Makalah Stastistika Ukuran Pemusatan Data Mean, Median, Modus
Pembimbing:
Ibu Rizana
Disusun oleh : Anis Lutfiyah Nur
(NIM: P3.73.34.2.15.003) P3.73.34.2.15.003)
Mayya Azlia Alam
(NIM: P3.73.34.2.15.022) P3.73.34.2.15.022)
Niken juwita cahyani cahyani
(NIM: P3.73.34.2.15.028) P3.73.34.2.15.028)
Putri Rachmawati
(NIM: P3.73.34.32.15.031) P3.73.34.32.15.031)
Rodliyah Phinasthi S.
(NIM: P3.73.34.2.15.034) P3.73.34.2.15.034)
Suci rahmadhanti
(NIM: P3.73.34.2.15.040) P3.73.34.2.15.040)
Politeknik Kesehatan Kementerian Kesehatan Jakarta III Tahun Akademik 2017-2018
Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini. Dalam proses penyusunan tugas ini penyusun menemui beberapa hambatan, namun berkat dukungan materil dari berbagai pihak, akhirnya penyusun dapat menyelesaikan tugas ini dengan cukup baik. Oleh karena itu, melalui kesempatan ini penyusun menyampaikan terimakasih kepada semua pihak terkait yang telah membantu terselesaikannya tugas ini.
Penyusun menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, segala saran dan kritik yang membangun dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi perbaikan pada tugas selanjutnya. Harapan penyusun semoga tugas ini bermanfaat khususnya bagi penyusun dan bagi pembaca lain pada umumnya. umumn ya.
Bekasi, September 2017 Penyusun,
Kelompok I
Kata Pengantar .............................................................................................................................................. 2 DAFTAR ISI ..................................................................................................................................................... 3 BAB I .............................................................................................................................................................. 4 PENDAHULUAN ............................................................................................................................................. 4 A. Latar Belakang............. Belaka ng............................... ................................... .................................. ................................... ................................... ................................... ................................... .................... ... 4 B. Rumusan Masalah ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ............................. ........... 4 C. Tujuan ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ............................. ............ 4 BAB II ............................................................................................................................................................. 5 PEMBAHASAN ............................................................................................................................................... 5 Ukuran Pemusatan Data ............................................................................................................................... 5 2.1. Penjelasan Ukuran Pemusatan Data ...................................................................................................... 5 2.2. Ukuran Pemusatan Data ........................................................................................................................ 5
2.2.1. Rataan (Mean) ............................................................................................................................. 5 2.2.2. Median ........................................................................................................................................ 8 2.2.3. Modus ....................................................................................................................................... 11 2.3.
Hubungan Antara Rata-rata Hitung (Mean), (Mean), Median dan Modus Modus .................. ........................... .................. .................. .............. ..... 13
2.4. Kuartil, Desil dan Parsial ....................................................................................................................... 14 2.4.1. Kuartil ............................................................................................................................................ 14 2.4.2. Desil ............................................................................................................................................... 17 2.4.3. Persentil ........................................................................................................................................ 19 BAB III .......................................................................................................................................................... 23 PENUTUP ..................................................................................................................................................... 23 3.1.
Simpulan Simpula n .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................... 23
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................................. 24
Mean, Modus, Median, Quartil, Desil dan Persentil sama-sama merupakan ukuran pemusatan data yang termasuk kedalam analisis statistika deskriptif. Namun, ketiganya memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing dalam menerangkan suatu ukuran pemusatan data. Untuk tahu kegunaannya masing-masing dan kapan kita mempergunakannya, perlu diketahui terlebih dahulu pengertian analisis statistika deskriptif dan ukuran pemusatan data. Analisis Statistika deskriptif merupakan metode yang berkaitan dengan penyajian data sehingga memberikan informasi yang berguna. Upaya penyajian ini dimaksudkan untuk mengungkapkan informasi penting yang terdapat dalam data ke dalam berntuk yang lebih ringkas dan sederhana yang pada akhirnya mengarah pada keperluan adanya penjelasan dan penafsiran (Aunudin, 1989). Deskripsi data yang dilakukan meliputi ukuran pemusatan dan penyebaran data. Ukuran pemusatan data meliputi nilai rata-rata (median), modus, dan median. Sedangkan ukuran penyebaran data meliputi ragam (variance) dan (variance) dan simpangan baku (standard deviation). deviation).
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan diatas, maka dalam penulisan makalah ini kami mengemukakan perumusan masalah sebagai berikut : “Apa yang dimaksud dengan Mean, Modus, Median, Quartil, Desil dan Presentil beserta contohnya?
Dalam penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui Apa yang dimaksud dengan Mean, Modus, Median, Quartil, Desil dan Presentil beserta contoh.
