Materi Matematika Kelas 11 Semester 2 (K 13) Materi Matematika Kelas 11 Semester 2 1. Statistika 2. Aturan Pencacahan 3. Lingkaran 4. Transformasi . Turunan !. "ntegral
Bab 1 STATISTIKA Statistika a#alah ca$ang #ari matematika %ang mem&ela'ari cara mengum&ulkan #ata men%usun #ata men%a'ikan #ata mengolah #an menganalisis #ata menarik kesim&ulan #an menafsirkan &arameter. Kegiatan Statistika meli&uti 1. Mengum&ulkan #ata 2. Men%usun #ata 3. Men%a'ikan #ata 4. Mengolah #an Menganalisis #ata . Menarik kesim&ulan !. Menafsirkan 1. Pengertian *atum #an *ata *i Kelas "+ An#a telah mem&ela'ari &engertian #atum #an #ata. Agar ti#ak lu&a &ela'ari uraian $erikut. Misalkan hasil &engukuran $erat $a#an muri# a#alah 43 kg 4! kg 44 kg kg #an !, kg. A#a&un tingkat kesehatan #ari kelima muri# itu a#alah $aik $aik $aik $uruk #an $uruk. *ata &engukuran $erat $a#an %aitu 43 kg 4! kg 44 kg kg #an !, kg #ise$ut fakta #alam $entuk angka. A#a&un hasil &emeriksaan kesehatan %aitu $aik #an $uruk #ise$ut fakta #alam $entuk kategori. Selan'utn%a fakta tunggal #inamakan #atum. A#a&un kum&ulan #atum #inamakan #ata. Pengertian Populasi dan Sampel Misal seorang &eneliti ingin meneliti tinggi $a#an rata-rata s isa SMA #i Ka$u&aten Ma#iun. Kemu#ian ia kum&ulkan #ata tentang tinggi $a#an seluruh sisa SMA #i Ka$u&aten Ma#iun. *ata tinggi $a#an seluruh
sisa SMA #i Ka$u&aten Ma#iun #ise$ut &o&ulasi. /amun karena a#a $e$era&a ken#ala se&erti keter$atasan aktu #an $ia%a maka #ata tinggi $a#an seluruh sisa SMA #i Ka$u&aten Ma#iun akan sulit #i&eroleh. 0ntuk mengatasin%a #ilakukan &engam$ilan tinggi $a#an #ari $e$era&a sisa SMA #i Ka$u&aten Ma#iun %ang #a&at meakili keseluruhan sisa SMA #i Ka$u&aten Ma#iun. *ata terse$ut #inamakan #ata #engan nilai &erkiraan se#angkan se$agian sisa SMA %ang #i'a#ikan o$'ek &enelitian #ise$ut sam&el. Agar #i&eroleh hasil %ang $erlaku secara umum maka #alam &engam$ilan sam&el #iusahakan agar sam&el #a&at meakili &o&ulasi. 3. Pengumpulan Data Menurut sifatn%a #ata #i$agi men'a#i 2 golongan %aitu se$agai $erikut. 1) *ata kuantitatif a#alah #ata %ang $er$entuk angka atau $ilangan. *ata kuantitatif ter$agi atas #ua $agian %aitu #ata cacahan #an #ata ukuran. a) *ata cacahan (#ata #iskrit) a#alah #ata %ang #i&eroleh #engan cara mem$ilang. Misaln%a #ata tentang $an%ak anak #alam keluarga. $) *ata ukuran (#ata kontinu) a#alah #ata %ang #i&eroleh #engan cara mengukur. Misaln%a #ata tentang ukuran tinggi $a#an muri#. 2) *ata kualitatif a#alah #ata %ang $ukan $er$entuk $ilangan. *ata kualitatif $eru&a ciri sifat atau gam$aran #ari kualitas o$'ek. Se$agai contoh #ata mengenai kualitas &ela%anan %aitu $aik se#ang #an kurang. ara untuk mengum&ulkan #ata antara lain a#alah melakukan aancara mengisi lem$ar &ertan%aan (uestioner%) melakukan &engamatan (o$serasi) atau menggunakan #ata %ang su#ah a#a misaln%a rataan hitung nilai ra&or.
