Berikut ini adalah materi tentang penyajian data ukuran menjadi data statistik deskriptif :
1.
Nilai Rata-rata / Rataan Hitung (Mean)
Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung? Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orang siswanya, seagai erikut.
! " " # #," $ !," "," ! %
&ari data terseut, ia dapat menentukan nilai rataan hitung, yaitu :
'adi, nilai rataan hitungnya adalah !,"".
(ecara (eca ra umu umum, m, apa apaila ila nila nilaii data kuantitatif kuantitatif tida tidak k dike dikelomp lompokka okkan n dan diny dinyatak atakan an oleh x1, x2, …, )ter erda dapa patt n u uah ah da datu tum* m*,, ni nila laii ra rata taan an hi hitu tung ng )m )mea ean* n* x di diten tentuk tukan an ole oleh h ru rumu mus s e erik rikut. ut. xn )t
+erhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain jika guru terseut mencatat hasil ulangan 0 orang siswanya seagai erikut:
- orang mendapat nilai orang mendapat nilai " ! orang mendapat nilai "," $ orang mendapat nilai ! # orang mendapat nilai # 10 orang mendapat nilai $ orang mendapat nilai %
/ilai rataan hitung siswa dapat dicari seagai erikut:
'adi, nilai rataan hitungnya adalah !,".
(ecara umum, apaila nilainilai data kuantitatif dinyatakan dengan x1, x2, …, xn )terdapat n uah datum* dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f 1, f 2, …, f n maka rataan hitung ) x * ditentukan oleh rumus erikut.
ontoh (oal 1 :
(eorang peneliti mencatat anyak ayi yang lahir selama setahun di 0 kecamatan. 2asil pencatatannya disajikan erikut.
1-! 10 01%- 1-0 1"$ 1# 1$ 100 1-1 111 1!0 1# $1 $1 1%
a. 2itunglah rataan hitung )mean* data terseut. . 3entukan jangkauan datanya. c. 3entukanlah jangkauan antarkuartil.
+enyelesaian :
4ntuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan dua cara, yaitu tanpa menggunakan kalkulator dan dengan menggunakan kalkulator.
5 3anpa kalkulator )dengan rumus*:
5 &engan kalkulator )f67-!00 +8*, tahapan perhitungan seagai erikut: 1*
kalkulator 9/9
*
M&; - x program (&
-*
masukkan data 1-!
data
10
data
< <
< 1% *
data
tekan tomol x x =
1%0
4ntuk kalkulator jenis lainnya, coa Anda cari informasi cara menghitung mean dengan kalkulator terseut.
. 'angkauan datanya adalah: ' = xn – x1 = $1 7 111 = 1#0. c. (etelah data diurutkan, diperoleh Q1 = 1-$ dan Q3 = -1.
'angkauan antarkuartil adalah '>= Q3 – Q1 = %-.
ontoh (oal :
/ilai rataan hitung )ratarata* ujian matematika dari -$ orang siswa adalah "1. 'ika nilai dari seorang siswa lain yang ernama ahman digaungkan dengan kelompok itu maka nilai rataan hitung ujian matematika dari -% orang siswa sekarang menjadi ". 3entukanlah nilai yang diperoleh ahman.
&iketahui:
/ilai rataan hitung -$ siswa adalah "1. /ilai rataan hitung -% siswa adalah ".
&itanyakan:
/ilai ujian matematika yang diperoleh ahman.
+emahasan :
Misalkan,
xi = nilai ujian matematika dari siswa kei dengan i = 1, , ..., -$ x39 = nilai ujian matematika yang diperoleh ahman
&engan menggunakan rumus rataan hitung, erlaku :
(ustitusikan persamaan )1* ke persamaan )* diperoleh :
'adi, nilai ujian matematika yang diperoleh ahman adalah %0.
ontoh (oal - :
'ika -0 siswa kelas @ A1 mempunyai nilai ratarata !," " siswa kelas @ A mempunyai nilai rata rata # dan 0 siswa kelas @ A- mempunyai nilai ratarata $, tentukan ratarata nilai tujuh puluh lima siswa
kelas
@
terseut.
'awaan :
Menghitung Rataan Hitung dengan Menggunakan Rataan Hitung Sementara .
(elain menggunakan rumus sua1, rataan hitung dapat pula ditentukan dengan menggunakan rataan hitung sementara ) xs*. 4ntuk kumpulan data erukuran esar, iasanya rataan hitung ditentukan dengan menggunakan rataan hitung sementara sea apaila dihitung dengan rumus di (ua 1, perhitungannya akan rumit.
Cangkah pertama dalam menentukan rataan hitung dengan menggunakan rataan hitung sementara adalah menentukan rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelas inter8al. >emudian, semua nilai tengah pada setiap kelas inter8al dikurangi rataan hitung sementara terseut.
(etiap hasil pengurangan terseut diseut simpangan terhadap rataan hitung sementara itu ) di*. Adapun rumus untuk mencari rataan hitung sementara adalah seagai erikut.
