Cursos: SI e TADS Disciplina: Matemática para Informática - 2º Semestre 2011 Professora: Maria Marta Ribeiro C. Gomes
Unidade 2: Princípios Fundamentais de Contagem Em computação utilizamos apenas conjuntos Enumeráveis (contáveis) . Assim, é necessário revisar as técnicas utilizadas para contar os elementos de conjuntos. ● Combinatória: Ramo da Matemática que trata da Contagem. Aplicações úteis na Computação: ● Quando temos recursos finitos: quantos usuários uma dada configuração de computador pode suportar? ● Quando precisamos de eficiência: quantos cálculos são efetuados por um determinado algoritmo?
1. Princípio da Multiplicação Seja o problema: Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa (R) e outra preta (P), e um entre três chicletes, um amarelo (A), outro verde (V) e outro branco (B). Quantos conjuntos diferentes a criança pode ter? Resolução: Repare que a criança poderá realizar a tarefa optando por duas sequências sucessivas: Escolher primeiro a bala e depois o chiclete (sequência 1), ou escolhendo primeiro o chicletes e depois a bala (sequência 2).
Possibilidades sequência1: {R, A}, {R, V}, {R, B}, {P, A}, {P, V} e {P, B} = 2 x 3 = 6 possibilidades. Possibilidade seqüência 2: {A, R}, {A, P}, {V, R}, {V, P}, {B, R} e {B, P} = 3 x 2 = 6 possibilidades. Note que a ordem se escolha não interfere no número de possibilidades de formação dos conjuntos. Princípio da Multiplicação: Se existem
n1
resultados possíveis para um primeiro evento e
n2
para um
segundo, então existem n1 . n2 resultados possíveis para a seqüência dos dois eventos. Obs.: Este princípio é útil sempre que quisermos contar o número total de possibilidades para uma tarefa que pode ser dividida em uma sequência de etapas sucessivas. Exemplo 1: A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números de
quatro dígitos existem? Podemos construir números de quatro dígitos através de uma seqüência de tarefas: escolher o primeiro dígito, depois o segundo, depois o terceiro e, finalmente, o quarto. Existem 10 escolhas possíveis para cada um dos quatro dígitos (de 0 a 9). 1
Pelo princípio da multiplicação: existem 10 . 10 . 10 . 10 = 10. 000 números diferentes. Exemplo 2: Com relação ao Exemplo 1, quantos números de quatro dígitos existem se o mesmo dígito não
puder ser repetido? Novamente teremos uma seqüência de tarefas (método da multiplicação). Neste caso, como não pode haver repetição de dígitos teremos a seguinte situação: o primeiro dígito poderá ser escolhido dentro os 10 possibilidades. Já que não pode escolher um dígito igual a outro já escolhido, a possibilidade de escolha vai reduzindo a cada etapa. Logo, existem 10 . 9 . 8 . 7 = 5.040 possibilidades. Exemplo 3:
a) De quantas maneiras podemos escolher três representantes em um grupo de 25 pessoas? Existem três tarefas sucessivas sem repetição. Assim, a primeira escolha tem 25 possibilidades, a segunda 24 e a terceira, 23. O número total de possibilidades é25 . 24 . 23 = 13.800. b) De quantas maneiras podemos escolher três representantes, para três comissões, em um grupo de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão? Neste caso, as tarefas são feitas sucessivamente mas são permitidas repetição. O número total de resultados possíveis é 25. 25 . 25 = 15.625.
2. Princípio da Adição Suponha que queremos escolher uma torta e um bolo quando temos a nossa disposição três tortas e quatro bolos. De quantas maneiras isso pode ser feitos? Resolução: Note que neste caso não se trata de seqüência de eventos . Aqui temos dois conjuntos disjuntos: um com três resultados possíveis (a escolha de uma torta) e outro com quatro resultados possíveis (a escolha de um bolo). O número de escolhas possíveis é o número total dentre as possibilidades dos dois conjuntos: 3 + 4 = 7 possibilidades. Princípio da Adição: Se A e B são eventos disjuntos com
n1
e
n2
resultados possíveis, respectivamente,
então o número total de possibilidades para o evento “A ou B” é n1 + n2. Obs.: Este princípio é útil sempre que quisermos contar o número total de possibilidades para uma tarefa que pode ser dividida em casos disjuntos. Exemplo:
Um consumidor deseja comprar um veículo de uma concessionária. A concessionária tem 23 automóveis e 14 caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem? Resolução: o consumidor pode escolher um carro ou um caminhão (conjuntos disjuntos). A escolha de um automóvel tem 23 possibilidades, e a de caminhão, 14. Pelo princípio da adição, a escolha do veículo tem 23 + 14 = 37 possibilidades.
