ρ

π D22

2( p1 − p 2 )

4

ρ

b).- Para flujo viscoso. -

d ρ 32 vPROM = dx D 2


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98

d ρ ∆ p ∆ p D 2 ;...........v PROM = − = dx L L 32µ ∆ p D 2 π D22 QV = v2 A2 = L 32µ 32µ π ∆ PD24 QV = 128 Lµ Problema 8.9.- Un fluido fluye entre dos placas paralelar separadas una distancia h. La placa superior se mueve con una velocidad vo, la inferior está estática. ¿Para que valores del gradiente de presión será igual a cero el esfuerzo cortante sobre la pared inferior?

h, vo ∆ p Z yx =0 = en..h =0

dp d = Ζ dx dy yx dp d dv X = µ dx dy dy dv X dp dy d = µ ∫ dy dx ∫ dv dp y = µ X + C 1 dx dy C 1 dp ydy = dv X + 1 dy µ dx µ C 1 1 dp ydy dy = ∫ dv X + µ dx ∫ µ ∫ 1 dp y 2 C 1 y + = v X + C 2 µ dx 2 µ


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99

Aplicando las C.F. en: y=0; vx=0 1 dp (0) + C 1 (0 ) = C 2 µ dx C 2 = 0 1 dp y 2 C 1 y v X = + µ dx 2 µ Ahora en:

vO

y=h, vx=vo

C h 1 dp h 2 = + 1 µ dx 2 µ

⎛ 1 dp h 2 ⎞ µ ⎟⎟ C 1 = ⎜⎜ v O − µ dx 2 ⎝ ⎠ h h 2 dp ⎞ µ ⎛ ⎜⎜ v O − ⎟ C 1 = h ⎝ 2 µ dx ⎠⎟ Sustituyendo C1 en la sol. General h 2 dp ⎞ 1 dp y 2 y µ ⎛ ⎜⎜ vO − ⎟ v X = + µ dx 2 µ h ⎝ 2µ dx ⎠⎟ dp y 2 y ⎛ h 2 dp ⎞ ⎟ v X = + ⎜⎜ vO − dx 2µ h ⎝ 2µ dx ⎠⎟ Si dv X = 0: dy y =o dv X dp ⎛ 2 y ⎞ 1 ⎡ h 2 dp ⎤ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎢vO − dy dx ⎝ 2µ ⎠ h ⎣ 2µ dx ⎥⎦ dv X ⎛ y ⎞ dp 1 ⎡ h 2 dp ⎤ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎢vO − dy ⎝ µ ⎠ dx h ⎣ 2µ dx ⎥⎦ dv X ⎛ y ⎞ dp vO h dp = ⎜⎜ ⎟⎟ + − dy ⎝ µ ⎠ dx h 2µ dx dv X dp ⎛ y h ⎞ vO = ⎜⎜ − ⎟+ =0 dy y =0 dx ⎝ µ 2µ ⎠⎟ h


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100 dp h vO + dx 2 µ h vO = h h 2µ 2µ v = 2O h

0=− dp dx dp dx


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101

9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS Las leyes fundamentales de flujo de fluidos (continuidad, segunda ley de Newton y conservación de energía), expresadas en forma integral para un volumen de control arbitrario, también pueden expresarse en forma diferencial para un volumen de control, de elemento diferencial. Estas ecuaciones diferenciales para el flujo de fluidos proporcionan un medio para determinar la variación en las propiedades del fluido punto a punto.

1.-ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad que se desarrollará, es la ley de conservación de la masa expresada en forma diferencial. Considérese el volumen de control ∆ x ∆ y ∆ z que z que se muestra en la figura 1.

Figura 1.- Volumen de Control para el análisis de la ecuación de continuidad La expresión del volumen de control para la conservación de masa es: ∂

∫∫ ρ (v ⋅ n)dA + ∂t ∫∫∫ ρ dV = 0

(4.1)

El flujo de masa ρ (v ⋅ n) dA en cada una de las caras del volumen de control se ilustra en la figura 1. La masa dentro del volumen de control es ρ ∆ x∆ y∆ z por lo tanto, la razón de que la masa dentro del volumen de control cambia con respecto al tiempo es: ∂ ( ρ ∆ x∆ y∆z ) ∂t


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102

Debe de tenerse en cuenta que la densidad en general es una función de la posición y del tiempo, esto es: ρ = ρ ( x, y, z, t ). El flujo de masa que sale del volumen de control es: en la dirección x ( ρ v x x + ∆ x − ρ v x x )∆ y∆ z en la dirección y ( ρ v y y + ∆ y − ρ v y y )∆ x∆ z en la dirección z ( ρ v z z + ∆ z − ρ v z z )∆ x∆y El flujo total neto de masa es la suma de los tres términos anteriores. Al sustituir en (4.1) se obtiene: ∂

( ρ v x x+∆ x − ρ v x x )∆ y∆ z + ( ρ v y yx+∆ y − ρ v y y )∆ x∆ z + ( ρ v z z +∆ z − ρ v z z )∆ x∆ y + (ρ ∆ x∆ y∆z) = 0 (2) ∂t El volumen no cambia con el tiempo, de manera que puede dividirse ambos miembros de la ecuación (2) entre el volumen de control ∆ x ∆ y ∆ z. En el límite a medida que el volumen de control se aproxima a cero, se obtiene: ∂ ∂ ∂ ∂ ( ρ v x ) + ( ρ v y ) + ( ρ vz ) + ( ρ ) = 0 ∂ x ∂ y ∂ z ∂t

(9.1)

Los tres primeros términos comprenden la divergencia del vector ρv. La divergencia de un vector es producto punto con ∇ . divA = ∇. A Por lo tanto la expresión más compacta de la ecuación de continuidad es: ∇ ⋅ ρ v +

∂ρ = 0 ∂t

(9.2)

La ecuación de continuidad anterior se aplica al flujo transitorio y tridimensional. Es evidente que cuando el flujo es incompresible la ecuación se reduce a: ∇ ⋅ ρ v = 0

(9.3)

en la cual el flujo puede ser transitorio o no. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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103

Para introducir la definición de la derivada sustancial se reordena la ecuación (2): ∂v y ∂v Z ⎞ ⎛ ∂v ⎛ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ ⎞ ⎟⎟ = 0 ⎜⎜ + v X + v y + v Z ⎟⎟ + ρ ⎜⎜ X + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ t x y z x y z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ................... ⇑ ........................

Derivada..Sus tan cial ∂ ∂ ∂ D ∂ = + v X + v y + v Z ∂ x ∂ y ∂ z Dt ∂t

(9.4)

Aplicando esta definición se obtiene:

D ρ + ρ ∇ ⋅ v − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − . − − − (9.5) Dt


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104

2.- ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Las ecuaciones de Navier-Stokes son la forma diferencial de la segunda ley de Newton del movimiento La cual se estableció para un volumen de control arbitrario como

∑ F = ∫∫ ρ (v • n)dA + c. s .

∂ ρ vdV ∂t ∫∫∫ c .v .

(5.4)

En la forma diferencial, (esto es cuando el volumen de control tiende a cero), esto se refiere a las propiedades y análisis de un punto, en el fluido. Puesto que la expresión matemática para cada uno de los términos de la ecuación anterior es bastante larga, cada uno de ellos se evaluará por separado. A cada una de las partes se de la ecuación se divide entre (∆x, ∆y. ∆z) y se saca el limite cuando (∆x, ∆y. ∆z) tiende a cero.

lim

∆ x∆ y∆ z →0

∑ F ∆ x∆ y∆ z

(1)

= lim

∆ x∆ y∆ z →0

∫∫

ρ v(v • n) dA

∆ x∆ y∆ z

∂ ρ vdV ∫∫∫ ∂ t + lim ∆ x∆ y∆ z →0 ∆ x∆ y∆ z

(2)

(3)

(9.8)

• ANÁLISIS DE SUMA DE FUERZAS EXTERNAS:

Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son las que se deben al esfuerzo normal y al esfuerzo cortante y a las fuerzas sobre el cuerpo, como la gravedad.

Figura 2 Volumen de control para el análisis de las fuerzas externas Rubio Arana J.C. 19/01/05

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105

Al sumar las fuerzas en dirección x se obtiene:

∑ F x = (σ xx( x + ∆ x) −σ xx( x) )∆ y∆ z + (τ yx( y + ∆ x) −τ yx( y) )∆ x∆ z + (τ

−τ

zx( z + ∆ z) zx( z)

)∆ x∆ y + g ρ ∆ x∆ y∆ z x

Donde gx es el componente de la aceleración gravitacional en la dirección x. En el limite a medida que las dimensiones del elemento se aproximan a cero, esto se convierte en

lim

∆ x∆ y∆ z →0

∑ F x ∆ x∆ y∆ z

=

∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx + + + ρ g x ∂ x ∂ y ∂ z

Para las sumas de fuerzas en las direcciones y y z se obtiene expresiones parecidas: lim

∆ x∆ y∆ z →0

lim

∆ x∆ y∆ z →0

∑ F y ∆ x∆ y∆ z

∑ F z ∆ x∆ y∆ z

=

∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy + + + ρ g y ∂ x ∂ y ∂ z

=

∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz + + + ρ g z ∂ x ∂ y ∂ z

• MOMENTO NETO DE FLUJO A TRAVÉS DEL VOLUMEN DE CONTROL

El momento neto de flujo a través del volumen de control se ilustra en la figura 3.

