MATEMATIKA MATEMATIKA 3
MODUL – 3 System Persamaan Linier (Lanjutan) 1. Untuk Untuk nilai-nilai nilai-nilai konstan konstanta ta k manakah manakah sistem sistem persamaan persamaan linear linear berikut tidak tidak mempunyai mempunyai pemecahan? Persis satu pemecahan ? Takterhingga banyaknya banyaknya pemecahan? x–y=3 2x – 2y = k
2. Tinjaulah Tinjaulah sistem sistem persamaa persamaan-pe n-persama rsamaan an ax + by = k cx + dy = 1 ex + fy = m Bahaslah posisi posisi relatif garis-garis ax + by = k, cx + dy = 1, dan ex + fy = m bila : (a) sistem tersebut tidak mempunyai pemecahan (b) sistem tersebut tersebut mempunyai mempunyai persis satu satu pemecahan pemecahan (c) sistem tersebut tersebut mempunyai mempunyai takterhingga banyaknya pemecahan
3. Perlihatk Perlihatkan an bahwa bahwa jika sistem persamaa persamaan-pe n-persama rsamaan an di dalam Latihan Latihan 6 konsisten, konsisten, maka setidak-tidaknya satu persamaan dapat dibuang dari sistem tersebut tanpa mengubah himpunan pemecahan.
4. Misalk Misalkan an k = 1 = m = 0 dalam dalam Latihan Latihan 6; perliha perlihatka tkanla nlah h bahwa bahwa sistem sistem tersebu tersebutt harus harus konsisten. Apakah yang dapat anda katakan tentang titik perpotongan dari ketiga garis tersebut jika sistem itu mempunyai persis satu pemecahan?
5. Tinjalah Tinjalah sistem sistem persamaan persamaan-pers -persamaa amaan n: x + y + 2z = a x
+z=b
2x + y + 3z = c Perlihatkanlah bahwa supaya sistem ini konsisten maka, a, b, dan c harus memenuhi c = a + b.
6.
Buktikan : jika persamaan-persamaan linear x 1 + kx2 = c dan x 1 + lx2 = d mempunyai himpunan pemecahan yang sama, maka persamaan-persamaan persamaan-persamaan tersebut t ersebut identik.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
1
1.1 Eliminasi Eliminasi Gauss Gauss Pada bagian ini kita memberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistemsistem sistem persamaa persamaan n linear; linear; prosedu prosedurr tersebut tersebut didasarka didasarkan n pada gagasan untuk untuk mereduks mereduksii matriks yang dipebesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat kita pecahkan dengan memeriksa istem tersebut.
Pada langkah terakhir dari Contoh 3 kita mendapatkan matriks yang diperbesar diperbesar
1 0 0
0
0
1
3
1 0 2 0
1
dalam hal ini pemecahan sistem tersebut telah jelas bagi Anda.
Matri Matriks ks (1.1) (1.1) adala adalah h contoh contoh matri matriks ks yang yang dinya dinyatak takan an dalam dalam bentu bentuk k eselon eselon baris baris tered tereduks uksii (reduc (reduced ed row-ec row-echel helon on form). form). Supay Supaya a sepert sepertii ini, ini, maka maka matrik matriks s terseb tersebut ut harus harus mempunyai sifat-sifat berikut. 1. Jika Jika baris baris tidak tidak terdiri terdiri seluru seluruhny hnya a dari dari nol, nol, maka maka bilan bilangan gan taknol taknol pertam pertama a dalam dalam baris baris tersebut adalah 1. (Kita menamakan ini 1 utama). 2. Jika Jika terd terdap apat at bari baris s yang yang selu seluru ruhn hnya ya terd terdir irii dari dari nol, nol, maka maka semu semua a bari baris s sepe sepert rtii itu itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. 3. Dalam Dalam sebarang sebarang dua baris baris yang beruruta berurutan n yang seluruhn seluruhnya ya tidak terdiri terdiri dari dari nol, maka maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi. 4. Masing-ma Masing-masing sing kolom kolom yang yang mengandun mengandung g 1 utama mempunya mempunyaii nol di tempat tempat lain.