3. Árvores de Decisão Ilustram o número de possibilidades de um evento baseado em uma série de escolhas possíveis. As árvores das Sequencias 1 e 2 (página 4) nos levam ao princípio da multiplicação, já que o número de 2
resultados possíveis em qualquer nível da árvore é o mesmo em todo o nível. Na Fig. 2, por exemplo, o nível 2 da árvore mostra dois resultados possíveis para cada um dos três ramos formados no nível 1. Árvores de decisão menos regulares podem ser usadas para se resolver problemas de contagem onde o Princípio da Multiplicação não se aplica como no Exemplo 1 a seguir. Exemplo:
Antônio está jogando moedas. Cada jogada resulta em cara (K) ou coroa (C). Quantos resultados possíveis ele pode obter se jogar cinco vezes sem cair duas caras consecutivas. K
C
C
Jogada 1 K
C
C
K
Jogada 2 Jogada 3
K
C
C Jogada 4
K
K
C
C
C
K
C
Jogada 5
C K
C
C
K
C
K C K C K
K C K C C
K C C K C
K C C C K
K C C C C
C
C K C K C
K
C
K
C
C
K
C
C K C C K
C K C C C
C C K C K
C C K C C
C C C K C
C C C C K
C C C C C
A figura acima mostra a árvore de decisão para o problema proposto. Cada jogada da moeda tem dois resultados possíveis: o ramo da esquerda está marcado com um C, denotando cara, e o da direita, com um K, denotando coroa. Seguindo cada uma das ramificações tem-se 13 possibilidades resultados possíveis. ____________________________________________________________________________________________________________
Roteiro de estudos:
- Ler atentamente Capítulo 3 (Tópico 3.2, páginas 150 156) do livro PLT e texto acima. - Exercícios propostos: ●Problemas Práticos: 23 (página 154). ● Exercícios 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 18, 21, 25, 29, 30, 35, 36 e 37 (páginas 157 e 158). ● Lista de exercícios 2 (abaixo). ______________________________________________________________________________________
Lista 2: Princípios Fundamentais de contagem 1. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer a refeição? 2. Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits? 3. Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8?.
3
4. Suponha que em uma cidade o sistema telefônico utiliza sete (7) dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2) e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações (2º ou 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter? 5. Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) Se a escolha for feita com reposição? b) Se a escolha for feita sem reposição?
Unidade 3: Fatorial, Permutação e Combinação 1. Fatorial Nos problemas de contagem é muito comum um tipo de problema em que, para se obter o resultado referente ao total de possibilidades, deve-se multiplicar um determinado número natural por seus antecessores até chegar à unidade. Exemplo: Quatro pessoas que estão de pé pretendem ocupar quatro cadeiras. Qual o número total de
maneiras diferentes de ocupá-las? Solução: como são etapas sucessivas de uma tarefa, será usado o princípio da multiplicação: Total = 4 . 3. 2 . 1 = 24 possibilidades.
Definição: Seja
um número inteiro não-negativo ( n ∈ » ). Definimos Fatorial de
n
expressão: n! = n . (n 1) . (n 2)
n
(indicado por n!) por meio da
1.
Tem-se, por definição que: 0! = 1. Exemplos:
1. Simplifique as expressões: a)
b)
c)
d)
4! + 5! 4! 2000! 1998!
=
4!
+
4!
=
(n + 1)! (n − 1)!
5 . 4! 4!
= 1 + 5=6
2000 . 1999 . 1998! 1998!
=
= 3.998.000
(n + 1) . n . (n − 1) ! (n − 1) !
