Mathcad - Ejercicio 1

Mecánica de MaterialesII Teorías de Falla Estatica

Teorías de Falla Estática

1. Para la barra mostrada en la figura calcular el estado de esfuerzos en el punto critico y calcular el factor de seguridad en forma analítica y grafica. Primero, considerar que esta fabricada de un material ductil. Luego, considerar que esta fabricada de un material fragil. Caracteristicas geometricas D  20mm L  100mm

Estado de cargas F  0.6kN P  2kN T  220N m

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1


Estado de esfuerzos Estado de esfuerzos en el punto critico (Punto A) 4P

σx 



2

3

 82.761 MPa

πD

πD

16 T

τxz 

32 F L

3

 140.056  MPa

πD

Tensor de esfuerzos σx  82.761 MPa

τxy  0

σy  0

τyz  0

σz  0

τxz  140.056  MPa

 σx  σ   τxy τ  xz

τxy τxz 

  82.761 0 140.056  σy τyz   0 0 0  MPa    140.056 0 0  τyz σz  

Esfuerzos principales Lo esfuerzos principales se calcular con las ecuaciones del circulo de mohr

2

 σx  σ1      τxz2  187.422  MPa 2  2 σx

σ2  0

2

 σx  σ3      τxz2  104.661  MPa 2  2 σx

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2


Circulos de Mohr

C1 

C2 

C3 

σ2  σ3 2 σ1  σ3 2 σ1  σ2 2

 52.331 MPa

R1 

 41.38  MPa

R2 

 93.711 MPa

R3 

σ2  σ3 2 σ1  σ3 2 σ1  σ2 2

 52.331 MPa

 146.041  MPa

 93.711 MPa

θ  0deg 0.1deg  360deg

Esfuerzos cortantes

Circulos de Mohr

6

100 10

6

50 10

0

0 10 6  100 10

0

0 10

6

100 10

Esfuerzos normales Plano 1-2 Plano 1-3 Plano 2-3

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3


1.1 Factor de seguridad como material ductil Se considerara que la barra esta hecha de acero AISI 1006 estirado al frio

Propiedades mecanicas Sy  280MPa

1.1.1 Teoria del esfuerzo cortante maximo - Tresca σeq1 

σ1  σ3

if σ1  0  σ3  0



max σ1  σ3

FS 1 

Sy σeq1



 292.083 MPa

otherwise

 0.959

1.1.2 Teoria de la energia de distorsion maxima - Von Mises 1

σeq2 

FS 2 

2

  σ1  σ2 

Sy σeq2





2



 σ2  σ3





2

 σ1  σ3

   256.314 MPa 2

 1.092

Teorias de falla - Metodo grafico Tresca  0     Sy  S   y X2   0   S   y  Sy     0 

 Sy     Sy   0    Y2   Sy   S   y  0  S   y [email protected]

4


Teoria del esfuerzo cortante maximo - Tresca

Estado de esfuerzos Tresca Von Mises b 

2 3

 Sy

a 

2  Sy

X3 ( θ)  a cos( 45 deg)  cos( θ)  b  sin( 45 deg)  sin( θ) Y3 ( θ)  a sin( 45 deg)  cos( θ)  b  cos( 45 deg)  sin( θ) θ  0 0.001deg  360deg

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5


Teoria de la energia de distorsion maxima - Von Mises

Estado de esfuerzos Von mises

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6


Comparacion de teorias


Estado de esfuerzos Tresca Von Mises 1.2 Factor de seguridad como material fragil Se considerara que la barra esta hecha de fundicion de hierro ASTM

Propiedades mecanicas Sut  30ksi  206.843  MPa

Suc  100ksi  689.476  MPa

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7


1.2.1 Teoria de la friccion interna - Mohr Coulomb  σ1 σ3  FS 3      Sut Suc  otherwise Sut σ1 Suc σ3

if

1

if σ1  0  σ3  0

 0.945

σ1  σ3

otherwise

1.2.2 Teoria de la friccion interna - Mohr Coulomb Modificado   Suc  Sut  σ1 σ3  FS 4     Suc  Sut Suc  otherwise Sut σ1 Suc σ3

if

1

σ3 if σ1  0  σ3  0  1 σ1

 1.104

σ1  σ3

otherwise

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8


Teorias de falla - Metodo grafico Mohr Coulomb  0     Sut  S   ut  X4   0   S   uc   Suc     0 

 Sut     Sut   0    Y4   Suc   S   uc   0  S   ut 

Teoria de la friccion interna - Mohr Coulomb

Estado de esfuerzos Mohr Coulomb

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9


Mohr Coulomb Modificado  0   Sut  S   ut   0  X5    S  uc   Suc     Sut   0   

 Sut     Sut   S   ut   Suc  Y5     Suc   0     Sut  S   ut 

Teoria de la friccion interna - Mohr Coulomb Modificado

Estado de esfuerzos Mohr Coulmb Modificado

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10




Estado de esfuerzos Mohr Coulomb Mohr Coulomb Modificado

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11


Comparacion de materiales

Estado de esfuerzos Tresca Von Mises Mohr Coulomb Mohr Coulomb Modificado

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12


2. Use las teorias de Tresca y la de Von Mises para determinar el diametro mínimo de la barra para un factor de seguridad de 2 Se trabaja con las ecuaciones de esfuerzo para dejar los esfuerzos principales en funcion del diametro.