Penyajian Data dalam Bentuk Diagram 1. Diagram Garis Pen%a'ian #ata statistik #engan menggunakan #iagram $er$entuk garis lurus #ise$ut #iagram garis lurus atau #iagram garis. *iagram garis $iasan%a #igunakan untuk men%a'ikan #ata statistik %ang #i&eroleh $er#asarkan &engamatan #ari aktu ke aktu secara $erurutan.
. Diagram Batang *iagram $atang umumn%a #igunakan untuk menggam$arkan &erkem$angan nilai suatu o$'ek &enelitian #alam kurun aktu ter tentu. *iagram $atang menun'ukkan keterangan-keterangan #engan $atang$atang tegak atau men#atar #an sama le$ar #engan $atang-$atang ter&isah 3. Diagram !ingkaran *iagram lingkaran a#alah &en%a'ian #ata statistik #engan menggunakan gam$ar %ang $er$entuk lingkaran. agian-$agian #ari #aerah lingkaran menun'ukkan $agian-$agian atau &ersen #ari keseluruhan. 0ntuk mem$uat #iagram lingkaran terle$ih #ahulu #itentukan $esarn%a &ersentase tia& o$'ek terha#a& keseluruhan #ata #an $esarn%a su#ut &usat sektor lingkaran. Penyajian Data dalm Bentuk Tabel Distribusi "istrogram# Poligon# dan $gi% 1. Distribusi &rekuensi Tunggal *ata tunggal seringkali #in%atakan #alam $entuk #aftar $ilangan namun ka#angkala #in%atakan #alam $entuk ta$el #istri$usi frekuensi. Ta$el #istri$usi frekuensi tunggal meru&akan cara untuk men%usun #ata %ang relatif se#ikit. . Distribusi &rekuensi Kelompok *ata %ang $erukuran $esar (n 5 3,) le$ih te&at #isa'ikan #alam ta$el #istri$usi frekuensi kelom&ok %aitu cara &en%a'ian #ata %ang #atan%a #isusun #alam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah &en%usunan ta$el #istri$usi frekuensi a#alah se$agai $erikut. • •
•
Langkah ke-1 menentukan 6angkauan (6) 7 +ma8 - +min Langkah ke-2 menentukan $an%ak interal (K) #engan rumus 9Sturgess9 %aitu K7 1 : 33 log n #engan n a#alah $an%ak #ata. an%ak kelas harus meru&akan $ilangan $ulat &ositif hasil &em$ulatan ke $aah. Langkah ke-3 menentukan &an'ang interal kelas (") #engan menggunakan rumus 6 " 7 ;;;; K
•
•
Langkah ke-4 menentukan $atas-$atas kelas. *ata terkecil harus meru&akan $atas $aah interal kelas &ertama atau #ata ter$esar a#alah $atas atas interal kelas terakhir. Langkah ke- memasukkan #ata ke #alam kelas-kelas %ang sesuai #an menentukan nilai frekuensi setia& kelas #engan sistem turus 3. "istogram *ari suatu #ata %ang #i&eroleh #a&at #isusun #alam ta$el #istri$usi frekuensi #an #isa'ikan #alam $entuk #iagram %ang #ise$ut histogram. 6ika &a#a #iagram $atang gam$ar $atang-$atangn%a ter&isah maka &a#a histogram gam$ar $atang-$atangn%a $erim&it. '. Poligon A&a$ila &a#a titik-titik tengah #ari histogram #ihu$ungkan #engan garis #an $atang-$atangn%a #iha&us maka akan #i&eroleh &oligon frekuensi. er#asarkan contoh #i atas #a&at #i$uat &oligon frekuensin%a se&erti gam$ar $erikut ini. (. Distribusi &rekuensi Kumulati% *aftar #istri$usi kumulatif a#a #ua macam %aitu se$agai $erikut. a. *aftar #istri$usi kumulatif kurang #ari (menggunakan te&i atas). $. *aftar #istri$usi kumulatif le$ih #ari (menggunakan te&i $aah). 0ntuk le$ih 'elasn%a &erhatikan contoh #ata $erikut ini. ). $gi*e +$gi%,
