Teknik Kriteria Matriks Revisi dalam penentuan prioritas masalahFull description
fggFull description
Full description
Deskripsi lengkap
MATRIKS 1
MATRIKS 1Deskripsi lengkap
Full description
PosttestFull description
Deskripsi lengkap
Matriks Kelas 11
pengertian dan contoh matriks
dalam file pdf ini kita akan diajak untuk mengenal aplikasi dari Aljabar Linear di bidang teknik sipil (civil engineering).
dalam file pdf ini kita akan diajak untuk mengenal aplikasi dari Aljabar Linear di bidang teknik sipil (civil engineering).
LSPFull description
Bab Pendahuluan
A.
Latar Belakang
Ide matriks pertama kali dikemukakan oleh Arthur Cayley (1821-1895) seorang seorang matematika matematikawan wan Inggris. Inggris. atriks atriks merupakan merupakan penemuan penemuan dalam dalam matematika yang memudahkan seseorang untuk mengolah data! yang tentunya akan sangat "erman#aat dalam peker$aan mereka (siswa) kelak. %iswa akan memperoleh ketrampilan men&ari data! mengolahnya se&ara le"ih le"ih teruru terurut'h t'hier ierark arkis is dengan dengan mudah mudah melalu melaluii operas operasi-o i-oper perasi asi matrik matriks s hingga hingga dipero diperoleh leh suatu suatu penye penyeles lesaia aian! n! sehing sehingga ga denga dengan n mempe mempela$ la$ari ari matri matriks ks sisw siswa a dapa dapatt memp memper erol oleh eh ke&a ke&aka kapa pan n "er#i "er#iki kirr rasi rasion onal al!! dan dan ketrampilan yang menun$ang ke&akapan keahlian mereka. mum mumny nya a pada pada mate materi ri tent tentan ang g matr matrik iks s ini! ini! sisw siswa a masi masih h seri sering ng melakukan melakukan kesalahan kesalahan karena karena kurang kurang memahami memahami konsep-k konsep-konsep onsep dasar dasar matrik matriks s dan al$a" al$a"ar ar matrik matriks s serta serta kurang kurangny nya a keteli ketelitia tian n dalam dalam operas operasii hitung matriks. adahal matriks "isa dipahami dengan daya nalar dan &ukup &ukup realis realistis tis!! meskip meskipun un dapat dapat dikem" dikem"ang angkan kan men$ad men$adii konsep konsep yang yang sangat a"strak. Contoh matriks yang a"strak adalah matriks polinomial yaitu matriks dengan elemen-elemennya adalah suku "anyak. ntuk mem"angkitkan minat siswa! perlu dikem"angkan suatu teknik pem" em"ela ela$ara $aran n
ten tentan tang
matri atrik ks
yang ang
menar enarik ik!!
aga agar
sisw iswa
dapat pat
mempel mempela$a a$arin rinya ya dan dan memaha memahamin minya ya denga dengan n mudah. mudah. %e"aga %e"agaii &onto &ontoh! h! siswa perlu mendapat pen$elasan tentang man#aat mempela$ari matriks! 1
$uga perlu dikem"angkan tema-tema pem"ela$aran matematika yang kontekstual! aplikati# pada "idang keahliannya dan mem"eri kesempatan pada siswa untuk mengem"angkan daya nalar dan kreati#itasnya.
B. Tujuan
odul ini disusun se"agai "ahan a$ar yang "erisi konsep-konsep dasar tent tentan ang g matr matrik iks s dan dan masi masih h dapa dapatt dike dikem" m"an angk gkan an sesu sesuai ai kead keadaa aan n di lapangan. *iharapkan dapat semakin memantapkan penguasaan materi sehingga sehingga guru dapat dapat meningkatk meningkatkan an ketrampilan ketrampilan siswa siswa menyelesa menyelesaikan ikan masalah yang menyangkut matriks khususnya di "idang keahlian masingmasing.
C. Ruan Ruang g Lin Lingk gkup up
ateri tentang matriks ini meliputi + 1. enge engertia rtian n matrik matriks s dan $enis$enis-$en $enis is matrik matriks s 2. ,pera perasi si matr matrik iks s . *eterm *etermina inan n dan dan Iner Iners s matri matriks! ks! serta serta /. Contoh-&on Contoh-&ontoh toh penerapa penerapanny nnya a dalam kehidu kehidupan pan seharisehari-hari hari dan dan dalam "idang keahlian