Figura 3 Flujo de momento a través de un Volumen de Control diferencial


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106

Analizando el primer miembro de la derecha de la ecuación de la segunda ley de Newton que corresponde a la rapidez de momento lineal neto en el volumen de control. Tenemos que:

∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA = ∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA salida − ∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA Entrada Entonces:

ρ v(v ⋅ n)dA= ⎛ ⎜ ρ v∆ y∆ zv x

∫∫

⎝

x+∆ x

+ ρ v∆ x∆ zv y

y+∆ y

+ ρ v∆ x∆ yv z

⎞⎟ − ⎛ ρ v∆ y∆ zv x + ρ v∆ x∆ zv y + ρ v∆ x∆yv z ⎞⎟ ⎜ z +∆ z ⎠ ⎝ x y z ⎠

Agrupando términos:

∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA = ρ v∆ y∆ z (v x x

(i)

+ ∆ x

− v x x ) + ρ v∆ x∆ z (v y

y + ∆ y

− v y y ) + ρ v∆ x∆ y (v z

z + ∆ z

− v z z )

Dividiendo la ecuación (i) entre el volumen de control ( ∆ x ∆ y ∆ z) y haciendo el límite cuando este tiende a cero, se tiene que: ⎡ ρ v(v ρ v(v y − v y y )∆ x∆ z ρ v(v z − v z z )∆ x∆ y ⎤ x x + ∆ x − v x x ) ∆ y∆ z y + ∆ y z + ∆ z ⎢ ⎥= + + Lim ⎥ ∆ x∆ y∆ z ∆ x∆ y∆ z ∆ x∆ y∆z ∆ x∆ y∆ z → 0 ⎢ ⎣ ⎦

⎡ ρ v(v − v y y ) ρ v(v z ρ v(v y − v z z ) ⎤ x x + ∆ x − v x x ) y y + ∆ + ∆ z z ⎥ (ii) = Lim ⎢ + + ⎢ ⎥ ∆ ∆ ∆ x y z ∆ x∆ y∆ z → 0 ⎣ ⎦ f ( x + ∆ x) − f ( x) Aplicando la definición de derivada df dx = Lim a la ecuación (ii),esta tomo la ∆ x ∆ x

forma:

(iii )

∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA = ∆ x∆ y∆ z

∂ ∂ ∂ ( ρ vv x ) + ( ρ vv y ) + ( ρ vv z ) ∂ x ∂ y ∂ z

Haciendo la diferenciación que se indica en el lado derecho de la ecuación (iii), ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ρ vv x ) + ( ρ vv y ) + ( ρ vv z ) = v ( ρ v x ) + v ( ρ v y ) + v ( ρ v z ) + ρ v x (v) + ρ v x (v) + ρ vx (v) = ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z

(iv)

⎧∂ ⎫ ⎧ ∂ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ = v ⎨ ( ρ v x ) + ( ρ v y ) + ( ρ v z )⎬ + ρ ⎨v x (v) + v y (v) + vz (v)⎬ ∂ y ∂ z ∂ y ∂ z ⎭ ⎩ ∂ x ⎭ ⎩ ∂ x


||||

107

Pero la ecuación de continuidad en forma diferencial esta dada por: ∂ ρ ∂ ∂ ∂ + ( ρ v x ) + ( ρ v y ) + ( ρ v z ) = 0 ∂t ∂ x ∂ y ∂ z

(a)

al despejar de (a) la derivada parcial de la densidad respecto al tiempo se obtiene:

⎧∂ ⎫ ∂ ρ ∂ ∂ = −⎨ ( ρ v x ) + ( ρ v y ) + ( ρ v z )⎬ ∂t ∂ y ∂ z ⎩ ∂ x ⎭

(b)

Sustituyendo la expresión obtenida en (b), en la ecuación de momento de flujo en el volumen de control descrita por la ecuación (iv), tenemos:

∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA = v⎧⎨ ∂ ( ρ v x ) + ∆ x∆ y∆ z

= −v

⎩ ∂ x

⎫ ⎧ ∂ ⎫ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ρ v y ) + ( ρ v z )⎬ + ρ ⎨v x (v) + v y (v) + v z (v)⎬ = ∂ y ∂ z ∂ y ∂ z ⎭ ⎭ ⎩ ∂ x

⎧ ∂ ⎫ ∂ ρ ∂ ∂ + ρ ⎨v x (v ) + v y (v ) + vz (v)⎬ ∂t ∂ y ∂ z ⎭ ⎩ ∂ x

Por lo tanto el término de flujo de momento a través del volumen de control queda da la siguiente manera:

∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA = −v ∂ ρ + ρ ⎧⎨v x ∆ x∆ y∆ z

⎫ ∂ ∂ ∂ (v) + v y (v) + v z (v)⎬ ∂ y ∂ z ⎭ ⎩ ∂ x

∂t

• RAPIDEZ DE CAMBIO DE MOMENTO CON RESPECTO AL TIEMPO DENTRO

DEL VOLUMEN DE CONTROL. La relación de cambio del momento con respecto al tiempo puede evaluarse directamente:

lím

∆ x , ∆ y , ∆ z →0

∂ / ∂t ∫∫∫ vˆ ρ V ∆ x∆ y∆ z

=

(∂ / ∂t ) ρ vˆ∆ x∆ y∆ z ∂ ∂vˆ ∂ ρ = ρ vˆ = ρ + vˆ ∆ x∆ y∆ z ∂ ∂t ∂t (9-14)

Así, se han evaluado todos los términos en la ecuación (9-8):


||||

108

⎧ ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx r ⎫ + + + ρ g x )e x ⎪ ⎪( ∂ ∂ ∂ y z ⎪ x ⎪ F ⎪⎪ ∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy ⎪ ∑ r ⎪ = ⎨( + + + ρ g y )e y ⎬ lím ∆ x , ∆ y , ∆ z →0 ∆ x∆ y∆ z ∂ y ∂ z ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ ∂τ ⎪ ∂τ yz ∂σ zz r xz ⎪( + + + ρ g z )e z ⎪ ⎪⎩ ∂ x ⎪⎭ ∂ y ∂ z

∫∫ ρ v(v ⋅ n)dA = −v ∂ ρ + ρ ⎧⎨v

lím

∆ x∆ y∆ z

∆ x , ∆ y , ∆ z → 0

lím

∆ x , ∆ y , ∆ z →0

∂ / ∂t ∫∫∫ vˆ ρ V ∆ x∆ y∆ z

∂t

=

⎩

x

⎫ ∂ ∂ ∂ (v) + v y (v) + v z (v)⎬ ∂ x ∂ y ∂ z ⎭

(∂ / ∂t ) ρ vˆ∆ x∆ y∆ z ∂ ∂vˆ ∂ ρ = ρ vˆ = ρ + vˆ ∆ x∆ y∆ z ∂ ∂t ∂t

Puede verse que las fuerzas se expresan en forma de componentes, mientras que los términos que corresponden a la rapidez de cambio del momento se expresan como vectores. Cuando los términos del momento se expresan como componentes, se obtienen tres ecuaciones diferenciales que corresponden a los enunciados de la segunda ley de Newton en las direcciones x, y y z:

∂v x ∂v x ∂v x ∂v x ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx ) = ρ g x + + + + + + ρ ( ∂t v x ∂ x v y ∂ y v z ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy + v x + v y + v z + + ) = ρ g y + ρ ( ∂t ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z ) = ρ g z + + + + + + ρ ( ∂t v x ∂ x v y ∂ y v z ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z Se observará que en las ecuaciones (9-15) anteriores, los términos del miembro izquierdo representan la rapidez de cambio del momento con respecto al tiempo y los términos del lado derecho representan las fuerzas. Si se enfoca la atención en los términos de la izquierda de la ecuación (9-15), se observa que:

∂v x ∂v ∂v ∂v ∂ ∂ ∂ ∂ + v x x + v y x + v z x = ( + v x + v y + v z )v x ∂t ∂ x ∂ y ∂ z ∂t ∂ x ∂ y ∂ z Rubio Arana J.C. 19/01/05

||||

109

donde la rapidez local de cambio es:

