UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTCA MATEMATICA III III CICLO II – 2012 MATERIAL DE APOYO – CONTROL DE LECTURA No. 1 MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE En las empresas empresas hay situacio situaciones nes en las cuales cuales las activida actividades des de producc producción ión y /o merc mercad ado, o, entr entre e otra otras, s, se encu encuen entr tran an con con cier cierta tas s cond condic icio ione nes s que que las las limi limita tan n y circunscriben a determinados montos y alcances o proyecciones. De ahí que los montos de producción y venta que minimizan costos y /o maximizan utilidades se ven afectados por dichas condiciones, por lo cual se hace necesario considerar los Máximos y Mínimos sin Condiciones y los Máximos y Mínimos con Condiciones.
Máximos y Mínimos sin Condiciones Notación: Expresión f P
Significado la función evaluada en el punto P
d f d q P
la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en este
0
caso f es una función de una sola variable)
∂ f ∂ u P
la derivada parcial de f con respecto respecto a u, evaluada en po (en este
0
caso f es una función de varias varias variables)
Es conocido que una función tiene un máximo relativo en un punto P si la función evaluada evaluada en dicho punto es mayor o igual a la función evaluada evaluada en cualquier punto en las proximidades proximidades del punto P. De manera similar, una función tiene un mínimo mínimo relativo en un punto P si la función evaluada en dicho punto es menor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las proximidades del d el punto P.
Definición: Se dice que una función de varias variables f(r, s, t, ……, z) tiene un valor máximo relativo en un punto P0(r 0, s0, t0, ……, z 0) si f(r 0, s0, t0, ……, z0)
f(r, s, t, ……, z) para
todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos al punto P 0(r 0, s0, t0, ……, z 0). “una función f de varias variables tiene un valor máximo relativo relativo en un punto P0 si dicha función f evaluada en P 0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0” Si f(r 0, s0, t0, ……, z0)
f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos
al punto P0(r 0, s0, t0, ……, z 0), entonces la función tiene un mínimo relativo en el punto P 0. “si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0 la función f de varias variables tiene tiene un valor mínimo mínimo relativo en P0”
PUNT PUNTO O
CRIT CRITIC ICO O:
A
todo
punto
P0
para
el
cual
se
cumple
que
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f = 0, = 0, = 0, .........., = 0 , se le conoce como “un punto crítico ∂ r P ∂ s P ∂ t P ∂ z P 0
0
0
0
de la función f ”. f ”. En un punto crítico P 0, puede que la función f tenga un máximo o un mínimo.
DETERMINANTE HESSIANO: De una función de dos variables, u = f(x1, x 2), se pueden obtener un máximo de “dos al x x cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: f x1 x1 , f x1 x2 , f x2 x1 , f 2 2
. Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden dos:
∆2 =
f x x
f x x
f x x
f x x
1 1 2 1
1 2
2 2
A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el “ el determinante Hessiano de la función f de dos variables” Si la función es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un máximo de “tres al cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:
Definición: Se dice que una función de varias variables f(r, s, t, ……, z) tiene un valor máximo relativo en un punto P0(r 0, s0, t0, ……, z 0) si f(r 0, s0, t0, ……, z0)
f(r, s, t, ……, z) para
todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos al punto P 0(r 0, s0, t0, ……, z 0). “una función f de varias variables tiene un valor máximo relativo relativo en un punto P0 si dicha función f evaluada en P 0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0” Si f(r 0, s0, t0, ……, z0)
f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos
al punto P0(r 0, s0, t0, ……, z 0), entonces la función tiene un mínimo relativo en el punto P 0. “si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0 la función f de varias variables tiene tiene un valor mínimo mínimo relativo en P0”
PUNT PUNTO O
CRIT CRITIC ICO O:
A
todo
punto
P0
para
el
cual
se
cumple
que
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f = 0, = 0, = 0, .........., = 0 , se le conoce como “un punto crítico ∂ r P ∂ s P ∂ t P ∂ z P 0
0
0
0
de la función f ”. f ”. En un punto crítico P 0, puede que la función f tenga un máximo o un mínimo.
DETERMINANTE HESSIANO: De una función de dos variables, u = f(x1, x 2), se pueden obtener un máximo de “dos al x x cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: f x1 x1 , f x1 x2 , f x2 x1 , f 2 2
. Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden dos:
∆2 =
f x x
f x x
f x x
f x x
1 1 2 1
1 2
2 2
A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el “ el determinante Hessiano de la función f de dos variables” Si la función es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un máximo de “tres al cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:
f x x , f x x , f x x , f x x , f x x , f x x , f x x , f x x , f x x . 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden tres:
f x x
f x x
f x x
∆3 = f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3
A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el “ el determinante Hessiano de la función f de tres variables” En general, el Hessiano de una función de n variables, u = f(x 1, x2, x 3, ………. , x n), es el determinante de orden n conformado por todas las “n al cuadrado” posibles derivadas parciales de segundo orden:
f x x
f x x
.... ....