2
Bab Matriks
A. Peng Penger erti tian an Matr Matrik iks s 1.
Pengertian Matriks dan Ordo Matriks
*alam *alam men$el men$elask askan an penger pengertia tian n matrik matriks! s! se"ai se"aikny knya a mengan mengangka gkatt peristiwa kehidupan sehari-hari agar le"ih mudah dipahami oleh siswa. atriks yang kita $umpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya + ta"el matrikulasi di sekolah atau kantor! penya$ian data pada suatu media &etak yang disa$ikan dalam "entuk matriks! dan se"againya. Contoh Contoh + ta"el ta"el matrik matrikula ulasi si yang yang memua memuatt data data $umlah $umlah siswa di suatu suatu sekolah 0a"el umlah %iswa elas Ι ΙΙ ΙΙΙ
3aki-laki 2/ 22 25
4anita 18 21 25
*ari ta"el di atas! "ila diam"il angka-angkanya sa$a dan ditulis dalam 2/ tanda siku! "entuknya men$adi 22 25
18
. 6entuk sederhana inilah yang 25 21
kita se"ut se"agai matriks. Pengertian Matriks + %usunan "ilangan "er"entuk persegi pan$ang yang
diatur dalam "aris dan kolom yang diletakkan dalam kurung "iasa atau kurung siku. (7erry %ukarman! 22 + hal 2) atriks dinotasikan dengan huru# kapital A! 6! ! dan se"againya. 3
1/ 2: Contoh+ A 1- - 15 25
6ilangan;"ilangan yang tersusun dalam "aris-"aris dan kolom-kolom terse"ut dise"ut elemen'unsur.
"aris kali "anyaknya kolom adi matriks A "erordo > 2 dan ditulis A - ? 2 2. Jenisjenis Matriks
%etelah memahami pengertian matriks dan ordo suatu matriks! siswa dapat diperkenalkan dengan $enis-$enis matriks. 6erdasarkan ordonya terdapat $enis matriks! se"agai "erikut + a. atrik "u$ursangkar'persegi yaitu matriks "erordo n ? n atau "anyaknya "aris sama dengan "anyaknya kolom dise"ut $uga se"agai matriks kuadrat "erordo n. Contoh+
1
-
6 2? 2 ! maka 1 dan 12 dikatakan "erada pada : 12
diagonal utama 6. ". atriks "aris yaitu matriks "erordo 1 ? n atau hanya memiliki satu "aris. 4
Contoh+ C 1? - [1 -
5]
&. atriks kolom yaitu matriks "erordo n ? 1atau hanya memiliki satu kolom 8
Contoh+ < 2?1 / d. atriks tegak yaitu matriks "erordo m ? n dengan m@n : 8 Contoh+ A / 1 ! A "erordo > 2 dan @ 2 sehingga matriks A tampak -
tegak e. atriks datar yaitu matriks "erordo m ? n dengan mn 2 - 5
Contoh+ B ! B "erordo 2 > dan 2 sehingga matriks B tampak / : 1 datar 6erdasarkan elemen-elemen penyusunnya terdapat $enis-$enis matriks + a. atriks nol yaitu matriks yang semua elemen penyusunnya adalah dan dinotasikan se"agai ,. Contoh+ , 1? - [
] ! , 2? 2
". atriks diagonal yaitu matriks persegi yang semua elemen diatas dan di"awah diagonalnya adalah dan dinotasikan se"agai *. 1 Contoh+ * - ?-
2
-
&. atriks skalar yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama. 5
5 Contoh+ * / ? /
5
5
5
d. atriks simetri yaitu matriks persegi yang setiap elemennya! selain elemen diagonal! adalah simetri terhadap diagonal utama. -
1
Contoh+ B2 ? 2 1 / e. atriks simetri miring yaitu matriks simetri yang elemen-elemennya! selain elemen diagonal! saling "erlawanan. Contoh+ - ?- − 5
5 2
− − 2
#. atriks Identitas'satuan yaitu matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya adalah 1 dan dinotasikan se"agai I. 1
Contoh+ I 2?2
1
g. atriks segitiga atas yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di "awah diagonal utamanya adalah . 1 Contoh+ - ?-
2
5 /
:
h. atriks segitiga "awah yaitu matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah . 1 Contoh+ 7 - ?- : /
2 9
:
6
i. atriks transpose yaitu matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen "aris men$adi elemen pada kolom dan elemen-elemen kolom
men$adi
elemen
pada
"aris.
%e"agai
pengingat
adalah
transperpindahan dan poseletak. 0ranspose matriks A dilam"angkan dengan A 0 : 8 : / Contoh+ A - ?2 / 1 ! maka A 0 ! perhatikan "ahwa ordo dari A 8 1 - - 0
adalah 2 > .
!. "esa#aan Matriks
*ua "uah matriks atau le"ih dikatakan sama "ila dan hanya "ila mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak $uga sama. 2 - /
2 - /
Contoh+ A 2 ?- ! 6 2?- / : 8 maka A 6 / : 8 erhatikan "ahwa C 2?-
2 8 / / : -
dan C 2?- ≠ A 2?-
karena ada
elemennya yang seletak dan nilainya tidak sama. 2 / erhatikan $uga "ahwa * - : dan * ≠ A karena ordo kedua matriks / 8
terse"ut tidak sama.
