Matlab en 5 Lecciones de Numerico

Matlab en cinco lecci lecciones ones de Num´ erico erico V´ıctor Dom´ Dom´ınguez ınguez B´ aguena aguena

Ma Luisa Rap´ un un Banzo

Febrero de 2006

Disponible en http://www.una http://ww w.unavvarra.es/personal/victor dominguez/

B o r r a d o r Prefacio

El origen de este libro es una asignatura de libre elecci´ on que uno de los autores impartió durante los cursos 2004–2005 y 2005–2006 en la Universidad P´ ublica ublica de Navarra. Nuestra intenci´ on original era tratar temas algo avanzados de C´ on alculo alcul o Cient´ Cient´ıfico y utilizar utiliz ar Matlab como v´ıa ıa para su aprendizaj apre ndizaje. e. Los alumnos, obviamente, estaban m´ as interesados en aprender Matlab y ve´ ve´ıan el Numérico erico como forma de probar y ensayar las diferentes herramientas herramientas de Matlab que se iban exponiendo en clase. Desafortunadamente, la formación on en Numérico erico de nuestros alumnos nos oblig´ o a relajar rela jar considerablemente considerablemente el contenido matemático atico del curso y a ser m´ as modestos, desde el punto de vista te´ as orico, orico, en nuestros objetivos. El resultado final en su vertiente matem´ atica atica se podr pod r´ıa enmarcar sin problemas en un curso introductorio de C´ alculo alculo Numérico. erico . En cuanto a Matlab, Matlab, creemos que hemos tratado todos sus aspectos fundamentales aunque en ocasiones sea de forma superficial. Nuestro objetivo era conseguir no tanto un conocimiento muy profundo de Matlab como el de colocar al alumno en una buena posici´ on de arranque para un autoaprendizaje. on El enfoque y los temas tratados son consecuencia de diversos factores entre los que conviene citar nuestro propio bagaje matem´ atico atico1 , el uso que hemos tenido que hacer de Matlab en nuestra nuestra carrera investigadora investigadora y, y, como ya hemos mencionado, los conocimientos conocimientos de partida que ten´ ten´ıan nuestros nuestros propios alumnos. Hemos insistido bastante bastante en la manip´ ulación on de vectores y matrices y a la programaci´ on en forma vectorizada. Esta on es una de las diferencias más as acusadas con los lenguajes de programaci´ on on tradicionales y una implementaci´ on on eficiente en Matlab pasa necesariamente por la vectorizaci´ on . Los apuntes est´ an organizados en torno a temas o lecciones, cada cual dividido en dos an partes, la primera de Matlab y la segunda con un tema espec esp ec´´ıfico de C´ alculo alc ulo Numérico. eri co. En la primera parte se presentan los aspectos instrumentales de Matlab que utilizaremos utilizaremos en la implementación on de los algoritmos algoritmos de la parte parte de Num´ Numérico. erico. La longitu longitud d de cada parte es variable, y dependiente de la dificultad tratada ya sea en la parte instrumental (Matlab) Matlab) o en la parte matemática. atica. De tanto en tanto nos hemos permitido hacer algo de Matemáticas aticas tratando de presentarlas en la forma m´ as as simple posible. A lo largo de estas p´ aginas aginas el lector podrá encontrar ejercicios, algunos de ellos resueltos, que tratan de ahondar ah ondar en puntos espec esp ec´´ıficos, matem´ mat em´ aticos e inform´ aticos. aticos. Finalmente se han introducido introducido algunas notas hist´ oricas que describen brevemente la evoluci´ oricas on on que han tenido las ideas a lo largo del tiempo. Con ello tratamos de combatir la idea gaussiana, demasiado extendida, de las Matem´ aticas como un mundo est´ aticas atico, atico , monol mo nol´´ıtico y perfec p erfecto to donde la teor teo r´ıa se presenta cerrada cer rada y completa. completa . Las Matem´ aticas en general y el Cálculo alculo Cient Cient´ıfico en particular particular recorren un largo trecho antes de llegar a este estado, durante el cual brotan ideas constantemente, siempre prometedoras en un primer momento, que 1

modelado por nuestra formación on cient´ıfica, ıfica , com com´ un u ´ n en muchos aspectos. i

evolucionan con los a˜ nos, con muchas de ellas desechadas finalmente e incluso algunas nos, rescatadas a˜ nos nos después es de considerar consid erarse se como v´ıas muertas. muerta s. Hemos adjuntado al final una bibliograf´ bibliograf´ıa utilizada en este texto. Nos gustar´ gustar´ıa resaltar tres textos sobre los dem´ as. as. En primer lugar, Numerical Computing with Matlab, Matlab , de Cleve Moler, que descubrimos cuando and´ abamos abamos en la redacci´ on on de la Lecci´ on on II. Su sencillez y la buena elección on de ejemplos ha ejercido una influencia considerable en estas notas. El segundo libro es ya un clásico asico entre los que aprendimos Matlab hace algunos a˜ nos. nos. Andábamos abamos entonces en la b´ usqueda de recursos en la web cuando nos encontramos con usqueda unos apuntes muy completos de libre divulgaci´ on. on. Nos referimos referimos al libro de Garc´ Garc´ıa de Jalón on y sus colaboradores, Aprenda Matlab ?.? como si estuviera en primero . Diferentes versiones de estos apuntes llevan cubriendo de forma incansable la evoluci´ on o n de Matlab desde la versi´ on on 4.0. Por ultimo, u´ltimo, aunque no es un texto propiamente, la enciclopedia libre on line Wikipedia2 ha sido utilizada profusamente para obtener datos y fuentes utilizadas en la redacci´ on de este texto. Debemos se˜ nalar que estas informaciones han sido debidamente contrastadas. nalar A pesar de algunos problemas iniciales, es seguro que la influencia de esta enciclopedia libre crecer´ a exponencialmente en el futuro. Finalmente, queremos dejar patente nuestro agradecimiento al Profesor Javier Sayas que se ofreció muy generosamente a revisar este libro. Sus numerosas y acertadas indicaciones y sugerencias han contribuido, y mucho, en la redacci´ on on final de este texto.

B o r r a d o r Pamplona, Febrero de 2006

2

V´ıctor Dom´ınguez Baguena ´ a M Luisa Rap´ un un Banzo

http://www.wikipedia.org

ii

B o r r a d o r A Javier Amigo y maestro.

B o r r a d o r

B o r r a d o r Cap´ıtulo 1

Introducci´ on

... and the first lesson of all was the basic trust that he could learn. It is shocking to find how many people do not believe they can learn, and how many more believe learning to be difficult. Dune Frank Herbert

1.1.

¿Qu´ e es?

alculo cient´ıfico. Programado originalmente Matlab es un entorno de trabajo para el c´ por Cleve Moler a finales de los a˜ nos 70, su finalidad original era proporcionar una forma sencilla de acceder a las librer´ıas LINPACK y EISPACK donde est´ an implementadas de una forma altamente eficiente los algoritmos clave del an´ alisis matricial1 . De hecho, Matlab es una abreviatura de Matrix Laboratory Su primera implementaci´ on se hizo en Fortran que era, y en buena medida a´ un sigue 2 siéndolo, el lenguaje est´ andar en la implementaci´ on de métodos numéricos . Posteriormente se reimplement´ o en C, que es como se encuentra en la actualidad. Las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del c´ alculo cient´ıfico y de las ciencias aplicadas en general, dot´ andole de una gran popularidad en ambientes cient´ıficos (especialmente en Ingenier´ıa). Dichas extensiones se consiguieron en gran parte mediante la implementaci´ on de toolboxes , librer´ıas escritas en el lenguaje de programaci´ on propio de Matlab y que ampliaban el rango de problemas que pod´ıan resolverse. Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes areas ´ donde Matlab muestra un gran potencial: álgebra lineal numérica;

procesamiento de se˜ nales (an´ alisis, compresión de datos,..);

1

por ejemplo, el m´ etodo de Gauss, el c´ alculo de las descomposiciones m´ as habituales del álgebra  matricial numérica (LU , LL , QR), métodos iterativos,... 2 Fortran significa Formula translation. Desarrollado por IBM en 1954, es considerado como el primer lenguaje de alto nivel. Las últimas actualizaciones ( Fortran 95 y Fortran 2003) han dado nuevo vigor a este veterano lenguaje de programación.

1

dise˜ no de sistemas de control; salidas gráficas;

B o r r a d o r estad´ıstica;

simulaci´ on de sistemas din´ amicos.

La extensa gama de problemas que cubre hace de Matlab un lengua je dif´ıcil de entender y manejar en su completitud. Esto no quiere decir que sea inarbodable: el conocimiento base que permite empezar a trabajar es muy sencillo. No obstante el elevado n´ umero de 3 comandos que se encuentra a disposici´ on del usuario provoca que en ocasiones existan problemas no s´ olo para encontrar los comandos adecuados sino también para tener una idea de qué posibilidades exactamente ofrece Matlab en un problema o tarea en particular.

1.2.

¿C´ omo trabaja?

El lenguaje de programaci´ on de Matlab es bastante m´ as flexible que el de los lenguajes tradicionales. No es preciso la declaraci´ on inicial de variables, éstas se pueden introducir en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tama˜ nos sobre la marcha. Ello permite una programaci´ o n algo más desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una programación clásica, más al uso, suele generar c´ odigo más eficiente. Por otro lado, una gran cantidad de métodos numéricos se encuentran implementados de una forma muy eficiente y son accesibles como simples comandos. De esta forma, Matlab se puede utilizar como una caja negra : el usuario pregunta y el ordenador responde sin que éste tenga que preocuparse de qué tipo de operaciones se han efectuado por el camino. De todas formas es conveniente tener una idea de qué métodos se est´ an utilizando para as´ı ser conscientes de en qué condiciones van a funcionar, cu´ al es en cada caso el método adecuado, y especialmente el significado de los, posiblemente, numerosos argumentos opcionales que controlan el funcionamiento del algoritmo. A priori se pueden distinguir dos tipos de funciones en Matlab: funciones compiladas (Built in functions ) y funciones no compiladas. Las primeras est´ an optimizadas, son programas ya compilados y con el código no accesible para el usuario. Como ejemplos se pueden citar operaciones fundamentales +, *, . . . .

las funciones matem´ aticas b´ asicas (sin, cos, exp, log, . . . )

´ algoritmos b´ asicos del Algebra Lineal (inv, det, lu, chol, qr,...) sálidas gráficas (plot, surf,...)

3

A modo de ejemplo, estos comandos cubren salidas gráficas: plot, line, ezplot, ezsurf, surf,

surfc, line, patch, plot3, contour, contourf, ezcontour, pcolor, trimesh, trisurf,...

2

Las funciones no compiladas est´ an escritas siguiendo el lenguaje de programaci´ on propio de Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros *.m que es la extensión est´ andar 4 de los ficheros de Matlab . Originalmente, Matlab funcionaba como un interprete. Es decir, cada l´ınea de c´ odigo era traducido antes de su ejecuci´ on. Ello hac´ıa que una programaci´ on similar a lenguajes clásicos de programaci´ on diera lugar a c´ odigo poco eficiente. Este problema se puede subsanar en gran medida recurriendo a la programaci´ on vectorizada. El siguiente ejemplo muestra las diferencias con una programaci´ on est´ andar

B o r r a d o r No vectorizada

Vectorizada

y=zeros(1,1000); h=2*pi/999; for i=0:999 y(i+1)=sin(h*i); end

y=sin(linspace(0,2*pi,1000));

En la primera parte del código, encontramos una estructura t´ıpica en los lenguajes de programación: el comando for. Su significado es claro: las l´ıneas comprendidas entre el for y end se repiten 1000 veces con la variable i tomando valores de 0 a 999. El resultado final es el vector fila y que recoge el valor del seno en 1000 puntos uniformemente espaciados en [0, 2π]. Por otro lado, el comando linspace devuelve un array que contiene 1000 puntos equidistantes entre 0 y 2π. La funci´ on seno es aplicada sobre todo el array devolviendo un vector con estos valores que se guarda en y. La diferencia entre ambas formas de programar es ahora patente. Mientras que en la primera realizamos 1000 llamadas a la función seno con un argumento por llamada, en la segunda hay una uńica llamada donde se requiere el cálculo del seno en 1000 puntos, y el resultado se devuelve en un vector con estos valores (y por tanto tambi´ en de longitud 1000). Desde el punto de vista de Matlab el segundo c´ odigo es m´ as eficiente. Habitualmente, la vectorizaci´ on lleva consigo una reducci´ on del código a la vez que se incrementan las necesidades de memoria. Con Matlab 6.5 se inició un proyecto a más largo plazo consistente en la aceleraci´ on (Performance Acceleration ) de las versiones no vectorizadas dirigida a estrechar las diferencias con los lenguajes cl´ asicos de alto nivel como Fortran, C o Pascal5 . En cualquier caso, la posibilidad de ejecutar instrucciones en bloque sobre vectores o matrices, en contraste con operaciones elemento a elemento como en los lenguajes tradicionales, es algo que conviene explotar por las importantes ventajas que proporciona. 4

También está la extensión *.mat, propia de ficheros de datos. De hecho en la version 6.5 apenas hay diferencias en tiempo de ejecución entre los dos códigos expuestos. 5

3

1.3.

¿C´ omo aprenderemos?

Como ya hemos se˜ nalado anteriormente, aprender a manejar Matlab en su totalidad está fuera de los contenidos de un curso introductorio como éste. No as´ı aprender los fundamentos y preparar el terreno para un autoaprendizaje de las partes en las que cada uno est´ e interesado. Encontramos en este punto dos dificultades que salvar: saber de la existencia del comando adecuado y aprender a utilizarlo. En no pocas ocasiones, la primera es la mayor dificultad. No obstante los comandos llevan siempre nombres nemotécnicos para facilitar su memorizaci´ on. Las funciones de ayuda también echan una mano. Como a programar se aprende programando, comenzaremos escribiendo c´ odigo desde los primeros pasos. Los esquemas numéricos que implementaremos se encuentran pr´ acticamente en cualquier curso introductorio de An´ alisis Numérico. En cada lecci´ on implementaremos dichos algoritmos, introduciendo o´rdenes, estructuras de decisi´ on, datos,... seg´ un sea necesario. En los apuntes se incluyen m´ ultiples ejercicios cuya realizaci´ on ayudar´ a al aprendizaje de la asignatura. Estos apuntes no deben tomarse como un manual en el estilo usual, sino como una forma de aprender Matlab y repasar o aprender el An´ alisis Numérico básico. Ya existen manuales extensos y concienzudos, en la bibliograf´ıa citamos algunos de ellos, que pueden servir para ese fin.

B o r r a d o r 4

B o r r a d o r Lecci´ on I

Primeros pasos en Matlab. M´ etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales

5

B o r r a d o r

B o r r a d o r Introducci´ on

When asked whether a programming language supports matrices, many people will think of two-dimensional arrays and respond, “Yes.” Yet matrices are more than two-dimensional arrays -they are arrays with operations. It is the operations that cause matrices to feature so prominently in science and engineering G.W. Stewart, Matrix Algorithms

Comenzaremos en la primera parte de esta lecci´ on tratando nociones b´ asicas de Matlab, introduciendo el entorno de traba jo y las estructuras b´ asicas de programaci´ on. En segundo lugar entraremos en uno de los detalles fuertes de Matlab, la manipulación de vectores y matrices. En la parte matem´ atica estudiaremos métodos directos para la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales. En la implementaci´ on de estos algoritmos repasaremos los conocimientos de Matlab expuestos en la primera parte.

7

B o r r a d o r


Matlab: Primeros pasos 2.1.

Entorno de trabajo

En las primeras secciones comenzaremos explorando Matlab de la forma más simple, en modo comando: el usuario pregunta y Matlab responde. El interfaz de Matlab es bastante pobre, con un aspecto est´ etico que en modo alguno es comparable al de programas como Maple o Mathematica. El modo interactivo de trabajar es sencillo aunque algo inc´ omodo. A modo de ejemplo, requiere algo de esfuerzo editar instrucciones ejecutadas con anterioridad ´ y manejarse con bloques de comandos es muy engorroso. Este y otros problemas del modo interactivo se subsanan en gran medida empaquetando instrucciones con ficheros script y/o programando en funciones (subrutinas) que es la forma natural de trabajar en Matlab. En un segundo paso, se puede implementar un interfaz gr´ afica, las guides de Matlab, que hacen m´ as amigable la comunicaci´ on con el usuario. En la Figura 2.1 podemos ver el aspecto inicial de Matlab. Distinguimos las siguientes ventanas Command window: ventana donde podemos ejecutar los comandos;

Ventanas auxiliares: command history, workspace, current directory que informan sobre (y permiten editar) los comandos insertados, las variables declaradas y el directorio en el que estamos trabajando. Ventana de ayuda: en una ventana independiente proporciona un acceso completo a las funciones de ayuda de Matlab, incluyendo b´ usquedas, demostraciones, etc.

´ Estas son las caracter´ısticas b´ asicas que debemos considerar:

El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuaci´ on. Para ejecutar se pulsa la tecla Enter.

Se pueden recuperar comandos anteriores navegando con las flechas

Cuando se trabaje en Matlab, debemos tener muy en cuenta que: Se distinguen may´ usculas y min´ usculas. 9

↑ y ↓.

´ I LECCION

2.1 Entorno de trabajo

B o r r a d o r Figura 2.1: Pantalla Principal.

Todos los comandos de Matlab se escriben en min´ usculas y los argumentos se env´ıan entre paréntesis separados por comas. El car´ acter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue (en la misma l´ınea) es ignorado por Matlab.

Si se teclea al final de una instrucción ’;’ ésta se ejecuta pero el resultado no se visualiza por pantalla. Dos comandos se pueden insertar en la misma l´ınea separados por “,” o por “;”. La diferencia entre los dos es que con “,” se muestran los resultados de las operaciones mientras que con “;” la operaci´ on se ejecuta pero no se visualiza.

Ejercicio 2.1 Ejecuta las instrucciones >> >> >> >> >>

4+4 % mi primera operacion 3^4, 4/9 3^4; 4/9 3^4, 4/9; 3^4; 4/9;

10

´ I LECCION

Cap´ ıtulo

2. Matlab: Primeros pasos

y observa la salida. Haremos algunos comentarios sobre el ejercicio anterior. El circunflejo ^ es la potenciación:

B o r r a d o r >> 3^5 ans=

243

El término ans es la primera variable que vemos de Matlab. Concretamente, guarda la u ´ ltima salida dada por Matlab (answer ): >> 4+6 ans =

10

>> ans*2 ans =

20

>> ans*2 ans =

40

La ra´ız cuadrada se puede calcular bien elevando a 1/2 (^(1/2)) o bien utilizando sqrt.

Ejercicio 2.2 Comprueba la diferencia entre 4/4+6

4/(4+6)

3^5*2

3^(5*2)

Nota. La prioridad de ejecuci´ on entre operaciones matem´ aticas es la habitual: primero se calcula la potenciaci´ on ^, posteriormente los productos y divisiones *, / y en u ´ ltimo lugar, las sumas y restas + y -. Este orden se puede cambiar utilizando los par´ entesis. La regla es sencilla: dada una expresi´ on, lo primero que se calcula es lo que está dentro de cada paréntesis. Esta regla es recursiva, es decir, si dentro de un paréntesis hay otros paréntesis, para evaluar el primero se empezar´ a con los paréntesis interiores.  Los n´ umeros reales se pueden insertar tambi´ en en notaci´ on cient´ıfica, muy adecuada si se trata de n´ umeros grandes o muy peque˜ nos (en valor absoluto). As´ı, se tiene la siguiente regla de construcci´ on: m 10r m er 

·

11

´ I LECCION

2.1 Entorno de trabajo Por ejemplo

−

0.005 1201200000



115 1012 0.00031415

−

·

5e 3 1.2012e009



−

 

115e12 3.1415e 004

−

B o r r a d o r Existen adem´ as dos n´ umeros especiales: inf y NaN. El primer signo representa la cantidad infinita ( ). El segundo es una abreviatura de “no es un n´ umero” (Not a Number ) y es el resultado que se devuelve ante una operaci´ on indefinida como 0/0. Este s´ımbolo se puede utilizar en a´mbitos, en principio tan extra˜ nos, como en el dibujo de superficies (vér la Lección V). En general los resultados numéricos se presentan con cuatro cifras decimales correctas, aunque todas las operaciones se ejecutan en doble precisi´ on1 . Si se desean las salidas con toda la precisi´ on disponible se debe insertar la instrucci´ on

∞

>> format long

A partir de este punto, el resultado de cualquier operaci´ on se mostrar´ a con 16 cifras significativas. La instrucci´ on >> format short

devuelve a la forma est´ andar con cuatro cifras decimales. Existen m´ as opciones con format. Las siguiente l´ıneas muestran algunas de ellas: >> pi % el numero pi ans =

3.1416

>> format long >> pi

% mayor precision

ans =

3.14159265358979

>> format compact % compacto >> pi ans = 3.14159265358979 >> format bank %No fijo de cifras decimales >> pi ans = 3.14

1

Aproximadamente 16 cifras decimales correctas. En el momento de redactar estas l´ıneas, los procesadores de 32 bits dominan todav´ıa el parqué de ordenadores. Las nuevas generaciones, con procesadores con 64 bits, duplican la precisión de trabajo. 12

´ I LECCION >> format rat >> pi ans = 355/113 >> format loose >> pi

Cap´ ıtulo


%salidas en forma fraccionaria

B o r r a d o r % mas espaciada

ans =

355/113

Observa la diferencia de espaciamiento que se obtiene con las opciones compact y loose.

N´ umeros complejos

La aritmética compleja se encuentra también integrada en Matlab. La unidad imaginaria ( 1) se representa en Matlab con i o´ j:

√ −

>> clear i j % borramos posibles valores de i y j >> i^2 ans=

-1

>> j^2 ans=

-1

El signo i suele ser habitual en Matem´ aticas mientras que en diversas ramas de la F´ısica y en Ingenier´ıa de Telecomunicaciones o Eléctrica se prefiere el s´ımbolo j (en este caso para no confundir con la intensidad de corriente eléctrica). De ah´ı que Matlab permita ambas representaciones. Todas las operaciones matem´ aticas incluyen la aritmética compleja en el sentido usual >> 1+i +5-6i

% suma de dos numeros complejos

ans =

6.0000 - 5.0000i

>> (5+3i)*(5-3i), (1+2i)/(3-4i) ans =

13

´ I LECCION

2.2 Comandos de ayuda 34.00

B o r r a d o r ans =

-0.20

+

>> conj(3e-3+2e-4i) % conjugado ans =

0.0030 - 0.0002i

>> abs(3+4i),

angle(2i)

% modulo y argumento

ans =

5

ans =

1.5708

2.2.

Comandos de ayuda

La ayuda de Matlab es ciertamente muy clara y completa. Los comandos siempre dispuestos a echarnos una mano son: help: muestra una ayuda por pantalla, en la ventana de comandos, con la informa-

ción esencial sobre un comando concreto.

helpwin: similar a help pero despliega la ayuda en una ventana auxiliar, permitien-

do as´ı una navegaci´ on, estilo web, muy cómoda.

lookfor: permite buscar una cadena en la primera l´ınea de todos los ficheros de

ayuda.

Por ejemplo, si deseamos ayuda sobre la funci´ on sin, podemos ejecutar >> help sin

SIN Sine. SIN(X) is the sine of the elements of X. Overloaded methods help sym/sin.m

14

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


B o r r a d o r Figura 2.2: Pantalla de ayuda.

o bien

>> helpwin sin

y obtener la pantalla que se muestra en la Figura 2.3. Además, si aparece el enlace “Go to as completa online doc for ...”, éste nos permite navegar entre una ayuda mucho m´ donde se muestran ejemplos y detalles sobre la implementaci´ on del comando (ver la Figura 2 2.4 ).

on de alguna de estas Ejercicio 2.3 Utilizando las funciones de ayuda, obtener informaci´ funciones elementales de Matemáticas sin sec sinh exp

cos csc cosh log

tan cot tanh log10

asin asec asinh log2

acos acsc acosh sign

atan acot atanh

Mediante la instrucci´ on 2

Para que esta opción esté disponible es necesario que se haya instalado la ayuda completa de Matlab. A partir de la versión 6.0 la instalación consta de (al menos) dos CDs, el primero con el programa y las librer´ıas habituales y el segundo con la documentaci´ on de la ayuda. 15

´ I LECCION

2.3 Variables

B o r r a d o r Figura 2.3: Ayuda con helpwin. Comprueba si aparece la opci´ on Go to online doc... >> help +

se pueden además visualizar las operaciones “elementales” seg´ un Matlab.

2.3.

Variables

on de variables como en un lenguaje tradicional. En prinMatlab no necesita la declaraci´ cipio todas las variables son reales, y basta hacer uso de ellas para que queden declaradas: >> a=1; b=2; c=3; >> a-b ans =

-1

>> a*b*c ans =

16

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


B o r r a d o r Figura 2.4: Ayuda on line .

6

El comando who sirve para conocer los nombres de las variables declaradas, mientras que con whos obtenemos una informaci´ on más precisa: >> who

Your variables are: a

b

c

>> whos a Name Size a

Bytes

1x1

8

Class

double array

Grand total is 1 element using 8 bytes

Para borrar una variable se utiliza la instrucci´ on clear, por ejemplo, 17

´ I LECCION

2.3 Variables >> a=4; >> whos a

B o r r a d o r Name

Size

a

1x1

Bytes

8

Class

double array


>> clear a >> whos a >>

borra la variable (es decir, whos no devuelve nada). Con la orden >> clear all

se borran todas las variables declaradas hasta el momento.

Nota. En Matlab es correcto declaraciones de este tipo >> sin=1; >> sin+1 ans=

2

De esta forma sin pasa a ser una variable que sobrescribe el valor original que ten´ıa como función seno. Para recuperar el valor original basta ejecutar >> clear sin



Almacenamiento de variables en ficheros

Matlab ofrece la posibilidad de grabar las variables que deseemos en un fichero. De esta forma, podemos recuperarlas m´ as adelante, ya sea en la misma sesi´ on o en otra diferente3 . Por ejemplo >> >> >> >>

a=4+i;% numero complejo b1=cos(2); b2=sin(2); save datos a b1 b2

graba dentro del directorio de trabajo, en un fichero de nombre datos.mat, las variables indicadas. Para recuperar, basta ejecutar >> load

datos

3

Se entiende por sesión el tiempo que transcurre entre que se abre y se cierra Matlab. Al cerrar el programa, todas las variables locales se pierden. 18

´ I LECCION

2.4.

Cap´ ıtulo


Ficheros script y funciones

La forma más eficiente de empaquetar series de instrucciones simples y mec´ anicas es utilizando ficheros script . Tareas más elaboradas, con, por ejemplo, variables de entrada y salida, requieren del uso de funciones.

B o r r a d o r 2.4.1.

Ficheros script

Un fichero script es un simple documento de texto que contiene una sucesi´ o n de comandos de Matlab. Esencialmente es equivalente a teclear estas instrucciones directamente en la ventana de comandos. Describiremos el manejo de este tipo de ficheros mediante un sencillo ejemplo. Comenzamos creando un fichero tecleando en modo comando la orden4 >> edit prueba

Se despliega as´ı en una ventana aparte el editor de Matlab con el fichero prueba.m (“.m”es la extensión est´ andar de Matlab). Es importante saber cu´ al es el directorio de trabajo5 , pues es donde se guardar´ a por defecto el fichero. Tecleamos ahora en el editor a=1+i; b=1-i; disp(’a*b=’) disp(a*b) disp(’a/b=’) disp(a/b) disp(’sqrt(a)=’) disp(sqrt(a))

El comando disp (de display ) muestra vectores por pantalla de forma compacta. Dado que para Matlab un cadena de caracteres es simplemente un vector de car´ acteres, se consigue con ello mostrar por pantalla mensajes de forma concisa. Una vez que el documento est´ a grabado, para ejecutar las o´rdenes que contiene basta teclear el nombre del fichero en la ventana de comandos: >> prueba

Se puede modificar las veces que se precise las variables a y b en el fichero script sin tener que teclear de nuevo todas las instrucciones.

2.4.2.

Funciones

En principio existen dos tipos de funciones: las funciones inline, que se insertan en la l´ınea de comandos y las que se escriben en un documento de texto externo. Esta ultima ´ forma, que es la evolución natural de los ficheros script , es más flexible y es en la que nos centraremos a continuaci´ on. Dejaremos pendiente para la Lecci´ on III la descripci´ on de las funciones inline. Como antes, para crear un fichero que contenga a una funci´ on se puede teclear: 4 5

También es posible crear este fichero a golpe de rat´ on . Por defecto es C: MATLAB6p5 work.

\

\

19

´ I LECCION

2.4 Ficheros script y funciones >> edit mifuncion

En el editor puedes insertar este simple ejemplo:

B o r r a d o r 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11

% MIFUNCION % % Y=MIFUNCION(X) devuelve % % Y=X^2-COS(X) % function y=mifuncion(x) y=x^2-cos(x); return

La funci´ on se declara con function, la variable de entrada es x y se declara como variable de salida y. Se termina la ejecuci´ on de la funci´ on cuando se ejecuta un return o bien se 6 llega al final de la funci´ on . Ahora, para calcular el valor de π 2 cos(π) podemos ejecutar la orden:

−

>> mifuncion(pi) ans =

10.8696

umeros correlativos situados a la izquierda no forman parte del c´ Nota. Los n´ odigo de la funci´ on. Han sido insertados con el fin de numerar las l´ıneas y as´ı facilitar los comentarios que podamos hacer sobre el programa.  Una función puede no tener salidas, por ejemplo, 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14

% INFORMACION % % INFORMACION devuelve informacion sobre % la precision de la maquina % function informacion disp(’precision de la maquina’) disp(eps) disp (’mayor numero real’) disp(realmax) disp (’menor numero real’) disp(realmin) return

6

En este sentido, el return del ejemplo anterior es superfluo. 20

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


o bien devolver m´ ultiples salidas: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

% MIFUNCION2 % % [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve % % Y1=X1+X2+X3; % Y2=X1-X2+X3; % function [y1,y2]= mifuncion2(x1,x2,x3)

B o r r a d o r y1=x1+x2+x3; y2=x1-x2+x3; return

Observa c´ omo se recogen los resultados

>> [z1,z2]=mifuncion2(1,2,3); >> z1 ans=

6

>> z2

ans=

2

>> z=mifuncion2(1,2,3);

% Ahora solo devuelve el primero

ans=

6

La cabecera que hemos introducido en el pre´ ambulo de las funciones, es decir las l´ıneas anteriores a la declaraci´ on de la funci´ on y precedidas con “%”, constituyen la ayuda de la función: >> help mifuncion2 MIFUNCION2

[Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve Y1=X1+X2+X3; Y2=X1-X2+X3;

21

´ I LECCION

2.5 Vectores y matrices

Aunque muy recomendables7 , su inclusión en una funci´ on es opcional. La ayuda puede estar antes o después de la declaraci´ on de la funci´ o n. En cualquiera de los dos casos, Matlab despliega como ayuda todas las l´ıneas que esten precedidas con % hasta que se encuentra con la primera l´ınea no comentada.

B o r r a d o r on y Nota. Para ser consecuentes, lo correcto es denominar de igual modo a la funci´ al archivo que la contiene. Sin embargo esto no es obligatorio, es decir, se pueden dar nombres distintos, pero en este caso Matlab da preferencia al nombre del archivo. Aunque Matlab distingue entre may´ usculas y min´ usculas en sus comandos, esto no es extensible para funciones programadas en m-files, al menos en Windows. Es decir, para ejecutar una funci´ on en un archivo, digamos, operaciones, se puede utilizar OPERACIONES, Operaciones y cualquier combinaci´ on con may´ usculas y min´ usculas. Esto es debido a que el sistema de archivos de Windows tampoco hace esa distinci´ on8. Versiones más avanzadas de Matlab, 7.0 en adelante, muestran sin embargo un aviso si no existe una concordancia exacta min´ usculas-may´ usculas entre el nombre del fichero y el comando utilizado para llamarlo. Todas las variables se env´ıan por valor, no por referencia. Es decir, si una funci´ on modifica una variable de entrada, esta modificaci´ on se pierde cuando finalice su ejecuci´ on, recuperando el valor original. Por u´ltimo, en un fichero se pueden incluir varias funciones. En este caso s´ olo la primera función es accesible desde el exterior (l´ınea de comandos, otras funciones,...) mientras que el resto de funciones presentes en ese fichero son internas , es decir, utilizables u ńicamente por las funciones presentes en el archivo. Esto es importante a la hora de realizar una programación modular. Si un conjunto de funciones son s´ olo utilizadas por una funci´ on principal, se pueden insertar en el mismo fichero que ésta. Evitamos as´ı llenar la carpeta de trabajo, o de nuestro proyecto, con ficheros y m´ as ficheros. 

2.5.

Vectores y matrices

Dado que principalmente trabajaremos s´ olo con arrays de una y dos dimensiones hablaremos en lo que sigue de los objetos matem´ aticos correspondientes: vectores y matrices. Todo lo que sigue se puede adaptar a arrays con m´ as dimensiones, aunque por simplificar, nos centraremos ahora en el manejo de vectores y matrices y dejaremos pendiente para la Lecci´ on IV el uso de arrays multidimensionales (tensores).

2.5.1.

Definici´ on de matrices y vectores

Un vector o una matriz se puede definir dando sus elementos entre corchetes y separando filas mediante “;”. Por ejemplo, las instrucciones 7

No hay que subestimar nunca la capacidad de olvido de uno mismo: el código claro y legible de hoy es ilegible semanas despu´ es. Las ayudas facilitan la edici´ on de los programas no sólo para un usuario externo sino para el propio programador. 8 Es decir, si existe un fichero llamado operaciones.m no es posible crear otro con nombre Operaciones.m

22

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


>> a=[1 3 -1; 2 3 4; 4 5 1]; >> a2=[1 2 4; -1 0 1; 2 1 5]; >> b=[1; 3; 1]; b2=[-1 1 -2 2];

B o r r a d o r definen las matrices y vectores a=



1 3 2 3 4 5

−1 4 1



,

a2 =

    − 1 2 4 1 0 1 2 1 5

,

b=

1 3 1

,

b2 =

−

1 1

−2



2 .

Matlab distingue entre vectores fila y columna por lo que habr´ a que tenerlo en cuenta por ejemplo cuando se desee hacer operaciones como sumas o productos. Desde una vertiente pr´ actica, si se va a trabajar con una matriz grande, por ejemplo de tama˜ no 20 10, y sus valores se van a introducir más adelante, se puede empezar con

×

>> a=zeros(20,10);

A partir de este instante se pueden insertar los elementos, accediendo a cada posici´ on mediante paréntesis >> a(4,5)=9; a(2,1)=6; a(1,1)=-3.4; >> a(4,5) ans=

9

En cualquier caso, si tratamos de introducir un valor en una posici´ on no definida de la 9 matriz, Matlab irá adaptando el tama˜ n o seg´ un juzgue apropiado , y no dar´ a ning´ un error. El siguiente ejemplo ilustra esta caracter´ıstica >> clear c % c esta borrado >> c(1,2)=4 % c es ahora 1 x 2 c =

0

>> c(3,3)=2

4

% c pasa a ser 3 x 3

c =

0 0 0

4 0 0

0 0 2

Esta habilidad, aunque permite una programaci´ on muy flexible y descuidada, debe utilizarse con mesura dado que puede provocar errores de ejecuci´ on muy dif´ıciles de detectar. 9

Ello obliga a que haya que redimensionar constantemente la memoria otorgada a la variable a. Esto supone un costo adicional, inapreciable con ejemplos peque˜ nos, pero importante para grandes cantidades de memoria. Por tanto es mejor declarar primero las dimensiones de la matriz e informar as´ı a Matlab de cu´ anta memoria tiene que reservar. 23

´ I LECCION


2.5.2.

Operaciones

Todas las operaciones habituales entre matrices, tales como la suma, producto, potenciación, cálculo de determinantes, inversas..., est´ an ya implementadas en Matlab. No hay por tanto necesidad de programarse estas tareas. Por ejemplo, si a y a2 son matrices de tama˜ nos compatibles, las instrucciones

B o r r a d o r a*a2

a^2

a+a2

devuelven el producto matricial de a y a2, el cuadrado de a (es decir, a*a) y la suma de a y a2. Es importante observar la diferencia con estas l´ıneas a.*a2

a.^2

En el primer caso, se devuelve la matriz resultado de multiplicar elemento a elemento no) y en el segundo, una matriz cuyas a y a2 (por tanto deben tener el mismo tama˜ entradas son el cuadrado de las de a. Esto es una constante en Matlab: el signo “.” indica que la operaci´ on (un producto, una potencia o una divisi´ on) se hace elemento a atica, en este elemento, mientras que en caso contrario se calcula la operaci´ on matem´ caso el producto matricial.

no. Observa el resultado de Ejercicio 2.4 Introduce en a y a2 dos matrices de igual tama˜ ejecutar a+a2

a*a2

a.*a2

Define un vector b fila o columna y ejecuta b.^3

b’

Comprueba si estas operaciones est´ an bien definidas a*2

a+1

¿Qué hacen exactamente? ¿Por qué crees que no es necesario “ .” en la primera instrucci´ on?. Otros comandos importantes son det

inv

/

\

/.

\.

Los dos primeros son el determinante y la inversa de una matriz cuadrada. Los operadores “/” y “\” (slash y backslash ) son ciertamente especiales: a/a2

es equivalente a a*inv(a2),

a\a2

es equivalente a inv(a)*a2

En cuanto a su relaci´ on con ./ y \. es la misma que ha surgido antes, esto es, aplicado sobre matrices procede a realizar los cocientes elemento a elemento. Requiere por tanto que ambas matrices tengan el mismo tama˜ no.

Ejercicio 2.5 Ejecuta las instrucciones >> 3/5 >> 3\5

y observa el resultado. ¿Tiene sentido desde el punto de vista anterior?.

Ejercicio 2.6 Dado b una matriz, ¿qué hace 1/b?. 24

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


Nota. El operador backslash “\” se utiliza profusamente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, bajo la idea de que Ax = b

⇔

x = A−1 b.

B o r r a d o r As´ı, si b es n

× 1 y a es n × n,

>> x=a\b;

devuelve en x la solución del sistema correspondiente. El funcionamiento real de dista mucho de ser tan simple. Esto es, no calcula la inversa de a para multiplicarla por b, sino que resuelve el sistema de ecuaciones por alguna variante del método de Gauss. Se puede utilizar helpwin mldivide (o helpwin mrdivide para /) para leer en detalle c´  omo procede este comando. Las funciones propias de Matlab trabajan de forma natural sobre vectores y matrices. El resultado final es equivalente a aplicar el comando elemento a elemento. Por ejemplo,

\

>> a=[0 pi/3; -pi/3 0]; >> cos(a) ans =

1.0000 0.5000

0.5000 1.0000

es equivalente a

>> [cos(0) cos(pi/3); cos(-pi/3) cos(0)] ans =

1.0000 0.5000

2.5.3.

0.5000 1.0000

Detalles adicionales

C´ omo obtener las dimensiones de vectores y matrices

Los comandos de Matlab size y length nos proporcionan esta informaci´ on: >> a3=[1 2; 3 6; 5 -1]; >> size(a3) ans =

3

2

>> length(a3)

25

´ I LECCION

2.5 Vectores y matrices ans = 3

B o r r a d o r >> a3=a3’; % cambiamos la forma de a3 >> size(a3) ans = 2

3

>> [m,n]=size(a3); % m son las filas y n las columnas >> m ans = 2

>> n

ans = 3

>> length(a3) ans = 3

El comando size devuelve un vector de tama˜ no 2 1 con el n´ umero de filas y columnas del vector/matriz. El resultado es diferente seg´ un se aplique a vectores fila o columna. La orden length devuelve la longitud de una matriz o vector. Su significado en el caso de un vector est´ a clara mientras que para matrices devuelve el m´ aximo entre el n´ umero de filas y el n´ umero de columnas.

×

Matrices especiales

Matlab dispone de una serie de comandos que permiten construir matrices con una estructura particular. Cabe se˜ nalar las siguientes o´rdenes: eye(n) es la matriz identidad de orden n; ones(m,n) es una matriz m x n de 1s;

zeros(m,n) es una matriz m x n de 0s, esto es, igual que ones pero con ceros;

y algunas más exóticas como hilb, invhilb, pascal, magic. 26

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


Existen dos formas de introducir vectores cuyos valores siguen una distribuci´ on regular a:b:c construye el vector de valores [a a+b a+2*b .... a+k*b] donde a+k*b es el mayor n´ umero natural que cumple a+k*b c. La instrucción a:c toma b = 1.

≤

B o r r a d o r on uniforme de [a, b] en n puntos. linspace(a,b,n) devuelve una partici´

Por ejemplo, >> 0:10 ans=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> 10:-1:0 ans=

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

>> 0.1:0.3:1.5 ans =

0.1000

0.4000

0.7000

1.0000

1.3000

>> linspace(0,2,4) ans =

0

0.6667

1.3333

2.0000

>> linspace(2,0,4) ans =

2.0000

1.3333

0.6667

0

Nota. Cuando Matlab tiene que devolver un vector y no se le especifica el formato, devuelve una fila. 

2.5.4.

Acceso a partes de matrices

El manejo de partes de vectores y matrices, as´ı como la eliminaci´ on de filas o columnas, cambios de tama˜ no, etc, se hace v´ıa instrucciones muy simples en Matlab. Aunque pueda resultar algo extra˜ no al principio, un poco de pr´ actica es suficiente para que el usuario se 27

´ I LECCION


adapte a la nueva sintaxis, tan diferentes a la de un lenguaje tradicional, y pueda utilizarlo en sus códigos. Comencemos viendo un ejemplo:

B o r r a d o r >> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; >> a(2,3) % elemento (2,3) de a ans =

6

>>a(2,:)

% fila 2 de a

ans =

4

5

6

>>a(:,1)

% columna 1

ans =

1 4 7 10

>>a(:,2)=0 % columna 2 es ahora 0 a =

1 4 7 10

0 0 0 0

3 6 9 12

Podemos acceder a partes de una fila o columna: >> a(1,2:3)

% vector [a(1,2) a(1,3)]

ans =

0

3

>> a(2:4,3)

% vector columna [a(2,3); a(3,3); a(4,3)]

ans =

28

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


6 9 12

B o r r a d o r >> a(1:2,2:3) % matriz [a(1,2) a(1,3); a(2,2) a(2,3)] ans =

0 0

3 6

En general, si p es un vector de n´ umeros enteros, v(p) devuelve [v(p(1)), v(p(2)), ..., v(p(n))]. Por ejemplo, >> v=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6]; >> v(4:-1:2) ans=

0.4000

0.300

>> p=[5 1 2 3 3 3]; >> v(p)

0.2000

% no importa que esten repetidos

ans=

0.5000

0.1000

0.2000

0.3000

0.3000

Ejercicio 2.7 Ejecuta las siguientes l´ıneas

>> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; >> p=[1 3 2]; q=[1 2 1]; >> a(p,q)

¿Qué hacen exactamente?.

Igualmente es f´ acil a˜ nadir filas y columnas a una matriz: >> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8] a =

1 5

2 6

3 7

>> a=[a; [1 -1 2 4]]

4 8

% adosamos una fila nueva

a =

29

0.3000

´ I LECCION

2.6 Bucles y estructuras de decisión

1 5 1

2 6 -1

3 7 2

4 8 4

B o r r a d o r >> a=[a [0; 2; 4] ]

% una nueva columna

a =

1 5 1

2 6 -1

3 7 2

4 8 4

0 2 4

Si se desea eliminar una fila o columna se puede utilizar el s´ımbolo vac´ıo []. Por ejemplo, >> a(:,2)=[]

% suprime la segunda columna

a =

1 5 1

3 7 2

4 8 4

0 2 4

Ejercicio 2.8 Programa una funci´ on cuyas entradas sean una matriz cuadrada y un término independiente compatible y que devuelva la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales. Esto es, una matriz con la matriz original y una ´ ultima columna con el término independiente.

2.6.

Bucles y estructuras de decisi´ on

Claves en cualquier lenguaje de programaci´ on, Matlab dispone de varias de ellas entre las que sobresalen for e if, un estándar en el mundo de la inform´ atica.

2.6.1.

Bucles: el comando for

En Matlab, la estructura

for j=inicio:paso:final ..... end

implementa un bucle donde las l´ıneas de c´ odigo entre for y end son ejecutadas repetidamente con j tomando los valores del vector inicio:paso:final (véase la Sección 2.5.3) Por ejemplo, >> for j=1:3; 1

disp(j);

end

30

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


2

B o r r a d o r 3

>> for j=6:-2:2; 4

disp(j-2);

end

2 0

En general, si v es un vector, for j=v ..... end

procede a ejecutar las l´ıneas internas con j tomando los valores del vector v. Por ejemplo, >> v=[2 5 3 1];for j=v; 2

disp(j);

end

5 3 1

Asociados a for, y en general a cualquier bucle, encontramos los comandos break y continue. El primero fuerza la salida inmediata del bucle mientras que el segundo reinicializa la iteración con el siguiente valor del ´ındice.

Ejercicio 2.9 La matriz de Hilbert de orden n es

A=

 

1 1 2

.. .

1 2 1 3

··· ··· ··· ···

... ...

1 n

...

1 2n−2

1 n 1 n+1

.. .

1 2n−1

 

Construye la matriz anterior mediante un fichero script y el uso de dos “ for” anidados.

2.6.2.

Operadores l´ ogicos y estructuras de decisi´ on

Los operadores l´ ogicos m´ as básicos en Matlab son == >=

igualdad, ~= desigualdad, > mayor o igual, <= menor o igual, & 31

mayor, < “y” lógico, |

menor, “o” lógico

´ I LECCION

2.6 Bucles y estructuras de decisión El resultado de una comparaci´ o n es 1 si es verdadero, 0 si es falso: >> a=1; b=2; c=3; >> a>0


1

>> a>0 & b<3 ans =

1

>> a<0

|

b<1

ans =

0

>> test= (a~=0) ans =

1

>> whos test Name

Size

test

1x1

Bytes 1

Class

logical array


Estos “0” y “1” no son valores numéricos sino l´ ogicos como se comprueba con la u´ltima 10 instrucción . Cuando se aplica a un vector, devuelve un vector de verdadero/falso de la misma longitud que el vector original: >> b=[1 2 -3 -1 2 -4];

p=(b>=1)

% entradas de b>=1

p= 1

1

0

0

1

0

En el ejemplo anterior, p(i)==1 si b(i) 1 y cero en caso contrario. Ahora, podemos aislar los elementos mayores o iguales que 1 simplemente con

≥

10

Ocupan un u ´ nico byte mientras que un n´ umero real utiliza ocho bytes. 32

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


>> b(p) 1

2

2

B o r r a d o r Desde este punto de vista es correcta y recomendable utilizar la instrucci´ on >> b(b>=1) 1

% elementos de b mayores o iguales que 1

2

2

que adem´ as resulta muy natural (y f´ acil de entender).

Nota. El comando logical puede utilizarse para construir vectores y estructuras l´ ogicas a partir de vectores de n´ umeros enteros: >> b=[2 4 6 8 10]; p=[1 0 0 1 >> b(p) % Dara error

1];

??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. >> p=logical(p); >> b(p) ans =

2

8

10



La estructura de decisi´ on, como en muchos otros lenguajes, es if. Su sintaxis es la siguiente:

o n lógica efectuada es verdadera, se ejecutan las l´ıneas de if simple: si la operaci´ código comprendidas entre if y end if (x<-1 | x>1) disp(’valor absoluto de x mayor que 1’) end

if compuesto: como el anterior, pero un nuevo conjunto de l´ıneas, comprendidas entre else y end son ejecutadas en caso de que la operaci´ on lógica efectuada en el if sea falsa: if (x<0 & x>-10) f=x^2; % x entre -10 y 0 else f=sin(x^2); % x menor que -10 o mayor que 0 end 33

´ I LECCION

2.6 Bucles y estructuras de decisión if de decisi´ o n m´ ultiple: if (x<0) f=x.^2; disp(’x menor que cero’) elseif (x
B o r r a d o r Esta u ´ltima instrucci´ on es equivalente a anidar diferentes estructuras if, de la siguiente forma if (x<0) f=x.^2; disp(’x menor que cero’) else if (x
Obviamente, la primera forma es más clara y concisa.

on que Nota. Con la instrucción switch se puede implementar una estructura de decisi´ es esencialmente equivalente a un if anidado. Está disponible también el bucle while que procede a ejecutar un bucle (que se cierra también con un end) mientras una condici´ on sea verdadera. Por tanto, es algo m´ as flexible que un for. En general todos los bucles y estructuras que requieran cerrarse , lo hacen con end. El uso de break y continue es exactamente el mismo. 34

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


Por u´ltimo, y volviendo a end, este comando tiene una curiosa funcionalidad extra: sirve para referenciar el u´ltimo elemento de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo on cuarta en adelante. b(4:end) selecciona todos los elementos de b desde la posici´ 

B o r r a d o r odigo? Ejercicio 2.10 ¿Qué hace el siguiente fragmento de c´ 01 02 03 04 05 06

r=[]; aux=0; while aux<0.8 aux=rand(1); r=[r aux]; end r(end)=[];

Ejercicio 2.11 Con la ayuda de Matlab, programa un par de ejemplos donde utilices switch y while.

on de nombre findnonzeros Ejercicio 2.12 (Un poco de todo) Implementa una funci´ que dado un vector de entrada devuelva el n´ umero de elementos no nulos y un vector que contenga dichos elementos.

Soluci´ on. Una implementación posible es la siguiente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17

% FINDNONZEROS % % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve % % N el numero de elementos no nulos en el vector X % P un vector con los elementos no nulos de X % function [n,p]=findnonzeros(x) p=[]; % p es vacio for i=1:length(x) if (x(i)~=0) % si x(i) no es cero p=[p x(i)]; % apuntamos i al vector p end end n=length(p); return

Observa como se recogen los resultados de la funci´ on, n y p,

>> a=[0.1 0. 0.3 0.1 0.6 0 0.1 0.2 0.4]; % vector!! >> [n,p]=findnonzeros(a) n =

7

35

´ I LECCION

2.6 Bucles y estructuras de decisión

p =

B o r r a d o r Columns 1 through 5 0.1000

0.3000

0.1000

0.6000

0.1000

Columns 6 through 7 0.2000

0.4000

Otra posible implementaci´ on (mucho m´ as elaborada y m´ as propia de Matlab) es la siguiente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

% FINDNONZEROS % % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve % % N el numero de elementos no nulos en el vector X % P un vector con los elementos no nulos de X % function [n,p]=findnonzeros(x) p=x(x~=0); n=length(p); return

Haz un esfuerzo en entender bien los comandos anteriores. Tras la suficiente pr´ actica, esta versi´ on se ve más clara y natural que la anterior. Observa c´ omo se toman los elementos no nulos del vector x (l´ınea 10). 

36


M´ etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales 3.1.

M´ etodo de Gauss

El método de Gauss, tambi´ en conocido como eliminaci´ on gaussiana, es el algoritmo más sencillo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Consta de dos partes bien diferenciadas: i) Transformaci´ on del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma solución, donde la matriz es triangular superior.

ii) Resolución del sistema triangular por sustituci´ on regresiva. El paso i) se acomete v´ıa dos operaciones elementales:

(a) Sumar a una ecuaci´ on otra multiplicada por un n´ umero.

(b) Intercambiar dos ecuaciones.

Si sólo utilizamos la operaci´ on (a) hablaremos del método de Gauss sin pivotaje, y con pivotaje parcial si tambi´ en realizamos las operaciones (b)1 cuando la elecci´ o n de las filas que se conmutan sea una muy particular. Representando el sistema de ecuaciones en la forma matricial, todo lo anterior se reescribe en términos de operaciones matriciales (sumar a una fila otra fila e intercambiar filas2 ). En lo que sigue expresaremos el sistema en la forma Ax = b,

A

n×n

∈R

,

x, b

n

∈R ,

donde A es la matriz de coeficientes, b el término independiente y x el vector de soluciones. Los elementos de A se denotar´ an por aij , y con bi los de b. 1

Existe una tercera operación (c), que consiste simplemente en multiplicar filas por constantes no nulas. Esta operación recibe el nombre de reescalado (de filas) y en problemas prácticos se suele utilizar con el fin de mejorar la estabilidad del sistema frente a errores de redondeo. 2 Otra posibilidad es intercambiar columnas, que se corresponde con reordenar las incógnitas). En este caso se habla de pivotaje total. 37

´ I LECCION

3.1 Método de Gauss

3.1.1.

M´ etodo de Gauss sin pivotaje

El pseudoc´ odigo se expone a continuaci´ on

B o r r a d o r M´ etodo de Gauss 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

for i = 1 : n 1 for k = i + 1 : n

−

ki = aki /aii for j = i + 1 : n akj = akj ki aij

−

end

bk = bk

end

−

ki bi

end

xn = bn /ann for i = n 1 :

1:1

− − −  n

xi = bi

13

aij x j /aii

j=i+1

15

end

Las l´ıneas 01--09 se corresponden con la reducci´ on a la forma triangular de la matriz y las l´ıneas 11--15 con la resoluci´ on del sistema triangular resultante. El elemento aii se denomina pivote y debe ser distinto de cero para que el algoritmo funcione, dado que en caso contrario la operaci´ on en 03 está mal definida. El algoritmo efect´ ua (n3 /3) productos3 y otras tantas sumas para la reducci´ o n a la forma triangular y (n2 /2) sumas y productos para la resoluci´ on del sistema triangular. Por tanto el costo se concentra en la primera fase del algoritmo y duplicar la dimensi´ on del sistema exige multiplicar por ocho el tiempo de c´ a lculo (y por cuatro el costo en memoria).

O

O

on cuyas entradas sean la matriz de coeficientes y el Ejercicio 3.1 Implementa una funci´ término independiente y devuelva la soluci´ on del sistema por el método de Gauss.

Soluci´ on. El siguiente programa es una soluci´ on del ejercicio 01 02 03 04 05

% GAUSS % % % X=GAUSS(A,B) %

Solucion del sistema Ax=b con el metodo de Gauss sin pivotaje

3

es decir, el número de multiplicaciones es n3 /3 + αn2 + βn + γ , donde α, β y γ son constantes adecuadas. Con n creciente, el primer término es el dominante. 38

´ I LECCION 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Cap´ ıtulo

3. Métodos directos para sistemas de ecuaciones lineales

function x = gauss(a,b) n=length(a);

B o r r a d o r % transformacion del sistema en uno triangular for i=1:n-1 for k=i+1:n l=a(k,i)/a(i,i); for j=i+1:n a(k,j)=a(k,j)-l*a(i,j); end b(k)=b(k)-l*b(i); end end % resolucion del sistema triangular x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0; x(n)=b(n)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); % sumatorio end x(i)=(b(i)-s)/a(i,i); end return



El código anterior es correcto y ciertamente recuerda a la sintaxis que usar´ıamos en una programación en un lenguaje tradicional como C o Pascal. Sin embargo desde el punto de vista de Matlab es claramente redundante y muy mejorable . Los siguientes ejercicios ahondan en estos aspectos por lo que resolverlos es muy recomendable.

Ejercicio 3.2 Reescribe el programa utilizando instrucciones y sintaxis propia de Matlab.

Soluci´ on. Las filas 14-16 del programa (04--06 del algoritmo) se pueden implementar como una diferencia de dos vectores, a(k,i+1:n) y a(i,i+1:n), con cualquiera de estas dos instrucciones a(k,i+1:n) =a(k,i+1:n) - l*a(i,i+1:n) a(k,:) =a(k,:) - m*a(i,:)

La segunda es m´ as cómoda de utilizar pero multiplica por dos el n´ umero de operaciones 4 en la ejecuci´ on del método . 4

¿Por qué?.

39

´ I LECCION


De forma an´ aloga, el sumatorio de las l´ıneas 25-29 del código (13 del algoritmo del método de Gauss) es simplemente el producto escalar, y de hecho tambi´ en matricial, de dos vectores, el vector fila a(i,i+1:n) y el vector columna x(i+1:n). Esto es el código de las l´ıneas 25--29 se puede sustituir por

B o r r a d o r x(i)=(b(i)- a(i,i+1:n)*x(i+1:n))/a(i,i);



un más hacia la consecuci´ on de algoritmos Ejercicio 3.3 (Avanzado) Podemos avanzar a´ matriciales. Consideremos la partici´ on de A A=





a11 c 1 d1 A11

,

b=

donde c1 , d1 son vectores (n 1) 1 y A11 una matriz (n paso del método de Gauss se puede escribir

− ×



 −    c 1 (a11 )−1 c 1 d1

a11 0 A11

,

  b1 b1

− 1) × (n − 1). Entonces, el primer

  −   

b=

A(1)

b1

b1 1 a− 11 b1 d1 .

b(1)

El segundo paso del método de Gauss se aplica ahora sobre la matriz A(1) (de tama˜ no (n 1) (1) (n 1)) y el vector b (de tama˜ no (n 1) 1) y as´ı se procede sucesivamente. Implementa esta resoluci´ on alternativa del método de Gauss.

−

− ×

− ×

(Ayuda. Observa estas tres instrucciones l=a(i+1:n,i)/a(i,i)

a(i+1:n,i+1:n)-l*a(i,i+1:n)

b(i+1:n)-l*b(i)

¿Qué hacen?)

Nota sobre la vectorizaci´ on

La noci´ on de vectorizaci´ on, trabajar con vectores y matrices en lugar de elemento a elemento, no es nueva ni en el An´ alisis Numérico ni en la computación a alto nivel. El ob jetivo que se persigue es que las todas las operaciones se reduzcan a operaciones matem´ aticas sencillas, como productos escalares, productos matriciales, b´ usqueda de m´ aximos y m´ınimos en un vector/matriz, suma de vectores y matrices... cuya implementaci´ o n se optimiza tomando en consideraci´ on el entorno en el que se trabaja, tanto en software como en hardware. Este conjunto de instrucciones se conocen como BLAS (basic linear algebra subprograms ). Se distinguen tres niveles. El nivel uno está formada por operaciones entre vectores, tales como la suma o el producto escalar de dos vectores, de (n) operaciones, el nivel dos se ocupa de operaciones matriz-vector con (n2 ) operaciones y el nivel tres son operaciones entre matrices, (n3 ) operaciones. En m´ aquinas con m´ ultiples procesadores estos subprogramas deben adaptarse a dividir la tarea entre los procesadores disponibles de forma o´ptima y a buscar algoritmos que soporten este tipo de trabajo5 .

