Materi Mata Kuliah Mekanika Fisika Semester 3

MATERI MATA KULIAH MEKANIKA fisika semester 3. Mekanika adalah cabang ikmu fisika yang mempelajari gaya, materi dan gerakan.

1. ANALISIS VEKTOR  Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan lain-lain. Sebuah vektor  digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah yang mempunyai titik tangkap (titik pangkal) sebagai tempat permulaan vektor itu bekerja. Panjang garis menunjukkan nilai vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor itu bekerja. Garis yang melalui vektor tersebut dinamakan garis kerja. Penulisan sebuah simbol besaran vektor dengan menggunakan huruf tegak dicetak tebal,  AB ditulis AB. Selain itu, dapat pula dinyatakan dengan huruf miring dengan misalnya vektor  AB  AB ditulis tanda panah di atasnya, misalnya vektor  AB . Besar (nilai) sebuah vektor dinyatakan dengan huruf miring  AB. Selain itu dapat pula dituliskan dalam garis mutlak, yaitu dua garis tegak sejajar, pada kedua sisi notasi vektor,  |AB|. misalnya, besarnya vektor  AB = AB =  AB 1. Menggambarkan Vektor dalam Bidang Datar (dalam Dua Sumbu) Pada bidang datar, vektor mempunyai dua komponen yaitu pada sumb  x dan sumbu y. Sebuah vektor dapat saja mempunyai satu komponen  bila vektor tersebut tersebut berada pada salah satu sumbu sumbu  x atau y. Komponen vektor adalah vektor-vektor yang bekerja pada saat yang  bersamaan sehingga sehingga menghasilkan menghasilkan satu vektor vektor dengan arah arah tertentu (resultan). Oleh karena vektor tergantung pada besar dan arah, maka vektor tersebut dapat dipindahkan titik tangkapnya asal besar dan arahnya tetap. Penulisan matematis A dapat ditulis dalam komponen-komponennya: A = Ax + Ay; A merupakan jumlah dari komponen-komponennya. komponen-komponennya. Cara lain untuk menuliskan vektor, yaitu:  xoy dengan vektor pada bidang datar  xoy α adalah arah vektor terhadap sumbu x Di mana: Ax dan Ay menunjukkan besar (harga) vektor pada masing-masing komponen sumbu x dan sumbu y, sedangkan i dan j adalah vektor satuan pada masing-masing komponen sumbu x dan sumbu y. Vektor satuan adalah vektor yang besar/harganya satu satuan; vektor ruang yang telah diuraikan ke sumbu x(i), sumbu y(j), dan sumbu z(k). Dikatakan vektor satuan karena besar vektor = |i| = |j| = |k| = 1. Misalnya, vektor A mempunyai komponen sumbu x(Ax), pada sumbu y(Ay), dan sumbu z(Az ), maka vektor A dapat ditulis dalam lambang vektor:

Panjang vektor A adalah:

2. Penjumlahan Vektor  Penjumlahan dua buah vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponenkomponen vektor pembentuknya. pembentuknya. Dengan kata lain untuk   €œmenjumlahkan dua buah vektor€ � adalah €œmencari resultan€�.

Untuk vektor-vektor segaris, misalnya vektor A dan B dalam posisi segaris dengan arah yang sama seperti tampak pada gambar disamping Jumlah vektor segaris maka resultan (jumlah) vektor dituliskan: R = A + B Pada kasus penjumlahan vektor yang lain, seperti yang ditunjukkan gambar  disamping kanan, terdapat dua vektor yang tidak segaris yang mempunyai titik pangkal sama tetapi tet api dengan arah yang berbeda, sehingga membentuk  sudut tertentu. Untuk vektor-vektor yang membentuk sudut α , maka jumlah vektor dapat dilukiskan dengan menggunakan metode tertentu. Cara ini disebut dengan metode jajaran genjang. a. Penjumlahan Vektor Menggunakan cara Jajar Genjang Cara melukiskan jumlah dua buah vektor dengan metode jajaran genjang sebagai berikut: a. titik tangkap A dan B dibuat berimpit dengan memindahkan memindahkan titik tangkap A ke titik tangkap B, atau sebaliknya; b. buat jajaran genjang dengan A dan B sebagai sisi-sisinya; c. tarik diagonal dari titik tangkap sekutu, maka A + B = R adalah diagonal  jajaran genjang. genjang. Gambar disamping menunjukkan penjumlahan penjumlahan dua vektor A dan B. Dengan menggunakan menggunakan persamaan, dapat diketahui besar dan arah resultan kedua vektor tersebut. Persamaan diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada segitiga OPR, sehingga dihasilkan:

Diketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga: R adalah diagonal panjang jajaran genjang, jika α lancip. Sementara itu, α adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh A dan B. Sebuah vektor mempunyai besar dan arah. Jadi setelah mengetahui besarnya, kita perlu menentukan arah dan resultan vektor tersebut. Arah R dapat ditentukan oleh sudut antara R dan A atau R dan B.Misalnya sudut θ merupakan sudut yang dibentuk R dan A, maka dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga OPR akan diperoleh:

Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut θ dapat diketahui.

a. Penjumlahan Vektor Menggunakan cara Segitiga Metode segitiga merupakan cara lain untuk menjumlahkan dua vektor, selain metode jajaran genjang. Dua buah vektor A dan B, yang pergerakannya ditunjukkan gambar (a) disamping kanan, akan mempunyai resultan yang  persamaannya dituliskan: R = A + B Resultan dua vektor akan diperoleh dengan menempatkan pangkal vektor yang kedua pada ujung vektor pertama. Resultan vektor tersebut diperoleh dengan menghubungkan titik   pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua. Pada Gambar (b) disamping kiri, pergerakan dimulai dengan vektor B dilanjutkan engan A, sehingga diperoleh persamaan: R = B + A Sehingga, A + B = B + A Hasil yang diperoleh ternyata tidak berubah. Jadi, dapat disimpulkan bahwa  penjumlahan vektor bersifat komutatif. Tahapan-tahapan penjumlahan vektor dengan metode segitiga adalah sebagai berikut: a) pindahkan titik tangkap salah satu vektor ke ujung berikutnya,  b) hubungkan titik tangkap vektor pertama ke ujung vektor kedua yang menunjukkan resultan kedua vektor tersebut, c) besar dan arah vektor R dicari dengan aturan cosinus dan sinus. Jika penjumlahan lebih dari dua buah vektor, maka dijumlahkan dulu dua buah vektor, resultannya dijumlahkan dengan vektor ke-3 dan seterusnya. Misalnya, penjumlahan tiga buah vektor A, B, dan C seperti ditunjukkan pada gambar disamping. Pertamatama jumlahkan vektor A dan B yang akan menghasilkan vektor V. Selanjutnya, vektor V tersebut dijumlahkan dengan vektor C ehingga dihasilkan resultan R: R = (A + B) + C = V + C Dapat dilakukan juga dengan cara lain yaitu dengan menjumlahkan vektor B dan C untuk menghasilkan W, yang kemudian dijumlahkan dengan vektor A, sehingga diperoleh resultan R, yaitu: R = A + ( B + C) = A + W