Sebuah matriks yang mempunyai sifat-sifat 1, 2 dan 3, dikatakan berada dalam dalam bentuk eselon baris (row-echelon form). Contoh 4 Matrik-matriks berikut berada dalam bentuk eselon baris terreduksi.
1 0 0
0 0 1 0 0 1
7 − 1 4
1 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 − 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0
0
matriks-matriks berikut berada dalam bentuk eselon baris.
1 0 0
4 3 7 1 6 0 1
2 5
1 1 0 0 1 0 0 0 0
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
1 1 2 6 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 0 1
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
2
Anda harus memeriksa apakah masing-masing masing-masing matriks di atas memenuhi semua persyaratan persyaratan yang diperlukan. Pertanyaan. Tidak sukar untuk memantau apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus mempuny mempunyai ai nol di bawah bawah setiap setiap 1 utama utama (lihat (lihat contoh contoh 40. Bertentangan Bertentangan dengan dengan hal ini, matriks dalam bentuk eselon baris terreduksi harus mempunyai nol di atas dan di bawah masing-masing 1 utama.
Jika, Jika, karen karena a urutan urutan dasardasar-da dasar sar operas operasii baris baris,, matrik matriks s yang yang diper diperbe besar sar untuk untuk sistem sistem persamaan linear dibuat dalam bentuk eselon baris terreduksi, himpunan pemecahan untuk sistem tersebut dapat diperoleh dengan pemeriksaan atau, paling tidak, setelah sejumlah kecil langkah sederhana. Contoh berikutnya akan melukiskan hal ini.
Contoh 5 Misalkan bahwa matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk eselon terreduksi seperti yang diberikan. Pecahkanlah sistem tersebut.
1 0 0 5 (a) 0 1 0 − 2 0 0 1 4
1 0 0 4 − 1 (b) 0 1 0 2 6 0 0 1 3 2
1 6 0 0 4 − 2 (c) 0 0 1 0 3 1 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0
1 (d) 0 0
0 0 0
1
1 2 0 0 0
Pemecahan untuk (a). sistem persamaan-persamaan persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah : x1
=5 x2
= -2
x3 = 4
Dengan pemeriksaan maka, x1 = 5, x2 = -2, x3 = 4 Pemecahan untuk (b). sistem persamaan-persamaan persamaan-persamaan yang bersesuaian bersesuaian adalah
x1
+ 4x4 = -1 x2 + 2x4 = 6 x3 + 3x4 = 2
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
3
Karena x1, x2, dan x3 bersesuaian dengan 1 utama dalam matrik yang diperbesar, maka kita namakan peubah-peubah utama (leading variabeles). Dengan memecahkan peubah-peubah utama tersebut dalam x4 maka akan memberikan. memberikan. x1 = -1 – 4x4 x2 = 6 – 2x4 x3 = 2 – 3x4
Karena x4 dapat ditetapkan dengan sebarang nilai, katakanlah t, maka kita mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan ini diberikan oleh rumus-rumus. x1 = -1 – 4t,
x2 = 6 – 2t,
x3 = 2 – 3t,
x4 = t
Pemecahan untuk (c) Sistem persamaan-persamaan yang bersesuaian adalah x1 + 6x2 x3 x4
+ 4x5 = -2 + 3x5 = 1 + 5x5 = 2
Di sini peubah-peubah utama adalah x 1, x3, dan x4. Dengan memecahkan peubah-peubah utama dalam peubah lainnya maka akan memberikan. x1 = -2 – 4x5 – 6x2 x3 = 1 – 3x5 x4 = 2 – 5x5
Karena x5 dapat ditetapkan dengan sebarang nilai, t, dan x 2 dapat diberikan sebarang nilai s, maka terdapat terdapatlah lah takterhin takterhingga gga banyakny banyaknya a pemecaha pemecahan. n. Himpunan Himpunan pemecaha pemecahan n tersebut tersebut diberikan oleh rumus-rumus. x1 = -2 – 4t – 6s,
x2 = s, x3 = 1 – 3t,
x4 = 2 – 5t,
x5 = t
Pemecahan persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut.