B. Operasi Matriks dan $i%atsi%atn&a
*alam men$elaskan operasi hitung pada matriks! kita dapat mengangkat peristiwa sehari-hari. isalnya dengan mengam"il &ontoh di 7
suatu toko kelontong. ntuk menun$ukkan operasi pen$umlahan dan pengurangan kita dapat mengam"il ta"el matrikulasi $umlah "arang yang ter$ual. 0a"el umlah "arang yang ter$ual pada "ulan ei (0a"el 1) enis 6arang ie instan %a"un &u&i asta gigi
umlah 2/ 1 8
0a"el umlah "arang yang ter$ual pada "ulan uni (0a"el 2) enis 6arang ie instan %a"un &u&i asta gigi
umlah 2 12
ika kita ingin mengetahui "erapa $umlah mie instan yang ter$ual dalam waktu dua "ulan terse"ut! maka kita harus men$umlahkan "aris 1 ta"el 1 dengan "aris 1 ta"el 2. 0otal mie instan yang ter$ual adalah 2/D2 //. ntuk mengetahui total sa"un &u&i yang ter$ual! kita harus men$umlahkan "aris 2 ta"el 1 dengan "aris 2 ta"el 2! demikian pula untuk $enis "arang "erikutnya. 6erdasarkan prinsip yang sama! siswa kita perkenalkan dengan operasi pen$umlahan dan pengurangan pada matriks. 1. Penju#lahan Matriks
rinsip pen$umlahan dua atau le"ih matriks yaitu men$umlahkan setiap elemennya yang seletak. Pengertian penju#lahan #atriks + ika A D 6 C! maka elemen-elemen
C diperoleh dari pen$umlahan elemen-elemen A dan 6 yang seletak! yaitu & i$ a i$ D " i$ untuk elemen C pada "aris ke-i dan kolom ke-$. 8
Aki"atnya! matriks A dan 6 dapat di$umlahkan apa"ila kedua matriks memiliki ordo yang sama. 1
Contoh+ A
-
2
5 ! 6 /
1 maka A D 6 8 :
:
2
5 D /
:
8
8
C 1 12 erhatikan "ahwa C mempunyai ordo sama dengan A dan 6 %i#at-si#at pen$umlahan matriks + a. AD6 6DA ". AD(6DC) (AD6)DC
(hukum komutati# untuk pen$umlahan) (hukum asosiati# untuk pen$umlahan)
&. AD, ,DA d. (AD6) 0 A 0 D 6 0
2. Pengurangan Matriks
,perasi pengurangan pada matriks menggunakan prinsip yang sama seperti pada operasi pen$umlahan. atriks A dikurangi matriks 6 dengan &ara mengurangi elemen matriks A dengan elemen matriks 6 yang seletak. Pengertian pengurangan #atriks + ika A−6 C! maka elemen-elemen
C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan 6 yang seletak! yaitu & i$ a i$ − " i$ atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang se"agai pen$umlahan! yaitu A D (-6) 9
aidah ilmu hitung yang "erlaku pada pengurangan adalah + a.
A− A ,
".
A −, A
!. Perkalian Matriks
,perasi perkalian pada matriks ada dua ma&am yaitu perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks dengan matriks. %e"elum memperkenalkan perkalian matriks dengan matriks! siswa terle"ih dahulu diperkenalkan perkalian matriks dengan "ilangan'skalar. a. Perkalian Matriks dengan skalar
atriks A dikalikan dengan & suatu "ilangan'skalar maka &A diperoleh dari hasilkali setiap elemen A dengan &. *engan demikian! matriks ;A dapat dipandang se"agai hasil kali matriks A dengan skalar (-1). adi ;A (-1)A. 10
6erikut ini adalah &ontoh perkalian matriks dengan "ilangan skalar! -
Contoh+ 5
8
maka / / 1 5
8
12 1 2
-2
/
ika a dan " "ilangan real dan 6! C dua matriks dengan ordo sedemikian hingga dapat dilakukan operasi hitung "erikut! maka "erlaku si#at-si#at perkalian matriks dengan skalar + 1)
a(6DC)a6DaC
2)
a(6−C) a6−aC
)
(aD")C aCD"C
/)
(a-")C aC−"C
5)
(a")C a("C)
:)
(a6) 0 a6 0
b.
