FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL Introducción Sea f : I
⊆ R → R, una función real de variable real donde el
rango y dominio son números reales. Ahora veremos funciones cuyo rango son números reales, pero el dominio será un subconjunto de Rn , es decir, funciones R, llamada función real de n variables reales ó bien del tipo f : U Rn funciones reales de variable vectorial (a los elementos de Rn lo veremos como vectores).
⊆
→
Definición 0.1 Una función real de variable vectorial f ó de n variables es
una correspondencia de un conjunto A de vectores de Rn , a un conjunto B de B R, talque, para cada números reales y lo denotaremos por f : A Rn A, existe uno y sólo un elemento f ( f ( x )B. B . vector x = (x1 , x2 ,...,xn )A,
⊆
−→
1.
→ ⊆
−→
Domi Domini nio o y Rango Rango de de una una Fun Funci ción ón Real Real de de Variable Vectorial
Definición 1.1 Consideremos la función f : Rn
→ R, el dominio de existen-
cia de la función f, denotaremos por Df , y es el conjunto definido por:
{−→
Df = x = (x1 , x2 ,...,xn )Rn / zR
∃
f (x , x ,...,x )} ∧ z = f ( 1
2
n
al rango de la función f denotaremos por Rf y es el conjunto definido por:
∃−→
Rf = zR/ x = (x1 , x2 ,...,xn )Rn
{
→x )} f (− ∧ z = f (
función f ((x, y ) = Ejemplo 1.1 Determinar el dominio y rango de la función f
25 − x − y . 2
Solución: Dominio de la función f (x, y ) z = 25 x2 y2, luego z es real si, 25 x2 y2 0, Como z = f ( 25, que representa a una circunferencia y el interior de la entonces x2 + y 2 25, misma. Luego Df = (x, y )R2 /x2 + y2 25 .
− −
⇒ ≤
− − ≥
{
Rango de la función Como z = 25 x2
− − y
2
≤ }
2
2
2
≥ 0 ∧ z = 25 − x − y , de donde x + y = 25 − z ≥ 0, ∀(x, y )R 25 − z ≥ 0 ⇒ z ≤ 25 ⇔ −5 ≤ z ≤ 5, pero como z ≥ 0, tenemos: R = {zR/0 zR/0 ≤ z ≤ 5}. 2
2
entonces z 2
2
2
f
1
2
2
Límite de una Función de Varias Variables
n
Definición 1.2 Sea f : D
⊂ R → R una función de n variables definida en un conjunto abierto D ⊂ R y A un punto de acumulación de D, entonces el →x ) cuando −→x se aproxima al punto A, es el número límite de la función f (− →x − A < δ real L, si y solo si, para todo ε > 0, existe δ > 0, talque, si 0 < − →x ) − L| < ε, es decir: entonces |f (− →x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0/∀−→x B (A, δ) ⊂ D ⇒ f (−→x )B(L, ε) l´ım f (− −→ n
f
x →A
Propiedades de Límites
−→
−→
R, son funciones tal que: l´ım x →A f ( x ) y l´ım x →A g( x ) existen Si f, g : Rn y si A es punto de acumulación de Df Dg entonces:
→
−→
∩
−→
−→ −→ − → −→ −→ −→ −→ 2. l´ım− →x → (f (−→x ) − g(−→x )) = l´ım−→x → f (−→x ) − l´ım−→x → g(−→x ) −x ).g(−→x ) = l´ım−→x → f (−→x ). l´ım−→x → g(−→x ) 3. l´ım− →x → f (→ −→x → − → − x x 4. l´ım− →x → −→x = −→ −→x , si l´ım−→x → g(−→x ) = 0. x 1. l´ım x →A(f ( x ) + g( x )) = l´ım x →A f ( x ) + l´ım x →A g( x ) A
A
A
A
A
f (
A g(
l´ım
) )
A
f (
)
g(
)
A
→
l´ım
A
A
→
Teorema 1.1 Suponiendo que la función f : D
2
⊂ R → R, está definida en
todos los puntos de una bola abierta de centro (a,b) excepto posiblemente en (a,b), entonces l´ım(x,y)→(a,b) f (x, y) = L curva α (t) = (x(t), y(t)) que pasa por (a,b), es decir α (t0) = (x(t0), y(t0 )) = (a, b) se tiene:
−→
⇔∀
−→
l´ım
(x,y )
→(a,b)
f (x, y) = l´ım f (x(t), y(t)) = L t
→t
0
Nota
Este teorema es muy útil en el sentido: Si encontramos dos curvas α (t) = (x(t), y(t)) y β (t) = (x(t), y(t)) que pasan por (a,b), tales que : l´ımt→t f (α(t)) = L1 y l´ımt→t f (β (t)) = L2 donde L1 = L2 , entonces l´ım(x,y)→(a,b) f (x, y) no existe.