Jika banyak vektor, maka penjumlahan vektor dilakukan dengan menggunakan metode  poligon (segi banyak).

3. Pengurangan Vektor  Pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, tetapi dalam hal ini salah satu vektor mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya, vektor A dan B, jika dikurangkan maka: A - B = A + (-B). Di mana, (-B) adalah vektor yang sama dengan B, tetapi berlawanan arah. 4. Penguraian vektor secara analisis. Untuk keperluan penghitungan tertentu, kadang-kadang sebuah vektor yang terletak dalam  bidang koordinat sumbu x dan sumbu y harus diuraikan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus (sumbu x dan sumbu y). Komponen ini merupakan nilai efektif dalam suatu arah yang diberikan. Cara menguraikan vektor seperti ini disebut analisis. Misalnya, vektor A membentuk sudut α terhadap sumbu x positif, maka komponen vektornya adalah:

Besar (nilai) vektor A dapat diketahui dari persamaan: Sementara itu, arah vektor ditentukan dengan persamaan

2 KINEMATIKA PARTIKEL Kinematika adalah ilmu yang membahas tentang gerak tanpa meninjau penyebab terjadinjya gerak. Setiap Hari kita berangkat dari rumah ke tempat kerja atau ke sekolah, tanpa kita sadari kita telah melakukan pergerakan atau perpindahan kedudukan dari rumah ke kantor  atau sekolah. Hal yang demikian dikatakan kita melakukan perpindahan/bergerak. Jarak dan Perpindahan

Bayangkan Anda berada di pinggir jalan lurus dan panjang. Posisi Anda saat itu di A. Gambar 1.1: Posisi benda dalam sumbu koordinat Dari A, Anda berjalan menuju C melalui B. Sesampainya Anda di C, Anda membalik dan kembali berjalan lalu berhenti di B. Pada peristiwa di atas, berapa jauhkah jarak yang Anda tempuh; berapa pula perpindahan Anda? Samakah pengertian jarak dengan perpindahan? Dalam kehidupan sehari-hari kata jarak dan perpindahan digunakan untuk arti yang sama. Dalam Fisika kedua kata itu memiliki arti yang berbeda. Namun sebelum kita membahas hal ini, kita pelajari dulu apa yang dimaksud dengan gerak. Gerak Lurus Beraturan (GLB) Gerak lurus beraturan (GLB) adalah gerak benda dalam lintasan garis lurus dengan kecepatan tetap.

Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)

GLBB adalah gerak benda dengan kecepatan berubah ubah

3. DINAMIKA PARTIKEL

Dinamika partikel adalah cabang mekanika yang mempelajari gerak suatu  partikel dengan meninjau penyebab geraknya. Gerak dari suatu partikel dipengaruhi oleh sifat-sifat dan susunan benda lain yang ada disekitarnya. Persoalan pengaruh lingkungan yang mempengaruhi gerak suatu partikel telah dipecahkan oleh Issac  Newton (1642-1727) yang digambarkan dengan menggunakan hanya tiga hukum sederhana yang dinamakan dengan hukum Newton tentang gerak. 1. Hukum I Newton Hukum pertama Newton menyatakan bahwa sebuah benda dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan konstan akan tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan kecuali ada gaya eksternal yang berpengaruh pada benda tersebut. Kecenderungan dari sifat benda seperti itu disebutkan bahwa benda mempunyai kelembaman, sehubungan dengan itu, hukum I Newton sering disebut hukum kelembaman/inersia. Hukum pertama Newton tidak membuat perbedaan antara benda yang diam dengan benda yang bergerak dengan kecepatan konstan, pertanyaan apakah suatu  benda sedang diam atau bergerak denan kecepatan konstan bergantung pada kerangka dimana benda tersebut diamati. Hukum pertama Newton berlaku pada kerangka acuan yang inersial, yaitu kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan atau diam. 2. Hukum II Newton Pada hakikatnya, hukum pertama dan hukum kedua Newton dianggap sebagai definisi gaya. Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan  benda mengubah kecepatannya atau mengalami percepatan. Arah gaya sama dengan arah pecepatan yang ditimbulkan oleh gaya tersebut jika gaya itu adalah satu-satunya gaya yang bekerja pada benda yang bermassa. Massa adalah sifat intrinsik sebuah

 benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Jika gaya F dikerjakan pada  benda bermassa m1, dan menghasilkan percepatan a1, maka

F = m1a1 Jika gaya yang sama dikerjakan pada benda kedua yang massanya m2 dan menghasilkan percepatan a2 maka

F = m2a2 Dengan menggabungkan kedua persamaan diatas kita dapatkan

F = m1a1= m2a2 Atau, Hubungan tersebut dapat digunakan untuk menentukan perbandingan massa-massa  partikel yang diukur dari pengukuran yang terjadi pada m1 dan m2. Jika m1 dipilih sebagai satuan massa maka massa partikel lain dapat ditentukan. Massa dari benda yang ditentukan dengan cara tersebut dinamakan dengan perbandingan massa I nersia Dari definisi tentang gaya dan massa diatas, Newton menyatakan dalam hukum II  Newton, yaitu “laju perubahan momentum benda terhadap waktu berbanding lurus

dengan resultan gaya yang bekerja pada benda dan besarnya sama dengan gaya tersebut”.