O

O

5

O

Se deben buscar en primer lugar algoritmos que permitan dividir la tarea principal en subtareas equiparables, y de forma que finalicen en tiempos similares puesto que basta con que una de las subtareas se retrase respecto a las demás para que el conjunto de procesadores deba parar a esperar al rezagado con la consiguiente pérdida de tiempo (y dinero). 40

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


Uno de los detalles más sencillos que hay que plantear es la estrategia de almacenamiento de las matrices en memoria. Se puede optar por un almacenamiento por filas, como hace C,

B o r r a d o r A=



a11 a12 a13 a21 a22 a23



⇒

a11

→a →a →a →a →a 12

13

21

22

23

donde con la notaci´ on anterior queremos decir que aij y aij+1 ocupan posiciones consecutivas en memoria. Sin embargo Fortran o Matlab proceden por columnas

A=



a11 a12 a13 a21 a22 a23



⇒

a11

→a →a →a →a →a 21

12

22

13

23 .

Seg´ un sea el caso se trata de primar algoritmos que accedan a la matriz por filas o por columnas para que el procesador trabaje con posiciones consecutivas de memoria6 . En esta dinámica, la resoluci´ on del sistema triangular seg´ un el algoritmo expuesto en el Ejercicio 3.3 está mejor adaptado a la arquitectura de Matlab puesto que todas las operaciones se hacen sobre columnas de la matriz a.

3.1.2.

M´ etodo de Gauss con pivotaje parcial

Para evitar que el método de Gauss se colapse, es decir, que encuentre en un paso i que el elemento aii es nulo (l´ınea 03 del algoritmo), se introduce la noci´ on de pivotaje. La idea es muy sencilla: en el caso de que en el i–ésimo paso el pivote sea nulo, se procede a intercambiar la fila i por una fila k tal que aki = 0 para cierto k > i. Si esto no es posible, el sistema no es compatible determinado, es decir, o no tiene soluci´ on o tiene infinitas soluciones. Desde un punto de vista pr´ actico, el método de Gauss con pivotaje procede a intercambiar siempre filas de forma que en cada paso



|a | = ki

máx ai ,

=i,...,n

| |

esto es, el pivote es el mayor posible. Ello dota al sistema de una mayor estabilidad frente a los errores de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente (denotamos por a b el intercambio de valores de a y b).

↔

6

Cuando un procesador moderno lee algo en memoria, suele cargar a su memoria internar, la memoria cach´ e, posiciones adicionales y consecutivas de memoria ba jo la convicci´ on de que es probable que las requiera en el siguiente paso. 41

´ I LECCION


M´ etodo de Gauss con pivotaje parcial 01 02 03

for i = 1 : n

−1

B o r r a d o r 04 05 08 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

Encontrar k for j = i : n

aij

end

bi

↔b

∈ {i , . . . , n} tal que |a | = ki

↔a

m´ ax ai

j=,...,n

| |

%intercambio filas y termino independiente

kj

k

for k = i + 1 : n

ki = aki /aii for j = i + 1 : n akj = akj ki aij

−

end

bk = bk

end

−

ki bi

end

Ejercicio 3.4 Implementa una funci´ on con el m´ etodo de Gauss con pivotaje a partir de la funci´ on definida en el Ejercicio 3.2 . Para este fin la instrucci´ on max te puede resultar ´ util. Espec´ıficamente, >> [m,i]=max(v)

devuelve en m el mayor valor del vector v y en i su posici´ on, esto es, m = v(i). A˜ nade también 7 un control sobre el tama˜ no de a(i, i) de forma que si éste es pr´ oximo a cero se termine la ejecuci´ on y se devuelva un mensaje de error. (Ayuda. La instrucción [m,r]=max(abs(a(i:n,i))) te devolverá en r la posición del máximo en el vector columna abs(a(i:n,i)). Por tanto, la fila en la matriz a con el mayor valor en la columna i es i+r-1.)

El intercambio de filas de las l´ıneas 04--08 se puede implementar de varias formas. La primera es simplemente con un bucle que recorra las filas y proceda a intercambiar los valores elemento a elemento. En la segunda forma se hace de forma global mediante aux=a(i,i:n); a(i,i:n)=a(k,i:n); a(k,i:n)=aux;

La tercera forma probablemente ser´ a la que resulte más extra˜ na pero vuelve a ser natural en Matlab. Basta hacer a([i,k],i:n)=a([k,i],i:n)

F´ıjate que tiene perfecto sentido sint´ actico de acuerdo a las reglas de manipulaci´ o n de vectores y matrices expuestas en la primera parte de esta lecci´ on. 7

¿Cu´ a ndo se decide que un n´ umero es cero? En la práctica depende de los tamaños del resto de elementos de la matriz. 42

´ I LECCION

3.1.3.

Cap´ ıtulo


M´ etodo de Gauss con pivotaje parcial ficticio

Desde un punto de vista pr´ actico no hace falta intercambiar f´ısicamente las filas de la matriz. En lugar de ello se puede utilizar un vector de ´ındices p de forma que p(i) sea la posici´ on f´ısica en memoria de la fila i. Inicialmente, las filas están sin reordenar, es decir, se empieza declarando

B o r r a d o r p=1:n;

Intercambiar las filas i y k es equivalente a intercambiar los valores de p en las posiciones iyk p([i k])=p([k i])

y se procede a hacer ceros en las filas p(i+1), . . . , p(n). El acceso la fila i se consigue con a(p(i),:)

y la b´ usqueda del m´ aximo valor para el intercambio de filas con [m,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1;

La fila con el máximo elemento en valor absoluto es la p(r). Para la resoluci´ on del sistema triangular despejamos igual que en el método de Gauss, desde la n-ésima incógnita a la primera, con 22 23 24 25

x(p(n))=b(p(n))/a(p(n),n); for i=n-1:-1:1 x(p(i))=(b(p(i))-a(p(i),i+1:n)*x(i+1:n))/a(p(i),i); end

Desde un punto de vista estrictamente matem´ atico se trata de llevar la matriz a una forma que, si bien no es triangular, una reordenaci´ on adecuada de las filas la transforma en triangular. El vector p recoge en qué orden se deben despejar las inc´ ognitas a la hora de resolver el sistema reducido. En concreto el orden viene dado por p(n), p(n-1), . . . , p(1). En cualquier caso, a(p,:) es una matriz triangular8 .

Ejercicio 3.5 Implementa el método de Gauss con pivotaje parcial ficticio.

Ejercicio 3.6 Las l´ıneas 22– 25 proceden a resolver el sistema triangular accediendo a los elementos por filas. Adapta el algoritmo para la resoluci´ on de este sistema por columnas, tal como se hizo en el Ejercicio 3.3 . Ejercicio 3.7 Sea A una matriz inversible de tama˜ no n −1 columna i ésima de A , esto es,

−

A−1 = [a1 a2

× n y A

−1

su inversa. Si ai es la

| |···|a ],

8

n

La importancia de estas técnicas ha decrecido con las últimas generaciones de ordenadores, donde la manipulaci´ on de enormes cantidades de memoria está muy optimizada. 43

´ I LECCION

3.2 Descomposiciones matriciales entonces

 

0 .. .

  →

B o r r a d o r Aai = ei =

1 .. . 0

i.

Utilizando alguna de las diferentes versiones del método de Gauss, implementa el cálculo de la inversa mediante la resoluci´ on de los n sistemas de ecuaciones. Observa que los n comparten la misma matriz de coeficientes.

3.2.

Descomposiciones matriciales

Uno de los aspectos que mejores resultados dio a lo largo del siglo XX, en los albores del ´ Análisis Numérica, fue la constataci´ on de que numerosos algoritmos del Algebra Lineal, pod´ıan reescribirse como factorizaciones de matrices en producto de otras matrices con ´ caracter´ısticas muy particulares. Este es el caso del algoritmo de Gram-Schmidt, la matriz original escrita como el producto de una ortogonal por una triangular, o el caso que nos ocupa, el m´ etodo de Gauss, visto como la b´ usqueda de la factorizaci´ o n de A como el producto de una matriz triangular inferior por una superior. La utilidad que se concedi´ o a este tipo de factorizaciones fue en un primer momento más bien teórica pero r´ apidamente se encontr´ o aplicaciones pr´ a cticas y su uso en la actualidad es profuso. Estudiaremos en lo que sigue la factorizaci´ on LU y variantes y dejaremos para m´ as adelante (Lecci´ on IV) otro tipo de factorizaciones.

3.2.1.

Descomposici´ on LU

Supongamos que se dispone de una descomposici´ on A = LU

donde L y U son matrices triangulares inferior y superior respectivamente. En este caso, la resolución del sistema lineal Ax = b es equivalente a resolver dos sistemas de ecuaciones triangulares Ly = b, U x = y. el primero triangular superior y el segundo triangular inferior. Puesto que el costo de resolución de cada sistema es (n2 ) operaciones (total de sumas y productos) obtenemos una ventaja decisiva en la resoluci´ on del sistema.

O

on de un sistema de ecuaciones Lx = b donde L es Ejercicio 3.8 Implementa la resoluci´ triangular inferior con 1s en la diagonal. Si abordamos directamente la resoluci´ o n de la ecuaci´ on A = LU , nos encontramos 2 con un sistema no lineal con n + n incógnitas (las entradas de L y U ) y n2 ecuaciones (una por cada elemento de a). Por tanto, el sistema resultante no deber´ıa admitir soluci´ on 44

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


u ´ nica. Si exigimos que L tenga 1s sobre la diagonal, el n´ umero de inc´ ognitas pasa a ser 2 de n y por tanto tenemos ya un sistema cuadrado (aunque no lineal). Se trata entonces de estudiar el siguiente problema: dada una matriz A de tama˜ no n n, encontrar L y U de la forma

×

B o r r a d o r L=

 

1 21 .. .

1 .. .

 

...

n1 n2

···

1

,

U =

 

u11 u12 u22

u1n u2n . . . .. . unn

·· · ·· ·

 

,

y tales que A = LU. El cálculo de esta descomposici´ o n se puede llevar a cabo sin m´ a s que exigir que el producto LU sea igual al de A. As´ı empezamos despejando la primera fila de U (que es igual que la de A por ser 11 = 1). Una vez conocida esa fila, se puede despejar la primera columna de L, utilizando que el producto de L por la primera columna de U (que consta de un uńico elemento no nulo y ya es conocido del paso anterior) da la primera columna de A. Procedemos sucesivamente de esta forma, construyendo U por filas y L por columnas.

Descomposici´ on LU (M´ etodo de Doolittle) 01 02

for k = 1 : n for j = k : n

k−1

ukj = akj

03

 −

kp u pj

p=1

04 05 06

end

kk = 1 for i = k + 1:n

 −  k−1

ik = aik

07

ipu pk /ukk

p=1

08 09

end

end

El n´ umero de operaciones del algoritmo resulta ser igual al del m´ etodo de Gauss, con lo cual no hemos conseguido una ventaja significativa. Sin embargo, disponer de esta descomposición es especialmente u´til si se requiere resolver varios sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz pero con términos independientes diferentes. Las operaciones que conllevan un mayor coste son las correspondientes al c´ alculo de las matrices L y U , pero u ´ nicamente hay que realizar esta descomposici´ on una vez para posteriormente resolver en cada caso dos sistemas triangulares. on LU en Matlab mediante una funci´ on cuya Ejercicio 3.9 Implementar la descomposici´ entrada sea una matriz cuadrada y su salida sean las matrices L y U correspondientes. (Ayuda: la función por tanto devuelve dos valores.) 45

´ I LECCION

3.2 Descomposiciones matriciales

Al observar el algoritmo del método, las operaciones recuerdan a las efectuadas por el método de Gauss. Esto no es tan sorprendente cuando se analizan con detenimiento los calculados realizados. Se puede ver entonces que en el c´ alculo de la descomposici´ on LU se están haciendo exactamente las mismas operaciones que al aplicar el método de Gauss. En efecto, definamos

B o r r a d o r 

a(1) = aij ij

(k+1)

aij

(k)

= aij

i, j = 1, . . . , n (k) ik akj ,

−

k

≥ 1,

1

≤ i, j ≤ n − k

donde ki viene dada por el algoritmo de Doolitle (l´ınea 07). Entonces, de acuerdo con el algoritmo de la factorizaci´ on LU , los elementos de la primera fila de U y de la primera columna de L vienen dados por u1 j =

(1)

a(1) 1 j ,

i1 =

ai1

(1) a11

.

En el siguiente paso, se observa que u2 j = a2 j i2 =

ai2

21 u1 j

= a(1) 2 j

i1 u12

ai2

− −

u22

(1)

=

(1) 21 a1 j

= a(2) 2 j

(1) i1 a12 (2) a22

ai2

− −

(2)

=

(2)

a22

.

Reiterando el mismo razonamiento concluimos que

( j)

uij =

(i) aij ,

i

≤ j,

ij =

aij

( j) a jj

,

i > j.

Por tanto U es de hecho la matriz triangular que queda al aplicar el método de Gauss mientras que L está formada por los elementos que se han utilizado para hacer ceros en el proceso. Esto es, el elemento i, j de L, denotado por ij , coincide con la constante ij calculado en la l´ınea 03 del método de Gauss y por tanto no hay una contradicci´ on de notaciones. En particular, la propiedad anterior propone una forma alternativa de calcular la descomposición LU de una matriz es la siguiente modificaci´ on del programa del Ejercicio 3.1: 11 12 13 14 15 16 17

for i=1:n-1} a(i,i+1:n)=0; %hacemos cero la columna i for k=i+1:n} l(k,i)=a(k,i)/a(i,i); a(k,i+1:n)=a(k,i+1:n)-l(k,i)*a(i,i+1:n); end end

La matriz U estar´ıa entonces almacenada en a.

Ejercicio 3.10 Una forma compacta de devolver la descomposici´ on LU es insertar L en la parte triangular inferior de a. De esta forma, tras aplicar el método, a tiene en la parte superior la matriz U , mientras que por debajo de la diagonal encontramos L (exceptuando su diagonal de 1s). Implementa esta modificaci´ on. 46

´ I LECCION

3.2.2.

Cap´ ıtulo


Casos particulares

M´ etodo de Cholesky

B o r r a d o r En una gran variedad de problemas pr´ acticos aparecen matrices simétricas definidas positivas. Este tipo de matrices puede descomponerse en la forma A = LL

donde

 

L=

11 21 22 .. .. . . . . . n1 n2 nn

···

 

.

Gracias a la simetr´ıa de la matriz, tanto el n´ umero de operaciones como de posiciones de memoria requeridos pueden reducirse a la mitad. El algoritmo resultante es conocido como el método de Cholesky.

M´ etodo de Cholesky 01

for k = 1:n

   −  −  k−1

kk =

02

2kr

akk

r=1

for j = k + 1:n

03

k−1

 jk = a jk

04

 jr kr /kk

r=1

05 06

end

end

Ejercicio 3.11 Implementa una funci´ on que tenga como entrada una matriz A y devuelva la matriz L correspondiente. Debe avisar si la descomposici´ on no ha podido llevarse a cabo. Implementa también una segunda funci´ on que tenga como entradas la matriz L triangular y un término independiente b y que devuelva la soluci´ on del sistema (LL )x = b.

Para ello se requiere la resoluci´ on de los sistemas triangulares L x = y.

L y = b,

LU con permutaci´ on

El método de Gauss con pivotaje parcial es equivalente a la decomposici´ on P A = LU 47

´ I LECCION


donde P es el resultado de permutar las filas (o columnas) de la identidad. Alternativamente, equivale a una descomposici´ on de la forma

B o r r a d o r 

A = LU





donde L = P −1 L, de forma que L es una permutaci´ on de la matriz triangular inferior9 . La siguiente subrutina devuelve esa descomposici´ on.

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

% % % % % % %

LUPERMUTACION

[L,U]=LUPERMUTACION(A)

devuelve U triangular superior, L permutacion por filas de una matriz triangular inferior con 1s en la diagonal de forma que A=L*U

function [l,u]= LUPermutacion(a) n=length(a); p=1:n;

for i=1:n-1 [maximo,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1; p([i r])=p([r i]); for k=i+1:n l(p(k),i)=a(p(k),i)/a(p(i),i); a(p(k),i:n)=a(p(k),i:n)-l(p(k),i)*a(p(i),i:n); end end for i=1:n l(p(i),i)=1; end u=a(p,:); return

3.2.3.

Comandos correspondientes en Matlab

Todas las factorizaciones vistas con anterioridad est´ an, por supuesto, implementadas en Matlab. Algunos de los comandos relacionados son 9

Esto es, es el resultado de reordenar las filas de L. 48

´ I LECCION

Cap´ ıtulo


on de una triangular inferior [l,u]=lu(a) devuelve u triangular superior, l permutaci´ con 1s en la diagonal de forma que a=l*u. [l,u,p]=lu(a) devuelve u triangular superior, l triangular inferior con 1s en la diagonal y p matriz de permutaci´ on de forma que p*a=l*u.

B o r r a d o r r=chol(a) devuelve r triangular superior de forma que a=r’*r. Observa que con las notaciones introducidas r es precisamente la traspuesta de la matriz

L, expuesta en nuestro algoritmo. El comando asume que la matriz es simétrica por lo que s´ olo trabaja con la parte superior de la matriz.

Otra descomposici´ on habitual10 es la denominada QR que devuelve Q ortogonal (es decir, Q Q = I n) y R triangular superior de forma que A = QR. El comando encargado de esta tarea es qr. Con estas instrucciones la soluci´ on de un sistema utilizando la descomposici´ on LU se ejecuta con las siguientes l´ıneas [l,u]=lu(a); x=u\(l\b);

La colocaci´ on de los paréntesis es esencial. Con u l b se calcula (u−1 l)−1 b que obviamente no tiene nada que ver con la soluci´ on del sistema. No hay que preocuparse por el hecho de que las matrices sean triangulares (o permutaci´ on de una triangular). Matlab, y en concreto la instrucci´ on \ detecta esto y resolver´ a el sistema por sustituci´ on progresiva (o regresiva), sin intentar realizar la eliminaci´ on gaussiana.

\\

Nota hist´ orica11

Ideas similares a la eliminación gaussiana pueden encontrarse muchos siglos atr´ as, con referencias que se remontan a las matem´ aticas babil´ onicas y chinas. Carl Friedreich Gauss introdujo el método que lleva su nombre entorno a 1800 cuando trataba de resolver un problema de ajuste por m´ınimos cuadrados relacionado con el c´ alculo de la o´rbita del asteroide Palas. Parece ser que Joseph Louis Lagrange hab´ıa utilizado ideas similares 50 años antes para dilucidar si una forma cuadr´ atica (hoy dir´ıamos matriz) era definida positiva. El matemático alem´ an Carl Gustav Jacob Jacobi extendi´ o la idea de la eliminación gaussiana a matrices arbitrarias. Es rese˜ nable que la noci´ on de matriz tal como la conocemos ahora era desconocida para Gauss y Lagrange. El concepto de matriz, y el a´lgebra asociada (esto es, las operaciones) habr´ıan de esperar a los trabajos de James J. Sylvester (que en 1848 introdujo el término matriz) y de Arthur Cayley (que siete a˜ nos después defini´ o el producto matricial identific´ a ndolo con el c´ alculo de la composición de aplicaciones lineales y defini´ o la inversa de una matriz). Importantes fueron también las contribuciones del f´ısico Hermann 10

Veremos dos algoritmos para obtener esta descomposición en la Lección IV. Aunque para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales la descomposició n QR es más estable num´ ericamente que la LU, se suele optar por esta última por tener un menor coste computacional (aproximadamente la mitad). 11 Las principales referencias utilizadas para esta nota han sido “Very Early Days of Matrix Computations”, Beresford Parlett en SIAM News, 3, no 9; “Matrix Algorithms”, G.W. Stewart; “Computer solutions of large system of equations”, G. Merant y “An introduction to Numerical Analysis”, E. Süli y D. Mayers. Estas referencias están completamente detalladas en la bibliograf´ıa. 49

´ I LECCION


Grassmann (introdujo la primera a´lgebra vectorial no conmutativa, basada en el producto vectorial de dos vectores; consider´ o también el producto de un vector fila por un vector columna que daba lugar a una matriz de rango uno), Willard Gibbs y Paul A. Dirac. La equivalencia entre la descomposici´ on LU y la eliminación gaussiana parece que fue probada por primera vez por Paul S. Dwyer en 1944. Curiosamente, la descomposici´ on de Cholesky es anterior. Publicado p´ ostumamente en 1924 en una revista de Geodesia (André-Louis Cholesky muri´ o en 1918). El trabajo original trataba sobre la resoluci´ on de un problema de ajuste por m´ınimos cuadrados y pas´ o desapercibido hasta que fue rescatado por John Todd a finales de los a˜ nos 1940. Los primeros an´ alisis sobre la estabilidad numérica de la eliminaci´ on gaussiana, es decir la viabilidad de su programaci´ on, se remontan a los trabajos de Harold Hotelling, 12 Alan Turing , John von Neumann y Herman Heine Goldstine. Los resultados iniciales eran descorazonadores. Harold Hotelling prob´ o en torno a 1940 que el error de redondeo n podr´ıa crecer como 4 donde n era el orden de la matriz. Este resultado colocaba al método de Gauss como un método inviable para la resoluci´ on de grandes sistemas lineales. Turing llegó a resultados similares de manera informal. El an´ alisis de Neumann y Goldstine ya probaba que el método era estable para matrices definidas positivas13 . James H. Wilkinson, reconocido universalmente como el padre del an´ alisis moderno de estabilidad (frente a los errores de redondeo), extendi´ o el an´ alisis a matrices generales y mostr´ o que el pivotaje mejoraba enormemente la estabilidad del método. Lo m´ as curioso es que el an´ alisis inicial estaba enfocado m´ as hacia el c´ alculo de la inversa de la matriz que al método de Gauss. Como curiosidad final, Cleve Moler, programador original de Matlab, cita14 a Wilkinson y Todd entre las personas que tuvieron una gran influencia en su formaci´ on y por ende en los or´ıgenes de Matlab.

B o r r a d o r 12

La vida de Alan Turing es una de las más trágicas en historia de las matemáticas. Dotado de una inteligencia precoz, realizó contribuciones importantes en lógica y computación. Trabajó durante la segunda guerra mundial en Bletchley Park en el descifrado de los códigos alemanes encriptados con la máquina Enigma mediante la utilización del primer ordenador electrónico en el mundo (Colossus). El papel que este trabajo anónimo tuvo en la victoria aliada, los alemanes siempre estuvieron seguros de que su código era indescifrable, s´ olo ha empezado a reconocerse en fechas recientes. La presión y aislamiento a la que Turing fue sometido por su homosexualidad, llegando incluso a ser detenido por ello, le llevó al suicidio en 1954 despu´ es de haberse sometido a un tratamiento con bromuro para curarle de su enfermedad. 13 En los primeros años se sugirió incluso resolución de un sistema Ax = b mediante las ecuaciones normales A Ax = Ab (A A es simétrica y definida positiva). 14 http://www.mathworks.com/company/newsletters/news notes/clevescorner/dec04.html 50

B o r r a d o r Lecci´ o n II

Programaci´ on avanzada en Matlab. M´ etodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

51

B o r r a d o r


Homer: Marge? Since I’m not talking to Lisa, would you please ask her to pass me the syrup? Marge: Dear, please pass your father the syrup, Lisa. Lisa: Bart, tell Dad I will only pass the syrup if it won’t be used on any meat product. Bart: You dunkin’ your sausages in that syrup homeboy? Homer: Marge, tell Bart I just want to drink a nice glass of syrup like I do every morning. Marge: Tell him yourself, you’re ignoring Lisa, not Bart. Homer: Bart, thank your mother for pointing that out. Marge: Homer, you’re not not-talking to me and secondly I heard what you said. Homer: Lisa, tell your mother to get off my case. Bart: Uhhh, dad, Lisa’s the one you’re not talking to. Homer: Bart, go to your room. The Simpsons, Episodio 5, temporada 5, Lisa the Vegetarian

En el primer apartado entraremos en aspectos m´ as avanzados en el tratamiento de vectores y matrices en Matlab, haciendo hincapié especial en la manipulaci´ on de matrices sparse . Veremos también c´ omo se pueden implementar funciones donde el n´ umero de argumentos de entrada y salida son variables. En la parte matem´ atica, tocaremos la teor´ıa b´ asica de métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales. Empezaremos con los métodos cl´ asicos: Jacobi, Gauss–Seidel y relajaci´ on de Young, para pasar luego a métodos m´ as modernos y elaborados: el método del Gradiente y especialmente, el método del Gradiente Conjugado . En esta lecci´ on nos permitiremos hacer algo de Matem´ aticas. Animamos a que el lector no se asuste por ello y a que trate de entender los enunciados y las demostraciones que se ´ ofrecen. Para ello se asumen unos conocimientos m´ınimos en Algebra Lineal.

53

B o r r a d o r


Matlab: programaci´ on avanzada 4.1.

Retorno a las matrices

A estas alturas el lector ya deber´ıa estar convencido sobre las capacidades de Matlab en lo que se refiere al manejo de enormes cantidades de memoria. En esta secci´ on expondremos algunos comandos adicionales y entraremos con cierto detalle en la manipulaci´ on 1 de matrices sparse .

4.1.1.

Acceso a partes estructuradas de una matriz

En ocasiones es importante tomar partes precisas de una matriz que no son necesariamente partes de filas, columnas o simplemente submatrices (estas acciones ya se trataron en la primera lecci´ on). Para este fin nos pueden servir las siguientes instrucciones diag

triu

tril

La primera toma la diagonal de una matriz mientras que la segunda y tercera toman la parte triangular superior (upper ) e inferior (lower ) respectivamente. Adem´ as estos comandos son algo m´ as flexibles de lo que pueda parecer a simple vista como veremos a continuaci´ on. Empecemos introduciendo una matriz >> a=[11 12 13; 21 22 23; 31 32 33];

El resultado de los siguientes comandos es, a la luz de lo anterior, esperable >> diag(a) ans = 11 22 33

1

Aceptaremos este anglicismo en lo que sigue. En ocasiones este vocablo se traduce por matrices huecas o matrices dispersas . 55

´ II LECCION

4.1 Retorno a las matrices

>> triu(a)

B o r r a d o r ans = 11 0 0

12 22 0

13 23 33

>> tril(a) ans = 11 21 31

0 22 32

0 0 33

El usuario puede especificar qué diagonal se escoge, o a partir de qué diagonal se toma la matriz triangular. La diagonal principal es la cero y las subdiagonales inferiores (respectivamente superiores) est´ an numeradas consecutivamente con n´ umeros enteros negativos (respectivamente positivos). El siguiente ejemplo ilustra estas caracter´ısticas. >> diag(a,-1) ans =

21 32

>> tril(a,-1) ans =

0 21 31

0 0 32

0 0 0

>> triu(a,0) ans =

11 0 0

12 22 0

13 23 33

on que dada una matriz a devuelva un vector d con los Ejercicio 4.1 Programa una funci´ elementos de la diagonal, una matriz triangular superior u con todos los elementos de a situados 56

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

4. Matlab: programaci´ on avanzada

encima de la diagonal superior y l una matriz triangular inferior con todas las entradas de debajo de la diagonal principal.

Ejercicio 4.2 ¿Qué sucede si aplicamos los comandos anteriores a matrices rectangulares?.

B o r r a d o r Con diag podemos también construir a partir de un vector una matriz diagonal >> diag([1 2])

% es lo mismo que diag([1 2],0)

ans =

1 0

0 2

>> diag([1 2],1) ans =

0 0 0

1 0 0

0 2 0

Ejercicio 4.3 ¿C´ omo utilizar´ıas el comando diag para generar una matriz con la diagonal de una dada?. Nota. El comando blkdiag permite construir matrices diagonales por bloques: >> blkdiag(1,[1 2; 3 4], 5) ans=

1 0 0 0

0 1 3 0

0 2 4 0

0 0 0 5



Trasposici´ on de matrices

Dada una matriz A, la matriz traspuesta A es la matriz resultante de intercambiar las filas con las columnas de A. Esto es, las filas de A pasan a ser las columnas de A . Esta operaci´ on se denota en Matlab con “ ’ ” : >> a=[1 2 3; 0 2 4]; >> a’ ans =

57

´ II LECCION


1 2 3

0 2 4

B o r r a d o r Obviamente, tambi´ en se aplica sobre vectores:

>> b=[1;2;3]; % vector COLUMNA con tres elementos >> b’ % vemos ahora un vector FILA ans =

1

2

3

De nuevo nos encontramos con esta propiedad sobre la que ya hemos incidido: Matlab distingue entre vectores filas y columnas, y esta diferencia se hace especialmente palpable (y en ocasiones molesta) a la hora de realizar operaciones como productos matriz-vector.

Nota. En Matlab existe también el operador “.’”. Sobre matrices reales funciona exactamente igual que el comando anterior, pero no as´ı sobre n´ umeros complejos. Adem´ as de trasponer, “’”, conjuga todas las entradas. Es decir, cambia el signo a la parte imaginaria de cada elemento. Matem´ aticamente hablando, éste es el operador de trasposici´ on o con∗ jugación, denotado habitualmente en matem´ aticas con “A ”. Por contra, “.’” se limita a intercambiar filas por columnas en la matriz: >> clear i % i es ahora la unidad imaginaria >> a=[i 1-2i; 1 0.3+4i]; >> a.’ ans =

0 + 1.0000i 1.0000 - 2.0000i

1.0000 0.3000 + 4.0000i

>> a’ ans =

0 - 1.0000i 1.0000 + 2.0000i

1.0000 0.3000 - 4.0000i



Dada una matriz a, si ejecutamos a(:), obtenemos el vector columna que se construye concatenando las columnas de a. Técnicamente hablando, nos est´ a mostrando la matriz tal como se guarda en memoria. Por ejemplo, 58

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


>> a=[1 2 3; 0 2 4]; >> a(:)


1 0 2 2 3 4

>> a=a’; %trasponemos a >> a(:) ans =

1 2 3 0 2 4

Esto puede utilizarse para hacer un par de trucos :

En ocasiones la entrada de una funci´ on es un vector, sin importar si éste es fila o columna. La instrucci´ on

>> b=b(:);

hará de b un vector columna, sea cual sea su formato inicial. Si lo que se desea es un vector fila, basta con trasponer >> b=b(:)’; % b=b(:).’ mejor por si b es complejo

Se puede utilizar para introducir las entradas de una matriz por columnas. A modo de ejemplo, >> a=zeros(4,3); >> a(:)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] a =

59

´ II LECCION

4.1 Retorno a las matrices 1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

B o r r a d o r >> a2=zeros(2,6); >> a2(:)=a(:) a2=

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

Nota. El comando reshape permite modificar las dimensiones de una matriz (o array en general). Es m´ as flexible que el comando “:”. 

4.1.2.

M´ as operaciones sobre matrices

Hasta ahora las operaciones matriciales que han centrado nuestra atenci´ on son las fundamentales: suma y producto. En Matlab están también implementadas otras operaciones ´ comunes en el Algebra Lineal. Entre todas ellas destacamos dot: Calcula el producto escalar de dos vectores: >> dot([1 2 3],[4 5 6]) ans =

32

Devuelve el produto 1 4 +2 5 +3 6 = 32. Este comando no distingue entre vectores filas y columnas, y es aplicable siempre que tengan la misma longitud.

·

·

·

La funci´ on se puede aplicar a matrices bien por columnas, ésta es la forma est´ andar2 , o por filas. >> a=[1 2 3; 4 5 6]; a2=[1 1 1; 1 1 1]; >> dot(a,a2) % producto por columnas ans =

5

2

7

9

Recuerda la predilecci´ on de Matlab por las columnas. 60

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


>> dot(a,a2,2) % producto por filas ans =

B o r r a d o r 6 15

en a matrices, en el sum: calcula la suma de las entradas un vector. Es aplicable tambi´ sentido del comando anterior

>> v=[1 2 3]; a=[1 2 3; 4 5 6]; >> sum(v) ans =

6

>> sum(a)

% suma por columnas

ans =

5

7

>> sum(a,2)

9

% suma por filas

ans =

6 15

prod: Como sum pero con el producto.

aximo en un vector. Puede devolver su posici´ on en el vector. Aplicado max: Calcula el m´ sobre matrices funciona de la misma forma que dot o sum. Esto es, devuelve el máximo de cada columna por defecto, o de cada fila si as´ı se le indica >> v=[-2 -5 -3]; a=[2 3 8; -4 2 9]; >> max(v) ans=

-2

>> [p,m]=max(abs(v)); [p,m]

61

´ II LECCION

4.1 Retorno a las matrices ans = 5

2

B o r r a d o r >> max(a) ans =

2

3

9

>> max(a,[],2)

% busqueda por filas

ans =

8 9 >> [m,p]=max(a,[],2); p % posicion del maximo ans=

1 1

La raz´ on por la que se utiliza [] en la l´ınea anterior es que esta instrucci´ on también se puede utilizar para comparar dos arrays del mismo tama˜ no >> a1=[3 1 2; 5 3 2]; a2=[4 2 1; 1 2 3]; >> max(a1,a2) ans =

4 5

2 3

2 3

Al insertar el vac´ıo indicamos a Matlab que no existe un segundo vector y que debe proceder a buscar el m´ aximo de a en su segunda dimensi´ on, esto es, el máximo por filas.

min: Calcula el m´ınimo procediendo exactamente igual que max.

norm: norma de una matriz o vector. Se puede escoger entre varias normas.

>> v=[1 2 3];a=[1 2; 3 4]; >> [norm(v) norm(v,1) norm(v,inf)] % norma 2, 1 e infinito de v ans =

62

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

3.7417

6.0000


3.0000

>> [norm(a) norm(a,1) norm(a,inf)] % normas matriciales


5.4650

6.0000

7.0000

En la Sección 5.2.3 comentaremos brevemente la definici´ on de estas normas.

rank: rango numérico de una matriz. Esto es, el n´ umero m´ a ximo de filas o columnas

linealmente independientes3 .

cond: Calcula norm(a)*norm(inv(a)), el condicionamiento de una matriz4 . El condi-

cionamiento da una medida de la sensibilidad del sistema a perturbaciones en el término independiente.

as rcond: estimador del inverso del condicionamiento de una matriz. Es sensiblemente m´ económico de calcular que cond.

Nota. Cuando el comando dot se aplica a dos vectores complejos, procede siempre a conjugar el primer vector . Es decir, matemáticamente n

dot(u, v)





ui vi .

i=1

As´ı,

>> u=[1+i 2+2i]; v=[2 1]; >> dot(u,v) ans =

4.0000 - 4.0000i

>> dot(v,u) ans =

4.0000 + 4.0000i



omo sumar´ıas los elementos de una matriz?. ¿C´ omo encontrar´ıas el m´ınimo Ejercicio 4.4 ¿C´ y el máximo?. ¿Y su posici´ on? 3

Una matriz tiene, en general, rango máximo por los errores de precisión de la máquina. Este comando hace una estimación del rango, eliminando este factor. 4 En realidad no construye la inversa de la matriz por ser costoso. 63

´ II LECCION


4.1.3.

Matrices sparse

Las matrices sparse son una importante clase de matrices que surge en diferentes ámbitos del An´ alisis Numérico y de las Matem´ aticas y ciencias en general (elementos finitos, teor´ıa de grafos,...). En la Figura 4.1 se puede ver un ejemplo de una matriz sparse simétrica donde los puntos indican las entradas diferentes de cero. Desde una o´ptica puramente computacional hace falta desarrollar sistemas de almacenamiento especiales dado que la inmensa mayor´ıa de las entradas no deben ser almacenadas porque son nulas.

B o r r a d o r Figura 4.1: Diagrama de un matriz sparse 400

× 400 con 2690 elementos no nulos.

Matlab provee de forma muy sencilla ese almacenamiento. Con >>a=sparse(100,100); b=sparse(100,1);

declaramos a como una matriz sparse 100 100 y un vector columna b de 100 elementos. Todas las entradas son inicialmente ceros, pero se guarda la estructura b´ asica para introducir los elementos no nulos

×

>> a=sparse(100,100) a =

All zero sparse: 100-by-100

>> a(4,4)=1; a(8,9)=-4; a(80,45)=-1; a(99,100)=4; >> a a =

64

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

(4,4) (8,9) (80,45) (99,100)


1 -4 -1 4

B o r r a d o r Para transformar una matriz llena (convencional) en una matriz sparse podemos utilizar también este comando >> a=diag([1 2 3 4 5]); >> a=sparse(a) a =

(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5)

1 2 3 4 5

Con full realizamos la operaci´ on inversa: transforma una matriz sparse en una matriz llena, >> a=full(a) a =

1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 5

La instrucci´ on spalloc tiene un funcionamiento muy similar a sparse. Es u ´ til si se sabe el n´ umero de elementos no nulos que tendr´ a dicha matriz. Concretamente >> a=spalloc(8,7,12)

declara una matriz 8 7 con a lo sumo 12 elementos no nulos. Al informar de cu´ antos elementos no nulos se esperan Matlab hace una gesti´ on más eficiente de la memoria. El comando nnz (Non zeros ) nos informa del n´ umero de elementos no nulos de una matriz, mientras que su esquema (pattern ), como el que aparece en la Figura 4.1, se obtiene con spy:

×

>> a=sparse(10,10); >> a(1,4)=1; a(2,8)=-4; a(3,9)=1; a(7,8)=5; >> nnz(a) ans=

65

´ II LECCION

4.2 Argumentos de funciones 4 >> spy(a)

B o r r a d o r La gr´ afica se despliega en una ventana separada. Todas las operaciones que hemos visto est´ an adaptadas al nuevo entorno. As´ı, los operadores :

triu

tril

diag

devuelven vectores/matrices sparse. Las operaciones *

+

.*

dot

’

están asimismo optimizadas. El problema de generar c´ odigo eficiente no es tan simple como pudiera parecer. Por ejemplo, si se aplica la funci´ on dot a dos vectores sparse es preciso saber antes qu´ e entradas hay que multiplicar. De otra forma podr´ıamos estar dedicando un alto porcentaje de nuestro esfuerzo en simplemente calcular productos por cero. Afortunadamente, Matlab hace ese trabajo por nosotros. Por otro lado, aparecen una nueva serie de comandos, que devuelven matrices sparse, entre los que merece la pena destacar aloga a diag; spdiags maneja las diagonales de una matriz de forma an´

aloga a eye); speye devuelve una matriz diagonal con unos, o similar (an´

spones matriz de 1s, similar a ones;

sprand, sprandn construyen una matriz sparse con entradas aleatorias (similar a rand);

Ejercicio 4.5 Con la ayuda de Matlab averigua la sintaxis concreta de los comandos anteriores y comprueba con alg´ un ejemplo c´ omo funcionan.

4.2.

Argumentos de funciones

Veremos a continuaci´ o n c´ o mo se pueden programar funciones en las que tanto el número de argumentos de entrada como de salida sean variables. Esta caracter´ıstica dota de una mayor flexibilidad a la programaci´ on en Matlab. Los comandos esenciales que precisamos son varargin

nargin

varargout

nargout

La instrucciones nargin y nargout informan respectivamente sobre el n´ umero de variables de entrada y el n´ umero de variables de salida (n umber of in put arg uments y n umber of out put arg uments). Una función puede aceptar una serie de argumentos fijos, al estilo de las funciones que programamos en la lecci´ on anterior, y un conjunto de argumentos opcionales, que pueden 66

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


ser o no especificados por el usuario. Para su acceso se utilizan respectivamente varargin (var iable in put arg ument) y varargout (var iable out put arg ument) mediante llaves ({})5 . Mostramos a continuaci´ on un ejemplo de utilizaci´ on conjunta de estas nuevas instrucciones. En la cabecera se informa de qué hace la funci´ on, dependiendo de los argumentos de entrada y salida.

B o r r a d o r 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

% DESCOMPOSICIONLU % % [L,U] = DESCOMPOSICIONLU(A) % Devuelve U triang superior, L permutacion de una % triang inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU % % [L,U,X] = DESCOMPOSICIONLU(A,B) % Devuelve U triang superior, L permutacion de una % triang. inferior con 1s en la diagonal tal % que A=LU y la solucion del sistema AX=B function varargout=DescomposicionLU(a,varargin) [l,u]=lu(a);

% descomposicion LU

if nargin==1 & nargout==2 varargout{1}=l; varargout{2}=u; elseif nargin==2 & nargout==3 b=varargin{1}; % leemos el primer argumento opcional... varargout{1}=l; varargout{2}=u; varargout{3}=u\(l\b); % solucion del sistema end

Como puede comprobarse, la funci´ on precisa de un argumento obligatorio, la matriz a, uno opcional, el t´ ermino independiente, y devuelve dos o tres argumentos seg´ un se requiera. Observa los resultados que se han obtenido para varios ejemplos: >> a=[1 3; 2 4]; >> [l,u]=DescomposicionLU(a) l =

0.5000 1.0000

1.0000 0

u =

5

Las variables varargin y varargout son de un tipo especial denominado cell array . En la Lección IV estudiaremos su funcionamiento con más detalle. 67

´ II LECCION

4.2 Argumentos de funciones 2 0

4 1

B o r r a d o r >> [l,u,x]=DescomposicionLU(a,[1 2].’) l =

0.5000 1.0000

1.0000 0

u =

2 0

4 1

x =

1 0

>> [l,u]=DescomposicionLU(a,[1 2]) %falta un arg. de salida ??? Error using ==> DescomposicionLU Too many output arguments.

>> [l,u,x]=DescomposicionLU(a) %faltan arg. de entrada ??? Error using ==> DescomposicionLU Too many output arguments.

on anterior implementa una funci´ on que opere seg´ un la Ejercicio 4.6 A partir de la funci´ “siguiente cabecera” % % % % % % % % % % % % % % %

DESCOMPOSICIONLU2 R

= DESCOMPOSICIONLU2(A) Si A es simetrica definida positiva devuelve R triang superior tal que A=R’R [R,X] = DESCOMPOSICIONLU2(A,B) Si A es simetrica definida positiva devuelve R triang superior tal que A=R’R y la solucion del sistema AX=B [L,U] = DESCOMPOSICIONLU2(A) Devuelve U triang superior, L permutacion de una triang. inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU [L,U,X]= DESCOMPOSICIONLU2(A,B) Devuelve U triang superior, L permutacion de 68

´ II LECCION % %

Cap´ ıtulo


una triang. inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU y la solucion del sistema AX=B

on A’==A para testar si la matriz es simétrica. ¿Qué devuelve esta Nota: Realizar la comparaci´

B o r r a d o r comparaci´ on? ¿Cómo se puede utilizar para comprobar si efectivamente la matriz es simétrica? ¿Y para ver que es definida positiva?.

69

´ II LECCION

4.2 Argumentos de funciones

B o r r a d o r 70


Matrices sparse en Matem´ aticas. M´ etodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales 5.1.

M´ etodo de Gauss para matrices sparse

Esta secci´ on se centra en el estudio del método de Gauss para matrices sparse. Mostraremos los problemas que presenta la aplicaci´ on de este algoritmo a este tipo de matrices, especialmente el efecto relleno y algunas estrategias de reordenamiento que mitigan estos efectos adversos. Sirve asimismo para ahondar en la problem´ atica de los métodos directos y allanar y fundamentar los métodos iterativos que se tratan en las siguientes secciones. Recordemos que en Matlab la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones utilizando >> x=a\b;

se basa en el método de Gauss (o alguna de sus variantes). Puede plantearse la cuesti´ on de si es adecuado utilizar “\” para matrices con formas especiales como por ejemplo matrices triangulares o permutaciones de éstas, para las que la eliminaci´ on gaussiana no es necesaria puesto que las variables se pueden despejar de forma progresiva. Afortunadamente Matlab detecta estas estructuras b´ asicas y resuelve de una manera o´ptima el sistema. Si se consulta la ayuda para este comando se puede leer que se reconoce si una matriz es, por ejemplo, sparse o llena, simétrica o no simétrica, triangular o permutaci´ on de ésta, 1 bandeada (los elementos concentrados en torno a la diagonal), de Hessenberg (con todos los elementos por debajo de la subdiagonal principal nulos), etc., y aplica el método directo m´ as conveniente en cada caso. Testar si una matriz pertenece a uno de estos tipos se puede realizar en un n´ umero de operaciones despreciable respecto a las del método de Gauss. Hemos visto al final de la Lección I que el m´ etodo de Gauss es matem´ aticamente equivalente a calcular dos matrices L y U triangular inferior y superior respectivamente con 1s en la diagonal de L de forma que A = LU.

1

Ver Lección IV

71

´ II LECCION

5.1 Método de Gauss para matrices sparse

Si se dispone de esta descomposici´ on, la resolución del sistema de ecuaciones se reduce a la resoluci´ on de dos sistemas triangulares, Ax = b,

Ly = b,



U x = y,

B o r r a d o r o en código de Matlab2

[l,u]=lu(a); x=u\(l\b);

Una caracter´ıstica muy habitual del método de Gauss para matrices sparse es el efecto relleno (en inglés fill in ) , esto es, la inserción de nuevos elementos en el proceso. Por ejemplo, tras un uńico paso del método de Gauss

  

x x x x x x x x x x x x x x x x

   ∼  

x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

  

y la matriz es ahora llena. Sin llegar a esos extremos, es habitual que las necesidades de memoria se multipliquen al aplicar la eliminaci´ on gaussiana. En la descomposici´ on LU esto se refleja en un incremento en el n´ umero de entradas no nulas de la matriz con los problemas que ello lleva consigo (mayores requerimientos de memoria, mayor costo computacional,...). Vamos a ver como podemos reducir este molesto comportamiento con un reordenamiento adecuado de filas (ecuaciones) y columnas (inc´ ognitas). Dado que en aplicaciones pr´ acticas las matrices simétricas son muy comunes3 nos restringiremos en lo que sigue a esta familia de matrices. Con el fin de preservar la simetr´ıa, cualquier intercambio de filas debe ser seguido por el intercambio de columnas correspondientes:

 

x 0 0 x x

0 x x 0 0

0 x x 0 x

x 0 0 x 0

x 0 x 0 x

En los comandos

 

1

↔3 −→

symrcm

 

x x 0 0 x

x x 0 0 0

0 0 x x x

0 0 x x 0

x 0 x 0 x

 

symmmd

están implementados dos algoritmos de reordenaci´ on muy populares: el algoritmo de Cuthill-McKee inverso y el algoritmo de m´ınimo grado . El primero reordena de forma que los términos no nulos de la matriz tienden a estar concentrados cerca de la diagonal. El algoritmo de m´ınimo grado por su parte tiende a mover los elementos no nulos hacia el final de la matriz de forma que la estructura inicial de la matriz es esencialmente diagonal y el efecto relleno surge cuando el método de Gauss est´ a ya muy avanzado. 2

Recuerda la colocación de los parántesis. O al menos matrices con estructura simétrica, esto es, a(i, j) = 0 igualmente válido para este tipo de matrices. 3

 ⇔ a( j, i) = 0. Todo lo que sigue es

72

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos

B o r r a d o r Figura 5.1: Resultado de reordenar las filas y columnas con symrcm y symmmd.

Este tipo de técnicas tuvieron su origen en la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales mediante métodos num´ ericos. Un buen ejemplo lo encontramos en la Figura 5.1 obtenido al aplicar estas dos reordenaciones a una matriz proveniente de la resoluci´ on de la ecuación de Laplace por elementos finitos. Observa como se reduce el n´ umero de entradas en las matrices L y U cuando se aplica alguno de los algoritmos anteriores (referido en la figura como nz). La descomposici´ on LU debe calcularse sin pivotaje puesto que en otro caso el reordenamiento que introduce el método de Gauss con pivotaje arruina el orden introducido con los algoritmos de reordenamiento anteriores. Para ello se debe utilizar el comando >> [l,u]=lu(a,0);

El segundo argumento, que s´ olo est´ a disponible si la matriz a es sparse, fija un umbral para la realizaci´ on del pivotaje parcial. El valor 1 es el de defecto. De esta forma, valores próximos a cero obligan a que el pivotaje se produzca s´ olo cuando el desequilibrio entre 73

´ II LECCION

5.1 Método de Gauss para matrices sparse

el pivote y el resto de elementos de la columna sea muy acusado. Surge seguidamente la cuestión de estabilidad del método sin pivotaje. Afortunadamente para matrices definidas positivas o diagonal dominantes, el método de Gauss sin pivotaje es estable num´ ericamente. La soluci´ on del (o de los) sistemas se lleva a cabo con

B o r r a d o r Soluci´ on con reordenamiento... 01 02 03 04

p=symmmd(a); [l,u]=lu(a(p,p)); x=l\b(p); x=u\x; x(p)=x;

% % % %

permutacion. vale tb p=symrcm(a); l y u son ahora "mas sparse" resolvemos los dos sistemas triangulares reordenamos las incognitas

En la l´ınea 01, el vector p recoge una permutaci´ o n de 1:n (n es el n´ umero de filas y columnas de a) que reduce el efecto relleno de L y U . La matriz a(p,p) es el resultado de reordenar ecuaciones e inc´ ognitas. La l´ınea 04 reordena las inc´ ognitas para recuperarlas en su orden original. Observa que la l´ınea 03 podr´ıa sustituirse simplemente por x=u\(l\b(p));

Nota. A partir de la versión 7.0, el comando symmmd que contiene el algoritmo de m´ınimo grado se ha declarado obsoleto y ser´ a eliminado en futuras versiones. Se recomienda  utilizar symamd. Comentarios finales

Si la matriz es además simétrica definida positiva podemos utilizar la descomposici´ on de Cholesky, A = LL

donde L es triangular inferior con elementos sobre la diagonal estrictamente positivos. El sistema se reduce ahora a dos sistemas triangulares L x = y.

L y = b,

La instrucci´ on correspondiente en Matlab es chol, que devuelve R triangular superior de forma que A = R R

(es decir, en la notaci´ on de estos apuntes, L = R). As´ı, el algoritmo anterior, con reordenación adecuada, queda ahora Soluci´ on con reordenamiento... 01 02 03 04

p=symmmd(a); r=chol(a(p,p)); x=r’\b(p); x=r\x; x(p)=x;

% % % %

permutacion. vale tb p=symrcm(a); r es ahora "mas sparse" resolvemos los dos sist. triang. reordenamos las incognitas

74

´ II LECCION

2

Cap´ ıtulo

4

1

2


4

1

2

4

2

4

2

1

1

4

B o r r a d o r 5

3

5

3

1

5

3

5

3

5

3

x

x

0

x

0

x

x

0

x

0

x

x

0

x

0

x

x

0

x

0

x

x

x

x

0

x

0

x

x

x

x

0

x

x

x

x

0

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x

x

x

0

x

x

0

0

0

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0

0

0

0

x

x

x

0

0

x

x

x

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0

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0

0

x

0

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0

0

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x

x

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0

0

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0

0

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x

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0

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0

0

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x

x

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0

x

x

0

0

0

0

x

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3

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5

2

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0

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x

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0

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x

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4

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0

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0

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0

0

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0

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0

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0

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x

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0

0

0

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0

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0

0

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0

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0

0

x

0

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0

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x

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0

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0

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0

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0

x

x

0

0

0

x

x

x

x

0

x

x

0

x

0

x

x

0

0

x

x

x

0

0

0

x

x

0

0

0

0

x

Figura 5.2: Eliminaci´ on gaussiana y su representaci´ on como un grafo. Efecto del reordenamiento.

La orden x=a\b realiza todo el proceso anterior de forma autom´ atica si a es sparse. Sin embargo en la forma que lo hemos expuesto podemos resolver reiteradamente sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes al disponer de la descomposición LU o´ LL . Queda m´ as allá de los contenidos de este curso explicar c´ omo funcionan los algoritmos implementados en symrcm y symmmd. Se puede se˜ nalar no obstante que ambos se basan en identificar la estructura de una matriz con la de un grafo no dirigido, donde dos nodos i y j están conectados si y sólo si a(i,j)=0. El proceso de eliminación gaussiana se ve como la eliminaci´ on sistemática de nodos y la creaci´ o n de nuevos enlaces entre los nodos restantes. Concretamente, si hacemos un cero con la fila i en la fila j, aparecen nuevos enlaces entre los nodos que estaban unidos con el nodo i y los conectados con j. El problema se reescribe ahora en términos de retirar los nodos en el orden adecuado de forma que se minimice el n´ umero de nuevos ejes creados (Figura 5.2).



Los gr´ aficos de la Figura 5.1 han sido creados a través del siguiente fichero script.

% Calculamos la matriz de elementos finitos para % un problema sobre un dominio en forma de L

[p,e,t]=initmesh(’lshapeg’,’Hmax’,0.2); % malla inicial 75

´ II LECCION

5.2 Métodos iterativos para sistemas lineales

[p,e,t]=refinemesh(’lshapeg’,p,e,t); % refinamiento [a,b]=assempde(’lshapeb’,p,e,t,1,0,1); % a es la matriz (sparse) y b el termino independiente

B o r r a d o r % Primera fila de dibujos [l,u]=lu(a,0); % no pivotaje figure(1) subplot(331); spy(a); title(’matriz original’) subplot(332); spy(l); title(’matriz L’) subplot(333); spy(u); title(’matriz U’)

% Segunda fila de dibujos p=symrcm(a); % reordenamiento filas y columnas [l,u]=lu(a(p,p),0); figure(1) subplot(334); spy(a(p,p)); title(’matriz permutada con symrcm’) subplot(335); spy(l); title(’matriz L’) subplot(336); spy(u); title(’matriz U’) % Tercera fila de dibujos p=symmmd(a); % reordenamiento filas y columnas [l,u]=lu(a(p,p),0); figure(1) subplot(337); spy(a(p,p)); title(’matriz permutada con symmmd’) subplot(338); spy(l); title(’matriz L’) subplot(339); spy(u); title(’matriz U’)

5.2.

M´ etodos iterativos para sistemas lineales

Cuando un sistema de ecuaciones lineales es de tama˜ no moderado4 , casi nadie duda en utilizar el m´ etodo de Gauss en alguna de sus m´ ultiples variantes (incluidas las descomposiciones matriciales). Sin embargo, la utilizaci´ on de métodos iterativos se torna imprescindible en problemas con matrices grandes, especialmente si son sparse, donde el método de Gauss presenta las siguientes dificultades: Es caro:

3

O(4n /3) operaciones

Es destructivo: retoca la matriz del sistema, y esto puede tener consecuencias muy poco deseables, como hemos visto con matrices sparse. Adem´ as requieren en muchas ocasiones guardar una copia de la matriz.

4

Es dif´ıcil definir qué se entiende por tamaño moderado. Ciertamente, tamaños enormes en la década de los a˜ nos 70 son ahora perfectamente manejables en un pequeño PC. 76

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


Para obtener una soluci´ on hace falta realizar todo el proceso: en pasos intermedios no se dispone de ninguna aproximaci´ on de la soluci´ on. Los métodos iterativos se introducen como un intento de salvar estas dificultades.

B o r r a d o r 5.2.1.

Definici´ on

Esencialmente, un método iterativo toma un sistema lineal Ax = b

y construye una sucesi´ on de vectores de forma que

xm

→ x,

cuando m

→ ∞.

La forma de construir esta sucesi´ on depende, obviamente de la matriz A, del término independiente y de c´ omo se arranque el método numérico (vector inicial). Existen multitud de esquemas diferentes pero la mayor´ıa comparten las siguientes desventajas: No siempre convergen en un n´ umero razonable de iteraciones, y en muchas ocasiones ni siquiera convergen. Los resultados te´ oricos sobre convergencia son a menudo pobres. Esto es, en general existe convergencia en situaciones mucho m´ as generales de lo que la teor´ıa predice. Además, chequear estas hip´ otesis puede resultar tan costoso como resolver el mismo sistema.

El u ´ ltimo punto merece cierto comentario. Los sistemas lineales provienen en general de problemas f´ısicos de los que se dispone de informaci´ on a priori, entre las que se pueden encontrar las hip´ otesis que aseguran la convergencia de un método iterativo. Por ejemplo, se puede saber que una matriz es definida positiva, y no hay necesidad por tanto de hacer esta comprobaci´ on. Por contra, los métodos iterativos tienen las siguientes e importantes ventajas:

Son m´ etodos no destructivos. No modifican la matriz del sistema y, en general, precisan s´ olo multiplicar por la matriz del sistema o por partes de ella. Suelen ser m´ as estables frente a los errores de redondeo5 .

Se dispone en cada paso de una aproximaci´ on de la solución.

5

Carl Friedrich Gauss, que introdujo un método precursor del método conocido actualmente como m´ etodo de Gauss–Seidel, comentaba en una carta a su colega Christian Ludwig que los cálculos se pod´ıan realizar aún cuando “se estuviese medio dormido” o “pensando en cosas más importantes”. No hay que olvidar que en su época todos los c´ alculos se hac´ıan a mano. En nuestros d´ıas, se plantea el mismo problema con los errores de redondeo. 77

´ II LECCION


5.2.2.

