Determinación Determinación de Vigas y Columnas De acuerdo al esquema que se entrega a continuación, determine las vigas v igas y columnas c olumnas apropiadas apropiadas para que sostengan la losa de la figura.
Datos Largo de la losa
Calidad del Acero: A3724ES
Ll := 4m
Ancho de la losa
Hl := 4m
Espesor de losa
hl := 10cm
Altura de la losa
Ht := 2.8m
Peso específico hormigón armado
mm
2
CS := 2.5
Acero: γh := 2400
kgf m
Peso propio de la losa
kgf
Sy := 24
Pp := γh ⋅ Ll ⋅ Hl ⋅ hl
3
E := 200GPa δmax =
L 300
Pp = 3840 3840⋅ kgf kgf
Cargas En las construcciones existen dos tipos de cargas, las de tipo permanente y las de sobrecarga. a) Las de tipo permanente están constituidas por la suma de los pesos de la estructura, tabiques, hormigones, maderas, etc. El peso de la estructura en edificios de 3 ó 4 pisos es aproximadamente de 10 a 15 kgf por metro cúbico. De 10 pisos, 25 a 30 kgf/m3 . y en rascacielos hasta 50 kgf/m3
Tabla de pesos propios de diferentes materiales Peso específico (kgf/m3)
Material
Acero laminado
7860
Madera de acuerdo a calidad y humedad Piedra natural
600 a 1000 2500 a 2800
Ladrillo cerámico
1800
Ladrillo corriente
1300
Hormigón
Hormigón armado
2200
2400
b) La sobrecarga está constituída por las personas, el mobiliario, los productos que se almacenan, la nieve, etc. O sea por todo aquello que se pueda cambiar de lugar. Tabla para diferentes tipos de sobrecarga Tipo Azoteas Nieve en azoteas horizontales
Sobrecarga (kgf/m2) 150
75
Viviendas
150 - 250
Edificios públicos
250 - 300
Salas de espectáculos
400 - 500
Garajes (automóviles)
350 - 400
Aumentos de la sobrecarga: Cuando la estructura tenga que soportar efectos dinámicos producidos por maquinaria, se aumentará la sobrecarga en un 25% Cuando las salas de reuniones y espectáculos, las personas se levantan al mismo tiempo, se aumentará la sobrecarga en un 50% Reducción de la sobrecarga: En los edificios para vivienda de varios pisos se podrá hacer una reducción de la sobrecarga en los soportes según las normas siguientes: Cubierta y dos pisos
0%
reducción
Cubierta y tres pisos
10%
reducción
Cubierta y cuatro pisos
20%
reducción
Cubierta y cinco pisos
30%
reducción
Cubierta y seis pisos
33%
reducción
Con los datos anteriores supondremos que el destino de la losa será para equipos, consideraremos para ello la sobrecarga como un automóvil. Sc := 350
kgf m
2
luego
Psc := Ll ⋅ Hl ⋅ Sc
Luego la carga total estará definida como
Psc
=
Pt := Pp + Psc
5600⋅ kgf Pt
=
9440⋅ kgf
Área tributaria: El concepto de área tributaria se aplica a las cargas que serán soportadas por el elemento en estudio, el área que debe soportar la viga a determinar, se denomina área tributaria.
Esta carga se debe expresar como carga por unidad de longitud, para ello se hace el siguiente arreglo: a :=
Hl 2
q=
Pt Hl
Hl = 2 ⋅ a
q :=
Pt 2⋅a
q = 2360 ⋅
kgf m
o sea, La carga sobre la losa dividido en el ancho del área tributaria.