Kita baru saja melihat melihat bagaiman bagaimana a mudahnya mudahnya memecahk memecahkan an sistem sistem persamaan persamaan-pers -persamaa amaan n linear, sekali matriks yang diperbesar tersebut berada dalam bentuk eselon baris terreduksi. Kita sekarang sekarang akan memberika memberikan n prosedur prosedur langkah langkah demi langkah, langkah, yang yang dapat dapat digunak digunakan an untuk untuk mereduks mereduksii sebarang sebarang matriks matriks menjadi menjadi bentuk bentuk eselon eselon baris baris terreduks terreduksi. i. Sewaktu Sewaktu kita menyatakan masing-masing masing-masing langkah dalam prosedur tersebut, kita akan melukiskan gagasan tersebut dengan mereduksi matriks berikut pada bentuk eselon baris terreduksi.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
4
0 0 − 2 0 7 12 2 4 − 10 6 12 28 2 4 − 5 6 − 5 − 1 Langkah1. Letakkanlah kolom paling kiri (garis vertikal) yang seluruhnya tidak terdiri dari nol.
0 0 − 2 0 7 12 2 4 − 10 6 12 28 2 4 − 5 6 − 5 − 1 kolom taknol paling kiri
Langkah 2. Pertukarkanlah baris atas dengan baris lain, jika perlu, untuk membawa entri taknol ke atas kolom yang didapatkan dalam langkah 1.
2 4 − 10 6 12 28 0 0 − 2 0 7 12 2 4 − 5 6 − 5 − 1
Baris pertama dan baris kedua dalam matriks terdahulu dipertukarkan
Langkah 3. Jika entri yang sekarang ada di atas kolom yang didapatkan dalam Lang Langka kah h 1 adal adalah ah a, kali kalika kanl nlah ah bari baris s pert pertam ama a ters terseb ebut ut deng dengan an 1/a 1/a untu untuk k memperoleh 1 utama.
1 2 − 5 3 6 14 0 0 − 2 0 7 12 2 4 − 5 6 − 5 − 1
Baris pertama matriks terdahulu dikalikan dengan ½
langkah 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris atas pada baris-baris yang dibawah sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol
1 2 − 5 3 6 14 0 0 − 2 0 7 12 0 0 5 0 − 17 − 29
- 2 kali baris pertama dari matriks terdahulu akan ditambahkan ditambahkan pada baris ketiga
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan Langkah 1 yang diterapkan pada submatriks yang masih sisa. Tersukanlah dengan cara ini sampai entri matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris.
1
−5
2
0
0
0
−2
0 7
0 5 0
12 − 29
3 6 14
− 17
Kolom taknol paling kiri dalam submatriks
1 0 0
2
−5
3
6
−2 − 17
0
1
0
0
5
0
7
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
− 6 − 29 14
Baris pertama dalam sub matriks dikalikan dengan – ½ untuk mendapatkan 1 utama
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
5
1 0 0
2
1 0 0
−5
3
6
14
0
1
0
−2
0
0
0
1 2
− 6 1
2
−5
3
6
14
−2
0
1
0
0
0
0
7
− 6 1
7
1 2
- 5 kali baris pertama sub-matriks ditambahkan ke baris kedua dari submatriks untuk mendapatkan nol di bawah 1 utama Baris atas dalam submatriks ditutupi dan kita kembali sekali lagi ke Langkah 1
Kolom taknol paling kiri dalam submantriks yang baru
1 0 0
−5
3
0
1
0
− 72
0
0
0
1
2
14
6
− 6 2
Baris pertama (dan hanya baris pertama) dalam submatriks yang baru dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan mendapatkan 1 utama
Entri matriks tersebut sekarang berada dalam bentuk eselon baris. Untuk mencari bentuk eselon baris terreduksi maka kita memerlukan langkah tambahan berikut. Langkah 6. Dengan memulai dari baris taknol terakhir dan bekerja ke arah mencari bentuk bahkanlah kelipatan yang sesuai dari setiap baris pada baris-baris di atas untuk mendapatkan nol di atas 1 tahun.