f x x
f x x
.... .... f x x
1 1
∆n =
2 1
1 2
2 2
f x x
1 n
2 n
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
f x x
n 1
f x x
n 2
: : : .... .... f x x
n n
Ejemplos: Encontrar el Hessiano para c/u de las funciones dadas 1) u = x ln(yz) – xy 2
2) f(x, y) = x ln(y) + x 2 y
3) f(x, y, z) = y exz – xyz2
Solución: 1) u = x ln(yz) – xy2 Se trata de una función de tres variables, por tanto el Hessiano de la función u es el determinante de orden tres formado por todas las segundas derivadas parciales de u:
u xx u xy u xz ∆3 = u yx u yy u yz u zx u zy u zz
Ahora solo resta encontrar las derivadas parciales de segundo orden y sustituirlas para obtener el Hessiano. En este ejemplo se encuentran solamente uxy
y
uyy, las demás las encuentra el
estudiante:
∂ ∂ u = xy ∂y ∂x
u
Hay que derivar u con respecto a “x” para después derivar este resultado con respecto a “y”:
∂ u = ∂ x ln(yz) - x y 2 ∂x ∂x ∂ u = ∂ [ x] ln(yz) ∂x ∂x ∂ ∂ u , = xy ∂y ∂x
u
-
∂ [ x ] y2 ⇒ ∂ u = ln(yz) - y2 ∂x ∂x
sustituyen do el resultado anteriorse tiene que :
∂ ln( yz ) − y 2 = ∂ [ln( yz )] − ∂ y 2 = ∂y xy ∂y ∂y
u
=
z yz
− 2 y ⇒
u xy
= 1 − 2 y y
∂ ∂ u = yy ∂y ∂y
u
Hay que derivar u con respecto a “y” para después derivar este resultado nuevamente con respecto a “y”:
∂ u = ∂ x ln(yz) - x y 2 ∂y ∂y = x ∂ [ ln(yz)] − x ∂ y 2 ∂y ∂y
= x . z − x . 2y ⇒ yz
∂ ∂ u , = yy ∂y ∂y
u
∂ u = x − 2 xy ∂y y
sustituyen do el resultado anterior se tiene que :
∂ x − 2 xy = yy ∂y y
u
∂ 1 − x = yy ∂y y
u
= x (-
1 y
2
2x
) − 2 x
∂ [ y ] ∂y
⇒
u yy
=−
x y 2
− 2 x
Corresponde al estudiante verificar que las demás derivadas parciales son precisamente las que se muestran en el Hessiano:
1
0 u xx u xy u xz 1 − 2 y ∆3 = u yx u yy u yz = y u zx u zy u zz 1 z
−
y x y
1
− 2 y
2
z
− 2 x
0
0
−
x z 2
Nota: Las soluciones de los ejercicios 2) f(x, y) = x ln(y) + x 2 y se dejan al estudiante.
∧ 3) f(x, y, z) = y e xz – xyz2
MENORES PRINCIPALES DE UN DETERMINANTE DE ORDEN N Un determinante de orden n es de la forma:
∆n =
a11
a12
a13
---
---
a1n
a21
a22
a23
---
−−−
a2n
a31
a32
a33
−−−
−−−
a3n
:
:
:
:
:
:
:
:
an 1
an 2
an 3
−−−
−−−
an n
Los menores principales de ∆n se encuentran de la siguiente manera:
El primer menor principal ∆1 es el determinante de orden 1 conformado por el primer elemento de la diagonal principal: ∆1 = a11
El segundo menor principal ∆2 es el determinante de orden 2 cuya diagonal principal son los elementos a11 y a22: ∆
2
=
a11 a12 a21 a22
El tercer menor principal
∆3 es el determinante de orden 3 cuya diagonal principal
son los elementos a11, a22 y a3 3:
a11 a12 a13 ∆3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33
Así sucesivamente hasta llegar al último menor principal
∆n cuya diagonal son los
elementos a11, a 22, a 3 3, a44, ………., a nn. O sea que el último menor principal es el mismo determinante ∆n.
CRITERIO PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES Este no es más que un caso particular del criterio para funciones de varias variables Si z = f(x, y) es una función de dos variables y P0(x0, y0) es un punto crítico de f, entonces puede ocurrir que:
a)
∆1 P < 0 y ∆ 2 P > 0, en cuyo caso hay un máximo relativo z0 = 0
0
f P
0
Z z0 (x0, y0, z0) z = f(x, y)
Y y0 x0
P0(x0, y0)
X En el punto (x0, y0, z0) hay un máximo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)
b)
∆1 P > 0 y ∆ 2 P > 0, en cuyo caso hay un mínimo relativo z 0 = 0
0
f P
0
Z
z = f(x, y) z0 (x0, y0, z0) Y y0 X
x0
P0(x0, y0)
En el punto (x0, y0, z0) hay un mínimo relativo cuyo valor es z0 = f(x0, y0)
c)
∆ 2 P < 0, en cuyo caso para P0 hay un punto de silla 0
(x0, y0, z0)
Y
z = f(x, y) z0 (x0, y0, z0)
El punto (x0, y0, z0) es un punto de silla: ahí no hay un máximo relativo ni un mínimo
y0
x0
Y
P0(x0, y0)
X
d)
∆ 2 P = 0, en cuyo caso se dice que el criterio falla: no se puede concluir con respecto 0
al punto crítico P0(x0, y0, z0)
Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos relativos de f(x, y) = x3 – 3xy + y2 + y – 5 Solución: Paso 1: Se aplica la condición necesaria. Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para así encontrar los puntos críticos, o sea aquellos puntos para los cuales puede que haya un máximo o un mínimo relativo (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f(x, y) = x 3 – 3xy + y2 + y – 5
∂ f(x, y) f = x ∂x = ∂ x 3 - 3xy + y 2 + y − 5 ∂x f x
= 3 x2 -3 y
∂ f(x, y) = y ∂y
f
= ∂ x 3 - 3xy + y 2 + y − 5 ∂y f = -3 x + 2y + 1 y
Igualando a cero las derivadas parciales: f x = 0
f y = 0
3x2 – 3y = 0 (1)
-3x + 2y + 1 = 0 (2),
se obtiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, el cual se resuelve por cualesquiera de los métodos ya conocidos. Por ejemplo, por igualación: 3x2 – 3y = 0 (1)
-3x + 2y + 1 = 0 (2)
y =
y = x2
3x − 1 2