La forma en que está dispuesta la viga en estudio es según el esquema:
La viga en estudio, será la central ya que es la que presenta la mayor exigencia. Esto se representa según el dibujo siguiente:
∑ Fy = 0
R1s + R2s
−
q ⋅ Ll = 0
y
∑ 1
2
M=0
−q ⋅
Ll
2
+
R2s⋅ Ll = 0
R2s :=
q ⋅ Ll 2
R1s := q ⋅ Ll − R2s
R2s = 4720⋅ kgf R1s = 4720⋅ kgf
Adimensionalización de variables (esto se hace porque los gráficos deben ser adimensionales en mathcad) (una cojera que tiene el software) Ll
Ll :=
R1s
R1s :=
m
R2s :=
kgf
R2s
q := q ⋅
kgf
m kgf
2
x := 0 , 0.1 .. Ll
M ( x)
:=
R1s ⋅ x − q ⋅
x
V ( x) =
2
d dx
M ( x)
V ( x) := R1s
−
q ⋅x
Diagrama de Fuerzas cortantes 6×10 2×10
3
3
V( x) −
2×10
−
6×10
3
3
0
1
2
3
4
3
4
x
Diagrama de momentos 5×10 4×10 3×10 M( x) 2×10 1×10
3 3 3 3 3
0
0
1
2 x
R1s 2 ⋅x θ ( x) = 2
3
x
q⋅
−
6
−
y( 0) = 0
C2 = 0
0=
6
3
⋅ Ll
C1 :=
θ ( x)
:=
24
q⋅
x
24
+
C1 ⋅ x + C2 y ( Ll) = 0
4
−
3
Ll ⋅ q
C1
4
R1s 3 ⋅x y( x) = 6
R1s
+
q⋅
Ll
+
24
C1 ⋅ Ll
2
−
R1s 2 ⋅x 2
Ll ⋅ R1s
3
C1 = −6.293 × 10
6 3
−
q⋅
x
6
+
C1
y ( x)
:=
R1s 3 ⋅x 6
4
−
q⋅
x
24
+
C1 ⋅ x
Diagrama de la elástica (ángulo de la viga deformada) 4
1×10
3
5×10 θ( x)
0 3
−
5×10
−
1×10
4
0
1
2
3
4
3
4
x
Ecuación de la viga, deformación 0
y( x)
3
−
2×10
−
4×10
−
6×10
−
8×10
3 3 3
0
1
2 x
Ll := Ll ⋅ m
x :=
R1s q
R1s := R1s⋅ kgf R2s := R2s ⋅ kgf
Sy CS
kgf
Dimensionalización, para volver a calcular.
m
2
x = 2m
M ( x)
:=
R1s ⋅ x − q ⋅
V ( x)
:=
R1s
θ ( x)
:=
R1s 2 ⋅x 2
:=
R1s 3 ⋅x 6
y( x)
σ :=
q := q ⋅
σ
=
9.6 ⋅
kgf mm
2
De la ecuación de Navier
−
x
M ( x)
2
4720 ⋅ kgf ⋅ m
q ⋅x 3
−
q⋅
3
x
6
−
q⋅
+
24
V ( x)
=
0 ⋅ kgf
θ ( x)
=
0 ⋅ kgf ⋅m
6 Ll ⋅ R1s
y ( x)
= −7866.667 ⋅ kgf ⋅ m
2
2
−
6
⋅x
kgf mm
Mfmax⋅ c Ixx
Ll ⋅ R1s −
Ll3 ⋅ q
x
24
24
Mfmax := M ( 2m)
2
Ll ⋅ q +
4
E = 20394.32⋅
σ=
=
2
se define el módulo resistente
Wxx =
Ixx c
3
luego
Mfmax
σ=
Mfmax Wxx :=
Wxx
3
Valor a buscar en tablas
Wxx = 491.67⋅ cm
σ
Con este dato se selecciona el perfil IPE 300 4
3
Ixx := 8360cm
Wxx := 557cm
Pv := 42.2
kgf
h := 300mm
m
c :=
e := 10.7mm Mfmax⋅ c
σs :=
σs
Ixx
=
kgf
8.469 ⋅
mm
σs
2
<
h 2
b := 150mm
t := 7.1mm
σ
Con el dato de la viga elegida, se procede a recalcular usando ahora el peso propio de la viga. Este procedimento es para comprobar si el peso propio influye o no en el perfil seleccionado. Se redefine un nuevo valor para q
q := q
+
Pv
q = 2402.2 ⋅
q ⋅ Ll
R2s :=
kgf m
R2s = 4804.4⋅ kgf
2
R1s := q ⋅ Ll − R2s
R1s = 4804.4⋅ kgf
2
M ( x)
R1s ⋅ x − q ⋅
:=
V ( x) := R1s
θ ( x)
y( x)
−
x
M ( x)
2
:=
:=
R1s 3 ⋅x 6
3
−
q⋅
3
x
+
6 4
−
q⋅
x
+
24
σs
Ixx
δmax :=
E ⋅Ixx Ll 300
6 Ll ⋅ R1s
0 ⋅ kgf
θ ( x)
=
0 ⋅ kgf ⋅m
y ( x)
= −8007.333 ⋅ kgf ⋅ m
=
R1s 6
3
−
8.62 ⋅
⋅x
4
−
q⋅
x
24
2
2
6
⋅x
+
24
δmax = 13.33 ⋅ mm
σs
2
Ll3 ⋅ q
3
Todavía sirve la misma viga.