Detalles sobre la implementaci´ on

En un método iterativo no podemos esperar calcular la soluci´ on exacta, sino hallar una aproximaci´ on con una tolerancia prefijada. Por tanto debemos fijar un criterio de on se considere suficientemente parada que dé por terminado el método cuando la soluci´ buena. Esto no es grave. Los sistemas de ecuaciones lineales suelen provenir de métodos que calculan soluciones aproximadas de problemas f´ısicos e ingenieriles. No tiene pues sentido obcecarse en calcular la soluci´ on exacta de un problema aproximado. As´ı hemos de elegir un criterio de parada que termine la ejecuci´ on cuando la soluci´ on es suficientemente buena. Una posibilidad es medir la diferencia entre dos iteraciones consecutivas xm+1 xm

B o r r a d o r 

− 

en alguna norma que queda a elecci´ on del programador o del usuario. Si la diferencia es peque˜ na, se considera que estamos cerca de la soluci´ on y se finaliza el método. De nuevo nos encontramos con el problema de definir peque˜ no. Por ejemplo, una diferencia de 1.4 entre dos iteraciones puede ser grande si la soluci´ o n tiene un tama˜ no 10 −1 10 o peque˜ na si x 10 . x Por ello se puede hacer un promedio entre el error absoluto y el relativo. Concretamente, si x e y son dos iteraciones consecutivas, se puede fijar el criterio

 ≈ 01 02 03 04 05

 ≈

aux=norm(x-y); % norma 2 entre x e y if (aux
En la l´ınea 02 tenemos en cuenta tanto el error absoluto (eps1) como el error relativo (eps2). Estos valores son par´ ametros que fijan el criterio de parada y pueden ser dados por el usuario. Otros criterios se basan en calcular r = b Ax y calcular el tama˜ no. Es decir, medimos cuánto le falta a x para ser soluci´ on del sistema. El vector r recibe el nombre de residuo. Nos encontramos de nuevo con dos componentes del residuo, el primero relacionado con su tama˜ no relativo, con respecto al término independiente, y otra absoluta. Ambos se pueden controlar con

−

01 02 03 04 05

aux=norm(b-a*x); % residuo if (aux
Este criterio puede ser preferible si se dispone ya del residuo y no hay que calcularlo ex profeso. En muchos casos se toma simplemente eps1= 0. Por otro lado, y desde un punto de vista computacional, debemos evitar que el método entre en un bucle infinito. Es decir, fijar un n´ umero m´ aximo de iteraciones de forma que si se supera, se termine el método con un mensaje de error6 . Que un residuo sea peque˜ no 6

Existe otro problema: que la solución crezca de forma que supere la cantidad máxima representable en coma flotante ( overflow ). Matlab devolver´ıa inf o -inf. 78

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


o que dos iteraciones consecutivas cercanas indiquen proximidad a la soluci´ on exacta no siempre es cierto, pero suele ser muy buena se˜ nal.

B o r r a d o r 5.2.3.

M´ etodos iterativos cl´ asicos

El estudio y desarrollo de los métodos iterativos cl´ asicos, también denominados afines por su forma de construcci´ on, surgió con fuerza en los a˜ nos 50, aunque el origen de alguno de ellos se remonta al siglo XIX. El desarrollo de estos métodos fue paralelo al desarrollo de los ordenadores y vino muy condicionado por el tipo de problemas que se deseaban resolver. Estos problemas eran principalmente los provenientes de ecuaciones en derivadas parciales que daban lugar a matrices grandes y sparse. El uso de los métodos iterativos afines en nuestros d´ıas es menos habitual, habiendo sido superados por los métodos de tipo Krylov de los que el Gradiente Conjugado es sin lugar a dudas el representante m´ as popular. De hecho, los métodos cl´ asicos se utilizan en la actualidad como precondicionadores de los métodos m´ as modernos y potentes, es decir, como un preproceso que acelera la convergencia de los mismos. Sin embargo su simplicidad y el modo que tienen de ilustrar el dise˜ no y funcionamiento de un método iterativo fundamentan su exposici´ on en estos apuntes.

Conocimientos previos

Comenzaremos introduciendo algunas normas vectoriales que nos servir´ an para medir el tama˜ no de los vectores y matrices. Dado un vector

x := (x1 , x2 , . . . , xn )

n

∈R

consideramos las normas

x x

1

:=

∞

:=

x

|x | + |x | + . . . + |x |, máx |x |. 1

2

i=1,...,n

n

2

:=

i



x21 + x22 + . . . + x2n,

Es fácil ver que efectivamente las tres expresiones definen una norma en Rn . Las relaciones entre ellas vienen dadas por las cotas

x ≤ x ≤ √ nx , x ≤ x ≤ nx 2

1

2

∞

∞,

1

x ≤ x ≤ √ nx ∞

2

∞.

Observa que sin embargo estas constantes de equivalencia dependen de n. Todas ellas están implementadas en Matlab, como ya se vio en la Sección 4.1.2. Cada norma vectorial define a su vez una norma sobre las matrices

A = sup Ax x=1

denominada norma matricial inducida. En la expresión anterior sup es el supremo sobre todos los vectores de norma 1, que es de hecho un m´ aximo (el supremo se alcanza). Se puede comprobar que n

A

1

= máx

j=1,...,n

|

n

aij ,

i=1

A

|

∞

79

= máx

i=1,...,n

|

aij .

j=1

|

´ II LECCION

5.2 Métodos iterativos para sistemas lineales La norma concreto

·

2

tiene una expresi´ on más complicada que dificulta su c´ alculo pr´ actico. En

A

2

=



ρ(AA)

B o r r a d o r donde ρ(B), denominado radio espectral , denota el mayor de los valores absolutos de los valores propios de B (ver Lecci´ o n IV). Si A es simétrica, se tiene simplemente que A 2 = ρ(A). En cualquier caso, el comando norm de Matlab aplicado a matrices devuelve las correspondientes normas matriciales:

 

>> norm(a,1) >> norm(a,inf) >> norm(a,2)

% norma 1 % norma infinito % norma 2. Vale tambien norm(a)

Una norma vectorial y su norma matricial inducida se relacionan mediante Ax

  

≤

norma vectorial

x

A

  

norma matricial

 

.

norma vectorial

Es decir, A mide el máximo alargamiento que multiplicar por A puede producir en un vector medido en la norma .

 

·

Definici´ on y condiciones de convergencia

Los métodos iterativos lineales (o basados en iteraciones afines) comienzan considerando una partici´ on de A tal que A = M N

−

con M invertible. As´ı, si x es solución de Ax = b,

M x = N x + b.

El método iterativo consiste en

Tomar x0 una aproximaci´ o n de la solución. Si no se conoce se puede tomar por ejemplo el vector nulo. Resolver en cada paso m

M xm+1 = N xm + b.

(5.1)

Es fácil ver que si la sucesión construida en (5.1) converge a alg´ un x, entonces el vector es la solución del sistema. A´ u n es más, se comprueba f´ acilmente que

xm+k+1

−1

− x = (M

N )(xm+k

−1

− x) = . . . = (M

N )k (xm+1

− x).

Denotando por B = M −1N se tiene el siguiente resultado

Teorema 5.1 El método iterativo converge si y s´ olo si existe k tal que B k < 1.

 

80

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


Observa que en el resultado anterior no se especifica la norma utilizada. Otro detalle al que a veces se presta poca atenci´ on es que la convergencia del método ocurre sea cu´ al sea omo se arranque el método y de cu´ al sea el término x0 , es decir, independientemente de c´ independiente. Claramente si se tiene una estimaci´ o n buena de la soluci´ on el método converger´ a en menos iteraciones, pero no es una condici´ on imprescindible para asegurar la convergencia7 . No es dif´ıcil ver que ρ(B) B

B o r r a d o r ≤ 

para cualquier norma inducida, y por tanto8 ρ(B) = (ρ(B k ))1/k

k

1/k

≤ (B )

∀k ∈ N.

Es más, se puede probar que, de nuevo para toda norma inducida, l´ım B k

k→∞

1/k

 

= ρ(B)

on equivalente de convergencia es que todos Por tanto se concluye que una condici´ 1 los valores propios de B = M − N tengan valor absoluto menor estrictamente que 1. olo si ρ(B) < 1. Teorema 5.2 El método iterativo converge si y s´ Los resultados anteriores pueden utilizarse para probar que

x

m

− x ≤ C (m)ρ(B) x − x  y donde C (m) ≥ 1, con C (m) → 1 cuando m → ∞. La cantidad ρ(B) m+1

1

0

para todo m m0 otica de convergencia. La estimación recibe en ocasiones el nombre de velocidad asint´ anterior justifica esta denominaci´ on dado que mide la reducci´ on media del error esperada en cada iteraci´ on.

≥

Nota. Si M = A entonces N = 0, por tanto B = 0 y trivialmente ρ(B) = 0.

Es decir, hay convergencia en una uńica iteraci´ on. Esta iteraci´ on consiste en resolver directamente el sistema de ecuaciones. En general, uno asegura la convergencia cuando M recoge la informaci´ on más importante de A, de forma que N = M A tenga un tama˜ no peque˜ no comparado con M . Por otro lado, se debe tener en cuenta la definici´ on del método (5.1) y que por tanto en cada iteración hay que resolver un sistema de ecuaciones. As´ı, interesa que M sea sencilla desde el punto de vista de la resoluci´ on del sistema lineal (por ejemplo, diagonal, triangular,...)  y que simultáneamente recoja la mayor informaci´ on posible de A.

−

7

Esta propiedad se pierde cuando se resuelven ecuaciones y sistemas no lineales. En este caso, los métodos numéricos convergen sólo si se arranca suficientemente cerca de la solución. 8 Si λ es valor propio de B, λ2 lo es de A2 . 81

´ II LECCION


M´ etodos de Jacobi, de Gauss–Seidel y de relajación de Young Sea el sistema Ax = b donde

 

 

B o r r a d o r A=

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

. .. a1n . .. a2n . . . .. . . . . ann

La familia de métodos que vamos a exponer se basa en considerar la siguiente descomposici´ on de A A = D L U

− −

donde

D=

 

a11

a22

..

 

, L=

.

ann

  − −

0 a21 .. .

an1

0 0 .. .

 

0 0 . . .. . . 0

· ·· · ··

, U =

−a · ·· n2

 

0 0 .. . 0

−a · · · −a · · · −a 0 12

.. . 0

1n

..

2n

.

·· ·

.. . 0

 

.

El m´ on del método iterativo M = D etodo de Jacobi consiste en tomar en la definici´ y N = L + U , es decir, Dxm+1 = (L + U )xm + b.

Para calcular xm+1 hay que resolver por tanto un sistema diagonal cuyo coste es despreciable. Visto componente a componente, tenemos que si

xm =

entonces

(m+1)

xi

=

 ∈  −  (m) (m) x1 , x2 , . . . , x(m) n

1 bi aii

(m)

aij x j



,

R

n

i = 1, . . . , n .

j  =i

Para algunos tipos especiales de matrices se sabe que el m´ etodo converge e incluso se dispone de informaci´ on sobre la velocidad de convergencia. Una matriz es estrictamente diagonal dominante por filas si

|a | > ii

y por columnas si

|a | > jj

| | | |

aij ,

∀i

aij ,

∀ j.

j  =i

i = j

Teorema 5.3 Si la matriz es estrictamente diagonal dominante por filas o columnas el método de Jacobi converge.

Ejercicio 5.1 (matem´ atico) Probar el teorema anterior. ¿Cuándo convergerá más rápido? (Ayuda. Construir la matriz B = D−1 (L + U ). Probar que B ∞ < 1 si es dominante por filas ó B 1 < 1 si es dominante por columnas. Aplicando el Teorema 5.2, se deduce el resultado.)

 

 

82

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


Para dar una descripci´ on del método de Jacobi en pseudoc´ odigo fijamos x eps1

= =

aproximaci´ on inicial, tolerancia absoluta,

mmax eps2

= número m´ aximo de iteraciones, = tolerancia relativa,

B o r r a d o r y tomamos como criterio de parada la norma eucl´ıdea de la diferencia entre dos iteraciones sucesivas del método. La elecci´ on de la norma es libre, queda a elección del programador (pod´ıamos tomar por ejemplo la norma 2 o la norma infinito). Una primera versi´ on de nuestro algoritmo es la siguiente

Jacobi 01 02 03

for m=1:mmax error=0; y=x for i=1:n

 −  n

xi = bi

04

aij y j /aii

j =1 =i j

05 06 07 08 09 10 11

end if x y 2
 − 

end disp(’numero m´ aximo de iteraciones alcanzado’) return

Ejercicio 5.2 Implementa el método de Jacobi en Matlab.

a la ayuda de la función. Nos Soluci´ on. Empezaremos fijando la cabecera que contendr´ va a servir de qu´ e estructura vamos a dar a la entrada y salida de datos. Dicho esto, la implementaci´ on de este método que proponemos es la siguiente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

% JACOBI % % X = % % %[X,IT]= % % %[X,IT]= % %[X,IT]= %

JACOBI(A,B)

aplica el metodo de Jacobi para la resolucion del sistema AX=B

JACOBI(A,B)

devuelve en IT el numero de iteraciones calculadas

JACOBI(A,B,ITMAX)

ITMAX es el numero max. de iteraciones

JACOBI(A,B,ITMAX,... EPS1,EPS2 son las tolerancias EPS1,EPS2 absoluta y relativa 83

´ II LECCION

5.2 Métodos iterativos para sistemas lineales 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

% %[X,IT]= JACOBI(A,B,ITMAX,... % EPS1,EPS2,X0) arranca el metodo con X0 % function [x, varargout]=jacobi(a,b,varargin)

B o r r a d o r % valores por defecto n=length(a); mmax=100; eps1=1e-4; % tolerancia absoluta eps2=1e-4; % tolerancia relativa x=zeros(n,1); if nargin>2 mmax=varargin{1}; end if nargin>3 eps1=varargin{2}; end if nargin>4 eps2=varargin{3}; end if nargin>5 x(:)=varargin{4}; %x es un vector columna end % Metodo de Jacobi

for m=1:mmax error=0; y=x; for i=1:n v=[1:i-1 i+1:n]; x(i)=(b(i)-a(i,v)*y(v))/a(i,i); end error=norm(x-y); % otras normas con norm(x-y,1),norm(x-y,inf) if (error
if (nargout>1) varargout{1}=m;

84

´ II LECCION 59 60

Cap´ ıtulo


end return

Recuerda que el comando break, utilizado en la l´ınea 48 provoca la salida autom´ atica del bucle, dando por finalizado la ejecuci´ on del método y pasando a la parte del c´ odigo encargada de devolver los resultados obtenidos.

B o r r a d o r 

on de salida que devuelva un vector error de lonEjercicio 5.3 Programa una nueva opci´ gitud m 1 de forma que error(m) sea la diferencia entre xm y xm+1 .

−

Observa que el código realmente dedicado al método de Jacobi se reduce a apenas diez l´ıneas (39-50) con el resto de la subrutina dedicada al control del algoritmo y a la salida y entrada de datos. Se observa adem´ as que la l´ınea 43 permite implementar en una uńica l´ınea (44) el producto de la l´ınea 04 del pseudoc´ odigo. El código anterior, sin embargo, es optimizable. El ejercicio siguiente ahonda en un aspecto en particular

Ejercicio 5.4 Otra forma alternativa de implementar el método es reemplazar las l´ıneas 42-45 por el producto x=(b-a*y+d.*y)./d

o bien

x=y+(b-a*y)./d

donde d es un vector columna que contiene la diagonal de la matriz. Observa que realizamos operaciones de m´ as (multiplicamos por la diagonal para luego restar su contribuci´ on), pero el costo es despreciable y la operaci´ on es ahora puramente matricial. Implementa esta nueva forma y comprueba el resultado. ¿Obtienes mejoras en el redimiento del método 9 ? El m´ etodo de Gauss–Seidel10 consiste en tomar M = D (D

− L)x

m+1

− L y N = U , es decir

= U xm + b.

(5.2)

Para calcular xm+1 hay que resolver un sistema, en este caso triangular. Repasando con cuidado las operaciones, observamos que (m+1) xi

 −

1 = bi aii

i−1

j=1

  − n

(m+1) aij x j

(m)

aij x j

,

i = 1, . . . , n .

j=i+1

9

Deberás probar con matrices grandes. La orden rand te puede servir para ese fin. Una forma de asegurar la convergencia es generar matrices estrictamente diagonal dominantes. ¿Cómo se puede hacer esto?. 10 El nombre de este algorimo es muy curioso. Según diversos autores (ej. George E. Forsythe ó Gerard Meurant), Carl Friedrich Gauss no diseño´ exactamente este método y Philipp Ludwig von Seidel, que lo estudi´ o a finales del siglo XIX, desaconsejaba su uso. Gauss desarrolló un método muy similar cuando trataba de resolver un problema de geodesia que llevaba a un sistema lineal que no era compatible determinado. 85

´ II LECCION

5.2 Métodos iterativos para sistemas lineales Escrito en forma algor´ıtmica,

Gauss–Seidel

B o r r a d o r 01 02 03

for m=1:mmax error=0; y=x for i=1:n

 − i−1

xi = bi

04

n

aij x j

j=1

05 06 07 08 09 10 11

  −

aij y j /aii

j=i+1

end if x y
 − 

end disp(’numero m´ aximo de iteraciones alcanzado’) return

As´ı pues, la u ´ nica diferencia con el método de Jacobi es que Gauss–Seidel procede a utilizar la nueva componente calculada xi tan pronto es posible mientras que Jacobi sólo la utiliza en la nueva iteraci´ on. Es por ello que Gauss–Seidel es (casi siempre) superior a Jacobi. No hay razones matem´ aticas que permitan apoyar esta impresi´ on. De hecho existen matrices para las que Jacobi converge y Gauss–Seidel diverge, aunque hace falta construir un ejemplo ad hoc , no es fácil encontrar tal ejemplo, para comprobar esta afirmaci´ on. Desde un punto de vista pr´ actico, si Jacobi converge es altamente probable que lo haga también Gauss–Seidel y generalmente, éste lo har´ a en menos iteraciones.

Teorema 5.4 El método de Gauss–Seidel converge si

la matriz es estrictamente diagonal dominante por filas o columnas; o

la matriz es simétrica definida positiva.

Ejercicio 5.5 Programa el método de Gauss–Seidel modificando de forma apropiada la funci´ on del Ejercicio 5.2 .

Ejercicio 5.6 De manera similar a lo que se propuso en el Ejercicio 5.4 , podemos implementar la parte central del método de Gauss–Seidel mediante x=l\(b-u*y)

o bien con el doble n´ umero de operaciones con x=y+l\(b-a*y)

donde

86

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

l=tril(a,0);


u=triu(a,1);

Implementa el m´ etodo resultante. ¿Qué ventajas y desventajas observas en cada de estas implementaciones?.

B o r r a d o r (Ayuda: recuerda los comandos diag, triu y tril de la Sección 4.1.3)

Ejercicio 5.7 El método de Gauss–Seidel tiene una curiosa asimetr´ıa: la primera componente de cada xm+1 se calcula utilizando los valores de la anterior iteraci´ on xm , mientras que la ´ ultima componente utiliza todas las componentes de la nueva iteraci´ on xm+1. Se puede plantear el método de Gauss–Seidel inverso que es el que resulta de intercambiar los papeles de L y U en ( 5.2 ). Ahora la situaci´ on es justamente la rec´ıproca. ¿Mejora la velocidad de convergencia del método? Ejercicio 5.8 El método de Gauss–Seidel simetrizado o c´ıclico trata de solventar la asimetr´ıa se˜ nalada en el ejercicio anterior. Consiste en encajar dos iteraciones, una con Gauss–Seidel y otra con el método de Gauss–Seidel inverso. Es decir, dado xm, se aplica un paso del método de Gauss–Seidel para obtener un nuevo vector xm+1/2 . Seguidamente se calcula un paso del método Gauss–Seidel inverso y as´ıse obtiene la nueva aproximaci´ on xm+1 . Implementa este método. ¿Se reduce el n´ umero de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia? ¿Y el costo por iteraci´ on? ¿Te parece rentable esta aproximaci´ on?.

El u ´ ltimo representante de esta familia de métodos cl´ asicos que estudiaremos es el m´ etodo de relajaci´ on de Young. Introducido y estudiado independientemente por David M. Young (en su tesis doctoral) y Stanley P. Frankel sobre 1950, es una simple modificación del método de Gauss–Seidel que trataba, como buena parte de los métodos propuestos en estos a˜ nos, de acelerar la convergencia de los métodos de Gauss–Seidel y Jacobi. La modificaci´ on propuesta consiste en realizar un promedio sobre la aproximaci´ on que proporcionar´ıa Gauss–Seidel y la iteraci´ on anterior. Concretamente, la expresi´ on es x(m+1) i

= (1

−

ω)x(m) i

 −

ω + bi aii

i−1

  − n

aij x j(m+1)

j=1

aij x j(m) ,

i = 1, . . . , n .

j=i+1

Si ω = 1 recuperamos el método de Gauss–Seidel. El objetivo es escogerω adecuadamente para acelerar la convergencia del método. No es fácil encontrar el valor o´ptimo de ω, aunque necesariamente ω (0, 2) pues en caso contrario el método diverge. Si la matriz es simétrica definida positiva o tridiagonal el método de rela jaci´ on converge para cualquier ω (0, 2). Tambi´ en converge si es estrictamente diagonal dominante (por filas o columnas). Sin embargo, salvo para matrices tridiagonales, poco se puede decir acerca de la elecci´ on o´ptima del par´ ametro ω, y aún en este caso, la determinaci´ on exacta del par´ ametro o´ptimo exige resolver un problema bastante complicado. Desde un punto de vista pr´ actico, el par´ ametro se estima mediante ensayo–error . De forma algo sorprendente, en problemas pr´ acticos es muy habitual que ω > 1. De ah´ı el nombre que se le da a veces de Sobrerrelajaci´ on (overrelaxed ).

∈

∈

87

´ II LECCION


Por u ´ltimo, aunque no sea inmediato, se puede comprobar que este método encaja en el marco anterior, sin más que tomar 1 D ω

1

− ω D + U

B o r r a d o r M =

− L,

N =

ω

Ejercicio 5.9 Implementa el método de relajaci´ on de Young a partir del método de Gauss– Seidel. Incluye como nuevo argumento de entrada el par´ ametro ω. Un posible valor por defecto podr´ıa ser ω = 1 con lo que tendr´ıamos el método de Gauss–Seidel.

Ejercicio 5.10 De nuevo, la parte central del método de relajaci´ on se puede implementar en la forma x=y+m\(b-a*y)

donde m es una matriz adecuada. ¿Cuál es esa matriz?.

5.2.4.

M´ etodos de tipo gradiente

Comenzaremos recordando algunos conceptos e introduciendo algunas notaciones que facilitarán la exposición de los métodos de tipo gradiente. Recordemos que todos los vectores se consideran como vectores columna. Dada A una matriz sim´ etrica definida positiva, la operación que a cada par de vectores x, y le asigna el n´ umero real x Ay es un producto escalar, esto es, cumple las propiedades que definen un producto escalar11 : 1. (αx + β y) Az = αx Az + β y Az, 2. x Ay = y Ax,

n

∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ R ;

n

∀x, y ∈ R (por ser A simétrica); 3. x Ax > 0, si x =  0 (por ser A definida positiva). En particular, si I es la identidad n × n, 

n

xI n y = x y

es simplemente el producto escalar habitual en Rn de x e y. Denotaremos

x

⊥ y ⇐⇒

x y = 0

y diremos en este caso que x e y son ortogonales. La misma notaci´ on se puede extender al producto definido por A, de forma que

x

⊥ y ⇐⇒ y en este caso x e y se dicen A−ortogonales. A

x Ay = 0

Es interesante observar cuántas propiedades del producto escalar eucl´ıdeo (el habitual en Rn ) dependen u ´ nicamente de que se cumplan estas tres propiedades y por tanto son extensibles a estos casos más generales. 11

88

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


norm a de energ ener g´ıa La norma asociada al producto escalar anterior se conoce como norma y su expresión on viene dada, obviamente, por

x

A

:=

√

x Ax.

B o r r a d o r Todas las normas son equivalentes en Rn , pero para esta norma se tiene adem´ as as la estimación on λn x 2 x A λ1 x 2

  ≤  ≤  

donde λ1 λ2 .... λn > 0 son los valores propios, todos reales por ser A sim´ si métri et rica ca y positivos por ser definida positiva. La cantidad

≥ ≥ ≥

κ(A) =

λ1 , λn

que será relevante en lo que sigue, es el condicionamiento de la matriz12. Obviamente, κ(A) 1. Construimos la funci´ on on F ( F (x) = 12 xAx x b

≥

−

func ional al de energ ener g´ıa. Tras unos simples cálculos, conocida como funcion alculos, se comprueba que

∇F = Ax − b.

Por tanto, el unico uńico posible extremo de F es la solución on de Ax b = 0. Además, as, como la matriz hessiana de F es la propia matriz A, que es definida positiva, este extremo ser´ a un m´ınimo. Hemos llegado por tanto a la siguiente conclusi´ conc lusi´ on:

−

resolver Ax = b es equivalente equivalente a encontrar el m´ınimo de F

En esta observaci´ on on se basan los métodos etodos de descenso: descenso: en lugar de resolver resolver el sistema de ecuaciones Ax = b, nos preocupamos en buscar el m´ınimo de F . F . Es esencial que A sea definida positiva para que estos argumentos sean v´ alidos. alidos.

M´ etodos etodo s de descenso. descens o. Aspectos Asp ectos generales

La idea de estos métodos etodos es sencilla. Dado un valor inicial consiste en ir movi´ endose endose en trayectorias tr ayectorias zigzagueantes hasta alcanzar a lcanzar el e l m´ m´ınimo. Concretamente, Concre tamente, dada una aproxapr oximación, on, fijamos una direcci´ on de desplazamiento, calculamos cuanto nos movemos, deon scender en el lenguaje habitual, y nos desplazamos a un nuevo punto. De esta forma construimos una sucesi´ on on xm que deber deb er´´ıa converger converge r a x, siguiendo estos pasos. Calcular una direcci´ on o n de descenso dm .

Descender una cantidad ξ m , tomando como nueva aproximaci´ on on

xm+1 = xm + ξ mdm.

12

El condicionamiento se define también en para matrices arbitrarias reemplazando los valores valores propios por p or los denominados valores singulares, o más as en general, definiéndolo endolo como el producto pro ducto de la norma de A por la norma de su inversa. En general el condicionamiento de la matriz mide la sensibilidad del sistema de ecuaciones lineales asociado a variaciones variaciones del t´ ermino ermino independiente. 89

´ II LECCION

5.2 Métodos etod os iterativos ite rativos para sistemas sist emas lineales lineale s

Se procede as´ as´ı hasta que hay convergencia. Dos asp a spect ectos os deter de termin minan an el e l método: eto do: qu´ q ué direcc dir ecci´ i´ on se toma y cuánto anto se desciende. Tanto en el método etodo del Gradiente como co mo en el método etodo del Gradiente Gr adiente Conjugado, Conju gado, que veremos a continuaci´ on, on, se toma ξ m de forma que

B o r r a d o r F ( F (xm+1) = m´ın F ( F (xm + α dm ) α∈R

es decir, se trata de minimizar, una vez escogida la direcci´ on on de descenso dm , el funcional de energ´ ene rg´ıa. ıa. Definie Defi niendo ndo g (α) = F ( F (xm + α dm ) podemos comprobar que

g  (α) = α d m Adm

 m

−d

(b

Axm )

 −  rm

y por tanto la cantidad de descenso viene dada por

r dm ξ m := m , dm Adm

(5.3)

(obtenido al imponer g  (α) = 0). El vector rm = b Axm es el residuo de xm , que ya ha surgido en estas notas. Se puede probar f´ acilmente acilmente que

−

rm+1 = b

− Ax

m+1

=b

− Ax − ξ Ad m

m

m

= rm

− ξ Ad m

m.

En consecuencia, el residuo en pasos sucesivos satisface una relaci´ on o n similar a la que cumple xm . Sin embargo, este tipo de recurrencia puede verse afectada por errores de redondeo, por lo que en ocasiones el residuo se recalcula cada cierto n´ umero de iteraciones iteraciones de acuerdo a su definici´ on para cancelar cualquier error de redondeo. on El algoritmo resultante es el siguiente:

M´ etodo eto do de descens des censo o 01 02 03

x0 inicial, r0 = b0 for for m=0 m=0:m :mma max x

0

Escoger dm r dm ξ m := m dm Adm xm+1 = xm + ξ m dm rm+1 = rm ξ mAdm

04

05 06 07

− Ax

end

−

Claram Cla ramente ente,, la l´ınea ıne a 03 queda pendiente y en ultima u ´ltima medida medid a define d efine el método. eto do. 90

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


M´ etodo eto do del Gra Gradient diente e Dado que F ( F (xm ) = b Axm = rm, la dirección o n de m´ aximo aximo descenso es la del residuo. Por tanto, ésta esta parece una buena elecci´ on para dm . El método eto do as´ı definid defi nidoo es el método eto do del gradiente. gradi ente.

−∇

−

B o r r a d o r M´ etodo eto do del Gra Gradient diente e 01 02 03

x0

inicial; r0 = b for for m=0 m=0:m :mma max x

0

pm = Arm r rm ξ m = m rm pm xm+1 = xm + ξ m rm rm+1 = rm ξ mpm if rm+1 eps b

04

05 06 07 08 09 10

− Ax ;



− ≤

break



end

end

En el paso 06 estamos calculando el residuo de la soluci´ on. El criterio de parada se on. toma ahora a partir del residuo. En concreto hemos escogido el basado en el tama˜ no no relativo del residuo (eps b ). La norma que utilizamos utilizamos es la eucl´ eucl´ıdea, que es connatural al méto et o do. do .



Ejercicio 5.11 Programa el Método eto do del d el Gradiente. Gradie nte.

implementaci´ i´ on on del método etodo es la que sigue Soluci´ on. on. Una posible implementac 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

% GRADIENTE % % X = GRADIENTE(A,B) % % % X = GRADIENTE(A,B,ITMAX) % % X = GRADIENTE(A,B,ITMAX... % EPS) % % X = GRADIENTE(A,B,ITMAX... % EPS, X0) % %[X, %[X,IT IT] ] = GRAD GRADIE IENT NTE( E(A, A,B, B,IT ITMA MAX. X... .. % EPS,XO) 91

Aplica el met. del gradiente para la resolucion del sistema AX=B

ITMAX: numero max. de iteraciones EPS tolerancia relativa

X0 es el valor inicial

Dev Devue uelv lve e en IT IT el num numer ero o de iteraciones calculadas

´ II LECCION

5.2 Métodos etod os iterativos ite rativos para sistemas sist emas lineales lineale s 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

%[X, %[X,IT IT,R ,R]= ]= GRAD GRADIE IENT NTE( E(A, A,B, B,IT ITMA MAX) X) % EPS,XO)

R es es un un his histo tori rial al del del met metod odo: o: R(i) es el residuo en el paso i

B o r r a d o r functi function on [x,var [x,vararg argout out]= ]= gradie gradiente nte(a, (a,b,v b,vara arargi rgin); n); n=le n=leng ngth th(a (a); ); x=ze x=zero ros( s(n, n,1) 1); ; mmax mmax=4 =40; 0; tol=1e-6; if nargin>2 mmax=varargin{1}; end if nargin>3 tol=varargin{2}; end if (nargin>4) x=varargin{4}; end

r=br=b-a* a*x; x; res( res(1) 1)=d =dot ot(r (r,r ,r); ); aux= aux=no norm rm(b (b); ); for m=1:mmax p=a*r; xi=res(m)/dot(r,p); x=x+xi*r; r=r-xi*p; res(m+1)=dot(r,r); % guardamos los residuos if (sqrt(res(m+1))
if (m==mmax) disp disp(’ (’n nume umero maxi maximo mo de iter itera acion cione es sob sobrepa repas sado ado’) end if nargout>1 varargout{1}=m; end if nargout>2 varargout{2}=sqrt(res(:)); end return

El vector res guarda el residuo en cada iteraci´ on on para as´ as´ı tener un historial de como ha ido la convergencia. Prueba Prue ba el método eto do con co n un sistema s istema donde la matriz mat riz sea s ea simétrica etric a definida defi nida positiva pos itiva (nota: (not a:  para toda matriz B , B B es sim´ s imétrica etric a (semi) (s emi) definida defini da positiva.) p ositiva.) 92

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos iterativos 

La gr´ afica mostrada en la Figura 5.3 se ha construido utilizando las instrucciones afica >> >> >> >>

n=40;a n=40;a=ra =rand( nd(n,n n,n); ); a=a*a’ a=a*a’; ; %% a es sim\’{ sim\’{e}t e}tric rica a defini definida da positi positiva va x=ones(n, x=ones(n,1); 1); b=a*x; b=a*x; [x,it,r]=gradiente(a,b,100,1e-5 [x,it,r]=gradiente(a,b,100,1e-5); ); semilogy( semilogy(r) r)

B o r r a d o r Hemos utilizado una escala esca la logar´ıtmica ıtmica para medir la norma del de l residuo. Observa su fuerte fuert e comportamiento oscilatorio.

10

10

10

10

10

10

10

Residuo

4

3

2

1

0

−1

−2

0

10

20

30

40

50

60

70

Iteraciones

Figura 5.3: Historial Historial del residuo para el método etodo del Gradiente. Gradiente.

Ejercicio 5.12 En este ejercicio tratamos de nuevo aspectos de la implementaci´ on en Matlab. lab. Concretamen Concretamente, te, ¿qu´ ¿qué pasa si el usuario usuario desea especificar especificar el vector vector de arranque arranque ( x0 en la notaci´ on del m´ etodo) etodo) pero desea dejar dejar el n´ umero máximo aximo de iteraciones y la tolerancia por defecto?. defec to?. Como estándar andar en Matlab, Matlab, se env en v´ıa vac va c´ıo ( [ ]), de forma que los argumentos intermedios se ignoran. Por ejemplo, >> x=gradiente(a,b,[],1e-5) x=gradiente(a,b,[],1e-5)

especificar espe cificar´´ıa la tolerancia toleranc ia pero per o no el n´ umero máximo aximo de iteraciones. Implementa las modificaciones necesarias en el programa anterior para que la funci´ on sopor s oporte te este est e est´ e stándar. andar . (Ayuda: La función on isempty puede resultarte útil.) util.)

Breves notas sobre el estudio del M´ etodo etodo del Gradiente La clave del análisis alisis es la relación on F ( F (xm+1)

− F ( F (x) =

1 (xm+1 2



− x)

A(xm+1

93

1 2

− x) =  x

m+1

2 A

−x

   em+1

´ II LECCION


donde claramente em+1 es el error entre la soluci´ on exacta y la numérica medido en la norma de energ´ıa de A. Por tanto, como F (xm+1 ) F (xm),

≤  ≤ e 

e

B o r r a d o r m+1 A

m A

luego en cada iteraci´ on hay una reducci´ on del error en la norma de energ´ıa. Sin embargo, en ning´ un caso implica que el residuo se reduzca en cada iteraci´ on, como bien podemos comprobar en la Figura 5.3. Aún es más, de la elección hecha de ξ m se sigue que F (xm+1) := m´ın F (xm + α rm ) α∈R

y por tanto

e  ≤ m´ın x − x − α r  m+1 A

m

α∈R

m A

 − αAe

= m´ın em α∈R

Observa que hemos utilizado la cota M x vectorial y su norma matricial inducida.

  ≤

m A

  ≤ M  x A

A

A,

m´ın I α∈R

 − αA

  A

em

A.



caracter´ıstica de toda norma

Proposici´ on 5.5 Sean λ1 y λn el mayor y menor valor propio de A. Entonces m´ın I α∈R

 − αA

A

= m´ın I α∈R

 − αA

2

=

λ1 λn < 1. λ1 + λn

−

La convergencia se escribe de forma muy c´ omoda en términos del condicionamiento λ1 de la matriz κ(A) = λn , deduciendo la expresi´ on

− 1 e  e  ≤ κ(A) κ(A) + 1

m A.

m+1 A

Es inmediato observar que

El factor de reducci´ on del error es siempre menor que uno, luego hay convergencia para toda A simétrica definida positiva. Si κ(A) >> 1, la convergencia puede ser muy lenta.

Ejercicio 5.13 (puramente matemático) Se puede probar que dada A simétrica definida positiva existe B simétrica definida positiva tal que BB  = B 2 = A, conocida como ra´ız cuadrada de A. Utilizando este resultado prueba la identidad

I − αA

A

= I

 − αA

2

utilizada en la Proposici´ on 5.5 . (Ayuda: Observa que x

 A = Bx2. Utiliza ahora que I − αAA = sup (I − αA)xA = sup B(I − αA)B−1(Bx)2 xA =1

B x=1

y completa la demostración).

94

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


Ejercicio 5.14 (demostraci´ on de la Proposici´ on 5.5) Para toda matriz simétrica C se cumple que C 2 = máx λ j

 

| |

j

B o r r a d o r con λ j el valor propio j ésimo. Por tanto

− I − αA

A

= I

 − αA

2

| − αλ |.

= máx 1 j

j

Define gc (α) = 1 c α y traza la gráfica de estas funciones para varios valores de c. Deduce que α = 2/(λ1 + λn ) es el valor que hace m´ınimo I αA 2 y que para este valor,

|− |

 −  I − αA = λλ −+ λλ . 2

1

n

1

n

(Ayuda: al dibujar gc (α) para diferentes valores de c obtendr´ as obtendr´ as algo similar a esto

1

0.5

0 0

1

2

3

4

5

α

¿Cuáles son las gráficas de los valores extremos?)

El Gradiente Conjugado

El método del Gradiente Conjugado trata de resolver alguna de las dificultades observadas con el método del Gradiente, como por ejemplo el comportamiento oscilatorio del residuo. Observemos que en un método de descenso, y por la elecci´ on de ξ m hecha en (5.3),  r m+1 dm = rm dm

 m m Adm

− ξ d

= 0,

dm . Esto es, en un método de descenso el residuo del paso m + 1 es por lo que rm+1 ortogonal a la direcci´ on de descenso anterior. Sin embargo, en general ya no es cierto que

⊥

rm+1

⊥d

m−1

y por tanto se pierde esta propiedad de ortogonalidad. 95

(5.4)

´ II LECCION


Una forma de evitar, o de mitigar, mitigar, el aspecto oscilante del método etodo del Gradiente, es exigir que la dirección on de descenso dm satisfaga (5.4 (5.4). ). Es decir, tomamos

rm+1 = rm

− ξ Ad

m,

B o r r a d o r m

y concluimos que

d m−1 rm+1 = 0

dm−1

⇐⇒

⊥ Ad

⇐⇒

m

dm−1

⊥

A

dm .

En vista de lo anterior optamos por tomar como direcci´ on de descenso una perturbaci´ on on de la direcci´ on natural rm (el residuo) en la direcci´ on del descenso anterior (dm−1 ) que on satisfaga la propiedad de ortogonalidad anterior. Es decir, tomamos

dm = rm + τ m dm−1

con τ m adecuado. Exigiendo que se satisfaga (5.4 (5.4)) deducimos que

dm

⊥

A

dm−1

r m Adm−1

⇐⇒

+

τ m d m−1 Adm−1

=0

⇐⇒

τ m =

−

r m Adm−1 . d d A m−1 m−1

Como elecci´ on on inicial de la dirección on de descenso tomamos simplemente r0 , el residuo de la aproximaci´ on inicial. Con todo esto, la primera versi´ on on on del método etodo del Gradiente Conjugado es la que sigue

Gradiente Conjugado - Primera versión on 01 02 03

x0 inicial; r0 = b for for m=0 m=0:m :mma max x

− Ax ; d 0

r m dm d m pm

ξ m =

05 06 07 08 09

xm+1 = xm + ξ m dm rm+1 = rm ξ mpm if rm+1 eps b

11 12 13

= r0 ;

pm = Adm

04

10

0



− ≤

break



end

r m+1 pm τ m+1 = d m pm dm+1 = rm+1 + τ m+1dm

−

end disp(’ disp(’Num Numero ero maximo maximo de iterac iteracion iones es alcanz alcanzado ado’) ’)

Como puede verse, verse, las modificaciones modificaciones sobre el método etodo del Gradiente Gradiente son m´ınimas y están an concentradas en las l´ıneas 04, 10 y 11. En cuanto al n´ umero umero de operaciones, 96

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


coincide con las del método etodo del Gradiente: en cada paso es necesario calcular un producto matriz mat riz–vec –vector tor (l´ (l´ınea ıne a 03) y tres productos escalares (04 y 10). Listaremos Listaremos a continuaci continuaci´ oń algunas propiedades entre los residuos y las direcciones de on descenso que permiten dar una expresi´ on on distinta distinta del método, etodo, y deducir alguna de las propiedades propiedades de convergencia. convergencia.

B o r r a d o r Lema 5.6 Para todo m

≥0

 r m dm = rm rm .

Por tanto

r rm ξ m = m . dm Adm

Demostraci´ on. on. Como rm

⊥d

m−1 ,

  r m dm = rm rm + τ m rm dm−1 .

(5.5)

   =0

El segundo resultado es inmediato de la definici´ on on de ξ m.

Lema 5.7 Para todo m i) dm+1

ii) rm+1

iii) rm+1

⊥ d. ⊥d , ⊥r . A



≥ 0 se satisfacen las siguientes relaciones

m

rm+1

m

⊥d

m−1 .

m

Demostraci´ on. on. Los puntos i) y ii) ya se han probado. Para probar iii) basta comprobar

que

 r m+1 rm = rm rm

=

r m rm

 m m Arm

− ξ d −

= r m rm

 m m Adm

− ξ d

ξ m d m Adm .

+ ξ m τ m d m Adm−1

   =0

El resultado es ahora una consecuencia del Lema 5.6 5.6..

Lema 5.8 Para todo m

≥0

τ m+1

r rm+1 := m+1 . r r m m

Demostraci´ on. on. Como

−Ad

m



=

1 (rm+1 ξ m

−r

m ),

se tiene

τ m+1 =

−

r rm ) r 1 r 1 r m+1 Adm m+1 (rm+1 m+1 rm+1 m+1 rm+1 = = = d d r ξ m ξ m d m Adm m Adm m Adm m rm

−

donde hemos utilizado que rm+1 u ´ ltimo paso, la expresi´ on on alternativa de rm, y en el ultimo  ξ m. Los Lemas 5.6 y 5.8 dan expresiones m´ as as simples de los parámetros ametros ξ m y τ m . De hecho  más as econ´ omicas, omicas, dado que rm rm es conocido del paso anterior y por tanto no es preciso calcularlo de nuevo. En total dos productos escalares por iteraci´ on. on.

⊥

97

´ II LECCION


Ejercicio 5.15 Modifica el algoritmo del Gradiente Conjugado con las nuevas expresiones de ξ m y τ m . Observa que podemos evitar en esta versi´ on un producto escalar por iteraci´ on. El resultado sorprendente, y que descubre parte de las buenas propiedades del Gradiente Conjugado, Conjugado, es que estas propiedades propiedades de ortogonalidad ortogonalidad se extienden a to do el conjunto conjunto de residuos y direcciones generados en los pasos anteriores.

B o r r a d o r Lema 5.9 Para todo m i) dm

⊥ d, ⊥d, ⊥r, A



ii) rm+1



iii) rm+1



≤n ∀ ≤ m − 1; ∀ ≤ m;  ≤ m.

La tercera propiedad implica en particular la convergencia del Gradiente Conjugado en aritmética etica exacta exact a en e n a lo sumo n pasos dado que no puede haber n +1 vectores vectores ortogonales n en R y por tanto rn+1 = 0. Sin embargo, en aplicaciones pr´ acticas puede requerir m´ acticas as as de n iteraciones por los errores introducidos por la precisi´ on o n de la m´ aquina. aquina.

Ejercicio 5.16 Modifica el programa gradiente para implementar en una funci´ on de nombre gradconjugado el método etodo del Gradiente Gradien te Conjugado. Hemos ejecutado como antes

>> n=40;a=ra n=40;a=rand(n nd(n,n); ,n); a=a*a’; a=a*a’; x=ones(n,1 x=ones(n,1); ); b=a*x; b=a*x; >> [x,it,r]=gradconjugado(a,b,100, [x,it,r]=gradconjugado(a,b,100,1e-5); 1e-5); >> semilogy( semilogy(r) r)

y hemos desplegado en la Figura 5.4 las normas de los residuos en cada paso. Como se

Residuo

10

10

10

10

10

10

10

4

3

2

1

0

−1

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

Iteraciones

Figura 5.4: Historial Historial del residuo para el método etodo del Gradiente Conjugado Conjugado

puede comprobar la convergencia es m´ as as rápida apida y hemos reducido notablemente el molesto comportamiento oscilatorio del residuo. 98

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


An´ An ´ ali al isis si s del de l méto et o do En esta secci´ on on probaremos el Lema 5.9 5.9.. El lector más as interesado en la implementaci´ on on del m´ etodo etodo puede saltar esta secci´ on sin mayor problema. Animamos, no obstante, a su lectura pues ilustra un conjunto conjunto de técnicas ecnicas habituales habituales en otras familias familias de métodos etodos iterativos. Además as sirve de ejemplo que demostrar el buen funcionamiento de un esquema numéric er icoo más as elaborado, generalmente obtenido mediante modificaciones intuitivas de algoritmos más as simples, puede requerir un an´ alisis nada trivial. Tampoco es extra˜ alisis na n a la situación on contraria: un método etodo puede fallar por razones no inmediatamente comprensibles. En la demostraci´ on juega un papel muy importante el subespacio on

B o r r a d o r K

m (A, r0 )

:= R r0 , Ar0 , . . . , Am r0





esto es, el subespacio formado por todas las combinaciones lineales α0 r0 + α1 Ar1 + . . . + αmAm r0 ,

αi

∈ R.

Estos subespacios reciben el nombre de subespacios de Krylov y son clave en multitud de métodos eto dos numéricos eri cos para par a la l a reso r esoluc luci´ i´ on de sistemas lineales. Antes de proseguir haremos on unos simples simples comentarios: comentarios: 1. El subespacio tiene a lo sumo dimensi´ on on m + 1.

2. Si q

∈K

3. Si

m (A, r0 )

K

m (A, r0 ),

=

K

entonces Aq

m+1 (A, r0 ),

m+1 (A, r0 ).

∈K

entonces entonces

4. Es fácil acil comprobar que rm , dm

∈K

K

Es decir, A

m (A, r0 )

K

=

K

m (A, r0 )

m+1 (A, r0 )

=

m+1 (A, r0 ).

⊂K

K

m+2 (A, r0 )

= ...

m (A, r0 ).

La demostraci´ demostraci´ on on del Lema 5.9 se llevará a cabo por inducci inducci´ on oń sobre m. Para m = 0 es un simple ejercicio de comprobaci´ on on (en este caso r0 = d0 y por tanto ii) y iii) coinciden). Supongamos pues que el resultado est´ a probado para m. Concretamente, Concretamente, supongamos que para m i) dm

⊥ d , ∀ ≤ m − 1 y {d , d , . . . , d } es una base de K (A, r ). ⊥ d , ∀ ≤ m. ⊥ r ,  ≤ m y {r , r , . . . , r } es una base ortogonal de K (A, r ). A



ii) rm+1



iii) rm+1



0

0

1

1

m

m+1

Veamos que los puntos i)–iii) se satisfacen entonces para m + 1.

i) dm+1

⊥

A

d ,

∀ ≤ m:

99

m

0

m+1

0

´ II LECCION

5.2 Métodos etod os iterativos ite rativos para sistemas sist emas lineales lineale s Este resultado est´ a probado ya para  = m. Para 

≤ m − 1, utilizamos que

dm+1 = rm+1 + τ m+1dm .

B o r r a d o r Por tanto, basta probar que

rm+1

⊥

A

r ,

dm

⊥

A

d .

El segundo es ya conocido (hip´ otesis otesis de inducci´ on). on). Por otro lado

rm+1

⊥

A

r

rm+1

⇐⇒

⊥ Ar . 

Como Ar +1 (A, r0 ) y una base de este subespacio es r0 , r1 , . . . , r+1 concluimos concluimos que Ar = α0 r0 + α1 r1 + . . . + α+1 r+1

∈K

{

} ⊂,

con α j R adecuados. El resultado se sigue ahora de iii) puesto que rm+1 rk , para todo k m. Por ultimo u´ltimo si dm+1 = 0 entonces d0 , . . . , dm+1 es una base de m+1 (A, r0 ) por  ser A ortogonales y por tanto linealmente independientes.

∈

⊥

≤



−

ii) rm+2

{

}

K

⊥ d , ∀ ≤ m + 1 

Para  = m, m + 1 es cierto por construcci´ on on (véase eas e Lema Lem a 5.7 5.7). ). Para el resto de valores  m 1, utilizamos utilizamos

≤ −

rm+2 = rm+1

Por inducci´ induccion, oń, rm+1

m+1 Adm+1 .

− ξ

ermino observamos que ⊥ d , mientras que para el otro término (Ad )⊥d ⇐⇒ d ⊥ d , 

m+1



m+1

A



y ésto esto es lo que acabamos de probar en el apartado anterior. anterior.

⊥ r , ∀ ≤ m + 1. Tomemos  ≤ m. Entonces r ⊥ r ⇐⇒ ⇐⇒

iii) rm+2





m+2



(rm+1 ξ m+1 Adm+1) (dm+1 ) A r .

− ⊥

⊥ r ⇐⇒ 

(Adm+1 )

⊥r



donde hemos aplicado la hip´ otesis otesis de inducción on en el segundo paso. Ahora, como r  (A, r0 ), por el punto i) podemos escribir

⊂K

r = β 0d0 + β 1 d1 + . . . + β  d .

(5.6)

El resultado se sigue de la propiedad i) ya que dm+1 A dk para k m. Finalmente, si rm+1 = 0 entonces r0 , . . . , rm+1 es una base de m+1 (A, r0 ) por ser ortogonales. 



{

}

100

⊥

K

≤

´ II LECCION

Cap´ ıtulo


Un examen más cuidadoso de la demostraci´ on anterior comprueba que ésta falla en el caso de que en un paso rm+1 o´ dm+1 sean nulos. En cualquiera de estos casos

K

m (A, r0 )

=

K

m+1 (A, r0 ).

B o r r a d o r Ahora bien esto sucede si y s´ olo si ha habido convergencia en el paso m (si dm+1 = 0 y por tanto rm = 0) o en el paso m + 1 (si rm+1 = 0). Esto es, si la direcci´ on de descenso es la nula simplemente es porque ya hemos alcanzado la soluci´ on, y viceversa, si el residuo es nulo, la direcci´ on de descenso para la siguiente iteraci´ on es la nula.

Notas finales

El Gradiente Conjugado fue propuesto por Magnus R. Hestenes y Eduard Stiefel en 1952. Lo m´ as curioso es que el método fue desarrollado de forma independiente por estos dos autores. Seg´ un cuenta Marvin Stein13 , un estudiante postdoctoral en aquellos a˜ nos que programó el algoritmo por primera vez para Hestenes, Stiefel coincidi´ o con Hestenes en una conferencia en UCLA (University of California, Los Angeles) y le comentó a grandes trazos el método en el que estaba traba jando. Stiefel estaba impresionado sobre las buenas propiedades que mostraba este método hasta que revisando las tarjetas perforadas que conten´ıan el programa implementado cay´ o en la cuenta de que se trataba del mismo método sobre el que independiente él estaba traba jando14 . Hemos visto que el método del Gradiente Conjugado es un método directo, en tanto en cuanto da la soluci´ on en un n´ umero finito de pasos, concretamente n, el n´ umero de filas de la matriz. Sin embargo, se programa como un método iterativo, de forma que se busca la convergencia en muchas menos iteraciones. En cada iteraci´ on se tiene la estimaci´ on

    ≤  −  

e

m+1 A

2

κ(A)

1

m

e0

κ(A) + 1

A

donde de nuevo em := xm x es el error en el paso m ésimo y e0 el error inicial. El resultado anterior es algo incompleto pero sirve para hacer patente la sensibilidad del método ante el condicionamiento de una matriz que, aunque menor que en el caso del método del Gradiente (por la ra´ız cuadrada), sigue siendo importante. Si la matriz tiene un condicionamiento moderado, el método del Gradiente Conjugado dar´ a una soluci´ on aceptable en unas pocas iteraciones. Sin embargo, esto no suele ser un caso habitual. Las matrices que surgen en la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo elementos o vol´ umenes finitos, suelen ser, adem´ as de matrices sparse, mal condicionadas, por lo que el método del Gradiente Conjugado requiere de bastantes iteraciones15 . Estas razones hicieron que el Gradiente Conjugado se tomara como un método m´ as, sin concederle especial relevancia y confundiéndose con la multitud de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que iban surgiendo a su alrededor. Esta

−

−

13

Anécdota recogida por Yousef Saada y Henk A. van der Vorstb en “Iterative solution of linear systems in the 20th century” publicado en “Journal of Computational and Applied Mathematics” en el año 2000. 14 Esta coincidencia no es de todas formas un caso aislado en las Ciencias en general y en las Matemáticas en particular. En ocasiones parece como si las ideas estuviesen flotando en el ambiente a la espera de que alguien diera el paso final de plasmarlas. 15 (n1/3 ) en problemas en 3D, (n1/2 ) en 2D es un comportamiento t´ıpico.

O

O

101

´ II LECCION


situación se prolong´ o durante casi 20 a˜ nos hasta que las ideas del precondicionamienon y encumbraron al Gradiente Conjugado a su to cambiaron radicalmente esta situaci´ 16 posici´ on actual . El precondicionamiento consiste, a grandes rasgos, en cambiar el sistema por uno equivalente17

B o r r a d o r Ax = b,



L−1 AL− y = L−1 b, c B

   

x = L− y

y aplicar el método al sistema B y = c. Para su implementaci´ on basta con conocer simplemente la matriz producto M = LL que recibe el nombre de precondicionador de A. En general, la matriz L−1 AL− no se construye, porque el producto por el precondicionador hace que se pierdan algunas de las buenas propiedades de la matriz original. Ahora bien, olo necesitamos calcular productos por M −1 , que y he aqu´ı la venta ja del método, s´ se reducen sistemas lineales con M como matriz de coeficientes. Obviamente, y de forma similar a como proced´ıamos con la descomposici´ on de Cholesky, esto equivale resolver dos  sistemas lineales con L y L . La buena noticia es que es posible construir matrices para las que estos sistemas son f´ aciles de resolver. Por ejemplo, L puede ser sparse y triangular. El m´ etodo del Gradiente Conjugado rara vez se programa sin precondicionar. De hecho, el comando de Matlab con el Gradiente Conjugado implementado es pcg de preconditioned conjugate gradient . En u ´ ltima medida, el éxito del Gradiente Conjugado origin´ o el nacimiento de una etodos de Krylov, que trataban de familia entera de métodos, los conocidos como m´ extender las buenas propiedades del método a matrices m´ as generales. Por ejemplo, BiCG, BiCGSTAB, CGS, QMR, GMRES, MINRES, etc. Algunos de estos métodos requieren que la matriz sea simétrica y otros son v´ alidos para matrices arbitrarias. Un precondicionador universal, es v´ alido en muchos casos, es la descomposici´ o n de Cholesky incompleta. Va más allá de los contenidos de este curso describir detalladamente en qu´ e consiste pero podemos dar una idea. Se trata de, grosso modo, aplicar el método de Cholesky pero restringiendo la creaci´ on de nuevas entradas. El resultado es una matriz L tal que LL A en alg´ un sentido. Por tanto, L−1 AL− I n y su condicionamiento es moderado, o al menos mejor que el de A. En Matlab se encuentra implementada en el comando cholinc. El siguiente ejercicio ilustra el efecto del precondicionamiento en la convergencia del Gradiente Conjugado y con ello trata de convencer de la necesidad de utilizarlo en la resoluci´ on de (muy) grandes sistemas de ecuaciones.

≈

≈

Ejercicio 5.17 Las siguientes instrucciones

>> [p,e,t]=initmesh(’lshapeg’,’Hmax’,0.05); >> [a,b]=assempde(’lshapeb’,p,e,t,1,0,1);

devuelven en a una matriz sparse simétrica definida positiva proveniente de resolver la ecuaci´ on de Poisson (una ecuaci´ on en derivadas parciales) por el m´ etodo de elementos finitos en un 16

La American Mathematic Society lo sit´ uo entre los diez algoritmos más relevantes del siglo XX, junto con, por ejemplo, la Transformada Rápida de Fourier (FFT) o el algoritmo QR para el cálculo de valores y vectores propios. 17 Utilizamos la notación L− = (L−1 ) , es decir invertir y trasponer (o equivalentemente, trasponer e invertir). 102

´ II LECCION

Cap´ ıtulo

10


Metodo del gradiente

0

B o r r a d o r sin precondicionar precondicionado

10

10

10

10

−1

−2

−3

−4

Residuo

10

10

10

10

−5

−6

−7

−8

0

50

100

150

200

250

Iteraciones

Figura 5.5: Efecto del en el Gradiente Conjugado.

dominio en forma de ‘L’. La matriz tiene aproximadamente 2100 filas con 14500 elementos no nulos 18 . Con el comando spy se puede ver la forma de a, su tama˜ no y el n´ umero de entradas no nulas. Aplica el comando pcg que contiene implementado el Gradiente Conjugado. Por ejemplo, con >>[x,flag, relres,iter,resvec] = pcg(a,b,1e-7,100);

aplicas el método con una tolerancia relativa de 10−7 y un n´ umero máximo de 100 iteraciones. En relres se recoge el residuo relativo de la soluci´ on calculada ( b Ax / b ), en resvec un historial del residuo en cada paso y en flag una variable que informa sobre qué ha sucedido en la aplicaci´ on del método. As´ı flag==1 indica que se ha alcanzado el n´ umero máximo de iteraciones sin convergencia, mientras que si flag==0 entonces ha habido convergencia. Para ver el historial de la convergencia del método se puede ejecutar

 − 

>> semilogy(resvec);

Observa que es necesario o aumentar el n´ umero de iteraciones máximas o disminuir la tolerancia para obtener convergencia. A continuaci´ on vamos a utilizar un precondicionador muy sencillo basado en la descomposici´ on de Cholesky incompleta. Teclea >> R=cholinc(a,’0’);

De nuevo, con los comandos habituales puedes ver tanto la forma como el n´ umero de entradas no nulas de R. Modificando las instrucciones anteriores con 18

Por cierto, el logo de Matlab es la solución de un problema de este tipo. 103

´ II LECCION


>>[x2,flag2, relres2,iter2,resvec2] = pcg(a,b,[],100,R’,R);

est´ as aplicando el método del Gradiente Conjugado precondicionado con R R. ¿Disminuye el n´ umero de iteraciones? (ver iter2). ¿Y el tiempo de cálculo?. ¿Puedes ser ahora más exigente con la tolerancia?.

B o r r a d o r Ejercicio 5.18 Con la orden helpwin lee la ayuda que proporciona Matlab para pcg. ¿Qué otros métodos iterativos est´ an implementados?. Consulta también la ayuda de cholinc y luinc.