y=y x2 =
3 x − 1 2
⇒ 2x2 – 3x + 1 = 0, de donde x = 1 ∧x = 1/2
Sustituyendo en cualesquiera de las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene y = 1 ∧y =1/4 Se tienen entonces dos puntos críticos: P 1(1, 1) y P2(1/2, 1/4) Paso 2: Se aplica la condición suficiente. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función f y se evalúan en cada punto crítico. El signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f(x, y) = x 3 – 3xy + y2 + y – 5 El Hessiano de f es:
∆2 =
f xx f xy f yx f yy
Los menores principales de ∆2 son ∆1 = f xx ,
y
∆2 =
f xx f xy f yx f yy
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en los menores principales: Las derivadas
f
y
= -3 x + 2y + 1
f y f x
y
ya se conocen del paso 1:
3 x2 - 3 y = x
f
∧
∂ ∂ f , se sus = xy ∂y ∂x tituye f = 3 x 2 − 3 y x
∂ ∂ f , se sus = xx ∂x ∂x tituye f = 3 x 2 − 3 y x
f
f
∂ 3 x 2 − 3 y = xy ∂y
∂ 3 x 2 − 3 y = xx ∂x
f
f
f xx
= 6 x
f xy
∂ ∂ f , se sus = yy ∂y ∂y tituye f = −3 x + 2 y + 1 y
∂ ∂ f , se sus f = yx ∂x ∂y tituye f = −3 x + 2 y + 1 y
f
∂ [ − 3 x + 2 y + 1] = yy ∂y
∂ [ − 3 x + 2 y + 1] = yx ∂x
f
f
f yx
= −3
= −3
f yy
=2
Los menores principales son entonces:
∆1 = f xx = 6x
Al evaluar ∆1 y
∆2 =
f xx f xy f yx f yy
∆2 =
6 x −3
−3 = 2
(6 x)(2) − ( −3)(−3)
∆2 en cada punto crítico el signo de los valores numéricos resultantes
indica si hay un máximo o un mínimo relativo: a) Para P1(1, 1)
∆1 = 6 x
∆ 2 = 12 x − 9
∆1 P (1, 1) = 6 (1)
∆2
1
⇒ ∆ 2 = 12 x − 9
P (1, 1) 1
= 12(1) − 9
∆1 P (1, 1) = 6 0
∆2
1
P (1, 1)
=3 0
1
Aplicando el criterio para máximos y mínimos se observa que :
∆1 P
0 y
1
∆2
P
0
1
De lo anterior se concluye que en el punto P 1(1, 1) la función tiene un mínimo. Dicho mínimo relativo es igual a la función f evaluada en el punto crítico P1(1, 1): f(x, y) = x 3 – 3xy + y2 + y – 5 f(1, 1) = (1)3 – 3(1) (1) + (1)2 + (1) – 5
⇒ f(1, 1) = -6 es el mínimo relativo de la
función. b) Para P2(1/2, 1/4)
∆1 = 6 x
∆ 2 = 12 x − 9
1 ∆1 P = 6 2 2
∆2
∆1 P = 3 0
∆2
2
P
= 12 1 − 9 2
2
P
= −3
0
2
Aplicando el criterio para máximos y mínimos se tiene que:
∆2
P
0
, de donde se concluye que para P2(1/2, 1/4) no hay máximo ni mínimo
2
relativo: hay un punto de silla .
Ejemplo: Encontrar los máximos y mínimos relativos de f(x, y, z) = x 2 + y2 + 7z2 – xy Solución: Paso 1: Se aplica la condición necesaria.
Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para así encontrar los puntos críticos (aquellos puntos para los cuales puede haber un máximo o un mínimo relativos; o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f(x, y, z) = x 2 + y2 + 7z2 – xy
∂ f(x, y, y) = y ∂y
∂ f(x, y, z) = x ∂x
f
f
= ∂ x 2 + y 2 + 7 z 2 − xy ∂x f = 2 x - y x
= ∂ x 2 + y 2 + 7 z 2 − xy ∂y f = 2y - x y
∂ f(x, y, y) ⇒ f = ∂ x 2 + y 2 + 7 z 2 − xy = z z ∂z ∂z
f
f = 14z z Igualando a cero las derivadas parciales se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: f x = 0
f y = 0
f z = 0
2x – y = 0 (1)
2y - x = 0 (2)
14z = 0 (3)
Este sistema se puede resolver por cualesquiera de los métodos ya conocidos, resultando que: x = 0, y = 0 z = 0, Se tiene entonces un punto crítico: P1(0, 0, 0) Paso 2: Se aplica la condición suficiente. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función f y se evalúan en el punto crítico. El signo de los valores numéricos resultantes indica si hay un máximo o un mínimo relativos (o bien un punto de silla, en el caso de funciones de dos variables). f(x, y, z) = x 2 + y2 + 7z2 – xy El Hessiano de f es:
f xx f xy ∆3 = f yx f yy f zx f zy
f xz f yz f zz
Los menores principales de
∆3 son:
f xx f xy f xz f xx f xy ∆1 = f xx , ∆ 2 = y ∆3 = f yx f yy f yz f yx f yy f zx f zy f zz Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden: Las derivadas f x , f y
∧ f z ya se conocen del paso 1: f x = 2x – y, f y = 2y – x, f z = 14z
∂ ∂ f = xy ∂y ∂x
∂ ∂ f = xx ∂x ∂x
f
f
= ∂ [ 2 x − y ] ⇒ f xy = −1 ∂y
= ∂ [ 2 x − y ] ⇒ f xx = 2 ∂x
El estudiante puede verificar que las restantes derivadas de segundo orden son: f xz = 0, f yx = -1, f yy = 2, f yz = 0, f zx = 0, f zy = 0, f zz = 14 Los menores principales son entonces:
∆1 = f xx ⇒ ∆1 = 2 f xx
f xy
∆2 =
⇒ ∆2 = f yx
∆3 =
f yy
f xx f yx
f xy f yy
f xz f yz
f zx
f zy
f zz
2
−1
−1
2
2
⇒ ∆3 = − 1 0
= (2)(2) − (−1)(−1) ⇒ ∆ 2 = 3
−1
0
2
0
0
14
Re solviendo por Sarrus : 2
∆3 = − 1 0
−1
0 2
−1
−1
2
14 0
0
2 0
0
= (2)(2)(14) + (−1)(0)(0) + (0)(−1)(0) − (0)(2)(0) − (0)(0)(2) − (14)(−1)(−1)
∆3 = 42 Al evaluar ∆1,
∆2 y ∆3 en el punto crítico el signo de los valores numéricos resultantes
indica si hay un máximo o un mínimo relativo: Para P1(0, 0, 0):
∆1 = 2
∆2 = 3
∆1 P (0, 0, 0) = 2 0
∆2
1
∆3 = 42
P (0, 0, 0) 1
=3 0
∆3
P (0, 0, 0)
= 42 0
1
Aplicando el criterio para máximos y mínimos se observa que que :
