INTÉRÊTS SIMPLES, INTÉRÊTS COMPOSÉS I.
Résoudre Résoudre un exercice d’intérêts simples :
Exemple : on place un capital de 8 000 pendant 72 jours au taux annuel de 6,5 %. Calculer l’intérêt et la valeur acquise à l’issue du placement. • Méthode : on utili ut ilise se la formule I = C t n avec : I : intérêt C : capital placé t : taux n : nombre de périodes t aux périodique périodique tauxannuel tauxannuel n en mois ⇒ t = Remarque : n en jours ⇒ t = 360 12 •
Enfin : •
Valeur acquise = Capital + Intérêts
Solution :
II.
=
8 000 ×
0,065
× 72 360 Valeur acquise : 8 000 + 104 = 8 104
I
=
104
Comparer deux placements placements à intérêts simples :
Exemple : on possède un capital de 1 800 . Deux options de placement sont proposées : - pas de frais, taux annuel de 5 % - 40 de frais fixe pris sur le capital, taux annuel de 9 % x) et g ( x x) pour chaque option après x jours de placement, Exprimer les valeurs acquises f ( x •
pour x ∈ [ 0 ; 300 ] . Rep Repré rése sen nter graph graphiiquem quemen ent. t. Com Compa pare rerr les les plac placem emen ents. ts.
Solution : premier placement : •
f ( x ) = 1800 + 1800 ×
0,05 360
1950
x
1900
f ( x ) = 0, 25 x + 1800
s o 1850 r u E n 1800 e . A . V 1750
deuxième placement placement : g ( x ) = 1760 + 1760 ×
0,09 360
x
g ( x ) = 0,44 x + 1760
f(x) g(x)
1700
L’abscisse x de l’intersection est donnée par 211 l’équation f ( x ) = g ( x ) , c’est-à-dire : 1650 0 50 100 150 200 250 0,25 x + 1800 = 0,44 x + 1760 Durée en jours 0,44 x − 0,25 x = 1800 − 1760 40 = 210,52 ⇒ x ≈ 211 0,19 x = 40 ⇒ x = 0,19 e Conclusion : à partir du 211 jour, le deuxième placement g ( x ) est plus intéressant.
300
350
III. Calculer la valeur acquise à intérêts composés composés •
•
Exemple : Calculer la valeur acquise d’un capital de 8 000 placé pendant 5 ans au taux annuel de 6,5 %. En déduire le montant des intérêts. (capitalisation annuelle) n Méthode : on utili ut ilise se la formule Cn = C0 (1 + i ) avec : C n : valeur acquise
•
Solution : C 5
=
C 5
=
8 000 × 1,0655
C 0 : capital placé
8 000 (1 + 0,06 065) ≈
I = 10 960,69 − 8 000
FI_INT1.DOC
10 960,69 • =
2 960,69 •
5
i : taux périodique
n : nombre de périodes
IV. Calculer un taux à intérêts composés :
•
Exemple : Un capital de 12 000 est placé pendant 4 ans ; la capitalisation des intérêts est mensuelle. A l’issue du placement, la valeur acquise se monte à 15 245,87 Calculer le taux mensuel im de l’intérêt. 1
C • Méthode : C = C0 (1 + i ) ⇔ = (1 + i ) ⇔ 1 + i = C 0 C 0 • Solution : n étant le nombre de mois on a ici n = 4 × 12 = 48. C n
n
n
n
n
m
n
m
m
15 245,87 = 12 000(1+ im )
On a l’équation
48 1
48
15 245,87
D' où
(1+ i )
Ce qui donne
1+ im = 1,005 et donc
V.
m
=
12 000
15 245,87 12 000
⇒
im
48
1+ im =
= 0,005= 0,5% par mois.
Calculer un taux équivalent à intérêts composés :
•
Exemple : Un capital C 0 est placé pendant n années, au taux annuel de 4 %. Calculer le taux équivalent trimestriel it . • Solution : on utilise la formule Cn = C0 (1 + i ) n . Le nombre de trimestres de placement étant égal à 4 × n , on a l’équation : 4n
= C0 (1 + i ) = C0 (1 + i ) 4 Soit ici : C = C0 (1,04 ) = C0 (1 + i ) 4 4 D’où : (1 + i ) = (1,04) ⇔ (1 + i ) = 1,04 n
Cn
t
n
n
n
t
n
n
t
t
1
1 + it = (1,04) 4 ≈ 1,00985 it ≈ 0,00985 = 0,985 % par trimestre. 4% Ne pas confondre avec le taux proportionnel qui vaut ici 4 Et : On en déduit
= 1%
par trimestre.
VI. Calculer la durée d’un placement à intérêts composés :
•
Exemple : Un capital de 7 000 est placé à un taux annuel de 6 %. La capitalisation des intérêts est mensuelle. La valeur acquise se monte à 10 642,59 Calculer en mois puis en années, la durée du placement (utiliser les taux proportionnels). • Méthode : on part de la formule des intérêts composés C n
= C0 (1 + i ) ⇔ (1 + i ) =
•
Solution : le taux mensuel proportionnel vaut
n
n
C 0
⇔ ln(1 + i ) = ln
C n
Cn
n
C 0
⇔ n ln(1 + i ) = ln
6%
0,06
C 0
⇔n=
C n C 0
ln(1 + i )
= 0,005 12 12 n Ici on a l’équation : 10 642,59 = 7 000(1+ 0,005) 10 642,59 (1 + 0,005) n = D’où : 7 000 10 642,59 10 642,59 n On passe en logarithmes : ln(1+ 0,005) = ln ⇒ n ln(1,005) = ln 7 000 7 000 10 642,59 ln ln(10 642,59 ) − ln( 7000) 7 000 D' où = ⇒ n = 84 mois, soit 7 années. n= ln(1,005) ln(1,005) FI_INT1.DOC
=
C n
ln