104

B o r r a d o r Lecci´ on III

Funciones como argumento. Recursividad F´ ormulas de cuadratura. FFT

105

B o r r a d o r


Hobbes clearly proves that every creature Lives in a state of war by nature; So naturalists observe a flea Has smaller fleas that on him prey, And these have smaller still to bite’em, And so proceed ad infinitum. Swift, Poetry: a Rhapsody

En esta lecci´ on abordaremos dos nuevos aspectos de Matlab: el env´ıo de funciones como argumentos de otras funciones y la recursividad, esto es, la habilidad de que las funciones se llamen a s´ı mismas. Adem´ as mostraremos una forma alternativa de definir funciones en la ventana de comandos. En la segunda parte hablaremos de las reglas de cuadratura cl´ asicas para la aproximación de integrales y veremos una implementaci´ on sencilla de un método de integraci´ on adaptativa. Finalizaremos con la transformada discreta de Fourier, y su c´ alculo mediante la transformada r´ apida de Fourier (FFT). La implementaci´ on de estos algoritmos servirá de ilustraci´ on de las estrategias de recursividad, que sirven para obtener un c´ odigo simple y legible.

107

B o r r a d o r 108


Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad 6.1.

Funciones inline

En la sección 3.2 de la Lecci´ on I mostramos la definici´ on de funciones mediante ficheros de texto (con extensi´ on *.m). Existe una forma alternativa de introducir funciones en Matlab que puede utilizarse directamente en la l´ınea de comandos o en el c´ odigo de una función. Por ejemplo, >> f=inline(’exp(-x)*sin(x)’,’x’);

define la funci´ on f (x) = e−x sen(x). Para evaluar se procede igual >> f(2) ans =

0.1231

A efectos pr´ acticos, inline es equivalente a editar una funci´ on con nombre “f” y a escribir el correspondiente c´ odigo. La definici´ on queda en memoria pero una vez cerrada la sesi´ on ´ de Matlab (esto es, al salir del programa) la funci´ on se pierde. Esta es pues una importante desventaja frente la funciones basada en m-files1 . Sin embargo puede resultar u´til para tareas sencillas tanto en el modo comando como en el c´ odigo de una subrutina. Nada impide definir funciones con m´ as argumentos, >> g=inline(’x*cos(y)-y*cos(x)’,’x’,’y’);

Los u ´ ltimos argumentos del comando inline definen las variables de la funci´ on. Si no se especifican, Matlab trata de reconocer cu´ ales son las variables y las ordena alfabeticamente: 1

En el men´ u, seleccionando File Save workspace as se pueden grabar las variables y funciones utilizadas en la sesión actual de Matlab. Otra posibilidad es utilizar la orden save indicando que queremos grabar f . En cualquier caso, ambas opciones no son muy naturales .

→

109

´ III LECCION

6.1 Funciones inline >> g=inline(’x^2*cos(y)-y*cos(x)*z’); >> g

B o r r a d o r g =

Inline function: g(x,y,z) = x^2*cos(y)-y*cos(x)*z

De todas formas, expresar todas las variables expl´ıcitamente puede aclarar y facilitar la lectura, adem´ as de especificar el orden de las variables en la definici´ on de la funci´ on: >> f=inline(’x*cos(k*x)’) f =

Inline function: f(k,x) = x*cos(k*x)

>> f=inline(’x*cos(k*x)’,’x’,’k’) f =

Inline function: f(x,k) = x*cos(k*x)

Las funciones anteriores no est´ an vectorizadas , es decir, al aplicarlas sobre un vector o matriz no act´ uan elemento a elemento. Para ello, deber´ıa escribirse >> g = inline(’x.^2.*cos(y)-y.*cos(x).*z’); >> g([0 pi 0],[pi 0 0], [0 0 pi]) % funcion vectorizada ans = 0

9.8696

0

Otra forma, m´ as sencilla, es introducir la funci´ on de la forma habitual y pedir luego a Matlab que la prepare para su aplicaci´ on a vectores. El comando dedicado a esta tarea es vectorize: >> g = inline(’x^2*cos(y)-y*cos(x)*z’) % funcion sin vectorizar g =

Inline function: g(x,y,z) = x^2*cos(y)-y*cos(x)*z

>> g= vectorize(g)

110

´ III LECCION

Cap´ ıtulo

6. Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad

g = Inline function: g(x,y,z) = x.^2.*cos(y)-y.*cos(x).*z

B o r r a d o r Observa que tras la aplicaci´ on de este comando, Matlab redefine la funci´ o n a˜ nadiendo “.” en los sitios adecuados.

6.2.

Funciones como argumentos

Es frecuente que en programaci´ on más avanzada se requiera que las funciones trabajen sobre funciones. Por ejemplo, podemos plantearnos implementar una funci´ on que realice la siguiente tarea dada una funci´ on de una variable y dos valores dibujar la funci´ on entre esos valores

En este caso, uno de los argumentos es la funci´ on a dibujar. Veamos c´ o mo se ha implementado 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

% MIPLOT % % MIPLOT(F,A,B) % MIPLOT(F,A,B,N) %

Dibuja la funcion F entre A y B Toma N puntos entre A y B

function miplot(f,a,b,varargin)

if nargin<3 disp(’argumentos insuficientes’) end if nargin>3 n=varargin{1}; else n=200; end

x=linspace(a,b,n); % vector con n puntos entre a y b y=feval(f,x); % f debe estar vectorizada plot(x,y) return

En la l´ınea 07, f recoge la funci´ on argumento, mientras que en 20 se procede a evaluar ésta mediante feval

Para enviar la funci´ on existen dos posibilidades: 111

´ III LECCION

6.2 Funciones como argumentos Si enviamos una funci´ on inline , basta con insertar su nombre >> fun=vectorize(inline(’exp(-x)*cos(4*x)’)); >> miplot(fun,0,2*pi,200)

B o r r a d o r Si la funció n es propia de Matlab o est´ a implementada en un fichero m-file en la carpeta de trabajo (o en alguna accesible), podemos

• utilizar “@”

2

>> miplot(@sin,0,2*pi,200)

• indicar el nombre de la función entre comillas >> miplot(’sin’,0,2*pi,200)

Nota. La función plot dibuja el vector y versus x. Concretamente, por defecto construye el pol´ıgono con vértices(x(i),y(i)). Si se toma un n´ umero suficiente de puntos esto basta para obtener una buena gr´ afica. Este comando es una de las salidas gr´ aficas m´ as simples de Matlab y admite una amplia variedad de argumentos opcionales que controlan el aspecto final del dibujo. En una lecci´ on posterior (Lecci´ o n V) veremos este comando y otros  relacionados con las salidas gr´ aficas.

Ejercicio 6.1 Modificar el programa miplot para que en caso de no recibir los argumentos a y b los pida por pantalla. ( Ayuda. La orden input lee datos por pantalla tras mostrar un mensaje. Necesitarás que ahora a y b pasen a ser argumentos opcionales.)

Ejercicio 6.2 Lee la ayuda de Matlab sobre plot. Ensaya diferentes variantes, observa como se puede cambiar de forma sencilla tanto la forma de la gráfica (l´ınea continua, l´ınea a trozos, raya-punto, s´ olo puntos,...), el color,...

6.2.1.

Recursividad

Un aspecto ya habitual en muchos lenguajes de programaci´ on es la recursividad, es decir, la habilidad de que una función se llame a s´ı misma. Es habitual su utilizaci´ on cuando se programan estrategias de tipo divide y vencer´ as , que consiste, a grandes trazos, en dividir un problema en problemas iguales pero de menores dimensiones. Quizás el ejemplo m´ as sencillo (y clásico) se basa en la funci´ on factorial. n! = n (n

· − 1) ··· 1.

De una manera simple, podemos definir de forma recursiva n! =



n (n 1,

· − 1)!,

si n > 0, si n = 0.

Su implementaci´ on en Matlab es ahora tan sencilla como sigue

2

Matlab recomienda esta forma. El operador @ accede al handle de la funci´ on que es la referencia que tiene Matlab de la funci´ on. Para mayor información, ver helpwin function handle. 112

´ III LECCION 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

Cap´ ıtulo

6. Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad

% FACT % % FACT(N) devuelve n! %

B o r r a d o r function f=fact(n)

if (n<0) disp(’error. Argumento inapropiado’); f=[]; % devolvemos el vacio elseif (n==0) f=1; else f=fact(n-1)*n; % llamada a fact con n-1 end return

Obviamente, ésta no es la forma m´ as apropiada de programar la funci´ on factorial que en Matlab se encuentra implementada en una funci´ o n con el mismo nombre3 . Es más, abusar de este tipo de programaci´ on suele generar c´ odigo poco eficiente. Adem´ as el control que debe hace el ordenador de las sucesivas llamadas puede dar lugar a un costo en memoria elevado. Sin embargo es cierto que el c´ odigo resultante suele ser bastante m´ as simple.

3

Tienes de hecho acceso al código, basta con ejecutar edit factorial. 113

´ III LECCION

6.2 Funciones como argumentos

B o r r a d o r 114


F´ ormulas de cuadratura. Transformada r´ apida de Fourier 7.1.

F´ ormulas de cuadratura

Un problema ya clásico es la aproximaci´ on de una integral



b

f (s) ds

a

cuyo c´ alculo no se puede llevar a cabo por medios anal´ıticos o bien porque conlleva un costo elevado. Este tipo de problemas se ha planteado desde la antig¨ uedad, con algunas referencias que se remontan a las Matem´ aticas cl´ asicas en el c´ alculo de a´reas y vol´ umenes ormula de cuadratura de figuras curvas. Quiz´ as éste sea el origen de la denominaci´ on de f´ a cualquier expresi´ on que aproxime una integral definida. La propia definici´ on de integral1 se fórmula actualmente en términos del l´ımite de fórmulas de cuadratura, concretamente f´ ormulas del rect´ angulo. El Análisis Numérico trata de analizar no s´ olo la convergencia de estas f´ ormulas y otras que se puedan plantear, sino especialmente la calidad de estas aproximaciones estimando el error que comenten. En u ´ltima medida, el uso local de estimaciones del error permiten dilucidar qu´ e zonas del intervalo de integraci´ on concentran el error cometido por nuestra f´ ormula y por tanto donde debemos concentrar nuestro esfuerzo para reducir el error cometido. Obtenemos as´ı un método adaptativo, no r´ıgido, que reconoce las dificultades del problema y se adapta a él. En esta secci´ on esbozaremos estas ideas recurriendo siempre a casos sencillos e ideas intuitivas y dejando la teor´ıa en el m´ınimo imprescindible.

7.1.1.

Primeras nociones

Desde una o´ptica completamente ingenua, y a la vista de la gr´ afica de la función por integrar, podemos plantear su aproximaci´ o n por una suma de a´reas de rect´ angulos que 2 aproximen el a´rea total que define f (Figura 7.1) . A este tipo de aproximaciones se les 1 2

Hablamos de la integral de Rienmann. Esta aproximación está, de hecho, detrás de la definición de la integral de Rienmann. 115

´ III LECCION

7.1 Fórmulas de cuadratura

conoce como reglas del rect´ angulo. Queda por elegir el punto que al evaluar define la altura de cada rect´ angulo. Las elecciones m´ as sencillas son tomar el extremo inferior de cada subintervalo, el extremo superior o, la a priori más lógica, tomar el punto medio.

B o r r a d o r 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0

-0.1

-0.2 0

0.5

1

1.5

0.6

2

0.6

partición Regla del punto medio

0.5

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

-0.1

-0.1

0

0.5

1

1.5

2

Particion Regla del trapecio

0.5

0.4

-0.2

2.5

-0.2 0

2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 7.1: Reglas de cuadratura: punto medio y trapecio

Si, por simplicidad, nos limitamos a trabajar con particiones uniformes, es decir, a construir rect´ angulos con igual base, las fórmulas anteriores se pueden exponer de forma simple: en primer lugar introducimos la malla n

∈ N,

h=

b

− a, n

x j = a + hj, x j+1/2 = a + h( j + 1/2)

o partici´ on asociada. Las reglas quedan ahora de la siguiente forma n−1

Q1 (f, h) := h

  

f (x j )

(Punto inferior),

f (x j ),

(Punto superior)

f (x j+1/2 ),

(Punto medio)

j=0 n

Q2 (f, h) := h

j=1 n−1

Qpm (f, h) := h

j=0

Es dif´ıcil escapar a la sensaci´ o n de que la regla del punto medio goza de mejores 116

´ III LECCION

Cap´ ıtulo

7. Fórmulas de cuadratura. FFT

propiedades que las que definen el resto de elecciones3 . Esta impresi´ on es correcta, como veremos m´ as adelante. Un análisis algo más profundo nos descubre la regla del trapecio como una mejor manera de aproximar la integral (ver de nuevo la Figura 7.1). En este caso la integral se aproxima como suma del a´rea de trapecios, como su propio nombre indica. Es un simple ejercicio comprobar que la regla obedece a la siguiente f´ ormula

B o r r a d o r 



n−1



1 1 Qtr (f, h) := h f (x0) + f (x j ) + f (xn ) , 2 2 j=1

(Regla del trapecio) .

Parecer´ıa evidente que esta aproximaci´ on es mejor que la de las fórmulas de rect´ angulo que hemos visto. Esta impresi´ on es s´ olo parcialmente correcta: de hecho la regla del punto medio es ligeramente mejor que la regla del trapecio, como veremos m´ as adelante. En cualquier caso, la regla del trapecio sugiere que podemos desarrollar f´ ormulas más complejas sobre cada subintervalo [xi , xi+1 ] para luego construir con ellas, simplemente sumándolas, una f´ ormula en todo el intervalo [a, b]. Es por ello que a las reglas del rectángulo y trapecio se les llama reglas compuestas, mientras reglas que no implican subdividir el intervalo de integraci´ on en intervalos m´ as peque˜ nos se las conoce como reglas simples.

Ejercicio 7.1 Implementa en Matlab la regla del punto medio.

Soluci´ on. Observemos primero que necesitamos cuatro argumentos de entrada: Funci´ on a integrar f.

Puntos inicial y final del intervalo a,b. Número de divisiones del intervalo n.

Una vez le´ıdos estos datos podemos calcular h, la distancia entre dos puntos consecutivos, construir un vector con los puntos donde hay que evaluar f , evaluar la función en esos puntos (un nuevo vector de valores), sumar el vector y multiplicar por h. El programa podr´ıa ser as´ı 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

% % % % % %

P UNTOMEDIO

PUNTOMEDIO(F,A,B,N) devuelve el valor aproximado de la integral de F entre A y B con la regla del punto medio con N puntos F debe estar vectorizada

function s=puntomedio(f,a,b,n) h=(b-a)/n;

3

Quiz´ as por razones de simetr´ıa. La intuici´ on es una arma poderosa en todas las Ciencias y en las Matem´ aticas en particular. Sin embargo en el Análisis Numérico puede llevar a confusiones e impresiones err´ oneas. En ocasiones los m´ etodos numéricos funcionan o fallan por razones que escapan a la pura intuici´ on. De todos modos, no por ello se debe desdeñar, sino manejarla con algo de cuidado. 117

´ III LECCION

7.1 Fórmulas de cuadratura 11 12 13

x=linspace(a+h/2,b-h/2,n); % calculamos puntos por evaluar y=feval(f,x); % evaluamos f en esos puntos s=h*sum(y); % aplicamos regla

B o r r a d o r 

Ejercicio 7.2 Implementa en Matlab la regla del trapecio.

umero de puntos suficientemente alto y siempre que la funci´ on Ejercicio 7.3 Tomando un n´ sea regular (sea derivable un n´ umero suficiente de veces) puedes tomar ese valor como el resultado exacto de la integral. Con un ejemplo arbitrario compara los resultados de la regla del punto medio y la regla del trapecio. on, algo tonta, sobre el par´ ametro n. Lo habitual es tomar n de Nota. Existe una cuesti´ forma que h = (b a)/n sea la distancia entre los puntos que se eval´ uan para construir la regla de cuadratura. Esta elecci´ on hace que en la regla del punto medio la funci´ on se eval´ u e en n puntos mientras que en la regla del trapecio, se haga en n + 1 puntos. En cualquier caso, y adelant´ andonos a lo que sigue, el par´ ametro relevante es precisamente  h.

−

7.1.2.

Reglas simples

Tanto la regla del punto medio como la del trapecio se basan en interpolar la función por un polinomio de grado 0 (constante) y grado 1 (una recta) sobre cada subintervalo e integrar dicho polinomio. Esto es, si c es el punto medio de (a, b), la regla del punto medio consiste en reemplazar la funci´ on por la constante, polinomio de grado 0, que pasa por (c, f (c)) y aproximar la integral de f por la de dicha constante:



b

 ≈

b

f (s)ds

a

f (c)ds = f (c)(b

a

− a).

Análogamente, la regla del trapecio se basa en aproximar la funci´ on por una recta p1 (s), polinomio de grado 1, que pase por (a, f (a)) y (b, f (b)) y luego dar como resultado aproximado de la integral la de p1 (s):



b

   − − ≈  −  −  b

f (s)ds

a

a

b b

s s f (a) + a b

a b a f (b) ds = [f (a) + f (b)] . a 2

−

p1 (s)

El estudio del error de las f´ ormulas anteriores queda as´ı reducido a las propiedades de aproximaci´ on de los polinomios de grado 0 y 1 correspondientes.

Proposici´ on 7.1 Existen ξ 1 , ξ 2



∈ [a, b] tales que

b



b

a

f (s) ds

a

b

−a f (s) ds − 2

− (b − a)f (c)





f (a) + f (b) 118

1  f (ξ 1 )(b a)3 , 24 1  = f (ξ 2)(b a)3 . 12 =

−

−

−

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Obviamente, nada se dice sobre cu´ ales son los puntos ξ 1 , ξ 2 , puesto que conocer esos puntos en cada caso ser´ıa equivalente a conocer la integral para cualquier funci´ on arbitraria. Es remarcable que ambas f´ ormulas son exactas para polinomios de grado 1 (porque  en tal caso f = 0) y que el error que se puede esperar de la fórmula del punto medio es la mitad que el de la f´ ormula del trapecio y adem´ as con signo opuesto4 . Siguiendo con estas ideas, podemos avanzar un paso m´ as trabajando con polinomios de grado dos. Denotando por Pn (x) los polinomios de grado n, procedemos como sigue

B o r r a d o r Construir p

∈ P (x) tal que (c = (a + b)/2) 2

p2 (a) = f (a),

Dar como aproximaci´ on



p2 (c) = f (c),

b

 ≈

p2 (b) = f (b).

b

f (s) ds

a

p2 (s) ds.

a

a

c

b

Figura 7.2: Regla de Simpson

En la terminolog´ıa habitual se habla de una regla de precisi´ on 2. La fórmula que as´ı obtenemos viene dada por



b

a

b

−a f (s) ds ≈ 6





f (a) + 4f (c) + f (b) .

(7.1)

Esta regla de cuadratura recibe el nombre de regla de Simpson y es una de las más utilizadas en la pr´ actica. A primera vista se puede esperar que dé el valor exacto de la integral para polinomios de grado de 2, puesto que as´ı se ha impuesto en la definici´ on. Sin embargo tiene un grado de precisi´ on adicional fruto de la disposición simétrica de los puntos de evaluaci´ on (es decir, del hecho de que c sea el punto medio de [a, b]), lo que lleva a que la fórmula sea exacta para polinomios de grado 3. Esto es, la regla de Simpson tiene precisi´ on 3: 4

Salvando el hecho de que en principio ξ 1 = ξ 2 . Un an´ alisis m´ as elaborado permite probar que esta conclusi´ on es esencialmente cierta.



119

´ III LECCION


Proposici´ on 7.2 Existe ξ 3



b

b

∈ [a, b] tal que

−a f (s) ds − 6





f (a) + 4f (c) + f (b)

=

1 − 2880 f

(4)

(ξ 3)(b

5

− a) .

B o r r a d o r a

En general, tenemos la siguiente estrategia para construir reglas de mayor precisi´ on: Tomar n

∈ N, h = (b − a)/n, x = a + jh con j = 0, . . . , n (n + 1 puntos). Construir un polinomio p ∈ P (x) tal que j

n

n

p j (x j ) = f (x j ).

Aproximar



b

 ≈

b

f (s) ds

a

pn(s) ds.

a

Las fórmulas as´ı obtenidas reciben el nombre de f´ ormulas de Newton-Cotes cerradas5 . Las fórmulas de Newton-Cotes abiertas se definen de forma similar pero tomando x j+1/2 = a + ( j + 1/2)h,

j = 0, . . . , n,

h=

b

− a. n

Se denominan reglas abiertas porque ni a ni b se eval´ uan para aproximar la integral. Sin embargo no es conveniente recurrir a estas f´ ormulas de cuadratura porque conforme aumenta el n´ umero de puntos, las f´ ormulas tienden a ser m´ as inestables numéricamente. En lugar de ello, se utilizan fórmulas compuestas, como las del rect´ angulo o trapecio, definidas a partir de f´ ormulas simples de pocos puntos. Volveremos a ello en pr´ oximos apartados.

Ejercicio 7.4 (Matem´ atico) Deducir los coeficientes de la regla de Simpson expuestos en ( 7.1).

(Ayuda: Todo polinomio de grado 2 se puede escribir en la forma p2 (s) = α1 (s b)(s c) + α2 (s a)(s c) + α3 (s a)(s b). ¿Cuánto valen α1 , α2 , α3 si exigimos que p2 (a) = f (a), p2 (b) = f (b), p2 (c) = f (c)?. Integra p2 (x) y deduce la regla. Ten en cuenta que c = (a + b)/2.)

−

−

−

−

−

−

Ejercicio 7.5 Otra forma equivalente de definir y calcular las f´ ormulas de Newton-Cotes es exigir que la f´ ormula de cuadratura integre a los polinomios de m´ aximo grado. En el caso de la f´ ormula de Simpson, bastar´ıa con partir de x j = a + jh,

definir



j = 0, 1, 2,

con h =

b

− a, 2

b

a

f (s) ds

≈ ω f (x ) + ω f (x ) + ω f (x ). 0

0

1

1

2

2

y exigir que la f´ ormula sea exacta para f = 1, s , s2 . Calcula as´ı los pesos de la f´ ormula de Simpson. 5

El hecho de que Isaac Newton aparezca ligado a estas ideas da una pista sobre la fecha a la que se remontan estas técnicas. 120

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Ejercicio 7.6 Siguiendo las ideas del ejercicio anterior, podemos deducir las f´ ormulas con más puntos. Para facilitar el estudio realizamos el cambio de variables



b

b

−a



n

B o r r a d o r f (s) ds =

a

n

f (a + ht) dt

0

Se introduce a continuaci´ on la regla de cuadratura en [0, n]



n

g(t) dt

0

 ≈



n ω0 g(0) + ω1 g(1) + . . . + ωn g(n) .

Los pesos se determinan sin más que exigir que sea exacta para polinomios 6 , de grado n en t. Llegamos por tanto a las condiciones



n

g(t) dt = n(ω0 g(0) + ω1g(1) + . . . + ωn g(n)),

g

0

n

∈ {1, t , . . . , t }.

Esta forma directa de abordar el problema nos conduce al sistema

 

1 1 1 1 0 1 2 n 0 1 4 n2 ................. 0 1 2n nn

··· ··· ··· ···

   

ω0 ω1 ω2 .. .

ωn

 

=

 

1 n/2 n2 /3 .. .

nn /(n + 1)

 

.

Implementa una funci´ on que reciba como argumento n y devuelva los pesos de la f´ ormula de 7 Newton-Cotes cerrada de n + 1 puntos .

Soluci´ on. Recordemos en primer lugar que los vectores en Matlab se numeran a partir de 1, lo que exige desplazar todos los ´ındices una unidad. Dicho esto, una implementaci´ on de la soluci´ on de este ejercicio es como sigue 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

% % % % % % % % % % %

PESOSNEWTONCOTES

V=PESONEWTONCOTES(N)

devuelve en V los pesos de la formula de Newton-Cotes cerrada de N+1 puntos.

Esto es, la integral de f en [a,b] se aproxima por

(b-a)*(w(1)*f(x(1))+w(2)*f(x(2))+...+w(n+1)*f(x(n+1))) donde x(i)=a+(i-1)*(b-a)/n i=1,...,n+1,

6

observa que el cambio de variable lleva polinomios de grado n a polinomios de grado n La matriz del sistema recibe el nombre de Matriz de Vandermonde. Desafortunadamente es una matriz muy mal condicionada que da problemas en su resolución para n moderado. Ello es consecuencia de que la base de monomios no es buena elección como base de los polinomios. 7

121

´ III LECCION

7.1 Fórmulas de cuadratura 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

function w=pesosnewtoncotes(n) r=0:n; c=1; m=ones(1,n+1); for i=1:n m=[m; r.î]; % construimos matriz del sistema c=[c; n^(i)/(i+1)]; % construimos el termino independiente end

B o r r a d o r w=m\c; return



Con diferentes valores de n hemos obtenido los siguientes resultados

1 2 3 4 5 6 1/2 1/6 1/8 7/90 19/288 41/840 1/2 2/3 3/8 16/45 25/96 9/35 1/6 3/8 2/15 25/144 9/28 1/8 16/45 25/144 34/105 7/90 25/96 9/28 19/288 9/35 41/84

7 322/7409 337/1628 49/64 585/3382 585/3382 49/64 337/1628 429/9871

8 248/7109 578/2783 111/3391 97/262 454/2835 97/262 111/3391 578/2783 248/7109

− − −

9 10 177/5551 94/3503 458/2607 2431/13693 27/224 410/5059 451/2089 722/1587 282/4373 406/933 282/4373 783/1097 451/2089 406/933 27/224 722/1587 458/2607 351/4331 177/5551 2284/12865 94/3503

− − − −

Se puede comprobar que aparecen pesos negativos a partir de n = 8. Es decir, la fórmula de cuadratura puede dar valores negativos para una funci´ on positiva. Esta inestabilidad se vuelve más acusada conforme n . De hecho es muy probable que a partir de n 10 la resoluci´ on del sistema lineal de Vandermonde de resultados muy poco fiables dado el mal condicionamiento de la matriz8. En cuanto a los pesos, éstos se pueden calcular de forma m´ as estable sin más que elegir una base adecuada de los polinomios de n. La fórmula para n = 3 se suele denominar en la literatura, por razones obvias, regla de 3/8. El grado de precisi´ on de estas reglas (es decir, el grado de los polinomios para los que las fórmulas dan la integral exacta) es n o´ n + 1 dependiendo si n es impar o par respectivamente.

→∞

≈

Ejercicio 7.7 Implementa una funci´ on que devuelva los pesos para las f´ ormulas de NewtonCotes abiertas.

7.1.3.

Retorno a las reglas compuestas

En la secci´ on precedente indicamos que el uso de f´ ormulas de cuadratura simple con un n´ umero de puntos elevados equidistribuidos no es recomendable dado que exhiben 8

Se puede atenuar este mal condicionamiento utilizando la descomposición QR (ver Lección IV) para resolver el sistema lineal 122

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


una gran inestabilidad num´ erica. Este hecho est´ a ´ıntimamente con la inestabilidad de la interpolación numérica en estos nodos, tema al que volveremos m´ as adelante (Lecci´ on V). Una alternativa que proporciona mejores resultados, y que es muy sencilla de implementar, es volver a las f´ ormulas de cuadratura compuestas, dividiendo el intervalo original en varios subintervalos y aplicar en cada uno de ellos una f´ ormula de cuadratura simple. Por ejemplo la regla del trapecio es la f´ ormula de cuadratura compuesta obtenida al dividir el intervalo de integraci´ on en n subintervalos y aplicar en cada uno de ellos la fórmula de Newton-Cotes cerrada de dos puntos:

B o r r a d o r 

b

f (s) ds

a

≈ b −2 a (f (a) + f (b)).

Deduciremos a continuaci´ on la regla compuesta de Simpson. Tomemos en primer lugar n subintervalos, con lo que habremos de evaluar en 2n + 1 puntos. Definiendo h = (b a)/(2n), xi = a+ih (i = 0, . . . , 2n) aplicaremos la regla de Simpson simple sobre [x2i , x2i+2 ] (longitud 2h). Aparecen as´ı tres términos diferentes:

−

Los puntos x0 (= a) y x2n (= b) son extremos de un uńico subintervalo.

Los puntos x2 j , j = 1, . . . , n 1, que son extremo superior de un subintervalo e inferior del siguiente ([x2 j−2 , x2 j ] y [x2 j , x2 j+2 ]).

−

Los puntos x2 j −1 que son puntos interiores de los subintervalos ([x2 j−2 , x2 j ]).

La fórmula que obtenemos es





n−1

n





1 4 2 1 Qsp (f, h) := h f (x0 ) + f (x2 j −1 ) + f (x2 j ) + f (x2n) . 3 3 j=1 3 j=1 3

(7.2)

La siguiente proposici´ on informa sobre el comportamiento de las tres f´ ormulas compuestas hasta ahora

Proposici´ on 7.3 Existen ξ 1 , ξ 2, ξ 3

∈ [a, b] tales que

 −  −  −

b

Qpm (f, h) Qtr (f, h)

Qsp (f, h)

h2  f (s) ds = f (ξ 1 )(b a), 24 a b h2  f (s) ds = f (ξ 2 )(b a), 12 a b h4 (4) f (s) ds = f (ξ 3 )(b a). 180 a

−

− −

−

−

A la luz de este resultado se concluye que el error se divide por cuatro cuando h se divide por dos para las f´ ormulas del punto medio y trapecio, y por dieciséis en el caso de la fórmula de Simpson. Se dice entonces que las f´ ormulas tienen orden de convergencia 2 en los dos primeros casos y orden 4 para la regla de Simpson. Esencialmente, el resultado anterior informa de c´ omo mejora la aproximaci´ o n de la fórmula cuando aumentamos el esfuerzo computacional. Comprobamos que hay una clara ventaja de la regla de Simpson respecto a la regla del punto medio y del trapecio. No obstante, se observa que es necesario que la funci´ on tenga derivada cuarta continua para alcanzar orden 4. En caso de que la funci´ on no sea tan regular, es esperable que la regla de Simpson pierda orden. 123

´ III LECCION


Ejercicio 7.8 Deducir que la f´ ormula compuesta de Simpson viene efectivamente dada por ( 7.2 ). Programar en una funci´ on la regla de Simpson compuesta, siguiendo las directrices marcadas en el Ejercicio 7.1.

B o r r a d o r Ejercicio 7.9 Se trata de observar experimentalmente el orden de convergencia de las reglas del punto medio, trapecio y de Simpson, programadas en los ejercicios 7.1, 7.2 y 7.8 mediante una bater´ıa de experimentos. Para ello, definimos una funci´ on mediante inline: >> f=inline(’x*cos(x)’); f=vectorize(f);

La integral exacta se puede calcular tomando un n´ umero muy elevado de puntos (por ejemplo n = 10000) con la regla de Simpson, que es la de mayor precisi´ on. Mide el error para diferentes valores de n y observa como decrece el error. Una buena elecci´ on podr´ıa ser n = 10, 20, 40, 80,..., esto es, multiplicando por 2 el n´ umero de puntos. Deber´ıas observar que para funciones suaves el error se divide por 4 o por 16, seg´ un la regla que se aplique. Testa los programas con los siguientes ejemplos i) f 1 (x) = x cos(x) en [0, π]

ii) f 2 (x) = xe−x en [0, 3]

iii) f 3 (x) = x log(x) en [1, 2] y en [0, 2]9

iv) f 4 (x) = cos2 (x) en [0, π/2], en [0, π] y en [0, 2π].

Un fichero script te puede venir bien para este ejercicio. ¿Qué observas con las reglas del trapecio y del punto medio en el ´ ultimo caso?.

Nota. En esta serie de experimentos se observa que la regla de Simpson no alcanza el orden que la teor´ıa predice en el ejemplo iii) sobre el intervalo [0, 2]. Ello es debido a que las derivadas de la función tienen una singularidad en el origen. Menos simple de explicar es la superconvergencia (convergencia mejor de lo esperado) 2π que se observa para 0 cos2 (x) (punto iv)).Esto es consecuencia de que el integrando, además de regular, es π periódico y se est´ a integrando en un m´ ultiplo de su intervalo de periodicidad. En una secci´ on posterior daremos una explicaci´ o n a este fen´ omeno tan sorprendente. 



−

Ejercicio 7.10 Implementa la regla compuesta de 3/8, la siguiente a la regla de Simpson, que aparec´ıa en el Ejercicio 7.6 . Compara los resultados con la regla de Simpson. ¿Qué observas? 9

En este caso, evaluar en 0 es una singularidad de tipo 0 . En realidad el l´ımite cuando x 0 es cero, que se puede tomar como valor de f (0). Una forma de evitar este problema es aplicar la fórmula en [, 2] con  << 1, por ejemplo,  = 10−16 . Esta breve discrepancia en el extremo de integración no afecta al resultado.

·∞

124

→

´ III LECCION

7.1.4.

Cap´ ıtulo


Reglas gaussianas

En el estudio de las fórmulas de Newton-Cotes vimos que los pesos estaban escogidos de manera que la fórmula tuviese grado m´ aximo de precisión aunque la elecci´ o n de los nodos, es decir, de los puntos en los que se eval´ ua la función, estaba fijada a priori . Podemos plantearnos ahora hacer de la posici´ o n de los nodos una variable más del problema. Para ello, y con objeto de simplificar el an´ alisis, nos situamos en el intervalo [ 1, 1] y buscamos la f´ ormula de mayor precisi´ on de dos puntos:

B o r r a d o r −

ω1 , ω2, ξ 1 , ξ 2

∈R



1

ω1 p(ξ 1 ) + ω2 p(ξ 2 ) =

p(s) ds,

p

−1

2

3

∈ {1, s , s , s }

Es decir, tenemos cuatro inc´ ognitas, ξ 1 , ξ 2 (los nodos de la fórmula) y ω1 , ω2 (los pesos), y exigimos que la fórmula integre de forma exacta a polinomios de grado 3. En principio el problema est´ a bien planteado10 . Es un ejercicio ilustrativo resolver el sistema no lineal

La soluci´ on a dicho sistema es

  

ω1

+

ω2

= 2,

ω1ξ 1 + ω2 ξ 2 = 0, ω1ξ 12 + ω2ξ 22 =

2 , 3

ω1ξ 13 + ω2ξ 23 = 0.

ω1 = ω2 = 1,

ξ 1 =

−

√ 3 3

, ξ 2 =

√ 3 3

.

o n de los nodos nada obvia define una regla de dos puntos En resumen, una elecci´ con mejores propiedades de convergencia que, por ejemplo, la regla del trapecio11 . Podemos proceder de la misma forma y dada una regla de cuadratura de n nodos exigir que ésta integre de forma exacta a polinomios de grado 2n 1. Dada la dificultad del sistema no lineal resultante, patente ya con n = 2, se deduce que el problema debe ser atacado desde un punto de vista muy diferente. Existe una teor´ıa ya cl´ asica que demuestra que

−

existe una u ńica regla de cuadratura que cumpla esas condiciones; los pesos ωi son siempre positivos.

El segundo punto es importante, pues asegura que los pesos no puedan crecer sin control dado que al ser positivos y al integrar de forma exacta a las constantes, ω1 + . . . + ωn = 2, situación que no se daba en las fórmulas de Newton-Cotes. 10

Tenemos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Sin embargo el sistema es no lineal luego la teor´ıa cl´ asica de sistemas lineales no es aplicable. Podr´ıamos tener cuatro soluciones, siete soluciones, infinitas soluciones o ninguna solución... 11 Este resultado le resultó ya muy chocante a Carl Friedrich Gauss, que fue el primero en notar que una distribución nada lógica de los nodos defin´ıa una fórmula de cuadratura de mayor grado de precisión. 125

´ III LECCION


La teor´ıa va m´ as allá puesto que es constructiva: da una forma de calcular la f´ ormula (nodos y pesos) mucho m´ as eficiente. En concreto, los nodos de la f´ ormula de cuadratura son las ra´ıces de una familia de polinomios, los polinomios de Legendre, que se encuentra tabulada en multitud de textos cient´ıficos. Los pesos ωi se pueden calcular a continuaci´ on resolviendo un simple sistema lineal. En la Tabla 7.1 se pueden ver los coeficientes de las primeras reglas gaussianas. Observa que la disposición simétrica de los nodos en el intervalo [ 1, 1] y de los pesos asociados.

B o r r a d o r −

n n=1 n=2

ξ i

ωi

0

2

−√ √ 3/3 3/3

1 1

n=3

−0.774596669

0.555555556 0.888888889 0.555555556

−0.861136312 −0.339981044

0.347854845 0.652145155 0.652145155 0.34785484

−0.906179846 −0.538469310

0.236926885 0.478628670 0.568888889 0.478628670 0.236926885

0.0 0.774596669

n=4

0.339981044 0.861136312

n=5

0.0 0.538469310 0.906179846

Cuadro 7.1: Primeras f´ ormulas gaussianas

Ejercicio 7.11 (Reglas gaussianas en un intervalo arbitrario) Las f´ ormulas gaussianas se dan en el intervalo de referencia [ 1, 1] por comodidad. ¿C´ omo se aplicar´ıan en un intervalo [a, b]?.

−

7.1.5.

Extrapolaci´ on de Richardson

La extrapolaci´ on de Richardson es una estrategia que permite acelerar la velocidad de convergencia de un método numérico bajo determinadas condiciones. Nos centraremos en esta secci´ on en la descripci´ on de esta técnica aplicada a la f´ ormula del trapecio. El método resultante se conoce como m´ etodo de Romberg .

126

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Proposici´ on 7.4 Existe una sucesi´ on de n´ umeros (b2 j ) j tales que para f suficientemente regular



 



m

b

B o r r a d o r f (s) ds

a

−Q

tr (f,

h) =

2 j

b2 j h

(2 j −1)

f

(2 j −1)

− f

(b)

j=1

(a) +

2m+2

O(h

).

El s´ımbolo de Landau (hM ) indica una cantidad que es menor que una constante multiplicada por hM y con dicha constante independiente de h. En otras palabras, es equivalente a escribir

O

  

  −

 ≤

m

b

f (s) ds

a

−Q

tr (f,

h)

b2 j h2 j f (2 j−1) (b)

j=1

(2 j −1)

− f

(a)

C mh2m+2

donde C m depende de m y de la derivada m + 1 de f pero no de h. Denotando por b

I =

f (s) ds,

α0 (h) = Qtr (f, h)



(2 j −1)

c2 j := b2 j f

a

se observa que para h y h/2 se dispone de los desarrollos

(b)

(2 j −1)

− f

(a)



m

I = α0 (h) +

 

c2 j h2 j +

j=1

2m+2

O(h

),

m

I = α0 (h/2) +

1 c h2 j 4j 2 j

+

j=1

2m+2

O(h

).

Multiplicando la segunda ecuaci´ on por 4, restando la primera y despejando I obtenemos m

   −   O     O   − O ⇔ | − |≤

4α0 (h/2) I = 3

− α (h) + 0

1 3

1 c2 j h2 j +

1 4j −1

j=1

(h2m+2 ).

(1)

c2j

α1 (h)

En particular observamos que c(1) = 0, esto es hemos cancelado el primer término del 2 desarrollo, por lo que m

2 j c(1) 2 j h +

I = α1 (h) +

(h2m+2 ).

(7.3)

j=2

Como consecuencia

I

α1 (h) =

(h4 )

I

α1 (h)

C 4 h4 .

Por tanto α1 (h) es una aproximaci´ on de la integral con orden 4. Es más, α1 (h) cumple de nuevo un resultado similar al de la proposici´ on anterior (ver (7.3)), por lo que podemos 12 repetir el mismo argumento y definir α2 (h) =

12

16α1 (h/2) 15

− α (h) . 1

α1 (h/2) se ha obtenido igual partiendo de α0 (h/2) y α0 (h/4) 127

´ III LECCION


Paso 0

Paso 1

Paso 2

Paso 3

B o r r a d o r c o n v e r g e n c i a

α0(h)

// 6 6 n

α1 (h)

n n n n n n n n n n n n

α0 (h/2)

// 6 6 n


// α (h/2) 6 1 6


α0 (h/4)

α2 (h)

// 6 6 n

α3 (h)


α2 (h/2)

/ / 6 6 n

n n n n n n n n n n n

// α (h/4) 6 1 6




α0 (h/8)

Figura 7.3: Diagrama del método de Romberg

Es fácil ver que nuevamente I α2 (h) tiene un desarrollo del error que comienza con h6 puesto que este combinaci´ on ha cancelado el primer término que aparec´ıa con α1 (h). Como consecuencia, α2 (h) da una aproximaci´ on de la integral de orden 6. En general se pueden definir 22 j α j (h/2) α j (h) α j+1 (h) = . 22 j 1 Cada una ellas satisfaciendo I α j (h) C j h2 j+2 ,

−

− −

| −

|≤

donde C j es independiente de h pero de j o de f . Observa que la convergencia s´ o lo se asegura para j fijo y h 0. Su ventaja m´ a s palpable es que uńicamente requiere aproximaciones de la integral obtenidas con una f´ ormula de cuadratura sencilla. Combinando resultados para valores distintos de h se obtiene una mejora sustancial en la aproximaci´ on de la integral. Aqu´ı nos hemos centrado en la f´ ormula del trapecio, pero se pueden adaptar a la f´ ormula del punto medio o a la de Simpson. Es m´ as, estrategias de este tipo se aplican en diversa a´reas del Análisis Numérico. Para ello, es esencial contar con un resultado del tipo enunciado en la Proposición 7.4. La extrapolaci´ on sigue el sencillo diagrama de la Figura 7.3

→

on, y en concreto la Proposici´ on 7.4, expliNota. Los resultados expuestos en esta secci´ can por qué la f´ ormula del trapecio converge mejor de lo esperado para funciones regulares y periódicas cuando se integra en un intervalo de periodicidad. Observa que en este caso f (2 j −1) (b) = f (2 j−1) (a) y por tanto no hay términos en hm para ning´ un m. Esto es, el orden de convergencia es m para cualquier m, o lo que es lo mismo

 

b

a

f (s)ds

−Q

tr (f,

 ≤

h)

C mhm ,

∀m ∈ N

donde C m que depende de la derivada m-ésima de f (y por tanto de m) pero no de h. Con ello se consigue una convergencia muy r´ apida a la integral y bastar´ an unos pocos puntos 128

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


para calcular la integral con una precisi´ on muy fina. En la terminolog´ıa habitual en An´ alisis Numérico se dice que el método tiene un orden de convergencia superalgebraico. Es posible probar que bajo condiciones algo m´ as fuertes 13 que la existencia de todas la derivadas

B o r r a d o r  

b

f (s)ds

a

−Q

tr (f,

 ≤

h)

Cr −n

con r > 1 y C independiente de r y de n, con lo que el orden es de hecho exponencial.



on a la f´ ormula del trapecio Ejercicio 7.12 Comprueba que si aplicas un paso de extrapolaci´ compuesta obtienes el método de Simpson. on de Richardson, seg´ un el siguiente prototipo de Ejercicio 7.13 Implementa la extrapolaci´ funci´ on 01 02 03 04 05 06 07

% RICHARDSON % % V= RICHARDSON(F,A,B,N,M) Aplica la formula del trapecio con N, 2*N,4*N,..., 2^(M-1)*N puntos Construye la matriz de extrapolacion V M x M donde V(:,i) es el resultado de aplicar el paso i-1 de Richardson.

Ejercicio 7.14 Existe una forma más general de definir la extrapolaci´ on. Para ello precisamos que las sucesivas h decrezcan de una forma proporcional α0 (h),

α0(rh),

α0 (r 2h), . . . , α0 (r nh).

En el caso expuesto, r = 1/2. ¿C´ omo se adapta la extrapolaci´ on para otras elecciones de r (0, 1)?.

∈

7.1.6.

Integraci´ on adaptativa

Las fórmulas anteriores adolecen de un importante defecto: todas asumen que el comportamiento de la funci´ o n es m´ as o menos uniforme en todo el intervalo de integraci´ on. La situaci´ o n usual es que la funci´ on tenga zonas donde var´ıa de forma brusca y zonas donde su comportamiento sea considerablemente m´ as suave. Intuitivamente, se entiende que las primeras zonas son las m´ as problem´ aticas. El siguiente paso en cualquier algoritmo numérico es dise˜ nar métodos adaptativos. Estos esquemas reconocen aquellas zonas que requieren mayor traba jo (refinar, en la terminolog´ıa habitual) y aquéllas donde basta unas pocas evaluaciones para obtener una aproximaci´ on suficientemente buena. Para abordar esta tarea debemos disponer en primer lugar de un buen estimador del error , esto es, de un postproceso que nos de informaci´ on sobre el error que estamos cometiendo y que as´ı permita dilucidar qué partes del intervalo de integraci´ on requieren mayor esfuerzo y cu´ ales no. 13

Concretamente que la función sea anal´ıtica

129

´ III LECCION


B o r r a d o r Zona regular

Zona Irregular

Zona regular

Figura 7.4: Integraci´ on adaptativa

A continuaci´ on expondremos una implementaci´ on muy sencilla de una integración adaptativa basada en la regla de Simpson. El estimador se basa en comparar el resultado obtenido, en cada subintervalo, por la regla de Simpson simple, y la compuesta con dos subintervalos. Dado que la regla de Simpson se obtiene de la regla del trapecio utilizando un unico ´ paso de extrapolaci´ on (Ejercicio 7.12), obtenemos de (7.3)

 −     −    b

f (s) ds

a

h f (a) + 4f (c) + f (b) 6 Q1 (f )

b

f (s) ds

a

h f (a) + 4f (d) + 2f (c) + 4f (e) + f (b) 12 Q2 (f )

   

(1)

= c2 h4 +

6

(7.4)

6

(7.5)

O(h )

(1)

c = 2 h4 + 16

O(h )

donde h = (b a), c es el punto medio de (a, b), d y e, los puntos medios de (a, c) y (c, b). 4 El término dominante del error, para h suficientemente peque˜ no, es c(1) 2 h de forma que

−



b

f (s) ds

a

(1) 4 2 j h .

− Q (f ) ≈ c 1

A priori este término no puede ser calculado, pero puede ser despejado de (7.4) y (7.5), sin más que sustraer a la primera identidad la segunda. As´ı obtenemos Q2 (f )

1

y por tanto

16 (Q2 (f ) 15

− Q (f )) ≈ 1

   ≈ −   

− Q (f ) ≈ 1 − (1) c2 j h4

1 16

(1)

c2 j h4

b

f (s) ds

a

error

130

Q1(f ) .

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


La idea de nuestro esquema adaptativo es la que sigue: dado un intervalo [a, b] y una tolerancia ε Calculamos Q2 (f ) y Q1 (f ) como antes, y

B o r r a d o r 

16 est = (Q1 (f ) 15

− Q (f )) 2



Si est < ε el resultado se considera bueno y se devuelve Q2 (f );

Si est > ε se aplica el argumento anterior en los subintervalos [a, c] y en [c, b] con una tolerancia de /2 y se devuelve como integral la que calculada en [a, c] y en [c, b]

Hay por lo tanto un proceso de subdivisi´ on de los intervalos, de manera que la uńica forma, en este estado inicial, de que un subintervalo no se divida es que la integral se calcule dentro de la tolerancia prefijada. Obviamente el algoritmo anterior se programa de forma natural de manera recursiva. El papel fundamental lo juega una funci´ on, que podr´ıa seguir el siguiente prototipo simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol)

donde f es la funci´ on a integrar, a y b son los extremos de integraci´ on, c el punto medio, fa, fb y fc los valores de f en a, b y c, integ es el resultado de aplicar la regla de Simpson en [a,b] y tol la tolerancia con la que se pide la integral. Se procede entonces siguiendo los siguientes pasos 1. Se toma h=(b-a), d=(a+c)/2, e=(c+b)/2 y se calcula fd = f (d) y fe = f (e) 2. Se calcula

integ21 = h/12*(fa + 4fd + fc)

integ22 = h/12*(fc + 4fe + fb)

integ2 = integ21 + integ22

3. Se calcula el estimador



16 (integ est = 15



− integ2)

4. Si esttol entonces se calcula

integ21 = simpsonadatativo(f, a, d, c, fa, fd, fc, integ21, tol/2) integ22 = simpsonadatativo(f, c, e, b, fc, fe, fb, integ22, tol/2) integ = integ21 + integ22. 131

´ III LECCION


Si hemos seguido el esquema anterior y nos vemos forzados a dividir en dos subintervalos, habremos evaluado ya f en a, c y en su punto medio d y en c, b y el correspondiente punto medio e. También se habr´ a calculado la regla de Simpson en estos intervalos. Es por ello que enviamos todos estos valores en las llamadas de la funci´ on simpsonadaptativo, dado que generalmente la operaci´ on más costosa es precisamente evaluar la funci´ on. Notemos que se ha optado por devolver como aproximaci´ on de la integral Q2 (f ), en 14 lugar de Q1 (f ) . Otra variante es devolver

B o r r a d o r 16Q2 (f ) Q1 (f ) 15

−

que es el primer paso de extrapolaci´ on de Simpson (o el segundo del trapecio, de acuerdo al problema 7.2). La forma más simple de implementar el proceso anterior es introduciendo una funci´ on de cabecera que prepare los datos iniciales: recibe la funci´ on, el intervalo de integraci´ on y la tolerancia solicitada, y calcula para arrancar la subrutina simpsonadaptativo el punto medio c, los valores de f en a, b y c y el resultado de aplicar la regla de Simpson simple en [a, b]. Por ejemplo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17

% % % % % % %

SIMPSONRECURSIVO

INTEG= SIMPSONRECURSIVO (F,A,B,TOL)

Devuelve una aproximacion de la integral mediante una integracion adaptativa basada en la regla de Simpson con tolerancia TOL

function integ=simpsonrecursivo(f,a,b,tol)

c=(a+b)/2; fa=feval(f,a); fb=feval(f,b); fc=feval(f,c); integ=(b-a)*(fa+4*fb+fc)/6; %regla de Simpson integ=simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol); return

Resta por programar la funci´ on simpsonadaptativo, trabajo que proponemos al lector.

Ejercicio 7.15 Implementa la regla de Simpson adaptativa.

Ejercicio 7.16 El método tal como está programado puede entrar en un bucle infinito si no se consigue integrar con la tolerancia exigida en las sucesivas subdivisiones de un intervalo. Para evitar este problema hacemos que el programa lleve control del n´ umero de veces que ha subdividido un intervalo. La funci´ on puede seguir la siguiente sintaxis 14

Casi nadie dudar´ıa en esta elección. Es decir, es esperable que Q2 (f ) sea mejor que Q1 (f ), as´ı que ¿por qué no devolver lo mejor que se tiene?. Matemáticamente, sin embargo, el estimador del error controla el error de Q1 (f ) y no de Q2 (f ). 132

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


1.5

B o r r a d o r 1

0.5

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Figura 7.5: Integraci´ on adaptativa de

2

√ x

[integ,subd2]=simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol,subd)

donde subd2=subd+1. Si subd2 > subdmax se devuelve un mensaje de error, se deja de subdividir y se continua la ejecuci´ on del programa devolviendo el ´ ultimo valor calculado. El parámetro subdmax puede dejarse como un valor por defecto que puede modificarse si el usuario especifica otro valor. Es decir, entra a formar parte de un conjunto variable de argumentos de entrada. Implementa el método resultante.

Ejercicio 7.17 Por ´ ultimo podemos llevar un control sobre los puntos que hemos evaluado. Para ello basta utilizar [integ,subd2,x2]=simpsonadaptativo(f,a,c,b,fa,fc,fb,integ,tol,subd,x)

con x2=[x d e] donde d y e son los puntos medios de [a,c] y [c,b] respectivamente. Implementa el método resultante.

(Ayuda: si al final se desea que los puntos x2 est´ en ordenados se puede aplicar la instrucción sort(x2) que devuelve el vector con sus componentes ordenadas de menor a mayor.)

Nota final

De un estimador se suele hablar de dos conceptos bien importantes: confiabilidad y eficiencia. Un estimador es confiable si efectivamente el error est´ a por debajo de lo que el estimador calcula. Por contra, es eficiente si el estimador aproxima bien el error cometido. Nuestro estimador, en general, es poco eficiente: el error real suele estar muy por deba jo de la cantidad que nos devuelve el estimador, especialmente si el intervalo de integraci´ on es grande. Por ejemplo, para f = x e integrando en [0, 2], se observa que con una tolerancia

√

133

´ III LECCION

7.2 Transformada rápida de Fourier

Adaptativa tol 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8

Error neval 8.91e 03 7 1.41e 04 15 1.57e 06 29 2.12e 07 47 8.48e 09 77 2.64e 10 133 8.27e 12 233 2.25e 13 421

Pto. medio

Trapecio

Simpson

Error 8.01e 2.70e 1.03e 5.01e 2.45e 1.09e 4.73e 1.96e

Error 3.67e 1.06e 3.81e 1.82e 8.67e 3.81e 1.64e 6.76e

Error 1.01e 3.59e 1.40e 6.90e 3.33e 1.36e 6.41e 2.65e

B o r r a d o r − − − − − − − −

−3 − −2 − −2 −3 − −2 − −3 −3 − −3 − −3 −4 − −3 − −4 −4 − −4 − −4 −4 − −4 − −4 −5 − −4 − −5 −5 − −5 − −5 √ x dx. Tolerancia exigida (tol), número de

 2

Cuadro 7.2: Resultados num´ ericos para 0 evaluaciones (neval) y error cometido (Error). Comparativa con las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson con h fijo y el mismo n´ umero de evaluaciones

de 10−5 el error real cometido por el método adaptativo es 8.48 10−9 , un error 1000 veces menor en magnitud. Una forma de corregir este problema es, una vez que se ha decidido dividir el intervalo de integraci´ on en dos subintervalos, no exigir una tolerancia tol/2 en cada uno de ellos, sino utilizar r tol con r [1/2, 1]. Matlab utiliza de hecho r = 1. Matlab cuenta con algunas funciones encargadas de la integraci´ on numérica:

·

∗

quad

quadl

∈

dblquad

triplequad

Las dos u ´ ltimas aplican reglas de cuadratura para integrales dobles y triples respectivamente. El comando quad implementa esencialmente el método de Simpson recursivo que hemos visto en esta secci´ on. Por otro lado, quadl utiliza una regla de orden mayor que as regular . da mejores resultados si el integrando es m´ El código de estas funciones est´ a abierto, luego se puede editar para ver los detalles de su implementaci´ on.

7.2.

Transformada r´ apida de Fourier

La transformada r´ apida de Fourier, o FFT, seg´ un sus siglas en inglés15 , es una herramienta muy potente en el an´ alisis de se˜ nales peri´ odicas y cuyas aplicaciones se han extendido a aspectos muy diferentes del C´ alculo Numérico. Existen diversas formas de introducir la FFT. Hemos escogido la interpretaci´ on que relaciona la transformada de Fourier discreta con los coeficientes de Fourier para enlazar seguidamente con algunas aplicaciones. 15

El nombre correcto ser´ıa transformada discreta rápida de Fourier, para distinguirla de la transformada de Fourier continua. Sus siglas en inglés, FFT, podr´ıan entonces provenir de Fast Fourier Transform o Finite Fourier transform . De acuerdo a lo anterior, las siglas más adecuadas ser´ıan FFFT (Fast Finite Fourier transform ), pero nadie utiliza esta nomenclatura, seguramente por el exceso de Fs) 134

´ III LECCION

Cap´ ıtulo

7. Fórmulas ormulas de cuadratura. FFT

Parte de esta secci´ on, especialmente la referente a la transformada r´ on, apida apida de Fourier, se ha obtenido del libro Numerical Computing with Matlab, Matlab , de Cleve Moler.

B o r r a d o r 7.2.1. 7.2.1.

Transforma ransformada da de Fourier ourier discre discreta ta

on seguiremos la notaci´ on on de Euler Nota En esta sección exp(iθ exp(iθ) = eiθ = cos θ + i sen sen θ,

θ

∈ R,

donde i es la unidad imaginaria.  Dada una función on 1–peri´ odica, odica, ésta esta se puede pue de expresar expr esar en forma for ma de serie de d e Fourier

    f ( f (θ) =

f ( f (m) exp(2 exp(2π π imθ) mθ),

θ

m∈Z



(7.6)

∈R

donde f ( esimo de Fourier f (m) es el coeficiente m-ésimo 1

f ( f (m) =

f ( f (θ) exp( exp( 2πimθ)d mθ)dθ, θ,

m

−

0

∈ Z.

La convergencia de la serie es un asunto algo delicado16, pero si la función o n tiene, por ejemplo, derivada continua, la convergencia de la serie es uniforme:

 −   s

máx ax f ( f (θ)

θ∈[0, [0,1]

f ( f (m) exp(2 exp(2π π imθ) mθ )

| → 0,

m=−r

cuando r, s

→ ∞,

lo que en particular justifica alguna de las manipulaciones que haremos a continuaci´ on. La identidad (7.6 (7.6)) se interpreta en el sentido de que la función on original f es suma infinita de unas frecuencias fundamentales. Observa que para cada m, exp(2π exp(2πimθ) mθ),

es una funci´ on on 1/m-peri´ odica, o dicho de otra forma, su periodo es 1/m odica, 1/m (ver la Figura /m-peri´ 7.6). 7.6 ). Además as se tiene la relaci´ on on

 | 1

∞

2

f ( f (m) 2

f ( f (θ) dθ =

0

|

 |

m=−∞

|

(7.7)

que se interpreta como que la energ´ energ´ıa de d e funci´ on original f es igual a la energ ener g´ıa del vector infinito (. . . , f ( f ( 2), 2), f ( f ( 1), 1), f (0) f (0),, f (1) f (1),, f (2) f (2),, . . .) .) . 16

− −   

Mucho Mucho se ha escrito escrito sobre esto. En cualquier cualquier caso hay que especificar especificar en qu´ e sentido sentido converge converge la serie. El sitio más as adecuado, matemáticamente aticamente hablando, es el espacio de las funciones cuyo cuadrado es integrable, que se denota por L2 (0, (0, 1). F´ısicamente ısicamente se interpreta como el espacio de las señales nales cuya energ ener g´ıa es finita. finit a. 135

´ III LECCION

7.2 Transformada rápida apida de Fourier

Parte Real e Imaginaria de exp(2 π i mθ) para m=1,2,3 Freq.1 periodo 1 Freq 2 periodo 1/2 Freq 3 periodo 1/3

B o r r a d o r 1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 7.6: Primeras exponenciales trigonométricas. etricas.