∆1 P 0 , ∆ 2 1
P 1
0,
∆2
P
0
1
De lo anterior se concluye que en el punto P 1(0, 0, 0) la función tiene un mínimo. Dicho mínimo relativo es igual a la función f evaluada en el punto crítico P1(0, 0, 0): f(x, y, z) = x 2 + y2 + 7z2 – xy f(0, 0, 0) = (0) 2 + (0)2 + 7(0)2 – (0)(0)
⇒ f(0, 0, 0) = 0 es un mínimo relativo de la
función. El siguiente ejercicio lo resuelve el estudiante siguiendo las indicaciones que se plantean para su desarrollo, las cuales son muy similares a las utilizadas para resolver los dos ejemplos anteriores.
Ejercicio: Encontrar los extremos relativos, si existen, de la función dada f(x, y) = 2x4 + y2 –x2 – 2y
Solución:
Paso 1: Tienes que encontrar los puntos críticos. ¿Cómo?. Encuentra las primeras derivadas parciales con respecto a “x” e “y”, las igualas a cero y resuelves el sistema de ecuaciones resultante. f(x, y) = 2x4 + y2 – x2 – 2y a) Las derivadas encontradas deberán ser: f x = 8x3 – 2x,
f y = 2y - 2
b) Después de igualar ambas derivadas a cero y resolver el sistema de ecuaciones resultante, los puntos críticos que deberás encontrar son: P1(-1/2, 1), P2(0, 1), P3(1/2, 1) Paso 2: Tienes que encontrar el Hessiano de la función f y los menores principales. Evalúas dichos menores en cada punto crítico y el signo de estos resultados te dirá si hay máximos o mínimos relativos. f(x, y) = 2x4 + y2 –x2 – 2y a) Tienes que encontrar todas las derivadas parciales de segundo orden y así los menores principales deberán resultar: ∆1 = 24x2 – 2
∆2 = 48x2 – 4
Al evaluar ∆1 y ∆2 en cada punto crítico deberá resultarte que:
Para P1(-1/2, 1),
∆1 > 0 y ∆2 > 0 ⇒ en P1(-1/2, 1) hay un mínimo relativo.
Te corresponde encontrar dicho mínimo.
Para P2(0, 1), ¿qué sucede?
Para P3(1/2, 1), ¿qué sucede?
Debes recordar que todos los ejercicios de este tipo se resuelven de manera similar.
MÁXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS Las empresas enfrentan constantemente problemas de maximización o minimización, en donde el dominio de la función se encuentra limitado por ciertas restricciones en las variables
que intervienen. Este tipo de problemas recibe el nombre de “máximos y
mínimos condicionados” y las condiciones o restricciones en las variables son llamadas comúnmente “condiciones laterales”. Ejemplos de este tipo de problema podrían ser:
El gerente de una fábrica que elabora dos productos finales para los cuales utiliza alguna materia prima en común y tiene limitaciones para obtenerla. Es posible que para minimizar los costos tenga que distribuir adecuadamente la materia prima disponible para producir una cantidad mínima determinada de cada producto.
Una compañía desea maximizar sus ventas como resultado de la utilización de dos medios publicitarios diferentes, manteniendo los costos totales de promoción dentro de límites específicos.
El procedimiento para resolver problemas de máximos y mínimos condicionados sufre algunas modificaciones, en referencia a problemas de máximos y mínimos libres. La siguiente figura muestra que el máximo condicionado es muy diferente al máximo libre: mL : máximo libre mC : máximo condicionado
Z f(x, y, z)
El dominio de f(x, y, z) son los puntos del círculo de radio r. Si no hay restricciones el máximo es mL : máximo libre. La gráfica de g(x, y) = 0 son los puntos de la recta dentro del círculo; si se restringe el dominio a únicamente estos puntos, entonces el máximo que se obtiene es m C : máximo condicionado. Y
r X
condición g(x, y) = 0: si el dominio se condiciona solo a los puntos de esta recta, la mayor imagen es mC
Algunos de los problemas de máximos y mínimos condicionados pueden resolverse tratando de reducirlos a problemas de máximos y mínimos libres, lo cual no siempre es posible. Generalmente se utiliza un procedimiento conocido como “método de los multiplicadores de Lagrange”, el cual se describe a continuación: Si en un problema de optimización f(r, s, t, …….., z) es la función a optimizar (la función que se va a maximizar o minimizar) y si g(r, s, t, ……, z) = 0 es la condición lateral que restringe su dominio, entonces para resolver el problema se procede como sigue:
I. Se construye la función objetivo F, la cual está constituida por la suma de la función a optimizar con el producto de la función restricción por la variable
λ. A la nueva
variable λ se le conoce como “multiplicador de Lagrange. F(λ, r, s, t, …, z) = f(r, s, t, …, z) +
λ g(r, s, t, …, z)
II. Se define el determinante de orden n+1, conocido como “Hessiano orlado”, conformado por las derivadas parciales de segundo orden de la función objetivo: F
F
λλ
∆n + 1 =
λ s
F
... ... F
λ s
λ z
F F r r F r s r λ F F s r F s s s λ : : : :
:
... ... F r z ... ... F s z
:
F F F z λ z r z s
... ...