∂v x ∂t x donde la rapidez de cambio debida al movimiento:

v x

∂v ∂v ∂v + v y + vz ∂ x ∂ y ∂ z

El primer término, ∂v x / ∂t , involucra a la rapidez de cambio con respecto al tiempo de v x en un punto y se denomina aceleración restringida. Los términos restantes contienen el cambio en la rapidez de punto a punto, esto es, la aceleración convectiva. La suma de los dos términos, entre paréntesis, es la aceleración total. El lector puede verificar que los términos en el miembro de la izquierda de las ecuaciones (9-15) son todos de la forma

⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜⎜ + v x + v y + v z ⎟⎟vi ∂ x ∂ y ∂ z ⎠ ⎝ ∂t donde vi = v x , v y o v z . El término anterior es la derivada verdadera de vi . Cuando se utiliza la notación de la derivada verdadera, las ecuaciones (9-15) se transforman en Dv ∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx ρ x = ρ g x + + +

Dt ∂ x ∂ y ∂ z Dv y ∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy = ρ g y + + + ρ Dt ∂ x ∂ y ∂ z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz Dv z = ρ g z + + + ρ Dt ∂ x ∂ y ∂ z

Las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier tipo de fluido. Ahora se utilizaran las relaciones de viscosidad de Stokes que son las siguientes: Esfuerzo cortante:


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110

∂v x ∂v y + ) ∂ y ∂ x ∂v y ∂v z τ yz = τ zy = µ ( + ) ∂ z ∂ y τ xy = τ yx = µ (

∂v z ∂v x τ zx = τ xz = µ ( ) + ∂ x ∂ z Esfuerzo normal:

∂v x 2 v − ∇ ⋅ v ) − P ∂ x 3 ∂v y 2 v σ yy = µ ( 2 − ∇ ⋅ v ) − P ∂ y 3 ∂v 2 v σ zz = µ ( 2 z − ∇ ⋅ v ) − P ∂ z 3

σ xx = µ (2

Sustituyendo estas ecuaciones de Stokes en las ecuaciones obtenidas nos da lo siguiente: r Dv x ∂ P ∂ 2 ⎛ ∂v ⎞ r ρ = ρ g x − − ( 3 µ ∇ ⋅ v ) + ∇ ⋅ ⎜ µ ⎟ + ∇ ⋅ (µ ∇ v x ) ∂ x ∂ x Dt ⎝ ∂ x ⎠ Dv y ⎛ ∂vr ⎞ ∂ P ∂ 2 r ρ = ρ g y − − ( 3 µ ∇ ⋅ v ) + ∇ ⋅ ⎜⎜ µ ⎟⎟ + ∇ ⋅ (µ ∇ v y ) Dt ∂ y ∂ y ⎝ ∂ y ⎠ r Dv z ∂ P ∂ 2 ⎛ ∂v ⎞ r ρ = ρ g z − − ( 3 µ ∇ ⋅ v ) + ∇ ⋅ ⎜ µ ⎟ + ∇ ⋅ (µ ∇ v z ) ∂ z ∂ z Dt ⎝ ∂ z ⎠

Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones de Navier- Stokes y son las expresiones diferenciales de la segunda Ley del movimiento de Newton para un fluido newtoniano. Éstas ecuaciones son válidas tanto para flujos compresibles e incompresibles. En Mecánica de Fluidos nos limitaremos a estudiar flujos incompresibles. Restricción para flujos incompresibles: ∇ ⋅ v = 0


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111

∂ P ⎛ ∂ 2v x ∂ 2v x ∂ 2v x ⎞ Dv x = ρ g x − + µ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ρ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠ Dt ⎝ ∂ x ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ⎞ ∂ P ⎛ Dv x = ρ g x − + µ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ρ ∂ y ∂ y ∂ z ⎠ Dt ⎝ ∂ x ∂ P ⎛ ∂ 2v z ∂ 2v z ∂ 2v z ⎞ Dv x ⎟ = ρ g x − + µ ⎜⎜ 2 + 2 ρ 2 ⎟ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠ Dt ⎝ ∂ x Esta ecuación puede expresarse en forma más compacta en la ecuación vectorial simple:

Dv = ρ g − ∇ P + µ ∇ 2v ρ Dt Las ecuación anterior es la ecuación de Navier-Stokes para un flujo incompresible. Las suposiciones, y por lo tanto las limitaciones son: 1. Flujo incompresible. 2. Viscosidad constante. 3. Flujo laminar. Todas las suposiciones anteriores se asocian con el uso de la relación de viscosidad de Stokes. Si el flujo es no viscoso = 0 la ecuación de Navier-Stokes se convierte en: Dv ρ = ρ g − ∇ P Dt Se conoce como la ecuación de Euler la cual tiene solo una limitación: que el flujo sea no viscoso.


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112

3.-ECUACIÓN DE BERNOULLI El análisis de la ecuación de Bernoulli se comenzará con la ecuación de Euler que puede integrarse directamente para un caso particular y para el flujo a lo largo de una línea de corriente. La Ecuación de Euler nos dice que:

Dv = ρ g − ∇ P Dt

ρ

Para integrar la ecuación anterior es muy útil hacer uso de las coordenadas de las líneas de corriente. Las coordenadas de las líneas de corriente son, s y n, que se ilustran en la figura siguiente. La dirección s es paralela a la línea de corriente y la dirección n es perpendicular a dicha línea, alejándose del centro de curvatura en cada instante de tiempo. Este tipo de coordenadas se asemejan a las coordenadas normal – tangencial en movimiento curvilíneo. Por esto la velocidad y presión estarán dadas de esta manera, v = v( s, n, t ) y P = P( s, n, t). Las derivadas verdaderas de velocidad y de presión en la ecuación de Euler deben expresarse en términos de las coordenadas de las líneas de corriente, de manera que pueda integrarse dicha ecuación. -

dv =

Primero encontraremos la derivada verdadera de la rapidez de las líneas de corriente. ∂v ∂v ∂v dt + ds + dn ; dividiendo por un diferencial “dt”. ∂t ∂ s ∂n

dv ∂v ∂v ds ∂v dn ds dn = + + = s& = v , y que = n& = 0 . ; Si conocemos que dt ∂t ∂ s dt ∂n dt dt dt

Dv dv dv dv = = +v Dt dt dt ds -

(9.22)

Ahora se determinara el gradiente de presión en coordenadas s – n. ∇ P =

∂ P ∂ P e s + en ∂ s ∂n

(9.23)

Sustituyendo la ecuación (1) y (2) en la ecuación de Euler.


||||

113 ∂v ⎞ ∂ P ⎞ ⎛ ∂v ⎛ ∂ P en ⎟ ; Tomando el producto punto esds con la ecuación. + v ⎟ = ρ g − ⎜ e s + ∂ s ⎠ ∂n ⎠ ⎝ ∂t ⎝ ∂ s

ρ ⎜

∂v ∂ P ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂ P en ⎟ ⋅ e s ds ⋅ e s ds + v ⋅ e s ds ⎟ = ρ g ⋅ e s ds − ⎜ e s + ∂ s ∂n ⎠ ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂ s

ρ ⎜

Si conocemos que

∂v ∂ ∂v ⋅ e s = (v ⋅ e s ) = ; además que e s ⋅ en = 0 ; e n ⋅ en = 1 . ∂ s ∂ s ∂ s

∂v ⎞ ∂ P ⎛ ∂v ds ; ⋅ e s ds + v ds ⎟ = ρ g ⋅ e s ds − ∂ s ⎠ ∂ s ⎝ ∂t

ρ ⎜

⎧ ∂v ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎫ ∂ P ρ ⎨ ⋅ e s ds + ⎜⎜ ⎟⎟ds ⎬ = ρ g ⋅ e s ds − ds t s 2 s ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎭ ⎩

(9.24)

Si se escoge la gravedad “ g ” de manera que actúe en la dirección – y, se tiene g ⋅ e s ds = − gdy . Tomando en cuenta que estamos considerando un flujo continuo e incompresible, la ecuación anterior puede integrarse: ⎧ ∂v ∂v ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎫ ∂ P ρ ⎨ ⋅ e s ds + ⎜⎜ ⎟⎟ds ⎬ = − ρ gdy − ds ; En donde el término ⋅ e s ds = 0 , para un flujo t s 2 s ∂ ∂ ∂ ∂ t ⎝ ⎠ ⎭ ⎩

incompresible. Dividiendo entre ρ. 1 ∂ P ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ds = − gdy − ds ; integrando esta ecuación. ρ ∂ s ∂ s ⎝ 2 ⎠ y 1 ∂ P s ∂ ⎛ v 2 ⎞ s ⎜⎜ ⎟⎟ ∫ ds = − g ∫ dy − ds 0 ρ ∂ s ∫0 ∂ s ⎝ 2 ⎠ 0

