Ondas aplicadas a ingeniería civil
Los ingenieros civiles utilizan modelos de un movimiento de un sistema acoplado-masa-resorte para entender la dinámica de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios, tales como los terremotos.
La representación de la estructura de un edificio, en este caso el análisis de limita al movimiento horizontal de la estructura.
La ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que sigue:
m
d 2x dx c kx 0 2 dt dt Dónde:
x , El desplazamiento desde la posición de equilibrio (m). t , El tiempo (s).
m , La masa (kg). De la estructura.
c , El coeficiente de amortiguamiento (N*s/m). El coeficiente de amortiguamiento subamortiguado.
c
adoptado para este análisis está dentro del rango
k , La constante del resorte (N/m). O la rigidez de la estructura. Rigidez de la estructura:
El comportamiento elástico de una barra o prisma mecánico sometido a pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos. Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de: 1. La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza será necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar cables más gruesos para arriostrar debidamente los mástiles de los barcos que son más largos, o que para hacer vigas más rígidas se necesiten vigas con mayor sección y más grandes.
2. El material del que esté fabricada la barra, si se fabrican dos barras de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene mayor módulo de Young (E).
3. La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección transversal y fabricada del mismo material, la barra más larga sufrirá mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.
Funcionalmente las rigideces genéricamente tienen la forma:
K
E S L
Dónde:
S =
es una magnitud puramente geométrica dependiente del tamaño y forma de la
sección transversal.
E
= es el módulo de Young
L
= es la longitud de la barra.
y
son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se está
examinando. Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que representa el comportamiento elástico dentro de una estructura. Para el caso que llevamos la rigidez está basada por:
K
12 E I L3
Idealización:
a. Mundo Real
b. Modelamiento atreves de Software
c. Análisis de la Estructura Suponga que se tiene los siguientes datos: La ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con valor inicial:
m
d 2x dx c kx 0 2 dt dt
Dónde:
m = 20 (kg).
c = 5 (N*s/m). k = 20 (N/m). Resolver mediante el método de Heun durante el periodo de tiempo:
0 t 15 Si la velocidad inicial es:
dx 0 0 (m/s). Que se imprime al objeto. dt
Y el desplazamiento inicial El paso
h
x 0 1 (m). Del objeto en la dirección positiva del eje x.
utilizado no debe ser mayor al 5% de la longitud del intervalo de interés.
lli Longitud del intervalo de interés = el periodo de tiempo = t f t i = 15 0 15 h lli * 5%
h 15 * 5% h 0,75
Datos preliminares de la hoja de cálculo.
Xi Xf H N
0,000 15,000
yi yf
0,750 20,000
1,000
m c k
y'
20,000 5,000 20,000
Método de Heun Extendido: Condiciones Iniciales: i 0
xi 0,000
yi 1,000
zi 0,000
Resultado del Método de Heun. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Xi 0,000 0,750 1,500 2,250 3,000 3,750 4,500 5,250 6,000 6,750 7,500 8,250 9,000 9,750 10,500 11,250 12,000 12,750 13,500 14,250 15,000
yi 1,000 0,719 0,055 -0,546 -0,739 -0,469 0,038 0,451 0,538 0,296 -0,085 -0,362 -0,386 -0,179 0,103 0,284 0,272 0,101 -0,105 -0,219 -0,188
0,000
Tablas del Método de Heun Extendido. xi 0,000 0,750 1,500 2,250 3,000 3,750 4,500 5,250 6,000 6,750 7,500 8,250 9,000 9,750 10,500 11,250 12,000 12,750 13,500 14,250 15,000
k1y 0,000 -0,680 -0,862 -0,510 0,091 0,553 0,622 0,315 -0,133 -0,439 -0,442 -0,185 0,145 0,342 0,309 0,099 -0,139 -0,261
k1z -1,000 -0,549 0,161 0,674 0,716 0,331 -0,194 -0,529 -0,505 -0,187 0,196 0,408 0,350 0,094 -0,181 -0,309 -0,237 -0,036
x(i+h/2) 0,375 1,125 1,875 2,625 3,375 4,125 4,875 5,625 6,375 7,125 7,875 8,625 9,375 10,125 10,875 11,625 12,375 13,125
Yi 1,000 0,719 0,055 -0,546 -0,739 -0,469 0,038 0,451 0,538 0,296 -0,085 -0,362 -0,386 -0,179 0,103 0,284 0,272 0,101 -0,105 -0,219 -0,188
zi 0,000 -0,680 -0,862 -0,510 0,091 0,553 0,622 0,315 -0,133 -0,439 -0,442 -0,185 0,145 0,342 0,309 0,099 -0,139 -0,261 -0,212 -0,045 0,124
y(i+k1y*h/2) z(i+k1z*h/2) 1,000 -0,375 0,464 -0,885 -0,268 -0,801 -0,738 -0,257 -0,705 0,360 -0,262 0,677 0,272 0,550 0,569 0,117 0,488 -0,322 0,132 -0,509 -0,251 -0,369 -0,431 -0,032 -0,331 0,276 -0,051 0,377 0,219 0,241 0,322 -0,017 0,220 -0,228 0,003 -0,274
k2y -0,375 -0,885 -0,801 -0,257 0,360 0,677 0,550 0,117 -0,322 -0,509 -0,369 -0,032 0,276 0,377 0,241 -0,017 -0,228 -0,274
k2z -0,906 -0,242 0,469 0,802 0,615 0,093 -0,409 -0,598 -0,408 -0,005 0,343 0,439 0,263 -0,043 -0,280 -0,318 -0,163 0,065
-0,212 -0,045
0,158 0,231
13,875 14,625
-0,184 -0,236
-0,153 0,041
-0,153 0,041
0,222 0,226
Al final graficamos los resultados del Método de Heun.
1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 -0.20
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
-0.40 -0.60 -0.80 -1.00
Bibliografía 1) ANÁLISIS SÍSMICO DE LAS EDIFICACIONES, Gustavo Chio Cho, UIS 2) http://es.scribd.com/doc/97343658/2/CAPITULO-2-CONCEPTOS-BASICOS-DEDINAMICA-ES 3) http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/19/cap_xii.htm