:
... ...
:
... ... F z z
III. Si P0(λ0, r 0, s0, t0, ……, z0) es un punto crítico de la función objetivo F, entonces en base a los menores principales a) Si
∆3 P
0,
∆ 4 P
0,
0
0
∆3, ∆ 5, ∆ 4, ….., ∆ n+1 se establece que:
∆5 P
0,
0
∆6 P
0,
0
….., entonces la función original f
tiene un máximo relativo en P 0 y dicho máximo es igual a f P
0
b) Si
∆3 P
0
0,
∆ 4 P
0
0,
∆5 P
0,
0
∆6 P
0
0,
….., entonces la función origina f
tiene un mínimo relativo en P 0 y dicho mínimo es igual a f P
0
c) En cualquier otra situación el criterio falla.
Nota: Es importante observar que para máximos y mínimos condicionados no se toman en cuenta los menores principales
∆1 y ∆ 2
Ejemplos: Una empresa calcula que la función de utilidad por la producción y venta mensuales de dos artículos diferentes x e y está dada por la ecuación: U(x, y) = 12x + 20y – x 2 – 2y2, en miles de dólares. a) Si la disponibilidad de materia prima es prácticamente ilimitada, calcular el nivel mensual de producción y venta que maximiza la utilidad.
b) Si la disponibilidad de materia prima es de 99 unidades por mes y si para producir cada artículo “x” se utilizan 4 unidades mientras que para producir cada artículo “y” se necesitan 8 unidades, calcular el nivel mensual de producción y venta que maximiza la utilidad.
Solución: a) En este caso no existe condición alguna: se trata de un problema de máximos y
mínimos libres.
Paso 1: Se encuentran las primeras derivadas parciales y se igualan a cero para así hallar los puntos críticos. Función a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y – x 2 – 2y2
∂ U(x, y) = ∂ 12x + 20y - x 2 − 2y 2 ⇒ = x ∂x ∂x
U
f
x
= 12 − 2 x
∂ U(x, y) = ∂ 12x + 20y - x 2 − 2y 2 ⇒ U = 20 − 4 y = y y ∂y ∂y
U
Ux = 0
Uy = 0
12 – 2x = 0
⇒ x = 6 ∧ 20 – 4y = 0 ⇒ y = 5, el punto crítico es entonces P0(6, 5).
Paso 2: Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función f y se evalúan en el punto crítico para determinar la naturaleza del mismo. U(x, y) = 12x + 20y – x 2 – 2y2 El Hessiano de U es:
∆2 =
U xx U xy U yx U yy
Los menores principales de
∆2 son: ∆1 = U xx ,
y
∆2 =
U xx
U xy
U yx
U yy
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden: Las derivadas U x y U Y ya se conocen: U x
= 12 - 2x ∧ U y = 20 − 4y
∂ ∂U = xy ∂y ∂x
∂ ∂U = xx ∂x ∂x
U
U
= ∂ [12 − 2 x] ⇒ ∂x
U xx
= ∂ [12 − 2 x] ⇒ ∂y
= −2
∂ ∂U = yx ∂x ∂y
U
U xy
=0
U yy
= −4
∂ ∂U = yy ∂y ∂y
U
= ∂ [ 20 − 4 y ] ⇒ ∂x
U yx
= ∂ [ 20 − 4 y ] ⇒ ∂y
=0
Los menores principales son entonces:
∆1 = U xx = −2 Al evaluar ∆1 y
∆2 =
U xx U xy − 2 = f yx f yy 0
0 = (−2)(−4) − (0)(0) ⇒ ∆ 2 = 8 −4
∆2 en cada punto crítico, el signo de los valores numéricos resultantes
indica si hay un máximo o un mínimo relativo: Para P0(6, 5)
∆1 = −2
∆2 = 8
∆1 P (6, 5) = −2 0
∆2
0
P (6, 5)
=8 0
0
Según el criterio para máximos y mínimos se tiene que
∆1 P
0
0
y ∆
2 P
0⇒
para P 0 (6, 5) la función ti ene un valor máximo relativo.
0
Dicho máximo relativo es igual a la función U evaluada en el punto crítico P 0(6, 5): U(x, y) = 12x + 20y – x 2 – 2y2 U(6, 5) = 12(6) + 20(5) – (6) 2 – 2(5)2 ⇒ U(6, 5) = 111 U(6, 5) = 111 miles de dólares es la utilidad máxima al producir y vender 6 artículos del tipo “x” y 5 del tipo “y”, por mes, si no hay restricción en la obtención de la materia
prima.