kgf mm
⋅
=
3
Mfmax⋅ c
:=
Ll3 ⋅ q 24
V ( x)
Wxx = 500.46⋅ cm
σ
1
Ll ⋅ R1s −
24
Mfmax := M ( 2m)
2
Ll ⋅ q
Mfmax Wxx :=
y( x)
4804.4⋅ kgf⋅ m
q ⋅x
R1s 2 ⋅x 2
σs :=
=
<
kgf
σ = 9.6 ⋅
σ
mm Ll ⋅ R1s 2
−
6
2
Cumple por esfuerzo
⋅x
δmax > y ( x)
y ( x)
= −4.696 ⋅ mm
y ( x)
=
4.696 ⋅ mm
Cumple por deformación
Análisis para la viga Principal La situación física se puede modelar de la siguiente manera:
Modelación
Lo que nos permite escribir la ecuación de momentos, pero antes de debe encontrar los valores de las reacciones
∑
Fy = 0
R1p + R2p −
R1s 2
R1s
−
R1s −
2
qp ⋅ Hl = 0
−
y
∑M=0
−R1s ⋅ a −
R1s 2
⋅ Hl +
R2p⋅ Hl
−
qp ⋅
Hl
2
2
=0
1
qp := 1
kgf m R2p :=
R1p :=
Peso propio provisorio de la viga qp ⋅ Hl
2
+
R1s⋅ Hl
+
2 ⋅ R1s⋅ a
R2p = 4806.4 ⋅ kgf
2 ⋅ Hl R1s 2
+
R1s +
R1s 2
+
qp⋅ Hl
−
R2p
R1p = 4806.4 ⋅ kgf
R1s
V ( x) = R1p −
2
M ( x) = R1p ⋅x R1p 2 ⋅x θ ( x) = 2 R1p 3 y( x) = ⋅x 6
−
R1s
−
2
qp ⋅ x − R1s ⋅ ( x − a)
0
2
⋅x −
−
R1s 2 ⋅x 4
−
R1s 3 ⋅x 12
qp ⋅
x
−
2
R1s ⋅ ( x − a)
3
−
qp ⋅
x
R1s
−
6
2
4
−
qp ⋅
x
24
R1s −
6
⋅( x −
a)
⋅( x −
a)
2
3
+
C1
+
C1 ⋅ x + C2
Condiciones de borde y( 0) = 0
C1 :=
C2 = 0
R1s⋅ a
2
3
+
2
y ( Hl) = 0
R1p − Hl ⋅ 6
Hl ⋅ qp
2
24
0=
R1s
−
4
−
R1p 6
R1s⋅ a
⋅ Hl
3 −
6 ⋅ Hl
3
−
R1s 12
⋅ Hl
3
−
qp ⋅
Hl ⋅R1s ⋅ a
Hl
4
24
−
R1s 6
⋅ ( Hl −
a)
3
+
C1 = −4807.067⋅ kgf ⋅ m
2
C1 ⋅ Hl
2
Diagramas
Adimensionalización de variables (ya se sabe por qué) Ll :=
C1 :=
Ll
Hl
Hl :=
m
R1s⋅ a
m
2
2
R1s :=
3
+
R1s kgf
R1p − Hl ⋅ 6
Hl ⋅ qp
2
24
R2s
R2s :=
kgf
R1s
−
4
−
R1p :=
R1s⋅ a 6 ⋅ Hl
x1 := 0 , 0.1 .. a V1 ( x1)
M1(x1)
R1s
:=
R1p −
:=
R1p ⋅ x1 −
θ1( x1)
:=
y1( x1)
:=
R1p 2 R1p 6
2
2
⋅ x1
3
⋅ x1
−
qp⋅ x1
R1s 2 −
−
2
⋅ x1 −
R1s 4 R1s 12
2
⋅ x1
3
⋅ x1
qp ⋅
x1 2
3
−
qp ⋅
−
qp ⋅
x1 6
+
C1
+
C1 ⋅ x1
4
x1
24
R1p
R2p :=
kgf
3 −
Hl ⋅R1s ⋅ a 2
R2p kgf
qp := qp ⋅
m kgf