Perkalian #atriks dengan #atriks
ntuk le"ih memahami perkalian matriks dengan matriks! kita perhatikan kem"ali &ontoh di se"uah toko kelontong. isalnya da#tar harga "arang disa$ikan pada ta"el "erikut ini! 0a"el 7arga "arang enis 6arang 7arga (rupiah)
ie instan
%a"un &u&i 1
asta gigi 22
0a"el umlah "arang yang ter$ual enis 6arang
umlah
ie instan %a"un &u&i asta gigi
22 1 8
11
ntuk mengetahui total pendapatan! kita akan menghitung dengan &ara + (?22) D(1?1) D (22?8) /:. erhitungan itu dapat ditun$ukkan
[ /:] *ua matriks A6 dapat dikalikan "ila dan hanya "ila $umlah kolom matriks A sama dengan $umlah "aris matriks 6. adi A m?n 6 n?p "isa dide#inisikan! tapi 6 n?p A m?n tidak dapat dide#inisikan. A m?n
6
A6
n?p
m?p
erhatikan "ahwa hasil kali matriks A6 "erordo m?p ntuk mengu$i apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan $uga untuk menentukan ordo hasil perkaliannya! dapat $uga menggunakan aturan memasang kartu domino se"agai "erikut + sama 1? 2
7asilkalinya merupakan suatu matriks "erordo >. Contoh perkalian matriks m?n dengan matriks n?p+ 1
A
2
1
1
! 6 2 / 1
A 2?2 6 2 ?-
2 1 /
(1?1) + (2?)
1
2
(1?) + (2?2)
(1?1) + (2?)
1
/
1
A6 - 8 - (-?1) + (/ ?) (-?) + ( /?2) (- ?1) + (/ ?) ntuk matriks A dan matriks C pada &ontoh-&ontoh di atas! A - ?1 C - ?1 tidak dapat dide#inisikan. %i#at-si#at perkalian matriks dengan matriks + 13
1)
A(6C) (A6)C
2)
A(6DC) A6 D AC
)
(6DC)A 6A D CA
/)
A(6−C) A6− AC
5)
(6−C)A 6A−CA
:)
a(6C) (a6)C 6(aC)
)
AI IA A
erlu diingat "ahwa "ila A6 dapat dide#inisikan! maka 6A "elum tentu dapat dide#inisikan! sehingga A6 "elum tentu sama dengan 6A. C. 'eter#inan Matriks
ntuk setiap matriks persegi terdapat suatu "ilangan tertentu yang dise"ut determinan. Pengertian 'eter#inan #atriks adalah $umlah semua hasil perkalian
elementer yang "ertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). (7oward Anton! 1991 + hal :) Eang diartikan dengan se"uah hasil perkalian elementer "ertanda dari suatu matriks A adalah se"uah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan D1 atau -1. ntuk le"ih $elasnya! "erikut ini diuraikan &ara men&ari determinan matriks "erordo 2?2 dan matriks "erordo ?. 1. 'eter#inan #atriks berordo 2 ( 2 a
ika matriks A &
"
maka det (A)
d
A
a
"
&
d
ad−"&
14
a
%e"agai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari & 8
/
Contoh+ -
! maka det() /
)
8
/
-
/
"
d
(8?/)-(/?) 2
2. 'eter#inan #atriks berordo ! ( !
ntuk men&ari determinan matriks "erordo > dapat digunakan dua metode! se"agai "erikut + a. etode %arrus p ika matriks 6 s
maka det(6)
6
F t
r
u
w
?
p
F
r
s
t
u
.
w
?
pt? D Fu Drsw ; rt ; Fs?-puw
%e"agai pengingat ketentuan di atas diperoleh dari p s
F t w
r p u s ? .
F t w
erlu diperhatikan "ahwa &ara demikian tidak berlaku "ila matriks "erordo /?/ dan yang le"ih tinggi lagi. 2 Contoh+ G 1 2
/
1
-
8
2 5 1 9 :
/ 8 / 8
:
5 !