−→
−→
0
−−→
0
−−→
2
Teorema 1.2 Si la función f : R2
→ R, tiene límites diferentes cuando (x, y)
se aproxima a (x0 , y0 ) a través de dos conjuntos diferentes que tienen a (x0 , y0 ) como punto de acumulación, entonces l´ım(x,y)→(a,b) f (x, y) no existe. Ejemplo 1.2 Calcular el límite l´ım(x,y)→(0,0) Solución S: y = 2x
−→
−→
Sea α (t) = (t, t), α (t0 ) = (t0, t0 ) = (0, 0)
xy x2 +y 2
⇒t
0
, (x, y) = (0, 0)
∀
=0
xy t2 1 l´ım = l´ ım = t→t 2t2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 2 0
T: y = x
−→
−→
Sea β (t) = (t, 2t), β (t0 ) = (t0 , 2t0 ) = (0, 0) entonces t0 = 0 xy 2t2 2 l´ım = l´ ım = t→t 5t2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 5 0
como los límites son diferentes, se tiene: xy (x,y )→(0,0) x2 + y 2 l´ım
no existe. Ejercicios
Calcular los siguientes límites: 1. l´ım(x,y)→(0,0) 2. l´ım(x,y)→(0,0)
√ √
x2 +y 2
x2 +y2 +1 1
−
x2 y2 +1 1 x2 +y 2
−
3. l´ım(x,y)→(0,2)
sin xy
4. l´ım(x,y)→(0,0)
sin(x3 +y 3 ) , x2 +y 2
x
,R=2
,R=0
,R=2 R=0
√xy−2+x y −8 5. l´ım(x,y)→(2,1) √ ,R= x y −4 3
2
2
3
1 2
3
Derivadas Parciales
R, definidas en el intervalo Para las funciones de una variable f : I R abierto I de R, se define la derivada de f en x0 I , denotado por f (x0 ) como el valor del límite f (x0 + x) f (x0 ) f (x0 ) = l´ım x→0 x
⊆ →
−
cuando este límite existe. Si f (x0) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )) por lo tanto las funciones importantes a estudiar son las funciones diferenciables por darnos información a partir de su derivada, el simple hecho que f (x0) existe nos habla del comportamiento suave de la gráfica de la función alrededor del punto (x0 , f (x0 )), el signo de f (x0 )nos habla del crecimiento y/o decreciemiento de las funciones alrededor de un punto, etc. por lo tanto el concepto de diferenciabilidad también es importante para funciones de varias variables. Definición 1.3 Consideremos la función f : D
definida en un conjunto abierto D ciales de f se define:
2
2
⊂ R → R, de dos variables
⊂ R , entonces las primeras derivadas par-
1. La derivada parcial de f con respecto a x, es la función denotada por D1 f , tal que su valor en el punto (x, y)D está dado por: f (x +
D1 f (x, y) = l´ım
x→0
x, y) − f (x, y) x
siempre y cuando exista el límite. 2. La derivada parcial de f con respecto a y, es la función denotada por D2 f , tal que su valor en el punto (x, y)D está dado por: f (x, y +
D2 f (x, y) = l´ım
x→0
siempre y cuando exista el límite.