Karena Dari persamaan diatas dapat dilihat bahwa percepatan berbanding lurus dengan gaya yang bekerja dan berbanding terbalik dengan massa benda. Atau dapat dikatakan  besar percepatan benda bila dikalikan dengan massanya akan sama dengan besar gaya yang bekerja pada benda tersebut. Momentum sebuah partikel secara matematis didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kecepatan, sedangkan secara fisisnya momentum sebuah partikel dianggap sebagai ukuran kesulitan untuk mendiamkan suatu benda. Hukum kedua Newton dalam kaitannya dengan momentum dapat dituliskan

3. Hukum III Newto Hukum ketiga Newton kadang-kadang dinamakan hukum interaksi atau aksi reaksi. Hukum ini menggambarkan sifat penting dari gaya, yaitu bahwa gaya selalu terjadi bersama-sama. Misalkan F12 adalah gaya yang dikerjakan oleh partikel 1 pada partikel 2, dan F21 adalah gaya oleh partikel 2 pada partikel 1. Persamaan ini dikenal dengan Hukum kekekalan momentum, dengan penjelasan “jika resultan gaya

eksternal yag bekerja pada sistem sama dengan nol, maka vektor 

momentum total sistem tetap konstan.

Momentum Sudut Pada gerak rotasi momen inersia I merupakan analogi dari massa m dan kecepatan sudut

merupakan analogi dari kecepatanv, maka rumus momentum sudut dapat

ditulis sebagai L=rxp = r. p sin  = r . mv = r. m r  = mr 2 Jika hanya besarnya saja maka persamaan di atas ditulis : Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arah momentum sudut mengikuti aturan tangan kanan, yaitu apabila keempat jari tangan kanan (selain jempol) dikepalkan mengikuti arah rotasi benda, maka jempol yang teracung menunjukkan arah momentum sudut.

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya Mengingat hubungan impuls dengan momentum Fdt = dp pada gerak linear, maka secara analogi, pada gerak rotasi diperoleh

Ndt=dL

Keteranga L=

Momentum sudut (kg.m2/s) 2

 I = Momen inersia (kg.m

)

N = Momen gaya (N.m)

turunan dari fungsi momentum sudut terhadap waktu

Kekekalan Momentum Sudut F = m.a Jika F = 0 maka d p = 0 atau p = konstanta hukum kekekalan momentum linear  dari persamaan diatas dapat diturunkan kaitan momentum sudut dengan momen gaya yaitu: = Jika

= = 0 maka L = konstan atau dengan kata lain momentum sudut sistem

kekal. Dari persamaan diatas kita peroleh jika tidak ada momen gaya luar yang  bekerja pada sistem maka momentum sudut L konstan, atau dengan kata lain dapat disebut prinsip kekekalan momentum sudut. Secara matematis, kekekalan momentum sudut ditulis sebagai

L1=L2 atau GAYA FUNGSI POSISI Usaha dan Energi Konsep usaha yang dikerjakan oleh sebuah gaya, energi potensial dan energi kinetik sangat penting dalam masalah dinamika. Usaha yang dilakukan pada sebuah  partikel dw oleh sebuah gaya

hingga partikel tersebut berpindah sepanjang lintasan

sejauh dr dinyatakan: 2.21) Persamaan diatas juga dapat dituliskan dalam bentuk  adalah energi kinetik partikel maka, Dari persamaan diatas, diketahui bahwa besarnya usaha yang dikerjakan pada sebuah partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel. Usaha dw bernilai negatif, ketika momentum partikel yang bergerak berlawanan arah dengan gaya yang  bekerja, sehingga usaha akan mengurangi energi kinetik partikel.

Usaha oleh gaya F yang mengalami pergeseran dari titik

ke titik

dinyatakan

dalam integrasi : 2.22) Usaha adalah jumlah dari perubahan energi kinetik partikel yang didefinisikan sebagai fungsi sebagai berikut : Fungsi dinamakan energi potensial. Integral dari usaha adalah: (2.23) Dari persamaan diatas menunjukan tidak ada perubahan jika dirubah dengan menambahkan konstanta C, karena , atau (2.24) Gerak partikel dapat diperoleh dengan memecahkan persamaan energi dalam bentuk  integral menjadi : Untuk gerak satu dimensi jika menimbulkan gaya hanya fungsi dari posisi kemudian jumlah dari energi kinetik dan energi potensial adalah konstanta dan usahanya sama dengan nol, ketika partikel tersebut bergerak mengelilingi suatu lintasan tertutup dan kembali ke posisi semula, contohnya gaya pegas dan gaya gravitasi. Sedangkan gaya desipatif adalah gaya yang usahanya tidak sama dengan nol dan bergantung pada lintasan, contohnya gaya gesek. Contoh problem gaya konservatif 

Integral

F (t) dt, dinamakan impuls.

Ini akan sama dengan perubahan

momentum yang diberikan oleh suatu gaya F (t) yang bekerja pada suatu benda pada interval waktu tertentu. ( Ini bisa kita rubah dengan nilai awal dari t sampai t0). Kedudukan/posisi suatu partikel sebagai sebuah fungsi waktu bisa diperoleh dengan mengintegralkan dua kali F(t).

4.OSILATOR  Osilator adalah suatu alat yang merupakan gabungan elemen-elemen aktif dan pasif untuk  menghasilkan bentuk gelombang sinusoidal atau bentuk gelombang periodik lainnya. Suatu

osilator memberikan tegangan keluaran dari suatu bentuk gelombang yang diketahui tanpa  penggunaan sinyal masuk dari luar. Osilator mengubah daya arus seaarh (dc) dari catu daya ke daya arus bolak-balik (ac) dalam beban. Dengan demikian fungsi osilator berlawanan dengan penyearah yang mengubah daya searah ke daya bolak-balik. Suatu osilator dapat membangkitkan bentuk gelombang pada suatu frekuensi dalam batas  beberapa siklus tiap jam sampai beberapa ratus juta siklus tiap detik. Osilator dapat hamper  secara murni menghasikan gelombang sinusoidal dengan frekuensi tetap, ataupun gelombang yang hanya dengan harmonic. Osilator umumnya digunakan dalam pemancar dan penerima radio dan televise, dalam radar dan dalam berbagai sistem komunikasi. JENIS-JENIS