maka det(G)
G
adalah
9
: 2 5 1 9
/ -
(2??9)D(/?5?)D(:?1?8)-(:??)-
8
(2?5?8)-(/?1?9) 2/2-2/2 ". etode o#aktor
15
0erle"ih dahulu siswa di$elaskan tentang su" matriks atau minor dari suatu matriks. inor suatu matriks A dilam"angkan dengan i$ adalah matriks "agian dari A yang diperoleh dengan &ara menghilangkan elemen-elemennya pada "aris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-$. 2 Contoh+ G 1
2 12 1
/ 8
/ 8
:
5 9
:
2 5 ! maka 11 1 9
1
2 ! 1- 1 9 5
/ 8
/ 8
:
:
5 8 9
1 5 9
5
9
-
8
11 ! 12 dan 1- merupakan su"matriks hasil ekspansi "aris ke-1 dari matriks G. o#aktor suatu elemen "aris ke-i dan kolom ke-$ dari matriks A dilam"angkan dengan i$ (-1) i+ $
i$
(-1) i+ $ det ( i$ )
ntuk men&ari det(A) dengan metode ko#aktor &ukup mengam"il satu ekspansi sa$a misal ekspansi "aris ke-1 2 Contoh+ G 1
/ 8
:
5 ! 9
untuk mendapatkan det(G) dengan metode
ko#aktor adalah men&ari terle"ih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi "aris ke-1 diatas! yaitu det( 11 )-1 ! det( 12
Adjoin Matriks Adjoin #atriks A adalah transpose dari ko#aktor-ko#aktor matriks
terse"ut! dilam"angkan dengan ad$ A (k i$ ) t
2 Contoh+ G 1
/ 8
:
5 telah
diketahui dari hitungan se"elumnya "ahwa
9
k 11 1! k 12 −2: dan k 1- 1 sekarang kita hanya men&ari ko#aktor dari ekspansi "aris ke-2 dan ekspansi "aris ke-! yaitu + k 21 (-1) 2 +1
/
:
8
9
/
:
-
5
−12! k 22 (-1) 2+ 2
2
:
9
2/! k 2- (-1) 2+-
2
/
8
−12 k -1 (-1) - +1
k11 Ad$ A k12 k1-
k 21 k 22 k 2-
2! k -2 (-1) - + 2
k-1
k-2 k --
1 − 2: 1-
2
:
1
5
− 12 2/
− 12
−/! k -- (-1) - +-
2
/
1
-
2
2
− / 2
7al yang menarik dalam men&ari ad$oin matriks "erordo 2?2 ditun$ukkan se"agai "erikut +
17
a
"
&
d
ika A 2? 2
! maka ko#aktor-ko#aktornya adalah k 11 d! k 12 -&! k
k11 21 -" dan k 22 a. emudian Ad$ A k12
k 21
d
− & k 22
− " a
7al ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengu"ah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya '. )n*ers Matriks
ntuk men$elaskan iners matriks! perhatikan &ontoh dalam kehidupan se"agai "erikut + *i koperasi sekolah Ana mem"eli 5 "uah "uku tulis dan : "uah pensil! Ani mem"eli : "uah "uku tulis dan 8 "uah pensil. ntuk itu Ana mem"ayar Hp. 8!- dan Ani mem"ayar se"esar Hp. 1.!-. 6erapakah harga "uku tulis per-"uah dan pensil per-"uah = %oal kehidupan sehari-hari di atas dapat diselesaikan dengan model al$a"ar yaitu menggunakan persamaan linear. isalkan ?harga "uku tulis per-"uah dan yharga pensil per-"uah. %istem persamaan linearnya+ 5?D:y8 :?D8y1 oe#isien persamaan di atas $ika di tulis dalam "entuk matriks adalah se"agai "erikut+
18
5 :
: ?
? 8 atau A 2?2 6 2?1 ! untuk mengetahui nilai ? 8 y 1 y
dan y kita perlu men$elaskan pada siswa adanya iners matriks. Pengertian )n*ers #atriks + 3awan atau ke"alikan suatu matriks dalam
perkalian yang dilam"angkan dengan A −1 . 6erlaku AA −1 A −1 A I! I matriks identitas. ?
?
ntuk soal diatas + A 2?2 6 2?1 ! maka A −1 .A A −1 .6 y y ?
?
I. A −1 .6 ⇔ A −1 .6 y y - 2 − 2 ita tun$ukkan "ahwa hasil kali C 2? 2 dengan A 2?2 adalah I 5 − 2 /
awa" + ntuk men&ari determinan matriks 6! &ara paling praktis adalah dengan metode ko#aktor dengan mengekspansi "aris yang memuat nol ter"anyak yaitu "aris ke-! maka det(6):(1?/-?2) 2/ + Ad$ 6 − +
%i#at-si#at iners matriks + 1. (A6) −1 6 −1 A −1 2. ika A6 6A I! maka A dan 6 dikatakan se"agai matriks yang saling iners karena A 6 −1 dan 6 A −1 6ila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) maka matriks A
tidak mempunyai iners. %uatu matriks yang tidak
mempunyai iners dise"ut matriks singular. 6ila det(A)≠! maka matriks A pasti mempunyai iners. %uatu matriks persegi yang mempunyai iners dise"ut matriks non singular. Bab Aplikasi Matriks
mumnya aplikasi matriks yang dapat dia$arkan di % adalah untuk menyelesaikan soal kehidupan sehari-hari atau yang "erkaitan dengan "idang keahlian dengan langkah + 1. engu"ah soal &erita dalam "entuk ta"el lalu diselesaikan dengan matriks! atau 2. enyatakan nilai yang akan di &ari dalam aria"el! menyusun sistem persamaan linearnya dan menyelesaikannya dengan matriks. 21
Contoh $oal Aplikasi Matriks
1. 0oko J%em"ada ArtK Eogyakarta men$ual kera$inan tangan pada Lnik aleryK akarta yang dituliskan dalam nota pen$ualan "erikut + S e m b a d a A r t Yogyakarta
M,0A
enis 6arang
umlah
7arga %atuan (Hp)
0otal (Hp)
1
atung 3ilin
2
1.
2..