C1 = −4807.067
a :=
a m
x2 := a , a V2 ( x2)
M2(x2)
θ2( x2)
y2( x2)
0.1 .. Hl
+
R1p −
:=
R1s
R1p ⋅x2 −
:=
R1p :=
2 R1p
:=
6
−
2
2
⋅ x2
3
⋅ x2
qp⋅ x2 − R1s
R1s 2
2
⋅ x2 −
R1s −
4 R1s
−
12
2
⋅ x2
3
⋅ x2
qp ⋅
x2 2
−
R1s ⋅ ( x2 − a)
3
−
qp ⋅
x2 6
R1s −
4
−
qp ⋅
x2
24
2 R1s
−
6
⋅ ( x2 −
a)
⋅ ( x2 −
a)
2
3
+
C1
+
C1 ⋅ x2
Diagrama de fuerzas cortantes 3
3×10
3
2×10
3
1×10 V1( x1)
0
V2( x2)
3
−
1×10
−
2×10
−
3×10
3
3
0
1
4×10 3×10 M1( x1) 2×10
M2( x2)
1×10
3
4
3
4
x1, x2
Diagrama de momentos 5×10
2
3
3
3
3
3
0
−
1×10
3
0
1
2 x1, x2
Diagrama de la elástica 3
6×10
3
4×10
3
2×10 θ1 ( x1)
0
θ2 ( x2)
3
−
2×10
−
4×10
−
6×10
3
3
0
1
2
3
4
3
4
x1, x2
Diagrama de deformaciones 2×10
3
0
y1( x1)
−
2×10
−
4×10
−
6×10
−
8×10
y2( x2)
3
3
3
3
0
1
2 x1, x2
Adimensionalización de variables Ll := Ll ⋅ m Hl := Hl ⋅ m R1s := R1s ⋅ kgf qp := qp ⋅
C1 :=
kgf
2
R1p := R1p ⋅ kgf
R2p := R2p ⋅ kgf
a := a ⋅ m
m R1s⋅ a
R2s := R2s ⋅ kgf
2
3
Hl ⋅ qp +
24
−
Hl
2
⋅
R1p 6
−
R1s 4
R1s⋅ a −
6 ⋅ Hl
3
Hl ⋅R1s ⋅ a −
2
C1
= −4807.067⋅ kgf ⋅ m
2
x1 := 2m
V1 ( x1)
R1p −
:=
R1s
M1(x1) := R1p ⋅x1 −
θ1 ( x1)
R1p :=
2 R1p
y1( x1) :=
6
M1(x1)
σ :=
Sy
mm
σ=
⋅ x1 −
−
4 R1s
−
12
2
qp ⋅
⋅ x1
−
Mfmax
x1 2
qp ⋅
x1 6
M1( x1)
=
4806.4 ⋅ kgf ⋅ m
0 ⋅ kgf ⋅m
2
+
C1
θ1( x1)
=
⋅ x1
−
qp ⋅
+
C1 ⋅ x1
y1( x1)
= −6409.2 ⋅ kgf ⋅ m
x1
24
Mfmax := M1 ( x1)
3
Mfmax = 4806.4⋅ kgf ⋅ m
kgf 2
Mfmax⋅ c
se define el módulo resistente
Ixx
Mfmax Wxx :=
Wxx
2402.2 ⋅ kgf
4
3
mm σ=
=
3
2
E = 20394.32⋅
De la ecuación de Navier
luego
2
V1 ( x1) 2
4806.4 ⋅ kgf ⋅ m
kgf
σ = 9.6 ⋅
CS
=
⋅ x1
⋅ x1
R1s
R1s
2
3
qp ⋅ x1
−
2
3
Ixx c
Valor a buscar en tablas
Wxx = 500.67⋅ cm
σ
Wxx =
Con este dato se selecciona el perfil IPE 300 4
3
Ixx := 8360cm
Wxx := 557cm
Pv := 42.2
kgf
h := 300mm
m
c :=
e := 10.7mm σs :=
Mfmax⋅ c
σs
Ixx
=
kgf
8.624 ⋅
mm