Nota. Utilizando la definición on de la exponencial trigonométrica, etrica, podemos pod emos expresar exp resar ∞

     −  

f = f (0) f (0) +

∞

(f ( f (m) + f ( f ( m)) cos(2πm cos(2πm ) +

m=1

·

=: αm

   − −   i(f ( f (m)

m=1

f ( f ( m)) sen(2πm sen(2πm )

·

(7.8)

=: β m

donde αm y β m se pueden calcular de forma alternativa mediante 1

αm = 2

1

f ( f (θ)cos(2πmθ )cos(2πmθ)) dθ,

β m = 2

0

f ( f (θ) sen(2 sen(2πmθ πmθ)) dθ.

0

La expresi´ on on (7.8 7.8)) puede resultar m´ as as atractiva que (7.6 (7.6), ), especialmente si la funci´ on on es real puesto que implica trabajar unicamente uńicamente con cantidades reales, sin parte imaginaria. Sin embargo, tanto el an´ alisis alisis como una notación o n más as compacta animan a utilizar la exponencial compleja. A´ un u n es más, as, en lo que sigue podemos suponer que las funciones son complejas (devuelven valores en C) y por tanto se cubre este caso de forma muy natural.  Desde un punto de vista pr´ actico, es poco habitual que se pueda (o que se proceda a) actico, evaluar la funci´ on on en cualquier punto. punto. En lugar de ello se dispone de un muestreo es decir, del valor de la función on en una serie de puntos uniformemente uniformeme nte distribuidos. As´ As´ı definimos x j =

j , N

j = 0, . . . , N 1,

−

se eval´ ua ua

y j := f ( f (x j ) ,

j = 0, . . . , N 1

−

136

´ III LECCION

Cap´ ıtulo

y se construye el vector

y=

 

 

y0 y1 .. .


.

B o r r a d o r La primera cuesti´ on on es

yN −1

¿Es posible recuperar los coeficientes de Fourier de f a partir de y?

La respuesta obvia es no: si tomamos una cantidad finita de informaci´ on on es imposible recuperar (salvo en casos triviales) los coeficientes de Fourier, que en ultima ´ media son la función on y, por tanto, conllevan una cantidad infinita de informaci´ on. on. Ahora bien, la situación on es muy diferente si disponemos de informaci´ on on a priori sobre la función on f . f . Si una función on peri´ odica odica f es regular podemos probar que



f ( f (k)

→ 0,

|k| → ∞

y de hecho de una forma muy r´ apida (ver Ejercicio 7.18 7.18), ), por lo que unos pocos coeficientes pueden ser suficientes para reconstruir la funci´ on de forma muy aproximada. Para calcular estos coeficientes utilizamos la regla del trapecio, que como hemos visto en la sección on anterior converge muy r´ apidos para funciones regulares y peri´ apidos odicas. odicas. Todo lo anterior nos conduce a



1



f ( f (k) :=

f ( f (θ)exp( 2π ikθ) kθ ) dθ

−

0

  

N −1

≈

1 1 j f (0) f (0) + f ( f ( N )exp( N 2 j=1 j =1

=

1 y j ω jk N j=0 j =0

−

2πi jk jk )+ N

N −1

donde

−       2π i N

ω := exp

Lo anterior sugiere construir



1 f (1) f (1) 2

f (1) f (1) = f (0) f (0) = y0

↓

=

.

N −1

1 Y k := y j ω jk N j=0 j =0



como una aproximaci´ on on de f ( f (k). El vector

Y=

y0 y1 .. .

yN −1

recibe el nombre de transforma transformada da discreta discreta de Fourier ourier de y que denotaremos por N N F y = Y. Por tanto F : C umeros umeros (en principio) C , es decir, transforma vectores de n´ complejos en vectores complejos.

→

137

´ III LECCION

7.2 Transformada rápida apida de Fourier

Ejercicio 7.18 Sea f es peri´ odica con derivada primera continua,





1

f ( f (k) :=

f ( f (θ) exp( 2π ikθ) kθ ) dθ dθ =

−

−

 

1 f ( f (θ) exp( exp( 2πikθ) kθ ) 2πki πk i

−

θ=1

B o r r a d o r 0

+

1 2πki πk i



1





=0

f  (θ)exp( 2π ikθ) kθ ) dθ. dθ.

−

0

Demostrar entonces que

θ=0

| ≤ C k

| 

f ( f (k)

donde C es independiente de k. ¿De qué depende dep ende C ?. ?. Prueba reiterando este argumento que si f es m´ as regular el decrecimiento de f ( f (k) es más as acusa ac usado. do.

Para estudiar la relaci´ on entre transformada de Fourier continua y discreta precisamos del siguiente lema

Lema 7.5 Para todo k

∈Z

 −  

N −1

1 exp N j=0 j =0

2πi jk jk N

=

1,

k = N para alg´ un 

0,

en caso contrario .

∈ Z,

Demostraci´ on on. Tomemos como antes

−    2π i N

ω := exp

.

Entonces, la suma anterior es simplemente N −1

N −1

1 1 ω jk = (ω k ) j . N j=0 N j=0 j =0 j =0

Si k = N , es decir, si k es un m´ ultiplo ultiplo de N , N , ωk = exp( 2π i) = 1 y la suma anterior es 1. En caso contrario, teniendo en cuenta que

−

2

1+ r + r + ... + r

m−1

obtenemos que

N −1



1 rm = 1 r

− −

1 1 1 (ω k )N 1 1 (ω N )k k j (ω ) = = . k k N j=0 N 1 ω N 1 ω j =0

− −

− −

Ahora, como ωN = 1, se sigue que la suma anterior es nula.  Utilizando el desarrollo en Fourier de f e intercambiando el orden de los sumatorios17 podemos escribir N −1



N −1



1 1 Y k := y j ω jk = f ( f (x j )exp N j=0 N j =0 j=0 j =0

17

−         2πi jk jk N

1 = f ( f (m) N m∈Z

N −1

exp

2πi(m i(m−k) j N

.

j=0 j =0

Manipulaciones que deben siempre justificarse y que son válidas alidas si, por ejemplo, la función on tiene derivada primera continua. 138

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Por el lema anterior,

    

N −1

exp

2πi(m i(m−k) j N

1, 0,

=

si m = k + N , N , en caso contrario,

B o r r a d o r j=0 j =0

por lo que

1 f ( f (k + mN ). N m∈Z

Y k =

De esta forma, Y k recoge no s´ olo olo el coeficiente k ésimo esimo de Fourier, Fourier , sino sin o contribuc co ntribuciones iones en frecuencias m´ as altas, cuya distancia al coeficiente k dista un m´ as ultiplo ultiplo de N . N . Llegado a este punto, conviene recordar que el decreciemiento r´ apido a cero de los coeficientes de Fourier cuando k sugiere que Y k aproxima bien al coeficiente on mejora muy rápidamente apidamente cuando de Fourier ouri er m´ as as pr´ oximo oximo a cero y la aproximación N . Es decir,

−

||→∞

→∞

     − 

f ( f (k )+

Y k =

f ( f (k

          f ( f (k + mN ),

si 0

m =0 =0

≤k≤

N 2

peque˜ no no

N )+ N )+

(7.9)

f ( f (k + mN ),

si

N 2

< k < N.

m =0 =0

peque˜ no no

A la operaci´ on on que a cada Y le asocia el vector original y se conoce como transformada inversa de Fourier discreta y se denota F −1 Y = y.

Con argumentos similares a los utilizados anteriormente se puede ver que N −1

yk :=

   Y j exp

2πi jk jk N

,

j=0 j =0

obteni´ obt eniéndose end ose as´ as´ı una expres exp resi´ i´ on muy similar a la transformada de Fourier. En particular, on −1 concluimos concluimos que F existe y est´ a bien definida. ten´ıamos que Nota. En el marco continuo, ten´

 

1

f ( f (m) =

0

f ( f (θ)exp( 2π imθ) mθ) dθ, dθ,

−

f ( f (θ) =

 

f ( f (m) exp(2 exp(2π π imθ) mθ ).

m∈Z

Obs´ ervese ervese el paralelismo paralelismo entre la Transformada ransformada de Fourier Discreta, Discreta, y la integral integral de la expresión on superior (la primera es la aproximaci´ on discreta de la segunda) y la inversa de on la Transformada de Fourier Discreta con la serie de Fourier.

on dada para la inversa de la transformada discreta de Ejercicio 7.19 Prueba la expresi´ Fourier. 139

´ III LECCION


Ejercicio 7.20 Dado que vamos a calcular aproximaciones de los coeficientes centrales de Fourier, podr´ıamos plantearnos definir N −1

  

B o r r a d o r y j ω jk ,

Y k =

−N/2 < k ≤ N/2

j=0

¿Sabr´ıas ver qué relaci´ on hay entre Yk e Y k ?.

7.2.2.

C´ alculo de la transformada de Fourier Discreta

Es fácil dar una expresi´ on matricial de la transformada de Fourier discreta en términos de la matriz

W :=

 

1 1 1 1 2 N −1 1 ω ω ω 2 4 1 ω ω ω 2(N −1) ............................... 2 1 ω N −1 ω 2(N −1) ω(N −1)

·· · ·· · ·· · ·· ·

 

,

ω = exp

−  2πi N

Con esta matriz, la relaci´ on entre y y su transformada Y se escribe simplemente

Y = F y =

1 W y. N

Análogamente,

y = F −1 Y = W ∗ Y

donde W ∗ es la matriz adjunta

W ∗ =

 

1 1 1 1 1 ω ω2 ω N −1 1 ω2 ω4 ω 2(N −1) ............................... 2 1 ω N −1 ω 2(N −1) ω(N −1)

·· · ·· · ·· · ·· ·

 

,

ω = ω −1 = exp

 2πi N

La matriz W es una matriz de tipo Vandermonde, que ya surgido anteriormente. Además es casi ortogonal: W ∗ W = N I N donde I N la matriz identidad de orden N . En resumen, la transformada discreta de Fourier, y su transformada inversa, se reducen a calcular un producto matriz-vector. El costo, en una implementaci´ on directa, conlleva la construcci´ o n de la matriz y realizar el producto. S´ o lo el producto tiene un costo de 2 orden (2N ) operaciones (sumas y productos).

O

Ejercicio 7.21 Construye la matriz W ∗.

Ejercicio 7.22 Implementa la transformada discreta de Fourier. 140

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Soluci´ on. Esta es una implementaci´ on que evita construir la matriz W . En su lugar calcula sucesivamente las filas, la multiplica por y para hallar el correspondiente coeficiente y calcula la siguiente fila. De esta forma se reduce la memoria utilizada pero no el número de operaciones

B o r r a d o r 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18

% FT % % Y=ft(y) %

devuelve la transformada de Fourier discreta la implementacion es la directa

function Y = ft(y)

y=y(:); % y es columna ahora n=length(y); w=exp(-i*2*pi*(0:n-1)/n); W=ones(1,n); Y=zeros(n,1); for j=1:n Y(j)=W*y; W=W.*w end Y=Y/n; return

Ejercicio 7.23 Implementa la transformada inversa de Fourier. Notas finales

Si f es real,



−



Re f (k) = Re f ( k),

Im f (k) =



−Im f (−k).

Esta simetr´ıa se extiende a la transformada discreta: si y es real Im y0 = 0,

Re yk = Re yN −k ,

Im yk =

−Im y

N −k ,

k = 1, . . . , N 1.

−

De esta forma, si ignoramos la primera componente, la parte real de Y, respectivamente imaginaria, es simétrico, respectivamente antisimétrico, respecto al puntoN/2. Este punto se conoce como el punto de Nyquist . Otra analog´ıa con el marco continuo es que la transformada discreta de Fourier preserva, salvo constante multiplicativa, la norma ıa. 2 del vector original, esto es, su energ´ Concretamente (comparar con (7.7))

·

1 1 ∗ ∗ 1 ∗ 1 ∗ y y y y y y y 22 . (W ) (W ) = W W = = (7.10) 2 2 N N N N Hay una falta de consenso en la definici´ on de Transformada de Fourier discreta. Nosotros hemos tomado como definici´ o n de la transformada y de su inversa las dadas por N −1 N −1 1 jk Y k := y j ω , yk := Y j ω− jk , ω = exp( 2πi ). N N j=0 j=0

Y

2 2

= Y∗ Y =







141

−

´ III LECCION


En Matlab, la transformada de Fourier y su inversa est´ an implementadas en fft e ifft. La definici´ on que se toma es ligeramente diferente N −1



N −1



1 yk := Y j ω− jk , N j=0

B o r r a d o r Y k :=

jk

y j ω ,

j=0

ω = exp(

−

2πi ). N

√ En otros textos se multiplica por 1/ N en ambos sumatorios con el fin de dar un aspecto

más uniforme (en este caso la norma 2 del vector y de su transformada coinciden). En cualquier caso, la diferencia entre las diferentes transformadas es simplemente el producto por una potencia de N . Todo lo desarrollado en esta secci´ on es perfectamente aplicable a funciones peri´ odicas con distintos periodos, sin más que aplicar un cambio de variables y transformarla en 1 peri´ odica.

−

7.2.3.

Aplicaciones a la eliminaci´ on de ruido

Una de las primeras aplicaciones surge en el an´ alisis de se˜ nales y fenómenos peri´ odicos. Vamos a mostrar un (muy) simple ejemplo en la eliminación de ruido de una se˜ nal periódica. Suponemos que la se˜ nal, dada por una funci´ on regular y suave, es perturbada por un ruido que puede ser modelizado por una variable aleatoria que sigue una distribuci´ on uniforme. Como la se˜ nal original es regular, sus coeficientes de Fourier decrecen r´ apidamente a cero. En particular, la función puede ser aproximada por una suma parcial con unas pocas exponenciales trigonométricas. Dicho de otra forma, la funci´ on tiene unas pocas frecuencias importantes mientras que el resto tiene una aportaci´ on despreciable. Tomemos por ejemplo una se˜ nal dada por la funci´ on f (x) := cos(cos(12πx)) sen(2πx)

En la Figura 7.7 se muestra la funci´ on y sus coeficientes de Fourier, que decrecen r´ apidamente a cero. Tambi´ en se muestra una evaluaci´ on en 64 puntos (un muestreo) uniformemente distribuidos y la transformada de Fourier discreta resultante. Obsérvese la relaci´ on entre transformada discreta de Fourier y los coeficientes de Fourier mostrada en (7.7). En el campo discreto, tenemos un ruido r y el vector transformada de Fourier discreta R = F r. Visto en el campo transformado, esta perturbaci´ on tiene un tama˜ no, relacionado con la amplitud del ruido y con el número de puntos que se han tomado de muestra. Dado el comportamiento altamente irregular, es esperable que las contribuciones en todas las frecuencias sean similares. Pero

R

2 2

=

1 r N

2 2

 ≤

máx

j=0,...,N −1

|r |. j

Por tanto, si el ruido tiene un valor máximo controlado, las componentes del vector transformado tienden a cero cuando N . De hecho es esperable que este decrecimiento sea uniforme en todas las componentes, es decir,

→∞

R j

≈ √ 1N

142

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Señal continua con un muestreo de 64 puntos 1

1

B o r r a d o r 0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 0

1

Coef. Fourier (en valor absoluto)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FT de la señal discreta (valor abs.)

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0 -40

0

-20

0

20

40

0

10

20

30

40

50

60

Figura 7.7: Coeficientes de Fourier y transformada discreta de Fourier

Ahora, si consideramos la influencia de este ruido sobre una se˜ nal y, tenemos la se˜ nal perturbada y = y + r. Se trata ahora de eliminar ese ruido observando la transformada Y. La estrategia que planteamos es la siguiente. En el caso de que Y j sea grande , podemos aceptar este coeficiente dado que el error relativo es peque˜ no. Por contra, si Y j es peque˜ no, el error relativo que hemos introducido es tal que la informaci´ on ha quedado irremediablemente contaminada y por tanto debemos desecharla. Lo anterior sugiere una forma de depurar la se˜ nala, partiendo de un nuevo vector Z







Z k =

 | |  0

si Yk es peque˜ no,



(7.11)

Yk en otro caso.

Con la información que nos queda, reconstruimos la se˜ nal discreta original y mediante F −1Z. As´ı tenemos el siguiente diagrama

y

+ ruido

−→

y



F −→



Y

(7.11)

−→

Z

F −1

−→

z.

Al final de proceso, z es (deber´ıa ser) mejor aproximaci´ on de y que la se˜ nal perturbada y. En la Figuras 7.9 se muestran los resultados obtenidos con n = 64 y n = 256. Se puede observar como la se˜ nal es filtrada eliminando gran parte del ruido introducido.



143

´ III LECCION


0.08

0.015

B o r r a d o r 0.06

0.01

0.04

0.005

0.02

0

10

20

30

0

40

10

20

30

40

-3

0.08

8

0.06

6

0.04

4

0.02

2

0

50

100

x 10

0

150

50

100

150

Figura 7.8: Ruido en un conjunto de puntos (40 arriba, 160 abajo) y su transformada discreta

7.2.4.

Transformada r´ apida de Fourier

La importancia del an´ alisis de Fourier, y por ende de la transformada discreta de Fourier, fue cobrando fuerza a lo largo del siglo XX y muchos aspectos siguen demandando este tipo de técnicas en el siglo actual. Pronto surgieron problemas que requer´ıan calcular la transformada de Fourier de millones de elementos, lo que colocaba el problema m´ as allá de la potencia de los ordenadores de la época y los de un futuro previsible18 . En cualquier caso duplicar N , el n´ umero de elementos de y, requerir´ıa multiplicar por cuatro la potencia del ordenador. Siguiendo el progreso de la inform´ atica, esto significar´ıa una espera de 36 meses19 . 18

Hemos mostrado algunas aplicaciones simples de la transformada de Fourier que son esencialmente unidimensionales (una se˜ nal periódica). Existen aplicaciones que exigen trabajar ya con señales bidimensionales. En ese caso, duplicar la precisi´ on on con la que se trabaja implica multiplicar por 4 la dimensi´ del problema y por 16 la complejidad computacional del algoritmo que hemos visto. Problemas en más dimensiones y con n´ umeros muy elevados de variables no son extraños. 19 La ley de Moore formulada por Gordon Moore cofundador de Intel en 1965 es un ejemplo de una ley emp´ırica que se viene satisfaciendo con asombrosa regularidad en los u ´ ltimos cuarenta a˜ nos. Esta ley establece que la potencia de cálculo y la capacidad de almacenamiento se multiplica por 2 cada 18 meses. De forma paralela han surgido otras versiones de la ley de Moore que establecen comportamientos de crecimiento exponencial en el mundo de la informática. 144

´ III LECCION

Cap´ ıtulo

64 puntos

Señal con ruido


FT (en valor absoluto)

1

B o r r a d o r 0.4

0.35

0.5

0.3

0.25

0

0.2

0.15

-0.5

0.1

0.05

-1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

0

10

Truncacion de la FT

20

30

40

50

60

Señal filtrada

1

0.4

0.35

0.5

0.3

0.25

0

0.2

0.15

-0.5

0.1

0.05 0

0

10

20

30

40

50

-1 0

60

256 puntos

Señal con ruido

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FT (en valor absoluto)

1

0.4

0.35

0.5

0.3

0.25

0

0.2

0.15

-0.5

0.1

0.05

-1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

0

50

Truncacion de la FT

100

150

200

250

Señal filtrada

1

0.4

0.35

0.5

0.3

0.25

0

0.2

0.15

-0.5

0.1

0.05

0

0

50

100

150

200

-1 0

250

0.2

Figura 7.9: Filtrado del ruido 145

0.4

0.6

0.8

1

´ III LECCION


En 1965, Jim Cooley, investigador ligado a IBM y John Tukey, de la Universidad de Princeton mostraron una forma sencilla de programar la transformada de Fourier discreta que reduc´ıa drásticamente el n´ umero de operaciones. La idea de partida del algoritmo es considerar el caso N = 2m. Entonces denotando

B o r r a d o r ω1 := ω 2

se tiene que

ω2 jk = (ω2 )kj = ω jk 1 .

De esta forma, si 0

≤ k ≤ M − 1 = N/2 − 1 N −1

Y k

M −1



M −1

             

1 1 1 y j ω jk = y2 j ω 2 jk + y2 j+1 ω(2 j+1)k N j=0 N j=0 N j=0

=

Pares

N = 2M

↓ =

M −1

Impares

M −1

1 1 k 1 y2 j ω jk y2 j+1 ω jk 1 +ω 1 2 M j=0 M j=0 1 Y k(0) + ωk Y k(1) . 2

=:

(7.12)

Notemos que Y k(0) e Y k(1) son el resultado de aplicar la transformada de Fourier discreta a los vectores (y0 , y2 , . . . , y2M −2 ) y a (y1 , y3 , . . . , y2M −1 ) respectivamente, que son vectores de longitud M = N/2. Si M k N 1 la relaci´ on cambia levemente. Para ello, escribamos k = M + κ, donde ahora 0 κ M 1. Entonces

≤ ≤ − ≤ ≤ −

N −1

Y k

M −1

  

M −1



  

1 1 1 = y j ω jk = y2 j ω 2 jk + y2 j+1ω (2 j+1)k N j=0 N j=0 N j=0 M −1

M −1

1 1 jκ M κ 1 = y2 j ω jM y2 j+1 ω jκ 1 ω1 + ω ω 1 . 2 M j=0 M j=0

Dado que

ω M = exp( πi) =

se deduce que

−

−1,



−

ω1M = 1;



1 (0) Y κ ωκ Y κ(1) . (7.13) 2 v el vector resultado de enlazar los vectores v y w, las identidades Denotando por w (7.12) y (7.13) se puede escribir en notaci´ on vectorial Y k =



1 Y= 2



Y(0) + ω. Y(1) Y(0) ω. Y (1)

∗ − ∗



(7.14)

donde Y (0) e Y(1) son las transformadas de Fourier de los vectores (y0 , y2 , . . . , y2M −2) y (y1 , y3, . . . , y2M −1 ), ω

= (ω 0, ω 1 , . . . , ω M −1) , 146

ω := exp(

−

2πi ), N

(7.15)

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


y “.*” denota el producto elemento a elemento entre las componentes de los vectores. En cuando al n´ umero de operaciones, si f (N ) es el n´ umero de multiplicaciones, se comprueba que el total de productos es el de dos transformadas de longitud N/2 m´ as N productos realizados al combinar dichas transformadas. En resumen,

B o r r a d o r f (N ) = 2f (N/2) + N.

Nada nos impide aplicar de forma reiterada el algoritmo anterior para calcular Y(0) e Y(1) si M es divisible por 2 (o lo que es lo mismo, que N sea divisible por 4). De forma natural, se puede programar el método de forma recursiva. El caso o´ptimo del algoritmo en la versi´ on anterior se da cuando N = 2 p . El algoritmo queda de la siguiente forma

FFT

N =length(y) if N==1 Y=y else

Y(0) := FFT(y(0 : 2 : N 2)) Y(1) := FFT(y(1 : 2 : N 1)) ω = exp( 2πi/N ) 0 1 N/2−1  ω := [ω , ω , . . . , ω ] Y(0 : N/2 1) = (Y (0) + ω. Y(N/2 : N 1) = (Y (0) ω .

end

− − −

− −

% Parte ‘‘par’’ % Parte ‘‘impar’’

(1)

∗Y − ∗Y

)/2 )/2

(1)

En tal caso, se puede comprobar que el n´ umero de productos es f (N ) = 2 p ( p + 1) = N (log2(N ) + 1)

que debe compararse con el N 2 esperable de la implementaci´ on directa. De ah´ı viene el nombre de Transformada R´ apida de Fourier .

Ejercicio 7.24 Implementa la transformada rápida de Fourier.

on, dado que éste es el comando de Ayuda. No utilices fft como nombre de esta funci´ Matlab para el c´ alculo de la transformada r´ apida de Fourier. Entrando ya en programa, en primer lugar podemos plantearnos c´ omo se va a devolver el resultado, si como un vector fila o como un vector columna. Para ello, la primera instrucci´ on de nuestra subrutina podr´ıa ser y=y(:); Y=y;

si se quiere trabajar s´ olo con columnas, o

147

´ III LECCION

7.2 Transformada rápida de Fourier y=y(:).’; Y=y;

si se desea implementar para filas. F´ıjate que ya hemos introducido el vector que va a guardar la transformada de Fourier y que sus dimensiones coinciden con las del vector y. Llegado a este punto, hay que tener cuidado al programar el producto

B o r r a d o r ω

. Y(1)

∗

para que los vectores implicados, ω e Y(1) tengan igual dimensi´ on. Si el vector tiene un n´ umero par de elementos, la transformada se calcula a partir de la transformada de los vectores y(1 : 2 : n) y(2 : 2 : n)

−→ −→

(y0 , y2, . . . , yn−2 ) , (y1 , y3, . . . , yn−1 ) ,

(Y (0)) (Y (1))

de acuerdo con el algoritmo (véase también (7.14) y (7.15)). Cuando el n´ umero de entradas de y no sea una potencia de 2 se puede utilizar el primer algoritmo que dimos (ejercicio 7.22). De esta manera tendr´ıamos la siguiente estructura

y=y(:); n=length(y); if mod(n,2)==0 ...... % expresion RECURSIVA en terminos de dos transformadas ...... else % no es divisible por 2 ...... % Algoritmo del ejercicio 7.22 end

En las l´ıneas anteriores, mod(m,n) devuelve el resto de la divisió n de m entre n y sirve para comprobar si el n´ umero de entradas es par o impar.

on recursiva que devuelva el n´ umero de operaciones Ejercicio 7.25 Implementa una funci´ para el cálculo de la FFT. Util´ızala para obtener una tabla con el n´ umero de operaciones para algunos valores altos de N . Compara con el n´ umero de operaciones requerido en la versi´ on inicial del algoritmo dada antes. ´ es una forma simple de implementar la funci´ on Soluci´ on. Esta 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

% OPERACIONESFFT(N) % % M=OPERACIONESFFT(N) % % M es el numero de operaciones de la FFT function M=operacionesFFT(N)

if mod(N,2)==1 M=N^2; else M=operacionesFFT(N/2)*2+N; end

148

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


 19

Hemos testado la funci´ o n con 2

19

y2

´ − 1 que es primo. Este es el resultado

B o r r a d o r >> format rat >> operacionesfft(2^19) %(2^19 approx 500.000) ans=

10485760

>> operacionesfft(2^19-1) ans =

274876858369

Observa que el n´ u mero de operaciones efectuadas se reduce en un factor de 26000 si aumentamos en uno el n´ umero de elementos.

Ejercicio 7.26 Implementa la Inversa de la Transformada Discreta de Fourier con nombre InvTrRaFourier.

Ejercicio 7.27 En este ejercicio observaremos la dependencia de la FFT implementada en Matlab respecto del n´ umero de entradas del vector. Para ello, utilizaremos de nuevo los valores 19 19 2 1 y 2 propuesto anteriormente. Define dos vectores y1 y y2 con 219 1 y 219 componentes respectivamente, por ejemplo, mediante la orden rand. Aplica fft(y1) y fft(y2) y comprueba el tiempo que tarda en cada caso. ¿Sabr´ıas explicar por qu´ e se reduce el tiempo de cálculo?.

−

−

Nota final

Las implementaciones comerciales de la FFT son ciertamente m´ as complicadas que lo que hemos visto. En realidad, los m´ etodos recursivos son menos eficientes que las implementaciones directas, que no hacen uso de la recursividad. En lugar de ello se opta por una programaci´ o n directa, m´ a s refinada. No sólo se descompone la transformada en dos de longitud mitad de la original, como se ha mostrado en este algoritmo, sino que adem´ as se intenta dividir por los primeros n´ umeros primos 2, 3, 5, 7,... reduciéndola a dos, tres, cinco o siete transformadas y as´ı sucesivamente. Incluso el caso de n´ umeros primos se realiza de forma m´ as o´ptima que el algoritmo (ingenuo) del ejercicio 7.22. Los comandos en Matlab que devuelven la transformada de Fourier y su inversa son fft e ifft. Puede consultarse la ayuda para ver algunos detalles sobre su funcionamiento e implementaci´ on. Existen otras transformadas ligadas a ésta. Por ejemplo, la transformada del coseno y la del seno, tambi´ en implementadas en Matlab (dct, idct, dst y idst). . 149

´ III LECCION


La FFT y el producto de n´ umeros enteros Dados dos vectores

u = (u0 , u1, . . . , ur ) ,

v = (v0 , v1, . . . , vs )

B o r r a d o r se define el vector convoluci´ on u v al vector de r + s + 1 componentes cuya entrada k viene dada por

∗

(u v)k :=

∗



m´ın{k,r }



u v j =

+ j=k

u vk− ,

(k = 0, . . . , r + s).

(7.16)

=m´ ax{0,k−s}

Es fácil comprobar que la convoluci´ on, también llamado producto de convoluci´ on, es conmutativo. Esta operaci´ o n es simplemente el producto de polinomios. En efecto, si consideramos los polinomios u0 + u1 x + . . . + ur xr ,

v0 + v1 x + . . . + vs xs

entonces el coeficiente en xk del polinomios producto viene dado precisamente por (7.16). Una propiedad interesante de la transformada de Fourier discreta es que convierte la convoluci´ on de dos vectores en producto de transformadas. Tomemos N = r + s. Si u y v se insertan en Rn+1 rellenando con ceros

u = (u0 , u1 , . . . , ur ,

0, . . . , 0

−  

N

tenemos que

) , v = (v0 , v1 , . . . , vs ,

r = s ceros

0, . . . , 0

−  

N

F (u v) = N (F (u). F (v)),

∗

∗

)

s = r ceros

donde la operaci´ on anterior es el producto elemento a elemento entre los vectores. As´ı, una forma r´ apida de calcular la convoluci´ on de los dos vectores es seguir el siguiente algoritmo Calcular U = F (u), V = F (v) Multiplicar W = N U. V

∗

Devolver F −1(W)

Si N = r + s es una potencia de 2 entonces el n´ umero de operaciones es del orden de 2 (n log2 (N )), comparado con 2N que tiene la implementaci´ on más directa. Una de las aplicaciones m´ as simples del cálculo de productos de convoluci´ on est´ a en el producto de n´ umeros enteros. Por ejemplo,

O

6031 1234

→ →

⇒

1 + 3 10 + 0 102 + 6 103 4 + 3 10 + 2 102 + 1 103

· · · · · · 6031 × 1234 = 4 + 15 · 10

=

1



⇒

+ 11 102 + 31 103 + 21 104 + 12 105 + 6 106

7442254.

·

·

·

·

·

Es decir, se trata simplemente del producto de polinomios con “10” jugando el papel de “x”, o equivalentemente, la convoluci´ on entre dos vectores: 6031 1234

→ →

(1, 3, 0, 6, 0, 0, 0, 0) =: u (4, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0) =: v



⇒

u v = (4, 15, 11, 31, 21, 12, 6)

∗

Por tanto, la FFT nos ofrece una forma muy rápida de multiplicar dos n´ umeros enteros. 150

´ III LECCION

Cap´ ıtulo


Ejercicio 7.28 Implementa una funci´ on que calcule el producto de dos n´ umeros enteros con la transformada de Fourier de acuerdo al siguiente prototipo % MULTIPLICACION % % % P=MULTIPLICACION(A,B) % % % % %

B o r r a d o r Devuelve el producto de A por B

A,B deben ser arrays de caracteres P es un array de caracteres con el producto A*B

Ayuda. Para que el método sea realmente eficiente necesitamos que los vectores sobre los que se va a aplicar la transformada de Fourier tengan longitud una potencia de 2. Para ello podemos insertar más ceros de los inicialmente previstos de forma que N sea una potencia20 de 2. Para disponer de una precisi´ on en principio ilimitada, introduciremos los n´ umeros que deseamos multiplicar en una cadena de caracteres y haremos la salida en el mismo formato. Para su implementaci´ on necesitaremos manejarnos con la conversi´ on entre los diversos formatos de datos. Una cadena o string es simplemente un vector de caracteres y as´ı lo maneja Matlab: >> p=’esto es una prueba’ ans=

esto es una prueba

>> p(3) ans=

t

>> p(6:9) ans = es u

Hará falta transformar un vector de caracteres a un vector de n´ umeros y viceversa. Para ello se puede utilizar los comandos str2num, num2str(STRing -to-NUMeric y NUMeric to-STRing ). Una vez que tengamos el vector de n´ umeros hay que darle la vuelta al vector, de forma que ’1234’ [ 4 3 2 1 ].  20

¿Qué hace log2(ceil(r+s))?

151

´ III LECCION


Por u´ltimo una vez multiplicados hay un paso de acarreo, es decir, un resultado de forma que [4 15 11 31 21 12 6]

4 + 15 101 + 11 102 + 31 103 + 21 104 + 12 105 + 6 106

·



·

·

·

·

·

B o r r a d o r debe transformarse en su representaci´ on decimal

4 + 5 101 + 2 102 + 2 103 + 4 104 + 4 105 + 7 106 = 744224.

·

·

·

·

·

·

umeros enteros? Es decir, no parece haber Nota. ¿Para qué preocuparse en multiplicar n´ una necesidad acuciente de dise˜ nar algorimos para multiplicar n´ umeros de centenares o miles de cifras. Una aplicación sorprendente proviene del mundo de cifrado de mensajes. El sistema de cifrado m´ as popular actualmente es el RSA, propuesto por los matem´ aticos21 Ron Rivest, Adin Shamir y Len Adleman en 1977, est´ a basado en el conocido Teorema 22 Peque˜ no de Fermat . Este teorema, muy simple, tiene que ver con los restos de la divisi´ on por n´ umeros primos. El mensaje que se desea enviar se convierte en un n´ umero entero, más o menos largo. El cifrado y descifrado del mensaje se basa en calcular restos de divisiones por el producto de dos n´ umeros primos muy grandes. La seguridad del sistema depende directamente del tama˜ no de estos primos: mayor tama˜ no es mayor seguridad. Ello hace que se requiera calcular productos y divisiones de n´ umeros enteros enormes de 23 forma r´ apida y eficiente .  o n est´ a implementada en Matlab mediante el comando conv. La Nota. La convoluci´ forma de calcular es esencialmente la expuesta en esta secci´ on. 

21

El nombre del algoritmo son las iniciales de sus apellidos. ´ Nada que ver con el Ultimo Teorema de Fermat, cuya demostración tuvo que esperar cuatro siglos. 23 Para una información m´ as detallada, m´ırese por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Rsa. 22

152

B o r r a d o r Lecci´ on IV

Cálculo simb´ olico, arrays y celdas en Matlab. Valores y vectores propios. Google.

153

B o r r a d o r


La physique ne nous donne pas seulement l’occasion de résoudre des problèmes... elle nous fait pressentir la solution Henri Poincaré

En la primera parte de esta lecci´ on trataremos diversos aspectos instrumentales de Matlab, como el manejo de polinomios, arrays multidimensionales (tensores) y vectores de celdas. Daremos adem´ as algunos esbozos sobre la manipulaci´ on de expresiones simb´ olicas. Aunque en este campo Matlab no es comparable a otros manipuladores simb´ olicos como Maple o Mathematica, puede resultar en muchos casos suficiente. En la segunda parte trataremos el c´ alculo de valores y vectores propios de Matlab. Volvemos por tanto a incidir en el manejo de vectores y matrices, y en ese sentido es un recordatorio de lo que vimos en las Lecciones 1 y 2. Con el fin de aliviar el peso te´ orico de la parte matem´ atica, terminaremos con un cap´ıtulo fundamentalmente divulgativo sobre Google y su algoritmo de evaluación de p´ aginas web Pagerank . tm

155

B o r r a d o r


Matlab: C´ alculo simb´ olico y estructuras de datos. 8.1.

Polinomios y c´ alculo simb´ olico

Los polinomios constituyen las funciones m´ as simples en Matem´ aticas y computacionalmente son importantes habida cuenta que contienen en su estructura las operaciones básicas en un ordenador. En esta secci´ on veremos como maneja Matlab un polinomio y nos servir´ a de preparaci´ on para la secci´ on siguiente donde veremos someramente la toolbox de c´ alculo simbólico.

8.1.1.

Polinomios

Matlab maneja un polinomio identific´ andolo simplemente con un vector de n´ umeros  (en principio) reales. Concretamente, el vector fila (an , . . . , a0 ) corresponde al polinomio anxn + an−1 xn−1 + . . . + a0 . Si alg´ un coeficiente es nulo, debe incluirse. Por ejemplo, el  vector (1, 0, 2) representa el polinomio x2 + 2. Sumar y restar dos polinomios se reduce as´ı a sumar y restar dos vectores, salvando el problema de que ambos deben tener el mismo grado: >> p=[2 0 1]; % 2*x^2+1 >> q=[-1 1 -1 0 1]; % -x^4+x^3-x^2+1 >> p+q % ERROR!! ??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree. >> p=[0 0 2 0 1]; >> p+q

% dos coeficientes mas % ahora OK!

ans=

-1

1

1

0

2

El producto y divisi´ on de polinomios est´ an implementados respectivamente en los comandos conv y deconv 157

´ IV LECCION

8.1 Polinomios y cálculo simbólico >> p=[2 0 1]; q=[-1 1 -1 0 1]; >> conv(p,q)


-2

2

-3

1

1

0

1

>> deconv(q,p) ans=

-0.5000

0.5000

-0.2500

on que calcule la suma de dos polinomios, su producto, Ejercicio 8.1 Implementa una funci´ cociente y resto seg´ un el siguiente prototipo 01 02 03 04

OPERACIONESPOL(P1,P2)

[S,R,C,P]= OPERACIONESPOL(P1,P2)

S, R, C y P son la suma, resta cociente y producto de P1 y P2

(Ayuda: P1 y P2 deben ser de la misma longitud. ¿Qué hace la instrucción p1=[zeros(1,length(p2)-length(p1)) p2]

cuando length(p2)>length(p1)? Comprueba que también es válida cuando length(p2)
El comando polyval se encarga de la evaluaci´ on de un polinomio:

>> p=[1 0 0 1 0 3]; %definimos el polinomio x^5+x^2+3 >> polyval(p,2) %evaluamos en x=2 ans = 39

>> polyval(p,[1 2 3]) %vectorizado ans = 5

39

255

Ra´ıces de polinomios

Las ra´ıces de un polinomio p son las soluciones de la ecuación p(x) = 0. El Teorema 1 ´ Fundamental del Algebra afirma que un polinomio de grado n tiene exactamente n ra´ıces en C (alguna puede estar repetida). 1

Demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss en 1799 (a los 22 años) en su tesis doctoral. Gauss ha salido repetidamente en estas lecciones y en campos muy distintos, desde las Matemáticas más aplicadas a las más puras. Quizás ahora se comprenda mejor por qué recibi´ o el sobrenombre de“pr´ıncipe de las Matemáticas”. 158

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo

8. Matlab: C´ alculo simbólico y estructuras de datos.

En Matlab podemos utilizar roots para calcular de forma aproximada las ra´ıces de un polinomio: >> pol=[2 -3 -17 30]; % 2*x^2-3*x^2-17*x+30 >> roots(pol)


-3.0000 2.5000 2.0000

>> pol2=[1 -2 2 -1]; >> roots(pol2).’ % un par complejas!! ans =

1.0000

0.5000 + 0.8660i

0.5000 - 0.8660i

Rec´ıprocamente, dado un vector que contenga las ra´ıces, podemos crear un polinomio mónico (el coeficiente que acompa˜ na a la mayor potencia de x es 1) cuyas ra´ıces sean las dadas: >> poly([-3 5/2 2]) ans =

1

-3/2

-17/2

15

El comando poly puede emplearse tambi´ en para construir el polinomio caracter´ıstico de una matriz cuadrada A, es decir, el polinomio det(A

− xI )

donde I es la matriz identidad de orden n. Por ejemplo, >> A=[3 -2 2;-1 2 2;-1 1 3]; >> p=poly(A) %pol caract. (monico) p =

1

-8

19

>> roots(p).’ ans =

4

3

1

159

-12

´ IV LECCION

8.1 Polinomios y cálculo simbólico

En la segunda parte de esta lecci´ on nos centraremos en los métodos numéricos para el cálculo de las ra´ıces de estos polinomios2 .

B o r r a d o r on de las ra´ıces de un polinomio. La Nota. Un problema clásico3 es la determinaci´ ecuación de segundo grado aparece m´ as o menos resuelta en las Matem´ aticas antiguas: babilónicas, griegas, hind´ u es y a´rabes. Es un hecho muy resaltable que no exist´ıa una fórmula para la solución como la como la que conocemos hoy en d´ıa, sino que los autores describ´ıan diversas ecuaciones, habitualmente con ejemplos concretos, para luego explicar cómo se proced´ıa a resolverlas4 a menudo con razonamientos geométricos que exclu´ıan cualquier resultado negativo. Fue en las matem´ aticas hind´ ues donde las ra´ıces negativas fueron consideradas como v´ alidas. Las matem´ aticas italianas primero y europeas después retoman a partir del siglo XV las ecuaciones polin´ omicas. Nicolo Fontana Tartaglia, Girolamo Cardano, Fran¸cois Viète, René Descartes, Gottfried Wilhelm von Leibniz, Joseph-Louis Lagrange y Leonhard Euler entre otros matem´ aticos de menor renombre, estudiaron la resoluci´ o n por radicales de ecuaciones polin´ omicas de tercer y cuarto grado con un resultado final satisfactorio: se consiguió dar con f´ ormulas que proporcionaban las ra´ıces de un polinomio de grado 4. Sin embargo fueron incapaces de encontrar una f´ ormula para la ecuaci´ on general de quinto grado. La cuesti´ on qued´ o zanjada de forma sorprendente: Niels Henrik Abel prob´ o en 1824 (a los 22 a˜ nos) que no exist´ıa un f´ ormula que diera las ra´ıces de cualquier polinomio de grado 5 mediante la aplicaci´ on de radicales5 tomando ra´ıces enésimas. En u´ltima medida, se hab´ıa llegado a la conclusi´ on de que era imposible la resoluci´ on exacta de ecuaciones polin´ omicas de grado mayor o igual que cinco. El estudio de cuándo una ecuaci´ on se pod´ıa 6 resolver mediante radicales fue iniciado por Evariste Galois . Otro asunto muy diferente es la resoluci´ on num´ erica del problema. Se dispone de una familia de métodos para la resoluci´ on de problemas no lineales generales (es decir, para ecuaciones de la forma f (x) = 0 donde f es una funci´ on cualquiera, no necesariamente polin´ omica) como los métodos de Newton-Raphson, secante, regula–falsi, etc. Sin embargo, dadas las particulares propiedades de los polinomios, hay m´ etodos especialmente dise˜ nados para tal fin. Algunos métodos cl´ asicos son los de Bairstow y el de Bernoulli. En los u ´ ltimos a˜ nos el cálculo de las ra´ıces de un polinomio ha quedado reducido al c´ alculo 2

Las ra´ıces son los valores propios de la matriz A. La informaci´ on de estas l´ıneas se ha extra´ıdo de la web “MacTutor History of Mathematics Archive” de la Universidad de St. Andrews (Escocia). La dirección electrónica es http://turnbull.mcs.stand.ac.uk/history/ 4 al-Khwarizm clasificó y explicó cómo resolver ecuaciones de segundo grado en 6 tomos. El desarrollo ´ del Algebra y la manipulaci´ on simb´ olica de expresiones ha conseguido que este problema pueda ser planteado en nuestros d´ıas a un alumno de primaria. 5 Paolo Ruffini hab´ıa dado una demostraci´ on no del todo correcta en 1799. 6 Galois y Abel comparten algunas caracter´ısticas en común, ambos murieron jovenes (Abel a los 29 años y Galois a los 21) con buena parte de su trabajo ignorado por la comunidad matemática. La muerte de Galois es todav´ıa más sorprendente. Francés y republicano convencido, llegó a estar en prisión por ello, murió en un duelo en 1832 en los a˜ nos convulsos posteriores a la revolución francesa, aunque no está claro si éste fue por motivos pol´ıticos o de otra ´ındole. En la noche anterior al duelo escribir´ıa en el margen de unas notas sobre las que trabaja: “ Falta algo para completar la demostraci´ on. No tengo tiempo.”. Esta frase ha cimentado la, probablemente exagerada, leyenda de que paso la noche escribiendo Matemáticas. Su trabajo fue rescatado del olvido por Joseph Liouville 11 años después. 3

160

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


de los valores propios de una matriz, simplemente construyendo la matriz compa˜ nera7

 − 

an−1 1

−a

n−2

0

· ·· −a −a ··· 0 0 1

0

 

B o r r a d o r xn + an−1 xn−1 + . . . a0



0 0

1 .. . 0

... ..

.

···

0 .. .

0 .. .

1

0

Al cálculo de los valores propios de una matriz volveremos en la segunda parte de esta lección. 

8.2.

Procesador simb´ olico

Retomando el hilo de la secci´ on anterior, otra forma de operar con polinomios es de manera simb´ olica. Para ello podemos proceder del siguiente modo: >> syms x %define x como variable simbolica >> (x^4+x^2-1)+(2*x^3+4*x^2+3) %suma de polinomios ans =

x^4+5*x^2+2+2*x^3

>> expand((x^4+x^2-1)*(2*x^3+4*x^2+3))

%expande el producto

ans =

2*x^7+4*x^6+2*x^5+7*x^4-2*x^3-x^2-3

Observa con atenci´ on la primera instrucci´ on. Con syms, declaramos x con una variable simbólica y por tanto susceptible de entrar en expresiones y manipulaciones algebraicas. Las o´rdenes anteriores pueden aplicarse sobre funciones cualesquiera, no necesariamente polin´ omicas: >> syms x y >> expand(cos(x+y)) ans=

cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)

Podemos llevar a cabo operaciones de c´ alculo básico tales como la integraci´ o n o la derivaci´ on: 7

De hecho, as´ı procede roots.

161

´ IV LECCION

8.2 Procesador simbólico >> diff(x*cos(x^2))

%derivada

ans =

B o r r a d o r cos(x^2)-2*x^2*sin(x^2)

>> diff(x^4+x^2-1,3)

%tercera derivada

ans =

-24*x^2*cos(x^2)-6*sin(x^2)+8*x^4*sin(x^2)

>> int(exp(x)*cos(4*x),x)

%integral indefinida

ans =

1/17*exp(x)*cos(4*x)+4/17*exp(x)*sin(4*x)

>> int(exp(x)*cos(4*x),x,0,pi)

%integral definida

ans =

1/17*exp(pi)-1/17

De forma similar se pueden calcular l´ımites (limit), sumar series (symsum), >> sym k; >> symsum(1/k^2,k,1,inf) ans=

1/6*pi^2

hacer desarrollos de Taylor (taylor) o transformadas integrales como las de Fourier o Laplace (fourier, ifourier, laplace e ilaplace) Observa como los resultados son s´ımbolos y no n´ umeros. En cualquier caso, el comando vpa procede a evaluar con la precisi´ on solicitada (si es posible) >> vpa( 1/17*exp(pi)-1/17)

% 32 cifras por defecto

ans=

1.3023936842811332237346277906909

>> vpa( 1/17*exp(pi)-1/17,64)

% ahora con 64 cifras

ans=

1.3023936842811332237346277906908653676509857177734375000 162

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


Nota. La derivaci´ on e integraci´ on de un polinomio se puede hacer tambi´ en con polyder y polyint que trabaja directamente sobre el vector que almacena el polinomio, es decir, no es simbólico:

B o r r a d o r >> polyder([1 4 2]) % derivada de x^2+4*x-2 ans=

2

4



Ejercicio 8.2 Los siguientes comandos inciden en la simplificaci´ on y manipulaci´ on de expresiones simplify

factor

expand

collect

simple

Consulta la ayuda de Matlab y apl´ıcalos sobre diferentes expresiones algebraicas susceptibles de ser simplificadas. Para la resoluci´ on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante métodos simb´ olicos, con las limitaciones que esto implica, podemos utilizar el comando solve: >> solve(’x*log(x^2+4*x-4)=0’) ans =

0 1 -5

Cuando el término independiente es cero puede omitirse: >> solve(’x*log(x^2+4*x-4)’)

De forma an´ aloga, dsolve busca las soluciones de ecuaciones y sistemas diferenciales: >> dsolve(’D3y-D2y-2*Dy-cos(s)’,’s’) % y’’’-y’’-2y’-cos(s)=0 ans =

-3/10*sin(s)+1/10*cos(s)+C1+C2*exp(2*s)+C3*exp(-s)

>> dsolve(’D3y-D2y-2*Dy-cos(s)’,’y(0)=1’,’Dy(0)=2’, ’D2y(0)=3’,’s’) ans =

-3/10*sin(s)+1/10*cos(s)+1/2+9/10*exp(2*s)-1/2*exp(-s)

Ejercicio 8.3 Utiliza solve para hallar las cuatro ra´ıces de la ecuaci´ on de cuarto grado x4 + ax3 + bx2 + cx + d. 163

´ IV LECCION

8.3 Tensores

Nota. Matlab es un programa m´ as enfocado al c´ alculo numérico que al simb´ olico. Ciertamente los resultados son presentados de una forma que estéticamente no es comparable a Mathematica o Maple. Sin embargo se puede acceder a cualquier instrucci´ on de Maple luego a priori todo lo que se puede hacer con este procesador se puede hacer con Matlab. Para llamar a un comando de Maple se utiliza el comando maple, mientras que a la ayuda correspondiente se accede con mhelp. 

B o r r a d o r 8.3.

Tensores

Ya hemos hablado en m´ ultiples ocasiones de la gran potencia que posee Matlab para 8 realizar c´ alculos matriciales y su habilidad en el manejo de grandes cantidades de memoria. Estas habilidades se extienden a la manipulaci´ o n de arrays multidimensionales, que matemáticamente se puede identificar con tensores. Un tensor es simplemente una matriz multidimensional, esto es, si una matriz se puede interpretar como una tabla de n´ umeros, un tensor (o array ) tridimensional es simplemente un conjunto de n´ umeros desplegados en 3D en forma de paralelogramo. As´ı >> a=zeros(1,3,2) a(:,:,1) = 0

0

0

0

0

a(:,:,2) = 0

define un array de una fila, tres columnas y dos alturas . Abandonaremos en lo que sigue este s´ımil geométrico pues aporta poco. Se puede declarar un tensor simplemente dando sus valores >> a2(:,:,1)=[1 2 3;4 5 6] a2 =

1 4

2 5

3 6

>> a2(:,:,2)=[7 8 9;10 11 12] a2(:,:,1) = 1 4

8

2 5

3 6

Recuerda Matlab = Matrix laboratory

164

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


a2(:,:,2) =

B o r r a d o r 7 10

8 11

9 12

>> size(a) ans =

2

3

>> length(a)

2

%maximo de las dimensiones

ans =

3

Observa la diferencia

>> a1=a(1,:,:) a1(:,:,1) = 1

2

3

a1(:,:,2) = 7

8

9

>> a2=a(:,1,:) a2(:,:,1) = 1 4

a2(:,:,2) = 7 10

>> a3=a(:,:,1) a3 =

165

´ IV LECCION

8.3 Tensores 1 4

2 5

3 6

Por tanto, de las variables que acabamos de definir unicamente ´ a3 es una matriz propiamente dicha. La forma de operar con tensores es b´ asicamente la misma que con vectores y matrices. Por ejemplo:

B o r r a d o r >> b=a+ones(2,3,2) b(:,:,1) = 2 5

3 6

4 7

9 12

10 13

b(:,:,2) = 8 11

>> b(:,2:3,2)=[-1 -2;-3 -4] b(:,:,1) = 2 3

3 3

4 3

-1 -3

-2 -4

b(:,:,2) = 8 3

>> b(:)’ % como se guarda en memoria... ans = 2

3

3

3

4

3

8

3

-1

-3

-2

-4

Ejemplo. Mediante las siguientes ordenes calculamos las cinco primeras potencias de la matriz a y las almacenamos en una variable tridimensional b: a=[1 2;3 4]; b(:,:,1)=a; for i=2:5 b(:,:,i)=b(:,:,i-1)*a; end

%b(:,:,i) guarda aî



166

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


Las funciones que operan sobre escalares, tales como sin, cos, etc., funcionan con tensores exactamente del mismo modo que con vectores o matrices, realizando las operaciones elemento a elemento. Si se aplica una funci´ on de las que operan sobre los elementos de un tensor como por ejemplo b´ usqueda de m´ aximos o m´ınimos ( max, min) o la suma y producto (sum, prod), devuelve un tensor de una dimensi´ on menos, resultado de realizar la operaci´ on sobre la primera dimensión:

B o r r a d o r >> a=zeros(2,3,2); >> a(:,:,1)=[1 2 8; 4 5 6]; a(:,:,2)=[6 2 14; 3 5 1] a(:,:,1) = 1 4

2 5

8 6

2 5

14 1

a(:,:,2) = 6 3

>> max(a)

% 1x3x2

ans(:,:,1) = 4

5

8

ans(:,:,2) = 6

5

14

>> max(max(a)) % 1x1x2 ans(:,:,1) = 8

ans(:,:,2) = 14

>> max(max(max(a))) % 1x1x1, un numero ans =

6

167

´ IV LECCION

8.4 Vectores de celdas

8.4.

Vectores de celdas

Aunque los tensores a˜ naden mayor flexibilidad a las matrices y vectores, siguen siendo estructuras r´ıgidas (todas las entradas deben ser n´ umeros reales, a(1,:,:,:) debe tener la misma dimensión que a(2,:,:,:),...). Matlab cuenta con una estructura que probablemente sea el paradigma de la flexibilidad en tanto en cuanto permite guardar casi cualquier tipo de dato. Es, por as´ı decirlo, un “caj´ on de sastre”. Este tipo de estructura se denomina vector (matriz o tensor) de celdas o cell array . Ya nos hemos encontrado con esta estructura cuando vimos el dise˜ no de funciones cuyo n´ umero de par´ ametros de entrada y/o salida era variable. Las variables varargin y varargout son realmente vectores de celdas que conten´ıan distintos tipos de datos a los que se acced´ıa mediante llaves. Un vector de celdas se maneja del mismo. A modo de ejemplo podemos crear un vector de celdas simplemente asignando valores

B o r r a d o r >> celda={7,[1 2 3;4 5 6],’una cadena de caracteres’,inline(’x+y’)}; >> whos celda Name Size Bytes Class celda

1x4

1214

cell array

Grand total is 95 elements using 1214 bytes

que es equivalente a dar cada una de sus componentes >> >> >> >>

celda{1}=7; celda{2}=[1 2 3;4 5 6]; celda{3}=’una cadena de caracteres’; celda{4}=inline(’x+y’);

Tambi´ en se puede proceder, con peque˜ nas diferencias de sintaxis, de la siguiente forma >> celda(1)={7}; >> celda(2)={[1 2 3;4 5 6]};

F´ıjate en la disposición de las llaves en los dos ejemplos anteriores. En cualquier caso, una vez definido el vector podemos acceder a cada una de sus componentes indicando entre llaves su posición >> celda{1} ans =

7

>> celda{4}([1 2 4], [2 1 1/2]) ans =

3.0000

3.0000

4.5000

168

% funcion!!

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


o visualizar todas ellas mediante >> celldisp(celda)

B o r r a d o r celda{1} = 7

celda{2} = 1 4

2 5

3 6

celda{3} =

una cadena de caracteres celda{4} =

Inline function: (x,y) = x+y

Este tipo de estructura, aunque muy flexible a la hora de almacenar informaci´ on, es sin embargo manejada con menor eficiencia por Matlab, por lo que debe hacerse un uso mesurado de ella. Los comandos varargin y varargout proporcionan un buen ejemplo de una utilización apropiada de esta estructura.

Ejercicio 8.4 Otra manera de agrupar distintos tipos de datos es utilizar estructuras (“struct”). Una estructura es un tipo de dato del que luego se pueden asignar campos distintos. Por ejemplo, la estructura Libro podr´ıa contener los campos Titulo y Autor que ser´ıan cadenas de noPublicacion y NumeroPaginas que ser´ıan n´ caracteres y A~ umeros. Utiliza la ayuda de Matlab para averiguar c´ omo pueden definirse estos tipos de datos mediante la orden struct.

169

´ IV LECCION

8.4 Vectores de celdas

B o r r a d o r 170


C´ alculo num´ erico de valores y vectores propios. 9.1.

Introducci´ on

El estudio de los valores y vectores propios de una matriz surge ligado a una gran cantidad de problemas que se plantean en a´mbitos de muy diversa ´ındole, tales como la Ingenier´ıa, F´ısica, Econom´ıa, Estad´ıstica o Biolog´ıa. Algunos ejemplos los encontramos en el c´ alculo de los modos de vibraci´ on de algunas estructuras, el estudio de la evoluci´ on de sistemas din´ amicos, compresi´ on de datos, el an´ alisis de redes (grafos),... El problema que abordamos es el siguiente: dada una matriz A de tama˜ no n n queremos encontrar los escalares λ y vectores v = 0 que cumplan

×



Av = λv.

Se dice entonces que λ es un valor propio de A y que v es un vector propio asociado a λ. Se trata por tanto de buscar las direcciones invariantes bajo los productos por la matriz. Equivalentemente, los valores propios de A son aquellos valores λ para los que el sistema lineal homogéneo (A λI )v = 0,

−

tiene soluciones no nulas, y estas soluciones son los vectores propios asociados a λ. Esta expresión nos da una manera de calcular λ: los valores propios son los valores, reales o complejos, para los que A λI no es invertible, o equivalente, para los que det(A λI )=0. Concluimos de esta manera que los valores propios son las ra´ıces del polinomio

−

−

p(λ) := det(A

− λI ) = 0.

conocido como polinomio caracter´ıstico. Dado que p(λ) tiene grado n, habrá exactamente n valores propios (aunque alguno de ellos puede estar repetido o ser complejo). Históricamente los métodos num´ ericos comenzaron trabajando sobre el polinomio caracter´ıstico para hallar los valores propios, pero pronto se comprob´ o que este camino no era el m´ as indicado. Uno de los hechos que motivaron este abandono radicaba en la inestabilidad numérica: 171

´ IV LECCION

9.1 Introducción

Las ra´ıces de un polinomio son muy sensibles a variaciones en sus coeficientes; El polinomio a su vez puede ser muy sensible a las entradas de la matriz.

B o r r a d o r En vista de lo anterior se plante´ o el problema original: ¿son los valores y vectores propios sensibles a peque˜ nas modificaciones de las entradas de la matriz?. Afortunadamente para matrices simétricas se tiene la ansiada estabilidad: peque˜ nas variaciones en A, producto por ejemplo de errores de medida o errores de redondeo, dan lugar a peque˜ nas modificaciones en los valores propios1 . Para matrices arbitrarias este resultado dista mucho de ser cierto, las condiciones para asegurar la estabilidad son m´ as complicadas, y podemos encontrarnos con lo que en la terminolog´ıa habitual se denomina, matrices mal condicionadas para el c´ alculo de valores propios.

