Partícula confinada a un cilindro Martin Javier Nava Callejas. Escuela Superior de Física y Matemáticas. Instituto Politécnico Nacional.
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18 de diciembre del 2017
1.
Cil Cilind indro infi infinito nito
Consideremos una partícula de masa µ confinada al interior de un cilindro infinito de radio a. El potencial es nulo, por lo tanto su operador hamiltoniano es de partícula libre: 2
2
ˆ = pˆ = H 2µ con pˆ =
y
2
∇
− 2µ ∇
2
i
∇
el laplaciano en coordenadas cilíndricas:
∇
2
=
1 ∂ r ∂r
∂ r ∂r
1 ∂ 2
∂ 2 + 2 2+ 2 r ∂φ ∂z
Luego, nuestra ecuación de eigenvalores a resolver es ˆ ψ = E ψ H con ψ = ψ (r,θ,z ). Explícitamente: 2
− 2µ
1 ∂
r ∂r
∂ r ∂r
1 ∂ 2
∂ 2 + 2 2 + 2 ψ = E ψ r ∂φ ∂z
(1)
Nos conviene introducir una variable: 2 =
mediante la cual
1 ∂
r ∂r
∂ r ∂r
2µE 2
1 ∂ 2
> 0
∂ 2 + 2 2 + 2 ψ = r ∂φ ∂z
2
− ψ
(2)
Por ser cilindro infinito la dependencia en z es nula, por lo tanto, al aplicar el método de separación de variables, tenemos ψ (r, φ) = R (r )Φ(φ)
1
con lo cual
11 d R r dr
dR r dr
Proponemos
1 d2 Φ = Φ dφ2
Entonces
2
2
dR r dr
m2 = r2
−
2
+
m2 + 2 R = 0 2 r
d2 R 1 dR + + dr2 r dr
m2 2 R = 0 + r2
1 d r dr
desarrollando
−
−m
− −
11 d
R r dr
reescribiendo
1 1 d2 Φ + = Φ r2 dφ2
dR r dr
−
Introducimos una nueva variable, x = r . Con ello: d dx d d = = dr dr dx dx
De modo que
d2R dR + + x2 x x 2 dx dx
2
con ello, es claro que la solución radial es
2
−m
R = 0
R(r) = A m J m (r)
siendo J m (r) las funciones de Bessel del primer tipo, y Am la constante de normalización. La condición de frontera nos impone J m (a) = 0. Esto se traduce en que a = λ m,n
donde λm,n es el n-ésimo cero de la función J m (r ). Las soluciones normalizadas a la ecuación diferencial en la variable angular son Φm (φ) =
√ 12π e
imφ
Por lo tanto, nuestra función de onda buscada es ψm,n (r, φ) =
Am,n
√ 2π J
m
λm,n r a
eimφ
(3)
Para determinar su espectro, supongamos conocidos los ceros de la función Bessel de orden m, λm,n n=1. Desarrollemos nuestra condición de frontera:
{
}
∞
a = λ m,n
2µE 2
=
λ2m,n a2
Por tanto, el espectro de energía es E m,n =
2
2 λ2 m,n
2µa2
(4)
2.