1 ∂ P ∂ ⎛ v 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ s = − gy − s ; Derivando Implícitamente obtenemos. ρ ∂ s ∂ s ⎝ 2 ⎠ v2 P = − gy − ; reordenando la ecuación, Obtenemos la Ecuación de Bernoulli. 2 ρ v2 P + gy + = E ; 2 ρ Donde E = constante. La cual se maneja para un flujo no viscoso, continuo e incompresible; además se puede aplicar solo a lo largo de una línea de corriente. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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114

NOTA: Es importante observar que la suposición de energía interna constante en la ecuación de la energía es equivalente a la suposición de flujo no viscoso. Por lo que se puede interpretar que la viscosidad en el fluido provocará un cambio en la energía interna. La expresión anterior constituye la ecuación de Bernoulli para un flujo irrotacional y establece que la energía disponible es constante a través de todo fluido. El termino de la presión se puede descomponer en dos partes: la presión hidrostática ps y la presión dinámica pd, de tal manera que se tenga p = ps + pd. Si se introduce esta relación en la ecuación se obtiene: p s p d q 2 gh + + + = E ρ ρ 2 Los primeros dos términos se pueden escribir como p 1 gh + s = ( p s + γ h ) ρ

ρ

Donde h se mide verticalmente hacia arriba. La expresión anterior es igual a una constante, puesto que el lado derecho resulta ser la ley hidrostática de la presión. De este modo, como la suma de los dos términos del lado izquierdo es una constante, se puede, se puede incluir en la constante E de la ecuación de Bernoulli. Una vez eliminado el subíndice de la presión dinámica, esta ecuación quedaría como: q2 gh + = E 2 Esta ecuación tan sencilla permite calcular la variación de presión si se conoce la velocidad; o a la inversa, se conoce la presión, es posible calcular la variación de la velocidad. Suponiendo que se conozcan la presión dinámica po y la velocidad qo en un punto: qo 2 p q 2 + = + ρ 2 ρ 2

p o


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115

EJEMPLO: Un submarino se desplaza en el agua con una velocidad de 30 ft / s. con respecto al agua en un punto A situado a 5 ft arriba de la punta, la velocidad del submarino es de 50 ft/s. determínese tanto la diferencia de presión dinámica entre este punto y la nariz o punta del submarino, como la diferencia de presión entre los mismos puntos. Si el submarino se encuentra estacionario y el agua se mueve alrededor de él. La velocidad en la punta será cero y la velocidad en el punto A será de 50 ft/s. al seleccionar la presión dinámica en el infinito como cero, se obtiene: po q o 2 30 2 E = ; E = 0 + + ρ 2 2 E = 450 ft * lb / slug

Para la punta p E = = 450 ; p = ρ E ρ

p = 450 *1.935 = 870lb / ft 2 Y para el punto A p q 2 p 50 2 ; = E − = 450 − ρ 2 ρ 2 Y también: ⎛ 30 2 50 2 ⎞ ⎟⎟ p = 1.935⎜⎜ − 2 2 ⎝ ⎠ 2 p = −1548lb / ft Por tanto, la diferencia de presión dinámica resulta − 1548 − 870 = −2418lb / ft 2 La diferencia de presión total se puede obtener aplicando la ecuación al punto A y la nariz n p A q A 2 p n q n 2 gh A + + = ghn + + ρ 2 ρ 2 Obteniéndose ⎛ ⎛ q n 2 q A 2 ⎞⎟ 50 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ p A − p n = ρ ⎜ ghn − gh A + − ⎟ = 1.935⎜ − 5 g − 2 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 p A − pn =-2740 lb/ft Se puede obtener este mismo resultado si se razona que la diferencia de presión total varia en 5γ de la presión dinámica ya que el punto A se encuentra 5 ft arriba de la nariz; así -2418-5*62.4=-2740 lb/ft2. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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116

11 ANÁLISIS DIMENSIONAL Variables importantes en la transferencia de momento Variables Masa Longitud Tiempo Rapidez Aceleración gravitacional Fuerza Presión Densidad Viscosidad Tensión Superficial Rapidez Sonica

Símbolo M L t v G F P Ρ

µ Г

a

Dimensión M L t L/t L/t2 ML/t2 M/Lt2 M/L3 M/Lt M/t2 L/t

Similitud Geométrica y cinemática. La aplicación de los datos experimentales que se obtienen en un modelo y prototipo de tamaño natural requiere de que existan ciertas similitudes entre el modelo y el prototipo. Dos de estos tipos de similitudes son la geometría y la cinemática. Hay similitud geométrica entre dos sistemas si la relación de dimensiones significativas es la misma para los dos sistemas.

Hay similitud cinemática, si en los sistemas geométricamente similares (1) y (2) las velocidades en los mismos puntos se relacionan de acuerdo con las relacione:


||||

117 ⎛ v X ⎞ ⎛ v X ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ v y ⎠1 ⎝ v y ⎠ 2

⎛ v X ⎞ ⎛ v X ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ v Z ⎠1 ⎝ v Z ⎠ 2

Lo que conlleva a declarar que una condición para la similitud cinemática es que también exista una condición de similitud geométrica. Método de Buckinham El análisis dimensional se usa en donde no existe ninguna ecuación diferencial principal y el método a usar será el de Buckinham de Buckinham que que establece: El numero de grupos adimensionales utilizado para describir una situación dada que involucre n variables es igual a n-r donde r es el rango de la matriz dimensional de las variables, por tanto:

i = n − r Donde: i Número de grupos adimensionales independientes. independien tes. n Número de variables implicadas. r Rango de la matriz.


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118

Ejemplo: Determine los grupos s/n dimensión formados con las variables incluidas en el flujo Ejemplo: Determine externo del fluido hacia un cuerpo sólido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo es una función de v, ρ, M y L que es una función significativa del cuerpo. F=f(v F=f(v,ρ,µ,L)

Variable Fuerza Velocidad Densidad Viscosidad Longitud

Símbolo F v ρ

µ L

Dimensiones ML/t2 L/t M/L3 M/Lt L

... F v ...ρ ... L M ⎛ 1 0 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ L ⎜ 1 1 − 3 − 1 1 ⎟ ⎜ − 3 −1 0 −1 0⎟ t ⎝ ⎠ r = 3 n = 5 i = n − r = 5 − 3 = 2 2π Escribiendo π, en forma adimensional: ⎛ L ⎞ M L t = 1 = ⎜ ⎟ ⎝ t ⎠ 0 0 0

a

b

⎛ M ⎞ c ML ⎜ 3 ⎟ L 2 t ⎝ L ⎠

Igualando sus exponentes: exponentes: M : 0 = 0 + b + 1 L : 0 = a − 3b + c + 1 t : 0 = − a + 0 + 0 − 2 Rubio Arana J.C. 19/01/05

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119

b = −1 a = −2 − 2 − 3(− 1) + c + 1 = 0 − 2 + 3 +1+ c = 0 c = −2 Π 1 = v −2 ρ −1 L−2 F F 2 F Π 1 = 2 2 = L2 v ρ L ρ v F 2 Π 1 = E U = L2 ρ v Para Π2: d e ⎛ L ⎞ ⎛ M ⎞ f M 0 0 0 M L t = 1 = ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ L Lt 2 ⎝ t ⎠ ⎝ L ⎠ M : 0 = e + 1 L : 0 = d − 3e + f − 1 t : 0 = − d − 1 d = −1 e = −1 − 1 + 3 + f − 1 = 0 f = −1 Π 2 = v −1 ρ −1 L−1 F µ µ 1 Π2 = = v ρ L Re ρ vL Re = µ

El análisis dimensional permite que se relacionen las 5 variables en términos de solo dos parámetros adimensionales de la forma E U = φ (Re )


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120

PROBLEMAS Problema 11.7.- Un automóvil viaja sobre una carretera a 22.2m/s. calcular el Re: a).- Con base en la longitud del automóvil b).- Con base en el diámetro de la antena de radio. La longitud del automóvil es de 5.8m y el diámetro de la antena es de 6.4mm.

v = 22.2m / s l = 5.8m φ ANTENA = 0.0064m T = 25 o C = 298 K 2 ∂ = 1.5689 x10 −5 m

s

a) m 5.8m ρ vd s Re = = = 82 x10 5 2 µ 1.5689 x10 −5 m s 22.2

Re = 82 x10 5 b) m o.oo64m vd s Re = = = 9 x10 3 2 ∂ 1.5689 x10 −5 m s 22.2

Re = 9 x10 3


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121

Problema 11.12.- EL funcionamiento de una chumacera sobre una flecha giratoria es una función de las siguientes variables: θ, rapidez del flujo del aceite lubricante al rodamiento en volumen por unidad de tiempo; D, diámetro del rodamiento; N, rapidez de la flecha en rpm; µ, viscosidad del lubricante; ρ, densidad del lubricante, y Г, tensión superficial del aceite lubricante. Sugerir los parámetros apropiados que se deben utilizar para correlacionar los datos experimentales en este sistema.