Ejemplo Estas l´ıneas muestran la sensibilidad de una matriz muy simple ante una peque˜ na variaci´ on en una entrada. >> a=[149 50 154;-537 -180 -546;27 9 25]; >> p= poly(a) p =

1.0000

6.0000

11.0000

6.0000

>> roots(p).’ ans =

-3.0000

-2.0000

-1.0000

>> b=[149 50 154;-537 -180.01 -546;27 9 25]; >> q=poly(b) ans =

1.0000

6.0100

9.2600

1.6700

>> roots(q).’ ans=

-3.5019

-2.3008

-0.2073



Ejercicio 9.1 Repite el ejemplo anterior con diferentes matrices simétricas y observa como el resultado es más estable. 1

Probado por primera vez por Hermann Weyl en 1911 en un área totalmente distinta. 172

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo

9. Cálculo num´ erico de valores y vectores propios.

´ Nota. Este y otros detalles no eran conocidos en los inicios del c´ alculo cient´ıfico. James 2 Hardy Wilkinson relata la siguiente anécdota . Cuando estaba programando en uno de los primeros ordenadores electr´ onicos el método de Newton para la resoluci´ on de ecuaciones no lineales, decidió testarlo con el siguiente polinomio

B o r r a d o r (x

− 20)(x − 19) · ·· (x − 1).

El método fallaba de forma reiterada, a pesar de las sucesivas revisiones del c´ odigo, hasta que Wilkinson cayó en la cuenta de que el error no radicaba en su programa sino que las ra´ıces eran tan sensibles num´ ericamente que se ve´ıan afectadas por los errores de redondeo. Wilkinson demostr´ o que al cambiar el coeficiente de x19 en p, que es 210, por 210 2−23 , las ra´ıces 16 y 17 se transforman3 en el par complejo 16.73 2.81i. El polinomio en cuestión pas´ o a la historia del Numérico con el nombre de “el pérfido  polinomio de Wilkinson”.

−

9.2.

− ±

−

Matrices semejantes

Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz P invertible tal que B = P AP −1 .

En este caso,

det(B

− λI )

= det(P AP −1

=

−1

− λI ) = det(P (A − λI )P ) = det(P ) det(A − λI ) det(P ) = det(A − λI ), −1

es decir, A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y por tanto los mismos valores propios. Este resultado sugiere una estrategia para encontrar los valores propios de A: buscar matrices semejantes para las que el c´ alculo de los valores propios sea sencillo. En particular, cuando B es triangular sus valores propios son simplemente los elementos diagonales. Si podemos tomar los n vectores propios linealmente independientes, la matriz P := [v1 v2 . . . vn ] (su i–ésima columna es el vector vi ) es invertible. Entonces

| | |

AP = P D

⇐⇒

P −1 AP = D,

donde D es una matriz diagonal con los valores propios sobre la diagonal. Si una matriz es semejante a una matriz diagonal se dice que es diagonalizable. Particularmente interesante es el caso en que P se puede tomar adem´ as ortogonal. Esto es, P −1 = P  , y por tanto P  AP = D. Las matrices ortogonales son muy estables num´ ericamente y posibilitan el dise˜ no de métodos más robustos frente a errores de redondeo. 2

Recogida por D. Kincaid y W. Cheney en su excelente libro “Análisis Numérico: Las Matemáticas del Cálculo Cient´ıfico.” Addison-Wesley, 1994. 3 ¿C´ omo asumir que las ra´ıces de un polinomio tan sencillo fueran imposibles de aproximar por un ordenador? Wilkinson dir´ıa despu´ es “Speaking for myself I regard it as the most traumatic experience in my career as a numerical analyst” 173

´ IV LECCION

9.3 Método de potencias

Teorema 9.1 Si A es simétrica, existe Q ortogonal tal que Q AQ = D con D diagonal con los valores propios de A. En particular, los valores propios de una matriz simétrica son todos reales.

B o r r a d o r En las Secciones 9.4 y 9.5 de esta lecci´ on se estudiar´ an dos métodos basados en transformaciones de semejanza (producto por matrices ortogonales) que tratan de llevar una matriz simétrica a una forma diagonal como forma de calcular los valores propios. Estos métodos se pueden adaptar, con m´ as o menos éxito, a matrices arbitrarias llevando en este caso la matriz a una forma triangular o cuasitriangular.

9.3.

M´ etodo de potencias

En esta secci´ on presentaremos el método de potencias y algunas variantes del mismo que proporcionan un valor propio de la matriz. Estos métodos combinados con técnicas de deflaci´ on, que consisten en construir una nueva matriz con los mismos valores propios que la original salvo el ya el calculado, permiten calcular unos pocos valores propios.

9.3.1.

Descripci´ on del m´ etodo

Asumiremos para empezar que la matriz A tiene un valor propio dominante, es decir, sus valores propios pueden ordenarse en la forma

|λ | > |λ | ≥ |λ | ≥ . . . ≥ |λ |. 1

2

3

n

Supongamos adem´ as que tenemos una base formada por vectores propios, esto es poden mos tomar vi i=1 vectores propios linealmente independientes (la matriz A es por tanto diagonalizable). Entonces, cualquier vector x0 puede escribirse en la forma

{ }

n

x0 =

 

αi vi

i=1

con αi adecuados. Multiplicando reiteradamente por A obtenemos n

m

A x0 =

 i=1

α i λm i vi

=

λm 1



α1 v1 + α2

λ2 λ1

m

v2 + . . . + αn

  λn λ1

m

vn .

(9.1)

Entonces, si α1 = 0 y m es grande



xm := Amx0

m 1 α1 v1 ,

≈λ

es decir, xm tiende a apuntar en la direcci´ on del vector propio asociado al valor propio de mayor m´ odulo (en el lenguaje habitual se habla del valor propio dominante). El valor propio λ1 se puede calcular, entre otras posibilidades, mediante el conocido cociente de Rayleigh: x x (m) m Axm m xm+1 λ1 := = λ1 . xm 2 xm 2

  ≈

 

174

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


Proposici´ on 9.2 Bajo las hip´ otesis anteriores (m) λ1

= λ1 +

   O    O λ1 λ2

m

.

B o r r a d o r Si además A es simétrica

λ(m) = λ1 + 1

λ1 λ2

2m

.

Basado en estas ideas surge el m´ etodo de potencias, que simplemente consiste en multiplicar un vector inicial por las potencias sucesivas de la matriz A. Para evitar que los vectores xm tengan componentes muy grandes o muy peque˜ nas se genera una sucesi´ on de vectores normalizados, es decir, una vez multiplicado por A se procede a dividir por su norma. El algoritmo es el siguiente:

M´ etodo de potencias 01

x0 = 0

02

y0 =

03



vector inicial

x0 x0

 

2

for m=1:mmax

04

xm = Aym−1

05

 λ(m) = ym −1 xm xm ym = xm 2

06

   if y − y

07 08 09 10

m−1 2

m

< eps

return

end

end

La l´ınea 06 es simplemente el cociente de Rayleigh que, como la norma escogida para normalizar es la eucl´ıdea, adopta esta expresi´ on más sencilla. Hemos elegido como criterio de parada la diferencia entre dos vectores consecutivos. Otra posible elecci´ on es λ(m) λ(m−1) < eps λ(m) .

|

−

|

|

|

Ejercicio 9.2 Programa el método de potencias

Soluci´ on. He aqu´ı una implementación del método. 01 02 03

%POTENCIAS % %LB=POTENCIAS(A)

Devuelve en LB una aproximacion del

175

´ IV LECCION

9.3 Método de potencias 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

% % % %[LB,V]=POTENCIAS(A) % %[LB,V,NITER]=POTENCIAS(A) % % LB=POTENCIAS(A,MMAX) % % LB=POTENCIAS(A,MMAX,EPS) % % LB=POTENCIAS(A,MMAX,EPS,V0)

mayor valor propio de A calculado por el metodo de potencias

B o r r a d o r V es el vector propio

NITER son las iteraciones calculadas

MMAX

No. maximo de iteraciones n

EPS es el criterio de parada

V0 vector inicial para la iteracion

function [lb,x,m]=potencias(a,varargin); n=length(a); if nargin>1 & ~isempty(varargin{1}) mmax=varargin{1}; else mmax=n*2; end if nargin>2 & ~isempty(varargin{2}) eps=varargin{2}; else eps=1e-6; end if nargin>3 & ~isempty(varargin{3}) y=varargin{3}; else y=rand(n,1); end y=y/norm(y);

for m=1:mmax x=a*y; lb=y’*x; x=x/norm(x); if norm(x-y)
Observa la utilización de isempty que permite que el usuario especifique alguno de los parámetros, ignorando los anteriores sin m´ as que utilizar el vac´ıo []. Por ejemplo, la siguiente llamada es v´ alida: 176

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


>> [lb,v]=potencias(a,[],[],v0);

% especifico el vector inicial



B o r r a d o r umero de iteraciones requerido Ejercicio 9.3 Compara la velocidad de convergencia y el n´ para distintas tolerancias y vectores iniciales al tomar las matrices A=

 − −

1 4 2

−3 9 −1

0 4 5



,

B=

 − −

1 3 0

−3

0 9 4 4 5



,

C =

 − −

1 4 2

−

4 9 1

−2 −1

5



.

on del vector propio asociado al valor propio Nota. Cuando no se conoce una aproximaci´ dominante, se suele iniciar el algoritmo partiendo de un vector generado aleatoriamente. Podr´ıa ocurrir que para el vector inicial α1 = 0, pero la probabilidad de que se dé este problema es (pr´ acticamente) nula. En este caso, si λ2 > λ3 , salvo por errores de redondeo4 , el método proporcionar´ a el valor propio subdominante λ2 y su vector propio asociado normalizado. No es necesario que la matriz sea diagonalizable para que el m´ etodo de potencias converja. Tampoco que el subespacio asociado al valor propio dominante est´ e generado por un u ´ nico vector. En este caso, que s´ olo puede darse si λ1 es un valor propio repetido, el método puede converger a distintos vectores propios normalizados dependiendo del vector inicial considerado. Si λ1 = λ2 , es decir, λ1 = λ2 o´ λ1 y λ2 son n´ umeros complejos conjugados, entonces el método de potencias falla. 

| | | |

| | | |

±

Ejercicio 9.4 Consideremos la matriz

A=

cuyos valores propios son 1, 2, 3 y 4.

 

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

−24 50 −35 10

 

1. Aplicar el m´ etodo de potencias a la matriz A partiendo de un vector aleatorio y del vector ( 20, 33, 15, 2) .

−

−

2. Sabiendo que v1 = ( 24, 26, 9, 1) y v2 = ( 12, 19, 8, 1) son vectores propios asociados a los valores propios 1 y 2 respectivamente, ¿qué crees que ocurrirá si se toma como vector inicial v1 3v2 = (12, 31, 15, 2) ?

− −

−

−

−

−

−

3. Observa para distintas tolerancias la diferencia entre partir del vector del apartado anterior y de (12, 31, 15, 2.0001) .

−

−

4

El efecto de los errores de redondeo se traduce en una componente no nula en la dirección de v1 , incluso aunque el vector inicial no la tuviese. Se podr´ıa decir que éste es uno de los pocos casos en los que los errores de redondeo nos pueden ayudar. 177

´ IV LECCION

9.3 Método de potencias

Ejercicio 9.5 En este ejercicio vamos a comprobar que el c´ alculo de los valores propios utilizando el polinomio caracter´ıstico no es el camino correcto. Teclea las instrucciones en un fichero script

B o r r a d o r n=50; d=1/n:1/n:1; [q,r]=qr(rand(n)); a=q’*d*q;

En a tenemos una matriz simétrica con valores propios 5 0.02, 0.04, 006, . . . , 1 . Se trata de que apliques potencias para calcular el valor propio dominante y compares el resultado con el que obtienes al calcular las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico. Compara los resultados. Cambia el valor de n y observa el efecto que tiene en matrices cada vez más grandes.

{

9.3.2.

}

Variantes del m´ etodo de potencias

M´ etodo de la potencia inversa

Si A es invertible y v es un vector propio asociado a un valor propio λ (que ser´ a distinto de cero), entonces, Av = λv A−1 v = λ−1 v.

⇐⇒

Es decir, λ−1 es un valor propio de la matriz inversa y v es un vector propio asociado. Por tanto podemos aplicar el método de potencias a la matriz A−1 para calcular el menor valor propio en valor absoluto de A. En lugar de calcular el producto xm = A−1 ym−1 (l´ınea 04 en el método de potencias) resolveremos en cada iteraci´ on el sistema6 Axm = ym−1 .

Disponemos para ello de una galer´ıa amplia de métodos vistos en las Lecciones I y II. Notemos adem´ a s que en cada iteraci´ o n se tiene que resolver un sistema cuya matriz es siempre la misma, as´ı que si optamos por un m´ etodo directo podemos calcular la factorización LU una u ´ nica vez, fuera del bucle for (l´ıneas 03--10), y resolver de forma reiterada los dos sistemas triangulares. Si por contra se opta por un método iterativo, podemos arrancar el esquema utilizando xm−1, la aproximación del vector propio calculada en la iteraci´ on anterior.

Ejercicio 9.6 Programa a partir del Ejercicio 9.2 el algoritmo de la potencia inversa. M´ etodo de potencias desplazado

Si λ es un valor propio de A, entonces λ α es un valor propio de A αI y (λ lo es de (A αI )−1 . Por tanto, si aplicamos el método de potencias a la matriz

−

−

A

5

−

−1

− α)

− αI

El comando qr descompone A = QR con Q ortogonal y R triangular. Por tanto los valores propios de Q AQ coinciden con los de A. La Sección 9.5.1 está dedicada al cálculo de esta descomposición. 6 Recuerda que invertir una matriz para multiplicarla posteriormente por un vector es mucho más costoso que resolver el sistema correspondiente. 178

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


donde α es una constante conocida, podemos obtener el valor propio de A más alejado de α. Más interesante desde el punto de vista pr´ actico es aplicar el método de potencias −1 a (A αI ) , que nos proporcionar´ a el valor propio de A más próximo a α.

−

B o r r a d o r Ejercicio 9.7 Modifica el programa del Ejercicio 9.6 para implementar el método de potencias desplazado. Los argumentos obligatorios de entrada serán ahora A y alpha. Comentarios finales

El método de potencias tiene una ventaja evidente: su simplicidad. Ni siquiera necesitamos la matriz en s´ı, s´ olo saber multiplicar por ella. El algoritmo de la potencia desplazada se puede utilizar para el c´ alculo de un vector propio si se conoce λ, el valor propio asociado. Basta para ello aplicar el m´ etodo con α = λ +  con  << 1. Puede plantearse si esto tiene efectos perniciosos habida cuenta de que A αI está muy cerca de ser singular. Wilkinson prob´ o sin embargo que el efecto de esta inestabilidad se da precisamente en la direcci´ o n del vector propio, que a fin de cuentas es lo que nos interesa. Se puede sugerir una versi´ on alternativa del método de potencias desplazada consistente en tomar un α nuevo en cada iteraci´ on, por ejemplo el u ´ltimo valor calculado λ(m) . Aunque esto acelera enormemente la convergencia del método, dispara el costo por iteración, ya que en cada paso hay que resolver un sistema lineal nuevo, por lo que salvo en contados casos no es recomendable. Si se conoce un valor propio λ de una matriz A de tama˜ no n, puede construirse una nueva matriz de tama˜ no n 1 que tiene exactamente los mismos valores propios que A salvo λ. Podr´ıa aplicarse ahora el método de potencias (o cualquiera de sus variantes) a la nueva matriz para determinar un nuevo valor propio de A. Este tipo de técnica, en la que no entraremos en estos apuntes, se conoce como deflaci´ on. Debemos se˜ nalar que mediante esta técnica los errores de redondeo se van acumulando, de modo que s´ olo es factible para calcular unos cuantos valores propios. El n´ umero final depende obviamente de la propia matriz y de la precisión con que se van calculando los valores propios.

−

−

9.4.

M´ etodo de Jacobi

En esta secci´ on estudiaremos un método que nos proporcionar´ a todos los valores proetrica (todos son reales) mediante un esquema iterativo basado pios de una matriz sim´ en transformaciones de semejanza.

9.4.1.

Descripci´ on del m´ etodo

El método de Jacobi transforma en cada paso una matriz simétricaA en otra semejante con estructura m´ as diagonal mediante el producto a izquierda y derecha por matrices apropiadas. Una matriz de Givens, también llamada de rotaci´ on, es una matriz de la 179

´ IV LECCION

9.4 Método de Jacobi forma

    

1 ...

  ←   ← 

B o r r a d o r R pq (α) =

cos α

sin α

1

...

1

− sin α

cos α

...

1

↑

↑

fila p

fila q

(9.2)

col. q

col. p

Es fácil ver que son ortogonales, es decir, R pq (α)−1 = R pq (α) . Mediante  A1 := R pq AR pq

( p, q y α adecuados) vamos a anular el mayor elemento extradiagonal de A. Esta operaci´ on (1) só lo afecta a las filas y columnas p, q de A. Concretamente, si denotamos por aij las entradas de A1 , (1) a pq = (aqq

=

−a

pp )cos α

1 (aqq 2

−a

pp )

sen α + a pq (cos2 α

2

− sen α) =

sen(2α) + a pq cos(2α).

Por tanto, el ańgulo α debe tomarse de modo que

 

si aqq = a pp ,

cos(2α) = 0, tan(2α) =

2a pq , aqq a pp

en caso contrario.

−

Para calcular cos α y sen α evitando el uso de un arcotangente se recurre a algunas manipulaciones trigonométricas que prueban que si7 θ :=

aqq a pp , 2a pq

entonces

cos α =

−

t :=

√ t 1+ 1 ,

sign(θ) , θ + θ2 + 1

| | √

sen α =

2

√ t t+ 1 . 2

Cuando aqq = a pp tomamos

cos α =

7

sign (z) es el signo de z,

√ 12 ,

sen αm =

−sign(a √

qq )

2

−1 si z es negativo, 1 en caso contrario. 180

.

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


El m´ etodo ya se vislumbra en este estado: se trata de repetir el mismo argumento con A1 para obtener una segunda matriz A2 resultado de cancelar el mayor elemento extradiagonal de A1 . De esta forma, reiterando este proceso llegamos a una sucesi´ o n de matrices Am que cumplen

B o r r a d o r Am

−→ D :=

 

 

λ1

λ2

...

λn

,

cuando m

→ ∞.

Además, definiendo Qm := R p1 q1 (α1 )R p2 q2 (α2 ) . . . R pm qm (αm ), donde R pk ,qk es la matriz utilizada en el paso k ésimo

−

1 Q− m AQm = Am

−→ D.

Por tanto, las columnas de Qm son las aproximaciones (ortonormales) de los vectores propios correspondientes. El siguiente teorema prueba la convergencia de este método. Para ello necesitamos la llamada norma de Frobenius8

| |  n

A

F

:=

ai,j

2

1/2

i,j=1

Teorema 9.3 Sea Am la matriz en la iteraci´ on m, Dm su diagonal y Bm := Am Entonces 2 Am F = Am+1 F , Bm+1 2F = Bm 2 2 a p(m) m qm

 









 − |

−D

m.

|

El resultado dice en primer lugar que la norma de Frobenius de una matriz no cambia cuando se multiplica a izquierda y derecha por las matrices R pq (α), una de ellas traspuesta. De hecho se preserva cuando se multiplica, a izquierda y derecha, por matrices ortogonales arbitrarias. El segundo resultado dice algo m´ as: el peso de los elementos extradiagonales disminuye en cada paso seg´ un el elemento cancelado. Esto asegura la convergencia del proceso hasta obtener una matriz diagonal. En la práctica, el proceso se interrumpe cuando los elementos que est´ a n fuera de la diagonal son suficientemente peque˜ nos. En concreto, se suele tomar el siguiente criterio de parada

 | |  n

(m) pm qm

|a

| < eps

2 a(m) ii

1/2

.

i=1

F´ıjate que las matrices Am y Am+1 sólo difieren en las filas y columnas pm y q m . A efectos pr´ acticos no ser´ a necesario formar las matrices de rotaci´ on ya que basta conocer los valores de cos αm y de sen αm para construir Am+1 a partir de Am .

Ejercicio 9.8 Implementa el método de Jacobi. 8

En Matlab ser´ıa norm(a(:)) o norm(a,’fro’).

181

´ IV LECCION

9.4 Método de Jacobi

Soluci´ on. La parte central del programa se puede implementar con las siguientes l´ıneas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

% % % % % % % % % % % % % % %

JACOBI

B o r r a d o r D=JACOBI(A)

Aplica el metodo de Jacobi a A y devuelve en D los valores propios; A debe ser simetrica

[D,Q]= JACOBI(A)

Q es ortogonal con Q’A Q=D

[D,Q,NITER]= JACOBI(A)

NITER Numero de iteraciones calculadas

D=JACOBI(A,NMAX)

NMAX numero maximo de iteraciones

D=JACOBI(A,NMAX)

NMAX numero maximo de iteraciones

D=JACOBI(A,NMAX,EPS)

EPS es el criterio de parada

function [d,Q,m]= jacobi(a,varargin) n=length(a); if nargin>1 & ~isempty(varargin{1}) mmax=varargin{1}; else mmax=n^2; end if nargin>2 & ~isempty(varargin{2}) eps=varargin{2}; else eps=1e-5; end

Q=eye(n); for m=1:mmax d=diag(a); %Calculo del mayor elemento extradiagonal [max1,p]=max(abs(a-diag(d))); [max2,q]=max(max1); p=p(q); if max2
´ IV LECCION 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

Cap´ ıtulo


else theta=(a(q,q)-a(p,p))/(2*a(p,q)); t=sign(theta)/(abs(theta)+sqrt(theta^2+1)); c=1/sqrt(t^2+1); s=c*t; end r=[c s ;-s c]; %La rotacion solo afecta a las filas y col. p y q a([p q],:)=r’*a([p q],:); a(:,[p q])=a(:,[p q])*r; Q(:,[p q])=Q(:,[p q])*r; % guardamos Q

B o r r a d o r end disp(’numero maximo de iteraciones sobrepasado’); return

Observa bien las l´ıneas 32-33 que sirven para encontrar la posici´ on del máximo elemento extradiagonal. 

9.4.2.

Variantes del m´ etodo de Jacobi

Aunque el método de Jacobi ofrece la posibilidad de calcular de forma r´ apida todos los valores propios, tiene una convergencia lenta incluso para matrices de tama˜ no moderado. Vamos a introducir algunas mejoras desde el punto de vista computacional, que no matem´ atico. Concretamente vamos a realizar una peque˜ na modificaci´ on que aunque eleva el n´ umero de iteraciones necesarias para converger (peor desde el punto de vista matemático) cada iteraci´ on se ejecuta en menos tiempo, de forma que al final se consigue reducir el tiempo de c´ alculo (mejora computacional). Para ello vamos a identificar primero d´ onde se nos va el tiempo de c´ alculo. Con este fin utilizaremos una de las herramientas m´ as u ´tiles en Matlab: profile. Comenzamos creando una matriz simétrica de tama˜ no moderado: >> a=rand(120); a=a+a’;

y activamos el profile de Matlab con >> profile on

Ahora Matlab va a llevar un control sobre el tiempo que consume cada l´ınea de c´ odigo9 . A continuaci´ on ejecuta el programa jacobi para a con un n´ umero m´ aximo de iteraciones suficientemente alto de forma que asegures convergencia. La instrucci´ on >> profile report

despliega un informe donde puedes ver el tiempo que ha consumido cada parte del programa. Se observa claramente que las l´ıneas m´ as costosas son aquéllas empleadas en la búsqueda del m´ aximo elemento extradiagonal (observa la Figura 9.1). Es precisamente 183

´ IV LECCION

9.4 Método de Jacobi

B o r r a d o r MATLAB Profile Report: Function Details jacobi

C: / Document s and Set t i ngs/ Ví ctor/ Escri t or i o/ Li br oMat l ab/ j acobi . m

Time: 14.75100000 s (100.0%) Calls: 1 Self time: 14.75100000 s (100.0%) Function: Time jacobi

Calls Time/call

14.75100000

1 14.75100000

Parent functions: none

Child functions: none

99% of the total time in this function was spent on the following lines: 33:

f or m=1: mmax

0. 07643962 1%34:

d=di ag( a) ;

35:

%Cal cul o del mayor el ement o ext r adi agonal

13. 37100000 91%36: 0. 26000000 2%37:

[ max1, p] =max( abs( a- di ag( d) ) ) ; [ max2, q] =max( max1) ;

38:

p=p( q) ;

0. 07000000 0%39:

i f max2
40:

r eturn % conver genci a

42:

%cal cul o sen y cos

0. 09000000 1%43:

i f abs( a( q, q) - a( p, p) )
44:

c=1/ sqr t ( 2) ;

51:

end

0. 10819591 1%52:

r 0=[ c s ; - s c] ;

53:

0. 31000000 0. 12000000 0. 17000000 0. 05000000

2%54: 1%55: 1%56: 0%57:

%La r ot aci on sol o af ect a a l as f i l as y col . p y q

a( [ p q] , : ) =r 0' *a([ p q] , : ) ; a(: , [ p q] ) =a(: , [ p q] ) *r 0; r ( : , [ p q] ) =r ( : , [ p q] ) *r 0; % guardamos r

end

Figura 9.1: Profile aplicado al método de Jacobi.

184

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


en estas l´ıneas donde debemos proponer nuestra mejora, reemplazando la b´ usqueda por alg´ un proceso m´ as econ´ omico. La variante que proponemos es la siguiente: recorreremos uno por uno todos los elementos situados debajo de la diagonal (como la matriz es simétrica esto es suficiente). Si el tama˜ no de un elemento es peque˜ no, no hacemos nada y pasamos al siguiente. Si es grande , se procede anularlo. Para dilucidar si es grande o peque˜ no comparar´ıamos con el tama˜ n o de la diagonal de forma semejante a como se hace en el programa original (l´ınea 09). Una vez recorridos todos los elementos, esto es, una vez realizado un barrido en la terminolog´ıa habitual, volvemos a empezar. Cada cierto n´ umero de iteraciones, por ejemplo tras cada barrido, podemos medir el tama˜ no de los elementos extradiagonales que quedan para ver si se da por finalizada la ejecuci´ on del programa. Si comprobamos que hay todav´ıa elementos diagonales muy grandes, empezamos de nuevo.

B o r r a d o r on sugerida en el p´ arrafo de arriba. Ejecuta el profile Ejercicio 9.9 Implementa la modificaci´ de Matlab y compara tiempos de ejecuci´ on con el programa original. ¿Qué observas?. F´ıjate también en el n´ umero de iteraciones que necesita para converger. ¿Qu´ e te parece?.

Nota. La instrucci´ on profile es muy u ´ til a la hora de depurar c´ odigo dado que permite controlar qué partes del programa vale la pena optimizar y cu´ ales no. La instrucci´ on tiene varios argumentos opcionales y comandos relacionados que puedes consultar en la ayuda. Los comandos tic y toc son más simples pero proporcionan menos informaci´ on. El primero activa el reloj y el segundo nos informa sobre el tiempo trascurrido desde que se  ejecutó tic.

9.5.

M´ etodo QR de Francis

El método QR y sus variantes son sin lugar a dudas la elecci´ on más apropiada para el cálculo de todos los valores propios de una matriz llena. El método es muy f´ acil de entender y sencillo de implementar. Sin embargo, es dif´ıcil de comprender por qué funciona (el an´ alisis no es nada trivial). Ya hemos visto descomposiciones matriciales del tipo A = LU con L (permutación de) triangular inferior con 1s en la diagonal y U triangular superior. Una descomposici´ on alternativa es A = QR con Q ortogonal (Q = Q−1) y R triangular superior. Esta descomposici´ on siempre existe y puede ser calculada de varias formas distintas. El método QR de Francis consiste en grosso modo construir una sucesi´ on de matrices Am (A0 = A) procediendo como sigue Am = QmRm

(factorizar)



Am+1 := Rm+1 Qm+1

(construir)

Para una matriz simétrica el algoritmo converge pr´ acticamente en todos los casos a una matriz diagonal con los valores propios. M´ as adelante detallaremos el algoritmo y c´ omo se 9

Tener activada esta opción resta algo de velocidad a los programas puesto que parte de Matlab está ocupada en autorevisarse. Con profile off desconectas este control. 185

´ IV LECCION

9.5 Método QR de Francis

puede mejorar su implementaci´ on. En cualquier caso queda claro que antes de entrar en materia debemos hablar con algo de profundidad de la descomposici´ on QR de una matriz.

Ejercicio 9.10 Probar que todas las matrices Am son semejantes y por tanto comparten los mismos valores propios.

B o r r a d o r 9.5.1.

Factorizaci´ on QR

Quizás la forma más sencilla de calcular la descomposici´ on es aquélla ligada al algo´ ritmo de Gram-Schmidt. Este algoritmo, uno de los cl´ asicos en Algebra Lineal, se utiliza para hallar una base ortogonal de un subespacio partir de una base (o sistema generador) dada. Las operaciones, una vez reescritas adecuadamente se pueden expresar de la forma A = QR

donde las columnas de A son los vectores originales, las colunas de Q son los vectores ortonormales que generan el mismo subespacio que los vectores columna de A y R es una matriz triangular superior que indica c´ omo se transforma la base original en la nueva base ortonormal. La descomposici´ on tiene sentido para matrices rectangulares y en este caso las dimensiones de A y Q coinciden (si A, es m n, también lo es Q y R es n n). Este algoritmo es, sin embargo, muy inestable num´ ericamente y rara vez se utiliza en 10 la práctica . Existen caminos distintos que nos conducen a la descomposici´ on QR. Los dos métodos más utilizados se basan en transformar la matriz original en una triangular superior multiplicando a izquierda por matrices ortogonales, ya sean rotaciones como las que aparecen en el algoritmo de Jacobi (matrices de Givens), o matrices (reflexiones) de Householder.

×

×

Factorizaci´ on QR con Matrices de Householder Una matriz de Householder viene dada por Q = I

− 2uu



con u 2=1,

,



donde u es un vector columna n 1 e I es la matriz identidad de tama˜ no n. Observa que efectivamente es una matriz, ya que u u es n n. Es muy sencillo comprobar que es simétrica (Q = Q) y que Q Q = I , y por tanto Q−1 = Q. La factorizaci´ on QR mediante transformaciones de Householder se basa en la siguiente propiedad

×

×

Proposici´ on 9.4 Dado un vector columna x, si tomamos α = x 2 y definimos x α e1 u := , donde e1 = (1, 0, . . . , 0) , x α e1 2 Q :=

± 

−  −  I − 2 u u , 

entonces

Qx = (α, 0, . . . , 0) .

10

Existe el algoritmo de Gram-Schmit modificado que dota de algo más de estabilidad al método original. 186

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


Generalmente se suele escoger α con el signo opuesto al de la primera componente de x para que u 2 no sea demasiado peque˜ na. Para obtener una descomposici´ on A = QR podemos proceder del siguiente modo:



B o r r a d o r 1. Construimos la matriz de Householder Q1 como en la proposici´ on anterior tomando como vector x la primera columna de A. Entonces

 

Q1 A =

α1

...

∗

0 .. . 0

∗

A2

2. Repetimos el proceso con la matriz A2 que es (n matriz de Householder Q∗2 tal que

Q∗2A2 =

Ahora basta considerar

Q2 =

que cumple

Q2 Q1 A =

      

α2 0 .. . 0

∗

A3

1 0 ... 0 0 .. . 0

Q∗2

(9.3)

− 1) × (n − 1) para construir la

...

∗

 

 

α1 0 α2

∗ ∗ ∗

... ...

0 .. . 0

0 .. . 0

A3

 

.

(9.5)

∗ ∗

3. En el k–ésimo paso se construyen las matrices Q∗k y Qk :

Q∗k Ak =

 

αk 0 .. . 0

∗

...

∗

Ak+1

 

,

Qk :=

donde I k−1 es la matriz identidad de tama˜ no k

Después de n

(9.4)



  

I k−1

Q∗k



,

− 1.

− 1 pasos obtenemos la descomposición Q · ·· Q A = R, con R triangular superior. ·· · Q = Q · ·· Q . Por tanto, Definiendo Q := Q ··· Q , tenemos que Q = Q n−1

1

1

n−1

A = QR

−1

−1 n−1

−1 1

n−1

1

con Q ortogonal y R triangular superior.

on QR con matrices de Householder Ejercicio 9.11 Implementa la descomposici´ 187

´ IV LECCION


Soluci´ on. He aqu´ı una implementación del método 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

% [Q,R]=QRHOUSEHOLDER(A) Calcula Q ortogonal y R triangular % superior tales que A=QR. % % El algoritmo esta basado en las matrices de Householder % function [q,r]=QRhouseholder(a)

B o r r a d o r n=length(a) q=eye(n); r=a; for k=1:n u=r(k:n,k); %primera columna alpha=-sign(u(1))*norm(u); u=u-alpha*[1;zeros(length(u)-1,1)]; u=u/norm(u); qhouse=eye(length(u))-2*u*u’; r(k:n,k:n)=qhouse*r(k:n,k:n); q(:,k:n)=r(:,k:n)*qhouse; end return

Observa la manipulaci´ on simple de los bloques de a, q y r.



on QR de matrices rectanguEjercicio 9.12 Adapta el programa para calcular la factorizaci´ lares, es decir, matrices generales de m filas y n columnas. (Ayuda: el for de la l´ınea 11 es ahora for k=1:min([m,n]). El resto de cambios son inmediatos sin más que tener en cuenta los tamaños de las matrices implicadas.)

Si Q = I 2 u u es n

−

× n y B n × m, entonces el producto QB puede calcularse como QB = (I − 2 u u )B = B − 2u(u B). (9.6) 



Es decir, en ning´ un momento se requiere construir la matriz Q y u ´ nicamente necesitamos realizar dos productos matriz-vector. El n´ umero de operaciones del producto QB es ahora nm mientras que en la implementaci´ on inicial el costo era n2m. De forma an´ aloga se puede calcular el producto BQ con B m n también en mn operaciones.

×

Ejercicio 9.13 Implementa la factorizaci´ on QR utilizando las indicaciones previas. Compara con alg´ un ejemplo la reducci´ on del tiempo de cálculo. Factorizaci´ on QR con matrices de Givens

La factorizaci´ on QR de una matriz se puede obtener también utilizando matrices de rotación, es decir, matrices de la forma (9.2). Esta alternativa es especialmente interesante si la matriz tiene sus elementos no nulos concentrados entorno a la diagonal. Para matrices 188

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


llenas el tiempo de cálculo es pr´ acticamente el doble comparado con el requerido al utilizar matrices de Householder. Es muy fácil comprobar que para crear un cero en la posici´ on ( p, q ) al multiplicarla a izquierda por una matriz de Givens R p,q (α) basta elegir α de modo que

B o r r a d o r cos α =

aqq , 2 a2qq + a pq



sin α =

a pq . 2 a2qq + a pq

 −

Notemos que las matrices R pq (α)A y A sólo difieren en las filas p y q . El método consistir´ a entonces en ir transformado la matriz original (de tama˜ no n) en una matriz triangular superior del siguiente modo: en primer lugar se hacen ceros en las posiciones de la primera columna por debajo del elemento de la diagonal multiplicando por n 1 matrices como (9.2), de modo que

−

 ∗ ∗ ∗    ∗

A1 := R1n (α1n) . . . R13 (α13)R12 (α12 ) A =





Q1

... ...

  ∗ ∗ ∗

0 .. .. .. . . . 0 ...

.

Obviamente Q1 es una matriz ortogonal por ser producto de matrices ortogonales. En el siguiente paso haremos ceros en la segunda columna por debajo de la diagonal y as´ı sucesivamente. F´ıjate que los elementos nulos de las columnas anteriores se preservan en los sucesivos pasos.

Ejercicio 9.14 Implementa la factorizaci´ on QR utilizando matrices de Givens. Soluci´ on. Podemos definir la siguiente funci´ on: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

% QRGIVENS % % [Q,R]=QRGIVENS(A) Calcula Q ortogonal y R triangular % superior cumpliendo A=QR % % Utiliza el algoritmo basado en matrices de Givens %

function [q,r]=QRGivens(a) n=length(a); q=eye(n);

for j=1:n-1 for i=j+1:n if a(i,j)~=0 aux=sqrt(a(j,j)^2+a(i,j)^2); c=a(j,j)/aux; 189

´ IV LECCION

9.5 Método QR de Francis 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

s=-a(i,j)/aux; Rot=[c s; -s c]; %solo cambian las filas i y j a([i j],:)=Rot*a([i j],:); q([i j],:)=Rot*q([i j],:);

B o r r a d o r end

end

end q=q’; r=a; return



Ejercicio 9.15 Adapta el método para trabajar con matrices rectangulares.

Ejercicio 9.16 Compara el tiempo de cálculo requerido al utilizar matrices de Householder y de Givens, con matrices llenas y matrices tridiagonales. ( Ayuda: Recuerda los comandos tic y toc.)

Factorizaci´ o n QR con Matlab

En Matlab podemos obtener una factorizaci´ on QR mediante el comando qr. Por ejemplo, >> a=rand(4); >> [q,r]=qr(a) q =

-0.3685 -0.7715 -0.3858 -0.3466

0.7147 -0.4099 -0.2967 0.4829

-0.2407 0.4388 -0.8391 0.2131

-0.5436 -0.2102 0.2429 0.7754

-1.0282 0.6539 0 0

-0.7184 0.5720 -0.6839 0

-1.1168 0.3849 -0.4834 -0.0530

r =

-1.2078 0 0 0

La matriz a no tiene por qué ser cuadrada: >> a=rand(3,2); >> [q2,r2]=qr(a)

190

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


q2 = -0.6815 -0.6680 -0.2989

0.6346 -0.7428 0.2132

-0.3644 -0.0444 0.9302

B o r r a d o r r2 =

-1.3726 0 0

-0.7532 0.5993 0

Comentarios sobre la descomposici´ o n QR

Si A es m n, y Q, R es la descomposici´ on dada por Householder o Givens11 , tomando (con notaci´ on de Matlab)

×

Q1 = Q(:, 1 : m),

R1 = R(1 : m, :),

entonces R1 es cuadrada, Q1 tiene las columnas ortonormales y A = Q1 R1. La factorizaci´ on QR se puede utilizar para resolver sistemas lineales compatibles indeterminados mediante la aproximaci´ on por m´ınimos cuadrados. Espec´ıficamente, se trata de asignar como soluci´ on de Ax = b la dada por A Ax = Ab.

Este sistema de ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones normales. Se prueba entonces que, bajo la hip´ otesis de que las columnas de A sean linealmente independientes, la solución anterior cumple

b − Ax < b − Az , 2

2

n

∀z ∈ R .

Esto es, minimiza el residuo. En la pr´ actica no se construyen las ecuaciones normales, sino que utilizando la descomposici´ on QR, el problema se reduce a   R1 Q 1 Q1 R1 x = R1 Q1 b,

   I

⇔

R1R1 x = R1 Q 1 b,

⇔

R1 x = Q  1 b.

Recuerda que R1 es triangular y que por tanto, la resoluci´ on del u ´ltimo sistema es trivial. En particular este método puede aplicarse a un sistema compatible determinado y resolver as´ı sistemas de ecuaciones lineales. El método resultante es m´ as caro que el método de Gauss, ya que realiza el doble n´ umero de operaciones, pero tiene una ventaja muy importante: es estable num´ ericamente y no hace falta realizar ninguna estrategia de 12 pivotaje . 11

Ya hemos indicado en los Ejercicios 9.12 y 9.15 que estos métodos pueden aplicarse a matrices rectangulares generales. 12 La razón de esta estabilidad se puede vislumbrar intuitivamente: como Q es ortogonal, todas las entradas están entre 0 y 1. 191

´ IV LECCION


Otra aplicaci´ on de la factorizaci´ o n QR es el c´ alculo del rango de una matriz. Concretamente, el rango de A coincide con el n´ umero de filas de R distintas de cero. Asumiendo que estamos trabajando con un rango numérico, examinaremos cu´ antas filas son claramente distintas de cero. Esto merece un comentario: casi cualquier perturbaci´ o n de una matriz que no tenga rango m´ aximo da una matriz que si lo tiene. Por esto, numéricamente, las matrices tienen (casi) siempre rango m´ aximo. Sin embargo, el hecho de estar muy cerca de una matriz que no tenga rango m´ aximo tiene consecuencia perniciosas en muchas aplicaciones numéricas.

B o r r a d o r on de sistemas lineales por m´ınimos cuadrados. Ejercicio 9.17 Implementa la resoluci´

Ejercicio 9.18 Introduce la siguiente matriz en Matlab A=



11 13 22π 26π



Calcula el determinante en Matlab y deduce cuál es su rango. Calcula la descomposici´ on QR. ¿Qué rango le asignar´ıas a A?.

9.5.2.


Retomamos el método QR de Francis para matrices simétricas. El algoritmo es simplemente el siguiente:


A = A1 matriz inicial

for k=1:mmax Descomponer Ak = Qk Rk Calcular Ak+1 := Rk Qk Dk+1=diag(Ak+1 ) n−1

n

|

if (

j=1 i= j+1

return

n

(k+1) 2 aij

|

< eps

|

(k+1) 2

aii

i=1

|)

end

end

El algoritmo finaliza cuando el tama˜ n o de los elementos por debajo de la diagonal principal es peque˜ no respecto de los elementos diagonales, es decir, cuando consideramos que la matriz es pr´ acticamente triangular . Para matrices simétricas, que es el caso que de momento nos ocupa, el método converge salvo en situaciones algo extra˜ nas a una matriz diagonal con los valores propios. Un hecho sorprendente es que adem´ as los valores propios aparecen ordenados en la diagonal de mayor a menor módulo. 192

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


Ejercicio 9.19 ¿Qué modificaci´ on har´ıas del algoritmo anterior para que también devolviera los vectores propios?. Ejercicio 9.20 Implementa el algoritmo QR de Francis utilizando cualquiera de las descomposiciones QR vistas.

B o r r a d o r e calculamos mediante las ´ ordenes tril(a,-1) y norm(a,’fro’)? Ayuda: ¿Qu´

Si A no es simétrica pero es diagonalizable, el método converge, también bajo condiciones muy generales a una matriz quasitriangular, es decir, a una matriz de la forma

T =

 

D1

............ D2 . . . . . . . . ... ...

Dm

 

,

donde D j es 1

× 1 o 2 × 2.

Los valores propios de A son exactamente los valores propios de estos bloques 2 2. De hecho cada par de valores propios complejos conjugados genera un bloque D j de orden 2. En particular, si la matriz tiene uńicamente valores propios reales, la matriz T es triangular. Si trabajamos con aritmética compleja entonces la matriz T es triangular ´ superior. Este es el conocido Teorema de Schur.

×

Ejercicio 9.21 Adapta el método QR a matrices no simétricas. Observa que deberás cambiar el criterio de parada. Ejercicio 9.22 Aplica el método QR a distintas matrices (simétricas, no simétricas, con todos los valores propios reales o con alguno complejo) para observar c´ omo es la matriz l´ımite resultante en cada caso. o n de Schur, tanto real como compleja, se puede calcular en Nota. La descomposici´  Matlab con schur.

9.5.3.

Comentarios adicionales

T´ ecnicas de aceleraci´ on

Una matriz es de Hessenberg si tiene la forma

H =

 ∗  ∗ 

...

. 0 .. .. . . . . . . . 0 ... 0

...

  ∗

∗ .. .

,

.. .

∗

es decir, si todos los elementos por debajo de la subdiagonal principal son nulos. Toda matriz se puede llevar a forma de Hessemberg mediante producto a izquierda y derecha por matrices ortogonales. Si adem´ as la matriz original es simétrica, la matriz de Hessenberg correspondiente es de hecho tridiagonal simétrica. 193

´ IV LECCION


Trabajar sobre una matriz de Hessemberg tiene importantes ventajas. En primer lugar, la factorizaci´ on QR es mucho más econ´ omica: si utilizamos matrices de Givens u ´ nicamente debemos preocuparnos de cancelar los elementos situados en la subdiagonal inferior. Es más, si H es Hessemberg (respectivamente tridiagonal simétrica), y H = QR, entonces la matriz RQ es de nuevo de Hessemberg (respectivamente tridiagonal simétrica). En el caso de matrices tridiagonales hay claramente una reducci´ on en las necesidades de memoria del método pues s´ olo requerimos guardar tres diagonales de la matriz durante todo el proceso. El método QR no se programa en la pr´ actica tal como lo hemos presentado. Se recurre a dos tipos de estrategias que aceleran enormemente la velocidad de convergencia. La primera es la traslaci´ on 9.5.2, se tratar´ıa de en on. Utilizando la notació n de la Secci´ lugar de factorizar la matriz Am , descomponer

B o r r a d o r Am

−α

m I =

Q m Rm ,

para posteriormente definir

Am+1 := αm I + RmQm .

Es trivial comprobar que Am y Am+1 son semejantes, por lo que tendr´ an los mismos valores propios. Una elecci´ on adecuada de αm consigue acelerar la convergencia en zonas determinadas de la matriz. Por ejemplo, si A simétrica se puede conseguir que en pocas iteraciones Am

 →

Bn−1

0

0

λn

 

.

En este caso, λn es un valor propio, se guarda en memoria y se empieza a trabajar conBn−1 que es de orden n 1. Este tipo de técnica se denomina deflacci´ on. Existen algoritmos que permiten seguir la pista a los vectores propios, relacionando los vectores propios de Am con los de Bn−1 .

−

Apéndice: reducci´ on a la forma de Hessenberg

Disponemos ya de las herramientas necesarias para implementar la reducci´ on a forma de Hessenberg de una matriz. Para ello, consideremos la siguiente partici´ on de A

A=



α

b

c

A1



,

donde b y c son vectores columna de n 1 componentes y A1 es (n 1) (n 1). Tomemos H 1 una matriz de Householder n 1 n 1, que especificaremos m´ as adelante, y construyamos 0 1 H := . 0 H 1

− − × −





194

− × −

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo

Entonces HAH =




β

b H 1

H 1 c

H 1 A1 H 1



.

B o r r a d o r Si H 1 se toma ahora de forma que H 1 c = αe1 , se consigue cancelar todos los elementos de la primera columna situados por debajo de la subdiagonal inferior. Es m´ as, si A es simétrica, b = c y por tanto en la primera fila de HAH sólo los dos primeros elementos son no nulos. A continuaci´ on se procede a trabajar con la matriz H 1 A1 H 1 de forma similar a como se hizo en la Sección 9.5.1.

Nota. En Matlab la función hess reduce una matriz a forma de Hessenberg. Puede utilizarse de las siguientes maneras: >>H=hess(A); %H es una matriz de Hessenberg semejante a A >>[P,H] = hess(A); %Ademas P ortogonal tal que A = P*H*P’



9.6.

Valores y vectores propios en Matlab

Para determinar todos los valores y vectores propios de una matriz podemos utilizar el comando eig. Esta función es de hecho una compilaci´ on de funciones que se aplican dependiendo de la forma de la matriz. Este comando también sirve para resolver el problema de valores propios generalizados: dadas dos matrices cuadradas A y B encontrar escalares λ y vectores v = 0 tales que



Av = λB v.

En ocasiones requerimos unos pocos valores propios. El comando eigs, proporciona los valores propios m´ as relevantes, siendo el propio usuario el que especifique si éstos son los mayores o menores en valor absoluto, los de mayor o menor parte real,etc. La ayuda de Matlab es bastante extensa y desde aqu´ı animamos a su consulta. Como detalle curioso este comando se puede llamar de forma que uno de los argumentos sea una funci´ on que devuelva el producto por la matriz. Es decir, sólo necesita saber multiplicar por la matriz y por tanto no es necesario disponer de ella13 . El uso de este comando es indispensable en matrices sparse no simétricas dado que, a´ un reduciéndola a forma de Hessenberg, las 14 necesidades de memoria son gigantescas . Para este tipo de problemas se utilizan otros tipos de métodos no relacionados con QR. Asociado al cálculo de valores propios, se encuentra el c´ alculo de los valores singulares, esto es, buscar P y Q ortogonales de forma que P AQ = D,

13

Puede resultar extraño, pero en muchas aplicaciones prácticas es más f´ acil hallar el producto de un vector por la matriz que construirla expl´ıcitamente. 14 La descomposición QR destroza la estructura sparse de una matriz. 195

´ IV LECCION

9.7 Notas históricas oricas

donde D es una matriz diagonal con elementos no negativos. Las entradas de D son los valores singulares, mientras que las columnas de P y Q contienen los vectores singulares asociados. Esta descomposici´ descomposici´ on on existe a´ un un cuando A es rectangular. El comando que calcula esta descomposici´ descomposici´ on on en Matlab es svd. El algoritmo más as utilizado para este problema es una un a variante del método etodo QR conocido co nocido como Algoritmo Algor itmo de Golub-Kaham.

B o r r a d o r 9.7. .7.

Nota Notass his hist´ oricas oricas15

El problema del c´ alculo alculo numérico erico de los valores propios de una matriz puede remontarse a los trabajos de Carl Jacobi quien utiliz´ o el método etodo del mismo nombre en 1846. No existe existe un origen origen claro claro del m´ etodo etodo de potencia potencias, s, sino sino que parece parece haber surgido surgido de forma simultánea anea en diverso diversoss ambien ambientes tes.. El m´ etodo etodo de la potencia potencia desplaz desplazada ada fue introducido por Helmut Wielandt en 1944, quien sugiri´ o también en algunas algun as técnicas ecnic as de deflacción on para, combinadas combinadas con el método etodo de potencias, obtener varios valores propios de la matriz. En 1958, Heinz Rutishause propuso un precursor del método etodo QR, el e l método etodo LU. El El método etodo descompon´ıa ıa la matriz en la forma LU , para posteriormente construir U L. Se trataba de aplicar de forma simult´ anea anea el m´ etodo etodo de potencias potencias y para evitar evitar que todas las direcciones degeneran hacia la direcci´ on on dominante, se hac´ hac´ıa una descomposici´ on on LU que aseguraba la independencia independencia de los vectores. vectores. Desgraciadamen Desgraciadamente, te, el método etodo era inestable inestable num´ numéricamente ericamente salvo salvo para algunos casos particulares. particulares. J. G. F. Francis y V. N. Kublanovskaya propusieron independientemente en 1961 reemplazar la descomposici´ on LU por la QR dando dando origen origen al m´ etodo etodo que hemos hemos visto. visto. El trabajo trabajo de Francis rancis era m´ as completo compl eto y suger sug er´´ıa ya de d e hecho he cho la reducci´ redu cci´ on a forma de Hessenberg, la deflaci´ on on on y estrategias de desplazamiento. El cálculo alculo estable de la descomposici´ on QR tuvo que esperar a los a˜ on nos nos 1950, cuando Wallace Givens y Alstom S. Householder Householder propusieron propusieron sus métodos etodos en 1954 y 1958 respectivamente. Householder tambi´ en en en 1958 y Wilkinson en 1960 estudiaron est udiaron los aspectos numéricos erico s de la reducci´ reduc ci´ on de una matriz a su forma de Hessenberg. on

9.8.

Google16

Google17 ha pasado a ser en su corta vida uno de los referentes mundiales de Internet. Internet. Su sistema de b´ usqueda usqueda de páginas aginas en la red ofrece en general unos resultados bastante preciso precisos. s. Una de las clave clavess de su sistema sistema es su m´ etodo etodo de evalu evaluaci´ aci´ on de las p´ aginas, aginas, denominado Pagerank . Este sistema eval´ ua ua las páginas aginas web seg´ un un el n´ umero umero de enlaces que permiten llegar a ella. tm

15

Las fuentes de esta sección on se han obtenido principalmente del art´ art´ıculo Eigenvalue computation in the 20th Century (Gene H. Golub y Henk A. van der Vorst, publicado en Journal of Computational and Applied Mathematics 123 y Matrix Algorithms Volume II: Eigensystems, de G.W. Stewart. 16 Este cap´ıtulo ıtul o se ha extra´ ex tra´ıdo ıdo esencial esen cialmente mente del libro libr o Numerical Numerical Computing de Cleve Moler, disponible en http://www.mathworks.com/moler/ 17 Por si alg´ un un despistado to dav´ dav´ıa no conoce su direcci´ on on electrónic on ica, a, vis´ v is´ıtese ıte se http://www.google.es, as... as... http://www.google.com y muchos m´ 196

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo

9. Cálculo alculo num´ erico erico de valores y vectores propios.

B o r r a d o r Figura Figura 9.2: 9.2: Una web web muy muy senci sencilla lla..

Concretamente, la cuesti´ on sobre la que se basa este sistema de evaluación on o n es la que sigue: Si una persona navega de forma continuada durante un largo periodo de tiempo, ¿c´ ual es la probabilidad de que llegue a una p´ agina web determinada?

Esta probabilidad es la que se utiliza para evaluar las p´ aginas. A priori hay dos formas aginas. de llegar a una página: agina: i) a través es de un enlace enlac e desde otra p´ agina agina (probabilidad (probabilidad p),

ii) directamente directamente (probabilida (probabilidad d (1 p)). p)).

−

Un valor habitual es p = 0.85. En la figura 9.2 vemos un (muy) simple ejemplo de una web representada como un agina i tiene un enlace (un link ) a la grafo dirigido. Una flecha de i a j indica que la página página agina j . En este ejemplo n = 6 es el n´ umero umero de páginas aginas que cuenta con 9 enlaces. Este grafo se puede representar matem´ aticamente mediante la matriz 6 6 aticamente

G = (gij ) =

donde

gij = 1,

  

×

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

  

si llegamos a i desde j.

De forma natural G es sparse, puesto que con n páginas aginas uno puede esperar que el n´ umero umero de enlaces sea del orden de (n) (esto es, proporcional al n´ umero umero de p´ aginas) aginas) y no del 2 orden (n ) que se corresponde c orresponderr´ıa con una matriz llena. llena . Sea

O

O

n

c j =



gij

(número umero de enlaces que salen de j ).

i=1

197

´ IV LECCION

9.8 Google Entonces la probabilidad de llegar a i si estamos en j es gij c j

p

1

+

− p n

B o r r a d o r   



Siguiendo un enlace desde j

Tecleando la dirección on

Esta informaci´ on se puede recoger en la matriz A de tama˜ on no no n vienen dadas por gij 1 p aij = p + . c j n

× n cuyas componentes

−

Esta matriz no es sparse, pero se puede escribir

 

p G +

1

− p e e

 n n

n

donde gij = gij /c j y en es la matriz columna 1



en =

×n ··· 1

1 1





.

De esta forma se puede almacenar almacenar la matrizA matriz A sin necesidad de requerir grandes cantidades de memoria. Es más, as, el producto por cualquier vector se puede calcular con



Ax = p Gx +

1

− p e e

 n nx

n

= pG

x./c

 

+

1

− p

(en x)

n

Div. elem. a elem.

 · 

en .

Prod. escalar escalar

Si denotamos por x j(0) la probabilidad probabilidad de estar en la p´ agina agina web j en un instante inicial, entonces la probabilidad de llegar a la p´ agina agina web i en el paso primero es n



aij x j(0) =: x(1) i

j=1 j =1

y por tanto

   · · ·  (1) x1 (1) x2

=

(1)

xn

De esta forma, denotando por

 

a11 a12 a1n a21 a22 a2n .................. an1 an2 ann

··· ··· ···

     · · ·  (0)

x1 (0) x2

= Ax0 .

(0)

xn

xm = (x1(m) , x2(m) , . . . , xn(m) )

a las probabilidades de estar en una p´ agina web determinada en el paso m, obtenemos la agina relación on xm+1 = Axm . La idea es hacer evolucionar el sistema hasta que se estabilice. 198

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo

9. Cálculo alculo num´ erico erico de valores y vectores propios.

Proposici´ on on 9.5 Existe un ´ unico x de componentes no negativas tal que n

x = Ax,

x e n =



xi = 1.

B o r r a d o r i=1

Adem´ Adem ás, as, comenz com enzando ando con x0 cuyas componentes sean positivas y sumen uno,

x = l´ım xm . m

El resultado dice, en palabras llanas, que la probabilidad de que estemos en una p´ agina 18 web (esto es, x), despu´ d espués es de navegar una cantidad suficiente su ficiente de tiempo es independiente independiente de cómo omo hemos empezado (es decir, de x0 ). Matem´ aticamente hablando, dice que existe aticamente un unico u ńico vector propio asociado al valor propio 1 de componentes positivas con x 1 = 1 y que además as la sucesión on xm converge a x independientemente del vector inicial escogido. Observa que la sucesi´ on on de vectores xm son el resultado de aplicar el método etodo de potencias p otencias 19 a la matriz A (sin normalizar respecto de siempre 2 ) y que por su forma particular que se parta de un vector inicial cumpliendo los requisitos de la proposición on tendremos que xm 0 y xm 1 = 1. Aqu´ Aqu´ı vemos una forma completamente directa dire cta de programar pr ogramar este c´ alculo



·

≥

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

% % % % % %

 

PAGERANK(G)

PAGE PAGERA RANK NK(G (G) ) Calc Calcul ula a el indi indice ce de imp impac acto to de de una WEB WEB dad dada a por el grafo G El gra grafo fo tie tiene ne qu que ser ser cone conexo xo, , es de decir cir, no pue puede de hab habe er nod nodos separados del resto

func functi tion on y=pa y=page gera rank nk(g (g) )

p=0.85; % probabilidad de llegar a traves de un enlace eps=0 ps=0. .0001 0001; ; % cr crite iterio rio de de par parad ada a nmax= max=1 1000; 000; % nu numer mero max maxim imo o de de ite itera rac cione iones s n=length(g); x=1/ x=1/n* n*on ones es(n (n,1 ,1); ); % vec vecto tor r ini inici cial al for j=1:nmax y=producto(g,x,p); if norm(x-y)
18

Ciertamente, Ciertamente, podr´ıamos ıamos tener que dedicar muchas horas... La matriz A cumple que todas sus entradas son positivas y que la suma de los elementos de cada fila es 1. Una matriz de esta forma se denomina matriz de Markov. Teóricamente se sabe que el valor propio dominante de estas matrices es siempre 1. 19

199

´ IV LECCION

9.8 Google 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

disp disp(’ (’Co Conv nver erge genc ncia ia no alca alcanz nzad ada’ a’) ) return

B o r r a d o r % Y= PRODUCTO(G,X,P) % calcula el el pr producto a*x % note notese se qu que la mat matri riz z no lle llega ga a con const stru rui irse rse

func functi tion on y=pr y=prod oduc ucto to(g (g,x ,x,p ,p) ) c=sum(g); c=c(:); x=x(:); n=length(x); en=ones(n,1); y=p*g* y=p*g*(x. (x./c) /c)+(1 +(1-p) -p)/n* /n*en* en*(en (en’*x ’*x); ); return

on pagerank al ejemplo de la Figura 9.2 9.2,, obtenemos este reNota. Aplicando la función sultado x = [0. [0.1370 0.2806 0.2636 0.1370 0.1181 0.0638] Por orden de preferencia nos encontramos los nodos 2,

3,

1 y 4,

5,

6.