OSILATOR 

Osilator dapat diklasifikasikan dalam berbagai cara. Tregantung kepada alam bentuk  gelombang yang dibangkitkan, osilator dapat dibagi menjadi dua kategori : osilator sinusoidal atau osilator harmonic dan osilator relaksasi. Osilator sinusoidal menghasilkan bentuk  gelombang sinusoidal atau mendekati sinusoidal pada frekuensi tertentu. Osilator relaksasi menghasilkan bentuk gelombang bukan sinusoidal seperti gelombang segiempat dan gelombang gigi-gergaji. Osilator dapat pula digolongkan pada alat-alat tertentu yang menghasilkan osilasi. Pada  penggolongan ini, osilator dapat merupakan jenis resistansi negatif atau jenis umpan balik. Osilator resistansi negatif menggunakan alat aktif yang memproses lengkung karakteristik  arus tegangan dengan kemiringan negatif dalam daerah operasinya. Dioda kanal merupakan alat resistansi negatif yang digunakan dalam resistor. Osilator umpan-balik sebaliknya, mempunyai penguat umpan-balik regeneratif (positif), dimana perolehan lingkar juga diatur  sedemikian sehingga perolehan keseluruhan menjadi tidak terhingga. Baik osilator sinusoidal maupun osilator relaksaasi dapat merupakan jenis resistansi negatif  dan jenis umpan-balik. Osilator sinusoidal jenis umpan-balik dapat digolongkan lebih lanjut menjadi osilator LC (indktor-kapasitor) dan RC (tahanan kapasitor). Osilator sinusoidal kadang-kadang digolongkan menurut frekuensi sinyal yang dihasilkan. Jadi osilator yang membangkitkan sinyal dalam daerah frekuensi audio dikenal sebagai osilator frekuensi audio. Demikian pula, osilator yang menghasilkan sinyal-sinyal daerah frekuensi radio dinamakan osilator frekuensi radio, dan seterusnya. Klasifikasi Osilator Osilator Osilator Osilator Osilator PRINSIF

osilator

didasarkan

pada

Frekuensi Audio (AF) Frekuensi Radio (RF) Frekuensi Sangat Tinggi Frekuensi Ultra Tinggi Gelombang Mikro 3 DASAR

daerah

frekuensi

beberapa 20 (VHF) (UHF) GHz

yang

dihasilkan.

hz -20 KHz KHz 30MHz 30MHz 300MHz 300MHz 3GHz Beberapa GHz OSILATOR 

Dalam suatu osilator, suatu resistansi negatif diberikan untuk kompensasi kehilangankehilangan (kebocoran) dalam rangkaian. Dalam osilator umpan-balik, umpan-balik positif  dari luar cukup untuk membuat perolehan keseluruhan menjadi tidak terhingga dan memberikan resistansi negatif yang diperlukanuntuk menanggulangi peredaman alami dari osilator. Dalam osilator resistansi negatif terjadi umpan-balik positif dalam dan berperan

menghasilkan resistansi negatif yang diperlukan. Dalam suatu osilator tidak ada sinyal yang diberikan dari luar. Sinyal awal untuk menyulut (trigger) osilasi biasanya diberikan oleh tegangan derau. Tegangan derau muncul sewaktu catu daya dihidupkan. Karena spektrum frekuensi derau sangat lebar, osilator selalu memiliki tegangan komponen pada frekuensi yang benar untuk bekerjanya osilator.

5. MEDAN GRAVITASI Medan gravitasi adalah medan yang menyebabkan suatu benda bermassa mengalami gaya gravitasi. Medan ini dibangkitkan oleh suatu benda bermassa. Didefinisikan secara rumus matematis sebagai besar gaya tarik dibagi massa benda.

Rumus medan gravitasi Bila terdapat suatu obyek bermassa disebabkan oleh obyek tersebut di titik

pada posisi

maka medan gravitasi yang

dirumuskan sebagai

dengan: 

: adalah konstanta univeral gravitasi Newton.



: adalah massa penyebab medan gravitasi.



: adalah posisi massa ke-i.



: adalah posisi tempat medan gravitasi dihitung.

Perhatikan bahwa tidak seperti dalam hal rumusan medan listrik , di mana muatan dapat  berharga positif atau negatif, dalam hal medan gravitasi massa selalu berharga positif, sehingga medannya selalu menuju atau mengarah ke titik pusat penghasil medannya. Dengan kata lain apabila di dalam lingkungan medan gravitasi ditempatkan obyek bermassa, maka obyek tersebut akan mengalami gaya gravitasi yang arahnya menuju penyebab medan gravitasi. Dengan demikian dapat dimengerti mengapa gaya gravitasi selalu bersifat tarikmenarik.

Percepatan gravitasi Dalam beberapa kasus, massa penyebab gravitasi sedemikian besarnya, sehingga medan gravitasi dapat dianggap tetap, walaupun titik pengamatan diubah. Untuk kasus ini lebih lazim jika ditetapkan suatu percepatan gravitasi, yang berupa suatu konstanta. Gravitasi adalah gaya tarik-menarik  yang terjadi antara semua  partikel yang mempunyai massa di alam semesta. Fisika modern mendeskripsikan gravitasi menggunakan Teori

Relativitas Umum dari Einstein, namun hukum gravitasi universal  Newton yang lebih sederhana merupakan hampiran yang cukup akurat dalam kebanyakan kasus. Sebagai contoh,  bumi yang memiliki massa yang sangat besar menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar untuk menarik benda-benda di sekitarnya, termasuk  makhluk hidup, dan  benda-benda yang ada di bumi. Gaya gravitasi ini juga menarik benda-benda yang ada di luar  angkasa, seperti bulan, meteor , dan benda angkasa lainnya, termasuk  satelit buatan manusia. Beberapa teori yang belum dapat dibuktikan menyebutkan bahwa gaya gravitasi timbul karena adanya partikel gravitron dalam setiap atom. Hukum Gravitasi Universal Newton Hukum gravitasi universal Newton dirumuskan sebagai berikut: Setiap massa titik menarik semua massa titik lainnya dengan gaya segaris dengan garis yang menghubungkan kedua titik. Besar gaya tersebut berbanding lurus dengan  perkalian kedua massa tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua massa titik tersebut.  F adalah besar dari gaya gravitasi antara kedua massa titik G adalah konstanta gravitasi m1 adalah besar massa titik pertama m2 adalah besar massa titik kedua r adalah jarak antara kedua massa titik, dan

tersebut

 g adalah percepatan gravitasi = Dalam sistem Internasional,  F  diukur dalam newton (N), m1 dan m2 dalam kilograms dalam meter (m), dsn konstanta G kira-kira sama dengan 6,67 × 10 −11 N m2 kg−2.