Ukuran pemusatan data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara mpenyusunan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan mengenai suatu keseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan tadi. Yang termasuk dalam ukuran pemusatan data adalah rataan (Mean), Median, Modus . Untuk memudahkan anda dalam memahami materi ini, dibawah ini akan kita uraikan penjelasan dibawah ini.
2.2.1. Rataan (Mean) Mean atau rata-rata hitung adalah nilai yang diperoleh dari jumlah sekelompok data dibagi dengan banyaknya data. Rata-rata disimbolkan dengan x. 1. Rata-Rata untuk Data Tunggal Keterangan:
ẋ = mean n = banyaknya data xi = nilai data ke-i
Contoh rataan data tunggal
Nilai ulangan matematika 15 siswa kelas XI IPA adalah 7, 8, 6, 4, 10, 5, 9, 7, 3, 3 , 8, 6, 5, 8, 9, dan 7. Tentukan nilai rata-ratanya. Jawab:
Jadi, nilai rata-ratanya adlah 6,8 2. Rata-Rata untuk Data Bergolong (Berkelompok)
Keterangan:
xi = nilai tengah data ke-i f i = frekuesni data ke -i xs = rataan sementara (dipilih pada interval dengan frekuensi terbesar) di = simpangan ke-i (selisih nilai xi dengan nilai xs)
Contoh Rataan Data Kelompok
Tentukan rata-rata dari data berikut. Nilai
Frekuensi
11 - 15
4
16 - 20
5
21 - 25
7
26 - 30
8
31 - 35
4
36 – 36 – 40 40
2
Jumlah
27
Jawab: Cara I: Nilai
Xi
Fi
FiXi
11 – 11 – 15 15
13
4
52
16 – 16 – 20 20
18
5
90
21 – 21 – 25 25
23
7
161
26 – 26 – 30 30
28
8
224
31 – 31 – 35 35
33
4
132
36 – 36 – 40 40
38
2
76
30
735
Jumlah Penyelesaian:
Cara II: Nilai
Fi
Xi
di
fidi
11 – 11 – 15 15
4
13
-15
-60
16 – 16 – 20 20
5
18
-10
-50
21 – 21 – 25 25
8
23
-5
-35
26 – 26 – 30 30
8
28
0
0
31 - 35
4
33
5
20
36 - 40
2
38
10
20
Jumlah
30
-105
Penyelesaian:
2.2.2. Median
Median adalah nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian yang sama besar. Median (nilai tengah) disimbolkan dengan Me.
1. Median untuk Data Tunggal
1. Jika banyaknya data n ganjil maka
2. Jika banyaknya n genap maka
median:
median:
Contoh Median Data Tunggal
Tentukan median dari data berikut: 8,6,4,3,7,5,8,10,8,9,8,5 Nilai
3,4,5,6,7,8,9
Frekuensi
2,5,7,8,10,5,4
Jawab: 1. Data diurutkan : 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8 9 10 N= 12 (genap) Jadi, mediannya adlah 7,5
2. n = 41 (ganjil)
2.Median untuk data bergolong Keterangan:
Me = median Tb = tepi bawah kelas median p = panjang kelas n = banyak data F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median f = frekuensi kelas median
Contoh Median Data Bergolong
Tentukan median dari data berikut
Data
Frekuensi
11-20
5
21-30
3
31-40
8
41-50
7
51-60
4
mengandung median adalah 4-40. Dengan
61-70
9
demikian , Tb = 41-0,5 = 40,5; p=10 (11-20);
Jumlah
36
Jawab: Karena banyaknya data adalah 36 maka median terletak diantara data ke-18 dan data ke-19
sehingga
f =7; F= 16.
diperoleh
kelas
yang
Data
F
Fk
11-20
5
5
21-30
3
8
31-40
8
16
41-50
7
23
51-60
4
27
61-70
9
36
Penyelesaian:
Jadi, mediannya adlah 43,36 2.2.3. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambnagnkan dengan Mo. 1. Modus untuk data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang paling sering muncul. Contoh Modus Data Tunggal
Tentukan modus dari data : 7,6,5,8,3,7,9,4,6,4,8,4,10,7,5,7,dan 8.
Jawab: Data diurutkan: 3,4,4,4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,10. Nilai 7 muncul paling banyak, yaitu 4 kali.
Jadi, modusnya adalah 7.