Rapidez de flujo Diámetro del rodamiento Rapidez de la flecha Viscosidad Densidad Tensión Superficial Q M 0 L 3 t − 1

Q D N µ ρ Г

L3/t L 1/t M/Lt M/L3 M/t2

D N .. ....Γ .. ρ 0 0 1 1 1 1 0 −1 0 − 3 0 −1 −1 − 2 0

i = n − r = 6 − 3 = 3 Grupo básico propuesto: ρ ND Π 1 = ρ a N b D c Q Π 2 = ρ d N e D f µ Π 3 = ρ g N h D i Γ


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122 a

b

d

e

g

h

3 ⎛ M ⎞ ⎛ 1 ⎞ c L M L t = Π 1 = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L ) t ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = a L : 0 = −3a + c + 3 t : 0 = −b − 1 a = 0 b = −1 c = −3 0 0 0

Π 1 = ρ o N −1 D −3 Q Π1 =

Q ND 3

M ⎛ M ⎞ ⎛ 1 ⎞ M L t = Π 2 = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L ) f Lt ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = d + 1 L : 0 = −3d + f − 1 t : 0 = −e − 1 0 0 0

d = −1 e = −1 3 + f − 1 = 0 f = −2 Π 2 = ρ −1 N −1 D − 2 µ Π2 =

µ ρ ND 2

M ⎛ M ⎞ ⎛ 1 ⎞ M L t = Π 3 = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L )i 2 t ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = g + 1 L : 0 = −3 g + i t : 0 = − h − 2 0 0 0

g = −1 h = −2 i = 3 g i = −3

Π 3 = ρ −1 N −2 D −3 Γ Γ Π3 = 2 −3 ρ N D

F (Π 1 , Π 2 , Π 3 ) = 0 ⎛ Q µ Γ ⎞ F ⎜⎜ , , 2 −3 ⎟⎟ = 0 3 2 ⎝ ND ρ ND ρ N D ⎠


||||

123

PRACTICA DEL PERFIL DE VELOCIDAD EN FLUJO COMPLETAMENTE DESARROLLADO. Válvula abierta al 100%; 2730rpm, pa=83991.6N/m2; Ta=22°C= 295K. hv = 5.5cmH 2 O hT = h s + hv hv = hT − h s Calculo de la velocidad medida con la presión dinámica. h T Pa 5.5 ∗ 295 U = 237.3 83991.6 U = 32.98 m s U = 237.3

v&

=

π D 2

U 4 2 π (0.076 ) m ⎞ ⎛ v& = m 2 ⎜ 32.98 ⎟ s ⎠ 4 ⎝ 3 v& = 0.15 m s

Calculo de la velocidad medida por presión en la tobera. hb = 7cmH 2 O hb T Pa 7 ∗ 296 V & = 1.006 83991.6 3 V & = 0.1577 m s V & = 1.006

V & = vA V & v= A m3 ∗4 0.1677 s v= 2 π (0.076 ) m 2 v = 34.77 m s


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124

Graficas:


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125

14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. En este apartado se analizara el flujo de fluidos tanto en régimen laminar como turbulento en conductos cerrados, haciendo notar que esto tiene una gran aplicación en ingeniería. Análisis Dimensional del flujo en conductos Variable Caída de presión Rapidez Diámetro tubo Longitud tubo Rugosidad tubo Viscosidad fluido Densidad fluido

Símbolo  p v D L e µ ρ

Dimensiones M/Lt2 L/t L L L M/Lt M/L3

Recordando los resultados del análisis dimensional se tiene: L ∆ P Π 1 = 2 ,....Π 2 = d ρ v e ρ vd Π 3 = ,.......Π 4 = d µ Π1 es el número de Euler.

Como P se debe a la fricción del fluido se tiene que: ∆ P ρ

= gh L

Donde hL es perdida de carga, transformando Π1 en: h L v2 g El tercer número de Π, Π3 es la relación entre la rugosidad de la tobera y el diámetro conocida como rugosidad relativa. Π1 =

Π3 =

e ⇒ Rugosidad relativa d

Y


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126

Π 3 = Re =

ρ vd µ

⇒ Número de Reynolds

Una expresión funcional que viene del análisis dimensional se representa como: h L ⎛ L e ⎞ = φ 1 ⎜ , , Re ⎟ − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (1) 2 v ⎝ D D ⎠ g Determine un conjunto apropiado de números adimensionales con: ∆ P = f ( ρ , v, d , L, , e )

Variable Caída de Presión Densidad Velocidad Diámetro Longitud Viscosidad Tamaño de la variación de radio interno

Símbolo P ρ

v D L µ e

Dimensiones M/Lt2 M/L3 L/t L L M/Lt L

∆ P ρ v ...d L

..e M 1 1 0 0 0 1 0 L − 1 − 3 1 1 1 − 1 1 t − 2 0 − 1 0 0 − 1 0 i = n − r = 7 − 3 = 4 Π1 = ρ a v b d c ∆ P Π 2 = ρ d v e d f µ Π 3 = ρ g v h d i L Π 4 = ρ j v k d l e


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127 a

b

d

e

M ⎛ M ⎞ ⎛ L ⎞ M L t = Π1 = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L )c 2 Lt ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = a + 1 L : 0 = −3a + b + c − 1 t : 0 = −b − 2 a = −1 b = −2 3 − 2 + c −1 = 0 c=0 Π1 = ρ −1v −2 d 0 ∆ P ∆ ρ Π1 = 2 0 0 0

ρ v

M ⎛ M ⎞ ⎛ L ⎞ M L t = Π = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L) f Lt ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = d +1 L : 0 = −3d + e + c −1 t : 0 = −e −1 0 0 0

d = −1 e = −1

Π 2 = ρ −1v −1d −1µ Π2 =

1 ρ vd Re µ

=

g

h

⎛ M ⎞ ⎛ L ⎞ M L t = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L )i L ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = g L : 0 = −3 g + h + i + 1 t : 0 = −h g = 0 h=0 i = −1 0 0 0

Π 3 = ρ 0v 0 d −1 L Π3 =

L d


||||

128 j

k

⎛ M ⎞ ⎛ L ⎞ M L t = ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ( L )l L ⎝ L ⎠ ⎝ t ⎠ M : o = j L : 0 = −3 j + k + l + 1 t : 0 = −k j = o k = 0 l = −1 0 0 0

Π 4 = ρ 0v 0 d −1e Π4 =

e d

Por lo tanto ∆ P ⎛ 1 L e ⎞ Π1 = 2 = f ⎜ , , ⎟ ρ v ⎝ Re d d ⎠ Experimentos realizados han demostrado que hL (perdida de carga) para flujos totalmente desarrollados es directamente proporcional al L/D, de ahí que esta no va dentro de la relación funcional: h L L ⎛ e ⎞ φ , Re = ⎜ ⎟ − − − − − − − − − − − − − − − − > (2) u2 D 2 ⎝ D ⎠ g La función φ 2 que varia con la rugosidad relativa x el R e se representa como f, y el factor de fricción. Expresando la perdida de carga de la ecuación 2, en términos de f se tiene: L u 2 h L = 2 f f − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (3) D g El factor 2 de la ecuación (3) es la relación que define f f conocido como factor de fricción de Fanning. Otro factor de fricción de uso común es el factor de fricción de Darcy f 0, que se escribe como f D; L u 2 h L = f D D 2 g Siendo entonces: hL obtenida a través de dos factores, f f o f D, siendo f D=4f f, por lo que hay que tener cuidado en notar cual factor de fricción se está aplicando para determinar en forma apropiada la perdida de carga por fricción usando cualquiera de las ecuaciones 3 ó 4. En este curso se utilizara el factor de Fanning f f. Se podrá verificar que el f f es el coeficiente de fricción superficial, Cf : f f = C f A continuación se encontraran las relaciones para f f a partir de la teoría y los datos experimentales. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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129

Factores de fricción para flujo laminar incompresible. Se debe notar que para los conductos cerrados el flujo es laminar para: Re < 2300 Como ya se vio para flujos laminares: dP µ v = 32 PROM − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (5) dx D 2 P L µ v dx − ∫ dp = 32 PROM P o D 2 ∫0 µ v L − ( P − P 0 ) = 32 Pr om D 2 µ v L P 0 − P = 32 Pr om D 2 µ v L ∆ P = 32 Pr om − − − − − − − − − − − − − − − − − −− > (6) D 2 −