2
atung keramik
5
15.
5.25.
6oneka akar wangi
5
2.
1..
umlah
8.25.
ertanyaan+ a. 6uatlah dua ta"el "erdasarkan nota pen$ualan di atas! yaitu ta"el
yang
memuat $umlah "arang dan ta"el yang memuat harga "arang ". 6erdasarkan ta"el pada $awa"an a! u"ahlah kedalam "entuk matriks perkalian untuk memperoleh total harga pen$ualan awa"+ a.
[ 825] 2. erusahaan garmen LIndahK tiap "ulannya mengekspor ma&am m odel "usana ke-/ negara tu$uan. 6erikut ini adalah ta"el da#tar "arang pesanan pada "ulan Moem"er 2 dalam satuan lusin. enis odel A 6 C
epang 2 15
Megara orea 25
0u$uan Cina 1 11 12
0aiwan 2/ 1:
0a"el "erikut adalah da#tar harga masing-masing model "usana dalam satuan % N. odel A 6 C
7arga per lusin 12 1// 18
ertanyaan+ a. 6erapakah pemasukan yang akan diperoleh perusahaan terse"ut dari negara orea pada "ulan Mopem"er terse"ut =
23
". ika pada "ulan *esem"er 2 pesanan dari epang meningkat kalinya dan pesanan dari Cina meningkat 2 kalinya! sedangkan pesanan dari orea dan 0aiwan tetap! "erapakah total pesanan "a$u masingmasing model pada "ulan *esem"er 2 terse"ut = awa"+ a. 7asil matriks perkalian "erikut ini merupakan nilai pemasukan yang akan diperoleh perusahaanKIndahK
[12
1// 18] 2 15
25
1
-
11
12
1: 2/
emasukan dari negara orea diperoleh dari hasil kali "aris ke-1 matriks harga dengan kolom ke-2 matriks pesanan! yaitu + (12?25)D(1//?)D D/2 2. adi pemasukan yang akan diperolehnya adalah % N 2. ". 2 15
-
25
1
-
11
1 2/
12
1:
2
1
/5 1-: 85
adi da#tar pesanan dari / negara pada "ulan *esem"er 2 adalah /5 lusin model A! 1: lusin model 6 dan 85 lusin model C. . *ewi dan teman-temannya memesan mangkok "akso dan 2 gelas es $eruk di kantin sekolahnya. 0ak lama kemudian! datang *oni dan temantemannya memesan 5 mangkok "akso dan gelas es $eruk. *ewi menantang Amir! seorang siswa % non 0eknik! untuk menentukan harga "akso per mangkok dan harga es $eruk per gelas $ika *ewi harus 24
mem"ayar Hp. ! untuk semua pesanannya! dan *oni harus mem"ayar Hp. 11.5! untuk semua pesanannya itu. aka "erapakah harga "akso per mangkok dan es $eruk per gelasnya= etun$uk + 6uatlah sistem persamaan linearnya lalu selesaikan dengan matriks. awa"+ isalkan ? harga "akso per mangkok y harga es $eruk per gelas %istem persamaan linearnya + ? D 2y 5? D y 115 *alam "entuk matriks adalah se"agai "erikut + 5
2 ?
? ? atau A 6! maka A −1 6 - y y y 115
7arga "akso Hp. 2! per mangkok dan harga es $eruk Hp. 5! per gelas. /. %e"uah perusahaan roti donat selalu men&atat $umlah tiap $enis donat yang ter$ual di tiga tokonya! sehingga perusahaan itu dapat
terus
memantau penyaluran produknya tanpa harus memproduksi ekstra. 6erikut adalah data pen$ualan selama 2 hari + %enin+ Coklat
a&ang
e$u
%traw"erry 25
0oko 6ig *onat
12
9
:/
5
0okoCalOs *onat
8
59
:
:
0oko *onats In&
2
8/
29
/8
%elasa + Coklat a&ang
e$u
%traw"erry
0oko 6ig *onat
112
8
5:
/
0okoCalOs *onat
8/
:5
9
0oko *onats In&
88
98
/
:
ertanyaan+ a. 0ulislah dalam "entuk matriks dan "eri nama untuk masing-masing hari. 7itunglah total donat yang ter$ual pada kedua hari itu dalam "entuk matriks ". %etiap $enis donat memerlukan kira-kira
1 /
&awan tepung. ika ada /
&awan dalam 1 pon tepung! "erapa pon tepung yang diperlukan untuk memproduksi pada dua hari terse"ut = awa"+ 12 a. atriks pen$ualan pada hari %enin 8 2 112 atriks pen$ualan pada hari %elasa 0 8/ 88
9
:/
5
59
-:
:
8/
29
/8
8
5:
/
:5
-9
98
/-
:
umlah total donat yang ter$ual selama dua hari D 0 12 8 2
". 1 pon tepung dapat dipakai untuk mem"uat /?/ 1: donat . 0otal
2-2 donat yang ter$ual pada dua hari untuk masing-masing toko adalah 1:/ 1:
18/ 12 1/9 D 12/ D 5 D 1- 182 2 18
:85 /9- 522
0otal donat yang ter$ual dari ketiga toko adalah :85D/9D522 1! $adi tepung yang di"utuhkan untuk memproduksi donat se$umlah 1 adalah 1 + 1: 1:! 25. 5. %e"uah pa"rik tekstil hendak menyusun ta"el aktia mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 1P dari harga perolehan se"agai "erikut+ enis
7arga
enyusutan
7arga
Aktia
erolehan (Hp)
tahun Ι (Hp)
(Hp)
esin A
25..