A pesar de que el nodo 3 s´ olo olo se enlaza a través es del 2, la importancia de este nodo influye en su buena puntuaci´ on . En problemas reales, las matrices son enormes, en Febrero de 2006 google hab´ ha b´ıa ıa catca t20 alogado 9.680.000.000 p´ aginas aginas . Después es de la evaluación on hay que hacer un filtrado de acuerdo a las palabras clave con las que se hace la b´ usqueda. usqueda. Es posible hacer subir la evaluación on de una página agina mediante la creaci´ on on de p´ aginas aginas web que se enlacen entre ellas y especialmente especialmente sobre una. Este tipo de técnicas, ecnicas, denominada denominada google goo gle bombing bombing ha sido utilizado reiteradas veces por objetivos de diversa naturaleza, económicos, omicos, pol´ pol´ıticos, ıticos, de protesta.... protesta.... Los algoritmos algoritmos del buscador tratan de detectar este tipo de trampas y reconstruir la evaluaci´ on on para que sea m´ as as imparcial. imparcial. 

Nota hist´ orica orica

Google fue fundado en 1995 por Sergey Brin y y Larry Page, el primero ingeniero el´ ectrico ectrico y el segundo licenciado licenciado en matem´ aticas y que contaban entonces con 23 y 24 100 años. nos. El nombre proviene del n´ umero umero 10 que, aunque no oficialmente oficialmente,, se llama Googol Googo l 21 El ambiente desenfadado y el origen matem´ atico del buscador tuvo un curioso reflejo atico en la primera oferta p´ ublica de acciones que tuvo lugar a principios del 2004. Brin y Page ublica sacaron al mercado una participaci´ on o n de la compa˜ n´ıa cuyo valor era 2.718.281.828$, el 22 número umero e con 10 cifras decimales . 20

Basta hacer la búsqueda usqueda de una palabra inexistente precedida de un “-” para obtener el número umero de p´ aginas aginas catalogadas. 21 As´ı lo denomin den ominoo el matem´ mate mático atico Edward E dward Kasner. Kasn er. En inglés es existe exi ste la palabra goggles que son unas gafas de natación on (?). 22 Muy pocos se dieron cuenta de este “guiño”. no”. Se hizo de nuevo palpable la escasa cultura cient´ cient´ıfica 200

´ IV LECCION

Cap´ ıtulo


B o r r a d o r en general y matemática en particular del mundo period´ıstico. 201

´ IV LECCION

9.8 Google

B o r r a d o r 202

B o r r a d o r Lecci´ on V

Salidas gráficas en Matlab. Interpolación

203

B o r r a d o r


...but it had no pictures or conversations in it, “and what is the use of a book,” thought Alice “without pictures or conversation?” Lewis Carroll, Alice in Wonderland

Trataremos en este proyecto uno de los aspectos m´ as potentes de Matlab: las salidas gráficas. Ciertamente exponer con cierto detalle todo lo relacionado con este campo es una tarea ardua y extensa. Sin embargo, y éste es nuestro objetivo, s´ı es asumible alcanzar un conocimiento base de forma que sea el usuario quien, con la ayuda de Matlab o con manuales espec´ıficos, profundice en los aspectos puntuales que necesite. En la segunda parte estudiaremos el problema de la interpolaci´ on polinómica como una buena piedra de toque para testar las salidas gr´ aficas. Como aspectos relacionados hablaremos someramente de la interpolaci´ o n por splines y las curvas Bézier, que nos ofrecen un ejemplo muy sencillo de las Matemáticas aplicadas al dise˜ no gr´ afico.

205

B o r r a d o r


Matlab: Salidas gr´ aficas en Matlab 10.1.

Dibujos bidimensionales

10.1.1.

El comando plot

Ya hemos observado que los comandos de Matlab cuentan con varios niveles de manipulación. Los niveles iniciales son básicos y por tanto fáciles de utilizar. El acceso a niveles finos exige trabajar con argumentos nuevos, m´ as instrucciones y el manejo de una sintaxis más complicada. Esta caracter´ıstica se destaca m´ as, si cabe, en los comandos relacionados con las salidas gráficas. Es por ello que, empezando por la instrucci´ on plot, recorreremos los diferentes niveles de forma gradual. No trataremos el nivel superior, que conlleva un control absoluto del dibujo, dado que requerir´ıa una exposici´ on demasiada larga. Lo que aqu´ı expondremos es suficiente en un 99% de los casos, y en u´ltima medida, se puede acceder a todos los aspectos de un dibujo desde la ventana gr´ afica a golpe de rat´ on.

Primer nivel

El primer comando que trataremos es plot. Es una instrucci´ on muy vers´ atil y la más indicada para dibujar gr´ aficas de funciones y curvas en el plano. Su sintaxis b´ asica es >> plot(x,y)

que dibuja el vector y versus el vector x. Más en concreto une los puntos (x(i), y(i)) mediante segmentos. Tomando un n´ umero suficientemente elevado de puntos trazamos con ello una gráfica suave , sin esquinas visibles. Al ejecutar este comando se abre una ventana, figure en el vocabulario de Matlab, donde se traza la correspondiente figura. Si y es real, plot(y) toma x=1:n donde n es la longitud de y. Si, por otro lado, y es un vector de n´ umeros complejos, dibuja la parte imaginaria versus la parte real. Es decir, es equivalente a plot(real(y),imag(y)).

Ejercicio 10.1 ¿Qué hacen las siguientes l´ıneas de c´ odigo? >> clear i >> t=linspace(0,2*pi,9); >> plot(exp(i*t));

207

´ V LECCION

10.1 Dibujos bidimensionales

B o r r a d o r Figura 10.1: Ventana gr´ afica.

¿Te parece natural? ¿Qu´ e observas con la escala? ¿Qu´ e sucede si se ejecuta axis equal?. ¿Como dibujar´ıas una circunferencia?.

Segundo nivel

El comando adem´ as acepta una serie de argumentos que, entre otras cosas, permiten controlar el color, el tipo de marcas sobre los puntos (x(i), y(i)) y el formato de las l´ıneas que los unen. As´ı, en su aspecto m´ as general, plot(x,y,S)

dibuja y versus x, con S una cadena de caracteres que se construye con1 b g r c m y k

1

azul verde rojo cian magenta amarillo negro

. o x + * s d v ^

punto circulo : equis -. cruz -estrella cuadrado diamante triangulo (hacia abajo) triangulo (arriba)

Traducido directamente de la ayuda de Matlab.

208

linea ’solida’ punteado punto-linea linea-linea

´ V LECCION

Cap´ ıtulo

< > p h

10. Matlab: Salidas gr´ aficas en Matlab

triangulo (izquierda) triangulo (derecha) estrella pentagonal estrella hexagonal

B o r r a d o r La primera columna especifica el color utilizado, la segunda la marca sobre cada punto y la tercera el patr´ on que siguen las l´ıneas utilizadas para unir los puntos. Por ejemplo el siguiente fichero script x=linspace(0,4,100); y=exp(-x).*cos(2*pi*x); figure(1); plot(x,y,’.’) figure(2); plot(x,y,’r-.’) figure(3); plot(x,y,’sm--’) figure(4); plot(x,y,’hg’) figure(5); plot(x,y,’kv:’)

genera (tras el reordenamiento manual de las ventanas) la pantalla mostrada en la Figura 10.2. El comando figure abre una ventana gr´ afica asign´ andole un n´ umero. Si la ventana ya est´ a abierta, la coloca como la ventana de salida por defecto. En particular, figure permite manejarse con varias ventanas de forma simult´ anea. Para superponer varios dibujos sobre una misma ventana podemos Utilizar plot de la siguiente forma2

>> plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4)

mediante el cual dibujaremos y1 vs. x1, y2 vs. x2, etc., o si queremos dar un formato personalizado a cada dibujo podemos usar >> plot(x1,y1,’r-’,x2,y2,’b:’,x3,y3,’m-.’,x4,y4,’k--’)

Utilizar la instrucción hold on que activa la superposici´ on en pantalla. Por ejemplo, >> >> >> >> >>

hold on %activamos superposicion plot(x1,y1,’r-’) plot(x2,y2,’r:’) plot(x3,y3,’m.-’) plot(x4,y4,’k--’)

Esta opci´ o n es m´ as versátil dado que permite superponer gr´ aficas construidas con diferentes comandos. La superposici´ on se desconecta con hold off, de forma que un nuevo dibujo borrar´ a los anteriores.

2

Se asignan distintos colores a cada una de las gráficas de forma automática. 209

´ V LECCION


B o r r a d o r Figura 10.2: Ventana gr´ afica.

Tercer nivel

Ya en un tercer nivel, se pueden acceder a detalles concretos del dibujo, como el tama˜ no y color de las marcas , la anchura de la l´ınea, etc. Las diferentes opciones llevan nombres nemotécnicos que facilitan su memorizaci´ on3 . Destacamos entre las más importantes color: color de la l´ınea.

LineWidth: anchura de la l´ınea.

Marker: selecciona la marca que se coloca en los puntos evaluados

MarkerEdgeColor: color del borde de las marcas MarkerFaceColor: color de la marca

no de la marca MarkerSize: tama˜

Para especificar un color, se puede utilizar uno de estos caracteres b, g, r, c, m, y, k o bien un vector con tres componentes con valores entre 0 y 1 que especifica un color seg´ un

{

3

nemotécnicos en inglés, of course .

210

}

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


el estándar RGB4 . Por ejemplo

B o r r a d o r >>x=0.01:0.2:2; y=sin(x)./x; >>plot(x,y,’o-.’,’color’,[0.2 0.4 0.6],’linewidth’,2,... ’markeredgecolor’,’k’,’markerfacecolor’,[0.9 0.6 0.4],... ’markersize’,9)

Ejercicio 10.2 Dibuja las funciones seno y coseno en [ 2π, 2π], la primera en rojo y la segunda en azul. El ancho de l´ınea debe ser de dos puntos y deben seguir dos estilos diferentes, a tu elecci´ on. Puedes empaquetar las instrucciones en un fichero script. Será más c´ omodo para editar y cambiar lo que desees.

−

La ventana gráfica

Las propiedades anteriores se pueden editar directamente en la ventana gr´ afica. Para ello, hay que seleccionar edit plot (véase la Figura 10.3) y pulsar sobre la gr´ afica con un doble click. Se desplegar´ a una ventana adicional con varias pesta˜ nas que informan y permiten modificar las diferentes caracter´ısticas del ob jeto. Si se procede igual sobre el fondo de la pantalla controlaremos m´ as aspectos del propio entorno, como la escala, el ratio entre el eje OX y OY, las marcas sobre los ejes..., aspectos que trataremos seguidamente. ´ No entraremos a explicar estos detalles en profundidad. Este es un buen ejemplo donde la prueba, la experimentaci´ on y el ensayo–error permiten aprender mejor y m´ as rápidamente que cualquier manual que podamos redactar. La ventaja principal de trabajar a través de comandos es que podemos dotar de un aspecto determinado a nuestros dibujos sin necesidad de retocarlos en cada paso y para cada ejemplo. Esto es especialmente importante si necesitamos un n´ umero elevado de gr´ aficas o bien necesitamos rehacerlas constantemente. En contrapartida deberemos manejar una mayor galer´ıa de instrucciones.

Ejercicio 10.3 Ejecuta >> >> >> >>

t=linspace(-2*pi, 2*pi,200); y1=cos(t); y2=sin(t); plot(t,y1,t,y2)

Desde la ventana gr´ afica modifica su aspecto para que tenga el que le hab´ıas dado en el Ejercicio 10.2 .

4

nadiendo partes de rojo, verde y azul (de 0 a 1) especificado por Red, Green, Blue. Crea un color a˜

un vector de tres componentes.

211

´ V LECCION


B o r r a d o r Figura 10.3: Edici´ on de un dibujo. 212

´ V LECCION

10.1.2.

Cap´ ıtulo


Comandos asociados a plot

Hay una serie de comandos que controlan el entorno donde se despliega la gr´ afica. Entre los m´ as elementales (o al menos, más fáciles de utilizar), podemos destacar:

B o r r a d o r aficos. clf: borra la ventana actual ( figure ) de gr´

cla: borra el axes actual. El axes es la parte de la ventana utilizada para

dibujar. Una ventana puede contener varios axes (véase el comando as adelante). subplot tratado m´

aficas se vayan solapando; hold off hold: hold on permite que sucesivas gr´ desconecta esta opci´ on (es la que está por defecto).

axis: un comando algo complejo. Puede controlar entre otros detalles el ratio

entre los ejes OX y OY, la parte del dibujo que se muestra por pantalla, las coordenadas utilizadas, el ajuste del marco al dibujo...

xlim, ylim: especifican los l´ımites del dibujo. Se puedn utilizar para centrar el

dibujo.

grid: grid on muestra una malla en pantalla; grid off la desconecta.

legend: despliega una leyenda , esto es, un cuadro explicativo sobre las gr´ aficas

presentes.

nade un texto en las coordenadas especificadas. text: a˜

xlabel, ylabel: a˜ nade t´ıtulos (etiquetas ) a los ejes OX y OY. title: coloca un t´ıtulo en la cabecera del dibujo.

whitebg: asigna un color al fondo del dibujo.

A modo de ejemplo, el siguiente conjunto de instrucciones (empaquetado en un fichero script) despliega las gr´ aficas mostradas en la Figura 10.4 figure(1) % desplegamos ventana 1 clf % borramos todo x=linspace(0,5,100); f=inline(’exp(-n*x).*cos(x)’,’n’,’x’); % funciones vectorizadas hold on % solapamiento de graficas y=f(1/3,x); plot(x,y,’k--’,’linewidth’,2) y=f(1,x); plot(x,y,’r-.’,’linewidth’,2) y=f(3,x); plot(x,y,’:’,’color’,[0.0,0.0,0.5],’linewidth’,2) y=f(9,x); 213

´ V LECCION


plot(x,y,’-’,’color’,[0.0,0.3,0.0],’linewidth’,2) grid on % desplegamos la red xlim([-0.5,6]), ylim([-0.25,0.5]) % rango de los graficos xlabel(’Eje OX’,’fontname’, ’Comic Sans Ms’, ’fontsize’,12) ylabel(’Eje OY’,’fontname’, ’Comic Sans Ms’, ’fontsize’,12) title(’Algunas graficas de funciones’,... ’fontsize’,16,’fontname’,’Times new roman’) legend(’exp(-x/3).*cos(x)’, ’exp(-x).*cos(x)’,... ’exp(-3x)*cos(x)’, ’exp(-9x).*cos(x)’);

B o r r a d o r Algunas graficas de funciones

0.5

exp(-x/3).*cos(x/3) exp(-x).*cos(x) exp(-3x)*cos(3x) exp(-9x).*cos(9x)

0.4

0.3

0.2

Y O e j 0.1 E

0

-0.1

-0.2

0

1

2

3

4

5

6

Eje OX

Figura 10.4: Una muestra de dibujos.

Nota. En el comando title hemos utilizado los atributos fontname y fontsize para especificar la fuente y su tama˜ no utilizada en el t´ıtulo. Otros atributos son

fontweight: los valores posibles son light, normal, demi, bold. Especifica el trazo de los caracteres, desde fino (light) hasta negrita (bold).

on de la fuente. fontangle: sus valores son normal, italic u oblique. Fija la inclinaci´

ńgulo con el que se escribe el texto. El valor por defecto, 0, es rotate: especifica el a la escritura horizontal, mientras que con 90 se escribe el texto en vertical. 214

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Estos atributos est´ an disponibles para cualquier comando que se ocupe de desplegar textos en la pantalla gr´ afica. Por ejemplo, xlabel, ylabel, title,... Quizá s lo más dif´ıcil sea saber qué fuentes tenemos instaladas y su correspondiente nombre. La soluci´ o n más sencilla a esta cuesti´ o n es ir a la venta grá fica, y editar las 5 caracter´ısticas del dibujo . All´ı podremos ver qué fuentes est´ an a nuestra disposici´ o n y su nombre correspondiente. 

B o r r a d o r Ejercicio 10.4 En este ejercicio trataremos de visualizar el efecto del comando axis con diferentes opciones sobre el aspecto final de un dibujo. Teclea >> clf >> x = 0:.025:pi/2;

plot(x,tan(x),’-ro’)

La funci´ on tangente presenta una as´ıntota vertical 6 en π/2. Teclea los siguientes comandos y observa el aspecto final de la figura. >> >> >> >> >>

axis equal axis image axis normal axis([0 pi/2 0 5]) axis tight

% vuelta al formato original % especificamos el rango de salida

¿Podr´ıas decir qué hace cada comando?.

10.1.3.

Comandos get y set

Los comandos get y set permiten acceder y cambiar los atributos de cualquier gr´ afica. Todo objeto gr´ afico, desde una simple curva hasta la propia ventana donde se despliega el dibujo tiene asociado un puntero, un handle al que se encuentra enlazado. Los valores de cada uno de los par´ ametros se pueden visualizar (get) y editar (set) desde la l´ınea de comandos o desde una funci´ on. Nos limitaremos de momento a dar unas ideas a grandes trazos para el comando plot. Ejecuta >> x=0:0.01:pi; >> h=plot(x,x.*cos(4*x));

La variable h es un puntero que enlaza con el dibujo desplegado sobre la ventana. Ahora se puede recabar informaci´ on sobre éste: >> get(h,’linestyle’) ans = -

5

Seleccionar editar dibujo, doble click sobre el fondo, seleccionar la pestaña style e ir al men´ u desplegable font name 6 Tiende a infinito. 215

´ V LECCION


>> get(h,’marker’)

B o r r a d o r ans = none

>> get(h,’linewidth’) ans =

0.5000

Las o´rdenes anteriores nos informan de que el dibujo se ha trazado con l´ınea continua, sin ninguna marca y con anchura de l´ınea 0.5. Con set podemos cambiar cualquiera de estos atributos >> set(h,’linewidth’,2) >> set(h,’color’,[0.5 0.6 0.2]) >> set(h,’linestyle’,’-.’)

de forma que la gr´ afica pasa a tener una anchura de 2 puntos, cambia el color y el estilo ahora es punto-raya . Si se ejecuta get(h) podemos visualizar todos los atributos del objeto gr´ afico: >> get(h) Color = [0.5 0.6 0.2] EraseMode = normal LineStyle = -. LineWidth = [2] Marker = none MarkerSize = [6] MarkerEdgeColor = auto MarkerFaceColor = none XData = [ (1 by 315) double array] YData = [ (1 by 315) double array] ZData = [] BeingDeleted = off ButtonDownFcn = Children = [] Clipping = on CreateFcn = DeleteFcn = BusyAction = queue HandleVisibility = on HitTest = on Interruptible = on

216

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Parent = [101.001] Selected = off SelectionHighlight = on Tag = Type = line UIContextMenu = [] UserData = [] Visible = on

B o r r a d o r De forma similar

h= legend(’x*cos(x)’);

devuelve en h, después de desplegar la leyenda correspondiente en el dibujo, una variable que permite a continuaci´ on la manipulaci´ on de muchas de sus propiedades. Para ello se utiliza la instrucción set >> set(h,’fontsize’,11,’fontname’,’arial’,’fontangle’,... ’oblique’,’color’,[0.8 0.8 0.8])

cambia alguno de los atributos de la leyenda , como la fuente y su tama˜ no, la inclinación y el color de fondo. Otro ejemplo lo da el siguiente c´ odigo: 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

x=linspace(0,4,1000); y=x.*log(x); figure(1); clf % borramos plot(x,y,’--’,’linewidth’,3); h2=gca; % accedemos al handle de la grafica set(h2,’xtick’,[0 0.25 0.5 1 2 4],’fontsize’,16,’ygrid’,... ’off’,’xgrid’,’on’,’linewidth’,2,’gridlinestyle’,’-.’) title(’x*log(x)’,’fontangle’,’oblique’,’fontname’,... ’Comic Sans ms ’,’fontweight’,’bold’,’fontsize’,20)

que accede a la estructura de la gr´ afica (gca), que esencialmente es el marco donde desplegamos los dibujos. Las l´ıneas 07-08 edita los atributos xtick, que se˜ nala los puntos donde se colocan las marcas en el eje OX, la fuente utilizada en el dibujo, activa la malla u ´ nicamente en la direcci´ on OX, especifica la anchura de la l´ınes y el patr´ on que sigue. El resultado se puede ver en la Figura 10.5. Todas las propiedades anteriores se pueden modificar m´ as fácilmente en la ventana gráfica. Su manejo es f´ acil e intuitivo (seleccionar, doble click, bot´ on derecho del rat´ on....). Con helpwin line y helpwin axes obtenemos la informaci´ on de las diferentes opciones para la instrucci´ on plot (y similares) y para la figura. Finalmente gca y gcf devuelven el puntero al axis y figure utilizado en ese momento (get current axis y get current figure ). Si quieres ver todos sus atributos, ejecuta >> get(gca), get(gcf)

217

´ V LECCION


x log(x) 6

B o r r a d o r 5

4

3

2

1

0

-1 0 0.25 0.5

1

2

4

Figura 10.5: Modificaci´ on del entorno del dibujo.

Un ejemplo de caracter´ısticas m´ as avanzadas

Es posible asignar a un objeto gr´ afico funciones que se ejecuten al realizar alguna acción, como cuando se crean (´ util especialmente si se redibuja constantemente) o cuando se seleccione con el rat´ on. Por ejemplo con t=linspace(-6*pi,6*pi,200); h=plot(t,sin(t)./t); orden=’v=get(h,’’color’’); set(h,’’color’’,v([3 1 2]))’; set(h,’ButtonDownFcn’,orden)

asignamos al dibujo la siguiente propiedad: cuando se pulse encima de él con el rat´ on, se ejecutará la instrucción dada en orden: >> v=get(h,’color’); set(h,’color’,v([3 1 2]))’;

La variable orden es simplemente una cadena de caracteres con esta instrucci´ on. Observa como se repite ’ precisamente para insertar este car´ acter y evitar as´ı la confusi´ o n con el s´ımbolo fin de cadena de caracteres. En u ´ltima medida, estas caracter´ısticas enlazan con las interfaces gr´ aficas de Matlab (gui ), donde los objetos gr´ aficos pueden ser men´ us desplegables, campos de textos, items,... Matlab dispone de una gu´ıa para el desarrollo de interfaces gr´ aficos con su tutorial correspondiente. Aqu´ı no entraremos en la descripci´ on y uso de estas interfaces, pero animamos al lector a consultar la correspondiente ayuda mediante helpwin guide. Una vez dentro de la ayuda, aconsejamos seleccionar Go to online doc for guide y all´ı acceder a Creating GUIs. 218

´ V LECCION

10.1.4.

Cap´ ıtulo


El comando subplot

Este comando permite la visualizaci´ on de diferentes subventanas gr´ aficas (axes) en una misma ventana. A modo de ejemplo,

B o r r a d o r subplot(231)

define en la figure seis zonas para volcar las salidas gr´ aficas dispuestas en 2 3 (dos filas, tres columnas) y accede a la primera de ellas. La numeraci´ on es la desplegada en la figura 10.6.

×

1

2

3

4

5

6

Figura 10.6: Ejemplo de numeraci´ on con subplot.

Por ejemplo, las instrucciones

x=linspace(0,2*pi,150); subplot(321) plot(x,sin(x),’linewidth’,2); title(’sin(x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(322) plot(x,cos(x),’linewidth’,2); title(’cos(x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(323) plot(x,sin(2*x),’linewidth’,2); title(’sin(2x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(324) plot(x,cos(2*x),’linewidth’,2); title(’cos(2x)’,’fontsize’,14) axis tight

219

´ V LECCION

10.1 Dibujos bidimensionales subplot(325) plot(x,sin(4*x),’linewidth’,2); title(’sin(4x)’,’fontsize’,14) axis tight subplot(326) plot(x,cos(4*x),’linewidth’,2); title(’cos(4x)’,’fontsize’,14) axis tight

B o r r a d o r crean la Figura 10.7.

10.1.5.

Otras salidas gr´ aficas

Señalaremos a continuaci´ on otros comandos relacionados con dibujos y gr´ aficas bidimensionales de manejo similar a plot plotyy: polar:

semilogx, semilogy: loglog: stem:

stairs:

permite mostrar dos dibujos en la misma gr´ afica con dos ejes OY a la izquierda y a la derecha. curvas en polares.

similar a plot pero utilizando, respectivamente, una escala logar´ıtmica en el eje OX y en el eje OY. escala logar´ıtmica en ambos ejes.

dibuja puntos uniéndolos con una linea vertical al eje OX. traza una gr´ afica en forma de escalera.

bar, barh, bar3:

despliega gr´ aficas en forma de barras. Muy apropiada para representar datos y estad´ısticas (estilo excel).

area:

muestra los datos en una gr´ afica de forma acumulada . El color utilizado se controla mediante el comando colormap, cuyo funcionamiento veremos m´ as adelante.

line:

une puntos mediante l´ıneas. Es una instrucci´ on de bajo nivel cuyo funcionamiento es similar a plot. De hecho, plot se construye a partir de line.

fill:

dibuja pol´ıgonos cerrados y colorea su interior.

patch:

una instrucci´ on también de bajo nivel, construye pol´ıgonos, o caras en tres dimensiones y asigna un color a la cara definida.

Comandos f´ aciles de usar

Matlab tiene implementada una serie de comandos, asociados a la toolbox de c´ alculo simbólico que vimos en la lecci´ on anterior, que permiten dibujar de forma sencilla gr´ aficas de funciones. No se tiene un control tan completo como con plot pero se compensa con su fácil uso. En el apartado que nos ocupa (gr´ aficas bidimensionales) son resaltables 220

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


sin(x)

cos(x) 1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

B o r r a d o r 0

2

4

6

0

2

sin(2x)

4

6

cos(2x)

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

0

2

4

6

0

2

sin(4x)

4

6

cos(4x)

1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

0

2

4

6

0

2

4

6

Figura 10.7: Disposici´ on simultánea de gr´ aficas con subplot.

ezplot

ezpolar

La ayuda de Matlab es, en nuestra opini´ on, suficiente para hacernos con su manejo.

10.2.

Gr´ aficas en 3D

Comenzaremos con curvas en el espacio para pasar y tratar con mayor profundidad las superficies en 3D. Hemos decidido incluir en este apartado las instrucciones relativas a curvas de nivel aunque hablando propiamente son dibujos bidimensionales. Su origen y su posterior interpretaci´ on nos conducen de nuevo al entorno espacial.

10.2.1.

El comando plot3

Este comando sirve, grosso modo, para dibujar curvas en el espacio. Su manejo es muy ´ similar a plot, por lo que no nos detendremos demasiado en su explicación. Esta es su sintaxis plot3(x,y,z,opciones )

Las opciones son esencialmente las mismas que aparec´ıan en plot. He aqu´ı un ejemplo sencillo 221

´ V LECCION

10.2 Gráficas en 3D

clf t=linspace(0,8*pi,200); plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t,’r-’,’linewidth’,2) grid on % dibujamos la ’malla’ title(’Una curva en espiral...’,’fontsize’,18,’fontname’,... ’Comic Sans MS’,’color’,[0.675 0.000 0.000]) zlim([0,20]) xlabel(’eje OX’,’fontsize’,14) ylabel(’eje OY’,’fontsize’,14) zlabel(’eje OZ’,’fontsize’,14)

B o r r a d o r cuyo resultado se muestra en la Figura 10.8. Los comandos relacionados con los aspectos

Una curva en espiral...

30 25 20

Z O15 e j e 10 5

0 30

20

30

10

20

0

10

0

-10

-10

-20

eje OY

-20

-30

-30

eje OX

Figura 10.8: Un dibujo en 3D con plot3.

accesorios del dibujo (axes, title, xlabel, grid...) funcionan exactamente igual. Adem´ as aparecen algunos nuevos cuya utilidad y manejo no deber´ıa causar sorpresa: zlabel

zlim

Para poder manipular, rotar en 3D, el objeto gr´ afico basta presionar en la barra de herramientas en el bot´ on se˜ nalado en la Figura 10.9 y mover el rat´ on sobre el objeto con el bot´ on pulsado 222

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


B o r r a d o r Figura 10.9: Icono para rotar los dibujos.

10.2.2.

El comando surf

Primer nivel

El comando surf dibuja esencialmente superficies en el espacio. En su forma m´ as simple se puede identificar con el dibujo de funciones de dos variables en el espacio. En este caso, el formato es surf(x,y,z)

donde x e y especifican una malla en el plano y z la altura correspondiente. El color que se da a cada punto est´ a asignado por defecto seg´ un la altura en el eje Z. Queda pendiente, no obstante, c´ omo construir una malla. Aunque se puede hacer a mano (Matlab ofrece en su ayuda informaci´ on detallada de c´ omo hacerlo), es mejor utilizar los comandos propios de Matlab, en este caso, meshgrid. As´ı, si queremos representar una superficie z = f (x, y) en un dominio rectangular utilizando los puntos de coordenadas x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , ym ), deberemos generar primero la malla formada por los puntos (xi , y j ). En Matlab simplemente tenemos que utilizar la orden [X,Y]=meshgrid(x,y)

que crea las matrices de tama˜ no m

X=

 

×n

x 1 . . . xn .. .. . . x 1 . . . xn

 

Y=

 

y1 .. .

. . . y1 .. .

y m . . . ym

 

.

Es decir, las m filas de X son copias del vector x y las n columnas de Y son copias del vector y. La malla está formada por los puntos (X(i,j),Y(i,j)). Por ejemplo, >> x=[0 0.33 0.67 1]; y=[-1 0 1]; >> [X,Y]=meshgrid(x,y) X =

0 0 0

0.3300 0.3300 0.3300

0.6700 0.6700 0.6700

1.0000 1.0000 1.0000 223

´ V LECCION


Y =

B o r r a d o r -1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

Ahora para representar la superficie z = f (x, y) utilizamos la orden surf(X,Y,Z) donde f (x1 , y1 ) . . . f (x n , y1 ) . .. .. Z = f (X, Y) = . . f (x1 , ym) . . . f ( xn , ym)

 

 

El dibujo de la Figura 10.10 se ha construido con el siguiente conjunto de instrucciones >>x=linspace(-2,2,40); y=linspace(-1,1,20); >>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^2-Y.^2; >>surf(X,Y,Z)

Figura 10.10: Ejemplo de una superficie creada con surf.

Se puede dibujar la superficie y asignar un color seg´ un los valores de un cuarto vector (matriz m´ as bien). Desde una interpretaci´ on matem´ atica, se tratar´ıa de dibujar los valores de una funci´ on sobre una superficie: >> x=linspace(-3,3,60); y=linspace(-3,3,60); >> [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^2-Y.^2; T=cos(sqrt(X.^2+Y.^2+Z.^2)); >> surf(X,Y,Z,T), colorbar 224

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


B o r r a d o r Figura 10.11: Otro ejemplo de surf.

despliega la gr´ afica de la Figura 10.11. El comando colorbar muestra la barra de colores de la derecha que informa sobre el valor numérico que corresponde a cada color. También es posible dibujar superficies definidas sobre partes de un rect´ angulo. Para ello, cualquier punto cuya coordenada z sea un nan (not a number ) , no se dibuja. Por ejemplo >> >> >> >> >>

x=linspace(-1,1,101); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=-X.^2-Y.^2; Z(sqrt(X.^2+Y.^2)<0.5)=nan; surf(X,Y,Z)

despliega la superficie de la Figura 10.12). La cuarta l´ınea merece un comentario aunque instrucciones parecidas han sido tratadas ya en la Lecci´ o n 1. Al hacer la comparaci´ on sqrt(X.^2+Y.^2)<0.5, Matlab devuelve una matriz l´ o gica, de 1s y 0s seg´ u n el punto correspondiente est´ e cerca del cero o no. La instrucci´ on Z(sqrt(X.^2+Y.^2)<0.5)=NaN, hace que los puntos situados dentro del c´ırculo de radio 1/ 2 (que es donde la expresi´ on lógica es 1), tomen como valor NaN. De todos modos se observa la deficiente aproximaci´ on de los cuadrados, propios de surf, del c´ırculo interior. Al final de esta lecci´ on veremos una forma m´ as elaborada para trabajar con superficies definidas sobre conjuntos m´ as generales.

√

Comandos del entorno 3D

Nos limitaremos a hablar de cinco comandos que controlan las propiedades del entorno 3D, aunque éstos no son los uńicos disponibles en Matlab: 225

´ V LECCION


B o r r a d o r Figura 10.12: Utilizaci´ on de nan en un dibujo.

colorbar:

despliega una barra de colores que informa sobre la correspondencia entre el valor numérico y el color utilizado. Por defecto se despliega verticalmente a la derecha del dibujo, aunque puede mostrarse horizontalmente si as´ı se desea.

colormap:

especifica qué colores se van a utilizar en el dibujo (mapa de colores ). Existe un conjunto de formatos predefinidos que listamos a continuaci´ on autumn gray prism

bone hot spring

colorcube hsv summer

cool jet white

copper lines winter

flag pink default

Para cambiar a un formato basta ejecutar >> colormap(’bone’)

Se pueden también definir formatos personalizados, bien mediante la l´ınea de comandos o desde la propia ventana gr´ afica.

daspect:

controla la relaci´ on entre los ejes del dibujo. Baste decir que daspect([1 1 1])

fija que las proporciones de los ejes OX, OY y OZ sean iguales. Es decir, >> sphere(40); % dibuja una esfera >> daspect([1 1 1]) % relaciones 1:1:1 en los ejes

muestra la esfera como tal y no como un elipsoide. 226

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


pbaspect:

similar al anterior pero relacionado con la caja que enmarca el dibujo.

view:

especifica el punto desde el que se ve el dibujo. Tiene dos par´ ametros: view(az,el)

B o r r a d o r El primero es el azimuth (ángulo de rotaci´ on horizontal) y el segundo es el ángulo de elevaci´ on vertical. Ambos deben especificarse en grados. Por defecto en dibujos tridimensionales az = 37.5 y el = 30.

−

El comando surf: segundo y tercer nivel

En un segundo nivel de utilizaci´ on del comando anterior podemos acceder a algunas opciones adicionales entre las que podr´ıamos destacar:7 ’EdgeAlpha’:

se especifica un valor entre 0 y 1 que define la transparencia que tiene la rejilla o red en el dibujo (con 0 la red es transparente y por tanto no se ve).

’FaceAlpha’:

como la opci´ on anterior pero relativa a las caras.

LineStyle:

indica el formato de la rejilla: ’-’, ’--’, ’:’,.... Igual que en plot. Con ’none’ desaparece del dibujo.

’MeshStyle’

tiene tres opciones posibles both (por defecto), row y column. Especifica c´ omo despliega la red: entera, s´ o lo las filas o sólo columnas, respectivamente.

’EdgeColor’:

toma cuatro posible valores: un color (en el formato habitual), e color utilizar en la ’none’, ’flat’, ’interp’. Especifica qu´ rejilla. Por defecto es negro, pero se puede eliminar la rejilla (’none’), se puede utilizar el color marcado por el primer vértice (’flat’) o bien utilizar un color definido por los colores de los dos vértices de cada eje (’interp’).

’FaceColor’:

con los mismos valores que en la opci´ on anterior. La opci´ on ’interp’ fija un color interpolado sobre la cara, eliminando as´ı el aspecto de mosaico que en ocasiones adoptan las superficies.

’LineWidth’:

anchura de las l´ıneas utilizadas en el dibujo de la red.

’Marker’:

’MarkerEdgeColor’ ’MarkerFaceColor’: ’MarkerSize’

indica qu´ e marca colocar en cada punto del dibujo. Sigue el mismo formato que plot (por defecto no coloca ninguna marca). igual que en plot.

Por ejemplo, la Figura 10.13 se obtiene con

7

siempre a nuestro juicio...

227

´ V LECCION


f=inline(’x^2-y^2’); f=vectorize(f); x0=linspace(-2,2,6); y0=linspace(-2,2,4); [X0,Y0]=meshgrid(x0,y0); x1=linspace(-2,2,40); y1=linspace(-2,2,40); [X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); hold on % solapamos dos dibujos surf(X0,Y0,f(X0,Y0),’facecolor’,’none’,’edgecolor’,’k’,... ’marker’,’o’, ’markersize’,6,’MarkerFaceColor’,’k’, ’linewidth’,2); surf(X1,Y1,f(X1,Y1),’facecolor’,’interp’, ’facealpha’,0.5,... ’edgecolor’,’none’); colorbar colormap(’spring’)

B o r r a d o r Figura 10.13: Algunas opciones con surf.

Ejercicio 10.5 Observa las diferencias entre estas dos salidas de la misma superficie >> >> >> >> >> >>

x=linspace(-2,2,20); y=linspace(-1,1,20); [X,Y]=meshgrid(x,y); figure(1) surf(X,Y,X.^3-Y.^2.*Y,’linestyle’,’none’) figure(2) surf(X,Y,X.^3-Y.^2.*Y,’linestyle’,’none’,’facecolor’,’interp’) 228

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


En un tercer nivel de dificultad (y de precisi´ on), se puede manipular el dibujo v´ıa el handle que devuelve, de forma similar a como hac´ıamos en plot. Como ejemplo ilustrativo, >> x1=linspace(-2,2,60); y1=linspace(-2,2,60); >> [X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); >> h=surf(X1,Y1,exp(-X1.^2-Y1.^2).*cos(pi*(X1.^2-Y1.^2)/2),... ’facecolor’,’interp’,’edgecolor’,’none’);

B o r r a d o r devuelve en h, después de dibujar, un puntero al dibujo. Podemos leer una propiedad determinada mediante get: >> get(h,’facecolor’) ans =

interp

o bien ver todas con >> get(h)

AlphaData = [1] AlphaDataMapping = scaled CData = [ (60 by 60) double CDataMapping = scaled EdgeAlpha = [1] EdgeColor = none EraseMode = normal FaceAlpha = [1] FaceColor = interp LineStyle = LineWidth = [0.5] Marker = none MarkerEdgeColor = auto MarkerFaceColor = none MarkerSize = [6] MeshStyle = both XData = [ (60 by 60) double YData = [ (60 by 60) double ZData = [ (60 by 60) double FaceLighting = flat EdgeLighting = none ................ ................

array]

array] array] array]

Observar´ıamos as´ı algunas de las opciones que hemos comentado y otras muchas m´ as que no hemos estudiado. Para cambiar una propiedad utilizamos de nuevo el comando set: >> set(h, ’edgecolor’,[0.2 0 0],’linewidth’,1); >> set(h, ’facaalpha’,.5); 229

´ V LECCION


Mallados especiales Con sphere podemos obtener el mallado de una esfera. Puede utilizarse para dibujar bien una esfera o incluso funciones definidas sobre una superficie esférica. Por ejemplo, mediante el siguiente fichero script hemos obtenido las representaciones gr´ a ficas de la Figura 10.14.

B o r r a d o r [X,Y,Z]=sphere(60); subplot(121) surf(X,Y,Z,’facecolor’,[0.4 0.9 0.6]) daspect([1 1 1]) % aspecto [1 1 1] title(’La esfera’,’fontsize’,14) subplot(122); surf(X,Y,Z,16*X.^2.*Y.^3.*Z.^4) title(’16 X^2 Y^3 Z^4 sobre la esfera’,’fontsize’,14) colormap(’hot’) colorbar(’hor’) % barra de colores horizontal daspect([1 1 1]) % aspecto [1 1 1]

Figura 10.14: Esferas en 3D.

Comandos similares son ellipsoid (elipsoides) y cylinder (cilindros). Son algo m´ as flexibles de lo que pueda parecer. As´ı, y aunque parezca parad´ ojico, 230

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


>> cylinder(0:0.1:1,40)

dibuja un cono.

B o r r a d o r Ejercicio 10.6 Lee bien la ayuda de cylinder. ¿Podr´ıas dibujar una semiesfera utilizando este comando?.

10.2.3.

Otros comandos

Comentaremos a continuaci´ on otras instrucciones relacionadas con gr´ aficas de objetos tridimensionales. pcolor

Proporciona un dibujo bidimensional de una superficie vista desde arriba . Es equivalente a dibujar primero la superficie con la orden surf y posteriormente cambiar el punto de vista mediante view(0,90). Puedes ver un ejemplo en la Figura 10.15.

Figura 10.15: Una superficie con surf y pcolor.

contour y contourf

Despliegan las l´ıneas de nivel del dibujo. Propiamente generan una gr´ afica en 2D. La diferencia entre ellas es que la primera instrucci´ on sólo traza las curvas de nivel mientras que la segunda colorea el espacio entre ellas. Es posible a˜ nadir un texto sobre cada l´ınea de nivel utilizando clabel. Para ello basta hacer como en el ejemplo siguiente 231

´ V LECCION

10.2 Gráficas en 3D >> >> >> >> >> >> >> >> >>

x1=linspace(-2,2,60); y1=linspace(-2,2,60); [X1,Y1]=meshgrid(x1,y1); f=vectorize(inline(’cos(x^2-y)’)); subplot(211) % dos dibujos [c,h]=contour(X1,Y1,f(X1,Y1)); colorbar; clabel(c,h) % Inserta el texto sobre las curvas de nivel subplot(212) [c,h]=contourf(X1,Y1,f(X1,Y1),5); colorbar % 5 curvas de nivel; clabel(c,h,’fontsize’,12); % cambiamos tamano de la letra

B o r r a d o r El resultado es el de la Figura 10.16.

2

- - 0 0 . 0 . 6 2 - 0 . 8 - 0 1 .

4

0

-1

0 . 0 .4 6 0 . 8

0 0 . 8 . 6

- 0 0 - 0 . 8

-1.5

-1

2

- 0 . 5 9 9 9 - 0 9 .

2

0 . 2

- -1 0 0 . 2 . 2 -2 -2

0.8 0 .6 0.4 0.2

-0.5

0 .6

0 . 6

0

0. 4 6 . 0 . 0 8

0 4 . 0 6 2 . . 0 0 - 8 . 0 -

8 0 . 2 . 6 . 4 . 0 0 0

0.4 0.2

0

0 2 . 4 - 0. - 0 6 . - 0 8 . - 0

0.5

0 .2 -0.2

0. 6

1

6 . 0 2 . 0 8 . - 2 . 4 . 0 0 0 4 0 0 . 6 . 0

1.5

-1

-0.4 -0.6 -0.8

0.6 0.4 0.2 0

-0.2 -0.4

0 .6

-0.5

-0.2

2

2 . 0 9 9 9 9 5 2 6 . 0 . 0. 0 -

. 0 2

0

0.5

-0.6

2 . . 0 2 0

-0.2

-1.5

0.6

0

- 0 0 - 0 .2 . - 0 6 - 0. 4 .8

. 2 . 2 0 0 . 4

1

0. 2

0 . 4 0 . 2

- 0 - 0 . 6 . 4

-2 -2

-0. 2

0

1

1.5

-0.8

2

Figura 10.16: L´ıneas de nivel

surfc y surfl

Ambas son variantes de surf. La primera despliega la superficie y dibuja en el plano OXY (plano inferior) las curvas de nivel. La segunda es como surf pero el color que asigna a cada punto viene determinado por un punto de iluminaci´ on exterior . El resultado es el de una superficie de un color determinado iluminado desde un punto

mesh, meshc, meshz y waterfall

Todos ellos dibujan u ńicamente la malla (rejilla) del dibujo. La segunda adem´ as a˜ nade las l´ıneas de nivel, de forma semejante a como proced´ıa surfc. Finalmente, waterfall es 232

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


como mesh pero a˜ nade un efecto de caida en los bordes del dibujo8.

10.2.4.

Comandos f´ aciles de usar

B o r r a d o r Los comandos

ezplot3 ezcontour

ezmesh ezcontourf

ezmeshc

ezsurf

ezsurfc

permiten trazar, de forma muy sencilla, curvas y superficies en el espacio. Su sencillez de uso (consulta la ayuda) queda lastrada con el inconveniente de que apenas se tiene control sobre el aspecto final.

10.3.

Campos vectoriales

Los comandos quiver y quiver3 despliegan en 2D y 3D campos de velocidades. Esto es, a cada punto se le asigna un vector y se dibuja.

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 10.17: Campo de velocidades con quiver

Por ejemplo, la Figura 10.17 se ha obtenido con >>x=-2:0.25:2; y=x; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>ind=logical(zeros(size(X))); >>ind(X.^2+Y.^2<0.5^2)=1; >>X(ind)=[]; Y(ind)=[];

8

% % % %

Es más f´ acil verlo que explicarlo...

233

malla del cuadrado [-2,2] x [-2,2] matriz logica de dimensi\’{o}n la de X si (x,y) esta cerca de (0,0) vale 1 eliminamos estos puntos

´ V LECCION

10.4 Dibujos sobre dominios mallados en triángulos >>vx=-Y./(X.^2+Y.^2); >>vy=X./(X.^2+Y.^2); >>h=quiver(X,Y,vx,vy); >>axis square

% calculamos vectores

B o r r a d o r Observa que cerca del (0,0) los vectores se hacen muy grandes. Para evitar que esto distorsione el dibujo hemos optado por no dibujar los vectores correspondientes a puntos muy cercanos al origen. Con este fin hemos utilizado una variable (en realidad una matriz) lógica ind que toma valor uno u ´ nicamente si el punto correspondiente (X,Y) está cerca del origen. Una vez salvada esta dificultad, hemos procedido a dibujar el campo de velocidades resultante. El comando quiver devuelve en realidad dos punteros, uno a las l´ıneas y otro a la cabeza del vector. Sus valores opcionales son similares a los ya vistos en secciones anteriores.

Ejercicio 10.7 Siguiendo con las instrucciones desplegadas arriba, observa qué sucede si se ejecuta set(h(1),’linewidth’,1,’color’,’r’,’linestyle’,’:’) set(h(2),’color’,’k’)

¿Podr´ıas eliminar la punta de los vectores?.

Ejercicio 10.8 Utilizando el comando quiver3, dibuja el campo de velocidades que a cada punto le asigna el vector (velocidad) dado por

 − 

x

x2 + y2 + z 2

,

−



y

x2 + y2 + z 2

,

−



z

x2 + y2 + z 2

)

(Ayuda: el comando meshgrid es tambi´ en el apropiado para construir mallas en 3D )

10.4.

Dibujos sobre dominios mallados en tri´ angulos

Los comandos que hemos estudiado a lo largo de la secci´ on precedente est´ an pensados para dibujar superficies definidas esencialmente sobre una cuadr´ıcula. Aunque en muchos casos esto es suficiente, en otras muchas ocasiones se trabaja con funciones definidas sobre conjuntos, o dominios en la terminolog´ıa habitual, mucho m´ as generales. Una forma muy simple de trabajar con estos dominios es dividirlos en triángulos y construir la superficie solapando diferentes planos definidos sobre cada tri´ angulo9 . Los resultados que se obtienen son bastante satisfactorios, puesto que los tri´ angulos son m´ as flexibles que los cuadriláteros a la hora de adaptarse a los dominios. on o mallado del Esta divisi´ on en tri´ angulos de un dominio se denomina triangulaci´ dominio. Se dice que un mallado se hace más fino si el tama˜ no de los triángulos disminuye. Una triangulaci´ on es conforme si la intersecci´ on de dos lados cualesquiera del mallado es o bien vac´ıa (los tri´ angulos no se tocan), o un v´ ertice o un lado entero. Es decir no 9

Se utiliza el conocido resultado de que tres puntos no alineados definen un único plano. Es fácil ver también que la superficie as´ı construida es continua 234

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


B o r r a d o r Figura 10.18: Triangulaci´ on no conforme.

se admite que un lado de un tri´ a ngulo pueda ser parte de dos lados de dos tri´ angulos diferentes (véase la Figura 10.18). Por otro lado, una familia de triangulaciones se dice angulos no se hacen regular si los triángulos no se aplanan , es decir, los ángulos de los tri´ muy peque˜ nos. La siguiente cuesti´ o n es cómo almacenar la informaci´ on de una triangulaci´ o n. Si optáramos por guardar cada tri´ angulo, con sus correspondientes vértices, guardar´ıamos información redundante. Por ejemplo, un vértice compartido por 6 tri´ angulos ser´ıa almacenado 6 veces. En lugar de ello se opta por una estructura m´ as elaborada pero m´ as econ´ omica. Se empieza almacenando las dos coordenadas de los vértices en dos vectores que denotaremos por x e y. En segundo lugar, apuntamos los vértices que corresponden a cada tri´ angulo. Esto se hace mediante una matriz, que llamaremos en lo que sigue t, de tres columnas y número de filas igual al n´ umero de tri´ angulos. Para saber los vértices que corresponden al triángulo i basta leer la correspondiente fila de t y sus coordenadas ser´ an [x(t(i,1)),y(t(i,1))],

[x(t(i,2)),y(t(i,2))],

[x(t(i,3)),y(t(i,3))]

A modo de ejemplo, el mallado expuesto en la Figura 10.19 se guarda en las siguientes variables Triangulos 8 7 9 11 10 12 16 4 1 15

3 2 5 6 1 4 9 8 7 11

16 15 21 20 14 17 21 17 14 20

235

´ V LECCION

10.4 Dibujos sobre dominios mallados en triángulos

0.6

B o r r a d o r 0.4

6

12

12

4

0.2

6

8

0

8

-0.2

3

-0.4

17

20

1

25

19

11

4

10

20

16

15

26

13

2

15

18 22

18

28

9

7

13

24 14 16 27 23 19 21 7 21

17

2

14

3

5

5

11

9

1

10

-0.6

-0.5

0

0.5

Figura 10.19: Ejemplo de triangulaci´ on. En el gráfico la numeraci´ on de los tri´ angulos se rodea con un c´ırculo. 5 6 14 2 17 18 3 18 16 8 10 14 19 14 12 13 13 5

10 12 7 11 13 15 9 13 13 16 14 15 13 18 17 18 16 19

19 20 15 15 20 20 16 19 17 17 19 18 21 19 20 20 21 21

coordenadas: x

y

236

´ V LECCION

Cap´ ıtulo

0.5033 0.5033 -0.4967 -0.4967 0.0033 0.0033 0.5033 -0.4967 -0.2523 0.2590 0.2590 -0.2523 -0.0716 0.2924 0.2820 -0.2806 -0.2641 0.1204 0.0838 0.0113 -0.1031


-0.3584 0.2378 -0.3584 0.2378 -0.4603 0.3397 -0.0603 -0.0603 -0.4363 -0.4363 0.3157 0.3157 -0.1050 -0.1866 0.0614 -0.1991 0.0537 -0.0707 -0.2577 0.1306 -0.2912

B o r r a d o r La informaci´ on anterior es suficiente para construir la malla, la triangulaci´ on del dominio. Si además se desea construir una superficie definida sobre ese dominio, basta a˜ nadir un vector adicional z de forma que z(j) sea el valor de la función en el nodo j.

Figura 10.20: Un dominio mallado en tri´ angulos. 237

10.4 Dibujos sobre dominios mallados en triángulos

´ V LECCION

´ Esta es una forma ya est´ andar de definir y trabajar con una triangulaci´ on que también 10 sigue Matlab con los comandos trimesh y trisurf. El primero despliega la malla triangular especificada por t, (la matriz conteniendo los triángulos), x e y (que dan las coordenadas de los vértices),

B o r r a d o r trimesh(t,x,y)

Se puede especificar la coordenada z de los vértices (la altura), trimesh(t,x,y,z)

con lo que se dibuja la malla 3D correspondiente. El comando trisurf es similar, pero colorea las caras. Hablando con propiedad, estos comandos al igual que mesh y surf, representan superficies. Las opciones para manipular el aspecto final de la superficie son iguales que las de surf, incluyendo las ya vistas facecolor, facealpha, meshalpha, edgecolor,....

Nota. Un tema nada trivial es la construcci´ on de un mallado sobre un dominio (poligonal) dado. Existen multitud de algoritmos que tratan este problema. En principio se plantea la construcci´ o n de una malla gruesa, con pocos triángulos y de a´rea considerable, con los triángulos lo m´ as regulares posibles (sin deformar, alargar , en demas´ıa los triángulos). Posteriormente, se trata de refinar la malla, es decir, dividir los triángulos en tri´ angulos más peque˜ nos hasta que se alcance una precisi´ on adecuada. Esta idea se esconde detr´ as de aplicaciones como la interpolaci´ on (aproximaci´ o n de una funci´ on) y especialmente el método de elementos finitos, probablemente del método11 más utilizado en la resoluci´ on de problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales. Si se desea informaci´ o n de c´ omo se puede inicializar un malla en Matlab, as´ı como sobre el algoritmo utilizado se puede consultar el comando initmesh (incluido el tema de triangulaciones de Delaunay). Para el refinamiento puedes consultar refinemesh. . Existe otra posibilidad m´ as visual, y por tanto m´ as amigable para empezar a trabajar. Teclea >> pdetool

Se cargar´ a un entorno gr´ afico para la resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales. No entraremos en este tema por ser demasiado técnico. En lugar de ello, nos centraremos en la definición de mallados. Una vez dibujado el dominio, y mallado, se puede exportar la malla a la ventana de comandos en las variables t y p. La primera contiene en las tres primeras filas los triángulos que componen la triangulaci´ on mientras que las coordenadas de los vértices están guardadas en las dos filas de p. 

10

La toolbox pdetool dedicada a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales sigue una variante algo m´ as complicada que la expuesta arriba. 11 Propiamente hablando es una familia de métodos. 238


Interpolaci´ on. Curvas B´ ezier 11.1.

Interpolaci´ on polin´ omica

Un problema ya clásico es la construcci´ on, o aproximaci´ on de una funci´ on conocidos unos pocos valores. Algunas referencias a este tipo de problemas se remontan al manejo de tablas trigonométricas y posteriormente logar´ıtmicas y exponenciales donde unos pocos valores estaban tabulados y para valores intermedios era necesario un proceso de interpolación. Se habla en este caso de un problema de interpolaci´ on de Lagrange. Si adem´ as del valor puntual, a˜ nadimos informaci´ on sobre las derivadas estamos ante una interpolaci´ on de Hermite. En estos apuntes trataremos principalmente la interpolaci´ on polinómica, esto es, la construcción de polinomios que pasen por unos puntos predeterminados. Daremos también unos breves esbozos sobre la interpolaci´ on por polinomios trigonométricos y la interpolaci´ on polinómica a trozos con las funciones spline .

11.1.1.

Interpolaci´ on polin´ omica de Lagrange

El problema que queremos resolver es el siguiente

Dados un conjunto de n + 1 puntos (x0 , y0 ), (x1, y1 ), . . . (xn, yn ) , construir un polinomio pn de grado n tal que

{

pn (x j ) = y j ,

}

j = 0, . . . , n .

El polinomio pn recibe el nombre de polinomio de interpolaci´ on de Lagrange. Habitualmente, y j son valores de una funci´ on f que sólo se puede evaluar en un conjunto finito de puntos porque o bien en el resto del intervalo es desconocida, o bien es cara computacionalmente de evaluar. Tenemos una serie de cuestiones pendientes: ¿Se puede construir siempre el polinomio de interpolaci´ on pn ?. Y relacionada con esta cuesti´ on, ¿el polinomio de interpolaci´ o n es u ńico?. ¿Existen formas o´ptimas para c´ alcular este polinomio?. 239

´ V LECCION

11.1 Interpolación polinómica

-9

x 10 5

B o r r a d o r 4

3

2

1

0

-1

7.994

6

5

4

3

2

z -46*z +884*z -9088*z +52736*z -163840*z+212992 4 (z-8) *(4+(z-8)*(2+(z-8))

7.996

7.998

8

8.002

8.004

8.006

Figura 11.1: Dos formas de escribir y evaluar un polinomio.

¿Cómo aproxima pn a esta funci´ on f ?. Este punto es crucial ya que se trata del error que podemos esperar de nuestra aproximaci´ on.

Como cuesti´ on asociada, pero no menos importante, nos deber´ıamos plantear

¿Cuál es la mejor forma de evaluar un polinomio?. Es decir, ¿nos interesa el polinomio escrito en la manera tradicional o simplemente poder evaluarlo de forma f´ acil, rápida y estable numéricamente?

Ejemplo En la Figura 11.1 hemos dibujado los polinomios (z 8)4 (4+(z 8)(2+(z 8))) y z 6 46z 5 +884z 4 9088z 3 +52736z 2 163840z +212992 en un entorno de 8. Anal´ıticamente son el mismo polinomio pero el resultado de evaluar una u otra expresi´ o n puede dar un resultado muy diferente debido a los errores de redondeo. La primera expresi´ on es mucho m´ as apropiada desde el punto de vista computacional aunque nosotros estemos más acostumbrados a escribir los polinomios de la segunda manera. El algoritmo m´ as estable para evaluar un polinomio es el m´ etodo de Horner que está basado a su vez en el m´ etodo de Ruffini para dividir polinomios. Concretamente utiliza que el valor de p(a) es el resto de dividir p(z ) por z a . El algoritmo es fácilmente implementable y tiene un costo reducido.

−

−

−

−

−

−

−

11.1.2.

Existencia del polinomio de interpolaci´ on

Probaremos la existencia del polinomio de interpolaci´ on mediante un razonamiento directo. Tomemos 2 n Pn pn (x) = a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x ,



240

´ V LECCION

Cap´ ıtulo

11. Interpolaci´ on. Curvas Bézier

un polinomio de grado n. Obviamente, pn cuenta con n + 1 par´ ametros libres que son simplemente sus coeficientes a j . Si exigimos que

{ }

pn (x j ) = y j ,

j = 0, . . . , n ,

B o r r a d o r nos encontramos con que los coeficientes satisfacen el sistema lineal

  

1 x0 x20 1 x1 x21 1 x2 x22

·· · ·· · ·· ·

xn0

·· ·

xnn

xn1 xn2

..................