= n. (n + 1)
(x − 2) ! (x + 1)! (x − 2)! (x + 1) . x . (x −1)! x + 1 = = . . (x − 1)! x! (x − 1)! x . (x − 1) . (x − 2) ! x − 1
2. Aplicação da definição: a) 2! = 2 . 1 = 2 b) 3! = 3 . 2 . 1 = 6 c) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 d) 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120 4
3. Resolva a equação abaixo: x! = 90 . (x − 2)! x . (x − 1) . (x − 2) ! = 90 . (x − 2) ! x . (x − 1) = 90 x 2 − x − 90 = 0
∆ = b 2 − 4ac
x =
∆ = ( − 1) 2 − 4 . 1 . (− 90) ∆ = 1 + 360 ∆ = 361
− ±
∆b
2a
=
−−
± ( 1)61 2.1
=
13± 19 2
⇒ x1 =
1 + 19
x2 =
2
= 10
1 − 19
= −9
2 (Por definição, só existe fatorial de número natural, e − 9∉ » ). Logo, S = {10}
2. Permutação e Combinação Em problemas de Contagem (combinatórios), quando a ordem em que os elementos em um grupo é importante, o número total de resultados possíveis é conhecido como Permutação . Por exemplo, no caso de respostas um resultado de um concurso, a ordem dos colocados tem um significado muito importante. Quando a ordem não interessa, o número total de resultados possíveis é designado como Combinação. Por exemplo, um comitê formado por duas pessoas, Paulo e Luiza, é o mesmo comitê de Luiza e Paulo.
2.1 Permutação Quando a ordem em que os elementos de um grupamento é importante, o número total de possibilidades de associação dos elementos é conhecido como Permutação. A permutação pode ser classificada como Permutação Simples (sem elementos repetidos) ou Permutação com Repetição.
a) Permutação Simples Indicamos o número total de permutação simples de n elementos tomados r a r distintos, por: P( n, r) onde: n → número total de elementos r → número de elementos em cada grupo
O Exemplo 2 do Princípio da Multiplicação (página 5, Unidade 2) discutiu o problema de contar todas as possibilidades para os 4 últimos dígitos de um número de telefone sem dígitos repetidos. Neste problema, o número 1259 não é igual ao número 2159, já que a ordem dos dígitos gera números diferentes. Cada um desses números é uma permutação de 4 dígitos distintos escolhidos em um conjunto de 10 dígitos possíveis distintos. Quantas dessas permutações existem? Solução: A resposta, encontrada usando o princípio da multiplicação, é 10 . 9 . 8 . 7. Existem 5.040 possibilidades. A seguir é mostrado que o mesmo resultado pode ser obtido através da expressão expressa como P (n, r ),
onde n = 10 e r = 4, apresentando uma nova forma de pensar sobre o problema.
P(n, r ) =
n! (n − r )!
, para r < n. No problema, tem-se: P( n ,r) = P(10, 4) =
10! (10 − 4)!
=
10 . 9 . 8 . 7 . 6! 6!
= 10 . 9 . 8 . 7 = 5.040
Exemplo 1: Num concurso de beleza em que participam 10 candidatas, de quantos modos diferentes
pode ser formado o grupo das 3 primeiras colocadas? 5
Solução: A ordem dentro do conjunto é importante. Queremos, portanto o número de grupamento ordenado de 3 objetos de um conjunto de 10, ou P(10,3). Assim, P (10,3) =
10! (10 − 3)!
=
10 . 9 . 8 . 7! 7!
= 720 modos diferentes
Exemplo 2: Quantas palavras de três letras (que podem não fazer sentido) podem ser formadas a partir
da palavra COMPILAR se nenhuma letra pode ser repetida? Solução: Nesse caso a ordem das letras faz diferença (LAR ≠ RAL, por exemplo), e queremos saber o número de permutações de três objetos distintos retirados de um conjunto de 8 objetos. P (8,3) =
8! (8 − 3)!
=
8 . 7 . 6 . 5! 5!
= 336 permutações
Exemplo 3: Permutando os três elementos distintos de A = {x, y, z}, por exemplo: Temos: (x, y, z}; {x, z, y};
{y, x, z}; {y, z, x}; {z, x, y} e {z, y, x}. Obtemos o total de 6 permutações. Note que neste caso, r = n = 3, ou seja, teremos P (3,3) ou P3 = 3! = 6. Isto se deve ao fato de que: P(3,3) =
3! (3 − 3)!
=
3! 0!