(kg), r 

Dari persamaan ini dapat diturunkan persamaan untuk menghitung Berat. Berat suatu benda adalah hasil kali massa benda tersebut dengan  percepatan gravitasi bumi. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: W  = mg . W  adalah gaya berat benda tersebut, m adalah massa dan  g  adalah percepatan gravitasi. Percepatan gravitasi ini berbeda-beda dari satu tempat ke tempat lain.

6. SISTEM BANYAK PARTIKEL Partikel banyak perlu dipertimbangkan secara umum untuk penerapan fungsi gelombang pada masalah-masalah kimia. Dalam usaha untuk melihat secara umum aplikasi pada sistem molekul, marilah kita untuk pertama kalinya mempelajari sistem dengan 2 partikel. Masalah dalam sistem 2 partikel dapat direduksi menjadi masalah satu partikel, ketika gerak relatif dan gerak titik pusat gravitasinya terpisah.

(a) Pemisahan gerak relatif dari gerak translasi. Marilah kita mengandaikan bahwa energi untuk dua partikel E dinyatakan sebagai  penjumlahan energi kinetik E1 dan E2 untuk partikel dan U untuk energi potensial, (1.66) dimana

dan mi, Vi adalah masa dan kecepatan dari masing-masing partikel ke-i (i = 1 atau 2). Koordinat untuk pusat gravitasi (X, Y, Z) berhubungan dengan koordinat dari masing-masing  partikel (xi, yi, zi).

(1.67) Karena kecepatan partikel Vi adalah sebuah vektor yang terdiri dari turunan terhadap waktu dari koordianat kartesian untuk partikel, kecepatan untuk pusat gravitasi VG dinyatakan dengan kecepatan masing-masing partikel sebagai berikut.

Koordinat relatif dapat diperkenalkan sebagai posisi dari partikel kedua terhadap partikel  pertama

(1.68) Kecapatan relatif  V, yang didefinisikan sebagai turunan terhadap waktu dari posisi relatif, diberikan oleh (1.69) Gerak dari pusat gravitasi yang bebas terhadap gerak relatif antara partikel berhubungan dengan gerak paralel yang menjaga geometri relatif antara partikel dan disebut sebagai gerak  translasi atau translasi. Partikel banyak perlu dipertimbangkan secara umum untuk penerapan fungsi gelombang pada masalah-masalah kimia. Dalam usaha untuk melihat secara umum aplikasi pada sistem molekul, marilah kita untuk pertama kalinya mempelajari sistem dengan 2 partikel. Masalah dalam sistem 2 partikel dapat direduksi menjadi masalah satu partikel, ketika gerak relatif dan gerak titik pusat gravitasinya terpisah.

(a) Pemisahan gerak relatif dari gerak translasi. Marilah kita mengandaikan bahwa energi untuk dua partikel E dinyatakan sebagai  penjumlahan energi kinetik E1 dan E2 untuk partikel dan U untuk energi potensial, (1.66) dimana

dan mi, Vi adalah masa dan kecepatan dari masing-masing partikel ke-i (i = 1 atau 2). Koordinat untuk pusat gravitasi (X, Y, Z) berhubungan dengan koordinat dari masing-masing  partikel (xi, yi, zi).

(1.67) Karena kecepatan partikel Vi adalah sebuah vektor yang terdiri dari turunan terhadap waktu dari koordianat kartesian untuk partikel, kecepatan untuk pusat gravitasi VG dinyatakan dengan kecepatan masing-masing partikel sebagai berikut.

Koordinat relatif dapat diperkenalkan sebagai posisi dari partikel kedua terhadap partikel  pertama

(1.68) Kecapatan relatif  V, yang didefinisikan sebagai turunan terhadap waktu dari posisi relatif, diberikan oleh (1.69) Gerak dari pusat gravitasi yang bebas terhadap gerak relatif antara partikel berhubungan dengan gerak paralel yang menjaga geometri relatif antara partikel dan disebut sebagai gerak  translasi atau translasi.

Gambar 1.15 Gerak relatif dari sistem dengan 2 partikel (a) Gerak rotasi dengan r tetap (b) gerak vibrasi.. Energi dari sistem dengan 2 partikel dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari energi untuk  gerak relatif dan translasi. (1.70)

Suku pertama menyatakan energi kinetik dari translasi dan suku kedua menyatakan energi kinetik dari gerak relatif di mana ? adalah masa tereduksi yang didefinisikan dalam rumus  berikut. (1.71) Karena kita dapat memilih sebuah sistem koordinat sembarang, gerak dari sistem dengan 2  partikel terhadap koordinat yang tetap pada pusat gravitasi dapat dengan sederhana dinyatakan sebagai (172) Di mana V = 0 . Ini adalah energi dari partikel dengan masa ? dan dengan kecepatan V  bergerak dalam energi potensial U. Karenanya, gerak dari sistem dengan 2 partikel dapat direduksi menjadi sistem satu partikel dengan masa tereduksi ?. Dengan demikian, Hamiltonian dari gerak relatif pada sistem ini dapat dinyatakan dengan sebuah Laplacian  berikut (1.73)

(b) Pemisahan rotasi dan vibrasi Gerak relatif dari sistem dengan 2 partikel dapat dibagi menjadi rotasi dan vibrasi. Gerak  rotasi dapat dibayangkan sebagai rotasi dari sebuah dumbbell . Sebuah prototipe dari gerakan vibrasi adalah vibrasi dari 2 buah bola yang dihubungkan dengan sebuah pegas sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.15. Sudut-sudut adalah variabel yang cocok untuk gerak rotasi. Marilah kita mentransformasi koordinat kartesian ke dalam koordinat polar dengan menggunakan (r ,? ,?) dalam 3 dimensi sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.16.

(1.74) r adalah jarak dari titik asal koordinat dan disebut sebagai jarak radial. ? adalah sudut inklinasi dari sumbu-z dan disebut sebagai sudut polar. ? adalah sudut yang mengelilingi sumbu-z dan disebut sebagai sudut azimut. Arientasi spasial dinyatakan dengan dua sudut yaitu ? dan ?. Dalam sistem koordinat polar, variasi pada sudut (? dan ?) dan jarak (r) masingmasing menyatakan gerak rotasi dan gerak vibrasi. Dalam koordinat kartesian, rotasi dan vibrasi tidak dapat saling dipisahkan.