Solución: b) En este caso existen condiciones que limitan la producción: se trata de un problema de máximos y mínimos condicionados. I. Se construye la función objetivo F(λ, x, y) = U(x, y) + λg(x, y), para lo cual obviamente se necesita conocer la función restricción g(x, y): Función a optimizar: U(x, y) = 12x + 20y – x 2 – 2y2 Restricción: “4 unidades de materia prima por el número de artículos “x” más 8 unidades de materia prima por el número de artículos “y” es igual a las 88 unidades de materia prima disponible por mes”
⇒ 4x + 8y = 88, de donde g(x, y) = 4x + 8y - 88
Función objetivo: ya se sabe que la función objetivo es igual a la suma de la función a optimizar con el producto de la función restricción por la variable λ. F(λ, x, y) = U(x, y) + λg(x, y) F(λ, x, y) = (12x + 20y – x 2 – 2y2 ) + λ(4x + 8y – 88) II. Se encuentran los puntos críticos de la función objetivo igualando a cero las derivadas de primer orden: F(λ, x, y) = (12x + 20y – x 2 – 2y2 ) + λ(4x + 8y – 88)
∂ F(λ , x, y) = λ ∂λ
F
= ∂ (12x + 20y - x 2 − y 2 ) + λ (4 x + 8 y − 88) ⇒ ∂λ
F
= 4 x + 8 y − 88
F
= 12 − 2 x + 4λ
λ
∂ F(λ , x, y) = x ∂ x
F
= ∂ (12x + 20y - x 2 − y 2 ) + λ (4 x + 8 y − 88) ⇒ ∂ x ∂ F(λ , x, y) F = y ∂ y
= ∂ (12x + 20y - x 2 − 2y 2 ) + λ (4 x + 8 y − 88) ⇒ ∂ y
x
F
y
= 20 − 4 y + 8λ
Fλ = 0
Fx = 0
Fy = 0
(1) 4x + 8y – 88 = 0
(2) 12 – 2x + 4λ = 0
(3) 20 – 4y + 8λ = 0
Despejando λ de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene: Por igualación, λ = λ , se llega a
x − 6 2
=
λ
=
x−6 2
∧ λ =
y−5 2
y−5 2
Despejando “x” en términos de “y” se obtiene la ecuación (4): x = y + 1 Sustituyendo este resultado en la ecuación (1): (1) 4x + 8y – 88 = 0 4(y + 1) + 8y –88 = 0 se encuentra que y = 7. Sustituyendo este resultado en la ecuación (4): (4) x = y + 1 x = (7) + 1 se obtiene x = 8
De manera similar, sustituyendo x = 8 en la ecuación (1) se encuentra que
λ = 1. ¡¡ Esta
variable no es necesario encontrarla puesto que la función a optimizar no depende de ella!!. El punto crítico es entonces P 0(λ0, x0, y0) = P0(1, 8, 7), o bien P0(x0, y0) = P0(8, 7) III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función objetivo, comenzando por el tercero, y se evalúan en el punto crítico para determinar si hay un máximo o un mínimo relativo.
El Hessiano de la función objetivo es:
∆
3
F λλ F λ x F λ y F xx F xy = F xλ F yλ F yx F yy
A partir del tercero solo hay un menor principal: ∆3 Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en ∆3 : F , F λ x
∧ F y ya se conocen: Fλ = 4x + 8y – 88, Fx = 12 – 2x y Fy = 20 – 4y + 8 λ
∂ ∂ F = λλ ∂λ ∂λ
∂ ∂ F = λ x ∂ x ∂λ
F
F
= ∂ [ 4 x + 8 y − 88] ⇒ ∂λ
= ∂ [ 4 x + 8 y − 88] ⇒ ∂ x
=0 λλ
F
F
λ x
=4
El estudiante puede verificar que las demás derivadas de segundo orden son
F
λ y
=8,
F xλ
= 4,
F xx
= −2 ,
F xy
= 0,
F yλ
= 8,
F yλ
= 0,
F yy
= −4
De donde se tiene que:
F λλ F λ x F λ y 0 ∆3 = F xλ F xx F xy = 4 F yλ F yx F yy 8
∆3 =
0
4
8 0
4
4
−2
0 4
-2
8
0
−4
8
4 −2 0
8 0 , el cual se puede resolver por Sarrus: −4
= (0)(−2)(−4) + (4)(0)(8) + (8)(4)(0) − (8)(−2)(8) − (0)(0)(0) − (−4)(4)(4)
0
∆3 = 192 Recordar que para máximos y mínimos condicionados no se toman en cuenta los menores principales
∆1 y ∆ 2
Criterios: En base a los menores principales ∆3, ∆ 5, ∆ 4, ….., ∆ n+1 se establece que: a)
Si
∆3 P
0,
∆ 4 P
0,
0
0
∆5 P
0,
0
∆ 6 P
0,
0
….., entonces la función
origina f tiene un máximo relativo en P 0 y es igual a f P
0
b)
Si
∆3 P
0
0,
∆ 4 P
0
0,
∆5 P
0,
0
∆ 6 P
0,
0
origina f tiene un mínimo relativo en P 0 y es igual a f P
0
c) En cualquier otra situación el criterio falla.
….., entonces la función
En este ejercicio
∆3 P = 192 0
0, coincide con la disposición a) del criterio por lo que se
concluye que la función a optimizar U(x, y) tiene un máximo relativo en P0 el cual es igual a: U P = U(x , y ) 0 0 0
U(x, y) = 12x + 20y – x 2 – 2y2 U P = U(8, 7) = 12(8) + 20(7) – (8) 2 – 2(7)2 ⇒ U(8, 7) = 74 0
U(8, 7) = 74 miles de dólares es la utilidad máxima al producir y vender 8 artículos del tipo “x” y 7 del tipo “y”, por mes, bajo la restricción planteada.
Ejemplo: Una empresa produce calcetines de dos tipos: “x” pares (cantidad en miles) de calcetines de vestir y “y” pares (cantidad en miles) del tipo deportivo. De acuerdo con la demanda y otras situaciones de mercado, se ha calculado que la función de costos totales es C(x, y) = 2x 2 + xy –y2 + 200 y que la producción total mensual deberá ser de 200 pares (cantidad en miles). ¿Cuántos pares de cada tipo deberán producirse para minimizar los costos?