= 3 . 2 . 1 = 6. Assim, P( n, n) = Pn = n!. No problema, P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
O mesmo ocorre com anagramas (palavra formada com as mesmas letras da palavra dada, podendo ou não ter sentido na língua usual). Veja o exemplo abaixo: Exemplo 4: Considere a palavra DILEMA e determine:
a) o número de anagramas é: P 6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 anagramas
b) Quantos anagramas que começam com a letra D. Fixamos a letra D permutamos as demais. P 5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas
c) O número de anagramas que começam com vogal No item b, vemos que para cada letra fixada na primeira posição há 120 anagramas. Como existem 3 vogais diferentes na palavra, o número de anagramas que começam com vogal (tem-se 3 vogais) é: 3 . P 5 = 3 . 5! = 3 . 120 = 360 anagramas
b) Permutação com Repetição Ocasionalmente deparamos com situações em que alguns itens são idênticos entre si. Suponhamos, por exemplo, três moedas de dez centavos (D) e duas de vinte centavos (V). Uma permutação possível seria D D D V V. A troca das duas moedas de vinte centavos entre si não modifica a permutação. Assim é que algumas permutações se perdem, devendo, por isso, ser deduzidas do número total, pois o conceito básico de permutação é que cada grupamento seja diferente dos demais. Se identificarmos (temporariamente) as moedas como D1, D2, D3, V1 e V2, veremos que há 3! permutações das três moedas de dez centavos, e 2! Permutações das duas moedas de vinte centavos. Além disso, há 3!.2! permutações quando se referem em conjunto os dois tipos de moedas (devido ao 6
princípio da multiplicação). Tais permutações devem ser removidas do número total de permutações, para se obter o número de permutações com repetição (distinguíveis). Isso se consegue dividindo-se o número total de permutações pelo número das que se perdem pelo fato de não serem distinguíveis entre si. Em geral, o número de permutações distintas com n itens, dos quais n1 são indistinguíveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc., é: Permutação com Repetição: P nn1 ,n2 ,…,n k =
n! ( n1 !).( n2 !) … nk !
Exemplo 1: Quantas permutações distintas podemos formar com as letras R R R R U U U N?
Solução: No conjunto dado há 4 Rs, 3 Us e 1 N. Assim, P 84, 3, 1 =
8! 4! . 3! . 1!
=
8 . 7 . 6 . 5 . 4!
=
8 .7 . 6 .5
4! . 3! . 1!
3.2 .1
= 280 permutações
Exemplo 2: Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra INFINITO?
Solução: Se não houvesse letras repetidas, teríamos um total de P8 = 8! Anagramas. Porém, a letra I se repete 3 vezes e a N 2 vezes. Assim, o número procurado é: Exemplo 3: Bruno, Bárbara, Cláudio, Cláudia e Débora querem formar uma sigla com 5 símbolos, sendo
cada um a primeira letra de cada nome. Calcular o número total de siglas possíveis. Solução: Trata-se de uma permutação com elementos repetidos (2 letras B e 2 letras C), assim: P 52, 2 =
5! 2! . 2!
=
5 . 4. 3. 2! 2! . 2!
=
60 2
= 30 siglas
2.2 Combinação Quando não interessa a ordem dos elementos de um grupamento, usa-se Combinação para designar o número total de grupamentos possíveis. Indicamos o número total de combinações simples de n elementos tomados r a r distintos, por: C (n, r ) onde: n → número total de elementos r → número de elementos em cada grupo
Estaremos contando o número de combinações, denotado por C( n, r ), de r elementos distintos escolhidos entre n objetos distintos, sem preocupar com a ordem dos elementos nos grupamentos. Para cada uma dessas combinações, existem r! maneiras de ordenar os r objetos escolhidos. Por exemplo, se quisermos escolher 3 alunos para formar uma comissão dentre uma turma de 30 alunos (n = 30 e r = 3), se escolhermos Pedro (P), Rafael (R) e Beatriz (B) teremos que PRB P B R RPB RBP B P R BRP
7
são possíveis solução de escolha. Percebemos que a ordem dos elementos não altera a resposta, ou seja, a comissão é formada sempre pelas mesmas pessoas {Pedro, Rafael, Beatriz}. Assim, como temos que ter soluções distintas temos que tirar a quantidade que repete (dividindo por r! ).