Se redefine un nuevo valor para q
σs
2
R2p :=
R1p :=
C1 :=
2
2
3
Hl ⋅ qp +
24
R1p − Hl ⋅ 6 2
−
2
R1s 4
t := 7.1mm
+
R1s⋅ Hl
+
m
2 ⋅ R1s⋅ a
R2p = 4888.8 ⋅ kgf
2 ⋅ Hl R1s
+
R1s +
R1s⋅ a −
b := 150mm
kgf
qp = 42.2 ⋅
qp⋅ Hl
2
σ
qp := Pv 2
R1s⋅ a
<
h
6 ⋅ Hl
3
R1s 2
+
qp ⋅ Hl
Hl ⋅R1s ⋅ a −
2
−
R2p
R1p = 4888.8 ⋅ kgf
C1
= −4916.933⋅ kgf ⋅ m
2
x1 := 2m
V1 ( x1)
R1p −
:=
R1s
θ1 ( x1)
:=
2 R1p
y1( x1) :=
M1(x1) Mfmax Wxx :=
y( x1)
σs
Ixx
δmax :=
Hl 300
R1s
−
⋅ x1
2
⋅ x1
4 R1s
3
−
12
3
⋅ x1
4888.8 ⋅ kgf ⋅ m
=
8.772 ⋅
qp ⋅
2
R1p ⋅
6
3
⋅ x1
R1s −
12
3
⋅ x1
δmax = 13.33 ⋅ mm
2402.2 ⋅ kgf
M1( x1)
=
4888.8 ⋅ kgf ⋅ m
−
qp ⋅
6
0 ⋅ kgf ⋅m
2
+
C1
θ1( x1)
=
+
C1 ⋅ x1
y1( x1)
= −6546.53 ⋅ kgf ⋅ m
4
qp ⋅
−
x1
24
3
Mfmax = 4888.8⋅ kgf ⋅ m
Todavía sirve la misma viga.
σs
2
<
σ
σ
=
kgf
9.6 ⋅
mm qp ⋅
x1
24
2
Cumple por esfuerzo
4
−
=
3
x1
Mfmax := M1 ( x1)
kgf mm
1 E ⋅Ixx
⋅ x1 −
3
Mfmax⋅ c
:=
=
⋅ x1
2
V1 ( x1) 2
x1
Wxx = 509.25⋅ cm
σ
σs :=
6
2
qp ⋅ x1
R1s
M1(x1) := R1p ⋅x1 − R1p
−
2
+
C1 ⋅ x1
δmax > y ( x)
y ( x)
= −3.84 ⋅ mm
y ( x)
=
3.84 ⋅ mm
Cumple por deformación
Análisis para las columnas Sy
=
kgf
24 ⋅
mm
kgf
E = 20394.32⋅
2
mm
P = 4888.8⋅ kgf
CS = 2.5
2 σ :=
l := Ht − hl − 2 ⋅ 300mm Sy
σ
CS
=
9.6 ⋅
l = 2.1 m
C := 1.2
kgf mm
2
2
Determinación de λ 1
λ 1 :=
2 ⋅π ⋅C ⋅E Sy
Del catálogo de columnas se elige: H := 100mm Pp := 20.4
ky :=
B := 100mm
kgf
Pt := Pp ⋅ l
m
Iyy A
ky = 2.534⋅ cm
λ 1
=
si:
141.87
Pc P
=
10.587
σc :=
P A
=
e := 10mm Pt
=
t := 6mm
El perfil elegido es apropiado.
k :=
l λ
k
=
1.48 ⋅ cm
A := 26cm
kx :=
kgf mm
2
2
4
Ixx := 450cm
Iyy := 167cm
4
42.84 ⋅ kgf Ixx A
kx
=
Sy ⋅ λ ⋅ 1 Sy − 2 ⋅ π C ⋅ E
1.88 ⋅
λ := λ 1
HEB IPB100
4.16 ⋅ cm
2
columna intermedia
P := R1p
CS :=
σc = 19.907 ⋅
λ :=
kgf mm
Sy P A
CS = 12.764
2
l ky
λ = 82.861
Pc := σc ⋅ A
Pc = 51757.57⋅ kgf