Solución: Existe una condición que limita la producción: se trata de un problema de máximos y mínimos condicionados. I. Se construye la función objetivo F(λ, x, y) = C(x, y) + λg(x, y), para lo cual obviamente se necesita conocer la restricción g(x, y): Función a optimizar: C(x, y) = 2x 2 + xy –y2 + 200 Restricción: “La producción total, “x” miles de pares de calcetines de vestir más “y” miles de pares del tipo deportivo, deberá ser igual a 200” ⇒ x + y = 200, de donde resulta que
g(x, y) = x + y - 200 Función objetivo: F(λ, x, y) = C(x, y) + λg(x, y) F(λ, x, y) = (2x 2 + xy –y2 + 200 ) + λ(x + y – 200)
II. Se encuentran los puntos críticos de la función objetivo: F(λ, x, y) = (2x 2 + xy –y2 + 200 ) + λ(x + y – 200) Se encuentran las derivadas parciales con respecto a las variables Fλ = x + y – 200
Fx = 4x + y +
λ
Fy = x + 2y +
λ, x e y, resultando: λ
Fλ = 0
Fx = 0
Fy = 0
(1) x + y – 200 = 0
(2) 4x + y + λ = 0
(3) x + 2y + λ = 0
El estudiante puede verificar que al resolver el sistema de ecuaciones el punto crítico resulta ser: P0(x0, y0) = P0(50, 150) III. Se encuentran los menores principales del Hessiano de la función objetivo, comenzando por el tercer menor (no se toman en cuenta los menores principales
∆1 y ∆ 2 ),
y se evalúan en el punto crítico para determinar si hay un máximo o un mínimo relativo. El Hessiano de la función objetivo es:
∆
3
F λλ F λ x F λ y F xx F xy = F xλ F yλ F yx F yy
Hay que encontrar las derivadas parciales de segundo orden para sustituirlas en ∆3 : Las derivadas F λ , F x ∧ F y ya se conocen: Fλ = x + y – 200, F x = 4x + y +
λ y Fy = x + 2y
+λ El estudiante puede comprobar que las derivadas parciales de segundo orden son: F
λλ
= 0,
F
λ x
= 1,
F
λ y
= 1,
F = 1 , F xλ xx
= 4,
F xy
= 1,
F = 1 , F yλ yx
=
1 , F
yy
=2
F λλ F λ x F λ y 0 1 1 De donde se tiene que ∆3 = F xλ F xx F xy = 1 4 1 = −4 F yλ F yx F yy 1 1 2
Criterios: En base a los menores principales ∆3, ∆ 5, ∆ 4, ….., ∆ n+1 se establece que: a) Si
∆3 P
0
0,
∆ 4 P
0
0,
∆5 P
0
0,
∆6 P
0
0,
….., entonces la función original f
tiene un máximo relativo en P 0 y es igual a f P
0
b) Si
∆3 P
0,
∆ 4 P
0
0
0,
∆5 P
0,
0
∆6 P
0,
….., entonces la función original f
0
tiene un mínimo relativo en P 0 y es igual a f P
0
c) En cualquier otra situación el criterio falla. En este caso
∆3 P = −4 0, coincide con la disposición b) del criterio por lo que se 0
concluye que la función a optimizar C(x, y) tiene un mínimo relativo en P0(50, 150). Se concluye entonces que para minimizar los costos se deberán producir por mes 50,000 pares de calcetines de vestir y 150,000 pares del tipo deportivo (recordar que el problema especifica que las cantidades están dadas en miles).
Bibliografía: Weber, Jean E. Matemática para Administración y Economía Editorial Harla, México, 4ta. Edición, 1984
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTCA MATEMATICA III
CICLO I – 2012
GUÍA DE EJERCICIOS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Preparado por: Lic. Oscar Roberto Chacón .
I.
Encuentre los máximos o mínimos relativos si los hay de las siguientes funciones.
1. f ( x, y )
=
2 x 2
2 x 3
4 xy
+
2 y 2
−
+
2. f ( x, y )
=
3. f ( x, y )
=
4. f ( x, y )
=
3 x 2
+
6 y 3
−
5. f ( x, y )
=
2 x 2
+
4 xy
+
6. f ( x, y )
=
e xy
7. f ( x, y )
=
4 xy
−
8. f ( x, y )
=−
x 4
+
9. f ( x, y )
=
x 2
+
xy
−
x 2
11 . f ( x, y )
=
12 . f ( x, y ) 13 . f ( x, y )
+
y 2
y 4
2 x 2
3 xy
+
+
y 2
x 3
+
y 2
2 x + 6 y
2 y 2
+
=
y 4
−
=
2 xy ( x + y ) + x 2
x 2
+
1 8
2 x + 4 y
+
8 x +8 y
3 x −5
−
2 y 2
+
−
y 3
−
−
8
4 x + 4 y
4 y 2
−
+
27
+
−
x 2
−
15
+
36 xy
−
xy
=−
2 y 2
+
8 x −10
−
12 xy
10 x 2
+
10 . f ( x, y )
6 y 2
−
7
17 16 +
2 x
1 16
+
9
14 . f ( x, y )
x
15 . f ( x, y )
=
16 . f ( x, y )
=
17 . f ( x, y )
=
18 . f ( x, y )
=
II.
+
2
xy xe 1 3
+
x
x 2
+
xy
19 . f ( L, K )
1
y
=
21 . f ( x, y )
=
x
−
x
y 2
+
ye
+
( x 3
pq
1
y
ln( x ) + y 2
8 y 3 ) −2( x 2 L2
1
p
64 y
y 2 ) +1
+
264 K −10 L
−
−
−
2 y
−
+
2 LK
=
4
+
=
20 . f ( p, q )
+
+
2 K 2
−
1
−
q
xy
+
Resuelva: 1. Una empresa esta desarrollando un nuevo refresco. El costo en dólares de producir un lote del refresco es
C(x, y) = 2200 + 27x 3 – 72xy +8y 2 Donde x es el número de kilos de azúcar por lote y y es el numero de gramos de saborizante por lote. a) Encuentre las cantidades de azúcar y saborizante que conducen a costo mínimo por lote.
un
b) ¿Cual es el costo mínimo? 2.