Y si

gh L =

∆ P ρ

∆ P = ρ gh L = 32

h L = 32

µ v PROM L

µ v PROM L

D 2

D 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− > (7)

Combinando (7) con (3) L u 2 32µ v PROM L 2 f f = D g D 2 16µ v PROM L f f = ρ Du 2 16µ f f = ρ Du 16 f f = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (8) Re Por lo tanto es inversamente proporcional a R e para flujos laminares. El f f no es una función de la rugosidad del tubo para R e<2300


||||

130

Factor de fricción para flujo turbulento Para este tipo de flujo el f f no se obtiene de forma sencilla como el caso laminar, ya que no hay una relación como la de Hagen-poiseville, mas se puede utilizar en cierta forma los perfiles de velocidad para flujos turbulentos basados en conductos circulares. A continuación se resumen las variaciones de f f de acuerdo con las condiciones de superficie y flujo dadas: Para flujos laminares:

f f =

16 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− > (9) Re

Para flujos turbulentos (tubos lisos): 1 = 4.0 log10 (Re f f ) − 0.4 − − − − − − − − − − − − − − − − > (10) f f Para flujos turbulentos (tubo rugoso) 1 < 0.01 Re f f 1 D = 4 log10 + 2.28 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −(11) e f f Para flujo en transición D ⎛ ⎞ 1 D ⎜ e = 4.0 log10 + 2.28 − 4 log10 ∗ ⎜ 4.67 + 1⎟⎟ − − − − − − > (12) e f f Re f f ⎝

⎠

Factor de fricción y cálculo de hL para flujo en tuberías. Moddy ha presentado un diagrama de solo f f basado en las ecuaciones 4, 10, 11 y 12. La figura 14.1 del texto (welty) es el diagrama de Moddy que grafica f f contra el R e en un conjunto de valores del parámetro rugosidad e/D. Al usar esta grafica se requiere conocer el valor e/D usado en un tubo de material y tamaño dado. Si una tubería o cañería ha estado trabajando por un tiempo, su rugosidad cambia notablemente, haciendo que e/D sea difícil de determinar Por esto Mdoddy hizo otra grafica (fig. 14.2) que determina e/D para un tamaño dado en un tubería o cañería de cierto material dado. Combinando las figuras 14.1 y 14.2 del texto se puede calcular hL para un tubo de longitud L y diámetro D, usando la ecuación (3) ⎛ L ⎞ v 2 h L = 2 f f ⎜ ⎟ ⎝ D ⎠ g


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131

Pérdida de carga en accesorios. La pérdida de carga debida a la fricción calculada por la ecuación (3) es solo una parte de la perdida total de carga que se debe vencer en una tubería y otros conductos que transporten fluidos. Las otras partes de la perdida total es por la presencia de válvulas, codos y otros accesorios que alteren la dirección del flujo del tamaño del conducto las perdidas de carga de estos accesorios son función de la geometría, del R e y de la rugosidad, e ⎞ ⎛ h H φ ⎜ Geometria, Re, ⎟ D ⎠ ⎝ Como una primera aproximación se ha encontrado que la perdida de carga en los accesorios independiente de R e y se puede evaluar como: u2 ∆ p h L = = k − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > (13) ρ 2 g Donde k  coeficiente que depende del accesorio. Otra forma de evaluar hL es introduciendo la longitud equivalente, Leq: ⎛ Leq ⎞ u 2 h L = 2 f f ⎜⎜ ⎟⎟ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− > (14) ⎝ D ⎠ 2 De las ecuaciones (13) y (14) se ve que: k =

4 f f Leq D

En la tabla (14.1) se dan valores de k y Leq para accesorios de tuberías. Para un ensanchamiento súbito: ⎛ A ⎞ = v22 − v12 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ρ ⎝ A2 ⎠

∆ P

Diámetro equivalente: Las ecuaciones anteriores se aplican para conductos circulares. Estas ecuaciones también calculan la perdida de carga en un conducto cerrado de cualquier configuración si se usa un diámetro equivalente para un conducto no circular. Area...Sección...Trans.. Flujo Deq = 4 Perímetro.. Mojado Area...Sección...Trans.. Flujo RadioHidraulico = Perímetro.. Mojado En procesos de transferencia de calor es muy común encontrar áreas angulares como:


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132

ATRANSV . =

π

( D02 − Di2 )

4 PerimetroM oja. = π ( Do + Di )


||||

133

Ejemplo 1.- Fluye agua a 59°F a través de la sección recta de un tubo 6’’ de diámetro de hierro colado con una velocidad de 4ft/s. El tubo tiene una longitud de 120ft y existe un aumento de altura de 2ft entre la entrada y salida del tubo. Encuentre la potencia requerida para producir este gasto en dichas condiciones:

T = 59 o F v = 4 ft / s lbm ρ = 62.3 3 ft & =? W ft 2 ∂ = 1.22 x10 s −5

Aplicando la ecuación de la energía: ⎛ p ⎞ ∂Q ∂w s ∂wµ ∂ − − = ∫∫ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟(v ⋅ n )dA + ∫∫∫ ρ edV ∂t ∂t ∂t ∂t ⎝ ρ ⎠ −

⎛ p ⎞ ∂w s = ∫∫ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟(v ⋅ n )dA ∂t ⎝ ρ ⎠

∂w s & = W s ∂t ⎡⎛ v22 ⎞ ⎛ v12 ⎞⎤ ⎛ p ⎞ P 2 P 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎥ ⎜ ⎟ e v n dA Av gy u gy u + ⋅ = + + + − + + + ( ) ρ ρ ⎢ 2 2 1 1 ∫∫ ⎜⎝ ρ ⎠⎟ ⎜2 ⎟ ⎜2 ρ ρ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝ & W v22 − v12 P − P s − = + g ( y2 − y1 ) + 2 1 + u2 − u1 ρ Av 2 ρ & W − s = g ( y2 − y ) + (u2 − u1 ) ρ Av


||||

134

Y si

u2 − u1 = gh L − w = g ( y2 − y1 ) + gh L w = g ( y1 − y2 ) − gh L w = g [( y1 − y2 ) − h L ] − − − − − − − − − − − − > (1)

L u 2 h L = 2 f f D 2 g De la figura 14.2 para hierro colado: φ = 6' ' ' e = 0.0017 D ft 6 ft ρ vD vD s 12 Re = = = 2 ∂ µ − 5 ft 1.22 x10 s Re = 163934.4 4

Por lo tanto el flujo es turbulento. Con Re y e/D de la figura 14.1 f f = 0.006 Calculando ahora hL ft 2 ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎜ 129 ft ⎟⎜ 16 2 ⎟ ⎟⎜ s ⎟ h L = 2(0.006 )⎜ ⎜ 6 ft ⎟⎜ 32.1 ft ⎟ ⎜ ⎟ s 2 ⎠⎟ ⎝ 12 ⎠⎜⎝ h L = 1.435 ft Sustituyendo hL y valores en la ecuación (1) W = − 32 . 1

ft

s

W = 110 . 26

2

[(0 − 2 ) ft − 1 .435 ft ]

ft 2 s 2

& = W ∗ m & = 110 . 26 W

& W

= 5403 . 7

& = 167 . 8 W

lbmft

s 3 lbf ⋅ ft s

2

ft 2 s

2

62 . 4

1lbfs

2

lbm ft 3

∗

π (0 . 5 )

4

2

ft 2 4

ft s

0.745kW 1 HP & = 0.2273kW W & = 0.305 HP W

32 . 2 lbmft 1 HPs 550 lbf ⋅ ft


||||

135

PROBLEMAS Problema 14.1.- Un aceite cuya viscosidad cinemática es de 0.08x10-3ft2/s y una densidad de 57lbm/ft3 fluye por un tubo horizontal de 0.24plg de diámetro con una rapidez de 106PH. Calcule la caída de presión en 50ft de tubo.

ft 2 ∂ = 0.08 x10 s lbm ρ = 57 3 ft φ = 0.24 p lg Gal Q = 10 h ∆ P = ? L = 50 ft −3

Q = vA Q v= A Gal 1 ft 3 1h 10 ∗4 h 7.48Gal 3600 s v= 2 2 2 2 1 ft 144 p lg π (0.24 ) p lg v = 1.182 Re =

ft s ρ vD µ

=

vD ∂

ft ⎛ 0.24 ⎞ ⎜ ⎟ ft s ⎝ 12 ⎠ Re = 2 − 3 ft 0.08 x10 s Re = 295.52 1.182

Por lo tanto el flujo es laminar Re<2300 Rubio Arana J.C. 19/01/05

||||

136 16 16 = Re 295.52 f f = 0.054 f f =

∆ P ρ

= gh L

∆ P = ρ gh L ⎡ L u 2 ⎤ ∆ P = ρ g ⎢2 f f ⎥ ⎣ D g ⎦ ∆ P = 2 f f

L 2 ρ u D

⎛ ⎞ ⎜ 50 ⎟ lbm 2 2 ft ⎟57 (1.182 ) 2 ∆ P = 2(0.054 )⎜ s ⎜ 0.24 ⎟ ft 3 ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

lbm lbfs 2 ∆ P = 21501.74 2 fts 32.2lbmft lbf 1 ft 2 ∆ P = 667.75 2 ft 144 p lg 2 lbf ∆ P = 4.64 p lg 2


||||

137

Problema 14.2.- Una tubería de lubricación tiene un diámetro de 0.1plg y una longitud de 30plg. Si la caída de presión es de 15P si G. Calcule el gasto del aceite, use las propiedades del problema 1.