σx =

4P 2



(1)

3

πD

πD

τxz =

32 F L

16 T

(2)

3

πD

2

 σx  σ1 =     τxz2 2  2 σx

(3)

2

 σx  σ3 =     τxz2 2  2 σx

(4)

Con (1) y (2) en (3) se obtiene:

σ1 =

2P 2



16 F L 3

πD

πD

2

2

2

2

16 F L  16 T  2P     2   3 3 πD   πD  πD 

(5)


σ3 =

2P 2

πD



16 F L 3

πD



 2P  16 F L    16 T   2  3 3  πD   πD  πD 

[email protected]

(6)

13


2.1 Teoria del esfuerzo cortante maximo - Tresca Se trabaja con las ecuaciones de esfuerzos equivalentes para dejarlas en funcion del diametro. σeq = σ1  σ3

(7)


2

σeq = 2

 2P  16 F L    16 T   2  3 3  πD   πD  πD 

2

(8)

Finalmente, se usa la ecuacion del factor de seguridad igual a 2 para obtener el diametro requerido Sy

2=

2

2

 2P  16 F L    16 T   2  3 3  πD   πD  πD 

2

(9)

Como no se puede despejar directamente el valor del diametro se debe realizar un proceso iterativo con la ecuacion (9) hasta que se alcanze un valor aproximado.

Dn  1mm Given Sy

2=

2

16 F L  16 T  2P  2       π Dn2 π Dn3   π Dn 3     

2

 

Dnuevo  Find Dn  25.571 mm [email protected]

14


2.2 Teoria de la energia de distorsion maxima - Von Mises Se trabaja con las ecuaciones de esfuerzos equivalentes para dejarlas en funcion del diametro. σeq =

σ1

2

 

 σ3

2

 σ1  σ3

(10)

Finalmente, se usa la ecuacion del factor de seguridad igual a 2 para obtener el diametro requerido

2=

Sy

σ12  σ32  σ1 σ3

(11)

Como no se puede despejar directamente el valor del diametro se debe realizar un proceso iterativo con las ecuaciones (5), (6) y (11) hasta que se alcanze un valor aproximado.

Dn  24.48mm

σ1 

2P π Dn

σ3 

2P π Dn

FS 

2

2



16 F L π Dn



3

16 F L π Dn

3





σ1

 

 σ3

2

2

2

 2P  16 F L    16 T   56.797 MPa  π Dn 2 π Dn 3   π Dn3     

Sy 2

2

 2P  16 F L    16 T   102.706  MPa  π Dn 2 π Dn 3   π Dn3     

2 2

 σ1  σ3

Dnuevo  Dn  24.48  mm

[email protected]

15


3. Use las teorias de Mohr Coulomb y la de Mohr Coulomb Modificado para determinar el torsor mínimo en la barra para un factor de seguridad de 2 Se trabaja de manera analoga al procedimiento anterior y se obtienen las mismas expresiones (5) y (6)

3.1 Teoria de la friccion interna - Mohr Coulomb Finalmente, se usa la ecuacion del factor de seguridad igual a 2 para obtener la el torsor requerido

 σ1 σ3  2=     Sut Suc  otherwise Sut σ1 Suc

1

if σ1  0  σ3  0

(12) σ1  σ3

if

otherwise

σ3

Como no se puede despejar directamente el valor del torsor se debe realizar un proceso iterativo con las ecuaciones (5), (6) y (12) hasta que se alcanze un valor aproximado. Tn  27.8N m

σ1 

σ3 =

2P 2



16 F L 3

πD

πD

2P

16 F L

2

πD



3

πD

2

2  16 T  16 F L  n 2P     86.386 MPa  2  3  π D3  πD   πD  

2

2  16 T  16 F L  n 2P    0  2  3  π D3  πD   πD  

[email protected]

16


 σ1 σ3  FS      Sut Suc  otherwise Sut σ1 Suc

1

if σ1  0  σ3  0

2

σ1  σ3

if

otherwise

σ3

Tnuevo  Tn  27.8 N m

3.1 Teoria de la friccion interna - Mohr Coulomb Finalmente, se usa la ecuacion del factor de seguridad igual a 2 para obtener la el torsor requerido

  Suc  Sut  σ1 σ3  2=    Suc  Sut Suc  otherwise Sut σ1 Suc σ3

1

σ3 if σ1  0  σ3  0  1 σ1 (12)

σ1  σ3

if

otherwise

Como no se puede despejar directamente el valor del torsor se debe realizar un proceso iterativo con las ecuaciones (5), (6) y (12) hasta que se alcanze un valor aproximado. Tn  72.6N m

σ1 

2P 2

πD



16 F L 3

πD

2

2  16 T  16 F L  n 2P      103.416 MPa  2  3 3   πD   πD  πD 

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17


σ3 =

2P 2

πD



16 F L 3

πD

2

2  16 T  n 16 F L  2P    0  2  3  π D3  πD   πD  

  Suc  Sut  σ1 σ3  FS     Suc  Sut Suc  otherwise Sut σ1 Suc σ3

if

1

σ3 if σ1  0  σ3  0  1 σ1

2

σ1  σ3

otherwise

Tnuevo  Tn  72.6 N m

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18

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