Suponga que la ganancia de cierta compañía está dada por
U(x, y) = 1000 + 24x - x 2 + 80y - y2 Donde x es el costo de una unidad de fuerza de trabajo y y es el costo de una unidad de bienes. Encuentre los valores de x y y que maximicen la ganancia. Encuentre la ganancia máxima. 3. El costo total de producir x unidades de cinta tipo A y y unidades de cinta tipo B esta dado por :
C(x, y) = 2x2 + 3y2 - 2xy + 2x - 126y + 3800
Encuentre el número de unidades de cada tipo de cinta que deben producirse para que el costo sea mínimo. Encuentre el costo total mínimo. 4. El ingreso total en miles de dólares por la venta de x tinas y y calentadores esta dada por :
I(x, y) = 12 + 74x + 85y – 3x2 – 5y2 –5xy Encuentre el número de cada artículo que debe venderse para ingreso máximo. Encuentre el ingreso máximo.
producir el
5. El ingreso mensual en cientos de dólares por la producción de x miles de toneladas de mineral tipo A y y miles de toneladas de mineral tipo B, esta dado por:
I(x, y) = 2xy + 2y + 12 El correspondiente costo en cientos de dólares esta dado por:
C(x, y) = 2x2 +y2 Encuentre la cantidad de cada tipo de mineral que debe producirse para obtener la máxima ganancia. 6. Suponga que el costo y el ingreso en miles de dólares por la fabricación de x unidades de un producto A y y unidades de un producto B, están dados por:
C(x, y) = x2 + 3y3 ;
I(x,y) = 6xy + 3 – x2
¿Cuantas unidades de cada producto producirán una ganancia máxima? ¿Cuanto es la ganancia máxima? 7.
Suponga que
P (L, K) = 1.08L2 – 0.03L3 + 1.68K2 - 0.08K3 es la función de producción de una empresa. Encuentre las cantidades de insumo L y K que maximizan la
producción P.
8. Una empresa produce dos tipos de producto, A y B. El costo diario total (en dólares) de producir x unidades de A y y unidades de B, está dada por
C(x,y) = 250 – 4x – 7y + 0.2x 2 + 0.1y2
a) Determine el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día con el objeto de minimizar el costo total. b) Si la empresa puede vender cada unidad de A a $20 y cada unidad de B a $16, encuentre los niveles de producción de A y B que maximizan las utilidades de la empresa. ¿Cuál es la utilidad Máxima? 9. Una empresa utiliza dos tipos de materia primas, A y B, en su producto. Usando x unidades de A y y unidades de B, la empresa puede elaborar P unidades de su producto, con
P = 0.52x + 0.48y + 0.12xy –0.07x2 – 0.06y2 Si el costo de cada unidad de A es de $5.10 y de $1.80 por cada unidad utilizada de B, y si la empresa puede vender todas las unidades que produce a $15.00 cada una, ¿Que cantidad de A y B debería utilizar la empresa con el objeto de maximizar sus utilidades? III.
Encuentre los máximos y mínimos relativos, para las siguientes funciones, sujetas a la condición lateral dada.
FUNCIÓN
CONDICIÓN LATERAL
1. f ( x, y ) = xy ; 2. f ( x, y ) = 3 x 2
x + y = 10 2
+ 4 y − xy ;
2x + y = 21
3. f ( x, y ) = 3 x − y + 6 ;
x2 + y 2
=
4. f ( x, y ) = x + y ;
x 2 + y 2
=1
5. f ( x, y ) = −2 x 2
2
+ 5 y + 7 ;
4
3x - 2 y = 7
6. f ( x, y ) = x 2 + y 2 ;
2x + 3 y = 7
7. f ( x, y ) = x 2 + y 2 - 3xy ;
2x + 3y = 31
8. f ( x, y ) = 3 x + 2 y ;
x 2 + y 2
9. f ( x, y ) = 4 + 3 y 2
+
10. f ( x, y ) = x 2
2
x2 ;
+ 2 y + 5xy + 700 ;
= 13
x y = 4 x + y = 700
FUNCIÓN
CONDICIÓN LATERAL
11. f ( x, y ) = x 2
+
4 y 2
12. f ( x, y ) = x 2
+
y 2 ;
x + y − 4 = 0
13. f ( x, y ) = x 2
−
y 2 ;
x - 2 y + 6 = 0
+
6;
2x - 8 y
14. f ( x, y ) = 2 x + 2 xy + y ; 15. f ( x, y ) = 6 − x 2
−
y 2 ;
16. f ( x, y ) = e xy ; 17. f ( x, y ) = 2 x + y ; IV.
=
20
2x + y = 100 x + y − 2 = 0 x2
+
y 2
−
8=0
x y
=
32
Resuelva: 1. La función de producción para una empresa es:
f(x, y) = 12x + 20y – x 2 –2y2 El costo para la compañía es $4. y $8. por unidad de x e y respectivamente. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $88. , Calcule la máxima producción posible, sujeta a la restricción presupuestal. 2. El costo de producir x modelos regulares y y modelos de lujo del producto de una empresa, esta dado por :
C(x, y) = x2 + 1.5y2 + 300. ¿Cuantas unidades de cada tipo deben producirse a fin de minimizar los costos totales, si la empresa debe producir un total de 200 unidades? 3. La función de producción de una empresa es
f(x, y) = 80x3/4 y1/4. En donde x e y representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizado y f es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60. y cada unidad de capital un costo de $200. Si la empresa dispone de $40,000 destinados a producción, determine el número de unidades de mano de obra y capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.