−5
3
0
1
0
0
0
0
0
1
1 2
1 0 0
2
−5
3
0
2
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1 0 0
2
0 3
0
7
0
1 0
0
1
0
0 0
1
1 0 0
2
14
6
7/2 kali baris ketiga dari matriks terdahulu ditambahkan pada baris kedua.
- 6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama
2
2
5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama
Matriks terakhir berada dalam bentuk eselon baris terreduksi. Prosedur di atas untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris terreduksi yang kita namakan eliminasi Gauss Jordan. Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama, prosedur untuk menghasilkan bentuk eselon baris tersebut kita namakan eliminasi Gauss.
Contoh 6. Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5
=0
2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6
= -1
5x3 + 10x4 2x1 + 6x2
+ 15x6
+ 8x4 + 4x5 + 18x6
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
=5 =6 Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
6
Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
1 2 0 2
3 6
−2 0 −5 −2
2
0
4
−3
0
5
10
0
15
6
0
8
4
18
− 1 5 6 0
Dengan menambahkan – 2 kali baris pertama pada baris kedua dan baris keempat maka akan memberikan.
1 0 0 0
3 0
−2 0 −1 − 2
2
0
0
−3
0
5
10
0
15
0
4
8
0
18
− 1 5 6 0
Dengan mengalikan baris kedua dengan – 1 dan kemudian menambahkan – 5 kali baris kedua kedua kepada kepada baris baris ketig ketiga a dan dan – 4 kali kali baris baris kedua kedua kepada kepada baris keempat keempat maka maka akan akan memberikan.
1 0 0 0
3
−2
0
2
0
0
0
1
2
0
3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0 2
Dengan mempertukarkan baris ketiga dan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dan matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris.
1 0 0 0
3
−2
0
2
0
0
0
1
2
0
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1 3 0
Dengan menambahkan menambahkan – 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan pada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk eselon baris t erreduksi. erreduksi.
1 0 0 0
3
0
4
2
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1 3 0
Sistem persamaan-persamaan persamaan-persamaan yang bersesuaian bersesuaian adalah : x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0 x3 + 2x4
=0 x6 =
1 3
(Kita telah membuang persamaan terakhir 0x 1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 0, karena persamaan tersebut akan secara otomatis dipenuhi oleh pemecahan persamaan lainnya). Dengan memecahkannya memecahkannya untuk peubah-peubah peubah-peubah utama, maka kita dapatkan. PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
7
x1 = - 3x2 – 4x4 – 2x5 x3 = - 2x4 x6 =
1 3
Jika kita menetapkan nilai-nilai sebarang r, s, dan t berurutan untuk x 2, x4, dan x5, maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus-rumus. x1 = 3r – 4s – 2t, x2 = r, x3 = - 2s, x5 = t, x6 =
1 3
Contoh 7 Serin Seringka gkalili lebih lebih memuda memudahka hkan n untuk untuk memec memecahk ahkan an sistem sistem persa persamaa maan n linear linear dengan dengan menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar ke dalam bentuk eselon baris tanpa meneruskannya ke bentuk eselon baris terreduksi. Bila hal ini dilakukan, maka sistem sistem persamaa persamaan-pe n-persama rsamaan an yang yang bersesua bersesuaian ian dapat dapat dipecahk dipecahkan an dengan dengan sebuah sebuah cara yang dinamakan substitusi balik (back-substitution). Kita akan melukiskan metode ini dengan menggunakan sistem persamaan-persamaan pada Contoh 6.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Sonny Koeswara M.Sc. MATEMA MATEMATIKA TIKA III
8