P( n, r)
C (n, r ) =
r!
n!
, mas P( n, r ) =
(n − r ) !
, então: C( n, r) =
n! r ! . (n − r ) !
, para r ≤ n.
n •Outras notações para C ( n, r ) são: Cnr , Cn, r , r
Exemplo 1: Uma escola tem 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em
um congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? Solução: Os grupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo. C(9, 4) =
9! 4! . (9 − 4)!
=
3
9! 4! . 5!
=
x!
3
=
126
4 . 3 . 2 . 1 . 5!
Exemplo 2: Resolva a equação 2! (x − 2)!
2
9 . 8 . 7 . 6 . 5!
C ( x ,
= 126 grupos possíveis
1
2) = 3.
= 3
x. (x − 1). (x − 2)! 2! (x − 2)!
= 3
x . (x − 1) = 6 x2 − x − 6 = 0
∆ = b 2 − 4ac
x =
− ±b ∆ 2a
=
− − ( ±1)
25 ± 1
=
2.1
2
5
⇒ x1 =
∆ = ( − 1)2 − 4 . 1 . (− 6)
x2 =
∆ = 1 + 24 ∆ = 25
+1
5
=3
2 1 − 5 2
= −2
(Por definição, só existe fatorial de número natural, e − 2∉ » ). Logo, S = {3}
Exemplo 3: De quantas maneiras podemos formar um comitê de 1 mulher e 2 homens, de um total de 4
mulheres e 6 homens. Solução: Têm-se duas combinações (uma para comitê feminino, outra para masculino). Usa-se o princípio da multiplicação por se tratar de sequências sucessivas da mesma tarefa (formar comitês). C (4, 3).C (6, 2) =
4! 3! . (4 − 3)!
.
6! 2! . (6 − 2)!
=
4! 3! . 1!
.
6! 2! . 4!
=
4 . 3! 3! . 1!
.
6 . 5 . 4! 2 . 1 . 4!
=
4
2
1
.
30 2
2
= 2 . 30 = 60 maneiras
Exemplo 4: Após uma reunião com 9 pessoas, elas se despedem com um aperto de mão. Quantos são os
apertos de mão? Solução: Trata-se de uma combinação de 9 elementos tomados 2 a 2, uma vez que a ordem não importa (ao apertarem as mãos ambas pessoas se cumprimentam). C(9, 2) =
9! 2! . (9 − 2)!
=
9! 2! . 7!
=
9 . 8 . 7! 2. 7!
= 36 apertos de mão. 8
Roteiro de estudos:
- Ler atentamente Capítulo 3 (Tópico 3.4, páginas 167 a 174) do livro PLT e texto acima. - Exercícios propostos: ● Problemas Práticos: 30 e 31 (página 168), 32 (página 170). ● Exercícios 5, 7, 9, 10, 16, 18, 20 e 23 (páginas 174 e 175). ______________________________________________________________________________________
Lista 3 - Exercícios de Fixação: Fatorial, Permutação e Combinação 1. Simplifique: a)
(n + 1)! n!
Resp.:n + 1
b)
(n − r + 1)! (n − r − 1)!
Re sp. : (n − r ).(n − r + 1)
2. Determine o valor de x sabendo que: (x + 1)! = 3.(x!). Resp.: 2
3. Se um torneio de basquetebol consiste de 36 times, de quantas maneiras podem ser conquistados os três primeiros lugares? a) Resolva utilizando o princípio da multiplicação. Resp.: 42840 maneiras. b) Resolva utilizando a fórmula de permutação. Resp.: 42840 maneiras. 4. Joga-se uma moeda sete vezes. De quantas maneiras podem ocorrer os seguintes resultados? a) cinco caras Resp.: 21 maneiras. b) quatro caras Resp.: 35 maneiras. c) todas caras Resp.: 1 maneira. d) uma cara Resp.: 7 maneiras. 5. a) Determine o número de anagramas da palavra COMPUTAR. Resp.: 40.320 anagramas. b) Quantos terminam com uma vogal? Resp.: 15.120 anagramas. 6. Quantos anagramas são possíveis formar com as letras da palavra MATEMATICA? Resp.: 151.200 anagramas.
9