Cilindro finito
Supongamos que tenemos un cilindro de altura L. Regresemos a la Ecuación 2. Esta vez, asumiremos que hay dependencia en z , por lo tanto, al efectuar separación de variables proponemos ψ (r,φ,z ) = R (r)Φ(φ)Z (z ) esto nos conduce a
11 d R r dr
dR r dr
1 1 d2 Φ 1 d2 Z + + = Φ r2 dφ2 Z dz 2
−
2
Si consideramos las siguientes expresiones 1 d2 Z
2
=
−ζ
1 d2 Φ = Φ dφ2 nuestra ecuación diferencial se convierte en
−m
2
Z dz
11 d R r dr
Al reescribirla
Esta vez, y =
dR r dr
−
d2 R 1 dR + + 2 2 dr r dr
m2 r2
2
− ζ = −
2
m2 R = 0 r2
2
√ − ζ r, lo cual nos conduce a 2
2
− ζ −
2
d2 R 1 dR + + y2 y 2 dy y dy
2
2
−m
R = 0
nuevamente, la función radial solución es J m (y ). No obstante, las condiciones de frontera nos dicen lo siguiente 2 ζ 2 a = λ m,n
− 2
= E =
λ2m,n a2
2 λ2 m,n
2µa2
donde ζ es un número aun por determinar. La parte angular es inmediata Φ(φ) =
+ ζ 2 +
2 ζ 2
2µ
√ 12π e
imφ
Para la solución en z , reescribamos: d2 Z + ζ 2 Z = 0 2 dz
Como esperamos que se cancele en z = 0, z = L, la solución debe ser una combinación lineal de exponenciales complejas: Z (z ) = Ae iζz + Be iζz −
3
Por condiciones de frontera: B=
iζL
−A ; e − e
iζL
−
=0
por tanto Z j (z ) = Fsen
⇒
jπ L
ζ =
jπ z L
Determinamos F :
∞
0
Z 2dz =
L
0
L
Z 2 dz =
F 2 sen2
0
Nuestras funciones en z son
jπ F 2 L =1 z dz = 2 L
⇒ F =
2
L
2
Z j (z ) =
L
jπ z L
sen
Por tanto, la función de onda (sin normalizar) buscada es ψm,n,j (r,φ,z ) = B m,n
1
πL
y su espectro de energías E m,n,j =
3.
J m
2 λ2 m,n
2µa2
λm,n r a
imφ
e
sen
jπ z L
2 π 2 j 2
+
(5)
2µL2
En busca de la constante de normalización La identidad de ortogonalidad para las funciones Bessel, en el intervalo [0 , a], está dada por
a
0
rJ m
λm,n r J m a
λm,p a2 r dr = [J m+1(λm,n)]2 δ np a 2
esto implica que 1 = B 2
a
0
rJ m
λm,n r J m a
λm,n a2 2 [J m+1(λm,n)]2 r dr = B a 2
Am,n = B m,n =
√ 2a J m+1 (λm,n )
Así, la función de onda para el cilindro infinito es ψm,n (r, φ) =
√ πJ
a
m+1
(λm,n )
J m
λm,n r a
eimφ
(6)
mientras que, para el cilindro finito ψm,n,j (r,φ,z ) =
2
a J m πL J m+1 (λm,n )
4
λm,n r a
imφ
e
sen
jπ z L
(7)
4.
Gráficas
A continuación se ilustran las densidades de probabilidad de las primeras cuatro eigenfunciones. Para las dimensiones del cilindro, se consideran L = 5, a = 2. En todos los casos, se escogió el cero de orden n = 5. Por simplicidad, se fijó la coordenada z a un valor constante, por lo cual el número cuántico j no contribuye a la expresión. Podemos ver que, a medida que aumentemos el número cuántico m, es decir el orden de la función Bessel, será más probable hallar a la partícula en una zona intermedia entre el eje y la pared del cilindro. Este aumento en la probabilidad no es isotrópico: hay direcciones en las cuales es más probable, como lo ilustra la eigenfunción de m = 3.
Referencias [1] Shankar, Ramamurti, “Principles of Quantum Mechanics. Second Edition”. Plenum Press, 1994. [2] Schwabl, Franz. “Advanced Quantum Mechanics. Third Edition”, Springer, 2000. [3] Arfken, George.“Mathematical Methods for Physicists. Six Edition”, Elsevier Academic Press, 2005.
5
(a)
(b)
Figura 1: ψ05
2
| |
6
(a)
(b)
Figura 2: ψ15
2
| |
7
(a)
(b)
Figura 3: ψ25
2
| |
8
(a)
(b)
Figura 4: ψ35
2
| |
9