2.5.
esin 6
:5..
:.5.
esin C
/8..
/.8.
6aku
ntuk melengkapi ta"el terse"ut! hitunglah harga "aku masing-masing mesin dengan menggunakan matriks awa"+ 7arga "aku harga perolehan-penyusutan tahun Ι
Contoh penyelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas "ukanlah satu-satunya &ara. %iswa hendaknya diper"olehkan men&ari penyelesaian lain selama penyelesaian di"uat dengan logis dan mengikuti kaidah al$a"ar matriks serta memperoleh hasil sama. ntuk tahap selan$utnya kepada siswa dapat dia$arkan tentang persamaan dan pertidaksamaan! "aik yang linear atau kuadrat! $uga relasi dan #ungsi.
28
Le#bar "erja 2 1. ika A / :
−1
8
:
−9
−-
!
8
tentukan ordo A dan a 2-
2. %e"utkan $enis matriks "erikut ini + a.
1 5
1 5 ". 8
1
-
5
8
2
:
9
:
-
9
/
-
1 &. 1
2
1 1
1 1
2
1
. ika A ! 6 − / - dan A D 6 C 0 ! tentukanlah 1 5 matriks C 8
/. ika A
9
2
/ dan (A6) −1 ! maka + : − 12 1/
a. 0entukan A −1 ". 0entukan 6 −1 1 5. ika
2
2
1
1
8
9
dan G
/
a. 0entukanlah G ". 0entukan (
1 G) 2
:. ntuk sem"arang nilai a &arilah nilai ? yang memenuhi "ila diketahui det(A) untuk matriks + ?
a. A a
a
2
a
". A a
/
?
29
/
. ika 5
1
dan G - 2
a. *et()
1
! hitunglah +
2
". *et(G)
&. *et(G)
Apa kesimpulan anda setelah melakukan perhitungan di atas = 1 8. ika - ?- / 5
:
2 &arilah
det() dengan menggunakan +
a. etode %arrus ". etode o#aktor 9. 6iro trael L3intas K mengelola per$alanan antar kota. 6erikut adalah &atatan per$alanan trael L3intasK pada tanggal 22 Mopem"er 2! se"uah mo"il yang "erangkat dari kota A tu$uan kota 6 mem"awa 8 penumpang! dan mo"il tu$uan kota C mem"awa 12 penumpang! mo"il yang "erangkat dari kota 6 ke kota A mem"awa 1 penumpang dan mo"il tu$uan kota C mem"awa 9 penumpang! dari kota C "erangkat se"uah mo"il tu$uan kota A "erpenumpang 11 dan tu$uan kota 6 "erpenumpang orang. 6ila harga tiket antar kota A ke 6 Hp./2.! per orang! antar kota 6 dan kota C Hp. /5.! per orang dan antar kota A ke kota C Hp./.! per orang. "ahlah soal ini dalam "entuk matriks 6agaimana &ara menghitung pendapatan "iro hari itu dengan matriks yang anda "uat = 1. erusahaan roti L 7arumK mempunyai tiga pa"rik yang masing-masing memproduksi $enis roti yang "er"eda. 0iap harinya perusahaan itu memasarkan produknya antar tiga &a"ang pa"rik se$umlah 5 kotak 30
(tiap kotak "erisi 5 "ungkus roti) dan mengem"alikan roti yang sudah rusak ke pa"rik pem"uatnya. 6erikut ini adalah da#tar pengem"alian roti per kotak + 0u$uan engirim Ca"ang I Ca"ang II Ca"ang III
Ca"ang I
Ca"ang II
Ca"ang III
/ 1
2
2
7itunglah $umlah roti yang diterima masing-masing &a"ang setelah dikurangi roti yang rusak
Rangku#an
1. atriks adalah susunan dari "ilangan-"ilangan dalam "aris dan kolom yang disa$ikan dalam kurung siku-siku.