2. Modus untuk data bergolong Keterangan :
Mo : modus Tb : tepi bawah kelas modus p : panjang kelas d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh Modus Data Bergolong
Tentukan modus dari data berikut Data
Frekuensi
11-20
5
21-30
3
31-40
8
41-50
7
51-60
9
61-70
4
Jumlah
36
Jawab: Karena kelas dengan frekuensi terbanyak 9 maka modus terletak diantara kelas 51-60; tb=51-0,5=50,5;
p=10(11-20);
F=16. Penyelesaian:
Jadi, modusnya adalah 53,36
di=9-4=5;
Rata-rata
(mean), ), median dan modus adalah nilai hitung (mean
yang digunakan
untuk
mewakili seperangkat data. Ketiga nilai tersebut sering juga disebut dengan ukuran kecenderungan terpusat (measure (measure of central tendency). tendency). Sebab kecenderungan dari nilai-nilai
tersebut memusat pada bagian tengah suatu perangkat data. Pada analisis data biasanya fokus perhatian tidak terletak pada keseluruhan data, tetapi terletak hanya dimana data tersebut memusat. Oleh karena itulah nilai-nilai rata-rata, median dan modus sering digunakan untuk mewakili seperangkat d ata dalam analisis statistik. Pada suatu distribusi d istribusi frekuensi, hubungan antara rata-rata, median dan modus adalah sebagai berikut. 1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi
tersebut
akan
terbentuk simetris .
2. Jika
rata-rata
lebih
besar
dari
median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi,
nilai
rata-rata
akan
terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus
di
sebelah
kiri.
Kurva
distribusi frekuensi yang terbentuk adalah miring kanan atau kemiringan positif .
3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi yang
terbentuk
adalah miring
kiri atau kemiringan negatif .
4. Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus sebagai berikut. Rata-rata – Modus Modus = 3 (Rata-rata – Median) Median)
Kuartil merupakan nilai yang membagi frekuensi distribusi data menjadi empat kelompok yang sama besar. Dengan kata k ata lain kwartil merupakan nilai yang membagi tiap-tiap 25% frekuensi dalam distribusi. Kuartil ada 3:
Kuartil pertama (K1) yaitu suatu nilai yang membatasi 25% frekuensi ba gian bawah dengan 75% frekuensi bagian atas.
Kuartil kedua (K2) yaitu suatu nilai yang memb atasi 50% frekuensi bagian bawah dengan 50% frekuensi bagian atas.
Kuartil kedua (K3) yaitu suatu nilai yang membatasi 7 5% frekuensi bagian bawah dengan 25% frekuensi bagian atas.
Rumus menghitung kuartil :
Kuartil Data Tunggal
Contoh : Tentukan Q1 dari data berikut : 5, 6, 3, 7, 10, 12, 7, 8, 9, 6, 8 Q1 = 1 (11 + 1) = 3
Kuartil ke 1 ada di data ke - 3
Kuartil group data
Kn = Kuartil ke n. Bb = Batas bawah interval kelas yang mengandung kuartil ke n. fkb = frekuensi kumulatif interval kelas di bawah interval kelas yang mengandung kuartil ke n. fd = frekuensi interval kelas yang mengandung kuartil ke n. i = lebar interval kelas. N = jumlah frekuensi dalam distribusi.
Contoh : Carilah nilai yang membatasi 25 orang yang mempunyai nilai ujian statistik paling tinggi pada tabel berikut ini: Tabel distribusi frekuensi nilai ujian statistik mahasiswa
Mencari interval kelas yang mengandung K3 → ¾ x 100 = 75 → 60 - 69
Dari tabel diketahui :
Bb
= 59,5
fkb
= 68
fd
= 14
i
= 10
N
= 100
Masukkan ke dalam rumus kuartil :
Jadi nilai yang membagi 25 orang dengan nilai ujian tertinggi dan 75 orang dengan nilai ujian yang rendah adalah 64,5
Desil merupakan nilai yang membagi frekuensi distribusi d istribusi data menjadi sepuluh kelompok yang sama besar. Dengan kata lain desil merupakan nilai yang membagi tiap-tiap 10% frekuensi dalam distribusi. Desil ada 9, yaitu D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9.
Desil pertama (D1) adalah suatu nilai yang memb atasi 10% frekuensi bagian bawah dengan 90% frekuensi bagian atas.
Desil keenam (D6) yaitu suatu nilai yang membatasi 60 % frekuensi bagian bawah dengan 40% frekuensi bagian atas.
Desil kedelapan (D8) yaitu suatu nilai yang memb atasi 80% frekuensi bagian bawah dengan 20% frekuensi bagian atas.
Rumus menghitung desil :
Desil Data Tunggal Dn = Desil ke n. i = Desil yang di cari. n = Jumlah data
Desil data Kelompok Dn = Desil ke n. Bb = Batas bawah interval kelas yang mengandung desil ke n. fkb = frekuensi kumulatif interval kelas di bawah interval kelas yang mengandung desil ke n. fd = frekuensi interval kelas yang mengandung desil ke n. i = lebar interval kelas. N = jumlah frekuensi dalam distribusi.