1 xn x2n

    

a0 a1 a2 .. . an

  

=

  

y0 y1 y2 .. . yn

  

.

(11.1)

Por tanto el problema se reduce a la resoluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales y la existencia y unicidad del polinomio de interpolaci´ on a que el sistema en cuestió n sea compatible determinado. La matriz del sistema (11.1) es de tipo Vandermonde que nos ha surgido repetidas veces en estos apuntes1 . Dado que el sistema tiene el mismo n´ umero de ecuaciones que de incógnitas, se tiene que la existencia de soluci´ on para cualquier conjunto de datos es equivalente a la unicidad . Además, la unicidad de solución es equivalente a que la u ´ nica soluci´ on posible para el término independiente nulo sea el polinomio cero. Pero esto es inmediato puesto que todo polinomio no nulo de grado n tiene a lo sumo n ra´ıces. Otra forma de ver la existencia y unicidad es de tipo constructiva. Tomemos (x x0) L j (x) := (x j x0 )

− ·· · (x − x − ··· (x − x

Es fácil ver que L j

∈P

n

− x ) ·· · (x − x ) = )(x − x ) · ·· (x − x )

j −1 )(x

j

j −1

j+1

j

n

j+1

j

n

 i = j

x x j

−x . −x i

i

y que además

L j (xi ) :=



1, 0,

i = j, i = j.



Por tanto,

pn (x) = y0L0 (x) + y1 L1(x) + . . . + ynLn(x)

satisface las condiciones (11.1). Una vez probada la existencia deducimos por los mismos argumentos la unicidad del polinomio de interpolaci´ on. ormula de Lagrange del polinomio de inLa fórmula anterior se conoce como f´ terpolaci´ on y la base del espacio de polinomios Pn formada por L j j se denomina base de Lagrange del problema de interpolación.

{ }

Ejercicio 11.1 Programar una funci´ on que eval´ ue el polinomio de interpolaci´ on seg´ un la f´ ormula de Lagrange en un conjunto de puntos. 1

Cada columna es el resultado de elevar a una potencia el vector [1 x0 x1 241

···

xn ]

´ V LECCION


Soluci´ on. He aqu´ı una posible implementación2 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

% % % % % % % %

LAGRANGEP

B o r r a d o r Y=LAGRANGEP(X0,Y0,X)

devuelve en Y el valor del pol. de interp. que pasa por los puntos (X0,Y0) evaluado en x mediante la formula de Lagrange

X0 y Y0 son dos vectores de la misma longitud, X puede ser un vector.

function y=lagrangep(x0,y0,x)

x0=x0(:).’; y0=y0(:).’; x=x(:).’; % todos vectores filas n=length(x0); if (length(y0)~=n) disp(’ERROR. Long de x0 debe ser igual a Long de y0’) return end y=x*0; % y es un vector nulo de igual dimension que x for j=1:n p=ones(size(x)); for i=[1:j-1 j+1:n] p=p.*(x-x0(i))./(x0(j)-x0(i)); end y=y+p*y0(j); end return



Hemos testado el programa anterior para interpolar la funci´ on exp(sen(6x)) en [0, π] en diversos puntos uniformemente distribuidos (a igual distancia). El resultado, junto con el error cometido se muestra en la Figura 11.2.

Ejercicio 11.2 Implementa la construcci´ on del polinomio de interpolaci´ on mediante la resoluci´ on directa del sistema dado en ( 11.1). ¿Qué observas cuando el grado del polinomio crece?.

11.1.3.

F´ ormula de Newton

Es fácil comprobar que la f´ ormula de Lagrange tiene un costo computacional elevado. Por ello es necesario explorar formas alternativas de construir el polinomio de interpolaci´ on y de proceder a su evaluaci´ on. 2

Observa el for de la l´ınea 20

242

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


2

exp(-x).*sin(6.*x) polinomio de grado 5 polinomio de grado 9 polinomio de grado 13

1.5

B o r r a d o r 1

0.5 0

-0.5

-1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Error

1.5 1

0.5 0

-0.5

polinomio de grado 5 polinomio de grado 9 polinomio de grado 13

-1

-1.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 11.2: Polinomios de interpolaci´ on con diferentes grados y el error cometido.

Observa que la fórmula de Lagrange se basa en tomar como base de Pn la dada por

{L (x), L (x), . . . , L (x)}. 0

1

n

En esta base, las coordenadas del polinomio de interpolaci´ on son simplemente los valores que toma la funci´ on en los puntos donde se interpola. Es decir, no es necesario resolver ning´ un sistema de ecuaciones lineales (la matriz del sistema ser´ıa la matriz identidad). El precio que se paga como contrapartida es una evaluaci´ o n más cara del polinomio de interpolación. Podemos explorar otras bases que, aumentando el costo de la resoluci´ on del sistema, ofrezcan f´ ormulas del polinomio de interpolaci´ on cuya evaluaci´ on sea menos costosa. Planteamos as´ı utilizar la base

{1, (x − x ), (x − x )(x − x ), . . . , (x − x 0

1

n−1 )(x

0

−x

n−2 )

··· (x − x )}. 0

Es inmediato probar que es una base de los polinomios de grado n. Dicho de otra forma, cualquier polinomio de grado n se puede escribir (de forma uńica) como α0 + α1(x

− x ) + . . . + α (x − x 0

n−1 )(x

n

−x

n−2 )

··· (x − x ). 0

(11.2)

Además el sistema lineal que hay que resolver para obtener los coeficientes α j es ahora triangular superior, por lo que su resoluci´ on es prácticamente directa en (n2) operaciones.

O

243

´ V LECCION


Aú n es más, si pn (x) interpola a f en n + 1 puntos, a˜ nadir un punto m´ as (xn+1 , yn+1 ) es simplemente corregir el polinomio anterior en la forma siguiente pn+1(x) = pn(x) + αn+1 (x

− x ) · ·· (x − x ),

(11.3)

B o r r a d o r donde

αn+1 =

(xn+1

−

0

n

yn+1 pn (xn+1) xn )(xn+1 xn−1 ) (xn+1

− −

· ··

(11.4)

− x ). 0

Es decir, el trabajo hecho para calcular el polinomio de interpolaci´ on en n + 1 puntos se puede utilizar si se desea a˜ nadir un punto más de interpolaci´ on. Estas identidades se pueden utilizar para calcular el polinomio de interpolaci´ on utilizando polinomios intermedios que vayan interpolando en subconjuntos crecientes de datos. Sin embargo, un an´ alisis algo más detallado nos va a descubrir una manera m´ as apropiada de calcular los coeficientes del polinomio de interpolaci´ on. Siguiendo la notació n clásica, consideraremos que los valores y j que deseamos interpolar provienen de una funci´ on f a priori desconocida, es decir, y j = f (x j ),

j = 0, . . . , n .

Escribiremos entonces el polinomio que interpola en xk , . . . , xk+m como sigue

{

f [xk ] + f [xk , xk+1 ](x

− x ) + . . . + f [x , x k

k

k+1 , . . . , xk+m

} ](x − x ) ··· (x − x k

k+m−1 ).

(11.5)

La identidad (11.3) justifica el uso de esta notaci´ on es correcta. Esto es, el coeficiente de (x xk ) (x xk+r ) no depende de m. Obviamente, si k = 0 y m = n, entonces recuperaremos el polinomio de interpolaci´ on en el conjunto inicial de valores. A estas alturas f [xk , xk+1, . . . , xk+r ] son todav´ıa simples coeficientes del polinomio de cuyo c´ alculo nos ocupamos a continuaci´ on. Es inmediato comprobar que si

−

entonces

·· · −

 

 



pn interpola en (x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )), . . . , (xn, f (xn )) ,



q n interpola en (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )), . . . , (xn+1 , f (xn+1 )) ,

x xn+1 ( pn(x) x0 xn+1 es el polinomio que interpola en los n + 1 puntos pn+1 (x) = q n (x) +

− −

− q (x)),

(11.6)

n





(x0 , f (x0 )), (x1, f (x1 )), . . . , (xn+1, f (xn+1 )) .

Detengámonos un momento a examinar el coeficiente director de cada polinomio. El coeficiente en xn de pn y q n y el de xn+1 de pn+1 son respectivamente f [x0 , . . . , xn ],

f [x1 , . . . , xn+1]

f [x0 , . . . , xn+1].

Utilizando (11.6) deducimos que

f [x0 , x1 . . . , xn+1] =

f [x0 , . . . , xn] x0 244

− f [x , . . . , x −x 1

n+1

n+1 ]

.

(11.7)

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Como f [x j ] = f (x j ) (simplemente porque el polinomio de grado 0 que pasa por (x j , f (x j )) es la constante f (x j )), obtenemos una forma recursiva de calcular los coeficientes del polinomio de interpolación. El algoritmo resultante se puede representar esquem´ aticamente mediante el diagrama de la Figura 11.3. En la literatura, f [xk , . . . , xk+r ] recibe el nombre de diferencia dividida de order r, mientras que la forma de escribir el polinomio expuesta en (11.2) y (11.5) recibe el ormula de Newton3 . nombre de f´ Obviamente, a partir de la f´ ormula de Newton podemos expresar el polinomio que interpola a f en los puntos x0, . . . , xn en la forma

B o r r a d o r {

f [x0 ] + (x



−x ) 0

}

f [x0, x1] + (x

+(x

−x

−x ) 1



f [x0 , x1 , x2 ] + (x

n−1 )f [x0 , x1 , . . . , xn ]





−x )

,

2

...

(11.8)

que es mucho más apropiada desde el punto de vista computacional que la forma cl´ asica. En forma de pseudoc´ odigo podemos proceder del siguiente modo para evaluar el polinomio de interpolaci´ on utilizando la fórmula de Newton:

Diferencias divididas 01 02 03 04 05 06

07 08 09 10 11 12 13 14

x0 , y0 % datos n = length(x0) 1 D(:, 0) = y0 ; for j=1:n for i=0:n-j D(i + 1, j 1) D(i, j) = x0(i + j) end end

−

− − D(i, j − 1) − x (i) 0

% Evaluacion del polinomio y=D(0,n) for i=n-1:-1:0 y = (x x0 (i)) y + D(0, i) end

−

∗

Con la notaci´ on anterior

D(i, j) = f [xi, xi+1, . . . , xi+j ]

de forma que j es el orden de la diferencia e i el nodo donde empieza . 3

De nuevo los nombres utilizados dan idea de la antigüedad de estas técnicas. Newton halló esta forma de escribir el polinomio cuando estudiaba las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes. 245

´ V LECCION


Orden 0

Orden 1

Orden 2

Orden 3

B o r r a d o r x0

f (x0 ) = f [x0 ]

// f [x , x ] 0 1 6 6

//

// f [x , x ] 1 2 6 6

/ /

m m m m m m m m m m m m m

x1

f (x1 ) = f [x1 ]


x2

f (x2 ) = f [x2 ]

f [x ,x ,x ] 6 0 1 2 6


//

f [x ,x ,x ,x ] 6 0 1 2 3 6

l l l l l l l l l l l l l

f [x ,x ,x ] 6 1 2 3 6


// f [x , x ] 2 3 6 6


x3

f (x3 ) = f [x3 ]

Figura 11.3: Estructura del c´ alculo de las diferencias dividas.

alculo del polinomio de interpolaci´ on mediante diferencias Ejercicio 11.3 Implementa el c´ divididas.

Soluci´ on. Nuestra intenci´ on es, si no se especifican valores donde evaluar el polinomio, que se devuelva el polinomio escrito en forma simb´ olica. Es decir, declararemos x como variable simbólica y devolveremos el polinomio en esta variable. Podemos escoger hacerlo en forma expandida o bien simplemente escrito en la forma anidada. Nosotros hemos escogido hacerlo en la segunda forma. Por otro lado y entrando ya en el tema de su implementaci´ on, en el algoritmo anterior todas las entradas de los vectores y matrices implicados se numeran de 0 a n. Hay que tener en cuenta, como ya hemos hecho repetidas veces, que la numeraci´ on en Matlab comienza necesariamente en 1 y por tanto los vectores y bucles ir´ a n de 1 a n+1. Recordemos que n+1 es la longitud del vector de datos . Aunque en teor´ıa renumerar el algoritmo es algo sencillo, hay que hacerlo con cierto cuidado. Dicho esto, una implementaci´ on posible es la siguiente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

% NEWTONP % % Y= NEWTONP(X0,Y0) % % % Y= NEWTONP(X0,Y0,X) %

devuelve el polinomio que interpola en (X0,Y0) escrito en forma de Newton

devuelve en Y el polinomio interpolante evaluado en X

function y=newtonp(x0,y0,varargin)

x0=x0(:).’; y0=y0(:).’; n=length(x0)-1; if (length(y0)~=n+1) disp(’long de x0 debe ser igual long de y0’) 246

´ V LECCION 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Cap´ ıtulo


return end if nargin>2 x=varargin{1}; % evaluamos x else syms x; % x es una variable simbolica end % calculo de las diferencias divididas D=zeros(n+1); % matriz n+1 x n+1 de ceros D(:,1)=y0.’; for j=2:n+1 for i=1:n-j+2 D(i,j)=(D(i+1,j-1)-D(i,j-1))/(x0(i+j-1)-x0(i)); end end % evaluacion del polinomio D=D(1,:); % tomamos las diferencias que vamos a usar y=x.^0.*D(n+1); % asi y tiene la longitud de x for i=n:-1:1 y=(x-x0(i)).*y+D(i); end return

B o r r a d o r 

Ejercicio 11.4 El bucle interno en las l´ıneas 25-27 se puede vectorizar. Hazlo.

Un análisis más detenido muestra que no es necesario definir toda una matriz D sino que es posible realizar todo el proceso con un vector. Para ello observa que las diferencias olo se utilizan dos veces, para construir D(i 1, j + 1) y D(i, j + 1). Esto se D(i, j) con s´ consigue modificando las l´ıneas 03-08 del algoritmo como sigue

−

Modificaci´ on 03 04 05 06

07 08

D = y0 ; for j=1:n for i=n:-1:j D(i) D(i) = x0 (i) end end

− D(i − 1) − x (i − j) 0

247

´ V LECCION


Observa que las diferencias se sobrescriben en el vector pero de una forma tal que un valor no es borrado hasta que ya ha sido utilizado. De ah´ı que el bucle en 05 vaya hacia on atr´ as . Con esta modificaci´

B o r r a d o r D(i) =f [x0 , x1 , . . . , xi ].

Ejercicio 11.5 Retoca el programa newtonp seg´ un las indicaciones anteriores.

on del polinomio de interpolaci´ on se Ejercicio 11.6 El algoritmo de Neville para la evaluaci´ basa en la identidad ( 11.6 ). Dado el punto x donde evaluar el polinomio de interpolaci´ on y partiendo de n + 1 polinomios de grado cero que interpolan los datos ( x0 , x1 , . . . , xn ) procede a calcular el valor que toman en x los polinomios de grado 1 que interpolan en dos puntos ( x0 , x1 , x1 , x2 , . . . , xn−1, xn ), seguidamente los de grado 2 interpolantes en tres puntos, ( x0 , x1 , x2 , x1 , x2 , x3 , . . . , xn−2 , xn−1 , xn ), y as´ı sucesivamente hasta llegar al polinomio final de grado n. En todos los casos es la identidad ( 11.6 ) la que permite calcular el valor del polinomio de grado k + 1 en funci´ on de dos de grado k. La evaluaci´ on se puede representar en forma de estructura en árbol, muy similar a la que se obtiene para las diferencias divididas. ¿Podr´ıas dise˜ nar y programar este algoritmo?.

{

{{

{{

}{

} }{

{

}} } {

}

}}

un cuando los puntos x0 , . . . , xn no estén Nota. Observa que el método funciona a´ ordenados, aunque para una evaluaci´ on del polinomio más estable es mejor que as´ı sea. Además la definición de las diferencias divididas no depende del orden de los puntos f [x0 , . . . , xi , . . . , x j , . . . xn ] = f [x0 , . . . , x j , . . . , xi , xn ].

De forma alternativa se puede escribir el polinomio de interpolaci´ on mediante

f [xn] + f [xn , xn−1](x

− x ) + . . . + f [x , x n

n

n−1 , . . . , x0 ](x

− x )(x − x ) · ·· (x − x ). (11.9) 1

2

n

En este caso se habla de diferencias regresivas, mientras que en el caso que hemos tratado reciben el nombre de diferencias progresivas. 

Ejercicio 11.7 Modificar los algoritmos anteriores para trabajar con las diferencias regresivas. Interpolaci´ on en Matlab

La interpolaci´ on polinómica est´ a implementada en Matlab con polyfit. La sintaxis es >> p=polyfit(x0,y0,n)

donde x0 e y0 son los puntos a interpolar y n es el grado del polinomio utilizado. Si n se toma igual a length(x0) 1, devuelve el polinomio de interpolaci´ on mientras que para n menor calcula el polinomio que mejor aproxima a los puntos por m´ınimos cuadrados4 . Para evaluar el polinomio se recurre a polyval. El algoritmo que utiliza Matlab es el directo, construyendo simplemente la matriz de Vandermonde y resolviendo el sistema mediante una descomposici´ o n QR que es m´ as estable num´ ericamente. Sin embargo, con un n´ umero (muy) elevado de puntos, la inestabilidad num´ erica subyacente se hace palpable.

−

4

Es decir, calcular el polinomio de grado n, que minimiza



( p(xi )

i

248

2

− yi) .

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Ejercicio 11.8 Interpola la funci´ on cos(8πx) en [0, 1] con 20,40, 80 y 160 puntos utilizando el comando polyfit y las funciones lagrangep y newtonp y dibuja el resultado. ¿Qué observas?.

B o r r a d o r 11.1.4.

An´ alisis del error de interpolaci´ on

El error entre la funci´ on y el polinomio de interpolaci´ on se puede estudiar utilizando algunas propiedades de las diferencias divididas que detallaremos m´ as adelante. En cualquier caso, el resultado relevante es el siguiente: si f es la función regular que interpolamos en x0 , x1 , . . . , xn [a, b], entonces el error en cada punto se puede escribir

{

f (x)

}⊂

− p (x) = (n +1 1)! f n

(n+1)

(ξ x ) (x

x0 )(x

x1 )

(x

xn )

(11.10)

 − −  ·· · −  ωn (x)

donde ξ x

∈ [a, b] depende de x. Vemos que hay varias contribuciones al error final:

el factor 1/(n + 1)! que tiende r´ apidamente a 0,

un factor que depende del crecimiento de la derivada n + 1,

un término que depende de la colocaci´ on de los nodos de interpolaci´ on y que puede ser muy oscilante.

En vista de lo anterior ser´ıa f´ acil concluir que hay convergencia del polinomio de interpolación a la función si ésta es suave. Dicho de otra manera, funci´ on y polinomio se volver´ıan indistinguibles si tomásemos un n´ umero elevado de puntos. 5 Desafortunadamente , la conclusi´ on anterior es falsa. Uno de los primeros (con6 tra)ejemplos lo encontr´ o Carl Runge a finales del siglo XIX7 . Consist´ıa en interpolar la función 1 f (x) = 1 + 25x2 en el intervalo [ 1, 1] en un conjunto uniforme de puntos. El resultado (desastroso) se muestra en la Figura 11.4. Una forma de reducir el error es controlar la funci´ on ωn(x) para que sea lo más peque˜ na 8 posible. As´ı, el problema se plantea en los siguientes términos

−

¿Qué elecci´ o n de los nodos x0 , x1 , . . . , xn hace que m´ axx ωn (x) sea m´ınimo?.

{

}

5

|

|

Y contraintuitivamente. ¿Cómo entender si no que dos funciones regulares que coincidan en un número cada vez mayor de puntos no acaben siendo muy similares? 6 Matem´ atico alemán de finales del siglo XIX. También es conocido por ser codesarrollador del M´ etodo Runge-Kutta para la resolución de problemas de valor inicial. 7´ Este fue el siglo de la fundamentación de las Matemáticas. Se probó que multitud de resultados que se ten´ıan como evidentes eran falsos y fue necesario reconstruir las Matemáticas desde su base. Por ejemplo, en el mismo siglo se mostró la existencia de funciones no continuas en ningún punto, de funciones continuas pero no derivables en ningún punto, as´ı como de funciones con un n´ umero infinito de máximos y m´ınimos locales. Tambi´ en se construyeron curvas que rellenaban el plano, curvas cerradas que englobando una área finita ten´ıan una longitud infinita (fractales)... Algunas de estas construcciones, originarias esencialmente en las Matemáticas puras han encontrado en el siglo XX aplicaciones a problemas de ´ındole esencialmente pr´ actico. 8 Un problema min-max: minimizar un m´ aximo. 249

´ V LECCION


2 1.5

B o r r a d o r 1

0.5 0

2

1./(1+25.*x. ) polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20

-0.5 -1

-1.5

-2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Error

4 3 2 1 0

-1

polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20

-2 -3

-4 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11.4: Ejemplo de Runge. Polinomio de interpolaci´ on y error cometido.

´ Este es un problema cl´ asico que fue resuelto por Pafnuty Lvovich Chebyshev9 en términos de una familia de polinomios conocidos como polinomios de Chebyshev de primer tipo. Para un intervalo arbitrario [a, b], la disposición de los n + 1 puntos de interpolaci´ on que minimizan el máxx∈[a,b] wn(x) es la dada por los puntos

|

|





a+b b a π kπ + cos + xk := , 2 2 2n + 2 n + 1

−

k = 0, . . . , n .

(11.11)

Es fácil comprobar que la distribuci´ on de puntos no es en medida alguna uniforme sino que tiende a concentrar puntos en los extremos. La elecci´ on de estos puntos para la interpolaci´ on no asegura la convergencia del polinomio pero s´ı permite controlar mejor uno de los términos que m´ as rápido pueden crecer con n, con lo que en la práctica se traduce en mejores resultados10 . De hecho con esta elecci´ on, 1 máx ωn (x) = n x∈[a,b] 2

|

|

9

Matem´ atico ruso del siglo XIX. Estos polinomios surgieron en sus estudios en aproximación de funciones por polinomios. Chebyshev hizo también importantes contribuciones en Teor´ıa de la Probabilidad. 10 Dicho de otra manera, es más dif´ıcil dar con un ejemplo para el que esta disposición de nodos dé un polinomio interpolante que no converja a la función original. 250

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


de forma que ωn (x) 0 cuando n (además esta convergencia es r´ apida). En la Figura 11.5 observamos como ahora el polinomio interpolante para el ejemplo de Runge converge a la funci´ on.

→

→∞

B o r r a d o r 2

1.5

1

0.5

0

2

1./(1+25.*x. ) polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20

-0.5

-1

-1.5

-2 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Error

4 3 2 1 0

-1

polinomio de grado 5 polinomio de grado 10 polinomio de grado 15 polinomio de grado 20

-2 -3

-4 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11.5: Ejemplo de Runge con otros nodos.

Ejercicio 11.9 Elege un intervalo arbitrario [a, b] y crea un fichero script que muestre la disposici´ on de los puntos dados por ( 11.11). Dibuja los puntos obtenidos para diferentes valores de n. Dibuja también el polinomio ωn(x). ¿A qué funci´ on te recuerda?. Ejercicio 11.10 (te´ orico) Se trata de probar una serie de propiedades de las diferencias divididas de las que finalmente se deduce la estimaci´ on del error del polinomio de interpolaci´ on dada en ( 11.10 ). (1) Prueba que f ( j) (x)

− p

( j)

(x) se anula en n + 1

− j puntos para j = 0, . . . , n + 1.

(2) Utilizando (1), prueba que existe ξ tal que

f (n) (ξ ) f [x0 , . . . , xn ] = . n!

(3) Fijemos y

∈ [a, b]. Entonces

f (x) = pn (y) + f [x0 , . . . , xn, y](x

− x )(x − x ) ··· (x − x ). 0

1

Utiliza ahora (2) para probar la estimaci´ on del error dada en ( 11.10 ). 251

n

´ V LECCION

11.2 Extensiones adicionales

(Ayuda: El Teorema de Rolle establece que si g es derivable en [a, b] con g(a) = g(b) entonces existe c (a, b) tal que g (c) = 0.

∈

B o r r a d o r Aplicando este resultado, concluimos que existe α j f  (α j )

∈ (x j , x j+1) ( j = 0, . . . , n − 1) tal que

− p(α j ) = 0.

− 2 puntos tales que f (β j ) =

Se puede aplicar el mismo resultado para probar que existen n p (β j ) y as´ı sucesivamente.)

11.2.

Extensiones adicionales

11.2.1.

Interpolaci´ on de Hermite

La interpolaci´ on de Hermite incorpora las derivadas como datos adicionales. Concretamente, partimos de este conjunto de datos

  

(x0, f (x0 )), . . . , (x0 , f (m0 ) (x0)) (x1, f (x1 )), . . . , (x1 , f (m1 ) (x1))

..............................

(xn, f (xn )), . . . , (xn, f (mn ) (xn ))

Observa que estamos asumiendo que no hay huecos en los datos. Esto, si por ejemplo la derivada de orden 2 es dato, tambi´ en lo es el valor de la funci´ on y su primera derivada. El n´ umero total de datos es N := (m0 + 1) + (m1 + 1) +

· ·· + (m

n

+ 1),

por lo que el polinomio deber´ıa tener grado N 1. El análisis de este problema no tiene mayor dificultad que el ya realizado para la interpolaci´ on polinómica de Lagrange. La clave est´ a en la fuerte relaci´ on entre diferencias divididas y derivada, mostrada en el Ejercicio 11.10. As´ı, se hace la siguiente interpretaci´ on:

−

f [ xk , . . . , xk ] := f (m) (xk ).

   m + 1 veces

La idea es ordenar los nodos y tomarlos repetidos seg´ u n el n´ umero de datos que consideramos en cada punto de forma que tomaremos los N nodos x0 , x0 , . . . , x0 , x1 , x1 , . . . , x1 , . . . , xn , xn , . . . , xn .

{         }   − − m0 +1

m1 +1

mn +1

Las diferencias divididas se definen de nuevo de forma recursiva

f [xi , xi+1 , . . . , xi+m] :=

f (m) (xi ) , m! f [xi , x1 , . . . , xi+m−1 ] xi 252

f [xi+1 , x1 , . . . , xi+m] , xm

si xi = xi+m ,

en otro caso,

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


y el polinomio de interpolación se construye exactamente como antes, es decir, utilizando la fórmula (11.8) con las nuevas definiciones de los nodos y de las diferencias divididas. El cálculo de las diferencias y la evaluaci´ on del polinomio en un punto en el caso de la interpolaci´ on de Hermite puede describirse en lenguaje de pseudoc´ odigo de la siguiente forma: Diferencias divididas para la interpolaci´ on Hermite

B o r r a d o r 01 02 03 04 05 06 07 08 09

10 11 12 13 14 15 16 17 18

x0, y0 datos n = length(x0) 1 D = y0 ; for j=1:n for i=n:-1:j if x0 (i) == x0 (i j) D(i) = D(i)/j else D(i) D(i 1) D(i) = x0 (i) x0 (i j) end end end

−

−

− −

− −

% Evaluacion del polinomio y=D(n); for i=n-1:-1:0 y = (x x0 (i)) y + D(i) end

−

∗

En este algoritmo la tabla de diferencias divididas se almacena de forma compacta, como se sugiri´ o en el Ejercicio 11.5. Observa que desde el punto de vista computacional las diferencias con respecto a la interpolaci´ on de Lagrange son m´ınimas.

on de Hermite Ejercicio 11.11 Entiende bien el algoritmo anterior. Implementa la interpolaci´ seg´ un el siguiente prototipo 01 02 03 04 05 06 07 08

HERMITEP

Y=HERMITEP(X0,Y0) Devuelve en Y el polinomio de interpolacion de Hermite X0 debe estar ordenados. Los nodos repetidos se interpretan como derivadas sucesivas en ese punto Y=HERMITE(X0,Y0,X) Devuelve en Y la evaluacion del polinomio en X

Observa que, una vez implementada esta funci´ on, >> x0=[0 0 0 0 0 0]; y0=[1 1 1 1 1 1]; >> p=hermitep(x0,y0) 253

´ V LECCION


devuelve de hecho el polinomio de Taylor de orden 5 de f (x) = exp(x) en el cero. La orden >> simple(hermitep(x0,y0))

B o r r a d o r hace m´ as evidente esta identidad.

11.2.2.

Interpolaci´ on de funciones peri´ odicas

Si una función es periódica es natural reemplazar en el problema de interpolaci´ on los polinomios por funciones peri´ odicas sencillas con el mismo periodo. Por simplificar, vamos a suponer que estamos considerando unicamente ´ funciones 2π–peri´ odicas, aunque las ideas que a continuaci´ on expondremos se extienden f´ acilmente a funciones con cualquier periodo. Concretamente, si se trata de funciones 2π–peri´ odicas podemos utilizar sen(nx),

cos(nx),

n

∈ N ∪ {0}

para interpolarlas, o bien,

n

exp(inx),

∈ Z.

Ambas son equivalentes, como ya vimos en la Lecci´ on 3 con la FFT, pero la utilizaci´ on de exponenciales complejas facilita tanto el an´ alisis como la manipulación as´ı como la extensión de la interpolaci´ on a funciones complejas Supongamos que tomamos un n´ umero impar 2n+1 de puntos de interpolaci´ on equidistantes: 2kπ xk = , k = 0, . . . , 2n. 2n + 1 El problema queda as´ı definido: calcular n

p2n+1(x) :=

    α j exp(i jx)

j=−n

tal que

n

yk = p2n+1(xk ) =

α j exp

j=−n

2πi jk . 2n + 1

La resoluci´ on de este problema se puede llevar a cabo con la transformada de Fourier Discreta, y por tanto es aplicable la FFT.

Ejercicio 11.12 Comprueba que efectivamente se reduce todo a una transforma de Fourier discreta. (Ayuda: Observa que

−      

exp

−

Por tanto el problema es equivalente a encontrar α j tales que n

yk = p2n+1(xk ) =

j=0

   

2πi jk 2πi(2n + 1 j)k = exp . 2n + 1 2n + 1

2πi jk α j exp + 2n + 1

2n

j=n+1

α2n+1− j exp

2πi jk . 2n + 1

umero par de puntos de interpolaci´ on? Ejercicio 11.13 ¿Qué pasa si se toma un n´ 254

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Nota. El interpolante converge a la funci´ o n bajo hipótesis mucho m´ as débiles que en el caso no periódico. Por ejemplo, basta con que la funci´ on tenga derivada continua. No existen por tanto fen´ omenos como el de Runge para funciones peri´ odicas con condiciones m´ınimas de regularidad. 

B o r r a d o r 11.2.3.

Interpolaci´ on polin´ omica a trozos

Los polinomios tienen un importante inconveniente que desaconseja su utilizaci´ on para la interpolaci´ on en un n´ umero elevado de puntos. La Figura 11.6 ilustra esta problem´ atica con un problema de interpolaci´ on para el que el polinomio correspondiente exhibe un comportamiento ciertamente irracional. Ello se debe a que se obliga a que el polinomio sea prácticamente constante en dos zonas con un salto en medio. El polinomio es excesivamente r´ıgido11 que en u´ltima medida provoca que éste se rompa .

2

1.5

1

0.5

0

-0.5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11.6: Rigidez polin´ omica

Como forma de solventar estos problemas se opta por utilizar elementos m´ as complicados pero que sean m´ as flexibles . Uno de los elementos m´ a s populares son los splines . Un spline12 es una funci´ on polin´ omica a trozos que cuenta con cierta regularidad. Es decir, diferentes polinomios sobre diferentes subintervalos se unen exigiendo adem´ as que la función resultante sea continua y derivable hasta cierto orden. Los representantes m´ as sencillos son las constantes a 11

Es un s´ımil con lo que sucede si se dobla una vara muy r´ıgida. El problema al utilizar polinomios es que basta modificar un sólo dato para que el polinomio se cambie en todo el dominio, en muchas ocasiones sin ning´ un control. Sin embargo, en un interpolante uno deber´ıa esperar que la modificaci´ on de un punto afectara sólo al entorno de dicho punto. 12 aceptaremos el anglicismo a partir de ahora. 255

´ V LECCION


trozos y las poligonales. En este u´ltimo caso, se trata sencillamente de unir los puntos por segmentos obteniéndose una curva poligonal. Sin embargo para las constantes a trozos no podemos exigir continuidad y para las poligonales no podemos exigir derivabilidad en los puntos de contacto (tiene picos). Los splines c´ ubicos son probablemente los m´ as utilizados. Partiendo de una subdivisi´ on del intervalo a = x0 < x1 < < xn = b, se trata de construir una funci´ on sn tal que

B o r r a d o r · ··

sn (x) [xi ,xi+1 ]

|

∈P ,

i = 0, . . . , n

3

− 1,

es decir, sea un polinomio de grado tres en cada subintervalo, cumpliendo que sn (xi ) = yi , ,

i = 0, . . . , n ,

esto es, que tome unos valores prefijados en los puntos de interpolaci´ on y de modo que tanto la funci´ on sn como sus derivadas primera y segunda sean continuas13 en todo el intervalo [a, b]. Por tanto tenemos que exigir que l´ım+ s( j) ım− s( j) n (x) = l´ n (x),

x→xj

j = 0, 1, 2.

x→xj

La continuidad de la primera derivada preserva la existencia de recta tangente (no hay picos) y por tanto la velocidad de recorrido de la curva, mientras que con la continuidad de la derivada segunda garantizamos que curvatura de la curva sea tambi´ en continua en todo el dominio de definici´ on. Dado que tenemos n subintervalos, y cuatro par´ ametros sobre cada intervalo (sn es un polinomio de grado 3 en cada intervalo), disponemos de 4n variables. Por contra, los datos de interpolaci´ on fijan n + 1 restricciones y las condiciones de continuidad del spline y de sus dos primeras derivadas en las interfaces de los subintervalos dan otras 3n condiciones. En total tenemos n + 1 + 3(n 1) = 4n 2

−

−

restricciones, por lo que el problema precisa fijar dos condiciones adicionales para poder hablar, siquiera plantear, la unicidad del spline. Estas son algunas de las elecciones habituales sn (x0 ) = sn(xn ) = 0, spline natural.

Datos adicionales sn (x0 ) = y−1 , sn (xn) = yn+1 , spline grapado.

Condiciones de periodicidad: si los datos son periódicos se puede imponer sn (x0 ) = odico. sn (xn ), sn (x0 ) = sn (xn ), spline peri´

No nos detendremos a detallar como se prueba la existencia y unicidad de tales splines, ni la forma de calcularlos. Baste decir que se recurre a técnicas m´ as eficientes, y por tanto complejas, que la forma directa que se deduce de su definici´ on. Entre las buenas propiedades de los splines destacamos que convergen a la funci´ on si ésta es continua. A´ u n es más, si la función f que se interpola es regular (de hecho basta con que su derivada cuarta sea continua) máx sn (x) x

|

− f (x)| ≤ C máx(x − x ) j

j+1

j

4

con C una constante dependiente de f pero independiente de los puntos. 13

Si forzáramos la continuidad de la tercera derivada tendr´ıamos globalmente un polinomio de grado tres. 256

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Nota. Los splines tienen un origen muy natural. Exist´ıa una herramienta de dibujo, ya anticuada, que recib´ıa el nombre de spline, o trazador en castellano. Consist´ıa en una especie de regla hecha de un material flexible que se moldeaba para hacer coincidir el trazado por una serie de puntos. La curva as´ı trazada es f´ısicamente equivalente a resolver el problema de construir una curva que pase por una serie de puntos y que minimice la energ´ıa el´ astica. La soluci´ on matem´ atica a este problema es un spline natural (polinomio c´ ubico a trozos con derivada segunda nula en los extremos) lo que justifica su denominación. Se pueden definir splines de mayor grado, siguiendo exactamente la idea anterior, esto  es, pegando polinomios a trozos y dando la mayor regularidad posible.

B o r r a d o r Splines en Matlab

Matlab dispone de dos comandos encargados de esta tarea: ppval

spline

El primero (piecewise polynomial value ) eval´ ua una funci´ on polinómica a trozos. Uno de sus argumentos es la propia estructura de la funci´ o n seg´ un una sintaxis propia de Matlab. La segunda instrucci´ on devuelve una estructura de este tipo que contiene el spline que interpola a datos. A modo de ejemplo, he aqu´ı el spline natural que interpola a los datos desplegados en la Figura 11.714 >> >> >> >> >>

x0=linspace(0,1,21); y0=[zeros(1,6) ones(1,15)]; p1=spline(x0,y0); % spline natural x=linspace(0,1,200); h=plot(x0,y0,’o’,x,ppval(p1,x),’r’,’linewidth’,2);

Por otro lado Matlab tiene implementada una serie de funciones para trabajar con splines má s generales en una toolbox . Al ejecutar splinetool podemos acceder a un entorno gr´ afico donde testar las capacidades de Matlab en este campo.

Ejercicio 11.14 Se plantea el siguiente problema: dada una serie de puntos en el plano





(x0 , y0 ), (x1, y1 ), . . . , (xn , yn )

construir una curva en paramétricas

x(t) := (x(t), y(t)),

t

∈ [0, T ]

(11.12)

tal que

x(t j ) = (x j , y j ).

(11.13)

Una buena elecci´ on es utilizar splines. Para ello se trata de calcular dos splines cx (t) y cy (t) que satisfagan, obviamente, cx (t j ) = x j ,

14

cy (t j ) = y j .

Los splines siguen conservando cierta rigidez pero se adaptan mucho mejor a los datos. 257

´ V LECCION


1.2

B o r r a d o r 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11.7: Interpolaci´ on con splines c´ ubicos naturales

Tenemos as´ı dos problemas de interpolaci´ on desacoplados, esto es, cada uno se resuelve independiente del otro. Queda como cuesti´ on pendiente la elecci´ on de T en ( 11.12 ) y de los puntos t j en ( 11.13 ). Una buena elecci´ on es tomar h j :=



(x j+1

−x ) j

2

+ (y j+1

2

−y ) , j

que coincide con la longitud del segmento que une (x j , y j ) y (x j+1 , y j+1 ), y hacer luego t0 = 0,

tk := h0 + h1 + . . . + hk−1,

T = tn .

Una vez ya calculados, la curva se dibuja evaluando

x(t) := (cx(t), cy(t)),

t

∈ [0, T ].

Implementa un programa que siga este prototipo

01 02 03 04 05

SPLINE2D

SPLINE2D(X,Y) Traza una curva en el plano que pasa por (X(i),Y(i)) utilizando splines cubicos

on. Lee Ejercicio 11.15 El comando ginput permite introducir los puntos a través del rat´ bien la ayuda y modifica el programa anterior para que haga posible la lectura de los datos con el rat´ on en caso de que se llame a la funci´ on sin argumentos. Entre las posibilidades que ofrece está la de controlar qué tecla o bot´ on del rat´ on se ha utilizado. 258

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Ayuda. Deduce qué realiza el siguiente c´ odigo... x0=[]; y0=[]; n=length(x0); salir=0; cla xlim([0,1]); ylim([0,1]) while salir==0 [xi,yi,b]=ginput(1); if b==3 % boton derecho del raton cla if n>0 % borramos el ultimo punto x0(n)=[]; y0(n)=[]; plot(x0,y0,’ro’) xlim([0,1]); ylim([0,1]) n=n-1; end elseif isempty(b) % Se ha pulsado return: finalizamos lectura salir=1; elseif b==2 % boton central: finalizamos la lectura salir=1 else % introducimos el punto x0=[x0 xi]; y0=[y0 yi]; plot(x0,y0,’o’) n=n+1; axis([0 1 0 1]) end end

B o r r a d o r Nota. El comando gtext es similar a ginput. Despliega un texto en el punto selec cionado con el rat´ on.

11.3.

Curvas B´ ezier

Las curvas Bézier son curvas en el plano que quedan determinadas por un conjunto de puntos que marcan su recorrido, aunque estas curvas no pasan necesariamente por ´ todos los puntos. Estos forman un pol´ıgono de control en el siguiente sentido: la curva está contenida en el pol´ıgono formado por esos puntos e imita con cierta libertad la poligonal que dibujan. La curva se construye utilizando los polinomios de Bernstein de orden n: B jn(t)

=



n j t (1 j

n− j

− t)

,

j = 0, 1, . . . , n .

Es un simple ejercicio comprobar que los polinomios cumplen las siguientes propiedades: n n j j=0

{B }

son una base de Pn . Dicho de otra forma, cualquier polinomio se puede escribir como una combinaci´ on de estos polinomios. 259

´ V LECCION

11.3 Curvas Bézier n



B jn(t) = 1,

∀t ∈ R.

j=0

B o r r a d o r A partir de unos puntos

xi = (xi , yi ),

con i = 0, . . . , n ,

se construye ahora la curva de Bézier utilizando estos polinomios: n

S (t) :=



 n

B jn (t)x j =

j=0

  n

B jn (t)x j ,

j=0

B jn (t)y j ,

j=0

t

∈ [0, 1].

El parámetro t se mueve de forma que para t = 0 estamos en el punto inicial y para t = 1, an ordenados: hay en el final. Nótese que los puntos utilizados para dibujar la curva est´ un punto inicial x0 , uno final xn y a x j le sigue x j+1 ... Podemos comprobar (véase la Figura 11.8), que la curva se adapta a la forma que marcan los puntos. Sin embargo, uńicamente podemos garantizar que esta curva pasar´ a por el primer y u ´ ltimo punto ya que S (0) = x0 y S (1) = xn pero en general S (t) = x j para j = 0, n.





1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0

1

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11.8: Curvas Bézier para algunas configuraciones de puntos.

260

´ V LECCION

Cap´ ıtulo


Ejercicio 11.16 Utilizando el c´ odigo mostrado en el Ejercicio 11.15 , programa las curvas Bézier. Compara con las curvas que definen la interpolaci´ on por splines y la polin´ omica. Ejercicio 11.17 Implementa la siguiente extensi´ on del programa anterior: permitir que el usuario seleccione puntos y pueda moverlos o borrarlos (por ejemplo, con el bot´ on derecho del rat´ on) y as´ı comprobar la sensibilidad de la curva al pol´ıgono de control. Una sugerencia: una vez le´ıdos los puntos, y dibujada la correspondiente curva nos situamos de nuevo en la ventana gr´ afica con ginput y leemos la selecci´ on hecha por el rat´ on. Ahora hay tres opciones

B o r r a d o r Si pulsamos cerca de un punto, entendemos que hemos seleccionado dicho punto.

• Si se ha pulsado con el bot´ on derecho lo eliminamos del dibujo, redibujamos la curva y esperamos de nuevo.

• Si pulsamos cerca de un punto con el bot´ on izquierdo entendemos que vamos a

mover ese punto. Esperamos otra selecci´ on del rat´ on (otro ginput), reemplazamos el punto seleccionado por el nuevo y redibujamos.

Si pulsamos lejos de todos los puntos, entendemos que a˜ nadimos un nuevo punto. Llamémoslo y. En este punto hay un tema no trivial: c´ omo ordenamos el nuevo punto y respecto a los puntos anteriores x j .

{ } y

θ j

x j+1

x j

x j+2

Figura 11.9: Ordenaci´ on de nodos para la curva Bézier.

Una forma de determinar 15 este orden es medir el ángulo entre los vectores

−−→

−−−→

u = x j y,

v = x j+1 y

y quedarse con aqu´ el para el que ángulo θ j sea mayor (véase la Figura 11.9 ). Para ello, basta utilizar que u v cos(θ j ) = . u v

|

15

| | · |

Gracias a Jon Garc´ıa por sugerirnos esta solución. 261

´ V LECCION

11.3 Curvas Bézier

Escogeremos entonces j para que cos(θ j ) sea m´ınimo, y construiremos la curva Bézier con puntos x1 , . . . , x j , y, x j+1 , . . . , xn

|

|

{

}

B o r r a d o r {x , x }. j

j+1

Nota. Las curvas Bézier fueron introducidas por los ingenieros Pierre Bézier y Paul de Casteljau, que trabajaban entonces en Renault y Citr¨ oen. Concretamente, buscaban herramientas para el dise˜ no de parachoques de forma que la curva que diera su forma fuera controlada por una serie de puntos y que tuviera buenas propiedades geom´ etricas. Los algoritmos iniciales (todav´ıa se utilizan en la pr´ actica hoy en d´ıa) segu´ıan ideas 16 muy geométricas , y se tardó alg´ un tiempo en darle la forma que hemos mostrado, m´ as matemática. Como resultado de este estudio surgieron las curvas B-spline, que reemplazaban a los polinomios de Bernstein por splines de grados adecuados. Las curvas B-spline son más flexibles que las curvas Bézier y en su caso l´ımite incluyen a éstas. Por lo tanto pueden interpretarse como una generalizaci´ on de las mismas. Por otro lado existen formas mucho m´ as eficientes de evaluar y calcular este tipo de curvas que permiten en u´ltima media su implementaci´ o n en una forma más interactiva, de forma que el usuario mueva los puntos (cambie el pol´ıgono de control ) y que la curva se redibuje constantemente. 

16

La versión original ni siquiera hablaba de polinomios. 262

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264

B o r r a d o r Índice de figuras 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Pantalla Principal. Pantalla de ayuda. Ayuda con helpwin Ayuda on line . . . .

. . . .

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. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4.1.

Diagrama de un matriz sparse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Resultado de reordenar las filas y columnas con symrcm y symmmd. Eliminaci´ on gaussiana y su representaci´ on como un grafo. . . . . . Historial del residuo para el método del Gradiente. . . . . . . . . . Historial del residuo para el método del Gradiente Conjugado . . . Efecto del en el Gradiente Conjugado. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

73 75 93 98 103

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.

Reglas de cuadratura: punto medio y trapecio . . . . . . . Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama del método de Romberg . . . . . . . . . . . . . . Integraci´ on adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integraci´ on adaptativa de x . . . . . . . . . . . . . . . . Primeras exponenciales trigonométricas. . . . . . . . . . . . Coeficientes de Fourier y transformada discreta de Fourier. Ruido y su Transformada de Fourier Discreta . . . . . . . . Filtrado del ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

116 119 128 130 133 136 143 144 145

9.1. 9.2.

Profile aplicado al método de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

√

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

10 15 16 17

Una web muy sencilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1. Ventana gr´ afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Ventana gr´ afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Edición de un dibujo. . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Una muestra de dibujos. . . . . . . . . . . . . . 10.5. Modificaci´ on del entorno del dibujo. . . . . . . . 10.6. Ejemplo de numeraci´ on con subplot. . . . . . . 10.7. Disposici´ on simultánea de gr´ aficas con subplot. 10.8. Un dibujo en 3D con plot3. . . . . . . . . . . . 10.9. Icono para rotar los dibujos. . . . . . . . . . . . 10.10. Ejemplo de una superficie creada con surf. . . . 10.11. Otro ejemplo de surf. . . . . . . . . . . . . . . 265

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . 208 . . . . 210 . . . . 212 . . . . 214 . . . . 218 . . . . 219 . . . . 221 . . . . 222 . . . . 223 . . . . 224 . . . . 225

10.12. Utilización de nan en un dibujo. . . 10.13. Algunas opciones con surf. . . . . 10.14. Esferas en 3D. . . . . . . . . . . . . 10.15. Una superficie con surf y pcolor. . 10.16. L´ıneas de nivel . . . . . . . . . . . . 10.17. Campo de velocidades con quiver . 10.18. Triangulaci´ on no conforme. . . . . . 10.19. Numeraci´ on de triángulos . . . . . . 10.20. Un dominio mallado en tri´ angulos. .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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226 228 230 231 232 233 235 236 237

B o r r a d o r 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9.

Dos formas de escribir y evaluar un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . 240 Polinomios de interpolaci´ on con diferentes grados y el error cometido. . . 243 Estructura del c´ alculo de las diferencias dividas. . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 Ejemplo de Runge. Polinomio de interpolaci´ on y error cometido. . . . . . 250 Ejemplo de Runge con otros nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Rigidez polin´ omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Interpolaci´ on con splines c´ ubicos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Curvas Bézier para algunas configuraciones de puntos. . . . . . . . . . . . 260 Ordenaci´ on de nodos para la curva Bézier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

266

B o r r a d o r Índice general

1. Introducci´ on 1.1. ¿Qué es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. ¿Cómo trabaja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. ¿Cómo aprenderemos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 4

I Primeros pasos en Matlab. Métodos directos para sistemas de ecuaciones lineales

5

2. Matlab: Primeros pasos 2.1. Entorno de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Comandos de ayuda . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ficheros script y funciones . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Ficheros script . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Definición de matrices y vectores . . . . . . 2.5.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Detalles adicionales . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Acceso a partes de matrices . . . . . . . . . 2.6. Bucles y estructuras de decisi´ on . . . . . . . . . . . 2.6.1. Bucles: el comando for . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Operadores l´ ogicos y estructuras de decisi´ on

. . . . . . . . . . . . . .

9 9 14 16 19 19 19 22 22 24 25 27 30 30 31

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37 37 38 41 43 44 44 47 48

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3. M´ etodos directos para sistemas de ecuaciones lineales 3.1. Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Método de Gauss sin pivotaje . . . . . . . . . . . 3.1.2. Método de Gauss con pivotaje parcial . . . . . . . 3.1.3. Método de Gauss con pivotaje parcial ficticio . . 3.2. Descomposiciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Descomposici´ on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Comandos correspondientes en Matlab . . . . . . 267

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II

Programaci´ on Avanzada. M´ etodos iterativos

4. Matlab: programaci´ on avanzada 4.1. Retorno a las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Acceso a partes estructuradas de una matriz 4.1.2. M´ as operaciones sobre matrices . . . . . . . 4.1.3. Matrices sparse . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Argumentos de funciones . . . . . . . . . . . . . . .

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51 . . . . .

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55 55 55 60 64 66

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71 71 76 77 78 79 88

B o r r a d o r 5. Matrices sparse en Matematicas. Metodos 5.1. Método de Gauss para matrices sparse . . 5.2. Métodos iterativos para sistemas lineales . 5.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Detalles sobre la implementaci´ on . 5.2.3. Métodos iterativos cl´ asicos . . . . . 5.2.4. Métodos de tipo gradiente . . . . .

iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III Funciones como argumento. Recursividad Fórmulas de cuadratura. FFT

105

6. Matlab: Funciones como argumentos. Recursividad 109 6.1. Funciones inline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2. Funciones como argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2.1. Recursividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7. F´ ormulas de cuadratura. FFT 7.1. F´ ormulas de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Primeras nociones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Reglas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Retorno a las reglas compuestas . . . . . . . . . 7.1.4. Reglas gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5. Extrapolaci´ on de Richardson . . . . . . . . . . . 7.1.6. Integraci´ on adaptativa . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Transformada r´ apida de Fourier . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Transformada de Fourier discreta . . . . . . . . 7.2.2. C´ alculo de la transformada de Fourier Discreta . 7.2.3. Aplicaciones a la eliminaci´ on de ruido . . . . . . 7.2.4. Transformada r´ apida de Fourier . . . . . . . . .

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115 . 115 . 115 . 118 . 122 . 125 . 126 . 129 . 134 . 135 . 140 . 142 . 144

IV C´ alculo simb´ olico, arrays y celdas en Matlab. Valores y vectores propios. Google. 153 8. Matlab: C´ alculo simb´ olico y estructuras de datos. 157 8.1. Polinomios y c´ alculo simbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 268

8.2. Procesador simb´ olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.3. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.4. Vectores de celdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B o r r a d o r 9. C´ alculo num´ erico de valores y vectores propios. 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Matrices semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Método de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Descripci´ on del método . . . . . . . . . . . 9.3.2. Variantes del método de potencias . . . . . 9.4. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. Descripci´ on del método . . . . . . . . . . . 9.4.2. Variantes del método de Jacobi . . . . . . 9.5. Método QR de Francis . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1. Factorizaci´ on QR . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. Método QR de Francis . . . . . . . . . . . 9.5.3. Comentarios adicionales . . . . . . . . . . 9.6. Valores y vectores propios en Matlab . . . . . . . 9.7. Notas hist´ oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

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203

Salidas gráficas en Matlab. Interpolación

10.Matlab: Salidas gr´ aficas en Matlab 10.1. Dibujos bidimensionales . . . . . . . . . . . . 10.1.1. El comando plot . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Comandos asociados a plot . . . . . . 10.1.3. Comandos get y set . . . . . . . . . . 10.1.4. El comando subplot . . . . . . . . . . 10.1.5. Otras salidas gr´ aficas . . . . . . . . . . 10.2. Gráficas en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. El comando plot3 . . . . . . . . . . . 10.2.2. El comando surf . . . . . . . . . . . . 10.2.3. Otros comandos . . . . . . . . . . . . . 10.2.4. Comandos f´ aciles de usar . . . . . . . 10.3. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Dibujos sobre dominios mallados en triángulos

. . . . . . . . . . . . .

11.Interpolaci´ on. Curvas B´ ezier 11.1. Interpolaci´ on polinómica . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Interpolaci´ on polinómica de Lagrange . . 11.1.2. Existencia del polinomio de interpolaci´ on 11.1.3. Fórmula de Newton . . . . . . . . . . . . 11.1.4. Análisis del error de interpolaci´ on . . . . 11.2. Extensiones adicionales . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1. Interpolaci´ on de Hermite . . . . . . . . . 269

171 . 171 . 173 . 174 . 174 . 178 . 179 . 179 . 183 . 185 . 186 . 192 . 193 . 195 . 196 . 196

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207 . 207 . 207 . 213 . 215 . 219 . 220 . 221 . 221 . 223 . 231 . 233 . 233 . 234

. . . . . . .

239 . 239 . 239 . 240 . 242 . 249 . 252 . 252

11.2.2. Interpolaci´ on de funciones peri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.2.3. Interpolaci´ on polinómica a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.3. Curvas Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

B o r r a d o r 270

B o r r a d o r Índice de comandos de Matlab [], 30 %, 10 |, 32 &, 32 ’, 57 .’, 58 ./, 24 /, 24 <, 32 <=, 32 ==, 32 >, 32 >=, 32 @, 110 \, 24 \., 24 ~=, 32 :

def. de vectores, 27 selección de submatrices, 28

abs, 13 acos, 15 acosh, 15 acot, 15 acsc, 15 angle, 13 ans, 11 area, 218 asec, 15 asin, 15 asinh, 15 atan, 15 atanh, 15 axis, 211, 213 bar, 218 bar3, 218 barh, 218

blkdiag, 57 break, 31 ButtonDownFcn, 216 celldisp, 167 chol, 49 cholinc, 100 cla, 211 clabel, 230 clear, 18 clf, 211 collect, 161 colorbar, 223 colormap, 223 cond, 63 continue, 31 contour, 229 contourf, 229 conv, 150, 155 cos, 10, 15 cosh, 15 cot, 15 csc, 15 cylinder, 228 daspect, 223 dblquad, 132 dct, 147 deconv, 155 det, 24 diag, 55 dot, 60, 63 dsolve, 161 dst, 147

edit, 19 eig, 193 eigs, 193 ellipsoid, 228

271

else, 33 elseif, 34 end con for, 30 con if, 33 con while, 35 en arrays, 35 eps, 20 exp, 15 expand, 161 eye, 26 ezcontour, 231 ezcontourf, 231 ezmesh, 231 ezmeshc, 231 ezplot, 218 ezplot3, 231 ezpolar, 218 ezsurf, 231 ezsurfc, 231

hilb, 26 hold, 207 i,j, 13 idct, 147 idst, 147 if, 33 ifft, 147 ifourier, 160 ilaplace, 160 inf, 12 initmesh, 236 inline, 107 input, 110 inv, 24 invhilb, 26 isempty, 91, 174

B o r r a d o r factor, 161 factorial, 111 feval, 109 fft, 147 figure, 207 fill, 218 fontangle, 212 fontname, 212 fontsize, 212 fontweight, 212 for, 30 format, 12 fourier, 160 full, 65 function, 20 gca, 215 gcf, 215 get, 213 ginput, 256 grid, 211 gtext, 257 help, 14 helpwin, 14 hess, 193

laplace, 160 legend, 211 length, 25 limit, 160 line, 218 linspace, 27 load, 18 log, 15 log10, 10, 15 log2, 15 logical, 33 loglog, 218 lookfor, 14 lu, 49

maple, 162 max, 42, 61 mesh, 230 meshc, 230 meshgrid, 221 meshz, 230 mhelp, 162 min, 61 mldivide, 25 mod, 146 mrdivide, 25 NaN, 12

en dibujos, 223

272

nargin, 66 nargout, 66 nnz, 65 norm, 62 num2str, 149

roots, 157 rotate, 212 save, 18 schur, 191 sec, 15 semilogx, 218 semilogy, 91, 218 set, 213 sign, 15 simple, 161 simplify, 161 sin, 10, 14, 15 sinh, 15 size, 25 solve, 161 spalloc, 65 sparse, 64 spdiags, 66 speye, 66 sphere, 228 spline, 255 splinetool, 255 spones, 66 sprand, 66 sprandn, 66 spy, 65 sqrt, 11 stairs, 218 stem, 218 str2num, 149 subplot, 217 sum, 61 surf, 221 EdgeAlpha, 225 EdgeColor, 225 FaceAlpha, 225 FaceColor, 225 LineStyle, 225 LineWidth, 225 Marker, 225 MarkerEdgeColor, 225 MarkerSize, 225 MeshStyle, 225 surfc, 230 surfl, 230

B o r r a d o r ones, 26

pascal, 26 patch, 218 pbaspect, 223 pcg, 100 pcolor, 229 pdetool, 236 pi, 12 plot, 110, 205 color, 208 LineWidth, 208 Marker, 208 MarkerEdgeColor, 208 MarkerFaceColor, 208 MarkerSize, 208 plot3, 219 plotyy, 218 polar, 218 poly, 157 polyder, 161 polyfit, 246 polyint, 161 polyval, 156 power, 15 ppval, 255 profile, 181 qr, 49, 188 quad, 132 quadl, 132 quiver, 231 quiver3, 231

rank, 63 rcond, 63 realmax, 20 realmin, 20 refinemesh, 236 reshape, 60 return, 20

273

Matlab en 5 Lecciones de Numerico

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