Gambar 1.16 Koordinat polar.

(c) Persamaan gelombang dalam koordinat polar Laplacian untuk gerak relatif dari sistem 2 partikel diberikan oleh (1.75) ? adalah sebuah operator untuk sudut dan disebut sebagai Legendrian

(1.76) Dengan menggunakan kedua persamaan ini, Hamiltonian untuk gerak relatif dapat ditulis sebagai (1.77) Hamiltonian ini dapat diterapkan pada masalah yang penting dalam kimia. Marilah kita melihat beberapa contoh dari persamaan gelombang, nilai eigen energinya dan fungsi gelombang.

(1) Masa tereduksi dan tingkat energi dari atom hidrogen

Contoh yang umum adalah pada atom hidrogen, yang merupakan sistem dengan 2 partikel yaitu sebuah proton dan sebuah elektron. Persamaan (1.71) akan memberikan masa tereduksi dari sistem ini dengan masa dari proton adalah M dan masa dari elektron adalah m sebagai  berikut. (1.78) Karena m/M adalah sebesar 1/1836, maka 1/M adalah sangat kecil dibandingkan dengan 1/m dalam penyebut pada persamaan (1.78). Dengan pendekatan ini, ? = m dan karenanya Hamiltonian pada persamaan (1.72) dengan jelas sama dengan gerakan elektron pada sebuah atom hidrogen dengan inti yang tetap (model Bohr). Secara kaku, masa tereduksi ? haruslah digunakan tanpa menggunakan m dalam pendekatan M ? ?. Hal yang lebih sesuai dengan spektra yang diamati akan diperoleh oleh model Bohr jika kita menggunakan ? dari pada menggunakan m. (1.79) (1.80) WH adalah energi ionisasi dari sebuah atom hidrogen. Konstanta Rydberg R yang presisi dengan menggunakan masa tereduksi dinyatakan sebagai berikut. (1.81) Persamaan ini untuk model Bohr akan ter edusi menjadi persamaan (1.24) ketika kita menggunakan ? = m dalam pendekatan M ? ?. Sebagai catatan atas alasan ini, konstanta Rydberg dalam kasus M ? ? sering ditulis sebagai R?.

(2) Rotasi molekul sebuah molekul diatomik  Hamiltonian pada persamaan (1.77) dapat diterapkan pada rotasi molekul dari sebuah molekul diatomik di mana gerak rotasi terjadi di sekitar sebuah sumbu yang mengenai pusat gravitasinya. Panjang r dari atom-atom yang terikat disebut sebagai panjang ikatan dapat dibuat tetap pada titik kesetimbangannya dan kita dapat mengabaikan gaya-gaya luar. Maka kemudian, Hamiltonian untuk gerak rotasi sebuah diatomik molekul dapat dinyatakan sebagai (1.82) I adalah momen inersia dan diberikan oleh (1.83) Masa tereduksi pada kasus ini adalah sama dengan pada persamaan (1.71) yaitu untuk masa dua partikel, m1 dan m2. Persamaan (1.82) dapat diterapkan pada sebuah gerak melingkar dari sebuah partikel dengan masa ?, yang dilekatkan pada satu sisi sebuah tongkat yang kaku dengan panjang r, dan dengan posisi tetap pada sisi lainnya yang menjadi titik awal koordinat. Gerak melingkar partikel ini dibatasi pada permukaan sebuah bola. Sistem rotasi  jenis ini disebut sebagai rotor yang kaku ( rigid ). Keadaan stasioner dari sebuah rotor yang kaku atau rotasi molekular dinyatakan dengan fungsi gelombang dari dua buah sudut ? dan ?.

Gambar 1.17 Tingkat-tingkat energi rotasi (a) dan spektrum rotasi, (b) Konstanta rotasi,  H = (h)/(8??? 2 ?r 2). Aturan seleksi untuk transisi rotasi adalah ?J = ±1. Dengan memecahkan persamaan ??? = E? dengan persamaan (1.82), tingkat energi dapat diperoleh sebagai berikut (gambar 1.17). (1.84) Di sini J adalah bilangan kuantum rotasi. Rumusan untuk tingkat-tingkat energi rotasi dapat diterapkan pada rotasi molekular dari molekul diatomik. Foton yang berkaitan dengan  perbedaan energi antara tingkat energi ke-J dan ke-J+1 yang dinyatakan dengan ? E  dapat diserap dan dipancarkan untuk mendapatkan spektra rotasi molekul. (1.85) Transisi yang terjadi di antara tingkat-tingkat rotasi disebut sebagai transisi rotasi. B dalam  persamaan (1.85) disebut sebagai konstanta rotasi yang didefinisikan sebagai berikut (1.86) Berkaitan dengan meningkatnya J = 0, 1, 2, 3,…, energi yang berkaitan dengan rotasi dan translasi dinyatakan sebagai ? E  dalam persamaan (1.85) meningkat dengan sebuah konstanta  jarak yaitu (h 2 / I ) . Dalam banyak kasus, spektra rotasi dari molekul muncul pada daerah

gelombang mikro dan infra merah. Ketika momen inersia I diperoleh dari spektra yang diamati, panjang ikatan r dapat ditentukan dengan persamaan (1.83) dengan mengetahui nilai dari masa tereduksinya. Meski analisa dapat menjadi sangat rumit, struktur geometi dari molekul yang beratom banyak dapat juga ditentukan dari spektar rotasinya. Gelombang elektromagnetik dari media antar bintang dalam ruang angkasa mengandung gelombang elektromganetik yang dipancarkan sebagai spektra rotasi molekul. Probabilitas dari rotasi dan translasi bergantung pada polarisasi listrik dari molekul. Rotasi dan translasi tidak dapat terjadi pada molekul nitrogen dan hidrogen, karena molekul-molekul ini tidak memiliki polari sasi listrik.

(3) Vibrasi molekul dari sebuah molekul diatomik  Hamiltonian pada persamaan (1,77) dapat juga diterapakan pada vibrasi molekul dari sebuah molekul diatomik yang merupakan gerak melentur dari panjang ikatan r berada di sekitar   jarak kesetimbangannya r e. Dengan menetapkan sudut rotasi ? dan ?, Hamiltonian untuk  gerak vibrasi dari sebuah molekul diatomik dinyatakan sebagai berikut. (1.87) Karena fungsi gelombang ?(r) adalah sebuah fungsi dari r yang memenuhi persamaan ??? =  E?, kita dapat menulis ?(r) dengan menggunakan sebuah fungsi ?(r) sebagai berikut.