Contoh: Carilah nilai yang membatasi 40 orang yang mempunyai m empunyai nilai ujian statistik paling rendah pada tabel berikut ini: Tabel distribusi frekuensi nilai ujian statistik mahasiswa
Mencari interval kelas yang mengandung D4 → 4/10 x 100 = 40 → 40 - 49 Dari tabel diketahui : Bb = 39,5 fkb = 30 fd = 18 i = 10 N = 100
Masukkan ke dalam rumus desil:
Jadi nilai yang membagi 40 orang dengan nilai ujian tertinggi dan 60 orang dengan nilai ujian yang rendah adalah 45,05.
Persentil merupakan nilai yang membagi frekuensi distribusi data menjadi seratus kelompok yang sama besar. Dengan kata lain persentil merupakan nilai yang membagi tiaptiap 1% frekuensi dalam distribusi. Persentil ada 99, yaitu P1 - P99.
Persentil pertama (P1) adalah suatu nilai yang me mbatasi 1% frekuensi bagian bawah dengan 99% frekuensi bagian atas.
Persentil ketigapuluhtujuh (P37) yaitu suatu nilai yang membatasi 37% frekuensi bagian bawah dengan 63% frekuensi bagian atas.
Persentil kedelapanpuluh enam (P86) yaitu suatu nilai yang membatasi 86% frekuensi bagian bawah dengan 14% frekuensi bagian atas.
Rumus menghitung persentil :
Persentil data tunggal
Pi = Persentil ke – ke – i i i = Persentil yang di cari. n = banyaknya data
Pn = Persentil ke n. Bb = Batas bawah interval kelas yang mengandung persentil ke n. fkb = frekuensi kumulatif interval kelas di bawah interval kelas yang mengandung persentil ke n. fd = frekuensi interval kelas yang mengandung persentil ke n. i = lebar interval kelas. N = jumlah frekuensi dalam distribusi. Contoh: Carilah nilai yang membatasi 67 orang yang mempunyai nilai ujian statistik paling rendah pada tabel berikut ini:
Tabel Distribusi Frekuensi nilai ujian statistik mahasiswa
Mencari interval kelas yang mengandung mengandung P67 → 67/100 x 100 = 67 → 50 - 59 Dari tabel diketahui : Bb
= 49,5
Fkb
= 48
fd
= 20
i
= 10
N
= 100
Masukkan ke dalam rumus persentil:
Jadi nilai yang membagi 67 orang dengan nilai ujian tertinggi dan 33 orang dengan nilai ujian yang rendah adalah 59.
Jenjang Persentil Jenjang persentil (JP) adalah bilangan yang menunjukk an frekuensi dalam persen (%) yang terdapat pada suatu bilangan tertentu dan dibawahnya. Rumus Jenjang Persentil :
X
= Suatu nilai yang diketahui.
Bb
= Batas bawah interval kelas yang mengandung X.
Fkb
= frekuensi kumulatif interval kelas di bawah interval kelas yang
mengandung X. fd
= frekuensi interval kelas yang mengandung X.
i
= lebar interval kelas .
N
= jumlah frekuensi dalam distribusi.
Contoh : Tabel Distribusi Frekuensi nilai ujian statistik mahasiswa
Dari tabel di atas, berapa orangkah yang mendapat nilai ujian 73 ke bawah? Jawab: Mencari interval kelas yang mengandung nilai 73 → 70 - 79
Dari table diketahui:
Masukkan ke dalam rumus,
X
= 73
Bb
= 69,5
Fkb
= 82
fd
= 10
i
= 10
Dari
N
= 100
adalah 85,5%, dengan demikian
perhitungan
diperoleh
JP
jumlah orang yang mendapat nilai 73 ke bawah adalah ~ 86 orang 5 ,851 ,85100 00 100 1005 5 ,85 ,85 x
Metode ukuran penempatan (median, kuartil, desil dan persentil) dan ukuran gejala pusat (rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonic dan modus),sangat berpengaruh terhadap kehidupan, karena metode-metode tersebut dapat mengklasifikasikan dan menyajikan data yang mudah dipahami sehingga persoalan-persoalan yang berkaitan dengan statistika bisa teratasi. Namun, metode-metode ini tidak dapat dipakai apabila tidak terdapat data-data yang bisa digunakan atau data tersebut tidak valid.
DAFTAR PUSTAKA Dergibson Siagian & Sugiarto. Metode Sugiarto. Metode Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, halaman 4-6". 2002. Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama. Ronald E.Walpole. Pengantar E.Walpole. Pengantar Statistika, halaman 2-5". 1993. Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama. Oktarezi, Eriq. Kenali Pengertian dan Perbeda an Statistik dan Statistika.
https://www.rumusstatistik.com/2013/08/hubungan-rata-rata-median-dan-modus.html http://www.pelajaran.co.id/2016/12/ukuran-pemusatan-data-mean-median-modus-rumus-dancontoh-soal.html