&alam
hal
ini,
f i = frekuensi kelas kei xs = rataan hitung sementara
di = simpangan dari titik tengah kelas kei dengan rataan hitung sementara.
ontoh (oal : )(oal (ipenmaru 1%$"*
+erhatikan data erikut.
nilai ujian
3
4
5
6
7
frekuensi
3
5
12
17
14
$ 6
9 3
(eorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya leih tinggi dari nilai ratarata dikurangi 1. &ari data di atas, yang lulus adalah :
+enyelesaian :
(iswa dinyatakan lulus jika nilainya leih dari :
!,0# 7 1 = ",0#.
'adi, jumlah yang lulus adalah :
= 1# D 1 D ! D - = 0 orang.
ontoh (oal " :
3ael 1. menunjukkan hasil ulangan Eisika dari #1 siswa >elas @ (MA Merdeka.
Interval Kelas
Frekuensi
0 7 " 7 % "0 7 " "" 7 "% !0 7 ! !" 7 !% #0 7 # #" 7 #% $0 7 $ $" 7 $% %0 7 %
! $ 10 11 1" !
3entukanlah rataan hitung dengan menggunakan rataan hitung sementara.
'awaan :
Cengkapilah 3ael 1. dengan langkahlangkah seagai erikut.
1. 3entukan nilai tengah dari setiap kelas seperti erikut.
)atas awah kelas D atas atas kelas* F
. +ilih nilai tengah dari suatu kelas seagai rataan sementara.
Misalnya, kita pilih rataan sementara adalah nilai tengah ke!. 'adi, xs = )!" D !%* F = !# .
-. 4ntuk setiap kelas, tentukan simpangan nilai tengahnya terhadap xs , yaitu di = xi 7 xs .
2asilnya tampak pada tael . erikut. >elas nter8al 07 "7%
di
f i di
/ilai 3engah )6 i* #
7#" 70
7" 7$0
"07"
!
"
71"
7%0
""7"%
$
"#
710
7$0
!07!
10
!
7"
7"0
!"7!%
11
!#
0
0
#07#
1"
#
"
#"
#"7#%
!
##
10
!0
$07$
$
1"
!0
$"7$% %07%
Gf = #1
$# %
0 "
0 "0 G fi di = 7%0
f i
. 3entukan hasil kali f i di dan f i di .
". 2itung x dengan rumus :
-. Modus, Median, >uartil, dan &esil
a. Modus )Mo*
(eorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang paling anyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan matematika. 3entunya, ia akan menentukan datum yang paling sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa seagai erikut :
# ! " # $ "," # ! #
&ata yang paling sering muncul diseut modus. Modus dari data itu adalah # sea nilai yang paling sering muncul adalah #. Modus mungkin tidak ada atau jika ada modus tidak tunggal )lihat ontoh 10*.
'ika data yang diperoleh erukuran esar, data perlu dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan. Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan menggunakan rumus erikut.
dengan,
C = atas awah nyata )tepi awah* dari kelas modus
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari kelas yang mendahuluinya )seelumnya*.
d2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari kelas erikutnya i = inter8al kelasFpanjang kelas.
3elah Anda ketahui modus adalah datum yang paling sering muncul. +rinsip ini digunakan untuk menentukan kelas modus pada data yang dikelompokkan. >elas modus adalah kelas yang frekuensinya paling anyak.
ontoh (oal ! :
3entukan modus dari data erikut ini.
a. ", "0, "0, !, !%, #0, #0, #0, #", $0 . "0, !", !", !!, !$, #-, #-, %0 c. -", , $, "0, ", "", !0
+emahasan :
a. leh karena nilai #0 muncul paling anyak )yaitu tiga kali muncul*, modusnya adalah #0.
. leh karena nilai !" dan #- muncul paling anyak )yaitu dua kali muncul*, modusnya adalah !" dan #- )tidak tunggal*. c. &ata -", , $, "0, ", "", !0 tidak mempunyai modus )mengapa?*.
ontoh (oal # :
3ael -. menunjukkan hasil ulangan matematika dari #1 siswa >elas @ (MA Bhinneka. 3entukan modus dari data terseut. nter8al >elas 0 7 " 7 % "0 7 " "" 7 "% !0 7 ! !" 7 !% #" 7 #% $0 7 $ $" 7 $% %0 7 %
Erekuensi ! $ 10 11 ! -
leh karena kelas ke# mempunyai frekuensi teresar )frekuensinya 1"* maka kelas ke# merupakan kelas modus.
i = ," 7 -%," = " C = Batas awah nyata kelas ke# = !%," )tepi awah kelas*
d1 = 1" 7 11 = d2 = 1" 7 ! = %
'adi,
oalah tentukan nilai modus terseut dengan menggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?
. Median dan >uartil
&ari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x 2, …, xn, )dengan x1! x 2 !
… ! xn* untuk n yang erukuran esar )yang dimaksud n erukuran esar yaitu n H -0* maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1 )kuartil awah*, Q2 )median*, dan Q3 )kuartil atas* ditentukan dengan rumus erikut.
ontoh (oal $ :
3entukan median, kuartil awah, dan kuartil atas dari data erikut.
