FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEMA: APLICACIÓN DE MATRICES MATRICES EN LA INGENIERIA CIVIL ASIGNATURA:
ALGEBRA LINEAL
DOCENTE:
SONIA QUISPE QUISPE
ALUMNO:
JORDY ASCENCIO ABARCA FABIAN AGUILAR ESQUIVEL LUIGI CORNEJO PUMACAJIA JONATHAN CARAZAS VERA
LAS MATRICES EN LA INGENIERÍA CIVIL Las matrices, se mencionaron por primera vez en Inglaterra a mediados del siglo pasado en los trabajos del Irlandés W. Hamilton, constituyen una de las aportaciones más valiosas y fructíferas a las matemáticas modernas, por la simplificación rotacional que permiten en la representación de problemas complejos en los que interviene un gran número de variables. En las más diversas disciplinas, como la Física, la Ingeniería, la economía, la psicología o la administración, una gran cantidad de problemas que requieren del uso de muchas variables no podrían ser delimitados, planeados y resueltos por la notación simbólica del álgebra tradicional a causa de los pocos alcances que ésta otorga. La escritura matricial por su agilidad, brevedad y precisión suple esta deficiencia.
Dentro de la Ingeniería Civil en específico, se ocupan las matrices en diversos aspectos:
El diseño estructural se resuelve mediante matrices.
Los problemas de dinámica estructural se resuelven mediante matrices.
Los análisis avanzados de elemento finito se resuelven mediante matrices.
Los análisis de redes de flujo en mecánica de suelos se resuelven mediante matrices.
Las matrices tienen diversas aplicaciones en la ingeniería civil por ejemplo en el cálculo estructural para analizar la capacidad de carga y el diseño de elementos; en ingeniería de tránsito para generar matrices de información en la planificación de transporte y aforos vehiculares; en topografía para realizar resúmenes de datos y cuadricular terrenos para curvas de nivel; en dibujo asistido por computadora en el software Autocad. También en estática, se utiliza para resolver problemas de equilibrio en el espacio en 3D con operaciones vectoriales; en hidráulica para hacer referencias del estudio de la pérdida de energía
por accesorios (circuito cerrado) y en el análisis, diseño y distribución de caudales para la población; en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Método matricial de la rigidez. El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla. El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:
Donde:
son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre
la estructura;
son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura;
los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y
el número de grados de libertad de la
estructura. La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación:
Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:
El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvada, etc.) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos. Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con
estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas). Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:
Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita.
Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 permite encontrar los valores de las reacciones incógnita.
Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura. El uso de las matrices en la Ingeniería Civil es muy importante para resolver un diverso tipo de problemas, principalmente en el área de análisis y diseño estructural. El método matricial de la rigidez, por ejemplo, es de gran utilidad para estudiar una estructura, determinando su estabilidad por medio de tres tipos de ecuaciones que deben cumplirse:
Ecuaciones de compatibilidad.
Ecuaciones constitutivas.
Ecuaciones de equilibrio.
De esta manera, vemos la importancia que tiene una materia básica y fundamental en la Ingeniería como es el Álgebra, además de sus aplicaciones prácticas en la vida profesional. MATRICES APLICADO EN UN PROBLEMA
Historia: La antigua ciudad de Königsberg, la ciudad es famosa por sus puentes, ya que cuenta con 7 ue unen ambas már enes del río Pre el con dos de sus islas. Se dice que los habitantes de la ciudad se entretenían tratando de encontrar una ruta para pasear con la condición de cruzar cada uno de los siete puentes y hacerlo sólo una Matrices y grafos Los puntos se les llaman vértices y aristas a las líneas que los unen. Los puntos azules en el grafo (vértices) representan las dos islas y las dos orillas del río; mientras que las líneas que enlazan a los puntos (aristas) representan los puentes: siete en total. El grafo puede ser representado mediante una matriz de adyacencia del grafo de la figura es: 0111 A=
1022 1200 1200
Así, por ejemplo, la fila 2 está asociada con el vértice que lleva la etiqueta 2; y la columna cuatro con el vértice 4. En el cruce de la fila 2 con la columna 4 se encuentra justamente el elemento a24=2
El valor de a24 indica que existen dos conexiones (puentes) que unen a dichos vértices. En consecuencia, el elemento simétrico a42 también debe ser 2, ya que si hay dos puentes que enlazan a 2 con 4, esos mismos puentes comunican a 4 con 2. Si miramos la matriz A, efectivamente ocurre esto (A es una matriz simétrica).
Cada fila de la matriz está asociada con un vértice del grafo. Lo mismo ocurre con las columnas. La matriz A puede multiplicarse por sí misma, obteniéndose la matriz AA la cual se denota A2. 3422 A2=
4911 2155
2155 Por ejemplo, ¿qué significa que a11 valga 3 ó que a34 tome el valor 5? ¿Cómo interpretamos ahora las entradas de la matriz? a11=3 significa que hay tres caminos de longitud 2 del vértice
1 a él mismo. Estos caminos son: 1-4-1; 1-2-1 y 1-3-1. Así, el camino 1-4-1 indica que salimos de 1, cruzamos el puente que lleva a 4 y nos devolvemos a 1 por ese mismo puente; es decir, hemos hecho un recorrido de longitud 2. Similar interpretación le otorgamos a los otros dos caminos.
Si queremos ir del punto 3 al 4, tenemos a disposición 5 caminos de longitud 2. Una escogencia es pasar por el vértice 2, pero tenemos dos puentes, cada uno corresponde a una opción. Una vez llegados al vértice 2, nuevamente tenemos dos puentes, es decir, dos alternativas. En consecuencia, si decidimos ir desde 3 a 4 pasando por 2, tenemos 2 x 2 = 4 caminos posibles
El quinto camino corresponde a salir de 3, pasar por 1 y arribar a 4. En general, cada entrada aij de la matriz A2 representa el número de rutas o caminos de longitud 2 que existen entre los vértices i y j. En forma análoga podemos estudiar el significado de las entradas de las matrices AAA=A3 y AAAA=A4