(1.88) Kemudian kita akan mendapatkan dari persamaan (1.87) persamaan berikut. (1.89) Untuk gerak vibrasi yang mengikuti hukum Hooke, energi potensial U adalah sebanding dengan kuadrat dari perpindahan Q dari posisi setimbangnya (Gambar 1.18) dan ini diberikan oleh (1.90) Di sini k adalah sebuah konstanta yang berkaitan dengan kekuatan pegas dan disebut sebagai konstanta gaya. Perpindahan Q dinyatakan sebagai perbedaan antara panjang ikatan r dan nilai kesetimbanganya r e. (1.91) Dengan menggunakan perpindahan Q sebagai variabel, fungsi gelombang untuk gerak vibrasi dari sebuah molekul diatomik diekspresikan sebagai berikut (1.92) Dengan memecahkan persamaan ini, tingkat energi untuk osilator harmonik satu dimensi diberikan oleh persamaan berikut (Gambar 1.18) (1.93) Di sini ? adalah bilangan kuantum vibrasi dan v adalah frekuensi fundamental dari gerak  vibrasi dan diberikan oleh rumusan berikut. (1.94) Frekuensi ini adalah sama dengan frekuensi fundamental dari sebuah osilator harmonik satu dimensi dengan konstanta gaya k dan masa tereduksi ?. untuk sebuak osilator harmonik satu dimensi.

Gambar 1.18 Energi potensial U = ½kQ2 serta tingkat energi dan fungsi gelombang. Dalam kasus osilator harmonik klasik, energi pegas yang bervibrasi akan berubah secara kontinyu. Sementara untuk sebuah osilator dalam teori kuantum, hanya nilai-nilai energi yang terkuantisasi saja dalam persamaan (1.93) yang diijinkan. Tingkat energi sebuah osilator  harmonik terpisah dengan jarak yang sama dan perbedaan energi hv disebut sebagai energi kuantum dari vibrasi. Energi dari keadaan dasarnya adalah  E 0= ½hv dan energi ini adalah satu setengah dari dari energi kuantum dari vibrasi dan disebut sebgai energi vibrasi titik nol. Gerak vibrasi dalam keadaan dasarnya disebut dengan osilasi titik nol. Sebagaimana dapat dilihat pada persamaan (1.94), vibrasi dari molekul berosilasi perlahan untuk sistem yang masif dan cepat untuk sistem yang terikat dengan kuat. Foton dari  perbedaan energi antara tingkat energi ke-(?+1) dan ke ? yang dinyatakan dengan ?E dalam  persamaan (1.95) dapat diserap atau dipancarkan untuk menghasilkan spektra vibrasi molekular. (1.95) Spektra vibrasi dari molekul biasanya terdapat pada daerah infra merah. Vibrasi molekul yang berkaitan dengan perubahan dari polarisasi listrik akan cenderung untuk memiliki transisi vibrasi dengan peluang yang lebih besar. Vibrasi tanpa perubahan dalam polarisasi listrik tidak akan menunjukkan transisi-transisi vibrasi.

7. MEKANIKA BENDA TEGAR 

Telah dikatakan sebelumnya bahwa suatu benda tegar dapat mengalami gerak translasi (gerak  lurus) dan gerak rotasi. Benda tegar akan melakukan gerak translasi apabila gaya yang diberikan pada benda tepat mengenai suatu titik yang yang disebut titik berat. Titik berat merupakan titik dimana benda akan berada dalam keseimbangan rotasi (tidak  mengalami rotasi). Pada saat benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi sekaligus, maka pada saat itu titik berat akan bertindak sebagai sumbu rotasi dan lintasan gerak dari titik   berat ini menggambarkan lintasan gerak translasinya. Mari kita tinjau suatu benda tegar, misalnya tongkat pemukul kasti, kemudian kita lempar  sambil sedikit berputar. Kalau kita perhatikan secara aeksama, gerakan tongkat pemukul tadi dapat kita gambarkan seperti membentuk suatu lintasan dari gerak translasi yang sedang dijalani dimana pada kasus ini lintasannya berbentuk parabola. Tongkat ini memang berputar   pada porosnya, yaitu tepat di titik beratnya. Dan, secara keseluruhan benda bergerak dalam lintasan parabola. Lintasan ini merupakan lintasan dari posisi titik berat benda tersebut. Jadi, lintasan gerak translasi dari benda tegar dapat ditinjau sebagai lintasan dari letak titik   berat benda tersebut. Dari peristiwa ini tampak bahwa peranan titik berat begitu penting dalam menggambarkan gerak benda tegar. Di sisi lain untuk benda-benda yang mempunyai bentuk sembarang letak titik berat dicari dengan perhitungan. Perhitungan didasarkan pada asumsi bahwa kita dapat mengambil  beberapa titik dari benda yang ingin dihitung titik beratnya dikalikan dengan berat di masingmasing titik kemudian dijumlahk 

Rotasi Benda Tegar Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton tentang gerak. Selain sistem diskrit di alam ini terdapat bentuk sistem lain yaitu sistem kontinyu yang mencakup benda tegar dan fluida. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum mekanika pada benda tegar yang pada akhirnya akan diperoleh bahwa hukum-hukum yang berlaku pada sistem diskrit juga berlaku pada sistem kontinu ini. Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros. Berbagai aspek dari gerak rotasi inilah yang akan menjadi pokok pembahasan pada bab ini. Baik fluida yang merupakan materi dalam wujud gas atau cair sangat berbeda dengan partikel maupun benda tegar yang berwujud padat, keduanya memiliki hukum dasar yang sama, yaitu hukum dasar mekanika. Rotasi Benda Tegar : Torsi Pengamatan terhadap alam di sekitar kita menunjukan kepada kita salah satu bentuk gerak   berupa gerak berputar pada porosnya. Jenis gerak ini dinamakan gerak rotasi. Gerak bumi  pada porosnya adalah salah satu contoh dari gerak rotasi. Gerak rotasi bumi memungkinkan terjadinya siang dan malam. Ketika kita membuka dan menutup pintu rumah kita, dorongan tangan kita menimbulkan gerak rotasi pintu terhadap engselnya. Sekarang mari kita tinjau sebuah pintu. Apabila kita mendorong pintu tersebut, maka pintu akan berputar sesuai dengan arah dorongan gaya yang diberikan. Gaya dorong yang menyebabkan pintu berputar selalu berjarak tertentu dari poros putaran. Apabila kita beri gaya dorong tepat di poros, niscaya pintu itu tidak akan berputar. Jarak poros putaran dengan letak gaya dinamakan lengan momen.