φ = 0.1 p lg

L = 30 p lg lbf ∆ P = 15 2 in Q =? ft 2 ∂ = 0.08 x10 s lbm ρ = 57 3 ft −3

∆ P = 32

µ v L

− − − −− > (1) D 2 ∆ P = ρ gh L − − − − − − > (2) L u 2 h L = 2 f f D g ⎡ L u 2 ⎤ ∆ P = ρ g ⎢2 f f D g ⎥⎦ ⎣ ∆ P = 2 f f

De (2) y (1)

L 2 ρ u D

∆ P

v L ρ g ρ gD 2 v L ∆ P = 32 ρ g ρ gD 2 ρµ v L ∆ P = 32 ρ D 2 ∆ PD 2 v= 32 ρ ∂ L

h L =

= 32


||||

138 ⎛ 1 ft ⎞⎤⎛ 0.1 ⎞ lbf 144 p lg 2 ⎡ ⎜⎜ ⎟⎟⎥⎜ ft ⎟ p 15 30 lg ⎢ p lg 2 1 ft 2 ⎣ 12 p lg ⎝ ⎠⎦⎝ 12 ⎠ v= 3 lbm − 3 ft 32 ∗ 57 3 ∗ 0.08 x10 ft s lbf lbmft v = 0.416 ∗ 32.1 lbm lbfs 2 s ft v = 13.416 s ft 0.1 13.416 ft vD s 12 Re = = 2 ∂ − 3 f t 0.08 x10 s Re = 1397.6

2

Por lo tanto el flujo es laminar y las ecuaciones utilizadas son las correctas. Q = vA 2

ft π ⎛ 0.1 ⎞ 2 Q = 13.912 ⎜ ⎟ ft s 4 ⎝ 12 ⎠ ft 3 7.48Gal 3600 s Q = 7.317 s 1 ft 3 1h Gal Q = 19.7 h


||||

139

Problema 14.3.14.3.- Una tubería de 280km de longitud conecta dos estaciones de bombeo. Si se van a bombear 0.56m3/s por una línea de 0.62m de diámetro. La estación de descarga está a 250m más abajo que la estación corriente arriba y se debe mantener una presión de descarga de 300 000Pa. Calcule la potencia que se requiere para bombear el aceite, el cual tiene una viscosidad cinemática de 4.5x10-6m2/s y una densidad de 810kg/m3. El tubo es de acero comercial. La presión de entrada se tomara como la presión atmosférica.

L = 200km m3 & V = 0.56 s φ = 0.62m ∆ H = 250m P 2 = 300000 Pa & =? W 2 −6 m ∂ = 4.5 x10 s kg ρ = 810 2 m Acero comercial. P 1 = P ATM V & = vA V & v= A m3 0.56 4 m s v= = 1.854 2 2 s π (0.62 ) m m 1 . 854 0.62m vD s Re = = 2 ∂ −6 m 45 x10 s Re = 2.55 105 Rubio Arana J.C. 19/01/05

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140

Por lo tanto el flujo es turbulento. Para tubo de acero comercial 1 p lg 0.0254m φ = 24.5 p lg φ = 0.62m

De la figura 14.2: e/D=0.000075 Con Re y e/D de la figura 14.1 f f f=0.0049 = 0.0049 Calculo de hL m2 L v 2 280000m 1.854 s 2 h L = 2 f f = 2(0.0049 ) D g 0.62m 9.81 m s 2 h L = 1550.75m 2

Aplicando la ecuación de la energía entre 1 y 2 ⎛ p ⎞ ∂Q ∂w s ∂wµ ∂ − − = ∫∫ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟(v ⋅ n )dA + ∫∫∫ ρ edV ∂t ∂t ∂t ∂t ⎝ ρ ⎠ −

⎛ p ⎞ ∂w s = ∫∫ ρ ⎜⎜ e + ⎟⎟(v ⋅ n )dA ∂t ⎝ ρ ⎠

∂w s & = W s ∂t ⎡⎛ v22 ⎞ ⎛ v12 ⎞⎤ ⎛ p ⎞ P 2 P 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ + ⋅ = + + + − + + + e v n dA Av gz u gz u ρ ρ ( ) ⎢ 2 2⎟ ⎜ 1 1⎟ ∫∫ ⎝ ⎜ ρ ⎠⎟ ⎜2 ⎟⎥ ρ 2 ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ & W v22 − v12 P − P s − = + g ( z2 − z1 ) + 2 1 + u2 − u1 2 ρ Av ρ

Si u2 − u1 = gh L

v22 − v12 P − P − W = + g ( z2 − z1 ) + 2 1 + gh L 2 ρ v12 − v22 P − P + g ( z1 − z2 ) + 1 2 − ghL W = 2 ρ Como A1=A2 y ρ=ρ1= ρ2, v1=v2


||||

141

W = g ( z1 − z2 ) +

P 1 − P 2 ρ

− gh L

m m2 g ( z1 − z2 ) = −9.81 2 [0 − (− 250m )] = −2452.5 2 s s N kgm (101325 − 300000 ) 2 2 P 1 − P 2 m2 m Ns = = −245.2 2 kg s ρ 810 3 m m ⎞ m2 ⎛ − gh L = −⎜ − 9.81 2 ⎟1550.75m = 15205.5 2 s ⎠ s ⎝ Sustituyendo datos en la ecuación del W m2 W = [− 2452.5 − 245.2 + 15205.5] 2 s J 2 m kg W = 12507.8 2 2 s m s 2 J W = 12507.8 kg & = w⋅m & W S kg π m kg m& = ρ Av = 810 3 0.622 m 2 ∗ 1.854 = 453.4 m 4 s s & = 12507.8 J 453.4 kg W S kg s J W 1kW & = 5670860 W S s 1 1 103W s & = 5670.8kW W S


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142

Problema 14.9.- Calcule la presión a la entrada de una bomba que esta a 3’ sobre el nivel del fluido. La tubería tiene 6’’ de diámetro, 6ft de longitud y esta fabricada de acero comercial. El gasto a través de la bomba es de 500 galones por minuto. Usar la suposición errónea de que el flujo es totalmente desarrollado.

P 2 = ? φ = 6 ' ' L = 6 ' Q = 500

Gal min

Tubería de acero comercial. Flujo totalmente desarrollado Aplicando la ecuación de Bernoulli en 1 y 2 P 1 δ

+

P 1 = v1 ≅ z 1 = P 3 −

δ

v 12 P 2 v 22 + z 1 − h L = + + z 2 g 2 g δ Patm 0 0 v 32 = + z 2 + h L 2 g

= 500

Q

= 1 . 114

Q v = A

1 ft 3 7 . 48 Gal

Gal min

Q

ft s

ft s

⎛ 6 ⎞ ⎟ ⎝ 12 ⎠

π ⎜

1 min 60 s

3

1 . 114 =

2

3

∗ 4 = 5 . 57

2

ft

2

ft s


||||

143

e/D=0.0003 de figura 14.2 ft 0.5 ft vD s Re = = = 2.32 x105 2 ft ∂ 1.22 x10−5 s Con Re y e/D de la figura 14.1 f f= 0.0046 5.67

2 ft 2 2 ft 5.67 2 5.67 2 P 2 ⎛ 6 ⎞ s s − = + 3 ft + 2(0.0046 )⎜ ⎟ ft ρ g ⎝ 0.5 ⎠ 32.1 ft 2 ∗ 32.1 2 s s 2 P − 2 = (0.5 + 3 + .011) ft ρ g P − 2 = 3.61 ft ρ g

ft lbm lbm 1lbfs 2 − P 2 = 3.61 ft ∗ 32.1 2 ∗ 62.4 3 = 723201 2 s ft s ft 32.2lbmft lbf 1 ft 2 − P 2 = 224.5 2 ft 144 p lg 2 lbf P 2 = −1.55 p lg 2


||||

144

Ecuación de Bernoulli P 1 v12 P 2 v22 + z1 + = + z + ρ g 2 g ρ g 2 2 g P 1 v12 P 2 v 22 + z1 + = + z 2 + γ 2 g γ 2 g