4
y) − f (x, y) y
Ejemplo 1.3 Calcular D1 f (x, y) y D2 f (x, y) si f (x, y) = 2x2 y + xy 2 + x Solución:
D1f (x, y) = = = =
f (x +
l´ım
x→0 l´ım
x→0
x, y) − f (x, y) x (2(x + x) y + (x + x)y
− 5y
2
2
2
2
2
x) − 5y) − (2x y + xy x
+ (x +
x + 2(x) y + y x + x l´ım → x l´ım 4xy + 2 x + y + 1 → x
4xy
0
2
x
0
= 4xy + y2 + 1
En forma similar D2 f (x, y) = 2x2 + 2xy
− 5.
Ejemplo 1.4 Calcular D1 f (x, y) y D2 f (x, y) si f (x, y) = 5x Solución:
2 2
− 3x y
+ 3x3 y
D1f (x, y) = 5 6xy 2 + 9x2 y D2f (x, y) = 6x2 y + 3x3
− −
Notación para las Primeras Derivadas Parciales
Si z = f(x,y) es una función de varias variables, entonces las derivadas parciales D1f (x, y) y D2 f (x, y), se denotan: D1 f (x, y) =
∂f (x, y) ∂z = f x (x, y) = = zx ∂x ∂x
derivada parcial de f con respecto a x. D2f (x, y) =
∂f (x, y) ∂z = f y (x, y) = = zy ∂y ∂y
derivada parcial de f con respecto a y. Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto P(a,b) se denotan por: ∂z ∂x ∂z ∂y
∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) P (a,b) = ∂y
| |
P (a,b)
=
∂f (a, b) = f x (a, b) ∂x ∂f (a, b) = f y (a, b) P (a,b) = ∂y
| |
P (a,b)
5
=
2
+x
− 5y)
Ejemplo 1.5 Calcular
función f (x, y) = xex
2
∂f (x,y ) ∂x
,
∂f (x,y ) ∂y
y evaluar en el punto P (1, ln2) para la
y
Solución:
∂f (x, y) ∂f (x, y) ln 2 = ex y + 2x2 ye x y + 2 ln 2eln 2 = 2 + 4 ln 2 P (1,ln2)= e ∂x ∂x ∂f (x, y) ∂f (x, y) ln 2 = x3 ex y =2 P (1,ln2) = e ∂y ∂y 2
2
2
⇒
⇒
|
|
6
Derivadas Parciales de una Función de Tres o más Variables
El concepto de derivada parcial para funciones de dos variables puede extenderse para funciones de tres o más variables en una forma natural. Si w = f (x,y,z) es una función de tres variables, entonces se tiene tres derivadas parciales, los cuales se obtienen considerando cada vez dos de las variables constantes, es decir: Para definir la derivada parcial de w con respecto a x, consideramos que y, z son constantes, o sea: ∂w f (x + = f x (x,y,z) = l´ım x→0 ∂x
x,y,z) − f (x,y,z) x
Para definir la derivada parcial de w con respecto a y, consideramos que x, z son constantes, o sea: ∂w f (x, y + = f y (x,y,z) = l´ım x→0 ∂y
y, z) − f (x,y,z) y
Para definir la derivada parcial de w con respecto a z, consideramos que x,y son constantes, o sea: ∂w f (x,y,z + = f z (x,y,z) = l´ım x→0 ∂z Nota
z) − f (x,y,z) z
R es una función definida en el conjunto abierto En general si f : D Rn ∂f ∂f ∂f n D R , entonces hay n derivadas parciales ∂x , ∂x , ... , ∂x , con respecto a la primera, segunda, tercera,..., n-ésima variable y denotaremos por:
⊆
⊆
→
1
n
2
∂f (x1 , x2 ,...,xn ) f (x1 , x2 ,...,xi + xi ,...,xn ) f (x1 , x2 ,...,xn ) = l´ım x →0 ∂x i xi donde i = 1, 2, 3,...,n. Para hallar las derivadas parciales con respecto a una de las variables consideramos las otras como constante y derivamos con respecto ala variable indicada.