Jadi, bisa dikatakan perkalian gaya dan lengan momen ini yang menyebabkan benda berputar. Besaran ini dinamakan torsi atau momen gaya. Pengertian torsi dalam gerak rotasi serupa dengan gaya pada gerak translasi yaitu sebagai  penyebab terjadinya gerak. Menurut hukum Newton, benda bergerak disebabkan oleh gaya. Prinsip ini juga berlaku pada gerak rotasi yang berarti benda bergerak rotasi disebabkan oleh torsi. Kita bisa mendefinisikan suatu besaran baru, yaitu momen inersia yang menyatakan kelembaman benda ketika benda bergerak rotasi. Momen inersia analogi dengan massa pada gerak translasi. Torsi atau momen gaya juga dihasilkan dari momen inersia dikalikan dengan percepatan rotasi (percepatan sudut). Ini merupakan analogi dari gaya sama dengan massa dikali  percepatan yang merupakan bentuk hukum Newton kedua. Jadi, hukum Newton kedua juga  berlaku dalam gerak rotasi. Penjelasan di atas mengungkapkan berlakunya hukum Newton  pada gerak rotasi. Rotasi Benda Tegar : Momen Inersia Setiap benda memiliki kuantitas yang mewakili keadaan benda tersebut. Massa suatu benda mewakili kelembaman benda ketika benda bergerak translasi. Pada saat benda bergerak rotasi massa tidak lagi mewakili kelembaman benda, karena benda yang bergerak rotasi terikat dengan suatu poros tertentu yang mana keadaan ini tidak dapat diabaikan. Keadaan ini mengharuskan adanya suatu kuantitas baru yang mewakili kelembaman benda yang bergerak  rotasi. Besaran yang mewakili kelembaman benda yang bergerak rotasi dinamakan momen inersia (momen kelembaman) dan dilambangkan dengan I. Pernyataan untuk momen inersia muncul dari analogi hukum Newton kedua untuk gerak  rotasi. momen inersia adalah perkalian massa dengan kuadrat jarak benda ke poros. Persamaan ini dapat diperluas untuk sistem benda yang berotasi maupun untuk benda dengan  bentuk tertentu. Momen inersia untuk sistem dengan beberapa benda yang berputar bersama dapat ditinjau sebagai penjumlahan dari tiap-tiap massa tersebut. Adapun untuk benda-benda dengan bentuk  tertentu perhitungan momen inersianya menjadi lebih menantang dan lebih mengarah  persoalan matematis. Secara sederhana kita dapat menulis pada persamaan momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar sebagai integral kuadrat jari-jari terhadap massa. Tanda integrasi mewakili penjumlahan terhadap bagian-bagian kecil massa benda. Jadi, pada  prinsipnya kedua rumus menyatakan besaran yang sama. Rotasi Benda Tegar : Momentum Sudut Pernahkah kalian menyaksikan atlet ski es yang sedang melakukan atraksi berputar? Kalau kita amati dengan cermat putaran atlet ski tersebut akan semakin cepat apabila bentangan tangannya semakin kecil. Apa yang dapat kita pelajari dari peristiwa ini? Perlu kalian ketahui  bahwa peristiwa ini berkaitan dengan momentum benda yang berotasi. Setiap benda yang bergerak memiliki momentum. Benda yang bergerak translasi mempunyai momentum yang besarnya merupakan perkalian antara massa benda dengan kecepatannya. Demikian halnya pada gerak rotasi, kita dapat menuliskan pernyataan untuk momentum sebagai perkalian momen inersia dengan kecepatan sudutnya. Jadi dapat dituliskan Momentum sudut = momen inersia x kecepatan sudut Dengan L melambangkan momentum sudut rotasi. momentum sudut adalah hasil perkalian dari lengan momen dengan momentum linier. Contoh yang baik untuk meggambarkan momentum sudut rotasi, yaitu seseorang yang melakukan ski es (ice skating) ketika sedang mendemon-strasikan atraksi berputar. Kalau kita  perhatikan, putaran atlet ski itu semakin cepat tatkala rentangan tangannya semakin pendek. Hal ini menunjukkan suatu fakta bawa pada setiap keadaan momentum sudut benda yang

 berputar selalu tetap walaupun mengalami perubahan kecepatan atau bentuk. Keadaan ini merupakan bentuk dari hukum kekekalan momentum sudut. Hukum kekekalan momentum sudut merupakan salah satu hukum dasar dalam fisika dan akan banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang berhubungan dengan gerak rotasi. Bola Menggelinding Pada bagian ini kita akan menyelidiki keadaan bola yang menggelinding di atas suatu bidang. Bola menggelinding merupakan representasi dari benda yang bergerak translasi sekaligus rotasi. Ini berarti bola tersebut berputar pada porosnya selain bergerak maju. Keadaan ini dilihat pada gambar. Gerak bola ini terdiri dari dua kecepatan yang dilakukan bola, yaitu kecepatan linier dan kecepatan sudut (anguler). Selain itu kita juga dapat menyatakan percepatan dari gerak bola menggelinding tersebut sebagai percepatan sudut. Ada baiknya kita memasukkan besaran energi untuk menggambarkan gerak bola menggelinding. karena bola menggelinding dalam keadaan bergerak maka energi yang terkandung dalam bola yang menggelinding tidak lain adalah energi kinetik. Energi kinetik   benda terdiri dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. Sehingga energi kinetik  total dari bola menggelinding adalah Ek = Ek  translasi + Ek rotasi an dan dibagi dengan jumlah berat pada tiap-tiap titik. dikatakan titik berat juga merupakan  pusat massa di dekat permukaan bumi, namun untuk tempat yang ketinggiannya tertentu di atas bumi titik berat dan pusat massa harus dibedakan. 1