!#
$!
##
%
#"
#0
!-
#%
%$#
$-
#
#"
10-
$1
%"
#
!-
!!
#$
$$
$#
$"
!#
#
%!
#$
%-
$
#1
4rutkan data dari kecil ke esar hasilnya seagai erikut.
"#$ %nit &ata 'xi(
1
2
3
4
5
6
7
"ilai &ata
63
63
66
67
67
7)
71
$ 72
9
1)
72
72
"#$ %nit &ata 'xi( "ilai &ata
11 74
12 75
13 75
14 77
15 7*
16 7*
17 79
1* *1
19 *2
2) *3
"#$ %nit &ata 'xi( "ilai &ata
21 *5
22 *6
23 *7
24 **
25 *9
26 92
27 93
2* 95
29 96
3) 1)3
4ntuk data yang dikelompokkan, nilai median )Me* dan kuartil )I* ditentukan dengan rumus seagai erikut.
dengan:
+i = atas awah nyata dari kelas Qi Fi = jumlah frekuensi kelaskelas seelum kelas kuartil kei f i = frekuensi kelas kuartil kei n = anyak data i = panjang kelasFinter8al kelas
ngatlah :
1. Q2= median . i pada Fi dan f i adalah seagai indeks. i yang erdiri sendiri adalah seagai panjang kelas.
ontoh (oal % :
3entukan median, kuartil awah, dan kuartil atas dari data pada 3ael. . nter8al >elas 0 7 " 7 % "0 7 " "" 7 "% !0 7 ! !" 7 !% #0 7 # #" 7 #% $0 7 $ $" 7 $% %0 7 %
Erekuensi ! $ 10 11 1" ! -
>unci 'awaan :
I J
>elas nter8al 0 7 " 7 % "0 7 " "" 7 "% !0 7 ! !" 7 !%
Q3
7) – 74
I1 J
#" 7 #% $0 7 $ $" 7 $% %0 7 %
Erekuensi ! $ 10 11 1" ! -
'adi, kelas I1 ada di kelas ke )kelas "" 7 "%*
'adi, kelas I ada di kelas ke! )kelas !" 7 !%*
Erekuensi >umulatif 10 1$ $ -% " !0 ! !$ #1
'adi, kelas Q3 ada di kelas ke# )kelas #0 7 #*
&engan demikian, I1 , I , Q3 dapat ditentukan seagai erikut.
c. &esil
4ntuk data seanyak n dengan n H 10, Anda dapat memagi data terseut menjadi 10 kelompok yang memuat data sama anyak. 4kuran statistik yang memagi data )setelah diurutkan dari terkecil* menjadi 10 kelompok sama anyak diseut desil. (eelum data diagi oleh desil, data harus diurutkan dari yang terkecil.
leh karena data diagi menjadi 10 kelompok sama anyak maka didapat % desil. Amati pemagian erikut.
3erdapat % uah desil, yaitu desil pertama ) D1*, desil kedua ) D2*, ..., desil kesemilan )D9*.
Cetak desil ditentukan dengan rumus erikut.
&alam hal ini i = 1, , -, ..., % dan n = anyak data.
ontoh (oal 10 :
3entukan desil ke1 dan desil ke" dari data erikut. #, --, 1, -#, !, -, -%, -!, -", , 0, -%, "
'awaan :
&ata setelah diurutkan menjadi --, -", -!, -#, -%, -%, 0, 1, , -, ", !, #.
Banyak data adalah n = 1-.
'adi, desil ke 1 adalah --,$ dan desil ke" adalah 0.
ngatlah :
1 D 1 D " D # dapat dilihat pada kolom frekuensi kumulatif )kelas " 7 %*
4ntuk data yang disusun dalam daftar distriusi frekuensi, nilai desil ditentukan seagai erikut.
&alam
hal
ini.
i = 1, , -, ..., %
)t* &i = tepi awah kelas & i Ei = frekuensi kumulatif seelum kelas & i f i -
frekuensi kelas &i
p = panjang kelas
ontoh (oal 11 :
3entukan nilai desil ketiga dari data pada 3ael ". /ilai -170 17"0 "17!0 !17#0 #17$0 $17%0 %17100
f i " " ! % $
Erekuensi >umulatif " $ 11% $ -! 0
'awa:
&iketahui i = - maka )i 6 n*F10 = )- 6 0*F10 = 1.
&esil ketiga )&3* terletak di kelas: "17!0 )karena kelas "17!0 memuat data ke%, 10, 11, 1, 1-*.
Anda sekarang sudah mengetahui +erpustakaan yer.
eferensi :
Mean Median Modus.
3erima kasih anda sudah erkunjung ke
&jumanta, K. 00$. Mahir Mengemangkan >emampuan Matematika : untuk >elas @ (ekolah Menengah Atas F Madrasah Aliyah. +usat +erukuan, &epartemen +endidikan /asional, 'akarta. p. "0.