-kuran Pemusatan Data 1. ata/ata . 0edian 1) Me#ian untuk #ata tunggal Me#ian a#alah suatu nilai tengah %ang telah #iurutkan. Me#ian #ilam$angkan Me. 0ntuk menentukan nilai Me#ian #ata tunggal #a&at #ilakukan #engan cara
a) mengurutkan #ata kemu#ian #icari nilai tengah $) 'ika $an%akn%a #ata $esar setelah #ata #iurutkan #igunakan rumus 0ntuk n gan'il Me 7 +1>2(n : 1) +n>2 : +n>2 :1 0ntuk n gena& Me 7 ;;;;;;;;;;;; 2
Keterangan 8n>2 7 #ata &a#a urutan ke-n>2 setelah #iurutkan. ontoh Tentukan me#ian #ari #ata 2 4 ! ? @ 4 ! ? 6aa$ *ata #iurutkan men'a#i 2 4 4 ! ! ? ? @ Me#ian 7 #ata ke-(13 : 1)>2 7 #ata ke-? 6a#i me#iann%a 7 !
2) Me#ian untuk #ata kelom&ok 6ika #ata %ang terse#ia meru&akan #ata kelom&ok artin%a #ata itu #ikelom&okkan ke #alam interal-interal kelas %ang sama &an'ang. 0ntuk mengetahui nilai me#iann%a #a&at #itentukan #engan rumus $erikut ini.
Keterangan Kelas me#ian a#alah kelas %ang ter#a&at #ata +1>2 n L 7 te&i $aah kelas me#ian c 7 le$ar kelas n 7 $an%akn%a #ata B 7 frekuensi kumulatif kurang #ari se$elum kelas me#ian f 7 frekuensi kelas me#ian 3. 0odus Mo#us ialah nilai %ang &aling sering muncul atau nilai %ang mem&un%ai frekuensi tertinggi. 6ika suatu #ata han%a mem&un%ai satu mo#us #ise$ut unimo#al #an $ila memiliki #ua mo#us #ise$ut $imo#al se#angkan 'ika memiliki mo#us le$ih #ari #ua #ise$ut multimo#al. Mo#us #ilam$angkan #engan Mo.
1, 0odus data tunggal Mo#us #ari #ata tunggal a#alah #ata %ang sering muncul atau #ata #engan frekuensi tertinggi. Perhatikan contoh soal $erikut ini. ontoh Tentukan mo#us #ari #ata #i $aah ini. 2 1 4 1 1 ? @ 1, 6aa$ *ata %ang sering muncul a#alah 1 #an . 6a#i mo#usn%a a#alah 1 #an . . 0odus data kelompok Mo#us #ata kelom&ok #irumuskan se$agai $erikut
Keterangan L 7 te&i $aah kelas mo#us c 7 le$ar kelas #1 7 selisih frekuensi kelas mo#us #engan kelas se$elumn%a #2 7 selisih frekuensi kelas mo#us #engan kelas sesu#ahn%a
-kuran letak Data Kuartil (C) Se&erti %ang su#ah #i$ahas se$elumn%a $aha me#ian mem$agi #ata %ang telah #iurutkan men'a#i #ua $agian %ang sama $an%ak. A#a&un kuartil a#alah mem$agi #ata %ang telah #iurutkan men'a#i em&at $agian %ang sama $an%ak. 1) Kuartil #ata tunggal 0rutkan #ata #ari %ang kecil ke %ang $esar kemu#ian tentukan kuartil #engan rumus se$agai $erikut
ontoh Tentukan C1 C2 #an C3 #ari #ata 3 4 ? ? 4 4 ! @ 1, 3 ? 12. 6aa$
Langkah 1 urutkan #ata #ari kecil ke $esar sehingga #i&eroleh 3 3 4 4 4 ! ? ? ? @ 1, 12. 1(1:1) Langkah 2 Letak #ata C17;;;;;;;; 7 4 4 6a#i C1 terletak &a#a #ata ke-em&at %aitu 4
2(1:1) Langkah 3 Letak #ata C27;;;;;;;; 7 4 6a#i C2 terletak &a#a #ata ke-#ela&an %aitu ?