i
Ejemplo 1.6 Hallar ∂w , ∂x Solución:
∂w ∂y
,
∂w ∂z
donde w = xz 2 + yx 2 + zy 2
Si w = xz 2 + yx2 + zy 2 , se tiene ∂w = z 2 + 2xy ∂x ∂w ∂y
= x2 + 2yz
∂w ∂z
= 2xz + y 2
−
7
Ejemplo 1.7 Hallar
∂f (x,y ) ∂x
,
∂f (x,y ) ∂y
, donde f (x, y) = ln(x2 + y 2 + xy)
Solución: (x,y ) = Si , f (x, y) = ln(x2 + y2 + xy) se tiene ∂f ∂x
8
2x+y x2 +y 2 +xy
,
∂f (x,y ) ∂y
=
2y +x x2 +y 2 +xy
Derivadas Parcial de Orden Superior
En forma similar que las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de Varias Variables de segundo, tercer orden y superiores, siempre y cuando tales derivadas existen. A las derivadas de orden superior denotamos por el orden de su derivada. Por ejemplo: 1. Derivar dos veces con respecto a x. ∂ ∂f ∂ 2 f ( )= = f xx ∂x ∂x ∂x 2 2. Derivar dos veces con respecto a y. ∂ ∂f ∂ 2 f ( ) = 2 = f yy ∂y ∂y ∂y 3. Derivar primero con respecto a x y a continuación con respecto a y. ∂ ∂f ∂ 2 f ( )= = f xy ∂y ∂x ∂y∂x 4. Derivar primero con respecto a y y a continuación con respecto a x. ∂ ∂f ∂ 2 f ( )= = f yx ∂x ∂y ∂x∂y 2
∂ z Ejemplo 1.8 Hallar ∂x , 2
∂ 2 z ∂y 2
,
∂ 2 z ∂y∂x
,
∂ 2 z ∂x∂y
si z = x4
2 2
− 3x y
+ y4
Solución: ∂z ∂x ∂z ∂y
2
2
∂ z ∂ z = 4x3 6xy2 , ∂x = 12x2 6y2 , ∂y∂x = 12xy ∂ z ∂ z = 6x2 y + 4y3 , ∂y = 6x2 + 12y 2 , ∂x∂y = 12xy
−
−
2
2
2
−
−
Definición 1.4 La función f : R2
ecuación de Laplace, es decir, si:
2
−
−
→ R, se llama armónica, si verifica la
∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) + =0 ∂x 2 ∂y 2
9
Ejemplo 1.9 Probar que la función f (x, y) = x3 y Solución: ∂f (x,y ) ∂x ∂f (x,y ) ∂y
− xy
2
= 3x2 y 3 , ∂ f ∂x(x,y) = 6xy = x3 3xy 2 , ∂ f ∂y(x,y) = 6xy Luego tenemos:
− −
2
2
2
−
∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) + =0 ∂x 2 ∂y 2
10
3
es armónica.
Ejercicios:
1. Si z =
xy x+y
∂z ∂z + y ∂y =z , verifique que: x ∂x
2. Si z = arccos 3. Si z = x3
− x y x+y
2
∂z ∂z + y ∂y =0 , verifique que: x ∂x
3
− 3x y − 2y , verifique que: x
4. Si u = sin
x+y z
, verifique que: x
∂u ∂x
x y +z x+y z
∂z + y ∂y = 3z
+ y ∂u + z ∂u =0 ∂y ∂z
5. Si u = x2 y + y2 z + z 2 x, verifique que:
−
∂z ∂x
∂u ∂x
+
∂u ∂y
+
∂u ∂z
= (x + y + z)2
n
∂u ∂u ∂u − , verifique que: x ∂x + y ∂y + z ∂z = 0 −y , probar que: ∂u + ∂u + ∂u = 1 7. Si u = x + xy− z ∂x ∂y ∂z
6. Si u =
∂ 2 z ∂x 2
8. Si z = ex (x cos y
− y sin y), demostrar que: + 9. Si u = (1 + x) sinh(5x − 2y), comprobar que: 4 + + 10. Si u = (x − y)(y − z)(x − z), hallar:
∂ 2 z ∂y 2
∂ 2 u ∂x 2
∂u ∂x
11
∂u ∂y
∂u ∂z
=0 2
2
∂ u + 20 ∂x∂y + 25 ∂ ∂yu = 0 2