Ecuación de la energía v12 P 2 v22 + z1 + +h −h = + z 2 + γ 2 g A L γ 2 g

P 1

v12 E 1 = + z1 + 2 g γ P 1

v 22 E 2 = + z 2 + γ 2 g P 2

Perdidas de energía: hL= h1+ h2+ h3+ h4+ h5 +h6 hL Perdida total h1 Perdida en la entrada h2 Perdida por fricción en la L.D.S. h3 Perdida en la válvula. h4 Perdida en los codos de 9.5’ h5 Perdida por fricción en la L.D.D h6 Perdida à la salida. En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tuberías haY 6 parámetros básicos involucrados a saber: 1.- hL o hA 2.- m& 0 V & 3.- φ Tubería (succión y descarga) 4.-L Tubería (succión y descarga) 5.- E Rugosidad en la pared de la tubería 6.- Propiedades del fluido. Rubio Arana J.C. 19/01/05

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145

Normalmente se calcula uno de los tres primeros parámetros en tanto los demás se conocen o especifican para el diseñador. Métodos para realizar el análisis de diseñó: Clase I.- Se calculan las perdidas o adiciones de energía. Clase II.- Se calcula el flujo volumétrico. Clase III.- Se calcula el diámetro de la tubería.


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146

Problema 11.1.- De un deposito grande fluye agua a 10°C con un flujo volumétrico de 1.5x102 3 m /s a través del sistema mostrado en la figura. Calcular la presión en B.

Agua a T=10°C 3 −2 m & V = 1.5 x10 s P B = ? A T=10°C de la tabla A.1 N γ = 9.81 3 m kg ρ = 10 3 3 m N ⋅ s µ = 1.3 x10 −3 m2 2 −6 m υ = 1.3 x10 s Con φ = 4' ' de la tabla H φ IN = 97.97 mm

A f = 7.538 x10− 3 m 2


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147

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B v A2 P B v B2 + z A + −h = + z + δ 2 g L δ B 2 g P A − P B v B2 + ( z A − z B ) − h L − =0 δ 2 g P B v B2 − + z A − z B − h L − =0 δ 2 g P B v B2 = z A − z B − h L − − − − − − − − − − − − − > (1) δ 2 g P A

Calculo de la velocidad vB V & = v B A; V & v B = A m3 1.5 x10 s = 1.989 m v B = 2 s 7.538 x10− 3 m m v B = 1.989 s 2 2 m v B2 (1.989) s 2 = = 0.2016m 2 g 2 ∗ 9.81 m s 2 v B2 = 0.2016m 2 g Calculo de las perdidas totales hL: −2

Perdida a la entrada vB2 h1 = k 2 g k = 1....de....la... figura.....10.13 h1 = (1)(0.2016 ) = 0.2016m Calculo de las perdidas por fricción en la tubería vB2 ⎞ ⎛ L ⎞⎛ h2 = f ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D ⎠⎝ 2 g ⎠ f  Factor de fricción Darcy Rubio Arana J.C. 19/01/05

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148

Calculo de f Re =

vD ∂

m 0.09797m s 2 −6 m 1.3 x10 s

1.989 =

Re = 149787 Re = 1.49787 105 Con Re y Tubería de cobre (sin rugosidad) del diagrama de Moody f =0.018 ⎛ 77.5 ⎞ ⎟(0.2016 )m ⎝ 0.09797 ⎠

h2 = 0.018⎜

h2 = 2.87 m Calculo de las perdidas en los codos. De la tabla 10.4 Le = 30 D ⎛ Le ⎞⎛ v B2 ⎞ h3 = f T ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D ⎠⎝ 2 g ⎠ f T = f por ser tubería lisa h3 = 0.018(30)(0.2016 )m h3 = 0.108m Calculo de hL h L = h1 + h2 + h3 h L = 0.2016 + 2.87 + 3(0.108) h L = 3.17 m

Sustituyendo valores en la ecuación 1. P B δ

P B δ

= (12 − 0 )m − 3.17m − 0.2016m = 8.6284m

kN 1kPa m 2 1kN 2 m P B = 84.64kPa P B = 9.81


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149

Problema 11.6.- Para el sistema mostrado en la figura, calcule la distancia vertical entre las superficies de los dos depósitos cuando el agua a 10°C fluye entre AB a una rapidez de 0.03m3/s. Los codos son estándar. La longitud total de la tubería de 3’’ es de 100m. Para la tubería de 6’’ es de 300m. Utilice E= 6x10-5m para la rugosidad de la tubería.

Z A = ? Agua T=10°C flujo de AB 3 m V & = 0.03 Codos estándar s LT 3'' = 100m LT 6 '' = 300m ∈= 6 x10−5 m

m2 ∂ = 1.3 x10 s −6

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B v A2 P B v B2 + z A + −h = + z + δ 2 g L δ B 2 g ( z A − z B ) = h L z A = h L + z B Calculo de las perdidas de energía, hL P A

*Perdidas a la entrada del tubo ene. Tanque A, h1 ⎛ v32 ⎞ h1 = k ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 g ⎠

De la tabala I-1 con diámetro nominal de 3’’ Rubio Arana J.C. 19/01/05

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150 D3 = 84.3mm A f = 5.585 x10− 3 m 2 Q = v3 A3 m3 0.03 Q s v3 = = A3 5.585 x10−3 m 2 m v3 = 5.128 s

De la figura 10.13, k=1.0 m ⎞ ⎛ ⎜ 5.128 ⎟ 2 v3 ⎝ s ⎠ = 2 g 2 ∗ 9.81 m 2

2

s

2 3

v = 1.34 2 g ⎛ v32 ⎞ h1 = k ⎜⎜ ⎟⎟ = 1(1.34m ) = 1.34m ⎝ 2 g ⎠

Perdida de la energía por fricción del tubo de φ = 3' ' , h2 v32 ⎞ ⎛ L ⎞⎛ h1 = f ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D ⎠⎝ 2 g ⎠ Obtención de f Re =

v3 D3 ∂

m 5.128 0.0843m 2 Re = 2 −6 m 1.3 x10 s 5 Re = 3.3 x10 Por lo tanto el flujo es turbulento: La rugosidad es ∈= 6 x10−5 m 0.0843m = 1405 ∈ 6 x10− 5 m Con Re y e del diagrama de Moody : f = 0.0195 e=

D

=


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151

Sustituyendo valores en la ecuación de h2 ⎛ 100m ⎞ ⎟1.34m ⎝ 0.0843m ⎠

h2 = 0.0195⎜ h2 = 30.99m

Perdida de energía en los codos de 90° de 3’’, h3 Le De la tabla 10.4, = 30 D También de la tabla 14.1 k=0.7 v32 ⎞ ⎛ Le ⎞⎛ h3 = f T ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D ⎠⎝ 2 g ⎠ h3 h3 h3 h3

⎛ v32 ⎞ = k ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 g ⎠ = 2(0.7 )(1.34m ) = 0.938m = 2(0.938)m = 1.876m

Perdida de energía en los codos de 90° Perdida de energía en el ensanchamiento subito, h4 De la tabla I-1 D2 = D6 = 6' ' ' D6 IN = 0.156m A f = 1.910 x10− 2 m 2 D2 D6 0.156m = = = 1.85 D1 D3 0.0843m m v1 = v3 = 5.128 s Con

D6 y v3 de la figura 10.2; k=0.45 D3 v32 h4 = k = 0.45(1.34) 2 g h4 = 0.603m


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152

Perdidas de la energía por fricción en la tubería de 6’’, h5: Q = v6 A6 m3 0.03 Q s = 1.57 m v6 = = A6 0.0191m 2 s 2

m ⎞ ⎛ ⎜1.57 ⎟ 2 v6 ⎝ s ⎠ = = 0.1256m

m 9.81 2 s ⎛ L ⎞⎛ v62 ⎞ h5 = f ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D6 ⎠⎝ 2 g ⎠ 2 g

m 0.156m v6 D6 s = Re = 2 ∂ −6 m 1.3 x10 s Re = 188400 1.57

Por lo tanto el flujo es turbulento. ∈= 6 x10−5 m

D6 ∈

Con Re y

D6 ∈

=

0.156m = 2600 6 x10− 5 m

del diagrama de Moody:

f =0.0188 ⎛ 300m ⎞ ⎟(0.1256m ) ⎝ 0.156m ⎠

h5 = 0.0188⎜

h5 = 4.54m Perdida en los codos estándar de 90° de 6’’, h6: De la tabla 14.1 WELTY, k=0.7 v62 h6 = k = 2 ∗ 0.7 ∗ 0.1256m 2 g h6 = 0.1758m


Mecánica de Fluidos I

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