3(1:1) Langkah 4 Letak #ata C17;;;;;;;; 7 12 4 6a#i C3 terletak &a#a #ata ke-#ua$elas %aitu
2) Kuartil #ata kelom&ok /ilai kuartil #irumuskan se$agai $erikut.
Keterangan Ci 7 kuartil ke-i (1 2 atau 3) L 7 te&i $aah kelas kuartil ke-i n 7 $an%akn%a #ata B 7 frekuensi kumulatif kelas se$elum kelas kuartil c 7 le$ar kelas f 7 frekuensi kelas kuartil
-kuran Penyebaran Data 0kuran &emusatan %aitu mean me#ian #an mo#us meru&akan informasi %ang mem$erikan &en'elasan kecen#erungan #ata se$agai akil #ari $e$era&a #ata %ang a#a. A#a&un ukuran &en%e$aran #ata mem$erikan gam$aran se$era&a $esar #ata men%e$ar #ari titik-titik &emusatan.
1. 6angkauan (Dange) 0kuran &en%e$aran %ang &aling se#erhana (kasar) a#alah 'angkauan (range) atau rentangan nilai %aitu selisih antara #ata ter$esar #an #ata terkecil. 1) Dange #ata tunggal 0ntuk range #ata tunggal #irumuskan #engan D 7 8maks ; 8min ontoh Tentukan range #ari #ata-#ata #i $aah ini. ! ? 3 4 3 ? ! 1, 1 2,
6aa$ *ari #ata #i atas #i&eroleh 8maks 7 2, #an 8min 7 3 6a#i D 7 8maks ; 8min 7 2, ; 3 7 1?
2) Dange #ata kelom&ok 0ntuk #ata kelom&ok nilai tertinggi #iam$il #ari nilai tengah kelas tertinggi #an nilai teren#ah #iam$il #ari nilai kelas %ang teren#ah. . Simpangan ata/ata +De*iasi ata/ata, Sim&angan rata-rata suatu #ata a#alah nilai rata-rata #ari selisih setia& #ata #engan nilai rataan hitung. 1, Simpangan rata/rata data tunggal Sim&angan rata-rata #ata tunggal #irumuskan se$agai $erikut.
. Simpangan ata/ata +De*iasi ata/ata, Sim&angan rata-rata suatu #ata a#alah nilai rata-rata #ari selisih setia& #ata #engan nilai rataan hitung.
1, Simpangan rata/rata data tunggal Sim&angan rata-rata #ata tunggal #irumuskan se$agai $erikut.
, Simpangan rata/rata data kelompok Sim&angan rata-rata #ata kelom&ok #irumuskan
3. Simpangan Baku +De*iasi Standar, dan agam Se$elum mem$ahas sim&angan $aku atau #eiasi stan#ar &erhatikan contoh $erikut. Kamu tentu tahu $aha setia& orang memakai se&atu %ang $er$e#a ukurann%a. A#a %ang $erukuran 3, 32 33 ... 3@ 4, #an 41. Per$e#aan ini #imanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat &en%e$aran #ata #alam suatu &o&ulasi. Per$e#aan ukuran se&atu $iasan%a $erhu$ungan #engan tinggi $a#an manusia. Seorang ahli matematika 6erman Karl
#eiasi stan#ar #ata tunggal #irumuskan se$agai $erikut.
, agam dan Simpangan baku data kelompok agam + , dan Simpangan baku +s, data kelompok
#irumuskan se$agai $erikut.