31
,rdo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam "anyaknya "aris kali "anyaknya kolom.
a mn menyatakan elemen matriks A pada "aris ke-m dan kolom ke-n 2. enis-$enis matriks + matriks "u$ursangkar'persegi! matriks "aris! matriks kolom! matriks tegak! matriks datar! matriks nol! matriks diagonal! matriks skalar! matriks identitas! matriks segitiga "awah dan segitiga atas! matriks transpose! matriks simetri! dan matriks simetri miring . atriks 0ranspose merupakan matriks hasil perpindahan elemenelemen "arisnya men$adi elemen pada kolom dan elemen-elemen kolomnya men$adi elemen pada "aris. A m?n
A0
n?m
! dengan a i$ a t
$i
/. esamaan matriks menyatakan "ahwa dua "uah matriks atau le"ih dikatakan sama "ila + mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen penyusun yang seletak $uga sama. 5. ,perasi pen$umlahan dan pengurangan matriks A dan matriks 6 hanya dapat dilakukan $ika ordo kedua matriks terse"ut sama. A m?n D6 m?n C m?n ! dengan & i$ a i$ D" i$ A m?n −6 m?n C m?n ! dengan & i$ a i$ − " i$
32
:. ,perasi perkalian matriks A dengan skalar & diperoleh dari mengalikan setiap elemen A dengan & . ,perasi perkalian matriks A dengan matriks 6 dapat dide#inisikan hanya $ika $umlah kolom matriks A sama dengan $umlah "aris matriks 6. A m?n B n?p = C m?p , dengan & i$ ∑ a in " $n untuk n1!2!!Q!n
8. %i#at-si#at operasi hitung matriks + a. omutati# + AD6 6DA ". Assosiati# + AD(6DC) (AD6)DC (A6)C A(6C) &. *istri"uti# + A(6DC) A6DAC (AD6)C ACD6C d. Identitas + AD, ,DA A A.I I.A A 9. *eterminan matriks adalah $umlah semua hasil perkalian elementer yang "ertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). *eterminan matriks A 2? 2
a &
" d
(ad-"&)
*eterminan matriks "erordo ? dapat di&ari dengan 2 metode! yaitu + a. etode %arrus! atau ". etode o#aktor 1. inor suatu matriks A dilam"angkan dengan i$ adalah matriks "agian dari A yang diperoleh dengan &ara menghilangkan elemenelemennya pada "aris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-$. 11. o#aktor suatu elemen "aris ke-i dan kolom ke-$ dari matriks A dilam"angkan dengan i$ (-1) i+ $
i$
(-1) i+ $ det ( i$ ) 33
12. Ad$oin matriks A adalah transpose dari ko#aktor-ko#aktor matriks terse"ut! dilam"angkan dengan ad$ A (k i$ ) t 1. Iners matriks adalah 3awan atau ke"alikan suatu matriks dalam perkalian yang dilam"angkan dengan A −1 . a
ika A 2? 2
&
"
d 1 ! maka A −1 d det( A ) − &
ika 6 - ?- ! maka 6 −1
− " a
1 .Ad$(6) det(6)
Bab IV Penutup
atriks merupakan salah satu metode dalam matematika untuk menyelesaikan soal-soal yang "erkaitan dengan "e"erapa data atau "e"erapa aria"el. *ata-data yang tersa$ikan dalam "entuk ta"el dapat 34
dianalisa dengan menggunakan matriks. Raria"el-aria"el dalam masalah persamaan linier $uga dapat diselesaikan dengan matriks. *alam pem"ela$aran matriks hendaknya+ 1. *ikaitkan dengan realitas kehidupan! dekat dengan alam pikiran siswa dan relean dengan masyarakat . 7al-hal yang "erkaitan dengan "idang keahlian siswa atau kehidupan sehari-hari diangkat se"agai masalah yang dapat diselesaikan dengan matriks. 2. em"eri kesempatan pada siswa se&ara "ersama-sama untuk akti# men&ari dan menemukan konsep dasar matriks. . *apat mem"erikan keterampilan yang menun$ang ke&akapan hidup "agi siswa! mem"antu "erkem"angnya ke&akapan personal dalam diri siswa yaitu dengan mengenal diri le"ih "aik se"agai "agian dari suatu kelompok atau masyarakat! $uga dapat meningkatkan kemampuan siswa untuk "er#ikir rasional dan kreati# untuk men&ari peme&ahan masalah.
Ba,aan &ang 'isarankan
aman A"durrahman. 2. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen Tingkat I . 6andung+ Armi&o
35
'a%tar Pustaka
Bad$ar %hadiF. 21. Diklat Matematika Guru SMK (Non Teknik) embelajaran Matriks. Eogyakarta+ atematika 7oward Anton S alih "ahasa oleh antur %ila"an. 1991. Aljabar !inier "lementer . akarta+
La#piran "un,i Ja-aban
1. ,rdo A adalah ?5 dan a 2- . 2. a. atriks segitiga "awah! matriks persegi "erordo ". atriks simetri! matriks persegi "erordo "erordo / &. atriks persegi "erordo 36
